Б. П. Осиленкер, “О мультипликаторах рядов Фурье по ортогональным многочленам Соболева”, Матем. сб., 213:8 (2022), 44–82; B. P. Osilenker, “On multipliers for Fourier series in Sobolev orthogonal polynomials”, Sb. Math., 213:8 (2022), 1058

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2022, том 213, номер 8, страницы 44–82
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9556 (Mi sm9556)

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

О мультипликаторах рядов Фурье по ортогональным многочленам Соболева

Б. П. Осиленкер

г. Москва

PDF полного текста (666 kB) PDF английской версии (638 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9556

Аннотация: В статье изучаются мультипликаторы рядов Фурье по многочленам, ортогональным в континуально-дискретных пространствах Соболева. Получены результаты о существовании и оценке нормы мультипликаторного оператора. Доказательства утверждений основаны на представлении ядра Фейера, построении “горбатых мажорант” и оценках нормы максимальных функций.
Библиография: 45 названий.

Ключевые слова: ортогональные многочлены, ряды Фурье, мультипликаторы, многочлены Соболева, норма оператора.

Поступила в редакцию: 24.01.2021 и 20.12.2021

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 8, Pages 1058–1095
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9556e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: Primary 42A16, 42C10; Secondary 33C45, 46E35

§ 1. Постановка задачи

Пусть $\theta(x)$ – конечная положительная борелевская мера, сосредоточенная на промежутке $[-1, 1]$ , с бесконечным числом точек роста и точки $a_k$ , $-1\leqslant a_k \leqslant 1$ , $k=1,2,\dots,m$ . Для функций $f$ и $g$ из $L^2_{\theta}$ таких, что существуют их производные в точках $a_k$ , введем скалярное произведение

$\begin{equation} \langle f, g\rangle =\int^1_{-1} f(x)g(x)\,d\theta(x)+\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0}M_{k, i}f^{(i)}(a_k)g^{(i)}(a_k), \end{equation} \tag{1.1}$

где

$M_{k,i}>0$ ,

$i=0,1,\dots,N_k$ ,

$k=1,2,\dots,m$ ,

$\begin{equation} \theta(\{a_k\})=0, \quad k=1,2,\dots,m, \qquad \theta'(x)> 0 \quad\text{почти всюду}. \end{equation} \tag{1.2}$

Если мера $d\theta(x)$ абсолютно непрерывна и ${d\theta(x)}/{dx}=\omega(x)$ , то функция $\omega(x)$ называется весовой функцией (весом).

Линейные пространства со скалярным произведением (1.1) называются континуально-дискретными пространствами Соболева с мерой (соответственно весовыми пространствами Соболева).

Частным случаем континуально-дискретных пространств Соболева являются нагруженные пространства (дискретные нагруженные пространства) со скалярным произведением

$\begin{equation*} \langle f, g\rangle=\int^1_{-1} f(x)g(x)\,d\theta(x)+\sum^m_{k=1} M_kf(a_k)g(a_k), \qquad M_k>0, \quad k=1,\dots,m. \end{equation*} \notag$

Пусть $\{\widehat{q}_n(x)\}$ , $n\in\mathbb{Z}_+$ , $\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\dots \}$ – система многочленов степени $n$ , ортонормированных относительно скалярного произведения (1.1):

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \notag \widehat{q}_n(x)=k(\widehat{q}_n)x^n+r(\widehat{q}_n)x^{n-1}+\dotsb, \qquad k(\widehat{q}_n)>0, \quad n\in\mathbb{Z}_+, \\ \begin{split} \langle \widehat{q}_n, \widehat{q}_m\rangle &=\int^1_{-1}\widehat{q}_n(x)\widehat{q}_m(x)\,d\theta(x) \\ &\qquad+\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0}M_{k,i}\widehat{q}_n^{\,(i)}(a_k)\widehat{q}_m^{\,(i)}(a_k) =\delta_{n,m},\qquad n,m\in\mathbb{Z}_+. \end{split} \end{gathered} \end{equation} \tag{1.3}$

Многочлены $\widehat{q}_n(x)$ , $n\in\mathbb{Z}_+$ , называются многочленами Соболева(или многочленами типа Соболева).

Эти системы (и их дифференциальные аналоги) возникли в классической книге [1] при исследовании краевых задач для дифференциального оператора второго порядка, в задаче о классификации собственных функций линейных дифференциальных операторов четвертого порядка (см. [2], [3]) и в задаче о наилучшем полиномиальном приближении в дискретных пространствах Соболева (см. [4]). Ортогональным системам в пространствах Соболева в последние годы посвящено большое число работ (см. обзор [5], отметим цикл работ И. И. Шарапудинова [6]–[8] (см. также литературу в них)). Скалярное произведение (1.1) и соответствующие ортогональные системы (и их дифференциальные аналоги) играют важную роль во многих проблемах теории функций, функционального анализа, квантовой механики, математической физики и вычислительной математики (см. [9]–[18]).

Обозначим через $\mathfrak{R}_p$ , $1\leqslant p<\infty$ , множество функций

$\begin{equation*} \mathfrak{R}_p=\begin{Bmatrix} f, \quad \displaystyle\int_{-1}^1|f(x)|^p\,d\theta(x)<\infty; \quad f^{(i)}(a_k)\text{ существуют} \\ i=0,1,2,\dots,N_k; \quad -1\leqslant a_k\leqslant 1, \quad k=1,2,\dots,m \end{Bmatrix}. \end{equation*} \notag$

В частности,

$\begin{equation*} \mathfrak{R}_1\equiv \mathfrak{R}=\begin{Bmatrix} f, \quad \displaystyle\int_{-1}^1|f(x)|\,d\theta(x)<\infty;\ f^{(i)}(a_k)\text{ существуют} \\ i=0,1,2,\dots,N_k; \quad -1\leqslant a_k\leqslant 1, \quad k=1,2,\dots,m \end{Bmatrix}. \end{equation*} \notag$

Так как

$\begin{equation*} \mathfrak{R} \supset\mathfrak{R}_p, \qquad 1<p<\infty, \end{equation*} \notag$

то доказательство (и формулировки) утверждений ниже приводятся (и проводятся) обычно для случая

$p=1$ .

Каждой функции $f\in\mathfrak{R}$ поставим в соответствие ряд Фурье–Соболева

$\begin{equation} f(x) \sim\sum^\infty_{k=0}c_k(f)\widehat{q}_k(x), \qquad x\in[-1,1], \end{equation} \tag{1.4}$

где

$\begin{equation} c_k(f)=\langle f,\widehat{q}_k\rangle=\int^1_{-1} f(x)\widehat{q}_k(x)\,d\theta(x)+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\widehat{q}_k^{\,(i)}(a_s), \qquad k\in\mathbb{Z}_+. \end{equation} \tag{1.5}$

Рассмотрим последовательность вещественных чисел

$\begin{equation} \Phi=\bigl\{\phi_k,\ k\in\mathbb{Z}_+;\ \phi_0=1,\ \{\phi_k\}\in1^\infty\bigr\}. \end{equation} \tag{1.6}$

Для каждой функции $f\in\mathfrak{R}$ по ее ряду Фурье (1.4), (1.5) введем $T$ – линейное отображение, задаваемое формулой

$\begin{equation} f(x)\sim\sum^\infty_{k=0}c_k(f)\widehat{q}_k(x) \quad\Longrightarrow\quad T(f;x;\Phi)=\sum^\infty_{k=0}\phi_kc_k(f)\widehat{q}_k(x), \quad x\in[-1,1]. \end{equation} \tag{1.7}$

Отображение $T$ называется мультипликаторным оператором, последовательность $\Phi=\{\phi_k\}^\infty_{k=0}$ – мультипликатором (мультипликаторная последовательность), а ряд (1.7) – мультипликаторным рядом.

Нашей целью является рассмотрение следующей задачи: найти условия на систему $\{\widehat{q}_n(x)\}$ и элементы мультипликаторной последовательности (1.6), при которых справедлива корректность определения мультипликаторного оператора и выполняется оценка нормы мультипликаторного оператора в континуально-дискретных пространствах Соболева.

Как известно, по обобщенной теореме Фавара в пространстве Соболева (см. [19]) задания ортогональной системы полиномов с помощью меры или с помощью рекуррентных соотношений эквивалентны. В настоящей работе рассматривается подход, связанный с рекуррентными соотношениями (см. соотношения (3.7), (3.36), (4.8)).

Было бы интересно изучить задачу в случае, когда система ортогональных полиномов задается с помощью меры (скалярного произведения). Отметим лишь, что вопрос о выполнении соотношения (3.7) можно решить с помощью работы [20; лемма 3.2].

Отметим, что в отличие от работ [6]–[8] предмет наших исследований – другие системы ортогональных полиномов и нами изучаются другие задачи. Ряд полученных ниже результатов анонсированы в [21], [22].

§ 2. Вспомогательные утверждения

Пусть $N^*_k$ – натуральное число, определяемое следующим образом:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \notag N^*_k=\begin{cases} N_k+1,&\text{если }N_k\text{ нечетно}, \\ N_k+2,&\text{если }N_k\text{ четно}, \end{cases} \\ w_N(x)=\prod^m_{k=1} (x-a_k)^{N^*_k}, \qquad N=\sum^m_{k=1}N^*_k. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.1}$

Лемма 2.1 (см. [20; теорема 2.3]). Ортонормированные многочлены $\widehat{q}_n(x)$ удовлетворяют рекуррентному соотношению

$\begin{equation} \begin{gathered} \, w_N(x)\widehat{q}_n(x)=\sum^N_{j=0}a_{n+j,j}\widehat{q}_{n+j}(x) +\sum^N_{j=1}a_{n,j}\widehat{q}_{n-j}(x), \\ n\in\mathbb{Z}_+, \qquad \widehat{q}_{-j}(x)=0, \quad j=1,2,\dots, \qquad a_{n,j}=0, \quad j>n. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.2}$

Кроме того, если $\theta'(x)> 0$ почти всюду, то

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a_{n,j}=a_j, \qquad j=0,1,2,\dots,N. \end{equation*} \notag$

Введем обозначение

$\begin{equation} \varepsilon_m:=(-1,1)\setminus\bigcup^m_{s=1}\{a_s\}. \end{equation} \tag{2.3}$

Лемма 2.2. Имеет место соотношение

$\begin{equation} \sum^\infty_{n=0}(\widehat{q}^{\,(i)}_n(a_s))^2=\frac{1}{M_{s,i}}, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \quad s=1,2,\dots,m. \end{equation} \tag{2.4}$

Доказательство соотношения (2.4) см. в [20; лемма 3.1]. Из (2.4) следует

$\begin{equation} \lim_{n\to\infty} \widehat{q}^{\,(i)}_n(a_s)=0, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \quad s=1,2,\dots,m. \end{equation} \tag{2.5}$

Пусть задан фиксированный интервал $(a,b)$ (открытый или замкнутый) и абсолютно непрерывная положительная борелевская мера $\rho$ на $(a,b)$ . Для функции $f\in L^1_\rho((a,b))$ максимальная функция Харди–Литтлвуда $M_\rho f$ определяется по формуле

$\begin{equation} M_\rho f(x)=\sup\frac{1}{\rho(J)}\int_J |f(x)|\,d\rho(x), \end{equation} \tag{2.6}$

где супремум берется по всему семейству

$\{J\}$ открытых интервалов

$J$ с центром в точке

$x\in(a,b)$ .

Для функции $f\in L^1_\rho((a,b))$ при каждом $n\in\mathbb{Z}_+$ определим оператор $I_n$ формулой

$\begin{equation} I_nf(x)=I_n(f):=\int^b_a f(t)H_n(t,x)\,d\rho(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in(a,b). \end{equation} \tag{2.7}$

Неотрицательная функция $H^*_n(t,x)$ , $n\in\mathbb{Z}_+$ , $x\in(a,b)$ , называется горбатой мажорантой для последовательности $H_n(t,x)$ (ядра интеграла) по переменной $t$ в точке $x\in(a,b)$ , если выполняются условия:

1) для всех $n\in\mathbb{Z}_+$ и всех $t,x\in(a,b)$

$\begin{equation*} |H_n(t,x)|\leqslant H^*_n(t,x); \end{equation*} \notag$

2) при фиксированных $n\in\mathbb{Z}_+$ и $x\in(a,b)$ функция $H^*_n(t,x)$ неубывающая по переменной $t$ на $(a,x)$ и невозрастающая на $(x,b)$ .

Если для горбатой мажоранты $H^*_n(t,x)$ выполняется соотношение

$\begin{equation*} \int^b_a H^*_n(t,x)\,d\rho(t)\leqslant C, \end{equation*} \notag$

где постоянная

$C>0$ не зависит от

$n\in\mathbb{Z}_+$ и

$x\in(a,b)$ , то мажоранта

$H^*_n(t,x)$ называется интегрируемой горбатой мажорантой функции

$H_n(t,x)$ на множестве

$(a,b)$ .

Лемма 2.3 (см. [23], [24; гл. 6.3, с. 249], [25]). Пусть $\rho$ – абсолютно непрерывная положительная борелевская мера на интервале $(a,b)$ и функция $H_n(t,x)$ имеет интегрируемую горбатую мажоранту $H^*_n(t,x)$ . Тогда для интеграла $I_n(f;x)$ (см. (2.7)) справедливы следующие утверждения:

если $f$ принадлежит $L^1_\rho((a,b))$ , то

$\begin{equation} \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|I_nf(x)|\leqslant CM_\rho f(x),\qquad x\in(a,b), \end{equation} \tag{2.8}$

где постоянная

$C>0$ не зависит от функции

$f$ и

$x\in(a,b)$ ;

если $f\in L^p_\rho((a,b))$ , $1<p<\infty$ , то

$\begin{equation} \Bigl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|I_n(f)| \Bigr\|_{L^p_\rho((a,b))}\leqslant C_p\|f\|_{L^p_\rho((a,b))}, \end{equation} \tag{2.9}$

где

$C_p>0$ не зависит от функции

$f$ , и

$\begin{equation} \|f\|_{L^p_\rho((a,b))}=\biggl(\int^b_a |f(x)|^p\,d\rho(x) \biggr)^{1/p}, \qquad 1\leqslant p<\infty. \end{equation} \tag{2.10}$

Замечание 2.1. В определении $H^*_n(t,x)$ и в дальнейших утверждениях вместо $x\in(a,b)$ можно рассматривать случай, когда $x$ принадлежит множеству $F\subseteq(a,b)$ (с соответствующими изменениями).

