М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, “О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с квадратичной нелинейностью”, ТМФ, 217:2 (2023), 378–390; Theoret. and Math. Phys., 217:2 (2023), 1743

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 217, номер 2, страницы 378–390
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10520 (Mi tmf10520)

Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях)

О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с квадратичной нелинейностью

М. О. Корпусов^ab, А. Ю. Перлов^ab, А. В. Тимошенко^ab, Р. С. Шафир^ab

^a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Физический факультет, Москва, Россия
^b Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

PDF полного текста (412 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (8)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10520

Аннотация: Предложена система уравнений с квадратичной нелинейностью относительно потенциала электрического поля и температуры, описывающая процесс нагрева полупроводниковых элементов электрической платы, причем с течением времени возможно возникновение теплового и электрического “пробоев”. Для данной системы уравнений доказано существование непродолжаемого во времени классического решения, а также получены достаточные условия глобальной во времени однозначной разрешимости.

Ключевые слова: нелинейные уравнения соболевского типа, разрушение, blow-up, локальная разрешимость, нелинейная емкость, оценки времени разрушения.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	23-11-00056
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-11-00056).

Поступило в редакцию: 16.04.2023
После доработки: 25.05.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages 1743–1754
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110090

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 35Q

1. Введение

Современные радиоинформационные системы, решающие задачи мониторинга космического пространства, характеризуются большим числом плотно расположенной радиоэлектронной аппаратуры, непрерывным функционированием в течение длительного времени, а также высокими требованиями к надежности. При работе структурно сложной радиоинформационной системы в теплонапряженных режимах резко возрастает тепловыделение в радиоэлектронной аппаратуре за счет высокой токовой нагрузки. Повышение тепловыделения влечет за собой перегрев аппаратуры и, как следствие, снижение надежности изделия [1], а также увеличение вероятности отказов аппаратуры. Данные обстоятельства обуславливают необходимость исследования нелинейных тепловых процессов в полупроводнике, а также построения и изучения тепло-электрической модели полупроводника.

В настоящей статье приведены результаты теоретических исследований по обоснованию глобальной во времени разрешимости классических решений системы дифференциальных уравнений для потенциала электрического поля $\phi(x,t)$ и температуры $\psi(x,t)$ .

Данная работа продолжает исследования, начатые в работах [2]–[5] и посвященные исследованию начально-краевых задач для локальных и нелокальных уравнений с нелинейным градиентом. В работе [5] мы рассмотрели следующую систему уравнений (см. [6]–[9]):

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma_0\Delta\phi-\gamma_0\Delta\psi=0, \\ \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+q_0|D_x\phi|^p, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где

$\phi$ – потенциал электрического поля,

$\psi$ – температура,

$\begin{equation*} \sigma_0=\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon},\qquad \gamma_0=\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon}, \end{equation*} \notag$

причем

$\varepsilon_0>0$ ,

$\sigma_0>0$ ,

$\gamma_0>0$ ,

$q_0>0$ и

$p>1$ . В работе [5] результат о разрушении был получен фактически только при

$p>2$ , хотя вопрос о существовании непродолжаемого во времени классического решения был решен при

$p>1.$ Поэтому вопрос о разрушении при

$p=2$ остался открытым. В этой работе мы рассмотрели несколько иную систему уравнений, которая в бо́льшей степени отражает физику процесса теплового “разогрева” и содержит квадратичную нелинейность, причем эта система уравнений имеет следующее дифференциальное следствие:

$\begin{equation*} \frac{\varepsilon_0\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+ \frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\frac{\varepsilon}{4\pi}\Delta\phi+\varepsilon_0\sigma\phi\biggr)-\sigma\Delta\phi= \frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2. \end{equation*} \notag$

В настоящей работе мы показали, что при

$\sigma=0$ , т. е. в случае диэлектрика, тепловой разогрев не приводит к возникновению теплового или электрического пробоя, а решение задачи существует глобально во времени вне зависимости от начальных распределений электрического потенциала

$\phi_0(x)$ и температуры

$\psi_0(x)$ .

