В. И. Буслаев, “О нижней оценке скорости сходимости многоточечных аппроксимаций Паде кусочно аналитических функций”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:3 (2021), 13–29; Izv. Math., 85:3 (2021), 351

Пусть

$n\in\mathbb N$ ,

$E_n=\{e_{n,1},\dots,e_{n,2n+1}\}$ – множество, состоящее из

$(2n+1)$ -й точки расширенной комплексной плоскости (каждая точка выписана столько раз, какова ее кратность);

$f\in H(E_n)$ , т. е.

$f$ – функция, (кусочно) голоморфная в некоторой окрестности

$E_n$ ;

Многоточечной аппроксимацией Паде порядка

$n$ (в точках множества

$E_n$ ) функции

$f$ называется рациональная функция

$R_n{\kern1pt}{=}{\kern1pt}P_{n}/Q_{n}$ такая, что

$\deg P_{n}{\kern1pt}{\leqslant}{\kern1pt}n$ ,

$\deg Q_{n}\leqslant n$ ,

$Q_{n}\not\equiv 0$ ,

Случай

$e_{n,1}=\dots =e_{n,2n+1}=e$ соответствует классическим диагональным аппроксимациям Паде функции

$f$ в нуле, если

$e=0$ , или в бесконечности, если

$e=\infty$ .

В дальнейшем предполагается, что

$f\in H(E)$ , где

$E$ – компакт в

$\overline{\mathbb C}$ , и множества точек

$E_n=\{e_{n,1},\dots,e_{n,2n+1}\}$ при

$n=1,2,\dots$ образуют лежащую на

$E$ таблицу узлов интерполяции, имеющих определенное распределение:

$\frac{1}{2n}\mu (E_n)\xrightarrow{*} \alpha$ . Здесь и всюду в дальнейшем для всякого конечного множества точек

$A=\{a_1,\dots,a_m\}$ через

$\mu (A)$ обозначается мера

$\mu (A):=\sum_{j=1}^m\delta_{a_j}$ , где

$\delta_{a}$ – мера Дирака в точке

$a$ . Если

$Q$ – многочлен и

$Q^*$ – множество его нулей, выписанных с учетом кратностей, то

$\mu (Q)=\sum_{e\in Q^*}\delta_e$ . Символом

$\mu_n\xrightarrow{*}\mu$ обозначается слабая сходимость мер

$\mu_n$ к мере

$\mu$ при

$n\to\infty$ .

Будем обозначать через

$\mathscr F$ множество компактов

$F$ расширенной комплексной плоскости, представимых в виде

$F=\overline{F}_0$ , где

$F_0$ – конечное объединение открытых непересекающихся аналитических дуг. Внутренней дугой связной компоненты дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ будем называть дугу из

$F_0$ , обе нормали к которой направлены внутрь этой компоненты. Подмножество

$\mathscr F$ , состоящее из компактов, любая связная компонента которых имеет непустую внутреннюю дугу, будем обозначать через

$\mathscr F^\star$ . Подмножество

$\mathscr F^\star$ , состоящее из компактов, все дуги которых являются внутренними (или, что то же самое, дополнение

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ связно), будем обозначать через

$\mathscr F^\vee$ .

$\mathcal{M}(K)$ и

$\mathcal{M}^\ominus (K)$ – множества всех единичных борелевских мер, носители которых принадлежат

$K\subset \overline{\mathbb C}$ или

$\overline{\mathbb C}\setminus K$ соответственно.

$g_K(z,t)$ – функция Грина дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus K$ с особенностью в точке

$z=t$ . Функция

$g_K(z,t)$ считается равной нулю, если точки

$z$ и

$t$ лежат в разных связных компонентах дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus K$ .

$G_K^\alpha (z)=\int g_K(z,t)d\alpha (t)$ – гринов потенциал меры

$\alpha \in \mathcal{M}^\ominus (K)$ .

Если

$F\in\mathscr F$ и

$\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (F)$ , то через

$\widetilde{\alpha}_F$ будем обозначать выметание меры

$\alpha$ на

$F$ , т. е. единственную меру в классе

$\mathcal{M}(F)$ , для которой имеет место равенство

Будем говорить, что компакт

$F$ обладает свойством симметрии во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ (или, что то же самое, говорить, что компакт

$F$ является симметричным компактом во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ ), если

$\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (F)$ ,

$F\in\mathscr F$ , и при всех

$z\in F_0$ имеет место равенство

Подмножества

$\mathscr F$ ,

$\mathscr F^\star$ и

$\mathscr F^\vee$ , состоящие из симметричных компактов во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ , будем обозначать через

$\mathscr F_\alpha$ ,

$\mathscr F^\star_\alpha$ и

$\mathscr F^\vee_\alpha$ соответственно.

