| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях) Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа С. К. Водопьянов, А. О. Томилов Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9082 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеНапомним, что функция u:D→R, определенная на открытом множестве D⊂Rn, принадлежит классу Соболева L1p(D), если u∈L1,loc(D), ее обобщенные производные суммируемы в степени p: ∂u/dxj∈Lp(D) для любого j=1,…,n, а ее полунорма конечна [1]. Отображение φ=(φ1,…,φn) принадлежит классу Соболева W1p,loc(D), если и φj(x)∈Lp,loc(D), и обобщенные производные ∂φj/dxi∈Lp,loc(D) для любых j,i=1,…,n.В 1961 г. В. Г. Мазья при изучении теорем вложения функциональных классов [2] доказал следующее утверждение. Предложение 1. C1-диффеоморфизм φ:D→D′ евклидовых областей D,D′⊂Rn, n⩾2, порождает ограниченный оператор по правилу (φ∗u)(x)=u(φ(x)), u∈L1p(D′), тогда и только тогда, когда существует постоянная 0<Kp<∞ такая, что выполняется поточечное неравенствоЗдесь D\varphi (x)=(\partial\varphi_j(x)/\partial x_i) – матрица Якоби отображения \varphi в точке x\,{\in}\, D, |D\varphi (x)| – ее евклидова операторная норма, а \det D\varphi (x) – ее определитель (якобиан). Заметим, что в развиваемой в то же самое время теории квазиконформных отображений было получено аналитическое и функциональное описание квазиконформных отображений [3]–[7]: гомеоморфизм \varphi \colon D \to D', D,D'\subset\mathbb R^n, квазиконформен, если выполняется одно из трех эквивалентных условий 1) \varphi \in W^1_{n,\mathrm{loc}}(D) и |D\varphi(x)|\leqslant K_n |{\det D\varphi (x)}|^{1/n} п. вс. в D, см. [3], [4]; 2) для любого конденсатора1 E=(F_1,F_0) в D' с прообразом \varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0)) в D выполняется [5], [6] неравенство
\begin{equation}
\operatorname{cap}^{1/n}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_n(D)\bigr) \leqslant K_n \operatorname{cap}^{1/n}\bigl(E; L^1_n(D')\bigr);
\end{equation}
\tag{1.3}
3) \varphi \colon D \to D' порождает [3], [7] ограниченный изоморфизм по правилу D\ni x\to(\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x)), u\in L^1_n(D').Сравнивая вышеприведенные результаты, возникает естественный вопрос: при каких условиях гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' порождает ограниченный оператор (1.1) по правилу (\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x)), u\in L^1_p(D'), для заданного p\in[1,\infty) (см. частичные результаты в этом направлении в работах [8], [9]). Выражению “\varphi порождает ограниченный оператор” придадим следующее содержание. Будем говорить, что гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' – порождает ограниченный оператор композиции \varphi^* \colon L^1_p(D') \to L^1_q(D), 1\leqslant q \leqslant p \leqslant \infty, если 1) оператор2
\begin{equation}
\varphi^* \colon L^1_p(D')\cap \operatorname{Lip}_l(D') \to L^1_q(D), \qquad 1\leqslant q \leqslant p \leqslant \infty,
\end{equation}
\tag{1.4}
действующий по правилу (\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x)), ограничен: с некоторой постоянной K_{q,p}<\infty справедливо неравенство
\begin{equation*}
\|\varphi^*u\mid L^1_q(D)\|\leqslant K_{q,p}\|u\mid L^1_p(D')\|\text{ для любой функции }u\in L^1_p(D')\cap \operatorname{Lip}_l (D');
\end{equation*}
\notag
2) установлена связь между распространением по непрерывности оператора (1.4) до оператора \varphi^* \colon L^1_p(D') \to L^1_q(D) и оператором подстановки3. Необходимость разбивать задачу об операторе композиции на две возникает в связи с тем, что элемент класса Соболева – это класс функций, отличающихся друг от друга на множестве меры нуль. Поэтому на первом этапе композиция \varphi^*u=u\circ \varphi\colon D\to\mathbb R для функции u\in \operatorname{Lip}_l(D') корректно определена во всех точках x\in D. Если же u\in L^1_p(D') – произвольный класс функций, отличающихся друг от друга на множестве меры нуль, то композиции u\circ \varphi могут отличаться на множестве положительной меры в зависимости от выбора представителя класса, поскольку гомеоморфизм \varphi может не обладать \mathcal N^{-1}-свойством Лузина, т. е. прообраз множества нулевой меры может иметь положительную меру (см. примеры в [10]). Первое описание гомеоморфизмов \varphi \colon D \to D', индуцирующих ограниченный оператор композиции (1.1), получено в работе [11; теорема 8.7]. Мы приводим этот результат в эквивалентной формулировке в п. 1) и п. 2) следующего утверждения. Предложение 2 (см. [11]–[14]). Следующие условия эквивалентны: 1) гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' порождает ограниченный оператор
\begin{equation}
\varphi^* \colon L^1_p(D') \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_p(D), \qquad 1 \leqslant p < \infty,
\end{equation}
\tag{1.5}
по правилу (\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x)), u\in L^1_p(D'); 2) \varphi\in W^1_{p, \mathrm{loc}}, и для каждого p\in[1,\infty) существует постоянная 0<K_p<\infty такая, что выполняется поточечное неравенство
\begin{equation}
|D\varphi(x)|\leqslant K_p |{\det D\varphi (x)}|^{1/p} \quad \textit{для п. вс. }x\in D;
\end{equation}
\tag{1.6}
3) для любого конденсатора E=(F_1,F_0) в D' с прообразом \varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0)) в D, выполняется неравенство
\begin{equation}
\operatorname{cap}^{1/p}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_p(D)\bigr) \leqslant K_p \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D')\bigr), \qquad 1<p<\infty.
\end{equation}
\tag{1.7}
Кроме того, распространение по непрерывности оператора (1.5) на пространство L^1_p(D') совпадает с оператором композиции в следующем смысле:
\begin{equation}
L^1_p(D')\ni u\mapsto \varphi^*u=\begin{cases} u\circ\varphi, &\textit{где $u$ - непрерывный представи-} \\ &\textit{тель $u\in L^1_p(D')$ при $p\in(n, \infty)$,} \\ u\circ\varphi, &\textit{где $u$ - произвольный представи-} \\ &\textit{тель $u\in L^1_p(D')$ при $p\in[1, n]$.} \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.8}
При p=n условие (1.7) совпадает с условием (1.3): отображения этого класса суть квазиконформные. В работе [15] отображения этого класса при p\ne n названы p-морфизмами. Замечание 1. Эквивалентность п. 1) и п. 2) предложения 2 установлена в работах [11; теорема 8.7], [12] с одним отличием: условие (1.6) при p\in [1,n) записано в [11] в эквивалентной форме:
\begin{equation}
|D\varphi(x)|\leqslant K_p \frac{1}{J_{\varphi^{-1}}(\varphi(x))^{1/p}}\quad \text{для п. вс. } x\in D.
\end{equation}
\tag{1.9}
Эквивалентность п. 3) теоремы условиям п. 1) и п. 2) при 1<p<\infty установлена в работах [13], [14]. В формуле (1.9)
\begin{equation}
D'\ni y\mapsto J_{\varphi^{-1}}(y)=\lim_{r\to 0}\frac{|\varphi^{-1}(B(y,r))|}{|B(y,r)|}
\end{equation}
\tag{1.10}
– производная функции множества \mathcal B(D')\ni A\mapsto|\varphi^{-1}(A)|, определенной на \sigma-алгебре \mathcal B(D') борелевских множеств области D' (здесь и далее символ |\,{\cdot}\,| обозначает меру Лебега измеримого множества). Так как эта функция множества счетноаддитивна, то по теореме Лебега (см., например, [16]–[19] или формулируемое ниже предложение 3) ее производная существует и конечна для п. вс. y\in D'. В предложении 4 и лемме 1, доказываемых в § 2 работы, показано, что в условиях предложения 2 для всех p\in[1,n) справедливо равенство
\begin{equation*}
|{\det D\varphi (x)}|=\bigl(J_{\varphi^{-1}}(\varphi(x))\bigr)^{-1}\quad\text{п. вс. в }D.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, поточечные соотношения (1.6) и (1.9) эквивалентны. Там же продемонстировано, что они совпадают также и с приводимым ниже условием (1.11). Замечание 2. Pезультат работ [11]–[14] (см. предложение 2) был представлен в [20; теорема 1.4] с одним отличием: поточечные соотношения (1.6) написаны в эквивалентном виде (см. лемму 1): для каждого p\in[1,\infty) существует постоянная 0<K_p<\infty такая, что выполняется поточечное неравенство
\begin{equation}
|D\varphi|^p(x)\leqslant K_pJ_{\varphi}(x) \quad \text{для п. вс. }x\in D.
\end{equation}
\tag{1.11}
Здесь функция
\begin{equation}
D\ni x\mapsto J_{\varphi}(x)=\lim_{r\to 0}\frac{|\varphi(B(x,r))|}{|B(x,r)|}
\end{equation}
\tag{1.12}
– производная функции множества \mathcal B(D)\ni T\mapsto|\varphi(T)|, определенной на \sigma-алгебре \mathcal B(D) борелевских множеств T\subset D. Формально неравенства (1.2) и (1.6) совпадают. Однако существенное отличие предложений 1 и 2 проявляется с учетом свойств исходного отображения \varphi. В предложении 1 \varphi – диффеоморфизм и поэтому его якобиан отличен от нуля во всех точках области определения. В предложении 2 для гомеоморфизма \varphi класса Соболева мера множества нулей его якобиана может быть положительной (см. примеры в [10], [21]). Из (1.6) вытекает, что
\begin{equation}
D\varphi(x)=0\quad\text{п. вс. на множестве }Z=\{x\in D\colon \det D\varphi (x)=0\}.
\end{equation}
\tag{1.13}
Отображения \varphi \colon D\to D' класса \operatorname{ACL}(D), удовлетворяющие условию (1.13), называются отображениями с конечным искажением. Напомним, что u\in\operatorname{ACL}(D), если ограничение u|_Q функции u\colon D\to\mathbb R на любой замкнутый куб Q\subset D, ребра которого параллельны координатным осям, абсолютно непрерывно на п. вс. отрезках, перпендикулярных граням этого куба. Известно (см., например, [22]), что всякую функцию класса f\in W^1_{1,\mathrm{loc}}(D) можно переопределить на множестве меры нуль так, что переопределенная функция \widetilde f будет принадлежать \operatorname{ACL}(D), а все ее частные производные будут совпадать с обобщенными п. вс. в D. Для отображения \varphi \colon D\to D' класса \operatorname{ACL}(D) с конечным искажением определим операторную функцию искажения
\begin{equation*}
D\ni x\mapsto K_p(x,\varphi)=\begin{cases} \dfrac{|D\varphi|(x)}{|{\det D\varphi (x)}|^{1/p}},&\text{если }\det D\varphi (x)\ne0, \\ 0 &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Первые два утверждения предложения 2 можно переформулировать следующим образом: гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' порождает ограниченный оператор \varphi^* \colon L^1_p(D') \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_p(D), 1 \leqslant p < \infty, по правилу (\varphi^*u)(x)=u(\varphi(x)), u\in L^1_p(D'), тогда и только тогда, когда 1) \varphi\in W^1_{p, \mathrm{loc}}(D); 2) \varphi имеет конечное искажение; 3) K_p(\,{\cdot}\,,\varphi)\in L_\infty(D). Определение 1. Конденсатором в области D\subset \mathbb{R}^n называется называется пара E=(F_1,F_0) связных компактов (континуумов) в D: F_1,F_0\subset D. Если континуум F\subset U, где U\Subset D – открытое связное компактно вложенное множество, то конденсатор E=(F,\partial U) будем обозначать символом E=(F,U). Непрерывная функция u\colon D\to\mathbb R класса \operatorname{ACL}(D) называется допустимой для конденсатора E=(F_1,F_0), если u\equiv 1 на F_1 и u \equiv 0 на F_0. Совокупность допустимых для конденсатора E=(F_1,F_0) функций будем обозначать символом \mathcal A(E). Емкость конденсатора E=(F_1,F_0) в пространстве L^1_p(D) определим как величину
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E; L^1_p(D))=\inf_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D))}\|u\mid L^1_p(D)\|^p,
\end{equation*}
\notag
где инфимум берется по семейству \mathcal A(E) всех допустимых для конденсатора E=(F_1,F_0) функций класса L^1_p(D). Таким образом, Функцию v\in L^1_p(D) будем называть экстремальной функцией для конденсатора E=(F_1,F_0)\subset D, если
\begin{equation*}
\operatorname{cap}(E; L^1_p(D))=\int_{D} |\nabla v |^p\,dy.
\end{equation*}
\notag
Экстремальная функция всегда существует и единственна при 1<p<\infty, причем ее продолжение единицей на F_1 и нулем на F_0 принадлежит классу L^1_p(D) (см., например, [23]). Обобщение результатов работ [11; теорема 8.7] и [12]–[14] (см. предложение 2) на случай 1\leqslant q<p<\infty получено в серии статей [24]–[27]. В п. 5.3 показано, как результаты работ [24]–[27] можно получить из утверждений настоящей статьи. Отметим, что некоторые результаты этой серии применяются в задачах нелинейной теории упругости [28]. В настоящей статье мы обобщаем утверждения предложения 2 и серии работ [24]–[27] (см. предложение 9) на случай, когда в области D' задано весовое пространство Соболева. Другими словами, в теореме 1 (см. § 3) мы находим аналитическое описание гомеоморфизмов \varphi\colon D\to D', индуцирующих ограниченный оператор композиции
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D),\qquad 1\leqslant q \leqslant p<\infty,
\end{equation*}
\notag
а при 1< q \leqslant p<\infty устанавливаем их геометрическую характеристику через емкость подходящих конденсаторов. Принципиально новым сравнительно с предыдущими работами является вызванное спецификой весового пространства Соболева получение поточечной оценки для функции искажения из соотношений на емкости конденсаторов. В § 4 мы вводим в рассмотрение двухиндексную шкалу \mathcal Q_{q,p}(D',\omega), 1<q\leqslant p<\infty, гомеоморфизмов f\colon D'\to D пространственных областей в \mathbb R^n, геометрическое определение которых обусловленно контролем поведения q-емкости конденсаторов в образе через \omega-весовую p-емкость конденсаторов в прообразе, и получаем их аналитическую характеристику. Мы показываем, что в качестве примера таких гомеоморфизмов, можно рассматривать обратные отображения к гомеоморфизмам \varphi\colon D\to D' класса Соболева W^1_{q,\mathrm{loc}}(D), индуцирующим по правилу замены переменной либо ограниченный оператор
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D',\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D),\qquad 1< q \leqslant p<\infty,
\end{equation*}
\notag
из весового пространства Соболева в невесовое, см. теорему 2, либо ограниченный оператор переноса
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi^*\colon \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D', \Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})\to\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}), \\ n-1< q\leqslant p<n+\frac{1}{n-2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
из весового пространства \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D', \Lambda^{n-1})\,{\cap}\, \mathcal C(D',\Lambda^{n-1}) дифференциальных форм степени n-1 с непрерывными коэффициентами на области D' в пространство \mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}), см. теорему 8. Мы применяем результаты § 3 для аналитического описания гомеоморфизмов класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) и получаем также их функциональные свойства, см. теоремы 3–5. В теореме 8 мы устанавливаем связь между операторами переноса внешних дифференциальных форм и отображениями класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega). В § 5 мы показываем, что класс гомеоморфизмов \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) при частных значениях параметров: n-1<q\leqslant p\leqslant n и весовой функции \omega, совпадает с некоторыми классами отображений, изучаемыми ранее. Например, \mathcal Q_{n,n}(D',\omega) совпадает с семейством так называемых Q-гомеоморфизмов (при \omega=Q), активно исследуемых в работах ряда авторов в последние десятилетия (см. монографию [29] и библиографию к ней). Применение функционального подхода к некоторым задачам теории Q-гомеоморфизмов приводит не только к аналитическому описанию Q-гомеоморфизмов, но и к новым возможностям в изучении отображений этого класса. Кроме того, читатель может найти новые или более простые доказательства некоторых фактов квазиконформного анализа, известных в случае \omega\equiv1. Основные результаты статьи в случае q=p установлены в [30]. Обобщения утверждений пп. 3.2–3.5, 4.1, 4.2, 5.1, 5.3 и 5.5 на случай q<p написаны А. О. Томиловым. § 2. О формуле замены переменнойПусть D – открытое множество в \mathbb R^n. Обозначим символом {\mathcal O}(D) некоторую систему открытых множеств в D, обладающую следующими свойствами: 1) если B – открытый шар такой, что \overline{B} содержится в D, то B\in{\mathcal O}(D); 2) если U_1,\dots,U_k\in{\mathcal O}(D) – дизъюнктная система открытых множеств, то \bigcup_{i=1}^kU_i\in{\mathcal O}(D), где k\in \mathbb N – произвольное число. Пример 1. Cреди систем {\mathcal O}(D) открытых множеств в D есть 1) минимальная, состоящая лишь из совокупности \{B\} всех открытых шаров B\subset D, \overline{B}\subset D и объединений произвольных конечных дизъюнктных наборов открытых шаров совокупности \{B\} и 2) максимальная, содержащая все открытые множества W\subset D. Определение 2. Отображение \Phi\colon {\mathcal O}(D)\to[0,\infty] называется квазиаддитивной функцией множества, если 1) для всякой точки x\in D существует \delta, 0<\delta<\operatorname{dist}(x, \partial D), такое, что 0<\Phi(B(x,\delta))<\infty (если D=\mathbb R^n, то неравенство 0\leqslant\Phi(D(x,{\delta}))<\infty должно выполняться для всех \delta\in(0, \delta(x)), где \delta(x)>0 – некоторое число, которое может зависеть от точки x); 2) для всякого конечного дизъюнктного набора U_i\in{\mathcal O}(D), i=1,\dots,l, открытых множеств таких, что
\begin{equation}
\bigcup_{i=1}^lU_i\subset U,\quad \text{где }U\in{\mathcal O}(D), \text{ верно неравенство } \sum_{i=1}^{l}\Phi(U_i)\leqslant \Phi(U).
