| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Экстремальная интерполяция в среднем в пространстве В. Т. Шевалдин  Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010097 
Реферативные базы данных:
  ВведениеЧерез $\mathcal L_n=\mathcal L_{n}(D)$, $n\in \mathbb N$, $D$ – символ дифференцирования, обозначим произвольный линейный дифференциальный оператор порядка $n$ с постоянными действительными коэффициентами, у которого коэффициент при старшей степени равен $1$. Оператор $\mathcal L_n$ может быть записан в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\mathcal L_n=\mathcal L_n(D)=\prod_{s=1}^{k}(D^2-2\gamma_sD+\gamma_s^2+\alpha_s^2)\prod_{j=1}^{n-2k}(D-\beta_j),
\end{equation}
\tag{0.1}
$$
где $\alpha_s,\beta_j,\gamma_s\in \mathbb R$, причем в случае $k\ne 0$ можно считать, что $\alpha_s>0$. Линейному дифференциальному оператору $\mathcal L_n$ поставим в соответствие разностный оператор с шагом $h>0$
$$
\begin{equation}
\Delta_h^{\mathcal L_n}y_m=\prod_{s=1}^k(T^2-2Te^{\gamma_sh}\cos\alpha_sh+e^{2\gamma_sh}E) \prod_{j=1}^{n-2k}(T-e^{\beta_jh}E)y_m,
\end{equation}
\tag{0.2}
$$
определенный на пространстве бесконечных в обе стороны последовательностей $y=\{y_m\}_{m=-\infty}^{\infty}$. Здесь $Ty_m=y_{m+1}$ и $E$ – тождественный оператор. Разностный оператор $\Delta_h^{\mathcal L_n}$ выбран таким образом, что для любого решения $f$ линейного однородного уравнения $\mathcal L_n(D)f=0$ при любом $x\in \mathbb R$ имеет место равенство Введем класс последовательностей
$$
\begin{equation*}
Y_{h,p}=\bigl\{y=\{y_m\}_{m=-\infty}^{\infty}\colon \|\Delta_h^{\mathcal L_n}y\|_{l_p}\leqslant 1 \bigr\}, \qquad h>0, \quad 1\leqslant p\leqslant \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Норма в пространстве последовательностей $y$ определяется, как обычно, при помощи равенства
$$
\begin{equation*}
\|y\|_{l_p}= \begin{cases} \displaystyle \biggl(\sum_{m\in \mathbb Z}|y_m|^p \biggr)^{1/p},& 1\leqslant p<\infty, \\ \displaystyle \sup_{m}|y_m|,& p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathrm{AC}$ – класс локально абсолютно непрерывных функций $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$, $C[a,b]$ – пространство непрерывных функций на отрезке $[a,b]$, $L_p(\mathbb R)$, $1\leqslant p<\infty$, – пространство абсолютно интегрируемых на $\mathbb R$ функций $f$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_p(\mathbb R)}=\biggl(\int_{\mathbb R}|f(t)|^p\,dt \biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
и $L_{\infty}(\mathbb R)$ – пространство существенно ограниченных на $\mathbb R$ функций с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_{\infty}(\mathbb R)}=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in \mathbb R}|f(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае оператора $\mathcal L_n(D)=D^n$ задача о связи конечных разностей $\Delta_h^{D^n}=\Delta_h^{n}$ (а также разделенных разностей) порядка $n$ и производной функции $n$-го порядка хорошо известна (см., например, [1]). Фавар [2] (см. также [3]–[5]) в 1940 г. рассматривал эту задачу в экстремальной постановке на отрезке для неравномерной сетки узлов и соответствующих разделенных разностей. В начале 60-х годов прошлого века Яненко и Стечкин в частном случае для оператора $\mathcal L_n(D)=D^n$ $n$-кратного дифференцирования поставили задачу, которую сейчас принято называть задачей экстремальной функциональной интерполяции. Эта задача возникла в исследованиях Яненко при обосновании им разностных методов решения дифференциальных уравнений, а Стечкину принадлежит ее формулировка в форме экстремальной задачи. Пусть $h_1>0$. Для любой последовательности $y\in Y_{h,p}$ рассмотрим класс функций
$$
\begin{equation*}
F_{h,h_1,p}(y)=\biggl\{f\colon f^{(n-1)}\in \mathrm{AC},\ \mathcal L_n(D)f\in L_p(\mathbb R), \ \frac{1}{h_1}\int_{-h_1/2}^{h_1/2}\!f(mh+t)\,dt=y_m,\ m\in \mathbb Z \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
(при $h_1=0$ полагаем $f(mh)=y_m$). Для любой последовательности $y\in Y_{h,p}$ требуется доказать непустоту класса $F_{h,h_1,p}(y)$ и вычислить (или эффективно оценить снизу и сверху) следующую величину:
$$
\begin{equation}
A_p=A_p(\mathcal L_n,h,h_1)=\sup_{y\in Y_{h,p}}\inf_{f\in F_{h,h_1,p}(y)}\|\mathcal L_n(D)f\|_{L_p(\mathbb R)}.