Обозначая через

$\operatorname{cap} K$ емкость компакта

$K$ , будем говорить, что последовательность функций

$\{R_n\}_{n=1}^\infty$ сходится по емкости к функции

$f$ на компактах, лежащих в открытом множестве

$\Omega$ :

Через

$\operatorname{cap}_\alpha K$ (определение

$\operatorname{cap}_\alpha K$ см., например, в [3]) будем обозначать емкость компакта

$K$ во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ . Отметим, что если

$\alpha =\delta_\infty$ , то

$\mathscr V^{-\alpha}(z)\equiv 0$ при

$z\in\mathbb C$ ,

$\operatorname{cap}_\alpha K$ совпадает со стандартной (в отсутствие внешнего поля) емкостью

$\operatorname{cap} K$ компакта

$K\subset \mathbb C$ , а выметание на

$K$ меры

$\alpha$ совпадает с равновесной мерой

$K$ .

Если

$\Omega$ – окрестность компакта

$F\in \mathscr F$ , то через

$\mathcal{H}_0(\Omega \setminus F)$ будем обозначать множество функций, голоморфных в

$\Omega\setminus F$ (кусочно голоморфных, если

$\Omega\setminus F$ несвязно), и имеющих непрерывные граничные значения (с двух сторон) на дугах из

$F_0\setminus B$ , где

$B$ – некоторый компакт нулевой емкости, при этом скачок

$\chi_f$ не имеет нулей на

$F_0\setminus B$ .

Если

$E$ – объединение непересекающихся континуумов в

$\overline{\mathbb C}$ (некоторые из которых, возможно, вырождаются в точку), то через

$\mathcal{A}(E)$ будем обозначать класс функций

$f$ , голоморфных на

$E$ и таких, что каждое сужение

$f|_{E_j}$ на континуум

$E_j$ имеет аналитическое продолжение вдоль любого пути в

$\overline{\mathbb C}$ , не проходящего через конечное число точек, хотя бы одна из которых является точкой ветвления функции (при этом не предполагается, что аналитические ростки

$f|_{E_j}$ ,

$j=1,\dots,m$ , являются ростками одной и той же функции). При

$f\in \mathcal{A}(E)$ через

$\mathscr K_{E,f}$ будем обозначать множество не пересекающихся с

$E$ компактов, вне которых

$f$ – однозначная голоморфная функция.

Центральное место в теории многоточечных аппроксимаций Паде занимают вопросы сходимости аппроксимаций в зависимости от свойств приближаемой функции

$f\in H(E)$ и свойств таблицы интерполяции

$\{E_n\}_{n=1}^\infty\subset E$ .

В [4] Г. Шталь доказал следующую фундаментальную теорему о сходимости классических аппроксимаций Паде, положившую начало многочисленным последующим исследованиям в этом направлении.

Отметим, что в теореме Шталя доказано как существование симметричного компакта

$F\in \mathscr F_{\delta_\infty}^\vee$ , так и сходимость по емкости классических аппроксимаций Паде вне

$F$ . Простые примеры показывают, что равномерной сходимости аппроксимаций в предположениях теоремы Шталя нет.

В [1] А. А. Гончар и Е. А. Рахманов в предположении существования симметричного компакта доказали весьма общую теорему о сходимости многоточечных аппроксимаций Паде.

Вопрос существования компакта

$F$ , удовлетворяющего свойствам, перечисленным в теореме Гончара–Рахманова, требует специального изучения. Этот вопрос решается по-разному в зависимости от рассматриваемой задачи (см., например, [5]–[8]). Для многих компактов

$E$ (в частности, для

$E=\{e_1,\dots,e_m\}$ , см. ниже теорему 2, являющуюся

$m$ -точечным аналогом теоремы Шталя) удается доказать, что если

$f\in \mathcal{A}(E)$ , то симметричным компактом во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ является компакт, имеющий наименьшую емкость во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ среди всех компактов

$K\in\mathscr K_{E,f}$ . В этой связи отметим, что условие

$f\in \mathcal{H}_0(\overline{\mathbb C}\setminus F)$ означает, что удаление из

$F$ любой сколь угодно малой дуги

$\gamma$ приводит к исчезновению свойства голоморфности функции

$f$ в более широкой области

$\overline{\mathbb C}\setminus (F\setminus \gamma)$ . Следовательно, симметричный компакт

$F$ в теореме Гончара–Рахманова фактически обладает условием минимальности емкости.

