| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях) Теоретико-операторный подход к усреднению уравнений типа Шрёдингера с периодическими коэффициентами Т. А. Суслина Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10143e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеРабота относится к теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов. Задачам гомогенизации посвящена обширная литература; в первую очередь, укажем монографии [1]–[3]. Один из методов изучения задач усреднения в Rd – это спектральный метод, основанный на масштабном преобразовании и теории Флоке–Блоха (см., например, [1; гл. 4], [3; гл. 2], [4], [5], [6]). 0.1. Класс операторовМы рассматриваем самосопряженные дифференциальные операторы второго порядка, действующие в пространстве L2(Rd;Cn) и допускающие факторизацию вида Здесь b(D)=d∑l=1blDl – (m×n)-матричный дифференциальный оператор первого порядка, причем m⩾n и символ b(\boldsymbol{\xi})=\displaystyle\sum_{l=1}^d b_l \xi_l – матрица максимального ранга. Матрицы-функции g({\mathbf x}) (размера m\times m) и f({\mathbf x}) (размера n\times n) периодичны относительно некоторой решетки \Gamma; g({\mathbf x}) положительно определена и ограничена; f,f^{-1} \in L_\infty. Удобно сначала изучать более простой класс операторов вида
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{A}}=b({\mathbf D})^* g({\mathbf x})b({\mathbf D}).
\end{equation}
\tag{0.2}
Многие операторы математической физики допускают запись в виде (0.1) или (0.2); см. [7] и [8; гл. 4]. Простейший пример – это оператор акустики
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{A}}= -\operatorname{div} g({\mathbf x})\nabla= {\mathbf D}^* g({\mathbf x}){\mathbf D}.
\end{equation*}
\notag
Введем теперь малый параметр \varepsilon>0 и для всякой \Gamma-периодической функции \varphi({\mathbf x}) положим \varphi^\varepsilon({\mathbf x}):=\varphi(\varepsilon^{-1}{\mathbf x}). Рассмотрим операторы
\begin{equation}
\mathcal{A}_\varepsilon =f^\varepsilon({\mathbf x})^* b({\mathbf D})^* g^\varepsilon({\mathbf x})b({\mathbf D}) f^\varepsilon({\mathbf x}),
\end{equation}
\tag{0.3}
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon =b({\mathbf D})^* g^\varepsilon({\mathbf x})b({\mathbf D}).
\end{equation}
\tag{0.4}
0.2. Операторные оценки погрешности для эллиптических и параболических уравнений второго порядка в \mathbb{R}^dВ цикле статей [7]–[10] М. Ш. Бирмана и Т. А. Суслиной был предложен и развит теоретико-операторный подход к задачам гомогенизации в \mathbb{R}^d (вариант спектрального метода). Этот подход основан на масштабном преобразовании, теории Флоке–Блоха и аналитической теории возмущений. Обсудим результаты для более простого оператора (0.4). В работе [7] была установлена оценка
\begin{equation}
\| (\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon +I)^{-1}- (\widehat{\mathcal{A}}^{\,0} +I)^{-1}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C \varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.5}
Здесь \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}=b({\mathbf D})^* g^0 b({\mathbf D}) – эффективный оператор с постоянной эффективной матрицей g^0. Аппроксимации резольвенты (\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon +I)^{-1} по (L_2 \to L_2)-норме с погрешностью O(\varepsilon^2) и по (L_2 \to H^1)-норме с погрешностью O(\varepsilon) (при учете корректоров) были получены в [8], [9] и в [10] соответственно. К усреднению параболических задач теоретико-операторный подход применялся в [11]–[16]. В работах [11], [12] была установлена оценка
\begin{equation}
\|e^{-\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-\tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon(\tau+\varepsilon^2)^{-1/2},\qquad \tau >0.
\end{equation}
\tag{0.6}
Аппроксимации полугруппы e^{-\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} по (L_2 \to L_2)-норме с погрешностью O(\varepsilon^2) и по (L_2 \to H^1)-норме с погрешностью O(\varepsilon) (при учете корректоров) были получены в [13] и [14] соответственно. Еще более точные аппроксимации резольвенты и полугруппы оператора \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon были найдены в [15], [16]. Теоретико-операторный подход применялся также к более общему классу операторов \widehat{\mathcal B}_\varepsilon со старшей частью \widehat{\mathcal A}_\varepsilon и младшими членами: резольвента такого оператора изучалась в [17], [18], а полугруппа – в [19], [20]. Оценки вида (0.5), (0.6) называют операторными оценками погрешности в теории усреднения. Они точны по порядку. Другой подход к операторным оценкам погрешности (так называемый метод сдвига) был предложен В. В. Жиковым и С. Е. Пастуховой; см. [21]–[23], а также обзор [24] и цитированную там литературу. 0.3. Операторные оценки погрешности для уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типаСитуация с усреднением нестационарных уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типа отличается от случая эллиптических и параболических задач. Теоретико-операторный подход применялся к нестационарным задачам в [25]. Остановимся снова на результатах для более простого оператора (0.4). В операторных терминах речь идет об аппроксимациях операторов e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} и \cos(\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,1/2}) (где \tau \in \mathbb{R}) при малом \varepsilon. Оказалось, что невозможно аппроксимировать эти операторы по (L_2 \to L_2)-норме, а потому тип операторной нормы пришлось изменить. В [25] были установлены оценки
\begin{equation}
\| e^{- i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} \|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+|\tau|)\varepsilon,
\end{equation}
\tag{0.7}
\begin{equation}
\bigl\| \cos(\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,1/2})- \cos (\tau(\widehat{\mathcal{A}}^{\,0})^{1/2})\bigr\|_{H^2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.8}
Для оператора \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{-1/2} \sin(\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,1/2}) аналогичный результат был получен в работах Ю. М. Мешковой [26], [27]:
\begin{equation}
\bigl\| \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,-1/2} \sin(\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,1/2})- (\widehat{\mathcal{A}}^{\,0})^{\,-1/2} \sin(\tau(\widehat{\mathcal{A}}^{\,0})^{1/2})\bigr\|_{H^1(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+|\tau|)\varepsilon,
\end{equation}
\tag{0.9}
вместе с аппроксимацией по “энергетической” норме:
\begin{equation}
\bigl\| \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{-1/2} \sin(\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,1/2})- (\widehat{\mathcal{A}}^{\,0})^{-1/2} \sin(\tau(\widehat{\mathcal{A}}^{\,0})^{1/2})- \varepsilon K(\tau,\varepsilon)\bigr\|_{H^2(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)}\! \leqslant C (1+|\tau|)\varepsilon,
\end{equation}
\tag{0.10}
где K(\tau,\varepsilon) – подходящий корректор. В рукописи [28] была найдена аппроксимация оператора \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{-1/2} \sin(\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,1/2}) по (H^3 \to L_2)-норме при учете корректора с погрешностью O(\varepsilon^2). Результаты с корректорами в [26]–[28] удалось получить за счет присутствия “сглаживающего” множителя \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{-1/2} в приближаемом операторе. Для операторов e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} и \cos(\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,1/2}) аналогов таких результатов ранее известно не было. Поясним метод на примере вывода оценки (0.7). Обозначим \mathcal{H}_0:=-\Delta. Ясно, что оценка (0.7) эквивалентна неравенству
\begin{equation}
\|(e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}) ({\mathcal H}_0 +I)^{-3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.11}
За счет масштабного преобразования неравенство (0.11) равносильно оценке
\begin{equation}
\|(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau \widehat{\mathcal{A}}}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}})\varepsilon^3 ({\mathcal H}_0+\varepsilon^2 I)^{-3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.12}
Далее, с помощью унитарного преобразования Гельфанда оператор \widehat{\mathcal{A}} раскладывается в прямой интеграл по операторам \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf k), действующим в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) (где \Omega – ячейка решетки \Gamma) и задаваемым выражением b({\mathbf D}+\mathbf k)^* g({\mathbf x}) b({\mathbf D}+\mathbf k) с периодическими граничными условиями. Операторы \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf k) имеют дискретный спектр. Семейство операторов \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf k) изучается методами аналитической теории возмущений (относительно одномерного параметра t=|\mathbf k|). Для операторов \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf k) удается получить аналог неравенства (0.12) с постоянной, не зависящей от \mathbf k. Это приводит к оценке (0.12). Дальнейшему исследованию операторной экспоненты посвящены работы [29] и [30]. В [29] было показано, что оценка (0.7) точна относительно типа операторной нормы: указаны условия на оператор, при которых оценка
\begin{equation*}
\|e^{- i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s \to L_2} \leqslant C(\tau) \varepsilon
\end{equation*}
\notag
неверна, если s<3. В работе [30] установлено, что оценка (0.7) точна и относительно зависимости от \tau (при большом |\tau|): множитель (1+|\tau|) в правой части оценки нельзя заменить на (1+|\tau|)^{\alpha}, где \alpha<1. С другой стороны, в [29] были выделены дополнительные условия на оператор, при которых результат допускает усиление по типу операторной нормы: H^3 можно заменить на H^2. А в [30] было выяснено, что при тех же условиях возможно усиление и в другом смысле: множитель (1+|\tau|) можно заменить на (1+|\tau|)^{1/2}. В итоге при дополнительных условиях (которые автоматически выполнены для оператора акустики) была доказана оценка
\begin{equation*}
\| e^{- i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C (1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Гиперболические задачи изучались в статьях [31], [32]. Было показано, что оценки (0.8)–(0.10) точны как относительно типа операторной нормы, так и относительно зависимости от \tau, а при дополнительных условиях эти результаты допускают усиление и в том, и в другом смысле. Нестационарные задачи изучались и для более общего класса операторов \widehat{\mathcal B}_\varepsilon (с младшими членами): в [33] исследована экспонента e^{-i \tau \widehat{\mathcal{B}}_\varepsilon}, а в [28] и [34] – гиперболические задачи. При этом в [34] предложен другой подход к изучению гиперболических задач, связанный с модификацией теоремы Троттера–Като. 0.4. Развитие операторных оценок в теории усредненияОбсудим кратко другие направления развития операторных оценок погрешности в задачах теории усреднения. С помощью теоретико-операторного подхода были получены операторные оценки при усреднении стационарной и нестационарной системы Максвелла в \mathbb{R}^3 (см. [35]–[37]). Недавно этот подход был адаптирован и к изучению усреднения нелокальных операторов типа свертки [38]. (Подобные операторы возникают в моделях математической биологии и популяционной динамики и активно изучаются в последнее время; см., например, [39]–[41].) Операторные оценки изучались для эллиптических операторов высокого четного порядка в \mathbb{R}^d. Теоретико-операторный подход применялся к матричным операторам высокого порядка в работах [42]–[46]. Также этот подход применялся к усреднению параболических уравнений высокого порядка в [47]. Усреднение уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типа с оператором высокого порядка изучалось в [48] и [49]. Метод сдвига применялся к усреднению операторов высокого порядка в работах С. Е. Пастуховой; см. [50]–[54] и цитированную там литературу. Операторные оценки изучались не только для задачи об усреднении эллиптического оператора {\mathcal A}_\varepsilon в \mathbb{R}^d, но и для краевых задач в ограниченной области. В [22] для операторов второго порядка при условиях Дирихле или Неймана были установлены операторные оценки погрешности порядка O(\varepsilon^{1/2}) по (L_2 \to L_2)- и (L_2 \to H^1)-нормам; оценки ухудшаются из-за влияния границы области. Близкие результаты были получены Ж. Гризо [55], [56] с помощью анфолдинг-метода для скалярного эллиптического оператора в ограниченной области при условиях Дирихле или Неймана; в [56] впервые была доказана точная по порядку оценка погрешности (порядка O(\varepsilon)) при аппроксимации резольвенты по операторной норме в L_2. Аналогичные результаты для эллиптических систем были независимо получены в работах [57] и [58]–[60]. Дальнейшие результаты получены в [61]–[65]; см. также монографию Жонгвея Шена [66] и цитированную там литературу. Операторные оценки при усреднении начально-краевых задач для параболических уравнений изучались в работах [67]–[69]. Для стационарной системы Максвелла в ограниченной области при краевых условиях идеальной проводимости такие оценки найдены в [70], [71], а для операторов высокого порядка в ограниченной области – в работах [72]–[75]. В последние годы операторные оценки погрешности в различных задачах гомогенизации для дифференциальных операторов привлекают внимание все большего числа исследователей; получено много содержательных результатов. Такие оценки изучались для системы Стокса [76], для операторов с локально периодическими и многомасштабными коэффициентами [77]–[87], в задачах с высоким контрастом [88], [89], в задачах с быстро осциллирующей границей или с частой сменой типа граничных условий [90]–[93]. Много работ посвящено операторным оценкам в задачах с перфорацией; см. [94] и [95], где применялся спектральный подход, а также [96]–[104]. Здесь мы не касаемся результатов по операторным оценкам для нелинейных уравнений, уравнений с почти периодическими или случайными коэффициентами и не претендуем на полноту обзора. 0.5. Основные результатыВ настоящей работе мы даем обзор известных результатов об операторных оценках при усреднении уравнений типа Шрёдингера, а также получаем новые результаты о поведении операторной экспоненты e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} при малом \varepsilon. Нас интересует, возможно ли при фиксированном \tau за счет учета корректоров найти аппроксимации экспоненты e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} по (H^s \to L_2)-норме (при подходящем s) с погрешностью O(\varepsilon^2) и по (H^s \to H^1)-норме с погрешностью O(\varepsilon). Построить такие приближения для самой экспоненты e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} не удается. Вместо этого мы находим такие аппроксимации для “подправленной” экспоненты – композиции операторов e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} и I+\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon. Здесь \Lambda({\mathbf x}) – периодическое решение задачи на ячейке (см. (6.8)), а \Pi_\varepsilon – вспомогательный сглаживающий оператор. Наши основные новые результаты – оценки вида
\begin{equation}
\bigl\| e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} (I+\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon)- e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}- \varepsilon {\mathcal K}(\varepsilon) \bigr\|_{H^6(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+ |\tau|)^2 \varepsilon^2,
\end{equation}
\tag{0.13}
\begin{equation}
\bigl\| e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} (I+\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon)- e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}- \varepsilon{\mathcal K}_1(\varepsilon)\bigr\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+ |\tau|) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.14}
Здесь {\mathcal K}(\varepsilon) и {\mathcal K}_1(\varepsilon) – подходящие корректоры; они содержат быстро осциллирующий коэффициент \Lambda^\varepsilon, а потому зависят от \varepsilon. Эффективный оператор и корректоры описываются в терминах спектральных характеристик оператора \widehat{\mathcal{A}} на краю спектра. Приблизить саму экспоненту e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} с требуемой точностью в тех же терминах не представляется возможным; причина в “проблемном” члене e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon, который нельзя приблизить в пороговых терминах; см. обсуждение в п. 14.6. С одной стороны, мы подтверждаем точность оценок (0.13), (0.14): выделено условие на оператор, при котором эти оценки нельзя улучшить ни в отношении типа операторной нормы, ни в отношении зависимости от \tau. Это условие формулируется в спектральных терминах. Рассмотрим операторное семейство \widehat{\mathcal A}(\mathbf k) и положим \mathbf k=t \boldsymbol{\theta}, t=|\mathbf k|, \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Это семейство аналитично по параметру t. При t=0 число \lambda_0=0 является n-кратным собственным значением “невозмущенного” оператора \widehat{\mathcal A}(0). Тогда при малом t существуют вещественно аналитические ветви собственных значений \lambda_l(t,\boldsymbol{\theta}) (l=1,\dots,n) оператора \widehat{\mathcal A}(\mathbf k). При малом t справедливы сходящиеся степенные разложения
\begin{equation*}
\lambda_l(t,\boldsymbol{\theta})=\gamma_l(\boldsymbol{\theta}) t^2+ \mu_l(\boldsymbol{\theta})t^3+\nu_l(\boldsymbol{\theta})t^4+\cdots,\qquad l=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
где \gamma_l(\boldsymbol{\theta}) >0 и \mu_l(\boldsymbol{\theta}),\nu_l(\boldsymbol{\theta}) \in \mathbb{R}. Условие, при котором оценки (0.13), (0.14) нельзя усилить, состоит в том, что \mu_l(\boldsymbol{\theta}_0)\ne 0 при некоторых l и \boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}. С другой стороны, при некоторых дополнительных предположениях мы усиливаем результаты и получаем оценки
\begin{equation}
\bigl\| e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} (I+\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon)-e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} -\varepsilon {\mathcal K}(\varepsilon)\bigr\|_{H^{4}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+|\tau|) \varepsilon^2,
\end{equation}
\tag{0.15}
\begin{equation}
\bigl\| e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} (I+\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon)- e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}-\varepsilon {\mathcal K}_1 (\varepsilon) \bigr\|_{H^{3}(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (1+ |\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{0.16}
При n=1 достаточное условие, которое гарантирует справедливость оценок (0.15), (0.16), состоит в том, что \mu_1(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. В частности, это условие выполнено для оператора \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon={\mathbf D}^* g^\varepsilon({\mathbf x}){\mathbf D}, если g({\mathbf x}) – симметричная матрица с вещественными элементами. При n\geqslant 2, чтобы обеспечить (0.15), (0.16), помимо условия равенства нулю всех коэффициентов \mu_l(\boldsymbol{\theta}) мы налагаем еще одно условие в терминах коэффициентов \gamma_l(\boldsymbol{\theta}). Простейший вариант этого условия состоит в том, что различные ветви \gamma_l(\boldsymbol{\theta}) не пересекаются друг с другом. Далее, мы показываем, что оценки (0.15), (0.16) тоже точны: в случае, когда все коэффициенты \mu_l(\boldsymbol{\theta}) равны нулю, но \nu_j(\boldsymbol{\theta}_0) \ne 0 (при некоторых j и \boldsymbol{\theta}_0), оценки (0.15), (0.16) нельзя улучшить ни относительно типа нормы, ни относительно зависимости от \tau. С помощью интерполяции мы получаем также оценки в (H^s \to L_2)- либо (H^s \to H^1)-норме. Например, (H^s \to L_2)-норма оператора из (0.13) оценивается через O((1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3}) при 3\leqslant s \leqslant 6. А в случае усиления (H^s \to L_2)-норма этого оператора есть O((1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2}) при 2\leqslant s \leqslant 4. Ясно, что полученные результаты дают квалифицированные оценки погрешности при малом \varepsilon и большом \tau: в общей ситуации можно рассматривать \tau =O(\varepsilon^{-\alpha}) при 0<\alpha<1, а в случае усиления можно рассматривать \tau=O(\varepsilon^{-\alpha}) при 0<\alpha<2. Для более общего оператора (0.3) аналоги результатов, описанных выше, получены для “окаймленной” операторной экспоненты f^\varepsilon e^{-i\tau{\mathcal{A}}_\varepsilon}(f^\varepsilon)^{-1}. Результаты, сформулированные в операторных терминах, применяются затем к усреднению решений задачи Коши для уравнений типа Шрёдингера с начальными данными из специального класса. В частности, рассмотрены нестационарное уравнение Шрёдингера и двумерное уравнение Паули с сингулярными быстро осциллирующими потенциалами. Отметим, что ситуация, когда асимптотику (по какому-либо параметру) решений задачи Коши для нестационарных уравнений типа Шрёдингера или гиперболического типа удается найти не для всех начальных данных, а лишь для начальных данных из какого-то выделенного класса, не является редкой; см., например, [105]–[107]. Аналогичные результаты получены М. А. Дородным и автором в задаче усреднения гиперболических уравнений; краткое сообщение опубликовано в [108], подробная статья готовится к печати. 0.6. МетодРезультаты получены с помощью дальнейшего развития теоретико-операторного подхода. Мы следуем плану, намеченному выше в п. 0.3. В основе рассмотрений лежит абстрактная теоретико-операторная схема. Изучается семейство операторов A(t)=X(t)^*X(t), t \in \mathbb{R}, в некотором гильбертовом пространстве {\mathfrak H}. Здесь X(t)=X_0+tX_1. (Семейство A(t) моделирует операторное семейство {\mathcal A}(\mathbf k)={\mathcal A}(t \boldsymbol{\theta}), но параметр \boldsymbol{\theta} в абстрактной постановке отсутствует.) Предполагается, что точка \lambda_0 =0 является изолированным собственным значением оператора A(0) кратности n. Тогда при |t| \leqslant t_0 возмущенный оператор A(t) имеет на интервале [0,\delta] ровно n собственных значений (мы контролируем \delta и t_0 явно). Эти собственные значения и отвечающие им собственные элементы являются вещественно аналитическими функциями от t. Коэффициенты соответствующих степенных разложений называют пороговыми характеристиками оператора A(t). Мы выделяем оператор S конечного ранга (так называемый спектральный росток семейства A(t)), действующий в подпространстве {\mathfrak N}=\operatorname{Ker} A(0). Спектральный росток несет информацию о пороговых характеристиках старшего порядка. В терминах спектрального ростка удается найти старший член аппроксимации для оператора e^{-i\varepsilon^{-2}\tau A(t)}. Нахождение более точных аппроксимаций с корректорами требует учета пороговых характеристик следующих порядков. Применение этих абстрактных результатов и приводит к искомым оценкам для дифференциальных операторов. Абстрактный материал, на котором основана настоящая работа, подготовлен в статье [109]. 0.7. План статьиСтатья состоит из трех глав. В главе 1 (разделы 1–4) кратко излагается необходимый абстрактный теоретико-операторный материал. В главе 2 (разделы 5–13) изучаются периодические дифференциальные операторы вида (0.1), (0.2). В разделе 5 описан класс операторов и разложение в прямой интеграл; соответствующее операторное семейство {\mathcal A}(\mathbf k) включено в рамки абстрактной схемы. В разделе 6 описаны эффективные характеристики оператора \widehat{\mathcal A}. В разделе 7 с помощью абстрактных теорем получены аппроксимации оператора e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal A}(\mathbf k)}, а в разделе 8 подтверждена точность этих результатов. В разделе 9 описаны эффективные характеристики оператора (0.1). Требуемые аппроксимации окаймленной экспоненты от {\mathcal A}(\mathbf k) найдены в разделе 10, а точность этих результатов обсуждается в разделе 11. Раздел 12 посвящен аппроксимациям экспоненты e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal A}} для оператора (0.2), а в разделе 13 найдены нужные аппроксимации окаймленной экспоненты для оператора (0.1). Эти результаты выводятся из результатов разделов 7–11 с помощью разложения в прямой интеграл. Глава 3 (разделы 14–19) посвящена задачам гомогенизации. В разделах 14, 15 с помощью масштабного преобразования мы выводим основные результаты работы (аппроксимации экспоненты e^{-i\tau\widehat{{\mathcal A}}_\varepsilon} и окаймленной экспоненты e^{-i\tau {\mathcal A}_\varepsilon}) из результатов главы 2. В разделе 16 полученные результаты применяются к изучению решений задачи Коши для уравнений типа Шрёдингера. Разделы 17–19 посвящены применению общих результатов к конкретным уравнениям математической физики. 0.8. ОбозначенияПусть {\mathfrak H}, {\mathfrak H}_* – комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Символы (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_{\mathfrak H} и \|\,{\cdot}\,\|_{\mathfrak H} означают соответственно скалярное произведение и норму в {\mathfrak H}; символ \|\,{\cdot}\,\|_{{\mathfrak H} \to {\mathfrak H}_*} означает норму ограниченного оператора из {\mathfrak H} в {\mathfrak H}_*. Иногда мы опускаем индексы. Через I=I_{\mathfrak H} обозначается тождественный оператор в {\mathfrak H}. Если A\colon {\mathfrak H} \to {\mathfrak H}_* – линейный оператор, то через \operatorname{Dom} A обозначается его область определения, а через \operatorname{Ker} A – его ядро. Если {\mathfrak N} – подпространство в {\mathfrak H}, то {\mathfrak N}^\perp – его ортогональное дополнение. Если P – ортопроектор пространства {\mathfrak H} на {\mathfrak N}, то P^\perp – ортопроектор на {\mathfrak N}^\perp. Символы \langle\,{\cdot}\,{,}\,{\cdot}\,\rangle и |\,{\cdot}\,| означают соответственно скалярное произведение и норму в \mathbb{C}^n; {\mathbf 1}_n – единичная (n \times n)-матрица. Если a – матрица размера m\times n, то символ |a| означает норму матрицы a как линейного оператора из \mathbb{C}^n в \mathbb{C}^m. Далее используем обозначения {\mathbf x}=(x_1,\dots,x_d) \in \mathbb{R}^d, i D_j=\partial_j=\partial/ \partial x_j, j=1,\dots,d, и {\mathbf D}=-i\nabla=(D_1,\dots,D_d). Классы L_p (где 1 \leqslant p \leqslant \infty) вектор-функций в области {\mathcal O} \subset \mathbb{R}^d со значениями в \mathbb{C}^n обозначаем через L_p({\mathcal O};\mathbb{C}^n). Классы Соболева порядка s (где s \geqslant 0) \mathbb{C}^n-значных функций в области {\mathcal O} обозначаем через H^s({\mathcal O};\mathbb{C}^n). При n=1 пишем просто L_p({\mathcal O}), H^s({\mathcal O}), но иногда применяем такие упрощенные обозначения и для классов вектор-функций или матриц-функций. Через C, \mathcal C, \mathfrak C, c (возможно, с индексами и значками) обозначаются различные постоянные в оценках. Глава 1. Абстрактная теоретико-операторная схемаВ этой главе мы кратко излагаем необходимый абстрактный материал, заимствованный из [7], [8], [15], [29], [30], [109]. 1. Квадратичные операторные семейства1.1. Операторы X(t) и A(t)Пусть \mathfrak{H} и \mathfrak{H}_{*} – комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Предположим, что X_{0}\colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_{*} – плотно определенный и замкнутый оператор, а X_{1}\colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_{*} – ограниченный оператор. Введем замкнутый на \operatorname{Dom} X_0 оператор X(t)=X_0+t X_1, t \in \mathbb{R}. Рассмотрим семейство самосопряженных операторов A(t)=X(t)^* X(t) в \mathfrak{H}. Оператор A(t) порождается замкнутой квадратичной формой \|X(t)u\|^{2}_{\mathfrak{H}_*}, u \in \operatorname{Dom} X_0. Введем обозначения A_0:=A(0), \mathfrak{N}:=\operatorname{Ker} A_0=\operatorname{Ker} X_0, \mathfrak{N}_{*}:=\operatorname{Ker} X^*_0. Предполагается, что точка \lambda_0=0 – изолированная точка спектра оператора A_0, причем 0 < n:=\dim \mathfrak{N} < \infty, n \leqslant n_*:=\dim \mathfrak{N}_* \leqslant \infty. Пусть d^0 – расстояние от точки \lambda_0=0 до остального спектра оператора A_0. Через P и P_* обозначаются ортопроекторы пространства \mathfrak{H} на \mathfrak{N} и пространства \mathfrak{H}_* на \mathfrak{N}_* соответственно. Обозначим через F(t;[a, b]) спектральный проектор оператора A(t) для промежутка [a,b] и положим \mathfrak{F}(t;[a,b]):=F(t;[a, b])\mathfrak{H}. Зафиксируем число \delta > 0 такое, что 8 \delta < d^0. Выберем число t_0 > 0 так, чтобы выполнялось неравенство Как показано в [7; гл. 1, предложение 1.2], при |t| \leqslant t_0 выполнены соотношения F(t;[0,\delta])=F(t;[0,3\delta]) и \operatorname{rank} F(t;[0,\delta])=n. Будем писать F(t) вместо F(t;[0,\delta]) и \mathfrak{F} (t) вместо \mathfrak{F}(t;[0,\delta]).1.2. Вспомогательные операторыСледуя [7; гл. 1, § 1] и [9; § 1], введем операторы, которые возникают при рассмотрениях в духе теории возмущений. Обозначим \mathcal{D}:=\operatorname{Dom} X_0 \cap \mathfrak{N}^{\perp}. Пусть \omega \in \mathfrak{N}. Рассмотрим уравнение X^*_0 (X_0 \phi+X_1 \omega)=0 на \phi \in \mathcal{D}, которое понимается в слабом смысле:
\begin{equation*}
(X_0\phi,X_0\zeta)_{\mathfrak{H}_*}= -(X_1\omega,X_0\zeta)_{\mathfrak{H}_*}\quad \forall\,\zeta \in \mathcal{D}.
\end{equation*}
\notag
Существует единственное решение \phi=\phi(\omega). Введем оператор Z\colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H} формулой Zu=\phi(Pu), u \in \mathfrak{H}. Отметим, что PZ=0, а потому Z^* P=0. Справедливы оценки
\begin{equation}
\|X_0Z\| \leqslant \|X_1\|, \quad \|Z\| \leqslant (8\delta)^{-1/2}\|X_1\|.
\end{equation}
\tag{1.2}
Определим оператор R \colon \mathfrak{N} \to \mathfrak{N}_* формулой R:=X_0 Z+X_1. Другое представление для R имеет вид R= P_*X_1\big|_{\mathfrak{N}}. Следуя [7; гл. 1], назовем оператор S:=R^* R\colon \mathfrak{N} \to \mathfrak{N} спектральным ростком семейства A(t) при t=0. Для ростка справедливо также соотношение S=P X^*_1 P_* X_1 \big|_{\mathfrak{N}}. Спектральный росток называется невырожденным, если \operatorname{Ker} S=\{0\}. Отметим оценки \| R \| \leqslant \| X_1 \| и \| S \| \leqslant \| X_1 \|^2. Нам потребуются еще операторы Z_2 и R_2 (см. [15; § 1]). Пусть \omega \in \mathfrak{N} и \psi= \psi(\omega) \in \mathcal{D} – (слабое) решение уравнения X^*_0(X_0\psi+X_1Z\omega)=-P^\perp X_1^*R\omega. Очевидно, что условие разрешимости выполнено. Определим оператор Z_2\colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H} соотношением Z_2 u=\psi(P u), u \in \mathfrak{H}. Наконец, введем оператор R_2\colon \mathfrak{N} \to \mathfrak{H}_* формулой R_2:=X_0 Z_2+X_1 Z. 1.3. Аналитические ветви собственных значений и собственных векторов оператора A(t)Согласно общей аналитической теории возмущений (см. [110]), при |t| \leqslant t_0 существуют вещественно аналитические функции \lambda_l (t) (ветви собственных значений) и вещественно аналитические \mathfrak{H}-значные функции \varphi_l (t) (ветви собственных векторов) такие, что
\begin{equation}
A(t) \varphi_l(t)=\lambda_l (t) \varphi_l(t), \qquad l=1,\dots,n,\quad |t| \leqslant t_0,
\end{equation}
\tag{1.3}
причем набор \varphi_l (t), l=1,\dots,n, образует ортонормированный базис в \mathfrak{F}(t). Для достаточно малого t_* (где 0 < t_* \leqslant t_0) при |t| \leqslant t_* имеют место сходящиеся степенные разложения
\begin{equation}
\lambda_l(t) = \gamma_l t^2+\mu_l t^3+\nu_l t^4+\cdots, \qquad \gamma_l \geqslant 0, \quad \mu_l, \nu_l \in \mathbb{R}, \quad l=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{1.4}
\begin{equation}
\varphi_l (t) = \omega_l+t \psi_l^{(1)}+\cdots, \qquad l=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{1.5}
При этом элементы \omega_l= \varphi_l (0), l=1,\dots,n, образуют ортонормированный базис в \mathfrak{N}. Подставляя разложения (1.4), (1.5) в равенства (1.3) и сравнивая коэффициенты при t и при t^2, приходим к соотношениям
\begin{equation}
\widetilde{\omega}_l:=\psi_l^{(1)}-Z \omega_l \in \mathfrak{N}, \qquad l=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{1.6}
(Ср. [7; гл. 1, § 1], [9; § 1].) Таким образом, числа \gamma_l и элементы \omega_l, определенные в (1.4) и (1.5), являются собственными для ростка S. Справедливы представления
\begin{equation}
P=\sum_{l=1}^{n} (\,{\cdot}\,, \omega_l) \omega_l, \qquad SP=\sum_{l=1}^{n} \gamma_l (\,{\cdot}\,, \omega_l) \omega_l.
\end{equation}
\tag{1.8}
1.4. Пороговые аппроксимацииСпектральный проектор F(t) и оператор A(t)F(t) являются вещественно аналитическими оператор-функциями при |t| \leqslant t_0. Справедливы представления
\begin{equation*}
F(t)=\sum_{l=1}^{n}(\,{\cdot}\,,\varphi_l(t))\varphi_l(t), \qquad A(t)F(t)=\sum_{l=1}^{n}\lambda_l(t)(\,{\cdot}\,,\varphi_l (t))\varphi_l(t).
\end{equation*}
\notag
С учетом (1.4), (1.5), (1.8) отсюда следуют степенные разложения сходящиеся при |t| \leqslant t_*. Однако нам нужны не разложения, а лишь аппроксимации (с одним или несколькими первыми членами), но с оценками погрешности на контролируемом промежутке |t| \leqslant t_0. Следующее утверждение было получено в [7] (см. [7; гл. 1, теоремы 4.1 и 4.3]). Договоримся ниже через \beta_j обозначать абсолютные константы, причем считаем, что \beta_j \geqslant 1. Более точные аппроксимации найдены в [9; § 2 и § 4], [10; (2.23)]. Предложение 1.2 [8]. В условиях п. 1.1 справедливы оценки
\begin{equation}
\| F(t)-P-t F_1 \| \leqslant C_3 t^2, \qquad |t| \leqslant t_0, \quad C_3 =\beta_3 \delta^{-1} \| X_1 \|^2,
\end{equation}
\tag{1.9}
\begin{equation}
\| A(t)^{1/2}(F(t)-P-t F_1) \| \leqslant C_4 t^2, \qquad |t| \leqslant t_0, \quad C_4 =\beta_4 \delta^{-1/2} \| X_1 \|^2,
\end{equation}
\tag{1.10}
\begin{equation}
\nonumber \| A(t) F(t)-t^2 SP-t^3 K \| \leqslant C_5 t^4, \qquad |t| \leqslant t_0, \quad C_5 =\beta_5 \delta^{-1}\| X_1 \|^4.
\end{equation}
\notag
Оператор K допускает представление где K_0 переводит \mathfrak{N} в \mathfrak{N}^{\perp} и \mathfrak{N}^{\perp} в \mathfrak{N}, а N=N_0+N_* переводит \mathfrak{N} в себя и \mathfrak{N}^{\perp} в \{0\}. В терминах коэффициентов степенных разложений операторы F_1, K_0, N_0, N_* имеют вид
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag F_1=\sum_{l=1}^{n}\bigl((\,{\cdot}\,,Z\omega_l)\omega_l+ (\,{\cdot}\,,\omega_l)Z\omega_l\bigr), \qquad K_0=\sum_{l=1}^{n}\gamma_l\bigl((\,{\cdot}\,,Z\omega_l)\omega_l+ (\,{\cdot}\,,\omega_l)Z\omega_l\bigr), \\ N_0=\sum_{l=1}^{n}\mu_l(\,{\cdot}\,,\omega_l)\omega_l, \qquad N_*=\sum_{l=1}^{n}\gamma_l\bigl((\,{\cdot}\,,\widetilde{\omega}_l)\omega_l+ (\,{\cdot}\,,\omega_l)\widetilde{\omega}_l\bigr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.11}
В инвариантных терминах справедливы представления Выполнены оценки Замечание 1.3. В базисе \{\omega_l\}_{l=1}^n операторы N, N_0, N_* (суженные на \mathfrak{N}) задаются матрицами размера n \times n. При этом оператор N_0 диагонален:
\begin{equation*}
(N_0\omega_j,\omega_k)=\mu_j\delta_{jk}, \qquad j,k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
Матричные элементы оператора N_* имеют вид
\begin{equation*}
(N_*\omega_j,\omega_k)=\gamma_k(\omega_j,\widetilde{\omega}_k)+ \gamma_j(\widetilde{\omega}_j,\omega_k)= (\gamma_j-\gamma_k)(\widetilde{\omega}_j,\omega_k), \qquad j,k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
Здесь мы учли соотношение (см. [9; (1.18)])
\begin{equation}
(\widetilde{\omega}_j,\omega_k)+(\omega_j,\widetilde{\omega}_k)=0,\qquad j, k=1,\dots, n.
\end{equation}
\tag{1.15}
Видно, что диагональные элементы оператора N_* обращаются в нуль: Более того, (N_* \omega_j,\omega_k)=0, если \gamma_j=\gamma_k. 1.5. Условие невырожденностиНиже мы будем предполагать выполненным следующее дополнительное условие (ср. [7; гл. 1, п. 5.1]). Из (1.16) следует, что \lambda_l (t) \geqslant c_* t^2, l=1,\dots,n, при |t| \leqslant t_0. В силу (1.4) это влечет \gamma_l \geqslant c_* > 0, l=1,\dots,n. Таким образом, спектральный росток невырожден: 1.6. Разбиение собственных значений оператора A(t) на кластерыМатериал этого пункта заимствован из [29; § 2]. Он содержателен при n \geqslant 2. Предположим, что выполнено условие 1.4. Сейчас нам будет удобно изменить обозначения, отслеживая кратности собственных значений ростка S. Обозначим количество различных собственных значений ростка через p. Занумеруем эти собственные значения в порядке возрастания и обозначим их через \gamma_j^\circ, j=1,\dots,p. Их кратности обозначим через k_1,\dots,k_p (разумеется, k_1+\cdots+k_p=n). Введем обозначения для собственных подпространств: \mathfrak{N}_j:=\operatorname{Ker}(S-\gamma^{\circ}_j I_\mathfrak{N}), j=1,\dots,p. Тогда \mathfrak{N}=\displaystyle\bigoplus_{j=1}^p\frak{N}_j . Пусть P_j – ортопроектор пространства \mathfrak{H} на \mathfrak{N}_j. Тогда P=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}P_j и P_j P_l=0 при j \ne l. Изменим и обозначения собственных векторов ростка (которые являются “зародышами” в (1.5)), разделяя их на p частей, так что \omega^{(j)}_1,\dots,\omega^{(j)}_{k_j} отвечают собственному значению \gamma^{\circ}_j и образуют ортонормированный базис в \mathfrak{N}_j. Замечание 1.5. Напомним, что N=N_0+N_*. Согласно замечанию 1.3 имеем P_j N_* P_j=0, j=1,\dots,p, и P_l N_0 P_j =0 при l \ne j. Отсюда следуют инвариантные представления операторов N_0 и N_*: Для каждой пары индексов (j,l), 1 \leqslant j,l \leqslant p, j \ne l, введем обозначение
\begin{equation}
c^{\circ}_{jl}:=\min\{c_*,n^{-1}|\gamma^{\circ}_l-\gamma^{\circ}_j|\}.
\end{equation}
\tag{1.19}
Ясно, что найдется номер i_0=i_0(j,l), где j \leqslant i_0 \leqslant l-1 при j < l и l \leqslant i_0 \leqslant j-1 при l < j, такой, что \gamma^{\circ}_{i_0+1}-\gamma^{\circ}_{i_0} \geqslant c^{\circ}_{jl}. Это означает, что на промежутке между \gamma^{\circ}_j и \gamma^{\circ}_l в спектре оператора S имеется лакуна длины не меньше c^{\circ}_{jl}. Возможно, выбор i_0 неоднозначен, в этом случае договоримся (для определенности) брать наименьшее возможное i_0. Выберем число t^{00}_{jl} \leqslant t_0 такое, что
\begin{equation*}
t^{00}_{jl} \leqslant (4C_2)^{-1}c^{\circ}_{jl}= (4 \beta_2)^{-1}\delta^{1/2}\|X_1\|^{-3}c^{\circ}_{jl}.
\end{equation*}
\notag
Положим \Delta_{jl}^{(1)}:= [\gamma^{\circ}_1-c^{\circ}_{jl}/4,\gamma^{\circ}_{i_0}+c^{\circ}_{jl}/4] и \Delta_{jl}^{(2)}:=[\gamma^{\circ}_{i_0+1}- c^{\circ}_{jl}/4,\gamma^{\circ}_p+c^{\circ}_{jl}/4]. Промежутки \Delta_{jl}^{(1)} и \Delta_{jl}^{(2)} отделены друг от друга расстоянием, не меньшим c^{\circ}_{jl}/2. В [29; § 2] показано, что при |t| \leqslant t^{00}_{jl} оператор {A}(t) имеет ровно k_1+\cdots+k_{i_0} собственных значений (с учетом кратностей) на промежутке t^2 \Delta_{jl}^{(1)} и ровно k_{i_0+1}+\cdots+k_p собственных значений на промежутке t^2 \Delta_{jl}^{(2)}. 1.7. Коэффициенты \nu_lДля определенности будем считать нумерацию в (1.4), (1.5) такой, что \gamma_1 \leqslant \cdots \leqslant \gamma_n. Коэффициенты \nu_l и векторы \omega_l, l=1,\dots,n, в разложениях (1.4), (1.5) являются собственными значениями и собственными элементами некоторой задачи; см. [30; п. 1.8]. Нам понадобится описать эту задачу в случае, когда \mu_l=0, l=1,\dots,n, т. е. N_0=0; см. также [32; предложение 1.7]. Предложение 1.6 [30]. Пусть N_0=0. Положим В обозначениях п. 1.6 введем операторы \mathcal{N}^{(q)}, q=1,\dots,p: оператор \mathcal{N}^{(q)} действует в \mathfrak{N}_q и задается выражением
\begin{equation*}
\mathcal{N}^{(q)}:=P_q\biggl(N_1^0-\frac{1}{2} Z^* Z SP- \frac{1}{2}SP Z^* Z\biggr)\biggl|_{\mathfrak{N}_q}+ \sum_{j=1,\dots,p: j\ne q}(\gamma_q^\circ-\gamma_j^\circ)^{-1} P_q N P_j N\big|_{\mathfrak{N}_q}.
\end{equation*}
\notag
Обозначим i(q)=k_1+\cdots+k_{q-1}+1. Пусть \nu_l, l=1,\dots,n, – коэффициенты при t^4 из разложений (1.4). Тогда 2. Приближение для оператора e^{-i\varepsilon^{-2} \tau A(t)}2.1. Аппроксимация по операторной норме в {\mathfrak H}Введем параметр \varepsilon > 0 и опишем поведение оператора e^{-i\varepsilon^{-2} \tau A(t)} при малом \varepsilon. Удобно домножить этот оператор на “сглаживающий множитель” \varepsilon^s (t^2+\varepsilon^2)^{-s/2}P, где s > 0. (Термин объясняется тем, что в приложениях к дифференциальным операторам такое домножение переходит в сглаживание.) В [25; теорема 2.6] был установлен следующий результат. Теорема 2.1 [25]. При \varepsilon > 0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t_0 справедлива оценка При дополнительных условиях этот результат допускает усиление; см. [30; теоремы 2.5, 2.6]. Напомним, что оператор N определен в (1.13), а N_0 определен в (1.18). Теорема 2.2 [30]. Пусть N=0. Тогда при \varepsilon > 0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t_0 справедлива оценка Теорема 2.3 [30]. Пусть n\geqslant 2. Положим
\begin{equation*}
\mathcal{Z}:=\{(j,l) \colon 1 \leqslant j, l \leqslant p, j \ne l, P_j N P_l \ne 0\}.
\end{equation*}
\notag
Пусть где числа c^\circ_{jl} определены в (1.19). Пусть число t^{00} \leqslant t_0 подчинено условию
\begin{equation}
t^{00} \leqslant (4 \beta_2)^{-1} \delta^{1/2} \|X_1\|^{-3} c^\circ.
\end{equation}
\tag{2.2}
Предположим, что N_0=0. Тогда при \varepsilon > 0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t^{00} справедлива оценка 2.2. Аппроксимация с корректором по операторной норме в {\mathfrak H}Введем операторы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_0(t,\varepsilon^{-2}\tau)&:=e^{-i\varepsilon^{-2}\tau A(t)}(I+tZ)P- (I+tZ)e^{-i\varepsilon^{-2}\tau t^2SP}P, \\ G(t,\varepsilon^{-2}\tau) &:=G_0(t,\varepsilon^{-2}\tau)+ i\varepsilon^{-2}\int_{0}^{\tau} e^{-i\varepsilon^{-2}(\tau-\widetilde{\tau})t^2SP} t^3 N e^{-i\varepsilon^{-2}\widetilde{\tau}t^2 SP}P\, d\widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В [109; теорема 3.4] установлен следующий результат. Теорема 2.4 [109]. При |t| \leqslant t_0, \varepsilon >0 и \tau \in \mathbb{R} справедлива оценка При дополнительных предположениях этот результат допускает усиление; см. [109; теоремы 3.5, 3.6]. Теорема 2.5 [109]. Пусть N=0. Тогда при |t| \leqslant t_0, \varepsilon >0 и \tau \in \mathbb{R} справедлива оценка Теорема 2.6 [109]. Пусть n \geqslant 2 и N_0=0. Тогда при |t| \leqslant t^{00}, \varepsilon > 0 и \tau \in \mathbb{R} справедлива оценка 2.3. Аппроксимация по “энергетической” нормеСледующий результат получен в [109; теорема 3.7]. Теорема 2.7 [109]. При |t| \leqslant t_0, \varepsilon >0 и \tau \in \mathbb{R} справедлива оценка При дополнительных предположениях этот результат допускает усиление; см. [109; теоремы 3.8, 3.9]. Теорема 2.8 [109]. Пусть N=0. Тогда при |t| \leqslant t_0, \varepsilon >0 и \tau \in \mathbb{R} справедлива оценка Теорема 2.9 [109]. Пусть n \geqslant 2 и N_0=0. Тогда при |t| \leqslant t^{00}, \varepsilon > 0 и \tau \in \mathbb{R} справедлива оценка Замечание 2.10. В работах [25], [30], [109] найдены явные выражения для постоянных в оценках из теорем 2.1–2.9. Существенно следующее. Постоянные C_1, C_{2}, C_6, C_{9}, C_{10}, C_{11}, C_{12}, C_{15}, C_{16}, C_{17} из теорем 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 оцениваются полиномами с (абсолютными) положительными коэффициентами от переменных \delta^{-1/2} и \|X_1\|. Константы C_{7}, C_{8}, C_{13}, C_{14}, C_{18}, C_{19} из теорем 2.3, 2.6, 2.9 оцениваются полиномами с положительными коэффициентами от тех же переменных, а также от (c^{\circ})^{-1} и n. Здесь постоянная c^{\circ} определена согласно (1.19) и (2.1). 2.4. Подтверждение точности относительно сглаживающего множителяСледующая теорема подтверждает, что теоремы 2.1, 2.4 и 2.7 в общем случае точны относительно сглаживающего множителя. Теорема 2.11 [29], [109]. Предположим, что N_0 \ne 0. 1^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка
\begin{equation}
\|e^{-i\varepsilon^{-2}\tau A(t)}P-e^{-i\varepsilon^{-2}\tau t^2SP}P\| \frac{\varepsilon^{s}}{(t^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant C(\tau)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{2.3}
2^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 6. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка
\begin{equation}
\|G(t,\varepsilon^{-2}\tau)\|\frac{\varepsilon^s}{(t^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant C(\tau)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{2.4}
3^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка Утверждение 1^\circ проверено в [29; теорема 4.4], утверждение 2^\circ – в [109; теорема 4.3], утверждение 3^\circ – в [109; теорема 4.6]. Далее, оказывается, что теоремы 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9 (теоремы об усилении общих результатов при дополнительных предположениях), в свою очередь, точны. Напомним, что оператор \mathcal{N}^{(q)} определен в п. 1.7. Теорема 2.12 [30], [109]. Предположим, что N_0=0 и \mathcal{N}^{(q)} \ne 0 при некотором q\in \{1,\dots,p\}. 1^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 2. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка (2.3). 2^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка (2.4). 3^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка (2.5). Утверждение 1^\circ установлено в [30; теорема 2.9], утверждение 2^\circ – в [109; теорема 4.4], утверждение 3^\circ – в [109; теорема 4.7]. 2.5. Точность результатов относительно времениСледующая теорема подтверждает, что теоремы 2.1, 2.4 и 2.7 в общем случае точны относительно зависимости оценок от \tau (при большом |\tau|). Теорема 2.13 [30], [109]. Предположим, что N_0 \ne 0. 1^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau|=0 и оценка (2.3) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 6. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ \tau^2 =0 и оценка (2.4) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau| =0 и оценка (2.5) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ проверено в [30; теорема 2.10], утверждение 2^\circ – в [109; теорема 4.10], утверждение 3^\circ – в [109; теорема 4.13]. Далее, теоремы 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9 (об усилении общих результатов при дополнительных предположениях), в свою очередь, точны. Теорема 2.14 [30], [109]. Предположим, что N_0=0 и \mathcal{N}^{(q)} \ne 0 при некотором q\in \{1,\dots,p\}. 1^\circ. Пусть s \geqslant 2. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau|^{1/2} =0 и оценка (2.3) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau| =0 и оценка (2.4) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau|^{1/2} =0 и оценка (2.5) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ установлено в [30; теорема 2.11], утверждение 2^\circ – в [109; теорема 4.11], утверждение 3^\circ – в [109; теорема 4.14]. 3. Оператор вида A(t)=M^*\widehat{A}(t)M3.1. Операторное семейство вида A(t)=M^*\widehat{A}(t)MНаряду с пространством \mathfrak{H} рассмотрим еще одно сепарабельное гильбертово пространство \widehat{\mathfrak{H}}. Пусть \widehat{X} (t)=\widehat{X}_0+t \widehat{X}_1 \colon \widehat{\mathfrak{H}} \to \mathfrak{H}_* – семейство операторов того же вида, что и X(t), причем для \widehat{X}(t) выполнены предположения п. 1.1. Пусть M \colon \mathfrak{H} \to \widehat{\mathfrak{H}} – изоморфизм. Предположим, что M \operatorname{Dom} X_0=\operatorname{Dom} \widehat{X}_0 и X(t)=\widehat{X} (t) M, а тогда и X_0=\widehat{X}_0 M, X_1=\widehat{X}_1 M. В пространстве \widehat{\mathfrak{H}} введем семейство самосопряженных операторов \widehat{A}(t)=\widehat{X}(t)^*\widehat{X}(t). Тогда, очевидно, Все объекты, отвечающие семейству \widehat{A}(t), далее помечаются значком “\, \widehat{\phantom{\_}} \,”. Отметим, что \widehat{\mathfrak{N}}=M \mathfrak{N}, \widehat{n}=n, \widehat{\mathfrak{N}}_*= \mathfrak{N}_*, \widehat{n}_*=n_*, \widehat{P}_*=P_*.В пространстве \widehat{\mathfrak{H}} рассмотрим положительно определенный оператор
\begin{equation*}
Q:=(M M^*)^{-1}\colon \widehat{\mathfrak{H}} \to \widehat{\mathfrak{H}}.