Лемма 2.4 (П. Фату; см. [26; гл. 3, § 16], [27; гл. III, 19, § 6, упражнение 35]). Если последовательность измеримых и неотрицательных функций $f_1(x),f_2(x),\dots$ почти всюду на множестве $E$ сходится к функции $F(x)$ , то

$\begin{equation*} \int_E F(x)\,d\rho(x)\leqslant\sup_{n\in\mathbb {Z}_+} \biggl\{\int_E f_n(x)\,d\rho(x)\biggr\}. \end{equation*} \notag$

§ 3. Поведение частных сумм ряда Фурье–Соболева

Обозначим через

$\begin{equation*} S_nf(x)=\sum^n_{k=0} c_k(f)\widehat{q}_k(x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in[-1,1], \end{equation*} \notag$

частные суммы ряда Фурье–Соболева (1.4), (1.5) и рассмотрим вопрос о поведении

$S_nf(x)$ . Имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, S_nf(x) &=\int^1_{-1} f(t)D_n(t;x)\,d\theta(t) \nonumber \\ &\qquad +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s; x),\qquad n\in\mathbb{Z}_+,\quad x\in[-1,1], \end{aligned} \end{equation} \tag{3.1}$

где

$D_n(t,x)$ – ядро Дирихле системы

$\{\widehat{q}_n\}^\infty_{n=0}$ :

$\begin{equation*} D_n(t,x)=\sum^n_{l=0}\widehat{q}_l(t)\widehat{q}_l(x), \qquad t,x\in[-1,1], \quad n\in\mathbb{Z}_+. \end{equation*} \notag$

Из (1.3) следует

$\begin{equation} \int^1_{-1} D_n(t,x)\,d\theta(t)+\sum^m_{s=1} M_{s,0}D_n(a_s, x)=1, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in[-1,1]. \end{equation} \tag{3.2}$

Если $x_0\in[-1,1]$ , то многочлен $w_N(x)-w_N(x_0)$ может иметь больше чем один нуль в $[-1, 1]$ , и это неудобно для дальнейших оценок. Вместо $w_N(x)$ введем многочлен $\displaystyle\pi_{N+1}(x)=\int^x_{-1} w_N(t)\,dt$ , и из положительности $w_N(x)$ , когда $x_0\neq a_s$ , $s=1,2,\dots,m$ , уравнение $\pi_{N+1}(x)-\pi_{N+1}(x_0)$ будет иметь только один нуль $x_0$ в $[-1,1]$ . Так как производные $\pi_{N+1}(x)$ равны нулю в точках $a_s$ , то имеем $\langle \pi_{N+1}\widehat{q}_n, \widehat{q}_m\rangle=\langle \widehat{q}_n, \pi_{N+1}\widehat{q}_m\rangle$ и, значит, многочлены $\widehat{q}_n(x)$ удовлетворяют рекуррентному соотношению (см. [20])

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \pi_{N+1}(x)\widehat{q}_n(x)=\sum^{N+1}_{j=0} d_{n+j,j}\widehat{q}_{n+j}(x)+\sum^{N+1}_{j=1} d_{n,j}\widehat{q}_{n-j}(x), \\ n\,{\in}\,\mathbb{Z}_+, \qquad \widehat{q}_{-j}(x)\,{=}\,0, \quad j\,{=}\,1,2,\dots, \qquad d_{n,j}\,{=}\,0, \quad j\,{>}\,n, \qquad x\,{\in}\,[-1,1], \end{gathered} \end{equation} \tag{3.3}$

при этом коэффициенты

$d_{n,j}$ ограничены при всех

$j$ ,

$n$ (см. [20]),

$\begin{equation} |d_{n,j}|\leqslant C. \end{equation} \tag{3.4}$

Так как $\{\pi_{N+1}(t)\}'=w_N(t)$ , где $w_N(t)$ имеет вид (2.1), то в каждой точке $x$ из $\varepsilon_m$ (см. (2.3))

$\begin{equation} \frac{|t-x|}{|\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)|}\leqslant C_x, \qquad t\in(-1,1), \quad x\in\varepsilon_m, \end{equation} \tag{3.5}$

и оценка (3.5) равномерна по

$x$ на всех компактных подмножествах

$K\subset\varepsilon_m$ :

$\begin{equation} \frac{|t-x|}{|\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)|}\leqslant C, \qquad t\in(-1,1), \quad x\in K, \end{equation} \tag{3.6}$

при этом постоянная

$C$ не зависит от

$t\in(-1,1)$ и

$x\in K$ .

Замечание 3.1. Если многочлен $w_N(x)-w_N(x_0)$ может иметь лишь один нуль в $[-1, 1]$ , то в дальнейшем можно ограничиться рекуррентным соотношением (2.2), надо лишь проверять соотношения (3.5), (3.6) и дальнейшие условия, налагаемые на систему $\widehat{q}_n(x)$ , $n\in\mathbb{Z}_+$ .

Лемма 3.1. Для ядра Дирихле $D_n(t,x)$ ортонормированной системы многочленов $\{\widehat{q}_n\}^\infty_{n=0}$ справедлив следующий аналог формулы Кристоффеля–Дарбу:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, [\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)] D_n(t,x)=\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{i=n-j+1} d_{i+j,j}[\widehat{q}_{i+j}(t)\widehat{q}_i(x)-\widehat{q}_i(t)\widehat{q}_{i+j}(x)], \\ n\in\mathbb{Z}_+, \qquad t,x\in[-1,1], \\ D_n(x,x)=\frac{\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{n}_{n-j+1} d_{i+j,j}[\widehat{q}^{\,\prime}_{i+j}(x)\widehat{q}_i(x)- \widehat{q}^{\,\prime}_i(x)\widehat{q}_{i+j}(x)]}{\pi'_{N+1}(x)}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Доказательство формулы Кристоффеля–Дарбу непосредственно вытекает из рекуррентного соотношения (3.3) (см. [20; лемма 3.3], где представление ядра приведено в иной форме), а предельный случай получается применением правила Лопиталя.

Лемма 3.2. Пусть существует положительная, непрерывная, $\theta$ -интегрируемая на $\varepsilon_m$ функция $h(x)$ такая, что выполняется

$\begin{equation} |\widehat{q}_n(x)|\leqslant h(x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m. \end{equation} \tag{3.7}$

Тогда для функции $f\in\mathfrak{R}_p$ , $1\leqslant p <\infty$ , в каждой точке $x\in\varepsilon_m$

$\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty}\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s,x)=0 \end{equation*} \notag$

и сходимость равномерна на всех компактных подмножествах

$K$ из

$\varepsilon_m$ .

Доказательство. Рассмотрим

$\begin{equation*} \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s,x)=\sum^n_{k=0}\widehat{q}_k^{\,(i)}(a_s)\widehat{q}_k(x). \end{equation*} \notag$

По формуле Кристоффеля–Дарбу ясно, что

$\begin{equation*} \sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s,x) \end{equation*} \notag$

есть сумма конечного числа (зависящего от

$N$ ) слагаемых вида

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, M_{s,i}f^{(i)}(a_s) d_{l+j,j}\frac{\widehat{q}^{\,(i)}_{l+j}(a_s)\widehat{q}_l(x)- \widehat{q}_l(a_s)\widehat{q}^{\,(i)}_{l+j}(x)}{\pi_{N+1}(a_s)-\pi_{N+1}(x)}, \\ s=1,2,\dots,m, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \qquad j=1,2,\dots,N+1, \\ l=n-j+1,n-j+2,\dots, n. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Поскольку коэффициенты $d_{l, j}$ , $M_{s,i}$ ограничены, $|\widehat{q}_n(x)|\leqslant h(x)$ , $x\in\varepsilon_m$ , где $h(x)$ непрерывна на $\varepsilon_m$ , равномерно ограничена на компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$ , и $\lim_{n\to\infty}\widehat{q}_n^{\,(i)}(a_s)=0$ (см. (2.5)), то лемма 3.2 доказана.

Замечание 3.2. Отметим, что по существу было также доказано, что в условиях леммы 3.2 в каждой точка $x\in\varepsilon_m$ (и равномерно на $K$ ) выполняется соотношение

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s, x)=0, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \quad s=1,2,\dots,m. \end{equation*} \notag$

Лемма 3.3. Пусть выполняется условие (3.7) и на $\varepsilon_m$ мера $d\theta(x)$ абсолютно непрерывна, ${d\theta(x)}/{dx}=\omega(x)$ и положительная интегрируемая функция $\omega(x)$ непрерывна на $\varepsilon_m$ (напомним, что $\theta(\{a_k\})=0$ , $k=1,2,\dots,m$ , см. (1.2)),

$\begin{equation} d\theta(x)=\omega(x)\,dx, \qquad 0<\omega(x)\textit{ непрерывна и интегрируема на }\varepsilon_m. \end{equation} \tag{3.8}$

Тогда функция

$\begin{equation} \widetilde{D}_n(t,x)=\frac{D_n(t,x)}{h(t)h(x)}, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad t,x\in\varepsilon_m, \end{equation} \tag{3.9}$

имеет горбатую мажоранту

$\widetilde{D}^*_n(t,x)$ , для которой выполняется

$\begin{equation} \frac{1}{\ln(n+2)}\int^1_{-1}\widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t)\leqslant C, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in K, \end{equation} \tag{3.10}$

постоянная

$C>0$ не зависит от

$n\in\mathbb{Z}_+$ и

$x\in K$ , где

$K$ – произвольное компактное множество из

$\varepsilon_m$ .

Доказательство. В силу формулы Кристоффеля–Дарбу, соотношений (3.4), (3.6), (3.7)

$\begin{equation} |D_n(t,x)|\leqslant (n+1)h(t)h(x), \qquad t,x\in\varepsilon_m, \quad |t-x|\geqslant 0, \end{equation} \tag{3.11}$

$\begin{equation} |D_n(t,x)|\leqslant C\frac{h(t)h(x)}{|t-x|}, \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad |t-x|>0. \end{equation} \tag{3.12}$

Поэтому

$\begin{equation} |\widetilde{D}_n(t,x)|\leqslant C(n+1), \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad 0\leqslant |t-x|\leqslant \frac{1}{n+1}, \end{equation} \tag{3.13}$

$\begin{equation} |\widetilde{D}_n(t,x)|\leqslant C\frac{1}{|t-x|}, \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad \frac{1}{n+1}<|t-x|, \end{equation} \tag{3.14}$

где постоянная

$C>0$ не зависит от

$n\in\mathbb{Z}_+$ ,

$t\in(-1,1)$ ,

$x\in K$ .

1. Покажем, что ядро $\widetilde{D}_n(t,x)$ имеет горбатую мажоранту

$\begin{equation*} \widetilde{D}^*_n(t,x)=\frac{2C(n+1)}{1+(n+1)|t-x|}, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K. \end{equation*} \notag$

Действительно,

a) при $(n+1)|t-x|\leqslant 1$ имеем
$\begin{equation*} C(n+1)\leqslant \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)|t-x|} \end{equation*} \notag$
или, эквивалентно,
$\begin{equation*} 1+(n+1)|t-x|\leqslant 2. \end{equation*} \notag$
b) при $(n+1)|t-x|>1$ имеем
$\begin{equation*} C\frac{1}{|t-x|}\leqslant \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)|t-x|} \end{equation*} \notag$
или, эквивалентно,
$\begin{equation*} 1+(n+1)|t-x|< 2(n+1)|t-x|, \qquad (n+1)|t-x|>1. \end{equation*} \notag$

В силу (3.13) и (3.14) получаем $|\widetilde{D}_n(t,x)|\leqslant \widetilde{D}^*_n(t,x)$ .

2. Монотонность мажоранты.

Так как

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\widetilde{D}^*_n(t,x)=\frac{\partial}{\partial t}\biggl\{\frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(x-t)}\biggr\} > 0, \qquad t\leqslant x, \\ \frac{\partial}{\partial t}\biggl\{\frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(x-t)}\biggr\} < 0, \qquad t> x, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

то отсюда вытекает соответствующее условие монотонности в определении горбатой мажоранты.

3. Покажем, что справедлива оценка (3.10).

Положим

$\begin{equation} \varepsilon_m=\bigcup^m_{k=0}(a_k, a_{k+1}), \qquad k=0,1,\dots,m, \qquad a_0=-1, \quad a_{m+1}=1. \end{equation} \tag{3.15}$

Пусть $K$ – компактное множество в $\varepsilon_m$ , оно покрывается конечным числом компактных подмножеств, лежащих в $(a_{k},a_{k+1})$ , $k=0,1,\dots,m$ (некоторые из них могут быть пустыми).

Докажем, что рассматриваемая оценка имеет место на любом компактном подмножестве $[a_k+h^{(k)},a_{k+1}+h^{(k+1)}]$ , лежащем в $(a_k,a_{k+1})$ .