Восходящий к известной проблеме Чеботарёва (подробнее см. [9]) вопрос существования компакта наименьшей емкости, в свою очередь, тоже требует специального изучения (см., например, [10]–[12]) и, как показано в [13], не всегда положительно решается. В этой связи отметим, что границы множеств сходимости предельно периодических

$T$ -дробей,

$C$ -дробей и многих других непрерывных дробей практически всегда оказываются симметричными компактами во внешнем поле, определяемом параметрами непрерывной дроби (см. [14]–[18]). Это наблюдение опирается с одной стороны на полученные в [19] явные формулы для компактов

$F$ , являющихся границей множества сходимости предельно периодических непрерывных дробей, позволяющие явно вычислить емкость

$F$ в соответствующем внешнем поле, а с другой – на полученный в [20] многоточечный аналог известной теоремы Полиа о верхней оценке ганкелевых определителей ростка голоморфной функции посредством емкости границы всевозможных его мероморфных продолжений. Точнее, с помощью многоточечного аналога теоремы Полиа показывается, что явно вычисленная емкость границы

$F$ минимальна по отношению к любому мероморфному продолжению ростка представляющей непрерывную дробь функции. В частности, в [20] найдено достаточное условие существования симметричного компакта во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ в терминах многоточечных ганкелевых определителей функции (см. ниже теорему 3). В [21] показано, что компакт симметричен во внешнем поле, создаваемым потенциалом некоторой меры, тогда и только тогда, когда его полный прообраз при рациональном отображении симметричен во внешнем поле, создаваемым потенциалом прообраза меры при том же рациональном отображении.

Отметим, что в предложенном А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым доказательстве их теоремы условие связности дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ играет весьма существенную роль. Более того, в [2] указан пример, из которого видно, что без условия связности дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ утверждения теоремы Гончара–Рахманова могут не выполняться. Вместе с предъявленным примером (в котором роль компакта

$F$ может играть любая окружность) в [2] показано, что, сохраняя утверждение

$(i)$ и верхнюю оценку

В данной статье доказывается, что наряду с верхней оценкой сохраняется и нижняя оценка

Как следствие теоремы 1 и полученных в [22] и [20] утверждений (в которых присутствуют верхние, но отсутствуют нижние оценки скорости сходимости аппроксимаций Паде) имеем следующие две теоремы, первая из которых является

$m$ -точечным аналогом теоремы Шталя.

Обратим внимание на то, что в теоремах 2 и 3 доказывается существование компакта

$F\in \mathscr F_\alpha$ , однако утверждения (i) и (ii) доказываются при дополнительном предположении

$F\in \mathscr F^\star_\alpha$ . В некоторых случаях условие

$F\in \mathscr F^\star_\alpha$ может быть получено за счет известного расположения точек ветвления аналитических продолжений функции

$f\in \mathcal{A}(E)$ . В частности, в теореме 2 при

$m=2$ ,

$E=\{0,\infty\}$ ,

$\alpha =(\delta_0+\delta_\infty)/2$ , и предположении, что хотя бы одна точка ветвления продолжения ростка функции

$f$ в нуле по модулю меньше хотя бы одной точки ветвления продолжения ростка функции

$f$ в бесконечности, то выполняется условие

$F\in \mathscr F^\star_\alpha$ (см. [2; теорема 1]).

Нижние оценки скорости сходимости аппроксимаций Паде в теоремах 1, 2 и 3 будут получены как следствие теоремы 4 об асимптотическом распределении нулей многочленов, удовлетворяющих соотношениям ортогональности с комплексным голоморфным весом на компакте

$F\in \mathscr F_\alpha^\star$ .

В случае

$F\in \mathscr F_\alpha^\vee$ , теорема 4 доказана в [1; теорема 3], причем в более сильном варианте, в котором

$\psi$ – произвольная гармоническая в

$\Omega$ функция (т. е. не обязательно вида

$\psi =\mathscr V^{-\alpha}$ ,

$\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (\overline{\Omega})$ ). Несущественное условие теоремы

$F\subset \{|z|<1\}$ связано со сферической нормировкой многочленов

$Q_n$ в утверждении (ii) (подробнее см. замечание в [1; теорема 3]).

Неполный вариант теоремы 4, в котором имеется утверждение (i) и только лишь верхняя оценка

Доказательство теоремы 4

Докажем, что наряду с полученной в [2] верхней оценкой (9) в теореме 4 имеет место и нижняя оценка (10). Доказательство будем вести в соответствии со схемой рассуждений, изложенной А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым в [1; теорема 3]. Имеют место следующие леммы.

Пусть

$L$ – простая аналитическая дуга и

$z_0$ – внутренняя точка

$L$ . Существуют окрестность

$\mathscr U$ точки

$z_0$ и конформное отображение

$\varphi \colon \mathscr U\to U_1$ (

$U_1$ – открытый единичный круг) такое, что

Перед формулировкой леммы 3 заметим, что простым следствием симметрии компакта

$F$ во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ (см. (5)) является свойство симметрии потенциала

$\mathscr V^{\widetilde{\alpha}-\alpha}$ относительно отображения

$z\to z^*$ , заключающееся в том, что для каждой точки

$z_0\in F_0$ существует

$*$ -симметричная окрестность

$\mathscr U$ такая, что

Заметим, что

$F_{\gamma}$ строго лежит в

$F$ (так как

$\gamma\neq\varnothing$ ), а условие симметрии компакта

$F$ во внешнем поле

$\mathscr V^{-\alpha}$ влечет за собой непустоту носителя сужения меры

$\alpha$ на связную компоненту

$D$ (см. [2; предложение 1]). Поэтому

$\mu =\widetilde{\alpha}_{F_\gamma}\neq \widetilde{\alpha}_F=\widetilde{\alpha}$ . Утверждения (i)–(v) леммы 3 доказаны в [2] для всех мер

$\mu\neq \widetilde{\alpha}$ ,

$|\mu|\leqslant 1$ , но с заменой требования

$z_0\in \gamma \setminus B$ менее жестким требованием

$z_0\in F_0 \setminus B$ . Этот более общий по отношению к мере

$\mu$ вариант леммы 3 потребовался для доказательств утверждения (i) и верхней оценки (9) в утверждении (ii) теоремы 4 (в этих доказательствах вид меры

$\mu\neq \widetilde{\alpha}$ заранее не известен). Для доказательства нижней оценки (10) требуются утверждения (i)–(v) с какой угодно фиксированной мерой

$\mu\neq \widetilde{\alpha}$ , однако при наличии требования

$z_0\in \gamma \setminus B$ . Утверждения (i)–(v) при наличии требования

$z_0\in \gamma \setminus B$ могут быть получены не только для меры

$\mu =\widetilde{\alpha}_{F_\gamma}$ , но и для других фиксированных мер

$\mu \neq\widetilde{\alpha}_{F}$ , однако для меры

$\mu =\widetilde{\alpha}_{F_\gamma}$ имеется фактически уже готовое доказательство, изложенное в [1; лемма 9] для случая произвольной меры

$\mu\neq \widetilde{\alpha}$ и связного дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ (в случае связного дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ требования

$z_0\in \gamma \setminus B$ и

$z_0\in F_0 \setminus B$ фактически совпадают, так как все граничные дуги являются внутренними). В связи с вышесказанным утверждения (i)–(v) сформулированы в лемме 3 в виде, не использующем конкретный вид меры

$\mu =\widetilde{\alpha}_{F_\gamma}$ . Некоторые отличия доказательства леммы 3 от доказательства [1; лемма 9] сосредоточены в доказательстве ключевого для леммы (явно не сформулированного в [1; лемма 9]) утверждения.

Доказательство. Рассмотрим функцию

$\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$ . Так как

$\mu =\widetilde{\alpha}_{F_{\gamma}}$ и

$\widetilde{\alpha} =\widetilde{\alpha}_F$ , то

$\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$ – функция, гармоническая в

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ и субгармоническая (отличная от тождественной постоянной) в

$D_\gamma =D\cup \gamma$ , где

$D$ связная компонента

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ , для которой

$\gamma$ является внутренней граничной дугой. Кроме того, функция

$\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$ постоянна на

$F_{\gamma}$ . Поэтому

$\begin{equation*} \mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}(z)\begin{cases}=M, &z\in F_{\gamma},\\ <M, &z\in D_\gamma.\end{cases} \end{equation*} \notag$

В частности,

$\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}(z)<M$ при

$z\in \gamma$ . Следовательно,

$\begin{equation} \min_{z\in \gamma} \mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}(z)=\min_{z\in F} \mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}(z)<\min_{z\in F_{\gamma}} \mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}(z). \end{equation} \tag{12}$

Положим

$\begin{equation*} w_\eta^0(t)=\min_{z\in F} W_\eta (z;t),\qquad w_\eta^1(t)=\min_{z\in F_{\gamma}} W_\eta (z;t),\qquad w_\eta^2(t)=\min_{z\in \partial \Omega} W_\eta (z;t). \end{equation*} \notag$

При

$t=0$ величины

$w_\eta^0(0)$ ,

$w_\eta^1(0)$ и

$w_\eta^2(0)$ не зависят от

$\eta$ , а функция

$W_\eta$ совпадает с

$\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$ . Поэтому в силу (12)

$w_\eta^0(0)<w_\eta^1(0)$ . Кроме того, по принципу минимума для гармонической в

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ функции

$\mathscr V^{\mu -\widetilde{\alpha}}$ имеем неравенство

$w_\eta^0(0)<w_\eta^2(0)$ . С другой стороны, нетрудно убедиться в том, что

$\begin{equation*} \lim_{t\to 0}w_\eta^j(t)=w_\eta^j(0),\qquad j=0,1,2, \end{equation*} \notag$

равномерно по

$\eta\in \mathcal{M}(\overline{\Omega})$ . Отсюда следует, что существует

$t$ такое, что

$\begin{equation} w_\eta^0(\tau)<w_\eta^1(\tau)\quad\text{и}\quad w_\eta^0(\tau)<w_\eta^2(\tau)\quad \forall \, \tau\in [0,t],\quad \forall \, \eta\in \mathcal{M}(\overline{\Omega}). \end{equation} \tag{13}$

Фиксируем какое-либо $t\in (0,1/2)$ , для которого справедливо (13). Так как исключительный компакт $B$ имеет нулевую емкость, то существует мера $\eta_1\in \mathcal{M}(B)$ , для которой

$\begin{equation*} \mathscr V^{\eta_1}(z)\equiv +\infty,\qquad z\in B. \end{equation*} \notag$

В силу первого из неравенств (13) функция

$W_{(1/2)\eta_1}(z;t)$ достигает минимума на

$F$ в точках множества

$\gamma \setminus B$ (напомним, что множество

$B$ содержит все концевые точки аналитических дуг из

$F$ ); фиксируем любую точку

$z_0\in \gamma \setminus B$ , в которой достигается минимум этой функции, и фиксируем произвольную меру

$\eta_2\in \mathcal{M}(F)$ такую, что

$\begin{equation*} z_0\notin S(\eta_2)\quad\text{и}\quad \mathscr V^{\eta_2}(z_0)<\mathscr V^{\eta_2}(z) \quad\text{при}\quad z\in F\setminus \{z_0\} \end{equation*} \notag$

(например, пусть

$D$ – открытое множество, содержащее

$z_0$ , и

$\eta_2$ – робэновское распределение для

$F\setminus D$ ; варьируя множество

$D$ , нетрудно добиться, чтобы мера

$\eta_2$ обладала нужными свойствами). Положим

$\eta =\frac12(\eta_1+\eta_2)$ .

Супергармоническая в $\Omega\setminus F$ функция $W_\eta (z)=W_\eta (z;t)$ имеет в точке $z_0$ строгий минимум по $F$ и, в силу второго из неравенств (13)

$\begin{equation*} W_\eta (z_0)<W_\eta (z),\qquad z\in \overline{\Omega}\setminus \{z_0\}. \end{equation*} \notag$

Выбирая положительное число

$r$ столь малым, чтобы имели место соотношения

$U_{z_0,r}\subset\Omega$ и

$S(\eta)\cap U_{z_0,r}=\varnothing$ , убеждаемся в справедливости леммы 4.

Дальнейшее дословное воспроизведение рассуждений, изложенных в [1; лемма 9], показывает, что лемма 3 является следствием леммы 4.

Доказательство теоремы 4. Имея в своем распоряжении леммы 1, 2 и 3, докажем равенство (8). Пусть

$\begin{equation*} A_n (z)=\oint_F\frac{Q_n^2(t)\Psi_n(t)f(t)\, dt}{t-z}. \end{equation*} \notag$

Если

$p_n(t)$ – произвольный многочлен степени не выше

$n$ , то при любом фиксированном

$z\in\mathbb C$ дробь

${(p_n(t)-p_n(z))}/{(t-z)}$ является многочленом по

$t$ степени не выше

$n-1$ . Поэтому из условий ортогональности (7) имеем равенство

$\begin{equation*} \oint_F(Q_n\Psi_nf)(t)\frac{p_n(t)-p_n(z)}{t-z}\, dt=0. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation} \oint_F\frac{(Q_np_n\Psi_nf)(t)}{t-z}\, dt=p_n(z)\oint_F\frac{(Q_n\Psi_nf)(t)}{t-z}\, dt. \end{equation} \tag{14}$

В частности, это же равенство имеет место и при $p_n=Q_n$ . Поэтому

$\begin{equation*} A_n (z)=Q_n(z)\oint_F\frac{(Q_n\Psi_nf)(t)}{t-z}\, dt. \end{equation*} \notag$

Отсюда и из (14) получаем равенство

$\begin{equation} A_n (z)=\frac{Q_n(z)}{p_n(z)}\oint_F\frac{(Q_np_n\Psi_nf)(t)}{t-z}\, dt, \end{equation} \tag{15}$

где

$p_n(t)$ – произвольный многочлен степени не выше

$n$ .

Предположим, что доказываемое равенство (10), переписанное в виде равенства

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\operatorname{cap}\{z\in\overline{\mathbb C}\setminus F\colon |A_n(z)|^{1/n}< e^{-2\omega_F^{\alpha}}-\varepsilon\}=0, \end{equation*} \notag$

не выполняется. Тогда с учетом доказанной в [2] верхней оценки (9), пользуясь теоремой о двух константах, нетрудно показать, что найдется связная компонента

$D$ дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ такая, что для любого компакта

$K\subset D$ имеет место неравенство

$\begin{equation} \varliminf_{n\to\infty}\frac1n\log |A_n(z)|\leqslant \omega (K)<-2\omega_F^{\alpha}\, \quad\text{равномерно на }K. \end{equation} \tag{16}$

Обратим внимание на то, что неравенство (16) может не выполняться для компактов, лежащих в

$(\overline{\mathbb C}\setminus F)\setminus D$ (этой трудности нет в рассмотренном в [1] случае связного дополнения

$\overline{\mathbb C}\setminus F$ ). Для преодоления именно этой трудности и требуется лемма 3 в модернизированном, по сравнению с [1; лемма 9], виде.