2. Вывод системы уравнений

Вывод системы уравнений имеется в работе [2]. Именно там получена система уравнений, описывающая тепловые и электрические явления в полупроводниковых приборах, из-за которых полупроводниковые элементы на платах греются и происходит тепловой “пробой”. Для полноты изложения приведем вывод рассматриваемой системы уравнений. В отличие от работы [2] в настоящей работе рассматривается изотропная среда. В приближении квазистационарного электрического поля справедливы следующие уравнения (см. [9]):

$\begin{equation} \operatorname{div}\mathbf{D}=-4\pi n,\qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=0,\qquad \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, \end{equation} \tag{1}$

где

$\mathbf{D}$ – вектор индукции электрического поля,

$\mathbf{E}$ – вектор напряженности электрического поля,

$n$ – плотность свободных зарядов, причем в случае поверхностной односвязности границы

$\Gamma$ определен потенциал электрического поля

$\phi$ :

$\begin{equation*} \mathbf{E}=-\nabla\phi. \end{equation*} \notag$

Поскольку полупроводник, очевидно, является проводящей средой, мы должны дополнить систему (1) уравнением для тока свободных зарядов, которое имеет вид [9]

$\begin{equation*} \frac{\partial n}{\partial t}=\operatorname{div}\mathbf{J}, \end{equation*} \notag$

где

$\mathbf{J}$ – вектор тока свободных зарядов. При этом учтем тепловой разогрев полупроводника [6], [7]:

$\begin{equation*} \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}-\gamma\nabla\psi,\qquad \sigma\geqslant 0,\quad\gamma\geqslant 0, \end{equation*} \notag$

где

$\psi$ – температура в полупроводнике. Для температуры

$\psi$ имеет место уравнение теплопроводности с тепловым нагревом за счет электрического поля

$\mathbf{E}$ [6]:

$\begin{equation*} \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\triangle\psi+(\mathbf{J},\mathbf{E}), \end{equation*} \notag$

где параметр

$\varepsilon_0>0$ имеет вид

$\begin{equation} \varepsilon_0=\varepsilon_1e^{-\alpha} \end{equation} \tag{2}$

$\varepsilon_1>0$ – фиксированное число, а параметр

$\alpha>0$ достаточно велик. Из уравнений (1), (2) вытекает следующая система уравнений:

$\begin{equation} \frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma\Delta\phi+\gamma\Delta\psi=0, \end{equation} \tag{3}$

$\begin{equation} \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi). \end{equation} \tag{4}$

Относительно коэффициентов в системе уравнений (3), (4) будем предполагать, что

$\begin{equation} \varepsilon>0,\qquad\sigma\geqslant 0,\qquad\gamma\geqslant 0,\qquad\varepsilon_0>0. \end{equation} \tag{5}$

3. Обозначения и вспомогательные результаты

Предположим, что $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ – ограниченная выпуклая область с поверхностно односвязной границей $\Gamma\in{C}^{2,\alpha}$ при $\alpha\in(0,1]$ . Мы будем пользоваться стандартными обозначениями из работы [10]. Отметим только, что символом ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ мы обозначили линейное пространство функций

$\begin{equation*} u(x,t),\;D_{x_i}u(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T), \end{equation*} \notag$

которое является банаховым относительно нормы

$\begin{equation*} |u(x,t)|_{1,0;D_T}:=|u(x,t)|_{0;D_T}+\sum_{i=1}^N|D_{x_i}u(x,t)|_{0;D_T}. \end{equation*} \notag$

Через

$C^{(2,1)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ мы обозначили линейное пространство таких функций

$u(x,t)$ , что

$\begin{equation*} D_x^ru(x,t),\; D^s_tu(x,t)\in C( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T) \end{equation*} \notag$

для всех

$r=0,1,2$ и

$s=0,1$ .

Рассмотрим первую краевую задачу в ограниченной области $D_T=\Omega\times(0,T)$ с границей $S_T\cup B_T\cup B$ :

$\begin{equation} \frac{\partial\psi(t)}{\partial t}-\Delta\psi(t)=f(x,t)\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{6}$

$\begin{equation} \begin{alignedat}{3} \psi(x,t)&=0&\quad&\text{для}&\quad (x,t)&\in S_T, \\ \psi(x,t)&=\psi_0(x)&\quad&\text{для}&\quad (x,t)&\in B. \end{alignedat} \end{equation} \tag{7}$

Функция Грина

$G(x,t;y,\tau)$ первой краевой задачи существует, единственна и является непрерывной (см. [11]) для

$(x,t;\xi,\tau)\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T\times(D_T\cup B)$ ,

$t>\tau$ . Кроме того,

$\begin{equation*} G,\; D_xG,\; D^2_xG,\;D_tG\in{C}((D_T\cup B_T)\times(D_T\cup B)),\qquad t>\tau. \end{equation*} \notag$

Решение $\psi(x,t)\in{C}^{(2,1)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ первой краевой задачи (6), (7) представимо в следующем виде:

$\begin{equation} \psi(t)=\chi(t)\psi_0(x)+\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) [f(y,\tau)-\chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau, \end{equation} \tag{8}$