\end{equation}
\tag{0.3}
$$
Решению этой задачи (а также ее обобщениям) посвящено значительное число работ (см. работы Субботина [6]–[8] для оператора $\mathcal L_n(D)=D^n$ и большой обзор [9]). Основным моментом точного решения задачи (0.3) у Субботина в случае оператора $n$-кратного дифференцирования было построение интерполяционных полиномиальных сплайнов (с “правильными” узлами “склейки”) и их обобщений, которые оказались экстремальными функциями в данной задаче. Его исследования нашли многочисленные применения, как в экстремальных задачах теории приближения функций (например, при вычислении поперечников соболевских классов функций), так и в вычислительной математике, при моделировании различных процессов в науке и технике (см. [9] и имеющиеся там ссылки). В данной работе мы изучаем только задачу интерполяции в среднем, т.е. при $h_1\ne 0$. В случае интерполяции в среднем решение задачи (0.3) оказалось очень трудным, и результатов в этом направлении немного. Для оператора $\mathcal L_n(D)=D^n$ величину (0.3) при $1<p\leqslant \infty$, $0<h<\infty$, $0\leqslant h_1\leqslant 2h$ (а также при $p=1$, $0<h<\infty$, $h_1=0$) вычислил Субботин [6]–[8], [10]–[12]. Надо заметить, что промежуток времени между первой и последней работами Субботина на эту тему составляет 32 года, причем случай $h<h_1\leqslant 2h$ (пересекающиеся интервалы усреднения) оказался для исследования наиболее трудным. Им [10] было доказано, что при любом $r\in \mathbb N$ имеет место равенство $A_p(D^n,h,2rh)=+\infty$, $1<p\leqslant \infty$. Шарма и Цимбаларио [13] для оператора $\mathcal L_n(D)=\prod_{j=1}^n(D-\beta_j)$ при условии его формальной самосопряженности (т.е. при $\mathcal L_n(-D)=(-1)^n\mathcal L_n(D)$) вычислили величину (0.3) в случае $h_1=0$ и $p=\infty$. Автор [14] в 1983 г. вычислил величину $A_p$ при $1\leqslant p\leqslant \infty$, $0<h<h_0=\pi/(\max \alpha_s)$ для произвольного линейного дифференциального оператора вида (0.1) для непересекающихся интервалов усреднения, т.е. в случае $0\leqslant h_1\leqslant h$. Позже в 1998 г. в [15] автору удалось найти величину (0.3) при $0<h<h_0$, $h<h_1\leqslant 2h$ (пересекающиеся интервалы усреднения) также в общем случае для произвольного линейного дифференциального оператора $\mathcal L_n$ вида (0.1), но только при $p=\infty$, причем оказалось, что $A_{\infty}(\mathcal L_n,h,2h)=\infty$, и интерес к задаче экстремальной интерполяции на долгое время утих. Недавно автор (см. [16]), используя идеи предыдущих работ Субботина и собственные результаты [14], [15], обобщил свой отмеченный результат 1998 г. на случай $1<p<\infty$, но только при дополнительных предположениях, что оператор $\mathcal L_n$ является формально самосопряженным, и число $n$ нечетно. В настоящей работе мы, продолжая исследования Субботина и автора, указываем значение величины $A_p(\mathcal L_n,h,h_1)$ при $p=1$ и $0<h<h_0$, $h<h_1\leqslant 2h$, если оператор $\mathcal L_n(D)$ – формально самосопряжен (т.е. удовлетворяет равенству $\mathcal L_n(-D)=(-1)^n\mathcal L_n(D)$). Полученный результат является новым, в частности, для оператора $\mathcal L_n(D)=D^n$ $n$-кратного дифференцирования. Решение этой задачи приводит к исследованию свойств большого числа вспомогательных функций, и при их доказательстве в основном применяются методы Субботина из работ [10]–[12] и результаты автора [14]–[18]. Для формулировки основного утверждения настоящей работы введем вспомогательные функции из работ автора [14], [15]. Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H_n(t)=C(\mathcal L_n,h)\sum_{s\in \mathbb Z}\frac{e^{i(2s+1)\pi(1-t)}\sin\bigl((2s+1)\pi h_1/(2h)\bigr)}{\pi(2s+1)h_1p_n\bigl((2s+1)\pi i/h\bigr)}, \\ C(\mathcal L_n,h)=2(-1)^{n+1}h\prod_{s=1}^{k}(1+2e^{\gamma_sh} \cos\alpha_sh+e^{2\gamma_sh})\prod_{j=1}^{n-2k}(1+e^{\beta_jh}), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{0.4}
