| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Об одном методе решения смешанной краевой задачи для уравнения гиперболического типа с помощью операторов А. Ю. Трынин  Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9353e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеНаиболее популярными методами решения смешанных задач для уравнений гиперболического типа являются методы, восходящие к методу разделения переменных, и методы теории разностных схем. У каждого из этих подходов есть свои неоспоримые преимущества и недостатки. Значение семейства методов разделения переменных трудно переоценить в плане развития аналитических подходов к решению краевых задач фундаментальной математики. Капитально разработанный аппарат рядов Фурье, метод характеристик, принцип сжимающих отображений и другие аналитические методы позволяют интенсивно изучать [1]–[20] самые тонкие вопросы в области решения краевых задач такого типа. Вместе с тем для реализации таких методов требуется использование вспомогательных задач, например, решение задачи Гурса или вычисление коэффициентов Фурье от функций, входящих в условия задачи. Нетривиальность аналитического представления решения задачи Гурса приводит к тому, что метод характеристик используется, как правило, для исследования корректности по Адамару смешанных краевых задач. Семейство методов Фурье, имеющих непреходящее значение в области фундаментальных исследований решений задач математической физики, требует вычисление коэффициентов Фурье от функций, входящих в условия задачи. Это возможно сделать далеко не для всех непрерывных функций, даже удовлетворяющих краевым условиям. Кроме того, при подсчете коэффициентов Фурье в результате численного интегрирования быстро осциллирующих функций быстро нарастает вычислительная погрешность таких методов при их реализации в вычислительной математике, что делает затруднительным их применение в прикладных задачах компьютерных наук. Не менее основательно развита теория разностных схем (см., например, [21]–[27]). Этот подход к решению смешанных краевых задач для уравнения гиперболического типа очень хорошо зарекомендовал себя с точки зрения прикладной математики. Большинство успехов компьютерных наук в этой области связано именно с применением алгоритмов, основанных на разностных схемах. Но преимущества анализа Фурье, такие как возможность организации фильтрования сигналов, подавление помех в начальных условиях и т.п., остаются за рамками возможности этих алгоритмов. В настоящей работе предложен метод решения смешанных краевых задач для уравнения гиперболического типа, сочетающий в себе достоинства обоих описанных подходов. С точки зрения фундаментальной математики, здесь решена смешанная краевая задача с произвольными непрерывными, не обязательно удовлетворяющими граничным условиям, функциями в начальных условиях и неоднородности уравнения. Вместо коэффициентов Фурье функций, входящих в условия задачи, используются их значения на счетном множестве нулей решений вспомогательных задач Коши. Обращаем внимание читателей на относительную простоту численной реализации нового способа получения обобщенного решения изучаемых задач математической физики, описанного в настоящей работе. На каждом шаге выполнения алгоритма в качестве области определения его информационного оператора служит конечный набор значений непрерывных функций условий задачи. Единственное, что требуется для реализации предложенного метода в компьютерных науках, это обеспеченность сервисными средствами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритм предусматривает возможность использовать заранее подсчитанные коэффициенты Фурье для счетного набора вспомогательных функций, что резко увеличивает скорость его работы, так как все решение сводится к вычислению линейной комбинации этих функций. В заключении работы предложен способ нахождения коэффициентов Фурье вспомогательных функций с помощью резольвенты одного дифференциального оператора Коши третьего порядка, исключающий необходимость использования квадратурных формул для быстро осциллирующих функций. § 1. Формулировка основного результатаРассмотрим смешанную краевую задачу где $x\in [0,\pi]$, $t \in [0,T]$ при $T>0$, а функции $f$, $\varphi$, $\psi$ являются непрерывными, каждая на своей области определения. Удовлетворение граничным условиям (2), (3) функциями $f$, $\varphi$, $\psi$ не предполагается. Функция $q$ имеет ограниченную вариацию.В предположении $\rho_\lambda \geqslant 0$, при каждом неотрицательном $\lambda $ считаем в дальнейшем, за исключением специально оговоренных случаев, что зависящая от параметра $\lambda$ функция $q_\lambda $ есть произвольный элемент из шара $V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ радиуса $\rho_\lambda =o(\sqrt \lambda/\ln\lambda)$ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле, т. е. такая, что
$$
\begin{equation}
V_0^\pi [q_\lambda ]\leqslant \rho_\lambda, \qquad \rho_\lambda =o\biggl(\frac{\sqrt \lambda}{\ln\lambda}\biggr) \quad \text{при }\ \lambda \to \infty,\qquad q_\lambda (0)=0.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Тогда для любого потенциала $q_\lambda \in V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ при $\lambda \to +\infty$ нули решения задачи Коши
$$
\begin{equation}
y''+\bigl(\lambda -q_\lambda (x)\bigr)y=0,\qquad y(0,\lambda)=1,\qquad y'(0,\lambda)=h(\lambda),
\end{equation}
\tag{7}
$$
или при дополнительном условии
$$
\begin{equation}
V_0^\pi [q_\lambda ]\leqslant \rho_\lambda, \qquad \rho_\lambda =o\biggl(\frac{\sqrt \lambda}{\ln\lambda}\biggr)\quad\text{при }\ \lambda \to \infty,\qquad q_\lambda (0)=0, \qquad h(\lambda)\ne 0
\end{equation}
\tag{8}
$$
задачи Коши
$$
\begin{equation}
y''+\bigl(\lambda -q_\lambda (x)\bigr)y=0,\qquad y(0,\lambda)=0,\qquad y'(0,\lambda)=h(\lambda),
\end{equation}
\tag{9}
$$
попадающие в $[0,\pi]$ и перенумерованные в порядке возрастания, обозначим
$$
\begin{equation}
0\leqslant x_{0,\lambda}< x_{1,\lambda}< \dots <x_{n(\lambda),\lambda}\leqslant\pi\quad (x_{-1,\lambda}<0,\, x_{n(\lambda)+1,\lambda}>\pi).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Здесь $x_{-1,\lambda}<0$, $x_{n(\lambda)+1,\lambda}>\pi$ обозначают нули продолжения решения задачи Коши (7) или (9) после доопределения каким-либо образом функции $q_\lambda $ вне отрезка $[0,\pi]$ с сохранением ограниченности вариации. Теорема осцилляции, или метод контурного интегрирования, при условии (6) или (8) обеспечивают неограниченное возрастание количества нулей (10): $n(\lambda)\to +\infty$ при $\lambda \to +\infty$. В дальнейшем для краткости будем обозначать $n=n(\lambda)$. Рассмотрим функции
$$
\begin{equation}
s_{k,\lambda}(x)=\frac{y(x,\lambda)}{y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $y(x,\lambda)$ есть решения задач Коши (7) или (9) с нулями $x_{k,\lambda}$, перенумерованными согласно соотношению (10). Определение 1. На пространстве непрерывных на $[0,\pi] $ функций $f$ определим операторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, AT_\lambda (f,x) &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\biggl\{ f(x_{k,\lambda})-\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi}x_{k,\lambda}-f(0)\biggr\} \nonumber \\ &\qquad\times\bigl (s_{k-1,\lambda}(x)+s_{k,\lambda}(x)\bigr)+\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi}x+f(0) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
или, в другом виде,
$$
\begin{equation}
\begin{split} AT_\lambda (f,x) &\equiv\widetilde{AT}_\lambda (f,x) +\biggl\{ \frac{f(x_{n,\lambda})}{2} -\frac{(f(\pi)-f(0))}{\pi}\frac{x_{n,\lambda}}{2}-f(0)\biggl\}s_{n,\lambda}(x) \\ &\qquad-\biggl\{\frac{f(x_{0,\lambda})}{2}-\frac{(f(\pi)-f(0))}{\pi}\frac{x_{0,\lambda}}{2} -f(0)\biggl\}s_{0,\lambda}(x) \\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\biggl\{\frac{f(x_{k+1,\lambda})+f(x_{k,\lambda})}{2} -\frac{(f(\pi)-f(0))}{\pi}\frac{(x_{k+1,\lambda}+x_{k,\lambda})}{2} \\ &\qquad\qquad-f(0)\biggl\}s_{k,\lambda}(x)+\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi}x+f(0) \\ &\qquad+\biggl\{\frac{f(x_{n,\lambda})}{2}-\frac{(f(\pi)-f(0))}{\pi}\frac{x_{n,\lambda}}{2} -f(0)\biggl\}s_{n,\lambda}(x) \\ &\qquad-\biggl\{\frac{f(x_{0,\lambda})}{2}-\frac{(f(\pi)-f(0))}{\pi}\frac{x_{0,\lambda}}{2} -f(0)\biggl\}s_{0,\lambda}(x), \end{split}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Особо отметим, что значения операторов в определении 1 зависят только от значений функции $f(x_{k,\lambda})$ в нулях $x_{k,\lambda}$ функций $y(x,\lambda)$. Наряду с теорией С. Л. Соболева, основы которой изложены в знаменитой монографии [28] (см. также [1]–[4]), в которой для введения понятия обобщенной функции используется сходимость основных функций в метрике пространства Лебега, достаточно давно применялся другой подход к построению теории обобщенных функций, в котором использовалась равномерная сходимость основных функций для построения классов эквивалентных последовательностей, связанных с обобщенной функцией (см., например, [3; гл. 1, § 9]). А авторы монографии [29] этот подход называют секвенциальным. Мы будем использовать частный случай определения обобщенной функции, понимаемой в смысле секвенциального подхода [29; п. 1.3]. Определение 2. Класс эквивалентных последовательностей непрерывно дифференцируемых на компакте своего определения $K$ функций, т. е. сходящихся к одной и той же непрерывной функции по норме чебышёвского пространства $\|f\|_{C(K)}=\max_{x\in K}|f(x)|$, будем называть обобщенной функцией, определенной на компакте $K$. Замечание 1. Понятно, что непрерывно дифференцируемая функция $f$ эквивалентна обобщенной функции, представляющей собой класс эквивалентных функциональных последовательностей, сходящихся к ней самой, так как стационарная последовательность $f_n\equiv f$ принадлежит этому классу. Мы будем считать решением смешанной краевой задачи (1)–(5) обобщенную функцию в терминах определения 2. После замены $u(x,t)=U(x)V(t)$ в смешанной краевой задаче (1)–(5) и разделения переменных в однородном уравнении, соответствующем уравнению (1), получим систему уравнений, связанных между собой спектральным параметром $\widehat\lambda$ Добавив к уравнению (16) соответствующие условиям (2), (3) граничные условия для функции $U$, получим регулярную задачу Штурма–Лиувилля Свойства таких задач хорошо изучены, например, в [30]. Обозначим собственные значения и соответствующие им ортонормированные собственные функции задачи (16)–(18) $\widehat{\lambda}_m:=\widehat{\lambda}_m(q,\alpha,\beta)$ и $U_m:=U_m(q,\alpha,\beta,x)$, $m=0,1,\dots$, соответственно.Обозначим при каждом $\lambda >0$ коэффициенты Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля (16)–(18) функций (11) и линейной функции следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_{k,\lambda,m} &=\langle U_m(q,\alpha,\beta,{\cdot}\,),s_{k,\lambda}\rangle =\int_0^{\pi}U_m(q,\alpha,\beta,\xi)\frac{y(\xi,\lambda)}{y'(x_{k,\lambda},\lambda )(\xi-x_{k,\lambda})}\,d\xi, \\ \tau^{(0)}_m &= \langle U_m(q,\alpha,\beta,{\cdot}\,),1\rangle =\int_0^{\pi}U_m(q,\alpha,\beta,\xi)\,d\xi, \\ \tau^{(1)}_m &=\langle U_m(q,\alpha,\beta,{\cdot}\,),x\rangle =\int_0^{\pi}\xi U_m(q,\alpha,\beta,\xi)\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Набор коэффициентов Фурье (19) не зависит ни от начальных условий (4), (5), ни от правой части уравнения (1). Он определяется только параметрами смешанной краевой задачи (потенциалом и граничными условиями) и может быть определен заранее для каждой задачи вида (1)–(5). А через