Пусть при некотором $k_0$ , $0\leqslant k_0\leqslant m$ , точка $x\in K\cap (a_{k_0},a_{k_0+1})$ . Обозначим через $h$ , $0<h<(a_{k_0+1}-a_{k_0})/2$ , число такое, что $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ (мы рассмотрели случай $h^{(k_0)}=h^{(k_{0}+1)}=h$ , это не меняет доказательство). Имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, I_n(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^1_{-1} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)} \int^{a_{k_0+1}}_{a_{k_0}} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t)+\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\substack{ t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m}} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\widetilde{I}^{(1)}_n(x)+\widetilde{I}^{(2)}_n(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Введем натуральное число $n$ такое, что

$\begin{equation*} \biggl[x-\frac{1}{n+1}, x+\frac{1}{n+1}\biggr] \subset\biggl(a_{k_0}+\frac h2, a_{k_0+1}-\frac h2\biggr), \end{equation*} \notag$

и в силу симметрии рассмотрим лишь случай

$t\geqslant x$ . Положим

$\begin{equation*} \delta_1=\biggl[x, x+\frac{1}{n+1}\biggr],\qquad \delta_2=\biggl[x+\frac{1}{n+1}, a_{k_0+1}-\frac{h}{2}\biggr], \qquad \delta_3=\biggl[a_{k_0+1}-\frac{h}{2}, a_{k_0+1}\biggr]. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \widetilde{I}^{(1)}_n(x)=\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\delta_1}+\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\delta_2}+\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\delta_3}=I^{(1)}_n(x)+I^{(2)}_n(x)+I^{(3)}_n(x). \end{equation*} \notag$

При оценке первых двух слагаемых воспользуемся ограниченностью весовой функции (3.8):

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, I_n^{(1)}(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int_{\delta_1} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^{x+1/(n+1)}_x \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(t-x)}\omega(t)\,dt \\ &\leqslant \frac{1}{\ln(n+2)}\int^{x+1/(n+1)}_x \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(t-x)}\,dt=O(1), \\ I_n^{(2)}(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int_{\delta_2} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(t-x)}\omega(t)\,dt \\ &\leqslant \frac{2C(n+1)}{\ln(n+2)}\int^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)}\frac{dt}{1+(n+1)(t-x)} \\ & =\frac{C}{\ln(n+2)}\ln[1+(n+1)(t-x)]\Big|^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)}\leqslant C(h). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Так как при $t\in\delta_3$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1} -h]$ справедливо $t-x\geqslant h/2$ , $1+(n+1)(t-x)\geqslant1+(n+1)h/2$ , то

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, I_n^{(3)}(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int_{\delta_3} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^{a_{k_0+1}}_{a_{k_0+1}-h/2} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)(t-x)}\omega(t)\,dt \\ &\leqslant\frac{C(h)}{\ln(n+2)} \int^1_{-1} d\theta(t) \leqslant C(h). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Итак,

$\begin{equation*} |\widetilde{I}^{(1)}_n(x) |\leqslant C(h), \end{equation*} \notag$

где постоянная

$C(h)>0$ не зависит от

$n\in\mathbb{Z}_+$ и

$x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ .

Для оценки последнего слагаемого $\widetilde{I}^{(2)}_n(x)$ воспользуемся тем, что при $t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ имеем $|t-x|\geqslant h$ , поэтому

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \widetilde{I}^{(2)}_n(x) &=\frac{1}{\ln(n+2)}\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m}} \widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &=\frac{1}{\ln(n+2)} \int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m}} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)|t-x|}\omega(t)\,dt \\ &\leqslant \frac{C(h)}{\ln(n+2)} \int^1_{-1} \omega(t)\,dt \leqslant C(h), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что и заканчивает доказательство леммы 3.3.

Следствие 3.1. Пусть выполняются предположения леммы 3.3.

Тогда для функции Лебега

$\begin{equation*} L_n(x):=\int^1_{-1} |D_n(t,x)|\,d\theta(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m, \end{equation*} \notag$

равномерно на всех компактных подмножествах

$K$ из

$\varepsilon_m$ справедлива оценка

$\begin{equation} L_n(x)\leqslant C\ln(n+2), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in K. \end{equation} \tag{3.16}$

Действительно, функция Лебега имеет оценку

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, L_n(x) &=\int^1_{-1} |D_n(t,x)|\,d\theta(t)= h(x)\int^1_{-1} |\widetilde{D}_n(t,x)| h(t)\,d\theta(t) \\ &\leqslant C\int^1_{-1} |\widetilde{D}_n(t,x)| h(t)\,d\theta(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in K. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Мера

$\theta$ обладает свойствами (1.2) и (3.8):

$\theta\{a_k\}=0$ ,

$k=1,2,\dots,m$ , и

$d\theta(x)=\omega(x)\,dx$ , где

$\omega(x)$ – положительная непрерывная интегрируемая функция.

Мажоранта $h(x)$ является положительной непрерывной $\omega$ -интегрируемой функцией (см. (3.7)):

$\begin{equation*} \int^1_{-1}h(t)\omega(t)\,dt<\infty. \end{equation*} \notag$

Поэтому интеграл

$\displaystyle\int^1_{-1}|\widetilde{D}_n(t,x)|h(t)\omega(t)\,dt$ может быть так же, как и интеграл

$\displaystyle\int^1_{-1}\widetilde{D}^*_n(t,x)\,d\theta(t)$ ,

$n\in\mathbb{Z}_+$ ,

$x\in K$ , оценен следующим образом:

$\begin{equation*} \int^1_{-1}|\widetilde{D}_n(t,x)|h(t)\omega(t)\,dt\leqslant C \ln(n+2), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in K, \end{equation*} \notag$

что и доказывает оценку (3.16).

Напомним, что точка $x\in(-1,1)$ называется точкой Лебега функции $f\in L^p_\rho([-1,1])$ , если выполняется условие

$\begin{equation} \int_{x-h}^{x+h} |f(t)-f(x)|^p\,d\rho(t)=o(h), \qquad h\to0. \end{equation} \tag{3.17}$

Как хорошо известно (см. [28; гл. IV, с. 142–145], [24; гл. 1, с. 11]), $\rho$ -почти все точки промежутка $[-1,1]$ есть точки Лебега функции $f$ .

Теорема 3.1. Пусть выполняются условия (3.7) и при некотором $p$ , $1\leqslant p <\infty$ , функция $f\in\mathfrak{R}_p$ и

$\begin{equation} \int^1_{-1} |f(t)|^p h^p(t)\,d\theta(t) <\infty, \qquad \int^1_{-1}h^p(t)\,d\theta(t)<\infty, \end{equation} \tag{3.18}$

где

$h(t)$ – мажоранта

$\widehat{q}_n(t)$ . Имеют место следующие утверждения:

в каждой точке Лебега $x\in\varepsilon_m$ функции $f$ для частных сумм $S_nf(x)$ ряда Фурье–Соболева (1.4), (1.5) справедлива оценка

$\begin{equation} S_nf(x)=o_x(1)\ln(n+2), \qquad n\to\infty; \end{equation} \tag{3.19}$

пусть функция $f$ непрерывна на $[-1,1]$ и на $\varepsilon_m$ мера $d\theta(x)$ удовлетворяет (3.8). Тогда равномерно для всех компактных подмножеств $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка

$\begin{equation} S_nf(x)=o(1) \ln(n+2), \qquad n\to\infty; \end{equation} \tag{3.20}$

если функция $f$ из $L^2_\theta ([-1,1])$ , то

$\begin{equation*} \sum^\infty_{n=0} c_n(f)\widehat{q}^{\,(i)}_n(a_k)=f^{(i)}(a_k), \qquad i=0,1,\dots,N_k, \quad k=1,2,\dots,m. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Утверждение (iii) доказано в [16; следствие 3.1]. Утверждение (i) будет доказано для случая

$p=1$ , общий случай рассматривается аналогичным образом. Имеем (см. (3.1), (3.2))

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &S_nf(x)-f(x) =\int^1_{-1}[f(t)-f(x) ]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad +\sum^m_{s=1}M_{s,0}[f(a_s)- f(x)]D_n(a_s,x) +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=1}M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s, x). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.21}$

Согласно лемме 3.2 (см. также замечание 3.2) из (3.21) следует

$\begin{equation} S_nf(x)-f(x)=\int^1_{-1}[f(t)-f(x) ]D_n(t,x)\,d\theta(t)+o_x(1), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{3.22}$

Пусть $x\in\varepsilon_m$ – точка Лебега (3.17) при $p=1$ . Как и выше (см. (3.15)), положим

$\begin{equation*} \varepsilon_m=\bigcup^m_{k=0}(a_k,a_{k+1}), \qquad a_0=-1, \quad a_{m+1}=1. \end{equation*} \notag$

Тогда при некотором $k_0$ , $0\leqslant k_0\leqslant m$ , точка $x\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})$ .

Введем натуральное число $n$ такое, что $[x-1/(n+1), x+1/(n+1)]\subset (a_{k_0}, a_{k_0+1})$ . Представим интеграл в виде

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int^1_{-1} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) =\int_{\substack{|t-x|\leqslant1/(n+1),\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ \notag &\qquad+\int_{\substack{1/(n+1)<|t-x|,\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad+\int_{t\in\varepsilon_m\setminus (a_{k_0}, a_{k_0+1})} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) =I^{(1)}_n(x)+I^{(2)}_n(x)+I^{(3)}_n(x). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.23}$

Определение точки Лебега (3.17) при $p=1$ , оценка (3.11) и условия (3.18) дают

$\begin{equation} |I^{(1)}_n(x) |\leqslant C(n+1)h(x) \int_{\substack{|t-x|\leqslant1/(n+1),\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t)=o_x(1), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{3.24}$

В силу формулы Кристоффеля–Дарбу и соотношений (3.4), (3.5) и (3.7) имеем

$\begin{equation} |I^{(2)}_n(x) |\leqslant C_x \int_{\substack{1/(n+1)<|t-x|,\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} \frac{|f(t)-f(x)|}{|t-x|}h(t)\,d\theta(t). \end{equation} \tag{3.25}$

Для оценки интеграла (3.25) рассмотрим

$\begin{equation*} \widetilde{I}^{(2)}_n(x)=C_x \int^{a_{k_0+1}}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t), \end{equation*} \notag$

так как интеграл

$\displaystyle\int^{x-1/(n+1)}_{a_{k_0}} \frac{|f(t)-f(x)|}{x-t}h(t)\,d\theta(t)$ оценивается аналогичным способом.

Обозначим

$\begin{equation*} \Phi_x(t)=\int^t_0|f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t). \end{equation*} \notag$

Тогда в силу определения точки Лебега (3.17) и условий (3.18) при

$p=1$ для заданного

$\epsilon>0$ существует

$\delta>0$ такое, что

$\Phi_x(x+h)\leqslant \epsilon h$ при

$h\leqslant \delta$ .

Пусть $1/(n+1)\leqslant \delta$ , тогда

$\begin{equation*} \widetilde{I}^{(2)}_n(x)=C_x \int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)}\frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t) +C_x \int^{a_{k_0+1}}_{x+\delta} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t). \end{equation*} \notag$

Во втором интеграле

$|t-x|\geqslant \delta$ и потому

$\begin{equation} \int^{a_{k_0+1}}_{x+\delta} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t)=O_x(1). \end{equation} \tag{3.26}$

Проинтегрируем по частям в первом интеграле:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t) \\ &\qquad=\frac{1}{t-x}\biggl\{\int^t_0|f(u)-f(x)|h(u)\,d\theta (u)\biggr\}\Bigr|_{x+1/(n+1)}^{x+\delta} \\ &\qquad\qquad +\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)}\frac{1}{(t-x)^2} \biggl\{\int^t_0|f(u)-f(x)|h(u)\,d\theta(u)\biggr\}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

По определению функции

$\Phi_x(t)$ получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t) \\ &\qquad =\frac {1}{\delta}\Phi_x(x+\delta) -(n+1)\Phi_x\biggl(x+\frac{1}{n+1}\biggr) +\int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)}\frac{\Phi_x(t)}{(t-x)^2}\,dt \\ &\qquad=O_x(1)+\epsilon+\epsilon \int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)}\frac{dt}{t-x} =O_x(1)+\epsilon\ln(n+1){\delta}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Тогда, объединяя последнее соотношение с (3.26), получаем

$\begin{equation*} \int^{x+\delta}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{t-x}h(t)\,d\theta(t)=o_x(1)\ln(n+2), \qquad n \to\infty. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation} I^{(2)}_n(x)=o_x(1)\ln(n+2), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{3.27}$

В силу (3.12) получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |I^{(3)}_n(x)| &\leqslant C_x\int_{t\in\varepsilon_m\setminus (a_{k_0}, a_{k_0+1})} \frac{|f(t)-f(x)|}{|t-x|}h(t)\,d\theta(t) \\ &=O_x(1)\int^1_{-1} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

и, следовательно, используя условия (3.18) при

$p=1$ , имеем

$\begin{equation} I^{(3)}_n(x)=O_x(1), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{3.28}$

Оценка (3.19) теперь следует из соотношений (3.22)–(3.24), (3.27), (3.28).

(ii) Докажем равномерную оценку (3.20). Функция $f$ непрерывна на $[-1, 1]$ и, следовательно, равномерно непрерывна на $[-1,1]$ . Для заданного $\varepsilon>0$ найдем $\delta >0$ такое, что $|f(t)-f(x)|<\varepsilon$ для $|t-x|<\delta$ . Пусть при некотором $k_0$ , $0\leqslant k_0\leqslant m$ , $x\in K_0=K\cap (a_{k_0},a_{k_0+1})$ и $\delta>0$ таково, что интервал $|t-x|<\delta\subset K_0$ (в случае попадания точки $x$ на границу рассматривается односторонняя $\delta$ -окрестность точки).

Как и выше, ограничимся рассмотрением интеграла

$\begin{equation*} \int^1_{-1} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t). \end{equation*} \notag$

Имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int^1_{-1} [f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ \notag &\qquad =\int_{|t-x|<\delta}[f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) +\int_{|t-x|\geqslant\delta}[f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad =R_n^{(1)}(x)+R_n^{(2)}(x). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.29}$

Оценка (3.16) дает

$\begin{equation} |R^{(1)}_n(x)| \leqslant\varepsilon L_n(x)\leqslant C\varepsilon \ln(n+2). \end{equation} \tag{3.30}$

С помощью неравенств (3.8), (3.12) последовательно получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |R^{(2)}_n(x)| &=\biggl|\int_{|t-x|\geqslant\delta}[f(t)-f(x)]D_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr| \\ &\leqslant Ch(x)\int_{|t-x|\geqslant\delta}\frac{|f(t)-f(x)|}{|t-x|}h(t)\,d\theta(t) \\ &=O(1) \int_{|t-x|\geqslant\delta}|f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

и, следовательно, используя условия (3.18) при

$p=1$ , равномерно для

$x\in K$ и

$n\in\mathbb{Z}_+$ имеем

$\begin{equation} R^{(2)}_n(x)=O(1). \end{equation} \tag{3.31}$

Подставляя соотношения (3.30) и (3.31) в (3.29), получаем оценку (3.20).