\end{equation}
\tag{2.1}
Если для всякого конечного набора \{U_i\in{\mathcal O}(D)\} попарно непересекающихся открытых множеств, вместо неравенства в (2.1) имеет место равенство при условии \bigcup_{i=1}^lU_i = U, то такая функция множества называется конечно аддитивной, а если (2.1) справедливо для всякого счетного набора \{U_i\in{\mathcal O}(D)\} попарно непересекающихся открытых множеств, – то счетноаддитивной. Функция \Phi монотонна, если \Phi(U_1)\leqslant \Phi(U_2) при условии U_1\subset U_2 \subset D, U_1,U_2\in{\mathcal O}(D). Квазиаддитивная функция множества \Phi\colon {\mathcal O}(D)\to[0,\infty] называется ограниченной квазиаддитивной функцией множества, если D\in {\mathcal O}(D) и \Phi(D)<\infty. Очевидно, что всякая квазиаддитивная функция множества монотонна. Предложение 3 (см. [18], [31]). Пусть \Phi – квазиаддитивная функция множества определена на некоторой системе {\mathcal O}(D') открытых подмножествах области D'. Тогда 1) для п. вс. точек y\in D' существует конечная производная4:
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0,\, y\in B_\delta}\frac{\Phi(B_\delta)}{|B_\delta|}=\Phi'(y);
\end{equation*}
\notag
2) для любого открытого множества U\in {\mathcal O}(D') справедливо неравенство Пример 2 (объемная производная). Пусть D – открытое множество в \mathbb R^n, а f\colon D\to\mathbb R^n – инъективное непрерывное отображение. Для любого открытого множества U\subset D образ f(U) является борелевским множеством и поэтому определена функция множества \mathcal V_n: Функция \mathcal V_n определена на открытых множествах U\subset D и является очевидно монотонной и счетноаддитивной. В силу предложения 3 существует производная \mathcal V_n'(x), совпадающая с производной J_f(x) для п. вс. x\in D (cм. (1.12)).Пример 3 (теорема Лебега о дифференцировании интеграла). Пусть D – открытое множество в \mathbb R^n, а g\in L_{1,\mathrm{loc}}(D) – неотрицательная функция. Для открытого множества U\subset D положим Функция \Phi определена на открытых множествах U\subset D и является монотонной и счетноаддитивной. Ее производная \Phi'(x) существует для п. вс. x\in D и совпадает п. вс. с функцией g(x).Пример 4. Еще один пример приведен ниже в теореме 1. Далее мы покажем, что в условиях предложения 2 поточечные соотношения (1.6) и (1.9) эквивалентны при p\in[1,n) (см. замечание 1). Предложение 4. Если гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' класса W^1_{1, \mathrm{loc}}(D) удовлетворяет условию (1.6) предложения 2 при p\in[1,n], то справедливо равенство Доказательство. Мы выведем предложение 4 из формулируемой ниже леммы. Пусть гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' класса W^1_{1, \mathrm{loc}} удовлетворяет условию (1.9) при p\in[1,n). В работе [11] доказано, что при p\in[1,n) отображение \varphi^{-1}\colon D' \to D обладает \mathcal N-свойством Лузина5 (при p=n отображение \varphi\colon D \to D' и обратное к нему \varphi^{-1}\colon D' \to D квазиконформны; известно, что всякое квазиконформное отображение обладает \mathcal N-свойством Лузина, см. детали в [4], другие доказательства этих классических свойств можно найти в [27], [32]–[36]). Следовательно, множество Z=\{x\in D\colon J_{\varphi}(x)=0\} нулей объемной производной имеет меру нуль, и (2.2) следует из (2.4). Лемма 1. Для гомеоморфизма \varphi\colon D\to D' класса W^1_{1, \mathrm{loc}} справедливы следующие соотношения:
\begin{equation}
J_{\varphi}(x)=|{\det D\varphi (x)}| \quad\textit{для п. вс. }x\in D,
\end{equation}
\tag{2.3}
\begin{equation}
\frac{1}{J_{\varphi^{-1}}(\varphi(x))}= J_{\varphi}(x)=|{\det D\varphi (x)}| \quad\textit{для п. вс. }x\in D \setminus Z,
\end{equation}
\tag{2.4}
где Z=\{x\in D\colon J_{\varphi}(x)=0\}. Доказательство. Известно (см., например, [19]), что для функции множества \mathcal B(D) \ni A\mapsto |\varphi(A)| существует борелевское множество \Sigma\subset D нулевой меры, вне которого эта функция множества абсолютно непрерывна. Это свойство эквивалентно тому, что отображение \varphi \colon D\setminus \Sigma \to D'\setminus \varphi(\Sigma) обладает \mathcal N-свойством Лузина6. Следовательно, для любого борелевского множества A\in D\setminus \Sigma, образ \varphi(A) – борелевское множество и справедливо равенство Будем считать множество Z=\{x\in D\colon J_{\varphi}(x)=0\} борелевским, имеющим с \Sigma пустое пересечение. Из (2.5) выводим, что множество \Sigma'=\varphi(Z) имеет меру нуль и является сингулярным множеством для функции множества D'\supset T\mapsto |\varphi^{-1}(T)|, T\in\mathcal{B}(D'), т. е. отображение \varphi^{-1}\colon D'\setminus \Sigma'\to D\setminus Z обладает \mathcal N-свойством Лузина. Действительно, если для некоторого борелевского множества T\subset D'\setminus \Sigma' прообраз A=\varphi^{-1}(T)\subset D\setminus Z имеет положительную меру, то в силу (2.5) мера |\varphi(A)|=|T| положительная, что противоречит выбору T.
Аналогично сказанному, в силу равенства для любого борелевского множества T\subset D'\setminus \Sigma', заключаем, что Z'=\varphi(\Sigma) совпадает с множеством нулей функции J_{\varphi^{-1}}(y), т. е. Z'=\{y\,{\in}\, D'\colon J_{\varphi^{-1}}(y)\,{=}\,0\}.Следовательно, для любого борелевского множества A\subset D\setminus (Z\cup\Sigma) имеем
\begin{equation*}
\int_A J_{\varphi}(x)\,dx= \int_{\varphi(A)}\chi_{\varphi(A)}(y)\,dy= \int_{\varphi(A)}\chi_{\varphi(A)}(y)\frac{J_{\varphi^{-1}}(y)}{J_{\varphi^{-1}}(y)}\,dy= \int_A\frac{dx}{J_{\varphi^{-1}}(\varphi(x))},
\end{equation*}
\notag
поскольку J_{\varphi^{-1}}(y)\ne0 п. вс. на множестве \varphi(A)\subset D'\setminus (Z'\cup\Sigma'). Поэтому7 для отображения \varphi \colon D\setminus (Z\cup\Sigma) \to D'\setminus (Z'\cup\Sigma') справедливо соотношение для п. вс. x\in D\setminus Z (следовало бы написать x\in D\setminus (Z\cup\Sigma), но |\Sigma|=0 и поэтому можно написать “для п. вс. x\in D\setminus Z”). Из (2.6) становится очевидным, что левая часть соотношений (2.4) доказана.
Для завершения доказательства соотношений (2.3) и (2.4) достаточно проверить, что
\begin{equation}
J_{\varphi}(x)=|{\det D\varphi(x)}|\quad\text{п. вс. в }D.
\end{equation}
\tag{2.7}
Равенство (2.7) является следствием соотношений
\begin{equation*}
|\varphi(T)|=\int_TJ_{\varphi}(x)\,dx\quad\text{и}\quad |\varphi(T)|=\int_T|{\det D\varphi(x)}|\,dx
\end{equation*}
\notag
для любого борелевского множества T\subset D\setminus \Sigma. Первое из них – это (2.5), а второе – это формула площади, приводимая ниже. Следовательно, лемма 1 доказана. Мы сформулируем формулу площади для отображений с нетривиальной функцией кратности. Введем предварительно несколько понятий. Пусть f\colon A \to \mathbb {R}^{n} и E \subseteq A . Функция \mathcal N (y, f, E)\colon \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {N} \cup \{0,\infty \}, определяемая как
\begin{equation*}
\mathbb {R}^{n}\ni y\mapsto \mathcal N (y, f, E) = \# (f^{-1}(y) \cap E),
\end{equation*}
\notag
называется индикатрисой Банаха отображения f. Таким образом,
\begin{equation*}
\mathcal N (y, f, E)=\begin{cases} 0, &\text{если прообраз }f^{-1}(y) \cap E\text{ пуст}, \\ \infty, &\text{если прообраз }f^{-1}(y) \cap E\text{ бесконечен}, \\ \# (f^{-1}(y) \cap E) &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Здесь символ \#(f^{-1}(y) \cap E) обозначает число точек в прообразе f^{-1}(y) \cap E точки y. Пусть \varphi\colon E \to \mathbb {R}^{m} – измеримое отображение, определенное на измеримом подмножестве E \subset \mathbb {R}^{n}. Мы говорим, что линейный оператор L\colon \mathbb {R}^{n}\to \mathbb {R}^{m} (L(x)\,{=}\,a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n, x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in \mathbb {R}^{n}, a_i\in \mathbb {R}^{m}, i=1,2,\dots,n) является аппроксимативным полным дифференциалом отображения \varphi в точке x_{0}\in E, если плотность множества
\begin{equation*}
A_{\varepsilon} = \biggl\{x\in E \colon \frac{|\varphi(x)-\varphi(x_ {0})-L(x-x_ {0})|}{|x-x_{0}|} <\varepsilon \biggr\}
\end{equation*}
\notag
в точке x_0 равна 1 для каждого \varepsilon>0. В этом случае x_ {0} является точкой плотности 1 для множества E, и поэтому линейное отображение L определяется однозначно. Если n=m, то \det L называется аппроксимативным якобианом отображения \varphi в точке x_{0}. Его модуль обозначается символом J_\varphi(x_0)=|{\det L}|. В случае аппроксимативной дифференцируемости возникает естественный вопрос об интерпретации коэффициентов a_i линейного отображения L. Вектор a_i\in \mathbb {R}^{m} называется аппроксимативной частной производной отображения \varphi\colon E \to \mathbb{R}^{m} в точке x_{0} в направлении оси e_i, если для каждого \varepsilon>0 множество
\begin{equation*}
A_{i,\varepsilon} = \biggl\{t\in \mathbb R\colon \{x=x_0+te_i\in E\} \text{ и } \frac{|\varphi(x)-\varphi(x_ {0})-a_i|}{|t|} <\varepsilon \biggr\}
\end{equation*}
\notag
вещественной прямой имеет 0 в качестве точки линейной плотности 1. В этом случае точка x_{0} является точкой линейной плотности 1 для пересечения E\cap \{x=x_0+te_i\colon t\in \mathbb R\}, и поэтому вектор a_i определяется однозначно. Аппроксимативная частная производная отображения \varphi в точке x_{0} обозначается символом \partial \varphi(x_0)/\partial x_i, i=1,\dots,n. Измеримое отображение \varphi\colon E \to \mathbb {R}^{m}, определенное на измеримом подмножестве E \subset \mathbb {R}^{n}, аппроксимативно дифференцируемо в п. вс. точках x\in E тогда и только тогда, когда \varphi имеет аппроксимативные частные производные \partial \varphi(x)/\partial x_i, i=1,\dots,n, п. вс. в E (см. [19; теорема 3.1.4]). Предложение 5. Пусть \varphi\colon D\to \mathbb R^n – отображение класса Соболева W^1_{1,\mathrm{loc}}(D) (или класса \operatorname{ACL}(D)). Тогда 1) существует борелевское множество \Sigma\subset D нулевой меры такое, что \varphi\colon D\setminus\Sigma\to\mathbb R^n обладает \mathcal N-свойством Лузина; 2) функции
\begin{equation*}
D\setminus\Sigma\ni x\mapsto (u\circ \varphi)(x) |{\det D\varphi (x)}|\quad\textit{и} \quad \mathbb R^n \ni y\mapsto u(y)\mathcal N(y,\varphi, D\setminus \Sigma)
\end{equation*}
\notag
измеримы, если функция u\colon \mathbb R^n \to\mathbb R измерима; 3) если A\subset D\setminus \Sigma – измеримое множество, верна формула площади:
\begin{equation*}
\int_{A} |{\det D\varphi (x)}|\, dx=\int_{\mathbb{R}^{n}} \mathcal N (y, \varphi, A) \, dy;
\end{equation*}
\notag
4) если функция u \geqslant0 неотрицательна, то подынтегральные функции в (2.8) измеримые и верна следующая формула замены переменной в интеграле Лебега:
\begin{equation}
\int_{D\setminus \Sigma} u(\varphi(x))|{\det D\varphi (x)}|\,dx= \int_{\mathbb{R}^{n}}\sum_{x \in \varphi^{-1}(y)\setminus \Sigma} u(x)\, dy;
\end{equation}
\tag{2.8}
5) если одна из функций интегрируема, то и другая интегрируема, и верна формула Доказательство. Отображение \varphi\in W^1_{1,\mathrm{loc}}(D) можно переопределить на множестве меры нуль так, чтобы измененная функция \widetilde\varphi была абсолютно непрерывна на всех замкнутых промежутках в D, являющихся частью п. вс. линий, параллельных координатным осям (коротко \widetilde\varphi\in\operatorname{ACL}(D)).
Отсюда выводим, что переопределенное отображение \widetilde\varphi имеет частные производные (\partial \widetilde\varphi/\partial x_{j})_{j=1,\dots,n} п. вс. в D, совпадающие с аппроксимативными производными (\partial \varphi/\partial x_{j})_{j=1,\dots,n} исходного отображения п. вс. в D. Следовательно (см., например, [16; гл. IX, § 11, теорема 11.1], [19; теорема 3.1.4] или [37; 6.1.3, замечание (ii)]), всякое отображение \varphi\in W^1_{1,\mathrm{loc}}(D) (или \varphi\in \operatorname{ACL}(D)) аппроксимативно дифференцируемо п. вc. в D. Другими словами, отображение \varphi этого класса аппроксимативно дифференцируемо во всех точках D\setminus \Sigma вне некоторого множества \Sigma нулевой меры. Более того, аппроксимативный якобиан J_\varphi(x) совпадает с якобианом J(x,\widetilde\varphi)=|{\det D\widetilde\varphi}| переопределенного отображения п. вс. в D. В точках аппроксимативной дифференцируемости имеем (см. [19; § 2.9])
\begin{equation*}
\operatorname{ap} \limsup_{x\to a} \frac{|\varphi(x)-\varphi(a)|}{|x-a|}<\infty\quad\text{для всех }a \in D\setminus \Sigma.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, для отображения \varphi\colon D\setminus\Sigma\to\mathbb R^n выполняются условия теоремы 3.2.3 из [19] и поэтому верны все утверждения предложения 5. Предложение доказано. Замечание 3. Так как |\Sigma|=0 в формулах (2.8) и (2.9), то в левых частях этих формул интегрирование по D\setminus \Sigma можно заменить интегрированием по D, так что вместе с (2.9) верна также и формула
\begin{equation}
\int_{D} u(\varphi(x))|{\det D\varphi (x)}|\,dx= \int_{\mathbb R^n} u(y)\mathcal N(y,\varphi, D\setminus \Sigma)\,dy.
\end{equation}
\tag{2.10}
Формула (2.10) другим способом была доказана в работе [38]. Замечание 4. Заметим, что всякое отображение \varphi\in W^1_{q,\mathrm{loc}}(D) при q>n (гомеоморфизм \varphi\in W^1_{n,\mathrm{loc}}(D)) обладает \mathcal N-свойством Лузина (см., например, [33]–[36]). § 3. Описание оператора композиции из весового пространства Соболева в невесовоеЛокально суммируемая функция \omega\colon D'\to\mathbb R называется весовой, если 0<\omega(y)<\infty для п. вс. y\in D'. Напомним, что функция u\colon D'\to\mathbb R принадлежит весовому классу Соболева L^1_{p}(D';\omega), p\in[1,\infty), если u локально суммируема в D', а обобщенные производные8 \partial u/\partial y_j принадлежат L_{p}(D';\omega) для любого j=1,\dots,n. Полунорма функции u\in L^1_{p}(D') равна
\begin{equation}
\|u\mid L^1_{p}(D';\omega)\|=\biggl(\int_{D'}|\nabla u|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3.1}
Далее мы рассматриваем в области D' преимущественно конденсаторы вида E=(F,U), где U\Subset D' – открытое множество, а F\subset U – континуум, такие, что \mathbb R^n\setminus F – открытое связное множество, дополнение \overline{\mathbb R^n}\setminus (U\setminus F) к которому имеет две компоненты связности (здесь \overline{\mathbb R^n}=\mathbb R^n\cup\{\infty\} – одноточечная компактификация \mathbb R^n). Такие конденсаторы будем называть кольцевыми (см. близкие определения в [4], [6], [29]). Весовую емкость конденсатора E=(F,U) в пространстве L^1_p(D';\omega) определим как
\begin{equation*}
\operatorname{cap}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr)=\inf_{u\in \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D'))}\|u\mid L^1_{p}(D';\omega)\|^p,
\end{equation*}
\notag
где инфимум берется по всем допустимым для конденсатора E=(F,U) функциям класса9
\begin{equation*}
\operatorname{Lip}_l(D')\colon\quad \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D'))= \mathcal A(E)\cap \operatorname{Lip}_l(D').