\end{equation*}
\notag
Пусть Q_{\widehat{\mathfrak{N}}} – блок оператора Q в подпространстве \widehat{\mathfrak{N}}, т. е. Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}=\widehat{P} Q\big|_{\widehat{\mathfrak{N}}} \colon \widehat{\mathfrak{N}} \to \widehat{\mathfrak{N}}. Очевидно, что Q_{\widehat{\mathfrak{N}}} – изоморфизм в \widehat{\mathfrak{N}}. Как показано в [12; предложение 1.2], ортопроектор P в \mathfrak{H} на \mathfrak{N} и ортопроектор \widehat{P} в \widehat{\mathfrak{H}} на \widehat{\mathfrak{N}} связаны соотношением
\begin{equation}
P=M^{-1} (Q_{\widehat{\mathfrak{N}}})^{-1}\widehat{P}(M^*)^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.2}
Пусть \widehat{S}\colon\widehat{\mathfrak{N}}\to\widehat{\mathfrak{N}} – спектральный росток семейства \widehat{A}(t) при t=0, а S – росток семейства A(t). В [7; гл. 1, п. 1.5] установлено следующее тождество: Мы предполагаем, что для A(t) выполнено условие 1.4. Тогда росток S (как и \widehat{S}) невырожден. 3.2. Операторы \widehat{Z}_Q и \widehat{N}_QДля операторного семейства \widehat{A}(t) введем оператор \widehat{Z}_Q, действующий в \widehat{\mathfrak{H}} и ставящий в соответствие элементу \widehat{u} \in \widehat{\mathfrak{H}} решение \widehat{\phi}_Q задачи
\begin{equation*}
\widehat{X}^*_0 (\widehat{X}_0 \widehat{\phi}_Q+ \widehat{X}_1 \widehat{\omega})=0, \qquad Q \widehat{\phi}_Q \perp \widehat{\mathfrak{N}},
\end{equation*}
\notag
где \widehat{\omega}=\widehat{P} \widehat{u}. Как показано в [9; § 6], оператор Z для семейства A(t) и введенный оператор \widehat{Z}_Q связаны соотношением Введем оператор
\begin{equation}
\widehat{N}_Q:=\widehat{Z}_Q^* \widehat{X}_1^* \widehat{R} \widehat{P}+ (\widehat{R} \widehat{P})^* \widehat{X}_1 \widehat{Z}_Q.
\end{equation}
\tag{3.5}
Согласно [9; § 6], оператор N для семейства A(t) и оператор (3.5) связаны соотношением
\begin{equation}
\widehat{N}_Q=\widehat{P} (M^*)^{-1} N M^{-1} \widehat{P}.
\end{equation}
\tag{3.6}
Отметим оценки
\begin{equation}
\|\widehat{X}_0\widehat{Z}_Q\| \leqslant \|X_0 Z\|\,\| M^{-1}\| \leqslant \| X_1 \|\,\| M^{-1}\|,
\end{equation}
\tag{3.7}
\begin{equation}
\|\widehat{Z}_Q\| \leqslant \|Z\|\,\|M\|\,\| M^{-1}\| \leqslant (8\delta)^{-1/2} \| X_1 \|\,\|M\|\,\| M^{-1}\|,
\end{equation}
\tag{3.8}
\begin{equation}
\|\widehat{N}_Q \| \leqslant \| N\|\,\| M^{-1}\|^2 \leqslant (2\delta)^{-1/2} \| X_1 \|^3 \| M^{-1}\|^2,
\end{equation}
\tag{3.9}
вытекающие из (1.2), (1.14), (3.4) и (3.6). Напомним, что N=N_0+N_*, и определим операторы
\begin{equation}
\widehat{N}_{0,Q}=\widehat{P} (M^*)^{-1} N_0 M^{-1} \widehat{P}, \qquad \widehat{N}_{*,Q}=\widehat{P} (M^*)^{-1} N_* M^{-1} \widehat{P}.
\end{equation}
\tag{3.10}
Тогда \widehat{N}_Q=\widehat{N}_{0,Q}+\widehat{N}_{*,Q}. Справедлива следующая лемма, доказанная в [29; лемма 5.1]. Лемма 3.1 [29]. Пусть выполнены предположения п. 3.1. Пусть операторы N и N_0 определены в (1.13) и (1.18), а операторы \widehat{N}_Q и \widehat{N}_{0,Q} определены в (3.6) и (3.10). Тогда условие N=0 равносильно равенству \widehat{N}_Q=0. Условие N_0=0 равносильно равенству \widehat{N}_{0,Q}=0. 3.3. Операторы \widehat{Z}_{2,Q}, \widehat{R}_{2,Q} и \widehat{N}^0_{1,Q}Пусть \widehat{\omega} \in \widehat{\mathfrak{N}}, и пусть \widehat{\psi}_Q=\widehat{\psi}_Q(\widehat{\omega}) \in \operatorname{Dom} \widehat{X}_0 – (слабое) решение задачи
\begin{equation*}
\widehat{X}^*_0(\widehat{X}_0\widehat{\psi}_Q+ \widehat{X}_1\widehat{Z}_Q\widehat{\omega})= -\widehat{X}^*_1\widehat{R}\widehat{\omega}+ Q Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}^{-1}\widehat{P}\widehat{X}^*_1 \widehat{R} \widehat{\omega}, \qquad Q \widehat{\psi}_Q \perp \widehat{\mathfrak{N}}.
\end{equation*}
\notag
Ясно, что правая часть уравнения принадлежит \widehat{\mathfrak{N}}^\perp=\operatorname{Ran}\widehat{X}_0^*, а потому условие разрешимости выполнено. Определим оператор \widehat{Z}_{2,Q}\colon \widehat{\mathfrak H}\to \widehat{\mathfrak H} соотношением \widehat{Z}_{2,Q} \widehat{u}=\widehat{\psi}_Q(\widehat{P} \widehat{u}), \widehat{u} \in \widehat{\mathfrak H}. Далее, определим оператор \widehat{R}_{2,Q}\colon \widehat{\mathfrak N} \to {\mathfrak H}_* формулой \widehat{R}_{2,Q}:=\widehat{X}_0 \widehat{Z}_{2,Q}+ \widehat{X}_1 \widehat{Z}_{Q}. Наконец, определим оператор \widehat{N}^0_{1,Q} соотношением
\begin{equation}
\widehat{N}^0_{1,Q}=\widehat{Z}^*_{2,Q}\widehat{X}_1^*\widehat{R}\widehat{P}+ (\widehat{R}\widehat{P})^*\widehat{X}_1\widehat{Z}_{2,Q}+ \widehat{R}_{2,Q}^*\widehat{R}_{2,Q}\widehat{P}.
\end{equation}
\tag{3.11}
В [15; п. 6.3] установлены следующие тождества:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{Z}_{2,Q}=M Z_2 M^{-1} \widehat{P}, \qquad \widehat{R}_{2,Q}=R_2 M^{-1}\big|_{\widehat{\mathfrak N}}, \\ \widehat{N}^0_{1,Q}=\widehat{P} (M^*)^{-1} N_1^0 M^{-1} \widehat{P}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
3.4. Связь операторов и коэффициентов степенных разложенийУкажем связь коэффициентов степенных разложений (1.4), (1.5) и операторов \widehat{S} и Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}. (См. [8; п. 1.6, 1.7].) Положим \zeta_l:=M \omega_l \in \widehat{\mathfrak{N}}, l=1,\dots,n. Тогда из (1.7) и (3.2), (3.3) видно, что
\begin{equation}
\widehat{S}\zeta_l=\gamma_l Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\zeta_l, \qquad l=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{3.12}
Набор \zeta_1,\dots,\zeta_n образует базис в \widehat{\mathfrak{N}}, ортонормированный с весом Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}:
\begin{equation}
(Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\zeta_l,\zeta_j)=\delta_{lj}, \qquad l,j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{3.13}
Операторы \widehat{N}_{0,Q} и \widehat{N}_{*,Q} можно описать в терминах коэффициентов степенных разложений (1.4) и (1.5); ср. (1.11). Положим \widetilde{\zeta}_l:=M \widetilde{\omega}_l \in \widehat{\mathfrak{N}}, l=1,\dots,n, где элементы \widetilde{\omega}_l определены в (1.6). Тогда
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{N}_{0,Q}&=\sum_{k=1}^{n} \mu_k(\,{\cdot}\,,Q_{\widehat{\mathfrak{N}}} \zeta_k) Q_{\widehat{\mathfrak{N}}} \zeta_k, \\ \widehat{N}_{*,Q}&=\sum_{k=1}^{n} \gamma_k\bigl((\,{\cdot}\,,Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\widetilde{\zeta}_k) Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\zeta_k+(\,{\cdot}\,, Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\zeta_k) Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\widetilde{\zeta}_k\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
Замечание 3.2. В силу (3.13) и (3.14) выполнены соотношения
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} (\widehat{N}_{0,Q}\zeta_j,\zeta_l)&=\mu_l\delta_{jl}, &\qquad j,l&=1,\dots,n, \\ (\widehat{N}_{*,Q}\zeta_j,\zeta_l)&= \gamma_l(\zeta_j,Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\widetilde{\zeta}_l)+ \gamma_j(Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\widetilde{\zeta}_j,\zeta_l),&\qquad j,l&=1,\dots,n. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Соотношения (1.15) влекут (Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\widetilde{\zeta}_j,\zeta_l)+ (\zeta_j,Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\widetilde{\zeta}_l)=0, j, l=1,\dots,n. Отсюда видно, что (\widehat{N}_{*,Q}\zeta_j,\zeta_l)=0, если \gamma_j=\gamma_l. Перейдем теперь к обозначениям, принятым в п. 1.6. Напомним, что различные собственные значения ростка S обозначаются через \gamma^{\circ}_j, j=1,\dots,p, а \mathfrak{N}_j=\operatorname{Ker}({S}-\gamma_j^\circ I_{\mathfrak{N}}) – соответствующие собственные подпространства. Векторы \omega^{(j)}_i, i=1,\dots,k_j, образуют ортонормированный базис в \mathfrak{N}_j. Тогда те же числа \gamma^{\circ}_j, j=1,\dots,p, – это различные собственные значения задачи (3.12), а M \mathfrak{N}_j=\operatorname{Ker}(\widehat{S}- \gamma_j^\circ Q_{\widehat{\mathfrak{N}}})=:\widehat{\mathfrak{N}}_{j,Q} – соответствующие собственные подпространства. Векторы \zeta^{(j)}_i=M\omega^{(j)}_i, i=1,\dots,k_j, образуют базис в \widehat{\mathfrak{N}}_{j,Q}, ортонормированный с весом Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}. Через \mathcal{P}_j обозначим “косой” проектор на \widehat{\mathfrak{N}}_{j,Q}, ортогональный относительно скалярного произведения (Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\,{\cdot}\,{,}\,{\cdot}\,), т. е.
\begin{equation*}
\mathcal{P}_j=\sum_{i=1}^{k_j} (\,{\cdot}\,,Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}\zeta^{(j)}_i)\zeta^{(j)}_i, \qquad j=1,\dots,p.
\end{equation*}
\notag
Легко видеть, что \mathcal{P}_j=M P_j M^{-1} \widehat{P}. Можно указать аналог соотношений (1.18). Используя (1.18), (3.6) и (3.10), нетрудно проверить равенства
\begin{equation}
\widehat{N}_{0,Q}= \sum_{j=1}^{p}\mathcal{P}_j^*\widehat{N}_Q\mathcal{P}_j,\qquad \widehat{N}_{*,Q}= \sum_{\substack{1 \leqslant l,j \leqslant p: \\ l \ne j}} \mathcal{P}_l^* \widehat{N}_Q \mathcal{P}_j,
\end{equation}
\tag{3.15}
дающие инвариантные представления операторов \widehat{N}_{0,Q}, \widehat{N}_{*,Q}. 3.5. Коэффициенты \nu_lКоэффициенты \nu_l из разложений (1.4) и векторы \zeta_l=M \omega_l, l=1,\dots,n, являются собственными значениями и собственными элементами некоторой задачи; см. [30; п. 3.4]. Нам понадобится описать эту задачу в случае, когда \mu_l=0, l=1,\dots,n, т. е. \widehat{N}_{0,Q}=0. См. также [32; предложение 5.3]. Предложение 3.3 [30]. Пусть \widehat{N}_{0,Q}=0. Пусть оператор \widehat{N}_{1,Q}^0 определен в (3.11). Пусть \gamma_1^\circ,\dots,\gamma_p^\circ – различные собственные значения задачи (3.12), а k_1,\dots,k_p – их кратности. Пусть \widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}=\operatorname{Ker}(\widehat{S}- \gamma_q^\circ Q_{\widehat{\mathfrak{N}}}) и \widehat{P}_{q,Q} – ортопроектор пространства \widehat{{\mathfrak H}} на подпространство \widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}, q=1,\dots,p. Введем операторы \widehat{\mathcal{N}}_Q^{(q)}, q=1,\dots,p: оператор \widehat{\mathcal{N}}_Q^{(q)} действует в \widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q} и задается выражением
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathcal{N}}_Q^{(q)}&:=\widehat{P}_{q,Q}\biggl(\widehat{N}_{1,Q}^0- \frac{1}{2}\widehat{Z}_Q^*Q\widehat{Z}_Q Q^{-1} \widehat{S} \widehat{P}- \frac{1}{2}\widehat{S}\widehat{P}Q^{-1}\widehat{Z}_Q^* Q\widehat{Z}_Q\biggr)\bigg|_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}} \\ &\qquad+\sum_{j=1,\dots,p: j\ne q}(\gamma_q^\circ-\gamma_j^\circ)^{-1} \widehat{P}_{q,Q}\widehat{N}_Q\widehat{P}_{j,Q} Q^{-1}\widehat{P}_{j,Q} \widehat{N}_Q\big|_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Обозначим i(q)=k_1+\dots+k_{q-1}+1. Пусть \nu_l, l=1,\dots,n, – коэффициенты при t^4 из разложений (1.4), а \omega_l – зародыши из разложений (1.5), и пусть \zeta_l=M \omega_l, l=1,\dots,n. Обозначим {Q}_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}}= \widehat{P}_{q,Q} Q\big|_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}}. Тогда 4. Аппроксимация окаймленной операторной экспоненты оператора A(t)=M^*\widehat{A}(t)M4.1. Аппроксимация окаймленной экспоненты по операторной норме в \widehat{\mathfrak H}Пусть выполнены условия п. 3.1. Опишем аппроксимацию экспоненты e^{-i \varepsilon^{-2}\tau A(t)}, где A(t) – семейство вида (3.1), в терминах ростка \widehat{S} оператора \widehat{A}(t) и изоморфизма M. При этом оказывается удобным окаймить операторную экспоненту множителями M и M^{-1}. Положим M_0:=(Q_{\widehat{\mathfrak{N}}})^{-1/2}. В [109; (6.2)] проверено тождество
\begin{equation}
M e^{-i\tau t^2 S P} M^{-1} \widehat{P}= M_0 e^{-i \tau t^2 M_0 \widehat{S} M_0} M_0^{-1} \widehat{P}.
\end{equation}
\tag{4.1}
Введем обозначение
\begin{equation}
{\mathcal J}(t,\tau):=M e^{-i \tau A(t)} M^{-1} \widehat{P}- M_0 e^{-i \tau t^2 M_0 \widehat{S} M_0} M_0^{-1} \widehat{P}.
\end{equation}
\tag{4.2}
Из (4.1) и (4.2) с учетом очевидного равенства M^{-1} \widehat{P}=P M^{-1} \widehat{P} следует, что
\begin{equation}
\|{\mathcal J}(t, \tau)\| \leqslant \|M\|\,\|M^{-1}\| \, \|e^{-i\tau A(t)} P-e^{-i\tau t^2SP} P\|.
\end{equation}
\tag{4.3}
С помощью оценки (4.3) из теоремы 2.1 выводится следующее утверждение; ср. [25; теорема 3.2]. Теорема 4.1 [25]. При \varepsilon >0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t_0 выполнена оценка Аналогично, из теорем 2.2 и 2.3 с помощью леммы 3.1 и неравенства (4.3) выводятся следующие утверждения; см. [30; теоремы 3.5 и 3.6]. Напомним, что оператор \widehat{N}_Q определен в (3.5), а оператор \widehat{N}_{0,Q} определен в (3.15). Теорема 4.2 [30]. Пусть \widehat{N}_Q=0. Тогда при \varepsilon >0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t_0 справедлива оценка Теорема 4.3 [30]. Пусть \widehat{N}_{0,Q}=0. Тогда при \varepsilon >0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t^{00} справедлива оценка 4.2. Аппроксимация оператора Me^{-i\varepsilon^{-2}\tau A(t)}M^{-1} с учетом корректораОпишем теперь приближение для окаймленной операторной экспоненты с учетом корректора. Положим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal G}_0(t,\tau)&:=Me^{-i\tau A(t)}M^{-1}(I+t\widehat{Z}_Q)\widehat{P}- (I+t\widehat{Z}_Q)M_0 e^{-i\tau t^2M_0\widehat{S}M_0}M_0^{-1}\widehat{P}, \\ {\mathcal G}(t,\tau) &:= {\mathcal G}_0(t,\tau)+ i \int_{0}^\tau M_0 e^{-i (\tau-\widetilde{\tau}) t^2 M_0 \widehat{S} M_0} M_0 t^3 \widehat{N}_Q M_0 e^{-i \widetilde{\tau} t^2 M_0 \widehat{S} M_0} M_0^{-1} \widehat{P} \, d \widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следующий результат выводится из теоремы 2.4; см. [109; теорема 6.6]. Теорема 4.4 [109]. При \varepsilon>0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t_0 справедлива оценка Усиление этого результата при дополнительных предположениях получено в [109; теоремы 6.7, 6.8]; следующие два результата выводятся из теорем 2.5, 2.6. Теорема 4.5 [109]. Пусть \widehat{N}_Q =0. Тогда при \varepsilon >0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t_0 справедлива оценка Теорема 4.6 [109]. Пусть \widehat{N}_{0,Q}=0. Тогда при \varepsilon>0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t^{00} выполнена оценка 4.3. Аппроксимация оператора Me^{-i\varepsilon^{-2}\tau A(t)}M^{-1} в “энергетической” нормеСледующий результат установлен в [109; теорема 6.10]. Теорема 4.7 [109]. При \varepsilon >0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t_0 справедлива оценка Усиление этого результата при дополнительных предположениях получено в [109; теоремы 6.11, 6.12]. Теорема 4.8 [109]. Пусть \widehat{N}_Q=0. Тогда при \varepsilon >0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t_0 справедлива оценка Теорема 4.9 [109]. Пусть \widehat{N}_{0,Q}=0. Тогда при \varepsilon>0, \tau \in \mathbb{R} и |t| \leqslant t^{00} выполнена оценка 4.4. Подтверждение точности относительно сглаживающего множителяСледующая теорема подтверждает, что теоремы 4.1, 4.4 и 4.7 в общем случае точны относительно сглаживающего множителя. Теорема 4.10 [29], [109]. Предположим, что \widehat{N}_{0,Q} \ne 0. 1^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal J}(t,\varepsilon^{-2}\tau)\| \frac{\varepsilon^{s}}{(t^2+\varepsilon^2)^{s/2}}\leqslant C(\tau) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.4}
2^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 6. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}(t,\varepsilon^{-2}\tau)\| \frac{\varepsilon^{s}}{(t^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant C(\tau)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{4.5}
3^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка Утверждение 1^\circ проверено в [29; теорема 5.10], утверждение 2^\circ – в [109; теорема 7.3], утверждение 3^\circ – в [109; теорема 7.5]. Далее, теоремы 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.8, 4.9 (об усилении общих результатов при дополнительных предположениях), в свою очередь, точны. Теорема 4.11 [30], [109]. Предположим, что \widehat{N}_{0,Q}=0 и \widehat{\mathcal N}_Q^{(q)} \ne 0 при некотором q\in \{1,\dots,p\}. 1^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 2. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка (4.4). 2^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка (4.5). 3^\circ. Пусть \tau \ne 0 и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной C(\tau), что при всех достаточно малых |t| и \varepsilon > 0 выполняется оценка (4.6). Утверждение 1^\circ установлено в [30; теорема 3.9], утверждение 2^\circ – в [109; теорема 7.4], утверждение 3^\circ – в [109; теорема 7.6]. 4.5. Подтверждение точности результатов относительно времениСледующая теорема подтверждает, что теоремы 4.1, 4.4 и 4.7 в общем случае точны относительно зависимости оценок от \tau (при большом |\tau|). Теорема 4.12 [30], [109]. Предположим, что \widehat{N}_{0,Q} \ne 0. 1^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau| =0 и оценка (4.4) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 6. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ \tau^2 =0 и оценка (4.5) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau| =0 и оценка (4.6) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ проверено в [30; теорема 3.10], утверждение 2^\circ – в [109; теорема 7.9], утверждение 3^\circ – в [109; теорема 7.11]. Далее, теоремы 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.8, 4.9 (об усилении общих результатов при дополнительных предположениях), в свою очередь, точны. Теорема 4.13 [30], [109]. Предположим, что \widehat{N}_{0,Q}=0 и \widehat{\mathcal N}_Q^{(q)} \ne 0 при некотором q\in \{1,\dots,p\}. 1^\circ. Пусть s \geqslant 2. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau|^{1/2}=0 и оценка (4.4) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau| =0 и оценка (4.5) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции C(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} C(\tau)/ |\tau|^{1/2} =0 и оценка (4.6) выполняется при всех \tau \in \mathbb{R} и достаточно малых |t| и \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ установлено в [30; теорема 3.11], утверждение 2^\circ – в [109; теорема 7.10], утверждение 3^\circ – в [109; теорема 7.12]. Глава 2. Периодические дифференциальные операторы в L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)5. Класс дифференциальных операторов в L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n)5.1. Решетки. Ряд ФурьеПусть \Gamma – решетка в \mathbb{R}^d, порожденная базисом \mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_d, т. е.
\begin{equation*}
\Gamma=\biggl\{ \mathbf{a} \in \mathbb{R}^d \colon \mathbf{a}= \displaystyle\sum_{j=1}^{d} n_j \mathbf{a}_j, \ n_j \in \mathbb{Z}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Введем элементарную ячейку этой решетки:
\begin{equation*}
\Omega:=\biggl\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d \colon \mathbf{x}= \displaystyle\sum_{j=1}^{d} \xi_j \mathbf{a}_j, \ 0 < \xi_j < 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Базис \mathbf{b}_1,\dots, \mathbf{b}_d, двойственный по отношению к \mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_d, определяется из соотношений \langle\mathbf{b}_l,\mathbf{a}_j\rangle=2 \pi \delta_{lj}. Этот базис порождает решетку \widetilde\Gamma, двойственную к решетке \Gamma. Обозначим через \widetilde\Omega центральную зону Бриллюэна решетки \widetilde\Gamma:
\begin{equation}
\widetilde\Omega=\bigl\{\mathbf{k} \in \mathbb{R}^d\colon |\mathbf{k}| < |\mathbf{k}-\mathbf{b}|, \ 0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde\Gamma\bigr\}.
\end{equation}
\tag{5.1}
Будем пользоваться обозначениями |\Omega|=\operatorname{mes}\Omega, |\widetilde\Omega|=\operatorname{mes}\widetilde\Omega; отметим, что |\Omega|\,|\widetilde\Omega|=(2\pi)^d. Пусть r_0 – радиус шара, вписанного в \operatorname{clos}\widetilde\Omega, и пусть r_1:=\max_{\mathbf{k} \in \partial\widetilde{\Omega}}|\mathbf{k}|. Отметим, что
\begin{equation}
2 r_0=\min|\mathbf{b}|, \qquad 0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde\Gamma.
\end{equation}
\tag{5.2}
С решеткой \Gamma связано дискретное преобразование Фурье
\begin{equation}
\mathbf{v}(\mathbf{x})=|\Omega|^{-1/2}\sum_{\mathbf{b} \in \widetilde\Gamma} \widehat{\mathbf{v}}_{\mathbf{b}} e^{i\langle\mathbf{b},\mathbf{x}\rangle},\qquad \mathbf{x} \in \Omega,
\end{equation}
\tag{5.3}
которое унитарно отображает l_2(\widetilde\Gamma;\mathbb{C}^n) на L_2(\Omega;\mathbb{C}^n):
\begin{equation}
\int_{\Omega} |\mathbf{v}(\mathbf{x})|^2\,d\mathbf{x}= \sum_{\mathbf{b} \in \widetilde\Gamma}|\widehat{\mathbf{v}}_{\mathbf{b}}|^2.
\end{equation}
\tag{5.4}
Через \widetilde H^1(\Omega;\mathbb{C}^n) обозначается подпространство тех функций из H^1(\Omega;\mathbb{C}^n), \Gamma-периодическое продолжение которых на \mathbb{R}^d принадлежит H^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n). Имеет место равенство
\begin{equation}
\int_{\Omega}|(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{v}({\mathbf x})|^2\,d\mathbf{x}= \sum_{\mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}} |\mathbf{b}+\mathbf{k} |^2 |\widehat{\mathbf{v}}_{\mathbf{b}}|^2, \qquad \mathbf{v} \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n), \quad \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d,
\end{equation}
\tag{5.5}
причем сходимость ряда в правой части этого равенства равносильна включению \mathbf{v} \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n). Из (5.1), (5.4) и (5.5) следует оценка
\begin{equation}
\int_{\Omega}|(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{v}|^2\,d\mathbf{x} \geqslant \sum_{\mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}}|\mathbf{k}|^2 |\widehat{\mathbf{v}}_{\mathbf{b}}|^2=|\mathbf{k}|^2\int_{\Omega} |\mathbf{v}|^2\,d\mathbf{x}, \qquad \mathbf{v} \in \widetilde{H}^1(\Omega; \mathbb{C}^n), \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}.
\end{equation}
\tag{5.6}
5.2. Преобразование ГельфандаПреобразование Гельфанда \mathcal{U} определяется на функциях из класса Шварца \mathbf{v} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) формулой
\begin{equation*}
\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})= (\mathcal{U}\mathbf{v})(\mathbf{k},\mathbf{x})= | \widetilde\Omega |^{-1/2} \sum_{\mathbf{a} \in \Gamma} e^{-i\langle \mathbf{k},\mathbf{x}+\mathbf{a}\rangle} \mathbf{v}(\mathbf{x}+\mathbf{a}),\qquad \mathbf{x} \in \Omega, \quad \mathbf{k} \in \widetilde\Omega.
\end{equation*}
\notag
При этом \|\widetilde{\mathbf{v}}\|_{L_2(\widetilde{\Omega} \times \Omega)}= \|{\mathbf v}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} и \mathcal{U} продолжается по непрерывности до унитарного отображения
\begin{equation*}
\mathcal{U}\colon L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) \to \int_{\widetilde\Omega} \oplus L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}=:\mathcal{H}.
\end{equation*}
\notag
Включение \mathbf{v} \in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) равносильно тому, что \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\,{\cdot}\,) \in \widetilde H^1(\Omega;\mathbb{C}^n) при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde\Omega и
\begin{equation*}
\int_{\widetilde\Omega}\int_{\Omega}\bigl(|(\mathbf{D}+\mathbf{k}) \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})|^2+ |\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})|^2\bigr)\, d\mathbf{x}\,d\mathbf{k} < \infty.
\end{equation*}
\notag
Оператор умножения на ограниченную \Gamma-периодическую функцию в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) под действием \mathcal{U} переходит в умножение на ту же функцию в слоях прямого интеграла \mathcal{H}. Действие дифференциального оператора b(\mathbf{D}) первого порядка на \mathbf{v} \in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) переходит в послойное действие оператора b(\mathbf{D}+\mathbf{k}) на \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\,{\cdot}\,) \in \widetilde H^1(\Omega;\mathbb{C}^n). 5.3. Факторизованные операторы \mathcal{A} второго порядкаПусть b (\mathbf{D})=\displaystyle\sum_{l=1}^d b_l D_l, где b_l – постоянные (m \times n)-матрицы (вообще говоря, с комплексными элементами). Предполагается, что m \geqslant n. Рассмотрим символ b(\boldsymbol{\xi})=\displaystyle\sum_{l=1}^d b_l \xi_l и предположим, что \operatorname{rank}b(\boldsymbol{\xi})=n при 0 \ne \boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d. Это равносильно тому, что для некоторых \alpha_0,\alpha_1 > 0 выполнены неравенства
\begin{equation}
\alpha_0 \mathbf{1}_n \leqslant b(\boldsymbol{\theta})^* b(\boldsymbol{\theta}) \leqslant \alpha_1 \mathbf{1}_n, \qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}, \quad 0 < \alpha_0 \leqslant \alpha_1 < \infty.
\end{equation}
\tag{5.7}
Отметим, что из (5.7) вытекают оценки для норм матриц b_l: Пусть f(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, – это \Gamma-периодическая (n \times n)-матричнозначная функция и h(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, – это \Gamma-периодическая (m \times m)-матричнозначная функция, причем
\begin{equation}
f,f^{-1} \in L_{\infty}(\mathbb{R}^d), \qquad h, h^{-1} \in L_{\infty} (\mathbb{R}^d).
\end{equation}
\tag{5.9}
Рассмотрим дифференциальный оператор
\begin{equation*}
\mathcal{X}=h b(\mathbf{D})f \colon L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) \to L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m),
\end{equation*}
\notag
заданный на области определения
\begin{equation*}
\operatorname{Dom}\mathcal{X}=\{\mathbf{u} \in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) \colon f \mathbf{u} \in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\}.
\end{equation*}
\notag
Оператор \mathcal{X} замкнут. Самосопряженный оператор \mathcal{A}=\mathcal{X}^*\mathcal{X} в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) порождается замкнутой квадратичной формой \mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]= \|\mathcal{X}\mathbf{u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \mathbf{u} \in \operatorname{Dom}\mathcal{X}. Формально,
\begin{equation}
\mathcal{A}=f(\mathbf{x})^* b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) f(\mathbf{x}),
\end{equation}
\tag{5.10}
где g( \mathbf{x})=h(\mathbf{x})^* h(\mathbf{x}). Используя преобразование Фурье и (5.7), (5.9), легко проверить оценки
\begin{equation}
\alpha_0\|g^{-1}\|_{L_{\infty}}^{-1}\|\mathbf{D} (f \mathbf{u})\|_{L_2}^2 \leqslant \mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}] \leqslant \alpha_1\|g\|_{L_{\infty}}\|\mathbf{D}(f \mathbf{u})\|_{L_2}^2, \qquad \mathbf{u} \in \operatorname{Dom}\mathcal{X}.
\end{equation}
\tag{5.11}
5.4. Операторы \mathcal{A}(\mathbf{k})Положим
\begin{equation}
\mathfrak{H}=L_2(\Omega;\mathbb{C}^n), \qquad \mathfrak{H}_*=L_2(\Omega;\mathbb{C}^m)
\end{equation}
\tag{5.12}
и рассмотрим замкнутый оператор \mathcal{X}(\mathbf{k}) \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}_*,\mathbf{k} \in \mathbb{R}^d, заданный соотношениями
\begin{equation*}
\mathcal{X}(\mathbf{k})=hb(\mathbf{D}+\mathbf{k})f, \qquad \operatorname{Dom} \mathcal{X} (\mathbf{k})=\{\mathbf{u} \in \mathfrak{H} \colon f \mathbf{u} \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)\}=:\mathfrak{d}.
\end{equation*}
\notag
Самосопряженный оператор \mathcal{A}(\mathbf{k})= \mathcal{X}(\mathbf{k})^*\mathcal{X}(\mathbf{k}) \colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H} порождается замкнутой квадратичной формой \mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u}, \mathbf{u}]= \|\mathcal{X}(\mathbf{k})\mathbf{u}\|_{\mathfrak{H}_*}^2, \mathbf{u} \in \mathfrak{d}. Формально можно записать
\begin{equation*}
\mathcal{A}(\mathbf{k})=f({\mathbf x})^* b({\mathbf D}+ \mathbf k)^* g({\mathbf x})b({\mathbf D}+\mathbf k)f({\mathbf x}).
\end{equation*}
\notag
Используя разложение функции {\mathbf v}=f\mathbf{u} в ряд Фурье (5.3) и условия (5.7), (5.9), легко проверить оценки
\begin{equation}
\alpha_0 \|g^{-1} \|_{L_\infty}^{-1}\|(\mathbf{D}+ \mathbf{k})f\mathbf{u}\|_{L_2 (\Omega)}^2 \leqslant \mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u},\mathbf{u}] \leqslant \alpha_1 \|g \|_{L_\infty}\|(\mathbf{D}+\mathbf{k}) f\mathbf{u}\|_{L_2(\Omega)}^2, \qquad \mathbf{u} \in \mathfrak{d}.
\end{equation}
\tag{5.13}
Из нижней оценки (5.13) и из (5.6) вытекает, что
\begin{equation}
\mathcal{A} (\mathbf{k}) \geqslant c_* |\mathbf{k}|^2 I, \qquad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},
\end{equation}
\tag{5.14}
где
\begin{equation}
c_*=\alpha_0\|f^{-1}\|_{L_\infty}^{-2}\|g^{-1}\|_{L_\infty}^{-1}.
\end{equation}
\tag{5.15}
Положим
\begin{equation}
\mathfrak{N}:=\operatorname{Ker}\mathcal{A}(0)= \operatorname{Ker}\mathcal{X}(0).
\end{equation}
\tag{5.16}
Соотношения (5.13) при \mathbf{k}=0 показывают, что
\begin{equation}
\mathfrak{N}=\{\mathbf{u} \in L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n) \colon f \mathbf{u}=\mathbf{c} \in \mathbb{C}^n\}, \qquad \dim \mathfrak{N}=n.
\end{equation}
\tag{5.17}
Как видно из (5.2) и (5.5) при \mathbf{k}=0, для функции \mathbf{v} \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n) такой, что \displaystyle\int_{\Omega}\mathbf{v} \, d \mathbf{x}=0, т. е. \widehat{\mathbf{v}}_0=0, выполнено неравенство
\begin{equation}
\|\mathbf{D}\mathbf{v}\|_{L_2(\Omega)}^2 \geqslant 4r_0^2\|\mathbf{v}\|_{L_2(\Omega)}^2.
\end{equation}
\tag{5.18}
Из (5.18) и из нижней оценки (5.13) при \mathbf{k}=0 следует, что расстояние d^0 от точки \lambda_0=0 до остального спектра оператора \mathcal{A}(0) подчинено оценке 5.5. Зонные функцииОбозначим через E_j(\mathbf{k}), j \in \mathbb{N}, последовательные (с учетом кратностей) собственные значения оператора \mathcal{A}(\mathbf{k}) (зонные функции):
\begin{equation*}
E_1(\mathbf{k}) \leqslant E_2(\mathbf{k}) \leqslant \cdots \leqslant E_j(\mathbf{k}) \leqslant \cdots, \qquad \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d.
\end{equation*}
\notag
Зонные функции E_j(\mathbf{k}) непрерывны и \widetilde{\Gamma}-периодичны. Как показано в [7; гл. 2, п. 2.2] (на основании вариационных соображений), зонные функции удовлетворяют следующим оценкам:
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \notag E_j(\mathbf{k}) &\geqslant c_*|\mathbf{k}|^2, &\qquad \mathbf{k} &\in \operatorname{clos}\widetilde{\Omega}, &\quad j&=1,\dots,n, \\ E_{n+1}(\mathbf{k}) &\geqslant c_* r_0^2, &\qquad \mathbf{k} &\in \operatorname{clos}\widetilde{\Omega}.&& \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{5.20}
5.6. Прямой интеграл для оператора \mathcal{A}Под действием преобразования Гельфанда \mathcal{U} оператор \mathcal{A} раскладывается в прямой интеграл:
\begin{equation}
\mathcal{U}\mathcal{A}\mathcal{U}^{-1}= \int_{\widetilde\Omega}\oplus \mathcal{A}(\mathbf{k}) \, d \mathbf{k}.
\end{equation}
\tag{5.21}
Это означает следующее. Пусть \mathbf{u} \in \operatorname{Dom}\mathcal{X}, тогда
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k},\,{\cdot}\,) \in \mathfrak{d} \quad \text{при почти всех}\ \mathbf{k} \in \widetilde\Omega,
\end{equation}
\tag{5.22}
\begin{equation}
\mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]= \int_{\widetilde{\Omega}}\mathfrak{a}(\mathbf{k}) [\widetilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k},\,{\cdot}\,), \widetilde{\mathbf{u}}(\mathbf{k},\,{\cdot}\,)] \, d\mathbf{k}.
\end{equation}
\tag{5.23}
Обратно, если для \widetilde{\mathbf{u}} \in \mathcal{H} выполнено включение (5.22) и интеграл в (5.23) конечен, то \mathbf{u} \in \operatorname{Dom}\mathcal{X} и выполнено равенство (5.23). Из (5.21) следует, что спектр оператора \mathcal{A} совпадает с объединением зон \operatorname{Ran}E_j, j \in\mathbb{N}. Из (5.16), (5.17) видно, что \min_{\mathbf{k}}E_j(\mathbf{k})=E_j(0)=0, j=1,\dots,n, т. е. первые n спектральных зон оператора \mathcal{A} перекрываются и имеют общий нижний край \lambda_0=0, а (n+1)-я зона отделена от нуля (см. (5.20)). 5.7. Включение операторов \mathcal{A}(\mathbf{k}) в абстрактную схемуЕсли d > 1, то операторы \mathcal{A}(\mathbf{k}) зависят от многомерного параметра \mathbf{k}. Следуя [7; гл. 2], введем одномерный параметр t=|\mathbf{k}|. Будем использовать схему главы 1. При этом все построения будут зависеть от дополнительного параметра \boldsymbol{\theta}=\mathbf{k}/|\mathbf{k}| \in \mathbb{S}^{d-1} и мы должны следить за равномерностью оценок по \boldsymbol{\theta}. Пространства \mathfrak{H} и \mathfrak{H}_* определены в (5.12). Положим X(t)=X(t,\boldsymbol{\theta}):=\mathcal{X}(t \boldsymbol{\theta}). При этом выполнено равенство X(t,\boldsymbol{\theta})= X_0+t X_1(\boldsymbol{\theta}), где X_0=h(\mathbf{x})b(\mathbf{D})f(\mathbf{x}), \operatorname{Dom}X_0=\mathfrak{d}, а X_1(\boldsymbol{\theta}) – ограниченный оператор умножения на матрицу h(\mathbf{x}) b(\boldsymbol{\theta}) f(\mathbf{x}). Далее, положим A(t)=A(t,\boldsymbol{\theta}):=\mathcal{A}(t \boldsymbol{\theta}). Ядро \mathfrak{N}=\operatorname{Ker}X_0=\operatorname{Ker}\mathcal{A}(0) определено в (5.17), \dim \mathfrak{N}=n. Число d^0 удовлетворяет оценке (5.19). Как было показано в [7; гл. 2, § 3], условие n \leqslant n_*=\dim\operatorname{Ker}X^*_0 также выполнено. Более того, либо n_*=n (если m=n), либо n_*=\infty (если m > n). Таким образом, все предположения абстрактной схемы выполнены. Следуя п. 1.1, мы должны зафиксировать число \delta >0 такое, что \delta < d^0/8. Учитывая (5.15) и (5.19), положим
\begin{equation}
\delta=\frac{1}{4}\,c_* r^2_0= \frac{1}{4}\,\alpha_0\|f^{-1}\|_{L_\infty}^{-2} \|g^{-1}\|_{L_\infty}^{-1}r^2_0.
\end{equation}
\tag{5.24}
Отметим, что в силу (5.7) и (5.9) справедлива оценка
\begin{equation}
\|X_1(\boldsymbol{\theta})\| \leqslant \alpha^{1/2}_1\|h\|_{L_{\infty}} \|f\|_{L_{\infty}}, \qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}.
\end{equation}
\tag{5.25}
Для t_0 (см. (1.1)) примем следующее значение:
\begin{equation}
t_0=\delta^{1/2}\alpha_1^{-1/2}\|h\|_{L_{\infty}}^{-1}\|f\|_{L_{\infty}}^{-1}= \frac{r_0}{2}\,\alpha_0^{1/2}\alpha_1^{-1/2}\bigl(\|h\|_{L_{\infty}} \|h^{-1}\|_{L_{\infty}}\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}\bigr)^{-1}.
\end{equation}
\tag{5.26}
Очевидно, что t_0 \leqslant r_0/2. Следовательно, шар |\mathbf{k}| \leqslant t_0 целиком лежит внутри \widetilde{\Omega}. Важно, что величины c_*, \delta, t_0 (см. (5.15), (5.24), (5.26)) не зависят от \boldsymbol{\theta}. В силу (5.14) выполнено условие 1.4. Росток S(\boldsymbol{\theta}) оператора A(t,\boldsymbol{\theta}) невырожден равномерно по \boldsymbol{\theta} (ср. (1.17)): 6. Эффективные характеристики оператора \widehat{\mathcal{A}}6.1. Оператор A(t,\boldsymbol{\theta}) в случае f=\mathbf{1}_nОсобую роль играет оператор \mathcal A при f=\mathbf{1}_n. Условимся в этом случае отмечать все объекты значком “\widehat{\phantom{\_}} ”. Тогда для оператора
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{A}}=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})
\end{equation}
\tag{6.1}
семейство \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})=b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^* g(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}+\mathbf{k}) обозначается через \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta}). Ядро (5.17) принимает вид
\begin{equation}
\widehat{\mathfrak{N}}=\{\mathbf{u} \in L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) \colon \mathbf{u}=\mathbf{c} \in \mathbb{C}^n\},
\end{equation}
\tag{6.2}
т. е. \widehat{\mathfrak{N}} состоит из постоянных вектор-функций. Ортопроектор \widehat{P} пространства L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) на подпространство (6.2) есть оператор усреднения по ячейке:
\begin{equation}
\widehat{P}\mathbf{u}=|\Omega|^{-1}\int_{\Omega} \mathbf{u}(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x}.
\end{equation}
\tag{6.3}
В случае f=\mathbf{1}_n постоянные (5.15), (5.24) и (5.26) принимают вид
\begin{equation}
\widehat{\delta} =\frac{1}{4}\,\alpha_0 \|g^{-1} \|_{L_\infty}^{-1} r^2_0,
\end{equation}
\tag{6.5}
\begin{equation}
\widehat{t}_0 =\frac{r_0}{2}\,\alpha_0^{1/2}\alpha_1^{-1/2} \bigl(\|g\|_{L_{\infty}}\|g^{-1}\|_{L_{\infty}}\bigr)^{-1/2}.
\end{equation}
\tag{6.6}
Неравенство (5.25) превращается в следующее:
\begin{equation}
\|\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\| \leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_{\infty}}^{1/2}.
\end{equation}
\tag{6.7}
6.2. Вспомогательные операторыОператоры \widehat{Z}(\boldsymbol{\theta}), \widehat{R}(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) для семейства \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta}) (в абстрактных терминах определенные в п. 1.2) теперь зависят от \boldsymbol{\theta}. Они были найдены в [8; п. 4.1] и [7; гл. 3, § 1]. Пусть \Lambda \in \widetilde{H}^1(\Omega) есть \Gamma-периодическая (n \times m)-матричнозначная функция, удовлетворяющая уравнению
\begin{equation}
b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x})\bigl(b(\mathbf{D}) \Lambda (\mathbf{x})+ \mathbf{1}_m\bigr)=0, \qquad \int_{\Omega} \Lambda (\mathbf{x}) \, d \mathbf{x}=0.
\end{equation}
\tag{6.8}
Тогда операторы \widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})\colon \mathfrak{H} \to \mathfrak{H} и \widehat{R}(\boldsymbol{\theta})\colon\widehat{\mathfrak{N}} \to \mathfrak{N}_* представимы в виде
\begin{equation}
\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})= [\Lambda] b(\boldsymbol{\theta})\widehat{P},\qquad \widehat{R}(\boldsymbol{\theta})= [h(b({\mathbf D})\Lambda+{\mathbf 1}_m)]b(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation}
\tag{6.9}
Здесь и ниже квадратные скобки обозначают оператор умножения на функцию. Спектральный росток \widehat{S} (\boldsymbol{\theta})= \widehat{R}(\boldsymbol{\theta})^*\widehat{R}(\boldsymbol{\theta}) семейства \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta}), действующий в \widehat{\mathfrak{N}}, имеет вид
\begin{equation}
\widehat{S} (\boldsymbol{\theta})= b(\boldsymbol{\theta})^* g^0 b(\boldsymbol{\theta}), \qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1},
\end{equation}
\tag{6.10}
где b(\boldsymbol{\theta}) – символ оператора b(\mathbf{D}), а g^0 – так называемая эффективная матрица. Она определяется в терминах матрицы \Lambda(\mathbf{x}):
\begin{equation}
\widetilde{g}(\mathbf{x}):=g(\mathbf{x}) \bigl(b(\mathbf{D})\Lambda(\mathbf{x})+\mathbf{1}_m\bigr),
\end{equation}
\tag{6.11}
\begin{equation}
g^0=|\Omega|^{-1}\int_{\Omega}\widetilde{g}(\mathbf{x})\, d \mathbf{x}.
\end{equation}
\tag{6.12}
Выясняется, что матрица g^0 положительно определена. На основании (6.8) легко проверить следующие оценки:
\begin{equation}
\|g^{1/2} b(\mathbf{D}) \Lambda \|_{L_2(\Omega)} \leqslant |\Omega|^{1/2} \|g\|_{L_\infty}^{1/2};
\end{equation}
\tag{6.13}
\begin{equation}
\|\Lambda \|_{L_2(\Omega)} \leqslant | \Omega |^{1/2} M_1, \quad M_1:=(2 r_0)^{-1} \alpha_0^{-1/2} \|g\|_{L_\infty}^{1/2} \|g^{-1}\|_{L_\infty}^{1/2};
\end{equation}
\tag{6.14}
\begin{equation}
\|\mathbf{D} \Lambda \|_{L_2(\Omega)} \leqslant | \Omega |^{1/2} M_2, \quad M_2:=\alpha_0^{-1/2} \|g\|_{L_\infty}^{1/2} \|g^{-1}\|_{L_\infty}^{1/2}.
\end{equation}
\tag{6.15}
6.3. Эффективный операторРассмотрим символ
\begin{equation}
\widehat{S} (\mathbf{k}):=t^2\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})= b(\mathbf{k})^* g^0 b(\mathbf{k}), \qquad \mathbf{k} \in \mathbb{R}^{d}.
\end{equation}
\tag{6.16}
Отметим оценку
\begin{equation*}
\widehat{S}(\mathbf{k}) \geqslant \widehat{c}_*|\mathbf k|^2{\mathbf 1}_n, \qquad \mathbf{k} \in \mathbb{R}^{d},
\end{equation*}
\notag
вытекающую из (5.27) (при f={\mathbf 1}_n). Выражение (6.16) является символом дифференциального оператора
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}=b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D}),
\end{equation}
\tag{6.17}
действующего в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) и называемого эффективным оператором для оператора \widehat{\mathcal{A}}. Пусть \widehat{\mathcal{A}}^{\,0} (\mathbf{k}) – операторное семейство в L_2(\Omega; \mathbb{C}^n), отвечающее оператору (6.17). Тогда \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})= b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*g^0 b(\mathbf{D}+\mathbf{k}) при периодических граничных условиях. Отсюда с учетом (6.3) и (6.16) вытекает тождество
\begin{equation}
\widehat{S}(\mathbf{k})\widehat{P}= \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})\widehat{P}.
\end{equation}
\tag{6.18}
6.4. Свойства эффективной матрицыСледующие свойства матрицы g^0 были проверены в [7; гл. 3, теорема 1.5]. Предложение 6.1 [7]. Для эффективной матрицы справедливы оценки где
\begin{equation*}
\overline{g}:=|\Omega|^{-1}\int_{\Omega}g(\mathbf{x})\, d \mathbf{x}, \qquad \underline{g}:=\biggl(|\Omega|^{-1} \int_{\Omega}g(\mathbf{x})^{-1}\, d \mathbf{x}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
В случае m=n всегда выполнено равенство g^0=\underline{g}. Оценки (6.19) известны в теории усреднения для конкретных дифференциальных операторов как вилка Фойгта–Рейсса. Отметим также неравенства, вытекающие из (6.19):
\begin{equation*}
|g^0| \leqslant \|g\|_{L_\infty}, \qquad |(g^0)^{-1}| \leqslant \|g^{-1}\|_{L_\infty}.
\end{equation*}
\notag
Теперь выделим условия, при которых реализуется верхняя или нижняя грань в (6.19); см. [7; гл. 3, предложения 1.6 и 1.7]. Предложение 6.2 [7]. Равенство g^0=\overline{g} равносильно соотношениям
\begin{equation}
b(\mathbf{D})^*\mathbf{g}_k(\mathbf{x})=0, \qquad k=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{6.20}
где \mathbf{g}_k(\mathbf{x}), k=1,\dots,m, – столбцы матрицы g(\mathbf{x}). Предложение 6.3 [7]. Равенство g^0=\underline{g} равносильно представлениям
\begin{equation}
\mathbf{l}_k(\mathbf{x})= \mathbf{l}^0_k+b(\mathbf{D})\mathbf{w}_k(\mathbf{x}),\qquad \mathbf{l}^0_k \in \mathbb{C}^m, \quad \mathbf{w}_k \in \widetilde{H}^1(\Omega; \mathbb{C}^n), \quad k=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{6.21}
где \mathbf{l}_k(\mathbf{x}), k=1,\dots,m, – столбцы матрицы g (\mathbf{x})^{-1}. 6.5. Аналитические ветви собственных значений и собственных элементовАналитические (по t) ветви собственных значений \widehat{\lambda}_l(t,\boldsymbol{\theta}) и собственных элементов \widehat{\varphi}_l(t,\boldsymbol{\theta}) оператора \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta}) допускают степенные разложения вида (1.4), (1.5) с коэффициентами, зависящими от \boldsymbol{\theta} (интервал сходимости t=|\mathbf{k}| \leqslant t_*(\boldsymbol{\theta}) мы не контролируем):
\begin{equation}
\widehat{\lambda}_l(t,\boldsymbol{\theta}) = \widehat{\gamma}_l(\boldsymbol{\theta})t^2+ \widehat{\mu}_l(\boldsymbol{\theta})t^3+ \widehat{\nu}_l(\boldsymbol{\theta}) t^4+\cdots, \qquad l =1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{6.22}
\begin{equation}
\widehat{\varphi}_l(t,\boldsymbol{\theta}) = \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta})+ t\widehat{\psi}^{(1)}_l(\boldsymbol{\theta})+\cdots, \qquad l =1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{6.23}
Согласно (1.7) числа \widehat{\gamma}_l(\boldsymbol{\theta}) и элементы \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}) являются собственными значениями и собственными элементами ростка:
\begin{equation*}
b(\boldsymbol{\theta})^* g^0 b(\boldsymbol{\theta}) \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta})= \widehat{\gamma}_l(\boldsymbol{\theta}) \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}),\qquad l=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
6.6. Оператор \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})Опишем теперь оператор N (в абстрактных терминах определенный в (1.13)). Как проверено в [8; § 4], для семейства \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta}) этот оператор принимает вид
\begin{equation}
\widehat{N}(\boldsymbol{\theta})=b(\boldsymbol{\theta})^* L(\boldsymbol{\theta}) b(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P},
\end{equation}
\tag{6.24}
где L (\boldsymbol{\theta}) есть (m \times m)-матричнозначная функция, заданная соотношением
\begin{equation}
L (\boldsymbol{\theta})=|\Omega|^{-1}\int_{\Omega}\bigl(\Lambda(\mathbf{x})^* b(\boldsymbol{\theta})^* \widetilde{g}(\mathbf{x})+ \widetilde{g}(\mathbf{x})^* b(\boldsymbol{\theta}) \Lambda(\mathbf{x})\bigr)\, d \mathbf{x}.