Теорема 3.1 полностью доказана.

Рассмотрим пространство $W^p_\theta ([-1,1])$ , $1\leqslant p <\infty$ , как множество функций $f$ из $\mathfrak{R}_p$ с нормой

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, W^p_\theta ([-1,1]) &=\biggl\{f,\ \|f\|_{W^p_\theta([-1,1])}<+\infty, \\ &\qquad\|f\|^p_{W^p_\theta([-1,1])}=\|f\|^p_{L^p_\theta([-1,1])} +\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0} M_{k,i}|f^{(i)}(a_k)|^p \biggr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Аналогично можно ввести и пространство $W^p_\theta(F)$ для подмножества $F$ из $[-1,1]$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag W^p_\theta (F) &=\biggl\{f,\ \|f\|_{W^p_\theta(F)}<+\infty, \\ &\qquad\|f\|^p_{W^p_\theta(F)}=\|f\|^p_{L^p_\theta(F)} +\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0} M_{k,i}|f^{(i)}(a_k)|^p \biggr\} \end{aligned} \end{equation} \tag{3.32}$

(теорию этих пространств см. в [29]–[31] и в ссылках в них). Отметим, что пространство

$W^p_\theta ([-1,1])$ ,

$1\leqslant p<\infty$ , не является полным.

Каждой функции $f$ , принадлежащей $W^p_\theta ([-1,1])$ при некотором $p$ , $1\,{\leqslant}\, p\,{<}\,\infty$ , поставим в соответствие ряд Фурье–Соболева (1.4), (1.5) и рассмотрим оценку нормы мажоранты частных сумм $S_nf(x)$ .

Введем

$\begin{equation} G_nf(x)=\frac{1}{\ln(n+2)}\int^1_{-1} f(t)D_n(t,x)\,d\theta(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m, \end{equation} \tag{3.33}$

и положим

$\begin{equation} G_*f(x) :=\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|G_nf(x)|, \qquad x\in\varepsilon_m. \end{equation} \tag{3.34}$

Лемма 3.4. Пусть для системы многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ и меры $d\theta(x)$ выполняются соответственно условия (3.7) и (3.8). Тогда справедливы следующие утверждения.

Eсли функция $f\in\mathfrak{R}_p$ , $1<p<\infty$ , удовлетворяет (3.18), то для любого компактного подмножества $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка

$\begin{equation} \|G_*f\|_{L^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{L^p_\theta(K)}, \end{equation} \tag{3.35}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f\in L^p_\theta(K)$ .

(ii) Eсли, кроме того, имеет место соотношение

$\begin{equation} \sum^{\infty}_{j=0}|\widehat{q}^{\,(i)}_j(a_s)|<\infty, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \quad s=1,2,\dots,m, \end{equation} \tag{3.36}$

то справедлива оценка

$\begin{equation} \biggl\| \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0}M_{s,i} f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^iD_n}{\partial t^i}(a_s, x)\biggr| \biggr\|_{L^p_\theta(K)} \leqslant C_p\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|^p\biggr\}^{1/p}, \end{equation} \tag{3.37}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f$ .

Доказательство. (i) Нетрудно видеть, что

$\begin{equation} G_nf(x)=h(x)\frac{1}{\ln(n+2)}\int^1_{-1} f(t)h(t)\widetilde{D}_n(t,x)\,d\theta(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m. \end{equation} \tag{3.38}$

В силу лемм 2.3, 3.3 и условий (3.18) оценка (2.8) дает соотношение (см. (3.34))

$\begin{equation*} G_*f(x)\leqslant CM_\theta[fh](x)h(x), \qquad x\in K, \end{equation*} \notag$

где максимальная функция

$M_\theta$ определена по формуле (2.6) и постоянная

$C\,{>}\,0$ не зависит от функции

$f\in L^p_\theta(K)$ . Тогда из ограниченности функции

$h(x)$ на

$K$ и леммы 2.3 следует

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|G_*f\|_{L^p_\theta(K)} &=\biggl(\int_K[G_*f(x)]^p\,d\theta(x)\biggr)^{1/p} \leqslant C_p\biggl(\int_K\{M_\theta[fh](x)\}^ph^p(x)\,d\theta(x)\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant C_p\biggl(\int_K|f(x)|^ph^{2p}(x)\,d\theta(x)\biggr)^{1/p} \leqslant C_p\biggl(\int_K|f(x)|^p\,d\theta(x)\biggr)^{1/p}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что и требовалось доказать в п. (i).

(ii) Нетрудно видеть, что из (3.7) и (3.36) следует

$\begin{equation} \biggl|\frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr| =\biggl|\sum^n_{j=0}\widehat{q}^{\,(i)}_j(a_s)\widehat{q}_j(x)\biggr| \leqslant Ch(x), \qquad x\in\varepsilon_m, \quad n\in\mathbb{Z}_+. \end{equation} \tag{3.39}$

Поэтому

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s, x)\biggr|\biggr\|^p_{L^p_\theta(K)} \\ &\qquad\leqslant C_p\biggl\|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|h(x)\biggr\|^p_{L^p_\theta(K)} \\ &\qquad\leqslant C_p\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p \biggl\{\int_K h^p(x)\,d\theta(x)\biggr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Если $1/p+1/q=1$ , $1<p<\infty$ , то неравенство Гёльдера дает

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p &\leqslant \biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}\biggr\}^{p/q} \sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|^p \\ &\leqslant C_p\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|^p. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.40}$

Так как функция

$h(x)$ ограничена на

$K$ , то получаем оценку (3.37). Лемма 3.4 доказана.

Лемма 3.5. Пусть выполняются условия (3.7), (3.8), (3.36) леммы 3.4 и при некотором $p$ , $1<p<\infty$ , имеют место соотношения (3.18) и

$\begin{equation} \|h\|_{L^q_\theta([-1,1])} < \infty, \qquad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. \end{equation} \tag{3.41}$

Тогда для любой функции

$f\in W^p_\theta([-1,1])$ справедлива оценка

$\begin{equation} \sum^{m}_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j} \Bigl[\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(S_n f)^{(j)}(a_k)|\Bigr]^p \leqslant {C_p}\|f\|_{W^p_\theta([-1,1])}^p, \end{equation} \tag{3.42}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f$ .

Доказательство. Из формулы (3.1) следует

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, (S_n f)^{(j)}(a_k) &=\int^1_{-1} f(t)\biggl[\sum^n_{l=0}\widehat{q}_l(t)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr]\,d\theta(t) \\ &\qquad +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\biggl[\sum^n_{l=0}\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr]. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |(S_n f(x))^{(j)}(a_k)| &\leqslant\int^1_{-1}|f(t)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^n_{l=0} \widehat{q}_l(t)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr|\,d\theta(t) \\ &\qquad+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)| \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^n_{l=0}\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr|. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

В силу неравенств (3.7) и (3.36) получаем оценку

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \biggl|\sum^n_{l=0}\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr| \leqslant C, \qquad \biggl|\sum^n_{l=0}\widehat{q}_l(t)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr| \leqslant Ch(t), \\ s,k=1,\dots,m, \qquad i=0,1,\dots,N_s, \qquad j=0,1,\dots,N_k, \end{gathered} \end{equation} \tag{3.43}$

а из (3.41), (3.43) и интегрального неравенства Гёльдера следует

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int^1_{-1}|f(t)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^n_{l=0} \widehat{q}_l(t)\widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr|\,d\theta(t) \leqslant C_p\int^1_{-1}|f(t)|h(t)\,d\theta(t) \\ &\qquad \leqslant C_p\{\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])}\|h\|_{L^q_\theta([-1,1])}\} \leqslant C_p\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Значит, используя (3.43), имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\sum^{m}_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j} \Bigl[\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(S_n f)^{(j)}(a_k)|\Bigr]^p \\ &\qquad \leqslant C_p\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])} +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p \\ &\qquad \leqslant C_p\biggl\{\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])}+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

И тогда неравенство Минковского, определение нормы (3.32) и соотношение (3.40) дают оценку (3.42).

Лемма 3.5 доказана.

§ 4. Средние Фейера рядов Фурье–Соболева

Рассмотрим средние Фейера ряда Фурье–Соболева (1.4), (1.5) функции $f\in\mathfrak{R}_p$ , $1\leqslant p<\infty$ ,

$\begin{equation} \sigma_nf(x)=\frac{1}{n+1}\sum^n_{k=0}S_kf(x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in[-1,1], \end{equation} \tag{4.1}$

где

$S_k(f;x)$ – частные суммы ряда Фурье–Соболева.

Введем ядро Фейера полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ :

$\begin{equation} F_n(t,x)=\frac{1}{n+1}\sum^n_{i=0}D_i(t,x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad t,x \in[-1,1], \end{equation} \tag{4.2}$

где

$D_i(t,x)$ – ядро Дирихле. Как следует из формул (3.1), (4.1),

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \sigma_nf(x)=\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s, x), \\ n\in\mathbb{Z}_+, \qquad t,x\in[-1,1]. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.3}$

С помощью рекуррентного соотношения (3.3) и формулы Кристоффеля–Дарбу получим представление ядра Фейера.

Лемма 4.1. Для всех $t,x\in[-1,1]$ и $n\in\mathbb{Z}_+$ справедлива формула

$\begin{equation} (n+1)[\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)]^2F_n(t,x)=\sum^{(N+1)}_n (t,x)+\sum^{(N+1)}_n (x,t), \end{equation} \tag{4.4}$

где

$\begin{equation} \sum^{(N+1)}_n (t,x)=H_n^{(N+1)}(t,x)+R_n^{(N+1)}(t,x), \end{equation} \tag{4.5}$

$\begin{equation} \begin{split} H_n^{(N+1)}(t,x) &=\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=0}\sum^n_{s=0}(d_{s+j,j}d_{s+j+l,l}- d_{s+j+l,j}d_{s+l,l})\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=0}(d_{s+j,j}d_{s+j,l}- d_{s+j-l,j}d_{s,l})\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x), \end{split} \end{equation} \tag{4.6}$

$\begin{equation} \begin{split} R_n^{(N+1)}(t,x) &=\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^n_{s=n-j+2}d_{s+j,j}(d_{s,0}- d_{s+j,0})\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j-l+2}d_{s+j+l,j}d_{s+l,l} \widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2}d_{s+j,j}d_{s+j+l,l} \widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2}d_{s+j,j}d_{s+j,l} \widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+l+2}d_{s+j-l,j}d_{s,l} \widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n-l}_{s=n-j-l+2}(n-s-l+1)d_{s+j+l,j}d_{s+l,l} \widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)d_{s+j,j}d_{s+j+l,l} \widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n+l}_{s=n-j+l+2}(n-s+l+1)d_{s+j-l,j}d_{s,l} \widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)d_{s+j,j}d_{s+j,l} \widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x). \end{split} \end{equation} \tag{4.7}$

Доказательство. Рассмотрим левую часть соотношения (4.4) и воспользуемся формулой Кристоффеля–Дарбу, тогда получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &[\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)]^2\sum^n_{k=0}D_k(t,x) \\ &\qquad =\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{k=0}\sum^{k}_{s=k-j+1} d_{s+j,j}[\pi_{N+1}(t)- \pi_{N+1}(x)][\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x)-\widehat{q}_s(t)\widehat{q}_{s+j}(x)] \\ &\qquad =\sum^{(N+1)}_n (t,x)+\sum^{(N+1)}_n (x,t), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \sum^{(N+1)}_n (t,x) &=\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{k=0}\sum^k_{s=k-j+1} d_{s+j,j}\pi_{N+1}(t)\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{k=0}\sum^k_{s=k-j+1} d_{s+j,j}\widehat{q}_{s+j}(t)\pi_{N+1}(x)\widehat{q}_{s}(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Воспользуемся рекуррентным соотношением (3.3) и следующей формулой, справедливой для любой последовательности $\{\omega_s(j)\}$ , $s\in\mathbb{Z}_+$ , $j\in\mathbb{N}$ , $\omega_s(j)=0$ , $s=-1,-2,\dots$ :

$\begin{equation*} \sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{k=0}\sum^k_{s=k-j+1}\omega_s(j) =\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{n-j+1}_{s=0}\omega_s(j) +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)\omega_s(j). \end{equation*} \notag$

Имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \sum^{(N+1)}_n (t,x) &=\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{n-j+1}_{s=0} d_{s+j,j}\pi_{n+1}(t)\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)d_{s+j,j}\pi_{N+1}(t)\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{n-j+1}_{s=0} d_{s+j,j}\widehat{q}_s(t)\pi_{n+1}(x)\widehat{q}_{s+j}(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)d_{s+j,j}\widehat{q}_s(t)\pi_{N+1}(x)\widehat{q}_{s+j}(x) \\ &=\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n-j+1}_{s=0}d_{s+j,j}d_{s+j+l,l} \widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n-j+1}_{s=0}d_{s+j,j}d_{s+j,l} \widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n}_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s+j+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n}_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s+j,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n-j+1}_{s=0} d_{s+j,j}d_{s+l,l}\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_{s+l}(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n-j+1}_{s=0} d_{s+j,j}d_{s,l}\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_{s-l}(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n}_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s+l,l}\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_{s+l}(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n}_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s,l}\widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_{s-l}(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \sum^{(N+1)}_n (t,x) &=\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{n}_{s=0}d_{s+j,j}[d_{s,0}-d_{s+j,0}] \widehat{q}_{s+j}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=0}\sum^n_{s=0}(d_{s+j,j}d_{s+j+l,l}-d_{s+j+l,j}d_{s+l,l} ) \widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=0}(d_{s+j,j}d_{s+j,l}-d_{s+j-l,j}d_{s,l} ) \widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+l+2} d_{s+j-l,j}d_{s,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2}d_{s+j,j} d_{s+j+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad -\sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2} d_{s+j,j}d_{s+j,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j-l+2} d_{s+j+l,j}d_{s+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad +\sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1) d_{s+j,j}d_{s+j+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^{n-l}_{s=n-j-l+2}(n-s-l+1) d_{s+j+l,j}d_{s+l,l}\widehat{q}_{s+j+l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=1}\sum^n_{s=n-j+2}(n-s+1)d_{s+j,j} d_{s+j,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x) \\ &\qquad - \sum^{N+1}_{j=1}\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n+l}_{s=n-j+l+2}(n-s+l+1) d_{s+j-l,j}d_{s,l}\widehat{q}_{s+j-l}(t)\widehat{q}_s(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Нетрудно видеть, что отсюда вытекают формулы (4.4)–(4.7).

Лемма 4.1 доказана.

Лемма 4.2. Пусть полиномиальная система $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условию (3.7) и для рекуррентных коэффициентов (см. (3.3)) выполняется оценка

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \sum^{N+1}_{j=1}j\sum^{N+1}_{l=0}\sum^{n}_{s=0}(|d_{s+j,j}d_{s+j+l,l}- d_{s+j+l,j}d_{s+l,l}|+|d_{s+j,j}d_{s+j,l}-d_{s+j-l,j}d_{s,l}|)\leqslant C, \\ n\in\mathbb{Z}_+. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.8}$

Тогда для ядра Фейера справедливы оценки

$\begin{equation} |F_n(t,x)|\leqslant (n+1)h(t)h(x), \qquad t,x\in\varepsilon_m, \quad |t-x|\geqslant 0, \end{equation} \tag{4.9}$

$\begin{equation} |F_n(t,x)|\leqslant C_x\frac{h(t)h(x)}{(n+1)[\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)]^2}, \qquad t,x\in\varepsilon_m, \quad |t-x|> 0. \end{equation} \tag{4.10}$

При этом постоянная

$C_x>0$ не зависит от

$t\in\varepsilon_m$ и

$n\in\mathbb{Z}_+$ . Для любого компактного подмножества

$K$ из

$\varepsilon_m$

$\begin{equation} |F_n(t,x)|\leqslant (n+1)h(t)h(x), \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad |t-x|\geqslant 0, \end{equation} \tag{4.11}$

$\begin{equation} |F_n(t,x)|\leqslant C\frac{h(t)h(x)}{(n+1)(t-x)^2}, \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad |t-x|> 0, \end{equation} \tag{4.12}$

при этом постоянная

$C>0$ не зависит от

$t\in\varepsilon_m$ ,

$x\in K$ и

$n\in\mathbb{Z}_+$ .

Доказательство. Действительно, оценка (4.9) следует из (3.11), а соотношение (4.10) непосредственно вытекает из представления (4.4)–(4.7) и условий (3.4), (3.5), (3.7), (4.8). Равномерные оценки (4.11) и (4.12) вытекают соответственно из соотношений (4.9) и (3.4), (3.6), (3.7), (4.8) и представления (4.4)–(4.7).

Лемма 4.2 доказана.

Лемма 4.3. Пусть полиномиальная система $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условиям (3.7), (3.8), (4.8). Тогда функция

$\begin{equation} \widetilde{F}_n(t, x)=\frac{F_n(t,x)}{h(t)h(x)}, \qquad t,x\in\varepsilon_m, \quad n\in\mathbb{Z}_+, \end{equation} \tag{4.13}$

имеет интегрируемую горбатую мажоранту

$\widetilde{F}^*_n(t, x)$ , для которой справедлива равномерная оценка

$\begin{equation} \int^1_{-1} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t)\leqslant C, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in K, \end{equation} \tag{4.14}$

где

$K$ – компактное подмножество из

$\varepsilon_m$ .

Доказательство. Учитывая оценки (4.11), (4.12), имеем

$\begin{equation*} |\widetilde{F}_n(t,x)|\leqslant \begin{cases} C(n+1), & t\in\varepsilon_m,\ x\in K,\ |t-x|\geqslant 0, \\ \dfrac{C}{(n+1)(t-x)^2}, &t\in\varepsilon_m,\ x\in K,\ |t-x|> 0, \end{cases} \end{equation*} \notag$

где постоянные

$C>1$ не зависят от

$t\in\varepsilon_m$ ,

$x\in K$ и

$n\in\mathbb{Z}_+$ .

Откуда

$\begin{equation} |\widetilde{F}_n(t,x)|\leqslant \begin{cases} C(n+1), &t\in\varepsilon_m,\ x\in K,\ 0\leqslant|t-x|\leqslant\dfrac{1}{n+1}, \\ \dfrac{C}{(n+1)(t-x)^2}, & t\in\varepsilon_m,\ x\in K,\ |t-x|> \dfrac{1}{n+1}, \end{cases} \end{equation} \tag{4.15}$

где постоянные

$C>1$ не зависят от

$t\in\varepsilon_m$ ,

$x\in K$ и

$n\in\mathbb{Z}_+$ . Положим

$\begin{equation*} \widetilde{F}^*_n(t, x)=\frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}, \qquad t\in\varepsilon_m, \quad x\in K, \quad n\in\mathbb{Z}_+, \end{equation*} \notag$

и докажем, что

$\widetilde{F}^*_n(t, x)$ является интегрируемой горбатой мажорантой ядра

$\widetilde{F}_n(t, x)$ .

Действительно, воспользуемся соотношениями (4.15).

1. Для оценки $|\widetilde{F}_n(t,x)|\leqslant \widetilde{F}^*_n(t,x)$ имеем:

при $|t-x|\leqslant 1/(n+1)$ , $(n+1)|t-x|\leqslant 1$ оценка эквивалентна

$\begin{equation*} C(n+1)\leqslant \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}, \qquad 1+(n+1)^2(t-x)^2\leqslant 2; \end{equation*} \notag$

при $|t-x|>1/(n+1)$ , $(n+1)|t-x|> 1$ оценка эквивалентна соотношению

$\begin{equation*} \frac{C}{(n+1)(t-x)^2}\leqslant \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}, \qquad 1+(n+1)^2(t-x)^2 \leqslant 2(n+1)^2(t-x)^2. \end{equation*} \notag$

2. Монотонность горбатой мажоранты $\widetilde{F}^*_n(t, x)$ очевидна.

3. Покажем интегрируемость горбатой мажоранты – оценку (4.14).

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_n(x) &=\int^1_{-1} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t)=\int^{a_{k_0+1}}_{a_{k_0}} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t) \\ &\qquad +\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m }} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t)=\widetilde{J}_n^{(1)}(x)+\widetilde{J}_n^{(2)}(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Как и в доказательстве леммы 3.3, рассмотрим случай $t\geqslant x$ , введем число $h>0$ и промежутки $\delta_1=[x, x+1/(n+1)]$ , $\delta_2=[x+1/(n+1), a_{k_0+1}-h/2]$ , $\delta_3=[a_{k_0+1}-h/2,a_{k_0+1}]$ , $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ . Тогда

$\begin{equation*} \widetilde{J}^{(1)}_n(x)=\int_{\delta_1}+\int_{\delta_2}+\int_{\delta_3} =J^{(1)}_n(x)+J^{(2)}_n(x)+J^{(3)}_n(x). \end{equation*} \notag$

При оценке первых двух слагаемых воспользуемся ограниченностью весовой функции

$h(t)\omega(t)$ (см. (3.7), (3.8)):

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J^{(1)}_n(x) &=\int_{\delta_1} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t) =\int^{x+1/(n+1)}_{x} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}h(t)\omega(t)\,dt \\ &\leqslant \int^{x+1/(n+1)}_{x} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}\,dt=O(1), \\ J^{(2)}_n(x) &=\int_{\delta_2} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t) =\int^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}h(t)\omega(t)\,dt \\ &\leqslant 2C(n+1)\int^{a_{k_0+1}-h/2}_{x+1/(n+1)} \frac{dt}{1+(n+1)^2(t-x)^2} \leqslant C\int^\infty_{-\infty}\frac{dz}{1+z^2}=C\pi. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Так как при

$t\in\delta_3$ и

$x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ , справедливо

$t-x\geqslant h/2$ ,

$1+(n+ 1)^2(t-x)^2\geqslant 1+(n+1)^2(h/2)^2$ , то

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J^{(3)}_n(x) &=\int_{\delta_3} \widetilde{F}^*_n(t, x)h(t)\,d\theta(t) =\int^{a_{k_0+1}}_{a_{k_0+1}-h/2} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}h(t)\omega(t)\,dt \\ &\leqslant C(h)\int^1_{-1}h(t)\omega(t)\,dt\leqslant C(h). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Итак,

$\begin{equation*} |\widetilde{J}^{(1)}_n(x)|\leqslant C(h), \end{equation*} \notag$

где постоянная

$C(h)>0$ не зависит от

$n\in\mathbb{Z}_+$ и

$x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ .

Для оценки последнего слагаемого $\widetilde{J}^{(2)}_n(x)$ воспользуемся тем, что при $t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})$ и $x\in[a_{k_0}+h, a_{k_0+1}-h]$ имеем $|t-x|\geqslant h$ , поэтому

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\widetilde{J}^{(2)}_n(x) =\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\in\varepsilon_m }} \widetilde{F}^*_n(t,x)h(t)\,d\theta(t) \\ &\quad=\int_{\substack{t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ t\notin\varepsilon_m}} \frac{2C(n+1)}{1+(n+1)^2(t-x)^2}h(t)\omega(t)\,dt \leqslant C(h)\int^1_{-1}h(t)\omega(t)\,dt\leqslant C(h), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что и заканчивает доказательство леммы 4.3.

Следствие 4.1. Пусть выполняются условия леммы 4.3. Тогда для функции Лебега

$\begin{equation*} L^{(1)}_n(x) :=\int^1_{-1} |{F}_n(t,x)|\,d\theta(t), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m, \end{equation*} \notag$

равномерно на всех компактных подмножествах

$K$ из

$\varepsilon_m$ справедлива оценка

$\begin{equation} L^{(1)}_n(x) \leqslant C, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in K. \end{equation} \tag{4.16}$

Лемма 4.4. Пусть выполняются условия (3.7) и (4.8). Для любой функции $f\in\mathfrak{R}_p$ , $1\leqslant p<\infty$ , удовлетворяющей условиям (3.18), справедливы утверждения:

в каждой точке Лебега $x\in\varepsilon_m$ функции $f$ имеет место равенство

$\begin{equation} \lim_{n\to\infty} \int^1_{-1} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t)=0; \end{equation} \tag{4.17}$

если, кроме того, для меры $d\theta(x)$ имеет место (3.8), то для непрерывной на $[-1,1]$ функции $f$ соотношение (4.17) выполняется равномерно на всех компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$ .

Доказательство. Как и выше (см. доказательство теоремы 3.1), докажем п. (i) при

$p=1$ .

Пусть $x\in\varepsilon_m$ – точка Лебега и $x\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})$ . Введем натуральное число $n$ такое, что $[x-1/(n+1), x+1/(n+1)]\subset(a_{k_0}, a_{k_0+1})$ . Представим интеграл в виде

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int^1_{-1} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t) =\int_{\substack{|t-x|\leqslant1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t) \\ \notag &\qquad+\int_{\substack{|t-x|>1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad+\int_{\substack{|t-x|>1/(n+1)\\ t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} [f(t)-f(x)]F_n(t,x)\,d\theta(t)=J^{(1)}_n(x)+J^{(2)}_n(x)+J^{(3)}_n(x). \end{aligned} \end{equation} \tag{4.18}$

Применяя оценку (4.9), условия (3.18) и соотношение (3.17), имеем

$\begin{equation} |J^{(1)}_n(x)|\leqslant C_x(n+1)\int_{\substack{|t-x|\leqslant1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1}) }} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t)=o_x(1), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{4.19}$

Воспользуемся неравенством (4.10) и (3.5), получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |J^{(2)}_n(x)| &\leqslant C_x\frac{1}{n+1} \int_{\substack{|t-x|>1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1}) }} \frac{|f(t)-f(x)|}{[\pi_{N+1}(t)- \pi_{N+1}(x)]^2}h(t)\,d\theta(t) \\ &\leqslant C_x\frac{1}{n+1}\int_{\substack{|t-x|>1/(n+1)\\ t\in(a_{k_0}, a_{k_0+1})}} \frac{|f(t)-f(x)|}{(t-x)^2}h(t)\,d\theta(t). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Мы рассмотрим интеграл

$\begin{equation*} \widetilde J^{(2)}_n(x)\leqslant C_x\frac{1}{n+1} \int^{a_{k_0+1}}_{x+1/(n+1)} \frac{|f(t)-f(x)|}{(t-x)^2}h(t)\,d\theta(t), \end{equation*} \notag$

так как интеграл

$\begin{equation*} \frac{1}{n+1} \int^{x-1/(n+1)}_{a_{k_0}} \frac{|f(t)-f(x)|}{(t-x)^2}h(t)\,d\theta(t) \end{equation*} \notag$

оценивается аналогичным образом.

Введем $M>0$ , $M=M(n, x, k_0)$ :

$\begin{equation*} x+\frac{2^{M-1}}{n+1}\leqslant a_{k_0+1}<x+\frac{2^M}{n+1}. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |\widetilde J^{(2)}_n(x)| &\leqslant C_x\frac{1}{n+1}\sum^M_{j=1} \biggl(\frac{n+1}{2^{j-1}}\biggr)^2 \int_{x+2^{j-1}/(n+1)}^{x+2^j/(n+1)} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \\ &=C_x\sum^M_{j=1}\frac{n+1}{2^{2j}}\int_{|t-x|\leqslant 2^j/(n+1)} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \\ &=o_x\biggl(\sum^{M}_{j=1}\frac{1}{2^j}\biggr)=o_x(1), \qquad n\to\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Итак,

$\begin{equation} J^{(2)}_n(x)=o_x(1), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{4.20}$

Воспользуемся оценками (4.10), (3.5). Последовательно получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |J^{(3)}_n(x)| &\leqslant C_x\frac{1}{n+1} \int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ x\in K_0 }} \frac{|f(t)-f(x)|}{[\pi_{N+1}(t)-\pi_{N+1}(x)]^2}h(t)\,d\theta(t) \\ &\leqslant C_x\frac{1}{n+1}\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ x\in K_0 }} \frac{|f(t)-f(x)|}{(t-x)^2}h(t)\,d\theta(t) \\ &=O_x(1)\frac{1}{n+1}\int_{\substack{t\notin(a_{k_0}, a_{k_0+1})\\ x\in (a_{k_0}, a_{k_0+1}) }} |f(t)-f(x)|h(t)\,d\theta(t) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

и, в силу (3.18), имеем

$\begin{equation} J^{(3)}_n(x)=o_x(1), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{4.21}$

Подставляя (4.19)–(4.21) в (4.18), получаем соотношение (4.17).

(ii) Равномерное выполнение соотношения (4.17) при $x\in K\subset\varepsilon_m$ следует стандартным способом из следствия 4.1 (см. доказательство теоремы 3.1, (ii)).

Лемма 4.4 полностью доказана.

Теорема 4.1. Пусть для ортонормированной полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ выполняются предположения (3.7) и (4.8).

Тогда для средних Фейера $\sigma_nf(x)$ ряда Фурье–Соболева (1.4)–(1.5) в каждой точке Лебега $x\in\varepsilon_m$ функции $f\in\mathfrak{R}_p$ , $1\leqslant p<\infty$ , удовлетворяющей (3.18), имеет место

$\begin{equation} \sigma_nf(x)\to f(x), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{4.22}$

Если, кроме того, для меры $d\theta(x)$ имеет место условие (3.8), то для непрерывной на $[-1,1]$ функции $f$ равенство (4.22) выполняется равномерно на всех компактных подмножествах $K$ из $\varepsilon_m$ .

Доказательство. Из леммы 3.2 в силу регулярности по Тёплицу средних Фейера вытекает для

$x\in\varepsilon_m$ равенство

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)=0, \end{equation*} \notag$

и сходимость равномерна на компактных подмножествах

$K$ из

$\varepsilon_m$ .

Остальная часть доказательства непосредственно следует из леммы 4.4. Теорема 4.1 доказана.

Рассмотрим задачу об оценке нормы для мажоранты средних Фейера ряда Фурье–Соболева (см. (4.3))

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \sigma_*f(x) &=\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|\sigma_nf(x)| =\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1}f(t) F_n(t,x)\,d\theta(t) \\ &\qquad +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr|, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \sigma_*f(x) &\leqslant \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1}f(t) F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr| \\ &\qquad +\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr|, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \quad x\in\varepsilon_m. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.23}$

Рассмотрим

$\begin{equation} \|\sigma_*f(x)\|^p_{L^p_\theta(K)},\qquad \sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} \Bigl[\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(\sigma_nf)^{(i)}(a_s)|\Bigr]^p, \end{equation} \tag{4.24}$

где

$K$ – компактное подмножество из

$\varepsilon_m$ , и оценим первое выражение в (4.24).

Лемма 4.5. Пусть для полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ выполняются условия (3.7), (3.8), (3.36), (4.8). Если функция $f\in\mathfrak{R}_p$ удовлетворяет (3.18) (при некотором $1<p<\infty$ ), то

$\begin{equation} \|\sigma_*f\|_{L^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_\theta(K)}, \end{equation} \tag{4.25}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f\in W^p_\theta(K)$ .

Доказательство. Из (4.23) следует в силу неравенства Минковского

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \|\sigma_*f\|_{L^p_\theta(K)}^{p} &\leqslant C_p \biggl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\|^p_{L_\theta^p(K)} \\ &\qquad +C_p \biggl\|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} |f^{(i)}(a_s)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr|\biggr\|^p_{L^p_\theta(K)}, \end{aligned} \end{equation} \tag{4.26}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f$ .

Из (2.8) в силу леммы 4.3 и условия (3.18) имеем

$\begin{equation*} \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr| \leqslant C_p M_\theta[fh](x)h(x), \qquad x\in K, \end{equation*} \notag$

и тогда из ограниченности функции

$h(x)$ на

$K$ и оценки (2.9) получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\|^p_{L_\theta^p(K)} \leqslant C_p \|M_\theta[fh](x)h(x)\|^p_{L_\theta^p(K)} \\ &\qquad\leqslant C_p \|M_\theta[fh](x)\|^p_{L_\theta^p(K)} \leqslant C_p \|fh\|^p_{L_\theta^p(K)}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Учитывая вновь ограниченность функции $h(x)$ на $K$ , получаем оценку

$\begin{equation} \biggl\|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)F_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\|^p_{L_\theta^p(K)} \leqslant C_p \|f\|^p_{L_\theta^p(K)}, \end{equation} \tag{4.27}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f$ .

Оценим второе слагаемое суммы (4.26). Условия (3.7), (3.36) дают

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr| =\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^n_{l=0} \biggl(1-\frac{l}{n+1}\biggr)\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s)\widehat{q}_l(x)\biggr| \\ &\qquad\leqslant Ch(x), \qquad x\in\varepsilon_m. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.28}$

Тогда в силу (3.40) и (4.28) имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\biggl\|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+} \biggl|\frac{\partial^i F_n}{\partial t^i}(a_s,x)\biggr|\biggr\|^p_{L^p_\theta(K)} \\ &\qquad \leqslant C_p\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0}M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p \int_K h^p(x)\,d\theta(x) \leqslant C_p\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} |f^{(i)}(a_s) |^p. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.29}$

Итак, учитывая (4.26), (4.27), (4.29) и (3.32), получаем

$\begin{equation*} \|\sigma_*f\|_{L^p_\theta(K)}^p\leqslant C_p\biggl\{ \|f\|^p_{L_\theta^p(K)}+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i} |f^{(i)}(a_s)|^p\biggr\} =C_p\|f\|^p_{W_\theta^p(K)}, \end{equation*} \notag$

что и доказывает лемму 4.5.

Лемма 4.6. Пусть для ортонормированной полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ при некотором $p$ , $1<p<\infty$ , выполняются условия (3.7), (3.8), (3.36), (4.8), (3.41). Если функция $f$ принадлежит $W^p_\theta([-1,1])$ , то выполняется оценка

$\begin{equation} \sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\Bigl[\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(\sigma_nf)^{(j)}(a_k)|\Bigr]^p\leqslant C_p\|f\|^p_{W^p_\theta([-1,1])}, \end{equation} \tag{4.30}$

где постоянная

$C>0$ не зависит от функции

$f$ .

Доказательство. Так как

$\begin{equation*} (\sigma_nf)^{(j)}(a_k)=\int^1_{-1}f(t)\frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\,d\theta(t) +\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^{j+i}F_n}{\partial x^j \, \partial t^i}(a_s, a_k), \end{equation*} \notag$

то

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(\sigma_nf)^{(j)}(a_k)|\leqslant \sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1}f(t)\, \frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\,d\theta(t)\biggr| \\ &\qquad +\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^{j+i}F_n}{\partial x^j\, \partial t^j}(a_s, a_k)\biggr|. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\Bigl[\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}|(\sigma_nf)^{(j)}(a_k)|\Bigr]^p \\ \notag &\leqslant C_p \sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\sup_{n\in\mathbb{Z}_+} \biggl|\int^1_{-1} f(t)\, \frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\}^p \\ &\ +C_p \sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+} \biggl|\sum^n_{l=0}\biggl(1\,{-}\frac{l}{n+1}\biggr)\widehat{q}^{\,(i)}_l(a_s) \widehat{q}^{\,(j)}_l(a_k)\biggr|\biggr\}^p. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.31}$

Из оценок (3.7), (3.36), (4.28) следует

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \biggl|\frac{\partial^{j+i}F_n}{\partial x^j\, \partial t^i}(a_s, a_k)\biggr| \leqslant C, \qquad \biggl|\frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\biggr|\leqslant C h(t), \\ n\in\mathbb{Z}_+, \qquad t\in\varepsilon_m, \quad j=0,1,\dots,N_k, \qquad i=0,1,\dots, N_s, \qquad s,k=1,\dots,m. \end{gathered} \end{equation} \tag{4.32}$

Из соотношений (3.41), (4.32) и неравенства Гёльдера следует

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j} \biggl\{\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\int^1_{-1} f(t)\, \frac{\partial^j F_n}{\partial x^j}(t, a_k)\,d\theta(t)\biggr|\biggr\}^p \\ &\qquad \leqslant C_p (\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])}\|h\|_{L^q_\theta([-1,1])})^p \leqslant C_p(\|f\|_{L^p_\theta([-1,1])})^p, \end{aligned} \end{equation} \tag{4.33}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f\in L^p_\theta([-1,1])$ . Воспользуемся первой оценкой (4.32) и соотношением (3.40):

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\sup_{n\in\mathbb{Z}_+}\biggl|\frac{\partial^{j+i}F_n}{\partial x^j\, \partial t^i}(a_s, a_k)\biggr|\biggr\}^p \\ &\qquad \leqslant C_p \sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{j=0} M_{k,j}\biggl\{\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|\biggr\}^p \leqslant C_p\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}|f^{(i)}(a_s)|^p. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.34}$

Подставляя соотношения (4.33) и (4.34) в (4.31), получаем оценку (4.30). Лемма 4.6 доказана полностью.

Из определения (3.32) и лемм 4.5 и 4.6 вытекает следующее утверждение.

Теорема 4.2. Пусть для полиномиальной системы $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ выполняются условия (3.7), (3.8), (3.36), (3.41), (4.8). Для любой функции $f$ удовлетворяющей (3.18) и $f\in W^p_\theta([-1,1])$ при некотором $p$ , $1<p<\infty$ , на произвольном компактном подмножестве $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка

$\begin{equation} \|\sigma_nf\|_{W^p_\theta(K)} \leqslant C_p \|f\|_{W^p_\theta([-1,1])}, \end{equation} \tag{4.35}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от

$n\in\mathbb{Z}_+$ и функции

$f$ .

§ 5. Мультипликаторы рядов Фурье–Соболева

Рассмотрим частные суммы мультипликаторного ряда (1.7)

$\begin{equation} T_nf(x;\Phi)=\sum^n_{k=0}\phi_k c_k(f)\widehat{q}_k(x), \qquad x\in[-1,1], \quad n\in\mathbb{Z}_+, \end{equation} \tag{5.1}$

порожденного последовательностью (1.6):

$\begin{equation*} \Phi=\bigl\{\phi_n,\ n\in\mathbb{Z}_+;\ \phi_0=1,\ \{\phi_n\}^\infty_{n=0}\in l^\infty\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Обозначим

$\begin{equation*} \Delta\phi_n=\phi_n-\phi_{n+1}, \quad \Delta^2\phi_n=\Delta(\Delta\phi_n)=\phi_n- 2\phi_{n+1}+\phi_{n+2}, \qquad n\in\mathbb{Z}_+. \end{equation*} \notag$

Последовательность $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ называется квазивыпуклой, если

$\begin{equation} \sum^\infty_{n=0}(n+1)|\Delta^2\phi_n|<\infty. \end{equation} \tag{5.2}$

Лемма 5.1 (см. [32; гл. 7, 7.1.3]). Если последовательность $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ квазивыпукла и ограничена, то она имеет ограниченную вариацию и последовательность $n\Delta\phi_n$ ограничена

$\begin{equation} n|\Delta\phi_n|\leqslant C, \qquad n\in\mathbb{Z}_+. \end{equation} \tag{5.3}$

Если последовательность $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ квазивыпукла и имеет конечный предел, то она имеет ограниченную вариацию и для нее выполняется

$\begin{equation} \lim_{n\to\infty} n\Delta\phi_n=0. \end{equation} \tag{5.4}$

Замечание 5.1. Если последовательность $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ квазивыпукла и ограничена, то, как следует из (5.3), для нее справедлива оценка

$\begin{equation*} \sum^n_{k=0}(k+1)|\Delta\phi_k|\leqslant C(n+1), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \end{equation*} \notag$

что эквивалентно соотношению

$\begin{equation*} \sum^{2^{p+1}-1}_{k=2^p}|\Delta\phi_k|\leqslant C, \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \end{equation*} \notag$

обычно применяемому в теореме Марцинкевича о мультипликаторах (см. [33]).

Лемма 5.2. Пусть $s_n$ и $\sigma_n$ соответственно частные суммы и средние арифметические ряда $\sum^\infty_{k=0}u_k$ . Если $\sigma_n$ сходятся и если $s_n=o(\mu_n)$ , где $\{{1}/{\mu_n}\}^\infty_{n=0}$ квазивыпукла и стремится к нулю при $n\to\infty$ , то ряд $\sum^\infty_{k=0}{u_k}/{\mu_k}$ сходится.

Доказательство. Действительно, применим дважды преобразование Абеля:

$\begin{equation*} \sum^n_{k=0}\frac{u_k}{\mu_k} =\sum^{n-2}_{k=0}(k+1)\sigma_k\Delta^2\biggl(\frac{1}{\mu_k}\biggr) +n\Delta\biggl(\frac{1}{\mu_{n-1}}\biggr)\sigma_{n-1}+s_n\frac{1}{\mu_n}, \qquad n\in\mathbb{Z}_+. \end{equation*} \notag$

Используем условия леммы 5.2 и утверждение (ii) леммы 5.1 (см. (5.4)). Тогда при

$n\to\infty$

$\begin{equation*} \sum^n_{k=0}\frac{u_k}{\mu_k}\to \sum^\infty_{k=0}(k+1)\sigma_k\Delta^2\biggl(\frac{1}{\mu_k}\biggr), \end{equation*} \notag$

и ясно, что ряд

$\sum^\infty_{k=0}(k+1)\Delta^2(1/\mu_k)\sigma_k$ сходится абсолютно. Лемма 5.2 доказана.

Теорема 5.1. Пусть ортонормированная система многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условиям (3.7), (4.8) и для элементов квазивыпуклой последовательности $\Phi=\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ имеет место соотношение

$\begin{equation} \phi_n=O\biggl(\frac{1}{\ln n}\biggr), \qquad n\to\infty. \end{equation} \tag{5.5}$

Тогда если для функции $f\in\mathfrak{R}_p$ , $1\leqslant p <\infty$ , выполняются условия (3.18), то справедливы следующие утверждения:

в каждой точке Лебега $x\in\varepsilon_m$ мультипликаторный ряд (1.7) сходится,

$\begin{equation*} Tf(x;\Phi)=\sum^\infty_{k=0} \phi_k c_k(f)\widehat{q}_k(x) \quad\textit{для $\theta$-почти всех }x\in[-1,1]; \end{equation*} \notag$

если, кроме того, функция $f$ непрерывна на $[-1,1]$ и выполняется (3.8), то мультипликаторный ряд (1.7) равномерно сходится на каждом компактном подмножестве $K\subset\varepsilon_m$ , т.е. есть сходимость в топологии равномерной сходимости на компактах.

Доказательство. Учитывая теоремы 3.1 и 4.1, можно применить лемму 5.2 с

$\mu_n=\ln(n+2)$ .

Следствие 5.1. Пусть система многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условиям (3.7), (4.8). Тогда если для функции $f \in \mathfrak{R}_p$ , $1 \leqslant p < \infty$ , выполняются (3.18), то оба ряда

$\begin{equation} \sum^\infty_{k=0}\frac{c_k(f)\widehat{q}_k(x)}{\ln(k+2)}, \quad \sum^\infty_{k=0}\frac{c_k(f)\widehat{q}_k(x)}{(k+1)^\gamma}, \qquad \gamma>0, \end{equation} \tag{5.6}$

сходятся в точках Лебега

$x$ из

$\varepsilon_m$ . При этом они сходятся в каждой точке непрерывности

$f$ . Если

$f$ непрерывна на

$[-1,1]$ и выполняется (3.8), то ряды сходятся равномерно на компактных подмножествах

$K$ из

$\varepsilon_m$ .

Действительно, нетрудно видеть, что последовательности $\phi_k={1}/{\ln(k+2)}$ и $\phi_k={1}/{(k+1)^\gamma}$ , $\gamma>0$ , удовлетворяют условию (5.5) теоремы 5.1.

Рассмотрим вопрос об оценке нормы мажоранты частных сумм ряда (1.7).

Теорема 5.2. Пусть ортонормированная система многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ удовлетворяет условиям теоремы 4.2.

Если для элементов квазивыпуклой последовательности (1.6) имеет место оценка (5.5), то для любой функции $f\in W^p_\theta([-1,1])$ , $1<p<\infty$ , удовлетворяющей (3.18), на произвольном компактном подмножестве $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка

$\begin{equation} \|T_nf(x;\Phi)\|_{W^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_\theta([-1,1])}, \end{equation} \tag{5.7}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от

$n\in\mathbb{Z}_+$ , функции

$f$ и последовательности (1.6).

Доказательство. Так как (см. (3.1))

$\begin{equation*} S_nf(x)=\int^1_{-1}f(t)D_n(t,x)\,d\theta(t)+\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0} M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s, x), \qquad n\in\mathbb{Z}_+, \end{equation*} \notag$

то в силу определения функции

$G_nf(x)$ и условия (5.5) имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |\phi_nS_nf(x)| &\leqslant |\phi_n\ln(n+2)|\,\biggl|\frac{1}{\ln(n+2)}\int^1_{-1}f(t)D_n(t,x)\,d\theta(t)\biggr| \\ &\qquad +|\phi_n|\,\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0}M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i}(a_s, x)\biggr| \\ &\leqslant C|G_nf(x)|+C\biggl|\sum^m_{s=1}\sum^{N_s}_{i=0}M_{s,i}f^{(i)}(a_s)\, \frac{\partial^i D_n}{\partial t^i} (a_s,x)\biggr|. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Применим леммы 3.4 и 3.5, учитывая (3.35), (3.37) и (3.42), получим

$\begin{equation} \|\phi_nS_nf\|_{W^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_\theta([-1,1])}, \end{equation} \tag{5.8}$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от

$n\in\mathbb{Z}_+$ , функции

$f\in W^p_\theta([-1,1])$ и последовательности

$\{\phi_n\}^\infty_{n=0}$ .

Нетрудно видеть, что, применяя дважды преобразование Абеля, получаем

$\begin{equation*} T_nf(x;\Phi)=\phi_nS_nf(x)+n(\Delta\phi_{n-1})\sigma_{n-1}f(x) +\sum^{n-2}_{k=0}(k+1)(\Delta^2\phi_k)\sigma_kf(x). \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |T_nf(x;\Phi)| &\leqslant |\phi_nS_nf(x)|+(n|\Delta\phi_{n-1}|)|\sigma_{n-1}f(x)| \\ &\qquad +\sup_{n\in\mathbb{Z}_+} \sum^{n-2}_{k=0}(k+1)|\Delta^2\phi_k|\,|\sigma_kf(x)|. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для окончания доказательства теоремы 5.2 следует обратиться к оценкам (4.35), (5.3) и (5.8). Теорема 5.2 доказана полностью.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 5.3. Пусть при некотором $p$ , $1<p<\infty$ , выполняются условия теоремы 5.2 на функцию $f$ , систему ортонормированных многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ и мультипликаторную последовательность (1.6). Тогда для мультипликаторного оператора $T$ выполняется оценка

$\begin{equation*} \|Tf\|_{W^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_\theta([-1,1])}, \end{equation*} \notag$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f\in W^p_\theta([-1,1])$ и последовательности (1.6).

Теорема 5.3 непосредственно следует из леммы Фату (лемма 2.4), теоремы 5.1 и оценки (5.7).

Рассмотрим мультипликаторный ряд (5.6) и введем мультипликаторный оператор

$\begin{equation} Pf(x)\sim\sum^\infty_{k=0}\frac{c_k(f)\widehat{q}_k(x)}{\ln(k+2)}, \qquad x\in[-1,1]. \end{equation} \tag{5.9}$

Полагая $\phi_k={1}/{\ln(k+2)}$ в теореме 5.3, получаем следующее утверждение.

Следствие 5.2. Пусть система многочленов $\{\widehat{q}_n(x)\}^\infty_{n=0}$ и функция $f$ удовлетворяют всем условиям теоремы 5.2. Тогда ряд (5.9) сходится почти всюду в $[-1,1]$ и для его суммы $Pf(x)$ на любом компактном подмножестве $K$ из $\varepsilon_m$ справедлива оценка

$\begin{equation*} \|Pf(x)\|_{W^p_\theta(K)}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_\theta([-1,1])}, \end{equation*} \notag$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f\in W^p_\theta([-1,1])$ .

Аналогичная оценка справедлива и для мультипликаторного оператора

$\begin{equation*} \overline{P}f(x) \sim\sum^\infty_{k=0}\frac{c_k(f)\widehat{q}_k(x)}{(k+1)^\gamma}, \qquad \gamma>0. \end{equation*} \notag$

§ 6. Симметричные многочлены Гегенбауэра–Соболева

Рассмотрим линейное пространство со скалярным произведением

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \langle f,g\rangle_\alpha &=\int^1_{-1} f(x)g(x)\omega_\alpha(x)\,dx+M[f(1)g(1)+f(-1)g(-1)] \\ &\qquad +N[f'(1)g'(1)+f'(-1)g'(-1)], \qquad M\geqslant0, \quad N\geqslant0, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \omega_\alpha(x)=\frac{\Gamma(2\alpha)}{2^{2\alpha+1}\Gamma^2(\alpha+1)} (1-x^2)^\alpha, \qquad \alpha>-\frac{1}{2}. \end{equation*} \notag$

Пусть $\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)\equiv \widehat{B}^{(\alpha)}_n(x;M,N)\}$ – система симметричных ортонормированных многочленов Гегенбауэра–Соболева

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int^1_{-1} \widehat{B}^{(\alpha)}_n(x) \widehat{B}^{(\alpha)}_m(x)\omega_\alpha(x)\,dx +M[\widehat{B}^{(\alpha)}_n(1)\widehat{B}^{(\alpha)}_m(1) +\widehat{B}^{(\alpha)}_n(-1)\widehat{B}^{(\alpha)}_m(-1)] \\ &\qquad+N[\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n(1)\}'\{\widehat{B}^{(\alpha)}_m(1)\}' +\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n(-1)\}'\{\widehat{B}^{(\alpha)}_m(-1)\}']=\delta_{n,m}, \qquad n,m\,{\in}\,\mathbb{Z}_+. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

При $\alpha=0$ получаем систему симметричных ортонормированных многочленов Лежандра–Соболева.

Многочлены $\widehat{B}_n^{(\alpha)}(x;M,N)$ при $M>0$ , $N>0$ обладают рядом свойств, отличных от соответствующих свойств классических многочленов Гегенбауэра $\widehat{P}_n^{(\alpha)}(x)$ (ультрасферических), ортонормированных по весу $\omega_\alpha(x)$ (случай $M=0$ , $N=0$ ).

Приведем некоторые из них (см. [34]–[43] и литературу в них).

1. Для достаточно больших $n$ существует одна пара вещественных корней, лежащих вне промежутка $[-1,1]$ (все корни $\widehat{P}^{(\alpha)}_n(x)$ лежат в интервале $(-1,1)$ ).

2. Многочлены $\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)$ являются собственными функциями линейного дифференциального оператора (обычно бесконечного порядка). Только в случае, когда $\alpha=0,1,2,\dots$ ; этот класс содержит оператор конечного порядка:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, 2, &\quad\text{если }\ M=0,\ N=0, \\ 2\alpha+4, &\quad\text{если }\ M>0,\ N=0, \\ 2\alpha+8, &\quad\text{если }\ M=0,\ N>0, \\ 4\alpha+10, &\quad\text{если }\ M>0,\ N>0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

3. Значения в концах промежутка ортогональности:

$\begin{equation} |\widehat{B}^{(\alpha)}_n(\pm 1)|\approx n^{-\alpha-3/2}, \qquad |\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n\}'(\pm 1)|\approx n^{-\alpha-7/2}, \qquad n\to\infty, \end{equation} \tag{6.1}$

при этом соотношение

$A_n\approx B_n(n\to\infty)$ означает

$\lim_{n\to\infty}{A_n}/{B_n}=1$ (известно, что

$|\widehat{P}^{(\alpha)}_n(\pm 1)|\approx n^{\alpha+1/2}$ ;

$|\{\widehat{P}^{(\alpha)}_n\}'(\pm 1)|\approx n^{\alpha+5/2}$ ).

4. Справедливы рекуррентные соотношения

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag (x^3-3x)\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x) &=a_{n+3}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n+3}(x)+b_{n+1}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n+1}(x) \\ &\qquad +b_n\widehat{B}^{(\alpha)}_{n-1}(x)+a_n\widehat{B}^{(\alpha)}_{n-3}(x), \end{aligned} \end{equation} \tag{6.2}$

где

$\begin{equation} \sum^\infty_{k=0}(|\Delta a_k|+|\Delta b_k|)<\infty, \end{equation} \tag{6.3}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag (x^2-1)^{2}\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x) &={\epsilon}_{n+4}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n+4}(x) +{\beta}_{n+2}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n+2}+{\gamma}_n\widehat {B}^{(\alpha)}_{n}(x) \\ &\qquad+{\beta}_{n}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n-2}(x)+{\epsilon}_{n}\widehat{B}^{(\alpha)}_{n-4}(x), \end{aligned} \end{equation} \tag{6.4}$

где

$\begin{equation*} \sum^\infty_{k=0}(|\Delta {\epsilon}_k|+|\Delta {\beta}_k|+|\Delta{\gamma}_k|)<\infty. \end{equation*} \notag$

Для рекуррентного соотношения (6.4) ограниченная вариация для рекуррентных коэффициентов получена в [36], для рекуррентного соотношения (6.2) доказательство (6.3) аналогично. Напомним, что классические многочлены Гегенбауэра удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению. Условие (4.8) для многочленов

$\widehat {B}^{(\alpha)}_n(x)$ выполняется, если имеет место оценка (6.3). Отметим, что для многочленов Гегенбауэра–Соболева можно ограничиться использованием рекуррентного соотношения (6.2).

5. Весовая оценка для многочленов $\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)$ , как и для $\widehat{P}^{(\alpha)}_n(x)$ , имеет вид

$\begin{equation*} |\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)|\leqslant C(1-x^2)^{-(\alpha/2+1/4)}, \qquad -1<x<1, \quad\alpha>-\frac{1}{2}, \end{equation*} \notag$

где постоянная

$C>0$ не зависит от

$n=1,2,\dots$ и

$x\in (-1,1)$ .

Обозначим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, W^p_{\omega_\alpha}(F) &=\biggl\{f,\ \|f\|_{W^p_{\omega_\alpha}(F)}<\infty;\ \|f\|^p_{W^p_{\omega_\alpha}(F)}=\|f\|^p_{L^p_{\omega_\alpha}(F)} \\ &\qquad+\sum^m_{k=1}\sum^{N_k}_{i=0} M_{k,i} |f^{(i)}(a_k)|^p\biggr\}, \qquad F\subseteq [-1,1], \quad 1\leqslant p<\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Каждой функции $f\in W^p_{\omega_\alpha}([-1,1])$ , $\alpha>-1/2$ , поставим в соответствие ряд Фурье–Гегенбауэра–Соболева (рассматривается случай $M>0$ , $N>0$ )

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &f(x)\sim\sum^\infty_{k=0} c_k^{(\alpha)}(f)\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x), \\ &c_k^{(\alpha)}(f)=\int^1_{-1} f(x)\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x)\omega_\alpha(x)\,dx +M\bigl[f(1)\widehat{B}^{(\alpha)}_n(1)+f(-1)\widehat{B}^{(\alpha)}_n(-1)\bigr] \\ &\qquad\qquad +N\bigl[f'(1)\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n\}'(1)+f'(-1)\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n\}'(-1)\bigr]. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Введем ряды

$\begin{equation} \sum^\infty_{k=0} \frac{c_k^{(\alpha)}\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x)}{\ln(k+2)}, \qquad x\in[-1,1], \end{equation} \tag{6.5}$

$\begin{equation} \sum^\infty_{k=0} \frac{c_k^{(\alpha)}\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x)}{(k+1)^\gamma}, \qquad x\in[-1,1]. \end{equation} \tag{6.6}$

Пусть $[a,b]$ – произвольный замкнутый промежуток из $(-1,1)$ . Аналогично следствиям 5.1 и 5.2 получаем следующие утверждения.