Итак, пусть $D$ – связная компонента дополнения $\overline{\mathbb C}\setminus F$ , в которой имеет место неравенство (16), и пусть $\gamma$ – непустая внутренняя дуга области $D$ , существующая по предположениям теоремы 4, $\mu$ – выметание меры $\alpha$ на $F_{\gamma}: =F\setminus \gamma$ . По лемме 3 существуют точка $z_0\in\gamma\setminus B$ , ее $*$ -симметричная окрестность $\mathscr U$ и мера $\sigma$ такие, что $\mathscr U\cap F_{\gamma}=\varnothing$ и справедливы утверждения (i)–(v) леммы 3 с множеством $B\subset F$ нулевой емкости, включающим в себя концевые точки дуг из $F_0\subset F$ и точки, в которых $\chi_f=0$ , где $\chi_f$ – скачок на $F$ функции $f$ .

Выберем последовательность многочленов $p_n$ такую, что

$\begin{equation} \mu (p_n)|_\mathscr U=(\mu (Q_n) |_\mathscr U)^*,\qquad \mu (p_n)|_{\mathbb C\setminus\mathscr U}=(\mu (Q_n) |_{\mathbb C\setminus\mathscr U},\qquad \deg p_n\leqslant n. \end{equation} \tag{17}$

Положим

$\begin{equation} B_n (z)=\oint_F\frac{Q_n(t)p_n(t)\Psi_n(t)f(t)\, dt}{t-z}. \end{equation} \tag{18}$

Из равенства (15) следует, что

$\begin{equation} B_n (z)=\biggl(\frac{p_n}{Q_n}A_n\biggr)(z). \end{equation} \tag{19}$

По доказанному в [2] утверждению (i) теоремы 4 имеем $\frac1n\mu (Q_n)\xrightarrow{*}\widetilde{\alpha}$ . Отсюда и из условий (17), наложенных на многочлены $p_n$ , следуют, во-первых, соотношения

$\begin{equation} \frac1n\mu (p_n)\xrightarrow{*} \widetilde{\alpha}\quad\text{и}\quad \frac1n\mu (Q_np_n)\xrightarrow{*} 2\widetilde{\alpha}, \end{equation} \tag{20}$

и, во-вторых, равенство

$\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{p_n(z)}{Q_n(z)}\biggr|^{1/n}= 1, \end{equation} \tag{21}$

равномерное на компактных подмножествах

$\overline{\mathbb C}\setminus (F\cup \mathscr U)$ .

Фиксируем некоторое малое $\varepsilon >0$ . Так как $(\mu +\sigma) |_\mathscr U=((\mu +\sigma) |_\mathscr U)^*$ по свойству (ii) леммы 3, то можно построить последовательность многочленов $s_n$ , для которых выполняются условия

$\begin{equation} \frac1n\mu (s_n)\xrightarrow{*}\varepsilon (\mu +\sigma),\qquad \mu (s_n)|_\mathscr U=(\mu (s_n) |_\mathscr U)^* \end{equation} \tag{22}$

и все нули

$s_n$ на

$F\cap\mathscr U$ имеют четную кратность.

Положим $P_n=Q_np_ns_n$ и покажем, что функции $\Psi_n^{1+\varepsilon}$ и многочлены $P_n$ удовлетворяют условиям леммы 2 на $L=\gamma\cap\overline{\mathscr U}$ . Действительно, в силу (6)

$\begin{equation*} \frac1n\log \frac{1}{|\Psi_n^{1+\varepsilon}(z)|}\rightrightarrows 2(1+\varepsilon)\psi (z)=(1+\varepsilon)\mathscr V^{-2\alpha}(z),\qquad z\in \mathscr U, \end{equation*} \notag$

в силу (20) и (22)

$\begin{equation*} \nu_n=\frac1n\mu (P_n)\xrightarrow{*}\nu =2\widetilde{\alpha}+\varepsilon (\mu +\sigma), \end{equation*} \notag$

а в силу (22) и (17)

$\begin{equation*} (\nu_n |_\mathscr U)^*=\nu_n|_\mathscr U\quad\text{и все нули }P_n\text{ на } L=\gamma\cap\overline{\mathscr U}\text{ имеют четную кратность}. \end{equation*} \notag$

