| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Операторы мультипликаторного типа и приближение периодических функций одной переменной тригонометрическими полиномами К. В. Руновский Филиал Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в г. Севастополе
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9136 
Реферативные базы данных:
      ВведениеБольшая часть проблематики теории приближения периодических функций тригонометрическими полиномами посвящена нахождению связей между структурными и конструктивными характеристиками, построению методов приближения и изучению их качества в терминах таких характеристик. Отметим, например, проблему мультипликаторов (см. [1]–[7]), прямые и обратные теоремы для различных модулей гладкости (см. [8]–[16]), задачу о связях обобщенной гладкости и приближения (см. [17]–[34]), оценки качества приближения средними Фурье в терминах наилучших приближений и различных модулей гладкости (см. [4], [5], [35]–[44]), задачу о производных тригонометрического полинома (см. [21], [29], [45]–[49]). Приведем некоторые примеры, характерные для отмеченных выше направлений. Так, для γ,δ,α>0 и f∈Lp, 1⩽p⩽+∞, n∈N справедливы соотношения:
\begin{equation}
\|f-\mathscr R_n^{(\delta, \gamma)}(f)\|_p \leqslant \frac{c(\delta, \gamma, p)}{n^\gamma} \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)^{\gamma-1} E_k(f)_p;
\end{equation}
\tag{B}
\begin{equation}
\omega_\alpha(f, n^{-1})_p \leqslant \frac{c(\alpha, p)}{n^\alpha}\sum_{k=0}^ {n-1} (k+1)^{\alpha-1}E_k(f)_p;
\end{equation}
\tag{C}
\begin{equation}
\|f^{(\alpha)}\|_p\leqslant c(\alpha, p)\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)^{\alpha-1} E_n(f)_p;
\end{equation}
\tag{D}
\begin{equation}
L_1 =\bigcup_{\lambda, \beta} W_1^{(\lambda, \overline{\beta})},
\end{equation}
\tag{E}
В соотношениях (A)–(F)
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag S_n(f; x) =\sum_{k=-n}^n f^\wedge (k)e^{ikx}, \quad n \in \mathbb{N}_0, \\ f^\wedge(k)=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}\,dx, \quad k \in \mathbb{Z}, \notag \\ \notag \mathscr R_n^{(\delta, \gamma)}(f ; x) =\sum_{k=-n}^n \biggl(1-\frac{|k|^\gamma}{n^\gamma}\biggr)^\delta f^\wedge (k)e^{ikx}, \qquad n \in \mathbb{N}, \\ E_n(f)_p=\inf_{T \in \mathscr T_n} \|f - T\|_p, \qquad \mathscr T_n = \biggl\{T(x)=\sum_{k=-n}^{n}c_k e^{ikx}\colon c_{-k}=\overline{c}_k,\,|k| \leqslant n \biggr\}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1}
– частичные суммы ряда Фурье, обобщенные средние Рисса и соответственно наилучшее приближение функции f \in L_p полиномами порядка не выше n \in \mathbb{N}_0 ,
\begin{equation}
(\cdot)^{(\lambda,\overline{\beta})}\colon e^{inx}\to\lambda_n e^{\operatorname{sgn}n(i\pi\beta_n)/2}e^{inx}, \quad n \in \mathbb{Z}; \qquad W_p^{(\lambda, \overline{\beta})} =\{g\colon g^{(\lambda, \overline{\beta})} \in L_p\},
\end{equation}
\tag{2}
– линейный оператор (\lambda, \overline{\beta})-производной ((\psi,\overline{\beta})-производной в терминологии работ [24], [27], \psi=1/\lambda), где \lambda_n=\lambda(|n|), \lambda – вещественнозначная непрерывная возрастающая на [0, +\infty) к +\infty функция с \lambda(0)=0, \overline{\beta}=\{\beta_n\}_{n=1}^{+\infty}, \beta_n \in \mathbb{R}, (\cdot)^{(\lambda, \beta)} \equiv (\cdot)^{(\lambda, \overline{\beta})}, если \beta_n=\beta, n \in \mathbb{Z}, (\cdot)^{(\alpha)} – производная Вейля, отвечающая \lambda(t)=t^{\alpha}, \alpha >0 и \beta=\alpha,
\begin{equation}
\omega_\alpha(f,\delta)_p=\sup_{0\leqslant h \leqslant \delta} \biggl\|\sum_{\nu=0}^{+\infty}(-1)^{\nu}\binom{\alpha}{\nu}(f(x+\nu h)-f(x))\biggr\|_p, \qquad \delta \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{3}
– модуль гладкости порядка \alpha >0, а \mathbb{N}, \mathbb{N}_0, \mathbb{Z} и \mathbb{R} обозначают множества натуральных, целых неотрицательных, целых и соответственно вещественных чисел. Утверждение (D) означает, что сходимость ряда влечет существование производной Вейля с соответствующей оценкой нормы. Неравенство (A) доказано в [37]. Оценка (B) для средних Фейера (\gamma=\delta=1) получена в [35]. В общем случае она немедленно вытекает из эквивалентности ее левой части соответствующему К-функционалу ([40], [42]) и общей обратной теоремы для К-функционалов, порожденных однородными генераторами (см. [30; гл. 4, теорема 4.16]). Неравенство (C) может быть найдено в [16]. Оценка (D) является простым следствием общего результата из [28] для генераторов производной, удовлетворяющих \Delta_2-условию. Результат (E) доказан в [27; гл. III, п. 11.7]. Классическое неравенство Бернштейна (F) с точной константой 1 получено в [45]. Настоящая статья посвящена дальнейшему развитию универсальных подходов к решению широкого круга задач теории приближений и гладкости. Разработкой таких подходов занимались многие авторы (см., например, [2], [3], [5], [6], [21]–[25], [27]–[29], [39]). Отметим, что их основой является то обстоятельство, что многие объекты теории приближений и гладкости являются операторами мультипликаторного типа
\begin{equation}
A_\sigma(\psi)\colon f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f^\wedge(k) e^{ikx} \to \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \psi\biggl(\frac{k}{\sigma}\biggr)f^\wedge(k) e^{ikx}, \qquad \sigma >0,
\end{equation}
\tag{4}
где \psi – комплекснозначная непрерывная на \mathbb{R} функция, удовлетворяющая условию симметричности \psi(-\xi)=\overline{\psi(\xi)}, \xi \in \mathbb{R}. Изначально общие результаты формулировались в терминах преобразования Фурье. В основе этого подхода лежит классический критерий мультипликаторов (см., например, [2; гл. VII, теорема 3.4], [5], [6]). Более точно,
\begin{equation*}
\sup_{1 \leqslant p \leqslant +\infty} \|\psi\|_{[p]}\equiv\sup_{1 \leqslant p \leqslant +\infty} \sup_{\sigma >0} \|A_\sigma(\psi)\|_{(p)} <+\infty,
\end{equation*}
\notag
где \|\cdot\|_{(p)} – операторная p-норма тогда и только тогда, когда генератор \psi является преобразованием Фурье конечной борелевской меры, т.е.
\begin{equation}
\psi(\xi)=\widehat{\mu}(x)\equiv\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\xi t} \,d\mu(t), \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} |d\mu(t)|<+\infty.
\end{equation}
\tag{5}
Отметим, что в настоящей работе класс таких генераторов обозначается через \mathscr M, а при отсутствии условии симметричности – через \mathscr M_\mathbb{C}. Существенный вклад в развитие общей теории был сделан в целом ряде работ (см., например, [5], [22], [23], [39]). Так, в [22] и [23] на основе вытекающего из (4), (5) равенства были введены обобщенные модули гладкости
\begin{equation}
\omega_\mu(f, \delta)_p =\sup_{0\leqslant h \leqslant \delta} \biggl\|\int_{\mathbb{R}^d} f(x+th)\,d\mu(t)\biggr\|_p,
\end{equation}
\tag{7}
при этом многие задачи свелись к проблеме их сравнения. Там же были найдены критерии справедливости оценки
\begin{equation}
\omega_\eta(f, \delta)_p\leqslant C\omega_\tau(f, B\delta)_p, \qquad f \in L_p, \quad \delta \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{8}
где положительные постоянные C и B не зависят от f и \delta, в терминах идеалов в банаховой алгебре мультипликаторов. Таким образом, реализация естественной идеи формулирования общих результатов в терминах преобразования Фурье в целом ряде случаев привела к труднопроверяемым на практике условиям. Однако в более поздних работах был достигнут существенный прогресс в развитии методов теории приближений и гладкости, основанных на использовании преобразования Фурье. В частности, отметим в этой связи книгу [39], а также статьи [5]–[9]. Дополняющими описанные выше исследования поисками условий на генераторы, прямо не связанных с преобразованием Фурье, также занимались многие авторы. В частности, отметим периодический аналог одномерной теоремы Марцинкевича о мультипликаторах в L_p, 1 < p < +\infty (см., например, [3; гл. 4, теорема 6]), работы [1], [7] по достаточным условиям мультипликаторов в случае 1 \leqslant p \leqslant +\infty, а также [28], [29] о связях между (\lambda, \beta)-производными, модулями гладкости произвольных положительных порядков и наилучшими приближениями. Приведем точные формулировки основных результатов работы. В дальнейшем \mathbb{C} – множество комплексных чисел, \operatorname{Re} z и \operatorname{Im}z – вещественная и мнимая части z \in \mathbb{C}, \overline{z} – сопряженное к z. Равенство f=O(g) означает, что |f| \leqslant C|g| с некоторой положительной константой, не зависящей от аргумента функций f и g. Величина E_t(f)_p, также определяемая при помощи (1), является кусочно постоянной на интервалах [n, n+1), n \in \mathbb{N}_0, функцией непрерывного параметра t>0. Пусть \Delta – конечный или бесконечный, открытый, полуоткрытый или замкнутый интервал. Скажем, что вещественнозначная функция \lambda принадлежит классу C^k(\Delta), k \in \mathbb{N}, если она непрерывна на замыкании \Delta и ее (k-1)-я производная абсолютно непрерывна на каждом замкнутом конечном интервале из \Delta. Если та или иная концевая точка входит в \Delta, то соответствующая круглая скобка в обозначении класса заменяется квадратной. Если же в некоторой окрестности концевой точки, не входящей в \Delta, \lambda^{(k-1)} монотонна, то вместо соответствующей круглой скобки ставится угловая. По определению классы C^2 \langle 0_{\circ} \dots и C^2 \langle 0_{\prime} \dots состоят из функций \lambda\,{\in}\, C^2 \langle 0 \dots, для которых \lambda(2t) =O(\lambda(t)) ((\circ)-условие) и соответственно \lambda'(2t) =O(\lambda'(t)) ((\prime)-условие) в некоторой окрестности нуля; C^2 \dots +\infty_{\circ} \rangle и C^2 \dots +\infty_{\prime} \rangle имеют аналогичный смысл, при этом соответствующие неравенства выполняются для достаточно больших t. Такие условия часто называют \Delta_2-условиями (см., например, [28], [29]). Через \mathscr C обозначим класс комплекснозначных симметричных функций \psi, для которых \operatorname{Re}\psi, \operatorname{Im}\psi \in C^1(\mathbb{R}), при этом \psi(0)=0. Пусть теперь \Delta – промежуток от a до b, 0 \leqslant a < b \leqslant +\infty. Класс \mathscr C^2(\Delta) с той или иной расстановкой круглых, квадратных и угловых скобок состоит по определению из комплекснозначных симметричных непрерывных на замыкании (-b, b) функций \psi, для которых \psi(\xi)=0 при |\xi| \leqslant a, \operatorname{Re}\psi, \operatorname{Im}\psi \in C^2(\Delta) для той же самой комбинации скобок, при этом \operatorname{Re}\psi, \operatorname{Im}\psi не равны нулю в некоторой правой полуокрестности a, если не совпадают с ним тождественно. Присутствие нижнего индекса \circ или \prime около a=0 или b=+\infty означает, что \operatorname{Re}\psi удовлетворяет соответствующему условию в окрестности соответствующей концевой точки. Наличие же верхнего индекса означает то же самое для \operatorname{Im}\psi. Теорема 1 сформулирована и доказана в [34]. Основным же результатом настоящей работы является теорема 2, посвященная случаю 1 \leqslant p \leqslant +\infty. Теорема 1 (см. [34]). Пусть 1 <p < +\infty, \psi \in \mathscr C. Тогда для f \in L_p и \sigma >0 справедливо неравенство
\begin{equation}
\|A_\sigma(\psi)f\|_p \leqslant c(p) \int_0^{+\infty}|\psi'(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt, \qquad c(p)=2\sqrt{2} \|\mathscr X\|_{[p]},
\end{equation}
\tag{9}
где \mathscr X(\xi)=0 для \xi \leqslant 1 и \mathscr X(\xi)=1 для \xi > 1. Теорема 2. Пусть 1 \leqslant p \leqslant +\infty, a \geqslant 0, f \in L_p и \sigma >0. I. Если \psi\in \mathscr C^2(a,+\infty) и \lim_{t\to a+0} (t-a)\psi'(t)=0, то
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\psi)f\|_p & \leqslant c \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|)E_{a\sigma}(f)_p \\ \notag &\qquad + \int_{a_\sigma}^{+\infty}\biggl(|\psi'(t)|+(t-a)|\psi''(t)| +\frac{|{\operatorname{Im}\psi(t)}|}{t-a}\biggr)E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \\ &\qquad + c(a)\int_{\min(a_\sigma, 2a)}^{2a} \frac{|{\operatorname{Re}\psi(t)}|}{t-a}E_{t\sigma}(f)_p\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
где a_\sigma =[a\sigma +1]/\sigma, c – абсолютная положительная постоянная, c(a) – положительная постоянная, зависящая только от a. II. Если \psi\in \mathscr C^2\langle 0, +\infty \rangle, то для любого 0<\rho<1
\begin{equation}
\|A_\sigma(\psi)f\|_p \leqslant c(\psi, \rho)\biggl(\int_0^{+\infty}|\psi'(t)|E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt+ \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty}\frac{|{\operatorname{Im}\psi(t)}|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr)
\end{equation}
\tag{11}
где положительная постоянная c(\psi, \rho) не зависит от f и \sigma. III. Если \psi\in \mathscr C^2 \langle 0_{\prime}^{\circ}, +\infty_{\prime}^{\circ} \rangle, то
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\psi)f\|_p & \leqslant c(\psi)\biggl(|\psi(\min(\sigma^{-1}, t_0))|E_0(f)_p \\ &\qquad +\int_{\sigma^{-1}}^{+\infty}\biggl(|{\operatorname{Re}\psi'(t)}| +\frac{|{\operatorname{Im}\psi(t)}|}{t}\biggr)E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
где [0, t_0], t_0>0, – интервал монотонности функций \operatorname{Re}\psi и \operatorname{Im}\psi, а положительная постоянная c(\psi) не зависит от f и \sigma. Специальные случаи оценок (9) и (12), отвечающие \sigma=1 и (\lambda, \beta)-производным, т.е. генераторам вида (2), были известны ранее. Так, (9) для функции \lambda, удовлетворяющей \Delta_2-условию, и (12) были получены в [28]. Отметим также, что из (11) немедленно вытекают результат о выпуклых мультипликаторах, доказанный в [7], а также приведенная в [29] оценка нормы (\lambda, \beta)-производной в терминах модуля гладкости (3). В отличие от предшествующих результатов, в настоящей работе приводятся результаты, охватывающие более широкий, чем обычно, круг генераторов, содержащий также и функции экспоненциальных порядков, вместо модулей (3) рассматриваются общие \theta-модули (см., например, [33]), а оценки (10)–(12) доказаны для произвольных \sigma, что делает их применимыми не только к производным, но и к модулям гладкости и средним Фурье. Отметим также независимость константы в ключевой оценке (10) от \psi. Получаемые из нее следствия не всегда являются порядково точными. Тем не менее из нее не только вытекают оценки (11) и (12), дающие точные следствия, но и сама она через возможность конструировать генераторы, зависящие от f и \sigma, позволяет находить простые решения целого ряда весьма разнородных задач, таких как, например, утверждения (A) и (E). Примеры, иллюстрирующие сказанное, приведены в § 2–§ 5. Теоремы 1 и 2 имеют много следствий. В настоящей статье акцент сделан на дальнейшее изучение \theta-модулей гладкости, начатое в [15], [33], [44], а также на обсуждение некоторых примеров из разных областей теории приближений, иллюстрирующих универсальность полученных общих результатов. Другие следствия, например касающиеся вопросов приближения гладких функций, совместного приближения и вложений классов функций, будут приведены в наших последующих работах. Следует отметить, что точность тех или иных оценок гладкостных характеристик и качества приближения различными методами аппроксимации, как правило, устанавливается на некоторых классах функций, последовательности наилучших приближений которых удовлетворяют определенным условиям (см., например, [28], [29], [37]). В настоящей работе получен целый ряд порядково точных результатов для некоторых нововведенных модулей гладкости и средних Фурье, генераторы которых существенно отличаются от степенных функций (см. (54), (69), (71), (76)). Работу в этом направлении, однако, можно считать лишь начатой. Дальнейшей же целью исследований, связанных с порядковой точностью оценок для нестандартных генераторов, является достижение уровня описаний в терминах классов функций, определяемых достаточно общими условиями на характер убывания наилучших приближений, который уже был достигнут в работах, посвященных объектам с генераторами, близкими в определенном смысле к степенным. Так, например, в дальнейших работах будет показано, что оценка (75) из теоремы 8 остается справедливой для достаточно широкого класса быстро растущих генераторов обобщенной производной, в частности для функций из экспоненциальной шкалы, т.е. без выполнения соотношения \Delta\lambda_{2n}=O(\Delta\lambda_n), являющегося дискретным аналогом (\prime)-условия. Оказывается, что такой прогресс может быть достигнут за счет более глубокого изучения свойств преобразования Фурье базового генератора (13) на основе методов и подходов, разработанных в [39]. В работе рассматривается одномерный случай, но многие из упомянутых выше результатов получены для многих переменных. При распространении теорем 1 и 2 на многомерный случай можно использовать как приближение полиномами с гармониками из шара, так и приближение “углом”. Таким образом, имеются два принципиально разных направления для обобщения оценок (9)–(12). Оба они являются предметом наших текущих исследований. § 1. Доказательство основного результатаВ дальнейшем через \mathscr D(b,c), 0<b<c, будем обозначать множество вещественнозначных четных бесконечно дифференцируемых на \mathbb{R} функций, равных 0 при |\xi| > c и равных 1 при |\xi| \leqslant b. Для определенной на \mathbb{R} и равной нулю при \xi \leqslant 0 вещественнозначной функции \psi формулы \psi^{(+)}(\xi) = \psi(\xi) + \psi(-\xi), \psi^{(-)}(\xi) = \psi(\xi) - \psi(-\xi) будут обозначать ее четное и нечетное продолжения соответственно. Класс функций из C^2(a, \gamma), 0 \leqslant a < \gamma \leqslant +\infty, удовлетворяющих условию \lim_{t\to a+0} (t-a) \psi'(t) =0, будем обозначать через C^2(\mathbf a,\gamma). Для r \geqslant 1 положим
\begin{equation}
\mathscr X_r(\xi) =\begin{cases} \xi^{-r}(\xi-1),& \xi \geqslant 1, \\ 0 ,& \xi <1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{13}
\begin{equation}
J_r(\psi)(t)\equiv t^{1-r}(t^r\psi(t))''=r(r-1)\frac{\psi(t)}{t}+2r\psi'(t)+t\psi''(t).
\end{equation}
\tag{14}
Лемма 1. Пусть r \geqslant 1, 0 < \gamma \leqslant +\infty. Если \psi – непрерывная на (-\infty, \gamma) функция из класса C^2(\mathbf 0,\gamma), равная нулю на (-\infty,0], то Доказательство. Для \xi \leqslant 0 правая часть (15) равна нулю в силу (13). Обозначая g(\xi)= \xi^r\psi(\xi), имеем с учетом (16) для 0 < \xi < \gamma
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_0^\gamma g''(t)(\xi-t)_+\,dt &=\lim_{\varepsilon\to+0}\int_\varepsilon^\gamma g''(t)(\xi-t)_+\,dt= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_\varepsilon^\xi g''(t)(\xi-t)\,dt \\ \notag &=\lim_{\varepsilon\to+0}(g(\xi) - g(\varepsilon) - g'(\varepsilon)(\xi-\varepsilon)) \\ &=g(\xi) - \xi \lim_{\varepsilon\to+0}(\varepsilon^{r-1}\psi(\varepsilon)+\varepsilon^r\psi'(\varepsilon)) =g(\xi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
Из (16) с учетом (13) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi(\xi) &=\int_0^\gamma (t^r \psi(t))''\frac{t}{\xi^r}\biggl(\frac{\xi}{t}-1\biggr)_+\,dt =\int_0^\gamma t^{1-r}(t^r \psi(t))''\frac{t^r}{\xi^r}\biggl(\frac{\xi}{t}-1\biggr)_+\,dt \\ &=\int_0^\gamma J_r(\psi)(t)\mathscr X_r\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. Лемма 2. \mathscr X_r \in \mathscr M_{\mathbb{C}} и \mathscr X_r^{(-)} \in \mathscr M для r >1, \mathscr X_r^{(+)} \in \mathscr M для r \geqslant 1. Доказательство. Пусть сначала r > 2. Тогда \mathscr X_r \in L_1(\mathbb{R}) и
\begin{equation*}
|\widehat{\mathscr X}_r(x)|\leqslant c(1+|x|)^{-2}, \qquad x \in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
в силу (13), где c >0 не зависит от x, что влечет \widehat{\mathscr X}_r \in L_1(\mathbb{R}). Таким образом, на основании критерия мультипликаторов \mathscr X_r \in \mathscr M_{\mathbb{C}}, \mathscr X_r^{(\pm)} \in \mathscr M. Пусть теперь r >1. Тогда на основании леммы 1 будем иметь
\begin{equation}
\mathscr X_r(\xi +1)=\int_0^{+\infty}J_3(\mathscr X_r(\cdot + 1))(t)\mathscr X_3\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr)\,dt,\qquad \xi \in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{17}
что в силу (1) влечет операторное равенство
\begin{equation}
A_\sigma(\mathscr X_r(\cdot +1))=\int_0^{+\infty}J_3(\mathscr X_r(\cdot + 1))(t) A_{t\sigma}(\mathscr X_3)\,dt,
\end{equation}
\tag{18}
справедливое, по крайней мере, для полиномов. Учитывая, что при r>1
\begin{equation*}
c(r) \equiv\int_0^{+\infty} |J_3(\mathscr X_r(\cdot + 1))(t)|\,dt <+\infty
\end{equation*}
\notag
в силу (13) и (14), получаем на основании (18) для \sigma >0 и 1 \leqslant p \leqslant +\infty
\begin{equation*}
\|A_\sigma(\mathscr X_r(\cdot +1))\|_{(p)} \leqslant \int_0^{+\infty} |J_3(\mathscr X_r(\cdot + 1))(t)|\,\|A_{t\sigma} (\mathscr X_3)\|_{(p)}\,dt \leqslant c(r) \|\mathscr X_{3}\|_{\mathscr M_{\mathbb{C}}},
\end{equation*}
\notag
что доказывает утверждение для r>1. Для проверки принадлежности \mathscr X_1^{(+)} классу \mathscr M заметим, что
\begin{equation}
\mathscr X_1^{(+)}(\cdot) =1 - \varphi(\cdot) (1-\mathscr X_1^{(+)}(\cdot)) - (1-\varphi(\cdot))(1-\mathscr X_1^{(+)}(\cdot)),
\end{equation}
\tag{19}
где \varphi \in \mathscr D(1,2). Обозначая \mathscr X = (1-\varphi)(1-\mathscr X_1^{(+)}), в силу леммы 1 имеем
\begin{equation*}
\mathscr X(\xi)=\int_0^{+\infty}J_3(\mathscr X)(t)\mathscr X_3^{(+)}\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr), \qquad \xi \in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Учитывая, что \mathscr X(\xi)= \xi^{-1} для \xi \geqslant 2 и рассуждая аналогично случаю r>1, заключаем, что \mathscr X \in \mathscr M. Принадлежность преобразования Фурье функции \varphi(1-\mathscr X_1^{(+)}) пространству L_1(\mathbb{R}) проверяется так же, как и для \mathscr X_r в случае r>2. Утверждение \mathscr X_1^{(+)} \in \mathscr M теперь немедленно следует из (19). Лемма доказана. Лемма 3. Пусть \psi \in C^2(\mathbf 0, \gamma), \gamma > 0, \psi(0)=0 и 0<\delta <\gamma. Тогда функция
\begin{equation}
Y_\delta(\psi)(t) =\begin{cases} \delta^{-2}(\delta\psi'(\delta)-\psi(\delta))t^2 + \delta^{-1}(2\psi(\delta) - \delta \psi'(\delta))t, &0\leqslant t \leqslant \delta, \\ \psi(t),&\delta < t \leqslant \gamma, \end{cases}
\end{equation}
\tag{20}
принадлежит C^2[0, \gamma), при этом
\begin{equation}
Y_\delta(\psi)(0)=0,\qquad Y_\delta(\psi)(\delta) = \psi(\delta), \qquad (Y_\delta(\psi))'(\delta) = \psi'(\delta)
\end{equation}
\tag{21}
и справедливы неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^\delta\biggl(\frac{|Y_\delta(\psi)(t)|}{t} +|(Y_\delta(\psi))'(t)| +t|(Y_\delta(\psi))''(t)|\biggr)\,dt \\ &\qquad\leqslant 7(|\psi(\delta)| + \delta |\psi'(\delta)|) \leqslant 14 \int_0^\delta (|\psi'(t)| + t|\psi''(t)|)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
Доказательство. Утверждение Y_\delta(\psi)(t) \in C^2[0, \gamma), (21) и первое неравенство в (22) проверяются непосредственным вычислением. Учитывая (16), имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |\psi(\delta)|= \biggl|\int_0^{\delta} \psi'(t)\,dt\biggr| \leqslant \int_0^\delta |\psi'(t)|\, dt, \\ \delta|\psi'(\delta)|= \biggl|\int_0^{\delta} t\psi''(t)\,dt +\int_0^{\delta} \psi'(t)\,dt\biggr|\leqslant \int_0^\delta (|\psi'(t)| + t|\psi''(t)|)\,dt, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
что влечет второе неравенство в (22). Лемма доказана. Доказательство теоремы 2. Пусть сначала функция \psi принадлежит классу C^2(\mathbf a,+\infty), a \geqslant 0, и равна нулю при \xi \leqslant a. Для \sigma >0 положим
\begin{equation}
\delta = a_\sigma - a = \frac{[a\sigma +1]}\sigma - a >0, \qquad \psi_\sigma(\xi) = \begin{cases} Y_\delta(\psi(\cdot +a))(\xi-a),&\xi \geqslant a, \\ 0 ,&\xi < a. \end{cases}
\end{equation}
\tag{23}
В целях сокращения записей введем обозначения
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I(\psi)(t)=|\psi'(t)|+(t-a)|\psi''(t)|, \qquad J(\psi)(t)=\frac{|\psi(t)|}{t-a}+I(\psi)(t), \\ \mathscr J(t)=J_3(\psi_\sigma(\cdot +a))(t-a), \qquad G_t(\cdot)=\mathscr X_3 \biggl(\frac{\cdot - a}{t-a}\biggr), \qquad t > a. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{24}
Тогда на основании (14), (20), (22)–(24) имеем Так как
\begin{equation*}
\psi_\sigma^{(\pm)}(\xi) =\int_a^{+\infty} \mathscr J(t)G_t^{(\pm)}(\xi)\,dt
\end{equation*}
\notag
на основании леммы 1 и (24) и A_\sigma(\psi^{(\pm)}) = A_\sigma(\psi_\sigma^{(\pm)}) в силу (1), (21) и (23), имеем
\begin{equation*}
A_\sigma(\psi^{(\pm)}) =\int_a^{+\infty} \mathscr J(t) A_\sigma(G_t^{(\pm)})\,dt .