если

$\begin{equation*} \chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty),\quad \psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega}),\quad\chi(0)=1,\quad \psi_0(x)=0\quad\text{при}\quad x\in\Gamma. \end{equation*} \notag$

Для доказательства представления (8) достаточно применить третью формулу Грина (см., например, [11]) к функции

$\psi(x,t)-\chi(t)\psi_0(x)$ . Заметим, что в работе [12] приведены мажоранты для производных функции Грина следующего вида:

$\begin{equation*} |D_t^rD_x^sG(x,t;y,\tau)|\leqslant\frac{A_1}{(t-\tau)^{(3+2r+s)/2}} \exp\biggl(-a_1\frac{|x-y|^2}{t-\tau}\biggr) \end{equation*} \notag$

при

$t>\tau$ ,

$x\ne y.$ Из этой оценки (см., например, [11]) элементарно получается вспомогательная оценка

$\begin{equation} |D_t^rD_x^sG(x,t;y,\tau)|\leqslant \frac{A_2}{(t-\tau)^{\mu}|x-y|^{3+2r+s-2\mu}},\qquad t>\tau,\quad x\ne y. \end{equation} \tag{9}$

Прежде чем переходить к основной части исследования, нам нужно доказать вспомогательное утверждение о свойстве объемного потенциала

$\begin{equation*} V(x,t):=\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau)f(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{equation*} \notag$

Справедливо следующее утверждение (см., например, [11]).

Лемма 1. Если функция $f(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ , то объемный потенциал $V(x,t)$ принадлежит пространству ${C}^{(1,0)}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$ и для всех $(x,t)\in D_T$ справедливо равенство

$\begin{equation*} D_{x_i}V(x,t)=\int_0^t\int_{\Omega}D_{x_i}G(x,t;y,\tau)f(y,\tau)\,dy\,d\tau, \end{equation*} \notag$

причем справедлива оценка

$\begin{equation*} |V(x,t)|_{0;D_T}+\sum_{i=1}^N|D_{x_i}V(x,t)|_{0;D_T}\leqslant M(N,\theta)T^{\theta}|f(x,t)|_{0;D_T} \end{equation*} \notag$

для любого

$\theta\in(0,1)$ .

С учетом оценки (9) справедливо следующее утверждение (см. теорему 5 работы [13]).

Лемма 2. Если область $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ выпуклая и функция $f(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ , справедлива оценка производных

$\begin{equation*} |V_{x_i}(x'',t'')-V_{x_i}(x',t')|\leqslant M(N,T,\alpha)|f(x,t)|_{0;D_T}[|x''-x'|^{\alpha}+|t''-t'|^{\alpha/2}] \end{equation*} \notag$

для всех

$(x'',t''), (x',t')\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T$ и любого

$\alpha\in(0,1)$ .

Наконец, справедливо следующее известное утверждение [11].

Лемма 3. Если функция $f(x,t)\in{C}^{\alpha/2,\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ при $\alpha\in(0,1)$ , то

$\begin{equation*} V(x,t)\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T) \end{equation*} \notag$

и справедливы поточечные равенства

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}-\Delta V(x,t)=f(x,t)\quad\textit{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ V(x,t)=0\quad\textit{для}\quad (x,t)\in S_T,\qquad V(x,0)=0\quad\textit{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

4. Постановка первой краевой задачи

Рассмотрим следующую первую краевую задачу в ограниченной цилиндрической области $D_T=\Omega\times(0,T)$ :

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma\Delta\phi+\gamma\Delta\psi=0, \\ \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi), \end{gathered}\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{10}$

$\begin{equation} \psi(x,t)=\phi(x,t)=0\quad\text{при}\quad (x,t)\in S_T, \end{equation} \tag{11}$

$\begin{equation} \phi(x,0)=\phi_0(x),\quad\psi(x,0)=\psi_0(x)\quad\text{при}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{equation} \tag{12}$

Дадим определение классического решения первой краевой задачи (10)–(12).

Определение 1. Пара функций $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ называется классическим решением задачи (10)–(12), если

$\begin{equation*} \phi(x,t),\;\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t},\;\psi(x,t)\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T),\qquad\alpha\in(0,1), \end{equation*} \notag$

и пара функций

$\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ удовлетворяют задаче (10)–(12) поточечно.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 4. В классе классических решений $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ при условии согласования $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$ и $\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ задача (10)–(12) эквивалентна следующей задаче:

$\begin{equation} \phi(x,t)=\phi_0(x) e^{-\sigma_0t}+\gamma_0\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)}\psi(x,\tau)\,d\tau,\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{13}$

$\begin{equation} \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi),\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{14}$

$\begin{equation} \nonumber \psi(x,t)=0\quad\textit{при}\quad (x,t)\in S_T, \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \nonumber \psi(x,0)=\psi_0(x)\quad\textit{при}\quad x\in\overline{\Omega}, \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \nonumber \sigma_0=\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon},\qquad \gamma_0=\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon}. \end{equation} \notag$

Доказательство. Заметим только, что если $\psi(x,t)\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ и $u_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ , то функция $\phi(x,t)$ , определенная равенством (13), принадлежит классу

$\begin{equation*} \phi(x,t),\;\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T),\qquad\alpha\in(0,1), \end{equation*} \notag$

и для нее справедливы поточечные равенства (10)–(12).