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{AT}_{\lambda,m}[f] &:= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(\tau_{k-1,\lambda,m} + \tau_{k,\lambda,m})\biggl\{ f(x_{k,\lambda})-\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi}x_{k,\lambda}-f(0)\biggr\} \nonumber \\ &\qquad+\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi}\tau^{(1)}_m+f(0)\tau^{(0)}_m \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
обозначим коэффициенты Фурье значения оператора (12) для произвольной функции $f\in C[0,\pi]$. Особо отметим, что значения функционалов (20) определяются только значениями функции $f(x_{k,\lambda})$ в нулях $x_{k,\lambda}$ функций $y(x,\lambda)$. Положим
$$
\begin{equation}
\nu =\begin{cases} -e^{-\lambda}\bigl(AT_\lambda (f,0)\operatorname{ctg}{\alpha}+AT_\lambda '(f,0)\bigr) &\text{при } \alpha\ne \pi m_1,\, m_1\in \mathbb{Z}, \\ AT_\lambda (f,0) &\text{при } \alpha=\pi m_1,\ m_1\in \mathbb{Z}, \end{cases} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\nu} = \begin{cases} -e^{-\lambda}\bigl(AT_\lambda (f,\pi)\operatorname{ctg}{\beta}+AT_\lambda '(f,\pi)\bigr) &\text{при } \beta\ne \pi m_2,\, m_2\in \mathbb{Z}, \\ AT_\lambda(f,\pi) &\text{при } \beta=\pi m_2,\, m_2\in \mathbb{Z}, \end{cases} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\eta(x,\lambda) =\begin{cases} 2\sqrt{\frac{1}{3}}\,\nu \mu x \quad\text{при } x\in\bigl[0,\frac{1}{|\mu|}\bigl(\frac{\sqrt{2}}{3}\bigr)\bigr],\, \alpha\ne \pi m_1,\, m_1\in \mathbb{Z}, \\ \nu\sin^3\Bigl(\mu \Bigl(x+\frac{1}{|\mu|}\Bigl(\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}} -\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigr)\Bigr) \\ \ \ \, \text{при } x\in\Bigl[\frac{1}{|\mu|}\bigl(\frac{\sqrt{2}}{3}\bigr), \frac{\pi}{|\mu|}-\frac{1}{|\mu|}\Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}} -\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigr],\, \alpha\,{\ne}\, \pi m_1,\, m_1{\in}\, \mathbb{Z}, \\ \nu\Bigl(\frac{\pi}{|\mu|}-\frac{1}{|\mu|}\Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}} \,{-}\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigr)^{-3}\Bigl(x\,{-}\,\frac{\pi}{|\mu|}+\frac{1}{|\mu|} \Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}\,{-}\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigr)^3 \\ \ \ \, \text{при } x\in\Bigl[0,\frac{\pi}{|\mu|}-\frac{1}{|\mu|} \Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigr], \, \alpha=\pi m_1,\, m_1\in \mathbb{Z}, \\ 0 \quad\text{при } x\in\Bigl[\frac{\pi}{|\mu|}-\frac{1}{|\mu|} \Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr),\pi\Bigr], \end{cases}
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\eta}(x,\lambda_{n}) =-\begin{cases} 2\sqrt{\frac{1}{3}}\,\widetilde{\nu_{n}}\mu_{n}(\pi-x)\quad \text{при } x\in\bigl[\pi -\frac{1}{\mu_{n}}\bigl(\frac{\sqrt{2}}{3}\bigr),\pi\bigr],\, \beta\ne \pi m_2,\, m_2{\in}\, \mathbb{Z}, \\ \widetilde{\nu_{n}}\sin^3\Bigl(\mu_{n} \Bigl(\pi-x+\frac{1}{\mu_{n}} \Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigr)\Bigr) \\ \ \ \, \text{при } x\in\Bigl[\pi-\frac{\pi}{\mu_{n}}+\frac{1}{\mu_{n}}\Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}} -\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr),\pi-\frac{1}{\mu_{n}}\bigl(\frac{\sqrt{2}}{3}\bigr)\Bigr], \\ \qquad \beta\ne \pi m_2,\, m_2\in \mathbb{Z}, \\ \widetilde{\nu_{n}}\Bigl(\frac{\pi}{\mu_{n}}-\frac{1}{\mu_{n}} \Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigr)^{-3} \\ \qquad\times\Bigl(\pi-\frac{\pi}{\mu_{n}}+\frac{1}{\mu_{n}} \Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)-x\Bigr)^3 \\ \ \ \, \text{при } x\in\Bigl[\pi-\frac{\pi}{\mu_{n}}+\frac{1}{\mu_{n}} \Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr),\pi\Bigr],\, \beta=\pi m_2, \, m_2{\in}\, \mathbb{Z}, \\ 0 \quad\text{при } x\in\Bigl[0,\pi-\frac{\pi}{\mu_{n}}+\frac{1}{\mu_{n}} \Bigl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigr]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Здесь также обратим внимание на то, что значения операторов (21), (22) определяются только с помощью значений функции $f(x_{k,\lambda})$ в нулях $x_{k,\lambda}$ функций $y(x,\lambda)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\nonumber \sigma_1 = \begin{cases} 1 &\text{при } (\alpha =\pi m_1,\, m_1\in \mathbb{Z})\wedge f(0)\ne 0, \\ 0 &\text{при } (\alpha \ne \pi m_1,\, m_1\in \mathbb{Z})\vee f(0)=0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde\sigma_1 = \begin{cases} 1 &\text{при } (\beta =\pi m_2,\, m_2\in \mathbb{Z})\wedge f(\pi)\ne 0, \\ 0 &\text{при } (\beta \ne \pi m_2,\, m_2\in \mathbb{Z})\vee f(\pi)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Обозначим при каждом $\lambda >0$ коэффициенты Фурье по собственным функциям задачи (16)–(18)
$$
\begin{equation*}
\widehat{\eta}_{\lambda,m} =\langle U_m(q,\alpha,\beta,{\cdot}\,),\eta(\,{\cdot}\,,\lambda)\rangle =\int_0^{\pi}U_m(q,\alpha,\beta,\xi)\eta(\xi,\lambda)\,d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\widetilde\eta}_{\lambda,m} =\langle U_m(q,\alpha,\beta,{\cdot}\,),\widetilde\eta(\,{\cdot}\,,\lambda)\rangle =\int_0^{\pi}U_m(q,\alpha,\beta,\xi)\widetilde\eta(\xi,\lambda)\,d\xi.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Операторы, ставящие в соответствие функции $f\in C[0,\pi]$ частичные суммы Фурье функции $AT_\lambda (f,x)+\eta (x,\lambda)+\widetilde\eta (x,\lambda)$ обозначим
$$
\begin{equation}
\mathbb{AT}_{\lambda,j} (f,x)=\sum_{m=0}^{j} \widehat{AT}_{\lambda,m}[f,\eta] U_m(q,\alpha,\beta,x),
\end{equation}
\tag{25}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{AT}_{\lambda,m}[f,\eta] &:= \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(\tau_{k-1,\lambda,m} + \tau_{k,\lambda,m})\biggl\{ f(x_{k,\lambda})-\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi}x_{k,\lambda}-f(0)\biggr\} \nonumber \\ &\qquad+\frac{f(\pi)-f(0)}{\pi}\tau^{ (1)}_m+f(0)\tau^{(0)}_m +\widehat{\eta}_{\lambda,m} +\widehat{\widetilde\eta}_{\lambda,m} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
являются ее коэффициентами Фурье. Функция $AT_\lambda (f,x)+\eta (x,\lambda)+\widetilde\eta (x,\lambda)$ имеет абсолютно непрерывную производную на отрезке $[0,\pi]$ и удовлетворяет краевым условиям (17), (18). Здесь также обратим внимание на то, что значения операторов (25), как и функционалов (26) определяются только с помощью значений функции $f(x_{k,\lambda})$ в нулях $x_{k,\lambda}$ функций $y(x,\lambda)$. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 1. Пусть $T>0$, $\varepsilon>0$, функции $f$, $\varphi$, $\psi$ являются непрерывными, каждая на своей области определения, и функция $q$ имеет ограниченную вариацию, функция $j(\lambda)$, принимающая целые значения или бесконечность, удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation}
[\lambda^{1+\varepsilon}]+1 \leqslant j(\lambda) \leqslant \infty.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Тогда обобщенное решение смешанной краевой задачи (1)–(5) представимо в виде предела
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(x,t) &=\lim_{\lambda\to\infty}\sum_{m=0}^{j(\lambda)} \biggl( \widehat{AT}_{\lambda,m}[\varphi,\eta]\cos\Bigl(\sqrt{\widehat{\lambda}_m}t\Bigr) + \frac{\widehat{AT}_{\lambda,m}[\psi,\eta]}{\sqrt{\widehat{\lambda}_m}}\sin \Bigl(\sqrt{\widehat{\lambda}_m}t\Bigr) \nonumber \\ &\qquad+\int_0^t\frac{\sin\sqrt{\widehat{\lambda}_m}(t-\tau)}{\sqrt{\widehat{\lambda}_m}} \widehat{AT}_{\lambda,m}[f(\,{\cdot}\,,\tau),\eta]\,d\tau \biggr)U_m(q,\alpha,\beta,x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Сходимость в (28) равномерная на прямоугольнике $[\sigma_1\widetilde\varepsilon,\, \pi-\widetilde\sigma_1\widetilde\varepsilon\,]\times[0,T]$, где функционалы $\widehat{AT}_{\lambda,m}[\,{\cdot}\,,\eta]$ определены с помощью (26), а $\sigma_1,\widetilde\sigma_1$ определяются в (23). Метод, предложенный в теореме 1, по сравнению с теорией разностных схем сохраняет преимущества анализа Фурье: позволяет организовывать фильтрацию, убирать помехи в условиях и т. п. В отличие же от классических методов Фурье и Крылова алгоритм решения смешанной краевой задачи (1)–(5) в утверждении теоремы 1 не только расширяет множество допустимых наборов функций $f$, $\varphi$, $\psi$ до пространств непрерывных функций на области своего определения, но и позволяет ограничиться данными об этих функциях только в узловых точках $x_{k,\lambda}$, а не требовать информацию о функции на множестве полной меры. В силу корректности по Адамару смешанной краевой задачи для уравнения гиперболического типа классическое решение задачи (1)–(5) с достаточно гладкими условиями, допускающими его существование, совпадает с решением, полученным с помощью теоремы 1. Замечание 2. Для вычисления коэффициентов $\widehat{AT}_{\lambda,m}[\,{\cdot}\,,\eta]$ можно использовать не зависящий от функций $f$, $\varphi$, $\psi$ набор коэффициентов Фурье $\tau_{k,\lambda,m}$ функций $s_{k,\lambda}$ (19), который для каждой краевой задачи (1)–(5) может быть заготовлен заранее. Это касается и классического решения, полученного новым методом. Чтобы не вычислять интегралы от быстро осциллирующих функций, для определения $\tau_{k,\lambda,m}$ можно воспользоваться следующими утверждениями. Предложение 1. В дифференциальных уравнениях задач Коши (7), (9) и уравнении задачи Штурма–Лиувилля (16) считаем $q_{\lambda}\equiv q$. Тогда коэффициенты Фурье (19) функций $s_{k,\lambda}$ (11) по ортонормированным собственным функциям $U_m$ задачи (16)–(18) можно вычислить с помощью интеграла Римана–Стилтьеса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_{k,\lambda,m} &=\frac{1}{\lambda_m -\lambda}\bigl(s_{k,\lambda}'(\pi)U_m(\pi)- s_{k,\lambda}(\pi)U_m'(\pi)-\bigl(s_{k,\lambda}'(0)U_m(0)- s_{k,\lambda}(0)U_m'(0)\bigr)\bigr) \nonumber \\ &\qquad+\frac{2}{\lambda_m -\lambda}\int_0^\pi \frac{U_m(x)}{x-x_{k,\lambda}}\, ds_{k,\lambda}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
