Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны

Исследуется задача об оптимальной функциональной интерполяции интерполяционными в среднем сплайнами в метрике $L_p$. Пусть $n$ – натуральное число, $Y=\{y_k\}$, ($k=0\pm1,\pm2,\dots$) – последовательность действительных чисел и
$$\begin{gather} \|Y\|_{l^{(n)}_p}=\biggl\{\sum_{k=-\infty}^\infty|\Delta^ny_k|^p\biggr\}^{1/p} \qquad\text{при}\quad1\le p<\infty,\notag\\ \|Y\|_{l^{(n)}_\infty}=\sup_k|\Delta^ny_k|.\notag \end{gather}$$
Обозначим через $L^{(n)}_p$ совокупность функций, определенных на числовой прямой, имеющих локально абсолютно непрерывную $(n-1)$-ю производную и $n$-ю производную из $L_p(-\infty,\infty)$ ($1\le p\le\infty$)
$$\|f\|_{L^{(n)}_p}=\|f^{(n)}\|_{L_p}\quad (1\le p\le\infty).$$
Положим
$$F_k(f)=\int_{-\infty}^\infty f(x+kh)\,dg(x)\qquad(0<h<\infty,\quad k=0;\pm1,\pm2,\dots),$$
где $g(x)$ – функция ограниченной вариации. Требуется найти
$$\sup_{\|Y\|_{l^{(n)}_p}\le M}\inf_{\substack{f\in L^{(n)}_n\\ F_k(f)=y_k}}\|f\|_{L^{(n)}_p}.$$
Изучается конечность этой величины, даются оценки сверху и снизу. При конкретном выборе $g(x)$ даются точные решения. Исследуются аппроксимативные свойства интерполяционных в среднем сплайнов.
Библ. – 43 назв.