Справедлива следующая

Лемма 5. Если $\psi_0(x)\geqslant 0$ , то в классе $\psi(x,t),\phi(x,t)\in{C}^{(2,1)}({D}_T\cup B_T)\cap{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ имеем $\psi(x,t)\geqslant 0$ для всех $(x,t)\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T$ .

Доказательство. Доказательство основано на признаке сравнения для дифференциального неравенства

$\begin{equation*} \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}-\Delta\psi-\gamma(D_x\phi,D_x\psi)\geqslant 0,\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation*} \notag$

для некоторого фиксированного

$\phi(x,t)$ .

5. Существование непродолжаемого во времени решения интегрального уравнения

Рассмотрим вспомогательное интегральное уравнение вида (8):

$\begin{equation} \psi(t)=\chi(t)\psi_0(x) +\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) [\sigma|D_yA(\psi)(y,\tau)|^2+\gamma(D_yA(\psi),D_y\psi)-{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad- \chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau, \end{equation} \tag{15}$

$\begin{equation} \phi(x,t)=A(\psi)(x,t) :=\phi_0(x) e^{-\sigma_0t}+\gamma_0\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)}\psi(x,\tau)\,d\tau, \end{equation} \tag{16}$

где

$G(x,t;\xi,\tau)$ – функция Грина первой краевой задачи для оператора теплопроводности

$\begin{equation*} L_{\varepsilon_0}:=\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_x,\qquad\varepsilon_0>0, \end{equation*} \notag$

в ограниченной цилиндрической области

$D_T=\Omega\times(0,T)$ . Справедлива следующая

Лемма 6. Имеет место оценка

$\begin{equation} \begin{aligned} \, |(&D_xA(u_1),D_xu_1)-(D_xA(u_2),D_xu_2)|_{0;D_T}\leqslant{} \notag \\ &\leqslant 2\frac{\gamma_0}{\sigma_0}[1-e^{-\sigma_0T}] \max\{|D_xu_1|_{0;D_T},|D_xu_2|_{0;D_T}\}|D_xu_1-D_xu_2|_{0;D_T}. \end{aligned} \end{equation} \tag{17}$

Доказательство. Справедливы следующие равенства:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, (D_xA(u_1),D_xu_1)-(D_xA(u_2),D_xu_2)=\int_0^1\frac{d}{d s}(D_xA(u_s),D_xu_s)\,ds,\\ u_s=su_1+(1-s)u_2, \\ \frac{d}{d s}A(u_s)=\gamma_0\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)}[u_1(x,\tau)-u_2(x,\tau)]\,d\tau, \\ \frac{d}{ds}u_s=u_1-u_2,\qquad\int_0^1u_s\,ds=\frac{u_1+u_2}{2}. \end{gathered} \end{equation} \tag{18}$

Из (17), (18) получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, (D_xA(u_1),&D_xu_1)-(D_xA(u_2),D_xu_2)={} \\ &= \frac{\gamma_0}{2}\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)} [(D_xu_1(\tau)-D_xu_2(\tau),D_xu_1(t)+D_xu_2(t))+{} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad+ (D_xu_1(\tau)+D_xu_2(\tau),D_xu_1(t)-D_xu_2(t))]\,d\tau, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

откуда имеем оценку

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |(D_x&A(u_1),D_xu_1)-(D_xA(u_2),D_xu_2)|_{0;D_T}\leqslant{} \\ &\leqslant 2\frac{\gamma_0}{\sigma_0}[1- e^{-\sigma_0T}] \max\{|D_xu_1|_{0;D_T},|D_xu_2|_{0;D_T}\}|D_xu_1-D_xu_2|_{0;D_T}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 7. Линейный оператор (16) действует как

$\begin{equation*} A\!:\;{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)\to {C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T), \end{equation*} \notag$

и в классе функций

$\psi(x,t)\in{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ справедлива оценка

$\begin{equation*} |D_xA(\psi)(x,t)|_{0;D_T}\leqslant|D_x\phi_0(x)|_{0;D_T}+ \frac{\gamma_0}{\sigma_0}[1- e^{-\sigma_0T}] |D_x\psi(x,t)|_{0;D_T}. \end{equation*} \notag$