В случае непрерывной дифференцируемости потенциала смешанной краевой задачи (1)–(5) коэффициенты Фурье функций $s_{k,\lambda}$ по ортонормированным собственным функциям $U_m$ задачи Штурма–Лиувилля (16)–(18) можно находить с помощью резольвенты одного дифференциального оператора. Предложение 2. В дифференциальных уравнениях задач Коши (7), (9) и уравнении задачи Штурма–Лиувилля (16) считаем потенциалы непрерывно дифференцируемыми функциями, удовлетворяющими соотношению $q_{\lambda}(x)\equiv -q(x)$. Тогда коэффициенты Фурье (19) функций $s_{k,\lambda}$ по ортонормированным собственным функциям $U_m$ задачи (16)–(18) можно вычислить с помощью резольвенты дифференциального оператора Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi'''_{k,\lambda,m}(x)+(\lambda + \lambda_m)\Phi'_{k,\lambda,m}(x) =2s_{k,\lambda}'(x)\biggl(\frac{U_m(x)}{x-x_{k,\lambda}}\biggr)'(x-x_{k,\lambda}), \\
\Phi_{k,\lambda,m}(x_{k,\lambda})=0,\qquad \Phi'_{k,\lambda,m}(x_{k,\lambda}) = U_m(x_{k,\lambda}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
следующим образом: Аппарат численных решений дифференциальных уравнений дает более точные результаты, чем квадратурные формулы. Это связано с тем, что в квадратурных формулах происходит суммирование погрешностей представления функции в каждом узле квадратурной формулы. С увеличением количества узлов происходит ухудшение аппроксимативных свойств квадратурной формулы. В то время как разностные схемы представления дифференциального оператора с увеличением количества узлов равномерно приближают точное решение дифференциального уравнения [22]. § 2. Вспомогательные утвержденияПрежде чем доказывать теорему 1 и предложения 1 и 2 приведем ряд вспомогательных утверждений. 2.1. Асимптотические формулыПредложение 3 [31; теорема 1], [32; предложение 2]. Пусть $ \rho_\lambda \geqslant0,\quad \rho_\lambda =o(\sqrt \lambda\,)$ при $\lambda \to \infty $, и $V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ – шар радиуса $\rho_\lambda $ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле, т. е. для любого действительного $\lambda $
$$
\begin{equation*}
V_0^\pi [q_\lambda ]\leqslant \rho_\lambda, \quad q_\lambda (0)=0,\qquad \textit{где }\ \rho_\lambda =o(\sqrt\lambda)\textit{ при }\lambda \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует такое $\lambda_1 > 4\pi^2 \rho_\lambda^2$, что для всех $\lambda \geqslant\lambda_1$, любого потенциала $q_\lambda \in V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ и произвольного $x\in [0,\pi]$ решение задачи Коши (7) удовлетворяет следующим неравенствам:
$$
\begin{equation}
\biggl| y(x,\lambda)-\gamma (x,\lambda,h)\cos \sqrt{\lambda}\,x-\beta (x,\lambda,h)\frac{\sin \sqrt{\lambda}\, x}{\sqrt{\lambda}} \biggr|\leqslant\frac{\rho_\lambda(1+\pi \rho_\lambda)}{2\lambda}\biggl(1 +\frac{|h(\lambda)|}{\sqrt\lambda}\biggr),
\end{equation}
\tag{32}
$$
$$
\begin{equation*}
\bigl| y'(x,\lambda)\,{+}\,\sqrt{\lambda}\, \gamma (x,\lambda,h)\sin \sqrt{\lambda}\, x\,{-}\, \beta (x,\lambda,h)\cos \sqrt{\lambda}\, x \bigr| \leqslant \frac{\rho_\lambda (1\,{+}\,\pi \rho_\lambda)}{2\sqrt\lambda}\biggl(1 +\frac{|h(\lambda)|}{\sqrt\lambda}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где Предложение 4 [31; теорема $1'$], [32; предложение 3]. Пусть $ \rho_\lambda \geqslant0$, $\rho_\lambda =o(\sqrt \lambda\,)$ при $\lambda \to \infty$, и $V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ – шар радиуса $\rho_\lambda $ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле. Тогда существует такое $\lambda_1 > 4\pi^2 \rho_\lambda^2$, что для всех $\lambda \geqslant\lambda_1$, любого потенциала $q_\lambda \in V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ и произвольного $x\in [0,\pi]$ решение задачи Коши (9) удовлетворяет следующим неравенствам:
$$
\begin{equation}
\biggl| y(x,\lambda)-\frac{h(\lambda)\sin{\sqrt\lambda\, x}}{\sqrt\lambda}+\delta (x,\lambda,h)\cos{\sqrt\lambda\, x}\biggr| \leqslant \frac{\rho_\lambda (1+\pi \rho_\lambda)|h(\lambda)|}{2\lambda \sqrt\lambda},
\end{equation}
\tag{33}
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered}
\bigl| y'(x,\lambda)-h(\lambda)\cos{\sqrt\lambda\, x}-\sqrt\lambda\, \delta (x,\lambda,h)\sin{\sqrt\lambda\, x}\bigr| \leqslant \frac{\rho_\lambda (1+\pi \rho_\lambda)|h(\lambda)|}{2\lambda}, \\ \bigl| y''(x,\lambda)+h(\lambda)\sqrt\lambda \sin{\sqrt\lambda\, x}-\lambda \delta (x,\lambda,h)\cos{\sqrt\lambda\, x}\bigr| \leqslant\frac{\rho_\lambda (1+\pi \rho_\lambda)|h(\lambda)|}{2\sqrt\lambda}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где Предложение 5 [31; теоремы 2, $2'$], [32; предложение 4]. Пусть выполняется условие (6). Тогда для любого потенциала $q_\lambda \in V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ при $\lambda \to \infty $ для нулей решений задачи Коши (7), попадающих в $[0,\pi]$ и перенумерованных в порядке возрастания согласно (10), справедливы следующие асимптотические формулы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_{k,\lambda} &=\frac{(k+1)\pi}{\sqrt\lambda}-\frac{1}{\sqrt\lambda}\arcsin{\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda +h^2(\lambda)}}}+o\biggl(\frac{\lambda^{-1/2}}{\ln\lambda}\biggr), \\ y'(x_{k,\lambda},\lambda) &=\sqrt{\lambda +h^2 (\lambda)}\biggl((-1)^{(k+1)}+o\biggl (\frac{1}{\ln{\lambda}}\biggr)\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\lambda \to \infty$. А для перенумерованных согласно (10) нулей решений задачи Коши (9) с $h(\lambda)\ne 0$ и $q_\lambda$, удовлетворяющими соотношению (8), справедливы асимптотические формулы вида
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} x_{k,\lambda} &=\frac{k}{\sqrt{\lambda}}\, \pi + o\biggl(\frac{\lambda^{-1/2}}{\ln \lambda}\biggr)&\quad &\textit{при }\ \lambda \to \infty, \\ y'(x_{k,\lambda},\lambda) &=h(\lambda)\biggl((-1)^{k} + o\biggl(\frac{1}{\ln \lambda}\biggr)\biggr)&\quad &\textit{при }\ \lambda \to \infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Стремление к нулю в $o$-символике равномерно по $q_\lambda \in V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ и $k\colon 0\leqslant k \leqslant n$. Для того чтобы по свойствам нулей (10) восстановить условия задач (7), (9) можно воспользоваться результатами исследований в [33], [34]. Нам потребуется еще одно свойство фундаментальных функций $s_{k,\lambda}$. Лемма 1 [32; лемма 2]. Пусть $\rho_\lambda \geqslant 0$, $\rho_\lambda =o(\sqrt \lambda/\ln \lambda)$ при $\lambda \to \infty$, и $V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ – шар радиуса $\rho_\lambda $ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле (в случае задачи Коши (9) требуем еще выполнения условия $h(\lambda)\ne 0$). Тогда найдется такое значение $\lambda_0$ (выбор которого зависит только от скорости изменения радиусов шаров $\rho_\lambda$ в (6) или (8)), что для любых потенциалов $q_\lambda \in V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ и функции $h(\lambda)$, а также для всех $\lambda >\lambda_0$ функции $s_{k,\lambda}(x)$, построенные по решениям задачи Коши (7) и (9), могут быть оценены таким образом: 2.2. Дифференциальное уравнение для функций $s_{k,\lambda}$Предложение 6. Пусть функция $q_{\lambda}$ имеет ограниченную вариацию на отрезке $[0,\pi]$. Функция $y(x,\lambda)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению задач (7), (9), и $y(x_{k,\lambda},\lambda)=0$ тогда и только тогда, когда $s_{k,\lambda}$ является ограниченным решением дифференциального уравнения вида Доказательство. Действительно, пусть функция $y(x,\lambda)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению задач (7), (9). Тогда подстановкой получаем соотношение
Наоборот, пусть $s_{k,\lambda}$ есть ограниченное решение дифференциального уравнения вида (34) всюду на множестве $[0,x_{k,\lambda})\cup(x_{k,\lambda},\pi]$. Тогда подстановкой убеждаемся в том, что функция $y(x,\lambda)={y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})}s_{k,\lambda}(x)$ удовлетворяет уравнению задач (7), (9). Учитывая, что $y(x_{k,\lambda})=0$, продолжаем это соотношение на весь отрезок $[0,\pi]$. Предложение 6 доказано. 2.3. Некоторые полезные операторы теории приближения функцийПредложение 7 [32; предложение 1]. Пусть $f\in C[0,\pi]$, и функции $q_\lambda $ и $h(\lambda)$ удовлетворяют условию (6) в случае задачи Коши (7) или (8) – в случае задачи (9). Тогда равномерно по $x$ на отрезке $[0,\pi]$ и по $q_\lambda $ на шарах $V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ Предложение 8. Пусть $ \rho_\lambda \geqslant 0$, $\rho_\lambda =o(\sqrt \lambda/\ln\lambda)$, при $\lambda \to \infty$, и $V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ – шар радиуса $\rho_\lambda $ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле (в случае задачи Коши (9) требуем еще выполнения условия $h(\lambda)\ne 0$). Тогда найдется такое значение $\lambda_0$ (выбор которого зависит только от скорости изменения радиусов шаров $\rho_\lambda $ в (6) или (8)), что для любых потенциалов $q_\lambda \in V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ и функции $h(\lambda)$, а также для всех $\lambda >\lambda_0$ нормы операторов (14) и (15), действующих из $M[0,\pi]$ в $C[0,\pi]$ и построенных по решениям задач Коши (7) или (9), сверху оцениваются следующим образом: Доказательство. Сначала, чтобы установить справедливость оценки (36) для оператора (14), рассуждения будем проводить в случае задачи Коши (9). В силу инвариантности оператора (13) относительно умножения функции $y(x,\lambda)$ на отличную от нуля константу, без потери общности полагаем $h(\lambda)\equiv 1$.