Поэтому из равенств

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, (\mathscr V^{\nu}+(1+\varepsilon)\mathscr V^{-2\alpha})(z)=(\mathscr V^{2\widetilde{\alpha}+\varepsilon (\mu +\sigma)}+\mathscr V^{-2(1+\varepsilon)\alpha})(z)=\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma-2\alpha)}, \\ \mathscr V^{\widetilde{\alpha}-\alpha}(z)=-G_F^\alpha (z)+\omega_F^\alpha=\omega_F^\alpha,\qquad z\in F, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

свойства (11) симметрии потенциала

$\mathscr V^{\widetilde{\alpha}-\alpha}$ , а также из утверждений (iv)–(v) леммы 3 следуют предположения (ii)–(iii) леммы 2 для многочленов

$P_n=Q_np_ns_n$ и функций

$\Psi_n^{1+\varepsilon}$ на дуге

$L=\gamma\cap\overline{\mathscr U}$ .

По лемме 2 существует последовательность многочленов $q_n$ с нулями в $\mathscr U$ , $\deg q_n=o(n)$ , $n\to\infty$ , такая, что

$\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\biggl|\int_L(P_nq_n\Psi_n^{1+\varepsilon}\chi_f(\tau)\, d\tau \biggr|^{1/n}= e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m}, \end{equation} \tag{23}$

где

$\begin{equation} m=\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z_0). \end{equation} \tag{24}$

Пусть $\overline{\mathbb C}\setminus F=\bigcup_{j=1}^mD_j$ (легко видеть, что $m<\infty$ , так как $F$ является объединением замыканий конечного числа аналитических дуг), и пусть для определенности $D=D_1$ (напомним, что $D$ – это связная компонента $\overline{\mathbb C}\setminus F$ , в которой имеет место неравенство (16)). Будем считать, что $m\geqslant 2$ , так как иначе все уже доказано в [1]. Введем в рассмотрение систему контуров $\Gamma =\bigcup_{j=1}^m\Gamma_j$ , где $\Gamma_j$ – контур, лежащий в $D_j\cap\Omega$ и отделяющий $\partial D_j$ от $\partial \Omega$ , причем контур $\Gamma_1$ не пересекается с окрестностью $\mathscr U$ точки $z_0$ . Положим

$\begin{equation} m^*=\min_{z\in \bigcup_{j=2}^m\Gamma_j}\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z). \end{equation} \tag{25}$

Так как

$\mathscr V^{-2\alpha}$ – гармоническая в

$\Omega$ функция (в силу условия

$\alpha\in \mathcal{M}^{\ominus}(\overline{\Omega})$ ), то из полунепрерывности снизу потенциала

$\mathscr V^{\mu +\sigma}$ и неравенства

$\begin{equation*} \min_{z\in F_{\gamma}}\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z)>\mathscr V^{\mu +\sigma -2\alpha}(z_0)=m \end{equation*} \notag$

(являющегося следствием свойства (v) леммы 3) вытекает, что контуры

$\Gamma_j$ ,

$j=2,\dots,m$ , можно выбрать столь близкими к

$F_{\gamma}$ , чтобы выполнялось неравенство

$\begin{equation} m^*>m. \end{equation} \tag{26}$

Для контура $\Gamma_1$ в силу (16) имеем равномерное на $\Gamma_1$ неравенство

$\begin{equation} \varliminf_{n\to\infty}|A_n(z)|^{1/n}\leqslant e^{\omega (\Gamma_1)},\quad\text{где}\quad \omega (\Gamma_1)<-2\omega_F^\alpha. \end{equation} \tag{27}$

Пусть $s_n$ , $p_n$ , $P_n$ , $q_n$ – многочлены, введенные выше. Из равенств (19), (21) и неравенств (9), (27) получаем оценку

$\begin{equation} \lim_{n\in\Lambda}|B_n(z)|^{1/n}\leqslant \begin{cases}e^{\omega (\Gamma_1)}<e^{-2\omega_F^\alpha}, &z\in\Gamma_1,\\ e^{-2\omega_F^\alpha}, &z\in{\displaystyle\bigcup_{j=2}^m\Gamma_j},\end{cases} \end{equation} \tag{28}$

где

$\Lambda$ – некоторая подпоследовательность натуральных чисел.