\end{equation*}
\notag
Определение 3. Пусть 1\,{\leqslant}\,q\,{\leqslant}\, p\,{<}\,\infty, а \omega \colon D' \to (0,\infty) – весовая функция класса L_{1,\mathrm{loc}}(D'). Следуя работе [39; определение 3], определим класс \mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), гомеоморфизмов \varphi \colon D \to D' открытых областей D, D'\subset \mathbb{R}^n, n\geqslant 2, таких, что 1) \varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D); 2) отображение \varphi имеет конечное искажение: D\varphi(x)=0 п. в. на множестве Z=\{x\in D \mid J(x, \varphi)=0\}; 3) операторная функция искажения
\begin{equation}
D\ni x \mapsto K^{1,\omega}_{q,p}(x,\varphi) = \begin{cases} \dfrac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi (x)}|^{1/p}\omega^{1/p}(\varphi(x))}, &\text{если } \det D\varphi (x)\neq 0, \\ 0, &\text{если }\det D\varphi (x) = 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
принадлежит L_{\sigma}(D), где 1/\sigma=1/q-1/p, если 1\leqslant q<p<\infty, и \sigma=\infty, если q=p. Символ K^{1,1}_{q,p}(x,\varphi) применяется в тех случаях, когда \omega\equiv 1. Определение 4. Пусть гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D,D'\subset \mathbb R^n индуцирует ограниченный оператор композиции
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D),\qquad 1< q \leqslant p<\infty,
\end{equation*}
\notag
где \omega\colon D'\to (0,\infty) – весовая локально суммируемая функция. Фиксируем произвольное открытое множество W\subset D'. Ограничим действие оператора \varphi^* на подпространство10
\begin{equation}
\mathcal R(W)={L}^1_p(W;\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(W)\subset{L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D').
\end{equation}
\tag{3.3}
(Здесь \mathring{\mathrm{Lip}}_l(W)\subset \operatorname{Lip}_l(D') – подпространство пространства локально липшицевых на D' функций, равных тождественно нулю вне W.) Очевидно, норма ограничения \varphi_W\colon {L}^1_p(W;\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(W)\to L^1_q(D) может зависеть от W:
\begin{equation}
\|\varphi^*_W\|=\sup_{u\in \mathcal R(W)}\frac{\|\varphi_W^*u\mid L^1_q(D)\|}{\|u\mid L^1_p(W;\omega)\|}, \qquad 1\leqslant q \leqslant p<\infty.
\end{equation}
\tag{3.4}
При 1\leqslant q<p<\infty определим функцию множества, сопоставляя открытому множеству W\subset D' число Теперь можно перейти к формулировке основной теоремы настоящей работы. Можно сказать, что формулируемое ниже утверждение – это “весовое” обобщение предложений 2 и 9. Теорема 1. Пусть заданы гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D,D'\subset \mathbb R^n и весовая локально суммируемая функция \omega\colon D'\to (0,\infty). Следующие условия эквивалентны: 1) оператор композиции \varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D), 1< q \leqslant p<\infty, ограничен; 2) для любого конденсатора E=(F_1,F_0) в D' с прообразом \varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0)) в D, выполняется неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{cap}^{1/q}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)\bigr) \nonumber \\ &\qquad \leqslant \begin{cases} K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p\bigl(D';\omega)\bigr), &1<q=p<\infty, \\ \Phi(D'\setminus \bigl(F_1\cup F_0)\bigr)^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
где K_p – постоянная, а \Phi(W)=\|\varphi^*_W\|^\sigma (см. (3.5)) – ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на системе \mathcal O(D') всех открытых подмножеств области D'; 3) для любого кольцевого конденсатора E=(F,U) в D' с прообразом \varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F),\varphi^{-1}(U)) в D выполняется неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{cap}^{1/q}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)\bigr) \nonumber \\ &\qquad \leqslant \begin{cases} K_p \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p\bigl(D';\omega)\bigr), &1<q=p<\infty, \\ \Psi(U\setminus F)^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr), &1<q<p<\infty, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
где K_p – постоянная, а \Psi – некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на некоторой системе11 \mathcal O(D') открытых подмножеств области D'; 4) гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' принадлежит семейству
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \qquad 1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
Кроме того, \varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D) имеет конечное искажение и
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\begin{cases} 2^{-n/p}\biggl(\dfrac{3n}2\biggr)^{-1} \|K^{1,\omega}_{p,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \\ 2^{-n/q}\biggl(\dfrac{3n}2\biggr)^{-1} \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \end{cases} \leqslant\|\varphi_W^*\| \nonumber \\ &\qquad \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \leqslant \begin{cases} 3n2^{(n-p)/p}K_p &\textit{при }q=p, \\ 3n 2^{(n-q)/q}\Psi(W)^{1/\sigma} &\textit{при }q<p, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
для любого открытого множества W\in \mathcal O(D'). (Величина \|\varphi_W^*\| определена выше формулой (3.4).) Доказательство. Мы докажем импликации в следующем порядке: 1)\,{\Rightarrow}\,2), 2) \Rightarrow 3), 3) \Rightarrow 4), 4) \Rightarrow 1). Для последовательного изложения аргументов мы разобьем каждую часть доказательства на несколько независимых фрагментов.
1) \Rightarrow 2). Пусть дан ограниченный оператор композиции \varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D): \|\varphi^*u\mid L^1_q(D)\|\leqslant \|\varphi^*\| \cdot \|u\mid L^1_p(D';\omega)\| для любой функции u\in {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D'), 1\leqslant q \leqslant p<\infty. Итогом этого этапа будут величина K_p и ограниченная квазиаддитивная функция \Phi (см. (3.26) и (3.27)), для которых выполняются неравенства (3.6) и (3.7). 3.1. Норма оператора композиции и ограниченная квазиаддитивная функцияСвойства функции (3.5) установлены в следующем утверждении. Лемма 2. Функция множества, определенная на открытых компактно вложенных множествах W\Subset D' формулой (3.5), монотонна и счетноаддитивна. Приводимое ниже простое доказательство этого свойства основано на оригинальном методе работы [25; лемма 1]. Доказательство леммы 2. Свойство монотонности очевидно вытекает из определения функции \Phi: \Phi(W)\leqslant \Phi(U), если W\subset U\subset D'.
Фиксируем произвольные открытые множества U,U_1,U_2,\dots,U_k\subset D' так, чтобы U_1,U_2,\dots,U_k были дизъюнктны и \bigcup_{i=1}^kU_i=U. Докажем, что Достаточно доказать (3.9) для двух множеств U_1, U_2 и открытого множества U= U_1\cup U_2. Действительно, если неравенство \Phi(U_1)+\Phi(U_2)\leqslant \Phi(U_1\cup U_2) установлено, то
\begin{equation*}
\Phi(U_1)+\Phi(U_2)+\Phi(U_3)\leqslant \Phi(U_1\cup U_2)+\Phi(U_3)\leqslant \Phi(U_1\cup U_2\cup U_3).
\end{equation*}
\notag
Продолжая этот процесс по индукции, распространяем это неравенство на конечную совокупность открытых множеств U_1,U_2,\dots,U_k.
Более того, неравенство (3.9) очевидно распространяется и на произвольный счетный набор открытых множеств U,U_1,U_2,\dots,U_k,\ldots\subset D' такой, что
\begin{equation}
U_1,U_2,\dots,U_k,\dots\quad\text{дизъюнктны и}\quad \bigcup_{i=1}^\infty U_i=U\colon \sum_{i=1}^\infty\Phi(U_i)\leqslant \Phi(U).
\end{equation}
\tag{3.10}
Переходим к доказательству неравенства \Phi(U_1)+\Phi(U_2)\leqslant \Phi(U_1\cup U_2). Если одно из значений \Phi(U_1) или \Phi(U_2) равно нулю, то это неравенство есть следствие монотонности. Пусть теперь произведение \Phi(U_1)\cdot \Phi(U_2) отлично от нуля. Фиксируем произвольное положительное число \varepsilon>0 таким образом, чтобы разности \Phi(U_1)-\varepsilon и \Phi(U_2)-\varepsilon были положительными. Далее выберем функции u_i\in \mathcal R(U_i) так, чтобы с учетом (3.4) и (3.5) выполнялись следующие соотношения:
\begin{equation}
\|\varphi^*u_i\mid L^1_q(\varphi^{-1}(U_i))\|\geqslant (\Phi(U_i)-\varepsilon)^{1/\sigma} \|u_i\mid L^1_p(U_i;\omega)\|,\qquad i=1,2,
\end{equation}
\tag{3.11}
\begin{equation}
\Phi(U_i)-\varepsilon=\|u_i\mid L^1_p(U_i;\omega)\|^p,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{3.12}
Возводим в степень q неравенство в (3.11) и суммируем по i=1,2. С учетом (3.12) непосредственно выводим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\varphi^{-1}(U_1\cup U_2)}|\nabla (\varphi^*(u_1+u_2))(x)|^q\,dx \nonumber \\ &\qquad\geqslant (\Phi(U_1)-\varepsilon)^{q/\sigma} \|u_1\mid L^1_p(U_1;\omega)\|^q + (\Phi(U_2)-\varepsilon)^{q/\sigma} \|u_2\mid L^1_p(U_2;\omega)\|^q \nonumber \\ &\qquad=(\Phi(U_1)+\Phi(U_2)-2\varepsilon)^{q/\sigma} \biggl(\int_{U_1\cup U_2}|\nabla (u_1+u_2)(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
Из (3.13) получаем \Phi(U_1)+\Phi(U_2)-2\varepsilon\leqslant \Phi(U_1\cup U_2), а так как \varepsilon>0 произвольно мало, выводим требуемое соотношение: Таким образом, неравенство (3.9), а вместе с ним и неравенство (3.10) доказаны.Чтобы доказать счетную аддитивность функции множества \Phi (см. (3.5)), рассмотрим произвольный счетный набор открытых множеств такой, что U_1,U_2,\dots,U_k,\dots дизъюнктны, и положим \bigcup_{i=1}^\infty U_i= U. Выберем произвольную функцию u\in \mathcal R(U) и рассмотрим ее ограничения u_i=u|_{U_i}. В силу дизъюнктности совокупности \{U_i\} имеем u_i\in \mathcal R(U_i) . Подставляя u_i в неравенство
\begin{equation*}
\|\varphi^*u\mid L^1_q(\varphi^{-1}(U_i))\|\leqslant \|\varphi^*_{U_i}\|\cdot \|u\mid L^1_p(U_i;\omega)\|,\qquad u\in \mathcal R(U_i),
\end{equation*}
\notag
с учетом (3.5) получаем следующий набор соотношений:
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(U_i)}|\nabla (\varphi\circ u_i)(x)|^q\,dx \leqslant (\Phi(U_i))^{q/\sigma} \biggl(\int_{U_i}|\nabla u_i(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p},\qquad i\in\mathbb N.
\end{equation}
\tag{3.14}
Полагая в лемме 3, формулируемой ниже, v_i=\varphi\circ u_i, \Theta=\Psi и u=\sum_{i=1}^\infty u_i, из (3.19)–(3.22) получаем
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(U)}|\nabla (\varphi\circ u)(x)|^q\,dx\leqslant \biggl(\sum_{i=1}^\infty\Phi(U_i)\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\int_{U}|\nabla u|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}
\end{equation}
\tag{3.15}
для любой функции u\in \mathcal R(U). Отсюда выводим Вместе с неравенством (3.10) cчетная аддитивность функции множества \Phi доказана. Лемма доказана. Свойство квазиаддитивности применяется ниже при “сложении” неравенств вида (3.14). Для удобства ссылок сформулируем это правило в следующем утверждении. Лемма 3. Пусть \Theta – квазиаддитивная функция множества – определена на системе \mathcal O(D') открытых подмножествах области D'. Пусть U_1,U_2,\dots, U_k,\ldots\in \mathcal O(D') – произвольный счетный набор открытых дизъюнктных множеств, а u_i\in {L}^1_p(U_i;\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(U_i) и v_i\in L^1_q(\varphi^{-1}(U_i)), i\in \mathbb N, – произвольные функции12, для которых выполняется неравенство
\begin{equation}
\|v_i\mid L^1_q(\varphi^{-1}(U_i))\|\leqslant \begin{cases} \|\varphi^*\| \|u_i\mid L^1_p(U_i;\omega)\|, &\textit{если }1< q=p<\infty, \\ (\Theta(U_i))^{1/\sigma}\|u_i\mid L^1_p(U_i;\omega)\|, &\textit{если }1< q<p<\infty. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.16}
Тогда, обозначая U=\bigcup_{i=1}^\infty U_i, имеем соотношение Доказательство. Возводим неравенство (3.16) в степень q:
В случае q<p суммируем неравенства в (3.18) по i\in\mathbb N и применяем неравенство Гёльдера с показателями \sigma/q, p/q: с учетом v=\sum_{i=1}^\infty v_i получаем
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(U)}|\nabla v (x)|^q\,dx=\sum_{i=1}^\infty\int_{\varphi^{-1}(U_i)}|\nabla v_i(x)|^q\,dx
\end{equation}
\tag{3.19}
\begin{equation}
\qquad\leqslant \sum_{i=1}^\infty (\Theta(U_i))^{q/\sigma} \biggl(\int_{U_i}|\nabla u_i(y)|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}
\end{equation}
\tag{3.20}
\begin{equation}
\qquad\leqslant \biggl(\sum_{i=1}^\infty\Theta(U_i)\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\sum_{i=1}^\infty\int_{U_i}|\nabla u_i(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}
\end{equation}
\tag{3.21}
\begin{equation}
\qquad\leqslant \biggl(\sum_{i=1}^\infty\Theta(U_i)\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\int_{U}|\nabla u|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}.
\end{equation}
\tag{3.22}
Отсюда по свойству \sum_{i=1}^\infty\Theta(U_i)\leqslant \Theta(U) квазиаддитивности выводим (3.17). При q=p доказательство лишь упрощается. Лемма доказана. 3.2. Емкостные неравенстваДля завершения доказательства первой импликации: 1) \Rightarrow 2), проверим неравенство (3.6). Пусть u\in \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D')) – функция, допустимая для конденсатора E\,{=}\,(F_1,F_0) в D'. Тогда u\,{\circ}\,\varphi будет допустимой функцией в D для конденсатора \varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0). Отсюда имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname{cap}^{1/q}\bigl(\varphi^{-1}(E); L^1_q(D)\bigr) \leqslant \biggl(\int_{\varphi^{-1}(D')} |\nabla(u\circ\varphi)(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \nonumber \\ &\quad\leqslant \Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma} \biggl(\int_{D'} |\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}, \qquad 1<q\leqslant p< \infty \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
(при q< p функция \Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0)) определена в (3.5), а при q=p вместо множителя \Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma} следует рассматривать \|\varphi^*\|). Так как допустимая функция u выбрана произвольно, в правой части этих неравенств возможен переход к нижней грани, и тем самым неравенство (3.6) доказано. Заметим, что формально в неравенстве (3.23) вместо \Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma} следует написать \Phi(D')^{1/\sigma}, так как \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D')) \subset {L}^1_p(D';\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(D'). Однако любая функция u\in \mathcal A(E;\operatorname{Lip}_l(D')) обладает следующим свойством: ее градиент \nabla u(y) равен нулю п. вс. на F_1\cup F_0. По этой причине оптимальная постоянная в неравенстве (3.23) равна
\begin{equation}
\sup_{u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega))}\frac{\bigl(\int_{\varphi^{-1}(D'\setminus (F_1\cup F_0))} |\nabla(u\circ\varphi)(x)|^q\,dx\bigr)^{1/q}}{\bigl(\int_{D'\setminus (F_1\cup F_0)} |\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\bigr)^{1/p}}.
\end{equation}
\tag{3.24}
Любой функции u\in \mathcal A(E;L^1_p(D';\omega)) можно сопоставить функцию \widetilde u\in {L}^1_p(D'\setminus (F_1\cup F_0);\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(D'\setminus (F_1\cup F_0)) таким образом, чтобы |\nabla u(y)|=|\nabla \widetilde u(y)| для п. вс. y\in D'. Желаемым свойством обладает функция
\begin{equation}
\widetilde u(y)=\min\biggl(u,\frac12 \biggr)-\max\biggl(u,\frac12\biggr)+\frac12.
\end{equation}
\tag{3.25}
Следовательно, верхняя грань отношения в (3.24), взятая по всем функциям \widetilde u\in {L}^1_p(D'\setminus (F_1\cup F_0);\omega) \cap \mathring{\mathrm{Lip}}_l(D'\setminus (F_1\cup F_0)), с одной стороны, не меньше величины (3.24), а с другой – равна \|\varphi^*_{D'\setminus (F_1\cup F_0)}\|=\Phi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma}. Именно эта величина и поставлена в неравенство (3.23). Таким образом, неравенство (3.6) выполняется c постоянной и с ограниченной квазиаддитивной функцией
\begin{equation}
\Phi(W)=\|\varphi_{W}^*\|^\sigma \quad \text{при }1<q<p<\infty
\end{equation}
\tag{3.27}
вместо \Psi(W). Переход 2) \Rightarrow 3) очевиден, так как в утверждении 3) рассматривается более узкий класс конденсаторов по сравнению с таковым в утверждении 2). Результатом этого перехода является неравенство (3.7) с ограниченной квазиаддитивной функцией \Phi вместо \Psi. 3) \Rightarrow 4). Пусть выполнены все условия п. 3) теоремы 1. Все основные свойства, необходимые для этого шага, мы докажем в отдельно формулируемых ниже леммах, представляющих независимый интерес. Итогом этого этапа будет проверка всех условий определения 3. 3.3. От емкостного неравенства к соболевским отображениямВ контексте настоящей работы непостоянная функция u\colon D'\,{\to}\,\mathbb R класса \mathring{\mathrm{Lip}}_l(U) называется монотонной, если любой уровень u^{-1}(t), t\in(\min_Uu(x), \max_Uu(x)), представляет собой континуум в D', разбивающий дополнение D'\setminus u^{-1}(t) на две компоненты связности: u^{-1}((-\infty, t)) и u^{-1}((t,+\infty)). Лемма 4. Пусть заданы гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D,D'\subset \mathbb R^n и весовая локально суммируемая функция \omega\colon D'\to (0,\infty). Если для гомеоморфизма \varphi\colon D\to D' выполнены емкостные соотношения (3.7) с некоторой постоянной K_p при 1< q=p<\infty или ограниченной квазиаддитивной функцией \Psi при 1< q<p<\infty, то \varphi^*(u)=u\circ\varphi\in L^1_{q,\mathrm{loc}}(D) для любой монотонной функции u\colon D'\to \mathbb R класса \mathring{\mathrm{Lip}}_l(U), где U\Subset D' – открытая область. Более того, верна оценка Доказательство. Фиксируем открытую область U\Subset D' и монотонную функцию u\colon D'\to \mathbb R класса \mathring{\mathrm{Lip}}_l(U). Пусть она неотрицательная для определенности.