Возьмем произвольное $x\in [0,\pi]$. Пусть $k_0$ – номер ближайшего к $x$ узла (если таких узлов два, то в качестве $k_0$ выбираем номер любого из них). Из асимптотики нулей решений задачи Коши предложения 5 получаем оценку
$$
\begin{equation}
|x-x_{k_0,\lambda}|=O\biggl(\frac{\pi}{\sqrt{\lambda}}\biggr).
\end{equation}
\tag{38}
$$
Тогда норма функционала (будем рассматривать представление $AT_\lambda$ в виде (13)), ставящего каждой ограниченной на отрезке $[0,\pi]$ функции $f\in M[0,\pi]$ значение производной результата действия оператора (13) в точке $x\in [0,\pi]$, может быть оценена следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, AT_\lambda^{(1)}(x) &\leqslant 2\sum_{k=0}^n|s_{k,\lambda}'(x)|+\frac{2}{\pi} \nonumber \\ &=2\sum_{k=0}^{k_0-1}|s_{k,\lambda}'(x)| +2|s_{k_0,\lambda}'(x)| +2\sum_{k=k_0+1}^n|s_{k,\lambda}'(x)| +\frac{2}{\pi}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
А норма оператора (14), ставящего в соответствие каждой ограниченной на отрезке $[0,\pi]$ функции $f\in M[0,\pi]$ непрерывную производную значения оператора (13), действующего из $M[0,\pi]$ в $C[0,\pi]$, имеет вид
$$
\begin{equation}
AT_\lambda^{(1)} = \max_{x\in[0,\pi]}AT_\lambda^{(1)}(x).
\end{equation}
\tag{40}
$$
Второе слагаемое в (39) оценивается с помощью формулы Лагранжа, (38) и асимптотических формул предложения 5:
$$
\begin{equation*}
2|s_{k_0,\lambda}'(x)|=2\biggl| \frac{|y'(x,\lambda)(x-x_{k_0,\lambda})-y(x,\lambda)|} {y'(x_{k_0,\lambda},\lambda)(x-x_{k_0,\lambda})^2}\biggr| =o\biggl(\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (39) получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, AT_\lambda^{(1)}(x) &\leqslant 2\sum_{k=0}^{k_0-1}\biggl| \frac{|y'(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})}\biggr|+2\sum_{k=k_0+1}^n\biggl|\frac{|y'(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})}\biggr| \nonumber \\ &\qquad+2\sum_{k=0}^{k_0-1}\biggl| \frac{|y(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})^2}\biggr| +2\sum_{k=k_0+1}^n\biggl| \frac{|y(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})^2}\biggr| \nonumber \\ &\qquad+\frac{2}{\pi}+o\biggl(\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
Из асимптотических формул для нулей решения задач Коши предложения 5 для достаточно больших $\lambda$ будут выполняться соотношения
$$
\begin{equation}
\min_{1\leqslant k \leqslant n}|x_{k,\lambda}-x_{k-1,\lambda}|\geqslant \frac{\pi}{2\sqrt{\lambda}}, \quad \min(|x-x_{k_0-1,\lambda}|,\,|x-x_{k_0+1,\lambda}|)\geqslant \frac{\pi}{8\sqrt{\lambda}}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
В силу (41), (42) и асимптотических формул предложения 5 найдется значение $\lambda_1$ (выбор которого зависит только от скорости изменения радиусов шаров в (6), (8)) такое, что для всех $\lambda>\lambda_1$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_\lambda^{(1)}(x) &\leqslant 2|y'(x,\lambda)| \mathop{{\sum}'}^n_{k=0}\biggl| \frac{1}{((-1)^k +o(1/\ln\lambda))(x-x_{k,\lambda})} \biggr| \\ &\qquad+2|y(x,\lambda)| \mathop{{\sum}'}^n_{k=0} \biggl| \frac{1}{((-1)^k + o(1/\ln\lambda))(x-x_{k,\lambda})^2} \biggr| +\frac{2}{\pi} +o\biggl(\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее штрих у суммы означает отсутствие слагаемого с индексом $k\,{=}\,k_0$. Если $k_0=0$, то в сумме отсутствует первое слагаемое, если же $k_0=n$, то нет третьего. Отсюда получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &AT_\lambda^{(1)}(x)\leqslant 2 |y'(x,\lambda)|\biggl(1 \,{+}\, \biggl|o\biggl(\frac{1}{\ln{\lambda}}\biggr)\biggr|\biggr) \frac{8\sqrt\lambda}{\pi} \biggl[\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\!\frac{dt}{x-t} \,{+}\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{t\,{-}\,x} \biggr] \nonumber \\ &\quad+2 |y(x,\lambda)|\biggl(1 +\biggl|o\biggl(\frac{1}{\ln{\lambda}}\biggr)\biggr|\Biggr) \frac{8\sqrt\lambda}{\pi} \biggl[\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)} \frac{dt}{(x-t)^2} +\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{(t-x)^2} \biggr] \nonumber \\ &\quad+\frac{2}{\pi}+o\biggl(\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Учитывая, что при $x\in[0,\pi]$ $x(\pi-x)\geqslant 0$, и что при $x\in [0,\pi/(4\sqrt\lambda)]$ в силу выбора номера $k_0$ первый интеграл в полученной оценке исчезает, а при $x\in [\pi-\pi/(4\sqrt\lambda),\pi]$ нет второго интеграла, оценка суммы интегралов распадается на два случая:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\frac{dt}{x-t}+\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{t-x} \\ &\qquad=-\ln(x-t)\big|_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}+\ln(t-x)\big|_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \\ &\qquad\leqslant\begin{cases} \ln(\lambda)+\ln{16} &\text{при } x\in \biggl[\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda},\, \pi-\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda}\biggr], \\ \dfrac{1}{2}\ln(\lambda)+\ln{8} &\text{при } x\in \biggl[0,\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda}\biggr] \cup \biggl[\pi-\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda},\pi\biggr]. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь оценим сумму интегралов
$$
\begin{equation*}
\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\frac{dt}{(x-t)^2}+\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{(t-x)^2} =\frac{16\sqrt{\lambda}}{\pi}-\frac{\pi}{x(\pi-x)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая то, что при $x\in[0,\pi]$ $x(\pi-x)\geqslant 0$, что при $x\in [\pi/(4\sqrt\lambda),\, \pi-\pi/(4\sqrt\lambda)]$ $x(\pi-x)> 0$ и что при $x\in [0,\pi/(4\sqrt\lambda)]$ в силу выбора номера $k_0$ первый интеграл в полученной оценке исчезает, а при $x\in [\pi-\pi/(4\sqrt\lambda),\,\pi]$ нет второго интеграла, оценка суммы интегралов распадается на три случая:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\frac{dt}{(x-t)^2}+\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{(t-x)^2} \\ &\qquad\leqslant \begin{cases} \dfrac{16\sqrt{\lambda}}{\pi}-\dfrac{\pi}{x(\pi-x)} &\text{при } x\in \biggl[\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda},\,\pi-\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda}\biggr], \\ \dfrac{8\sqrt{\lambda}}{\pi}-\dfrac{1}{\pi-x} &\text{при } x\in \biggl[0,\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda}\biggr], \\ \dfrac{8\sqrt{\lambda}}{\pi}-\dfrac{1}{x} &\text{при } x\in \biggl[\pi-\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda},\pi\biggr]. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Равномерная по $x\in [0,\pi]$ оценка нормы оператора (14) таким образом в силу (43) имеет вид
$$
\begin{equation*}
AT_\lambda^{(1)}\leqslant \frac{16\sqrt\lambda}{\pi}\biggl[\ln(\lambda)+\frac{16+\pi\ln{16}}{\pi} \biggr]+o\biggl(\frac{\sqrt{\lambda}}{\ln{\lambda}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует существование $\lambda_0\geqslant \lambda_1$ настолько большого, что для всех $\lambda\,{>}\,\lambda_0$ верна оценка (36) в случае задачи Коши (9).
Покажем, что неравенство (36) при достаточно больших $\lambda$ справедливо для $s_{k,\lambda}$, $0\leqslant k\leqslant n$, построенных с помощью решений задачи Коши (7). Для этого продолжим функцию
$$
\begin{equation}
q_\lambda (x)= \begin{cases} q_\lambda (x) &\text{при } x\in [0,\pi], \\ 0 &\text{при } x \notin [0,\pi]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{44}
$$
После чего сделаем замену независимой переменной
$$
\begin{equation}
t=\frac{\pi\bigl(x\sqrt\lambda +\arcsin\sqrt{\lambda/(\lambda+h^2(\lambda))}\,\bigr)} {\pi\sqrt\lambda+\arcsin\sqrt{\lambda/(\lambda+h^2(\lambda))}}.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation}
\widehat y(t,\widehat \lambda)= y\Biggl(\frac{\pi\sqrt\lambda +\arcsin\sqrt{\lambda/(\lambda+h^2(\lambda))}}{\pi \sqrt\lambda} t-\frac{1}{\sqrt\lambda}\arcsin\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+h^2(\lambda)}},\lambda\Biggr)
\end{equation}
\tag{46}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat q_{\widehat\lambda}(t) &=\Biggl(1+\frac{1}{\pi\sqrt\lambda} \arcsin\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+h^2(\lambda)}}\,\Biggr)^2 \nonumber \\ &\qquad\times q_\lambda \Biggl(\frac{\pi\sqrt\lambda +\arcsin\sqrt{\lambda/(\lambda+h^2(\lambda))}}{\pi \sqrt\lambda} t -\frac{1}{\sqrt\lambda}\arcsin\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+h^2(\lambda)}}\,\Biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{47}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\widehat\lambda=\Biggl (1+\frac{1}{\pi\sqrt\lambda} \arcsin\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+h^2(\lambda)}}\,\Biggr)^2 \lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
После замены переменных (45) убеждаемся с помощью теоремы Пикара, что функции (46) есть одновременно решения задач Коши
$$
\begin{equation*}
\widehat y''+\bigl(\widehat\lambda -\widehat q_{\widehat\lambda}(t)\bigr)\widehat y=0, \qquad \widehat y\bigl(t(0),\widehat\lambda\bigr)=y(0,\lambda)=1,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\widehat y'\bigl(t(0),\widehat\lambda\bigr) =\Biggl(1+\frac{1}{\pi\sqrt\lambda} \arcsin\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+h^2(\lambda)}}\,\Biggr)h(\lambda)
\end{equation}
\tag{48}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\widehat y''+\bigl(\widehat\lambda -\widehat q_{\widehat\lambda}(t)\bigl)\widehat y=0,\qquad \widehat y(0,\widehat\lambda) =y\Biggl(-\frac{1}{\sqrt\lambda}\arcsin\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+h^2(\lambda)}}\, \Biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\widehat y'(0,\widehat\lambda)=\sqrt{\lambda+h^2(\lambda)} \Biggl(1+\frac{1}{\pi\sqrt\lambda}\arcsin\sqrt{\frac{\lambda}{\lambda+h^2(\lambda)}}\, \Biggr)=\widehat h (\widehat\lambda).
\end{equation}
\tag{49}
$$
Кроме того, в силу (44) и (47) $\sqrt{\widehat\lambda}-1/2\leqslant\sqrt\lambda\leqslant\sqrt{\widehat\lambda}+1/2$, т. е. $\sqrt{\widehat\lambda}\simeq \sqrt\lambda$. Следовательно, соотношение (6) для задачи (49) сохраняется, так как из (44) и (47) получаем
$$
\begin{equation}
q_{\widehat\lambda}(0)=0 \quad\text{и}\quad V_0^\pi[\widehat q_{\widehat\lambda}]\leqslant \biggl(1+\frac{1}{2\sqrt\lambda}\biggr)^2 V_0^\pi[q_{\lambda}] = o\biggl(\frac{\sqrt{\lambda}}{\ln{\lambda}}\biggr) = o\Biggl(\frac{\sqrt{\widehat\lambda}}{\ln{\widehat\lambda}}\Biggr).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Согласно (46) при $t\in[0,\pi]$ и $x\in\bigl[-(1/\sqrt\lambda)\arcsin\sqrt{\lambda/(\lambda+h^2(\lambda))},\pi\bigr]$ имеем тождество
$$
\begin{equation}
s_{k,\lambda}(x)\equiv \frac{y(x,\lambda)}{y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})} \equiv \frac{\widehat y(t,\widehat\lambda)}{\widehat y'(t_{k,\widehat\lambda},\widehat\lambda) (t-t_{k,\widehat\lambda})}\equiv\widehat s_{k,\widehat\lambda}(t).
\end{equation}
\tag{51}
$$
Так как $\widehat s_{k,\widehat \lambda}(t)$ построены с помощью задачи Коши (49) вида (9), соотношение (36) доказано полностью. Перейдем к доказательству оценки (37) нормы оператора (15). Опять сначала рассуждения будем проводить в случае задачи Коши (9). В силу инвариантности оператора (13) относительно умножения функции $y(x,\lambda)$ на отличную от нуля константу без потери общности полагаем $h(\lambda)\equiv 1$. Возьмем произвольное $x\in [0,\pi]$. Пусть $k_0$ – номер ближайшего к $x$ узла (если таких узлов два, то в качестве $k_0$ выбираем номер любого из них). Из асимптотики нулей решений задачи Коши предложения 5 получаем оценку (38). Тогда норма функционала (будем рассматривать представление $\widetilde{AT}_\lambda$ в виде (13)), ставящего в соответствие каждой ограниченной на отрезке $[0,\pi]$ функции $f\in M[0,\pi]$ значение второй производной результата действия оператора (13) в точке $x\in [0,\pi]$, может быть оценена следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, AT_\lambda^{(2)}(x) &\leqslant 2\sum_{k=0}^n|s_{k,\lambda}''(x)| \nonumber \\ &=2\sum_{k=0}^{k_0-1}|s_{k,\lambda}''(x)| +2|s_{k_0,\lambda}''(x)| +2\sum_{k=k_0+1}^n|s_{k,\lambda}''(x)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
А норма оператора (15), ставящего в соответствие каждой ограниченной на отрезке $[0,\pi]$ функции $f\in M[0,\pi]$ непрерывную вторую производную значения оператора (13), действующего из $M[0,\pi]$ в $C[0,\pi]$, есть
$$
\begin{equation}
AT_\lambda^{(2)} = \max_{x\in[0,\pi]}AT_\lambda^{(2)}(x).
\end{equation}
\tag{53}
$$
Второе слагаемое в (52) оценивается с помощью формулы Лагранжа, леммы 1 и асимптотических формул предложения 5. Откуда следует существование констант $\lambda_1>0$ и $C_1$ таких, что для всех $\lambda>\lambda_1$ и $x\in [0,\pi]$ справедлива оценка
Отсюда и из (39) получаем оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, AT_\lambda^{(2)}(x) &\leqslant 2\sum_{k=0}^{k_0-1}\biggl| \frac{|y''(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})}\biggr| +2\sum_{k=k_0+1}^n\biggl| \frac{|y''(x,\lambda)|}{y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})}\biggr| \nonumber \\ &\qquad+4\sum_{k=0}^{k_0-1}\biggl| \frac{|y'(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})^2}\biggr| +4\sum_{k=k_0+1}^n\biggl| \frac{|y'(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})^2}\biggr| \nonumber \\ &\qquad+2\sum_{k=0}^{k_0-1}\biggl| \frac{|y(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})^3}\biggr| \nonumber \\ &\qquad+2\sum_{k=k_0+1}^n\biggl| \frac{|y(x,\lambda)|} {y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})^3}\biggr| +O\bigl({\sqrt{\lambda}}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
$$
Из асимптотических формул для нулей решения задач Коши предложения 5 для достаточно больших $\lambda$ будут выполняться соотношения (42). В силу (42), (54) и асимптотических формул предложения 5 найдется значение $\lambda_2\geqslant \lambda_1$ (выбор которого зависит только от скорости изменения радиусов шаров в (6), (8)) такое, что для всех $\lambda>\lambda_2$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, AT_\lambda^{(2)}(x) &\leqslant 2|y''(x,\lambda)| \mathop{{\sum}'}^n_{k=0} \biggl| \frac{1}{((-1)^k +o(1/\ln\lambda))(x-x_{k,\lambda})} \biggr| \\ &\qquad +4|y'(x,\lambda)| \mathop{{\sum}'}^n_{k=0} \biggl| \frac{1}{((-1)^k +o(1/\ln \lambda))(x-x_{k,\lambda})^2} \biggr| \\ &\qquad +2|y(x,\lambda)| \mathop{{\sum}'}^n_{k=0} \biggl| \frac{1}{((-1)^k +o(1/\ln\lambda))(x-x_{k,\lambda})^3} \biggr| +O\bigl(\sqrt\lambda\,\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим суммы следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &AT_\lambda^{(2)}(x)\leqslant 2|y''(x,\lambda)|\biggl(1 +\biggl|o\biggl(\frac{1}{\ln\lambda}\biggr)\biggr|\biggr) \frac{8\sqrt\lambda}{\pi} \biggl[\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\!\!\frac{dt}{x\,{-}\,t}\,{+}\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \!\frac{dt}{t\,{-}\,x} \biggr] \\ &\quad+4 |y'(x,\lambda)|\biggl(1 +\biggl|o\biggl(\frac{1}{\ln\lambda}\biggr)\biggr|\biggr) \frac{8\sqrt\lambda}{\pi}\biggl[\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\frac{dt}{(x-t)^2} +\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{(t-x)^2} \biggr] \\ &\quad+2 |y(x,\lambda)|\biggl(1 +\biggl|o\biggl(\frac{1}{\ln{\lambda}}\biggr)\biggr|\biggr) \frac{8\sqrt\lambda}{\pi}\biggl[\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\frac{dt}{(x-t)^3} +\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{(t-x)^3} \biggr] \\ &\quad +O\bigl({\sqrt{\lambda}}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При оценке учитываем то, что $\max_{x\in[0,\pi]}x(\pi-x)=\pi^2/4$, $x(\pi-x)> 0$ при $x\in [\pi/(4\sqrt\lambda),\,\pi-\pi/(4\sqrt\lambda)]$, и что при $x\in [0,\pi/(4\sqrt\lambda)]$ в силу выбора номера $k_0$ первый интеграл в полученной оценке исчезает, а при $x\in [\pi-\pi/(4\sqrt\lambda),\,\pi]$ нет второго интеграла. Таким образом, получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\frac{dt}{x-t}+\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{t-x} \\ &\qquad=-\ln(x-t)\big|_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}+\ln(t-x)\big|_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^{\pi} \\ &\qquad\leqslant\begin{cases} \ln(\lambda)+\ln{16} &\text{при } x\in \biggl[\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda},\,\pi-\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda}\biggr], \\ \dfrac{1}{2}\ln(\lambda)+\ln{8} &\text{при } x\in \biggl[0,\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda}\biggr] \cup \biggl[\pi-\dfrac{\pi}{4\sqrt\lambda},\,\pi\biggr]. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь оценим суммы интегралов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\frac{dt}{(x-t)^2}+\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{(t-x)^2} =\frac{16\sqrt{\lambda}}{\pi}-\frac{\pi}{x(\pi-x)}, \\ \int_0^{x-\pi/(8\sqrt\lambda)}\frac{dt}{(x-t)^3}+\int_{x+\pi/(8\sqrt\lambda)}^\pi \frac{dt}{(t-x)^3} \leqslant\frac{8^2{\lambda}}{\pi^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, с учетом асимптотических формул предложения 4 получаем равномерную по $x\in [0,\pi]$ оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, AT_\lambda^{(2)}(x) &\leqslant |y''(x,\lambda)|\biggl(1 +\biggl|o\biggl(\frac{1}{\ln{\lambda}}\biggr)\biggr| \biggr) \frac{16\sqrt\lambda}{\pi}[\ln(\lambda)+\ln{16}] \\ &\qquad+|y'(x,\lambda)|\biggl(1 +\biggl|o\biggl(\frac{1}{\ln{\lambda}}\biggr)\biggr|\biggr) \biggl[\frac{16\sqrt\lambda}{\pi} \biggr]^2 \\ &\qquad+ |y(x,\lambda)|\biggl(1 +\biggl|o\biggl(\frac{1}{\ln{\lambda}}\biggr)\biggr| \biggr) \frac{16\sqrt\lambda}{\pi}\biggl[\frac{8^2{\lambda}}{\pi^2} \biggr] +O\bigl({\sqrt{\lambda}}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка нормы оператора таким образом имеет вид
$$
\begin{equation*}
AT_\lambda^{(2)}\leqslant \frac{16\lambda}{\pi}\ln(\lambda) +O(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует существование $\lambda_0\geqslant \lambda_2$ настолько большого, что для всех $\lambda\,{>}\,\lambda_0$ верна оценка (37) в случае задачи Коши (9).
Справедливость оценки (37) при достаточно больших $\lambda$ для $s_{k,\lambda}$, $0\leqslant k\leqslant n$, построенных с помощью решений задачи Коши (7), устанавливается также как справедливость соотношения (36) для $s_{k,\lambda}$, $0\leqslant k\leqslant n$, построенных с помощью решений задачи Коши (7). Предложение 8 доказано полностью. 2.4. Исследование устойчивости смешанной краевой задачиЛемма 2. Смешанная задача (1)–(5) устойчива по Адамару, т. е. для любых положительных $T$ и $\varepsilon$ существует $\delta>0$ такое, что из неравенств следует соотношение Доказательство. Рассмотрим смешанную краевую задачу вида
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}_{tt} - u^{[\varphi]}_{xx}+ q(x)u^{[\varphi]}=0,
\end{equation}
\tag{55}
$$
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}(0,t)\cos \alpha +u^{[\varphi]}_{x}(0,t)\sin \alpha=0,
\end{equation}
\tag{56}
$$
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}(\pi,t)\cos \beta +u^{[\varphi]}_{x}(\pi,t)\sin \beta=0,
\end{equation}
\tag{57}
$$
Здесь $\varphi\in C[0,\pi]$. Продолжим функцию (58) с сохранением непрерывности на всю ось $x$. Определение ее вне отрезка $[0,\pi]$ осуществим позже согласно методу отражений или симметрии. Потенциал $q$ на всю ось $x$ продолжим сначала четным образом на $[-\pi,0]$, а затем периодически. Получим задачу Коши
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}_{tt} - u^{[\varphi]}_{xx}+ q(x)u^{[\varphi]}=0,
\end{equation}
\tag{60}
$$
Сделав замену переменных $u^{[\varphi]}(x,t)=\widetilde u (\xi,\eta)$, где $\xi=x-t$, $\eta=x+t$, $x=(\xi+\eta)/2$, $t=(\eta-\xi)/2$, перейдем к эквивалентной задаче Коши для второго канонического вида того же уравнения
$$
\begin{equation}
L[\widetilde u]=\widetilde{u}_{\xi\eta} - \frac{q((\xi+\eta)/2)}{4}\widetilde{u}=0,
\end{equation}
\tag{63}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde u\biggl(\frac{\xi+\eta}{2},0\biggr)=\varphi \biggl(\frac{\xi+\eta}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{64}
$$
$$
\begin{equation}
-\widetilde u_{\xi}\biggl(\frac{\xi+\eta}{2},0\biggr)+ \widetilde u_{\eta} \biggl(\frac{\xi+\eta}{2},0\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Задача Гурса для функции Римана $\widetilde{v}(\xi,\eta,\xi_0,\eta_0)$ нашего дифференциального выражения (63) выглядит так:
$$
\begin{equation*}
L^*[\widetilde{v}]=\widetilde{v}_{\xi\eta} - \frac{q((\xi+\eta)/2)}{4}\widetilde{v}=0,\qquad \widetilde{v}(\xi_0,\eta)=1, \qquad \widetilde{v}(\xi,\eta_0)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно методу Римана получаем решение задачи Коши (63)–(65)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{u}(\xi_0,\eta_0) &=\frac{\widetilde{u}(\xi_0,\xi_0)+\widetilde{u}(\eta_0,\eta_0)}{2} -\frac{1}{2}\int_{P(\xi_0,\xi_0)}^{Q(\eta_0,\eta_0)} \bigl(\widetilde{u}(\xi,\xi)\widetilde{v}_{\xi}(\xi,\xi) -\widetilde{v}(\xi,\xi)\widetilde{u}_{\xi}(\xi,\xi)\bigr)\,d\xi \\ &\qquad+\bigl(\widetilde{v}(\eta,\eta)\widetilde{u}_{\eta}(\eta,\eta) -\widetilde{u}(\eta,\eta)\widetilde{v}_{\eta}(\eta,\eta)\bigr)\,d\eta, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $P(\xi_0,\xi_0)$ и $Q(\eta_0,\eta_0)$ являются точками пересечения характеристик, проходящих через точку $(\xi_0,\eta_0)$, с прямой $\eta=\xi$.
Возвращаясь к произвольным переменным $x$, $t$ и обозначив переменные функции Римана $\theta$, $\tau$, $v(\theta,\tau,x,t)$, получаем интегральное представление решения задачи Коши (60)–(62)
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}(x,t)=\frac{\varphi (x-t)+\varphi (x+t)}{2}+\frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}\varphi (\theta)v_{\tau}(\theta,0,x,t) \,d\theta.
\end{equation}
\tag{66}
$$
Для исследования устойчивости смешанной краевой задачи получим интегральное представление ее решения методом отражений. Для этого сначала рассмотрим задачу на полуоси $x\geqslant 0$ вида
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}_{tt} - u^{[\varphi]}_{xx}+ q(x)u^{[\varphi]}=0,
\end{equation}
\tag{67}
$$
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}(0,t)\cos \alpha +u^{[\varphi]}_{x}(0,t)\sin \alpha=0,
\end{equation}
\tag{68}
$$
Обозначим при $\xi\geqslant 0$ функцию
$$
\begin{equation}
G(\xi)=\frac{\varphi (\xi)}{2}+\frac{1}{2}\int_0^{\xi}\varphi (\theta)v_{\tau}(\theta,0,x,t) \,d\theta.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Тогда согласно интегральному представлению (66) при $x\geqslant t$ имеем тождество
Сначала рассмотрим случай $\alpha \ne \pi k$, $k\in \mathbb Z$. В силу (72) при любых $t\geqslant 0$ и $x\geqslant 0$ имеем представление решения задачи (67)–(70)
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}(x,t)=\begin{cases} {\displaystyle \dfrac{\varphi(x+t)+\varphi(x-t)}{2} +\dfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}\varphi(\theta)v_{\tau}(\theta,0,x,t) \,d\theta} &\text{при } t\,{\leqslant}\, x, \\ {\displaystyle\dfrac{\varphi(x+t)+\varphi(t-x)}{2} +\dfrac{1}{2}\int_0^{x+t}\varphi(\theta)v_{\tau}(\theta,0,x,t) \,d\theta} \\ \ {\displaystyle+\int_0^{t-x} \frac{\varphi(\zeta)}{2}\bigl(v_{\tau}(\zeta,0,x,t)+2\operatorname{ctg} \alpha\bigr)e^{-\operatorname{ctg} \alpha (x-t+\zeta)}\,d\zeta} \\ \ {\displaystyle+\operatorname{ctg} \alpha\int_0^{t-x}\!\biggl(\int_0^{\zeta}\frac{\varphi(\theta)}{2} v_{\tau}(\theta,0,x,t) \,d\theta\biggr) e^{-\operatorname{ctg} \alpha (x-t+\zeta)}\,d\zeta} &\text{при } t\,{>}\,x. \end{cases}
\end{equation}
\tag{73}
$$
Если вместо полуоси взять отрезок $[0,\pi]$, то в предположении $\alpha \ne \pi k$, $k\in \mathbb Z$, $\beta \ne \pi m$, $m\in \mathbb Z$, для решения краевой задачи (55)–(59) при $0\leqslant t \leqslant \pi/2$ методом отражений получаем интегральное представление решения задачи на отрезке (55)–(59)
$$
\begin{equation}
u^{[\varphi]}(x,t)=\begin{cases} {\displaystyle\dfrac{\varphi(x+t)+\varphi(x-t)}{2} +\dfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}\varphi(\theta)v_{\tau}(\theta,0,x,t) \,d\theta} \\ \qquad \text{при } t\leqslant \dfrac{\pi}{2}-\biggl|x-\dfrac{\pi}{2}\biggr|,\, x\in[0,\pi], \\ {\displaystyle\dfrac{\varphi(x+t)+\varphi(t-x)}{2} +\dfrac{1}{2}\int_0^{x+t}\varphi(\theta)v_{\tau}(\theta,0,x,t) \,d\theta} \\ \ {\displaystyle+\int_0^{t-x} \dfrac{\varphi(\zeta)}{2}\bigl(v_{\tau}(\zeta,0,x,t)+2\operatorname{ctg} \alpha\bigr)e^{-\operatorname{ctg} \alpha (x-t+\zeta)}\,d\zeta} \\ \ {\displaystyle+\operatorname{ctg} \alpha\int_0^{t-x} \biggl(\int_0^{\zeta}\dfrac{\varphi(\theta)}{2}v_{\tau}(\theta,0,x,t) \,d\theta\biggr) e^{-\operatorname{ctg} \alpha (x-t+\zeta)}\,d\zeta} \\ \qquad\text{при } \dfrac{\pi}{2}\geqslant t > x\geqslant 0, \\ {\displaystyle\dfrac{\varphi(x-t)+\varphi(2\pi-t-x)}{2} -\dfrac{1}{2}\int_{\pi}^{2\pi-x-t}\varphi(\theta)v_{\tau}(\theta,0,\pi-x,t) \,d\theta} \\ \ {\displaystyle-\int_{\pi}^{2\pi-x-t} \dfrac{\varphi(\zeta)}{2}\bigl( v_{\tau}(\zeta,0,\pi-x,t)+2\operatorname{ctg} \beta\bigr)e^{-\operatorname{ctg} \beta (\pi-x-t+\zeta)}\,d\zeta} \\ \ {\displaystyle+\operatorname{ctg} \beta\int_{\pi}^{2\pi-x-t} \biggl(\int_0^{\zeta}\dfrac{\varphi(\theta)}{2}v_{\tau}(\theta,0,\pi\,{-}\,x,t) \,d\theta\biggr) e^{-\operatorname{ctg} \beta (\pi-x-t+\zeta)}\,d\zeta} \\ \qquad\text{при } \dfrac{\pi}{2}\geqslant t >\pi- x\geqslant 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{74}
$$
В силу непрерывности производной функции Римана $v_{\tau}$ по всем четырем переменным, сделав обозначение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M(q,\alpha,\beta) =1+\pi\|v_{\tau}(\,{\cdot}\,,0,\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)\|_{C_{[0,\pi]\times[0,\pi] \times [0,\pi/2]}} \\ &\quad+2\max(|{\operatorname{ctg} \alpha}|\,|{\operatorname{ctg} \beta}|)\exp\bigl(\max(|{\operatorname{ctg} \alpha}|\,|{\operatorname{ctg} \beta}|)\bigr) \\ &\quad+\frac{\pi^2}{2}\|v_{\tau}(\,{\cdot}\,,0,\,{\cdot}\,,{\cdot}\,)\|_{C_{[0,\pi]\times[0,\pi]\times [0,\pi/2]}}\max(|{\operatorname{ctg} \alpha}|\, |{\operatorname{ctg} \beta}|)\exp\bigl(\max(|{\operatorname{ctg} \alpha}|\, |{\operatorname{ctg} \beta}|)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
норму решения (74) краевой задачи (55)–(59) в пространстве Чебышёва $C_{[0,\pi]\times [0,\pi/2]}$ можно оценить следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\|u^{[\varphi]}\|_{C_{[0,\pi]\times [0,\pi/2]}}\leqslant M(q,\alpha,\beta)\|\varphi\|_{C_{[0,\pi]}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Организовав итерационный процесс с конечным числом членов, получаем оценку нормы решения краевой задачи (55)–(59) в пространстве Чебышёва $C_{[0,\pi]\times [0,T]}$:
$$
\begin{equation}
\|u^{[\varphi]}\|_{C_{[0,\pi]\times [0,T]}}\leqslant M^{[2T/\pi]+1}(q,\alpha,\beta) \|\varphi\|_{C_{[0,\pi]}}.
\end{equation}
\tag{75}
$$
Если же существует $k\in \mathbb Z$ такое, что $\alpha =\pi k$, то имеем соотношение Функцию $q$ продолжим на отрицательную часть отрезка $[0,\pi]$ четным образом. Тогда функция Римана будет четной относительно $x$. В этом случае на отрицательную часть оси функцию $\varphi(x)$ продолжаем нечетным образом. Аналогично рассуждаем в случае $\beta \ne \pi m$, $m\in \mathbb Z$. Утверждение леммы 2 установлено для смешанной краевой задачи вида (55)–(59).Непрерывная зависимость решения смешанной краевой задачи с уравнением гиперболического типа от начальных условий вида
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u^{[\varphi]}_{tt} - u^{[\varphi]}_{xx}+ q(x)u^{[\varphi]}=f_n(x,t), \\ u^{[\varphi]}(0,t)\cos \alpha +u^{[\varphi]}_{x}(0,t)\sin \alpha=0, \\ u^{[\varphi]}(x,0)=0, \\ u^{[\varphi]}_t(x,0)=\psi_n(x) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
следует из результатов, установленных в [2; § 33, п. 2, п. 5], [3; XXII, § 3], [1; гл. 2, § 19]. Лемма 2 доказана. § 3. Решение краевой задачиПредложение 9. Функции $AT_\lambda (f,x)+\eta (x,\lambda)+\widetilde\eta (x,\lambda)$ для любого положительного $\widetilde\varepsilon$ удовлетворяют соотношению Доказательство. Функция $\eta (x,\lambda)+\widetilde\eta (x,\lambda)$ дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $[0,\pi]$. При этом ее носитель удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{supp}(\eta+\widetilde\eta) &\subset \biggl[0,\frac{\pi}{|\mu|}-\frac{1}{|\mu|}\biggl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}} -\frac{\sqrt{2}}{3}\biggr)\biggr] \nonumber \\ &\qquad\cup \biggl[\pi-\frac{\pi}{|\widetilde{\mu}|} +\frac{1}{|\widetilde{\mu}|}\biggl(\arcsin{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\biggr),\pi\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{76}
$$
При $\lambda >\ln(4/\sqrt{3})$ в силу предложения 8 выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl[0,\frac{\pi}{|\mu|}-\frac{1}{|\mu|}\biggl(\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}} -\frac{\sqrt{2}}{3}\biggr)\biggr]\cap \biggl[\pi-\frac{\pi}{|\widetilde{\mu}|} +\frac{1}{|\widetilde{\mu}|}\biggl(\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\biggr),\pi\biggr]= \varnothing, \nonumber \\ \begin{split} &\|\eta+\widetilde\eta \|_{C\bigl[\sigma_1\bigl(\frac{\pi}{|\mu|} -\frac{1}{|\mu|}\bigl(\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{\sqrt{2}}{3}\bigr)\bigr),\, \pi-\widetilde\sigma_1\bigl(\frac{\pi}{|\mu|}+\frac{1}{|\mu|}\bigl(\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}} -\frac{\sqrt{2}}{3}\bigr)\bigr)\bigr]} \\ &\qquad \leqslant \max(\nu,\widetilde\nu) =O\bigl(e^{-\lambda}\sqrt{\lambda}\ln\lambda \bigr) \end{split} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{77}
$$
для произвольных граничных условий третьего рода. В случае же граничных условий первого рода на всем отрезке $[0,\pi]$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|\eta+\widetilde\eta \|_{C[0,\pi]} \leqslant \max(\nu,\widetilde\nu) =\operatorname{max}\bigl(|AT_\lambda (f,0)|,|AT_\lambda (f,\pi)|\bigr)O(1).
\end{equation}
\tag{78}
$$
Теперь утверждение предложения 9 следует из предложения 7. 3.1. Оценка коэффициентов Фурье $AT_\lambda(f,x)$ с помощью интегрирования по частямПредложение 10. Пусть $ \rho_\lambda \geqslant 0$, $\rho_\lambda =o(\sqrt \lambda/\ln\lambda)$, при $\lambda \to \infty, $ и $V_{\rho_\lambda}[0,\pi]$ – шар радиуса $\rho_\lambda $ в пространстве функций с ограниченным изменением, исчезающих в нуле (в случае задачи Коши (9) требуем еще выполнения условия $h(\lambda)\ne 0$). Пусть также $0<\epsilon<1$, $j(\lambda):=[\lambda^{1+2\epsilon/(1-\epsilon)}]+1$, функция $f$ является непрерывной на $x\in [0,\pi]$ и функция $q$ имеет ограниченную вариацию. Тогда для погрешности равномерной аппроксимации значениями операторов (25) справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl\|AT_\lambda (f,{\cdot}\,)+\eta(\cdot)-\widetilde\eta (\cdot)-\sum_{m=0}^{j(\lambda)} \widehat{AT}_{\lambda,m}[f,\eta]U_m(q,\alpha,\beta,{\cdot}\,)\biggr\|_{C[0,\pi]} \nonumber \\ &\qquad= \|f\|_{C[0,\pi]}\,\frac1{\epsilon}\, \lambda^{-\epsilon(1+2\epsilon/(1-\epsilon))} O(1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{79}
$$
Доказательство. Из асимптотических формул (32), (33) следует оценка
Сначала рассмотрим случай, когда левые краевые условия задачи Штурма–Лиувилля такие же, как в задаче Коши (7). В силу (32) с точностью до нормировки имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^{\pi}AT_\lambda(f,x)U_m(x)\,dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant\biggl|\int_0^{\pi}AT_\lambda(f,x)\biggl(\gamma (x,\lambda_m,h)\cos \sqrt{\lambda_m}\, x +\beta (x,\lambda_m,h)\frac{\sin \sqrt{\lambda_m}\, x}{\sqrt{\lambda_m}} \biggr)\,dx\biggr| \\ &\qquad\qquad+\biggl|\int_0^{\pi}AT_\lambda(f,x)\frac{\rho_{\lambda_m}(1+\pi \rho_{\lambda_m})} {2\lambda_m} \biggl(1+\frac{|h(\lambda_m)|}{\sqrt\lambda_m}\biggr)\,dx\biggr| \\ &\qquad=\sqrt{\gamma^2(x,\lambda_m,h)+\frac{\beta^2(x,\lambda_m,h)}{\lambda_m}} \\ &\qquad\qquad\times\biggl|\int_0^{\pi}AT_\lambda(f,x)\bigl(\sin{\phi_{\lambda_m}}\cos \sqrt{\lambda_m}\, x+\cos\phi_{\lambda_m}\sin \sqrt{\lambda_m}\,x \bigr)\,dx\biggr| \\ &\qquad\qquad\qquad +\|AT_\lambda(f,{\cdot}\,)\|_{C[0,\pi]}O\biggl(\frac{1}{\lambda_m}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\sin\phi_{\lambda_m}=\frac{\gamma (x,\lambda_m,h)}{\sqrt{\gamma^2(x,\lambda_m,h) +\beta^2(x,\lambda_m,h)/\lambda_m}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжим оценку, интегрируя по частям интеграл Стилтьеса (см. [35; гл. VIII, § 6, п. 5]):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^{\pi}AT_\lambda(f,x)U_m(x)\,dx\biggr| \\ &\qquad=\biggl|\int_0^{\pi}{AT_\lambda(f,x)}\sin\bigl(\phi_{\lambda_m}+ \sqrt{\lambda_m}\, x \bigr)\,dx\biggr|+\|AT_\lambda(f,{\cdot}\,)\|_{C[0,\pi]}O\biggl(\frac{1}{\lambda_m}\biggr) \\ &\qquad=\biggl|-AT_\lambda(f,x)\frac{\sin'(\phi_{\lambda_m}+ \sqrt{\lambda_m}\, x )}{\lambda_m}\bigg|_0^{\pi}+AT'_\lambda(f,x)\frac{\sin(\phi_{\lambda_m}+ \sqrt{\lambda_m}\, x )}{\lambda_m}\bigg|_0^{\pi} \\ &\qquad\qquad-\frac{1}{\lambda_m}\int_0^{\pi}AT''_\lambda(f,x)\sin\bigl(\phi_{\lambda_m}+ \sqrt{\lambda_m}\, x \bigr)\,dx\biggr| +\|AT_\lambda(f,{\cdot}\,)\|_{C[0,\pi]}O\biggl(\frac{1}{\lambda_m}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Опять воспользуемся асимптотическими формулами предложения 3 и вернемся к собственным функциям в первых двух слагаемых с подстановками
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^{\pi}AT_\lambda(f,x)U_m(x)\,dx\biggr| \\ &\qquad=\biggl|-AT_\lambda(f,x)\frac{U_m'(x)}{\lambda_m}\bigg|_0^{\pi} +AT'_\lambda(f,x)\frac{U_m(x)}{\lambda_m}\bigg|_0^{\pi}\biggr| \\ &\qquad\quad +\biggl|-\frac{1}{\lambda_m}\int_0^{\pi}AT''_\lambda(f,x)\sin\bigl(\phi_{\lambda_m}+ \sqrt{\lambda_m}\, x \bigr)\,dx\biggr| +\|AT_\lambda(f,{\cdot}\,)\|_{C[0,\pi]}O\biggl(\frac{1}{\lambda_m}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (37) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_0^{\pi}{AT_\lambda(f,x)}U_m(x)\,dx\biggr| &=\frac{(17\pi\lambda/\pi)\ln\lambda}{\lambda_m}\|f\|_{C[0,\pi]} +\|AT_\lambda(f,{\cdot}\,)\|_{C[0,\pi]}O\biggl(\frac{1}{\lambda_m}\biggr) \\ = \|f\|_{C[0,\pi]}\frac{\lambda \ln\lambda}{\lambda_m}O(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\eta (x,\lambda)+\widetilde\eta (x,\lambda)$ дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $[0,\pi]$. Учитывая (77), (78) и оценку $\operatorname{mes}(\operatorname{supp}(\eta+\widetilde\eta))=O(e^{-\lambda})$, аналогичными рассуждениями устанавливаем оценку
$$
\begin{equation}
\bigl| \widehat{AT}_{\lambda,m}[f,\eta]\bigr|= \|f\|_{C[0,\pi]}\frac{\lambda \ln\lambda}{\lambda_m}O(1).
\end{equation}
\tag{81}
$$
Теперь перейдем к оценке погрешности частичных сумм рядов Фурье для $AT_\lambda(f,{\cdot}\,)$. Хорошо известна асимптотика собственных значений задачи Штурма–Лиувилля (16)–(18) (см., например, [30; гл. 1, § 2, (2.12)]). Поэтому, если мы будем для каждого $\lambda>0$ брать номер собственного значения, удовлетворяющий соотношению
$$
\begin{equation*}
\frac{\lambda \ln\lambda}{\lambda_m}\cong \frac{\lambda \ln\lambda}{m^2}\leqslant m^{-1-\epsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
при некотором $0<\epsilon<1$, то погрешность аппроксимации каждой функции $AT_\lambda(f,{\cdot}\,)$ будет равномерно мажорироваться с помощью остатка сходящегося числового ряда $\sum_{m=1}^{\infty}m^{-1-\epsilon}$. Далее, продолжаем оценку для достаточно больших $\lambda$ и $0<\epsilon<1$.
