Операторные оценки для непериодической перфорации вдоль границы: усредненное условие Дирихле

В работе рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в многомерной области, перфорированной малыми полостями вдоль границы. Предполагается, что размеры всех полостей одного порядка, а их форма и распределение вдоль границы могут быть произвольными. Полости произвольно поделены на два множества. На границах полостей первого множества ставится условие Дирихле, на границах полостей второго множества — третье нелинейное граничное условие. На границе, вдоль которой устроена перфорация, ставится условие Неймана. Предполагается, что полости с условием Дирихле не слишком малые и расположены достаточно часто. Показано, что в таких предположениях при усреднении полости пропадают, а на границе возникает условие Дирихле. Наш основной результат — оценки разности решений усредненной и возмущенной задач в $W_2^1$–норме равномерно по $L_2$–норме правой части.