Рассмотрим разбиение 0=t_0<t_1<\dots<t_k=M=\max_{U}u, где t_i=iM/k, i=0,1,\dots,k. Далее в области U рассмотрим следующий набор конденсаторов E_i=(F_i, U_i), i=1,\dots,k: 1) U_i=\{y\in D'\colon u(y)> t_{i-1}\}, 2) F_i=\{y\in D'\colon u(y)\geqslant t_i\} с внутренностью A_i=U_i\setminus F_i=\{y\in D'\colon u(y)\in(t_{i-1}, t_i)\}. Непосредственно проверяется, что внутренности A_i дизъюнктные и Функция u_i=(u-t_{i-1})/(t_i-t_{i-1})\big|_{\overline{A}_i} липшицева, равна нулю на границе U_i (равна единице на F_i), и является допустимой для емкости конденсатора E_i=(F_i, U_i). Пусть 1<q<p<\infty. Каждому u_i, определенному на U_i, ставим в соответствие экстремальную для q-емкости конденсатора \varphi^{-1}(E_i)=(\varphi^{-1}(F_i);\varphi^{-1}(U_i)) функцию v_i. Далее, вместо v_i мы рассматриваем ее продолжение \widetilde v_i нулем (единицей) на D\setminus \varphi^{-1}(U_i) (\varphi^{-1}(F_i)). Известно, что \widetilde v_i\in L^1_q(D) и \nabla \widetilde v_i(x)=0 для п. вс. x\in D\setminus \varphi^{-1}(A_i) (см., например, [23]). Так как u_i=(u-t_{i-1})/(t_i-t_{i-1}) на A_i, из емкостного неравенства (3.7) выводим
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(A_i)}|\nabla (t_i-t_{i-1})\widetilde v_i (x)|^q\,dx\biggl)^{1/q} \leqslant \Psi(A_i)^{1/\sigma}\biggl( \int_{A_i}|\nabla u (y)|^p\omega(y)\,dy\biggl)^{1/p},
\end{equation}
\tag{3.29}
i=1,\dots,k. В условиях леммы 3 возьмем A_i вместо U_i, u|_{A_i} вместо u_i, (t_i\,{-}\,t_{i-1})\widetilde v_i вместо v_i,
\begin{equation*}
D\ni x\to w_k(x)=\begin{cases} {\displaystyle\sum_{i=1}^k (t_i-t_{i-1})\widetilde v_i(x)}, &\text{если }x\in U, \\ 0 &\text{иначе} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
вместо v, \Psi вместо \Theta. Тогда на основании (3.29) и вывода (3.17) приходим к соотношению
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(U)}|\nabla w_k(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \leqslant\Psi(U)^{1/\sigma}\biggl( \int_{U}|\nabla u (y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3.30}
На самом деле, вместо U следует написать \bigcup_{i=1}^kA_i. Однако с учетом свойств \bigcup_{i=1}^kA_i\subset U (это только может увеличить правую часть (3.17)) и \nabla w_k(x)=0 п. вс. на дополнении D\setminus \varphi^{-1}\bigl(\bigcup_{i=1}^kA_i\bigr) справедливо также и неравенство (3.30).
Заметим, что сходимость \lim_{k\to \infty}w_k(x)= u\circ\varphi(x) равномерная на D. С другой стороны, некоторая подпоследовательность
\begin{equation*}
w_{k_l}(\,{\cdot}\,)= \sum_{i=1}^{k_l}((t_i-t_{i-1})\widetilde v_i)(\,{\cdot}\,)\in L^1_q(D)
\end{equation*}
\notag
имеет слабый предел в L^1_q(D), совпадающий с равномерным. Отсюда в силу полунепрерывности нормы при слабой сходимости получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\int_{\varphi^{-1}(U)} |\nabla(u\circ\varphi)(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} &\leqslant \varliminf_{l\to\infty}\biggl(\int_{\varphi^{-1}(U)}|\nabla w_{k_l}(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \nonumber \\ &\leqslant \Psi(U)^{1/\sigma}\biggl(\int_{U}|\nabla u(y) |^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.31}
При 1<q<p<\infty лемма доказана. Чтобы получить ее доказательство для 1<q=p<\infty достаточно формально заменить выражения вида \Psi(\,{\cdot}\,)^{1/\sigma} в формулах (3.29)–(3.31) постоянной K_p. Лемма доказана. Лемма 5. Пусть заданы гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D,D'\subset \mathbb R^n и весовая локально суммируемая функция \omega\colon D'\to (0,\infty). Если для гомеоморфизма \varphi\colon D\to D' выполнены емкостные соотношения (3.7) с некоторой постоянной K_p при 1< q=p<\infty или ограниченной квазиаддитивной функцией \Psi при 1< q<p<\infty, то \varphi\in L^1_{q,\mathrm{loc}}(D). Доказательство. Фиксируем монотонную липшицеву функцию \overline\eta\colon[0,\infty)\,{\to} \mathbb R так, чтобы
\begin{equation*}
\overline\eta(r)=\begin{cases} 1 &\text{при }r\leqslant1, \\ 0 &\text{при }r\geqslant 2, \\ 2-r &\text{при }r\in(1,2). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Функция \overline\eta определяет срезку \eta(y)=\overline\eta(\|y\|), где \|\,{\cdot}\,\| – евклидова норма y, принадлежащую классу \mathring{\mathrm{Lip}}_l(B(0,2)) и такую, что \eta\equiv1 на B(0,1), \eta\equiv0 вне B(0,2), 0\leqslant \eta(y)\leqslant1 при y\in B(0,2), и |\nabla\eta(y)|=1 п. вс. в B(0,2)\setminus B(0,1).
Для точки z\in D' и радиуса r>0 таких, что B(z,2r)\Subset D', введем в рассмотрение пробную функцию
\begin{equation}
D'\ni y\to u(y)=\begin{cases} (y-z)_j\eta\biggl(\dfrac{y-z}{r}\biggr), &\text{если }y\in B(z,2r), \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.32}
где j может быть любым числом от 1 до n (здесь (y-z)_j – j-я компонента вектора y-z).
Положительная (отрицательная) часть u^+=\max(u,0 ) (u^-=\max(-u,0 )) этой функции строго положительна на полушаре
\begin{equation*}
B_j^+(z,2r)\,{=}\,\{y\,{\in}\, B(z,2r)\colon (y-z)_j>0\}\quad (B_j^-(z,2r)\,{=}\,\{y\,{\in}\, B(z,2r)\colon (y-z)_j<0\}),
\end{equation*}
\notag
удовлетворяет условиям леммы 4 и поэтому для каждой из них справедливы соотношения (3.28). Подставляя в (3.28) (или в (3.31)) функцию u^+ (u^-) вместо u и область B_j^+(z,2r) (B_j^-(z,2r)) вместо U, выводим два соотношения: одно для функции и полушара со знаком “+”:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{\varphi^{-1}(B_j^+(z,2r))} |\nabla(u^+\circ\varphi)(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \nonumber \\ &\qquad\leqslant \Psi(B_j^+(z,2r))^{1/\sigma}\biggl( \int_{B_j^+(z,2r)}|\nabla u^+(y) |^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
и такое же, как (3.33), только для функции и полушара со знаком “-”. Применяя лемму 3 к этим двум соотношениям, приходим к неравенству
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(B(z,2r))} |\nabla(u\circ\varphi)(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} {\leqslant}\, \Psi(B(z,2r))^{1/\sigma}\biggl( \int_{B(z,2r)}|\nabla u(y) |^p\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p}.
\end{equation}
\tag{3.34}
Проверим существование обобщенных производных координатной функции \varphi_j. На шаре B(z,r) функция u(y)=(y-z)_j. Поэтому
\begin{equation*}
u\circ\varphi(x)=\varphi_j(x)-(\varphi^{-1}(z))_j\quad\text{для }x\in\varphi^{-1}(B(z,r)).
\end{equation*}
\notag
Из (3.34) имеем и оценку нормы:
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(B(z,r))} |\nabla \varphi_j(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \leqslant \frac32\Psi(B(z,2r))^{1/\sigma}\biggl( \int_{B(z,2r)}\omega(y)\,dy\biggr)^{1/p},
\end{equation}
\tag{3.35}
так как для градиента функции u(y)=(y-z)_j\eta((y-z)/r) верно неравенство
\begin{equation*}
|\nabla u(y)|=\biggl|\eta\biggl(\frac{y-z}{r}\biggr)e_j+\frac{1}{r}(y-z)_j \nabla\eta\biggl(\frac{y-z}{r}\biggr)\biggr| \leqslant \frac32
\end{equation*}
\notag
для всех y\in B(z,2r), где e_j – j-й вектор стандартного базиса в \mathbb R^n.
По теореме Витали существует счетный набор шаров \{B(z_i, r_i)\Subset D'\}, образующих покрытие области D', и таких, что B(z_i, 2r_i)\Subset D', i\in \mathbb N. Следовательно, применяя (3.35) и к каждому шару этого покрытия, и для всех j=1,2,\dots,n, выводим При 1<q=p<\infty все величины этого параграфа вида \Psi(\,{\cdot}\,)^{1/\sigma} следует заменить на K_p. Лемма доказана. 3.4. Абсолютная непрерывность и конечность искаженияНаша следующая цель – показать, что гомеоморфизм \varphi\in L^1_{q,\mathrm{loc}}(D) имеет конечное искажение. Лемма 6. Пусть заданы гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D,D'\subset \mathbb R^n, и весовая локально суммируемая функция \omega\colon D'\to (0,\infty). Если для гомеоморфизма \varphi\colon D\to D' выполнены соотношения (3.7), то 1) функция множества определенная на \sigma-алгебре борелевских множеств \mathcal B(W) открытого множества W\Subset D', удовлетворяет оценке
\begin{equation}
\int_{\varphi^{-1}(T)} |D \varphi(x)|^q\,dx \leqslant \begin{cases} n^{p} \biggl(\dfrac32\biggr)^pMK_p^p \omega(T), &1\leqslant q= p<\infty, \\ n^{q} \biggl(\dfrac32\biggr)^qM^{q/p}\beta_n^{q/\sigma}\Psi(D)^{q/\sigma} \omega(T)^{q/p}, &1\leqslant q< p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.37}
где величины13 M, \beta_n зависят только от размерности n, а
\begin{equation*}
\omega(T)=\int_T\omega(y)\,dy\quad \textit{- весовая мера множества $T\subset W$;}
\end{equation*}
\notag
2) функция множества \Lambda( T), T\in\mathcal B(D'), абсолютно непрерывна; 3) производная функция множества \Lambda( T) для п. вс. точек y\in D' равна
\begin{equation}
\Lambda'(y)= \lim_{\delta\to 0,\, y\in B_\delta}\frac{\Lambda(B_\delta)}{|B_\delta|}= \begin{cases} \dfrac{|D\varphi(\varphi^{-1}(y))|^q}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|}, &\textit{если }y\in D'\setminus(Z'\cup \Sigma'), \\ 0 &\textit{иначе}; \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.38}
4) отображение \varphi\colon D\to D' имеет конечное искажение. Доказательство. Здесь мы следуем методу работы [11; теорема 8.7], в которой конечность искажения получена из абсолютной непрерывности функции \Lambda (см. ниже) при q=p, \omega\equiv1. Суть его состоит в том, что выводимое из (3.35) неравенство
\begin{equation}
\Lambda(B(z,r))= \int_{\varphi^{-1}(B(z,r))} |D \varphi(x)|^p\,dx \leqslant n^{p}2^n\biggl(\frac32\biggr)^pK^p_p |B(z,r)|
\end{equation}
\tag{3.39}
для любого шара B(z,r)\subset D' позволяет немедленно сделать вывод об абсолютной непрерывности функции множества \Lambda и, как следствие, о конечности искажения отображения \varphi: D\varphi(x)\,{=}\,0 п. вс. на множестве Z\,{=}\,\{x\,{\in}\, D\,|\, {\det D\varphi(x)}\,{=}\,0\} (ибо в противном случае \Lambda( \Sigma')=\int_{Z} |D\varphi(x)|^p\,dx не равно нулю при условии |Z|>0).
Для доказательства общего неравенства (3.37) фиксируем произвольное открытое множество U такое, что T\subset U\subset W, и покрытие U шарами B_i=B(z_i, r_i), описанное в предложении 6 (см. ниже). С каждым шаром B(z_i, 2r_i) ассоциируем пробную функцию, определенную соотношением (3.32): u_i(y)=(y-z_i)_j\eta((y-z_i)/r_i). С учетом того, что для градиента функции верна оценка для всех y\in B(z_i,2r_i), из выражения (3.39) с применением неравенства Гёльдера выводим:
\begin{equation}
\frac1{n^{q}}\int_{\varphi^{-1}(U)} |D \varphi(x)|^q\,dx \leqslant \sum^{\infty}_{i=1}\biggl(\frac1{n}\sum_{j=1}^n\int_{\varphi^{-1}(B(z_i,r_i))}|\nabla \varphi_j(x)|^q \,dx\biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\quad\leqslant \biggl(\frac32\biggr)^q \sum^{\infty}_{i=1}\Psi(B(z_i,2r_i))^{q/\sigma}\biggl(\int_{B(z_i,2r_i)} \omega(y)\,dy \biggr)^{q/p} \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\quad\leqslant \biggl(\frac32\biggr)^q\biggl(\sum^{\infty}_{i=1}\Psi(B(z_i,2r_i))\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\int_{U}\sum^{\infty}_{i=1}\chi_{B(z_i, 2r_i)}(y) \omega (y)\,dy\biggr)^{q/p}
\end{equation}
\tag{3.40}
\begin{equation}
\quad\leqslant \biggl(\frac32\biggr)^qM^{q/p}\beta_n^{q/\sigma}\Psi(U)^{q/\sigma}\biggl(\int_{U} \omega (y)\,dy \biggr)^{q/p} \leqslant \biggl(\frac32\biggr)^qM^{q/p} \beta_n^{q/\sigma}\Psi(U)^{q/\sigma} \omega(U)^{q/p},
\end{equation}
\tag{3.41}
где \chi_{B(z_i, 2r_i)}(y) – характеристическая функция, M – кратность покрытия \{B(z_i, 2r_i)\}, а \beta_n – постоянная в теореме Безиковича (см. ниже предложение 7), зависящая только от размерности.Из (3.41) выводим (3.37).
Из (3.41) выводим также для любого борелевского множества T\in\mathcal B(D') нулевой меры.Следовательно, функция множества T\mapsto \Lambda( T), T\in\mathcal B(D'), абсолютно непрерывна. Из (3.42) выводим, что отображение \varphi\in L^1_{q,\mathrm{loc}}(D), для которого выполнены оценки (3.35), обладает следующим свойством:
\begin{equation}
D\varphi(x)=0\quad \text{п. вс. на множестве }Z=\{x\in D \mid \det D\varphi(x)=0\}
\end{equation}
\tag{3.43}
нулей якобина. Действительно, пусть \Sigma\subset D – сингулярное борелевское множество нулевой меры такое, что Z \cap \Sigma = \varnothing (Z тоже можно считать борелевским) и \varphi\colon D\setminus \Sigma\to D' обладает \mathcal N-свойством Лузина. Множество \varphi(Z)\subset D' имеет нулевую меру. Полагая в (3.42) T=\varphi(Z), получаем Отсюда имеем либо |Z|=0, либо (3.43). Следовательно, отображение \varphi имеет конечное искажение.
Равенство (3.38) может быть получено в результате дифференцирования левой и правой частей соотношений:
\begin{equation*}
\Lambda(B(y,r))=\int_{\varphi^{-1}(B(y,r))} |D\varphi|^q(x)\,dx = \int_{B(y,r)\setminus\Sigma'} |D\varphi|^q(\varphi^{-1}(y))\cdot J_{\varphi^{-1}}(y)\,dy
\end{equation*}
\notag
в точках y\in D'\setminus\Sigma'. Здесь значение J_{\varphi^{-1}}(y), определенное в (1.10), в силу (2.4) равно |{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{-1} для п. вс. y\in D'\setminus \varphi(Z\cup \Sigma) (напомним, что \varphi(Z\cup \Sigma)=\Sigma'\cup Z') и равно нулю, если y\in \varphi(\Sigma)=Z'. Лемма доказана. Покажем справедливость примененного при переходе от (3.40) к (3.41) неравенства
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{i=1}\Psi(B(z_i,2r_i)\leqslant \beta_n\Psi(U).
\end{equation*}
\notag
Сформулируем применяемое ниже свойство евклидовых шаров (см. [40], [41], где доказаны свойства 1) и 2) предложения 6 и работу [42], где доказано свойство 3) предложения 6). Предложение 6. Для любого открытого множества U \subset \mathbb{R}^{n} конечной меры существует не более чем счетное семейство шаров \mathcal F=\{B_i=B(z_i, r_i)\} такое, что 1) U=\bigcup_{i=1}^\infty B(x_i, r_i)=\bigcup_{i=1}^\infty 2B_i, где 2 B_i=B(z_i, 2 r_i); 2) семейства \mathcal{F}=\{B_i\} и 2\mathcal{F}=\{2B_i\} образуют конечнократное покрытие множества U кратности M, не превосходящей 48^n; 3) семейство \{2B_i\} может быть разбито на конечное число \beta_n (зависящее только от размерности n) подсемейств таких, что внутри каждого из них шары не пересекаются. Предложение 7 (см. [26; лемма 3]). Пусть квазиаддитивная функция \Psi определена на открытых подмножествах отрытого множества D \subset \mathbb{R}^{n}. Тогда для любого открытого множества U \Subset D существует последовательность шаров \{B_i\} таких, что 1) семейства \{B_i\} и \{2 B_i\} образуют конечнократное покрытие множества U; 2) \sum_{i=1}^{\infty} \Psi(2 B_i) \leqslant \beta_n \Psi(U), где постоянная \beta_n зависит только размерности n. Доказательство. В соответствии с предложением 6 существуют последовательности шаров \{B_i\}, \{2 B_i\} такие, что обе они образуют конечнократное покрытие множества U, и, кроме того, последовательность \{2 B_i\} можно разбить на \beta_n подсемейств \{2 B_{1 i}\}_{i=1}^{\infty}, \dots, \{2 B_{\beta_n i}\}_{i=1}^{\infty} так, что внутри каждого подсемейства шары дизъюнкты: 2 B_{k i} \cap 2 B_{k j}=\varnothing, если i \neq j, k=1, \dots, \beta_n. Следовательно, 3.5. Суммируемость функции искаженияВ этом пункте мы покажем, что операторная функция искажения K^{1,\omega}_{q,p}(x)\in L_\sigma. Действительно, применяя равенство (3.36) в левой части неравенства (3.35), приходим к следующему соотношению (см. (3.37) для сравнения):
\begin{equation*}
\frac{\Lambda(B(z,r))}{|B(z,r)|}\leqslant 2^n\biggl(\frac{3n}2\biggr)^q\biggl(\frac{\Psi(B(z,2r))}{|B(z,2r|)}\biggr)^{q/\sigma} \biggl(\frac{1}{|B(z,2r)|}\int_{B(z,2r)} \omega (y)\,dy\biggr)^{q/p}.
\end{equation*}
\notag
В силу (3.38), предложения 3 и теоремы Лебега о дифференцировании интеграла при переходе к пределу при r\to 0 c учетом \varphi(x)=z получаем
\begin{equation*}
\biggl(\frac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi(x)}|^{1/q}\omega^{1/p}(\varphi(x))}\biggr)^\sigma|{\det D\varphi(x)}| \leqslant 2^{n\sigma/q}\biggl(\frac{3n}2\biggr)^\sigma\Psi'(\varphi(x))|{\det D\varphi(x)}|
\end{equation*}
\notag
для п. вс. точек x\in D\setminus(Z\cup \Sigma). Интегрируя левую и правую части по множеству \varphi^{-1}(W)\setminus Z, где W\in\mathcal O(D'), и заменяя переменную в правой части, с учетом предложения 3 выводим правую часть соотношений (3.8):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{\varphi^{-1}(W)\setminus Z}\biggl(\frac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi (x)}|^{1/p}\omega^{1/p}(\varphi(x))}\biggr)^\sigma\,dx\biggr)^{1/\sigma} \\ &\qquad \leqslant \begin{cases} \dfrac{3n}2 2^{n/p}K_p &\text{при }q=p, \\ \dfrac{3n}2 2^{n/q}\Psi(W)^{1/\sigma} &\text{при }q<p. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, операторная функция искажения K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\in L_\sigma(D), и c учетом (3.26) и (3.27) выполняются14 правая и левая части соотношений (3.8). 4) \Rightarrow 1). Пусть задан гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' класса \mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), 1\leqslant q \leqslant p<\infty. Докажем, что оператор композиции
\begin{equation}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D), \qquad 1\leqslant q \leqslant p<\infty,
\end{equation}
\tag{3.44}
ограничен. Возьмем функцию u\in {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D'). Композиция u\circ\varphi очевидно принадлежит \operatorname{ACL}(D). Докажем интегрируемость производных композиции. Производная композиции может быть найдена по формуле
\begin{equation*}
\frac{\partial (u\circ \varphi)}{\partial x_i}(x)= \sum_{j=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_j}(\varphi(x)) \frac{\partial \varphi_j}{\partial x_i}(x),
\end{equation*}
\notag
если \varphi(x) – точка дифференцируемости функции u, и иначе (так как в этом случае x\in Z и D\varphi(x)=0 п. вс.). Имеем интегральные соотношения (см. комментарий после формул)
\begin{equation}
\leqslant \int_{D\setminus (Z\cup \Sigma)}|\nabla u|^q(\varphi(x))\cdot|D\varphi|^q(x) \,dx =\int_{D'\setminus (Z'\cup \Sigma')}|\nabla u|^q(y)\cdot \Lambda'(y) \,dy
\end{equation}
\tag{3.45}
\begin{equation}
=\int_{D'\setminus (Z'\cup \Sigma')}|\nabla u|^q(y)\omega(y)^{q/p}\cdot \frac{|D\varphi|^q(\varphi^{-1}(y))}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|\omega(y)^{q/p}} \,dy
\end{equation}
\tag{3.46}
\begin{equation}
\leqslant \biggl(\int_{D'}|\nabla u|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p}\cdot \biggl(\int_{D'\setminus (Z'\cup\Sigma'))} \frac{|D\varphi|^\sigma(\varphi^{-1}(y))}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{\sigma/q}\omega(y)^{\sigma/p}} \,dy\biggr)^{q/\sigma}
\end{equation}
\tag{3.47}
\begin{equation}
=\biggl(\int_{D\setminus Z} \frac{|D\varphi|^\sigma(x)}{|{\det D\varphi(x)}|^{\sigma/q}\omega(\varphi(x))^{\sigma/p}} |{\det D\varphi(x)}|\,dx\biggr)^{q/\sigma}{\cdot}\, \biggl(\int_{D'}|\nabla u|^p(y)\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p} \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\ =\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^q \biggl(\int_{D'}|\nabla u(y)|^p\omega(y)\,dy\biggr)^{q/p} .
\end{equation}
\tag{3.48}
Здесь равенство в строке (3.45) обеспечено формулой замены переменой [17; § 32, теорема 1], в переходе от (3.45) к (3.46) применено равенство (3.38), неравенство между (3.46) и (3.47) – результат применения неравенства Гёльдера с показателями p/q и q/\sigma, далее ко второму сомножителю в (3.47) применили формулу замены переменной (2.9) (см. предложение 5), и в последнем переходе применили выражение (3.2) для внешней операторной функции искажения (см. определение 3). Отсюда выводим ограниченность оператора (3.44) и оценку сверху для нормы оператора \varphi^* в соотношениях (3.8). Теорема 1 доказана. Замечание 5. Добавим к формулированному в теореме 1 следующие свойства, имеющие прямое отношение к вышедоказанному. 1) Среди семейства \mathcal{SF} ограниченных квазиаддитивных функций множества \Psi, определенных на системе открытых множеств \mathcal O(D') области D' и удовлетворяющих соотношению (3.7), есть наименьшая: достаточно положить
\begin{equation}
\mathcal O(D')\ni W\mapsto \underline\Psi(W)=\inf_{\Psi\in\mathcal{SF}}\Psi(W).
\end{equation}
\tag{3.49}
Покажем, что \underline\Psi – ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на системе \mathcal O(D'). Ограниченность очевидна из определения. Для доказательства квазиаддитивности рассмотрим конечный дизьюнктный набор множеств W_1,W_2, \dots, W_k\in \mathcal O(D') и множество W\in \mathcal O(D') такое, что \bigcup_{i=1}^kW_i\subset W. Далее выводим
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{k}\underline\Psi(W_i)=\sum_{i=1}^{k} \inf_{\Psi\in\mathcal{SF}}\Psi(W_i)\leqslant \inf_{\Psi\in\mathcal{SF}}\sum_{i=1}^{k} \Psi(W_i) \leqslant \inf_{\Psi\in\mathcal{SF}} \Psi(W)=\underline\Psi(W).
\end{equation*}
\notag
Для \underline\Psi легко можно проверить и другие свойства квазиаддитивной функции множества, сформулированные в определении 2. 2) Для функции множества \underline\Psi выполняются соотношения (3.7) при 1<q<p<\infty и неравенство
\begin{equation}
\underline\Psi(W)\leqslant \Phi(W)=\|\varphi_{W}^*\|^\sigma,
\end{equation}
\tag{3.50}
где функция множества \Phi определена в (3.27). Неравенство (3.50) очевидно, поскольку выше было отмечено, что функция множества \Phi удовлетворяет соотношению (3.7), и, следовательно, \Phi\in\mathcal{SF}. 3) Для функции множества \underline\Psi выполняются следующие соотношения:
\begin{equation}
\|\varphi_{W}^*\| \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(\varphi^{-1}(W))\| \leqslant 3n\, 2^{(n-q)/q}\underline\Psi(W)^{1/\sigma} \leqslant 3n\,2^{(n-q)/q}\|\varphi_{W}^*\|
\end{equation}
\tag{3.51}
при 1<q<p<\infty. Последнее неравенство в (3.51) – это следствие неравенства (3.50), а первые два можно получить из (3.8), если (3.8) применить к квазиаддитивной функции \underline\Psi вместо \Psi. Замечание 6. В связи с теоремой 1 возникает естественный вопрос: какой минимальный набор конденсаторов в неравенстве (3.7) обеспечит справедливость теоремы 1. Известно, см., например, [4], что в теории квазиконформных отображений (это соответствует случаю q=p=n, \omega\equiv1 теоремы 1) таковым набором может быть набор сферических конденсаторов в области D', т. е. конденсаторов, оболочки которых суть концентрические сферы. В работе [32; теорема 18] установлено, что для справедливости теоремы 1 достаточно проверить условие (3.7) только для таких конденсаторов в области D', оболочки которых суть концентрические кубы со сторонами, параллельными координатным осям, и доказана оценка, аналогичная правому неравенству соотношений (3.8). § 4. \mathcal Q_{q,p}-гомеоморфизмы, их функциональные свойства и аналитическое описание4.1. Определение класса \mathcal Q_{q,p}-гомеоморфизмов, примерыВведем в рассмотрение следующий специальный класс отображений. Определение 5. Скажем, что гомеоморфизм f \colon D'\to D, D, D'\subset \mathbb R^n, n\,{\geqslant}\,2, принадлежит классу \mathcal Q_{q,p}(D',\omega), где 1< q\leqslant p<\infty, а \omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D') – весовая функция, если существуют 1) постоянная K_p при q=p или 2) ограниченная квазиаддитивная функция \Psi_{q,p} при q<p, заданная на открытых множествах в D', такие, что для всякого конденсатора E=(F, U), расположенного в D', и образа f(E)=(f(F), f(U)), расположенного в D, выполняются неравенства:
\begin{equation}
\begin{cases} \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(f(E); L^1_p(D)\bigr) \leqslant K_p\operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr), &\text{если }q=p, \\ \operatorname{cap}^{1/q}\bigl(f(E); L^1_q(D)\bigr) \leqslant \Psi_{q,p}(U\setminus F)^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}\bigl(E; L^1_p(D';\omega)\bigr), &\text{если }q<p. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.1}
Результаты предыдущих пунктов позволяют получить полное аналитическое описание класса \mathcal Q_{q,p}(D), их эквивалентное описание и многие другие свойства. Соответствующие утверждения мы сформулируем и докажем ниже. Приведем несколько примеров отображений класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega). Пример 5. Отображения, обратные к гомеоморфизмам \varphi\colon D\to D', индуцирующим ограниченные операторы \varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D), 1< q \leqslant p<\infty, суть отображения класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega). Пример 6. Классу \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) принадлежат гомеоморфизмы f\colon D'\to D, открытых областей D, D'\subset \mathbb{R}^n, n\geqslant 2, обратные к которым \varphi=f^{-1}\colon D\to D' обладают следующими свойствами: 1) \varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D), n-1< q<\infty, 2) \varphi имеет конечное искажение: D\varphi(x)=0 п. в. на множестве Z=\{x\in D \mid J(x, \varphi)=0\}, 3) внешняя операторная функция искажения (см. (3.2))
\begin{equation*}
D\ni x \mapsto K^{1,\omega}_{q,p}(x,\varphi) = \begin{cases} \dfrac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi (x)}|^{1/p}\omega^{1/p}(\varphi(x))}, &\text{если } \det D\varphi (x)\neq 0, \\ 0, &\text{если }\det D\varphi (x) = 0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
принадлежит L_{\sigma}(D), где 1/\sigma=1/q-1/p, если n-1< q<p<\infty, и \sigma=\infty, если n-1<q=p<\infty. В работах [32], [43] дополнительно к примерам 5 и 6 приведены новые примеры классов отображений, входящих в семейство \mathcal Q_{q,p}(D',\omega;D). Пример 7 (см. [32; пример 24]). Пусть \varphi\colon D\to D' – гомеоморфизм класса Соболева W^1_{p,\mathrm{loc}}(D), 1<p<\infty при n\geqslant3 и 1\leqslant p<\infty при n=2, имеющий конечное искажение. Обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\colon D'\to D принадлежит классу \mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D) с постоянной K_p=1 и с весовой функцией Пример 8 (см. [32; пример 30]). Пусть n-1< s<\infty, а f \colon D' \to D – гомеоморфизм открытых областей D', D\subset \mathbb{R}^n, n\geqslant 2, такой, что 1) f\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D'); 2) отображение f имеет конечное искажение: Df(y)=0 п. вc. на множестве Z=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}; 3) внешняя операторная функция искажения
\begin{equation}
D'\ni y \mapsto K^{1,1}_{n-1,s}(y,f) = \begin{cases} \dfrac{|Df(y)|}{|{\det Df (y)}|^{1/s}}, &\text{если }\det Df (y)\neq 0, \\ 0, &\text{если }\det Df (y) = 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.3}
принадлежит L_{\sigma}(D), где \sigma=(n-1)p, p=s/(s-(n-1)). Тогда обратный гомеоморфизм \varphi=f^{-1}\colon D\to D' имеет свойства 4) \varphi\in W^1_{p, \operatorname{loc}}(D), p=s/(s-(n-1)); 5) \varphi имеет конечное искажение; a прямой гомеоморфизм f\colon D'\to D 6) принадлежит классу \mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D) с постоянной K_p=1 и с весовой функцией \omega\in L_{1,\mathrm{loc}}(D'), определяемой по формуле15:
\begin{equation}
\omega(y)= \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} Df(y)}|^{p}}{|{\det Df (y)}|^{p-1}}, &\text{если }y\in D'\setminus Z', \\ 1 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
где Z'=\{y\in D'\colon Df(y)=0\}. Пример 9 (см. [32; пример 32]). Пусть n-1< s<\infty, а f \colon D' \to D – гомеоморфизм открытых областей D', D\subset \mathbb{R}^n, n\geqslant 2, такой, что 1) f\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D'); 2) отображение f имеет конечное коискажение: \operatorname{adj} Df(y)=0 п. вc. на множестве Z=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}; 3) внутренняя операторная функция искажения
\begin{equation}
D'\ni y \mapsto \mathcal K^{1,1}_{n-1,s}(y,f) = \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} Df(y)}|}{|{\det Df (y)}|^{(n-1)/s}}, &\text{если }\det Df (y)\neq 0, \\ 0, &\text{если }\det Df (y) = 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.5}
принадлежит L_{p}(D'), где p=s/(s-(n-1)), n-1<s<\infty. Тогда обратный гомеоморфизм \varphi=f^{-1}\colon D\to D' имеет свойства 4) \varphi\in W^1_{p, \operatorname{loc}}(D), p=s/(s-(n-1)); 5) \varphi имеет конечное искажение; a прямой гомеоморфизм f\colon D'\to D 6) принадлежит классу \mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D) с постоянной K_p=1 и с весовой функцией (4.4); 7) имеет конечное искажение при n-1< s<n+1/(n-2). Пример 10 (см. [44; определение 11, теорема 34]). Гомеоморфизм f\colon D'\,{\to}\,D называется гомеоморфизмом с внутренним ограниченным \theta-весовым (s,r)-искажением (принадлежит классу \mathcal{ID}(D;s,r;\theta,1)), n-1\leqslant s\leqslant r<\infty, если: 1) f принадлежит классу W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D'); 2) отображение f имеет конечное коискажение; 3) функция локального \theta-весового (s,r)-искажения
\begin{equation}
D' \ni x\mapsto \mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(x,f)=\begin{cases} \dfrac{\theta^{(n-1)/s}(x)|{\operatorname{adj}} D f(x)|}{|J(x,f)|^{(n-1)/r}}, &\text{если } J(x,f)\ne0, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.6}
принадлежит классу L_{\varrho}(\Omega), где \varrho находится из условия 1/\varrho = (n-1)/s-(n-1)/r (\varrho= \infty при s=r). Введем следующее обозначение \mathcal K^{\theta,1}_{s,r}(f;D')=\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\varrho}(D')\|. Тогда при условии n-1< s\leqslant r<\infty и условии локальной суммируемости функции \omega(x)=\theta^{-(n-1)/(s-(n-1))}(x) гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит семейству где q=r/(r-(n-1)) и p=s/(s-(n-1)), 1<q\leqslant p<\infty. При этом множители в правой части определения (4.1) равны K_p=\|\mathcal K_{r,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\infty}(\Omega)\| при q=p, иПример 11 (см. [39; определение 3, теорема 19]). Гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит классу \mathcal{OD}(D';s,r;\theta,1), n-1< s\leqslant r<\infty, (называется отображением с внешним ограниченным \theta-весовым (s,r)-искажением), если 1) f принадлежит классу Соболева W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D'); 2) отображение f имеет конечное искажение: Df(x)=0 п. вс. на множестве Z=\{x\in D'\colon \det Df(x)=0\} нулей якобиана; 3) функция локального \theta-весового (s,r)-искажения
\begin{equation*}
D' \ni x\mapsto K_{s,r}^{\theta,1}(x,f)= \begin{cases} \dfrac{\theta^{1/s}(x)|D f(x)|}{|J(x,f)|^{1/r}}, &\text{если }J(x,f)\ne0, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
принадлежит классу L_{\varkappa}(D'), где \varkappa находится из условия 1/\varkappa = 1/s-1/r (\varkappa\,{=}\,\infty при s=r). Введем следующее обозначение K^{\theta,1}_{s,r}(f;D')= \| K_{s,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\varkappa}(D')\|. Тогда при условии n-1< s\leqslant r<\infty и условии локальной суммируемости функции \omega(x)=\theta^{-(n-1)/(s-(n-1))}(x) гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит семейству где q=r/(r-(n-1)) и p=s/(s-(n-1)), 1<q\leqslant p<\infty. При этом множители в правой части определения (4.1) равны K_p=\|\mathcal K_{r,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\infty}(D')\|^{n-1} при q\,{=}\,p, иВ работе [39; теорема 8] доказано, что имеет место включение
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(\Omega;s,r;\theta,1)\subset \mathcal{ID}(\Omega;s,r;\theta,1)
\end{equation*}
\notag
при условии n-1< s\leqslant r<\infty. Более того, для любого гомомеоморфизма f\colon D'\to D, принадлежащего классу \mathcal{OD}(D';s,r;\theta,1), n-1< s\leqslant r<\infty, имеем соотношение
\begin{equation*}
\|\mathcal K_{s,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_{\varrho}(D')\|\leqslant \|K_{s,r}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\varkappa(D')\|^{n-1},
\end{equation*}
\notag
где число \rho (\varkappa) определено в примере 10 (см. также пример 11). Еще два примера гомеоморфизмов класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) будут приведены в п. 4.3. Теорема 2. Гомеоморфизм f\colon D' \to D тогда и только тогда принадлежит классу \mathcal Q_{q,p}(D',\omega), 1<q\leqslant p<\infty, когда обратный гомеоморфизм \varphi=f^{-1}\colon D\to D' обладает одним из следующих свойств: 1) оператор композиции \varphi^*: {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D), 1< q \leqslant p<\infty, ограничен; 2) гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' принадлежит семейству
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \qquad 1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
Кроме того, a) для нормы \varphi^* оператора композиции справедлива оценки:
\begin{equation}
2^{-n/q}\biggl(\frac{3n}2\biggr)^{-1} \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\| \leqslant\|\varphi^*\|\leqslant\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|;
\end{equation}
\tag{4.7}
b) \varphi\in W^1_{q,\mathrm{loc}}(D) и для нормы \varphi справедлива оценка:
\begin{equation}
\biggl(\int_{\varphi^{-1}(T)} |D \varphi(x)|^q\,dx\biggl)^{1/q} \leqslant \begin{cases} \dfrac{3n}2M^{1/p}K_p \omega(T)^{1/p} &\textit{при }q=p, \\ \dfrac{3n}2M^{1/p}\beta_n^{1/\sigma}\Psi(D)^{1/\sigma} \omega(T)^{1/p} &\textit{при }q<p, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.8}
для любого борелевского множества T\in\mathcal B(D), D\Subset D, где величины M, \beta_n зависят только от размерности n, а
\begin{equation*}
\omega(T)=\int_T\omega(y)\,dy\quad \textit{- весовая мера множества }T;
\end{equation*}
\notag
здесь постоянная K_p и ограниченная квазиаддитивная функция \Psi – из определения 5. Доказательство. Нетрудно заметить, что условие f\in \mathcal Q_{q,p}(D',\omega), 1<q\leqslant p<\infty, для гомеоморфизма f\colon D' \to D эквивалентно выполнению условия (3.7) в теореме 1 для обратного гомеоморфизма \varphi=f^{-1}\colon D \to D'. Отсюда выводим, что для отображения \varphi\colon D \to D' выполнены и утверждения 1) и 2) теоремы 2, и утверждения леммы 6.
