Аннотация:
Исследуется асимптотика вероятности попадания суммы независимых одинаково распределенных случайных векторов в малый куб с вершиной в точке x в следующих двух случаях.
A. Когда относительные (нормированные) уклонения x/n (n — число слагаемых в сумме) находятся в области аналитичности функции уклонений Λ(α) слагаемого (если при этом |x|/n→∞, то говорят о сверхбольших уклонениях).
B. Когда имеет место альтернативная возможность, т.е. x/n располагается вне области аналитичности функции Λ(α).
В задачах A, B асимптотика вероятностей сверхбольших уклонений (когда |x/n|→∞),
так же как асимптотика вероятностей “обычных” больших уклонений в задаче B (когда x/n отделено от математического ожидания слагаемого и сравнимо с константой), во многом оставалась не изученной.
Настоящая работа, состоящая из двух частей, посвящена, главным образом, решению задачи A для сверхбольших уклонений.
В части I приводится решение задачи A в общем многомерном случае. При этом в качестве первого шага используется преобразование Крамера, позволяющее свести задачу о сверхбольших уклонениях
исходной суммы к задаче о нормальных уклонениях суммы преобразованных векторов. Затем используется интегро-локальная или локальная теорема для сумм случайных векторов в схеме серий в области нормальных уклонений. Нужные версии этих теорем содержатся в [11] и в § 5. В части I приведена также схема решения задачи B, которой будет посвящена отдельная работа.
Если распределение суммы в некоторой окрестности точки x абсолютно непрерывно, то изучается асимптотика соответствующей плотности в этой точке.
Ключевые слова:
функция уклонений, большие уклонения, сверхбольшие уклонения, интегро-локальная теорема, схема серий, преобразование Крамера.
Образец цитирования:
А. А. Боровков, А. А. Могульский, “О больших и сверхбольших уклонениях сумм независимых случайных векторов при выполнении условия Крамера. I”, Теория вероятн. и ее примен., 51:2 (2006), 260–294; Theory Probab. Appl., 51:2 (2007), 227–255
Igor Kortchemski, Cyril Marzouk, “Large deviation local limit theorems and limits of biconditioned planar maps”, Ann. Appl. Probab., 33:5 (2023)
Г. А. Бакай, “Большие уклонения для обрывающегося обобщенного процесса восстановления”, Теория вероятн. и ее примен., 66:2 (2021), 261–283; G. A. Bakay, “Large deviations for a terminating compound renewal process”, Theory Probab. Appl., 66:2 (2021), 209–227
Trojan B., “Long Time Behavior of Random Walks on the Integer Lattice”, Mon.heft. Math., 191:2 (2020), 349–376
Г. А. Бакай, А. В. Шкляев, “Большие уклонения обобщенного процесса восстановления”, Дискрет. матем., 31:1 (2019), 21–55; G. A. Bakai, A. V. Shklyaev, “Large deviations of generalized renewal process”, Discrete Math. Appl., 30:4 (2020), 215–241
Peter Eichelsbacher, Thomas Kriecherbauer, Katharina Schüler, “Precise Deviations Results for the Maxima of Some Determinantal Point Processes: the Upper Tail”, SIGMA, 12 (2016), 093, 18 pp.
А. А. Боровков, А. А. Могульский, “Экспоненциальные неравенства чебышевского типа для сумм случайных векторов и для траекторий случайных блужданий”, Теория вероятн. и ее примен., 56:1 (2011), 3–29; A. A. Borovkov, A. A. Mogul'skii, “Chebyshev type exponential inequalities for sums of random vectors and random walk trajectories”, Theory Probab. Appl., 56:1 (2012), 21–43
А. А. Боровков, А. А. Могульский, “О принципах больших уклонений в метрических пространствах”, Сиб. матем. журн., 51:6 (2010), 1251–1269; A. A. Borovkov, A. A. Mogul'skiǐ, “On large deviation principles in metric spaces”, Siberian Math. J., 51:6 (2010), 989–1003
А. А. Могульский, “Интегральные и интегро-локальные теоремы для сумм случайных величин с семиэкспоненциальными распределениями”, Сиб. электрон. матем. изв., 6 (2009), 251–271
А. А. Могульский, Ч. Пагма, “Сверхбольшие уклонения сумм случайных величин с общим арифметическим суперэкспоненциальным распределением”, Матем. тр., 11:1 (2008), 81–112; A. A. Mogulskiǐ, Ch. Pagma, “Superlarge deviations for sums of random variables with arithmetical super-exponential distributions”, Siberian Adv. Math., 18:3 (2008), 185–208
А. А. Могульский, “Интегро-локальная теорема, действующая на всей полуоси, для сумм случайных величин с правильно меняющимися распределениями”, Сиб. матем. журн., 49:4 (2008), 837–854; A. A. Mogul'skii, “An integro-local theorem applicable on the whole half-axis to the sums of random variables with regularly varying distributions”, Siberian Math. J., 49:4 (2008), 669–683
А. А. Боровков, А. А. Могульский, “Вероятности больших уклонений для сумм независимых случайных векторов на границе и вне крамеровской зоны. I”, Теория вероятн. и ее примен., 53:2 (2008), 336–344; A. A. Borovkov, A. A. Mogul'skii, “On Large Deviations of Sums of Independent Random Vectors on the Boundary and Outside of the Cramér Zone. I”, Theory Probab. Appl., 53:2 (2009), 301–311
Л. В. Розовский, “Вероятности сверхбольших уклонений сумм независимых случайных величин с экспоненциально убывающим распределением”, Теория вероятн. и ее примен., 52:1 (2007), 175–179; L. V. Rozovskii, “Superlarge deviation probabilities for sums of independent random variables with exponential decreasing distribution”, Theory Probab. Appl., 52:1 (2008), 167–171
А. А. Боровков, А. А. Могульский, “О больших и сверхбольших уклонениях сумм независимых случайных векторов при выполнении условия Крамера. II”, Теория вероятн. и ее примен., 51:4 (2006), 641–673; A. A. Borovkov, A. A. Mogul'skii, “On large and superlarge deviations of sums of independent random vectors under Cramér's condition. II”, Theory Probab. Appl., 51:4 (2007), 567–594
А. А. Боровков, А. А. Могульский, “Интегро-локальные и интегральные теоремы для сумм случайных величин с семиэкспоненциальными распределениями”, Сиб. матем. журн., 47:6 (2006), 1218–1257; A. A. Borovkov, A. A. Mogul'skii, “Integro-local and integral theorems for sums of random variables with semiexponential distributions”, Siberian Math. J., 47:6 (2006), 990–1026
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: