М. О. Корпусов, А. А. Панин, А. Е. Шишков, “О критическом показателе “мгновенное разрушение” versus “локальная разрешимость” в задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 118–153; Izv. Math., 85:1 (2021), 111

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

$\begin{equation} -\Delta u=|x|^{-2}u^2,\quad u\geqslant 0,\qquad x\in\Omega\setminus\{0\}\subset\mathbb{R}^N, \end{equation} \tag{1.1}$

$\begin{equation} u_t-\Delta u=|x|^{-2}u^2,\quad u\geqslant 0,\qquad x\in\Omega\setminus\{0\}\subset\mathbb{R}^N,\quad t>0, \end{equation} \tag{1.2}$

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}(u_{xx}+u)={u}_{xx},\qquad u(x,0)=u_0(x),\quad u(0,t)=u(l,t),\quad l>0. \end{equation} \tag{1.3}$

$\begin{equation*} \frac{\partial}{\partial t}(\Delta u+\lambda u)+\Delta u=0\quad\text{при}\quad\lambda>0,\quad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^N, \end{equation*} \notag$

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1, \end{equation} \tag{1.4}$

$\begin{equation*} \Delta_3=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2},\qquad \Delta_2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}, \end{equation*} \notag$

$\begin{equation} \sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1,\qquad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, \end{equation} \tag{1.5}$

$\begin{equation*} -\frac{\partial u}{\partial t} \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3 u \end{equation*} \notag$

$\begin{equation} -\frac{\partial u}{\partial t}+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1,\qquad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, \end{equation} \tag{1.6}$

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}(\Delta_3u-u)+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1, \end{equation} \tag{1.7}$

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|u|^q, \qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1. \end{equation} \tag{1.8}$

$\begin{equation} \sigma_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\ -\sigma_{xy} & \sigma_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{zz} \end{pmatrix},\qquad \sigma_{xx}=\sigma_{yy}>0,\quad\sigma_{zz}>0,\quad\sigma_{xy}>0, \end{equation} \tag{2.1}$

$\begin{equation} \operatorname{div}\mathbf{D}=4\pi e n,\qquad \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, \qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=\mathbf{0}, \end{equation} \tag{2.2}$

$\begin{equation} \mathbf{E}=-\nabla\phi,\qquad \Delta_3\phi=-\frac{4\pi e}{\varepsilon}n. \end{equation} \tag{2.3}$

$\begin{equation} \frac{\partial n}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{J}=0,\qquad {\mathbf{J}}_i=\sum_{j=1}^3\sigma_{ij}\mathbf{E}_j-\gamma\, \frac{\partial T}{\partial x_i},\quad\gamma>0, \end{equation} \tag{2.4}$

$\begin{equation} \epsilon\, \frac{\partial T}{\partial t}=\Delta_3 T+Q(|\mathbf{E}|), \end{equation} \tag{2.5}$

$\begin{equation} \Delta_3 T+Q(|\mathbf{E}|)=0. \end{equation} \tag{2.6}$

$\begin{equation} Q(|\mathbf{E}|)=q_0|\mathbf{E}|^q,\qquad q_0>0,\quad q>1. \end{equation} \tag{2.7}$

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3\phi+\frac{4\pi e\sigma_{xx}}{\varepsilon}\Delta_2\phi+ \frac{4\pi e\sigma_{zz}}{\varepsilon}\phi_{zz}=\frac{4\pi e\gamma q_0}{\varepsilon}|\nabla \phi|^q, \end{equation} \tag{2.8}$

$\begin{equation*} \Delta_3\stackrel{\mathrm{def}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2},\qquad \Delta_2\stackrel{\mathrm{def}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}. \end{equation*} \notag$

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+ \sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q, \qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1. \end{equation} \tag{2.9}$

$\begin{equation} \| v\|_{W_1}:=\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation} \tag{3.1}$

$\begin{equation} \| v(t_1)-v(t_0)\|_{W_1}\to+0\quad\text{для любых}\quad t_0,t_1\in[0,T]\quad\text{при}\quad t_1\to t_0. \end{equation} \tag{3.2}$

$\begin{equation*} \| v\|_{T}=\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} \mathbb{C}([0,T];W_2) \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} \| u\|_{1,T}=\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j}\biggr|, \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} \| u\|_{W_2}:=\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)\biggl|\frac{\partial u(x)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} |u(x)|\leqslant\frac{A}{(1+|x|^2)^{\alpha/2}},\qquad\alpha>0, \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} O(x,R):=\{y\in\mathbb{R}^3\colon |y-x|<R\}. \end{equation*} \notag$

$\begin{equation} \mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t)\stackrel{\mathrm{def}}=\Delta_3\,\frac{\partial u}{\partial t}+ \sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{x_3x_3}=|\nabla u|^q,\qquad q>1,\quad \sigma_1,\sigma_2>0, \end{equation} \tag{4.1}$

$\begin{equation} u(x,0)=u_0(x). \end{equation} \tag{4.2}$

Определение 1. Функция $u(x,t)\in L^{q}(0,T;W^{1,q}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3))$ , удовлетворяющая равенству

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\bigl[(\nabla u(x,t),\nabla\phi'(x,t)) -\sigma_1u_{x_1}(x,t)\phi_{x_1}(x,t) \nonumber \\ &\qquad-\sigma_1u_{x_2}(x,t)\phi_{x_2}(x,t)-\sigma_2u_{x_3}(x,t)\phi_{x_3}(x,t)\bigr]\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad+\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla\phi(x,0))\,dx =\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx\,dt \end{aligned} \end{equation} \tag{4.3}$

для любой функции

$\phi(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty,1}_{x,t}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$ , называется локальным слабым решением задачи Коши (4.1) и (4.2), где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \phi(x,T)\,{=}\,0\quad\text{для всех}\quad x\in\mathbb{R}^3,\qquad\operatorname{supp}_x\phi(x,t)\subset O(0,R)\quad\text{для всех}\quad t\in[0,T], \\ R=R(\phi)>0,\qquad u_0(x)\in W_{\mathrm{loc}}^{1,q}(\mathbb{R}^3). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Определение 2. Функция $u_0(x)\in U$ , если $u_0(x)\in W^{1,q}(\mathbb{R}^3)$ и найдутся такие $x_0\in\mathbb{R}^3$ и $R_0>0$ , что $u_0(x)\in H^2(O(x_0,R_0))$ и

$\begin{equation*} \mu\{x\in O(x_0,R_0)\colon \Delta_3 u_0(x)\ne 0\}>0, \end{equation*} \notag$

где

$\mu$ – это стандартная мера Лебега в

$\mathbb{R}^3$ .

Теорема 1. Если $u_0(x)\in U$ и $q\in(1,3/2]$ , то не существует локального слабого решения задачи Коши ни для какого $T>0$ , т. е. имеет место мгновенное разрушение локального слабого решения задачи Коши.

Доказательство. Доказательство этого утверждения основано на применении метода нелинейной емкости С. И. Похожаева и Э. Митидиери [4] и специальном выборе пробной функции

$\phi(x,t)$ в равенстве (4.3), фигурирующем в определении 1. Именно, возьмем

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \phi(x,t)=\phi_T(t)\phi_R(x),\qquad\phi_T(t)=\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda}, \quad\lambda>q', \\ \phi_R(x)=\phi_0\biggl(\frac{|x|^2}{R^2}\biggr),\quad \phi_0(s)=\begin{cases} 1,&\text{если }s\in[0,1/2], \\ 0,&\text{если }s\geqslant 1, \end{cases} \quad\phi_0(s)\in\mathbb{C}^{\infty}_0[0,+\infty), \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где

$\phi_0(s)$ – это монотонно убывающая функция. Справедливы следующие оценки, основанные на применении неравенства Гёльдера с соответствующими показателями:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'(x,t))\,dx\,dt\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{\lambda}{T}\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda-1} |\nabla u(x,t)||\nabla\phi_R(x)|\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad= \frac{\lambda}{T}\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{{\lambda}/{q}} |\nabla u(x,t)|\phi^{1/q}_R(x) \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{{\lambda}/{q'}-1} \frac{|\nabla\phi_R(x)|}{\phi^{1/q}_R(x)}\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{\lambda}{T}c_1(R,T)I^{1/q}_R, \end{aligned} \end{equation} \tag{4.4}$

где

$\begin{equation} I_R:=\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\phi_T(t)\phi_R(x)|\nabla u|^q\,dx\,dt, \end{equation} \tag{4.5}$

$\begin{equation} \begin{split} c_1(R,T) &:=\biggl(\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda-q'} \frac{|\nabla\phi_R(x)|^{q'}}{\phi^{q'/q}_R(x)}\,dx\,dt\biggr)^{1/q'} \\ &=\biggl(\frac{T}{\lambda-q'+1}\biggr)^{1/q'}c_2 R^{(3-q')/q'},\qquad c_3>0, \end{split} \end{equation} \tag{4.6}$

$\begin{equation} \biggl|\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}u_{x_j}(x,t)\phi_{x_j}(x,t)\,dx\,dt\biggr|\leqslant \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)||\nabla\phi(x,t)|\,dx\,dt\leqslant I_R^{1/q}c_3(R,T), \end{equation} \tag{4.7}$

где

$\begin{equation} c_3(R,T):=\biggl(\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda} \frac{|\nabla\phi_R(x)|^{q'}}{\phi^{q'/q}_R(x)}\,dx\,dt\biggr)^{1/q'}= \biggl(\frac{T}{\lambda+1}\biggr)^{1/q'}c_2 R^{(3-q')/q'}, \end{equation} \tag{4.8}$