Рассмотрим отображения

$\begin{equation*} F_1(\psi):=|D_xA(\psi)|^2,\qquad F_2(\psi):=(D_xA(\psi),D_x\psi). \end{equation*} \notag$

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 8. Отображение $F_1(\psi)$ действует как

$\begin{equation*} F_1(\psi):\;{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)\to {C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T), \end{equation*} \notag$

и справедлива оценка

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |F_1(\psi_1)-F_1(\psi_2)|_{0;D_T}&\leqslant 2\frac{\gamma_0}{\sigma_0}(1- e^{-\sigma_0T})\times{} \\ &\times \max\{|D_xA(\psi_1)|_{0;D_T},|D_xA(\psi_2)|_{0;D_T}\} |D_x\psi_1-D_x\psi_2|_{0;D_T}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Доказательство. Утверждение леммы вытекает из лемм 6 и 7.

Введем отображение

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \hat{G}(\psi)(x,t)&:=\chi(t)\psi_0(x)+ \int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau)\times{} \\ &\times [\sigma F_1(\psi)(y,\tau)+\gamma F_2(\psi)- \chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Справедлива следующая (см. [5])

Теорема 1. Если $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ , то отображение $\hat{G}$ действует как

$\begin{equation*} \hat{G}\!:\;{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)\to{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T), \end{equation*} \notag$

и справедлива оценка

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &|\hat{G}(\psi_1)-\hat{G}(\psi_2)|_{1,0;D_T}\leqslant M_1(N,\theta,q_0,p,\gamma_0)T^{1+\theta}\times{} \\ &\times [\max\{|\psi_1|_{0;D_T},|\psi_2|_{0;D_T}\}+\max\{|D_xA(\psi_1)|_{0;D_T}^{p-1},|D_xA(\psi_2)|_{0;D_T}^{p-1}\}] |\psi_1-\psi_2|_{1,0;D_T} \end{aligned} \end{equation*} \notag$

для любого

$\theta\in(0,1)$ .

Из этой теоремы вытекает

Теорема 2. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$ , $\phi_0(x)\in{C}^{(1)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ найдется такое малое $T>0$ , что существует единственное решение интегрального уравнения (15) в классе ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ .

Доказательство. Доказательство основано на применении принципа сжимающих отображений и теореме 1.

Используя стандартный алгоритм продолжения решений интегральных уравнений типа Вольтерра во времени (см., например, [14]), получим следующий результат.

Теорема 3. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$ , $\phi_0(x)\in{C}^{(1)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(\phi_0,\psi_0,\chi)>0$ , что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение интегрального уравнения (15) в классе ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ , причем либо $T_0=+\infty$ , либо $T_0<+\infty$ , и в последнем случае справедливо предельное свойство

$\begin{equation} \lim_{T\uparrow T_0}|\psi(x,t)|_{1,0;D_T}=+\infty. \end{equation} \tag{19}$

6. Существование классического решения задачи (10)–(12)

Справедлива следующая (см. [5])

Теорема 4. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ , $\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ при $\alpha\in(0,1]$ и $\chi(t)\in{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$ оператор $\hat{G}$ на решениях интегрального уравнения (15) действует как

$\begin{equation*} \hat{G}\!:\;{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)\to {C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T). \end{equation*} \notag$

Таким образом, из теоремы 4 с учетом теоремы 3 вытекает следующее утверждение (см. [5]).

Теорема 5. Для любых $\psi_0(x),\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ при $\alpha\in(0,1]$ , $\chi(t)\in{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$ при выполнении условий согласования $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(\phi_0,\psi_0,\chi(t))>0$ , что существует единственное классическое решение задачи (10)–(12) для любого $T\in(0,T_0)$ , причем либо $T_0=+\infty$ , либо $T_0<+\infty$ , и в последнем случае выполнено предельное свойство (19).

7. Глобальная во времени разрешимость при $\sigma=0$

Рассмотрим систему уравнений (3), (4). Теорема 5, как нетрудно заметить, доказана при выполнении условий (5). Пусть $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ – классическое решение первой краевой задачи (10)–(12) для произвольного $T\in(0,T_0)$ . Тогда имеет место система уравнений (13), (14), из которой вытекают, в частности, равенства

$\begin{equation} \frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\sigma\phi+\gamma\psi=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{20}$

$\begin{equation} \nonumber \frac{\varepsilon}{8\pi}\frac{\partial|D_x\phi|^2}{\partial t}+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\psi,D_x\phi)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\biggl(\varepsilon_0\psi+\frac{\varepsilon}{8\pi}|D_x\phi|^2\biggr)=\Delta\psi\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T. \end{equation} \tag{21}$

Из равенств (20) и (21) нетрудно получить следующее дифференциальное следствие:

$\begin{equation} \frac{\varepsilon_0\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+ \frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\frac{\varepsilon}{4\pi}\Delta\phi+\varepsilon_0\sigma\phi\biggr)-\sigma\Delta\phi= \frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \end{equation} \tag{22}$

причем из уравнения (20) получаем дополнительное начальное условие:

$\begin{equation} \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\bigg|_{t=0}=-\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\phi_0(x)-\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon}\psi_0(x). \end{equation} \tag{23}$

Заметим, что справедлива следующая

Лемма 9. В классе классических решений система уравнений (10)–(12) эквивалентна уравнениям (20) и (22) при выполнении граничных условий (11) и (12), причем выполнено условие согласования (23).

Уравнение третьего порядка (22) является уравнением псевдопараболического типа (см., например, [15], [16]). Рассмотрим случай, когда $\sigma=0$ . В этом случае получим следующее уравнение:

$\begin{equation} \varepsilon_0\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi=\frac{\gamma}{2}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2. \end{equation} \tag{24}$

Проинтегрируем обе части равенства (24) по времени и получим

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial t}-\Delta\phi=\frac{\gamma}{2}|D_x\phi|^2+f_0(x), \\ f_0(x):=-\frac{4\pi\varepsilon_0\gamma}{\varepsilon}\psi_0(x)-\Delta\phi_0(x)-\frac{\gamma}{2}|D_x\phi_0(x)|^2. \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{25}$

Заметим, что справедливо равенство (см., например, [17])

$\begin{equation} e^{-\gamma\phi/2}\biggl(\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta\biggr)e^{\gamma\phi/2}= \frac{\gamma}{2}\biggl[\varepsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial t}-\Delta\phi-\frac{\gamma}{2}|D_x\phi|^2\biggr]. \end{equation} \tag{26}$

Введем новую функцию

$\begin{equation*} g(x,t):=\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi(x,t)\biggr). \end{equation*} \notag$

Тогда с учетом (26) из (25) получим линейное уравнение

$\begin{equation} \begin{gathered} \, Lg(x,t):=\varepsilon_0\frac{\partial g(x,t)}{\partial t}-\Delta g(x,t)-f_1(x)g(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ f_1(x):=\frac{\gamma}{2}f_0(x), \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{27}$

причем выполнены граничные условия на параболической части границы

$S_T\cup B:$

$\begin{equation} \begin{gathered} \, g(x,t)=1\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \notag \\ g(x,0)=\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered} \end{equation} \tag{28}$

Заметим, что найдется такая постоянная $c_0\in\mathbb{R}$ , что выполнено неравенство

$\begin{equation*} f_1(x)\geqslant c_0:=\min_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x)\quad\text{для всех}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{equation*} \notag$

Тогда из уравнения (27) с учетом того, что

$g(x,t)\geqslant 0$ , получим неравенство

$\begin{equation*} \varepsilon_0\frac{\partial g(x,t)}{\partial t}-\Delta g(x,t)-c_0g(x,t)=[f_1(x)-c_0]g(x,t)\geqslant 0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T. \end{equation*} \notag$

Отсюда в силу признака сравнения для оператора

$\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_x$ получим оценку снизу:

$\begin{equation} m_1\leqslant g(x,t) e^{-c_0 t/\varepsilon_0}\leqslant g(x,t), \end{equation} \tag{29}$

где постоянная

$m_1>0$ определена равенством

$\begin{equation} m_1:=\min\biggl\{e^{-c_0 t/\varepsilon_0},\min_{x\in\overline{\Omega}}\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr\}. \end{equation} \tag{30}$

А в силу принципа максимума модуля для решения

$g(x,t)$ задачи (27), (28) получим неравенство

$\begin{equation} g(x,t)\leqslant e^{c_1 T/\varepsilon_0} M_1,\qquad c_1:=\max\Bigl\{0,\max_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x)\Bigr\}, \end{equation} \tag{31}$

где постоянная

$M_1\geqslant 0$ определена как

$\begin{equation} M_1:=\max\biggl\{1,\max_{x\in\overline{\Omega}}\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr\}. \end{equation} \tag{32}$

Теперь заметим, что функция

$\begin{equation} g_1(x,t):=\frac{\partial g(x,t)}{\partial t} \end{equation} \tag{33}$