\end{equation}
\tag{6.25}
Здесь \Lambda(\mathbf{x}) – это \Gamma-периодическое решение задачи (6.8), а \widetilde{g}(\mathbf{x}) – это матрица-функция (6.11). Отметим, что эрмитова матричнозначная функция L(\mathbf{k}):=tL(\boldsymbol{\theta}),\mathbf{k} \in \mathbb{R}^d, однородна первой степени. Положим \widehat{N}(\mathbf{k}):= t^3 \widehat{N} (\boldsymbol{\theta}), \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d. Тогда
\begin{equation}
\widehat{N}(\mathbf{k})=b(\mathbf{k})^*L(\mathbf{k})b(\mathbf{k})\widehat{P}.
\end{equation}
\tag{6.26}
Матрица-функция b(\mathbf{k})^*L(\mathbf{k})b(\mathbf{k}) является однородным многочленом третьей степени от \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d. В [9] указаны некоторые достаточные условия, при которых оператор (6.24) обращается в нуль. Предложение 6.4 [9; § 4]. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих предположений: (a) оператор \widehat{\mathcal{A}} имеет вид \widehat{\mathcal{A}}=\mathbf{D}^* g(\mathbf{x})\mathbf{D}, где g(\mathbf{x}) – симметричная матрица с вещественными элементами; (b) выполнены соотношения (6.20), т. е. g^0=\overline{g}; (c) выполнены соотношения (6.21), т. е. g^0=\underline{g} (в частности, эти соотношения автоматически выполнены, если m=n). Тогда \widehat{N} (\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. С другой стороны, в [8; пп. 10.4, 13.2, 14.6] приведены примеры операторов \widehat{\mathcal{A}}, для которых оператор \widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) отличен от нуля. Это пример скалярного эллиптического оператора (случай n=1) с комплексной эрмитовой матрицей коэффициентов, а также пример матричного оператора с вещественными коэффициентами. См. также [29; пример 8.7], [31; п. 14.3]. Напомним (см. замечание 1.3), что справедливо представление \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})=\widehat{N}_0 (\boldsymbol{\theta})+ \widehat{N}_*(\boldsymbol{\theta}), где оператор \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}) диагонален в базисе \{\widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta})\}_{l=1}^n, а оператор \widehat{N}_*(\boldsymbol{\theta}) имеет нулевые диагональные элементы. При этом
\begin{equation*}
(\widehat{N}(\boldsymbol{\theta})\widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}), \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}))_{L_2(\Omega)}= (\widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})\widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}), \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}))_{L_2(\Omega)}= \widehat{\mu}_l(\boldsymbol{\theta}), \qquad l=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
В [8; п. 4.3] установлена справедливость следующего утверждения. Предложение 6.5. Пусть b(\boldsymbol{\theta}) и g(\mathbf{x}) – матрицы с вещественными элементами. Пусть в разложениях (6.23) для аналитических ветвей собственных векторов оператора \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta}) зародыши \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n, можно выбрать вещественными. Тогда в (6.22) коэффициенты \widehat{\mu}_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n, равны нулю, т. е. \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})=0. В рассматриваемом “вещественном” случае росток \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) представляет собой симметричную вещественную матрицу. Ясно, что в случае простого собственного значения \widehat{\gamma}_j(\boldsymbol{\theta}) ростка зародыш \widehat{\omega}_j(\boldsymbol{\theta}) определяется однозначно с точностью до фазового множителя и его всегда можно выбрать вещественным. Мы получаем следующий результат. Следствие 6.6. Пусть b(\boldsymbol{\theta}) и g(\mathbf{x}) – матрицы с вещественными элементами, и пусть спектр ростка \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) простой. Тогда \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})=0. Однако, как показывают примеры в [29] и [31] (см. [29; пример 8.7], [31; п. 14.3]), в “вещественном” случае не всегда возможно выбрать векторы \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}) вещественными. Может случиться, что \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}) \ne 0 в некоторых точках \boldsymbol{\theta}. 6.7. Операторы \widehat{Z}_2(\boldsymbol{\theta}), \widehat{R}_2(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{N}_1^0(\boldsymbol{\theta})Опишем операторы Z_2, R_2 и N_1^0 (в абстрактных терминах определенные в пп. 1.2 и 1.7) для семейства \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta}). Пусть \Lambda_l^{(2)}({\mathbf x}) есть \Gamma-периодическая (n \times m)-матрица-функция, являющаяся решением задачи
\begin{equation*}
b({\mathbf D})^*g({\mathbf x})\bigl(b({\mathbf D})\Lambda_l^{(2)} ({\mathbf x})+b_l \Lambda({\mathbf x})\bigr)= b_l^* \bigl(g^0-\widetilde{g}({\mathbf x})\bigr),\qquad \int_\Omega \Lambda_l^{(2)}({\mathbf x})\, d{\mathbf x}=0.
\end{equation*}
\notag
Положим \Lambda^{(2)}({\mathbf x}; \boldsymbol{\theta}):= \displaystyle\sum_{l=1}^d \Lambda_l^{(2)}({\mathbf x}) \theta_l. Как проверено в [16; п. 6.3],
\begin{equation*}
\widehat{Z}_2(\boldsymbol{\theta})= \bigl[\Lambda^{(2)}(\,{\cdot}\,;\boldsymbol{\theta})\bigr] b(\boldsymbol{\theta})\widehat{P},\quad \widehat{R}_2(\boldsymbol{\theta})= \bigl[h\bigl(b({\mathbf D})\Lambda^{(2)}(\,{\cdot}\,;\boldsymbol{\theta}) +b(\boldsymbol{\theta})\Lambda\bigr)\bigr]b(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation*}
\notag
Наконец, в [16; п. 6.4] было получено представление
\begin{equation}
\widehat{N}_1^0(\boldsymbol{\theta})= b(\boldsymbol{\theta})^*L_2(\boldsymbol{\theta})b(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P},
\end{equation}
\tag{6.27}
где
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag L_2(\boldsymbol{\theta})&=|\Omega|^{-1}\int_\Omega \bigl(\Lambda^{(2)}({\mathbf x};\boldsymbol{\theta})^*b(\boldsymbol{\theta})^* \widetilde{g}({\mathbf x})+\widetilde{g}({\mathbf x})^*b(\boldsymbol{\theta}) \Lambda^{(2)}({\mathbf x};\boldsymbol{\theta})\bigr)\, d{\mathbf x} \\ \notag &\qquad+|\Omega|^{-1}\int_\Omega\bigl(b({\mathbf D})\Lambda^{(2)} ({\mathbf x};\boldsymbol{\theta}) +b(\boldsymbol{\theta}) \Lambda({\mathbf x})\bigr)^*{g}({\mathbf x})\notag\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times\bigl(b({\mathbf D}) \Lambda^{(2)}({\mathbf x};\boldsymbol{\theta}) +b(\boldsymbol{\theta})\Lambda({\mathbf x})\bigr)\, d{\mathbf x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.28}
6.8. Кратности собственных значений росткаВ данном пункте считаем, что n \geqslant 2. Перейдем к обозначениям, принятым в п. 1.6, следя за кратностями собственных значений спектрального ростка \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}). Вообще говоря, количество p(\boldsymbol{\theta}) различных собственных значений \widehat{\gamma}^{\circ}_1(\boldsymbol{\theta}),\dots, \widehat{\gamma}^{\circ}_{p(\boldsymbol{\theta})}(\boldsymbol{\theta}) спектрального ростка \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) и их кратности k_1(\boldsymbol{\theta}),\dots, k_{p(\boldsymbol{\theta})}(\boldsymbol{\theta}) зависят от параметра \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. При каждом фиксированном \boldsymbol{\theta} через \widehat{P}_j(\boldsymbol{\theta}) обозначим ортопроектор в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) на собственное подпространство \widehat{\mathfrak N}_j(\boldsymbol{\theta}) ростка \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}), отвечающее собственному значению \widehat{\gamma}_j^{\circ}(\boldsymbol{\theta}). Справедливы инвариантные представления для операторов \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{N}_*(\boldsymbol{\theta}):
\begin{equation}
\widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}) =\sum_{j=1}^{p(\boldsymbol{\theta})} \widehat{P}_j(\boldsymbol{\theta})\widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}_j (\boldsymbol{\theta}),
\end{equation}
\tag{6.29}
\begin{equation}
\widehat{N}_*(\boldsymbol{\theta}) = \sum_{\substack{1 \leqslant j,l \leqslant p(\boldsymbol{\theta}):\\ j \ne l}} \widehat{P}_j (\boldsymbol{\theta})\widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}_l(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation}
\tag{6.30}
6.9. Коэффициенты \widehat{\nu}_l(\boldsymbol{\theta})Коэффициенты \widehat{\nu}_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n, в разложениях (6.22) являются собственными значениями некоторой задачи. Нам понадобится описать эту задачу в случае, когда \widehat{\mu}_l(\boldsymbol{\theta})=0, l=1,\dots,n, т. е. \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})=0. Применяя предложение 1.6, приходим к следующему утверждению. См. также [32; предложение 8.7]. Предложение 6.7. Пусть \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})=0. Пусть \widehat{\gamma}_1^\circ(\boldsymbol{\theta}),\dots, \widehat{\gamma}_{p(\boldsymbol{\theta})}^\circ(\boldsymbol{\theta}) – различные собственные значения оператора (6.10), а k_1(\boldsymbol{\theta}),\dots, k_{p(\boldsymbol{\theta})}(\boldsymbol{\theta}) – их кратности. Пусть \widehat{P}_q(\boldsymbol{\theta}) – ортопроектор пространства L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) на подпространство \widehat{\mathfrak{N}}_q (\boldsymbol{\theta}) = \operatorname{Ker}\bigl(\widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) -\widehat{\gamma}_q^\circ(\boldsymbol{\theta}) I_{\widehat{\mathfrak{N}}}\bigr), q=1,\dots,p(\boldsymbol{\theta}). Пусть операторы \widehat{Z}(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{N}_1^0(\boldsymbol{\theta}) определены в (6.9) и (6.27), (6.28) соответственно. Введем операторы \widehat{\mathcal{N}}^{(q)}(\boldsymbol{\theta}), q=1,\dots,p(\boldsymbol{\theta}): оператор \widehat{\mathcal{N}}^{(q)}(\boldsymbol{\theta}) действует в \widehat{\mathfrak{N}}_q(\boldsymbol{\theta}) и задается выражением
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{\mathcal{N}}^{(q)}( \boldsymbol{\theta})&:= \widehat{P}_q(\boldsymbol{\theta})\biggl(\widehat{N}_1^0(\boldsymbol{\theta})- \frac{1}{2}\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})^*\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{S}(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}- \frac{1}{2}\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}\widehat{Z} (\boldsymbol{\theta})^*\widehat{Z} (\boldsymbol{\theta})\biggr)\bigg|_{\widehat{\mathfrak{N}}_q (\boldsymbol{\theta})} \\ &\qquad+\sum_{j=1,\dots,p(\boldsymbol{\theta}): j\ne q} \bigl(\widehat{\gamma}_q^\circ(\boldsymbol{\theta})- \widehat{\gamma}_j^\circ(\boldsymbol{\theta})\bigr)^{-1} \widehat{P}_q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}_j(\boldsymbol{\theta}) \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})\big|_{\widehat{\mathfrak{N}}_q (\boldsymbol{\theta})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.31}
Обозначим i(q,\boldsymbol{\theta})=k_1(\boldsymbol{\theta})+\dots+ k_{q-1}(\boldsymbol{\theta})+1. Пусть \widehat{\nu}_l(\boldsymbol{\theta}) – коэффициенты при t^4 из разложений (6.22), а \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}) – зародыши из (6.23), l=1,\dots,n. Тогда
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{N}}^{(q)}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta})=\widehat{\nu}_l(\boldsymbol{\theta}) \widehat{\omega}_l(\boldsymbol{\theta}), \qquad l=i(q, \boldsymbol{\theta}),i(q,\boldsymbol{\theta})+ 1,\dots,i(q,\boldsymbol{\theta})+k_q(\boldsymbol{\theta})-1.
\end{equation*}
\notag
7. Аппроксимация оператора e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal A}(\mathbf{k})}7.1. Аппроксимация по операторной норме в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)Рассмотрим оператор \mathcal{H}_0=-\Delta в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). При разложении в прямой интеграл оператору \mathcal{H}_0 отвечает семейство операторов \mathcal{H}_0(\mathbf{k}), действующих в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n). Оператор \mathcal{H}_0(\mathbf{k}) задается дифференциальным выражением |\mathbf{D}+\mathbf{k}|^2 при периодических граничных условиях. Введем обозначение
\begin{equation}
\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon):= \varepsilon^2(\mathcal{H}_0(\mathbf{k})+\varepsilon^2 I)^{-1}.
\end{equation}
\tag{7.1}
Отметим очевидное тождество
\begin{equation}
\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\widehat{P}= \varepsilon^s(t^2+\varepsilon^2)^{-s/2}\widehat{P}, \qquad s > 0.
\end{equation}
\tag{7.2}
Заметим, что при |\mathbf k| > \widehat{t}_0 справедливо неравенство
\begin{equation}
\|\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\leqslant (\widehat{t}_0)^{-s}\varepsilon^s, \qquad \varepsilon > 0,\quad \mathbf k \in \widetilde{\Omega}, \quad |\mathbf k| > \widehat{t}_0.
\end{equation}
\tag{7.3}
Далее, используя дискретное преобразование Фурье, получаем оценку
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} &\leqslant \sup_{0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}} \varepsilon^s(|\mathbf{b}+\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{-s/2} \\ &\leqslant r_0^{-s} \varepsilon^s, \qquad \varepsilon > 0, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.4}
Здесь учтено, что |\mathbf{b}+\mathbf{k}| \geqslant r_0 при 0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma} и \mathbf k \in \widetilde{\Omega} (см. (5.1)). В силу (6.18) выполнено тождество
\begin{equation}
e^{-i\varepsilon^{-2}\tau t^2\widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}}\widehat{P}=e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal A}^0 (\mathbf{k})}\widehat{P}, \qquad \tau \in \mathbb{R},\quad \varepsilon > 0, \quad \mathbf{k}=t\boldsymbol{\theta} \in \widetilde{\Omega}.
\end{equation}
\tag{7.5}
Мы применим к оператору \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta})= \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k}) теоремы из раздела 2. Согласно замечанию 2.10 мы можем отследить зависимость постоянных в оценках от данных задачи. Отметим, что \widehat{c}_*, \widehat{\delta} и \widehat{t}_0 не зависят от \boldsymbol{\theta} (см. (6.4)–(6.6)). Согласно (6.7) норму \|\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\| можно заменить на \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_{\infty}}^{1/2}. Поэтому постоянные из теоремы 2.1 (примененной к оператору \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})) не будут зависеть от \boldsymbol{\theta}. Они будут зависеть только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 7.1 [25]. При \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon >0 и \mathbf k \in \widetilde{\Omega} выполнена оценка
\begin{equation*}
\|(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}^0(\mathbf{k})}) \mathcal{R}(\mathbf k,\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_1(1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Постоянная \widehat{\mathcal C}_1 зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 7.1 выводится из теоремы 2.1 и соотношений (7.2)–(7.5). Следует учесть также очевидные оценки
\begin{equation}
\bigl\|{\mathcal R}(\mathbf{k},\varepsilon)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant 1,
\end{equation}
\tag{7.6}
\begin{equation}
\bigl\|e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}^0 (\mathbf{k})}\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant 2.
\end{equation}
\tag{7.7}
Ранее теорема 7.1 была установлена в [25; теорема 7.1]. Теперь мы усиливаем результат теоремы 7.1 при дополнительных предположениях. Наложим следующее условие. Условие 7.2. Пусть оператор \widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) определен в (6.24). Предположим, что \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Из теоремы 2.2 выводится следующий результат, установленный в [30; теорема 6.2]. Теорема 7.3 [30]. Пусть выполнено условие 7.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} выполнена оценка
\begin{equation*}
\|(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}^0(\mathbf{k})}) \mathcal{R}(\mathbf k,\varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_2(1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Постоянная \widehat{\mathcal C}_2 зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теперь мы отказываемся от предположения \widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) \equiv 0, предполагая вместо этого, что \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta}. При этом считаем, что \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})= \widehat{N}_*(\boldsymbol{\theta})\ne 0 при некотором \boldsymbol{\theta}. (Иначе применима теорема 7.3.) Нам хотелось бы применить “абстрактный” факт (теорему 2.3). Однако возникает дополнительное осложнение, связанное с тем, что в некоторых точках \boldsymbol{\theta} может меняться кратность спектра ростка \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}). При приближении к таким точкам расстояние между какой-то парой различных собственных значений ростка стремится к нулю, и мы не можем выбрать величины \widehat{c}^{\circ}_{jl}, \widehat{t}^{00}_{jl} не зависящими от \boldsymbol{\theta}. Поэтому мы вынуждены налагать дополнительные условия. Заботиться нужно только о тех собственных значениях, для которых соответствующее слагаемое в представлении (6.30) отлично от нуля. Из-за того, что количество различных собственных значений ростка и их кратности могут зависеть от \boldsymbol{\theta}, при формулировке дополнительного условия удобнее пользоваться исходной нумерацией собственных значений \widehat{\gamma}_1(\boldsymbol{\theta}),\dots, \widehat{\gamma}_n(\boldsymbol{\theta}) ростка \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) (каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность), условившись нумеровать их в порядке неубывания:
\begin{equation*}
\widehat{\gamma}_1(\boldsymbol{\theta}) \leqslant \widehat{\gamma}_2(\boldsymbol{\theta}) \leqslant \cdots \leqslant \widehat{\gamma}_n (\boldsymbol{\theta}).
\end{equation*}
\notag
При каждом \boldsymbol{\theta} через \widehat{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta}) обозначим ортопроектор пространства L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) на собственное подпространство оператора \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}), отвечающее собственному значению \widehat{\gamma}_k(\boldsymbol{\theta}). Ясно, что при каждом \boldsymbol{\theta} оператор \widehat{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta}) совпадает с одним из проекторов \widehat{P}_j(\boldsymbol{\theta}), введенных в п. 6.8 (но номер j может зависеть от \boldsymbol{\theta} и меняется в точках перемены кратности спектра ростка). Условие 7.4. 1^\circ. Оператор \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}), определенный соотношением (6.29), равен нулю: \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. 2^\circ. Для каждой пары индексов (k,r), 1 \leqslant k,r \leqslant n, k \ne r, такой, что \widehat{\gamma}_k(\boldsymbol{\theta}_0)= \widehat{\gamma}_r(\boldsymbol{\theta}_0) при некотором \boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}, выполнено равенство \widehat{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta})\widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}^{(r)}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Условие 2^\circ может быть переформулировано: мы требуем, чтобы для ненулевых (тождественно) “блоков” \widehat{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta})\widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}^{(r)}(\boldsymbol{\theta}) оператора \widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) соответствующие ветви собственных значений \widehat{\gamma}_k(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{\gamma}_r(\boldsymbol{\theta}) не пересекались. Разумеется, выполнение условия 7.4 гарантируется следующим более сильным условием. Условие 7.5. 1^\circ. Оператор \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}), определенный соотношением (6.29), равен нулю: \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. 2^\circ. Количество p различных собственных значений спектрального ростка \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) не зависит от \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Замечание 7.6. Предположение пункта 2^\circ условия 7.5 заведомо выполнено, если спектр ростка \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) простой при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Итак, предполагаем выполненным условие 7.4. Нас интересуют только пары индексов из множества
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{K}}:=\{ (k,r) \colon 1 \leqslant k,r \leqslant n,\ k \ne r, \ \widehat{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}^{(r)}(\boldsymbol{\theta}) \not\equiv 0\}.
\end{equation*}
\notag
Введем обозначение
\begin{equation*}
\widehat{c}^{\circ}_{kr} (\boldsymbol{\theta}):= \min \{\widehat{c}_*,n^{-1}|\widehat{\gamma}_k(\boldsymbol{\theta})- \widehat{\gamma}_r(\boldsymbol{\theta})|\}, \qquad (k,r) \in \widehat{\mathcal{K}}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку оператор \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) непрерывно зависит от \boldsymbol{\theta}\in \mathbb{S}^{d-1} (это многочлен второй степени), то из теории возмущений дискретного спектра следует, что \widehat{\gamma}_j(\boldsymbol{\theta}) – непрерывные функции на сфере \mathbb{S}^{d-1}. В силу пункта 2^\circ условия 7.4 при (k,r) \in \widehat{\mathcal{K}} выполнено неравенство |\widehat{\gamma}_k(\boldsymbol{\theta})- \widehat{\gamma}_r(\boldsymbol{\theta})| > 0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}, а тогда
\begin{equation*}
\widehat{c}^{\circ}_{kr}:=\min_{\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}}\widehat{c}^{\circ}_{kr}(\boldsymbol{\theta})>0, \qquad (k,r) \in \widehat{\mathcal{K}}.
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation}
\widehat{c}^{\circ}:= \min_{(k,r) \in \widehat{\mathcal{K}}}\widehat{c}^{\circ}_{kr}.
\end{equation}
\tag{7.8}
Ясно, что число (7.8) – это реализация величины (2.1), выбранная не зависящей от \boldsymbol{\theta}. Число, подчиненное (2.2), при условии 7.4 также можно выбрать не зависящим от \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. С учетом (6.5) и (6.7) положим
\begin{equation*}
\widehat{t}^{\,00}=(8 \beta_2)^{-1} r_0 \alpha_1^{-3/2}\alpha_0^{1/2} \|g\|_{L_{\infty}}^{-3/2}\| g^{-1}\|_{L_{\infty}}^{-1/2}\widehat{c}^{\circ},
\end{equation*}
\notag
где \widehat{c}^{\circ} определено в (7.8). (Условие \widehat{t}^{\,00} \leqslant \widehat{t}_{0} выполнено, поскольку \widehat{c}^{\circ}\! \leqslant \|\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})\| \leqslant \alpha_1\|g\|_{L_{\infty}}.) Замечание 7.7. В отличие от числа \widehat{t}_{0} (см. (6.6)), которое контролируется только через r_0, \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_{\infty}} и \|g^{-1}\|_{L_{\infty}}, величина \widehat{t}^{\,00} зависит от спектральной характеристики ростка – минимального расстояния между его различными собственными значениями \widehat{\gamma}_k(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{\gamma}_r (\boldsymbol{\theta}) (где (k,r) пробегает \widehat{\mathcal{K}}). При условии 7.4 из теоремы 2.3 выводим следующий результат (см. [30; теорема 6.7]). Следует учитывать, что сейчас константы в оценках будут зависеть не только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0, но и от \widehat{c}^\circ и n; см. замечание 2.10. Теорема 7.8 [30]. Пусть выполнено условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation*}
\|(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}^0(\mathbf{k})}) \mathcal{R}(\mathbf k,\varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_3(1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Постоянная \widehat{\mathcal C}_3 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и \widehat{c}^\circ. 7.2. Более точная аппроксимация по операторной норме в пространстве L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)В силу (6.9) имеем
\begin{equation}
t\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}= \Lambda b(\mathbf{k})\widehat{P}=\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\widehat{P}.
\end{equation}
\tag{7.9}
Из (6.26) следует, что
\begin{equation}
t^3 \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}= \widehat{N}(\mathbf{k})\widehat{P}= b(\mathbf{k})^* L(\mathbf{k}) b(\mathbf{k}) \widehat{P}= b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^* L(\mathbf{D}+ \mathbf{k}) b(\mathbf{D}+\mathbf{k}) \widehat{P}.
\end{equation}
\tag{7.10}
Отметим, что из (1.2), (1.14) и (6.7) вытекают оценки
\begin{equation}
\|\widehat{X}_0\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \|\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\| \leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|^{1/2}_{L_\infty},
\end{equation}
\tag{7.11}
\begin{equation}
\|\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant (8\widehat{\delta})^{-1/2}\|\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\| \leqslant (8\widehat{\delta})^{-1/2}\alpha_1^{1/2}\|g\|^{1/2}_{L_\infty}=: C_{\widehat{Z}},
\end{equation}
\tag{7.12}
\begin{equation}
\|\widehat{N}(\boldsymbol{\theta})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant (2\widehat{\delta})^{-1/2}\|\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\|^3 \leqslant (2\widehat{\delta})^{-1/2}\alpha_1^{3/2}\|g\|^{3/2}_{L_\infty}=: C_{\widehat{N}}.
\end{equation}
\tag{7.13}
Положим
\begin{equation}
\widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau):= e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})} \bigl(I+\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\widehat{P}\bigr)- \bigl(I+\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\widehat{P}\bigr) e^{-i \varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})},
\end{equation}
\tag{7.14}
\begin{equation}
\nonumber \widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) := \widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad+i\varepsilon^{-2}\int_0^\tau e^{-i\varepsilon^{-2}(\tau- \widetilde{\tau})\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})} b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^* L(\mathbf{D}+\mathbf{k})b(\mathbf{D}+ \mathbf{k})e^{-i\varepsilon^{-2}\widetilde{\tau} \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})} \, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{7.15}
Заметим, что оператор (7.14) ограничен, а оператор (7.15) в общем случае определен на \widetilde{H}^3({\Omega};\mathbb{C}^n). Представим операторы (7.14), (7.15) в виде
\begin{equation}
\widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) = e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}+ \widehat{G}^{(2)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau),
\end{equation}
\tag{7.16}
\begin{equation}
\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) = e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}+ \widehat{G}^{(2)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)+ \widehat{G}^{(3)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau),
\end{equation}
\tag{7.17}
где
\begin{equation}
\widehat{G}^{(2)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) := e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})} \Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\widehat{P}- \Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\widehat{P} e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})},
\end{equation}
\tag{7.18}
\begin{equation}
\nonumber \widehat{G}^{(3)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) := i\varepsilon^{-2} \int_0^\tau e^{-i\varepsilon^{-2}(\tau- \widetilde{\tau}) \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\times b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*L(\mathbf{D}+\mathbf{k}) b(\mathbf{D}+\mathbf{k})e^{-i\varepsilon^{-2}\widetilde{\tau} \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}\, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{7.19}
Из (7.9), (7.10), (7.12), (7.13), (7.16)–(7.19) при \varepsilon >0, \tau \in \mathbb{R} и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} следуют оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}^{(2)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant 2|\mathbf{k}|\, \|\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\leqslant 2C_{\widehat{Z}}|\mathbf{k}|,
\end{equation}
\tag{7.20}
\begin{equation}
\nonumber \|\widehat{G}^{(3)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \varepsilon^{-2}|\tau|\,|\mathbf{k}|^3\| \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant C_{\widehat{N}} \varepsilon^{-2}|\tau|\,|\mathbf{k}|^3,
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\|\widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant 2+2 C_{\widehat{Z}}|\mathbf{k}|,
\end{equation}
\tag{7.21}
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant 2+2 C_{\widehat{Z}} |\mathbf{k}|+ C_{\widehat{N}} \varepsilon^{-2}|\tau|\,|\mathbf{k}|^3.
\end{equation}
\tag{7.22}
Теорема 7.9. Пусть оператор \widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (7.15). Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} выполнена оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^3\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_4 (1+|\tau|)^{2}\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{7.23}
Постоянная \widehat{\mathcal C}_4 зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Доказательство. Применяя теорему 2.4 и учитывая замечание 2.10 и соотношения (7.2), (7.5), (7.9), (7.10), получаем
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^3\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal{C}}'_4(1+|\tau|)^2\varepsilon^2, \qquad \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0.
\end{equation}
\tag{7.24}
Константа \widehat{\mathcal{C}}'_4 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0.
Оценки при |\mathbf{k}| > \widehat{t}_0 тривиальны. С учетом (7.2) и (7.22) имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^3 \widehat{P} \bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant (2+2 C_{\widehat{Z}}|\mathbf{k}|+ C_{\widehat{N}} \varepsilon^{-2}|\tau|\,|\mathbf{k}|^3) \frac{\varepsilon^6}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^3} \\ &\qquad\leqslant 2(\widehat{t}_0)^{-2}\varepsilon^2+ C_{\widehat{Z}}(\widehat{t}_0)^{-1}\varepsilon^2+ C_{\widehat{N}}(\widehat{t}_0)^{-1}|\tau|\varepsilon^2, \\ \notag &\qquad\qquad\varepsilon > 0,\quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},\quad |\mathbf{k}| > \widehat{t}_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.25}
Комбинируя (7.24) и (7.25), приходим к оценке
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^3\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal{C}}''_4(1+|\tau|)^2\varepsilon^2, \qquad \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}.
\end{equation}
\tag{7.26}
Константа \widehat{\mathcal{C}}''_4 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0.
Покажем теперь, что оператор \widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^3 \widehat{P} в неравенстве (7.26) можно заменить на \widehat{G}(\mathbf{k}, \varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^3 (в пределах допустимой погрешности). Для этого оценим оператор
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^3(I-\widehat{P})=(e^{-i\varepsilon^{-2} \tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}-e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^3 (I-\widehat{P}) \\ &\qquad+i\varepsilon^{-2}\int_0^\tau e^{-i\varepsilon^{-2} (\tau-\widetilde{\tau})\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})} b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^* L(\mathbf{D}+\mathbf{k})b(\mathbf{D}+\mathbf{k}) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^3 \\ &\qquad\times (I-\widehat{P})e^{-i\varepsilon^{-2} \widetilde{\tau} \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}\, d\widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Норма первого слагаемого не превосходит 2 r_0^{-2}\varepsilon^2 в силу (7.4), (7.6) и (7.7). Второе слагаемое легко оценить, используя дискретное преобразование Фурье. Его норма не превосходит величины
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon^{-2}|\tau|\,\|b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*L(\mathbf{D}+\mathbf{k}) b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^3 (I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad=\varepsilon^{-2}|\tau|\sup_{0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}} |b(\mathbf{b}+\mathbf{k})^* L(\mathbf{b}+\mathbf{k})b(\mathbf{b}+\mathbf{k})| \frac{\varepsilon^6}{(|\mathbf{b}+\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^3} \\ &\qquad\leqslant C_{\widehat{N}}|\tau|\sup_{0 \ne \mathbf{b} \in \widetilde{\Gamma}}\frac{\varepsilon^4|\mathbf{b}+\mathbf{k}|^3} {(|\mathbf{b}+\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^3}\leqslant C_{\widehat{N}}r_0^{-1}|\tau|\varepsilon^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В итоге получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^3(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant (2r_0^{-2}+C_{\widehat{N}}r_0^{-1}|\tau|) \varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.27}
Сопоставляя оценки (7.26) и (7.27), приходим к искомому неравенству (7.23). Теорема доказана. Теперь на основании теорем 2.5 и 2.6 мы усилим результат теоремы 7.9 при дополнительных предположениях. Теорема 7.10. Пусть оператор \widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (7.14). Пусть выполнено условие 7.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon>0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^2\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_5(1+|\tau|) \varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{7.28}
Постоянная \widehat{\mathcal C}_5 зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Доказательство. Применяя теорему 2.5 и учитывая замечание 2.10 и соотношения (7.2), (7.5), (7.9), получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal{C}}'_5(1+|\tau|)\varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.29}
Константа \widehat{\mathcal{C}}'_5 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0.
При |\mathbf{k}|>\widehat{t}_0 используем (7.2) и (7.21):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant (2+2C_{\widehat{Z}}|\mathbf{k}|) \frac{\varepsilon^4}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^2} \\ &\qquad\leqslant 2(\widehat{t}_0)^{-2}\varepsilon^2+ C_{\widehat{Z}}(\widehat{t}_0)^{-1}\varepsilon^2,\qquad \varepsilon > 0,\quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},\quad |\mathbf{k}| > \widehat{t}_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.30}
Теперь рассмотрим оператор
\begin{equation}
\widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^2(I-\widehat{P})=(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}-e^{-i\varepsilon^{-2}\tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^2(I-\widehat{P}).
\end{equation}
\tag{7.31}
Норма этого оператора оценивается через 2r_0^{-2}\varepsilon^2 в силу (7.4), (7.6) и (7.7). Вместе с (7.29) и (7.30) это влечет искомую оценку (7.28). Теорема доказана. Теорема 7.11. Пусть оператор \widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (7.15). Пусть выполнено условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon>0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_6(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{7.32}
Постоянная \widehat{\mathcal C}_6 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и \widehat{c}^\circ. Доказательство. Применяя теорему 2.6 и учитывая замечание 2.10 и соотношения (7.2), (7.5), (7.9), (7.10), получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal{C}}'_6(1+|\tau|)\varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}^{\,00}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.33}
Постоянная \widehat{\mathcal{C}}'_6 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и \widehat{c}^\circ.
При |\mathbf{k}| > \widehat{t}^{\,00} используем (7.2) и (7.22):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant (2+2 C_{\widehat{Z}}|\mathbf{k}|+C_{\widehat{N}}\varepsilon^{-2} |\tau|\,|\mathbf{k}|^3)\frac{\varepsilon^4}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^2} \\ &\qquad\leqslant 2(\widehat{t}^{\,00})^{-2}\varepsilon^2+ C_{\widehat{Z}}(\widehat{t}^{\,00})^{-1}\varepsilon^2+ C_{\widehat{N}}(\widehat{t}^{\,00})^{-1}|\tau|\varepsilon^2, \\ \notag &\qquad\qquad\varepsilon > 0,\quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},\quad |\mathbf{k}| > \widehat{t}^{\,00}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.34}
По аналогии с выводом оценки (7.27) получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant (2r_0^{-2}+C_{\widehat{N}}r_0^{-1}|\tau|) \varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.35}
Сопоставляя (7.33), (7.34) и (7.35), приходим к искомой оценке (7.32). Теорема доказана. 7.3. Аппроксимация операторной экспоненты в “энергетической” нормеОтметим, что из (6.7), (7.9), (7.11), (7.12) и (7.14) вытекает оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant 2\bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+ t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr) \bigl(\widehat{P}+t\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad=2\|t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}+ t\widehat{X}_0\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}+ t^2\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\widehat{Z}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2}(4|\mathbf k|+ 2C_{\widehat{Z}}|\mathbf k|^2), \qquad \varepsilon >0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf k \in \widetilde{\Omega}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.36}
Из теоремы 2.7 выводим следующий результат. Теорема 7.12. Пусть оператор \widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (7.14). При \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} выполнена оценка
\begin{equation}
\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_{7}(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{7.37}
Постоянная \widehat{\mathcal C}_{7} зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Доказательство. Применяя теорему 2.7 и учитывая замечание 2.10, получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_{7}'(1+|\tau|)\varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.38}
Постоянная \widehat{\mathcal C}_{7}' зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0.
При |\mathbf{k}| > \widehat{t}_0 оценки тривиальны. В силу (7.2) и (7.36) имеем:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2 \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2}(4|\mathbf k|+ 2 C_{\widehat{Z}}|\mathbf k|^2) \frac{\varepsilon^4}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^2} \\ &\qquad\leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2} \bigl(2(\widehat{t}_0)^{-1}+C_{\widehat{Z}}\bigr)\varepsilon^2, \\ \notag &\qquad\qquad\varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},\quad |\mathbf{k}| > \widehat{t}_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.39}
Далее, из (7.31) с помощью дискретного преобразования Фурье получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^2 (I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant 2\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad=2\|g^{1/2}b({\mathbf D}+\mathbf{k})\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant 2\alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2} \sup_{0 \ne {\mathbf b} \in \widetilde{\Gamma}} \frac{|{\mathbf b}+\mathbf k|\varepsilon^4} {(|{\mathbf b}+\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^2}\leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2} r_0^{-1}\varepsilon^2, \\ \notag &\qquad\qquad \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.40}
Сопоставляя (7.38), (7.39) и (7.40), приходим к искомой оценке (7.37). Теорема доказана. Теперь на основании теорем 2.8 и 2.9 мы усилим результат теоремы 7.12 при дополнительных предположениях. Теорема 7.13. Пусть оператор \widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (7.14). Пусть выполнено условие 7.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_{8}(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{7.41}
Постоянная \widehat{\mathcal C}_{8} зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Доказательство. Применяя теорему 2.8 и учитывая замечание 2.10, получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_{8}'(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.42}
Постоянная \widehat{\mathcal C}_{8}' зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0.
При |\mathbf{k}| > \widehat{t}_0 используем (7.2) и (7.36):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2}(4|\mathbf k|+ 2 C_{\widehat{Z}}|\mathbf k|^2) \frac{\varepsilon^3}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^{3/2}} \\ &\qquad\leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2} (2(\widehat{t}_0)^{-1}+C_{\widehat{Z}})\varepsilon^2, \\ \notag &\qquad\qquad\varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},\quad |\mathbf{k}| > \widehat{t}_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.43}
По аналогии с (7.40) имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant 2\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant 2\alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2} \sup_{0 \ne {\mathbf b} \in \widetilde{\Gamma}} \frac{|{\mathbf b}+\mathbf k|\varepsilon^3} {(|{\mathbf b}+\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^{3/2}} \\ &\qquad\leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2}r_0^{-1}\varepsilon^2,\qquad \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.44}
В итоге, из (7.42)–(7.44) следует оценка (7.41). Теорема доказана. Аналогичным образом из теоремы 2.9 с учетом замечания 2.10 выводится следующий результат. Теорема 7.14. Пусть оператор \widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (7.14). Пусть выполнено условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{\mathcal C}_{9}(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{7.45}
Постоянная \widehat{\mathcal C}_{9} зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и \widehat{c}^\circ. 8. Подтверждение точности результатов об аппроксимациях оператора e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal A}(\mathbf{k})}8.1. Точность относительно сглаживающего множителяВ утверждениях настоящего раздела мы налагаем одно из следующих двух условий. Условие 8.1. Пусть оператор \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}) определен в (6.29). Предположим, что хотя бы в одной точке \boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1} выполнено соотношение \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}_0) \ne 0. Условие 8.2. Пусть операторы \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{\mathcal N}^{(q)}(\boldsymbol{\theta}) определены в (6.29) и (6.31) соответственно. Предположим, что \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1} и для некоторого \boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1} и некоторого q \in \{1,\dots, p(\boldsymbol{\theta}_0)\} выполнено соотношение Нам понадобится следующая лемма (см. [29; лемма 9.9] и [32; лемма 10.3]). Лемма 8.3 [29], [32]. Пусть число \widehat{\delta} определено в (6.5), а \widehat{t}_0 определено в (6.6). Пусть \widehat{F}(\mathbf{k}) – спектральный проектор оператора \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k}) для промежутка [0,\widehat{\delta}]. Тогда при |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0, |\mathbf{k}_0| \leqslant \widehat{t}_0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})^{1/2}\widehat{F}(\mathbf{k})- \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k}_0)^{1/2}\widehat{F} (\mathbf{k}_0)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} &\leqslant \widehat{C}'|\mathbf{k}-\mathbf{k}_0|, \\ \|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}\widehat{F}(\mathbf{k})- e^{-i \tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k}_0)}\widehat{F} (\mathbf{k}_0)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} &\leqslant \widehat{C}''(\tau)|\mathbf{k}-\mathbf{k}_0|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следующая теорема подтверждает, что теоремы 7.1, 7.9, 7.12 точны относительно сглаживающего множителя. Теорема 8.4. Пусть выполнено условие 8.1. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует постоянной \mathcal{C}(\tau) такой, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполняется оценка
\begin{equation}
\|(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{{\mathcal A}}^0(\mathbf{k})}) \mathcal{R}(\mathbf k,\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}(\tau)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{8.1}
2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 6. Тогда не существует постоянной \mathcal{C} (\tau) такой, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполняется оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}(\tau)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{8.2}
3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует постоянной \mathcal{C}(\tau) такой, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполняется оценка Доказательство. Утверждение 1^\circ было установлено в [29; теорема 9.8] на основании абстрактной теоремы 2.11.
Докажем 2^\circ. Достаточно считать, что 2 \leqslant s < 6. Рассуждаем от противного. Предположим, что для некоторых \tau \ne 0 и 2 \leqslant s < 6 найдется постоянная \mathcal{C}(\tau) такая, что выполнена оценка (8.2) при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. Домножая оператор под знаком нормы в (8.2) на \widehat{P} и используя (7.2), убеждаемся, что выполнена оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\mathcal{C}}(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{8.4}
при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0.
С учетом (7.15) оператор под знаком нормы в (8.4) имеет вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P} &= e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})} \bigl(I+\Lambda b(\mathbf{k})\bigr)\widehat{P}- \bigl(I+\Lambda b(\mathbf{k})\bigr)e^{-i\varepsilon^{-2} \tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}\widehat{P} \\ &\qquad+i\varepsilon^{-2}\int_0^\tau e^{-i\varepsilon^{-2} (\tau-\widetilde{\tau})\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})} b(\mathbf{k})^* L(\mathbf{k})b(\mathbf{k}) e^{-i\varepsilon^{-2}\widetilde{\tau} \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}\widehat{P}\, d\widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.5}
Пусть |\mathbf k| \leqslant \widehat{t}_0. В силу (1.9), (1.12) и (7.9)
\begin{equation}
\bigl\|\widehat{F}(\mathbf k)\widehat{P}- \bigl(I+\Lambda b(\mathbf{k})\bigr) \widehat{P}\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\leqslant \widehat{C}_3|\mathbf k|^2.
\end{equation}
\tag{8.6}
Из (8.4)–(8.6) вытекает, что для некоторой постоянной \widetilde{\mathcal{C}}(\tau) выполнено неравенство
\begin{equation}
\|\widehat{\mathfrak G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2} \tau)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\widetilde{\mathcal{C}}}(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{8.7}
при почти всех \mathbf{k} из шара |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0 и достаточно малом \varepsilon > 0. Здесь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathfrak G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)&= e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})} \widehat{F}(\mathbf k)\widehat{P}-\bigl(I+\Lambda b(\mathbf{k})\bigr) e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})} \widehat{P} \\ &\qquad+i\varepsilon^{-2}\int_0^\tau e^{-i\varepsilon^{-2} (\tau-\widetilde{\tau})\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})} b(\mathbf{k})^* L(\mathbf{k})b(\mathbf{k})e^{-i\varepsilon^{-2} \widetilde{\tau}\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})} \widehat{P} \, d\widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Заметим, что проектор \widehat{P} является спектральным проектором оператора \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k}) для промежутка [0,\widehat{\delta}\,]. Поэтому из леммы 8.3 (в применении к \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k}) и \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})) следует, что при фиксированных \tau и \varepsilon оператор \widehat{\mathfrak G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) непрерывен по \mathbf{k} в шаре |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0. Следовательно, оценка (8.7) справедлива при всех значениях \mathbf{k} из данного шара. В частности, она верна в точке \mathbf{k}=t\boldsymbol{\theta}_0, если t \leqslant \widehat{t}_0. Применяя снова (8.6), получаем, что для некоторой постоянной \widehat{\mathcal{C}}(\tau) справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}(t\boldsymbol{\theta}_0,\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(t^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant \widehat{\mathcal{C}}(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{8.8}
при всех t \leqslant \widehat{t}_0 и достаточно малом \varepsilon.
Оценка (8.8) отвечает абстрактной оценке (2.4). Поскольку \widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}_0)\ne 0 в силу условия 8.1, то выполнены условия пункта 2^\circ теоремы 2.11. Применяя эту теорему, приходим к противоречию. Перейдем к проверке утверждения 3^\circ. Достаточно считать, что 2 \leqslant s < 4. Рассуждаем от противного. Пусть для некоторых \tau \ne 0 и 2 \leqslant s < 4 найдется постоянная \mathcal{C}(\tau) такая, что выполнена оценка (8.3) при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. Домножая оператор под знаком нормы в (8.3) на \widehat{P} и используя (7.2), убеждаемся, что выполнена оценка
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\mathcal{C}}(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{8.9}
при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0.
С учетом (7.14) оператор под знаком нормы в (8.9) имеет вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}\widehat{G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P}&= e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})} \widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2} \bigl(I+\Lambda b(\mathbf{k})\bigr)\widehat{P} \\ &\qquad-\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}\bigl(I+ \Lambda b(\mathbf{k})\bigr)e^{-i\varepsilon^{-2} \tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})}\widehat{P}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.10}
Пусть |\mathbf k| \leqslant \widehat{t}_0. В силу (1.10), (1.12) и (7.9)
\begin{equation}
\bigl\|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2} \bigl(\widehat{F}(\mathbf k)\widehat{P}- \bigl(I+\Lambda b(\mathbf{k})\bigr) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \widehat{C}_{4}|\mathbf k|^2.
\end{equation}
\tag{8.11}
Из (8.9)–(8.11) вытекает, что для некоторой постоянной \widetilde{\mathcal{C}}(\tau) выполнено неравенство
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}{\mathfrak G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\widetilde{\mathcal{C}}}(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{8.12}
при почти всех \mathbf{k} из шара |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0 и достаточно малом \varepsilon > 0. Здесь
\begin{equation*}
{\mathfrak G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)= e^{-i \varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})} \widehat{F}(\mathbf k) \widehat{P}- \widehat{F}(\mathbf k) e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})} \widehat{P}.
\end{equation*}
\notag
Из леммы 8.3 (в применении к \widehat{\mathcal{A}} (\mathbf{k}) и \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})) следует, что при фиксированных \tau и \varepsilon оператор \widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2} {\mathfrak G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) непрерывен по \mathbf{k} в шаре |\mathbf{k}| \leqslant \widehat{t}_0. Следовательно, оценка (8.12) справедлива при всех значениях \mathbf{k} из данного шара. В частности, она верна в точке \mathbf{k}=t\boldsymbol{\theta}_0, если t \leqslant \widehat{t}_0. Применяя снова (8.11), получаем, что для некоторой постоянной \widehat{\mathcal{C}}(\tau) справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}\widehat{G}_0 (t\boldsymbol{\theta}_0,\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(t^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant \widehat{\mathcal{C}}(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{8.13}
при всех t \leqslant \widehat{t}_0 и достаточно малом \varepsilon.
Оценка (8.13) отвечает абстрактной оценке (2.5). Поскольку \widehat{N}_0 (\boldsymbol{\theta}_0)\ne 0 в силу условия 8.1, то выполнены условия пункта 3^\circ теоремы 2.11. Применяя эту теорему, приходим к противоречию. Теорема 8.4 доказана. Аналогичным образом из теоремы 2.12 выводится следующий результат, который подтверждает точность теорем 7.3, 7.8, 7.10, 7.11, 7.13 и 7.14 (об усилении общих результатов при дополнительных предположениях). Теорема 8.5. Пусть выполнено условие 8.2. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 2. Тогда не существует постоянной \mathcal{C} (\tau) такой, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполняется оценка (8.1). 2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует постоянной \mathcal{C} (\tau) такой, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполняется оценка (8.2). 3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует постоянной \mathcal{C} (\tau) такой, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполняется оценка (8.3). Утверждение 1^\circ было получено в [30; теорема 6.9]. 8.2. Точность результатов относительно времениВ этом пункте мы подтверждаем точность результатов раздела 7 относительно зависимости оценок от \tau (при большом |\tau|). По аналогии с доказательством теоремы 8.4 из теоремы 2.13 выводится следующее утверждение, подтверждающее точность теорем 7.1, 7.9, 7.12. Утверждение 1^\circ получено в [30; теорема 6.10]. Теорема 8.6. Пусть выполнено условие 8.1. 1^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty}\mathcal{C}(\tau)/|\tau|=0 и выполнена оценка (8.1) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 6. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty}\mathcal{C}(\tau)/\tau^2=0 и выполнена оценка (8.2) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty}\mathcal{C}(\tau)/|\tau|=0 и выполнена оценка (8.3) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. Аналогичным образом из теоремы 2.14 выводится следующее утверждение, подтверждающее точность теорем 7.3, 7.8, 7.10, 7.11, 7.13 и 7.14. Утверждение 1^\circ получено в [30; теорема 6.11]. Теорема 8.7. Пусть выполнено условие 8.2. 1^\circ. Пусть s \geqslant 2. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau)/|\tau|^{1/2}=0 и выполнена оценка (8.1) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau)/|\tau|=0 и выполнена оценка (8.2) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau)/|\tau|^{1/2}=0 и выполнена оценка (8.3) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 9. Эффективные характеристики оператора \mathcal{A}(\mathbf{k})9.1. Применение схемы раздела 3 к оператору \mathcal{A}(\mathbf{k})В этом разделе оператор \mathcal{A}(\mathbf{k})=f^*\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k})f изучается на основании схемы раздела 3. Сейчас \mathfrak{H}=\widehat{\mathfrak{H}}=L_2(\Omega; \mathbb{C}^n), \mathfrak{H}_*=L_2(\Omega;\mathbb{C}^m), роль оператора A(t) играет A(t,\boldsymbol{\theta})=\mathcal{A}(\mathbf{k}), роль оператора \widehat{A}(t) играет \widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta})= \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf{k}). В качестве изоморфизма M выступает оператор умножения на матричнозначную функцию f(\mathbf{x}). Оператор Q является оператором умножения на матрицу-функцию
\begin{equation*}
Q(\mathbf{x})=\bigl(f(\mathbf{x})f(\mathbf{x})^*\bigr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
Блок оператора Q в подпространстве \widehat{\mathfrak{N}} (см. (6.2)) – это оператор умножения на постоянную матрицу
\begin{equation*}
\overline{Q}=(\underline{f f^*})^{-1}=|\Omega|^{-1} \int_{\Omega} \bigl(f(\mathbf{x})f(\mathbf{x})^*\bigr)^{-1}\,d\mathbf{x}.