\end{equation*}
\notag
Таким образом, для f \in L_p
\begin{equation}
\|A_\sigma(\psi^{(\pm)})f\|_{p} \leqslant \int_a^{+\infty} |\mathscr J(t)|\|A_\sigma(G_t^{(\pm)})f\|_p\,dt .
\end{equation}
\tag{26}
Учитывая, что в силу (13) и (24) G_t^{(\pm)}(\xi)=0 при |\xi| \leqslant t, имеем A_\sigma(G_t^{(\pm)})T\,{=}\,0 для T \in \mathscr T_{t\sigma}, что влечет
\begin{equation}
\|A_\sigma(G_t^{(\pm)})f\|_p = \|A_\sigma(G_t^{(\pm)})(f-T)\|_p \leqslant \|A_\sigma(G_t^{(\pm)})\|_{(p)} \|f-T\|_p .
\end{equation}
\tag{27}
В силу (4), (24) и леммы 2
\begin{equation*}
\|A_\sigma(G_t^{(\pm)})\|_{(p)} \leqslant 2 \|A_\sigma(G_t)\|_{(p)} \leqslant 2\|\mathscr X_3\|_{\mathscr M_{\mathbb{C}}}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, на основании (5) и (27) получаем для t >a
\begin{equation}
\|A_\sigma(G_t^{(\pm)})f\|_p \leqslant 2\|\mathscr X_3\|_{\mathscr M_{\mathbb{C}}}E_{t\sigma}(f)_p.
\end{equation}
\tag{28}
Принимая во внимание, что [a\sigma] \leqslant t\sigma <[a\sigma]+1, E_{t\sigma}(f)_p = E_{[a\sigma]}(f)_p для a \leqslant t < a_\sigma, на основании (25), (26) и (28) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|A_\sigma(\psi^{(\pm)})f\|_{p} & \leqslant c_1 \int_a^{+\infty} |\mathscr J(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ &=c_1\biggl(E_{[a\sigma]}(f)_p \int_a^{a_\sigma} |\mathscr J(t)|\,dt +\int_{a_\sigma}^{+\infty}|\mathscr J(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) \\ &\leqslant c_2 \biggl(\int_a^{a_\sigma}|I(\psi)(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt + \int_{a_\sigma}^{+\infty}|J(\psi)(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\psi^{(\pm)})f\|_p & \leqslant c \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|)E_{a\sigma}(f)_p \\ &\qquad + \int_{a_\sigma}^{+\infty}\biggl(|\psi'(t)| +(t-a)|\psi''(t)|+\frac{|\psi(t)|}{t-a}\biggr) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
где c_1, c_2, c – абсолютные положительные постоянные. Для функции \psi^{(+)} неравенство (29) может быть улучшено. Рассмотрим сначала случай a =0. Применяя лемму 1 с r =1, имеем
\begin{equation*}
\psi_\sigma^{(+)}(\xi) =\int_0^{+\infty} J_1(\psi_\sigma)(t) \mathscr X_1^{(+)}\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr)\,dt, \qquad \xi \in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
что влечет
\begin{equation}
\|A_\sigma(\psi^{(+)}) f\|_p \leqslant \int_0^{+\infty} |J_1(\psi_\sigma)(t)|\,\|A_{t\sigma}(\mathscr X_1^{(+)})f\|_p \,dt, \qquad f \in L_p.
\end{equation}
\tag{30}
Применяя аргументы, использованные при доказательстве (28), в частности лемму 2, получаем
\begin{equation}
\|A_{t\sigma}(\mathscr X_1^{(+)})f\|_p \leqslant \|\mathscr X_1^{(+)}\|_\mathscr M E_{t\sigma}(f)_p, \qquad f \in L_p, \qquad t>0.
\end{equation}
\tag{31}
На основании (30) и (31) с учетом (14) и (22) окончательно имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\psi^{(+)}) f\|_p & \leqslant c\biggl((|\psi(\sigma^{-1})|+\sigma^{-1}|\psi'(\sigma^{-1})|) E_0(f)_p \\ &\qquad +\int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} (|\psi'(t)|+t|\psi''(t)|) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
где c>0 – абсолютная постоянная. Пусть теперь a >0. Тогда
\begin{equation}
\psi(\cdot) =\varphi\biggl(\frac{\cdot}{a}\biggr)\psi(\cdot) +\biggl(1-\varphi\biggl(\frac{\cdot}{a}\biggr)\biggr)\psi(\cdot) \equiv \eta(\cdot) +\zeta(\cdot),
\end{equation}
\tag{33}
где \varphi \in \mathscr D(1,2). Прямым вычислением получаем для почти всех a \leqslant t \leqslant 2a
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\eta(t)|,|\zeta(t)| & \leqslant c_1 |\psi(t)|, \\ |\eta'(t)|,|\zeta'(t)| & \leqslant c_1 (|\psi(t)|+|\psi'(t)|), \\ |\eta''(t)| & \leqslant c_1 (|\psi(t)|+|\psi'(t)|+|\psi''(t)|), \\ |\zeta''(t)| & \leqslant c_1 \biggl(|\psi(t)|+|\psi'(t)|+\biggl|1-\varphi\biggl(\frac{t}{a}\biggr)\biggr|\,|\psi''(t)|\biggr) \\ &\leqslant c_2 (|\psi(t)|+|\psi'(t)|+(t-a)|\psi''(t)|), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
где положительные постоянные c_1 и c_2 зависят только от a. Заметим также, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_a^{2a} |\psi(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \leqslant\int_a^{2a}\int_a^t |\psi'(\tau)| E_{t\sigma}(f)_p\,d\tau \,dt \\ &\qquad=\int_a^{2a}|\psi'(\tau)|\int_\tau^{2a}E_{t\sigma}(f)_p\,dt \,d\tau \leqslant a\int_a^{2a}|\psi'(\tau)|E_{\tau\sigma}(f)_p\,d\tau . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
Очевидно, (34) и (35) справедливы также и для функций \psi_\sigma, \eta_\sigma \zeta_\sigma, определенных при помощи (23). Обозначая функционал I из (24) при a=0 через I_0 и учитывая, что \zeta принадлежит C^2(\mathbf 0, +\infty), при этом \zeta(t) = \psi(t) и t/(t-a) \leqslant 2 для t \geqslant 2a, а также, что \zeta(t) =0 для 0 \leqslant t \leqslant a, получаем на основании (32), (34) и (35) с учетом (22)
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|A_\sigma(\zeta^{(+)})f\|_p \leqslant c_1\int_0^{+\infty}I_0(\zeta_\sigma)E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad\leqslant c_2\biggl(\int_a^{2a}(t+1)(|\psi_\sigma(t)| +I(\psi_\sigma)(t))E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad\qquad + \int_{2a}^{+\infty}\biggl(|\psi_\sigma'(t)| +\frac{t}{t-a} (t-a)|\psi_\sigma''(t)|\biggr)E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \\ \notag &\qquad \leqslant c_3\int_a^{+\infty} I(\psi_\sigma)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ & \qquad\leqslant c_4 \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|)E_{a\sigma}(f)_p +\int_{a_\sigma}^{+\infty} I(\psi)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
где положительные постоянные c_1, c_2, c_3 и c_4 зависят только от a. Если \sigma_a \geqslant 2a, то A_\sigma(\psi)=A_\sigma(\zeta) в силу (1), (23) и (33), а значит, (10) немедленно следует из (36). Eсли же a_\sigma < 2a, то, учитывая, что \eta принадлежит классу C^2(\mathbf 0, +\infty) и \eta(t)=0 при 0 <t\leqslant a и t \geqslant 2a, на основании (22), (29), (34) и (35) будем иметь
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_\sigma(\eta^{(+)})f\|_p & \leqslant c_1 \biggl(\int_a^{2a} I(\eta_\sigma)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt +\int_{a_\sigma}^{2a} \frac{|\eta(t)|}{t-a}E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) \\ \notag & \leqslant c_2 \biggl(\int_a^{2a}((1+t-a)(|\psi_\sigma(t)|+|\psi_\sigma'(t)|)+(t-a) \\ \notag &\qquad\times |\psi_\sigma''(t)|) E_{t\sigma}(f)_p\,dt +\int_{a_\sigma}^{2a} \frac{|\psi(t)|}{t-a}E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) \\ \notag & \leqslant c_3 \biggl(\int_a^{2a}I(\psi_\sigma)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt +\int_{a_\sigma}^{2a}\frac{|\psi(t)|}{t-a} E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr) \\ \notag & \leqslant c_4 \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|) E_{a\sigma}(f)_p \\ &\qquad+ \int_{a_\sigma}^{2a} J(\psi)(t) E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
где положительные постоянные c_1, c_2, c_3 и c_4 зависят только от a. На основании (23), (33), (36) и (37) получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\|A_\sigma(\psi^{(+)})f\|_p \leqslant c \biggl((|\psi(a_\sigma)|+(a_\sigma-a)|\psi'(a_\sigma)|)E_{a\sigma}(f)_p \\ &\qquad\qquad +\int_{a_\sigma}^{+\infty}(|\psi'(t)| +(t-a)|\psi''(t)|) E_{t\sigma}(f)_p\,dt +\int_{a_\sigma}^{2a}\frac{|\psi(t)|}{t-a} E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
где положительная постоянная c>0 зависит только от a. Пусть теперь \psi\in \mathscr C^2(a,+\infty) и \lim_{t\to a+0} (t-a)\psi'(t)=0. Введем функцию \psi_0, совпадающую с \psi на положительной полуоси и равную нулю на отрицательной. Применяя (29) к функции (\operatorname{Im}\psi_0)^{(-)}=\operatorname{Im}\psi, а также (32) при a=0 и (38) при a>0 к функции (\operatorname{Re}\psi_0)^{(+)}=\operatorname{Re}\psi, немедленно получаем оценку (22). Часть I теоремы 2 доказана. Пусть \lambda равно \operatorname{Re}\psi или \operatorname{Im}\psi. Для произвольного 0<\rho<1 имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^{+\infty} t|\lambda''(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ &\qquad = \sum_{k=-\infty}^{-k_0}\int_{r^k}^{r^{k+1}} +\int_{r^{-k_0+1}}^{r^{k_1}} +\sum_{k=k_1}^{+\infty}\int_{r^k}^{r^{k+1}}\equiv I_1(\lambda) +I_2(\lambda)+I_3(\lambda), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
где r =\rho^{-1/2}, а натуральные числа k_0 и k_1 таковы, что функция \lambda' монотонна на интервалах (0,r^{-k_0+2}] и [r^{k_1-1},+\infty). Если |\lambda'| убывает на первом интервале, то
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1(\lambda) & \leqslant \sum_{k=-\infty}^{-k_0} r^{k+1}|\lambda'(r^k)|E_{r^k \sigma}(f)_p \leqslant \frac{r}{r-1}\sum_{k=-\infty}^{-k_0}\int_{r^{k-1}}^{r^k} |\lambda'(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ &\leqslant \frac{r}{r-1}\int_{0}^{r^{-k_0}} |\lambda'(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если же |\lambda'| возрастает, то
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1(\lambda) & \leqslant \sum_{k=-\infty}^{-k_0} r^{k+1}|\lambda'(r^{k+1})|E_{r^k \sigma}(f)_p \leqslant \frac{1}{r-1}\sum_{k=-\infty}^{-k_0}\int_{r^{k+1}}^{r^{k+2}} |\lambda'(t)|E_{r^{-2}t\sigma}(f)_p\,dt \\ &\leqslant \frac{1}{r-1}\int_{0}^{r^{-k_0+2}} |\lambda'(t)|E_{r^{-2}t\sigma}(f)_p\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, в обоих случаях
\begin{equation}
I_1(\lambda) \leqslant \frac{1}{1-\sqrt{\rho}} \int_{0}^{r^{-k_0+2}} |\lambda'(t)|E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt.
\end{equation}
\tag{40}
Рассуждая аналогично, имеем
\begin{equation}
I_3(\lambda) \leqslant \frac{1}{1-\sqrt{\rho}} \int_{r^{k_1-1}}^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt.
\end{equation}
\tag{41}
Учитывая, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2(\lambda)&\leqslant E_{r^{-k_0+1}\sigma}\int_{r^{-k_0+1}}^{r^{k_1}} t|\lambda''(t)|\,dt \\ &\leqslant \biggl(\int_0^{r^{-k_0+1}}t|\lambda''(t)|\,dt\biggr)^{-1} \biggl(\int_{r^{-k_0+1}}^{r^{k_1}}t|\lambda''(t)|\,dt \biggr)I_1(\lambda), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
на основании (39)–(41) получаем
\begin{equation*}
\int_0^{+\infty} t\lambda''(t)E_{t\sigma}(f)_p\,dt\leqslant c \int_0^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt,
\end{equation*}
\notag
где положительная постоянная c не зависит от f и \sigma. Таким образом,
\begin{equation}
\int_0^{+\infty} t|\psi''(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \leqslant \sqrt{2}c \int_0^{+\infty} |\psi'(t)| E_{\rho t\sigma}(f)_p\,dt.
\end{equation}
\tag{42}
Учитывая, что в силу (22)
\begin{equation*}
(|\psi(\sigma^{-1})|+\sigma^{-1}|\psi'(\sigma^{-1})|)E_0(f)_p \leqslant 2 \int_0^{\sigma^{-1}} (|\psi'(t)| + t|\psi''(t)|)E_{t\sigma}(f)_p\,dt,
\end{equation*}
\notag
немедленно получаем (11) из (10) и (42). Часть II теоремы 2 доказана. Докажем теперь часть III. Пусть (0, t_1] и [t_2, +\infty) – интервалы, где выполняется (\prime)-условие для функции \operatorname{Re}\psi'. Тогда
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt \,{=}\,\int_0^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(2t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \,{=}\, \int_0^{t_1} + \int_{t_1}^{t_2} +\int_{t_2}^{+\infty} \\ \notag &\qquad \leqslant c\biggl(\int_0^{t_1} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt +E_{t_1\sigma}(f)_p \int_{t_1}^{t_2}|{\operatorname{Re}\psi'(2t)}|\,dt \\ \notag &\qquad \qquad +\int_{t_2}^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \leqslant c_1 \int_0^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ &\qquad \leqslant c_2 \biggl(|{\operatorname{Re}\psi(\min(\sigma^{-1}, t_0))}|E_0(f)_p + \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} |{\operatorname{Re}\psi'(t)}|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
где [0, t_0], t_0>0, – интервал монотонности функций \operatorname{Re}\psi и \operatorname{Im}\psi, а положительные постоянные c, c_1 и c_2 не зависят от f и \sigma. Положим \lambda = \operatorname{Im}\psi. Пусть теперь (0, 4 t_1] и [t_2, +\infty) – интервалы монотонности |\lambda'|, в которых выполняется (\circ)-условие для \lambda. Тогда для t \in (0, t_1] имеем
\begin{equation*}
2t|\lambda'(2t)| \leqslant \int_{2t}^{4t}|\lambda'(\tau)|\, d\tau =|\lambda(4t)-\lambda(2t)|\leqslant c|\lambda(t)|
\end{equation*}
\notag
в случае возрастания |\lambda'| и
\begin{equation*}
t|\lambda'(2t)| \leqslant \int_t^{2t} |\lambda'(\tau)|\, d\tau =|\lambda(2t)-\lambda(t)|\leqslant c|\lambda(t)|
\end{equation*}
\notag
в случае ее убывания. Таким образом, во всех случаях для t \in (0, t_1], где положительная постоянная c не зависит от t. Рассуждая аналогично, получаем выполнение (44) также и для t \in [t_2, +\infty ). Пусть сначала \sigma >t_1^{-1}. Тогда на основании (44) имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt \leqslant|\lambda(2\sigma^{-1})|E_0(f)_p + \int_{2\sigma^{-1}}^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad =|\lambda(2\sigma^{-1})|E_0(f)_p + 2 \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} |\lambda'(2t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad\leqslant c\biggl(|\lambda(2\sigma^{-1})|E_0(f)_p +\int_{\sigma^{-1}}^{t_1} + \int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{+\infty} \biggr) \\ \notag &\qquad \leqslant c_1\biggl(| \lambda(\sigma^{-1})|E_0(f)_p + \int_{\sigma^{-1}}^{t_1} \frac{|\lambda(t)|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt \\ \notag &\qquad\qquad +E_{t_1\sigma}(f)_p \int_{t_1}^{t_2} |\lambda'(2t)|\,dt + \int_{t_2}^{+\infty} \frac{|\lambda(t)|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \\ &\qquad \leqslant c_2\biggl(|\lambda(\sigma^{-1})|E_0(f)_p + \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} \frac{|\lambda(t)|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
где положительные постоянные c, c_1 и c_2 не зависят от f и \sigma. Пусть 0<\sigma \leqslant t_1^{-1}. Положим \alpha=\min(\sigma^{-1}, t_0). Учитывая, что t_0\geqslant 4t_1>t_1 , и полагая без ограничения общности, что t_2>\alpha, на основании (44) получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_0^{+\infty} |\lambda'(t)|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt =\int_0^{\alpha} +\int_{\alpha}^{2t_2} + \int_{2t_2}^{+\infty} \\ \notag &\qquad\leqslant c\biggl(\int_0^{\alpha} + E_{(\alpha\sigma)/2}\int_{\alpha}^{2t_2}|\lambda'(t)|\,dt+ \int_{2t_2}^{+\infty}\biggr) \\ \notag &\qquad \leqslant c_1\biggl( \int_0^{\alpha} |\lambda'(t)|E_{(t\sigma)/2}(f)_p\,dt +\int_{t_2}^{+\infty}|\lambda'(2t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr) \\ &\qquad \leqslant c_2\biggl(|\lambda(\alpha)|E_0(f)_p + \int_{\sigma^{-1}}^{+\infty} \frac{|\lambda(t)|}{t}E_{t\sigma}(f)_p\,dt\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{46}
где положительные постоянные c, c_1 и c_2 не зависят от f и \sigma. Теперь оценка (12) немедленно следует из (11), (43), (45) и (46). Теорема 2 полностью доказана. § 2. Средние ФурьеСредние Фурье, порожденные генератором \varphi, определяются формулой
\begin{equation}
\mathscr F_\sigma^{(\varphi)}(f;x)= \sum_{k \in \mathbb{Z}}\varphi\biggl(\frac{k}{\sigma}\biggr)f^\wedge(k) e^{ikx}, \qquad f \in L_p, \qquad \sigma>0,
\end{equation}
\tag{47}
где \varphi принадлежит классу \mathscr K, состоящему по определению из комплекснозначных симметричных непрерывных на \mathbb{R} функций с компактным носителем, сосредоточенным в интервале [-1,1], для которых \varphi(0)=1 и \widehat{\varphi} \in L_1(\mathbb{R}). Известно, что \mathscr K \subset \mathscr M, при этом средние (47) сходятся в L_p для всех 1 \leqslant p \leqslant +\infty (см., например, [39]). Из результатов работы [7] вытекает, что если непрерывная на \mathbb{R} функция \varphi с носителем в [-1,1] такова, что 1-\varphi(\cdot) \in \mathscr C^2 \langle 0, 1 \rangle и при этом
\begin{equation}
\int_0^1 \frac{|{\operatorname{Im} \varphi(t)}|+|\varphi(1-t)|}{t}\,dt <+\infty,
\end{equation}
\tag{48}
то \varphi \in \mathscr K. Этот же результат можно легко получить из теоремы 2. Более того, из теоремы 2 также вытекает, что если для таких функций условие (48) не выполняется, то для 1 \leqslant p \leqslant +\infty
\begin{equation}
\|\mathscr F_\sigma^{(\varphi)}\|_{(p)} \leqslant c\biggl(1 + \int_{\sigma^{-1}}^1 \frac{|{\operatorname{Im} \varphi(t)}|+|\varphi(1-t)|} {t}\,dt\biggr), \qquad \sigma>0,
\end{equation}
\tag{49}
где положительная постоянная c \equiv c(p, \varphi) не зависит от \sigma. Таким образом, теорема 2 позволяет оценивать нормы средних Фурье также и в случае их неограниченного роста. В частности, из (49) немедленно вытекает, что
\begin{equation*}
\sup_{1\leqslant p\leqslant +\infty} \|S_n\|_{(p)} \leqslant c\ln n, \qquad n\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
для частичных сумм ряда Фурье. Теорема 2 позволяет оценить качество приближения средними Фурье в терминах наилучших приближений. Следующее ниже утверждение, являющееся одним из ее возможных следствий, охватывает, по крайней мере, все классические средние, порожденные вещественнозначными четными генераторами. Теорема 3. Пусть 1 \leqslant p \leqslant +\infty и четная непрерывная на \mathbb{R} функция \varphi с носителем в [-1,1] такова, что 1-\varphi(\cdot) \in \mathscr C^2 \langle 0_{\prime}, 1 \rangle и выполнено условие (48). Тогда для f \in L_p и \sigma > 0 справедливо неравенство
\begin{equation}
\|f-\mathscr F_\sigma^{(\varphi)}(f)\|_p \leqslant c \int_0^{1/2} |\varphi'(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt,
\end{equation}
\tag{50}
где положительная постоянная c не зависит от f и \sigma. Доказательство. Применяя (12) для произвольного продолжения функции 1-\varphi(\cdot) с [-1/2, 1/2] на \mathbb{R}, принадлежащего классу \mathscr C^2 \langle 0_{\prime}, +\infty_{\prime} \rangle, в качестве \psi и для полинома наилучшего приближения T \in \mathscr T_{\sigma/2} функции f, имеем с учетом вытекающей из (50) принадлежности \varphi классу \mathscr K
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f-\mathscr F^{(\varphi)}_\sigma(f)\|_p \leqslant cE_{\sigma/2}(f)_p + \|T-\mathscr F^{(\varphi)}_\sigma(T)\|_p \\ &\qquad\leqslant c_1 \biggl(E_{\sigma/2}(f)_p +\int_0^{1/2} |\varphi'(t)|E_{t\sigma}(T)_p \,dt\biggr) \\ &\qquad\leqslant c_2 \biggl(E_{\sigma/2}(f)_p +\int_0^{1/2} |\varphi'(t)|E_{t\sigma}(f)_p \,dt\biggr) \leqslant c_3 \int_0^{1/2} |\varphi'(t)| E_{t\sigma}(f)_p\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где положительные постоянные c, c_1, c_2 и c_3 не зависят от f и \sigma. Теорема доказана. Пусть, дополнительно, \varphi и \varphi' монотонны на [0,1/2]. Замечая, что
\begin{equation*}
\int_{0}^{1/2} |\varphi'(t)|E_{t\sigma}(f)_p\,dt \leqslant \sum_{k=0}^{[n/2]} \int_{k/n}^{(k+1)/n} \leqslant\sum_{k=0}^{1/2} E_k(f)_p \int_{k/n}^{(k+1)/n} |\varphi'(t)|\,dt,
\end{equation*}
\notag
и учитывая (\prime)-условие, можно переписать (51) в привычной дискретной форме
\begin{equation}
\|f-\mathscr F_n^{(\varphi)}(f)\|_p \leqslant \frac{c}{n}\biggl( |1-\varphi(n^{-1})|E_0(f)_p + \sum_{k=1}^{[n/2]} \biggl|\varphi'\biggl(\frac{k}{n}\biggr)\biggr|E_{k}(f)_p\biggr), \qquad n \geqslant 2.