удовлетворяет задаче

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial g_1(x,t)}{\partial t}-\Delta g_1(x,t)-f_1(x)g_1(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ g_1(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \\ g_1(x,0)=-\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Введем новую функцию

$\begin{equation} g_1(x,t)=g_2(x,t) e^{c_1 t/\varepsilon_0}. \end{equation} \tag{34}$

Тогда для новой функции

$g_2(x,t)$ получим следующую задачу:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial g_2(x,t)}{\partial t}-\Delta g_2(x,t)+[c_1-f_1(x)]g_2(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ g_2(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \\ g_2(x,0)=-\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

В силу принципа максимума модуля получим

$\begin{equation} |g_2(x,t)|\leqslant\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\max_{x\in\overline{\Omega}} \biggl|\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr|. \end{equation} \tag{35}$

Из (33)–(35) получим, что справедливо неравенство

$\begin{equation} \frac{\gamma}{2}\biggl|\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|g(x,t)\leqslant M_2 e^{c_1 T/\varepsilon_0}, \end{equation} \tag{36}$

где постоянная

$M_2\geqslant 0$ определена как

$\begin{equation} M_2:=\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\max_{x\in\overline{\Omega}} \biggl|\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr|<+\infty. \end{equation} \tag{37}$

Таким образом, доказана следующая основная

Теорема 6. Если $\sigma=0$ и $\phi_0(x),\psi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ , причем выполнены условия $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$ , то существует единственное глобальное во времени классическое решение задачи (10)–(12), причем для любого $T>0$ справедливы следующие оценки:

$\begin{equation} \frac{2\ln m_1}{\gamma}\leqslant\phi(x,t)\leqslant\frac{2(\ln M_1+c_1T/\varepsilon_0)}{\gamma},\qquad 0<m_1\leqslant M_1, \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \biggl|\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|\leqslant \frac{2}{\gamma}\frac{M_2}{m_1} e^{c_1 T/\varepsilon_0},\qquad 0\leqslant M_2<+\infty, \end{equation} \tag{38}$

$\begin{equation} |\psi(x,t)|\leqslant\frac{\varepsilon}{2\pi\gamma^2}\frac{M_2}{m_1} e^{c_1 T/\varepsilon_0},\qquad c_0:=\min_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x),\qquad c_1:=\max\Bigl\{0,\max_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x)\Bigr\}, \end{equation} \tag{39}$

$\begin{equation} f_1(x):=-\frac{\gamma}{2}\biggl(\frac{4\pi\varepsilon_0\gamma}{\varepsilon}\psi_0(x)+\Delta\phi_0(x)+\frac{\gamma}{2}|D_x\phi_0(x)|^2\biggr), \nonumber \end{equation} \notag$

где постоянные

$m_1$ ,

$M_1$ и

$M_2$ определены равенствами (30), (32) и (37) соответственно.

Доказательство. Доказательство основано на оценках (36) и (29), (31), из которых и из теоремы 5 в силу равенства (20) вытекает, что $T_0=+\infty$ .

Замечание 1. Отметим, что в работе [5] получен результат о разрушении за конечное время близкой системы уравнений при условии, что проводимость $\sigma>0$ и достаточно велика. Из оценок (38) и (39) вытекает, что если $\sigma=0$ , то при $\psi_0(x)\equiv 0$ единственным классическим решением задачи (10)–(12) будет решение

$\begin{equation*} \psi(x,t)=0\quad\text{и}\quad\phi(x,t)=\phi_0(x)\quad\text{для всех}\quad (x,t)\in\overline{\Omega}\times[0,+\infty). \end{equation*} \notag$

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	А. В. Тимошенко, Д. В. Калеев, А. Ю. Перлов, В. М. Антошина, Д. В. Рябченко, “Сравнительный анализ аналитических и эмпирических методик оценки текущих параметров надежности радиолокационных комплексов мониторинга”, Изв. вузов. Электроника, 25:3 (2020), 244–254
2.	М. О. Корпусов, “О разрушении решения уравнения, родственного уравнению Гамильтона–Якоби”, Матем. заметки, 93:1 (2013), 81–95
3.	М. О. Корпусов, “О разрушении решения нелокального уравнения с градиентной нелинейностью”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 11 (2012), 45–53
4.	М. О. Корпусов, А. А. Панин, А. Е. Шишков, “О критическом показателе “мгновенное разрушение” versus “локальная разрешимость” в задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 118–153
5.	М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, Р. С. Шафир, “О разрушении решения одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели”, Матем. заметки, 114:5 (2023), 759–772
6.	Ф. Г. Басс, В. С. Бочков, Ю. С. Гуревич, Электроны и фононы в ограниченных полупроводниках, Наука, М., 1984
7.	В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников, Физика полупроводников, Наука, М., 1990
8.	В. Л. Бонч-Бруевич, И. П. Звягин, А. Г. Миронов, Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках, Наука, М., 1972
9.	Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. VIII, Электродинамика сплошных сред, Физматлит, М., 2005
10.	Н. В. Крылов, Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера, Научная книга, Новосибирск, 1998
11.	А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, Мир, М., 1968
12.	О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967
13.	В. Погожельский, “Исследование интегралов параболического уравнения и краевых задач в неограниченной области”, Матем. сб., 47(89):4 (1959), 397–430
14.	А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903
15.	Г. А. Свиридюк, “К общей теории полугрупп операторов”, УМН, 49:4(298) (1994), 47–74
16.	А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер, Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа, Физматлит, М., 2007
17.	А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов, Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, Наука, М., 1987