Теорема 6.1. Пусть $\alpha>-1/2$ , $f\in W^p_{\omega_\alpha}([-1,1])$ и

$\begin{equation} 1<{p}<\frac{2{\alpha}+1}{{4}({\alpha}+1)}. \end{equation} \tag{6.7}$

Тогда ряд (6.5) сходится почти всюду в $(-1,1)$ .

Для его суммы

$\begin{equation*} P^{(\alpha)}f(x)=\sum^\infty_{k=0}\frac{c_k^{(\alpha)}(f)\widehat{B}^{(\alpha)}_k(x)}{\ln(k+2)}, \qquad x\in[-1,1], \end{equation*} \notag$

на каждом компакте

$[a,b]\subset(-1,1)$ при

$\begin{equation} \frac{4(\alpha+1)}{2\alpha+3}<p<\frac{4(\alpha+1)}{2\alpha+1} \end{equation} \tag{6.8}$

справедлива оценка

$\begin{equation*} \|P^{(\alpha)}f\|_{W^p_{\omega_\alpha}([a,b])}\leqslant C_p\|f\|_{W^p_{\omega_\alpha([-1,1])}}, \end{equation*} \notag$

где постоянная

$C_p>0$ не зависит от функции

$f$ .

Аналогичное утверждение справедливо для ряда (6.6).

Доказательство. Проверим выполнение условий (3.18) и (3.41) на мажоранту

$h(x)$ системы

$\{\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x)\equiv\widehat{B}^{(\alpha)}_n(x;M,N)\}$ .

Так как $\omega_\alpha(x)=(1-x^2)^{-(\alpha/2+1/4)}$ , $-1<x<1$ , $\alpha>-1/2$ , то условия (3.18) и (3.41) дают

$\begin{equation*} \int^1_{-1} (1-x^2)^{\alpha-p(\alpha/2+1/4)}\,dx\,{<}\,\infty, \quad \int^1_{-1} (1-x^2)^{\alpha-q(\alpha/2+1/4)}\,dx\,{<}\,\infty,\qquad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, \end{equation*} \notag$

при этом из сходимости первого интеграла вытекает неравенство (6.7), а из сходимости обоих интегралов – соотношение (6.8). Условия (3.36) непосредственно следуют из (6.1), а (4.8) – из (6.3). Теорема доказана.

Вопросы сходимости рядов Фурье–Гегенбауэра–Соболева (и их обобщений) изучались в статьях [44], [45].



Список литературы

1.	Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, т. 1, 3-е изд., Гостехиздат, М.–Л., 1951, 476 с. ; пер. с нем.: R. Courant, D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Grundlehren Math. Wiss., I, 2. verb. Aufl., J. Springer, Berlin, 1931, xiv+469 pp.
2.	H. L. Krall, “Certain differential equations for Tchebycheff polynomials”, Duke Math. J., 4:4 (1938), 705–718
3.	A. M. Krall, “Orthogonal polynomials satisfying fourth order differential equations”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 87:3-4 (1981), 271–288
4.	D. C. Lewis, “Polynomial least square approximations”, Amer. J. Math., 69:2 (1947), 273–278
5.	F. Marcellán, Yuan Xu, “On Sobolev orthogonal polynomials”, Expo. Math., 33:3 (2015), 308–352
6.	И. И. Шарапудинов, “Аппроксимативные свойства рядов Фурье по многочленам, ортогональным по Соболеву с весом Якоби и дискретными массами”, Матем. заметки, 101:4 (2017), 611–629 ; англ. пер.: I. I. Sharapudinov, “Approximation properties of Fourier series of Sobolev orthogonal polynomials with Jacobi weight and discrete masses”, Math. Notes, 101:4 (2017), 718–734
7.	И. И. Шарапудинов, “Ортогональные по Соболеву полиномы, порожденные полиномами Якоби и Лежандра, и специальные ряды со свойством прилипания их частичных сумм”, Матем. сб., 209:9 (2018), 142–170 ; англ. пер.: I. I. Sharapudinov, “Sobolev orthogonal polynomials generated by Jacobi and Legendre polynomials, and special series with the sticking property for their partial sums”, Sb. Math., 209:9 (2018), 1390–1417
8.	И. И. Шарапудинов, “Ортогональные по Соболеву системы функций и некоторые их приложения”, УМН, 74:4(448) (2019), 87–164 ; англ. пер.: I. I. Sharapudinov, “Sobolev-orthogonal systems of functions and some of their applications”, Russian Math. Surveys, 74:4 (2019), 659–733
9.	А. С. Костенко, М. М. Маламуд, “Оператор Шредингера с $\delta'$ -взаимодействием и струна Крейна–Стилтьеса”, Докл. РАН, 432:1 (2010), 12–17 ; англ. пер.: A. S. Kostenko, M. M. Malamud, “Schrödinger operators with $\delta'$ -interactions and the Krein–Stieltjes string”, Dokl. Math., 81:3 (2010), 342–347
10.	Б. П. Осиленкер, “О рядах Фурье по обобщенным собственным функциям дискретного оператора Штурма–Лиувилля”, Функц. анализ и его прил., 52:2 (2018), 90–93 ; англ. пер.: B. P. Osilenker, “On Fourier series in generalized eigenfunctions of a discrete Sturm–Liouville operator”, Funct. Anal. Appl., 52:2 (2018), 154–157
11.	А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, Изд. 7-е, стереотип., Изд-во МГУ, М.; Наука, М., 2004, 800 с. ; англ. пер. 2-го изд.: A. N. Tikhonov, A. A. Samarskii, Equations of mathematical physics, The Macmillan Co., New York, 1963, xvi+765 с.
12.	Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Мир, М., 1980, 664 с. ; пер. с англ.: H. Triebel, Interpolation theory, function spaces, differential operators, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1978, 528 с.
13.	И. И. Шарапудинов, “Ортогональные по Соболеву системы функций и задача Коши для ОДУ”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:2 (2019), 204–226 ; англ. пер.: I. I. Sharapudinov, “Sobolev-orthogonal systems of functions and the Cauchy problem for ODEs”, Izv. Math., 83:2 (2019), 391–412
14.	S. Albeverio, Z. Brzeźniak, L. Dabrowski, “Fundamental solution of the heat and Schrödinger equations with point interaction”, J. Funct. Anal., 130:1 (1995), 220–254
15.	J. Heinonen, T. Kilpeläinen, O. Martio, Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Oxford Math. Monogr., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1993, vi+363 pp.
16.	T. Kilpeläinen, “Weighted Sobolev spaces and capacity”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 19:1 (1994), 95–113
17.	A. Kufner, Weighted Sobolev spaces, Teubner-Texte Math., 31, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1980, 151 pp.
18.	A. Kufner, A.-M. Sändig, Some applications of weighted Sobolev spaces, Teubner-Texte Math., 100, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1987, 268 pp.
19.	W. D. Evans, L. L. Littlejohn, F. Marcellan, C. Markett, A. Ronveaux, “On recurrence relations for Sobolev orthogonal polynomials”, SIAM J. Math. Anal., 26:2 (1995), 446–467
20.	I. A. Rocha, F. Marcellán, L. Salto, “Relative asymptotics and Fourier series of orthogonal polynomials with a discrete Sobolev inner product”, J. Approx. Theory, 121:2 (2003), 336–356
21.	Б. П. Осиленкер, “О мультипликаторах рядов Фурье по многочленам, ортогональным в континуально-дискретных пространствах Соболева”, Современные проблемы математики и механики, МАКС Пресс, М., 2019, 500–503
22.	B. P. Osilenker, Multiplier theorem for Fourier series in continuous–discrete Sobolev orthogonal polynomials, arXiv: 2012.00550
23.	B. Muckenhoupt, “Poisson integrals for Hermite and Laguerre expansions”, Trans. Amer. Math. Soc., 139 (1969), 231–242
24.	B. Osilenker, Fourier series in orthogonal polynomials, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1999, vi+287 pp.
25.	Е. М. Дынькин, Б. П. Осиленкер, “Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения”, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 21, ВИНИТИ, М., 1983, 42–129 ; англ. пер.: E. M. Dyn'kin, B. P. Osilenker, “Weighted estimates for singular integrals and their applications”, J. Math. Sci. (N.Y.), 30:3 (1985), 2094–2154
26.	М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов, Мера и интеграл, Факториал Пресс, М., 2002, 160 с.
27.	Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с. ; пер. с англ.: N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear operators, т. I, Pure Appl. Math., 7, General theory, Interscience Publishers, Inc., New York; Interscience Publishers, Ltd., London, 1958, xiv+858 с.
28.	G. Freud, Orthogonal polynomials, Akad. Kiado, Budapest; Pergamon Press, Oxford, 1971, 294 pp.
29.	J. M. Rodríguez, V. Álvarez, E. Romera, D. Pestana, “Generalized weighted Sobolev spaces and applications to Sobolev orthogonal polynomials. I”, Acta Appl. Math., 80:3 (2004), 273–308
30.	J. M. Rodríguez, E. Romera, D. Pestana, V. Álvarez, “Generalized weighted Sobolev spaces and applications to Sobolev orthogonal polynomials. II”, Approx. Theory Appl. (N.S.), 18:2 (2002), 1–32
31.	J. M. Rodríguez, “Approximation by polynomials and smooth functions in Sobolev spaces with respect to measures”, J. Approx. Theory, 120:2 (2003), 185–216
32.	Р. Эдвардс, Ряды Фурье в современном изложении, т. 1, Мир, М., 1985, 262 с. ; пер. с англ.: R. E. Edwards, Fourier series. A modern introduction, т. 1, Grad. Texts in Math., 64, 2nd ed., Springer-Verlag, New York–Berlin, 1979, xii+224 с.
33.	B. Muckenhoupt, E. M. Stein, “Classical expansions and their relation to conjugate harmonic functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 118 (1965), 17–92
34.	Б. П. Осиленкер, “Об одной экстремальной задаче для алгебраических полиномов в симметричном дискретном пространстве Гегенбауэра–Соболева”, Матем. заметки, 82:3 (2007), 411–425 ; англ. пер.: B. P. Osilenker, “An extremal problem for algebraic polynomials in the symmetric discrete Gegenbauer–Sobolev space”, Math. Notes, 82:3 (2007), 366–379
35.	Б. П. Осиленкер, “О линейных методах суммирования рядов Фурье по многочленам, ортогональным в дискретных пространствах Соболева”, Сиб. матем. журн., 56:2 (2015), 420–435 ; англ. пер.: B. P. Osilenker, “On linear summability methods of Fourier series in polynomials orthogonal in a discrete Sobolev space”, Siberian Math. J., 56:2 (2015), 339–351
36.	B. P. Osilenker, “Generalized trace formula and asymptotics of the averaged Turan determinant for polynomials orthogonal with a discrete Sobolev inner product”, J. Approx. Theory, 141:1 (2006), 70–97
37.	H. Bavinck, “Differential operators having Sobolev-type Gegenbauer polynomials as eigenfunctions”, J. Comput. Appl. Math., 118:1-2 (2000), 23–42
38.	H. Bavinck, H. G. Meijer, “Orthogonal polynomials with respect to a symmetric inner product involving derivatives”, Appl. Anal., 33:1-2 (1989), 103–117
39.	H. Bavinck, H. G. Meijer, “On orthogonal polynomials with respect to an inner product involving derivatives: zeros and recurrence relations”, Indag. Math. (N.S.), 1:1 (1990), 7–14
40.	A. F. Moreno, F. Marcellán, B. P. Osilenker, “Estimates for polynomials orthogonal with respect to some Gegenbauer–Sobolev type inner product”, J. Inequal. Appl., 3:4 (1999), 401–419
41.	R. Koekoek, “Differential equations for symmetric generalized ultraspherical polynomials”, Trans. Amer. Math. Soc., 345:1 (1994), 47–72
42.	F. Marcellán, B. P. Osilenker, I. A. Rocha, “On Fourier series of Jacobi–Sobolev orthogonal polynomials”, J. Inequal. Appl., 7:5 (2002), 673–699
43.	F. Marcellán, B. P. Osilenker, I. A. Rocha, “On Fourier series of a discrete Jacobi–Sobolev inner product”, J. Approx. Theory, 117:1 (2002), 1–22
44.	Ó. Ciaurri, J. Mínguez, “Fourier series of Gegenbauer–Sobolev polynomials”, SIGMA, 14 (2018), 024, 11 pp.
45.	A. Díaz-González, F. Marcellán-Español, H. Pijeira-Cabrera, W. Urbina-Romero, Discrete-continuous Jacobi–Sobolev spaces and Fourier series, arXiv: 1911.12746v1

Образец цитирования: Б. П. Осиленкер, “О мультипликаторах рядов Фурье по ортогональным многочленам Соболева”, Матем. сб., 213:8 (2022), 44–82; B. P. Osilenker, “On multipliers for Fourier series in Sobolev orthogonal polynomials”, Sb. Math., 213:8 (2022), 1058–1095

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Osi22}

\by Б.~П.~Осиленкер

\paper О мультипликаторах рядов Фурье по ортогональным многочленам Соболева

\jour Матем. сб.

\yr 2022

\vol 213

\issue 8

\pages 44--82

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9556}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9556}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461463}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1539.42016}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213.1058O}

\transl

\by B.~P.~Osilenker

\paper On multipliers for Fourier series in~Sobolev orthogonal polynomials

\jour Sb. Math.

\yr 2022

\vol 213

\issue 8

\pages 1058--1095

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9556e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992270000003}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165646752}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9556

https://doi.org/10.4213/sm9556

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i8/p44

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

R. M. Gadzhimirzaev, “Estimates for the Convergence Rate of a Fourier Series in Laguerre–Sobolev Polynomials”, Sib Math J, 65:4 (2024), 751
Р. М. Гаджимирзаев, “Оценки скорости сходимости ряда Фурье по полиномам Лагерра — Соболева”, Сиб. матем. журн., 65:4 (2024), 622–635

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	356
PDF русской версии:	38
PDF английской версии:	97
HTML русской версии:	167
HTML английской версии:	110
Список литературы:	90
Первая страница:	10

Что такое QR-код?

Обратная связь:
math-net2025_03@mi-ras.ru

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы