Н. В. Лактионова, К. В. Руновский, “Прямые теоремы приближения периодических функций с высокой обобщенной гладкостью”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 477–480; Math. Notes, 113:3 (2023), 469

Для обобщенных производных, порожденных быстро растущими генераторами, справедливость прямой оценки типа Джексона

Для классическoй производной прямая оценка (1) была доказана Д. Джексоном [2]. Для производных, порожденных имеющими степенной порядок роста генераторами, соотношения (1)–(3) изучались во многих работах (см., например, [3]–[8]). Касательно генераторов, растущих быстрее любой степени, было известно следующее. В [1] справедливость (1) в шкале

$\mathcal{E}$ , состоящей из генераторов

$\lambda(t)=e^{at^r}$ ,

$a>0$ ,

$r>0$ ,

$t\geqslant t_0>0$ , была установлена для всех

$r>0$ при

$1<p<+\infty$ и для

$r\geqslant 1$ при

$p=1,+\infty$ . При этом, в обоих случаях наилучший порядок приближения доставляют частичные суммы ряда Фурье. В дальнейшем также выяснилось, что в случае

$0<r<1$ ,

$p=1,+\infty$ , отвечающем классам бесконечно дифференцируемых, но не аналитических функций, не только частичные суммы ряда Фурье, но и средние Валле-Пусссена не обеспечивают наилучшего порядка приближения (см., например, [9]). В [7] была установлена справедливость (1) при

$1< p <+\infty$ для произвольного возрастающего генератора с константами, не зависящими не только от

$f$ и

$n$ , но и от

$\lambda$ .

В данной работе справедливость неравенства (1) будет доказана для достаточно широкого класса генераторов без ограничений сверху на их рост. Символом

$C^2[a, +\infty)$ ,

$a \geqslant 0$ , обозначим класс непрерывных на

$\mathbb{R}$ и равных

$0$ при

$x \leqslant a$ функций с абсолютно непрерывной на каждом конечном замкнутом интервале из

$[a, +\infty)$ производной. Класс

${\mathfrak N}$ состоит, по определению, из строго монотонно возрастающих вместе со своей производной на

$[t_0 , +\infty)$ ,

$t_0 \geqslant 0$ , функций

$\lambda \in C^2[0, +\infty)$ , таких, что

$\lambda'/\lambda$ и

$\lambda'/\lambda^2$ монотонны на

$[t_0 , +\infty)$ , при этом, если

$\eta \equiv \lambda'/\lambda$ убывает, то существует

$\lim_{t \to +\infty}\eta(2t)/\eta(t)$ .

Доказательство. Ясно, что достаточно доказать (1), причем начиная с некоторого номера. Воспользуемся полученной в [8] оценкой

$\begin{equation} \|A(\psi^{\pm})f\|_p \leqslant c_0 \int_a^{+\infty}\biggl(\frac{|\psi(t)|}{t-a}+|\psi'(t)| +(t-a)|\psi''(t)|\biggr)E_{t}(f)_p\,dt, \qquad f \in L_p, \end{equation} \tag{4}$

где

$\begin{equation*} A_\sigma(\psi^{\pm})\colon f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f^\wedge(k)e^{ikx} \to \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\psi^{\pm} \biggl(\frac{k}{\sigma}\biggr) f^\wedge(k)e^{ikx}, \qquad \sigma \geqslant 0, \end{equation*} \notag$

$\psi \in C^2[a,+\infty)$ ,

$a \geqslant 0$ ,

$\psi^{+}(t) =\psi(t) + \psi(-t)$ ,

$\psi^{-}(t) = \psi(t) - \psi(-t)$ ,

$E_t(f)_p=E_n(f)_p$ для

$n \leqslant t <n+1$ ,

$n \in \mathbb{N}_0$ ,

$A=A_1$ ,

$c_0$ – абсолютная положительная постоянная.

Выберем $t_1$ из условия $\lambda'(t_1) \geqslant \lambda(t_0)/t_0$ . Тогда для всех $n \geqslant n_0 =[\max(t_0, t_1)]+1$ имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \frac{\lambda(n)}{n} &=\frac{\lambda(t_0)}{n}+\frac{1}{n}\int_{t_0}^n \lambda'(t)\,dt <\frac{\lambda(t_0)}{n}+\frac{n-t_0}{n}\lambda'(n) \\ &=\lambda'(n)-\frac{t_0\lambda'(n)-\lambda(t_0)}{n} \leqslant \lambda'(n). \end{aligned} \end{equation} \tag{5}$

Учитывая, что

$\rho_n \equiv n-\lambda(n)/\lambda'(n)>0$ в силу (5), для

$n \geqslant n_0$ рассмотрим линейные операторы

$\begin{equation} V_n^{(\lambda)} =A(\varphi_n)\colon e^{ikx}\to\varphi_n(k)e^{ikx}, \qquad k \in \mathbb{Z}, \end{equation} \tag{6}$