Образец цитирования: М. О. Корпусов, А. Ю. Перлов, А. В. Тимошенко, Р. С. Шафир, “О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с квадратичной нелинейностью”, ТМФ, 217:2 (2023), 378–390; Theoret. and Math. Phys., 217:2 (2023), 1743–1754

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{KorPerTym23}

\by М.~О.~Корпусов, А.~Ю.~Перлов, А.~В.~Тимошенко, Р.~С.~Шафир

\paper О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с~квадратичной нелинейностью

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 217

\issue 2

\pages 378--390

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10520}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10520}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4670396}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...217.1743K}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 217

\issue 2

\pages 1743--1754

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923110090}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85177655959}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10520

https://doi.org/10.4213/tmf10520

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v217/i2/p378

Эта публикация цитируется в следующих 8 статьяx:

М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, А. А. Панин, “К вопросу о разрешимости задачи Коши одной тепло-электрической модели”, ТМФ, 222:2 (2025), 217–232 ; M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, A. A. Panin, “On the solvability of the Cauchy problem for a thermal–electrical model”, Theoret. and Math. Phys., 222:2 (2025), 183–197
М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, “О существовании непродолжаемого решения задачи Коши одной $(1+1)$ -мерной тепло-электрической модели”, Матем. заметки, 115:5 (2024), 645–657 ; M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, “On the Existence of a Nonextendable Solution of the Cauchy problem for a $(1+1)$ -Dimensional Thermal-Electrical Model”, Math. Notes, 115:5 (2024), 653–663
М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, “О разрушении решения одной $(1+1)$ -мерной тепло-электрической модели”, ТМФ, 219:2 (2024), 249–262 ; M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, “On the blow-up of the solution of a $(1+1)$ -dimensional thermal–electrical model”, Theoret. and Math. Phys., 219:2 (2024), 748–760
M. O. Korpusov, R. S. Shafir, A. K. Matveeva, “Numerical Diagnostics of Solution Blow-Up in a Thermoelectric Semiconductor Model”, Comput. Math. and Math. Phys., 64:7 (2024), 1595
M. V Artemeva, M. O Korpusov, “THE CAUCHY PROBLEM FOR AN NONLINEAR WAVE EQUATION”, Differencialʹnye uravneniâ, 60:10 (2024), 1299
М. В. Артемьева, М. О. Корпусов, “О существовании непродолжаемого решения задачи Коши одной $(3+1)$ -мерной тепло-электрической модели”, ТМФ, 221:3 (2024), 702–715 ; M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, “On the existence of a nonextendable solution of the Cauchy problem for a $(3+1)$ -dimensional thermal–electrical model”, Theoret. and Math. Phys., 221:3 (2024), 2207–2218
М. О. Корпусов, Р. С. Шафир, А. К. Матвеева, “Численная диагностика разрушения решения одной тепло-электрической модели полупроводника”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 64:7 (2024), 1314–1322 ; M. O. Korpusov, R. S. Shafir, A. K. Matveeva, “Numerical diagnostics of solution blow-up in a thermoelectric semiconductor model”, Comput. Math. Math. Phys., 64:7 (2024), 1595–1602
M. V. Artemeva, M. O. Korpusov, “The Cauchy Problem for a Nonlinear Wave Equation”, Diff Equat, 60:10 (2024), 1369

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	233
PDF полного текста:	31
HTML русской версии:	90
Список литературы:	37
Первая страница:	10

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Вывод системы уравнений

3. Обозначения и вспомогательные результаты

4. Постановка первой краевой задачи

5. Существование непродолжаемого во времени решения интегрального уравнения

6. Существование классического решения задачи (10)–(12)

7. Глобальная во времени разрешимость при \sigma=0\sigma=0

Конфликт интересов

Список литературы

7. Глобальная во времени разрешимость при $\sigma=0$