$\begin{equation} \begin{split} &\biggl|\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla\phi(x,0))\,dx\biggr|\leqslant \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_0(x)|\, |\nabla\phi_R(x)|\,dx \\ &\qquad\leqslant \||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}\biggl(\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla \phi_R(x)|^{q'}\,dx\biggr)^{1/q'}=\||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}. \end{split} \end{equation} \tag{4.9}$

Теперь применим оценки (4.4)–(4.9) к равенству (4.3) и получим следующее неравенство:

$\begin{equation} \frac{\lambda}{T}c_1(R,T)I^{1/q}_R+(2\sigma_1+\sigma_2)c_3(R,T)I_R^{1/q}+ \||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}\geqslant I_R. \end{equation} \tag{4.10}$

Применяя неравенства Гёльдера с параметром

$\varepsilon=1/4$

$\begin{equation*} ab\leqslant\frac{1}{4}a^2+b^2, \end{equation*} \notag$

из (4.10) получаем неравенство

$\begin{equation} 2\frac{\lambda^2}{T^2}c^2_1(R,T)+2(2\sigma_1+\sigma_2)^2c^2_3(R,T)+ 2\||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}\geqslant I_R. \end{equation} \tag{4.11}$

Положим теперь

$R=N\in\mathbb{N}$ и рассмотрим последовательность функций

$\begin{equation} H_N(x,t):=|\nabla u(x,t)|^q\phi_N(x)\phi_T(t),\qquad H_{N+1}(x,t)\geqslant H_N(x,t), \end{equation} \tag{4.12}$

для почти всех

$(x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]$ . Далее требуем выполнения неравенства

$\begin{equation} 3-q'\leqslant 0\quad\Longrightarrow\quad 1<q\leqslant\frac{3}{2}. \end{equation} \tag{4.13}$

Тогда из (4.6)–(4.9) вытекает, что правая часть неравенства (4.11) ограничена некоторой константой

$K>0$ и тогда

$\begin{equation} \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}H_N(x,t)\,dx\,dt\leqslant K<+\infty. \end{equation} \tag{4.14}$

И поэтому в силу теоремы Беппо Леви приходим к выводу о том, что

$\begin{equation} \lim_{N\to+\infty}\int_0^T \int_{\mathbb{R}^3}H_N(x,t)\,dx\,dt=\int_0^T \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\,dx\,dt\leqslant K<+\infty. \end{equation} \tag{4.15}$

Рассмотрим отдельно случаи

$1<q<3/2$ и

$q=3/2$ . В случае

$1<q<3/2$ с помощью формулы (4.11) и оценок (4.6)–(4.9) приходим к выводу о том, что

$\begin{equation} I_N:=\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\phi_T(t)\phi_N(x)|\nabla u|^q\,dx\,dt\to+0\quad\text{при}\quad N\to+\infty. \end{equation} \tag{4.16}$

Случай

$q=3/2$ является критическим и рассматривается как все критические случаи из работы [4].

Таким образом, при $q\in(1,3/2]$ приходим к следующему равенству:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda}\,dx\,dt=0 \\ &\qquad\Longrightarrow\quad u(x,t)=F(t)\quad\text{для почти всех}\quad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

После подстановки полученного равенства

$u(x,t)=F(t)$ в равенство (4.3) мы получим следующее равенство:

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla\phi(x,0))\,dx=0 \end{equation*} \notag$

для всех функций

$\phi(x,t)$ , удовлетворяющих условиям определения 1. Поэтому для произвольных функций

$\phi(x,t)$ вида

$\begin{equation*} \phi(x,t)=\phi_1(x)\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr),\qquad \phi_1(x)\in\mathbb{C}_0^{\infty}(\mathbb{R}^3),\quad \operatorname{supp}\phi_1(x)\subset O(x_0,R_0), \end{equation*} \notag$

в классе

$u_0(x)\in U$ после интегрирования по частям получим следующее равенство:

$\begin{equation*} \int_{O(x_0,R_0)}\Delta u_0(x)\phi_1(x)\,dx=0\quad\text{для всех}\quad \phi_1(x)\in\mathbb{C}^{\infty}_0(O(x_0,R_0)). \end{equation*} \notag$

В силу основной леммы вариационного исчисления приходим к выводу о том, что

$\begin{equation*} \Delta u_0(x)=0\quad\text{для почти всех}\quad x\in O(x_0,R_0), \end{equation*} \notag$

что противоречит определению класса

$U\ni u_0(x)$ . Теорема 1 доказана.

$\begin{equation} u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t)\Delta_3u_0(y)\,dy+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)|\nabla u|^q\,dy\,d\tau, \end{equation} \tag{5.1}$

$\begin{equation} \mathscr{E}(x,t)=-\frac{\theta(t)}{4\pi|x|} \exp\biggl(-\frac{\sigma_1+\beta(x)}{2}t\biggr) I_0\biggl(\frac{\sigma_1-\beta(x)}{2}t\biggr) \end{equation} \tag{5.2}$

$\begin{equation} \mathfrak{M}_{x,t}[w](x,t):=\Delta_{3x}\, \frac{\partial w}{\partial t}+\sigma_1\Delta_{2x}w(x,t) +\sigma_{2}w_{x_3x_3}, \end{equation} \tag{5.3}$

$\begin{equation*} \beta(x)=\frac{\sigma_2(x_1^2+x_2^2)+\sigma_1 x_3^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2},\qquad \sigma_j\geqslant 0,\quad j=1,2. \end{equation*} \notag$

Лемма 1. Справедливы следующие свойства:

при $x\ne 0$

$\begin{equation} \mathscr{E}(x,0)=-\frac{1}{4\pi|x|}; \end{equation} \tag{5.4}$

$\mathscr{E}(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty}((\mathbb{R}^3\setminus\{0\})\times[0,+\infty))$ ;

при $x\in\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ и $t\in[0,T]$ справедливы оценки

$\begin{equation} \biggl|\frac{\partial^k\mathscr{E}(x,t)}{\partial t^k}\biggr|\leqslant\frac{A_1(T)}{|x|},\qquad \biggl|\frac{\partial^{k+1}\mathscr{E}(x,t)}{\partial t^k\, \partial x_j}\biggr|\leqslant\frac{A_2(T)}{|x|^2},\quad j=1,2,3, \end{equation} \tag{5.5}$

$\begin{equation} \biggl|\frac{\partial^{k+2}\mathscr{E}(x,t)}{\partial t^k\, \partial x_j\, \partial x_l}\biggr|\leqslant\frac{A_3(T)}{|x|^3},\qquad j,l=1,2,3,\quad k\in\mathbb{N}, \end{equation} \tag{5.6}$

где постоянные

$0<A_n(T)<+\infty$ при

$n=1,2,3$ .

Доказательство основано на свойствах функции Инфельда

$I_0(x)$ и явного вида (5.2) функции

$\mathscr{E}(x,t)$ .

$\begin{equation} v(x,t)=(1+|x|^2)^{1/2}u(x,t) \end{equation} \tag{5.7}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, |\nabla u|^q &=\biggl|\nabla \frac{v(x,t)}{(1+|x|^2)^{1/2}}\biggr|^q= \biggl|\frac{1}{(1+|x|^2)^{1/2}}\nabla v-\frac{x}{(1+|x|^2)^{3/2}}v(x,t)\biggr|^q \nonumber \\ &=\frac{1}{(1+|x|^2)^{q}}\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v\biggr|^q \end{aligned} \end{equation} \tag{5.8}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &v(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,t)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy \nonumber \\ &\quad+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,t-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.9}$

$\begin{equation} G_{\gamma}(x,y,t):=\frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\mathscr{E}(x-y,t), \qquad\gamma>0. \end{equation} \tag{5.10}$

$\begin{equation} \| v\|_T:=\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t)| +\sum_{j=1}^3\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation} \tag{5.11}$

Теорема 2. Пусть $q>3/2$ . Для любой функции $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$ , удовлетворяющей условию

$\begin{equation} |\Delta_3u_0(x)|\leqslant\frac{A_4}{(1+|x|^2)^{\alpha}},\qquad\alpha>\frac32, \end{equation} \tag{5.12}$

найдется такое

$T_0=T_0(u_0)>0$ , что для любого

$T\in(0,T_0)$ существует единственное решение интегрального уравнения (5.9) класса

$\begin{equation} v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1), \end{equation} \tag{5.13}$

причем либо

$T_0=+\infty$ , либо

$T_0<+\infty$ и в последнем случае имеет место предельное свойство

$\begin{equation} \lim_{T\uparrow T_0}\| v\|_T=+\infty. \end{equation} \tag{5.14}$

Доказательство. Справедлива следующая вспомогательная лемма о свойствах функции

$G_{\gamma}(x,y,t)$ , определенной равенством (5.10).

Лемма 2. Пусть $\gamma>3/2$ , тогда при $t\in[0,T]$ справедливы оценки

$\begin{equation} \sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial^kG_{\gamma}(x,y,t)}{\partial t^k}\biggr|\,dy \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \ \leqslant A_1(T)\sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}|x-y|}\,dy\leqslant B_1(T)<+\infty, \end{equation} \tag{5.15}$

$\begin{equation} \sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial^{k+1} G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j\, \partial t^k}\biggr|\,dy \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \ \leqslant A_1(T)\sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}|x-y|}\,dy \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \ \ +A_2(T)\sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{1\,{+}\,|x|^2}{(1\,{+}\,|y|^2)^{\gamma}|x-y|^2}\,dy\,{\leqslant}\, B_2(T)\,{<}\,+\infty,\qquad j\,{=}\,1,2,3, \end{equation} \tag{5.16}$

при

$k=0,1,2$ .

Доказательство. Заметим, что при

$x\ne y$ и

$t\geqslant 0$ справедливо равенство

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{\partial^{k+1} G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j\partial t^k} &=\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}\,\frac{1}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\, \frac{\partial^k\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial t^k} \\ &\qquad+\frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\, \frac{\partial^{k+1}\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial x_j\, \partial t^k},\qquad j=1,2,3. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Воспользуемся оценками (5.5) для фундаментального решения

$\mathscr{E}(x,t)$ .

Шаг 1. Оценка интеграла (5.15). Переходя к сферической системе координат получим следующее выражение:

$\begin{equation*} I:=\int_{\mathbb{R}^3}dy\,\frac{1}{|y|(1+|x-y|^2)^{\gamma}} =2\pi\int_0^{+\infty}dr\, \int_0^{\pi}d\theta\,\frac{r\sin\theta}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta)^{\gamma}}. \end{equation*} \notag$

Интегрируя по переменной

$\theta\in(0,\pi)$ , получим равенство

$\begin{equation*} I=\frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|}\int_0^{+\infty}dr\, \biggl[\frac{1}{(1+(r-|x|)^2)^{\gamma-1}}-\frac{1}{(1+(r+|x|)^2)^{\gamma-1}}\biggr]=: \frac{1}{|x|}(I_1+I_2). \end{equation*} \notag$

Пусть $|x|>1$ . Тогда при $\gamma>3/2$ справедливы оценки

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, I_1&=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+(r-|x|)^2)^{\gamma-1}}=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_{-|x|}^{+\infty}dz\,\frac{1}{(1+z^2)^{\gamma-1}}<+\infty, \\ I_2&=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+(r+|x|)^2)^{\gamma-1}}\leqslant \frac{2\pi}{\gamma-1}\int_0^{+\infty}dr\, \frac{1}{(1+r^2)^{\gamma-1}}<+\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пусть $|x|\leqslant 1$ . Тогда с помощью замен переменных выражение для $I$ приводим к виду

$\begin{equation*} I=\frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|} \int_{-|x|}^{|x|}dz\,\frac{1}{(1+z^2)^{\gamma-1}} \leqslant \frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|}2|x|\leqslant \frac{4\pi}{\gamma-1}. \end{equation*} \notag$

Шаг 2. Оценка интеграла (5.16). Фактически осталось оценить следующий интеграл:

$\begin{equation*} I=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|x-y|^2}\frac{1}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy \quad\text{при}\quad \gamma>\frac{3}{2}. \end{equation*} \notag$

Сначала рассмотрим случай

$|x|>1$ . Перейдем к сферической системе координат с осью

$Oz$ , совпадающей с осью

$Ox$ . Тогда справедливо следующее равенство:

$\begin{equation} I=2\pi\int_0^{+\infty}dr\int_0^{\pi}d\theta\, \frac{r^2\sin\theta}{(1+r^2)^{\gamma}}\, \frac{1}{|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta}. \end{equation} \tag{5.17}$

Пусть

$\begin{equation*} a=|x|^2+r^2,\qquad b=2|x|r. \end{equation*} \notag$

Отдельно посчитаем

$\begin{equation*} \int_0^{\pi}d\theta\, \frac{\sin\theta}{a-b\cos\theta}= -\frac{1}{b}\ln\biggl(\frac{a-b}{a+b}\biggr)= -\frac{1}{2|x|r}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2. \end{equation*} \notag$

Поэтому

$\begin{equation*} I=-\frac{\pi}{|x|}\int_0^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr. \end{equation*} \notag$

Пусть

$\varepsilon\in(0,1)$ . Тогда

$\begin{equation} I=I_1+I_2+I_3, \end{equation} \tag{5.18}$

где

$\begin{equation} I_1 =-\frac{\pi}{|x|}\int_0^{\varepsilon|x|} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr, \end{equation} \tag{5.19}$

$\begin{equation} I_2 =-\frac{\pi}{|x|}\int_{\varepsilon|x|}^{|x|/\varepsilon} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr, \end{equation} \tag{5.20}$

$\begin{equation} I_3 =-\frac{\pi}{|x|}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr. \end{equation} \tag{5.21}$

Рассмотрим сначала интеграл

$I_1$ . В силу формулы Лагранжа имеют место равенства

$\begin{equation*} \ln(1-t)=-\frac{1}{1-t_{1\varepsilon}}t,\quad \ln(1+t)=\frac{1}{1+t_{2\varepsilon}}t,\qquad t, t_{1\varepsilon},t_{2\varepsilon}\in(0,\varepsilon). \end{equation*} \notag$

Поэтому справедлива следующая оценка:

$\begin{equation} \biggl|{\ln\biggl(1-\frac{r}{|x|}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{r}{|x|}\biggr)}\biggr|\leqslant c_1(\varepsilon)\frac{r}{|x|},\qquad r\in[0,\varepsilon|x|]. \end{equation} \tag{5.22}$

Поэтому справедлива следующая цепочка выражений:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, |I_1|&\leqslant\frac{2\pi}{|x|}\int_0^{\varepsilon|x|} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(1-\frac{r}{|x|}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{r}{|x|}\biggr)}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\leqslant \frac{2\pi c_1(\varepsilon)}{|x|^2}\int_0^{+\infty}\frac{r^2}{(1+r^2)^{\gamma}}\,dr\leqslant \frac{A_5(\varepsilon)}{|x|^2}\quad\text{при}\quad \gamma>\frac32. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.23}$

Рассмотрим интеграл

$I_2$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} \, |I_2|&\leqslant \frac{\pi}{|x|}\int_{\varepsilon|x|}^{|x|/\varepsilon} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\biggl|{\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\!\!\!\!\stackrel{r=t|x|}{=}\frac{\pi}{|x|}|x|^2\int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}\frac{t}{(1+t^2|x|^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(\frac{1-t}{1+t}\biggr)^2}\biggr|\,dt \nonumber \\ &\leqslant \frac{\pi}{|x|^{2\gamma-1}} \int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}\frac{1}{t^{2\gamma-1}} \biggl|{\ln\biggl(\frac{1-t}{1+t}\biggr)^2}\biggr|\,dt \leqslant\frac{A_6(\varepsilon)}{|x|^{2\gamma-1}},\qquad \gamma>\frac32. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.24}$

Наконец, рассмотрим интеграл

$I_3$ . В силу формулы Лагранжа имеет место цепочка выражений

$\begin{equation} \begin{aligned} \, |I_3|&\leqslant\frac{2\pi}{|x|}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(1-\frac{|x|}{r}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{|x|}{r}\biggr)}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\leqslant c_1(\varepsilon){2\pi}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{(1+r^2)^{\gamma}}\,dr\leqslant c_1(\varepsilon){2\pi}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{r^{2\gamma}}\,dr \nonumber \\ &= c_1(\varepsilon){2\pi}\frac{1}{2\gamma-1}\biggl(\frac{\varepsilon}{|x|}\biggr)^{2\gamma-1}= \frac{A_7(\varepsilon)}{|x|^{2\gamma-1}},\qquad \gamma>\frac32. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.25}$

Итак, мы приходим к выводу о том, что найдется такая постоянная

$A>0$ , что при

$|x|>1$ имеет место оценка

$\begin{equation} |I|\leqslant\frac{A_8}{|x|^2}\quad\text{при}\quad \gamma>\frac32. \end{equation} \tag{5.26}$

Теперь мы рассмотрим случай

$|x|\leqslant 1$ . Для удобства мы перепишем исходный интеграл в следующем эквивалентном виде:

$\begin{equation} I=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|y|^2}\, \frac{1}{(1+|x-y|^2)^{\gamma}}\,dy. \end{equation} \tag{5.27}$

Снова переходя к сферической системе координат и учитывая оценки

$|\sin\theta|\,{\leqslant}\,1$ ,

$\cos\theta\leqslant1$ , получим неравенства

$\begin{equation} \begin{aligned} \, I&=2\pi\int_0^{+\infty}dr\,\int_{0}^{\pi}d\theta\, \frac{\sin\theta}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta)^{\gamma}} \nonumber \\ &\leqslant 2\pi^2\int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r)^{\gamma}} =2\pi^2\int_0^{+\infty}dr\frac{1}{(1+(|x|-r)^2)^{\gamma}} \nonumber \\ &=2\pi^2\int^{+\infty}_{-|x|}\frac{dt}{(1+t^2)^{\gamma}}\leqslant 2\pi^2\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)^{\gamma}}:=A_9<+\infty. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.28}$

И мы приходим к оценке

$\begin{equation} |I|\leqslant\frac{A_{10}}{1+|x|^2}\quad\text{для всех}\quad x\in\mathbb{R}^3. \end{equation} \tag{5.29}$

Лемма 2 доказана.

Теперь введем в рассмотрение следующие потенциалы:

$\begin{equation} U_0(x,t) :=U_0[\rho_0](x):=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy, \end{equation} \tag{5.30}$

$\begin{equation} U_1(x,t) :=U_1[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{equation} \tag{5.31}$

Потенциалы

$U_0(x,t)$ и

$U_1(x,t)$ обладают свойствами, которые мы собрали в следующей лемме.

Лемма 3. Для любых $\rho_0(x)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)$ и $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ потенциалы $U_0(x,t), U_1(x,t) \in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ при $\gamma>3/2$ .

Доказательство. Шаг 1. Докажем, что

$\begin{equation} U_0(x,t),U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)). \end{equation} \tag{5.32}$

Прежде всего заметим, что для каждого

$t\in[0,T]$ потенциалы

$U_0(x,t), U_1(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^1)$ . Ниже мы докажем даже более сильный результат, заключающийся в том, что для каждого

$t\in[0,T]$ потенциалы

$U_0(x,t), U_1(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^1)$ .

В силу оценки (5.15) имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, |U_0(x,t_2)-U_0(x,t_1)| &\leqslant \int_{\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)| |G_{\gamma}(x,y,t_2)-G_{\gamma}(x,y,t_1)|\, dy \nonumber \\ &= \int_{\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|\biggl|\int_{t_2}^{t_1}\frac{\partial}{\partial s}G_{\gamma}(x,y,s)\,ds\biggr|\,dy \nonumber \\ &\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, s\in[t_1,t_2]} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.33}$

Таким образом, для любых

$t_1,t_2\in[0,T]$ выполнена оценка

$\begin{equation} \sup_{x\in\mathbb{R}^3}|U_0(x,t_2)-U_0(x,t_1)|\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|. \end{equation} \tag{5.34}$

Кроме того, в силу оценки (5.15) справедливо следующее выражение:

$\begin{equation} \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|U_0(x,t)|\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|. \end{equation} \tag{5.35}$

Следовательно,

$U_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ .

Теперь докажем, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ . Действительно, для любых $t_1,t_2\in[0,T]$ справедлива следующая цепочка неравенств:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &|U_1(x,t_2)-U_1(x,t_1)| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \biggl|\int_0^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau\,{-} \int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}|G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}|G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)-G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)| |\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad=: I_{11}(x,t_2,t_1)+I_{12}(x,t_2,t_1). \end{aligned} \end{equation} \tag{5.36}$

Для интеграла

$I_{12}$ в силу оценки (5.15) справедлива следующая оценка, аналогичная оценке (5.33):

$\begin{equation} \begin{aligned} \, I_{12} &\leqslant\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s}\biggr|\,ds\,|\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant B_1(T)T|t_2-t_1|\sup_{\tau\in[0,T],\,y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.37}$

а для

$I_{11}$ в силу оценки (5.15) справедливо неравенство

$\begin{equation} I_{11}\leqslant B_1(T)|t_2-t_1|\sup_{\tau\in[0,T],\, y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|. \end{equation} \tag{5.38}$

Кроме того, справедлива оценка

$\begin{equation} |U_1(x,t)|\leqslant TB_1(T)\sup_{\tau\in[0,T],\, y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|. \end{equation} \tag{5.39}$

Из оценок (5.36)–(5.39) вытекает, что

$U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ .

Шаг 2. Докажем теперь, что $U_0(x,t), U_1(x,t) \in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ . Сначала рассмотрим потенциал $U_0(x,t)$ :

$\begin{equation} U_0(x,t)=U_{01}(x,t)+U_{02}(x,t), \end{equation} \tag{5.40}$

где

$U_{01}$ и

$U_{02}$ имеют вид

$\begin{equation} U_{01}(x,t) =\int_{O(x_{00},R)}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} =(1+|x|^2)^{1/2}\int_{O(x_{00},R)}\mathscr{E}(x-y,t)\frac{\rho_0(y)}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy, \end{equation} \tag{5.41}$

$\begin{equation} U_{02}(x,t) =\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} =(1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)} \mathscr{E}(x-y,t)\frac{\rho_0(y)}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy. \end{equation} \tag{5.42}$

В силу (5.5) при

$x\ne y$ и

$t\in[0,T]$ справедливы оценки

$\begin{equation} |\mathscr{E}(x-y,t)|\leqslant\frac{A_1(T)}{|x-y|},\qquad \biggl|\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant\frac{A_2(T)}{|x-y|^2}. \end{equation} \tag{5.43}$

Заметим, что результат леммы 4.1 работы [27] получен не на основании явного вида фундаментального решения оператора Лапласа, а с помощью оценок вида (5.43) для фундаментального решения оператора Лапласа. Действуя аналогично, устанавливаем, что для каждого

$t\in[0,T]$ функция

$U_{01}(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ , причем справедливо равенство

$\begin{equation} \frac{\partial U_{01}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{O(x_{00},R)}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy. \end{equation} \tag{5.44}$

Поскольку у подынтегральной функции в выражении

$U_{02}(x,t)$ нет особенности и так как

$q>3/2$ , мы также приходим к выводу о том, что для каждого

$t\in[0,T]$ функция

$U_{02}(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо равенство

$\begin{equation} \frac{\partial U_{02}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy. \end{equation} \tag{5.45}$

Итак, из равенств (5.44) и (5.45) вытекает, что для каждого

$t\in[0,T]$ функция

$U_0(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо равенство

$\begin{equation} \frac{\partial U_{0}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy. \end{equation} \tag{5.46}$

В силу оценки (5.16) справедлива следующая цепочка неравенств:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_0(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial U_0(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_1)}{\partial x_j}\biggr||\rho_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{t_1}^{t_2} \biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s\, \partial x_j}\biggr|\,ds\, |\rho_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant |t_2-t_1|\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)| \sup_{s\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s\, \partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_2(T)|t_2-t_1|\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.47}$

Кроме того, справедлива оценка

$\begin{equation} (1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_0(x,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant B_2(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|. \end{equation} \tag{5.48}$

Из оценок (5.47), (5.48) с учетом оценок (5.34), (5.35) получаем, что

$\begin{equation} U_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1). \end{equation} \tag{5.49}$

Теперь наша задача состоит в том, чтобы доказать, что

$U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ . Таким же образом, в силу оценок (5.43) приходим к выводу о том, что для каждого

$t\in[0,T]$ функция

$U_1(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо следующее равенство (ср. с равенством (5.46)):

$\begin{equation} \frac{\partial U_1(x,t)}{\partial x_j}=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{equation} \tag{5.50}$

Для любых

$t_1,t_2\in[0,T]$ в силу оценки (5.16) справедливы оценки

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_1(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial U_1(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant(1+|x|^2)^{1/2}\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}-\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ (1+|x|^2)^{1/2}\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3} \int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial x_j\, \partial s}\biggr|\,ds\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ (1+|x|^2)^{1/2}\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant T\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, s\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial x_j\, \partial s}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\ \quad+ \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]} (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,\tau)}{\partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\ \leqslant [TB_2(T)+B_2(T)]\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.51}$

Кроме того, справедливы оценки

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_1(x,t)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant T\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,\tau)}{\partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant TB_2(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.52}$

Таким образом, с учетом оценок (5.36)–(5.39) и оценок (5.51), (5.52) приходим к выводу о том, что

$U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ . Лемма 3 доказана.

Наша задача заключается в том, чтобы исследовать интегральное уравнение (5.9) в весовом банаховом пространстве $\mathbb{C}([0,T];W_1)$ , определенном в § 3, относительно нормы (5.11).

Для доказательства существования решения интегрального уравнения (5.9) выберем замкнутое, ограниченное и выпуклое подмножество $D_{R,T}$ банахова пространства $\mathbb{C}([0,T];W_1)$ следующего вида:

$\begin{equation} D_{R,T}:=\{v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)\colon \| v\|_T\leqslant R\}. \end{equation} \tag{5.53}$

Перепишем интегральное уравнение (5.9) в виде

$\begin{equation} v(x,t)=H(v)(x,t), \end{equation} \tag{5.54}$

где

$\begin{equation} H(v)(x,t)=h_{\alpha}(x,t)+H_1(v)(x,t), \end{equation} \tag{5.55}$

$\begin{equation} h_{\alpha}(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,t)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy, \end{equation} \tag{5.56}$

$\begin{equation} \begin{split} H_1(v)(x,t)&=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,t-\tau) \\ &\qquad\qquad\times\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau) -\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v(y,\tau)\biggr|^q\,dy\,d\tau. \end{split} \end{equation} \tag{5.57}$

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 4. Пусть $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$ и выполнена оценка (5.12). Тогда оператор $H(\,{\cdot}\,)$ , определенный формулой (5.55), при $q>3/2$ действует

$\begin{equation} H(\,{\cdot}\,)\colon \mathbb{C}([0,T];W_1)\to \mathbb{C}([0,T];W_1). \end{equation} \tag{5.58}$

Доказательство. Шаг 1. Прежде всего докажем, что явно заданная функция

$h_{\alpha}(x,t)$ , определенная формулой (5.56), принадлежит классу функций

$\begin{equation*} \mathbb{C}([0,T];W_1)\quad\text{для любого}\quad T>0. \end{equation*} \notag$

С этой целью заметим, что при условии (5.12) на функцию

$u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$

$\begin{equation*} \rho_0(y)=(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3) \end{equation*} \notag$

и поэтому в силу результата леммы 3 относительно потенциала

$\begin{equation*} U_0[\rho_0](x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1). \end{equation*} \notag$

Шаг 2. Рассмотрим следующую функцию:

$\begin{equation} \rho(x,t)=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v(x,t)-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v(x,t)\biggr|^q, \end{equation} \tag{5.59}$

где функция

$v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ . Прежде всего заметим, что для каждого

$t\in[0,T]$ функция

$\rho(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^3)$ .

Заметим, что, с одной стороны,

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|\rho(x,t)|&\leqslant c(q)\Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t)|\Bigr)^q \nonumber \\ &\qquad+ c(q)\Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|\Bigr)^q<+\infty, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.60}$

где

$c(q)$ – некоторая положительная постоянная. С другой стороны, имеет место следующее неравенство:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &|\rho(x,t_2)-\rho(x,t_1)| \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\{J_1^{q-1},J_2^{q-1}\} \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t_2)-\nabla v(x,t_1)|+|v(x,t_2)-v(x,t_1)|\bigr], \end{aligned} \end{equation} \tag{5.61}$

где

$\begin{equation*} J_k:=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v(x,t_k)-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v(x,t_k)\biggr|,\qquad k=1,2. \end{equation*} \notag$

Согласно (5.60) имеем

$\begin{equation} \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t_k\in[0,T]}J_k=A<+\infty\quad\text{при}\quad k=1,2. \end{equation} \tag{5.62}$

Поскольку

$v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ , то из оценок (5.61) и (5.62) вытекает, что

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \sup_{x\in\mathbb{R}^3}|\rho(x,t_2)-\rho(x,t_1)| &\leqslant qA^{q-1}\Bigl[\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t_2)-\nabla v(x,t_1)| \nonumber \\ &\qquad+\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t_2)-v(x,t_1)|\Bigr]\to+0 \end{aligned} \end{equation} \tag{5.63}$

при

$|t_2-t_1|\to+0$ для любых

$t_1,t_2\in[0,T]$ . Следовательно, из (5.60) и из (5.63) вытекает, что

$\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ . Поэтому в силу результата леммы 3 относительно потенциала

$U_1(x,t)$ приходим к выводу о том, что

$U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ .

Следовательно, из формулы (5.55) вытекает, что

$\begin{equation*} H(v)(x,t)=U_0[\rho_0](x,t)+U_1[\rho](x,t)\in \mathbb{C}([0,T];W_1) \end{equation*} \notag$

для всех

$u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$ , удовлетворяющих свойству (5.12), и произвольной функции

$\begin{equation*} v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1). \end{equation*} \notag$

Лемма 4 доказана.

Пусть произвольная функция $u_0(x)\in\mathbb{C}^{2}(\mathbb{R}^3)$ , удовлетворяющая условию (5.12), фиксирована. Тогда выберем $R>0$ настолько большим, чтобы было выполнено завершающее неравенство в следующей цепочке неравенств:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \| h_{\alpha}\|_T &\leqslant\sup_{x\in\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3}|G_{\alpha}(x,y,t)|(1+|y|^2)^{\alpha} |\Delta_3u_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad + \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\alpha}(x,y,t)}{\partial x_j}\biggr| (1+|y|^2)^{\alpha}|\Delta_3u_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\leqslant A_4B_1(T)+3B_2(T)A\leqslant\frac{R}{2}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.64}$

Соответствующие неравенства выполнены в силу неравенств (5.12), (5.15) и (5.16). Справедливо следующее утверждение.

Лемма 5. Для произвольного $R>0$ при $q>3/2$ найдется такое малое $T>0$ , что

$\begin{equation} H_1(v)\colon D_{R,T}\to D_{R/2,T}. \end{equation} \tag{5.65}$

Доказательство. Пусть

$R>0$ – произвольно. При доказательстве леммы 4 нами было доказано, что

$\begin{equation*} H_1(\,{\cdot}\,)\colon \mathbb{C}([0,T];W_1)\to \mathbb{C}([0,T];W_1) \end{equation*} \notag$

для любого

$T>0$ . Введем следующее обозначение:

$\begin{equation} \rho(y,\tau):=\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau) -\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v(y,\tau)\biggr|^q. \end{equation} \tag{5.66}$

Тогда для функции

$\begin{equation} H_1(x,t):=H_1(v)(x,t)=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} G_q(x,y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \end{equation} \tag{5.67}$

справедлива цепочка неравенств

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \| H_1(x,t)\|_T &\leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} |G_q(x,y,t-\tau)||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]} \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial G_q(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.68}$

Заметим, что справедливы неравенства

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|&\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}[(1+|y|^2)^{1/2}|\nabla v(y,\tau)|+|v(y,\tau)|]^q \nonumber \\ &\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}\biggl[\sum_{j=1}^3(1+|y|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(y,\tau)}{\partial y_j}\biggr|+|v(y,\tau)|\biggr]^q\leqslant R^q, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.69}$

если

$v(x,t)\in D_{R,T}$ . Из оценок (5.68) и (5.69) вытекает следующая оценка:

$\begin{equation} \| H_1(x,t)\|_T\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]R^q,\qquad q>\frac{3}{2}. \end{equation} \tag{5.70}$

Выберем

$T>0$ настолько малым, чтобы

$\begin{equation} T[B_1(T)+3B_2(T)]R^{q-1}\leqslant\frac{1}{2}. \end{equation} \tag{5.71}$

Тогда из оценки (5.70) приходим к следующему неравенству:

$\begin{equation} \| H_1(x,t)\|_T\leqslant\frac{R}{2}, \end{equation} \tag{5.72}$

т. е. справедливо утверждение леммы. Лемма 5 доказана.

Из результата леммы 5 и выбора $R>0$ настолько большим, чтобы было выполнено итоговое неравенство (5.64), приходим к выводу о справедливости следующего утверждения.

Лемма 6. Пусть $q>3/2$ . Тогда для любого $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$ , удовлетворяющего неравенству (5.12), найдется достаточно большое $R>0$ и достаточно малое $T>0$ такие, что

$\begin{equation} H(\,{\cdot}\,)\colon D_{R,T}\to D_{R,T}, \end{equation} \tag{5.73}$

где замкнутый шар

$D_{R,T}\subset\mathbb{C}([0,T];W_1)$ определен равенством (5.53).

Теперь приступим к доказательству сжимаемости оператора $H(v)(x,t)$ на замкнутом шаре $D_{R,T}$ при достаточно малом $T>0$ . Справедливо следующее утверждение.

Лемма 7. При выполнении условия

$\begin{equation} qT(B_1+3B_2)R^{q-1}\leqslant\frac{1}{2} \end{equation} \tag{5.74}$

оператор

$H(v)(x,t)$ является сжимающим на шаре

$D_{R,T}$ .

Доказательство. Пусть

$v_1(x,t), v_2(x,t)\in D_{R,T}$ . Справедливы следующие неравенства:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\biggl|\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_1-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_1\biggr|^q- \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_2-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_2\biggr|^q\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\biggl\{\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_1-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_1\biggr|^{q-1}, \nonumber \\ &\ \quad\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_2-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_2\biggr|^{q-1}\biggr\} \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1-\nabla v_2|+|v_1-v_2|\bigr] \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\bigl\{|(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1|+|v_1||^{q-1},\, |(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_2|+|v_2||^{q-1}\bigr\} \nonumber \\ &\ \quad\times \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1-\nabla v_2|+|v_1-v_2|\bigr] \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\biggl\{\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}\biggr|+|v_1|\biggr|^{q-1},\, \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}\biggr|+|v_1|\biggr|^{q-1}\biggr\} \nonumber \\ &\ \quad\times \biggl[(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}-\frac{\partial v_2}{\partial x_j}\biggr|+|v_1-v_2|\biggr]\leqslant qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.75}$

Введем следующие обозначения:

$\begin{equation} \rho_j(y,\tau)=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_j-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_j\biggr|^q,\qquad j=1,2. \end{equation} \tag{5.76}$

В силу (5.75) мы приходим к оценке

$\begin{equation} \|\rho_1-\rho_2\|_T\leqslant qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T. \end{equation} \tag{5.77}$

Справедливы следующие оценки:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\| H(v_1)-H(v_2)\|_T\leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} |G_q(x,y,t-\tau)||\rho_1(y,\tau)-\rho_2(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} (1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial G_q(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\biggr| |\rho_1(y,\tau)-\rho_2(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]\|\rho_1-\rho_2\|_T. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.78}$

Из неравенств (5.77) и (5.78) приходим к искомому неравенству

$\begin{equation} \| H(v_1)-H(v_2)\|_T\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T, \end{equation} \tag{5.79}$

из которого вытекает утверждение леммы. Лемма 7 доказана.

Теперь нужно воспользоваться стандартным алгоритмом продолжения решения во времени, изложенного в работе [28]. В этой работе алгоритм продолжения во времени интегрального уравнения Вольтерра рассматривается в пространстве $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{B})$ , где $\mathbb{B}$ – банахово пространство. В нашем случае $\mathbb{B}=W_1$ . Схематично схема продолжения во времени заключается в том, что мы уже доказали существование такого малого $T_1>0$ , что интегральное уравнение (5.9) имеет единственное решение класса $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T_1];W_1)$ . Тогда интегральное уравнение (5.9) можем переписать в следующем виде при $t\in[T_1,T]$ , $T>T_1$ :

$\begin{equation} v(x,t)\,{=}\,v(x,T_1)+\int_{T_1}^t\int_{\mathbb{R}^3}\!G_q(x,y,t-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau, \end{equation} \tag{5.80}$

где

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &v(x,T_1)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,T_1)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy \nonumber \\ &\ + \int_0^{T_1}\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,T_1-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.81}$

В силу результата леммы 4 справедливо, что

$v(x,T_1)\in W_1$ . Выберем теперь

$R>0$ настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

$\begin{equation} \| v(x,T_1)\|:=\sup_{x\in\mathbb{R}^1}|v(x,T_1)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^1}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,T_1)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant\frac{R}{2}. \end{equation} \tag{5.82}$

Далее повторяем доказательства лемм 5–7 и получаем, что интегральное уравнение (5.80) имеет решение на интервале

$t\in[T_1,T_2]$ при некотором

$T_2>T_1$ . Далее продолжаем указанный алгоритм и приходим к выводу о том, что либо этот алгоритм неограниченно продолжится на всю временную ось, либо найдется такой момент времени

$T_0=T_0(u_0)>0$ , что

$\begin{equation*} \lim_{T\uparrow T_0}\| v\|_T=+\infty. \end{equation*} \notag$

Таким образом, приходим к утверждению теоремы. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Для каждой $u_0(x)\,{\in}\,\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$ , удовлетворяющей условию (5.12), найдется такое максимальное $T_0=T_0(u_0)>0$ , что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение $u(x,t)$ интегрального уравнения (5.1) класса

$\begin{equation*} u(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2), \end{equation*} \notag$

причем либо

$T_0=+\infty$ , либо

$T_0<+\infty$ и в последнем случае имеем

$\begin{equation} \lim_{T\uparrow T_0}\| u\|_{1,T}=+\infty, \end{equation} \tag{5.83}$

где

$\begin{equation} \| u\|_{1,T} := \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| + \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation} \tag{5.84}$

Доказательство. Отметим, что решение

$u(x,t)$ интегрального уравнения (5.1) и решение

$v(x,t)$ интегрального уравнения (5.9) связаны равенством

$\begin{equation} v(x,t)=(1+|x|^2)^{1/2}u(x,t) \end{equation} \tag{5.85}$

и справедливо утверждение, что функция

$u(x,t)$ – решение интегрального уравнения (5.1) тогда и только тогда, когда

$v(x,t)$ – решение интегрального уравнения (5.9). Справедливо следующее утверждение.

Лемма 8. Справедливо двустороннее неравенство

$\begin{equation} \frac{1}{2}\| v\|_T\leqslant\| u\|_{1,T}\leqslant 4\| v\|_T. \end{equation} \tag{5.86}$

Доказательство. Заметим, что

$\begin{equation} \frac{\partial v}{\partial x_j}= (1+|x|^2)^{1/2}\, \frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u. \end{equation} \tag{5.87}$

Функция

$v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ для каждого

$T\in(0,T_0)$ . Поэтому справедливы следующие цепочки неравенств:

$\begin{equation} \| v\|_T = \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} = \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad+\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \leqslant 2\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr|\leqslant 2\| u\|_{1,T}, \end{equation} \tag{5.88}$

$\begin{equation} \| u\|_{1,T} =\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad+\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \leqslant 4\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant 4\| v\|_{T}. \end{equation} \tag{5.89}$

Лемма 8 доказана.

$\begin{equation*} v(x,t_2)-v(x,t_1)=(1+|x|^2)^{1/2}[u(x,t_2)-u(x,t_1)]. \end{equation*} \notag$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t_2)-u(x,t_1)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)\biggl|\frac{\partial u(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial u(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant 4\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t_2)-v(x,t_1)|+ 4\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial v(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr|\to+0 \end{aligned} \end{equation} \tag{5.90}$

$\begin{equation*} \lim_{T\uparrow T_0}\| u\|_{1,T}=+\infty. \end{equation*} \notag$

Теорема 4. При условии $q>3/2$ для любой функции $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$ , удовлетворяющей условиям

$\begin{equation} |u_0(x)|\leqslant\frac{D_1}{(1+|x|^2)^{1/2}},\qquad |\nabla u_0(x)|\leqslant\frac{D_2}{1+|x|^2}, \end{equation} \tag{6.1}$

$\begin{equation} |\Delta_3u_0(x)|\leqslant\frac{D_3}{(1+|x|^2)^{\alpha}},\qquad\alpha>\frac32, \end{equation} \tag{6.2}$

существует локальное во времени слабое решение задачи Коши в смысле определения 1.

Доказательство. Шаг 1. Свойства неклассических тепловых потенциалов. Теперь наша задача изучить ряд свойств следующих неклассических тепловых объемных потенциалов:

$\begin{equation} V_0(x,t) :=V_0[\rho_0](x,t):=\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t)\rho_0(y)\,dy, \end{equation} \tag{6.3}$

$\begin{equation} V(x,t) :=V[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \end{equation} \tag{6.4}$

при некоторых условиях на плотности

$\rho_0(x)$ и

$\rho(x,t)$ . Сначала сформулируем классический результат, который непосредственно вытекает из работы [29].

Лемма 9. Пусть $\rho_0(x)\in\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3)$ при $\alpha>3/2$ . Тогда классический объемный ньютоновский потенциал

$\begin{equation*} W_0(x):=W_0[\rho_0](x):=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\rho_0(y)\,dy \end{equation*} \notag$

удовлетворяет равенству

$\begin{equation*} \langle\Delta_x W_0(x),\phi(x)\rangle=\langle\rho_0(x),\phi(x)\rangle \end{equation*} \notag$

для любых

$\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ , где

$\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – это скобки двойственности между

$\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и

$\mathscr{D}'(\mathbb{R}^3)$ , а оператор

$\Delta_x$ понимается в смысле производных обобщенных функций.

Доказательство. Несмотря на “классичность” этого результата, мы его докажем, поскольку ниже при доказательстве равенства (6.6) будем использовать аналогичную технику в более сложном случае.

Пусть пробная функция $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ – произвольная фиксированная. Пусть

$\begin{equation*} \operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)\quad\text{при некотором}\quad R>0. \end{equation*} \notag$

Но тогда, очевидно,

$\begin{equation*} \operatorname{supp}\Delta_x\phi(x)\subset O(0,R)\subset O(0,nR)\quad\text{для всех}\quad n\geqslant 2. \end{equation*} \notag$

Справедлива следующая цепочка равенств:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\langle\Delta_x W_0(x),\phi(x)\rangle = \langle W_0(x),\Delta_x\phi(x)\rangle \nonumber \\ &\qquad= \int_{\mathbb{R}^3}W_0(x)\Delta_x\phi(x)\,dx= \int_{O(0,R)}W_0(x)\Delta_x\phi(x)\,dx \nonumber \\ &\qquad= -\frac{1}{4\pi}\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x) \biggl[\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\biggr]\,dx \nonumber \\ &\qquad=-\frac{1}{4\pi}\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.5}$

Заметим, что

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx \\ &\qquad=\int_{O(x,R)}\phi(x)\Delta_x\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx=0, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

поскольку в классическом смысле

$\begin{equation*} \Delta_x\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy= \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\rho_0(y)\Delta_x\frac{1}{|x-y|}\,dy=0\quad\text{при}\quad x\in O(0,R). \end{equation*} \notag$

Продолжим равенство (6.5)

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \langle\Delta_x W_0(x),\phi(x)\rangle &= -\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{4\pi|x-y|}\,dy\,dx \\ &= -\int_{O(0,2R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{4\pi|x-y|}\,dy\,dx \\ &= -\int_{O(0,2R)}\rho_{0}(y)\int_{O(0,3R)}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_x\phi(x)\,dx\,dy \\ &=\int_{O(0,2R)}\rho_0(y)\phi(y)\,dy=\int_{\mathbb{R}^3}\rho_0(y)\phi(y)\,dy= \langle\rho_0,\phi\rangle, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где мы воспользовались хорошо известным равенством

$\begin{equation*} \int_{O(0,3R)}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_x\phi(x)\,dx\,dy=-\phi(y)\quad\text{при}\quad y\in O(0,2R), \end{equation*} \notag$

которое справедливо (см., например, [30]), в частности, для произвольной функции

$\phi(x)\in\mathbb{C}_0^{\infty}(O(0,3R))$ с носителем

$\operatorname{supp}\phi\subset O(0,R)$ . Лемма 9 доказана.

Лемма 10. Пусть $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha>3/2$ . Тогда

$\begin{equation*} V(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2), \end{equation*} \notag$

где банахово пространство

$W_2$ определено в § 3, и имеет место следующее равенство:

$\begin{equation} \langle\mathfrak{M}_{x,t}[V](x,t),\phi(x)\rangle=\langle\rho(x,t),\phi(x)\rangle \end{equation} \tag{6.6}$

для всех

$\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и для всех

$t\in[0,T]$ , где

$\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – это скобки двойственности между

$\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и

$\mathscr{D}'(\mathbb{R}^3)$ и

$\begin{equation*} \mathfrak{M}_{x,t}[w](x,t):=\Delta_3\,\frac{\partial w(x,t)}{\partial t}+\sigma_1\Delta_2w(x,t)+\sigma_2 w_{x_3x_3}(x,t). \end{equation*} \notag$

Доказательство. Пункт 1. Поскольку

$\begin{equation*} \rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3)), \end{equation*} \notag$

то

$\begin{equation} (1+|x|^2)^{\alpha}\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)). \end{equation} \tag{6.7}$

Поэтому точно также как при доказательстве леммы 3 при

$\alpha>3/2$ с учетом оценок (5.15) и (5.16) можно доказать, что

$\begin{equation} V(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2). \end{equation} \tag{6.8}$

Заметим, что для любых

$(x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]$ имеет место поточечное равенство

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}&=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\rho(y,t)\,dy+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &= W_0[\rho](x,t)+W_1[\rho](x,t), \end{aligned} \end{equation} \tag{6.9}$

где

$\begin{equation} \mathscr{E}_1(x-y,t-\tau):=\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}, \end{equation} \tag{6.10}$

$\begin{equation} W_0(x,t):=W_0[\rho](x,t)=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\rho(y,t)\,dy, \end{equation} \tag{6.11}$

$\begin{equation} W_1(x,t):=W_1[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{equation} \tag{6.12}$

Поскольку

$\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$ , то в силу результата леммы 4.1 работы [27] точно также, как при доказательстве леммы 3, можно показать, что

$\begin{equation} W_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2). \end{equation} \tag{6.13}$

Функция

$W_1(x,t)$ исследуется аналогично функции

$U_1(x,t)$ из леммы 3; с учетом оценок (5.15) и (5.16) можно доказать, что

$\begin{equation} W_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2). \end{equation} \tag{6.14}$

Следовательно, из (6.9), (6.13) и (6.14) приходим к выводу о том, что

$\begin{equation*} \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}\in\mathbb{C}([0,T];W_2). \end{equation*} \notag$

Итак,

$V(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)$ .

Пункт 2. В силу результата леммы 9 имеем

$\begin{equation} \langle\Delta_{3x}W_0(x,t),\phi(x)\rangle=\langle\rho(x,t),\phi(x)\rangle \quad\text{для всех}\quad t\in[0,T] \end{equation} \tag{6.15}$

и для любой пробной функции

$\phi(x)\,{\in}\,\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ . Справедливо следующее равенство:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\langle\Delta_{3x}W_1(x,t)+\sigma_1\Delta_{2x}V(x,t)+ \sigma_2V_{x_3x_3}(x,t),\phi(x)\rangle \nonumber \\ &\qquad=\langle W_1(x,t),\Delta_{3x}\phi(x)\rangle+\langle V(x,t),\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}\rangle=:J_1+J_2 \end{aligned} \end{equation} \tag{6.16}$

для любой пробной функции

$\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ . Поэтому найдется такое

$R=R(\phi)>0$ , что

$\operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)$ . Рассмотрим отдельно слагаемые

$J_1$ и

$J_2$ . Справедлива следующая цепочка равенств:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, J_1 &=\int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x)\int_0^td\tau \int_{\mathbb{R}^3}dy\,\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau) \nonumber \\ &= \int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \biggl[\int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\qquad+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\biggr]=: J_{11}+J_{12}, \end{aligned} \end{equation} \tag{6.17}$

где

$\begin{equation} J_{11} :=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy, \end{equation} \tag{6.18}$

$\begin{equation} J_{12} :=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy. \end{equation} \tag{6.19}$

Прежде всего заметим, что интегрированием по частям можно получить равенство

$\begin{equation} J_{12}=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\Delta_{3x}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy. \end{equation} \tag{6.20}$

Рассмотрим теперь

$J_2$ . Справедливы следующие равенства:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, J_2&=\langle V(x,t),\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}\rangle \nonumber \\ &= \int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \int_0^td\tau \int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &= \int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber \\ &\qquad\times \biggl[\int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\biggr] \nonumber \\ &=: J_{21}+J_{22}, \end{aligned} \end{equation} \tag{6.21}$

где

$\begin{equation} J_{21} :=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad\times \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy, \end{equation} \tag{6.22}$

$\begin{equation} J_{22} :=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad\times \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy. \end{equation} \tag{6.23}$

Интегрированием по частям можно получить равенство

$\begin{equation} \begin{aligned} \, J_{22} &=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}[\sigma_1\Delta_{2x}\mathscr{E}(x-y,t-\tau) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_2\mathscr{E}_{x_3x_3}(x-y,t-\tau)]\rho(y,\tau)\,dy. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.24}$

Из выражений (6.20) и (6.24) вытекает, что

$\begin{equation} \begin{aligned} \, J_{12}+J_{22} &=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\biggl[\Delta_{3x}\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t} \nonumber \\ &\quad+\sigma_1\Delta_{2x}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)+ \sigma_2\mathscr{E}_{x_3x_3}(x-y,t-\tau)\biggr]\rho(y,\tau)\,dy=0 \end{aligned} \end{equation} \tag{6.25}$

согласно определению фундаментального решения

$\mathscr{E}(x,t)$ . С учетом равенств (6.18) и (6.22) справедливо равенство

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &J_{11}+J_{21} =\int_0^td\tau\int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\ \quad +\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\ =\int_0^td\tau \int_{O(0,2R)}dy\,\rho(y,\tau)\int_{O(0,3R)}dx\, \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\ \quad +\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.26}$

Рассмотрим отдельно следующее выражение:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, K &:=\int_{O(0,3R)} \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]\,dx. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.27}$

Заметим, что имеет место предельное равенство

$\begin{equation} K=\lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}, \end{equation} \tag{6.28}$

где

$\begin{equation} \begin{aligned} \, K^{\varepsilon} &:=\int_{O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon)} \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]\,dx \end{aligned} \end{equation} \tag{6.29}$

для любых

$y\in O(0,2R)$ и

$\varepsilon\in(0,R/2)$ . Теперь мы проведем интегрирование по частям в интеграле (6.29) и получим следующее равенство:

$\begin{equation} K^{\varepsilon}=K^{\varepsilon}_{1}+K^{\varepsilon}_{2}+K^{\varepsilon}_{3}, \end{equation} \tag{6.30}$

где

$\begin{equation} K^{\varepsilon}_{1} =\int_{\partial O(0,3R)\cup\partial O(y,\varepsilon)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad+\sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x, \end{equation} \tag{6.31}$

$\begin{equation} K^{\varepsilon}_2 =-\int_{\partial O(0,3R)\cup\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\,\partial n_x}+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2) +\sigma_2\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\phi(x)\,dS_x, \end{equation} \tag{6.32}$

$\begin{equation} K^{\varepsilon}_3 =\int_{O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon)}\phi(x)\mathfrak{M}_{x,t}[\mathscr{E}](x-y,t-\tau)\,dx=0, \end{equation} \tag{6.33}$

поскольку согласно определению фундаментального решения

$\mathscr{E}(x-y,t-\tau)$ имеет место равенство

$\begin{equation*} \mathfrak{M}_{x,t}[\mathscr{E}](x-y,t)=0\quad\text{для всех}\quad (x,t)\in (O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon))\times[0,T]. \end{equation*} \notag$

Кроме того,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\partial O(0,3R)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \\ &\qquad+\sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x=0, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

поскольку

$\operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)$ . А интеграл

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \\ &\qquad+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x\to 0 \end{aligned} \end{equation*} \notag$

при

$\varepsilon\to+0$ для каждого фиксированного

$y\in O(0,2R)$ , поскольку

$\phi(x)\in\mathbb{C}^{\infty}_0(O(0,3R))$ и справедливы оценки (5.5) для фундаментального решения

$\mathscr{E}(x,t)$ , а площадь сферы

$\partial O(y,\varepsilon)$ равна

$2\pi\varepsilon^2$ . Следовательно, имеем

$\begin{equation} \lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}_{1}=0. \end{equation} \tag{6.34}$

Наконец, поскольку

$\phi(x)=0$ на

$\partial O(0,3R)$ , то от выражения для

$K_{2}^{\varepsilon}$ остается только следующий интеграл:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, K^{\varepsilon}_2 &=-\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\,\partial n_x}+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\quad+\sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\phi(x)\,dS_x, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

который мы перепишем в виде

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, K^{\varepsilon}_2 &=-\phi(y)\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\,dS_x \\ &\qquad+\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr] \\ &\qquad\qquad\times[\phi(y)-\phi(x)]\,dS_x \\ &=:K^{\varepsilon}_{21}+K^{\varepsilon}_{22}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Отметим, что

$\begin{equation*} |\phi(x)-\phi(y)|\leqslant a(y,\varepsilon)|x-y|\quad\text{для всех}\quad x\in O(y,\varepsilon), \end{equation*} \notag$

и поэтому в силу оценок (5.5) фундаментального решения

$\mathscr{E}(x,t)$ приходим к предельному свойству

$\begin{equation*} \lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}_{22}=0. \end{equation*} \notag$

Осталось заметить, что

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+\sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\,dS_x=0, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что может быть проверено при помощи преобразования Лапласа. Поэтому

$\begin{equation} \lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}_2=0. \end{equation} \tag{6.35}$

Таким образом, в силу предельных свойств (6.33), (6.35) и равенства (6.33) мы из (6.30) приходим к выводу о том, что

$\begin{equation} \lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}=0 \end{equation} \tag{6.36}$

и, следовательно, в силу (6.28) получаем равенство

$K=0$ . Значит, из (6.26) вытекает равенство

$\begin{equation*} J_{11}+J_{21}=0. \end{equation*} \notag$

Поэтому из (6.16) имеем

$\begin{equation*} \langle\Delta_{3x}W_1(x,t)+\sigma_1\Delta_{2x}W_2(x,t)+\sigma_2W_{2x_3x_3}(x,t),\phi(x)\rangle=0 \end{equation*} \notag$

для всех

$\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ . Поэтому с учетом равенства (6.15) мы приходим к равенству (6.6). Лемма 10 доказана.

Лемма 11. Для любой плотности $\rho_0(x)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha>3/2$ неклассический объемный потенциал $V_0(x,t)$ , определенный равенством (6.3), принадлежит классу $\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)$ для любого $T>0$ и справедливо равенство

$\begin{equation} \langle\mathfrak{M}_{x,t}V_0(x,t),\phi(x)\rangle=0\quad\textit{при}\quad t\in[0,+\infty) \end{equation} \tag{6.37}$

для всех

$\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ .

Доказательство в точности повторяет соответствующую часть доказательства леммы 10.

Лемма 12. Пусть $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$ и выполнены свойства

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, |u_0(x)|\leqslant\frac{A_1}{(1+|x|^2)^{1/2}},\qquad |\nabla u_0(x)|\leqslant\frac{A_2}{1+|x|^2}, \\ |\Delta_3u_0(x)|\leqslant\frac{A_3}{(1+|x|^2)^{\alpha}},\quad \alpha>\frac{3}{2}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Тогда справедливо следующее равенство:

$\begin{equation} -\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_3u_0(y)\,dy=u_0(x). \end{equation} \tag{6.38}$

Доказательство. Утверждение доказывается применением третьей формулы Грина к функции

$u_0(x)$ для оператора Лапласа в области

$O(0,R)$ с последующим переходом к пределу при

$R\to+\infty$ с учетом неравенств в формулировке леммы. Лемма доказана.

Лемма 13. Для любой функции $u_0(x)$ , удовлетворяющей условиям леммы 12, и для каждой точки $x\in\mathbb{R}^3$ справедливо равенство

$\begin{equation} V_0[\Delta_3u_0(x)](x,0)=u_0(x). \end{equation} \tag{6.39}$

Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой точки

$x\in\mathbb{R}^3$ имеет место представление

$\begin{equation*} V_0[\Delta_3u_0](x,0)=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_3u_0(y)\,dy. \end{equation*} \notag$

Осталось воспользоваться результатом леммы 12. Лемма доказана.

$\begin{equation*} u(x,t)\,{=}\,V[|\nabla u|^q](x,t)+V_0[\Delta_3u_0](x,t)\, {\in}\, \mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)\quad\text{для любого } \ T\,{\in}\,(0,T_0). \end{equation*} \notag$

Лемма 14. Для любого $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$ , удовлетворяющего неравенствам (6.1), (6.2), решение интегрального уравнения (5.1) принадлежит классу

$\begin{equation} \mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)\quad\textit{для всех}\quad T\in(0,T_0). \end{equation} \tag{6.40}$

$\begin{equation} \rho(x,t):=|\nabla u|^q\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^q;\mathbb{R}^3)),\qquad q>\frac32. \end{equation} \tag{6.41}$

$\begin{equation*} \langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x)\rangle=\langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x)\rangle\quad\text{для всех}\quad\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3), \end{equation*} \notag$

$\begin{equation} \langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x,t)\rangle=\langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x,t)\rangle\quad\text{при}\quad t\in[0,T] \end{equation} \tag{6.42}$

$\begin{equation} \langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x,t)\rangle=\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx \quad\text{для всех}\quad t\in[0,T]. \end{equation} \tag{6.43}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x,t)\rangle= \biggl\langle\Delta_{3x}\, \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+\sigma_1\Delta_{2x}u(x,t)+\sigma_2u_{x_3x_3}(x,t),\phi(x,t)\biggr\rangle \nonumber \\ &\qquad=-\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\,\partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle- \sigma_1\sum_{j=1}^2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle \nonumber \\ &\qquad\qquad-\sigma_2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_3},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_3}\biggr\rangle. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.44}$

$\begin{equation} \begin{split} &\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\, \partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle= \int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\nabla\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t},\nabla\phi(x,t)\biggr)\,dx \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\frac{\partial \nabla u(x,t)}{\partial t},\nabla\phi(x,t)\biggr)\,dx \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla u(x,t),\nabla \phi(x,t))\,dx-\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'_t(x,t))\,dx, \end{split} \end{equation} \tag{6.45}$

$\begin{equation} \sum_{j=1}^2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j}, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle =\int_{\mathbb{R}^3}[u_{x_1}(x,t)\phi_{x_1}(x,t)+ u_{x_2}(x,t)\phi_{x_2}(x,t)]\,dx, \end{equation} \tag{6.46}$

$\begin{equation} \biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_3},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_3}\biggr\rangle=\int_{\mathbb{R}^3}u_{x_3}(x,t)\phi_{x_3}(x,t)\,dx\quad\text{при}\quad t\in[0,T] \end{equation} \tag{6.47}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_0^T\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\, \partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle\,dt \nonumber \\ &\qquad= -\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla \phi(x,0))\,dx -\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'_t(x,t))\,dx\,dt \end{aligned} \end{equation} \tag{6.48}$

Замечание 1. Вопрос о единственности локального слабого решения задачи Коши при $q>3/2$ остался открытым.

\RBibitem{KorPanShi21}

\by М.~О.~Корпусов, А.~А.~Панин, А.~Е.~Шишков

\paper О критическом показателе ``мгновенное разрушение'' versus ``локальная разрешимость'' в~задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2021

\vol 85

\issue 1

\pages 118--153

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im8949}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im8949}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4223888}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1460.35053}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021IzMat..85..111K}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46756604}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2021

\vol 85

\issue 1

\pages 111--144

\crossref{https://doi.org/10.1070/IM8949}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000620163900001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85101702243}

М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, А. А. Панин, “К вопросу о разрешимости задачи Коши одной тепло-электрической модели”, ТМФ, 222:2 (2025), 217–232 ; M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, A. A. Panin, “On the solvability of the Cauchy problem for a thermal–electrical model”, Theoret. and Math. Phys., 222:2 (2025), 183–197
Tahir Shahzad, Muhammad O. Ahmed, Muhammad Sajid Iqbal, Muhammad Zafarullah Baber, Muhammad Waqas Yasin, A. S. A. Alsubaie, K. H. Mahmoud, Mustafa Inc, “Explicit solitary wave solutions for the nonlinear equations in semiconductor and magnetic field with their stability analysis”, Opt Quant Electron, 56:1 (2024)
М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, “О существовании непродолжаемого решения задачи Коши одной $(1+1)$ -мерной тепло-электрической модели”, Матем. заметки, 115:5 (2024), 645–657 ; M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, “On the Existence of a Nonextendable Solution of the Cauchy problem for a $(1+1)$ -Dimensional Thermal-Electrical Model”, Math. Notes, 115:5 (2024), 653–663
М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, “О разрушении решения одной $(1+1)$ -мерной тепло-электрической модели”, ТМФ, 219:2 (2024), 249–262 ; M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, “On the blow-up of the solution of a $(1+1)$ -dimensional thermal–electrical model”, Theoret. and Math. Phys., 219:2 (2024), 748–760
Meiirkhan B. Borikhanov, Michael Ruzhansky, Berikbol T. Torebek, “Instantaneous blow-up solutions for nonlinear Sobolev-type equations on the Heisenberg groups”, DCDS-S, 2024
M. V Artemeva, M. O Korpusov, “THE CAUCHY PROBLEM FOR AN NONLINEAR WAVE EQUATION”, Differencialʹnye uravneniâ, 60:10 (2024), 1299
М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, “О существовании непродолжаемого решения задачи Коши одной $(3+1)$ -мерной тепло-электрической модели”, ТМФ, 221:3 (2024), 702–715 ; M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, “On the existence of a nonextendable solution of the Cauchy problem for a $(3+1)$ -dimensional thermal–electrical model”, Theoret. and Math. Phys., 221:3 (2024), 2207–2218
M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, “The Cauchy Problem for a Nonlinear Wave Equation”, Diff Equat, 60:10 (2024), 1369
М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, “О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с квадратичной нелинейностью”, ТМФ, 217:2 (2023), 378–390 ; M. O. Korpusov, A. Yu. Perlov, A. V. Tymoshenko, R. S. Shafir, “Global-in-time solvability of a nonlinear system of equations of a thermal–electrical model with quadratic nonlinearity”, Theoret. and Math. Phys., 217:2 (2023), 1743–1754
М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, “О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели”, Матем. заметки, 114:5 (2023), 759–772 ; M. O. Korpusov, A. Yu. Perlov, A. V. Tymoshenko, R. S. Shafir, “On the Blow-Up of the Solution of a Nonlinear System of Equations of a Thermal-Electrical Model”, Math. Notes, 114:5 (2023), 850–861
А. В. Келлер, “О направлениях исследований уравнений соболевского типа”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 16:4 (2023), 5–32 [A. V. Keller, “Sobolev-type systems and applied problems”, Vestnik YuUrGU. Ser. Mat. Model. Progr., 16:4 (2023), 5–32 ]
Н. А. Манакова, О. В. Гаврилова, К. В. Перевозчикова, “Полулинейные модели соболевского типа. Неединственность решения задачи Шоуолтера – Сидорова”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 15:1 (2022), 84–100 [N. A. Manakova, O. V. Gavrilova, K. V. Perevozhikova, “Semilinear models of Sobolev type. Non-uniqueness of solution to the Showalter–Sidorov problem”, Vestnik YuUrGU. Ser. Mat. Model. Progr., 15:1 (2022), 84–100 ]
Korpusov M.O. Panin A.A., “On the Blow-Up of the Solution and on the Local and Global Solvability of the Cauchy Problem For a Nonlinear Equation in Holder Spaces”, J. Math. Anal. Appl., 504:2 (2021), 125469
Zamyshlyaeva A., Lut A., “Inverse Problem For the Sobolev Type Equation of Higher Order”, Mathematics, 9:14 (2021), 1647
М. О. Корпусов, Г. И. Шляпугин, “О разрушении решений задач Коши для одного класса нелинейных уравнений теории ферритов”, Материалы Всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», посвященной 85-летию профессора М. Т. Терёхина. Рязанский государственный университет им. С.А. Есенина, Рязань, 17–18 мая 2019 г. Часть 1, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 185, ВИНИТИ РАН, М., 2020, 79–131