$$
где $p_n(\lambda)=\prod_{s=1}^{k}(\lambda^2-2\gamma_s\lambda+\gamma_s^2+\alpha_s^2)\prod_{j=1}^{n-2k}(\lambda-\beta_j)$ – характеристический многочлен оператора $\mathcal L_n$. Основным результатом работы является следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $\mathcal L_n=\mathcal L_n(D)$ – произвольный линейный дифференциальный оператор $n$-го порядка вида (0.1), удовлетворяющий условию Тогда при любых $0<h<h_0=\pi/\max\alpha_s$, $h<h_1<2h$ имеет место равенствоИдея доказательства теоремы 1 состоит в следующем. Мы покажем, что при $0<h<h_0$, $h<h_1<2h$ для любой последовательности $y\in Y_{h,1}$ для достаточно малого числа $\delta >0$ существует функция $f_{\delta}\in F_{h,h_1,p}(y)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0}\|\mathcal L_n(D)f_{\delta}\|_{L_1(\mathbb R)}=(\|H_n\|_{C[0,1]})^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, будет указана последовательность $y^*\in Y_{h,1}$ такая, что для любой функции $f\in F_{h,h_1,1}(y^*)$ имеет место неравенство $\|\mathcal L_n(D)f\|_{L_1(\mathbb R)}\geqslant (\|H_n\|_{C[0,1]})^{-1}$.
1. Свойства вспомогательных функцийПри исследовании задачи экстремальной интерполяции (0.3) для линейного дифференциального оператора $\mathcal L_n$ вида (0.1) в предыдущих работах автора [14]–[18] возникли некоторые вспомогательные функции, которые нам понадобятся в дальнейшем при доказательстве теоремы 1. Оператору $\mathcal L_n$ поставим в соответствие оператор $\mathcal L_{n+1}^0(D)=D\mathcal L_n(D)$. Пусть $\varphi_n=\varphi_n(t)$ (соответственно $\varphi_{n+1}^0=\varphi_{n+1}^0(t)$)– единственное решение уравнения $\mathcal L_n(D)f=0$ (соответственно $\mathcal L_{n+1}^0(D)f= 0$) удовлетворяющее условию $\varphi_n^{(j)}(0)=\delta_{j,n-1}$ (соответственно $(\varphi_{n+1}^0)^{(j)}(0)=\delta_{j,n}$). Здесь $\delta_{j,n-1}$ и $\delta_{j,n}$ – символы Кронекера. Дифференциальному оператору $\mathcal L_{n+1}^0$ поставим в соответствие разностный оператор
$$
\begin{equation*}
\Delta_h^{\mathcal L_{n+1}^0}=(T-E)\Delta_h^{\mathcal L_n}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (0.2)), определенный на пространстве последовательностей $y=\{y_m\}_{m=-\infty}^{\infty}$. Операторы $\Delta_h^{\mathcal L_{n}}$ и $\Delta_h^{\mathcal L_{n+1}^0}$ легко привести к виду
$$
\begin{equation*}
\Delta_h^{\mathcal L_{n}}y_m=\sum_{s=0}^{n}(-1)^{n-s}\mu_sy_{m+s}, \qquad \Delta_h^{\mathcal L_{n+1}^0}y_m=\sum_{s=0}^{n+1}(-1)^{n+1-s}\mu_s^0y_{m+s},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu_s=\mu_s(\mathcal L_n,h)>0$, $\mu_s^0=\mu_s^0(\mathcal L_{n+1}^0,h)>0$ и не зависят от $y_m$, причем $\mu_s^0=\mu_s+\mu_{s-1}$, $s=0,1,\dots,n+1$ (числа $\mu_{-1}$ и $\mu_{n+1}$ полагаем равными нулю). Следуя [14], $0\leqslant t\leqslant 1$, $ h>0$ и $h_1>0$ определим функции