Так как приведенные рассуждения обратимы, теорема 2 доказана. Следствие 1. Если соотношение (4.1) выполняется для конденсаторов семейства, указанного в определении 5, то оно выполняется и для произвольных в области D' конденсаторов E=(F_1,F_0) – с постоянной 3n\,2^{(n-p)/p}K_p вместо K_p в случае q=p и – с коэффициентом 3n\, 2^{(n-q)/q}\Psi(D'\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma} вместо \Psi(U\setminus F)^{1/\sigma} при q<p. Доказательство. Действительно, если выполняется соотношение (4.1), то по теореме 2 оператор композиции \varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D), 1< q \leqslant p<\infty, ограничен, причем в силу (4.7) для его нормы справедлива оценка (3.8):
\begin{equation*}
\|\varphi^*\| \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,)\mid L_\sigma(D)\| \leqslant \begin{cases} 3n\, 2^{(n-p)/p}K_p &\text{при }q=p, \\ 3n\, 2^{(n-q)/q}\Psi(D')^{1/\sigma} &\text{при }q<p. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
С другой стороны, по теореме 1 для любого конденсатора E=(F_1,F_0) в D' имеем оценку искажения его емкости что и доказывает следствие. 4.2. Функциональные свойства гомеоморфизмов класса \mathcal{Q}_{q,p}Определим два новых семейства гомеоморфизмов. Определение 6. Пусть заданы области D,D'\subset\mathbb R^n, n\geqslant 2, и измеримые весовые функции16 \omega, \theta\colon D'\to (0,\infty). Следуя работе [39; определение 3], определим два класса весовых гомеоморфизмов. I. Класс \mathcal{ID}(D,D'; q,p; 1,\omega), n-1< q\leqslant p<\infty, гомеоморфизмов \varphi\colon D\to D' со свойствами; a) \varphi\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D); b) отображение \varphi имеет конечное коискажение17: \operatorname{adj} Df(x)=0 п. в. на множестве Z=\{x\in D \mid \det D\varphi(x)=0\}; c) внутренняя операторная функция искажения, определяемая в точке x\,{\in}\,D по правилу:
\begin{equation}
\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(x,\varphi) = \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega^{(n-1)/p}(\varphi(x))} &\text{при }x\in D\setminus Z, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.9}
принадлежит L_{\rho}(D), где 1/\rho=(n-1)/q-(n-1)/p, если n-1<q<p<\infty, и \rho=\infty, если q=p. II. Класс \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta,1), 1\leqslant q'\leqslant p'<\infty, гомеоморфизмов f \colon D' \to D со следующими свойствами: a) f\in W^1_{1, \operatorname{loc}}(D'); b) отображение f имеет конечное искажение: Df(y)=0 п. в. на множестве Z'=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}; c) внешняя операторная функция искажения, определяемая в точке y\in D' по правилу:
\begin{equation}
K^{\theta,1}_{q',p'}(y,f) = \begin{cases} \dfrac{\theta(y)^{1/q'} |Df(y)|}{|{\det Df (y)}|^{1/p'}}, &\text{если }|{\det Df (y)}|\neq 0, \\ 0, &\text{если }|{\det Df (y)}| = 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.10}
принадлежит L_{\rho}(D'), где 1/\rho=1/q'-1/p', если q'<p', и \rho=\infty, если q'=p'. Символ K^{1,1}_{q',p'}(y,f) применяется в тех случаях, когда \theta\equiv 1. Теорема 3. Гомеоморфизм f\colon D' \to D класса \mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega), n-1<q\leqslant p\,{<}\,\infty, обладает следующим свойством: f\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1), где \theta(y)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(y) – измеримая функция, q'=p/(p-(n-1)), p'=q/(q-(n-1)). Более того, справедливы соотношения
\begin{equation}
\|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\| = \|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D)\| \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^{n-1},
\end{equation}
\tag{4.11}
где 1/\sigma=1/q-1/p, \sigma=(n-1)\rho. Доказательство. Пусть дан гомеоморфизм f\colon D' \to D класса \mathcal{Q}_{q,p}(D',\omega), n-1\,{<}\,q\,{\leqslant}\, p\,{<}\,\infty. Тогда по теореме 2 обратный гомеоморфизм \varphi\,{=}\,f^{-1} \colon D\,{\to}\, D' принадлежит семейству
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \qquad n-1<q\leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
По определению 3 гомеоморфизм \varphi\in W^1_{q, \operatorname{loc}}(D) и \varphi имеет конечное искажение. В силу [27; теоремы 2, 3] (другое доказательство этого свойства см. в работах [32], [43]) гомеоморфизм f\colon D' \to D имеет следующие свойства:
1) f\in W^1_{1, \operatorname{loc}}(D'); 2) f имеет конечное искажение: Df(y)=0 п. в. на множестве Z'=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}. Следовательно, корректно определена функция искажения K^{\theta,1}_{q',p'}(y,f), y\,{\in}\, D' (см. (4.10)), где \theta(y)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(y) – измеримая функция, q'=p/(p-(n-1)), p'=q/(q-(n-1)). Докажем равенство (4.11). C учетом равенства \sigma=\rho(n-1), применяя предложение 5, имеем соотношения:
\begin{equation}
\|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|^\rho =\int_{D'\setminus{Z'\cup\Sigma'}} \biggl(\frac{\theta(y)^{1/q'}|Df(y)|}{|{\det Df(y)}|^{1/p'}} \biggr)^\rho\,dy
\end{equation}
\tag{4.12}
\begin{equation}
\ =\int_{D\setminus{(Z\cup\Sigma)}} \biggl(\frac{\omega^{-(n-1)/p}(\varphi(x))| Df(\varphi(x))|}{|{\det Df(\varphi(x))}|^{1/p'}} \biggr)^\varrho|{\det D\varphi(x)}|\,dx \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\ =\int_{D\setminus{(Z\cup\Sigma)}} \biggl(\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega^{(n-1)/p}(\varphi(x))} \biggr)^{\rho}\,dx
\end{equation}
\tag{4.13}
\begin{equation}
\ \leqslant\int_{D\setminus(Z\cup\Sigma)}\biggl(\frac{|D\varphi(x)|}{|{\det D\varphi(x)}|^{1/p}\omega^{1/p}(\varphi(x))} \biggr)^{\rho(n-1)}\,dx =\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^{\sigma}. \nonumber
\end{equation}
\notag
Соотношения (4.11) доказаны: строки (4.12) и (4.13) содержат равенство в (4.11) между двумя характеристиками искажения. Отсюда выводим утверждение теоремы 3. В следующей теореме мы покажем, что основное заключение теоремы 3 можно получить из других предпосылок. Теорема 4. Пусть гомеоморфизм \varphi \colon D\to D' обладает следующим свойством: \varphi\in\mathcal{ID}(D,D'; q,p; 1,\omega), где \omega\colon D'\to (0,\infty) – локально суммируемая функция, n-1<q\leqslant p<\infty. Тогда f=\varphi^{-1}\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1), где \theta(x)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(x) – измеримая функция, q'=p/(p-(n-1)), p'=q/(q-(n-1)). Более того, справедливо равенство
\begin{equation}
\|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\| = \|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D)\|,
\end{equation}
\tag{4.14}
где 1/\rho=1/q'-1/p', если q'<p', и \rho=\infty, если q'=p'. Доказательство. Пусть гомеоморфизм \varphi \colon D\to D' принадлежит классу \mathcal{ID}(D,D'; q,p; 1,\omega), где \omega\colon D'\to (0,\infty) – локально суммируемая функция, n-1<q\leqslant p<\infty. По определению 6, п. I, \varphi\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D) и отображение \varphi имеет конечное коискажение: \operatorname{adj} Df(x)=0 п. в. на множестве Z=\{x\in D \mid \det D\varphi(x)=0\}. Следовательно, корректно определена внутренняя операторная функция искажения \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(x,\varphi), x\in D (см. (4.9)).
В силу [27; теоремы 2, 3] гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит W^1_{1, \operatorname{loc}}(D') и имеет конечное искажение: Df(y)=0 п. в. на множестве Z'=\{y\in D' \mid \det Df(y)=0\}. Доказательство равенства (4.14) содержится в строках (4.12) и (4.13). Поскольку K^{\theta,1}_{q',p'}(\,{\cdot}\,,f)\in L_{\rho}(D'), то гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит классу \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1), где \theta(x)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(x) – измеримая функция, q'=p/(p-(n-1)), p'=q/(q-(n-1)), n-1<q\leqslant p<\infty. Теорема доказана. В следующей теореме мы приводим функциональные свойства отображения f\colon D' \to D класса \mathcal{Q}_{q,p}. Теорема 5. Пусть гомеоморфизм f\colon D' \to D принадлежит классу f\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1), где \theta(y)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(y) – измеримая функция, q'=p/(p-(n-1)), p'=q/(q-(n-1)), n-1<q\leqslant p<\infty. Тогда гомеоморфизм f индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор
\begin{equation*}
f^*\colon L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D) \to L^1_{q'}(D';\theta).
\end{equation*}
\notag
Более того, справедливы соотношения Напомним, что весовое пространство Соболева L^1_{q'}(D';\theta) состоит из локально суммируемых функций u\colon D'\to \mathbb R, имеющих обобщенные производные в смысле Соболева и конечную полунорму
\begin{equation*}
\|u\mid L^1_{q'}(D';\theta)\|= \biggl(\int_{D'}|\nabla u|^{q'}(y)\theta(y) \,dy\biggr)^{1/q'}.
\end{equation*}
\notag
Доказательство теоремы 5. Докажем, что для любой функции u\in L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D) справедливо неравенство
\begin{equation*}
\|f^*u\mid L_{q'}^1(D';\theta)\|\leqslant \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|\cdot \|u\mid L_{p'}^1(D)\|.
\end{equation*}
\notag
Так как u\circ f принадлежит классу \operatorname{ACL}(D'), производные находятся по правилу:
\begin{equation*}
\frac{\partial (u\circ f)}{\partial x_i}(x)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_j}(f(x))\, \frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x),
\end{equation*}
\notag
если f(x) – точка дифференцируемости отображения функции u, а x – точка существования частных производных отображения \varphi, и если x\in Z – точка существования частных производных отображения \varphi. Следовательно, u\circ f\in W^1_{1,\mathrm{loc}}(D'), поскольку u\in \operatorname{Lip}_l(D). В силу сказанного, имеем неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|{f}^*u\mid L_{q'}^1(D';\theta)\| \leqslant \biggl(\int_{D'\setminus Z'}(|\nabla u(f(y))||Df(y)|)^{q'}\theta(y)\,dy\biggr)^{1/q'} \\ &\qquad\leqslant \biggl(\int_{D'\setminus Z'}|\nabla u(f(y))|^{q'}|{\det Df(y)}|^{q'/p'}\cdot\theta(y)\frac{|Df(y)|^{q'}}{|{\det Df(y)}|^{q'/p'}} \,dy\biggr)^{1/q'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Применяя при q'<p' неравенство Гёльдера с показателями p'/q', \rho/q', а затем замену переменной (2.9) в первом множителе, выводим оценку
\begin{equation*}
\|{f}^*u\mid L_{q'}^1(D';\theta)\| \leqslant \biggl(\int_{D'}(K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f))^{\rho} \,dy\biggr)^{1/\rho} \biggl(\int_{D}|\nabla u(x)|^{p'} \,dx\biggr)^{1/p'}
\end{equation*}
\notag
(при q=p левый сомножитель равен \| K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\infty(D')\|). Таким образом, доказана оценка сверху для нормы \|f^*\| в строке (4.15).
Оценка снизу для нормы \|f^*\| в строке (4.15) доказана в [45; теорема 1] и (см. также [46; теорема 1]) и является частью формулируемого ниже утверждения. Предложение 8. Пусть весовая функция \theta\colon D'\to(0,\infty) измерима. Рассмотрим гомеоморфизм f \colon D'\to D, обладающий следующими свойствами: 1) гомеоморфизм f индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор f^*\colon L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D)\to L^1_{q'}(D';\theta), где n-1< q'\leqslant p'<\infty. Тогда 2) f\in W^1_{1,\operatorname{loc}}(D'); 3) f имеет конечное искажение:
\begin{equation*}
Df(y)=0\quad\textit{п. вс. на}\quad Z'=\{y\in D'\colon \det Df(y)=0\};
\end{equation*}
\notag
4) K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\in L_\rho(D'), где 1/\varrho = 1/q' -1/p', (\rho =\infty, если q'=p') и для нормы оператора f^* выполняются соотношения (4.15). 4.3. Внешние формы и отображения класса \mathcal{Q}_{q,p}Напомним, что дифференциальной формой \zeta степени n-1 на области D'\subset \mathbb R^n называется выражение
\begin{equation*}
D'\ni y\mapsto \zeta(y)=\sum_{k=1}^na_k(y)\,dy_1\wedge dy_2\wedge\dots\wedge\widehat{dy}_k \wedge\dots\wedge dy_n
\end{equation*}
\notag
(здесь коэффициенты формы \zeta измеримы). Форма \zeta принадлежит пространству \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1}), где \omega – весовая функция в области D', если конечна норма
\begin{equation*}
\|\zeta\mid \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1}) \|= \Biggl(\int_{D'}\Biggl(\sqrt{\sum_{k=1}^na^2_k(y)}\,\Biggr)^{p/(n-1)} \omega(y)\,dy\Biggr)^{(n-1)/p}.
\end{equation*}
\notag
Далее символом \mathcal C(D',\Lambda^{n-1}) мы обозначаем подпространство (n-1)-форм с непрерывными коэффициентами на D'. Пусть отображение \varphi \colon D\to D', D,D'\subset \mathbb R^n, принадлежит классу Соболева W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D). Переносом формы \zeta\in \mathcal C(D', \Lambda^{n-1}) с области D' на область D называется форма
\begin{equation*}
D'\ni x\mapsto\varphi^*\zeta(x) =\sum_{k=1}^na_k(\varphi(x))\,d\varphi_1(x)\wedge d\varphi_2(x)\wedge\dots\wedge\widehat{d\varphi}_k(x) \wedge\dots\wedge d\varphi_n(x),
\end{equation*}
\notag
где \varphi_1,\varphi_2,\dots,\varphi_n – координатные функции отображения \varphi\colon D\to D' класса W^1_{1,\operatorname{loc}}(D), а
\begin{equation*}
d\varphi_k(x)=\frac{\partial\varphi_k}{\partial x_1}(x)\,dx_1+\frac{\partial\varphi_k}{\partial x_2}(x)\,dx_2+\dots+\frac{\partial\varphi_k}{\partial x_n}(x)\,dx_n
\end{equation*}
\notag
– обобщенный первый дифференциал функции \varphi_k. Запишем форму \varphi^*\zeta(x) в виде
\begin{equation*}
\varphi^*\zeta(x)=\sum_{k=1}^nb_k(x)\,dx_1\wedge dx_2\wedge\dots\wedge\widehat{dx}_k \wedge\dots\wedge dx_n,
\end{equation*}
\notag
и будем говорить, что форма \varphi^*\zeta принадлежит пространству \mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}), если конечна норма
\begin{equation*}
\|\varphi^*\zeta\mid \mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1})\|= \Biggl(\int_D\Biggl(\sqrt{\sum_{k=1}^nb^2_k(x)}\,\Biggr)^{q/(n-1)}\,dx\Biggr)^{(n-1)/q}.
\end{equation*}
\notag
Дополнительно к примерам 5 и 6 приведем дополнительно два новых семейства гомеоморфизмов, принадлежащих классу \mathcal Q_{q,p}(D',\omega). Пример 12. Если гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D, D'\subset \mathbb{R}^n, n\geqslant 2, обладает свойствами: 1) \varphi\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D) и f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D'); 2) \varphi индуцирует ограниченный оператор переноса
\begin{equation}
\varphi^*\colon \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})\to\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}),
\end{equation}
\tag{4.16}
при n-1< q\leqslant p<\infty, внешних форм из весового пространства
\begin{equation*}
\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})
\end{equation*}
\notag
форм степени n-1 на области D' в пространство \mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}) форм степени n-1 на области D. При условиях: n-1< q\leqslant p<n+1/(n-2) и \overline\omega=\omega^{(n-1)^2/((n-1)^2-p(n-2))} обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\colon D'\to D принадлежит классу \mathcal Q_{s,r}(D',\overline\omega), где Пример 13. Если гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' областей D, D'\subset \mathbb{R}^n, n\geqslant 2, обладает свойствами: 1) \varphi\in W^1_{{n-1}, \operatorname{loc}}(D) и f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D'); 2) \varphi имеет конечное коискажение: \operatorname{adj} D\varphi(x)=0 п. в. на множестве Z=\{x\in D \mid J(x, \varphi)=0\}; 3) внутренняя операторная функция искажения (см. (4.9))
\begin{equation*}
\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(x,\varphi) = \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega^{(n-1)/p}(\varphi(x))} &\text{при }x\in D\setminus Z, \\ 0 &\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
принадлежит L_{\rho}(D), где 1/\rho=(n-1)/q-(n-1)/p, если n-1< q<p<\infty, и \sigma=\infty, если n-1<q=p<\infty. При условиях: n-1< q\leqslant p<n+1/(n-2) и \overline\omega=\omega^{(n-1)^2/((n-1)^2-p(n-2))} обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\colon D'\to D принадлежит классу \mathcal Q_{s,r}(D',\overline\omega), где В следующей серии утверждений в теореме 8 мы покажем, что отображения примеров 12 и 13 принадлежат классу \mathcal Q_{s,r}(D',\overline\omega). С помощью методов работы [47] мы докажем следующий результат. Теорема 6. Пусть гомеоморфизм \varphi \colon D\to D' принадлежит классу Соболева W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D). Оператор переноса
\begin{equation}
\varphi^*\colon \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})\to\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}),
\end{equation}
\tag{4.17}
n-1< q\leqslant p<\infty, из весового пространства
\begin{equation*}
\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})
\end{equation*}
\notag
форм степени n-1 на области D' в пространство \mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}) форм степени n-1 на области D ограничен тогда и только тогда, когда 1) \varphi имеет конечное коискажение: \operatorname{adj} D\varphi(x)=0 п. вс. на множестве Z нулей якобиана J(x, \varphi), и 2) \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\in L_\varrho(D), где 1/\varrho = (n-1)/q - (n-1)/p (\varrho=\infty, если p=q). Для нормы оператора переноса \varphi^* справедливы соотношения: Доказательство. Достаточность в теореме 6 устанавливается с помощью формулы замены переменной (2.8) (см. предложение 5).
Рассмотрим форму
\begin{equation*}
\zeta\in\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1}).
\end{equation*}
\notag
Заметим, что
\begin{equation*}
|\varphi^*\zeta(x)|\leqslant|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}| \cdot|\zeta(\varphi(x))|.
\end{equation*}
\notag
Тогда с помощью формулы (2.8) при p<\infty выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\varphi^*\zeta\mid \mathcal L_{q/(n-1)}(D,\Lambda^{n-1})\| \\ &\leqslant \biggl(\int_{D\setminus Z}\!\!|\zeta(\varphi(x))|^{q/(n-1)}\omega(\varphi(x))^{q/p}\,{\cdot}\, |J(x,\varphi)|^{q/p} \frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)|^{q/(n-1)}}}{|J(x,\varphi)|^{q/p}\omega(\varphi(x))^{q/p}}\,dx\biggr)^{(n-1)/q} \\ &= \biggl(\int_{D\setminus Z}|\zeta(\varphi(x))|^{p/(n-1)}\omega(\varphi(x))\cdot |J(x,\varphi)|\,dx\biggr)^{(n-1)/p} \\ &\qquad\times\biggl(\int_{D\setminus Z}\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|^{(q/(n-1))\cdot (p/(p-q))}}{|J(x,\varphi)|^{(q/p)\cdot (p/(p-q))}\omega(\varphi(x))^{q/(p-q)}} \,dy\biggr)^{((n-1)/q)\cdot((p-q)/p)} \\ &\leqslant \| \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\varrho(D)\| \cdot \|\zeta \mid \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где при q<p использовано неравенство Гёльдера. Отсюда
\begin{equation*}
\|\varphi^*\|\leqslant \| \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\varrho(D)\|,\quad \text{где} \quad \varrho=\frac{pq}{(n-1)(p-q)}.
\end{equation*}
\notag
Необходимость в теореме 6 при q< p доказывается с помощью следующего утверждения. В его формулировке мы используем подпространство \mathcal C_c(D',\Lambda^{n-1})\subset \mathcal C(D',\Lambda^{n-1}) (n-1)-форм с непрерывными коэффициентами и с компактными носителями в D'. Лемма 7. Пусть для аппроксимативно дифференцируемого отображения \varphi\colon D\to D' оператор переноса
\begin{equation*}
\varphi^*\colon \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C_c(D',\Lambda^{n-1})\to \mathcal L_{q/(n-1)}(D,\Lambda^{n-1}),
\end{equation*}
\notag
n-1\leqslant q < p<\infty, ограничен. Тогда функция множества
\begin{equation*}
\Phi(U')=\sup_{\zeta\in \mathcal C_c(U',\Lambda^{n-1})} \biggl( \frac{\|\varphi^*\zeta\mid \mathcal L_{q/(n-1)}(D,\Lambda^{n-1})\|}{\|\zeta\mid \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(U',\Lambda^{n-1})\|}\biggr)^\varrho,\quad \textit{где} \quad \varrho=\frac{pq}{(n-1)(p-q)},
\end{equation*}
\notag
будет ограниченной монотонной счетноаддитивной функцией множества, определенной на ограниченных открытых множествах U'\subset D'. Доказательство леммы 7 аналогично рассуждениям работ [47; лемма 7] (которое может быть упрощено аналогично доказательству леммы 2 настоящей работы) и здесь не приводится. Перейдем к доказательству необходимости в теореме 6. Обозначим символом \Sigma (Z) борелевское множество нулевой меры (борелевское множество \{x\in D\mid \det D\varphi(x)=0\}), Z\cap\Sigma=\varnothing, вне которого отображение \varphi обладает \mathcal N-свойством Лузина. С помощью формулы (2.8) выводим |\varphi(Z)|=0. Предположим, что множество
\begin{equation*}
A_m=\{x\in Z \cap B(0,m)\colon \operatorname{adj} D\varphi(x)\ne 0\}
\end{equation*}
\notag
имеет положительную меру. Фиксируем произвольное замкнутое подмножество A'_m\subset A_m. В окрестности произвольной точки z\in\varphi(A_m) рассмотрим (n-1)-формы вида
\begin{equation*}
\zeta_{k,l}=g_l(y)\,dy_1\wedge dy_2\wedge\dots\wedge\widehat{dy}_k \wedge\dots\wedge dy_n, \qquad k=1,2,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
где g_l, l\in\mathbb N, – последовательность непрерывных функций на D' такая, что
\begin{equation*}
g_l(y)= \begin{cases} 1, &\text{если }y\in \varphi(A'_m)\cap B(z,r), \\ 0, &\text{если }y\notin B(z,2r)\Subset D', \end{cases}
\end{equation*}
\notag
0\leqslant g_l\leqslant1 и g_l\to0 п. вс. на D' при l\to\infty. В случае q<p, с учетом ограниченности оператора (4.17), на формах \zeta_{k,l} получаем оценку
\begin{equation}
\|\varphi^*\zeta_{k,l}\mid\mathcal L_{q/(n-1)}(D,\Lambda^{n-1})\|\leqslant \Phi(B(z,2r))^{1/\varrho}\cdot\|\zeta_{k,l}\mid\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(B(z,2r), \Lambda^{n-1})\|.
\end{equation}
\tag{4.18}
Отсюда выводим, что \varphi^*\zeta_{k,l} стремится к нулю п. вс. на \varphi^{-1}(B(z,r))\cap A'_m при l\to\infty (в случае необходимости всегда можно перейти к некоторой подпоследовательности, для которой это свойство будет выполняться). Следовательно, с учетом произвола в выборе k=1,2,\dots,n, получаем, что \operatorname{adj} D\varphi(x)=0 п. вс. на множестве \varphi^{-1}(B(z,r))\cap A'_m. Так как выбор замкнутого подмножества A'_m\subset A_m произволен, заключаем, что \operatorname{adj} D\varphi(x)=0 п. вс. на множестве \varphi^{-1}(B(z,r))\cap A_m (здесь следует применить \mathcal N-свойство Лузина отображения \varphi на множестве Z). Так как выбор точки z\in \varphi(A_m) произволен, заключаем, что \operatorname{adj} D\varphi(x)=0 п. вс. на множестве Z \cap B(0,m). Произвол в выборе m\in\mathbb N позволяет распространить это свойство на Z. В случае q=p величину \Phi(B(z,2r))^{1/\varrho} в неравенстве (4.18) следует заменить на \| \mathcal K_{p,p}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\infty(B(z,2r))\|. Далее, рассмотрим точку x\in D\setminus(Z\cup \Sigma). В окрестности точки z=\varphi(x) рассмотрим (n-1)-формы вида \zeta_k=u(y)\,dy_1\wedge dy_2\wedge\dots\wedge\widehat{dy}_k \wedge\dots\wedge dy_n, где непрерывная функция u\colon D'\to \mathbb R определяется по правилу:
\begin{equation*}
u(y)= \begin{cases} 1, &\text{если }y\in B(z,r)\cap D', \\ 0, &\text{если }y\notin B(z,2r)\Subset D', \end{cases}
\end{equation*}
\notag
причем 0\leqslant u \leqslant1 для достаточно малых r>0. Подставляя в неравенство (4.17) формы \zeta_k при различных k и применяя (2.8), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|{\operatorname{adj} D\varphi\mid \mathcal L_{q/(n-1)}(\varphi^{-1}(B(z,r)))}\|^{q/(n-1)} \\ &\qquad= \int_{f^{-1}(B(z,r))\setminus Z}\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|^{q/(n-1)}} {|{\det D\varphi(x)}|}\cdot |{\det D\varphi(x)}|\,dx \\ &\qquad= \int_{B(z,r)}\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{q/(n-1)}} {|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|\omega(y)^{q/p}}\cdot\omega(y)^{q/p}\,dy \\ &\qquad\leqslant \Phi(B(z,2r))^{q/((n-1)\varrho)}\cdot \omega(B(z,2r))^{q/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из теоремы Лебега о дифференцировании интеграла и свойств производной аддитивной функции множества (см. предложение 3), определенной на открытых множествах, вытекает
\begin{equation*}
\biggl( \frac{(|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(z))}|} {|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(z))}|^{(n-1)/q}\omega(z)^{(n-1)/p}}\biggr)^\varrho \leqslant 2^{n(n-1)\varrho/q}\Phi'(z)
\end{equation*}
\notag
для п. вс. z\in D'\setminus(Z'\cup \Sigma'), где Z'=\varphi(\Sigma), \Sigma'=\varphi(Z). Отсюда с учетом для любого открытого множества U'\subset D' (см. предложение 3) вытекает оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\varrho(D)\| \nonumber \\ &= \biggl(\int_{D'\setminus(Z'\cup \Sigma')} \biggl(\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(z))}|}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(z))}|^{(n-1)/q}\omega(z)^{(n-1)/p}}\biggr)^\varrho\,dz\biggr)^{1/\varrho} \leqslant 2^{n(n-1)/q}\|\varphi^*\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.19}
Заменяя переменную z во внутреннем интеграле выражения (4.19) на z=\varphi(x), где \varphi\colon D\setminus(Z\cup \Sigma)\to D'\setminus(Z'\cup \Sigma'), приходим к оценке снизу для нормы \|\varphi^*\|, когда q<p. При q=p<\infty оценки лишь упрощаются. Действительно, в этом случае имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|{\operatorname{adj} D\varphi\mid \mathcal L_{p/(n-1)}(f^{-1}(B(z,r)))}\|^{p/(n-1)} \\ &\qquad= \int_{f^{-1}(B(z,r))\setminus Z}\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|^{p/(n-1)}} {|{\det D\varphi(x)}|}\cdot |{\det D\varphi(x)}|\,dx \\ &\qquad=\int_{B(z,r)}\biggl(\frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|} {|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{(n-1)/p}\omega(y)^{(n-1)/p}}\biggr)^{p/(n-1)}\omega(y)\,dy \\ &\qquad\leqslant \|\varphi^*\|^{p/(n-1)}\omega(B(z,2r)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из теоремы Лебега о дифференцировании интеграла вытекает
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| \mathcal K_{p,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\infty(D)\| =\operatorname{ess\,sup}_{x\in D\setminus (Z\cup\Sigma)} \frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega(\varphi(x))^{(n-1)/p}} \nonumber \\ &\ =\operatorname{ess\,sup}_{y\in D'\setminus (\Sigma'\cup Z')} \frac{|{\operatorname{adj} D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|}{|{\det D\varphi(\varphi^{-1}(y))}|^{(n-1)/p}\omega(y)^{(n-1)/p}} \leqslant 2^{n(n-1)/p}\|\varphi^*\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
Из неравенств (4.19) и (4.20) получаем утверждение теоремы 6. § 5. Применения5.1. Операторы композиции пространств Соболева и обратные к нимНа результатах предыдущих параграфов работы основывается доказательство следующего утверждения. Невесовой вариант этого утверждения доказан в работе [27; следствие 4], где, в частности, был устранен пробел первоначального доказательства работы [24; теорема 4] (см. замечание 8). Теорема 7. Пусть \omega\colon D'\to (0,\infty) – локально суммируемая функция. Если гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' индуцирует ограниченный оператор композиции
\begin{equation*}
\varphi^*\colon {L}^1_p(D';\omega) \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D),
\end{equation*}
\notag
n-1< q \leqslant p<\infty, то обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\colon D'\to D индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор
\begin{equation*}
f^*\colon L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D) \to L^1_{q'}(D';\theta),
\end{equation*}
\notag
где \theta(y)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(y) – измеримая функция, q'=p/(p-(n-1)), p'=q/(q-(n-1)). Более того, справедливо соотношение между нормами: Доказательство. Из условия сформулированного утверждения по теореме 1 выводим, что гомеоморфизм \varphi \colon D \to D' принадлежит семейству
\begin{equation*}
\mathcal{OD}(D,D'; q,p; 1,\omega), \qquad 1< q \leqslant p<\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и соотношения (4.11) имеем
\begin{equation*}
\|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D)\| \leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^{n-1},
\end{equation*}
\notag
где 1/\sigma=1/q-1/p, \rho=\sigma/(n-1). Следовательно, по определению 6 выводим \varphi\in\mathcal{ID}(D,D'; q,p; 1,\omega), где \omega\colon D'\to (0,\infty) – локально суммируемая функция, n-1<q\leqslant p<\infty. По теореме 4 гомеоморфизм f=\varphi^{-1}\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1), где \theta(x)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(x) – измеримая функция, q'=p/(p-(n-1)), p'=q/(q-(n-1)). Из теоремы 5 заключаем, что гомеоморфизм f индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор
\begin{equation*}
f^*\colon L^1_{p'}(D)\cap \operatorname{Lip}_l(D) \to L^1_{q'}(D';\theta).
\end{equation*}
\notag
Кроме того, применяя последовательно соотношения (4.15), (4.14), (4.11) и (3.8), получаем (5.1):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f^*\| &\leqslant \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|= \|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D)\| \\ &\leqslant \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\|^{n-1} \leqslant (3n\cdot2^{(n-q)/q})^{n-1} \|\varphi^*\|^{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теорема доказана. 5.2. Операторы переноса внешних дифференциальных форм и обратные к нимВ этом пункте мы оправдаем примеры 12 и 13 отображений классов \mathcal Q_{s,r}(D',\overline\omega). В силу примера 6 достаточно доказать, что \varphi\in\mathcal{OD}(D,D'; s,r;\overline\omega, 1) Теорема 8. Пусть D, D' – области в \mathbb R^n, а \omega\colon D'\to \mathbb R – локально суммируемая весовая функция. Пусть еще гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' обладает одним из двух свойств: I. 1) \varphi\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D) и f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D'); 2) \varphi индуцирует ограниченный оператор переноса
\begin{equation*}
\varphi^*\colon \mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})\to\mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}),
\end{equation*}
\notag
n-1< q\leqslant p<n+1/(n-2), внешних форм весового пространства
\begin{equation*}
\mathcal L_{p/(n-1),\omega}(D',\Lambda^{n-1})\cap \mathcal C(D',\Lambda^{n-1})
\end{equation*}
\notag
форм степени n-1 на области D' в пространство \mathcal L_{q/(n-1)}(D, \Lambda^{n-1}) форм степени n-1 на области D; или II. 1) \varphi\in W^1_{n-1, \operatorname{loc}}(D) и f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D'); 2) \varphi имеет конечное коискажение: \operatorname{adj} D\varphi(x)=0 п. в. на множестве Z=\{x\in D \mid J(x, \varphi)=0\}; 3) внутренняя операторная функция искажения (см. (4.9))
\begin{equation*}
\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(x,\varphi) = \begin{cases} \dfrac{|{\operatorname{adj} D\varphi(x)}|}{|{\det D\varphi(x)}|^{(n-1)/p}\omega^{(n-1)/p}(\varphi(x))} &\textit{при }x\in D\setminus Z, \\ 0 &\textit{иначе}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
принадлежит L_{\rho}(D), где 1/\rho=(n-1)/q-(n-1)/p, если n-1< q<p<n+1/(n-2), и \sigma=\infty, если n-1<q=p<n+1/(n-2). Тогда гомеоморфизм \varphi\colon D\to D' принадлежит \mathcal{OD}(D,D'; s,r;\overline\omega, 1), где \overline\omega=\omega^{(n-1)^2/((n-1)^2-p(n-2))}, а
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} s&=\frac{p'}{p'-(n-1)}=\frac{q}{(n-1)^2-q(n-2)}, &\qquad p'&=\frac{q}{q-(n-1)}, \\ r&=\frac{q'}{q'-(n-1)}=\frac{p}{(n-1)^2-p(n-2)}, &\qquad q'&=\frac{p}{p-(n-1)}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Более того,
\begin{equation*}
\|\varphi^*\|\leqslant \|K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_{\varkappa}(D)\| \leqslant \|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D)\|^{n-1},
\end{equation*}
\notag
где 1/\varkappa=1/s-1/r=\rho/(n-1). Доказательство. В силу теоремы 6 группы условий I и II теоремы эквивалентны. Применяя [27; теоремы 2, 3], выводим, что обратный гомеоморфизм f=\varphi^{-1} имеет конечное искажение. Из условий II по теореме 4 имеем, что f=\varphi^{-1}\in \mathcal{OD}(D',D; q',p'; \theta, 1), где \theta(x)=\omega^{-(n-1)/(p-(n-1))}(x) – измеримая функция,
\begin{equation*}
q'=\frac{p}{p-(n-1)},\qquad p'=\frac{q}{q-(n-1)},\quad n-1<q' \leqslant p'<\infty.