\end{equation*}
\notag
Далее, M_0 есть оператор умножения на постоянную матрицу Отметим элементарные неравенства
\begin{equation}
|f_0| \leqslant \|f\|_{L_{\infty}}, \qquad |f_0^{-1}| \leqslant \|f^{-1}\|_{L_{\infty}}.
\end{equation}
\tag{9.2}
В L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) определим оператор
\begin{equation}
\mathcal{A}^0:=f_0\widehat{\mathcal{A}}^{\,0} f_0= f_0 b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D})f_0.
\end{equation}
\tag{9.3}
Пусть \mathcal{A}^0(\mathbf{k}) – соответствующее операторное семейство в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n). Тогда
\begin{equation*}
\mathcal{A}^0(\mathbf{k})=f_0\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf{k})f_0= f_0 b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^* g^0 b(\mathbf{D}+\mathbf{k})f_0
\end{equation*}
\notag
при периодических граничных условиях. С учетом (6.18) справедливо тождество
\begin{equation}
f_0\widehat{S}(\mathbf{k})f_0\widehat{P}= \mathcal{A}^0(\mathbf{k})\widehat{P}.
\end{equation}
\tag{9.4}
9.2. Аналитические ветви собственных значений и собственных элементовСогласно (3.3), спектральный росток S(\boldsymbol{\theta}) оператора A(t,\boldsymbol{\theta}), действующий в подпространстве \mathfrak{N} (см. (5.17)), представляется в виде
\begin{equation*}
S(\boldsymbol{\theta})=P f^* b(\boldsymbol{\theta})^* g^0 b(\boldsymbol{\theta})f\big|_{\mathfrak{N}},
\end{equation*}
\notag
где P – ортопроектор пространства L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) на \mathfrak{N}. Положим
\begin{equation*}
S(\mathbf k):=t^2 S(\boldsymbol{\theta})= P f^* b(\mathbf k)^* g^0 b(\mathbf k)f\big|_{\mathfrak{N}}.
\end{equation*}
\notag
Аналитические (по t) ветви собственных значений \lambda_l(t,\boldsymbol{\theta}) и собственных элементов \varphi_l(t,\boldsymbol{\theta}) оператора A(t,\boldsymbol{\theta}) допускают степенные разложения вида (1.4), (1.5) с коэффициентами, зависящими от \boldsymbol{\theta}:
\begin{equation}
\lambda_l(t,\boldsymbol{\theta}) =\gamma_l(\boldsymbol{\theta})t^2+ \mu_l(\boldsymbol{\theta})t^3+\nu_l(\boldsymbol{\theta})t^4+\cdots, \qquad l =1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{9.5}
\begin{equation}
\varphi_l(t,\boldsymbol{\theta}) =\omega_l(\boldsymbol{\theta})+ t\psi^{(1)}_l(\boldsymbol{\theta})+\cdots, \qquad l =1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{9.6}
При этом \omega_1(\boldsymbol{\theta}),\dots,\omega_n(\boldsymbol{\theta}) образуют ортонормированный базис в подпространстве \mathfrak{N}, а векторы \zeta_l(\boldsymbol{\theta})=f \omega_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n, образуют базис в \widehat{\mathfrak{N}} (см. (6.2)), ортонормированный с весом: (\overline{Q}\zeta_l(\boldsymbol{\theta}),\zeta_j(\boldsymbol{\theta}))= \delta_{jl}, j, l=1,\dots,n. Числа \gamma_l(\boldsymbol{\theta}) и элементы \omega_l(\boldsymbol{\theta}) являются собственными для спектрального ростка S(\boldsymbol{\theta}). Однако удобнее перейти к обобщенной спектральной задаче для \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}). Согласно (3.12) числа \gamma_l(\boldsymbol{\theta}) и элементы \zeta_l(\boldsymbol{\theta}) являются собственными значениями и собственными элементами следующей обобщенной спектральной задачи:
\begin{equation}
b(\boldsymbol{\theta})^*g^0 b(\boldsymbol{\theta})\zeta_l(\boldsymbol{\theta}) =\gamma_l(\boldsymbol{\theta})\overline{Q}\zeta_l(\boldsymbol{\theta}),\qquad l=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{9.7}
9.3. Вспомогательные операторыОператоры \widehat{Z}_Q, \widehat{N}_Q (определенные в абстрактных терминах в п. 3.2) сейчас зависят от \boldsymbol{\theta}. Для их описания введем \Gamma-периодическое решение \Lambda_Q(\mathbf{x}) задачи
\begin{equation*}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda_Q(\mathbf{x})+ \mathbf{1}_m)=0, \qquad \int_{\Omega}Q(\mathbf{x})\Lambda_Q(\mathbf{x})\, d\mathbf{x}=0.
\end{equation*}
\notag
Ясно, что \Lambda_Q(\mathbf{x}) отличается от периодического решения \Lambda(\mathbf{x}) задачи (6.8) на постоянное слагаемое:
\begin{equation}
\Lambda_Q(\mathbf{x})=\Lambda(\mathbf{x})+\Lambda_Q^0, \qquad \Lambda_Q^0=-(\overline{Q})^{-1}(\overline{Q \Lambda}).
\end{equation}
\tag{9.8}
Как проверено в [8; § 5], операторы \widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{N}_Q (\boldsymbol{\theta}) принимают вид
\begin{equation}
\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) = [\Lambda_Q]b(\boldsymbol{\theta})\widehat{P},
\end{equation}
\tag{9.9}
\begin{equation}
\widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}) =b(\boldsymbol{\theta})^* L_Q(\boldsymbol{\theta})b(\boldsymbol{\theta})\widehat{P},
\end{equation}
\tag{9.10}
где L_Q(\boldsymbol{\theta}) – матрица размера m \times m, заданная соотношением
\begin{equation}
L_Q(\boldsymbol{\theta})=|\Omega|^{-1}\int_{\Omega} \bigl(\Lambda_Q(\mathbf{x})^*b(\boldsymbol{\theta})^* \widetilde{g}(\mathbf{x})+\widetilde{g}(\mathbf{x})^* b(\boldsymbol{\theta})\Lambda_Q(\mathbf{x})\bigr)\, d\mathbf{x}.
\end{equation}
\tag{9.11}
Сопоставляя (9.8), (9.11) с (6.12), (6.25), убеждаемся в том, что справедливо равенство
\begin{equation*}
L_Q(\boldsymbol{\theta})=L(\boldsymbol{\theta})+ L_Q^0(\boldsymbol{\theta}),\quad\text{где}\ \ L_Q^0 (\boldsymbol{\theta})=(\Lambda_Q^0)^* b(\boldsymbol{\theta})^* g^0+ g^0 b(\boldsymbol{\theta})\Lambda_Q^0.
\end{equation*}
\notag
Отметим, что эрмитова матрица-функция L_Q(\mathbf{k}):=tL_Q(\boldsymbol{\theta}), \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d, однородна первой степени. Положим \widehat{N}_Q(\mathbf{k}):= t^3 \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}), \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d. Тогда
\begin{equation}
\widehat{N}_Q(\mathbf{k})= b(\mathbf{k})^* L_Q(\mathbf{k})b(\mathbf{k})\widehat{P}.
\end{equation}
\tag{9.12}
Матрица-функция b(\mathbf{k})^* L_Q(\mathbf{k})b(\mathbf{k}) является однородным многочленом третьей степени от \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d. В [9] указаны некоторые достаточные условия, при которых оператор (9.10) обращается в нуль. Предложение 9.1 [9; § 5]. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих предположений: (a) оператор \mathcal{A} имеет вид \mathcal{A}= f(\mathbf{x})^*\mathbf{D}^*g(\mathbf{x})\mathbf{D}f(\mathbf{x}), где g(\mathbf{x}) – симметричная матрица с вещественными элементами; (b) выполнены соотношения (6.20), т. е. g^0=\overline{g}. Тогда \widehat{N}_Q (\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Напомним (см. п. 3.2), что справедливо представление
\begin{equation*}
\widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta})=\widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})+ \widehat{N}_{*,Q}(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation*}
\notag
Согласно (3.14) имеем
\begin{equation*}
\widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=\sum_{l=1}^{n}\mu_l(\boldsymbol{\theta}) (\,{\cdot}\,,\overline{Q}\zeta_l(\boldsymbol{\theta}))_{L_2(\Omega)} \overline{Q}\zeta_l(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation*}
\notag
При этом
\begin{equation}
\bigl(\widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta})\zeta_l(\boldsymbol{\theta}), \zeta_l(\boldsymbol{\theta})\bigr)_{L_2(\Omega)}= \bigl(\widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})\zeta_l(\boldsymbol{\theta}), \zeta_l(\boldsymbol{\theta})\bigr)_{L_2(\Omega)}= \mu_l(\boldsymbol{\theta}),\qquad l=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{9.13}
В [8; п. 5.4] установлено следующее утверждение. Предложение 9.2. Пусть b(\boldsymbol{\theta}), g(\mathbf{x}) и Q(\mathbf{x}) – матрицы с вещественными элементами. Пусть в разложениях (9.6) для аналитических ветвей собственных векторов оператора A(t,\boldsymbol{\theta}) зародыши \omega_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n, можно выбрать так, чтобы векторы \zeta_l(\boldsymbol{\theta})=f\omega_l(\boldsymbol{\theta}) оказались вещественными. Тогда в (9.5) коэффициенты \mu_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n, равны нулю т. е. \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. В рассматриваемом “вещественном” случае росток \widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) представляет собой симметричную вещественную матрицу; матрица \overline{Q} тоже вещественна и симметрична. Ясно, что в случае простого собственного значения \gamma_j(\boldsymbol{\theta}) обобщенной задачи (9.7) собственный вектор \zeta_j(\boldsymbol{\theta})=f\omega_j (\boldsymbol{\theta}) определяется однозначно с точностью до фазового множителя и его всегда можно выбрать вещественным. Мы получаем следующий результат. Следствие 9.3. Пусть b(\boldsymbol{\theta}), g(\mathbf{x}) и Q(\mathbf{x}) – матрицы с вещественными элементами. Пусть задача (9.7) имеет простой спектр. Тогда \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Опишем операторы \widehat{Z}_{2,Q}, \widehat{R}_{2,Q} и \widehat{N}_{1,Q}^0 (в абстрактных терминах определенные в п. 3.3) для семейства A(t,\boldsymbol{\theta}). Сейчас эти операторы зависят от параметра \boldsymbol{\theta}. Пусть \Lambda_{l,Q}^{(2)}({\mathbf x}) есть \Gamma-периодическое решение задачи
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, b({\mathbf D})^*g({\mathbf x})\bigl(b({\mathbf D})\Lambda_{l,Q}^{(2)} ({\mathbf x})+b_l\Lambda_Q({\mathbf x})\bigr)=-b_l^*\widetilde{g}({\mathbf x}) +Q({\mathbf x})(\overline{Q})^{-1}b_l^*g^0, \\ \int_\Omega Q({\mathbf x})\Lambda_{l,Q}^{(2)}({\mathbf x}) \,d{\mathbf x}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Положим \Lambda^{(2)}_Q({\mathbf x};\boldsymbol{\theta}):= \displaystyle\sum_{l=1}^d\Lambda_{l,Q}^{(2)}({\mathbf x})\theta_l. Как проверено в [16; п. 8.4],
\begin{equation*}
\widehat{Z}_{2,Q}(\boldsymbol{\theta})= \bigl[\Lambda^{(2)}_Q(\,{\cdot}\,;\boldsymbol{\theta})\bigr] b(\boldsymbol{\theta})\widehat{P},\qquad \widehat{R}_{2,Q}(\boldsymbol{\theta})= \bigl[h\bigl(b({\mathbf D})\Lambda_Q^{(2)}(\,{\cdot}\,;\boldsymbol{\theta})+ b(\boldsymbol{\theta})\Lambda_Q\bigr)\bigr]b(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation*}
\notag
Наконец, в [16; п. 8.5] было получено представление
\begin{equation}
\widehat{N}_{1,Q}^0(\boldsymbol{\theta})=b(\boldsymbol{\theta})^* L_{2,Q}(\boldsymbol{\theta})b(\boldsymbol{\theta})\widehat{P},
\end{equation}
\tag{9.14}
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{2,Q}(\boldsymbol{\theta})&=|\Omega|^{-1}\int_\Omega \bigl(\Lambda_Q^{(2)}({\mathbf x};\boldsymbol{\theta})^* b(\boldsymbol{\theta})^*\widetilde{g}({\mathbf x})+ \widetilde{g}({\mathbf x})^* b(\boldsymbol{\theta}) \Lambda_Q^{(2)}({\mathbf x};\boldsymbol{\theta})\bigr)\, d{\mathbf x} \\ &\qquad+|\Omega|^{-1}\int_\Omega\bigl(b({\mathbf D}) \Lambda_Q^{(2)}({\mathbf x}; \boldsymbol{\theta})+ b(\boldsymbol{\theta})\Lambda_Q({\mathbf x})\bigr)^* {g}({\mathbf x})\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times \bigl(b({\mathbf D}) \Lambda_Q^{(2)}({\mathbf x};\boldsymbol{\theta}) +b(\boldsymbol{\theta})\Lambda_Q({\mathbf x})\bigr)\, d{\mathbf x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
9.4. Кратности собственных значений росткаВ данном пункте считаем, что n \geqslant 2. Перейдем к обозначениям, принятым в п. 1.6, следя за кратностями собственных значений спектрального ростка S(\boldsymbol{\theta}). Эти же значения являются собственными числами обобщенной задачи (9.7). Вообще говоря, количество p(\boldsymbol{\theta}) различных собственных значений \gamma^{\circ}_1(\boldsymbol{\theta}),\dots, \gamma^{\circ}_{p(\boldsymbol{\theta})}(\boldsymbol{\theta}) спектрального ростка S(\boldsymbol{\theta}) и их кратности k_1(\boldsymbol{\theta}),\dots, k_{p(\boldsymbol{\theta})}(\boldsymbol{\theta}) зависят от параметра \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. При каждом фиксированном \boldsymbol{\theta} через \mathfrak{N}_j(\boldsymbol{\theta}) обозначим собственное подпространство ростка S(\boldsymbol{\theta}), отвечающее собственному значению \gamma^{\circ}_j(\boldsymbol{\theta}). Тогда f \mathfrak{N}_j(\boldsymbol{\theta})= \operatorname{Ker}\bigl(\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})- \gamma_j^\circ(\boldsymbol{\theta})\overline{Q}\bigr)=: \widehat{\mathfrak N}_{j,Q}(\boldsymbol{\theta}) – собственное подпространство задачи (9.7), отвечающее тому же значению \gamma^{\circ}_j(\boldsymbol{\theta}). Введем обозначение \mathcal{P}_j(\boldsymbol{\theta}) для “косого” проектора пространства L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) на \widehat{\mathfrak N}_{j,Q}(\boldsymbol{\theta}); \mathcal{P}_j(\boldsymbol{\theta}) ортогонален относительно скалярного произведения с весом \overline{Q}. Согласно (3.15) справедливы инвариантные представления для операторов \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{N}_{*,Q}(\boldsymbol{\theta}):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})&=\sum_{j=1}^{p(\boldsymbol{\theta})} \mathcal{P}_j(\boldsymbol{\theta})^* \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}) \mathcal{P}_j (\boldsymbol{\theta}), \\ \notag \widehat{N}_{*,Q}(\boldsymbol{\theta})&= \sum_{\substack{1 \leqslant j, l \leqslant p(\boldsymbol{\theta}):\\ j \ne l}} \mathcal{P}_j (\boldsymbol{\theta})^* \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta})\mathcal{P}_l(\boldsymbol{\theta}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.15}
9.5. Коэффициенты {\nu}_l(\boldsymbol{\theta})Коэффициенты {\nu}_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n, в разложениях (9.5) являются собственными значениями некоторой задачи. Нам понадобится описать эту задачу в случае, когда {\mu}_l(\boldsymbol{\theta})=0, l=1,\dots,n, т. е. \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=0. Применяя предложение 3.3, приходим к следующему утверждению. См. также [32; предложение 11.4]. Предложение 9.4. Пусть \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=0. Пусть {\gamma}_1^\circ(\boldsymbol{\theta}),\dots, {\gamma}_{p(\boldsymbol{\theta})}^\circ(\boldsymbol{\theta}) – различные собственные значения задачи (9.7), а k_1(\boldsymbol{\theta}),\dots, k_{p(\boldsymbol{\theta})}(\boldsymbol{\theta}) – их кратности. Пусть \widehat{P}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta}) – ортопроектор пространства L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) на подпространство \widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta})= \operatorname{Ker}\bigl(\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})- {\gamma}_q^\circ(\boldsymbol{\theta})\overline{Q}\bigr), q=1,\dots,p(\boldsymbol{\theta}). Пусть операторы \widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}), \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{N}_{1,Q}^0(\boldsymbol{\theta}) определены в (9.9), (9.10) и (9.14) соответственно. Введем операторы \widehat{\mathcal{N}}^{(q)}_Q(\boldsymbol{\theta}), q=1,\dots,p(\boldsymbol{\theta}): оператор \widehat{\mathcal{N}}^{(q)}_Q(\boldsymbol{\theta}) действует в \widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta}) и задается выражением
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{\mathcal{N}}^{(q)}_Q( \boldsymbol{\theta})&:= \widehat{P}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta})\widehat{N}_{1,Q}^0 (\boldsymbol{\theta})\big|_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta})} -\frac{1}{2} \widehat{P}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta}) \bigl(\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta})^*Q\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) Q^{-1}\widehat{S}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P} \\ \notag &\qquad+\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})\widehat{P} Q^{-1} \widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta})^*Q\widehat{Z}_Q (\boldsymbol{\theta})\bigr)\big|_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q} (\boldsymbol{\theta})} \\ \notag &\qquad+\sum_{j=1,\dots,p(\boldsymbol{\theta}): j\ne q} \bigl({\gamma}_q^\circ(\boldsymbol{\theta})- {\gamma}_j^\circ(\boldsymbol{\theta})\bigr)^{-1} \widehat{P}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta}) \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}) \\ &\qquad\times \widehat{P}_{j,Q}(\boldsymbol{\theta})Q^{-1} \widehat{P}_{j,Q} (\boldsymbol{\theta})\widehat{N}_Q (\boldsymbol{\theta})\big|_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q} (\boldsymbol{\theta})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.16}
Обозначим i(q,\boldsymbol{\theta})=k_1(\boldsymbol{\theta})+\cdots +k_{q-1}(\boldsymbol{\theta})+1. Пусть {\nu}_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n, – коэффициенты при t^4 из разложений (9.5), \omega_l(\boldsymbol{\theta}) – зародыши из (9.6), и пусть {\zeta}_l(\boldsymbol{\theta})=f {\omega}_l(\boldsymbol{\theta}), l=1,\dots,n. Обозначим Q_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta})}= \widehat{P}_{q,Q}(\boldsymbol{\theta}) Q\big|_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q} (\boldsymbol{\theta})}. Тогда
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{N}}^{(q)}_Q(\boldsymbol{\theta}) {\zeta}_l(\boldsymbol{\theta})= {\nu}_l(\boldsymbol{\theta}) Q_{\widehat{\mathfrak{N}}_{q,Q} (\boldsymbol{\theta}) }{\zeta}_l(\boldsymbol{\theta}), \qquad l=i(q, \boldsymbol{\theta}), i(q,\boldsymbol{\theta})+1,\dots, i(q,\boldsymbol{\theta})+k_q(\boldsymbol{\theta})-1.
\end{equation*}
\notag
10. Аппроксимация окаймленного оператора e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}10.1. Аппроксимация по операторной норме в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)Положим
\begin{equation}
{\mathcal J}(\mathbf{k},\tau ):=f e^{-i\tau{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}f^{-1}- f_0 e^{-i\tau{\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})}f_0^{-1}.
\end{equation}
\tag{10.1}
Мы применим к оператору {A}(t,\boldsymbol{\theta})={\mathcal{A}}(\mathbf{k}) теоремы из раздела 4. В силу замечания 2.10 мы можем отследить зависимость постоянных в оценках от данных задачи. Отметим, что {c}_*, {\delta} и {t}_0 не зависят от \boldsymbol{\theta} (см. (5.15), (5.24), (5.26)). Согласно (5.25) норму \|{X}_1(\boldsymbol{\theta})\| можно заменить на \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_{\infty}}^{1/2}\|f\|_{L_{\infty}}. Поэтому постоянные из теоремы 4.1 (примененной к оператору {\mathcal{A}}(\mathbf{k})) не будут зависеть от \boldsymbol{\theta}. Они будут зависеть только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 10.1 [25]. Пусть оператор {\mathcal J}(\mathbf{k},\tau) определен в (10.1). При \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon >0 и \mathbf k \in \widetilde{\Omega} выполнена оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal J}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf k,\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}_1(1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{10.2}
Постоянная {\mathcal C}_1 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 10.1 выводится из теоремы 4.1 и соотношений (7.2)–(7.4). Следует учесть также равенство
\begin{equation}
e^{-i\varepsilon^{-2}\tau t^2 f_0\widehat{S}(\boldsymbol{\theta})f_0} \widehat{P}=e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal A}^0(\mathbf k)}\widehat{P},
\end{equation}
\tag{10.3}
вытекающее из (9.4), и очевидную оценку (см. (9.2))
\begin{equation}
\|{\mathcal J}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)} \leqslant 2 \|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty}.
\end{equation}
\tag{10.4}
Ранее оценка (10.2) была получена в [25; теорема 8.1]. Теперь мы усиливаем результат теоремы 10.1 при дополнительных предположениях. Наложим следующее условие. Условие 10.2. Пусть оператор \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}) определен в (9.10). Предположим, что \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Из теоремы 4.2 выводится следующий результат, установленный в [30; теорема 8.2]. Теорема 10.3 [30]. Пусть оператор {\mathcal J}(\mathbf{k},\tau) определен в (10.1). Пусть выполнено условие 10.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal J}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf k,\varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}_2(1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathcal C}_2 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теперь мы отказываемся от условия 10.2, но вместо этого предположим, что \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta}. При этом считаем, что \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta})= \widehat{N}_{*,Q}(\boldsymbol{\theta}) \ne 0 при некотором \boldsymbol{\theta}. (Иначе применима теорема 10.3.) Как и в п. 7.1, для того чтобы применить “абстрактную” теорему 4.3, приходится налагать дополнительные условия. Будем использовать исходную нумерацию собственных значений \gamma_1(\boldsymbol{\theta}),\dots,\gamma_n(\boldsymbol{\theta}) ростка S(\boldsymbol{\theta}), условившись нумеровать их в порядке неубывания:
\begin{equation}
\gamma_1(\boldsymbol{\theta}) \leqslant \gamma_2(\boldsymbol{\theta}) \leqslant \cdots \leqslant \gamma_n(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation}
\tag{10.5}
Как уже отмечалось, числа (10.5) являются в то же время собственными значениями обобщенной спектральной задачи (9.7). При каждом \boldsymbol{\theta} через \mathcal{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta}) обозначим “косой” (ортогональный с весом \overline{Q}) проектор пространства L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) на собственное подпространство задачи (9.7), отвечающее собственному значению \gamma_k(\boldsymbol{\theta}). Ясно, что при каждом \boldsymbol{\theta} оператор \mathcal{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta}) совпадает с одним из проекторов \mathcal{P}_j(\boldsymbol{\theta}), введенных в п. 9.4 (но номер j может зависеть от \boldsymbol{\theta} и меняется в точках перемены кратности спектра ростка). Условие 10.4. 1^\circ. Оператор \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}), определенный в (9.15), равен нулю: \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. 2^\circ. Для каждой пары индексов (k,r), 1 \leqslant k,r \leqslant n, k \ne r, такой, что \gamma_k(\boldsymbol{\theta}_0)=\gamma_r(\boldsymbol{\theta}_0) при некотором \boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}, выполнено равенство
\begin{equation*}
(\mathcal{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta}))^* \widehat{N}_Q (\boldsymbol{\theta})\mathcal{P}^{(r)} (\boldsymbol{\theta})=0
\end{equation*}
\notag
при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Разумеется, выполнение условия 10.4 гарантируется следующим более сильным условием. Условие 10.5. 1^\circ. Оператор \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}), определенный в (9.15), равен нулю: \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. 2^\circ. Предположим, что количество p различных собственных значений обобщенной спектральной задачи (9.7) не зависит от \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Замечание 10.6. Предположение пункта 2^\circ условия 10.5 заведомо выполнено, если спектр задачи (9.7) простой при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. Итак, предполагаем выполненным условие 10.4. Нас интересуют только пары индексов из множества
\begin{equation*}
\mathcal{K}:=\{(k,r) \colon 1 \leqslant k,r \leqslant n, \ k \ne r, \ (\mathcal{P}^{(k)}(\boldsymbol{\theta}))^*\widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}) \mathcal{P}^{(r)}(\boldsymbol{\theta}) \not\equiv 0\}.
\end{equation*}
\notag
Введем обозначение
\begin{equation*}
c^{\circ}_{kr}(\boldsymbol{\theta}):= \min\{c_*,n^{-1}|\gamma_k(\boldsymbol{\theta})- \gamma_r(\boldsymbol{\theta})|\}, \qquad (k,r) \in \mathcal{K}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку оператор S(\boldsymbol{\theta}) непрерывно зависит от \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}, то из теории возмущений дискретного спектра следует, что \gamma_j(\boldsymbol{\theta}) – непрерывные функции на сфере \mathbb{S}^{d-1}. В силу пункта 2^\circ условия 10.4 при (k,r) \in \mathcal{K} выполнено неравенство |\gamma_k(\boldsymbol{\theta})-\gamma_r(\boldsymbol{\theta})| > 0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}, а тогда
\begin{equation*}
c^{\circ}_{kr}:=\min_{\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}} c^{\circ}_{kr} (\boldsymbol{\theta}) > 0, \qquad (k,r) \in \mathcal{K}.
\end{equation*}
\notag
Положим Ясно, что число (10.6) – это реализация величины (2.1), выбранная не зависящей от \boldsymbol{\theta}. Число t^{00}, подчиненное (2.2), при условии 10.4 также можно выбрать не зависящим от \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}. С учетом (5.24) и (5.25) положим
\begin{equation*}
t^{00}=(8 \beta_2)^{-1}r_0\alpha_1^{-3/2}\alpha_0^{1/2} \|g\|_{L_{\infty}}^{-3/2}\|g^{-1}\|_{L_{\infty}}^{-1/2} \|f\|_{L_\infty}^{-3}\|f^{-1}\|_{L_\infty}^{-1}c^{\circ},
\end{equation*}
\notag
где c^{\circ} определено в (10.6). (Условие t^{00}\leqslant t_{0} выполнено автоматически, поскольку c^{\circ} \leqslant \|S(\boldsymbol{\theta})\| \leqslant \alpha_1\|g\|_{L_{\infty}}\|f\|_{L_\infty}^2.) При условии 10.4 из теоремы 4.3 выводим следующий результат (см. [30; теорема 8.6]). Необходимо учитывать, что сейчас константы в оценках будут зависеть не только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0, но также и от c^\circ и n; см. замечание 2.10. Теорема 10.7 [30]. Пусть оператор {\mathcal J}(\mathbf{k},\tau) определен в (10.1). Пусть выполнено условие 10.4 (или более сильное условие 10.5. Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} выполнена оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal J}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf k,\varepsilon)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\leqslant {\mathcal C}_3(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathcal C}_3 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от c^\circ и n. 10.2. Более точная аппроксимация по операторной норме в пространстве L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)Получим теперь более точную аппроксимацию окаймленной операторной экспоненты для оператора A(t,\boldsymbol{\theta})={\mathcal A}(\mathbf k) с помощью теоремы 4.4. В силу (9.9) имеем
\begin{equation}
t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}= \Lambda_Q b(\mathbf{k})\widehat{P}=\Lambda_Q b(\mathbf{D}+ \mathbf{k})\widehat{P}.
\end{equation}
\tag{10.7}
Из (9.12) следует, что
\begin{equation}
t^3 \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}=\widehat{N}_Q(\mathbf{k}) \widehat{P}=b(\mathbf{k})^* L_Q(\mathbf{k}) b(\mathbf{k}) \widehat{P}= b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^* L_Q(\mathbf{D}+\mathbf{k}) b(\mathbf{D}+ \mathbf{k}) \widehat{P}.
\end{equation}
\tag{10.8}
Отметим, что из (3.7)–(3.9) и (5.25) вытекают оценки
\begin{equation}
\|\widehat{X}_0\widehat{Z}_Q (\boldsymbol{\theta})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \|{X}_1(\boldsymbol{\theta})\|\,\| f^{-1}\|_{L_\infty} \leqslant \alpha_1^{1/2}\|g\|^{1/2}_{L_\infty}\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty},
\end{equation}
\tag{10.9}
\begin{equation}
\nonumber \|\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta})\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)} \leqslant (8{\delta})^{-1/2}\|{X}_1(\boldsymbol{\theta})\|\,\|f\|_{L_\infty} \|f^{-1}\|_{L_\infty}
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\leqslant(8{\delta})^{-1/2}\alpha_1^{1/2}\|g\|^{1/2}_{L_\infty} \|f\|^2_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}=:C_{Z},
\end{equation}
\tag{10.10}
\begin{equation}
\nonumber \|\widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta})\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)} \leqslant (2 {\delta})^{-1/2}\| {X}_1(\boldsymbol{\theta})\|^3\|f^{-1}\|_{L_\infty}^2
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\leqslant(2{\delta})^{-1/2}\alpha_1^{3/2}\|g\|^{3/2}_{L_\infty} \|f\|^3_{L_\infty}\|f^{-1}\|^2_{L_\infty}=:C_{N}.
\end{equation}
\tag{10.11}
Положим
\begin{equation}
\nonumber {\mathcal G}_0(\mathbf{k}, \varepsilon^{-2}\tau) := f e^{-i \varepsilon^{-2} \tau {\mathcal{A}}(\mathbf{k})} f^{-1} \bigl(I+\Lambda_Q b(\mathbf{D}+\mathbf{k}) \widehat{P}\bigr)
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad-\bigl(I+\Lambda_Q b(\mathbf{D}+\mathbf{k}) \widehat{P}\bigr) f_0e^{-i \varepsilon^{-2} \tau {\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})} f_0^{-1},
\end{equation}
\tag{10.12}
\begin{equation}
\nonumber {\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) := {\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) +i\varepsilon^{-2} \int_0^\tau f_0 e^{-i\varepsilon^{-2} (\tau-\widetilde{\tau}) {\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})} f_0 \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\times b(\mathbf{D}+ \mathbf{k})^* L_Q(\mathbf{D}+\mathbf{k}) b(\mathbf{D}+\mathbf{k}) f_0 e^{-i \varepsilon^{-2} \widetilde{\tau}{\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})} f_0^{-1} \, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{10.13}
Оператор (10.12) ограничен, а оператор (10.13) в общем случае определен на \widetilde{H}^3({\Omega};\mathbb{C}^n). Из (9.2), (10.4), (10.7), (10.8), (10.10)–(10.13) при \varepsilon>0, \tau \in \mathbb{R} и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} следуют оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_0(\mathbf{k}, \varepsilon^{-2}\tau)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant 2 \| f\|_{L_\infty}\| f^{-1}\|_{L_\infty}(1+C_Z|\mathbf{k}|),
\end{equation}
\tag{10.14}
\begin{equation}
\|{\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}(2+2C_Z|\mathbf{k}|+ C_{N}\| f\|_{L_\infty}^2\varepsilon^{-2}|\tau|\,|\mathbf{k}|^3).
\end{equation}
\tag{10.15}
Применяя теорему 4.4 и учитывая замечание 2.10 и соотношения (7.2), (10.3), (10.7), (10.8), получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|{\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^3\widehat{P}\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal{C}}'_4 (1+|\tau|)^2 \varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad |\mathbf{k}| \leqslant {t}_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.16}
Константа {\mathcal{C}}'_4 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Оценки при |\mathbf{k}| > {t}_0 тривиальны. С учетом (7.2) и (10.15) выполнена оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|{\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^3\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant \| f\|_{L_\infty}\| f^{-1}\|_{L_\infty}(2+2C_Z|\mathbf{k}| +C_{N}\|f\|_{L_\infty}^2\varepsilon^{-2}|\tau|\,|\mathbf{k}|^3) \frac{\varepsilon^6}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^3} \\ &\qquad\leqslant \|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty} (2{t}_0^{-2}+C_{Z}{t}_0^{-1}+C_{N}\|f\|^2_{L_\infty}{t}_0^{-1} |\tau|) \varepsilon^2, \\ \notag &\qquad\qquad\varepsilon > 0,\quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},\quad |\mathbf{k}| > {t}_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.17}
По аналогии с выводом оценки (7.27), используя дискретное преобразование Фурье и учитывая (7.4), (7.6), (9.2), (10.4) и (10.11), легко проверить оценку
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|{\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^3 (I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad \leqslant \|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty} (2r_0^{-2}+C_{N}\|f\|^2_{L_\infty}r_0^{-1}|\tau|)\varepsilon^2, \\ \notag &\qquad\varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.18}
Сопоставляя оценки (10.16)–(10.18), приходим к следующему результату. Теорема 10.8. Пусть оператор {\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (10.13). При \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} выполнена оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^3\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\leqslant {\mathcal C}_4(1+|\tau|)^{2}\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathcal C}_4 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теперь на основании теорем 4.5 и 4.6 мы усилим результат теоремы 10.8 при дополнительных предположениях. Теорема 10.9. Пусть оператор {\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (10.12). Пусть выполнено условие 10.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^2\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}_5(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{10.19}
Постоянная {\mathcal C}_5 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Доказательство. Применяя теорему 4.5 и учитывая замечание 2.10 и соотношения (7.2), (10.3), (10.7), получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|{\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal{C}}'_5(1+|\tau|)\varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad |\mathbf{k}| \leqslant {t}_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.20}
Константа {\mathcal{C}}'_5 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0.
При |\mathbf{k}| > {t}_0 используем (7.2) и (10.14):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|{\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} &\leqslant 2\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}(1+C_{Z}|\mathbf{k}|) \frac{\varepsilon^4}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^2} \\ &\leqslant \|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}(2{t}_0^{-2}+ C_{Z} {t}_0^{-1})\varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon &> 0,\quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},\quad |\mathbf{k}| > {t}_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.21}
Далее, используя (7.4), (7.6), (10.4) и (10.12), получаем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|{\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant 2\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}r_0^{-2}\varepsilon^2, \\ \varepsilon > 0,\quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Вместе с (10.20) и (10.21) это влечет искомую оценку (10.19). Теорема доказана. Аналогичным образом из теоремы 4.6 легко вывести следующий результат; ср. доказательство теоремы 7.11. Теорема 10.10. Пусть оператор {\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (10.13) и выполнено условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\leqslant {\mathcal C}_6(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathcal C}_6 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и {c}^\circ. 10.3. Аппроксимация окаймленной операторной экспоненты в “энергетической” нормеИз (10.7) и (10.12) вытекает оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} =\bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr) {\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant \bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+ t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr)fe^{-i \varepsilon^{-2}\tau {\mathcal{A}}(\mathbf{k})} f^{-1}\bigl(\widehat{P}+ t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad\qquad+\bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+ t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr) \bigl(\widehat{P}+t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}\bigr) f_0 e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})} f_0^{-1}\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.22}
Заметим, что
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}fu\|_{L_2(\Omega)} = \bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr) fu\bigr\|_{L_2(\Omega)}=\bigl\|\bigl({X}_0+ t{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr)u\bigr\|_{L_2(\Omega)}\nonumber
\end{equation}
\tag{10.23}
\begin{equation}
=\|{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}u\|_{L_2(\Omega)},\qquad fu \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n),
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\|{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}f^{-1}v\|_{L_2(\Omega)} = \|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}v\|_{L_2(\Omega)}, \qquad v \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{10.24}
Поэтому первое слагаемое в правой части (10.22) принимает вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}e^{-i\varepsilon^{-2} \tau{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}f^{-1}\bigl(\widehat{P}+ t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad=\bigl\|{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}f^{-1}\bigl(\widehat{P}+ t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad=\bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+ t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr)\bigl(\widehat{P}+ t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу (9.2) второе слагаемое в правой части (10.22) не превосходит величины
\begin{equation*}
\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}\bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+ t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr)\bigl(\widehat{P}+ t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
В итоге имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant (1+\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}) \bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr) \bigl(\widehat{P}+t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.25}
Далее, с учетом (6.7), (10.9) и (10.10) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|\bigl(\widehat{X}_0+t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\bigr) \bigl(\widehat{P}+t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad=\bigl\|t\widehat{X}_0\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}+ t\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}+ t^2\widehat{X}_1(\boldsymbol{\theta})\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta}) \widehat{P}\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\leqslant \check{\mathfrak C}_1|\mathbf k|+\check{\mathfrak C}_2|\mathbf k|^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
при \varepsilon >0, \tau \in \mathbb{R} и \mathbf k \in \widetilde{\Omega}, где
\begin{equation*}
\check{\mathfrak C}_1=\alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2} (1+\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}),\qquad \check{\mathfrak C}_2=\alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2} C_Z.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и из (10.25) вытекает оценка
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathfrak C}_1|\mathbf k|+{\mathfrak C}_2 |\mathbf k|^2, \\ \notag \varepsilon >0,\quad \tau \in \mathbb{R},\quad \mathbf k \in \widetilde{\Omega}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.26}
где
\begin{equation*}
{\mathfrak C}_1=(1+\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}) \check{\mathfrak C}_1,\qquad {\mathfrak C}_2=(1+\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}) \check{\mathfrak C}_2.
\end{equation*}
\notag
Из теоремы 4.7 выводим следующий результат. Теорема 10.11. Пусть оператор {\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (10.12). Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} выполнена оценка
\begin{equation}
\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}_7(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{10.27}
Постоянная {\mathcal C}_7 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Доказательство. Применяя теорему 4.7 и учитывая замечание 2.10, получаем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^2\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}_7'(1+|\tau|)\varepsilon^2, \\ \notag \varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad |\mathbf{k}| \leqslant {t}_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.28}
Постоянная {\mathcal C}_7' зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \| f \|_{L_\infty}, \| f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0.
При |\mathbf{k}| > {t}_0 оценки тривиальны. В силу (7.2) и (10.26) имеем:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^2\widehat{P} \bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant ({\mathfrak C}_1|\mathbf k|+{\mathfrak C}_2|\mathbf k|^2) \frac{\varepsilon^4}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^2} \leqslant ({\mathfrak C}_1 t_0^{-1}+{\mathfrak C}_2)\varepsilon^2, \\ \notag &\qquad\qquad\varepsilon > 0, \quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega},\quad |\mathbf{k}| > {t}_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.29}
Далее, из (10.12), (10.23) и (10.24) вытекает оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^2 (I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant (1+\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}) \|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^2(I-\widehat{P})\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant (1+\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty}) \alpha_1^{1/2}\|g\|_{L_\infty}^{1/2} r_0^{-1}\varepsilon^2, \\ &\qquad\qquad\varepsilon > 0, \quad\tau \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}. \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.30}
В последнем переходе мы учли (7.40).
Сопоставляя (10.28), (10.29) и (10.30), приходим к искомой оценке (10.27). Теорема доказана. Аналогичным образом из теорем 4.8 и 4.9 выводятся следующие две теоремы, дающие усиление результата теоремы 10.11 при дополнительных предположениях. Ср. доказательство теорем 7.13, 7.14. Теорема 10.12. Пусть оператор {\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (10.12). Пусть выполнено условие 10.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}_8(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathcal C}_8 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 10.13. Пусть оператор {\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) определен в (10.12). Пусть выполнено условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 и \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{{\mathcal A}}(\mathbf{k})^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {\mathcal C}_9(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathcal C}_9 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и {c}^\circ. 11. Подтверждение точности результатов об аппроксимациях окаймленного оператора e^{- i \varepsilon^{-2}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})}11.1. Точность относительно сглаживающего множителяВ утверждениях настоящего раздела мы налагаем одно из следующих двух условий. Условие 11.1. Пусть оператор \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}) определен в (9.15). Предположим, что \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}_0) \ne 0 в некоторой точке \boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1}. Условие 11.2. Пусть операторы \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}) и \widehat{\mathcal N}^{(q)}_{Q}(\boldsymbol{\theta}) определены соотношениями (9.15) и (9.16) соответственно. Предположим, что \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1} и для некоторого \boldsymbol{\theta}_0 \in \mathbb{S}^{d-1} и некоторого q \in \{1,\dots,p(\boldsymbol{\theta}_0)\} выполнено \widehat{\mathcal N}^{(q)}_{Q}(\boldsymbol{\theta}_0) \ne 0. Нам понадобится следующая лемма (см. [29; лемма 11.8], [32; лемма 13.3]). Лемма 11.3 [29], [32]. Пусть число \delta определено в (5.24), а t_0 определено в (5.26). Пусть F(\mathbf{k})=F(t,\boldsymbol{\theta}) – спектральный проектор оператора \mathcal{A}(\mathbf{k}) для промежутка [0,\delta]. Тогда при |\mathbf{k}| \leqslant t_0, |\mathbf{k}_0| \leqslant t_0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}F(\mathbf{k})- \mathcal{A}(\mathbf{k}_0)^{1/2}F(\mathbf{k}_0)\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)} &\leqslant C'|\mathbf{k}-\mathbf{k}_0|, \\ \|e^{-i\tau\mathcal{A}(\mathbf{k})}F(\mathbf{k})- e^{-i\tau\mathcal{A}(\mathbf{k}_0)} F(\mathbf{k}_0)\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)} &\leqslant C''(\tau)|\mathbf{k}-\mathbf{k}_0|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следующая теорема подтверждает, что теоремы 10.1, 10.8, 10.11 точны относительно сглаживающего множителя. Теорема 11.4. Пусть выполнено условие 11.1. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполнялась оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal J}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \mathcal{C}(\tau)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{11.1}
2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 6. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполнялась оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \mathcal{C}(\tau)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{11.2}
3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполнялась оценка Доказательство. Утверждение 1^\circ было установлено в [29; теорема 11.7] на основании абстрактной теоремы 4.10 (пункт 1^\circ).
Докажем утверждение 2^\circ. Рассуждаем от противного. Предположим, что для некоторых \tau \ne 0 и 2 \leqslant s < 6 найдется постоянная \mathcal{C}(\tau) такая, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполнена оценка (11.2). Домножая оператор под знаком нормы в (11.2) на \widehat{P} и используя (7.2), убеждаемся, что выполнена оценка
\begin{equation}
\| {\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\mathcal{C}}(\tau) \varepsilon^2
\end{equation}
\tag{11.4}
при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0.
С учетом (10.13) оператор под знаком нормы в (11.4) имеет вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\mathcal G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P} &= fe^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}f^{-1} \bigl(I+\Lambda_Q b(\mathbf{k}) \bigr) \widehat{P} \\ \notag &\qquad-\bigl(I+\Lambda_Q b( \mathbf{k}) \bigr) f_0 e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})}f_0^{-1}\widehat{P} \\ \notag &\qquad +i\varepsilon^{-2}\int_0^\tau f_0 e^{-i\varepsilon^{-2}(\tau-\widetilde{\tau}){\mathcal{A}}^0 (\mathbf{k})}f_0 \\ &\qquad\qquad\qquad\quad\times b(\mathbf{k})^* L_Q(\mathbf{k})b(\mathbf{k})f_0 e^{-i \varepsilon^{-2} \widetilde{\tau} {\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})} f_0^{-1} \widehat{P} \, d\widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.5}
В силу (3.4) и (10.7) имеем:
\begin{equation}
f^{-1}\Lambda_Q b(\mathbf{k})\widehat{P}= f^{-1}t\widehat{Z}_Q(\boldsymbol{\theta})\widehat{P}= t {Z}(\boldsymbol{\theta})f^{-1}\widehat{P}.
\end{equation}
\tag{11.6}
Поскольку f^{-1}\widehat{P}=P f^{-1}\widehat{P}, то первое слагаемое в правой части (11.5) можно записать в виде f e^{-i \varepsilon^{-2} \tau {\mathcal{A}}(\mathbf{k})} \bigl(P+t{Z}(\boldsymbol{\theta})P\bigr)f^{-1}\widehat{P}.
Пусть |\mathbf k| \leqslant {t}_0. В силу (1.9) и (1.12)
\begin{equation}
\bigl\|{F}(\mathbf k){P}-\bigl(P+t{Z}(\boldsymbol{\theta}) P\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\leqslant {C}_3|\mathbf k|^2.
\end{equation}
\tag{11.7}
Из (11.4)–(11.7) вытекает, что для некоторой постоянной \widetilde{\mathcal{C}}(\tau) выполнено неравенство
\begin{equation}
\|{\mathfrak G}(\mathbf{k}, \varepsilon^{-2}\tau)\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\widetilde{\mathcal{C}}}(\tau) \varepsilon^2
\end{equation}
\tag{11.8}
при почти всех \mathbf{k} из шара |\mathbf{k}| \leqslant {t}_0 и достаточно малом \varepsilon > 0. Здесь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathfrak G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) &= f e^{-i\varepsilon^{-2}\tau {\mathcal{A}}(\mathbf{k})} F(\mathbf k) P f^{-1} \widehat{P}- \bigl(I+\Lambda_Q b( \mathbf{k}) \bigr) f_0 e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})}f_0^{-1}\widehat{P} \\ &\qquad +i\varepsilon^{-2}\int_0^\tau f_0 e^{-i\varepsilon^{-2}(\tau-\widetilde{\tau}){\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})} f_0b(\mathbf{k})^* L_Q(\mathbf{k}) b(\mathbf{k}) f_0 \\ &\qquad\times e^{-i\varepsilon^{-2}\widetilde{\tau}{\mathcal{A}}^0 (\mathbf{k})}f_0^{-1} \widehat{P} \, d\widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из леммы 11.3 (в применении к {\mathcal{A}} (\mathbf{k}) и {\mathcal{A}}^0 (\mathbf{k})) следует, что при фиксированных \tau и \varepsilon оператор {\mathfrak G}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) непрерывен по \mathbf{k} в шаре |\mathbf{k}| \leqslant {t}_0. Следовательно, оценка (11.8) справедлива при всех значениях \mathbf{k} из данного шара. В частности, она верна в точке \mathbf{k}=t\boldsymbol{\theta}_0, если t \leqslant {t}_0. Применяя снова (11.7), получаем, что для некоторой постоянной \check{\mathcal{C}}(\tau)>0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}(t\boldsymbol{\theta}_0,\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(t^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant \check{\mathcal{C}}(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{11.9}
при всех t \leqslant {t}_0 и достаточно малом \varepsilon.
Оценка (11.9) отвечает абстрактной оценке (4.5). Поскольку \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}_0)\ne 0 в силу условия 11.1, то выполнены условия пункта 2^\circ теоремы 4.10. Применяя эту теорему, приходим к противоречию. Перейдем к проверке утверждения 3^\circ. Рассуждаем от противного. Предположим, что для некоторых \tau \ne 0 и 2 \leqslant s < 4 найдется постоянная \mathcal{C}(\tau) такая, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0 выполнена оценка (11.3). Домножая оператор под знаком нормы в (11.3) на \widehat{P} и используя (7.2), убеждаемся, что выполнена оценка
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2} {\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}\, \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\mathcal{C}}(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{11.10}
при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0.
В силу (10.12), (10.23), (11.6) и равенства f^{-1}\widehat{P}=P f^{-1}\widehat{P} оценка (11.10) перепишется в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\|{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2} \bigl[e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal{A}}(\mathbf{k})} (I+t Z(\boldsymbol{\theta}))P f^{-1} \widehat{P}- (I+t Z(\boldsymbol{\theta}))P f^{-1}f_0 e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})} f_0^{-1}\widehat{P}\bigr]\bigr\| \\ &\qquad\times \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\mathcal{C}}(\tau)\varepsilon^2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.11}
при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0.
Пусть |\mathbf k| \leqslant {t}_0. В силу (1.10) и (1.12)
\begin{equation}
\bigl\|{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}\bigl({F}(\mathbf k){P}- (I+tZ(\boldsymbol{\theta}))P\bigr)\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant {C}_{4}|\mathbf k|^2.
\end{equation}
\tag{11.12}
Из (11.11) и (11.12) вытекает, что для некоторой постоянной \check{\mathcal{C}}(\tau) выполнено неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\|{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2} \bigl[e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal{A}}(\mathbf{k})}F(\mathbf k) P f^{-1} \widehat{P} \\ &\qquad-F(\mathbf k) P f^{-1} f_0 e^{-i\varepsilon^{-2} \tau {\mathcal{A}}^0(\mathbf{k})} f_0^{-1} \widehat{P}\bigr] \bigr\|\frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant \check{\mathcal{C}}(\tau) \varepsilon^2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.13}
при почти всех \mathbf{k} из шара |\mathbf{k}| \leqslant {t}_0 и достаточно малом \varepsilon > 0. Из леммы 11.3 (в применении к \mathcal{A}(\mathbf{k}) и \mathcal{A}^0(\mathbf{k})) следует, что при фиксированных \tau и \varepsilon оператор под знаком нормы в (11.13) непрерывен по \mathbf{k} в шаре |\mathbf{k}| \leqslant {t}_0. Следовательно, оценка (11.13) справедлива при всех значениях \mathbf{k} из данного шара. В частности, она верна в точке \mathbf{k}=t\boldsymbol{\theta}_0, если t \leqslant {t}_0. Применяя снова (11.12), получаем, что для некоторой постоянной \check{\mathcal{C}}'(\tau) справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2} {\mathcal G}_0( t\boldsymbol{\theta}_0,\varepsilon^{-2}\tau) \widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \frac{\varepsilon^s}{(t^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant \check{\mathcal{C}}'(\tau)\varepsilon^2
\end{equation}
\tag{11.14}
при всех t \leqslant {t}_0 и достаточно малом \varepsilon.