Возьмем где $\varepsilon:=2\epsilon/(1-\epsilon)>0$. В этом случае в силу (81), (80) найдется $\lambda_0>0$ такое, что для всех $\lambda>\lambda_0$ справедлива оценка (79). Аналогично рассматривается случай левых краевых условий, как в задаче Коши (9). Предложение 10 доказано.3.2. Доказательства основных результатов Доказательство теоремы 1. Выберем и зафиксируем некоторое $\varepsilon>0$. Определим $j(\lambda)$, как в (27). В силу предложений 9 и 10 представим для любых $t\in [0,T]$ следующие функции с помощью оператора (25):
$$
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to \infty}\mathbb{AT}_{\lambda,j(\lambda)} (f(\,{\cdot}\,,t),x) =\lim_{\lambda \to \infty}\sum_{m=0}^{j(\lambda)} \widehat{AT}_{\lambda,m} [f(\,{\cdot}\,,t),\eta]U_m(q,\alpha,\beta,x)=f(x,t),
\end{equation}
\tag{82}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to \infty}\mathbb{AT}_{\lambda,j(\lambda)} (\varphi,x) =\lim_{\lambda \to \infty}\sum_{m=0}^{j(\lambda)} \widehat{AT}_{\lambda,m} [\varphi,\eta]U_m(q,\alpha,\beta,x)=\varphi(x),
\end{equation}
\tag{83}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to \infty}\mathbb{AT}_{\lambda,j(\lambda)} (\psi,x) =\lim_{\lambda \to \infty}\sum_{m=0}^{j(\lambda)} \widehat{AT}_{\lambda,m}[\psi,\eta] U_m(q,\alpha,\beta,x)=\psi(x).
\end{equation}
\tag{84}
$$
Рассмотрим семейство смешанных задач, зависящих от параметра $\lambda $, вида
$$
\begin{equation}
u_{\lambda tt} - u_{\lambda xx}+ q(x)u_{\lambda}=\mathbb{AT}_{\lambda,j(\lambda)} (f(\,{\cdot}\,,t),x),
\end{equation}
\tag{85}
$$
$$
\begin{equation}
u_{\lambda}(0,t)\cos \alpha +u_{\lambda x}(0,t)\sin \alpha=0,
\end{equation}
\tag{86}
$$
$$
\begin{equation}
u_{\lambda}(\pi,t)\cos \beta +u_{\lambda x}(\pi,t)\sin \beta=0,
\end{equation}
\tag{87}
$$
Функции (88), (89) и правая часть уравнения (85) имеют абсолютно непрерывную производную по $x$. Каждая задача (85)–(89) имеет единственное классическое решение, допускающее после удовлетворения начальным условиям согласно методу разделения переменных разложение в равномерно сходящийся на прямоугольнике $[0,\pi]\times[0,T]$ ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля (16)–(18), который в случае $j(\lambda) < \infty$ превращается в конечную сумму:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{\lambda}(x,t) &=\sum_{m=0}^{j(\lambda)} \biggl( \widehat{AT}_{\lambda,m}[\varphi,\eta] \cos\Bigl(\sqrt{\widehat{\lambda}_m}t\Bigr) + \frac{\widehat{AT}_{\lambda,m}[\psi,\eta]} {\sqrt{\widehat{\lambda}_m}}\sin\Bigl(\sqrt{\widehat{\lambda}_m}t\Bigr) \nonumber \\ &\qquad+\int_0^t\frac{\sin\sqrt{\widehat{\lambda}_m}(t-\tau)}{\sqrt{\widehat{\lambda}_m}} \widehat{AT}_{\lambda,m}[f(\,{\cdot}\,,\tau),\eta]\,d\tau \biggr)U_m(q,\alpha,\beta,x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{90}
$$
В силу (76)–(78) мера носителя ограниченной функции $\eta+\widetilde\eta$ убывает как $O(e^{-\lambda})$. Значит каждое слагаемое
$$
\begin{equation*}
\int_0^t\frac{\sin\sqrt{\widehat{\lambda}_m}(t-\tau)}{\sqrt{\widehat{\lambda}_m}} \widehat{AT}_{\lambda,m}[f(\,{\cdot}\,,\tau),\eta]\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
в коэффициенте функции $U_m(q,\alpha,\beta,x)$ обладает свойством
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\frac{\sin\sqrt{\widehat{\lambda}_m}(t-\tau)}{\sqrt{\widehat{\lambda}_m}} \widehat{AT}_{\lambda,m}[f(\,{\cdot}\,,\tau)]\,d\tau \\ &\qquad -\int_0^t\frac{\sin\sqrt{\widehat{\lambda}_m}(t-\tau)}{\sqrt{\widehat{\lambda}_m}} \widehat{AT}_{\lambda,m}[f(\,{\cdot}\,,\tau),\eta]\,d\tau=O(e^{-\lambda}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
И в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда влияние “исправления” краевых условий $\eta (x,\lambda)+\widetilde\eta (x,\lambda)$ для правой части уравнения (1) в третьем слагаемом (90) можно оценить как $O(e^{-\lambda/2})$. Поэтому в силу (21), (22), (76)–(78), предложений 9, 10 и леммы 2 получаем равномерную на прямоугольнике $[\sigma_1\widetilde\varepsilon,\, \pi-\widetilde\sigma_1\widetilde\varepsilon\,]\times[0,T]$ сходимость решений задач (85)–(89) к решению смешанной краевой задачи (1)–(5) Другими словами, любая подпоследовательность $u_{\lambda_n}(x,t)$, $\lambda_n \nearrow \infty$ при $n\to\infty$ принадлежит классу эквивалентных последовательностей, представляющему собой согласно определению 2 обобщенную функцию, являющуюся обобщенным решением смешанной краевой задачи (1)–(5). Теорема 1 доказана. Доказательство предложения 1. В окрестности любого из нулей $x_{k,\lambda}$, определенных соотношением (10), с помощью формулы Лагранжа получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &s_{k,\lambda}'(x) =\frac{U'_n(x_{k,\lambda})(x-x_{k,\lambda}) +U''_n(x_{k,\lambda})(x-x_{k,\lambda})^2+o((x-x_{k,\lambda})^2)}{(x-x_{k,\lambda})^2} \\ &-\frac{U_n(x_{k,\lambda})\,{+}\,U'_n(x_{k,\lambda})(x\,{-}\,x_{k,\lambda})\,{+}\,(U''_n(x_{k,\lambda})/2) (x\,{-}\,x_{k,\lambda})^2{+}\,o((x\,{-}\,x_{k,\lambda})^2)}{(x\,{-}\,x_{k,\lambda})^2}=o(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем нормированную собственную функцию $U_m$ задачи Штурма–Лиувилля (16)–(18), умножим ее на тождество (34), а тождество (16) на функцию $s_{k,\lambda}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s_{k,\lambda}''(x)U_m(x) + \frac{2}{(x-x_{k,\lambda})}s_{k,\lambda}'(x)U_m(x) + (\lambda -q(x))s_{k,\lambda}(x)U_m(x)\equiv 0, \\ s_{k,\lambda}(x)U_m''(x) + (\lambda_m - q(x))s_{k,\lambda}(x)U_m(x)\equiv 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычтем из первого тождества второе
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(s_{k,\lambda}'(x)U_m(x)- s_{k,\lambda}(x)U_m'(x)\bigr)'+ \frac{2}{(x-x_{k,\lambda})}s_{k,\lambda}'(x)U_m(x) \\ &\qquad + (\lambda -\lambda_m)s_{k,\lambda}(x)U_m(x)\equiv 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Понимая все несобственные интегралы в смысле главного значения по Коши, проинтегрируем полученное тождество по $x$ в пределах от $0$ до $\pi$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(s_{k,\lambda}'(\pi)U_m(\pi)- s_{k,\lambda}(\pi)U_m'(\pi)\bigr) -\bigl(s_{k,\lambda}'(0)U_m(0)- s_{k,\lambda}(0)U_m'(0)\bigr) \\ &\qquad+\int_0^\pi \frac{2}{(x-x_{k,\lambda})}s_{k,\lambda}'(x)U_m(x)\, dx + (\lambda -\lambda_m) \int_0^\pi s_{k,\lambda}(x)U_m(x)\, dx= 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем (29). Предложение 1 доказано. Доказательство предложения 2. Определим функцию
$$
\begin{equation}
\Phi_{k,\lambda,m}(x):=\int_{x_{k,\lambda}}^x s_{k,\lambda}(\xi)U_m(\xi)\, d\xi.
\end{equation}
\tag{91}
$$
В окрестности любого из нулей $x_{k,\lambda}$, определенных соотношением (10), в случае непрерывно дифференцируемого потенциала $q_{\lambda}$, в формуле Тейлора используем остаточный член в форме Лагранжа и получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_{k,\lambda}'(x) &=\frac1{(x-x_{k,\lambda})^2}\biggl(y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda}) +y''(x_{k,\lambda},\lambda)(x-x_{k,\lambda})^2 \\ &\ \ +\frac{y'''(\xi_{k,\lambda},\lambda)}3(x-x_{k,\lambda})^3\biggr) \,{-}\,\frac1{(x-x_{k,\lambda})^2}\biggl(y(x_{k,\lambda},\lambda) \,{+}\,y'(x_{k,\lambda},\lambda)(x\,{-}\,x_{k,\lambda}) \\ &\ \ +\frac{y''(x_{k,\lambda},\lambda)}2(x-x_{k,\lambda})^2 +\frac{y'''(\xi^*_{k,\lambda},\lambda)}3(x-x_{k,\lambda})^3\biggr) \\ &=O(x-x_{k,\lambda}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая этот факт, подстановкой убеждаемся, что функция (91) удовлетворяет условиям задачи Коши (30). Отсюда получаем представление (31). Предложение 2 доказано. § 4. Результат численного экспериментаХорошо известно (см., например, [36]–[39]), что ряды Фурье на классе непрерывных функций могут расходиться. В случае, когда непрерывные начальные условия или неоднородность уравнения смешанной краевой задачи не допускают представления своими рядами Фурье, применение методов разделения переменных невозможно в принципе. Для реализации численного эксперимента используем классический пример расходящегося в точке ряда Фурье, построенный методом скользящего горба в виде лакунарного ряда. Такой ряд обладает свойством, что каждое его слагаемое имеет гармонику ряда Фурье, принимающую значение в точке расходимости, растущее вместе с номером гармоники. В то время как остальные гармоники с меньшими и большими номерами остаются ограниченными. Рис. 1 демонстрирует возможность предлагаемого метода справляться с помехами в начальных условиях, исключающих возможность применения метода Фурье в принципе. Начальные условия при $t=0$ в примере численного эксперимента (их график на рис. 1 изображен пунктиром) подобраны в виде описанной ранее гармоники метода скользящего горба. На рисунке видно, что соответствующие частичные суммы решений ведут себя по разному. График приближения решения при $t=2$ с помощью классических сумм Фурье изображен синим цветом (2), а график частичной суммы того же порядка решения (28), полученного с помощью значений операторов (25), – красным (3). Поэтому при реализации метода скользящего горба в пределе получим неограниченно разошедшийся ряд классического решения и точное обобщенное решение (28) для начальных условий с учетом шума. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Try23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|