\end{equation*}
\notag
Более того, справедливо равенство (4.14):
\begin{equation}
\|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\| = \|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D)\|,
\end{equation}
\tag{5.2}
где 1/\rho=1/q'-1/p', если q'<p', и \rho=\infty, если q'=p'.
Так как f=\varphi^{-1}\in W^1_{n-1,\operatorname{loc}}(D') и имеет конечное искажение, то в силу [27; теоремы 2, 3] выводим, что исходный гомеоморфизм \varphi имеет конечное искажение. Далее, мы используем лемму 9 работы [45], в соответствии с которой обратный к f гомеоморфизм \varphi=f^{-1}\colon D\to D' индуцирует по правилу замены переменных ограниченный оператор
\begin{equation}
\varphi^*\colon L^1_{r}(D',\overline\omega)\cap \operatorname{Lip}_l(D') \to L^1_{s}(D),
\end{equation}
\tag{5.3}
где
\begin{equation*}
s=\frac{p'}{p'-(n-1)},\qquad r=\frac{q'}{q'-(n-1)},\quad 1<s \leqslant r<\infty.
\end{equation*}
\notag
Более того,
\begin{equation}
\|\varphi^*\|\leqslant \|K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_{\varkappa}(D)\|\leqslant \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|^{n-1}.
\end{equation}
\tag{5.4}
Для доказательства (5.3) требуется проверить, что K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,f^{-1})\in L_{\varkappa}(D), где 1/\varkappa = 1/s-1/r=(n-1)/\rho. Применяя формулу замены переменной (2.8), а также учитывая соотношения
\begin{equation*}
Df^{-1}(x)= \frac{\operatorname{adj} Df(f^{-1}(x))}{|{\det Df(f^{-1}(x))}|},\qquad |{\operatorname{adj} Df}|(x)\leqslant |Df|^{n-1}(x)
\end{equation*}
\notag
и \varkappa(n-1)=\rho, выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,f^{-1})\mid L_{\varkappa}(D)\|^{\varkappa} = \int_{D\setminus(\Sigma\cup Z)}\biggl(\frac{|Df^{-1}(x)|}{|{\det Df^{-1}(x)}|^{1/r}\overline\omega^{1/r}(f^{-1}(x))}\biggr)^{\varkappa} \,dx \\ &\qquad\leqslant \int_{D' \setminus (Z'\cup\Sigma')}\biggl(\frac{|Df(y)|^{n-1}}{|{\det Df(y)}|^{1-1/r}\overline\omega^{1/r}(y)}\biggr)^{\varkappa}|{\det Df(y)}|\,dy \\ &\qquad =\int_{D'\setminus(Z'\cup\Sigma')}\biggl(\frac{|Df(y)|\overline\omega^{-1/(r(n-1))}(y)}{|{\det Df(y)}|^{(r-1)/(r(n-1))}}\biggr)^{\varkappa(n-1)}|{\det Df(y)}|\,dx \\ &\qquad =\int_{D'\setminus(Z'\cup\Sigma')}\biggl(\frac{\theta^{1/q}(y)|Df(y)|}{|{\det Df(y)}|^{1/p'}}\biggr)^{\rho}\,dx= \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|^{n-1}<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для окончания доказательства остается лишь получить оценку для нормы оператора \varphi^*. Из (5.4) и (5.2) выводим18
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\varphi^*\| &\leqslant \|K_{s,r}^{1,\overline\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_{\varkappa}(D)\| \leqslant \|K_{q',p'}^{\theta,1}(\,{\cdot}\,,f)\mid L_\rho(D')\|^{n-1} \\ &= \|\mathcal K_{q,p}^{1,\omega}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\rho(D) \|^{n-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем утверждение теоремы. 5.3. Невесовой случай: \omega\equiv1В работах [24]–[27] сформулировано и доказано формулируемое ниже обобщение результатов работ [11; теорема 8.7] и [12]–[14] (см. предложение 2). Очевидно эквивалентность условий 1)–3) предложения 9 может быть получена из теоремы 1 при условии \omega\equiv1. Предложение 9. Следующие условия эквивалентны: 1) оператор композиции \varphi^*\colon {L}^1_p(D') \cap \operatorname{Lip}_l(D')\to L^1_q(D), 1\leqslant q \leqslant p<\infty, ограничен; 2) имеют место свойства:
При 1< q \leqslant p<\infty каждое из утверждений 1) и 2) эквивалентно 3) для любого конденсатора E=(F_1, F_0) в D' и его прообраза \varphi^{-1}(E)=(\varphi^{-1}(F_1),\varphi^{-1}(F_0)) в области D выполняется неравенство (1.7) при 1<q=p<\infty, и неравенство
\begin{equation*}
\operatorname{cap}^{1/q}(\varphi^{-1}(E)); L^1_q(D)) \leqslant \Psi(U\setminus (F_1\cup F_0))^{1/\sigma} \operatorname{cap}^{1/p}(E; L^1_p(D'))
\end{equation*}
\notag
при 1<q<p<\infty, где \Psi – некоторая ограниченная квазиаддитивная функция множества, определенная на открытых подмножествах области D'. Кроме того, распространение по непрерывности оператора (1.5) на пространство L^1_p(D') совпадает с оператором композиции в следующем смысле: L^1_p(D')\ni u\mapsto \varphi^*u=u\circ\varphi, где u – непрерывный представитель u\in L^1_p(D') при p\in(n, \infty), и \varphi^*u=u\circ\varphi, где u – произвольный представитель u\in L^1_p(D') при p\in[1, n]. Замечание 8. В статье [24] результаты работ [11]–[14] обобщены на случай 1\leqslant q<p<\infty. Новый момент в этой задаче возникает в связи с тем, что норма ограничения оператора композиции \varphi^*\colon L^1_p(D') \to L^1_q(D), 1\leqslant q< p<\infty, на подпространство19 L^1_p(B(y,r))\cap\mathring{\mathrm{Lip}}_l(B(y,r)) может быть сколь угодно малой при r, близких к нулю. Специфика этого случая была разрешена посредством подходящей интерпретации нормы оператора композиции как квазиаддитивной функции множества, возможности применения которой к задачам геометрической теории функций были продемонстрированы ранее в работе [48]. Некоторые неточности работы [24] устранены в работах [25]–[27] и в настоящей статье. 5.4. Модули семейств кривых и гомеоморфизмы класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega)Пусть D' – область в \mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2, и пусть \omega\colon D' \to (0, \infty) – весовая функция класса L_{1,\mathrm{loc}}. Пусть еще \Gamma – произвольное семейство (непрерывных) кривых или путей \gamma\colon [a,b]\to D'. Напомним, что для данного семейства кривых \Gamma в D' и действительного числа p\geqslant 1 (весовой) p-модуль семейства \Gamma определяется как величина
\begin{equation*}
\biggl( \operatorname{mod}_{p}(\Gamma)=\inf_\rho \int_{D'} \rho^{p}\omega(x)\, dx\biggr)\quad \operatorname{mod}_{p}(\Gamma)=\inf_\rho \int_{D'} \rho^{p}\, dx,
\end{equation*}
\notag
где инфимум берется по всем неотрицательным борелевским функциям \rho\colon D' \to [0, \infty], удовлетворяющим условию для всех (локально) cпрямляемых кривых \gamma \in \Gamma. Напомним, что интеграл в (5.5) для спрямляемой кривой \gamma\colon [a,b]\to D' определяется как величина где l(\gamma) – длина кривой \gamma\colon [a,b]\to D', а \widetilde{\gamma}\colon [0,l(\gamma)]\to D' – ее натуральная параметризация, т. е. единственное непрерывное отображение, удовлетворяющее условию \gamma=\widetilde{\gamma}\circ S_{\gamma}, где S_{\gamma}\colon [a,b]\to[0,l(\gamma)] – функция длины, определяемая в точке t\in [a,b] условием S_{\gamma}(t)=l(\gamma|_{[a,t]})]. Если \gamma – только локально спрямляемая кривая, то полагаем где супремум берется по всем спрямляемым подкривым \gamma'\colon [a', b'] \to D' кривой \gamma, [a', b']\subset(a,b), \gamma'= \gamma_{[a', b']}. Функции \rho, удовлетворяющие условию (5.5), называются допустимыми функциями или метриками для семейства \Gamma. В работе [49] доказано следующее утверждение о модульном описании отображений классов \mathcal Q_{q,p}(D',\omega). Теорема 9 (см. [49; теорема 3]). Пусть заданы гомеоморфизм f\colon D'\to D областей D',D\subset \mathbb R^n, n\geqslant2, и весовая локально суммируемая функция \omega\colon D'\to (0,\infty). 1) Предположим, что гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит семейству \mathcal Q_{q,p}(D',\omega), n-1< q \leqslant p<\infty. Тогда для любого семейства \Gamma путей в D' выполняются неравенства
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.6}
с величиной K_{q,p}=\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D')\|. Кроме того, выполняются также и неравенства
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}(E)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q=p<\infty, \\ K_{q,p}(E)(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.7}
для семейства \Gamma всех кривых20 в конденсаторе E=(F,U), где K_{q,p}(E)=\|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(f(U\setminus F))\|, K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi) – функция искажения (3.2), а 1/\sigma=1/q-1/p, если n-1< q<p<\infty, и \sigma=\infty, если q=p. 2) Предположим, что для гомеоморфизма f\colon D'\to D соотношения
\begin{equation}
(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}\leqslant \begin{cases} K_{p,p}\bigl(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)}\bigr) (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q=p<\infty, \\ \Psi_{q,p}\bigl(Q(x,R)\setminus\overline{Q(x,r)}\bigr)^{1/\sigma} (\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}, &n-1<q<p<\infty, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.8}
с постоянной K_p при 1< q=p<\infty, и ограниченной квазиаддитивной функцией \Psi_{q,p} при 1< q<p<\infty, выполняются для всех кубических конденсаторов (\overline{Q(x,r)},Q(x,R)), r\in (0,R), в D', оболочки которых суть концентрические кубы, и для семейства \Gamma всех кривых \gamma\colon [a,b]\to D' в конденсаторе E=((\overline{Q(x,r)},Q(x,R))) таких, что \gamma(a)\in\overline{Q(x,r)}, \gamma(b)\in\partial{Q(x,R)}. Тогда 1) гомеоморфизм f\colon D'\to D принадлежит классу \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) , n-1< q \leqslant p<\infty, 2) для гомеоморфизма f\colon D'\to D выполняются соотношения (5.6). Наименьшая постоянная K_{q,p} из (5.6) оценивается сверху через величину \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D))\| из (3.2) посредством множителей, зависящих лишь от q, p и n. Кроме того, величины21
\begin{equation}
\sup_\Gamma\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}}{(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}} \quad\textit{и}\quad \sup_E\frac{(\operatorname{mod}_q(f\Gamma))^{1/q}}{(\operatorname{mod}^\omega_p(\Gamma))^{1/p}},
\end{equation}
\tag{5.9}
соответствующие различным выборам семейств кривых в (5.6) и конденсаторам E=(F,U) в (5.7) оцениваются сверху величиной \|K^{1,\omega}_{q,p}(\,{\cdot}\,,\varphi)\mid L_\sigma(D)\| из (3.2) посредством множителей, зависящих лишь от q, p и n. Теорема доказана. Теоремы 9 и 2 позволяют сделать следующий неожиданный вывод. Следствие 2 (см. [46]). Гомеоморфизмы f\colon D'\to D семейства \mathcal Q_{q,p}(D',\omega), n-1< q \leqslant p<\infty, имеют эквивалентные описания на емкостном (4.1) и модульном (5.6) языках. Следовательно, при определении класса гомеоморфизмов \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) ни модуль, ни емкость не имеют никакого преимущества друг перед другом: независимо от выбора геометрической характеристики мы получаем один и тот же класс отображений. Замечание 9. Легко видеть, что в случае q=p=n (n-1<q= p<n) класс гомеоморфизмов \mathcal Q_{n,n}(D',\omega;D) (\mathcal Q_{p,p}(D',\omega;D)) содержит класс так называемых Q-гомеоморфизмов ((p, Q)-гомеоморфизмов)22 [29] (см. также [50]), определяемых посредством контролируемого изменения модуля семейств кривых. Мы покажем, что, на самом деле, класс \mathcal Q_{n,n}(D',\omega) совпадает с семейством Q-гомеоморфизмов (см. [29; § 4.1]). Пусть D', D – области в \mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2, и пусть Q\colon D' \to [1, \infty) – функция класса L_{1,\mathrm{loc}}. Напомним, что гомеоморфизм f\colon D' \to D называется (см. [29; § 4.1]) Q-гомеоморфизмом, если
\begin{equation}
\operatorname{mod}_n(f \Gamma) \leqslant \int_{D'} Q(x) \cdot \rho^{n}(x)\,dx
\end{equation}
\tag{5.10}
для каждого семейства \Gamma путей в D' и любой допустимой функции \rho для \Gamma. В силу теоремы 9 гомеоморфизмы, удовлетворяющие условию (5.10), совпадают с гомеоморфизмами f\colon D'\to D класса \mathcal Q_{n,n}(D',\omega) при \omega=Q. Некоторые свойства гомеоморфизмов класса \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) изучались в работах [48] (при n-1<q<p=n, значении \Psi_{q,n}(U) вместо \Psi_{q,n}(U\setminus F) и \omega\equiv1), [29], [51]–[55] (все при q=p=n, \omega=Q), [56], [57] (при 1<q=p<n, \omega=Q), и мн. др. Во всех перечисленных работах кроме [48] искажение геометрии конденсаторов формулируется на языке модулей семейства кривых, что в ряде случаев является по содержательным возможностям более ограничительной характеристикой по сравнению с емкостью. 5.5. Применения к теории Q-гомеоморфизмовРезультаты настоящей статьи можно применить к любой работе, в которой исследуются свойства Q-гомеоморфизмов. Мы ограничимся здесь лишь иллюстрацией того, что аналитическое описание Q-гомеоморфизмов в некоторых случаях позволяет получать результаты, глубоко отражающие суть рассматриваемого вопроса. Будем говорить, что семейство \mathfrak{P} = \{\varphi\colon D\to D'\} отображений локально равностепенно непрерывно, если для любого \varepsilon>0 и любого компакта K\subset D, существует \delta>0 такое, что для любого \varphi\in \mathfrak{P} и для всех x,y\in K, |x-y|<\delta, следует, что |\varphi(x)-\varphi(y)|<\varepsilon. Предложение 10. Пусть фиксированы области D\subset\mathbb{R}^{n} и D'\Subset\mathbb{R}^{n}, параметры n\leqslant q\leqslant p<\infty, весовая функция \omega\in L_{1}(D'), а также постоянная K_p при n\leqslant q=p или ограниченная квазиаддитивная функция \Psi при n\leqslant q<p, определенная на открытых множествах в D'. Семейство гомеоморфизмов \varphi\colon D\to D', обратные f=\varphi^{-1}\colon D'\to D к которым принадлежат классу \mathcal Q_{q,p}(D',\omega) (см. определение 5), относительно компактно в равномерной топологии. Доказательство. По теореме 2 отображение \varphi\colon D\to D', для которого f=\varphi^{-1}\in \mathcal Q_{q,p}(D',\omega), принадлежит классу Соболева W^1_{q,\mathrm{loc}}(D), причем в силу (4.8) при T=\varphi(B), где B\Subset D – произвольный шар, имеем
Таким образом, все отображения данного семейства принадлежат W^1_{q}(B) и имеют равномерно ограниченную в W^1_{q}(B) норму. Существуют постоянные C_{\delta}, \gamma_{\delta}, r_{\delta}, зависящие только от \delta, такие, что
\begin{equation}
|\varphi(x)-\varphi(y)|\leqslant \begin{cases} C_{\delta} \|D \varphi \mid L_n(B)\|\cdot\ln^{-1/n}\dfrac{\gamma_{\delta}}{|x-y|} &\text{при }q=n, \\ C_{\delta} \|D \varphi\mid L_q(B)\|\cdot |x-y|^{1-n/q} &\text{при }n<q, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.11}
как только |x-y|<\delta, x,y\in B. Второе неравенство вытекает из известного неравенства Морри [37; разд. 4.5.3] при q>n, а первое – хорошо известное в квазиконформном анализе неравенство для монотонных функций класса W^1_{n} (см., например, [58; предложение 4]).
Следовательно, отображения данного семейства ограничены в совокупности, имеют общий модуль непрерывности, и поэтому семейство равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на B. По теореме Асколи–Арцела данное семейство относительно компактно на шаре B. Предложение 10 доказано. Отметим, что результат работы [55] можно получить из предложения 10 при частных значениях параметров: q=p=n, и для компактно вложенной области D\Subset \mathbb R^n.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VodTom21}
Эта публикация цитируется в следующих 9 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|