Оценка (11.14) отвечает абстрактной оценке (4.6). Поскольку \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}_0)\ne 0 в силу условия 11.1, то выполнены условия пункта 3^\circ теоремы 4.10. Применяя эту теорему, приходим к противоречию. Теорема 11.4 доказана. Аналогичным образом из теоремы 4.11 выводится следующий результат, который подтверждает точность теорем 10.3, 10.7, 10.9, 10.10, 10.12, 10.13 (об усилении общих результатов при дополнительных предположениях). Утверждение 1^\circ было получено в [30; теорема 8.8]. Теорема 11.5. Пусть выполнено условие 11.2. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 2. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы оценка (11.1) выполнялась при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы оценка (11.2) выполнялась при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы оценка (11.3) выполнялась при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 11.2. Точность результатов относительно времениВ этом пункте мы подтверждаем точность результатов раздела 10 относительно зависимости оценок от \tau (при большом |\tau|). По аналогии с доказательством теоремы 11.4 из теоремы 4.12 выводится следующее утверждение, подтверждающее точность теорем 10.1, 10.8, 10.11. Утверждение 1^\circ получено в [30; теорема 8.9]. Теорема 11.6. Пусть выполнено условие 11.1. 1^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau)/|\tau|=0 и выполнена оценка (11.1) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 6. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty}\mathcal{C}(\tau)/\tau^2=0 и выполнена оценка (11.2) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty}\mathcal{C}(\tau)/|\tau|=0 и выполнена оценка (11.3) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. Аналогичным образом из теоремы 4.13 выводится следующий результат, который демонстрирует точность теорем 10.3, 10.7, 10.9, 10.10, 10.12, 10.13. Утверждение 1^\circ было получено в [30; теорема 8.10]. Теорема 11.7. Пусть выполнено условие 11.2. 1^\circ. Пусть s \geqslant 2. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty}\mathcal{C}(\tau)/|\tau|^{1/2}=0 и выполнена оценка (11.1) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau)/|\tau| = 0 и выполнена оценка (11.2) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau)/|\tau|^{1/2} =0 и выполнена оценка (11.3) при всех \tau \in \mathbb{R}, почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon > 0. 12. Аппроксимация оператора e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}}12.1. Аппроксимация оператора e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}} в старшем порядкеВ пространстве L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) рассмотрим оператор
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal{A}}=b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}) b(\mathbf{D})
\end{equation*}
\notag
(см. (6.1)). Пусть \widehat{\mathcal{A}}^{\,0} – эффективный оператор (6.17). Напомним обозначение \mathcal{H}_0=-\Delta и положим
\begin{equation}
\mathcal{R}(\varepsilon):=\varepsilon^2(\mathcal{H}_0+\varepsilon^2I)^{-1}.
\end{equation}
\tag{12.1}
Оператор \mathcal{R}(\varepsilon) раскладывается в прямой интеграл по операторам (7.1):
\begin{equation}
\mathcal{R}(\varepsilon)=\mathcal{U}^{-1}\biggl(\int_{\widetilde{\Omega}} \oplus \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)\, d\mathbf{k}\biggr)\mathcal{U}.
\end{equation}
\tag{12.2}
Отсюда и из разложений вида (5.21) для \widehat{\mathcal{A}} и \widehat{\mathcal{A}}^{\,0} следует равенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|( e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}) \mathcal{R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad=\operatorname*{ess\,sup}_{\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}} \|(e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf k)}- e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}(\mathbf k)}) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.3}
Поэтому из теорем 7.1, 7.3, 7.8 прямо вытекают следующие утверждения. Для краткости ниже мы объединяем формулировки (по усилению результатов), а потому нам удобно начать новую нумерацию констант. Теорема 12.1 [25]. При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}})\mathcal{R} (\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_1(1+|\tau|) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.4}
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_1 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Ранее оценка (12.4) была получена в [25; теорема 9.1]. Теорема 12.2 [30]. Пусть выполнено условие 7.2 либо условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau \widehat{\mathcal{A}}}- e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}) \mathcal{R}(\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_2(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.5}
При условии 7.2 постоянная \widehat{\mathrm{C}}_2 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. При условии 7.4 эта константа зависит от тех же параметров и от n, \widehat{c}^{\circ}. Оценка (12.5) была получена в [30; теоремы 9.2, 9.3]. 12.2. Более точная аппроксимацияНам потребуется оператор \Pi=\mathcal{U}^{-1}[\widehat{P}]\mathcal{U}, действующий в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). Здесь [\widehat{P}] – это оператор ортогонального проектирования в \mathcal{H}=\displaystyle\int_{\widetilde{\Omega}} \oplus L_2 (\Omega; \mathbb{C}^n) \, d \mathbf{k}, действующий в слоях прямого интеграла как оператор \widehat{P} усреднения по ячейке. В [8; (6.8)] показано, что \Pi задается формулой
\begin{equation*}
(\Pi\mathbf{u})(\mathbf{x})=(2\pi)^{-d/2}\int_{\widetilde{\Omega}} e^{i\langle\mathbf{x},\boldsymbol{\xi}\rangle} \widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})\, d\boldsymbol{\xi},
\end{equation*}
\notag
где \widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi}) – Фурье-образ функции \mathbf{u} (\mathbf{x}). Тем самым, \Pi является псевдодифференциальным оператором в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), символ которого есть характеристическая функция \chi_{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi}) множества \widetilde{\Omega}. Положим
\begin{equation}
\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) := e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal A}} \bigl(I+\Lambda b({\mathbf D}) \Pi\bigr)- \bigl(I+\Lambda b({\mathbf D}) \Pi\bigr) e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal A}^0},
\end{equation}
\tag{12.6}
\begin{equation}
\widehat{G}( \varepsilon^{-2} \tau) := \widehat{G}_0(\varepsilon^{-2} \tau)+ i\varepsilon^{-2} \int_0^\tau e^{-i\varepsilon^{-2}(\tau-\widetilde{\tau})\widehat{\mathcal A}^0} b({\mathbf D})^* L({\mathbf D}) b({\mathbf D}) e^{-i\varepsilon^{-2}\widetilde{\tau}\widehat{\mathcal A}^0}\, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{12.7}
Оператор (12.6) ограничен, а оператор (12.7) в общем случае определен на H^3(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). Ниже мы увидим, что при условии 7.4 оператор (12.7) определен на H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) (это вытекает из представления (12.9) и предложения 12.6). Представим операторы (12.6) и (12.7) в виде
\begin{equation}
\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2} \tau) = e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal A}}- e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal A}^0}+ \widehat{G}^{(2)}(\varepsilon^{-2} \tau),
\end{equation}
\tag{12.8}
\begin{equation}
\widehat{G}(\varepsilon^{-2} \tau) = e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal A}}- e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal A}^0}+ \widehat{G}^{(2)}(\varepsilon^{-2} \tau)+ \widehat{G}^{(3)}(\varepsilon^{-2} \tau),
\end{equation}
\tag{12.9}
где
\begin{equation}
\widehat{G}^{(2)}(\varepsilon^{-2} \tau) := e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal A}}\Lambda b({\mathbf D})\Pi- \Lambda b({\mathbf D})\Pi e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal A}^0},
\end{equation}
\tag{12.10}
\begin{equation}
\widehat{G}^{(3)}(\varepsilon^{-2} \tau) := i \varepsilon^{-2} \int_0^\tau e^{-i\varepsilon^{-2}(\tau-\widetilde{\tau})\widehat{\mathcal A}^0} b({\mathbf D})^* L({\mathbf D}) b({\mathbf D}) e^{-i\varepsilon^{-2}\widetilde{\tau}\widehat{\mathcal A}^0}\, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{12.11}
Пусть операторы \widehat{G}_0(\mathbf k,\varepsilon^{-2}\tau) и \widehat{G}(\mathbf k,\varepsilon^{-2}\tau) определены в (7.14) и (7.15). Операторы (12.6) и (12.7) раскладываются в прямые интегралы:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{G}_0(\varepsilon^{-2} \tau) &= \mathcal{U}^{-1}\biggl(\int_{\widetilde{\Omega}} \oplus \widehat{G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\, d \mathbf{k}\biggr) \mathcal{U}, \\ \widehat{G}(\varepsilon^{-2} \tau) &= \mathcal{U}^{-1}\biggl( \int_{\widetilde{\Omega}} \oplus \widehat{G} (\mathbf{k}, \varepsilon^{-2} \tau) \, d\mathbf{k} \biggr) \mathcal{U}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
С учетом (12.2) отсюда следуют соотношения
\begin{equation}
\bigl\|\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\varepsilon)^{s/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} =\operatorname*{ess\,sup}_{\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}} \bigl\|\widehat{G}_0(\mathbf k,\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\bigr\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)},
\end{equation}
\tag{12.12}
\begin{equation}
\bigl\|\widehat{G}(\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\varepsilon)^{s/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} =\operatorname*{ess\,sup}_{\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}}\bigl\| \widehat{G}(\mathbf k,\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\bigr\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)}.
\end{equation}
\tag{12.13}
Из (12.12), (12.13) и теорем 7.9, 7.10, 7.11 вытекают следующие утверждения. Теорема 12.3. Пусть оператор \widehat{G}(\varepsilon^{-2}\tau) определен в (12.7). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{G}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_3(1+|\tau|)^2\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_3 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 12.4. Пусть оператор \widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) определен в (12.6). Пусть выполнено условие 7.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_4(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_4 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 12.5. Пусть оператор \widehat{G}(\varepsilon^{-2} \tau) определен в (12.7). Пусть выполнено условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{G}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_5 (1+|\tau|) \varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_5 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и \widehat{c}^{\circ}. Для целей интерполяции в главе 3 нам понадобятся следующие два утверждения. Предложение 12.6. Если выполнено условие 7.4, то оператор \widehat{G}^{(3)}(\varepsilon^{-2}\tau), определенный в (12.11), допускает представление в виде псевдодифференциального оператора с символом
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{\xi};\varepsilon^{-2}\tau)&= |\boldsymbol{\xi}| \sum_{\substack{1 \leqslant j,l \leqslant p(\widehat{\boldsymbol{\xi}}):\\ j \ne l}}\frac{e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat\gamma_l^\circ (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) |\boldsymbol{\xi}|^2}- e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat\gamma_j^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) |\boldsymbol{\xi}|^2}}{\widehat\gamma_j^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}})- \widehat\gamma_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}})} \\ &\qquad\times\widehat{P}_j (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* L(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) \widehat{P}_l (\widehat{\boldsymbol{\xi}}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.14}
Здесь {\boldsymbol{\xi}}=|{\boldsymbol{\xi}}|\widehat{\boldsymbol{\xi}} \in \mathbb{R}^d, \widehat{\boldsymbol{\xi}} \in \mathbb{S}^{d-1}, числа \widehat\gamma_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), l=1,\dots,p(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), – различные собственные значения матрицы \widehat S(\widehat{\boldsymbol{\xi}})= b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* g^0 b(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), а \widehat{P}_l(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) – ортопроектор в \mathbb{C}^n на собственное подпространство оператора \widehat S(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), отвечающее собственному значению \widehat\gamma_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}}). Справедлива оценка Доказательство. Оператор (12.11) можно записать в Фурье-представлении как псевдодифференциальный оператор с символом
\begin{equation*}
\widehat{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{\xi};\varepsilon^{-2}\tau)= i\varepsilon^{-2} \int_0^\tau e^{-i\varepsilon^{-2}(\tau-\widetilde{\tau}) \widehat S(\widehat{\boldsymbol{\xi}})|{\boldsymbol{\xi}}|^2} |{\boldsymbol{\xi}}|^3 b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* L(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) e^{-i\varepsilon^{-2} \widetilde{\tau} \widehat S (\widehat{\boldsymbol{\xi}})|{\boldsymbol{\xi}}|^2}\, d\widetilde{\tau}.
\end{equation*}
\notag
При условии 7.4 выполнено равенство \widehat{N}(\widehat{\boldsymbol{\xi}})= \widehat{N}_*(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), а потому согласно (6.30) для матрицы \widehat{N}(\widehat{\boldsymbol{\xi}})= b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* L(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) справедливо представление
\begin{equation*}
\widehat{N}(\widehat{\boldsymbol{\xi}})= \sum_{\substack{1 \leqslant j, l \leqslant p(\widehat{\boldsymbol{\xi}}):\\ j \ne l}} \widehat{P}_j (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) \widehat{N}(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) \widehat{P}_l (\widehat{\boldsymbol{\xi}}).
\end{equation*}
\notag
Поскольку \widehat{P}_l (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) – ортопроектор в \mathbb{C}^n на собственное подпространство оператора \widehat S(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), отвечающее собственному значению \widehat{\gamma}_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), то
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{\xi};\varepsilon^{-2}\tau) &=i\varepsilon^{-2}\sum_{\substack{1 \leqslant j, l \leqslant p(\widehat{\boldsymbol{\xi}}):\\ j \ne l}} \int_0^\tau e^{-i \varepsilon^{-2} (\tau-\widetilde{\tau}) \widehat\gamma_j^\circ (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) |{\boldsymbol{\xi}}|^2} |{\boldsymbol{\xi}}|^3 \widehat{P}_j(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* L(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})\widehat{P}_l (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times e^{-i \varepsilon^{-2} \widetilde{\tau} \widehat\gamma_l^\circ (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) |{\boldsymbol{\xi}}|^2 }\, d \widetilde{\tau} \\ &=i\varepsilon^{-2} |{\boldsymbol{\xi}}|^3 \sum_{\substack{1 \leqslant j, l \leqslant p(\widehat{\boldsymbol{\xi}}):\\ j \ne l}} e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat\gamma_j^\circ (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) |{\boldsymbol{\xi}}|^2} \widehat{P}_j(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* L(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) \widehat{P}_l (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) \\ &\qquad\times \int_0^\tau e^{i \varepsilon^{-2} \widetilde{\tau}(\widehat\gamma_j^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}})- \widehat\gamma_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}})) |{\boldsymbol{\xi}}|^2}\, d\widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Вычисляя интегралы справа, приходим к представлению (12.14). Оценка (12.15) вытекает из (12.14) и оценок |b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* L(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})| \leqslant C_{\widehat{N}}, |\widehat\gamma_j^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}})- \widehat\gamma_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}})| \geqslant \widehat{c}^\circ, j \ne l. Предложение доказано. Предложение 12.7. Пусть операторы \widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) и \widehat{G}( \varepsilon^{-2}\tau) определены в (12.6) и (12.7). 1^\circ. При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_6^\circ (1+|\tau|) \varepsilon,
\end{equation}
\tag{12.16}
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_6(1+|\tau|) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.17}
Постоянные \widehat{\mathrm C}_6^\circ и \widehat{\mathrm C}_6 зависят лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. 2^\circ. Пусть выполнено условие 7.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_7(1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.18}
Постоянная \widehat{\mathrm C}_7 зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. 3^\circ. Пусть выполнено условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_8^\circ (1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon,
\end{equation}
\tag{12.19}
\begin{equation}
\|\widehat{G}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_8 (1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.20}
Постоянные \widehat{\mathrm C}_8^\circ, \widehat{\mathrm C}_8 зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0, а также от n и \widehat{c}^\circ. Доказательство. 1^\circ. Воспользуемся представлениями (12.8), (12.9). В силу теоремы 12.1 для оператора e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} справедлива оценка (12.4).
Заметим, что оператор (12.10) раскладывается в прямой интеграл по операторам (7.18). Отсюда с учетом (7.2), (7.20) и равенства \widehat{G}^{(2)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)= \widehat{G}^{(2)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\widehat{P} вытекает оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{G}^{(2)}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}= \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \|\widehat{G}^{(2)}(\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2 (\Omega)} \\ &\qquad \leqslant 2C_{\widehat{Z}}\sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \frac{|\mathbf{k}|\varepsilon^3}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{3/2}} \leqslant C_{\widehat{Z}}\varepsilon, \qquad \tau \in \mathbb{R},\quad \varepsilon >0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.21}
Из (12.4), (12.8) и (12.21) вытекает неравенство (12.16).
Далее, из (12.11) с помощью преобразования Фурье получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\widehat{G}^{(3)}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant \varepsilon^{-2}|\tau| \, \| b({\mathbf D})^* L({\mathbf D}) b({\mathbf D})\mathcal{R} (\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant\varepsilon^{-2}|\tau| \sup_{\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d}|b(\boldsymbol{\xi})^* L(\boldsymbol{\xi})b(\boldsymbol{\xi})| \frac{\varepsilon^3}{(| \boldsymbol{\xi} |^2+\varepsilon^2)^{3/2}} \\ &\qquad\leqslant C_{\widehat{N}}|\tau|\varepsilon \sup_{\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d} \frac{|\boldsymbol{\xi}|^3}{(|\boldsymbol{\xi}|^2+\varepsilon^2)^{3/2}} \leqslant C_{\widehat{N}}|\tau|\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Комбинируя это неравенство с (12.4), (12.9) и (12.21), получаем оценку (12.17).
2^\circ. Воспользуемся представлением (12.8). При выполнении условия 7.2 в силу теоремы 12.2 для оператора e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}} -e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} верна оценка (12.5). По аналогии с (12.21) получаем
\begin{equation}
\|\widehat{G}^{(2)}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant 2C_{\widehat{Z}} \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \frac{|\mathbf{k}|\varepsilon^2}{|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2} \leqslant C_{\widehat{Z}}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.22}
Из (12.5), (12.8) и (12.22) вытекает неравенство (12.18).
3^\circ. Воспользуемся представлениями (12.8), (12.9). При выполнении условия 7.4 в силу теоремы 12.2 для оператора e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}} -e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} справедлива оценка (12.5). Оценка (12.22) для оператора \widehat{G}^{(2)}(\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\varepsilon) сохраняет силу. Из (12.5), (12.8) и (12.22) вытекает (12.19). Далее, при условии 7.4 применимо предложение 12.6, которое дает оценку
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\widehat{G}^{(3)}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)}&\leqslant \sup_{\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d} |\widehat{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{\xi};\varepsilon^{-2}\tau)| \frac{\varepsilon^2}{| \boldsymbol{\xi}|^2+\varepsilon^2} \\ &\leqslant 2C_{\widehat{N}}n^2 (\widehat{c}^\circ)^{-1} \sup_{\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d} \frac{|\boldsymbol{\xi}|\varepsilon^2}{|\boldsymbol{\xi}|^2+\varepsilon^2} \leqslant C_{\widehat{N}}n^2(\widehat{c}^\circ)^{-1}\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.23}
В итоге соотношения (12.5), (12.9), (12.22) и (12.23) влекут неравенство (12.20). Предложение доказано. 12.3. Аппроксимация в “энергетической” нормеАналогично (12.12) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\widehat{\mathcal A}^{1/2}\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad=\operatorname*{ess\,sup}_{\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}} \|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2} \widehat{G}_0(\mathbf k,\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поэтому из теорем 7.12–7.14 вытекают следующие утверждения. Теорема 12.8. Пусть оператор \widehat{G}_0(\varepsilon^{-2} \tau) определен в (12.6). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{\mathcal A}^{1/2}\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_9(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_9 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 12.9. Пусть оператор \widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) определен в (12.6). Пусть выполнено условие 7.2 либо условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{\mathcal A}^{1/2}\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_{10}(1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
При условии 7.2 постоянная \widehat{\mathrm{C}}_{10} зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. При условии 7.4 эта постоянная зависит от тех же параметров, а также от n, \widehat{c}^{\circ}. Для целей интерполяции в главе 3 нам понадобится также следующее утверждение. Предложение 12.10. Пусть оператор \widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) определен в (12.6). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{11}^\circ,
\end{equation}
\tag{12.24}
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal A}^{1/2}\widehat{G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{11}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.25}
Постоянные \widehat{\mathrm C}_{11}^\circ, \widehat{\mathrm C}_{11} зависят лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0 и r_1. Доказательство. Воспользуемся представлением (12.8). Очевидно, что
\begin{equation}
\|( e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal A}}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal A}^0})\mathcal{R} (\varepsilon)^{1/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant 2.
\end{equation}
\tag{12.26}
По аналогии с (12.21) получаем
\begin{equation}
\|\widehat{G}^{(2)}(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant 2 C_{\widehat{Z}} \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \frac{|\mathbf{k}|\varepsilon}{(|\mathbf{k}|^2+\varepsilon^2)^{1/2}} \leqslant 2C_{\widehat{Z}}r_1.
\end{equation}
\tag{12.27}
Из (12.8), (12.26) и (12.27) вытекает (12.24).
Проверим справедливость оценки (12.25). С помощью преобразования Фурье выводим следующую оценку:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{\mathcal A}^{1/2} (e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}) \mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad\leqslant 2\bigl\|\widehat{\mathcal A}^{1/2} \mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant 2\|g\|_{L_\infty}^{1/2}\bigl\|b({\mathbf D})\mathcal{R} (\varepsilon)^{1/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant 2\|g\|_{L_\infty}^{1/2}\alpha_1^{1/2} \sup_{\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d} \frac{|\boldsymbol{\xi}|\varepsilon} {(|\boldsymbol{\xi}|^2+\varepsilon^2)^{1/2}}\leqslant 2\|g\|_{L_\infty}^{1/2}\alpha_1^{1/2}\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.28}
Далее, используя разложение в прямой интеграл, с учетом (6.13), (7.9), (7.12) и (7.18) получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\|\widehat{\mathcal A}^{1/2} \widehat{G}^{(2)}( \varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad=\sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \bigl\|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}\widehat{G}^{(2)} (\mathbf{k},\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}\bigr\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad \leqslant 2 \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \bigl\|g^{1/2} b({\mathbf D}+\mathbf k) \Lambda b (\mathbf k)\widehat{P} \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}\bigr\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)} \\ \notag &\qquad\leqslant 2 |\Omega|^{-1/2} \bigl\| g^{1/2} b({\mathbf D}) \Lambda \bigr\|_{L_2(\Omega)}\alpha_1^{1/2} \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \frac{|\mathbf k|\varepsilon}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^{1/2}} \\ \notag &\qquad\qquad +2 \|g\|_{L_\infty}^{1/2} \alpha_1^{1/2} C_{\widehat{Z}} \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \frac{|\mathbf k|^2\varepsilon}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^{1/2}} \\ &\qquad\leqslant 2\|g\|_{L_\infty}^{1/2}\alpha_1^{1/2} (1+C_{\widehat{Z}} r_1) \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.29}
В итоге из (12.8), (12.28) и (12.29) вытекает оценка (12.25). Предложение доказано. 12.4. Подтверждение точности теорем из пп. 12.1–12.3Применяя теоремы из раздела 8, мы подтверждаем точность результатов пп. 12.1–12.3. Начнем с точности относительно сглаживающего множителя. Покажем, что общие результаты (теоремы 12.1, 12.3, 12.8) точны. Теорема 12.11. Пусть выполнено условие 8.1. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполнялось неравенство
\begin{equation}
\|( e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}}- e^{-i\varepsilon^{-2} \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}) \mathcal{R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}(\tau) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.30}
2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 6. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполнялось неравенство
\begin{equation}
\| \widehat{G}(\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}(\tau) \varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{12.31}
3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполнялось неравенство Доказательство. Утверждение 1^\circ будем доказывать от противного. Предположим, что при некоторых \tau \ne 0 и 0 \leqslant s<3 найдется такая постоянная \mathcal{C}(\tau) > 0, что неравенство (12.30) выполнено при всех достаточно малых \varepsilon > 0. В силу (12.3) это означает, что при почти всех \mathbf{k} \in \widetilde{\Omega} и достаточно малом \varepsilon выполнена оценка (8.1). Но это противоречит утверждению пункта 1^\circ теоремы 8.4.
Аналогичным образом утверждения 2^\circ и 3^\circ выводятся из утверждений 2^\circ и 3^\circ теоремы 8.4 соответственно. Теорема доказана. Утверждение 1^\circ ранее было получено в [29; теорема 12.4]. Точность усиленных результатов (теорем 12.2, 12.4, 12.5, 12.9) вытекает из теоремы 8.5. Теорема 12.12. Пусть выполнено условие 8.2. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 2. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы оценка (12.30) выполнялась при достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C} (\tau), чтобы оценка (12.31) выполнялась при достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), чтобы оценка (12.32) выполнялась при достаточно малом \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ было установлено в [30; теорема 9.5]. Перейдем к подтверждению точности относительно зависимости оценок от параметра \tau. Из теоремы 8.6 вытекает точность общих результатов (теорем 12.1, 12.3, 12.8). Теорема 12.13. Пусть выполнено условие 8.1. 1^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /|\tau| = 0 и выполнена оценка (12.30) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 6. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /\tau^2 = 0 и выполнена оценка (12.31) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (12.32) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ ранее было установлено в [30; теорема 9.6]. Точность усиленных результатов (теорем 12.2, 12.4, 12.5, 12.9) следует из теоремы 8.7. Теорема 12.14. Пусть выполнено условие 8.2. 1^\circ. Пусть s \geqslant 2. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /|\tau|^{1/2} =0 и выполнена оценка (12.30) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (12.31) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau|^{1/2} =0 и выполнена оценка (12.32) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. Ранее утверждение 1^\circ было проверено в [30; теорема 9.7]. 13. Аппроксимация окаймленной экспоненты e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal A}}13.1. Аппроксимация окаймленного оператора e^{-i \varepsilon^{-2} \tau {\mathcal A} } в старшем порядкеВ L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n) рассмотрим оператор (5.10). Пусть f_0 – матрица (9.1) и \mathcal{A}^0 – оператор (9.3). Обозначим
\begin{equation}
{\mathcal J}(\tau):=fe^{-i\tau{\mathcal{A}}}f^{-1}- f_0 e^{-i\tau{\mathcal{A}}^0}f_0^{-1}.
\end{equation}
\tag{13.1}
Далее нам также потребуется обозначение {\mathcal J}(\mathbf{k},\tau), введенное в (10.1). Из разложений вида (5.21) для {\mathcal{A}} и {\mathcal{A}}^0 с учетом (12.2) следует равенство
\begin{equation*}
\bigl\| {\mathcal J}(\varepsilon^{-2} \tau)\mathcal{R} (\varepsilon)^{s/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}= \operatorname*{ess\,sup}_{\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}} \bigl\| {\mathcal J}(\mathbf{k}, \varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\bigr\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому из теорем 10.1, 10.3, 10.7 прямо вытекают следующие утверждения. Теорема 13.1 [25]. Пусть оператор {\mathcal J}(\tau) определен в (13.1). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\bigl\| {\mathcal J}(\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_1(1+|\tau|) \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathrm{C}}_1 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 13.2 [30]. Пусть оператор {\mathcal J}(\tau) определен в (13.1). Пусть выполнено условие 10.2 либо условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\bigl\| {\mathcal J}(\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R}(\varepsilon) \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_2(1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
При условии 10.2 постоянная {\mathrm{C}}_2 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. При условии 10.4 эта константа зависит от тех же параметров и от n, {c}^{\circ}. Ранее теорема 13.1 была получена в [25; теорема 10.1], а теорема 13.2 была установлена в [30; теоремы 9.9, 9.10]. 13.2. Более точная аппроксимацияПоложим
\begin{equation}
{\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2} \tau) := f e^{-i \varepsilon^{-2} \tau {\mathcal A}} f^{-1} \bigl( I+\Lambda_Q b({\mathbf D}) \Pi\bigr)- \bigl( I+\Lambda_Q b({\mathbf D}) \Pi\bigr) f_0 e^{-i \varepsilon^{-2} \tau {\mathcal A}^0} f_0^{-1},
\end{equation}
\tag{13.2}
\begin{equation}
\nonumber {\mathcal G}(\varepsilon^{-2}\tau) :={\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) + i \varepsilon^{-2} \int_0^\tau f_0 e^{-i \varepsilon^{-2} (\tau-\widetilde{\tau}) {\mathcal A}^0}f_0
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\times b({\mathbf D})^* L_Q({\mathbf D}) b({\mathbf D}) f_0 e^{-i \varepsilon^{-2} \widetilde{\tau}{\mathcal A}^0} f_0^{-1}\, d \widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{13.3}
Оператор (13.2) ограничен, а оператор (13.3) в общем случае определен на H^3(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). При условии 10.4 оператор (13.3) определен на H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) (это вытекает из приводимых далее представления (13.4) и предложения 13.6). Представим операторы (13.2) и (13.3) в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2} \tau) &= {\mathcal J}(\varepsilon^{-2}\tau)+{\mathcal G}^{(2)}(\varepsilon^{-2}\tau), \\ {\mathcal G}(\varepsilon^{-2} \tau) &= {\mathcal J}(\varepsilon^{-2} \tau) +{\mathcal G}^{(2)}(\varepsilon^{-2}\tau)+ {\mathcal G}^{(3)}(\varepsilon^{-2}\tau), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13.4}
где
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\mathcal G}^{(2)}(\varepsilon^{-2} \tau) &:= f e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal A}}f^{-1}\Lambda_Q b({\mathbf D})\Pi- \Lambda_Q b({\mathbf D})\Pi f_0 e^{-i\varepsilon^{-2}\tau{\mathcal A}^0} f_0^{-1}, \\ {\mathcal G}^{(3)}(\varepsilon^{-2}\tau) &:=i\varepsilon^{-2}\int_0^\tau f_0 e^{-i \varepsilon^{-2} (\tau-\widetilde{\tau}) {\mathcal A}^0} f_0 b({\mathbf D})^* L_Q({\mathbf D}) b({\mathbf D}) f_0 e^{-i\varepsilon^{-2}\widetilde{\tau}{\mathcal A}^0} f_0^{-1}\, d \widetilde{\tau}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13.5}
Пусть операторы {\mathcal G}_0(\mathbf k,\varepsilon^{-2} \tau) и {\mathcal G}(\mathbf k, \varepsilon^{-2} \tau) определены в (10.12) и (10.13) соответственно. Аналогично (12.12), (12.13) имеем:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| {\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2} \tau)\mathcal{R} (\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= \operatorname*{ess\,sup}_{\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}} \|{\mathcal G}_0(\mathbf k, \varepsilon^{-2} \tau)\mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega)\to L_2(\Omega)}, \\ \|{\mathcal G}(\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R} (\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= \operatorname*{ess\,sup}_{\mathbf{k} \in \widetilde{\Omega}} \|{\mathcal G}(\mathbf k, \varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R} (\mathbf{k},\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13.6}
Отсюда и из теорем 10.8, 10.9 и 10.10 непосредственно вытекают следующие утверждения. Теорема 13.3. Пусть оператор {\mathcal G}(\varepsilon^{-2} \tau) определен в (13.3). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal G}(\varepsilon^{-2} \tau)\mathcal{R} (\varepsilon)^{3}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant {\mathrm{C}}_3(1+|\tau|)^2 \varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathrm{C}}_3 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 13.4. Пусть оператор {\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2} \tau) определен в (13.2). Пусть выполнено условие 10.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R} (\varepsilon)^{2} \|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_4(1+|\tau|) \varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathrm{C}}_4 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 13.5. Пусть оператор {\mathcal G}(\varepsilon^{-2} \tau) определен в (13.3). Пусть выполнено условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\| {\mathcal G}(\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R} (\varepsilon)^{2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_5 (1+|\tau|) \varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathrm{C}}_5 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и {c}^{\circ}. Для целей интерполяции в главе 3 нам понадобятся следующие утверждения. Первое из них несложно проверить по аналогии с доказательством предложения 12.6. Предложение 13.6. Пусть выполнено условие 10.4. Тогда определенный формулой (13.5) оператор {\mathcal G}^{(3)}(\varepsilon^{-2}\tau) допускает представление в виде псевдодифференциального оператора с символом
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathfrak{g}}(\boldsymbol{\xi};\varepsilon^{-2}\tau)&=|\boldsymbol{\xi}|f_0^2 \sum_{\substack{1 \leqslant j,l \leqslant p(\widehat{\boldsymbol{\xi}}):\\ j \ne l}}\frac{e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \gamma_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) |\boldsymbol{\xi}|^2}- e^{-i \varepsilon^{-2} \tau \gamma_j^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) |\boldsymbol{\xi}|^2}}{\gamma_j^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}})- \gamma_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}})} \\ &\qquad\times{\mathcal P}_j (\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* b(\widehat{\boldsymbol{\xi}})^* L_Q(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) b(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) {\mathcal P}_l (\widehat{\boldsymbol{\xi}}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Здесь {\boldsymbol{\xi}}=|{\boldsymbol{\xi}}|\widehat{\boldsymbol{\xi}} \in \mathbb{R}^d, \widehat{\boldsymbol{\xi}} \in \mathbb{S}^{d-1}, числа \gamma_l^\circ(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), l= 1,\dots, p(\widehat{\boldsymbol{\xi}}), – различные собственные значения обобщенной задачи \widehat S(\widehat{\boldsymbol{\xi}}) {\mathbf c}= \gamma \overline{Q}{\mathbf c}, {\mathbf c} \in \mathbb{C}^n, а {\mathcal P}_l (\widehat{\boldsymbol{\xi}}) – проектор в \mathbb{C}^n на соответствующее собственное подпространство, ортогональный с весом \overline{Q}. Справедлива оценка Второе утверждение устанавливается по аналогии с доказательством предложения 12.7 с использованием теорем 13.1, 13.2 и предложения 13.6. Предложение 13.7. Пусть операторы {\mathcal G}_0( \varepsilon^{-2}\tau) и {\mathcal G}(\varepsilon^{-2}\tau) определены в (13.2) и (13.3). 1^\circ. При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\| {\mathcal G}_0( \varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}( \varepsilon)^{3/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathrm C}_6^\circ (1+|\tau|) \varepsilon, \\ \bigl\| {\mathcal G}( \varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}( \varepsilon)^{3/2} \bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathrm C}_6 (1+|\tau|) \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Постоянные {\mathrm C}_6^\circ и {\mathrm C}_6 зависят лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. 2^\circ. Пусть выполнено условие 10.2. При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal G}_0( \varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R} (\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_7 (1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathrm C}_7 зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. 3^\circ. Пусть выполнено условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|{\mathcal G}_0( \varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R} (\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_8^\circ (1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon, \\ \|{\mathcal G}( \varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\varepsilon)\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_8 (1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Постоянные {\mathrm C}_8^\circ, {\mathrm C}_8 зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0, а также от n и {c}^\circ. 13.3. Аппроксимация по “энергетической” нормеАналогично (13.6) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\widehat{\mathcal A}^{1/2} {\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad=\operatorname*{ess\,sup}_{\mathbf{k}\in \widetilde{\Omega}} \|\widehat{\mathcal A}(\mathbf k)^{1/2}{\mathcal G}_0 (\mathbf k,\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R}(\mathbf{k}, \varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где оператор {\mathcal G}_0(\mathbf{k},\varepsilon^{-2} \tau) определен в (10.12). Поэтому из теорем 10.11–10.13 вытекают следующие два утверждения. Теорема 13.8. Пусть оператор {\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) определен в (13.2). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{\mathcal A}^{1/2}{\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_9(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathrm{C}}_9 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 13.9. Пусть оператор {\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) определен в (13.2). Пусть выполнено условие 10.2 либо условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{\mathcal A}^{1/2}{\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{3/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_{10} (1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
При условии 10.2 постоянная {\mathrm{C}}_{10} зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. При условии 10.4 эта константа зависит от тех же параметров и от n, {c}^{\circ}. Для целей интерполяции в главе 3 нам понадобится также следующее утверждение, которое легко проверить по аналогии с доказательством предложения 12.10. Предложение 13.10. Пусть оператор {\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2}\tau) определен в (13.2). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|{\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\varepsilon)^{1/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathrm C}_{11}^\circ, \\ \|\widehat{\mathcal A}^{1/2} {\mathcal G}_0(\varepsilon^{-2}\tau)\mathcal{R} (\varepsilon)^{1/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} & \leqslant {\mathrm C}_{11} \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Постоянные {\mathrm C}_{11}^\circ, {\mathrm C}_{11} зависят лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0 и r_1. 13.4. Подтверждение точности результатов пп. 13.1–13.3Из теорем раздела 11 вытекает точность результатов пп. 13.1–13.3. Начнем с точности относительно сглаживающего множителя. Точность общих результатов (теорем 13.1, 13.3, 13.8) вытекает из теоремы 11.4. Теорема 13.11. Пусть выполнено условие 11.1. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s<3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется неравенство
\begin{equation}
\bigl\| {\mathcal J}(\varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R} (\varepsilon)^{s/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}(\tau) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{13.7}
2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 6. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется неравенство
\begin{equation}
\bigl\| {\mathcal G}( \varepsilon^{-2} \tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{s/2}\bigr\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \leqslant \mathcal{C}(\tau)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{13.8}
3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется неравенство Утверждение 1^\circ ранее было установлено в [29; теорема 12.8]. Точность усиленных результатов (теорем 13.2, 13.4, 13.5, 13.9) следует из теоремы 11.5. Теорема 13.12. Пусть выполнено условие 11.2. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 2. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что оценка (13.7) выполняется при достаточно малом \varepsilon>0. 2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C} (\tau), что оценка (13.8) выполняется при достаточно малом \varepsilon>0. 3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что оценка (13.9) выполняется при достаточно малом \varepsilon>0. Утверждение 1^\circ было установлено в [30; теорема 9.12]. Перейдем к точности относительно зависимости оценок от параметра \tau. Точность общих результатов (теорем 13.1, 13.3, 13.8) вытекает из теоремы 11.6. Теорема 13.13. Пусть выполнено условие 11.1. 1^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /|\tau| = 0 и выполнена оценка (13.7) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 6. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /\tau^2 = 0 и выполнена оценка (13.8) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty}\mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (13.9) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ ранее было установлено в [30; теорема 9.13]. Наконец, усиленные результаты (теоремы 13.2, 13.4, 13.5, 13.9) тоже точны, что следует из теоремы 11.7. Теорема 13.14. Пусть выполнено условие 11.2. 1^\circ. Пусть s \geqslant 2. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /|\tau|^{1/2} =0 и выполнена оценка (13.7) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (13.8) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau|^{1/2} =0 и выполнена оценка (13.9) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. Ранее утверждение 1^\circ было проверено в [30; теорема 9.14]. Глава 3. Усреднение уравнений типа Шрёдингера14. Аппроксимация оператора e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}14.1. Операторы \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon, \mathcal{A}_\varepsilon. Постановка задачиЕсли \psi(\mathbf{x}) – измеримая \Gamma-периодическая функция в \mathbb{R}^d, условимся использовать обозначение \psi^{\varepsilon}(\mathbf{x}):=\psi(\varepsilon^{-1}\mathbf{x}), \varepsilon > 0. Наши основные объекты – операторы \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon, \mathcal{A}_\varepsilon, действующие в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) и формально заданные выражениями
\begin{equation}
\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon :=b(\mathbf{D})^* g^{\varepsilon}(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}),
\end{equation}
\tag{14.1}
\begin{equation}
\mathcal{A}_\varepsilon :=(f^{\varepsilon}(\mathbf{x}))^* b(\mathbf{D})^* g^{\varepsilon}(\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) f^{\varepsilon}(\mathbf{x}).
\end{equation}
\tag{14.2}
Строгие определения даются через соответствующие квадратичные формы (ср. с п. 5.3). Коэффициенты операторов (14.1) и (14.2) быстро осциллируют при \varepsilon \to 0. Наша цель – получить аппроксимации операторов e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} и f^\varepsilon e^{-i\tau\mathcal{A}_\varepsilon}(f^\varepsilon)^{-1} при малом \varepsilon и применить полученные результаты к усреднению решений задачи Коши для уравнений типа Шрёдингера. 14.2. Масштабное преобразованиеПусть T_{\varepsilon} – унитарный в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) оператор масштабного преобразования:
\begin{equation*}
(T_{\varepsilon}\mathbf{u})(\mathbf{x})= \varepsilon^{d/2}\mathbf{u}(\varepsilon\mathbf{x}), \qquad \varepsilon > 0.
\end{equation*}
\notag
Если \psi(\mathbf{x}) – это \Gamma-периодическая измеримая функция, то оператор [\psi^{\varepsilon}] умножения на функцию \psi^{\varepsilon}(\mathbf{x}) под действием масштабного преобразования перейдет в оператор [\psi] умножения на \psi(\mathbf{x}): [\psi^{\varepsilon}]=T_\varepsilon^*[\psi]T_\varepsilon. Справедливо тождество \mathcal{A}_\varepsilon= \varepsilon^{-2}T_{\varepsilon}^*\mathcal{A}T_{\varepsilon}. Следовательно,
\begin{equation}
e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}=T_{\varepsilon}^* e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}} T_{\varepsilon}, \qquad f^\varepsilon e^{-i\tau\mathcal{A}_\varepsilon}(f^\varepsilon)^{-1}= T_{\varepsilon}^*fe^{-i\varepsilon^{-2}\tau\mathcal{A}}f^{-1}T_{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{14.3}
Применяя масштабное преобразование к резольвенте оператора \mathcal{H}_0=-\Delta, получаем
\begin{equation}
(\mathcal{H}_0+I)^{-1}=\varepsilon^2T_\varepsilon^*(\mathcal{H}_0+ \varepsilon^2 I)^{-1}T_\varepsilon=T_\varepsilon^* \mathcal{R}(\varepsilon)T_\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.4}
Здесь использовано обозначение (12.1). 14.3. Аппроксимация оператора e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} в старшем порядкеПрименяя (14.3) для операторов \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon и \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}, а также (14.4), при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon>0 получаем
\begin{equation}
(e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}})(\mathcal{H}_0+I)^{-s/2}= T_{\varepsilon}^*(e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}}- e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}) {\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2} T_{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{14.5}
Заметим, что оператор (\mathcal{H}_0+I)^{s/2} осуществляет изометрический изоморфизм пространства Соболева H^s(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n) на L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). С учетом этого, применяя теоремы 12.1, 12.2 и соотношение (14.5), непосредственно получаем следующие две теоремы. Теорема 14.1 [25]. Пусть \widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon} – оператор (14.1), и пусть \widehat{\mathcal{A}}^{\,0} – эффективный оператор (6.17). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^3(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_1(1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.6}
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_1 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 14.2 [30]. Пусть выполнены условия теоремы 14.1. Пусть выполнено условие 7.2 либо условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^{2}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_2(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.7}
При условии 7.2 постоянная \widehat{\mathrm{C}}_2 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. При условии 7.4 эта константа зависит от тех же параметров и от n, \widehat{c}^\circ. Теорема 14.1 была установлена ранее в [25; теорема 12.1], а теорема 14.2 – в [30; теоремы 10.2, 10.3]. С помощью интерполяции из теорем 14.1, 14.2 выводим следующие утверждения. Следствие 14.3. В условиях теоремы 14.1 справедлива оценка
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_1(s) (1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3}, \\ \notag 0\leqslant s \leqslant 3,\quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \varepsilon>0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14.8}
Здесь \widehat{\mathfrak{C}}_1(s)=2^{1-s/3}\widehat{\mathrm{C}}_1^{s/3}. Доказательство. Очевидно, что
\begin{equation}
\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant 2,\qquad \tau \in \mathbb{R}, \quad \varepsilon>0.
\end{equation}
\tag{14.9}
Интерполируя между (14.9) и (14.6), приходим к оценке (14.8). Следствие 14.4. В условиях теоремы 14.2 справедлива оценка
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_2(s) (1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2}, \\ \notag 0\leqslant s \leqslant 2,\quad \tau \in \mathbb{R}, \quad \varepsilon>0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14.10}
Здесь \widehat{\mathfrak{C}}_2(s)=2^{1-s/2}\widehat{\mathrm{C}}_2^{s/2}. 14.4. Более точная аппроксимацияПоложим \Pi_\varepsilon:=T_\varepsilon^* \Pi T_\varepsilon. Тогда \Pi_\varepsilon – это псевдодифференциальный оператор в L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n) с символом \chi_{\widetilde{\Omega}/\varepsilon} ({\boldsymbol \xi}):
\begin{equation*}
(\Pi_\varepsilon \mathbf{u}) (\mathbf{x})=(2 \pi)^{-d/2} \int_{\widetilde{\Omega}/\varepsilon} e^{i\langle\mathbf{x},\boldsymbol{\xi}\rangle}\widehat{\mathbf{u}} (\boldsymbol{\xi}) \, d \boldsymbol{\xi}.
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation}
\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) :=e^{-i\tau\widehat{\mathcal A}_\varepsilon} \bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon\bigr)- \bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon\bigr) e^{-i\tau\widehat{\mathcal A}^0},
\end{equation}
\tag{14.11}
\begin{equation}
\widehat{G}_\varepsilon ( \tau) := \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)+ i\varepsilon \int_0^\tau e^{-i(\tau-\widetilde{\tau})\widehat{\mathcal A}^0} b({\mathbf D})^* L({\mathbf D}) b({\mathbf D}) e^{-i\widetilde{\tau}\widehat{\mathcal A}^0}\, d \widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{14.12}
Оператор (14.11) ограничен, а оператор (14.12) в общем случае определен на H^3(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). При условии 7.4 оператор (14.12) определен на H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n); ср. п. 12.2. Пусть операторы \widehat{G}_{0}(\varepsilon^{-2}\tau) и \widehat{G}(\varepsilon^{-2}\tau) определены в (12.6), (12.7). Применяя масштабное преобразование, получаем
\begin{equation}
\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)(\mathcal{H}_0+I)^{-s/2} = T_{\varepsilon}^* \widehat{G}_{0} (\varepsilon^{-2} \tau) {\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2} T_\varepsilon,
\end{equation}
\tag{14.13}
\begin{equation}
\widehat{G}_{\varepsilon}(\tau)(\mathcal{H}_0+I)^{-s/2} = T_{\varepsilon}^* \widehat{G} (\varepsilon^{-2} \tau) {\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2} T_\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.14}
Отсюда и из теорем 12.3, 12.4 и 12.5 с учетом унитарности оператора T_\varepsilon непосредственно вытекают следующие утверждения. Теорема 14.5. Пусть оператор \widehat{G}_\varepsilon(\tau) определен соотношением (14.12). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^6(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \widehat{\mathrm{C}}_3(1+|\tau|)^2\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{14.15}
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_3 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 14.6. Пусть оператор \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) определен в (14.11). Пусть выполнено условие 7.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_4(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{14.16}
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_4 зависит только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 14.7. Пусть оператор \widehat{G}_\varepsilon(\tau) определен в (14.12). Пусть выполнено условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\widehat{G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_5(1+|\tau|)\varepsilon^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.17}
Постоянная \widehat{\mathrm{C}}_5 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и \widehat{c}^{\circ}. Аналогичным образом из предложения 12.7 и соотношений (14.13), (14.14) вытекает следующее утверждение. Предложение 14.8. Пусть операторы \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) и \widehat{G}_\varepsilon(\tau) определены в (14.11) и (14.12). 1^\circ. При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_6^\circ(1+|\tau|)\varepsilon,
\end{equation}
\tag{14.18}
\begin{equation}
\| \widehat{G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_6 (1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.19}
Постоянные \widehat{\mathrm C}_6^\circ и \widehat{\mathrm C}_6 зависят лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. 2^\circ. Пусть выполнено условие 7.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant\widehat{\mathrm C}_7(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.20}
Постоянная \widehat{\mathrm C}_7 зависит лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. 3^\circ. Пусть выполнено условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}^\circ_8 (1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon,
\end{equation}
\tag{14.21}
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_8 (1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.22}
Постоянные \widehat{\mathrm C}_8^\circ, \widehat{\mathrm C}_8 зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0, а также от n и \widehat{c}^\circ. С помощью интерполяции из теорем 14.5–14.7 и предложения 14.8 выводятся следующие результаты. Следствие 14.9. В условиях теоремы 14.5 справедлива оценка
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_3(s) (1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3}, \\ \notag 3 \leqslant s \leqslant 6, \quad \tau \in \mathbb{R},\quad \varepsilon>0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14.23}
Здесь \widehat{\mathfrak C}_3(s)= \widehat{\mathrm C}_6^{2-s/3} \widehat{\mathrm C}_3^{s/3-1}. Следствие 14.10. В условиях теоремы 14.6 справедлива оценка
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_4(s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2}, \\ \notag 2 \leqslant s \leqslant 4, \quad \tau \in \mathbb{R},\quad \varepsilon>0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14.24}
Здесь \widehat{\mathfrak C}_4(s)= \widehat{\mathrm C}_7^{2-s/2}\widehat{\mathrm C}_4^{s/2-1}. Следствие 14.11. В условиях теоремы 14.7 справедлива оценка
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\widehat{G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_5(s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2}, \\ \notag 2 \leqslant s \leqslant 4, \quad \tau \in \mathbb{R},\quad \varepsilon>0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14.25}
Здесь \widehat{\mathfrak C}_5(s)= \widehat{\mathrm C}_8^{2-s/2}\widehat{\mathrm C}_5^{s/2-1}. 14.5. Аппроксимация по “энергетической” нормеПолучим аппроксимацию оператора e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon\bigr) по (H^s \to H^1)-норме (“энергетической” норме), а также аппроксимацию оператора g^\varepsilon b({\mathbf D}) e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon\bigr) (отвечающего “потоку”) по (H^s \to L_2)-норме. Положим
\begin{equation}
\widehat{\Xi}_\varepsilon(\tau):= g^\varepsilon b({\mathbf D}) e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon\bigr)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}.
\end{equation}
\tag{14.26}
Применяя масштабное преобразование, получаем
\begin{equation}
\widehat{\mathcal A}_\varepsilon^{1/2} \widehat{G}_{0, \varepsilon}(\tau) (\mathcal{H}_0+I)^{-s/2}=\varepsilon^{-1}T_{\varepsilon}^* \widehat{\mathcal A}^{1/2} \widehat{G}_{0} (\varepsilon^{-2} \tau) {\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2} T_\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.27}
Отсюда и из теорем 12.8, 12.9 выводятся следующие результаты. Теорема 14.12. Пусть \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) и \widehat{\Xi}_\varepsilon(\tau) – операторы (14.11) и (14.26). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{12}(1+|\tau|)\varepsilon,
\end{equation}
\tag{14.28}
\begin{equation}
\|\widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{13}(1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.29}
Постоянные \widehat{\mathrm C}_{12}, \widehat{\mathrm C}_{13} зависят лишь от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Доказательство. Используя (14.27) и унитарность оператора T_\varepsilon, из теоремы 12.8 получаем оценку
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2} \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_9(1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.30}
Аналогично (5.11) имеем:
\begin{equation}
\widehat{c}_* \|\mathbf{D}\mathbf{u}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2 \leqslant \|\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon^{\,1/2} \mathbf{u}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}^2, \qquad \mathbf{u} \in H^1(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{14.31}
Следовательно,
\begin{equation*}
\|\mathbf{D}\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant\widehat{c}_*^{-1/2}\widehat{\mathrm{C}}_9 (1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Вместе с (14.18) это влечет (14.28).
Теперь проверим оценку (14.29). Из (14.30) вытекает, что
\begin{equation}
\|g^\varepsilon b({\mathbf D}) \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \|g\|^{1/2}_{L_\infty}\widehat{\mathrm{C}}_9 (1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.32}
С учетом (6.11) имеем:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g^\varepsilon b({\mathbf D})(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}) \Pi_\varepsilon)e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}=\widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} \\ &\qquad+ g^\varepsilon b({\mathbf D})(I-\Pi_\varepsilon) e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}+\varepsilon g^\varepsilon \sum_{l=1}^d b_l \Lambda^\varepsilon D_l b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation}
\widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)= g^\varepsilon b({\mathbf D})\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)+ g^\varepsilon b({\mathbf D})(I-\Pi_\varepsilon) e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}+\varepsilon g^\varepsilon\sum_{l=1}^d b_l \Lambda^\varepsilon D_l b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon e^{-i\tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}.
\end{equation}
\tag{14.33}
С помощью масштабного преобразования и преобразования Фурье получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|g^\varepsilon b({\mathbf D})(I-\Pi_\varepsilon) e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad=\varepsilon^{-1}\|g b({\mathbf D}) (I-\Pi) e^{-i \varepsilon^{-2}\tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} {\mathcal R}(\varepsilon)^2\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad \leqslant \varepsilon^{-1}\|g\|_{L_\infty} \alpha_1^{1/2} \sup_{|\boldsymbol{\xi}| \geqslant r_0} \frac{|\boldsymbol{\xi}|\varepsilon^4}{(|\boldsymbol{\xi}|^2+\varepsilon^2)^2} \leqslant r_0^{-1} \|g\|_{L_\infty}\alpha_1^{1/2} \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.34}
Далее, применяя масштабное преобразование и разложение в прямой интеграл и учитывая соотношения (5.8), (7.9) и (7.12), имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl\|\varepsilon g^\varepsilon\sum_{l=1}^d b_l \Lambda^\varepsilon D_l b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\biggr\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad\leqslant \varepsilon \|g\|_{L_\infty} \alpha_1^{1/2} \sum_{l=1}^d \bigl\| \Lambda \varepsilon^{-2} D_l b({\mathbf D}) \Pi e^{-i\varepsilon^{-2}\tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} {\mathcal R}(\varepsilon)^2\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad=\varepsilon^{-1}\|g\|_{L_\infty} \alpha_1^{1/2} \sum_{l=1}^d\, \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \|\kern0.5pt[\Lambda]k_l b(\mathbf k)\widehat{P}\|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \frac{\varepsilon^4}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^2} \\ &\qquad\leqslant \|g\|_{L_\infty} \alpha_1^{1/2} d^{1/2} C_{\widehat{Z}} \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \frac{\varepsilon^3|\mathbf k|^2}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^2}\leqslant \|g\|_{L_\infty} \alpha_1^{1/2} d^{1/2} C_{\widehat{Z}} \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.35}
Комбинируя (14.32)–(14.35), приходим к искомой оценке (14.29). Теорема доказана. Теорема 14.13. Пусть выполнено условие 7.2 либо условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Пусть \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) – оператор (14.11) и \widehat{\Xi}_\varepsilon(\tau) – оператор (14.26). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{14} (1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon,
\end{equation}
\tag{14.36}
\begin{equation}
\|\widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{15}(1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.37}
При условии 7.2 постоянные \widehat{\mathrm C}_{14}, \widehat{\mathrm C}_{15} зависят только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. При условии 7.4 они зависят от тех же параметров, а также от n и \widehat{c}^\circ. Доказательство. Из (14.27) и теоремы 12.9 вытекает оценка
\begin{equation}
\|\widehat{\mathcal{A}}_{\varepsilon}^{1/2} \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm{C}}_{10}(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.38}
Учитывая (14.31), отсюда получаем
\begin{equation*}
\|\mathbf{D}\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{c}_*^{\,-1/2}\widehat{\mathrm{C}}_{10}(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Вместе с (14.20) (при условии 7.2) или (14.21) (при условии 7.4) это неравенство влечет оценку (14.36).
Оценка (14.37) легко выводится из (14.38) по аналогии с (14.33)–(14.35). Теорема доказана. Предложение 14.14. Пусть \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) – оператор (14.11) и \widehat{\Xi}_\varepsilon(\tau) – оператор (14.26). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{16},
\end{equation}
\tag{14.39}
\begin{equation}
\|\widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{17}.
\end{equation}
\tag{14.40}
Постоянные \widehat{\mathrm C}_{16}, \widehat{\mathrm C}_{17} зависят только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0 и r_1. Доказательство. Используя (14.13), (14.27) и предложение 12.10, получаем оценки
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \widehat{\mathrm C}_{11}^\circ, \\ \|\widehat{\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}\widehat{G}_{0,\varepsilon} (\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \widehat{\mathrm C}_{11}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.41}
С учетом (14.31) отсюда вытекает неравенство (14.39).
Из (14.41) следует, что
\begin{equation*}
\|g^\varepsilon b({\mathbf D})\widehat{G}_{0,\varepsilon} (\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathrm C}_{11}\|g\|_{L_\infty}^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда с помощью представления (14.33) нетрудно вывести оценку (14.40) (по аналогии с (14.34) и (14.35)). Предложение доказано. С помощью интерполяции из теорем 14.12, 14.13 и предложения 14.14 выводим следующие утверждения. Следствие 14.15. В условиях теоремы 14.12 при 1 \leqslant s \leqslant 4, \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon>0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_{6}(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3}, \qquad
\end{equation}
\tag{14.42}
\begin{equation}
\|\widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_{7}(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3}.
\end{equation}
\tag{14.43}
Здесь \widehat{\mathfrak C}_{6}(s)=\widehat{\mathrm C}_{16}^{(4-s)/3} \widehat{\mathrm C}_{12}^{(s-1)/3}, \widehat{\mathfrak C}_{7}(s)= \widehat{\mathrm C}_{17}^{(4-s)/3}\widehat{\mathrm C}_{13}^{(s-1)/3}. Следствие 14.16. В условиях теоремы 14.13 при 1 \leqslant s \leqslant 3, \tau \in \mathbb{R}, \varepsilon>0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}_{0, \varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_{8}(s) (1 +|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2},
\end{equation}
\tag{14.44}
\begin{equation}
\|\widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_{9}(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}.
\end{equation}
\tag{14.45}
Здесь \widehat{\mathfrak C}_{8}(s)= \widehat{\mathrm C}_{16}^{(3-s)/2} \widehat{\mathrm C}_{14}^{(s-1)/2}, \widehat{\mathfrak C}_{9}(s)= \widehat{\mathrm C}_{17}^{(3-s)/2} \widehat{\mathrm C}_{15}^{(s-1)/2}. Замечание 14.17. (i) В общей ситуации, т. е. в условиях теорем 14.1, 14.5, 14.12 можно рассмотреть большие значения времени \tau=O(\varepsilon^{-\alpha}), 0< \alpha < 1, и получить квалифицированные оценки:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \|e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{s(1-\alpha)/3}),&&\qquad 0 \leqslant s \leqslant 3, \\ \|\widehat{G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{s(1-\alpha)/3}),&&\qquad 3 \leqslant s \leqslant 6, \\ \|\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{(s-1)(1-\alpha)/3}),&&\qquad 1 \leqslant s \leqslant 4, \\ \|\widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{(s-1)(1-\alpha)/3}),&&\qquad 1 \leqslant s \leqslant 4. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
(ii) В случае усиления общих результатов, т. е. в условиях теорем 14.2, 14.6, 14.7, 14.13, можно рассмотреть значения \tau=O(\varepsilon^{-\alpha}), 0< \alpha < 2, и получить квалифицированные оценки:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \|e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0} }\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{s(2-\alpha)/4}),&&\qquad 0 \leqslant s \leqslant 2, \\ \|\widehat{G}_{\varepsilon} (\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{s(2-\alpha)/4}),&&\qquad 2 \leqslant s \leqslant 4, \\ \|\widehat{G}_{0,\varepsilon} (\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{(s-1)(2-\alpha)/4}),&&\qquad 1 \leqslant s \leqslant 3, \\ \| \widehat{\Xi}_{\varepsilon} (\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{(s-1)(2-\alpha)/4}),&&\qquad 1 \leqslant s \leqslant 3. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
14.6. ОбсуждениеРезультаты пп. 14.4, 14.5 дают приближение не для самой экспоненты e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}, а для композиции e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} (I+\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon). Если бы нам удалось приблизить “проблемный член” e^{-i\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon с нужной точностью, это привело бы к аппроксимациям для экспоненты e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}. Однако не представляется возможным приблизить этот член в прежних терминах (в терминах спектральных характеристик оператора \widehat{\mathcal{A}} на краю спектра). Действительно, после масштабного преобразования и разложения в прямой интеграл “проблемный член” перейдет в оператор e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf k)}[\Lambda] b(\mathbf k)\widehat{P}, действующий в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n). Поскольку выполнено тождество
\begin{equation*}
[\Lambda] b(\mathbf k) \widehat{P}= \widehat{P}^\perp[\Lambda] b(\mathbf k) \widehat{P},
\end{equation*}
\notag
а в пределах допустимой погрешности \widehat{P}^\perp можно заменить на \widehat{F}(\mathbf k)^\perp, приходим к “новому проблемному члену” e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}}(\mathbf k)} \widehat{F}(\mathbf k)^\perp[\Lambda]b(\mathbf k)\widehat{P}. Ясно, что оператор e^{-i\varepsilon^{-2}\tau\widehat{\mathcal{A}} (\mathbf k)} \widehat{F}(\mathbf k)^\perp нельзя приблизить в “пороговых” терминах, так как \widehat{F}(\mathbf k)^\perp – это спектральный проектор оператора \widehat{\mathcal{A}}(\mathbf k), отвечающий интервалу [3\delta,\infty). 14.7. Подтверждение точности результатов пп. 14.3–14.5Применяя теоремы из п. 12.4, подтвердим точность результатов пп. 14.3–14.5. Сначала обсудим точность относительно типа операторной нормы. Покажем, что общие результаты (теоремы 14.1, 14.5, 14.12) точны. Теорема 14.18. Пусть выполнено условие 8.1. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется неравенство
\begin{equation}
\|e^{-i\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}(\tau)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{14.46}
2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 6. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется неравенство
\begin{equation}
\|\widehat{G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}(\tau)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{14.47}
3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется неравенство Доказательство. Проверим утверждение 1^\circ. Предположим, что при некоторых 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3 оценка (14.46) выполняется при достаточно малом \varepsilon. Применяя масштабное преобразование (см. (14.5)), получаем, что выполнена также оценка (12.30). Но это противоречит утверждению 1^\circ теоремы 12.11.
Аналогичным образом утверждение 2^\circ выводится из утверждения 2^\circ теоремы 12.11. Проверим утверждение 3^\circ. Предположим, что при некоторых 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4 оценка (14.48) выполняется при достаточно малом \varepsilon. Тогда
\begin{equation*}
\bigl\|{\mathbf D}\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) ({\mathcal H}_0+I)^{-s/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}(\tau)\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
а потому выполнена также оценка
\begin{equation*}
\bigl\|\widehat{\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) ({\mathcal H}_0+I)^{-s/2}\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widetilde{\mathcal{C}}(\tau) \varepsilon
\end{equation*}
\notag
при достаточно малом \varepsilon (с некоторой постоянной \widetilde{\mathcal{C}}(\tau)>0). Применяя масштабное преобразование (см. (14.27)), получаем, что выполнена также оценка (12.32). Но это противоречит утверждению 3^\circ теоремы 12.11. Теорема доказана. Ранее утверждение 1^\circ было получено в [29; теорема 13.6]. Аналогично, из теоремы 12.12 с помощью масштабного преобразования вытекает точность усиленных результатов (теорем 14.2, 14.6, 14.7, 14.13). Теорема 14.19. Пусть выполнено условие 8.2. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 2. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что оценка (14.46) выполняется при достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что оценка (14.47) выполняется при достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что оценка (14.48) выполняется при достаточно малом \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ было ранее установлено в [30; теорема 10.5]. Перейдем к подтверждению точности относительно зависимости оценок от параметра \tau. Из теоремы 12.13 с помощью масштабного преобразования вытекает следующий результат, подтверждающий точность общих результатов (теорем 14.1, 14.5, 14.12). Теорема 14.20. Пусть выполнено условие 8.1. 1^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (14.46) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 6. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / \tau^2 = 0 и выполнена оценка (14.47) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (14.48) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ ранее было получено в [30; теорема 10.6]. Наконец, из теоремы 12.14 с помощью масштабного преобразования выводим следующий результат, демонстрирующий точность усиленных результатов (теорем 14.2, 14.6, 14.7, 14.13). Теорема 14.21. Пусть выполнено условие 8.2. 1^\circ. Пусть s \geqslant 2. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau|^{1/2}=0 и выполнена оценка (14.46) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (14.47) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau|^{1/2}=0 и выполнена оценка (14.48) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. Ранее утверждение 1^\circ было получено в [30; теорема 10.7]. 14.8. О возможности устранения сглаживающего оператора \Pi_\varepsilon в аппроксимацияхРассмотрим теперь вопрос о возможности устранения оператора \Pi_\varepsilon в аппроксимациях (т. е. замены \Pi_\varepsilon тождественным оператором с сохранением порядка погрешностей) в результатах пп. 14.4 и 14.5. Лемма 14.22. Пусть s\geqslant 1. При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедлива оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|b({\mathbf D})(I-\Pi){\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to H^{s-1}(\mathbb{R}^d)}\leqslant {\mathrm C}(s)\varepsilon^s. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.49}
Постоянная {\mathrm C}(s) зависит от \alpha_1, r_0 и s. Доказательство. Записывая норму в левой части (14.49) в Фурье-представлении и вспоминая, что символ оператора \Pi есть \chi_{\widetilde{\Omega}}({\boldsymbol \xi}), получаем:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|b({\mathbf D})(I-\Pi){\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to H^{s-1}(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad=\sup_{{\boldsymbol \xi} \in \mathbb{R}^d} \biggl((1+|{\boldsymbol \xi}|^2)^{(s-1)/2} (1-\chi_{\widetilde{\Omega}}({\boldsymbol \xi}))|b({\boldsymbol \xi})|\, \frac{\varepsilon^s}{( |{\boldsymbol \xi}|^2 +\varepsilon^2)^{s/2}}\biggr) \\ &\qquad\leqslant \alpha_1^{1/2}\varepsilon^s \sup_{|{\boldsymbol\xi}|\geqslant r_0} \frac{(1+|{\boldsymbol\xi}|^2)^{(s-1)/2}|{\boldsymbol\xi}|} {(|{\boldsymbol \xi}|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant {\mathrm C}(s) \varepsilon^s, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где {\mathrm C}(s)=\alpha_1^{1/2} (1+ r_0^{-2})^{(s-1)/2}. Лемма доказана. Положим
\begin{equation}
\widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau) := e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})\bigr)- \bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})\bigr) e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}},
\end{equation}
\tag{14.50}
\begin{equation}
\widehat{G}'_\varepsilon (\tau) := \widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau)+ i\varepsilon \int_0^\tau e^{-i(\tau-\widetilde{\tau})\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} b(\mathbf{D})^* L(\mathbf{D}) b(\mathbf{D}) e^{-i \widetilde{\tau} \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} \, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{14.51}
Из (14.11), (14.12), (14.50) и (14.51) следуют соотношения
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{G}'_{\varepsilon}(\tau)-\widehat{G}_\varepsilon(\tau)&= \widehat{G}_{0,\varepsilon}'(\tau)-\widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau) \\ &=e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \varepsilon\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})(I-\Pi_\varepsilon)- \varepsilon \Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})(I-\Pi_\varepsilon) e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.52}
Из следствия 14.9 и леммы 14.22 выводится следующее утверждение. Ниже [\Lambda] – оператор умножения на \Gamma-периодическое решение задачи (6.8). Теорема 14.23. Пусть оператор \widehat{G}'_\varepsilon(\tau) определен соотношением (14.51). Пусть 3 \leqslant s \leqslant 6 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}'_\varepsilon(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant\widehat{\mathfrak C}'_3(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3}.
\end{equation}
\tag{14.53}
Постоянная \widehat{\mathfrak C}'_3(s) зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to L_2}. Доказательство. В силу (14.52) с помощью масштабного преобразования получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widehat{G}'_\varepsilon(\tau)- \widehat{G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant 2 \varepsilon \|\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}) (I-\Pi_\varepsilon)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad=2\|\Lambda b(\mathbf{D})(I-\Pi) \mathcal{R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad\leqslant 2\|[\Lambda]\|_{H^{s-1}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \|b({\mathbf D})(I-\Pi){\mathcal R} (\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to H^{s-1}(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant 2\|[\Lambda]\|_{H^{s-1}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} {\mathrm C}(s) \varepsilon^s,\qquad \tau \in \mathbb{R},\quad \varepsilon >0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.54}
В последнем переходе мы воспользовались оценкой (14.49). Вместе со следствием 14.9 с учетом ограничения 0< \varepsilon \leqslant 1 это влечет искомую оценку (14.53). Теорема доказана. Аналогичным образом из следствий 14.10, 14.11 и леммы 14.22 вытекают следующие два результата. Теорема 14.24. Пусть оператор \widehat{G}'_{0,\varepsilon}( \tau) определен в (14.50). Пусть выполнено условие 7.2. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \widehat{\mathfrak C}'_4(s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2}, \qquad 2 \leqslant s \leqslant 4.
\end{equation}
\tag{14.55}
Постоянная \widehat{\mathfrak C}'_4(s) зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to L_2}. Теорема 14.25. Пусть оператор \widehat{G}'_\varepsilon(\tau) определен в (14.51). Пусть выполнено условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{G}'_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}'_5(s)(1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2}.
\end{equation*}
\notag
Постоянная \widehat{\mathfrak C}'_5(s) зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, n, \widehat{c}^{\circ}, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to L_2}. Рассмотрим теперь вопрос о возможности устранения оператора \Pi_\varepsilon в аппроксимациях операторной экспоненты по “энергетической” норме. Положим
\begin{equation}
\widehat{\Xi}_\varepsilon'(\tau):=g^\varepsilon b({\mathbf D}) e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \bigl(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\bigr)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D})e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}.
\end{equation}
\tag{14.56}
Из следствия 14.15 и леммы 14.22 выводится следующее утверждение. Теорема 14.26. Пусть операторы \widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau) и \widehat{\Xi}_\varepsilon'(\tau) определены в (14.50), (14.56). Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant\widehat{\mathfrak C}'_6(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3},
\end{equation}
\tag{14.57}
\begin{equation}
\|\widehat{\Xi}'_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant\widehat{\mathfrak C}'_7(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3}.
\end{equation}
\tag{14.58}
Постоянные \widehat{\mathfrak C}'_6(s), \widehat{\mathfrak C}'_7(s) зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to H^1}. Замечание 14.27. Формально утверждение теоремы 14.26 справедливо при 1\leqslant s \leqslant 4, но при 1\leqslant s <2 условие на \Lambda может выполняться только в случае \Lambda=0. Доказательство теоремы 14.26. По аналогии с (14.54) имеем
С помощью масштабного преобразования, равенства (14.52) и леммы 14.22 получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl\|\widehat{\mathcal A}_\varepsilon^{1/2} \bigl(\widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau)- \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\bigr)\bigr\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant 2\|\widehat{\mathcal A}_\varepsilon^{1/2} \varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) (I-\Pi_\varepsilon)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad=2\varepsilon^{-1}\|\widehat{\mathcal A}^{1/2}\Lambda b({\mathbf D}) (I-\Pi){\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad\leqslant 2\varepsilon^{-1}\|g^{1/2} b({\mathbf D})[\Lambda]\,\|_{H^{s-1}(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \|b({\mathbf D})(I-\Pi){\mathcal R} (\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to H^{s-1}(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant 2\|g\|_{L_\infty}^{1/2}\alpha_1^{1/2}\|{\mathbf D} [\Lambda]\,\|_{H^{s-1}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \mathrm{C}(s)\varepsilon^{s-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.60}
Из (14.59) и (14.60) с учетом (14.31) и ограничения 0< \varepsilon \leqslant 1 вытекает оценка
\begin{equation}
\|\widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau)- \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_{6}''(s)\varepsilon^{s-1}.
\end{equation}
\tag{14.61}
Постоянная \widehat{\mathfrak C}_{6}''(s) зависит от \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to H^1}. Из (14.42) и (14.61) вытекает (14.57).
Рассмотрим теперь оператор
\begin{equation}
\widehat{\Xi}'_{\varepsilon}(\tau)-\widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)= g^\varepsilon b({\mathbf D})e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})(I-\Pi_\varepsilon)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D})(I-\Pi_\varepsilon) e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}.
\end{equation}
\tag{14.62}
Первое слагаемое справа легко оценить с помощью (14.60):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|g^\varepsilon b({\mathbf D})e^{-i\tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) (I-\Pi_\varepsilon)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ \notag &\qquad\leqslant \|g\|^{1/2}_{L_\infty} \|\widehat{\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})(I-\Pi_\varepsilon)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant \|g\|_{L_\infty}\alpha_1^{1/2} \|{\mathbf D}[\Lambda]\,\|_{H^{s-1}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \mathrm{C}(s)\varepsilon^{s-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.63}
Рассмотрим второе слагаемое в правой части соотношения (14.62). Поскольку \widetilde{g}=g(b({\mathbf D})\Lambda+ {\mathbf 1}) и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d), то согласно [111; п. 1.3.2, лемма 1] оператор [\widetilde{g}] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). При этом норма \|\kern0.2pt[\widetilde{g}\,]\kern0.2pt\|_{H^{s-1}\to L_2} контролируется через \|\kern0.2pt[\Lambda]\kern0.2pt\|_{H^{s-1}\to H^1} и \|g\|_{L_\infty}. С помощью масштабного преобразования с учетом леммы 14.22 получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|\widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D})(I-\Pi_\varepsilon) e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \|\widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) (I-\Pi_\varepsilon)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad=\varepsilon^{-1}\|\widetilde{g}b({\mathbf D})(I-\Pi) {\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \|[\widetilde{g}]\|_{H^{s-1}(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \mathrm{C}(s) \varepsilon^{s-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.64}
Из (14.62)–(14.64) вытекает оценка
\begin{equation*}
\|\widehat{\Xi}'_{\varepsilon}(\tau)- \widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}_{7}''(s) \varepsilon^{s-1},
\end{equation*}
\notag
где константа \widehat{\mathfrak C}_{7}''(s) зависит от \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|\kern0.2pt[\Lambda]\kern0.2pt\|_{H^{s-1} \to H^1}. Отсюда и из (14.43) вытекает (14.58). Теорема доказана. Аналогичным образом из следствия 14.16 и леммы 14.22 вытекает следующий результат. Теорема 14.28. Пусть операторы \widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau) и \widehat{\Xi}_\varepsilon'(\tau) определены в (14.50) и (14.56). Пусть выполнено условие 7.2 либо условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Пусть 2 \leqslant s \leqslant 3 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}'_{8}(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}, \qquad 2 \leqslant s \leqslant 3,
\end{equation}
\tag{14.65}
\begin{equation}
\|\widehat{\Xi}'_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak C}'_9(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}, \qquad 2 \leqslant s \leqslant 3.
\end{equation}
\tag{14.66}
При условии 7.2 постоянные \widehat{\mathfrak C}'_{8}(s), \widehat{\mathfrak C}'_9(s) зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to H^1}. При условии 7.4 эти константы зависят от тех же параметров и от n, \widehat{c}^{\circ}. Укажем некоторые случаи, когда одно из условий на оператор [\Lambda] (из теорем 14.23–14.26 и 14.28) выполнено. Нам понадобятся следующие вспомогательные факты. Предложение 14.29. Пусть l \geqslant 0. Пусть \Upsilon есть \Gamma-периодическая функция в \mathbb{R}^d, причем
\begin{equation}
\Upsilon \in L_p(\Omega),\qquad p=2\ \ \textit{при}\ 2l>d,\quad p > 2\ \ \textit{при}\ 2l=d,\quad p=\frac{d}{l}\ \ \textit{при}\ 2l<d.
\end{equation}
\tag{14.67}
Тогда оператор [\Upsilon] непрерывен из H^l(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d), причем Доказательство. В силу теоремы вложения пространство H^l(\Omega) вкладывается в L_q(\Omega), где
\begin{equation}
q=\infty\quad \text{при}\ \ 2l>d;\qquad q < \infty\quad \text{при}\ \ 2l=d;\qquad q=\frac{2d}{d-2l}\quad \text{при}\ \ 2l<d.
\end{equation}
\tag{14.69}
При этом
\begin{equation}
\|v\|_{L_q(\Omega)} \leqslant c(d,l,\Omega)\|v\|_{H^l(\Omega)}, \qquad v \in H^l(\Omega).
\end{equation}
\tag{14.70}
Константа вложения c(d,l,\Omega) зависит от d, l, \Omega, а при 2l=d она зависит также и от q.
Пусть \mathbf{a} \in \Gamma и v \in H^l(\mathbb{R}^d). Тогда в силу неравенства Гёльдера с учетом (14.70) имеем
\begin{equation}
\int_{\Omega+\mathbf{a}}|\Upsilon({\mathbf x}) v({\mathbf x})|^2 \, d{\mathbf x} \leqslant \|\Upsilon\|^2_{L_p(\Omega)}\|v\|^2_{L_q(\Omega+\mathbf{a})} \leqslant c(d,l,\Omega)^2\|\Upsilon\|^2_{L_p(\Omega)}\|v\|^2_{H^l(\Omega+\mathbf{a})}.
\end{equation}
\tag{14.71}
Здесь p – показатель из условия (14.67), а q удовлетворяет (14.69); при 2l=d полагаем q=2p/(p-2).
Суммируя (14.71) по \mathbf{a} \in \Gamma, получаем Предложение доказано.Следствие 14.30. Пусть s \geqslant 1. 1^\circ. При d\leqslant 2s оператор [\Lambda] заведомо непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d), причем норма \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to L_2} контролируется через d, \alpha_0, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и параметры решетки \Gamma. 2^\circ. При d > 2s для непрерывности оператора [\Lambda] из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d) достаточно, чтобы \Lambda принадлежала L_{d/(s-1)}(\Omega). Норма \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to L_2} контролируется через d, параметры решетки \Gamma и норму \|\Lambda\|_{L_{d/(s-1)}(\Omega)}. Доказательство. Поскольку \Lambda \in H^1(\Omega), то в силу теоремы вложения
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Lambda \in L_r(\Omega), \\ r=\infty\ \ \text{при}\ d=1,\quad r < \infty\ \ \text{при}\ d=2,\quad r=\frac{2d}{d-2}\ \ \text{при}\ d\geqslant 3. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14.72}
При этом
\begin{equation}
\|\Lambda \|_{L_r(\Omega)} \leqslant \tilde{c}(d,\Omega)\|\Lambda\|_{H^1(\Omega)},
\end{equation}
\tag{14.73}
где константа вложения \tilde{c}(d,\Omega) зависит от d и \Omega (и от r в случае d=2).
Если d \leqslant 2s, то из (14.72) следует, что выполнены условия предложения 14.29 при l=s-1 и \Upsilon=\Lambda. Следовательно, оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1} в L_2. Нужная оценка его нормы вытекает из (14.68), (14.73) и неравенств (6.14), (6.15). Этим доказано утверждение 1^\circ. Утверждение 2^\circ следует непосредственно из предложения 14.29. Следствие доказано. Следующее утверждение установлено в [14; предложение 9.3]. Предложение 14.31 [14]. Пусть \Lambda есть \Gamma-периодическое решение задачи (6.8). Пусть l=1 при d=1, l>1 при d=2 и l=d/2 при d \geqslant 3. Тогда оператор [\Lambda] непрерывен из H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m) в H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), причем норма \|[\Lambda]\|_{H^l \to H^1} контролируется через d, \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и параметры решетки \Gamma, а при d=2 зависит также от l. Из предложения 14.31 непосредственно вытекает следующий результат. Следствие 14.32. Пусть s \geqslant 2. При d\leqslant 2s-2 оператор [\Lambda] заведомо непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d), причем норма \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to H^1} контролируется через d, \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и параметры решетки \Gamma. Далее, справедливо следующее утверждение. Предложение 14.33. Пусть \Lambda есть \Gamma-периодическое решение задачи (6.8). Пусть l \geqslant 1 и d > 2l-2. Предположим, что \Lambda \in L_{d/(l-1)}(\Omega). Тогда оператор [\Lambda] непрерывен из H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m) в H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), причем норма \|[\Lambda]\|_{H^l \to H^1} контролируется через d, l, \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, параметры решетки \Gamma и норму \|\Lambda\|_{L_{d/(l-1)}(\Omega)}. Это утверждение при l=2 было проверено в [27; лемма 8.7]; случай произвольного l\geqslant 1 рассматривается аналогично. Укажем другие достаточные условия непрерывности оператора [\Lambda] из L_2 в L_2 и из H^1 в H^1. (Отметим, что из непрерывности оператора [\Lambda] из L_2 в L_2 следует его непрерывность из H^{s-1} в L_2 при любом s \geqslant 1, а из непрерывности оператора [\Lambda] из H^1 в H^1 следует его непрерывность из H^{s-1} в H^1 при любом s \geqslant 2.) Предложение 14.34. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих предположений: (a) размерность d произвольна и \widehat{\mathcal A}={\mathbf D}^* g({\mathbf x}){\mathbf D}, причем матрица g({\mathbf x}) имеет вещественные элементы; (b) размерность d произвольна и верно равенство g^0=\underline{g} (т. е. выполнены соотношения (6.21)). Тогда оператор [\Lambda] непрерывен из L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m) в L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n) и из H^{1}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m) в H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), причем нормы \|[\Lambda]\|_{L_2 \to L_2} и \|[\Lambda]\|_{H^{1} \to H^1} контролируются через d, \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и параметры решетки \Gamma. Доказательство. В случае 1^\circ из теоремы 13.1 в [112; гл. III] следует включение \Lambda \in L_\infty (вместе с оценкой нормы \|\Lambda\|_{L_\infty} в терминах d, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty} и \Omega). Остается применить следствия 14.30, 14.32 и предложение 14.33.
В случае g^0=\underline{g} включение \Lambda \in L_\infty (вместе с подходящей оценкой нормы \|\Lambda\|_{L_\infty}) установлено в [8; предложение 6.9]. Снова применяем следствия 14.30, 14.32 и предложение 14.33. Предложение доказано. 14.9. Специальные случаиРассмотрим следующие специальные случаи: g^0=\overline{g} или g^0=\underline{g}. Предложение 14.35. Пусть g^0=\overline{g}, т. е. выполнены соотношения (6.20). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_{10}(s) (1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2}, \quad 0 \leqslant s \leqslant 4,
\end{equation}
\tag{14.74}
\begin{equation}
\|e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_{8}(s) (1 +|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2}, \quad 1 \leqslant s \leqslant 3,
\end{equation}
\tag{14.75}
\begin{equation}
\nonumber \|g^\varepsilon b({\mathbf D})e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- g^\varepsilon b({\mathbf D}) e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)}
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_{9}'(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2}, \quad 1\leqslant s \leqslant 3.
\end{equation}
\tag{14.76}
Постоянные \widehat{\mathfrak{C}}_{8}(s), \widehat{\mathfrak{C}}_{9}'(s), \widehat{\mathfrak{C}}_{10}(s) зависят только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, r_0 и s. Доказательство. Если выполнены соотношения (6.20), то \Lambda({\mathbf x}) =0. Тогда выполнено условие 7.2, а оператор (14.11) принимает вид \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)=e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} -e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}. Поэтому оценка (14.74) прямо вытекает из следствий 14.4 и 14.10; при этом \widehat{\mathfrak{C}}_{10}(s)=\widehat{\mathfrak{C}}_{2}(s), если 0\leqslant s \leqslant 2, и \widehat{\mathfrak{C}}_{10}(s)=\widehat{\mathfrak{C}}_{4}(s), если 2 < s \leqslant 4. Оценка (14.75) вытекает из следствия 14.16, а (14.76) следует из (14.75); при этом \widehat{\mathfrak{C}}_{9}'(s)= \|g\|_{L_\infty} \alpha_1^{1/2} \widehat{\mathfrak{C}}_{8}(s). Предложение доказано. Предложение 14.36. Пусть g^0=\underline{g}, т. е. выполнены соотношения (6.21). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедливы оценки (14.10), (14.55), (14.65), а оценка (14.66) принимает вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\| g^\varepsilon b({\mathbf D}) e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \bigl(I+\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\bigr)- g^0b({\mathbf D})e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\bigr\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_{9}'(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2},\qquad 2 \leqslant s \leqslant 3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Доказательство. Если выполнены соотношения (6.21), то \widetilde{g}({\mathbf x})=g^0=\underline{g}. Согласно утверждению 3^\circ предложения 6.4 выполнено условие 7.2. В силу следствия 14.4 справедлива оценка (14.10). С учетом утверждения 2^\circ предложения 14.34 применимы результаты “без сглаживателя”: теоремы 14.24 и 14.28, которые дают оценки (14.55), (14.65), (14.66). Предложение доказано. 15. Аппроксимация окаймленной операторной экспоненты e^{-i\tau\mathcal{A}_\varepsilon}15.1. Аппроксимация оператора f^\varepsilon e^{-i \tau \mathcal{A}_\varepsilon} (f^\varepsilon)^{-1} в старшем порядкеПерейдем теперь к рассмотрению оператора \mathcal{A}_\varepsilon (см. (14.2)). Пусть \mathcal{A}^0 – оператор (9.3). Положим
\begin{equation}
{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau):= f^\varepsilon e^{-i \tau \mathcal{A}_\varepsilon}(f^\varepsilon)^{-1}- f_0 e^{-i \tau \mathcal{A}^0} f_0^{-1}.
\end{equation}
\tag{15.1}
Из (14.3), (14.4) вытекает тождество
\begin{equation}
{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau)(\mathcal{H}_0+I)^{-s/2}= T_\varepsilon^*{\mathcal J}(\varepsilon^{-1}\tau) \mathcal{R}(\varepsilon)^{s/2} T_\varepsilon,
\end{equation}
\tag{15.2}
где оператор {\mathcal J}(\tau) определен в (13.1). Применяя теоремы 13.1 и 13.2, с учетом (15.2) получаем следующие две теоремы. Теорема 15.1 [25]. Пусть \mathcal{A}_{\varepsilon} и \mathcal{A}^0 – операторы (14.2) и (9.3). Пусть оператор {\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau) определен в (15.1). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^{3}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathrm{C}_1(1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.3}
Постоянная {\mathrm{C}}_1 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 15.2 [30]. Пусть выполнены условия теоремы 15.1. Пусть выполнено условие 10.2 либо условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^{2}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathrm{C}_2(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.4}
При условии 10.2 постоянная {\mathrm{C}}_2 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. При условии 10.4 эта константа зависит от тех же параметров и от n, c^\circ. Теорема 15.1 ранее была установлена в [25; теорема 12.3], а теорема 15.2 – в [30; теоремы 10.9, 10.10]. С помощью интерполяции из теорем 15.1, 15.2 выводим следующие утверждения. Следствие 15.3. В условиях теоремы 15.1 при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon>0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}_1(s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3},\qquad 0\leqslant s \leqslant 3.
\end{equation}
\tag{15.5}
Здесь {\mathfrak{C}}_1(s)= (2\|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty})^{1-s/3}{\mathrm{C}}_1^{s/3}. Доказательство. С учетом (9.2) имеем
\begin{equation}
\|{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant 2 \|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty},\qquad \tau \in \mathbb{R}, \quad \varepsilon>0.
\end{equation}
\tag{15.6}
Интерполируя между (15.6) и (15.3), приходим к оценке (15.5). Следствие 15.4. В условиях теоремы 15.2 при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon>0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}_2(s)(1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2},\qquad 0\leqslant s \leqslant 2.
\end{equation}
\tag{15.7}
Здесь {\mathfrak{C}}_2(s)= (2 \|f\|_{L_\infty}\|f^{-1}\|_{L_\infty})^{1-s/2}{\mathrm{C}}_2^{s/2}. 15.2. Более точная аппроксимацияПоложим
\begin{equation}
{\mathcal G}_{0, \varepsilon} ( \tau) := f^\varepsilon e^{-i \tau {\mathcal A}_\varepsilon} (f^\varepsilon)^{-1} \bigl(I+\varepsilon\Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon\bigr)- \bigl(I+\varepsilon\Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon \bigr) f_0 e^{-i \tau {\mathcal A}^0} f_0^{-1},
\end{equation}
\tag{15.8}
\begin{equation}
{\mathcal G}_\varepsilon ( \tau) :={\mathcal G}_{0, \varepsilon} ( \tau)+ i \varepsilon \int_0^\tau f_0 e^{-i (\tau-\widetilde{\tau}){\mathcal A}^0} f_0b({\mathbf D})^* L_Q({\mathbf D}) b({\mathbf D}) f_0 e^{-i \widetilde{\tau} {\mathcal A}^0} f_0^{-1}\, d \widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{15.9}
Оператор (15.8) ограничен, а оператор (15.9) в общем случае определен на H^3(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). При условии 10.4 оператор (15.9) определен на H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). Пусть операторы {\mathcal G}_{0}(\varepsilon^{-2} \tau) и {\mathcal G}(\varepsilon^{-2} \tau) определены в (13.2) и (13.3). Применяя масштабное преобразование, получаем
\begin{equation}
{\mathcal G}_{0, \varepsilon} ( \tau) (\mathcal{H}_0+I)^{-s/2} = T_{\varepsilon}^*{\mathcal G}_{0} (\varepsilon^{-2}\tau) {\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2} T_\varepsilon,
\end{equation}
\tag{15.10}
\begin{equation}
{\mathcal G}_{\varepsilon}(\tau)(\mathcal{H}_0+I)^{-s/2} = T_{\varepsilon}^* {\mathcal G}(\varepsilon^{-2}\tau) {\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2} T_\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.11}
Отсюда и из теорем 13.3, 13.4 и 13.5 с учетом унитарности оператора T_\varepsilon непосредственно вытекают следующие утверждения. Теорема 15.5. Пусть оператор {\mathcal G}_\varepsilon(\tau) определен в (15.9). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^6(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_3(1+|\tau|)^2\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{15.12}
Постоянная {\mathrm{C}}_3 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 15.6. Пусть оператор {\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau) определен в (15.8). Пусть выполнено условие 10.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathrm{C}_4(1+|\tau|)\varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{15.13}
Постоянная {\mathrm{C}}_4 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Теорема 15.7. Пусть оператор {\mathcal G}_\varepsilon( \tau) определен в (15.9). Пусть выполнено условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|{\mathcal G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant{\mathrm{C}}_5(1+|\tau|)\varepsilon^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15.14}
Постоянная {\mathrm{C}}_5 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, а также от n и {c}^{\circ}. Аналогичным образом из предложения 13.7 и соотношений (15.10), (15.11) вытекает следующее утверждение. Предложение 15.8. Пусть операторы {\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau) и {\mathcal G}_\varepsilon(\tau) определены формулами (15.8) и (15.9). 1^\circ. При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_6^\circ(1+|\tau|)\varepsilon,
\end{equation}
\tag{15.15}
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_6(1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.16}
Постоянные {\mathrm C}_6^\circ и {\mathrm C}_6 зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. 2^\circ. Пусть выполнено условие 10.2. Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_7(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.17}
Постоянная {\mathrm C}_7 зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. 3^\circ. Пусть выполнено условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}^\circ_8(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon,
\end{equation}
\tag{15.18}
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^2(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_8(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.19}
Постоянные {\mathrm C}_8^\circ, {\mathrm C}_8 зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0, а также от n и {c}^\circ. С помощью интерполяции из теорем 15.5–15.7 и предложения 15.8 выводятся следующие результаты. Следствие 15.9. В условиях теоремы 15.5 при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon>0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak C}_3(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3},\qquad 3 \leqslant s \leqslant 6.
\end{equation}
\tag{15.20}
Здесь {\mathfrak C}_3(s)={\mathrm C}_6^{2-s/3}{\mathrm C}_3^{s/3-1}. Следствие 15.10. В условиях теоремы 15.6 при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon>0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak C}_4(s) (1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2},\qquad 2 \leqslant s \leqslant 4.
\end{equation}
\tag{15.21}
Здесь {\mathfrak C}_4(s)={\mathrm C}_7^{2-s/2}{\mathrm C}_4^{s/2-1}. Следствие 15.11. В условиях теоремы 15.7 при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon>0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak C}_5(s)(1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2},\qquad 2 \leqslant s \leqslant 4.
\end{equation}
\tag{15.22}
Здесь {\mathfrak C}_5(s)={\mathrm C}_8^{2-s/2}{\mathrm C}_5^{s/2-1}. 15.3. Аппроксимация по “энергетической” нормеПоложим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Xi_\varepsilon(\tau) &:=g^\varepsilon b({\mathbf D}) f^\varepsilon e^{-i \tau {\mathcal A}_\varepsilon}(f^\varepsilon)^{-1} \bigl(I+\varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon \bigr)-\widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon f_0 e^{-i \tau {\mathcal A}^0} f_0^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15.23}
Пусть оператор {\mathcal G}_{0} (\varepsilon^{-2} \tau) определен в (13.2). Применяя масштабное преобразование, получаем
\begin{equation}
\widehat{\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau) ({\mathcal H}_0+I)^{-s/2}=\varepsilon^{-1} T_\varepsilon^* \widehat{\mathcal A}^{1/2}{\mathcal G}_{0}(\varepsilon^{-2}\tau) {\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2} T_\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.24}
По аналогии с доказательством теоремы 14.12, используя это тождество, а также оценку (15.15), из теоремы 13.8 легко вывести следующий результат. Теорема 15.12. Пусть операторы {\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau) и \Xi_\varepsilon(\tau) определены соотношениями (15.8) и (15.23). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_{12}(1+|\tau|)\varepsilon,
\end{equation}
\tag{15.25}
\begin{equation}
\|\Xi_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^4(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_{13}(1+|\tau|)\varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.26}
Постоянные {\mathrm{C}}_{12}, {\mathrm{C}}_{13} зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. Далее, по аналогии с доказательством теоремы 14.13, применяя теорему 13.9 и учитывая (15.24), а также (15.17) (при условии 10.2) либо (15.18) (при условии 10.4), получаем следующий результат. Теорема 15.13. Пусть операторы {\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau) и \Xi_\varepsilon(\tau) определены в (15.8) и (15.23). Пусть выполнено условие 10.2 либо условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm{C}}_{14}(1+|\tau|)^{1/2}\varepsilon,
\end{equation}
\tag{15.27}
\begin{equation}
\|\Xi_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^3(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant{\mathrm{C}}_{15}(1+|\tau|)^{1/2} \varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.28}
При условии 10.2 постоянные {\mathrm{C}}_{14}, {\mathrm{C}}_{15} зависят только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty} и r_0. При условии 10.4 они зависят от тех же параметров, а также от n, c^\circ. По аналогии с доказательством предложения 14.14 из предложения 13.10 нетрудно вывести следующее утверждение. Предложение 15.14. Пусть операторы {\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau) и \Xi_\varepsilon(\tau) определены в (15.8) и (15.23). При \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_{16},
\end{equation}
\tag{15.29}
\begin{equation}
\|{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathrm C}_{17}.
\end{equation}
\tag{15.30}
Постоянные {\mathrm C}_{16}, {\mathrm C}_{17} зависят только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0 и r_1. С‘помощью интерполяции из теорем 15.12, 15.13 и предложения 15.14 получаем следующие два утверждения. Следствие 15.15. В условиях теоремы 15.12 при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon>0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak C}_6(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3}, \qquad 1 \leqslant s \leqslant 4,
\end{equation}
\tag{15.31}
\begin{equation}
\|\Xi_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak C}_7(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3}, \qquad 1 \leqslant s \leqslant 4.
\end{equation}
\tag{15.32}
Здесь {\mathfrak C}_6(s)= {\mathrm C}_{16}^{(4-s)/3}{\mathrm C}_{12}^{(s-1)/3}, {\mathfrak C}_7(s)={\mathrm C}_{17}^{(4-s)/3}{\mathrm C}_{13}^{(s-1)/3}. Доказательство. Интерполируя между (15.29) и (15.25), приходим к оценке (15.31). Интерполируя между (15.30) и (15.26), получаем (15.32). Следствие 15.16. В условиях теоремы 15.13 при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon>0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak C}_8(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}, \quad 1 \leqslant s \leqslant 3,
\end{equation}
\tag{15.33}
\begin{equation}
\|\Xi_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant{\mathfrak C}_9(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2}, \quad 1 \leqslant s \leqslant 3.
\end{equation}
\tag{15.34}
Здесь {\mathfrak C}_8(s)= {\mathrm C}_{16}^{(3-s)/2}{\mathrm C}_{14}^{(s-1)/2}, {\mathfrak C}_9(s)={\mathrm C}_{17}^{(3-s)/2}{\mathrm C}_{15}^{(s-1)/2}. Доказательство. Интерполируя между (15.29) и (15.27), приходим к оценке (15.33). Интерполируя между (15.30) и (15.28), получаем (15.34). Замечание 15.17. (i) В общей ситуации, т. е. в условиях теорем 15.1, 15.5, 15.12 можно рассмотреть большие значения времени \tau=O(\varepsilon^{-\alpha}), 0< \alpha < 1, и получить квалифицированные оценки:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \|{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &=O(\varepsilon^{s(1-\alpha)/3}),&&\qquad 0 \leqslant s \leqslant 3, \\ \|{\mathcal G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &=O(\varepsilon^{s(1-\alpha)/3}),&&\qquad 3 \leqslant s \leqslant 6, \\ \|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)}&=O(\varepsilon^{(s-1)(1-\alpha)/3}),&&\qquad 1 \leqslant s \leqslant 4, \\ \|\Xi_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{(s-1)(1-\alpha)/3}),&&\qquad 1 \leqslant s \leqslant 4. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
(ii) В случае усиления общих результатов, т. е. в условиях теорем 15.2, 15.6, 15.7, 15.13 можно рассмотреть значения \tau=O(\varepsilon^{-\alpha}), 0< \alpha < 2, и получить квалифицированные оценки:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \|{\mathcal J}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{s(2-\alpha)/4}),&&\qquad 0 \leqslant s \leqslant 2, \\ \|{\mathcal G}_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{s(2-\alpha)/4}),&&\qquad 2 \leqslant s \leqslant 4, \\ \|{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to H^1(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{(s-1)(2-\alpha)/4}),&&\qquad 1 \leqslant s \leqslant 3, \\ \|\Xi_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &= O(\varepsilon^{(s-1)(2-\alpha)/4}),&&\qquad 1 \leqslant s \leqslant 3. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
15.4. Подтверждение точности результатов пп. 15.1–15.3Применяя теоремы из п. 13.4, подтвердим точность результатов пп. 15.1–15.3. Начнем с точности относительно типа операторной нормы. Из теоремы 13.11 с помощью масштабного преобразования выводим следующую теорему, которая демонстрирует точность общих результатов (теорем 15.1, 15.5, 15.12). Теорема 15.18. Пусть выполнено условие 11.1. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal J}_\varepsilon(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}(\tau) \varepsilon.
\end{equation}
\tag{15.35}
2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 6. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}_\varepsilon(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}(\tau) \varepsilon^2.
\end{equation}
\tag{15.36}
3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что при всех достаточно малых \varepsilon > 0 выполняется оценка Ранее утверждение 1^\circ было получено в [29; теорема 13.12]. Аналогично, из теоремы 13.12 с помощью масштабного преобразования вытекает, что усиленные результаты (теоремы 15.2, 15.6, 15.7, 15.13) тоже точны. Теорема 15.19. Пусть выполнено условие 11.2. 1^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 2. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что оценка (15.35) выполняется при достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 4. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что оценка (15.36) выполняется при достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть 0 \ne \tau \in \mathbb{R} и 0 \leqslant s < 3. Тогда не существует такой постоянной \mathcal{C}(\tau), что оценка (15.37) выполняется при достаточно малом \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ было ранее установлено в [30; теорема 10.12]. Перейдем к подтверждению точности относительно зависимости оценок от параметра \tau. Из теоремы 13.13 с помощью масштабного преобразования вытекает следующий результат, подтверждающий точность общих результатов (теорем 15.1, 15.5, 15.12). Теорема 15.20. Пусть выполнено условие 11.1. 1^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /|\tau| = 0 и выполнена оценка (15.35) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 6. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /\tau^2 = 0 и выполнена оценка (15.36) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (15.37) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ ранее было установлено в [30; теорема 10.13]. Наконец, точность усиленных результатов (теорем 15.2, 15.6, 15.7, 15.13) вытекает из теоремы 13.14 с помощью масштабного преобразования. Теорема 15.21. Пусть выполнено условие 11.2. 1^\circ. Пусть s \geqslant 2. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) /|\tau|^{1/2} =0 и выполнена оценка (15.35) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 2^\circ. Пусть s \geqslant 4. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau| = 0 и выполнена оценка (15.36) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. 3^\circ. Пусть s \geqslant 3. Тогда не существует положительной функции \mathcal{C}(\tau) такой, что \lim_{\tau \to \infty} \mathcal{C}(\tau) / |\tau|^{1/2} =0 и выполнена оценка (15.37) при \tau \in \mathbb{R} и достаточно малом \varepsilon > 0. Утверждение 1^\circ ранее было получено в [30; теорема 10.14]. 15.5. О возможности устранения сглаживающего оператора \Pi_\varepsilon в аппроксимацияхРассмотрим теперь вопрос о возможности устранения оператора \Pi_\varepsilon в аппроксимациях в результатах пп. 15.2 и 15.3. Положим
\begin{equation}
{\mathcal G}'_{0,\varepsilon}(\tau) := f^\varepsilon e^{-i \tau {\mathcal{A}}_\varepsilon} (f^\varepsilon)^{-1} \bigl(I+\varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b(\mathbf{D}) \bigr)- \bigl(I+\varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b(\mathbf{D}) \bigr) f_0 e^{-i \tau {\mathcal{A}}^0} f_0^{-1},
\end{equation}
\tag{15.38}
\begin{equation}
{\mathcal G}'_\varepsilon (\tau) := {\mathcal G}'_{0,\varepsilon}(\tau)+ i \varepsilon \int_0^\tau f_0 e^{-i (\tau-\widetilde{\tau}) {\mathcal{A}}^0} f_0 b(\mathbf{D})^* L_Q(\mathbf{D}) b(\mathbf{D}) f_0 e^{-i \widetilde{\tau} {\mathcal{A}}^0 } f_0^{-1} \, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{15.39}
Из (15.8), (15.9), (15.38) и (15.39) следуют соотношения
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag {\mathcal G}'_{\varepsilon}(\tau)-{\mathcal G}_\varepsilon(\tau)&= {\mathcal G}_{0,\varepsilon}'(\tau)-{\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau) \\ \notag &=f^\varepsilon e^{-i\tau{\mathcal{A}}_\varepsilon} (f^\varepsilon)^{-1}\varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b(\mathbf{D}) (I-\Pi_\varepsilon) \\ &\qquad- \varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b(\mathbf{D}) (I-\Pi_\varepsilon) f_0 e^{-i \tau {\mathcal{A}}^0} f_0^{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15.40}
По аналогии с доказательством теоремы 14.23, из следствия 15.9 с помощью соотношения (15.40) и леммы 14.22 нетрудно вывести следующее утверждение. При этом следует учесть, что матрицы-функции \Lambda_Q и \Lambda отличаются на постоянное слагаемое, а потому имеют одинаковые свойства мультипликаторности (в пространствах Соболева). Теорема 15.22. Пусть оператор {\mathcal G}'_\varepsilon(\tau) определен в (15.39). Предположим, что 3\leqslant s\leqslant 6 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathcal G}'_\varepsilon(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant{\mathfrak C}'_3(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3}, \qquad 3 \leqslant s \leqslant 6.