Рассмотрим теперь последовательность

$\begin{equation*} I_n=\biggl|\int_\Gamma (s_nq_nB_n\Psi_n^\varepsilon)(t)\, dt\biggr|. \end{equation*} \notag$

Так как

$\begin{equation*} \deg q_n=o(n),\qquad\frac1n\mu (s_n)\xrightarrow{*}\varepsilon (\mu +\sigma),\qquad \frac 1n\log\frac1{|\Psi_n^\varepsilon (z)|}\rightrightarrows\varepsilon \mathscr V^{-2\alpha}(z),\quad z\in\Omega, \end{equation*} \notag$

то из леммы 1, (28) и (25) следует, что

$\begin{equation*} \varlimsup_{n\in\Lambda}I_n^{1/n}\leqslant\max_{1\leqslant j\leqslant m}\biggl(\lim_{n\in\Lambda}\int_{\Gamma_j}|(s_nq_nB_n\Psi_n^\varepsilon)(t)\, dt|\biggr)^{1/n} \leqslant \max \{e^{\omega (\Gamma_1)-\varepsilon m}, e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m^*}\}. \end{equation*} \notag$

Учитывая, что

$\omega (\Gamma_1)<-2\omega_F^\alpha$ (см. (27)) и

$m^*>m$ (см. (26)), отсюда получаем строгое неравенство

$\begin{equation} \varlimsup_{n\in\Lambda}I_n^{1/n}< e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m}. \end{equation} \tag{29}$

С другой стороны, с учетом определения (18) функции $B_n(z)$ имеем равенство

$\begin{equation} \begin{aligned} \, I_n &=\biggl|\int_\Gamma (s_nq_n\Psi_n^\varepsilon)(t)\biggl(\oint_F \frac{(Q_np_n\Psi_nf)(\tau)\, d\tau}{\tau -t}\biggr)\, dt\biggr| \nonumber \\ &=\biggl|\oint_F(Q_np_n\Psi_nf)(\tau)\biggl(\int_\Gamma \frac{(s_nq_n\Psi_n^\varepsilon)(t)\, dt}{\tau -t}\biggr)\, d\tau \biggr|=\biggl|2\pi i\oint_F(P_nq_n\Psi_n^{1+\varepsilon}f)(\tau)\, d\tau \biggr|. \end{aligned} \end{equation} \tag{30}$

Деформируем контур интегрирования интеграла в правой части последнего равенства так, чтобы две его дуги совместились (с разных сторон) с дугой

$L=\gamma\cap \overline{\mathscr U}$ . Для интеграла по этим двум дугам, совмещающимся с

$L$ , имеем равенство (23). Оценим далее интеграл в правой части (30) по оставшейся части контура

$F$ . Пусть

$U_{z_0,\delta}$ – окрестность

$z_0$ ,

$\overline{U}_{z_0,\delta}\subset \mathscr U$ . По утверждению (v) леммы 3 для компакта

$F\setminus U_{z_0,\delta}$ справедливо неравенство

$\begin{equation*} \mathscr V^{\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z_0)<\min_{F\setminus U_{z_0,\delta}}\mathscr V^{\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z), \end{equation*} \notag$

эквивалентное с учетом (4) неравенству

$\begin{equation*} \mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z_0)<\min_{F\setminus U_{z_0,\delta}}\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z). \end{equation*} \notag$

Так как

$\mathscr V^{-2(1+\varepsilon)\alpha}$ – гармоническая в

$\Omega$ функция (в силу условия

$\alpha\in \mathcal{M}^\ominus (\overline{\Omega})$ ), то из полунепрерывности снизу потенциала

$\mathscr V^{2\widetilde{\alpha}+\varepsilon (\mu +\sigma)}$ вытекает, что то же неравенство справедливо в некоторой окрестности компакта

$F\setminus U_{z_0,\delta}$ . Теперь ясно, что оставшуюся часть

$L^*$ контура интегрирования в правой части равенства (30) можно выбрать так, чтобы (с учетом (4) и (24)) имело место неравенство

$\begin{equation*} \min_{L^*}\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z)>\mathscr V^{2(\widetilde{\alpha}-\alpha)+\varepsilon (\mu +\sigma -2\alpha)}(z_0)=2\omega_F^\alpha +\varepsilon m. \end{equation*} \notag$

Отсюда по лемме 1 получаем неравенство

$\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\biggl|\int_{L^*}(P_nq_n\Psi_n^{1+\varepsilon}f)(\tau)\, d\tau \biggr|^{1/n}{\leqslant}{\kern0.8pt} \lim_{n\to\infty}\biggl(\int_{L^*}\!|(P_nq_n\Psi_n^{1+\varepsilon}f)(\tau)\, d\tau| \biggr)^{1/n}{<}\,e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m}. \end{equation} \tag{31}$

Так как сумма интегралов, фигурирующих в (31) и (23), образует $\oint_F$ от того же произведения функций, что и в правой части (30), то имеем равенство

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}I_n^{1/n}=e^{-2\omega_F^\alpha -\varepsilon m}, \end{equation*} \notag$

противоречащее (29). Тем самым, предположение о том, что равенство (10) не выполняется, приводит к противоречию. Таким образом, равенство (10), а вместе с ним и вся теорема 4 доказаны.

Доказательство теоремы 4

Список литературы