где

$\begin{equation} \varphi_n(t) =\begin{cases} 1, & 0 \leqslant |t| \leqslant \rho_n , \\ \dfrac{\lambda(|t|)}{\lambda(n)}\biggl(\dfrac{2(\lambda'(n))^2}{\lambda^2(n)}(|t|-n)^2 +\dfrac{\lambda'(n)}{\lambda(n)}(|t|-n)+\dfrac{\lambda(n)-\lambda(|t|)}{\lambda(|t|)}\biggr), &\rho_n < |t| \leqslant n , \\ 0,& |t| > n. \end{cases} \end{equation} \tag{7}$

Покажем, что начиная с некоторого $N \in \mathbb{N}$ ,

$\begin{equation} \lambda(n)\|((I-V_n^{(\lambda)})g)_{(\lambda, \beta)}\|_p \leqslant c\|g\|_p, \qquad g \in L_p, \end{equation} \tag{8}$

где

$(\,\cdot\,)_{(\lambda, \beta)}$ – обратный

$(\lambda, \beta)$ -производной оператор, определенный на функциях из

$L_p$ с нулевым средним, а

$I$ – тождественный оператор. В самом деле, в силу определения

$(\lambda, \beta)$ -производной и (6), (7)

$\begin{equation} \lambda(n)(I-V_n^{(\lambda)})_{(\lambda, \beta)} = \cos\frac{\pi\beta}{2}A(\psi_n^{+}) - i\sin\frac{\pi\beta}{2}A(\psi_n^{-}), \end{equation} \tag{9}$

где

$\begin{equation} \psi_n(t)=\begin{cases} 0 ,& t \leqslant \rho_n, \\ -\dfrac{2(\lambda'(n))^2}{\lambda^2(n)}(t-n)^2 - \dfrac{\lambda'(n)}{\lambda(n)}(t-n)+1, & \rho_n < t \leqslant n, \\ \dfrac{\lambda(n)}{\lambda(t)} ,& t > n. \end{cases} \end{equation} \tag{10}$

Учитывая, что

$\psi_n \in C^2[\rho_n, +\infty)$ и

$E_t(f)_p \leqslant \|f\|_p$ , на основании (4) и (9) получаем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\lambda(n)\|(I-V_n^{(\lambda)})_{(\lambda, \beta)}\|_{(p)} \leqslant 2c_0\int_{\rho_n}^{+\infty}\biggl(\frac{|\psi_n(t)|}{t-\rho_n}+ |\psi_n'(t)| +(t-\rho_n)|\psi_n''(t)|\biggr) \,dt \\ \notag &\qquad= 2c_0\biggl(\int_{\rho_n}^n \biggl(\frac{|\psi_n(t)|}{t-\rho_n}+ |\psi_n'(t)| +(t-\rho_n)|\psi_n''(t)|\biggr) \,dt \\ \notag &\qquad\quad+ \int_n^{+\infty}|\psi_n'(t)|\,dt +\int_{n}^{+\infty}(t-\rho_n)|\psi_n''(t)| \,dt +\int_n^{2n} \frac{|\psi_n(t)|}{t-\rho_n}\,dt +\int_{2n}^{+\infty} \frac{|\psi_n(t)|}{t-\rho_n}\, dt\biggr) \\ &\qquad\equiv 2c_0(I_1+I_2+I_3+I_4+I_5), \end{aligned} \end{equation} \tag{11}$

где

$\|\cdot\|_{(p)}$ – операторная норма в

$L_p$ .

Замечая, что $0 \leqslant \psi_n(t) \leqslant 3(\lambda'(n)/\lambda(n))(t-\rho_n)$ для $\rho_n \leqslant t \leqslant n$ , на основании (10) имеем

$\begin{equation} I_1 \leqslant \frac{3\lambda'(n)}{\lambda(n)}(n-\rho_n) +3\max_{\rho_n \leqslant t\leqslant n} |\psi_n(t)|+ \frac{(n-\rho_n)^2}{2}\,\frac{4(\lambda'(n))^2}{\lambda^2(n)} \leqslant 14. \end{equation} \tag{12}$

Ясно также, что для

$n \geqslant n_0 > t_0$

$\begin{equation} I_2 =\lambda(n) \int_n^{+\infty} \biggl(-\frac{1}{\lambda(t)}\biggr)'\,dt =1. \end{equation} \tag{13}$

В частности, функция

$\lambda'/\lambda^2=(-1/\lambda)'$ , будучи монотонной на

$[t_0, +\infty)$ , может только убывать, что влечет

$\begin{equation*} t\biggl(-\frac{1}{\lambda(t)}\biggr)' \leqslant 2\int_{t/2}^t \biggl(-\frac{1}{\lambda(\tau)}\biggr)'\,d\tau =\frac{2}{\lambda(t/2)} - \frac{2}{\lambda(t)} \end{equation*} \notag$

для

$t \geqslant 2t_0$ и

$\lim_{t\to+\infty} t(-1/\lambda(t))' =0$ . Следовательно,

$\begin{equation} I_3=-(n-\rho_n)\psi'(n)-\int_n^{+\infty}\psi_n'(t)\,dt =-(n-\rho_n)\psi'_n(n)+\psi_n(n)=2. \end{equation} \tag{14}$