\end{equation}
\tag{15.41}
Константа {\mathfrak C}'_3(s) зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to L_2}. Аналогичным образом из следствий 15.10, 15.11 и леммы 14.22 вытекают следующие результаты. Теорема 15.23. Пусть оператор {\mathcal G}'_{0,\varepsilon}(\tau) определен в (15.38). Пусть выполнено условие 10.2. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal G}'_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant {\mathfrak C}'_4(s)(1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2}.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathfrak C}'_4(s) зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to L_2}. Теорема 15.24. Пусть оператор {\mathcal G}'_\varepsilon(\tau) определен в (15.39). Пусть выполнено условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathcal G}'_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant {\mathfrak C}'_5(s)(1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2}.
\end{equation*}
\notag
Постоянная {\mathfrak C}'_5(s) зависит от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, n, {c}^{\circ}, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to L_2}. Рассмотрим теперь вопрос о возможности устранения оператора \Pi_\varepsilon в аппроксимациях операторной экспоненты по “энергетической” норме. Положим
\begin{equation}
{\Xi}_\varepsilon'(\tau):=g^\varepsilon b({\mathbf D}) f^\varepsilon e^{-i \tau {\mathcal{A}}_\varepsilon} (f^\varepsilon)^{-1} \bigl( I+\varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D})\bigr)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D})f_0 e^{-i\tau\mathcal{A}^0}f_0^{-1}.
\end{equation}
\tag{15.42}
По аналогии с доказательством теоремы 14.26, из следствия 15.15 и леммы 14.22 нетрудно вывести следующее утверждение. Теорема 15.25. Пусть операторы {\mathcal G}'_{0,\varepsilon}(\tau) и \Xi_\varepsilon'(\tau) определены соотношениями (15.38) и (15.42). Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal G}'_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak C}'_6(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3}, \qquad 2 \leqslant s \leqslant 4,
\end{equation}
\tag{15.43}
\begin{equation}
\|{\Xi}'_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak C}'_7(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3}, \qquad 2 \leqslant s \leqslant 4.
\end{equation}
\tag{15.44}
Постоянные {\mathfrak C}'_6(s), {\mathfrak C}'_7(s) зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to H^1}. Точно так же из следствия 15.16 и леммы 14.22 вытекает следующий результат. Теорема 15.26. Пусть операторы {\mathcal G}'_{0,\varepsilon}( \tau) и \Xi_\varepsilon'(\tau) определены формулами (15.38) и (15.42). Пусть выполнено условие 10.2 либо условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Пусть 2 \leqslant s \leqslant 3 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|{\mathcal G}'_{0,\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)}&\leqslant {\mathfrak C}'_{8}(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}, \\ \|{\Xi}'_{\varepsilon}(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathfrak C}'_9(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
При условии 10.2 постоянные {\mathfrak C}'_{8}(s), {\mathfrak C}'_9(s) зависят от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f\|_{L_\infty}, \|f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0, s, а также от нормы \|[\Lambda]\|_{H^{s-1} \to H^1}. При условии 10.4 эти константы зависят от тех же параметров и от n, {c}^{\circ}. Напомним, что некоторые случаи, когда одно из условий на оператор [\Lambda] (из теорем 15.22–15.26) заведомо выполняется, указаны в следствиях 14.30, 14.32 и предложениях 14.33, 14.34. 15.6. Специальные случаиРассмотрим два специальных случая, когда g^0=\overline{g} или g^0=\underline{g}. Предложение 15.27. Пусть g^0=\overline{g}, т. е. выполнены соотношения (6.20). Пусть {\mathcal J}_\varepsilon(\tau) – оператор (15.1). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathcal J}_\varepsilon(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}_{10}(s)(1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2}, \qquad 0\leqslant s \leqslant 4,
\end{equation}
\tag{15.45}
\begin{equation}
\|{\mathcal J}_\varepsilon(\tau)\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}_{8}(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}, \qquad 1\leqslant s \leqslant 3,
\end{equation}
\tag{15.46}
\begin{equation}
\nonumber \|g^\varepsilon b({\mathbf D})f^\varepsilon e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} (f^\varepsilon)^{-1}- g^\varepsilon b({\mathbf D})f_0 e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}} f_0^{-1}\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad \leqslant {\mathfrak{C}}_{9}'(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}, \qquad 1\leqslant s \leqslant 3.
\end{equation}
\tag{15.47}
Постоянные {\mathfrak{C}}_{8}(s), {\mathfrak{C}}_{9}'(s), {\mathfrak{C}}_{10}(s) зависят только от \alpha_0, \alpha_1, \|g\|_{L_\infty}, \|g^{-1}\|_{L_\infty}, \|f \|_{L_\infty}, \| f^{-1}\|_{L_\infty}, r_0 и s. Доказательство. Если выполнены соотношения (6.20), то справедливы равенства \Lambda({\mathbf x}) =0 и \Lambda_Q({\mathbf x})=0. Тогда выполнено условие 10.2, а оператор (15.8) принимает вид {\mathcal G}_{0,\varepsilon}(\tau)={\mathcal J}_\varepsilon(\tau). Поэтому оценка (15.45) прямо вытекает из следствий 15.4 и 15.10; при этом {\mathfrak{C}}_{10}(s)={\mathfrak{C}}_{2}(s), если 0\leqslant s \leqslant 2, и {\mathfrak{C}}_{10}(s)={\mathfrak{C}}_{4}(s), если 2 < s \leqslant 4. Оценка (15.46) вытекает из следствия 15.16, а (15.47) следует из (15.46); при этом {\mathfrak{C}}_{9}'(s)=\|g\|_{L_\infty}\alpha_1^{1/2}{\mathfrak{C}}_{8}(s). Предложение доказано. Предложение 15.28. Пусть g^0=\underline{g}, т. е. выполнены соотношения (6.21). Тогда при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедливы оценки (15.5), (15.41), (15.43), а оценка (15.44) принимает вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|g^\varepsilon b({\mathbf D}) f^\varepsilon e^{-i\tau{\mathcal{A}}_\varepsilon} (f^\varepsilon)^{-1} \bigl(I+\varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D})\bigr)- g^0 b({\mathbf D})f_0 e^{-i\tau{\mathcal{A}}^0} f_0^{-1}\bigr\|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_{7}'(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3},\qquad 2\leqslant s \leqslant 4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Доказательство. Если выполнены соотношения (6.21), то \widetilde{g}({\mathbf x})=g^0=\underline{g}. В силу следствия 15.3 справедлива оценка (15.5). С учетом утверждения 2^\circ предложения 14.34 применимы результаты “без сглаживателя”: теоремы 15.22 и 15.25, которые дают оценки (15.41), (15.43), (15.44). Предложение доказано. 16. Усреднение задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера16.1. Задача Коши с оператором \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon. Старший член аппроксимации решенияПусть \check{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau) – решение следующей задачи Коши:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial\check{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau} =b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon(\mathbf{x})b(\mathbf{D}) \check{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ \check{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}({\mathbf x}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.1}
где \boldsymbol{\phi} \in L_2(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n). Для решения этой задачи справедливо представление
\begin{equation}
\check{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)= e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}
\tag{16.2}
Пусть {\mathbf{u}}_0(\mathbf{x},\tau) – решение “усредненной” задачи:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{\mathbf{u}}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D}){\mathbf{u}}_0(\mathbf{x},\tau), \\ {\mathbf{u}}_0(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.3}
Тогда
\begin{equation}
{\mathbf{u}}_0(\,{\cdot}\,,\tau)= e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}}\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}
\tag{16.4}
Теорема 16.1. Пусть \check{\mathbf{u}}_\varepsilon – решение задачи (16.1) и {\mathbf{u}}_0 – решение усредненной задачи (16.3). 1^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), где 0 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\check{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {\mathbf{u}}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_1(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{16.5}
2^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in L_2 (\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то Доказательство. Оценка (16.5) прямо вытекает из следствия 14.3 и представлений (16.2), (16.4). Утверждение 2^\circ следует из утверждения 1^\circ по теореме Банаха–Штейнгауза. Теорема доказана. Утверждение 1^\circ теоремы 16.1 можно усилить при дополнительных предположениях. Из следствия 14.4 вытекает следующий результат. Теорема 16.2. Пусть \check{\mathbf{u}}_\varepsilon – решение задачи (16.1) и \mathbf{u}_0 – решение усредненной задачи (16.3). Пусть выполнено условие 7.2 либо условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), где 0 \leqslant s \leqslant 2, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка 16.2. Задача Коши с оператором \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon и начальными данными из специального класса. Более точная аппроксимация решенияРезультаты с корректорами (см. пп. 14.4, 14.5) применимы к задаче Коши с данными \boldsymbol{\phi}_\varepsilon из специального класса. Пусть \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau) – решение следующей задачи Коши:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon(\mathbf{x})b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},0)= \boldsymbol{\phi}_\varepsilon({\mathbf x}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.6}
где
\begin{equation}
\boldsymbol{\phi}_\varepsilon({\mathbf x})=\boldsymbol{\phi}({\mathbf x})+ \varepsilon\Lambda^\varepsilon({\mathbf x}) b({\mathbf D})(\Pi_\varepsilon\boldsymbol{\phi})({\mathbf x}),
\end{equation}
\tag{16.7}
а \boldsymbol{\phi} \in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). Для решения этой задачи справедливо представление
\begin{equation}
\mathbf{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)= e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \bigl(I+\varepsilon \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon\bigr)\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}
\tag{16.8}
Замечание 16.3. Оператор I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon обратим, причем
\begin{equation*}
(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon)^{-1}= I-\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
В этом легко убедиться, используя равенство \Pi_\varepsilon[\Lambda^\varepsilon]b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon=0, которое с помощью масштабного преобразования и разложения в прямой интеграл сводится к соотношению \widehat{P}[\Lambda]b(\mathbf k)\widehat{P}=0. Последнее вытекает из условия \displaystyle\int_\Omega \Lambda({\mathbf x})\,d{\mathbf x}=0. Поэтому справедливо равенство \boldsymbol{\phi}= (I-\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon)\boldsymbol{\phi}_\varepsilon. Пусть \mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau) – решение прежней усредненной задачи (16.3), а \mathbf{w}_0(\mathbf{x},\tau) – решение задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{\mathbf{w}}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D}){\mathbf{w}_0}(\mathbf{x},\tau)+ b({\mathbf D})^*L({\mathbf D})b({\mathbf D})\mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau), \\ {\mathbf{w}}_0(\mathbf{x},0)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.9}
Тогда справедливо представление
\begin{equation}
\mathbf{w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)=-i\int_0^\tau e^{-i(\tau-\widetilde{\tau})\widehat{\mathcal A}^0} b({\mathbf D})^* L({\mathbf D}) b({\mathbf D})e^{-i\widetilde{\tau}\widehat{\mathcal A}^0} \boldsymbol{\phi}\, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{16.10}
Наконец, положим
\begin{equation}
\mathbf{p}_\varepsilon :=g^\varepsilon b({\mathbf D})\mathbf{u}_\varepsilon,
\end{equation}
\tag{16.11}
\begin{equation}
\mathbf{v}_\varepsilon :=\mathbf{u}_0+ \varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})(\Pi_\varepsilon\mathbf{u}_0).
\end{equation}
\tag{16.12}
Теорема 16.4. Пусть {\mathbf{u}}_\varepsilon – решение задачи (16.6) с начальным данным вида (16.7), а {\mathbf p}_\varepsilon определено в (16.11). Пусть \mathbf{u}_0 – решение усредненной задачи (16.3), а {\mathbf v}_\varepsilon определено в (16.12). Пусть \mathbf{w}_0 – решение задачи (16.9). 1^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 0 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{u}_0 (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}'_1(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{16.13}
2^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), где 3 \leqslant s \leqslant 6, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon{\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_3(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{16.14}
3^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), где 1 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation}
\|{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_6(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)},
\end{equation}
\tag{16.15}
\begin{equation}
\|{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) (\Pi_\varepsilon\mathbf{u}_0)(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_7(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{16.16}
Доказательство. 1^\circ. Из представлений (16.4) и (16.8) следует, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \|(e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}})\boldsymbol{\phi}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad+\varepsilon\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon \boldsymbol{\phi}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16.17}
Первое слагаемое справа оценим с помощью следствия 14.3:
\begin{equation}
\| (e^{-i \tau \widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}})\boldsymbol{\phi}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_1 (s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)},\qquad 0 \leqslant s \leqslant 3.
\end{equation}
\tag{16.18}
Второе слагаемое оценим с помощью масштабного преобразования и разложения в прямой интеграл. При 0\leqslant s \leqslant 3 с учетом (7.9), (7.12) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon \|_{H^s(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)}= \|\Lambda b({\mathbf D})\Pi{\mathcal R} (\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad=\sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}}\|\Lambda b(\mathbf k) \widehat{P} \|_{L_2(\Omega) \to L_2(\Omega)} \frac{\varepsilon^s}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \\ &\qquad\leqslant C_{\widehat{Z}} \sup_{\mathbf k \in \widetilde{\Omega}} \frac{|\mathbf k| \varepsilon^s}{(|\mathbf k|^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \leqslant C_{\widehat{Z}} r_1^{1-s/3} \varepsilon^{s/3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation}
\varepsilon\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon \boldsymbol{\phi}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{\widehat{Z}} r_1^{1-s/3} \varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)},\qquad 0 \leqslant s \leqslant 3.
\end{equation}
\tag{16.19}
В итоге из (16.17)–(16.19) вытекает искомая оценка (16.13).
2^\circ. Из представлений (16.4), (16.8), (16.10) и (16.12) следует, что
\begin{equation*}
{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)- \varepsilon {\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)= \widehat{G}_\varepsilon(\tau) \boldsymbol{\phi},
\end{equation*}
\notag
где \widehat{G}_\varepsilon(\tau) – оператор (14.12). Отсюда и из следствия 14.9 вытекает оценка (16.14).
3^\circ. Из представлений (16.4), (16.8), (16.11) и (16.12) получаем соотношения
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)&= \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau)\boldsymbol{\phi}, \\ {\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) (\Pi_\varepsilon\mathbf{u}_0)(\,{\cdot}\,,\tau)&= \widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau)\boldsymbol{\phi}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где операторы \widehat{G}_{0,\varepsilon}(\tau), \widehat{\Xi}_{\varepsilon}(\tau) определены в (14.11), (14.26). Отсюда и из следствия 14.15 следуют оценки (16.15), (16.16). Теорема доказана. При дополнительных предположениях результаты теоремы 16.4 допускают усиление. По аналогии с доказательством теоремы 16.4, из следствий 14.4, 14.10, 14.11, 14.16 выводим следующий результат. Теорема 16.5. Пусть выполнены условия теоремы 16.4. Пусть выполнено условие 7.2 либо условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). 1^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 0 \leqslant s \leqslant 2, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}'_2 (s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
2^\circ. При условии 7.2 если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\| {\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \mathbf{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_4 (s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
3^\circ. При условии 7.4 если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \mathbf{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)- \varepsilon {\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_5 (s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
4^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 1 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \widehat{\mathfrak{C}}_8(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}\|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \|{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) (\Pi_\varepsilon\mathbf{u}_0)(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant\widehat{\mathfrak{C}}_9 (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}\|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
16.3. Случай, когда можно устранить сглаживательРассмотрим теперь случай, когда выполнены условия на \Lambda, позволяющие устранить сглаживающий оператор \Pi_\varepsilon в аппроксимациях; см. п. 14.8. Предполагая, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d), где s \geqslant 1, рассмотрим следующую задачу Коши:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)} {\partial\tau}=b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon(\mathbf{x})b(\mathbf{D}) \tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ \tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},0)= \tilde{\boldsymbol{\phi}}_\varepsilon({\mathbf x}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.20}
где
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde{\boldsymbol{\phi}}_\varepsilon({\mathbf x})= \boldsymbol{\phi}({\mathbf x})+\varepsilon \Lambda^\varepsilon({\mathbf x}) b({\mathbf D}) \boldsymbol{\phi}({\mathbf x}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16.21}
а \boldsymbol{\phi} \in H^s (\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). Для решения этой задачи справедливо представление
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)= e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} (I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D}))\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}
\tag{16.22}
Пусть \mathbf{u}_0(\mathbf{x}, \tau) – решение прежней усредненной задачи (16.3), а \mathbf{w}_0(\mathbf{x},\tau) – решение задачи (16.9). Положим
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{p}}_\varepsilon := g^\varepsilon b({\mathbf D})\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon,
\end{equation}
\tag{16.23}
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon := \mathbf{u}_0+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\mathbf{u}_0.
\end{equation}
\tag{16.24}
Из следствия 14.3 и теорем 14.23, 14.26 выводим следующий результат. Теорема 16.6. Пусть \tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon – решение задачи (16.20) с начальным данным вида (16.21), а \tilde{{\mathbf p}}_\varepsilon определено в (16.23). Пусть \mathbf{u}_0 – решение усредненной задачи (16.3), а \tilde{\mathbf v}_\varepsilon определено в (16.24). Пусть \mathbf{w}_0 – решение задачи (16.9). 1^\circ. Пусть 1 \leqslant s \leqslant 3 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Тогда если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{u}_0 (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}''_1 (s) (1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{16.25}
2^\circ. Пусть 3 \leqslant s \leqslant 6 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Тогда если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation}
\|\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon{\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}'_3(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{16.26}
3^\circ. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4 и оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Тогда если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0<\varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation}
\|\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant\widehat{\mathfrak{C}}'_6(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3}\|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)},
\end{equation}
\tag{16.27}
\begin{equation}
\|\tilde{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}'_7(s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{16.28}
Доказательство. 1^\circ. Из представлений (16.4) и (16.22) следует, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \notag\\ &\qquad\leqslant \|(e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}- e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}^{\,0}})\boldsymbol{\phi}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}+ \varepsilon\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon}\Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\boldsymbol{\phi}\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16.29}
Для первого слагаемого справа справедлива оценка (16.18). Второе слагаемое оценим с помощью масштабного преобразования. Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\varepsilon\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} =\|\Lambda b({\mathbf D}){\mathcal R} (\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant \|[\Lambda]\|_{H^{s-1}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} \|b({\mathbf D}){\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to H^{s-1}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
С помощью преобразования Фурье получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|b({\mathbf D}){\mathcal R}(\varepsilon)^{s/2}\|_{L_2(\mathbb{R}^d) \to H^{s-1}(\mathbb{R}^d)} \leqslant \alpha_1^{1/2} \sup_{\boldsymbol{\xi} \in \mathbb{R}^d} \frac{|\boldsymbol{\xi}|(1+|\boldsymbol{\xi}|^2)^{(s-1)/2} \varepsilon^s}{(|\boldsymbol{\xi} |^2+\varepsilon^2)^{s/2}} \\ &\qquad \leqslant \alpha_1^{1/2}(1+\varepsilon^2)^{(s-1)/2} \varepsilon \leqslant 2^{(s-1)/2} \alpha_1^{1/2} \varepsilon,\qquad 0 < \varepsilon \leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В итоге приходим к оценке
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon\|e^{-i\tau\widehat{\mathcal{A}}_\varepsilon} \Lambda^\varepsilon b({\mathbf D})\|_{H^s(\mathbb{R}^d)\to L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \|[\Lambda]\|_{H^{s-1}(\mathbb{R}^d) \to L_2(\mathbb{R}^d)} 2^{(s-1)/2}\alpha_1^{1/2}\varepsilon, \\ 0 < \varepsilon \leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16.30}
Из (16.18), (16.29) и (16.30) c учетом ограничения 0< \varepsilon \leqslant 1 вытекает искомая оценка (16.25).
2^\circ. Из представлений (16.4), (16.10), (16.22) и (16.24) следует, что
\begin{equation*}
\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{ \mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)- \varepsilon {\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)= \widehat{G}'_\varepsilon(\tau)\boldsymbol{\phi},
\end{equation*}
\notag
где оператор \widehat{G}'_\varepsilon(\tau) определен в (14.51). Отсюда и из теоремы 14.23 следует оценка (16.26).
3^\circ. Из представлений (16.4), (16.22), (16.23) и (16.24) вытекают соотношения
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)&= \widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau) \boldsymbol{\phi}, \\ \tilde{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) \mathbf{u}_0 (\,{\cdot}\,, \tau)&= \widehat{\Xi}'_{\varepsilon}(\tau) \boldsymbol{\phi}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где операторы \widehat{G}'_{0,\varepsilon}(\tau), \widehat{\Xi}'_{\varepsilon}(\tau) определены в (14.50), (14.56). Отсюда и из теоремы 14.26 следуют оценки (16.27), (16.28). Теорема доказана. При дополнительных предположениях результаты теоремы 16.6 допускают усиление. По аналогии с доказательством теоремы 16.6, из следствия 14.4 и теорем 14.24, 14.25, 14.28 выводим следующий результат. Теорема 16.7. Пусть выполнены условия теоремы 16.6. Пусть выполнено условие 7.2 либо условие 7.4 (или более сильное условие 7.5). 1^\circ. Пусть 1 \leqslant s \leqslant 2. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}''_2(s)(1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
2^\circ. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). При условии 7.2 если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant\widehat{\mathfrak{C}}'_4(s)(1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
3^\circ. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). При условии 7.4 если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)- \varepsilon {\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant \widehat{\mathfrak{C}}'_5 (s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
4^\circ. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 3. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant \widehat{\mathfrak{C}}'_8(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2}\|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \|\tilde{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) \mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant \widehat{\mathfrak{C}}'_9(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
16.4. Задача Коши с оператором {\mathcal{A}}_\varepsilon. Старший член аппроксимации решенияПусть \check{\mathbf u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau) – решение следующей задачи Коши:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial\check{\mathbf u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau} =(f^\varepsilon(\mathbf{x}))^* b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon(\mathbf{x}) b(\mathbf{D})f^\varepsilon(\mathbf{x}) \check{\mathbf u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ f^\varepsilon(\mathbf{x})\check{\mathbf u}_\varepsilon(\mathbf{x},0) =\boldsymbol{\phi}({\mathbf x}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.31}
где \boldsymbol{\phi} \in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). Для решения этой задачи справедливо представление
\begin{equation}
\check{\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)= e^{-i\tau{\mathcal{A}}_\varepsilon}(f^\varepsilon)^{-1}\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}
\tag{16.32}
Пусть {\mathbf u}_0(\mathbf{x},\tau) – решение “усредненной” задачи:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{\mathbf u}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= f_0 b(\mathbf{D})^* g^0b(\mathbf{D})f_0 {\mathbf u}_0(\mathbf{x},\tau), \\ f_0{\mathbf u}_0(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\phi}({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.33}
Тогда
\begin{equation}
{\mathbf u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)= e^{-i\tau{\mathcal{A}}^0}f_0^{-1}\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}
\tag{16.34}
Теорема 16.8. Пусть \check{\mathbf u}_\varepsilon – решение задачи (16.31) и {\mathbf u}_0 – решение усредненной задачи (16.33). 1^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), где 0 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon >0 справедлива оценка
\begin{equation}
\|f^\varepsilon\check{\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- f_0{\mathbf u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}_1(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
\tag{16.35}
2^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in L_2 (\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), то Доказательство. Оценка (16.35) прямо вытекает из следствия 15.3 и представлений (16.32), (16.34). Утверждение 2^\circ следует из утверждения 1^\circ по теореме Банаха–Штейнгауза. Теорема доказана. Утверждение 1^\circ теоремы 16.8 можно усилить при дополнительных предположениях. Из следствия 15.4 вытекает следующий результат. Теорема 16.9. Пусть \check{\mathbf u}_\varepsilon – решение задачи (16.31) и {\mathbf u}_0 – решение усредненной задачи (16.33). Пусть выполнено условие 10.2 либо условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 0 \leqslant s \leqslant 2, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка 16.5. Задача Коши с оператором {\mathcal{A}}_\varepsilon и начальными данными из специального класса. Более точная аппроксимация решенияРезультаты с корректорами (см. пп. 15.2, 15.3) применимы к задаче Коши с данными \boldsymbol{\phi}_\varepsilon из специального класса. Пусть {\mathbf u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau) – решение следующей задачи Коши:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{\mathbf u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= (f^\varepsilon({\mathbf x}))^* b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon(\mathbf{x}) b(\mathbf{D})f^\varepsilon({\mathbf x}) {\mathbf u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ f^\varepsilon({\mathbf x}){\mathbf u}_\varepsilon(\mathbf{x},0)= \boldsymbol{\phi}_\varepsilon({\mathbf x}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.36}
где
\begin{equation}
\boldsymbol{\phi}_\varepsilon({\mathbf x})=\boldsymbol{\phi}({\mathbf x})+ \varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon({\mathbf x}) b({\mathbf D})(\Pi_\varepsilon\boldsymbol{\phi})({\mathbf x}),
\end{equation}
\tag{16.37}
а \boldsymbol{\phi} \in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). Для решения этой задачи справедливо представление
\begin{equation}
{\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)= e^{-i \tau {\mathcal{A}}_\varepsilon}(f^\varepsilon)^{-1}(I+\varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D})\Pi_\varepsilon)\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}
\tag{16.38}
Пусть {\mathbf u}_0(\mathbf{x},\tau) – решение прежней усредненной задачи (16.33). Пусть {\mathbf w}_0(\mathbf{x},\tau) – решение задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{\mathbf w}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= f_0 b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D})f_0{\mathbf w}_0(\mathbf{x},\tau)+ f_0 b({\mathbf D})^*L_Q({\mathbf D})b({\mathbf D}) f_0{\mathbf u}_0(\mathbf{x},\tau), \\ {\mathbf w}_0(\mathbf{x},0)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.39}
Тогда справедливо представление
\begin{equation}
{\mathbf w}_0 (\,{\cdot}\,,\tau)=-i\int_0^\tau e^{-i(\tau-\widetilde{\tau}){\mathcal A}^0} f_0 b({\mathbf D})^* L_Q({\mathbf D})b({\mathbf D}) f_0 e^{-i \widetilde{\tau}{\mathcal A}^0} f_0^{-1}\boldsymbol{\phi}\, d\widetilde{\tau}.
\end{equation}
\tag{16.40}
Положим
\begin{equation}
{\mathbf p}_\varepsilon := g^\varepsilon b({\mathbf D}) f^\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon,
\end{equation}
\tag{16.41}
\begin{equation}
{\mathbf v}_\varepsilon :=f_0 {\mathbf u}_0+ \varepsilon \Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D})(\Pi_\varepsilon f_0{\mathbf u}_0).
\end{equation}
\tag{16.42}
По аналогии с доказательством теоремы 16.4, из следствий 15.3, 15.9, 15.15 и соотношений (16.34), (16.38), (16.40)–(16.42) выводим следующий результат. Теорема 16.10. Пусть {\mathbf u}_\varepsilon – решение задачи (16.36) с начальным данным вида (16.37), а {\mathbf p}_\varepsilon определено в (16.41). Пусть {\mathbf u}_0 – решение усредненной задачи (16.33), а {\mathbf v}_\varepsilon определено в (16.42). Пусть {\mathbf w}_0 – решение задачи (16.39). 1^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 0 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)-f_0 {\mathbf u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}'_1 (s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
2^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 3 \leqslant s \leqslant 6, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {\mathbf v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon f_0 {\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant {\mathfrak{C}}_3(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
3^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 1 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^\varepsilon{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathfrak{C}}_6(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \|{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D})(\Pi_\varepsilon f_0 \mathbf{u}_0) (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathfrak{C}}_7(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \| \boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
При дополнительных предположениях результаты теоремы 16.10 допускают усиление. Из следствий 15.4, 15.10, 15.11, 15.16 вытекает следующий результат. Теорема 16.11. Пусть выполнены условия теоремы 16.10. Пусть выполнено условие 10.2 либо условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). 1^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 0 \leqslant s \leqslant 2, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- f_0{\mathbf u}_0 (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}'_2(s)(1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
2^\circ. При условии 10.2 если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {\mathbf v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant {\mathfrak{C}}_4(s)(1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
3^\circ. При условии 10.4 если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {\mathbf v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)-\varepsilon f_0 {\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}_5(s)(1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
4^\circ. Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), где 1 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^\varepsilon{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathfrak{C}}_8 (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2} \| \boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \|{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D})(\Pi_\varepsilon f_0\mathbf{u}_0) (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathfrak{C}}_9 (s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
16.6. Случай, когда можно устранить сглаживательРассмотрим теперь случай, когда выполнены условия на \Lambda, позволяющие устранить сглаживающий оператор \Pi_\varepsilon в аппроксимациях; см. п. 15.5. Предполагая, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d), где s \geqslant 1, рассмотрим следующую задачу Коши:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau} =(f^\varepsilon({\mathbf x}))^* b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) f^\varepsilon({\mathbf x}) \tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ f^\varepsilon({\mathbf x})\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\mathbf{x},0)= \tilde{\boldsymbol{\phi}}_\varepsilon({\mathbf x}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{16.43}
где
\begin{equation}
\tilde{\boldsymbol{\phi}}_\varepsilon({\mathbf x})= \boldsymbol{\phi}({\mathbf x})+\varepsilon\Lambda_Q^\varepsilon({\mathbf x}) b({\mathbf D}) \boldsymbol{\phi}({\mathbf x}),
\end{equation}
\tag{16.44}
а \boldsymbol{\phi} \in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). Для решения этой задачи справедливо представление
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)= e^{-i\tau{\mathcal{A}}_\varepsilon}(f^\varepsilon)^{-1} (I+\varepsilon\Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D}))\boldsymbol{\phi}.
\end{equation}
\tag{16.45}
Пусть \mathbf{u}_0 (\mathbf{x},\tau) – решение прежней усредненной задачи (16.33), а \mathbf{w}_0(\mathbf{x},\tau) – решение задачи (16.39). Положим
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{p}}_\varepsilon := g^\varepsilon b({\mathbf D})f^\varepsilon\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon,
\end{equation}
\tag{16.46}
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon :=f_0\mathbf{u}_0+ \varepsilon\Lambda_Q^\varepsilon b({\mathbf D}) f_0 \mathbf{u}_0.
\end{equation}
\tag{16.47}
По аналогии с доказательством теоремы 16.6, из следствия 15.3 и теорем 15.22, 15.25 выводим следующий результат. Теорема 16.12. Пусть \tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon – решение задачи (16.43) с начальным данным вида (16.44), а \tilde{{\mathbf p}}_\varepsilon определено в (16.46). Пусть \mathbf{u}_0 – решение усредненной задачи (16.33), а \tilde{\mathbf v}_\varepsilon определено в (16.47). Пусть \mathbf{w}_0 – решение задачи (16.39). 1^\circ. Пусть 1 \leqslant s \leqslant 3. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- f_0\mathbf{u}_0 (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}''_1(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
2^\circ. Пусть 3 \leqslant s \leqslant 6. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon \tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)- \varepsilon f_0 {\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau) \bigr\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant{\mathfrak{C}}'_3 (s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
3^\circ. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^\varepsilon\tilde{\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{\mathbf{v}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant{\mathfrak{C}}'_6 (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3} \bigl\| \boldsymbol{\phi} \bigr\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \| \tilde{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon b({\mathbf D}) f_0\mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathfrak{C}}'_7 (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
При дополнительных предположениях результаты теоремы 16.12 допускают усиление. Из следствия 15.4 и теорем 15.23, 15.24, 15.26 вытекает следующий результат. Теорема 16.13. Пусть выполнены условия теоремы 16.12. Пусть выполнено условие 10.2 либо условие 10.4 (или более сильное условие 10.5). 1^\circ. Пусть 1 \leqslant s \leqslant 2. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- f_0{\mathbf u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}''_2(s)(1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
2^\circ. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). При условии 10.2 если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {\mathbf v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {\mathfrak{C}}'_4 (s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
3^\circ. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 4. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d). При условии 10.4 если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f^\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {\mathbf v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon f_0{\mathbf w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant {\mathfrak{C}}_5'(s)(1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
4^\circ. Пусть 2 \leqslant s \leqslant 3. Предположим, что оператор [\Lambda] непрерывен из H^{s-1}(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d; \mathbb{C}^n), то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^\varepsilon {\mathbf{u}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \mathbf{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathfrak{C}}'_8 (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \|{\mathbf{p}}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b ({\mathbf D})f_0\mathbf{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant {\mathfrak{C}}'_9 (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
17. Применение общих результатов: уравнение типа Шрёдингера со скалярным эллиптическим оператором {\mathbf D}^*g^\varepsilon{\mathbf D}17.1. Скалярный эллиптический операторВ L_2(\mathbb{R}^d) рассмотрим оператор
\begin{equation}
\widehat{\mathcal A}={\mathbf D}^* g({\mathbf x}){\mathbf D}= -\operatorname{div} g({\mathbf x})\nabla.
\end{equation}
\tag{17.1}
Здесь g({\mathbf x}) – \Gamma-периодическая эрмитова (d \times d)-матрица-функция такая, что g({\mathbf x}) >0 и g,g^{-1} \in L_\infty. Оператор (17.1) является частным случаем оператора (6.1). В этом случае n=1, m=d и b({\mathbf D})={\mathbf D}. Очевидно, что условие (5.7) выполнено при \alpha_0=\alpha_1=1. Согласно (6.17) эффективный оператор для оператора (17.1) имеет вид \widehat{\mathcal A}^0= {\mathbf D}^* g^0{\mathbf D}=-\operatorname{div} g^0 \nabla. В соответствии с (6.11), (6.12) эффективная матрица g^0 определяется следующим образом. Пусть {\mathbf e}_1,\dots,{\mathbf e}_d – стандартный ортонормированный базис в \mathbb{R}^d. Пусть \Phi_j \in \widetilde{H}^1(\Omega) – слабое \Gamma-периодическое решение задачи
\begin{equation}
\operatorname{div} g({\mathbf x})\bigl(\nabla\Phi_j({\mathbf x})+ {\mathbf e}_j\bigr)=0,\qquad \int_\Omega\Phi_j({\mathbf x})\,d{\mathbf x}=0.
\end{equation}
\tag{17.2}
Тогда \Lambda({\mathbf x}) – это матрица-строка: \Lambda({\mathbf x})= i\bigl(\Phi_1({\mathbf x}),\dots,\Phi_d({\mathbf x})\bigr), а \widetilde{g}({\mathbf x}) – это матрица размера d\times d со столбцами \widetilde{\mathbf g}_j({\mathbf x})=g({\mathbf x}) \bigl(\nabla \Phi_j({\mathbf x})+{\mathbf e}_j\bigr), j=1,\dots,d. Эффективная матрица определяется соотношением g^0=|\Omega|^{-1}\displaystyle\int_\Omega \widetilde{g}({\mathbf x})\,d{\mathbf x}. В случае d=1 выполнено m=n=1, а потому g^0=\underline{g}. Первое собственное значение оператора \widehat{\mathcal A}(\mathbf k)=\widehat{A}(t,\boldsymbol{\theta}) допускает степенное разложение
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}(t,\boldsymbol{\theta})= \widehat{\gamma}(\boldsymbol{\theta})t^2+\widehat{\mu}(\boldsymbol{\theta})t^3 +\widehat{\nu}(\boldsymbol{\theta})t^4+\cdots,
\end{equation*}
\notag
здесь \widehat{\gamma}(\boldsymbol{\theta})= \langle g^0\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\theta}\rangle. Поскольку n=1, то оператор \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})=\widehat{N}_0(\boldsymbol{\theta}) есть оператор умножения на \widehat{\mu}(\boldsymbol{\theta}). Если g({\mathbf x}) – симметричная матрица с вещественными элементами, то в силу утверждения 1^\circ предложения 6.4 имеет место равенство \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}, т. е. выполнено условие 7.2. В силу предложения 14.34 оператор [\Lambda] непрерывен из L_2(\mathbb{R}^d) в L_2(\mathbb{R}^d) и из H^1(\mathbb{R}^d) в H^1(\mathbb{R}^d). Если же g({\mathbf x}) – эрмитова матрица с комплексными элементами, то в общей ситуации оператор \widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) отличен от нуля; см. пример в [8; п. 10.4]. Вычисление (см. [8; п. 10.3]) показывает, что
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \widehat{N}(\boldsymbol{\theta})&=\widehat{\mu}(\boldsymbol{\theta})= -i\sum_{j,l,k=1}^d(a_{jlk}-a^*_{jlk})\theta_j\theta_l\theta_k,&&\qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}, \\ a_{jlk}&=|\Omega|^{-1}\int_\Omega\Phi_j({\mathbf x})^* \langle g({\mathbf x})(\nabla\Phi_l({\mathbf x})+ {\mathbf e}_l),{\mathbf e}_k\rangle\,d{\mathbf x},&&\qquad j,l,k=1,\dots,d. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{17.3}
Опишем теперь оператор \widehat{\mathcal N}^{(1)}(\boldsymbol{\theta}) – оператор умножения на \widehat{\nu}(\boldsymbol{\theta}). Пусть \Psi_{jl}({\mathbf x}) – это \Gamma-периодическое решение задачи
\begin{equation*}
-\operatorname{div}g({\mathbf x})\bigl(\nabla\Psi_{jl}({\mathbf x})- \Phi_j({\mathbf x}){\mathbf e}_l\bigr)=g^0_{lj}- \widetilde{g}_{lj}({\mathbf x}),\qquad \int_\Omega \Psi_{jl}({\mathbf x})\,d{\mathbf x}=0.
\end{equation*}
\notag
Как проверено в [16; п. 14.5],
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal N}^{(1)}(\boldsymbol{\theta})= \widehat{\nu}(\boldsymbol{\theta})=\sum_{p,q,l,k=1}^d\bigl(\alpha_{pqlk}- (\overline{\Phi_p^*\Phi_q}\,) g^0_{lk}\bigr)\theta_p\theta_q\theta_l\theta_k,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_{pqlk}&=|\Omega|^{-1}\int_\Omega\bigl(\widetilde{g}_{lp}({\mathbf x}) \Psi_{qk}({\mathbf x})+\widetilde{g}_{kq}({\mathbf x}) \Psi_{pl}({\mathbf x})\bigr)\,d{\mathbf x} \\ &\qquad+|\Omega|^{-1}\int_\Omega\bigl\langle g({\mathbf x})\bigl(\nabla\Psi_{qk} ({\mathbf x})-\Phi_q({\mathbf x}){\mathbf e}_k\bigr),\nabla\Psi_{pl}({\mathbf x})- \Phi_p({\mathbf x}){\mathbf e}_l\bigr\rangle\,d{\mathbf x}, \\ &\qquad\qquad p,q,l,k=1,\dots,d. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Замечание 17.1. В [30; лемма 12.2] показано, что при d=1 и g(x) \ne \operatorname{const} всегда выполнено \widehat{\nu}(1)=\widehat{\nu}(-1) \ne 0. Поэтому автор полагает, что и в многомерном случае, как правило, \widehat{\nu}(\boldsymbol{\theta}) \ne 0. 17.2. УсреднениеК оператору
\begin{equation*}
\widehat{\mathcal A}_\varepsilon= {\mathbf D}^* g^\varepsilon({\mathbf x}){\mathbf D}= -\operatorname{div} g^\varepsilon({\mathbf x}) \nabla
\end{equation*}
\notag
в общем случае применимы теоремы 14.1, 14.5, 14.12 и следствия 14.3, 14.9, 14.15. В “вещественном” случае применимы “улучшенные” результаты: теоремы 14.2, 14.6, 14.13 и следствия 14.4, 14.10, 14.16, а также результаты “без сглаживателя”: теоремы 14.24, 14.28. Рассмотрим задачу Коши вида (16.6):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)}{\partial \tau}= \mathbf{D}^*g^\varepsilon(\mathbf{x})\mathbf{D} {u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ {u}_\varepsilon (\mathbf{x}, 0) =\phi({\mathbf x})+ \varepsilon\displaystyle\sum_{j=1}^d \Phi_j^\varepsilon({\mathbf x})\, \partial_j (\Pi_\varepsilon \phi)({\mathbf x}), \end{cases}
\end{equation}
\tag{17.4}
где {\phi} \in L_2(\mathbb{R}^d). Пусть u_0 – решение усредненной задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {u}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial \tau}= \mathbf{D}^* g^0 \mathbf{D} {u}_0 (\mathbf{x}, \tau), \\ {u}_0(\mathbf{x},0)=\phi({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{17.5}
Пусть w_0 – решение задачи вида (16.9):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {w}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= \mathbf{D}^* g^0 \mathbf{D}{w}_0 (\mathbf{x},\tau)+ \displaystyle\sum_{j,l,k=1}^d(a_{jlk}-a^*_{jlk}) \partial_j\partial_l \partial_k u_0({\mathbf x},\tau), \\ {w}_0(\mathbf{x},0)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{17.6}
Положим
\begin{equation}
v_\varepsilon=u_0+\varepsilon \sum_{j=1}^d \Phi_j^\varepsilon\, \partial_j (\Pi_\varepsilon u_0).
\end{equation}
\tag{17.7}
Применяя теорему 16.4 в общем случае и теорему 16.5 в “вещественном” случае, получаем следующий результат. Предложение 17.2. Пусть {u}_\varepsilon – решение задачи (17.4) и {u}_0 – решение усредненной задачи (17.5). Пусть w_0 – решение задачи (17.6). Пусть v_\varepsilon определено в (17.7). 1^\circ. Если \phi \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 0 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)-{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 3 \leqslant s \leqslant 6, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)-{v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon {w}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3}\|\phi\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 1 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| {u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)-{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau) \|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3} \| {\phi} \|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \| g^\varepsilon \nabla {u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \widetilde{g}^\varepsilon \nabla (\Pi_\varepsilon {u}_0) (\,{\cdot}\,, \tau) \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3} \| {\phi} \|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
2^\circ. Пусть g({\mathbf x}) – симметричная матрица с вещественными элементами. Если \phi \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 0 \leqslant s \leqslant 2, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)-{u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2}\|\phi\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\| {u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- {v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant C(s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2}\| {\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 1 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| {u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)-{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau) \|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2} \| {\phi} \|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \| g^\varepsilon \nabla {u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \widetilde{g}^\varepsilon \nabla(\Pi_\varepsilon {u}_0) (\,{\cdot}\,,\tau) \|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2} \| {\phi} \|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В случае, когда g({\mathbf x}) – симметричная матрица с вещественными элементами, рассмотрим задачу Коши вида (16.20):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial \tilde{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, \tau)}{\partial \tau}= \mathbf{D}^*g^\varepsilon(\mathbf{x}) \mathbf{D}\tilde{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ \tilde{u}_\varepsilon(\mathbf{x},0)=\phi({\mathbf x})+ \varepsilon\displaystyle\sum_{j=1}^d\Phi_j^\varepsilon({\mathbf x})\, \partial_j \phi({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{17.8}
Пусть u_0 – решение прежней усредненной задачи (17.5). Положим
\begin{equation}
\tilde{v}_\varepsilon=u_0+ \varepsilon \sum_{j=1}^d \Phi_j^\varepsilon\,\partial_j u_0.
\end{equation}
\tag{17.9}
Применяя теорему 16.7 и учитывая, что в “вещественном” случае выполнено условие 7.2, получаем следующий результат. Предложение 17.3. Пусть g({\mathbf x}) – симметричная матрица с вещественными элементами. Пусть \tilde{u}_\varepsilon – решение задачи (17.8) и {u}_0 – решение усредненной задачи (17.5). Пусть \tilde{v}_\varepsilon определено в (17.9). Если \phi \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 1 \leqslant s \leqslant 2, то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\tilde{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C (s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\tilde{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C(s) (1+|\tau|)^{s/4}\varepsilon^{s/2}\|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 2 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\tilde{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} &\leqslant C(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2}\|\phi\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \|g^\varepsilon\nabla\tilde{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon\nabla {u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2} \|\phi\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
18. Применение общих результатов: нестационарное уравнение Шрёдингера с сингулярным потенциалом18.1. Периодический оператор Шрёдингера. Факторизация(См. [7; гл. 6, п. 1.1].) В пространстве L_2(\mathbb{R}^d) рассмотрим оператор Шрёдингера
\begin{equation}
{\mathcal H}={\mathbf D}^*\check{g}({\mathbf x}){\mathbf D}+V({\mathbf x})
\end{equation}
\tag{18.1}
с \Gamma-периодическими метрикой \check{g}({\mathbf x}) и потенциалом V({\mathbf x}). Предполагается, что \check{g}({\mathbf x}) – симметричная (d \times d)-матрица-функция с вещественными элементами, причем \check{g},\check{g}^{-1} \in L_\infty и \check{g}({\mathbf x}) >0. Потенциал V({\mathbf x}) считается вещественным и таким, что
\begin{equation}
V \in L_q(\Omega), \qquad q=1 \ \ \text{при}\ d=1, \quad 2q > d \ \ \text{при}\ d \geqslant 2.
\end{equation}
\tag{18.2}
Точное определение самосопряженного в L_2(\mathbb{R}^d) оператора \mathcal H дается через квадратичную форму
\begin{equation}
{\mathfrak h}[u,u]=\int_{\mathbb{R}^d}\bigl(\langle\check{g}({\mathbf x}) {\mathbf D} u({\mathbf x}),{\mathbf D} u({\mathbf x})\rangle+ V({\mathbf x}) |u({\mathbf x})|^2\bigr)\,d{\mathbf x},\qquad u \in H^1(\mathbb{R}^d).
\end{equation}
\tag{18.3}
При сделанных предположениях форма (18.3) полуограничена снизу и замкнута. За счет добавления к V({\mathbf x}) подходящей постоянной будем считать, что точка \lambda_0=0 является нижним краем спектра оператора \mathcal H. Тогда уравнение {\mathbf D}^* \check{g}({\mathbf x}){\mathbf D} \omega({\mathbf x})+ V({\mathbf x}) \omega({\mathbf x})=0 имеет (слабое) положительное \Gamma-периодическое решение \omega \in \widetilde{H}^1(\Omega). При этом \omega \in C^\sigma с некоторым \sigma >0. Кроме того, функция \omega – мультипликатор в классах H^1(\mathbb{R}^d) и \widetilde{H}^1(\Omega). Фиксируем выбор решения \omega условием нормировки
\begin{equation}
\int_{\Omega}\omega^2({\mathbf x})\,d{\mathbf x}=|\Omega|.
\end{equation}
\tag{18.4}
Подстановка u=\omega v преобразует форму (18.3) к виду
\begin{equation*}
{\mathfrak h}[u,u]=\int_{\mathbb{R}^d} \omega^2({\mathbf x}) \langle \check{g}({\mathbf x}) {\mathbf D} v({\mathbf x}), {\mathbf D} v({\mathbf x})\rangle \,d{\mathbf x},\qquad u=\omega v,\quad v \in H^1(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
\notag
Это означает, что оператор (18.1) допускает факторизацию вида
\begin{equation}
{\mathcal H}=\omega^{-1}{\mathbf D}^*\omega^2\check{g}{\mathbf D}\omega^{-1}.
\end{equation}
\tag{18.5}
Таким образом, оператор \mathcal H имеет вид (5.10), причем n=1, m=d, b({\mathbf D})={\mathbf D}, g=\omega^2\check{g}, f=\omega^{-1}. Замечание 18.1. Выражение (18.5) можно принять за определение оператора \mathcal H, считая, что \omega – произвольная \Gamma-периодическая функция, удовлетворяющая условиям \omega,\omega^{-1}\in L_\infty, \omega({\mathbf x}) >0, а также условию (18.4). Вернуться к записи вида (18.1) можно, полагая V=-\omega^{-1}({\mathbf D}^*\check{g}{\mathbf D}\omega). Получающийся потенциал V({\mathbf x}) может оказаться сингулярной обобщенной функцией. Оператор (18.5) связан с оператором (17.1) (при g=\omega^2 \check{g}) соотношением {\mathcal H}=\omega^{-1} \widehat{\mathcal A} \omega^{-1}. Пусть g^0 – эффективная матрица для оператора (17.1), найденная в п. 17.1. Функция Q=(f f^*)^{-1} сейчас принимает вид Q({\mathbf x})=\omega^2({\mathbf x}). В силу условия (18.4) выполнено равенство \overline{Q}=1, а потому f_0=(\overline{Q})^{-1/2}=1. Оператор (9.3) сейчас принимает вид Тем самым, {\mathcal H}^0 совпадает с эффективным оператором для оператора \widehat{\mathcal A}={\mathbf D}^*g {\mathbf D}= {\mathbf D}^* \omega^2 \check{g} {\mathbf D}.Матрица \Lambda_Q({\mathbf x}) – это матрица-строка \Lambda_Q({\mathbf x}) =i\bigl(\Phi_{1,Q}({\mathbf x}),\dots,\Phi_{d,Q}({\mathbf x})\bigr), где \Phi_{j,Q} \in \widetilde{H}^1(\Omega) – слабое \Gamma-периодическое решение задачи
\begin{equation*}
\operatorname{div}g({\mathbf x})\bigl(\nabla\Phi_{j,Q}({\mathbf x})+ {\mathbf e}_j\bigr)=0,\quad \int_\Omega\omega^2({\mathbf x})\Phi_{j,Q}({\mathbf x})\,d{\mathbf x}=0.
\end{equation*}
\notag
В силу утверждения 1^\circ предложения 9.1 имеет место равенство \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta})=0 при всех \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1}, т. е. выполнено условие 10.2. Первое собственное значение оператора {\mathcal H}(\mathbf k) допускает степенное разложение
\begin{equation*}
\lambda(t,\boldsymbol{\theta})=\gamma(\boldsymbol{\theta}) t^2+ \nu(\boldsymbol{\theta}) t^4+\cdots,
\end{equation*}
\notag
где \gamma(\boldsymbol{\theta})= \langle g^0 \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}\rangle. (Отметим, что в квантовой механике матрицу (2g^0)^{-1} называют тензором эффективных масс.) 18.2. Усреднение нестационарного уравнения ШрёдингераТеперь рассмотрим оператор
\begin{equation*}
{\mathcal H}_\varepsilon= (\omega^\varepsilon)^{-1}{\mathbf D}^* {g}^\varepsilon {\mathbf D} (\omega^\varepsilon)^{-1},\qquad g^\varepsilon=(\omega^\varepsilon)^2\check{g}^\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Если выполнено условие (18.2), то можно переписать это выражение в исходных терминах:
\begin{equation}
{\mathcal H}_\varepsilon={\mathbf D}^* \check{g}^\varepsilon {\mathbf D}+\varepsilon^{-2}V^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{18.7}
Из-за наличия большого множителя \varepsilon^{-2} перед быстро осциллирующей функцией V^\varepsilon мы называем второе слагаемое в (18.7) “сильно сингулярным потенциалом”. К оператору {\mathcal H}_\varepsilon применимы “улучшенные” результаты: теоремы 15.2, 15.6, 15.13 и следствия 15.4, 15.10, 15.16, а также результаты без сглаживателя: теоремы 15.23, 15.26. Рассмотрим задачу Коши вида (16.36):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {u}_\varepsilon (\mathbf{x}, \tau)}{\partial \tau}= {\mathcal H}_\varepsilon {u}_\varepsilon (\mathbf{x}, \tau), \\ (\omega^\varepsilon({\mathbf x}))^{-1}{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, 0)= \phi({\mathbf x})+\varepsilon\displaystyle\sum_{j=1}^d\Phi_{j,Q}^\varepsilon ({\mathbf x})\,\partial_j(\Pi_\varepsilon \phi)({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{18.8}
Пусть u_0 – решение усредненной задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {u}_0 (\mathbf{x}, \tau)}{\partial \tau}= {\mathcal H}^0 {u}_0 (\mathbf{x}, \tau), \\ {u}_0 (\mathbf{x}, 0) =\phi({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{18.9}
Положим
\begin{equation}
v_\varepsilon=u_0+\varepsilon \sum_{j=1}^d \Phi^\varepsilon_{j,Q}\, \partial_j (\Pi_\varepsilon u_0).
\end{equation}
\tag{18.10}
Применяя теорему 16.11, получаем следующий результат. Предложение 18.2. Пусть {u}_\varepsilon – решение задачи (18.8) и {u}_0 – решение усредненной задачи (18.9). Пусть v_\varepsilon определено в (18.10). Если \phi \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 0 \leqslant s \leqslant 2, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|(\omega^\varepsilon)^{-1}{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {u}_0 (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant C (s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \| {\phi} \|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|(\omega^\varepsilon)^{-1} {u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- {v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant C(s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2} \| {\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 1 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| (\omega^\varepsilon)^{-1} {u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- {v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} \leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2} \| {\phi} \|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ &\|g^\varepsilon\nabla(\omega^\varepsilon)^{-1}{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon\nabla(\Pi_\varepsilon {u}_0) (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2} \|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим теперь задачу Коши вида (16.43):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial \tilde{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, \tau)}{\partial \tau}= {\mathcal H}_\varepsilon \tilde{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, \tau), \\ (\omega^\varepsilon({\mathbf x}))^{-1}\tilde{u}_\varepsilon(\mathbf{x},0)= \phi({\mathbf x})+\varepsilon\displaystyle\sum_{j=1}^d\Phi_{j,Q}^\varepsilon ({\mathbf x})\,\partial_j \phi({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{18.11}
Положим
\begin{equation}
\tilde{v}_\varepsilon=u_0+ \varepsilon \sum_{j=1}^d \Phi^\varepsilon_{j,Q}\,\partial_j u_0.
\end{equation}
\tag{18.12}
Применяя теорему 16.13, получаем следующий результат. Предложение 18.3. Пусть \tilde{u}_\varepsilon – решение задачи (18.11) и {u}_0 – решение усредненной задачи (18.9). Пусть \tilde{v}_\varepsilon определено в (18.12). Если \phi \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 1 \leqslant s \leqslant 2, то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|(\omega^\varepsilon)^{-1} \tilde{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- {u}_0 (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant C (s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2}\| {\phi} \|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|(\omega^\varepsilon)^{-1} \tilde{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \tilde{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant C(s) (1+|\tau|)^{s/4} \varepsilon^{s/2}\| {\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 2 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и 0< \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(\omega^\varepsilon)^{-1} \tilde{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \tilde{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,, \tau)\|_{H^1 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4}\varepsilon^{(s-1)/2} \|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ \|g^\varepsilon\nabla(\omega^\varepsilon)^{-1} \tilde{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,, \tau)- \widetilde{g}^\varepsilon \nabla {u}_0(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} &\leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/4} \varepsilon^{(s-1)/2} \|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
18.3. Периодический магнитный оператор Шрёдингера с малым магнитным потенциалом. ФакторизацияВ пространстве L_2(\mathbb{R}^d), d \geqslant 2, рассмотрим магнитный оператор Шрёдингера
\begin{equation*}
{\mathcal M}=({\mathbf D}- \mathbf{A}({\mathbf x}))^* \check{g}({\mathbf x}) ({\mathbf D}- \mathbf{A}({\mathbf x}))+V({\mathbf x})
\end{equation*}
\notag
с \Gamma-периодическими метрикой \check{g}({\mathbf x}), магнитным потенциалом \mathbf{A}({\mathbf x}) и электрическим потенциалом V({\mathbf x}). Предполагается, что \check{g}({\mathbf x}) – симметричная (d \times d)-матрица-функция с вещественными элементами, причем \check{g},\check{g}^{-1} \in L_\infty и \check{g}({\mathbf x})> 0. Если d \geqslant 3, то предположим дополнительно, что \check{g} \in C^\sigma при некотором показателе 0< \sigma <1. Векторный потенциал \mathbf{A}({\mathbf x}) со значениями в \mathbb{R}^d и вещественный потенциал V({\mathbf x}) подчинены условиям
\begin{equation*}
\mathbf{A} \in L_{2q}(\Omega),\quad V \in L_q(\Omega), \qquad 2q > d.
\end{equation*}
\notag
Точное определение самосопряженного в L_2(\mathbb{R}^d) оператора \mathcal M дается через соответствующую квадратичную форму. За счет добавления к V({\mathbf x}) подходящей постоянной будем считать, что точка \lambda_0=0 является нижним краем спектра оператора \mathcal M. Согласно [113], при сделанных предположениях и при достаточно малом потенциале \mathbf A (по L_{2q}(\Omega)-норме) оператор \mathcal M допускает подходящую факторизацию. Для ее описания рассмотрим семейство операторов {\mathcal M}(\mathbf k) в L_2(\Omega), возникающее при разложении оператора \mathcal M в прямой интеграл. Условие означает, что при некотором \mathbf k_0 \in \widetilde{\Omega} точка \lambda_0 =0 является собственным значением оператора {\mathcal M}(\mathbf k_0). Если потенциал \mathbf{A} достаточно мал, то точка \mathbf k_0 единственна и \lambda_0=0 – простое собственное значение оператора {\mathcal M}(\mathbf k_0). Пусть \eta({\mathbf x}) – соответствующая собственная функция, удовлетворяющая условию нормировки \displaystyle\int_\Omega|\eta({\mathbf x})|^2\,d{\mathbf x}=|\Omega| (выбор фазового множителя не имеет значения). Тогда \eta \in \widetilde{H}^1(\Omega) и \eta, \eta^{-1} \in L_\infty. Как показано в [113], функция \eta({\mathbf x}) является мультипликатором в классах H^1(\mathbb{R}^d) и \widetilde{H}^1(\Omega). Положим
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal M}:=[e^{-i\langle\mathbf k_0,\,{\cdot}\,\rangle}] {\mathcal M}[e^{i\langle \mathbf k_0,\,{\cdot}\,\rangle}].
\end{equation*}
\notag
Ясно, что коэффициенты оператора \widetilde{\mathcal M} периодичны. В силу [113; теоремы 2.7 и 2.8] если норма \|{\mathbf A}\|_{L_{2q}(\Omega)} достаточно мала, то оператор \widetilde{\mathcal M} допускает следующую факторизацию:
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal M}=(\eta^*)^{-1}{\mathbf D}^*{g}{\mathbf D}\eta^{-1}.
\end{equation}
\tag{18.13}
Здесь эрмитова \Gamma-периодическая матрица-функция g({\mathbf x}) имеет вид
\begin{equation}
g({\mathbf x})=|\eta({\mathbf x})|^2\check{g}({\mathbf x})+ i g_2({\mathbf x}),
\end{equation}
\tag{18.14}
где антисимметричная вещественная матрица-функция g_2({\mathbf x}) удовлетворяет уравнению
\begin{equation}
(\operatorname{div} g_2({\mathbf x}))^\top=-2|\eta({\mathbf x})|^2 \check{g}({\mathbf x})\bigl( \mathbf{A}({\mathbf x})-\mathbf k_0)+ 2\operatorname{Im}\bigl(\eta({\mathbf x})^*\check{g}({\mathbf x}) \nabla\eta({\mathbf x}) \bigr).
\end{equation}
\tag{18.15}
Как показано в работе [113], матрица (18.14) положительно определена, причем g,g^{-1} \in L_\infty. Таким образом, оператор (18.13) имеет вид (5.10), причем n=1, m=d, b({\mathbf D})={\mathbf D}, g определено в (18.14), (18.15) и f=\eta^{-1}. Пусть g^0 – эффективная матрица для оператора \widehat{\mathcal A}={\mathbf D}^*g {\mathbf D}. Далее, функция Q=(f f^*)^{-1} имеет вид Q({\mathbf x})=|\eta({\mathbf x})|^2. В силу условия нормировки имеем \overline{Q}=1, а потому f_0=1. Роль оператора (9.3) сейчас играет \widetilde{\mathcal M}^0={\mathbf D}^* g^0 {\mathbf D}. Пусть \lambda(t,\boldsymbol{\theta}) – первое собственное значение оператора \widetilde{\mathcal M}(\mathbf k). Справедливо степенное разложение
\begin{equation*}
\lambda(t,\boldsymbol{\theta})=\gamma(\boldsymbol{\theta}) t^2+ \mu(\boldsymbol{\theta})t^3+\cdots,
\end{equation*}
\notag
здесь \gamma(\boldsymbol{\theta})= \langle g^0 \boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\theta}\rangle. Матрица \Lambda({\mathbf x}) – это матрица-строка
\begin{equation*}
\Lambda({\mathbf x})= i\bigl(\Phi_{1}({\mathbf x}),\dots,\Phi_{d}({\mathbf x})\bigr),
\end{equation*}
\notag
где \Phi_{j} \in \widetilde{H}^1(\Omega) – слабое \Gamma-периодическое решение задачи (17.2). Матрица \Lambda_Q({\mathbf x}) – это матрица-строка
\begin{equation*}
\Lambda_Q({\mathbf x})= i\bigl(\Psi_{1}({\mathbf x}),\dots,\Psi_{d}({\mathbf x})\bigr),
\end{equation*}
\notag
где \Psi_{j} \in \widetilde{H}^1(\Omega) – слабое \Gamma-периодическое решение задачи
\begin{equation*}
\operatorname{div}g({\mathbf x})\bigl(\nabla\Psi_{j}({\mathbf x})+ {\mathbf e}_j\bigr) =0,\qquad \int_\Omega|\eta({\mathbf x})|^2\Psi_{j}({\mathbf x})\,d{\mathbf x}=0.
\end{equation*}
\notag
Опишем оператор \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta}). Поскольку n=1 и \overline{Q}=1, то оператор \widehat{N}_Q(\boldsymbol{\theta})= \widehat{N}_{0,Q}(\boldsymbol{\theta}) действует как умножение на \mu(\boldsymbol{\theta}). Вычисление показывает, что
\begin{equation*}
{\mu}(\boldsymbol{\theta}) = -i \sum_{j,l,k=1}^d \bigl(a_{jlk}-a^*_{jlk}\bigr) \theta_j \theta_l \theta_k+ 2\langle g^0\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\theta}\rangle \sum_{j=1}^d \bigl(\operatorname{Im} \overline{|\eta|^2\Phi_j}\,\bigr)\theta_j,\qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^{d-1},
\end{equation*}
\notag
где коэффициенты a_{jlk} определены в (17.3). См. [29; п. 15.4]. В общем случае \widehat{\mu}(\boldsymbol{\theta}) отлично от нуля. Оператор \widehat{N}_Q({\mathbf D}) третьего порядка имеет вид
\begin{equation}
\widehat{N}_Q({\mathbf D})=\sum_{j,l,k=1}^d \bigl(a_{jlk}-a^*_{jlk}\bigr) \partial_j \partial_l \partial_k+ 2 {\mathbf D}^* g^0 {\mathbf D} \sum_{j=1}^d \bigl(\operatorname{Im} \overline{|\eta|^2 \Phi_j}\,\bigr) D_j.
\end{equation}
\tag{18.16}
18.4. Усреднение нестационарного магнитного уравнения ШрёдингераРассмотрим теперь операторы
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal M}_\varepsilon=\bigl((\eta^\varepsilon)^*\bigr)^{-1} {\mathbf D}^*{g}^\varepsilon{\mathbf D}(\eta^\varepsilon)^{-1},\quad {\mathcal M}_\varepsilon=\bigl[e^{i \varepsilon^{-1} \langle\mathbf k_0,\,{\cdot}\,\rangle}\bigr] \widetilde{\mathcal M}_\varepsilon \bigl[e^{-i\varepsilon^{-1}\langle\mathbf k_0,\,{\cdot}\,\rangle}\bigr].
\end{equation*}
\notag
В исходных терминах имеем
\begin{equation}
{\mathcal M}_\varepsilon=({\mathbf D}- \varepsilon^{-1}{\mathbf A}^\varepsilon)^*\check{g}^\varepsilon({\mathbf D}- \varepsilon^{-1}{\mathbf A}^\varepsilon)+\varepsilon^{-2}V^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{18.17}
Отметим, что выражение (18.17) содержит большие множители \varepsilon^{-1} и \varepsilon^{-2} перед потенциалами {\mathbf A}^\varepsilon и V^\varepsilon соответственно. К оператору \widetilde{\mathcal M}_\varepsilon применимы общие результаты: теоремы 15.1, 15.5, 15.12 и следствия 15.3, 15.9, 15.15. Пусть \check{u}_\varepsilon – решение задачи Коши для нестационарного магнитного уравнения Шрёдингера:
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial\check{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= {\mathcal M}_\varepsilon\check{u}_\varepsilon (\mathbf{x}, \tau), \\ \bigl(\eta^\varepsilon({\mathbf x})\bigr)^{-1}e^{-i\varepsilon^{-1} \langle\mathbf k_0,{\mathbf x}\rangle}\check{u}_\varepsilon(\mathbf{x},0)= \phi({\mathbf x})+\varepsilon\displaystyle\sum_{j=1}^d \Psi_{j}^\varepsilon({\mathbf x})\,\partial_j(\Pi_\varepsilon\phi) ({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{18.18}
Тогда функция {u}_\varepsilon({\mathbf x},\tau)=e^{-i\varepsilon^{-1} \langle \mathbf k_0,{\mathbf x}\rangle} \check{u}_\varepsilon({\mathbf x},\tau) является решением задачи вида (16.36):
\begin{equation*}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= \widetilde{\mathcal M}_\varepsilon{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau), \\ \bigl(\eta^\varepsilon({\mathbf x})\bigr)^{-1}{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)= \phi({\mathbf x})+\varepsilon\displaystyle\sum_{j=1}^d \Psi_{j}^\varepsilon({\mathbf x})\, \partial_j(\Pi_\varepsilon \phi)({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Пусть u_0 – решение усредненной задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{u}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial \tau}= {\mathbf D}^* g^0 {\mathbf D} {u}_0(\mathbf{x},\tau), \\ {u}_0(\mathbf{x},0)=\phi({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{18.19}
Положим
\begin{equation}
v_\varepsilon=u_0+ \varepsilon\sum_{j=1}^d\Psi^\varepsilon_{j}\,\partial_j(\Pi_\varepsilon u_0).
\end{equation}
\tag{18.20}
Пусть w_0 – решение задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {w}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= {\mathbf D}^* g^0 {\mathbf D} {w}_0 (\mathbf{x}, \tau) + \widehat{N}_Q({\mathbf D})u_0({\mathbf x},\tau), \\ {w}_0(\mathbf{x},0)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{18.21}
Здесь оператор \widehat{N}_Q({\mathbf D}) определен в (18.16). Применяя теорему 16.10, получаем следующий результат. Предложение 18.4. Пусть \check{u}_\varepsilon – решение задачи (18.18) и {u}_0 – решение усредненной задачи (18.19). Пусть v_\varepsilon определено в (18.20) и w_0 – решение задачи (18.21). Если \phi \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 0 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|(\eta^\varepsilon)^{-1}e^{-i\varepsilon^{-1} \langle \mathbf k_0,\,{\cdot}\,\rangle} \check{u}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)-{u}_0 (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^d)} \leqslant C (s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3}\|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 3 \leqslant s \leqslant 6, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(\eta^\varepsilon)^{-1} e^{-i \varepsilon^{-1} \langle \mathbf k_0,\,{\cdot}\,\rangle} \check{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- {v}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon w_0(\,{\cdot}\,,\tau)\bigr\|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant C(s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3}\|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если {\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^d), где 1 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(\eta^\varepsilon)^{-1}e^{-i\varepsilon^{-1} \langle\mathbf k_0,\,{\cdot}\,\rangle} \check{u}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)-{v}_\varepsilon (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant C(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \|{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}, \\ &\|g^\varepsilon \nabla (\eta^\varepsilon)^{-1} e^{-i \varepsilon^{-1} \langle \mathbf k_0,\,{\cdot}\,\rangle}\check{u}_\varepsilon(\,{\cdot}\,,\tau)- \widetilde{g}^\varepsilon\nabla(\Pi_\varepsilon {u}_0)(\,{\cdot}\,,\tau) \|_{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad\leqslant C (s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3}\bigl\| {\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
19. Применение общих результатов: двумерное уравнение Паули19.1. Определение двумерного оператора Паули. Факторизация(См. [7; гл. 6, п. 2.1].) Пусть d=2 и магнитный потенциал задается вектор-функцией \mathbf{A}({\mathbf x})=\{ A_1({\mathbf x}),A_2({\mathbf x})\}, где A_j({\mathbf x}), j=1,2, – вещественные \Gamma-периодические функции в \mathbb{R}^2, причем Рассмотрим в L_2(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2) оператор
\begin{equation*}
{\mathcal D}=(D_1-A_1) \sigma_1+(D_2-A_2) \sigma_2,\qquad \operatorname{Dom} {\mathcal D}=H^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\sigma_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_2=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Оператор \mathcal D – это безмассовый оператор Дирака. По определению оператор Паули \mathcal{P} есть квадрат оператора {\mathcal D}:
\begin{equation}
{\mathcal P}={\mathcal D}^2=\begin{pmatrix} P_- & 0 \\ 0 & P_+\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{19.2}
Строгое определение оператора \mathcal P дается через замкнутую в L_2(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2) квадратичную форму
\begin{equation*}
\|{\mathcal D}{\mathbf u}\|^2_{L_2(\mathbb{R}^2)},\qquad {\mathbf u} \in H^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2).
\end{equation*}
\notag
Если \mathbf{A}({\mathbf x}) – липшицева вектор-функция, то блоки P_\pm оператора (19.2) записываются в виде
\begin{equation*}
P_\pm=\bigl(\mathbf{D}- \mathbf{A}({\mathbf x})\bigr)^2\pm B({\mathbf x}), \qquad B({\mathbf x}):=\partial_1 A_2({\mathbf x})-\partial_2 A_1({\mathbf x}).
\end{equation*}
\notag
Функция B({\mathbf x}) имеет смысл напряженности магнитного поля. Воспользуемся известной факторизацией для оператора (19.2). За счет калибровочного преобразования потенциал {\mathbf A} можно подчинить условиям
\begin{equation}
\operatorname{div}{\mathbf A}({\mathbf x})=0, \qquad \int_\Omega\mathbf{A}({\mathbf x})\, d{\mathbf x}=0.
\end{equation}
\tag{19.3}
При условиях (19.1), (19.3) существует единственная вещественная \Gamma-периодическая функция \varphi({\mathbf x}), удовлетворяющая условиям
\begin{equation*}
\nabla\varphi({\mathbf x})=\{A_2({\mathbf x}),-A_1({\mathbf x})\},\quad \int_\Omega \varphi({\mathbf x})\, d{\mathbf x} =0.
\end{equation*}
\notag
Как проверено в [7; гл. 6, п. 2.1], имеет место включение \varphi \in C^\sigma, \sigma=1-2 \rho^{-1}. Положим \omega_\pm({\mathbf x}):=e^{\pm \varphi({\mathbf x})}. Оператор \mathcal P допускает факторизацию вида
\begin{equation}
{\mathcal P}=f_\times ({\mathbf x})b_\times({\mathbf D}) g_\times({\mathbf x}) b_\times({\mathbf D})f_\times({\mathbf x}),
\end{equation}
\tag{19.4}
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, b_\times({\mathbf D})= \begin{pmatrix} 0 & D_1-i D_2 \\ D_1+i D_2 & 0 \end{pmatrix},\qquad f_\times({\mathbf x})=\begin{pmatrix} \omega_+({\mathbf x}) & 0 \\ 0 & \omega_-({\mathbf x}) \end{pmatrix}, \\ g_\times({\mathbf x})=f^2_\times({\mathbf x})= \begin{pmatrix} \omega^2_+({\mathbf x}) & 0 \\ 0 & \omega^2_-({\mathbf x}) \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Блоки P_\pm оператора (19.2) допускают запись
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_+&=\omega_- (D_1+i D_2) \omega_+^2 (D_1-i D_2) \omega_-, \\ P_-&=\omega_+ (D_1-i D_2) \omega_-^2 (D_1+i D_2) \omega_+. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19.5}
Замечание 19.1. (i) Выражения (19.4), (19.5) можно принять за определение операторов \mathcal P и P_\pm, предполагая, что \omega_\pm({\mathbf x}) – произвольные \Gamma-периодические функции, удовлетворяющие условиям
\begin{equation*}
\omega_+,\omega_- \in L_\infty,\quad \omega_\pm({\mathbf x}) > 0,\quad \omega_+({\mathbf x})\omega_-({\mathbf x})=1.
\end{equation*}
\notag
Строго говоря, оператор \mathcal P порождается замкнутой квадратичной формой
\begin{equation*}
{\mathfrak p}[{\mathbf u},{\mathbf u}]= \int_{\mathbb{R}^2} \langle g_\times({\mathbf x}) b_\times({\mathbf D}) f_\times ({\mathbf x}) {\mathbf u}({\mathbf x}), b_\times({\mathbf D}) f_\times ({\mathbf x}){\mathbf u}({\mathbf x})\rangle\, d{\mathbf x},\qquad f_\times {\mathbf u} \in H^1(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2),
\end{equation*}
\notag
а оператор P_\pm отвечает квадратичной форме
\begin{equation*}
{\mathfrak p}_\pm[u,u]=\int_{\mathbb{R}^2} \omega_\pm^2({\mathbf x}) |(D_1 \mp i D_2)\omega_\mp ({\mathbf x}) u({\mathbf x})|^2 d{\mathbf x},\qquad \omega_\mp u \in H^1(\mathbb{R}^2).
\end{equation*}
\notag
(ii) Операторы P_+ и P_- унитарно эквивалентны. Более того, операторы P_+(\mathbf k) и P_-(\mathbf k), действующие в L_2(\Omega), также унитарно эквивалентны. 19.2. Эффективные характеристики операторов P_\pm. УсреднениеОператор P_\pm имеет вид (5.10) при m=n=1, b({\mathbf D})=D_1 \mp i D_2, g({\mathbf x})=\omega_\pm^2({\mathbf x}) и f({\mathbf x})=\omega_\mp({\mathbf x}). Роль оператора \widehat{\mathcal A} для P_\pm играет \widehat{\mathcal A}_\pm=(D_1 \pm i D_2)\omega_\pm^2(D_1 \mp i D_2). Роль функции \Lambda({\mathbf x}) для оператора P_\pm играет \Lambda_\pm({\mathbf x}) – \Gamma-периодическое решение задачи
\begin{equation*}
(D_1 \pm i D_2)\omega_\pm^2({\mathbf x}) \bigl((D_1 \mp i D_2)\Lambda_\pm({\mathbf x})+1\bigr)=0,\quad \int_\Omega \Lambda_\pm({\mathbf x}) \,d{\mathbf x}=0.
\end{equation*}
\notag
Тогда функция \widetilde{g}_\pm({\mathbf x}):=\omega_\pm^2({\mathbf x}) \bigl((D_1 \mp i D_2) \Lambda_\pm({\mathbf x}) +1\bigr) постоянна. Эффективная константа g^0_\pm – это среднее значение функции \widetilde{g}_\pm({\mathbf x}). Следовательно,
\begin{equation*}
\omega_\pm^2({\mathbf x})\bigl((D_1 \mp iD_2)\Lambda_\pm({\mathbf x})+ 1\bigr)=g^0_\pm.
\end{equation*}
\notag
Деля на \omega_\pm^2 и интегрируя по \Omega, получаем
\begin{equation}
g^0_\pm=\underline{\omega_\pm^2}=\biggl(|\Omega|^{-1} \int_\Omega \omega_\mp^2({\mathbf x})\,d{\mathbf x}\biggr)^{-1} =:\omega_{\pm,0}^2.
\end{equation}
\tag{19.6}
(Это согласуется с предложением 6.1: в случае m=n верно равенство g^0=\underline{g}.) Таким образом, \Lambda_\pm({\mathbf x}) является \Gamma-периодическим решением задачи
\begin{equation}
(D_1 \mp i D_2) \Lambda_\pm({\mathbf x})= g^0_\pm \omega^2_\mp({\mathbf x}) -1,\quad \int_\Omega \Lambda_\pm({\mathbf x})\, d{\mathbf x}=0.
\end{equation}
\tag{19.7}
Роль Q({\mathbf x}) для оператора P_\pm играет функция Q_\pm({\mathbf x})=\omega_\pm^2({\mathbf x}). Тогда \overline{Q_\pm}=(g^0_\mp)^{-1}. Роль f_0 играет константа (\overline{Q_\pm})^{-1/2}= (g^0_\mp)^{1/2}=\omega_{\mp,0}. Далее, роль оператора {\mathcal A}^0 для P_\pm играет оператор P^0_\pm, где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P^0_+&=\omega_{-,0}(D_1+i D_2)g_+^0(D_1-i D_2)\omega_{-,0}=-\gamma\Delta, \\ P^0_-&=\omega_{+,0}(D_1-i D_2)g_-^0(D_1+i D_2)\omega_{+,0}=-\gamma\Delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Здесь
\begin{equation}
\gamma:=g^0_+g^0_-=|\Omega|^{2}\|\omega_+\|_{L_2(\Omega)}^{-2} \|\omega_-\|_{L_2(\Omega)}^{-2}.
\end{equation}
\tag{19.8}
Пусть \lambda_\pm(t, \boldsymbol{\theta}) – первое собственное значение оператора P_\pm(\mathbf k) и
\begin{equation*}
\lambda_\pm(t, \boldsymbol{\theta})=\gamma_\pm(\boldsymbol{\theta}) t^2+ \mu_\pm(\boldsymbol{\theta}) t^3+\cdots
\end{equation*}
\notag
– соответствующее разложение в степенной ряд. Поскольку операторы P_+(\mathbf k) и P_-(\mathbf k) унитарно эквивалентны, то \lambda_+(t,\boldsymbol{\theta})=\lambda_-(t,\boldsymbol{\theta}), а тогда и \gamma_+(\boldsymbol{\theta})=\gamma_-(\boldsymbol{\theta}), \mu_+(\boldsymbol{\theta})=\mu_-(\boldsymbol{\theta}). Как показано в [7; гл. 6, § 2], числа \gamma_\pm(\boldsymbol{\theta}) не зависят от \boldsymbol{\theta} и заданы соотношением \gamma_+(\boldsymbol{\theta})=\gamma_-(\boldsymbol{\theta})=\gamma, где \gamma определено в (19.8). Аналогично (19.7) роль \Lambda_Q для оператора P_\pm играет \Lambda_{Q,\pm}({\mathbf x}) – \Gamma-периодическое решение задачи
\begin{equation*}
(D_1 \mp i D_2) \Lambda_{Q,\pm}({\mathbf x})= g^0_\pm \omega^2_\mp({\mathbf x}) -1,\quad \int_\Omega\omega_\pm^2({\mathbf x}) \Lambda_{Q,\pm}({\mathbf x})\, d{\mathbf x}=0.
\end{equation*}
\notag
Ясно, что выполнены соотношения
\begin{equation*}
\Lambda_{Q,\pm}({\mathbf x})=\Lambda_\pm({\mathbf x})+\Lambda^0_\pm,\qquad \Lambda^0_\pm=-g^0_\mp\,\overline{\omega^2_\pm \Lambda_\pm}.
\end{equation*}
\notag
Опишем теперь оператор \widehat{N}_{Q,\pm}(\boldsymbol{\theta}), играющий роль \widehat{N}_{Q}(\boldsymbol{\theta}) для P_\pm; см. [8; п. 12.4]. Имеем
\begin{equation}
\widehat{N}_{Q,\pm}(\boldsymbol{\theta})=-2\gamma(\theta_1 \operatorname{Re} \overline{\omega^2_\pm \Lambda_\pm} \pm\theta_2 \operatorname{Im} \overline{\omega^2_\pm \Lambda_\pm}),\qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^1.
\end{equation}
\tag{19.9}
В соответствии с (9.13),
\begin{equation}
\mu_\pm(\boldsymbol{\theta})=-2 g^0_\mp \gamma(\theta_1\operatorname{Re} \overline{\omega^2_\pm \Lambda_\pm} \pm\theta_2 \operatorname{Im} \overline{\omega^2_\pm \Lambda_\pm}),\qquad \boldsymbol{\theta} \in \mathbb{S}^1.
\end{equation}
\tag{19.10}
Хотя нам известно, что \mu_+(\boldsymbol{\theta})=\mu_-(\boldsymbol{\theta}) =: \mu(\boldsymbol{\theta}), это не так просто усмотреть из (19.10). Вообще говоря, оператор (19.9) не равен нулю тождественно, т. е. условие 10.2 не выполняется. См. [29; пример 16.2]. Оператор \widehat{N}_{Q,\pm}({\mathbf D}) третьего порядка имеет вид
\begin{equation*}
\widehat{N}_{Q,\pm}({\mathbf D})=2\gamma\Delta\bigl((\operatorname{Re} \overline{\omega^2_\pm \Lambda_\pm})D_1 \pm(\operatorname{Im} \overline{\omega^2_\pm \Lambda_\pm})D_2\bigr).
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим теперь операторы
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{+,\varepsilon}&=\omega^\varepsilon_{-} (D_1+i D_2) (\omega_+^\varepsilon)^2 (D_1-i D_2) \omega^\varepsilon_{-}, \\ P_{-,\varepsilon}&=\omega^\varepsilon_{+} (D_1-i D_2) (\omega_-^\varepsilon)^2 (D_1+i D_2) \omega^\varepsilon_{+}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19.11}
Если вектор-функция {\mathbf A}({\mathbf x}) липшицева, то операторы (19.11) можно записать в виде
\begin{equation*}
P_{\pm,\varepsilon}=({\mathbf D}- \varepsilon^{-1}{\mathbf A}^\varepsilon)^2 \pm\varepsilon^{-2}B^\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
К операторам (19.11) применимы теоремы 15.1, 15.5, 15.12 и следствия 15.3, 15.9, 15.15. Поскольку сейчас реализуется случай, когда g^0=\underline{g}, то в силу предложения 14.34 применимы также результаты “без сглаживателя”: теоремы 15.22, 15.25. Рассмотрим задачу Коши вида (16.36):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {u}_{\pm,\varepsilon} (\mathbf{x}, \tau)}{\partial \tau}= P_{\pm,\varepsilon} {u}_{\pm,\varepsilon} (\mathbf{x}, \tau), \\ \omega_\mp^\varepsilon({\mathbf x}) {u}_{\pm,\varepsilon} (\mathbf{x}, 0)= \phi_\pm({\mathbf x})+\varepsilon \Lambda_{Q,\pm}^\varepsilon({\mathbf x}) (D_1 \mp i D_2) (\Pi_\varepsilon \phi_\pm)({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{19.12}
Пусть u_{0,\pm} – решение усредненной задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {u}_{0,\pm}(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= -\gamma\Delta{u}_{0,\pm}(\mathbf{x}, \tau), \\ \omega_{\mp,0}{u}_{0,\pm}(\mathbf{x},0)=\phi_\pm({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{19.13}
Положим
\begin{equation}
v_{\pm,\varepsilon}=\omega_{\mp,0} u_{0,\pm}+ \varepsilon \Lambda^\varepsilon_{Q,\pm}(D_1 \mp i D_2) (\Pi_\varepsilon \omega_{\mp,0} u_{0,\pm}).
\end{equation}
\tag{19.14}
Пусть w_{0,\pm} – решение задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {w}_{0,\pm} (\mathbf{x}, \tau)}{\partial \tau}= -\gamma \Delta {w}_{0,\pm} (\mathbf{x}, \tau)+ g^0_\mp \widehat{N}_{Q,\pm}({\mathbf D}){u}_{0,\pm}(\mathbf{x},\tau), \\ {w}_{0,\pm}(\mathbf{x},0)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{19.15}
Применяя теорему 16.10, получаем следующий результат. Предложение 19.2. Пусть {u}_{\pm,\varepsilon} – решение задачи (19.12) и {u}_{0,\pm} – решение усредненной задачи (19.13). Пусть v_{\pm,\varepsilon} определено в (19.14), а {w}_{0,\pm} – решение задачи (19.15). Если \phi_\pm \in H^{s}(\mathbb{R}^2), где 0 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|\omega_\mp^\varepsilon {u}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,, \tau)- \omega_{\mp,0} {u}_{0,\pm}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^2)} \leqslant C (s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3} \|{\phi}_\pm\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi}_\pm \in H^{s}(\mathbb{R}^2), где 3 \leqslant s \leqslant 6, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\omega_\mp^\varepsilon {u}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- {v}_{\pm,\varepsilon} (\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon\omega_{\mp,0}{w}_{0,\pm}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^2)} \\ &\qquad\leqslant C(s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3} \|{\phi}_\pm\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если {\phi}_\pm \in H^{s}(\mathbb{R}^2), где 1 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\omega_\mp^\varepsilon {u}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- {v}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^2)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \|{\phi}_\pm\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}, \\ &\|(\omega_\pm^\varepsilon)^2(D_1 \mp i D_2)\omega_\mp^\varepsilon {u}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)-g^0_\pm(D_1 \mp i D_2) (\Pi_\varepsilon \omega_{\mp,0} {u}_{0,\pm})(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^2)} \\ &\qquad\leqslant C(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3} \|{\phi}_\pm\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим теперь задачу Коши вида (16.43):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial\tilde{u}_{\pm,\varepsilon}(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau} =P_{\pm,\varepsilon} \tilde{u}_{\pm,\varepsilon} (\mathbf{x}, \tau), \\ \omega_\mp^\varepsilon({\mathbf x})\tilde{u}_{\pm,\varepsilon}(\mathbf{x},0) =\phi_\pm({\mathbf x})+\varepsilon\Lambda_{Q,\pm}^\varepsilon({\mathbf x}) (D_1 \mp i D_2) \phi_\pm({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{19.16}
Пусть u_{0,\pm} – решение прежней усредненной задачи (19.13). Положим
\begin{equation}
\tilde{v}_{\pm,\varepsilon}=\omega_{\mp,0} u_{0,\pm}+ \varepsilon\Lambda^\varepsilon_{Q,\pm}(D_1 \mp i D_2)\omega_{\mp,0}u_{0,\pm}.
\end{equation}
\tag{19.17}
Применяя теорему 16.12, получаем следующий результат. Предложение 19.3. Пусть \tilde{u}_{\pm,\varepsilon} – решение задачи (19.16) и {u}_{0,\pm} – решение усредненной задачи (19.13). Пусть \tilde{v}_{\pm,\varepsilon} определено в (19.17), а {w}_{0,\pm} – решение задачи (19.15). Если \phi_\pm \in H^{s}(\mathbb{R}^2), где 1 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\| \omega_\mp^\varepsilon \tilde{u}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,, \tau)- \omega_{\mp,0}{u}_{0,\pm}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^2)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3}\|{\phi}_\pm\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
Если {\phi}_\pm \in H^{s}(\mathbb{R}^2), где 3 \leqslant s \leqslant 6, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\omega_\mp^\varepsilon\tilde{u}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{v}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon\omega_{\mp,0}{w}_{0,\pm}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^2)} \\ &\qquad\leqslant C(s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3} \|{\phi}_\pm\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если {\phi}_\pm \in H^{s}(\mathbb{R}^2), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\omega_\mp^\varepsilon \tilde{u}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,, \tau)- \tilde{v}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^2)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3} \|{\phi}_\pm\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}, \\ &\|(\omega_\pm^\varepsilon)^2 (D_1 \mp i D_2)\omega_\mp^\varepsilon \tilde{u}_{\pm,\varepsilon}(\,{\cdot}\,, \tau)- g^0_\pm(D_1 \mp i D_2)\omega_{\mp,0} {u}_{0,\pm}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^2)} \\ &\qquad \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \| {\phi}_\pm \|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
19.3. Эффективные характеристики для оператора \mathcal P. УсреднениеОператор \mathcal P имеет вид (5.10) при m=n=2, b({\mathbf D})=b_\times ({\mathbf D}), g({\mathbf x})=g_\times({\mathbf x}) и f({\mathbf x})=f_\times({\mathbf x}). Роль оператора \widehat{\mathcal A} для \mathcal P играет \widehat{\mathcal A}_\times= b_\times ({\mathbf D}) g_\times({\mathbf x}) b_\times ({\mathbf D}). Роль матрицы-функции \Lambda({\mathbf x}) для оператора \mathcal P играет \Lambda_\times({\mathbf x}) – \Gamma-периодическое решение задачи
\begin{equation*}
b_\times ({\mathbf D}) g_\times({\mathbf x})\bigl(b_\times({\mathbf D}) \Lambda_\times({\mathbf x})+{\mathbf 1}\bigr)=0,\quad \int_\Omega \Lambda_\times({\mathbf x}) \,d{\mathbf x} =0.
\end{equation*}
\notag
Легко видеть, что
\begin{equation*}
\Lambda({\mathbf x})=\begin{pmatrix} 0 & \Lambda_-({\mathbf x}) \\ \Lambda_+({\mathbf x}) & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
где периодические функции \Lambda_\pm({\mathbf x}) определены в п. 19.2. Поскольку m=n, эффективная матрица имеет вид
\begin{equation*}
g^0_\times=\underline{g_\times}= \begin{pmatrix} g_+^0 & 0 \\ 0 & g_-^0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
где g^0_\pm определены в (19.6). Роль Q({\mathbf x}) для оператора \mathcal P играет матрица Q_\times({\mathbf x})= (f_\times({\mathbf x}))^{-2}=(g_\times({\mathbf x}))^{-1}. Тогда
\begin{equation*}
\overline{Q_\times}= \begin{pmatrix} (g_+^0)^{-1} & 0 \\ 0 & (g_-^0)^{-1} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Роль матрицы f_0 играет
\begin{equation*}
f_{\times,0}=(\overline{Q_\times})^{-1/2}= \begin{pmatrix} \omega_{+,0} & 0 \\ 0 & \omega_{-,0} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Оператор (9.3) принимает вид
\begin{equation*}
{\mathcal P}^0=f_{\times,0} b_\times({\mathbf D}) g_{\times}^0 b_\times({\mathbf D}) f_{\times,0}= \begin{pmatrix}-\gamma \Delta & 0 \\ 0 &-\gamma \Delta \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Роль \Lambda_Q для оператора \mathcal P играет матрица-функция
\begin{equation*}
\Lambda_{Q,\times}({\mathbf x})= \begin{pmatrix} 0 & \Lambda_{Q,-}({\mathbf x}) \\ \Lambda_{Q,+}({\mathbf x}) & 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
где периодические функции \Lambda_{Q,\pm}({\mathbf x}) определены в п. 19.2. Далее, оператор \widehat{N}_{Q,\times} (\boldsymbol{\theta}), играющий роль оператора \widehat{N}_{Q}(\boldsymbol{\theta}) для \mathcal P, имеет вид
\begin{equation*}
\widehat{N}_{Q,\times}(\boldsymbol{\theta})= -\gamma b_\times(\boldsymbol{\theta})(\overline{Q_\times \Lambda_\times})^* -\gamma(\overline{Q_\times \Lambda_\times}) b_\times(\boldsymbol{\theta}).
\end{equation*}
\notag
Легко видеть, что
\begin{equation*}
\widehat{N}_{Q,\times} (\boldsymbol{\theta})=\begin{pmatrix} \widehat{N}_{Q,-} (\boldsymbol{\theta}) & 0 \\ 0 & \widehat{N}_{Q,+} (\boldsymbol{\theta}) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
где операторы \widehat{N}_{Q,\pm} (\boldsymbol{\theta}) определены в (19.9). Первое собственное значение \lambda(t,\boldsymbol{\theta}) оператора \mathcal{P}(\mathbf k) является двукратным при всех \mathbf k=t \boldsymbol{\theta}, поскольку блоки P_+(\mathbf k) и P_-(\mathbf k) унитарно эквивалентны. Справедливо степенное разложение
\begin{equation*}
\lambda(t,\boldsymbol{\theta})=\gamma t^2+\mu(\boldsymbol{\theta})t^3+\cdots,
\end{equation*}
\notag
где коэффициент \gamma не зависит от \boldsymbol{\theta} и определен в (19.8), а коэффициент \mu(\boldsymbol{\theta}) определен в (19.10). Вообще говоря, \mu(\boldsymbol{\theta}) отлично от нуля. Оператор \widehat{N}_{Q,\times}({\mathbf D}) третьего порядка имеет вид
\begin{equation*}
\widehat{N}_{Q,\times}({\mathbf D})=\gamma\Delta\bigl(b_\times({\mathbf D}) (\overline{Q_\times \Lambda_\times})^*+ (\overline{Q_\times \Lambda_\times})b_\times({\mathbf D})\bigr).
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим теперь оператор
\begin{equation}
{\mathcal P}_{\varepsilon}=f_\times^\varepsilon b_\times({\mathbf D}) g_\times^\varepsilon b_\times({\mathbf D}) f_\times^\varepsilon= \begin{pmatrix} P_{-,\varepsilon} & 0 \\ 0 & P_{+,\varepsilon}\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{19.18}
где блоки определены в (19.11). К оператору (19.18) применимы теоремы 15.1, 15.5, 15.12 и следствия 15.3, 15.9, 15.15. Поскольку сейчас реализуется случай, когда g^0=\underline{g}, то в силу предложения 14.34 применимы также результаты “без сглаживателя”: теоремы 15.22, 15.25. Рассмотрим задачу Коши вида (16.36):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\mathbf{x},\tau)} {\partial\tau}={\mathcal P}_\varepsilon {{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\mathbf{x},\tau), \\ f_\times^\varepsilon({\mathbf x}){{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\mathbf{x},0)= {\boldsymbol{\phi}}({\mathbf x})+\varepsilon \Lambda_{Q,\times}^\varepsilon ({\mathbf x})b_\times({\mathbf D}) (\Pi_\varepsilon{\boldsymbol{\phi}})({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{19.19}
Пусть {\boldsymbol{\phi}}=\operatorname{col}\{\phi_{-},\phi_{+}\}. Ясно, что {{\mathbf u}}_{\varepsilon}= \operatorname{col}\{u_{-,\varepsilon},u_{+,\varepsilon}\}, где u_{\pm,\varepsilon} – решения задач (19.12). Пусть \mathbf{u}_{0} – решение усредненной задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial{{\mathbf u}}_0(\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau}= -\gamma \Delta{{\mathbf u}}_0(\mathbf{x},\tau), \\ f_{\times,0}{{\mathbf u}}_0(\mathbf{x},0)={\boldsymbol{\phi}}({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{19.20}
Ясно, что {{\mathbf u}}_0=\operatorname{col}\{u_{0,-},u_{0,+}\}, где u_{0,\pm} – решения задач (19.13). Положим
\begin{equation}
{{\mathbf v}}_{\varepsilon}=f_{\times,0} {\mathbf u}_{0}+ \varepsilon \Lambda^\varepsilon_{Q,\times} b_\times({\mathbf D}) \Pi_\varepsilon ( f_{\times,0} {\mathbf u}_{0}).
\end{equation}
\tag{19.21}
Тогда {\mathbf v}_\varepsilon= \operatorname{col}\{v_{-,\varepsilon},v_{+,\varepsilon}\}, где v_{\pm,\varepsilon} определены в (19.14). Пусть {\mathbf w}_{0} – решение задачи
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial {{\mathbf w}}_{0} (\mathbf{x}, \tau)}{\partial \tau}= -\gamma\Delta{{\mathbf w}}_{0}(\mathbf{x},\tau)+f_{\times,0}\widehat{N}_{Q,\times} ({\mathbf D}) f_{\times,0} {{\mathbf u}}_{0} (\mathbf{x}, \tau), \\ {{\mathbf w}}_{0}(\mathbf{x},0)=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{19.22}
Тогда {{\mathbf w}}_0=\operatorname{col}\{w_{0,-},w_{0,+}\}, где w_{0,\pm} – решения задач (19.15). Применяя теорему 16.10, получаем следующий результат. Предложение 19.4. Пусть {{\mathbf u}}_{\varepsilon} – решение задачи (19.19) и {{\mathbf u}}_{0} – решение усредненной задачи (19.20). Пусть {\mathbf v}_{\varepsilon} определено в (19.21), а {{\mathbf w}}_{0} – решение задачи (19.22). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2), где 0 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f_\times^\varepsilon {{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- f_{\times,0}{{\mathbf u}}_{0}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^2)} \leqslant C (s) (1+|\tau|)^{s/3} \varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2), где 3 \leqslant s \leqslant 6, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f_\times^\varepsilon{{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- {{\mathbf v}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon f_{\times,0}{{\mathbf w}}_{0}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^2)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2), где 1 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и \varepsilon > 0 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f_\times^\varepsilon{{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- {{\mathbf v}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1(\mathbb{R}^2)}\leqslant C(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}, \\ &\|g_\times^\varepsilon b_\times({\mathbf D})f_\times^\varepsilon {{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)-g^0_\times b_\times({\mathbf D}) (\Pi_\varepsilon f_{\times,0}{{\mathbf u}}_{0}) (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2 (\mathbb{R}^2)} \\ &\qquad\leqslant C (s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим теперь задачу Коши вида (16.43):
\begin{equation}
\begin{cases} i\,\dfrac{\partial\tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\mathbf{x},\tau)} {\partial\tau}={\mathcal P}_\varepsilon \tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\mathbf{x},\tau), \\ f_\times^\varepsilon({\mathbf x})\tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon} (\mathbf{x},0)={\boldsymbol{\phi}}({\mathbf x})+ \varepsilon\Lambda_{Q,\times}^\varepsilon({\mathbf x})b_\times({\mathbf D}) {\boldsymbol{\phi}}({\mathbf x}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{19.23}
Пусть {\boldsymbol{\phi}}=\operatorname{col}\{ \phi_{-},\phi_{+}\}. Тогда \tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon}=\operatorname{col} \{\tilde{u}_{-,\varepsilon},\tilde{u}_{+,\varepsilon}\}, где \tilde{u}_{\pm,\varepsilon} – решения задач (19.16). Пусть {\mathbf u}_0 – решение прежней усредненной задачи (19.20). Положим
\begin{equation}
\tilde{{\mathbf v}}_{\varepsilon}=f_{\times,0}{\mathbf u}_{0}+ \varepsilon \Lambda^\varepsilon_{Q,\times} b_\times({\mathbf D}) (f_{\times,0}{\mathbf u}_{0}).
\end{equation}
\tag{19.24}
Тогда \tilde{{\mathbf v}}_\varepsilon=\operatorname{col} \{\tilde{v}_{-,\varepsilon},\tilde{v}_{+,\varepsilon}\}, где \tilde{v}_{\pm,\varepsilon} определены в (19.17). Применяя теорему 16.12, получаем следующий результат. Предложение 19.5. Пусть \tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon} – решение задачи (19.23) и {{\mathbf u}}_{0} – решение усредненной задачи (19.20). Пусть \tilde{{\mathbf v}}_{\varepsilon} определено в (19.24), а {{\mathbf w}}_{0} – решение задачи (19.22). Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^2; \mathbb{C}^2), где 1 \leqslant s \leqslant 3, то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f_\times^\varepsilon\tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- f_{\times,0}{{\mathbf u}}_{0}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^2)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2), где 3 \leqslant s \leqslant 6, то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедлива оценка
\begin{equation*}
\|f_\times^\varepsilon \tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- \tilde{{\mathbf v}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,\tau)- \varepsilon f_{\times,0}{{\mathbf w}}_{0}(\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^2)} \leqslant C(s)(1+|\tau|)^{s/3}\varepsilon^{s/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
Если \boldsymbol{\phi} \in H^{s}(\mathbb{R}^2;\mathbb{C}^2), где 2 \leqslant s \leqslant 4, то при \tau \in \mathbb{R} и 0 < \varepsilon \leqslant 1 справедливы оценки
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f_\times^\varepsilon \tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon} (\,{\cdot}\,,\tau)-\tilde{{\mathbf v}}_{\varepsilon} (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{H^1 (\mathbb{R}^2)} \leqslant C (s) (1+|\tau|)^{(s-1)/3} \varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}, \\ &\|g_\times^\varepsilon b_\times({\mathbf D})f_\times^\varepsilon \tilde{{\mathbf u}}_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,, \tau)-g^0_\times b_\times({\mathbf D}) f_{\times,0} {{\mathbf u}}_{0} (\,{\cdot}\,,\tau)\|_{L_2(\mathbb{R}^2)} \\ &\qquad\leqslant C(s)(1+|\tau|)^{(s-1)/3}\varepsilon^{(s-1)/3} \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^{s}(\mathbb{R}^2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sus23}
Эта публикация цитируется в следующих 8 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|