\end{equation}
\tag{51}
В частности, из (51) немедленно вытекает оценка (B) для обобщенных средних Рисса. В качестве неклассического примера рассмотрим средние \mathscr L_n^{(\alpha)}, \alpha >0, произведенные четным генератором, удовлетворяющим условию (48) и равным 1-(-\ln|t|)^{-\alpha} для 0<t \leqslant 1/2. В силу (50)
\begin{equation}
\|f - \mathscr L_n^{(\alpha)}(f)\|_p \leqslant c\biggl(\frac{E_0(f)_p}{\ln^\alpha n} + \sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{E_k(f)_p}{k(\ln n - \ln k)^{\alpha+1}}\biggr)
\end{equation}
\tag{52}
для f \in L_p и n \geqslant 2, где c>0 не зависит от f и n. Пусть 0<\gamma < \alpha и функция f \in L_p такова, что E_n(f)_p =O((\ln n)^{-\gamma}). Применяя (52) в интегральной форме, имеем для n \geqslant 4
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|f - \mathscr L_n^{(\alpha)}(f)\|_p &\leqslant c_1\biggl(\frac{E_0(f)_p}{\ln^\alpha n}+\int_{2/n}^{1/2} \frac{E_{nt}(f)_p}{t(-\ln t)^{\alpha+1}}\,dt \biggr) \\ \notag &\leqslant c_2\biggl(\ln^{-\alpha}n +\int_{2/n}^{1/2} \frac{dt}{t(-\ln t)^{\alpha+1}(\ln n+\ln t)^{\gamma}}\biggr) \\ &\leqslant c_2 \ln^{-\gamma}n\biggl(1+L_n^\gamma\int_{2/n}^{1/2} \frac{dt}{t(\ln(1/t))^{\alpha+1-\gamma}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
где c_1>0 не зависит от f и n, c_2 >0 не зависит от n,
\begin{equation*}
L_n =\max_{2/n\leqslant t \leqslant 1/2}\frac{\ln n}{\ln(1/t)(\ln n-\ln(1/t))} .
\end{equation*}
\notag
Принимая во внимание, что
\begin{equation*}
L_n \leqslant \frac{\ln n}{\ln 2(\ln n-\ln 2)} \leqslant \frac{1}{\ln 2(1-\ln 2)},
\end{equation*}
\notag
а также, что при 0<\delta<\alpha
\begin{equation*}
\int_0^{1/2} \frac{dt}{t(\ln(1/t))^{\alpha+1-\gamma}} <+\infty,
\end{equation*}
\notag
на основании (53) окончательно имеем для n \geqslant 4
\begin{equation*}
\|f - \mathscr L_n^{(\alpha)}(f)\|_p \leqslant c\ln^{-\gamma}n,
\end{equation*}
\notag
где положительная постоянная c не зависит от n. Следовательно,
\begin{equation}
\|f-\mathscr L_n^{(\alpha)}(f)\|_p =O((\ln n)^{-\gamma}) \quad \Longleftrightarrow \quad E_n(f)_p =O((\ln n)^{-\gamma}), \qquad f \in L_p,
\end{equation}
\tag{54}
для 1 \leqslant p \leqslant +\infty, 0 < \gamma < \alpha. Приведенный пример показывает, что оценка (51) является порядково точной в характерном для обратных оценок смысле, т.е. приводит к эквивалентному описанию некоторых классов функций, наилучшие приближения которых удовлетворяют тем или иным условиям. Теорема 2 позволяет получать результаты и для разрывных генераторов. В качестве иллюстрации приведем простое доказательство утверждения (А), изначально установленного в [37]. Применяя (10) к функции
\begin{equation*}
\varphi_n(\xi) = \begin{cases} 0 , & |\xi| \leqslant 1, \\ -(n\xi-n-1)^2 +1 ,& 1 < |\xi| \leqslant 1 +\dfrac 1n, \\ 1 ,& |\xi| >1+\dfrac 1n, \end{cases} \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
получаем для f \in L_p, 1 \leqslant p \leqslant +\infty, и n \in \mathbb{N}
\begin{equation*}
\|f -S_n(f)\|_p \leqslant c\biggl(E_n(f)_p +\int_{1+1/n}^2\frac{E_{nt}(f)_p}{t-1}\,dt\biggr) \leqslant 2c\sum_{k=0}^{n-1}\frac{E_{n+k}(f)_p}{k+1},
\end{equation*}
\notag
для f \in L_p, 1 \leqslant p \leqslant +\infty, и n \in \mathbb{N}, где c не зависит от f и n.
§ 3. Обобщенные модули гладкостиМодуль гладкости, порожденный генератором \theta, определяется формулой
\begin{equation}
\omega_{\theta}(f, \delta)_p =\sup_{0\leqslant h\leqslant \delta} \|\Delta^{(\theta)}_h f(x)\|_p =\sup_{0\leqslant h\leqslant \delta} \biggl\|\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}\theta^\wedge(\nu)f(x+\nu h)\biggr\|_p, \qquad \delta \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{55}
где \theta принадлежит классу \mathscr G, состоящему по определению из 2\pi-периодических комплекснозначных симметричных непрерывных с набором коэффициентов Фурье \theta^\wedge=\{\theta^\wedge(\nu),\nu \in \mathbb{Z}\} из пространства l_1, для которых \theta(0)=0. Ясно, что
\begin{equation*}
\|\Delta^{(\theta)}_h f(x)\|_p\leqslant \|\theta^\wedge\|_{l_1}\,\|f\|_p, \qquad f \in L_p, \qquad h \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, \theta-модуль корректно определен в L_p при 1 \leqslant p \leqslant +\infty. В [33] было показано, что в отличие от более общего модуля (7), введенного и изученного в [22], [23], а также специальных линеаризованных модулей (см., например, [43]), конструкция \theta-модуля наиболее адекватна для применений в теории приближений в том смысле, что, с одной стороны, она достаточно конкретна, чтобы развить содержательную теорию с реально проверяемыми на практике условиями на генераторы, а с другой, она является достаточно общей, чтобы выйти на уровень, достигнутый для методов приближения, охватить все изученные ранее случаи, пополнить объектную среду теории приближений новыми “недостающими” конструкциями, а также сформулировать результаты о связях между структурными и конструктивными характеристиками в их общем виде. Прямая оценка типа Джексона для \theta-модуля была получена в [15]. Результаты о качестве приближения средними Фурье с произвольным генератором в терминах \theta-модулей могут быть найдены в [44]. В настоящей работе в качестве простых следствий теоремы 2 будут получены теорема сравнения, обратная оценка типа Бернштейна и аналог неравенства Маршо. Возможность применения теоремы 2 основывается на том обстоятельстве, что оператор обобщенной разности \Delta^{(\theta)}_h совпадает с A_{h^{-1}}(\theta). Отметим сначала, что, аналогично средним Фурье, простое достаточное условие абсолютной сходимости ряда Фурье генератора \theta, обеспечивающее корректную определенность соответствующего модуля, может быть дано в терминах самого генератора, а не его коэффициентов Фурье. Теорема 4. Если для 2\pi-периодической функции \theta из класса \mathscr C^2 \langle 0, \pi] выполняется условие
\begin{equation}
\int_0^\pi \frac{|{\operatorname{Im}\theta(t)}|}{t}\,dt <+\infty,
\end{equation}
\tag{56}
то \theta \in \mathscr G. Доказательство. Пусть функции \eta и \zeta таковы, что \eta(\cdot) и \zeta(\cdot +\pi) принадлежат классу \mathscr D(\pi/3, 2\pi/3), при этом \eta(t)+\zeta(t)=1 для 0\leqslant t \leqslant \pi. Тогда
\begin{equation}
\theta(\cdot) =\theta(\cdot)\eta_*(\cdot) +\theta(\cdot)\zeta_*(\cdot)
\end{equation}
\tag{57}
тождественно, где (\cdot)_* означает 2\pi-периодическое продолжение. Из определения класса \mathscr C^2 \langle 0, \pi] с учетом элементарных свойств преобразования Фурье немедленно вытекает, что (\theta\zeta_*)^\wedge \in l_1. На основании (11) и (56) имеем f \in L_p, h >0,
\begin{equation*}
\|A_{h^{-1}}(\theta\eta)f\|_p \leqslant c \biggl(\int_0^{\pi}|(\theta\eta)'(t)|\, dt+ \int_h^{\pi}\frac{|{\operatorname{Im}(\theta\eta)(t)}|}{t}\,dt\biggr) \|f\|_p< c_1 \|f\|_p,
\end{equation*}
\notag
где положительные постоянные c и c_1 не зависят от f и h. Таким образом, \theta\eta \in \mathscr M, и, значит, \widehat{\theta\eta} \in L_1(\mathbb{R}) в силу (5). Как показано в [33], это условие эквивалентно условию (\theta\eta_*)^\wedge \in l_1. Теперь принадлежность \theta классу \mathscr G вытекает из (57). Теорема доказана. Приведем теперь аналог теоремы сравнения Бомана–Шапиро для \theta-модулей, который, обладая достаточной для теории приближений общностью, справедлив уже для B=1 и может быть легко проверен на практике, в отличие от неравенства (8). Через \mathscr C_*^2 \langle 0, \pi] обозначим класс функций, которые отличаются от 2\pi-периодических функций из \mathscr C^2 \langle 0, \pi] на аддитивную вещественную константу. Теорема 5. Пусть \theta,\tau \in \mathscr G, \theta/\tau \in \mathscr C_*^2 \langle 0, \pi]. Если
\begin{equation}
\int_0^\pi \frac{|{\operatorname{Im}\theta(t)\operatorname{Re}\tau(t) -\operatorname{Re}\theta(t)\operatorname{Im}\tau(t)}|}{t|\tau(t)|^2}\,dt <+\infty,
\end{equation}
\tag{58}
то
\begin{equation}
\omega_{\theta}(f, \delta)_p\leqslant c\omega_{\tau}(f, \delta)_p, \qquad f \in L_p, \qquad \delta \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{59}
где положительная постоянная c не зависит от f и \delta. Доказательство. По определению \theta(\cdot)/\tau(\cdot) = \varphi(\cdot) +\alpha, \varphi \in \mathscr C^2 \langle 0, \pi], \alpha \in \mathbb{R}. Так как (59) влечет выполнение условия (56) для \varphi, то \varphi^\wedge \in l_1 в силу теоремы 4. Следовательно,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\Delta^{(\theta)}_h f(x)\|_p & = \|A_{h^{-1}}(\theta)f\|_p =\|A_{h^{-1}}(\theta/\tau) \circ A_{h^{-1}}(\tau)f\|_p \\ \notag &=\|(A_{h^{-1}}(\varphi)+\alpha I) \circ A_{h^{-1}}(\tau)f\|_p \\ \notag &\leqslant \|(A_{h^{-1}}(\varphi)+\alpha I) \|_{(p)}\|A_{h^{-1}}(\tau)f\|_p \\ &\leqslant (\|\varphi^\wedge\|_{l_1}+|\alpha|)\|A_{h^{-1}}(\tau)f\|_p \leqslant c\|\Delta^{(\tau)}_h f(x)\|_p \end{aligned}
\end{equation}
\tag{60}
для f \in L_p и h \geqslant 0, где положительная постоянная c не зависит от f и h. Теперь (59) вытекает из (60). Теорема доказана. Следующее утверждение является обобщением неравенства Маршо (см., например, [11]). Для его доказательства потребуется прямая оценка типа Джексона для \theta-модуля [15]. Напомним, что неравенство
\begin{equation}
E_\sigma(f)_p\leqslant c\omega_\theta(f, \lambda(\sigma+1)^{-1})_p, \qquad f \in L_p, \qquad \sigma \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{61}
в котором положительная постоянная c \equiv c(p, \theta, \lambda) не зависит от f и \sigma, справедливо для \theta \in \mathscr A и \lambda \in \Lambda_\theta, где класс \mathscr A состоит из абсолютно непрерывных функций \theta \in \mathscr G таких, что \Phi(\xi) \neq 0 при |\xi| \geqslant \lambda для некоторого \lambda >0, а \Lambda_\theta – множество таких \lambda. Теорема 6. Пусть 1 \leqslant p \leqslant +\infty и 2\pi-периодическая функция \theta из класса \mathscr C^2 \langle 0, \pi] удовлетворяет условию (56). Пусть также \tau \in \mathscr A и \lambda \in \Lambda_\tau. Тогда для f \in L_p и \delta \geqslant 0 справедливо неравенство
\begin{equation}
\omega_\theta(f, \delta)_p \leqslant c\int_{\delta}^{+\infty} \bigl(\delta t^{-1}|\theta'(\delta t^{-1})|+ |{\operatorname{Im}\theta(\delta t^{-1})}|\bigr)\omega_\tau(f, \lambda t)_p\, \frac{dt}{t},
\end{equation}
\tag{62}
где положительная постоянная c \equiv c(p, \varphi, \lambda) не зависит от f и \delta. Доказательство. Обозначая и применяя (11) для произвольного продолжения функции \theta(\cdot) с [-1, 1] на \mathbb{R}, принадлежащего классу \mathscr C^2 \langle 0, +\infty \rangle, в качестве \psi, а также для 0<\rho<1, 0 \leqslant h \leqslant \delta и полинома наилучшего приближения T \in \mathscr T_{\rho h^{-1}} функции f, имеем с учетом теоремы 4
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\Delta_h^{(\theta)}f\|_p & \leqslant\|\Delta_h^{(\theta)}(f-T)\|_p+\|\Delta_h^{(\theta)}T\|_p \leqslant c E_{\rho\delta^{-1}}(f)_p+\|\Delta_h^{(\theta)}T\|_p \\ \notag & \leqslant c_1\biggl(E_{\rho\delta^{-1}}(f)_p + \int_0^1 \frac{J_\theta(t)}{t}E_{\rho t h^{-1}}(T)_p \,dt\biggr) \\ \notag &\leqslant c_2\biggl(E_{\rho\delta^{-1}}(f)_p + \int_0^1 \frac{J_\theta(t)}{t}E_{\rho t h^{-1}}(f)_p \,dt\biggr) \\ &\leqslant c_3 \int_0^1 \frac{J_\theta(t)}{t} E_{\rho t \delta^{-1}}(f)_p \,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{63}
где положительные постоянные c, c_1, c_2 и c_3 не зависят от f, h и \delta. Учитывая, что \Lambda_\theta – открытое множество, выберем \rho из условия \lambda_1 =\lambda\rho \in \Lambda_\theta. Тогда на основании (61) и (63) получаем
\begin{equation*}
\omega_\theta(f, \delta)_p \leqslant c \int_0^1 \frac{J_\theta(t)}{t}\omega_\tau\biggl(T,\frac{\lambda_1\delta}{\rho t}\biggr)_p \,dt = \int_\delta^{+\infty} J_\theta\biggl(\frac{\delta}{t}\biggr)\omega_\tau(f, \lambda t)_p\, \frac{dt}{t},
\end{equation*}
\notag
где положительная постоянная c \equiv c(p, \varphi, \lambda) не зависит от f и \delta. Теорема доказана. Рассуждая аналогично доказательству теоремы 3, получаем обратную оценку типа Бернштейна для \theta-модулей. Так же, как и (50), она может быть переписана и в дискретной форме при определенных естественных условиях на генератор. Теорема 7. Пусть 1 \leqslant p \leqslant +\infty и 2\pi-периодическая функция \theta из класса \mathscr C^2 \langle 0_{\prime}^{\circ}, \pi] удовлетворяет условию (56). Тогда для f \in L_p и \delta \geqslant 0 справедливо неравенство
\begin{equation}
\omega_\theta(f, \delta)_p \leqslant c\int_0^1 \biggl(|{\operatorname{Re}\theta'(t)}|+\frac{|{\operatorname{Im}\theta(t)}|}{t}\biggr) E_{t\delta^{-1}}(f)_p\,dt,
\end{equation}
\tag{64}
где положительная постоянная c не зависит от f и \delta. Приведем некоторые примеры. Через \omega_{(\alpha)}(f, \delta)_p будем обозначать модуль гладкости \omega_{(\alpha)} (f, \delta)_p произвольного порядка \alpha>0, который, как известно, порождается генератором \theta_\alpha(\xi)= (1-e^{i\xi})^\alpha, где z^{\alpha}=|z|^\alpha e^{i\alpha\arg z}, z \in \mathbb{C}, -\pi < \arg z \leqslant \pi , и который был изучен во многих работах (см., например, [14], [16], [29]), или модуль гладкости, ассоциированный с производной Рисса
\begin{equation*}
\omega_{\langle \alpha \rangle}(f, \delta)_p=\sup_{0 \leqslant h \leqslant \delta} \biggl\|\sum_{\nu \neq 0} \frac{f(x+\nu h)-f(x)}{|\nu|^{\alpha +1}}\biggr\|_p,
\end{equation*}
\notag
где 0 < \alpha \leqslant 1 с генератором
\begin{equation*}
\theta_{\langle \alpha \rangle}(\xi) =\sum_{\nu \neq 0} |\nu|^{-\alpha-1} (e^{i\nu\xi}-1),
\end{equation*}
\notag
который был введен и изучен в [32]. В частности, в этой работе было показано, что |\theta_{\langle \alpha \rangle}'(t)|, t|\theta_{\langle \alpha \rangle}'(t)| \asymp t^\alpha в некоторой правой полуокрестности нуля, а также доказаны прямая теорема и теорема о вынесении константы. Применяя теоремы 5–7, имеем для допустимых значений параметров (\alpha>0 для \omega_\alpha и 0<\alpha \leqslant 1 для \omega_{\langle \alpha \rangle}), f \in L_p , \delta \geqslant 0 с положительными константами, не зависящими от f и \delta:
\begin{equation}
\omega_{(\alpha_1)}(f, \delta)_p\leqslant c\omega_{(\alpha_2)}(f, \delta)_p, \qquad \alpha_1 > \alpha_2;
\end{equation}
\tag{65}
\begin{equation}
\omega_{(\alpha_1)}(f, \delta)_p\leqslant c\delta^{\alpha_1}\int_\delta^{2\pi}\frac{\omega_{(\alpha_2)}(f, t)_p}{t^{\alpha_1+1}}\,dt, \qquad \alpha_1 \leqslant \alpha_2;
\end{equation}
\tag{66}
\begin{equation}
\omega_{(\alpha)}(f, \delta)_p\leqslant c\min(\delta^\alpha, 1) \sum_{0 \leqslant k <1/\delta} (k+1)^{\alpha-1}E_k(f)_p.
\end{equation}
\tag{67}
Оценка (65) для случая, когда один из модулей является модулем положительного порядка, а другой ассоциирован с производной Рисса, является новой. Независимые доказательства остальных неравенств, основанные на переходе к K-функционалам, отвечающим производным Вейля и Рисса, приведены в [14] и соответственно в [32]. Рассмотрим теперь генераторы, существенно отличающиеся от степенной функции в окрестности нуля. В качестве примера рассмотрим “плохой” модуль гладкости \omega_{\log,\alpha}(f, \delta)_p, \alpha >0, и “хороший” модуль гладкости \omega_{\exp}(f, \delta)_p, задаваемые генераторами, которые определяются в некоторой окрестности нуля формулами
\begin{equation}
\theta_{\log,\alpha}(\xi) =(-\ln|\xi|)^{-\alpha}, \qquad \theta_{\exp}(\xi) = e^{-1/|\xi|}.
\end{equation}
\tag{68}
Применяя теорему 7 и рассуждая аналогично доказательству (54), получаем
\begin{equation}
\omega_{\log,\alpha}(f, \delta)_p=O((-\ln\delta)^{-\gamma}) \quad \Longleftrightarrow\quad E_n(f)_p =O((\ln n)^{-\gamma}), \qquad f \in L_p,
\end{equation}
\tag{69}
для 1 < p < +\infty и 0 < \gamma < \alpha. В отличие от \theta_{\log,\alpha} , функция \theta_{\exp} уже не удовлетворяет (\prime)-условию, поэтому теорема 7 для нее неприменима. Используя общую оценку (10) вместо (12), получаем аналогично доказательству теоремы 7
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \omega_{\exp}(f, \delta)_p & \leqslant c\int_0^a (|\theta_{\exp}'(t)|+t|\theta_{\exp}''(t)|) E_{t\delta^{-1}}(f)_p\,dt \\ & \leqslant c_1 \int_0^a t^{-3}e^{-1/t}E_{t\delta^{-1}}(f)_p\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{70}
где положительные постоянные c и c_1 не зависят от f и \delta. Используя (70), покажем, что
\begin{equation}
\omega_{\exp}(f, \delta)_p=O(\delta^{\gamma}) \quad\Longleftrightarrow\quad E_n(f)_p =O(n^{-\gamma}), \qquad f \in L_p,
\end{equation}
\tag{71}
для 1 < p < +\infty и \gamma >0. В самом деле, оценка сверху для наилучших приближений немедленно вытекает из (61). В обратную сторону, в силу (70) имеем
\begin{equation*}
\omega_{\exp}(f, \delta)_p \leqslant c \delta^\gamma \int_0^a t^{-\gamma-3}e^{-1/t}\,dt \leqslant c_1 \delta^{\gamma},
\end{equation*}
\notag
где положительные постоянные c и c_1 не зависят от f и \delta. Таким образом, в отличие от модулей гладкости положительных порядков и модулей, ассоциированных с производной Рисса, “хороший” модуль является универсальной структурной характеристикой для описания классов функций, наилучшие приближения которых имеют произвольный степенной порядок, а неравенство (10), не являющееся абсолютно порядково точным, тем не менее позволяет получать точные результаты в целом ряде случаев. § 4. Обобщенная гладкостьЯсно, что в определении (\lambda, \beta)-производной (2) вместо функции \lambda может использоваться монотонно возрастающая последовательность \lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^{+\infty}, \lambda_0=0. В этом случае любую монотонно возрастающую функцию \lambda(t) из класса C^2\langle 0, +\infty) такую, что \lambda(n)=\lambda_n, n \in \mathbb{N}_0, будем называть допустимой. Таким образом, \lambda будет использоваться как для обозначения той или иной допустимой функции, так и для последовательности \lambda_n=\lambda(n) в зависимости от контекста. Применение теорем 1 и 2 при \sigma=1 приводит к следующим результатам, которые надо понимать в том смысле, что если фигурирующие в них ряды сходятся, то f^{(\lambda, \beta)} \in L_p, при этом справедливы соответствующие оценки. В дальнейшем \Delta\lambda_n =\lambda_{n+1}-\lambda_n, \Delta^2\lambda_n = \Delta(\Delta\lambda_n)=\lambda_{n+2}-2\lambda_{n+1}+ \lambda_n. Отметим, что п. (iv) теоремы 8 содержится в результатах работы [28] и приведен здесь для полноты изложения. Там же неравенство (72) было доказано при дополнительном условии \lambda_{2n} =O(\lambda_n). Теорема 8. Пусть \lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^{+\infty}, \lambda_0=0, монотонно возрастает, \beta \in \mathbb{R}. Пусть также f \in L_p. Тогда: (i) для 1<p<+\infty
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c_p\sum_{n=0}^{+\infty}\Delta\lambda_nE_n(f)_p,
\end{equation}
\tag{72}
где положительная постоянная c_p зависит только от p; (ii) для 1 \leqslant p \leqslant +\infty (\Delta^2\lambda_{-1}=0)
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c_0\biggl(\sum_{n=0}^{+\infty}(\Delta\lambda_n+n|\Delta^2\lambda_{n-1}|) E_n(f)_p + \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\lambda_n}{n}E_{n-1}(f)_p\biggr),
\end{equation}
\tag{73}
где c_0 – абсолютная положительная постоянная; (iii) если \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 или \Delta^2\lambda_n \leqslant 0, то для 0<\rho<1 и 1 \leqslant p \leqslant +\infty
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c\biggl(\sum_{n=0}^{+\infty} \Delta\lambda_n E_{[\rho n]}(f)_p + \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\lambda_n}{n}E_{n-1}(f)_p\biggr),
\end{equation}
\tag{74}
где положительная постоянная c не зависит от f ; (iv) если \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 или \Delta^2\lambda_n \leqslant 0 и \Delta\lambda_{2n}=O(\Delta\lambda_n), то для 1 \leqslant p \leqslant +\infty
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c\biggl(\biggl|\cos\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\sum_{n=0}^{+\infty} \Delta\lambda_n E_n(f)_p +\biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\lambda_n}{n}E_n(f)_p\biggr),
\end{equation}
\tag{75}
где положительная постоянная c не зависит от f. Доказательство. (i) Применяя (9) с \sigma=1 к допустимой функции
\begin{equation*}
\lambda(t)=\lambda_n+\Delta\lambda_n(t-n),\qquad t\in [n, n+1), \qquad n \in \mathbb{N}_0,
\end{equation*}
\notag
немедленно получаем (72). (ii) Для a \geqslant 0 , b \leqslant a введем в рассмотрение функции, заданные на интервале [0,1] формулами
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \psi_0(t\mid a,b)=\begin{cases} a-b+\dfrac{bt}\delta,& 0\leqslant t\leqslant\delta, \\ a-h+8h\biggl|t-\delta-\dfrac18\biggr|,& \delta < t \leqslant \delta+\dfrac14, \\ a,& \delta+\dfrac14 < t \leqslant 1, \end{cases} \qquad a \neq 0, \qquad b \neq 0, \\ \psi_0(t\mid a,0)=a, \qquad \psi_0(t\mid 0, b)=0, \\ \psi_1(t\mid a,b)=\begin{cases} \psi_0(t\mid a,b) ,& 0 \leqslant t \leqslant \dfrac12, \\ \psi_0(-t+1\mid a,b),& \dfrac12 < t \leqslant 1, \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где h и \delta таковы, что
\begin{equation*}
|h|=\min\biggl(|b|, \frac a2\biggr), \qquad \delta=\min\biggl(\frac14, \frac{a}{8|h|}\biggr), \qquad hb<0.
\end{equation*}
\notag
С учетом
\begin{equation*}
\psi_j(t\mid a,b)\geqslant 0, \qquad \int_0^1\psi_j(t\mid a,b)\,dt =a, \qquad j=1,2,
\end{equation*}
\notag
непосредственным вычислением убеждаемся в том, что функция где
\begin{equation*}
\lambda'(t)\,{=}\,\psi_{\iota(n)}(t-n\mid\Delta\lambda_n, \Delta^2\lambda_{n-1}), \quad t\,{\in}\, [n, n+1), \quad n\,{\in}\, \mathbb{N}_0, \quad \iota(n)\,{=}\,1 -\operatorname{sgn}\Delta\lambda_{n+1},
\end{equation*}
\notag
является допустимой, при этом
\begin{equation*}
\int_n^{n+1} t|\lambda''(t)|\,dt \leqslant 3n|\Delta^2\lambda_{n-1}|+\Delta\lambda_n, \qquad n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
Применяя к ней (10) с \sigma=1 и a=0, получаем (73). (iii)–(iv) Непосредственным вычислением убеждаемся в том, что функция где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda'(t)= \begin{cases} \dfrac{\Delta\lambda_n + \Delta\lambda_{n-1}}{2}+ \dfrac{\Delta^2\lambda_{n-1}(t-n)}{2(t_n-n)},& n \leqslant t < t_n, \\ \Delta\lambda_n + \dfrac{\Delta^2\lambda_n(t-t_n)}{2(n+1-t_n)},& t_n \leqslant t < n+1, \end{cases} \qquad n \in \mathbb{N}_0, \\ t_n=n+\frac{\Delta^2\lambda_n}{\Delta^2\lambda_n+\Delta^2\lambda_{n-1}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
является допустимой, при этом \lambda' монотонна, а условие \Delta\lambda_{2n} =O(\Delta\lambda_n) влечет выполнение (\prime)- и (\circ)-условий. Применяя (11) и (12) к \lambda(t), получаем (74) и соответственно (75). Теорема 8 доказана. В [28] было показано, что при выполнении условий п. (iv) конечность правой части в (75) с \varepsilon_n вместо E_n(f)_p является необходимым и достаточным условием вложения класса E_p[\varepsilon]=\{f \in L_p\colon E_n(f)_p=O(\varepsilon_n) \}, \varepsilon_n \searrow 0, в класс W^{\lambda, \beta}_p=\{f \in L_p\colon f^{(\lambda, \beta)} \in L_p\}. В связи с этим отметим, что теорема 8 позволяет получать подобные результаты также и в случаях невыполнения \Delta_2-условий, т.е. в случаях, когда генератор производной растет быстрее степенной функции. Приведем простой пример. Обозначим E_{\exp, p}[\alpha]=E_p[\varepsilon], \alpha>0, где \varepsilon_n=e^{-\alpha n}, W_{\exp,p}^{\gamma, \beta}=W^{\lambda, \beta}_p, \gamma >0, \beta \in \mathbb{R}, где \lambda_n=e^{\gamma n}, n \in \mathbb{N}, и покажем, что для 1 \leqslant p \leqslant +\infty
\begin{equation}
E_{\exp, p}[\alpha]\subset W_{\exp, p}^{\gamma, \beta} \quad \Longleftrightarrow\quad \alpha > \gamma.
\end{equation}
\tag{76}
В самом деле, если \alpha > \gamma, то для \lambda(t)=e^{\gamma t}-1 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^{(\lambda, \beta)}\|_p &\leqslant c_1 \int_1^{+\infty} \biggl(\frac1t+1+t\biggr) e^{\gamma t}E_n(f)_p\,dt \\ &\leqslant c_2 \int_1^{+\infty}\biggl(\frac1t+1+t\biggr) e^{-(\alpha-\gamma)t}\,dt<+\infty \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
в силу (10) или (73). Если же \alpha \leqslant \gamma, то для функции имеем (c=(2\pi)^{1/p})
\begin{equation*}
E_n(f_0)_p\leqslant \biggl\|\sum_{|k|>n}e^{ikx-\alpha|k|}\biggr\|_p \leqslant c\sum_{|k|>n} e^{-\alpha|k|} \leqslant 2c\int_n^{+\infty}e^{-\alpha t}\,dt\leqslant \biggl(\frac2\alpha\biggr)ce^{-\alpha n}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, f_0 \in E_{\exp, p}[\alpha]. Очевидно, однако, что f_0 \not\in W_{\exp, p}^{\gamma, \beta}. Для полноты изложения отметим, что в этом случае имеет место обратное вложение [23; гл. 3]. Отметим также, что оно является простым следствием общих результатов о наилучших приближениях гладких функций для произвольных генераторов гладкости без \Delta_2-условия, которые будут описаны в наших последующих работах. Комбинируя (74) с прямой оценкой типа Джексона (61), получаем следующий результат. Теорема 9. Пусть 1 \leqslant p \leqslant +\infty, \lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^{+\infty}, \lambda_0=0, монотонно возрастает, \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 или \Delta^2\lambda_n \leqslant 0 при n\geqslant n_0 для некоторого n_0 \in \mathbb{N}, \beta \in \mathbb{R}. Пусть также \theta \in \mathscr A и \gamma \in \Lambda_\theta. Тогда для f \in L_p справедливо неравенство
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c\sum_{n=1}^{+\infty} \biggl(\Delta\lambda_n+ \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \frac{\lambda_n}{n}\biggr)\omega_\theta\biggl(f, \frac{\gamma}{n}\biggr)_p,
\end{equation}
\tag{77}
где положительная постоянная c не зависит от f. В [29] при условии \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 или \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 и дополнительном условии невозрастания n^{-r}\lambda_n для некоторого r\geqslant 0 было показано для \alpha>0 и \beta \in \mathbb{R}, что
\begin{equation}
\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c\sum_{n=1}^{+\infty}\biggl(\biggl|\cos\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\Delta\lambda_n +\biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\frac{\lambda_n}{n}\biggr)\omega_{\alpha+r}\biggl(f,\frac{1}{n}\biggr)_p,
\end{equation}
\tag{78}
где положительная постоянная c не зависит от f. Учитывая, что из невозрастания n^{-r}\lambda_n вытекает \Delta\lambda_n =O(\lambda_n/n), и пользуясь свойством модуля гладкости положительного порядка о вынесении константы (см., например, [16]), немедленно получаем (78) из (77). В заключение этого параграфа докажем существенно усиленную версию результата (E), в которой утверждается, что всякая L_1-функция имеет не только некоторую суммируемую (\lambda, \overline{\beta})-производную, как это было показано в [27], но и (\lambda, 0)-производную из L_1. Отметим, что в [26; гл. III, п. 11.7] подбор подходящих \beta_k осуществляется довольно сложным образом. Более того, приведенный ниже результат справедлив для всех 1 \leqslant p\leqslant+\infty. Доказательство. Выберем \varepsilon_k >0, k \in \mathbb{N}, исходя из условия и положим для f \in L_p
\begin{equation}
N_k=\begin{cases} \min\{n\colon E_n(f) \leqslant \varepsilon_k\},& k=1,2, \\ \min \{n\colon E_n(f)_p \leqslant \varepsilon_k,n-N_{k-1} > N_{k-1}-N_{k-2}\},& k \geqslant 3. \end{cases}
\end{equation}
\tag{80}
Рассмотрим четную функцию \lambda, определенную на [0, +\infty) формулами
\begin{equation}
\lambda(t)=\int_0^\xi \lambda'(\tau)\,d\tau, \qquad \lambda'(t)=(N_{k+1}-N_k)^{-1}, \qquad N_k \leqslant t \leqslant N_{k+1}-1, \qquad k \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{81}
при этом \lambda' продолжена по непрерывности константой на [0, N_1] и при помощи линейных функций на [N_{k+1}-1, N_{k+1}], k \in \mathbb{N}. Обозначая \delta_k = N_{k+1}-N_k, имеем в силу (79)–(81)
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{N_1}^{+\infty} \lambda'(t)\,dt \geqslant \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\delta_k -1}{\delta_k}=+\infty, \qquad \lim_{t\to+\infty} \lambda(t) =+\infty, \\ \int_{N_1}^{+\infty} \lambda'(t)E_t(f)_p\,dt =\sum_{k=1}^{+\infty}\int_{N_k}^{N_{k+1}} \lambda'(t)E_t(f)_p\,dt\leqslant \sum_{k=1}^{+\infty}\delta_k\delta^{-1}_k \varepsilon_k <+\infty, \\ \int_{N_1}^{+\infty} t|\lambda''(t)|E_t(f)_p\,dt \leqslant \sum_{k=1}^{+\infty}\biggl(\sum_ {\nu=1}^k \delta_\nu\biggr)(\delta_k^{-1} - \delta_{k+1}^{-1})\varepsilon_k\leqslant \sum_{k=1}^{+\infty} k\varepsilon_k <+\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Теперь, применяя (10) к функции \lambda(t) при a=0 и \sigma=1, заключаем, что f \in W_p^{(\lambda,0)}. Теорема доказана. § 5. Неравенства типа БернштейнаТеорема 11. Пусть \lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^{+\infty}, \lambda_0=0, монотонно возрастает, \beta \in \mathbb{R}. Пусть также T_n \in \mathscr T_n, n \in \mathbb{N}_0. Тогда: (i) для 1<p<+\infty
\begin{equation}
\|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c_p\lambda_n\|T_n\|_p,
\end{equation}
\tag{82}
где положительная постоянная c_p зависит только от p; (ii) для 1 \leqslant p \leqslant +\infty
\begin{equation}
\|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c_0 \ln(n+1)\lambda_n \|T_n\|,
\end{equation}
\tag{83}
где c_0 – абсолютная положительная постоянная; (iii) если \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 или \Delta^2\lambda_n \leqslant 0 и \lambda_{2n}=O(\lambda_n), то для 1 \leqslant p \leqslant +\infty и n\in\mathbb{N}
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|T^{(\lambda, 2m)}_n\|_p & \leqslant c_1\lambda_n\|T_n\|_p, \qquad m \in \mathbb{Z}, \\ \|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p & \leqslant c_2 \biggl(\sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{k}\biggr)\|T_n\|_p, \qquad \beta \neq 2m, \qquad m \in \mathbb{Z}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{84}
где положительные постоянные c_1 и c_2 не зависят от T_n и n. Доказательство. Отметим сначала, что E_k(T_n)_p\,{=}\,0 для k\,{\geqslant}\,n и E_k(T_n)_p \leqslant \|T_n\|_p для всех k \in \mathbb{N}_0. (i) Применяя (72), имеем
\begin{equation}
\|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p \leqslant c_p\sum_{k=0}^{n-1}\Delta\lambda_kE_k(T_n)_p \leqslant c_p\biggl(\sum_{k=0}^{n-1}\Delta\lambda_k\biggr)\|T_n\|_p\leqslant c_p\lambda_n\|T_n\|_p.
\end{equation}
\tag{85}
(ii) Положим
\begin{equation*}
\lambda(t)=\lambda_n+\Delta\lambda_n(t-n), \qquad t\in [n, n+1), \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation*}
\notag
Обозначая через \mathscr X функцию, равную 0 при t \leqslant 1 и равную 1 при t>1, очевидно, получаем
\begin{equation*}
\lambda(\xi)=\int_0^{+\infty} \lambda'(t)\mathscr X\biggl(\frac{\xi}{t}\biggr)\,dt; \qquad A_\sigma(\lambda^{\pm})=\int_0^{+\infty} \lambda'(t)A_{t\sigma}(\mathscr X^{(\pm)})\,dt.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\|A_\sigma(\lambda^{(\pm)})f\|_p\leqslant \int_0^{+\infty} |\lambda'(t)|\|A_{t\sigma}(\mathscr X^{(\pm)})f\|_p\,dt, \qquad f\in L_p, \qquad \sigma>0 .
\end{equation*}
\notag
В частности, для n\in\mathbb{N}
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p & \leqslant\int_0^n |\lambda'(t)|(\|A_{t}(\mathscr X^{(+)})T_n\|_p + |A_{t}(\mathscr X^{(-)})T_n\|_p)\,dt \\ &=\sum_{k=0}^{n-1} \Delta\lambda_k (\|T_n-S_k(T_n)\|_p +\|\widetilde{T}_n-S_k(\widetilde{T_n})\|_p), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{86}
где S_k, k \in \mathbb{N}_0, – оператор частичной суммы ряда Фурье. Ясно, что
\begin{equation}
\|T_n-S_k(T_n)\|_p\leqslant c\ln(k+2)\|T_n\|_p, \qquad k =0,\dots, n-1,
\end{equation}
\tag{87}
где c – абсолютная положительная постоянная. Теперь, применяя (10) к нечетной функции, совпадающей на [0, +\infty) с \varphi_k(\xi) при k=1,\dots, n-1 и с функцией \varphi_1(\xi +1) при k =0, где \varphi_k определена формулой (2), получаем
\begin{equation}
\|\widetilde{T}_n-S_0(\widetilde{T_n})\|_p \leqslant c_1\biggl(E_0(T_n)_p + \int_1^n \frac{E_{\tau}(T_n)_p}{\tau}\,d\tau \biggr) \leqslant c_2 \ln (n+1)\|T_n\|_p,
\end{equation}
\tag{88}
\begin{equation}
\|\widetilde{T}_n-S_k(\widetilde{T_n})\|_p \leqslant c_3\biggl(E_k(T_n)_p + \int_{1+1/k}^{n/k} \frac{E_{k\tau}(T_n)_p}{\tau-1}\,d\tau \biggr)\leqslant c_4 \ln (n+1)\|T_n\|_p
\end{equation}
\tag{89}
для k =1, \dots, n-1, где c_j, 1 \leqslant j \leqslant 4, не зависят от T и n. Теперь (83) следует из (86)–(89). (iii) Аналогично (85) имеем на основании (74)
\begin{equation}
\|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p \leqslant c_2\biggl(\lambda_{[\rho^{-1}n]}+ \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{k}\biggr)\|T_n\|_p, \qquad 0< \rho<1,
\end{equation}
\tag{90}
где положительная постоянная c не зависит от T_n и n. Теперь на основании (90) для \rho=1/2 и \Delta_2-условия получаем первое неравенство в (84). Второе неравенство также следует из (90) с учетом оценки
\begin{equation*}
\lambda_n \leqslant c\lambda_{[n/2]}\leqslant \frac{2c}{n}\sum_{k=[n/2]}^n \lambda_k \leqslant 2c\sum_{k=[n/2]}^n \frac{\lambda_k}{k}\leqslant 2c\sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{k},
\end{equation*}
\notag
вытекающей из \Delta_2-условия. Теорема 11 доказана. Сделаем ряд дополнительных замечаний. Учитывая, что
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{n-1} k|\Delta^2\lambda_{k-1}|\leqslant n\Delta\lambda_{n-1},
\end{equation*}
\notag
на основании (73) получаем при условии \Delta^2\lambda_n \geqslant 0 или \Delta^2\lambda_n \leqslant 0 для 1 \leqslant p \leqslant +\infty и T_n \in \mathscr T_n, n\in\mathbb{N},
\begin{equation}
\|T^{(\lambda, \beta)}_n\|_p \leqslant c\biggl(\lambda_n+n\Delta\lambda_{n-1}+ \biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| \sum_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{k}\biggr)\|T_n\|_p,
\end{equation}
\tag{91}
где c_0 – абсолютная положительная постоянная. В случае \beta=0 это неравенство было доказано в [29]. Отметим также, что неравенства (84) вытекают и из доказаного в [28] п. (iv) теоремы 8, но при выполнении \Delta_2-условия для \Delta\lambda_n, которое сильнее требуемого в п. (iii) теоремы 11 \Delta_2-условия для \lambda_n. Множитель \ln(n+1) из (83), являющийся излишним, например, для \lambda_n\,{=}\,n^\alpha, \alpha >0, не может быть порядково улучшен, если рассматривать (83) как универсальное неравенство с некоторой абсолютной константой. В самом деле, в предельном случае нулевой гладкости, отвечающем \lambda_n = i\operatorname{sgn}n и оператору сопряжения, имеется известная оценка (см., например, [19])
\begin{equation*}
\|\widetilde{T_n}\|_p \leqslant c\ln(n+1)\|T_n\|_p, \qquad T_n\in \mathscr T_n, \qquad n \in \mathbb{N}_0,
\end{equation*}
\notag
являющаяся порядково точной при p =1,+\infty. При отсутствии \Delta_2-условия неравенства (90) и (91) не всегда являются порядково точными. Так, например, для \lambda_n=e^{\alpha n}, n\in\mathbb{N}, \alpha>0, в них возникают множители e^{\alpha_1 n}, где \alpha_1>\alpha, и соответственно ne^{\alpha n}, которые порядково превышают даже \ln(n+1) e^{\alpha n} из (83). Следующая теорема показывает, что на самом деле для 1 \leqslant p \leqslant +\infty справедливо точное по порядку неравенство
\begin{equation}
\|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant ce^{\alpha n}\|T_n\|_p, \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{92}
с некоторой абсолютной положительной постоянной c. Теорема 12. Пусть \lambda(z) – целая функция, \lambda(0)=0, \lambda^{(k)}(0) \geqslant 0, k \in \mathbb{N}, \beta \in \mathbb{R}, 1\leqslant p \leqslant +\infty. Тогда для T_n \in \mathscr T_n и n \in \mathbb{N}_0 справедливо неравенство
\begin{equation}
\|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant (1+c_0^2)^{1/2}\lambda_n \|T_n\|_p, \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{93}
где c_0 – точная константа в неравенстве с производной Рисса, отвечающей генератору |t|. Доказательство. Обозначая a_k=\lambda^{(k)}(0)/k! и пользуясь разложением функции \lambda в ряд Тейлора, имеем операторное равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\cdot)^{(\lambda, \beta)} & = \sum_{m=1}^{+\infty} (-1)^m a_{2m} (\cdot)^{(2m-1)} \circ \biggl(\cos\frac{\pi\beta}{2} (\cdot)'-\sin\frac{\pi\beta}{2}(\cdot)^{\langle \prime \rangle}\biggr) \\ &\qquad + \sum_{m=0}^{+\infty} (-1)^m a_{2m+1} (\cdot)^{(2m)} \circ \biggl(\cos\frac{\pi\beta}{2}(\cdot)^{\langle \prime \rangle}+\sin\frac{\pi\beta}{2}(\cdot)'\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \circ – знак композиции. Отсюда, учитывая, что неравенство Бернштейна для классических производных выполняется с константой 1 (см. [47]), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|T_n^{(\lambda, \beta)}\|_p & \leqslant \biggl(\biggl|\cos\frac{\pi\beta}{2}\biggr| +c_0\biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\biggr) \sum_{m =1}^{+\infty} a_{2m} n^{2m} \|T_n\|_p \\ &\qquad + \biggl(\biggl|\sin\frac{\pi\beta}{2}\biggr| +c_0\biggl|\cos\frac{\pi\beta}{2}\biggr|\biggr) \sum_{m =0}^{+\infty} a_{2m+1} n^{2m+1} \|T_n\|_p, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
что влечет (93). Теорема доказана. В качестве одного из возможных применений теоремы 11 докажем, что неравенства Бернштейна для производных Вейля (\cdot)^{(\alpha)} и Рисса (\cdot)^{\langle \alpha \rangle}, \alpha >0 , с \lambda(t)=|t|^\alpha, отвечающих \beta=\alpha и соответственно \beta=0, выполняются с независимыми от \alpha константами. C константами же, зависящими от \alpha, эти неравенства вытекают, например, из (75). Применяя (10), имеем для 0<\alpha \leqslant 2
\begin{equation}
\|T^{\langle\alpha\rangle}\|_p\leqslant c \alpha n^{\alpha}\|T\|_p\leqslant 2cn^{\alpha}\|T\|_p,
\end{equation}
\tag{94}
\begin{equation}
\|T^{(\alpha)}\|_p\leqslant c \biggl(\alpha +\frac{|{\sin(\pi\alpha/2)}|}{\alpha}\biggr)n^{\alpha}\|T\|_p\leqslant 3cn^{\alpha}\|T\|_p,
\end{equation}
\tag{95}
где c – константа из (10). Если \alpha > 2, то \alpha = 2k +\delta, где k \in \mathbb{N} и 0\,{\leqslant}\,\delta\,{<}\,2. Принимая во внимание, что (\cdot)^{\langle\alpha\rangle} = (-1)^k ((\cdot)^{\langle\delta\rangle})^{(2k)}, (\cdot)^{(\alpha)} = ((\cdot)^{(\delta)})^{(2k)}, а также применяя классическое неравенство Бернштейна с константой 1, на основании (94) и (95) имеем для произвольного \alpha >0
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|T^{\langle\alpha\rangle}\|_p\leqslant n^{2k} \|T^{\langle\delta\rangle}\|_p\leqslant 2cn^{\alpha}\|T\|_p, \\ \|T^{(\alpha)}\|_p\leqslant n^{2k} \|T^{(\delta)}\|_p\leqslant 3cn^{\alpha}\|T\|_p, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
что завершает доказательство. БлагодарностьАвтор благодарит рецензентов за ценные замечания и указания на полезные ссылки, позволившие значительно улучшить качество работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Run21}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|