Так как $t-\rho_n \geqslant \lambda(n)/\lambda'(n)$ для $t\leqslant n \leqslant 2n$ , то

$\begin{equation} I_4\leqslant \lambda'(n)\int_n^{2n} \frac{dt}{\lambda(t)} \end{equation} \tag{15}$

в силу (10). Если

$\lambda'/\lambda \nearrow$ , то

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag I_4 &\leqslant \lambda(n) \frac{\lambda'(n)}{\lambda(n)}\int_n^{2n} \frac{dt}{\lambda(t)} \leqslant \lambda(n)\int_n^{2n} \frac{\lambda'(t)}{\lambda^2(t)}\,dt =\lambda(n)\int_n^{2n} \biggl(-\frac{1}{\lambda(t)}\biggr)'\,dt \\ & = 1-\frac{\lambda(n)}{\lambda(2n)} \leqslant 1 . \end{aligned} \end{equation} \tag{16}$

В случае

$\eta \equiv \lambda'/\lambda \searrow$ покажем, что

$\lim_{t \to +\infty}\eta(2t)/\eta(t) >0$ . В самом деле, если это не так, то существует

$\tau \geqslant t_0$ такое, что

$\eta(2t) \leqslant \eta(t)/3$ для всех

$t \geqslant \tau$ . Тогда

$\eta(2^k\tau) \leqslant 3^{-k}\eta(\tau)$ ,

$k \in \mathbb{N}_0$ , и

$\begin{equation*} \int_{\tau}^{+\infty} \eta(t)\,dt =\sum_{k=1}^{+\infty} \int_{2^{k-1}\tau}^{2^k\tau} \eta(t)\,dt \leqslant \sum_{k=1}^{+\infty} 2^{k-1} \tau \eta(2^{k-1})\leqslant \tau\eta(\tau)\sum_{k=1}^{+\infty}\biggl(\frac23\biggr)^{k-1} = 3\tau\eta(\tau). \end{equation*} \notag$

Таким образом, функция

$\ln\lambda$ оказывается ограниченной, что противоречит условию неограниченного возрастания

$\lambda$ . Следовательно, существует

$t_2 \geqslant t_0$ и

$\alpha>0$ , такие, что

$\eta(2t) \geqslant \alpha\eta(t)$ для всех

$t\geqslant t_2$ . Тогда в силу (15) по аналогии с (16) имеем для всех

$n \geqslant N =\max(n_0, [t_2]+1)$

$\begin{equation} I_4 \leqslant \alpha^{-1}\lambda(n) \frac{\lambda'(2n)}{\lambda(2n)}\int_n^{2n} \frac{dt}{\lambda(t)} \leqslant \alpha^{-1}\lambda(n)\int_n^{2n} \frac{\lambda'(t)}{\lambda^2(t)}\,dt \leqslant \alpha^{-1}. \end{equation} \tag{17}$

Для оценки $I_5$ отметим, что в силу возрастания $\lambda'$

$\begin{equation*} \lambda(t) =\lambda(t_0)+\int_{t_0}^{t} \lambda'(\tau)\,d\tau \leqslant \lambda(t_0) + t\lambda'(t) \leqslant t_0\lambda'(t_1)+ t \lambda'(t)\leqslant 2t\lambda'(t) \end{equation*} \notag$

для

$t \geqslant \max(t_0, t_1)$ . Более того, для

$t \geqslant 2n \geqslant 2\rho_n$ имеем

$t -\rho_n \geqslant t/2$ . Таким образом,

$\begin{equation} I_5 \leqslant 2\lambda(n)\int_{2n}^{+\infty}\frac{dt}{t\lambda(t)}\leqslant 4\lambda(n) \int_{2n}^{+\infty}\frac{\lambda'(t)} {\lambda^2(t)}\,dt \leqslant \frac{4\lambda(n)}{\lambda(2n)} <4. \end{equation} \tag{18}$

Теперь (8) следует из (11)–(14) и (16)–(18). Применяя (8) к функции $g =f^{(\lambda,\beta)}$ , имеем для $n \geqslant N$

$\begin{equation*} E_{n-1}(f)_p \leqslant \|f-V_n^{(\lambda)}(f)\|_p =\|(I-V_n^{(\lambda)})_{(\lambda, \beta)} f^{(\lambda,\beta)}\|_p \leqslant c(\lambda(n))^{-1}\|f^{(\lambda, \beta)}\|_p. \end{equation*} \notag$

что завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 1 дополняет аналогичные результаты, полученные как для генераторов не более чем степенного роста, так и для генераторов, растущих быстрее экспоненты (см., например, [6] и, соответственно, [1]). В частности, из нее следует, что (1)–(3) справедливы для всех генераторов из шкалы

$\mathcal{E}$ , а не только для ее представителей, отвечающих

$r \geqslant 1$ . Ясно также, что класс

${\mathfrak N}$ содержит, например, и более “мелкую” шкалу, состоящую из функций

$e^{at^r\ln^q t}$ ,

$t \geqslant t_0 >0$ ,

$a>0$ ,

$r \geqslant 0$ ,

$q \in \mathbb{R}$ при

$r>0$ и

$q >0$ при

$r =0$ .

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