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_{n+1}^0(t)=\sum_{j=0}^{n+1}(-1)^j\sum_{s=j}^{n+1}(-1)^{n+1-s}\mu_s^0\varphi_{n+1}^0((s-j+1-t)h), \\ a_{j,n}(t,h,h_1)=\frac{h^2}{h_1}\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h} \sum_{l=0}^{n}(-1)^{n-l}\mu_l\varphi_n((l+x+1-j-t)h_+)\,dx, \\ H_n(t)=\sum_{j=0}^{n+1}(-1)^ja_{j,n}(t,h,h_1). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь, как обычно, $u_+$ означает $\max\{0,u\}$. В силу равенств $P_{n+1}^0(1)=-P_{n+1}^0(0)$, $H_n(1)=-H_n(0)$ эти функции можно продолжить на всю числовую ось с помощью формул
$$
\begin{equation*}
P_{n+1}^0(t+1)=-P_{n+1}^0(t), \qquad H_n(t+1)=-H_n(t).
\end{equation*}
\notag
$$
В [14] автором доказано, что при таком продолжении этих функций имеют место включения $P_{n+1}^0\in C^{(n-1)}(\mathbb R)$, $H_n\in C^{(n)}(\mathbb R)$. Кроме того, справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
H_n(t)=\frac{h}{2h_1}\biggl(P_{n+1}^0\biggl(t+\frac{h_1}{2h}\biggr) -P_{n+1}^0\biggl(t-\frac{h_1}{2h}\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку период построенной функции $H_n(t)$ равен $2$, то ее можно разложить в ряд Фурье, и при этом справедливо представление (0.4) (см. [14], [15]). Свойства функции $H_n(t)$ представлены в [14; лемма 7], [15; лемма 5] и в [16; лемма 5 и замечание 4]. В силу того, что в данной работе мы считаем, что оператор $\mathcal L_n(D)$ является формально самосопряженным (т.е. удовлетворяет равенству $\mathcal L_n(-D)=(-1)^n\mathcal L_n(D)$), то нули и точки экстремума отмеченных функций вычисляются явно, и имеет место следующее утверждение. Лемма 1 [16]. Пусть оператор $\mathcal L_n(D)$ формально самосопряжен. При $0<h<h_0=\pi/\max \alpha_s$, $h<h_1<2h$ и любом $r\in \mathbb N$ имеют место следующие свойства функции $H_n(t)$. 1. $H_{2r-1}(s)=0$, $s\in \mathbb Z$. График функции $|H_{2r-1}(t)|$ симметричен относительно прямых $x=s$ и $x=s+1/2$, $s\in \mathbb Z$, причем точки $x=s+1/2$, $s\in \mathbb Z$, являются единственными точками максимума этой функции на отрезке $[s,s+1]$, и в них она принимает одно и то же значение. 2. $H_{2r}(s+1/2)=0$, $s\in \mathbb Z$. График функции $|H_{2r}(t)|$ симметричен относительно прямых $x=s$ и $x=s+1/2$, $s\in \mathbb Z$, причем точки $x=s$, $s\in \mathbb Z$, являются единственными точками максимума этой функции на отрезке $[s-1/2,s+1/2]$, и в них она принимает одно и то же значение. При доказательстве теоремы 1 нам также потребуются свойства нулей некоторых алгебраических многочленов, ранее возникших в работах Субботина и автора. Сформулируем их в общем случае, т.е. если оператор $\mathcal L_n(D)$ имеет вид (0.1), а затем конкретизируем эти свойства в случае формально самосопряженного оператора. Пусть $\mathcal L_n$ – произвольный линейный оператор вида (0.1) и $0<h<h_0$, $h<h_1<2h$. При $0\leqslant t\leqslant 1$ рассмотрим три многочлена по переменной $x$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R_{n-1}(x,t)=\sum_{l=0}^{n-1}x^l\sum_{s=0}^{l}(-1)^{n-1-s}\mu_s\varphi_{n}((s-l-t)h), \\ R_n^0(x,t)=\sum_{l=0}^{n}c_lx^l, \qquad c_l=\sum_{s=0}^{l}(-1)^{n-1}\mu_s^{0}\varphi_{n+1}^0((s-l-t)h), \\ \widetilde R_{n+1}(x,t)=\sum_{l=0}^{n+1}x^l \sum_{s=0}^{l}(-1)^{n+1-s}\widetilde\mu_s\widetilde\varphi_{n+2}((s-l-t)h), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\widetilde\mu_s=\mu_s^0+\mu_{s-1}^0$ (числа $\mu_{-1}^0$ и $\mu_{n+2}^0$ полагаем равными нулю), и $\widetilde\varphi_{n+1}(t)$ – решение линейного однородного дифференциального уравнения $D^2\mathcal L_n(D)f=0$, удовлетворяющее условию: $\widetilde\varphi_{n+2}(0)=\delta_{j,n+1}$. Все $n$ нулей многочлена $R_{n}^0(x,t)$ по переменной $x$ при $0<t<1$ являются отрицательными и простыми (см. [14]), и справедливо следующее утверждение. Лемма 2 [14]. Пусть $0<h<h_0$. 1. При $0<t<1$ имеют место неравенства $c_0>0$, $c_n>0$. 2. Пусть $0<t<1$ и $\eta_j(t)$, $j=1,2,\dots,n$, – нули многочлена $R_n^0(x,t)$, расположенные в порядке убывания, а $\eta_1=0$, $\eta_j<0$, $j=2,3,\dots,n$, – нули многочлена $R_n^0(x,0)$, расположенные в порядке убывания. Тогда Лемма 3. Пусть $0<h<h_0$, и оператор $\mathcal L_{2r}(D)$ формально самосопряжен. Тогда имеют место следующие утверждения: Доказательство. Из определения функций $P_{n+1}^0(t)$ и $R_n^0(x,t)$ при $x=-1$ (см. [17], [18]) следует равенство $R_{2r}^0(-1,t)=-P_{2r+1}^0(t)$, $0<t<1$. Кроме того, из [17; равенство (1.19)] имеем $\operatorname{sign} P_{2r+1}^0(t)=(-1)^{r}$, $1/2<t<1$. Отсюда следует первое утверждение леммы 3.
Для доказательства второго утверждения вначале заметим, что при $t=0$ имеем $c_0=0$ (поэтому $\eta_1=0$), и нам требуется доказать равенство $c_{2r+1-l}=c_l$, $l=1,2,\dots,2r$. Данный факт следует, например, из [17; равенство (2.9)]. Третье утверждение леммы 3 следует из второго и леммы 2. Лемма 3 полностью доказана. 2. $\mathcal L$-сплайныПусть $0<h<h_0$, $h<h_1<2h$ и $\mathcal L_n(D)$ – произвольный линейный дифференциальный оператор порядка $n$ вида (0.1). Любое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения $\mathcal L_n(D)f=u$, где $u\in L_1(\mathbb R)$, может быть записано в виде
$$
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{j=1}^{n}C_jv_j(x)+\int_{0}^{x}\varphi_n(x-t)u(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\{C_j\}_{j=1}^n$ – произвольные константы, функция $\varphi_n$ определена в разделе $1$ и $\{v_j(x)\}_{j=1}^n$ – произвольная линейно независимая система функций из ядра $\operatorname{Ker}\mathcal L_n$ оператора $\mathcal L_n$. Пусть
$$
\begin{equation*}
y_m=\frac{1}{h_1}\int_{-h_1/2}^{h_1/2}f(mh+t)\,dt,\qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
В [14] для $\Delta_h^{\mathcal L_n}y_m$ (см. (0.2)) доказано равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta_h^{\mathcal L_n}y_m &=\frac{h^2}{h_1}\int_{0}^{1}\sum_{j=0}^{n+1}u((t+m-1+j)h)\,dt \\ &\qquad \times\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^n (-1)^{n-l}\mu_l\varphi_n((l+x+1-j-t)h_+)\,dx, \qquad m\in \mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Для получения оценки сверху для величины $A_1(\mathcal L_n,h,h_1)$ мы будем использовать $\mathcal L$-сплайны $f_{\delta}\in F_{h,h_1,1}(y)$ (зависящие от положительного параметра $\delta$, который мы затем устремим к нулю). Эти сплайны строятся по-разному в зависимости от четности числа $n$. Поэтому рассмотрим два случая. Пусть сначала $n=2r-1$, $r\in \mathbb N$. Положим
$$
\begin{equation*}
u(t)=\mathcal L_{2r-1}(D)f_{\delta}(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{Z_m}{\delta},& t\in \bigl[(m-0.5)h,(m-0.5+\delta)h\bigr), \\ 0,& t\not\in \bigl[(m-0.5)h,(m-0.5+\delta)h\bigr), \end{cases} \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь числа $\{Z_m\}_{m=-\infty}^{\infty}$ подлежат дальнейшему определению. Тогда равенство (2.1) переписывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta_h^{\mathcal L_{2r-1}}y_m &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0}^{0.5+\delta}\sum_{j=0}^{2r} Z_{m-1+j}\,dt \\ &\qquad \times\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r-1} (-1)^{2r-1-l}\mu_l\varphi_{2r-1}((l+x+1-j-t)h_+)\,dx, \qquad m\in \mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Характеристический многочлен разностного уравнения (2.2) для определения чисел $\{Z_m\}_{m=-\infty}^{\infty}$ имеет вид где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_0&=0, \\ B_j&=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0.5}^{0.5+\delta}dt\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h} \sum_{l=0}^{2r-1} (-1)^{2r-1-l} \\ &\qquad \times\mu_l\varphi_{2r-1}((l+z+2-j-t)h_+)\,dz, \qquad j=1,2,\dots,2r+1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Изучим нули многочлена $U_{2r+1,\delta}(x)$ при $\delta\to +0$. Пусть
$$
\begin{equation*}
Q_{2r}(x,z)= \begin{cases} x^2R_{2r-2}(x,-z+1),& 0\leqslant z<1, \\ xR_{2r-2}(x,-z),& -1\leqslant z<0, \\ R_{2r-2}(x,-z-1),& -2\leqslant z<-1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $R_{2r-2}(x,t)$ определена равенством (1.2) при $n=2r-1$. Тогда формула (2.3) переписывается в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_{2r+1,\delta}(x) &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0.5}^{0.5+\delta-t+h_1/2h}dt \int_{-t-h_1/2h}^{-t+h_1/2h}xQ_{2r}(x,z)\,dz \\ &=\int_{0.5}^{0.5+\delta}\biggl[\int_{-t-h_1/2h}^{-1}xR_{2r-2}(x,-z-1)\,dz \int_{-1}^0 x^2R_{2r-2}(x,-z)\,dz \\ &\qquad +\int_0^{-t+h_1/2h}x^3R_{2r-2}(x,-z+1)\,dz\biggr]\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя (1.2), упростим выписанные интегралы с помощью формул, доказанных в [14] для произвольного линейного дифференциального оператора $\mathcal L_n(D)$ вида (0.1):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (R_n^0(x,t))_t'=h(1-x)R_{n-1}(x,t), \qquad 0\leqslant t\leqslant 1, \\ xR_n^0(x,t+1)=R_n^0(x,t), \qquad t\in \mathbb R. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
U_{2r+1,\delta}(x)=\frac{h}{h_1(1-x)\delta}\int_{0.5}^{0.5+\delta} \biggl[xR_{2r-1}^0\biggl(x,t+\frac{h_1}{2h}-1\biggr)-x^3 R_{2r-1}^0\biggl(x,t+1-\frac{h_1}{2h}\biggr)\biggr]\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4. 1. Все $2r$ нулей многочлена $U_{2r+1}(x)/x$, $U_{2r+1}(x)\,{=}\,\lim_{\delta\to +0}U_{2r+1,\delta}(x)$, являются отрицательными и простыми. 2. $|U_{2r+1}(-1)|=\|H_{2r-1}\|_{C[0,1]}=|H_{2r-1}(1/2)|$. Доказательство. Воспользуемся равенством (см. (1.2))
$$
\begin{equation}
(\widetilde{R}_{n+1}(x,t))_t'=h(1-x)R_n^0(x,t), \qquad 0\leqslant t\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
которое доказывается аналогично (2.4). При $n=2r$ получим, что
$$
\begin{equation*}
U_{2r+1,\delta}(x)=\frac{1}{h_1(1-x)^2}[xA_{1,\delta}(x)-x^3A_{2,\delta}(x)],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{1,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\bigl(\widetilde{R}_{2r}(x,t_1+\delta) -\widetilde{R}_{2r}(x,t_1)\bigr), \\ A_{2,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\bigl(\widetilde{R}_{2r}(x,t_2+\delta) -\widetilde{R}_{2r}(x,t_2)\bigr), \\ 0<t_1=\frac{h_1}{2h}-\frac12<\frac12, \qquad \frac12<t_2=\frac{3}{2}-\frac{h_1}{2h}<1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих равенств следует, что
$$
\begin{equation*}
U_{2r+1}(x)=\lim_{\delta\to +0}U_{2r+1,\delta}(x)=\frac{h}{h_1(1-x)}\bigl[xR_{2r-1}^0(x,t_1)-x^3R_{2r-1}^0(x,t_2)\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Многочлен, стоящий в квадратных скобках в последнем выражении, имеет степень $2r+2$ и нули в точках $x=0$ и $x=1$. Покажем с помощью леммы 2, что остальные $2r$ корней этого многочлена отрицательны и просты.
Выберем произвольное число $\xi\in (t_1,t_2)$ (например, можно взять $\xi=0.5$). Из леммы 2 вытекают неравенства $\eta_j(t_2)< \eta_j(\xi)<\eta_j(t_1)$, $j=1,2,\dots,2r-1$, а также равенства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sign}R_{2r-1}^0(\eta_j(\xi),t_1)=(-1)^j, \quad \operatorname{sign}R_{2r-1}^0(\eta_j(\xi),t_2)=(-1)^{j+1}, \qquad j=1,2,\dots,2r-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\operatorname{sign}U_{2r+1}(\eta_j(\xi))=(-1)^{j+1}$, $j=1,2,\dots,2r-1$, и многочлен $U_{2r+1}(x)$ имеет $2r-2$ отрицательных нулей на интервале $(\eta_{2r-1}(\xi),\eta_1(\xi))$. Неравенства $c_0>0$, $c_{2r-1}>0$ (см. первое утверждение леммы 2 при $n=2r-1$) и $U_{2r+1}(\eta_{2r-1}(\xi))> 0$, $U_{2r+1}(\eta_1(\xi))>0$ позволяют утверждать о наличии у многочлена $U_{2r+1}(x)$ еще двух корней, одного на полуоси $(-\infty, \eta_{2r-1}(\xi))$, а другого – на интервале $(\eta_1(\xi),0)$. Поэтому первая часть леммы 4 полностью доказана. Далее из равенства (2.3) и определения (1.1) функции $H_{2r-1}(t)$ с учетом леммы 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |U_{2r+1,\delta}(-1)| &=\biggl|\frac{h^2}{h_1\delta}\sum_{j=0}^{2r+1}(-1)^j\int_{0.5}^{0.5+\delta}dt\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r-1} (-1)^{2r-1-l}\mu_l \\ &\qquad \times\varphi_{2r-1}((l+z+2-j-t)h_+)\,dz \biggr| \\ &=\biggl|\frac{1}{\delta} \int_{0.5}^{0.5+\delta}H_{2r-1}(t)\,dt\biggr|\underset{\delta\to +0}{\longrightarrow} \biggl|H_{2r-1}\biggl(\frac12\biggr)\biggr|=\|H_{2r-1}\|_{C[0,1]}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4 доказана. Следствие 1. Существует такое положительное число $\delta_{0,2r-1}$, что при любом $\delta\colon 0<\delta<\delta_{0,2r-1}$ все $2r$ нулей многочлена $U_{2r+1,\delta}(x)/x$ являются отрицательными и простыми. Пусть теперь $n=2r$, $r\in \mathbb N$. Для построения $\mathcal L$-сплайна положим
$$
\begin{equation*}
u(t)=\mathcal L_{2r}(D)f_{\delta}(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{Z_m}{\delta},& \displaystyle t\in \biggl[\biggl(m-\frac{\delta}{2}\biggr)h,\biggl(m+\frac{\delta}{2}\biggr)h\biggr), \\ \displaystyle 0,& \displaystyle t\not\in \biggl[\biggl(m-\frac{\delta}{2}\biggr)h,\biggl(m+\frac{\delta}{2}\biggr)h\biggr), \end{cases} \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь снова число $\delta\,{>}\,0$, которое в дальнейшем устремим к нулю, и числа $\{Z_m\}_{m=-\infty}^{\infty}$ подлежат дальнейшему определению. При этом равенство (2.1) переписывается в виде
$$
\begin{equation}
\Delta_h^{\mathcal L_{2r}}y_m=\sum_{j=0}^{2r+2}\overline{B}_jZ_{m-1+j}, \qquad m\in \mathbb Z,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \overline{B}_0 &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0}^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r} ((l+z+1-t)h_+)\,dz, \\ \notag \overline{B}_j &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{0}^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r} ((l+z+1-j-t)h_+)\,dz \\ \notag &\qquad +\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{1-\delta/2}^{1}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r} ((l+z+2-j-t)h_+)\,dz, \\ \notag j&=1,2,\dots,2r+1, \\ \overline{B}_{2r+2} &=\frac{h^2}{h_1\delta} \int_{1-\delta/2}^{1}dt\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h} \sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l+z-2r-t)h_+)\,dz. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Лемма 5. Характеристический многочлен $U_{2r+2,\delta}(x)=\sum_{j=0}^{2r+2}\overline{B}_jx^j$ разностного уравнения (2.6) является возвратным. Доказательство. Нетрудно заметить, что для достаточно малых положительных чисел $\delta$ имеют место равенства $\overline{B}_0=\overline{B}_{2r+2}=0$. Для доказательства леммы 5 требуется проверить равенство $\overline{B}_j=\overline{B}_{2r+2-j}$, $j=1,2,\dots,2r+1$. После замен $1-t=t'$, $z=-z'$ (опуская штрихи) из (2.7) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{B}_j &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_{1-\delta/2}^{1}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-z-j+t)h_+)\,dz \\ &\qquad +\frac{h^2}{h_1\delta}\int_0^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-z-j+1+t)h_+)\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из индуктивного определения функции $\varphi_n$ (см. [14; равенство (2.33)]) следует, что функция $\varphi_{2r}$ является нечетной (например, для оператора $\mathcal L_{2r}(D)=D^{2r}$ функция $\varphi_{2r}(t)=t^{2r-1}/(2r-1)!$). Теперь, применяя равенства $u_++u_-=u$ и
$$
\begin{equation*}
\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l f(x+mh)=0,\qquad x\in \mathbb R, \quad m\in \mathbb Z
\end{equation*}
\notag
$$
(которое справедливо для любой функции $f\in \operatorname{Ker}\mathcal L_{2r}$), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{B}_j &=-\frac{h^2}{h_1\delta}\int_0^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-z-j+1+t)h_-)\,dz \\ &\qquad -\frac{h^2}{h_1\delta}\int^1_{1-\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-z-j+t)h_-)\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку оператор $\mathcal L_{2r}$ является формально самосопряженным, то $\mu_{2r-l}=\mu_l$, $l=0,1,\dots,2r$. Поэтому из равенства $(-u)_-=-u_+$ после замены переменных $2r-l=l'$, опуская штрихи, окончательно получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{B}_j &=\frac{h^2}{h_1\delta}\int_0^{\delta/2}dt \int_{-h_1/2h}^{h_1/2h}\sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-2r+z+j-1-t)h_+)\,dz \\ &\qquad +\frac{h^2}{h_1\delta}\int^1_{1-\delta/2}dt\int_{-h_1/2h}^{h_1/2h} \sum_{l=0}^{2r}(-1)^{2r-l}\mu_l\varphi_{2r}((l-2r+z+j-t)h_+)\,dz=\overline{B}_{2r+2-j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Применяя равенства (2.4) при $n=2r$, аналогично случаю $n=2r-1$ для многочлена $U_{2r+2,\delta}(x)$ получаем следующее представление:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_{2r+2,\delta}(x) &=\frac{h}{h_1\delta(1-x)}\biggl[\int_0^{\delta/2}\biggl(xR^0_{2r}\biggl( x,t+\frac{h_1}{2h}\biggr)-x^2R_{2r}^0\biggl( x,1-\frac{h_1}{2h}+t\biggr)\biggr)\,dt \\ &\qquad +\int_{1-\delta/2}^1\biggl(xR^0_{2r}\biggl( x,\frac{h_1}{2h}-1+t\biggr)-x^2R_{2r}^0\biggl( x,t-\frac{h_1}{2h}\biggr)\biggr)\,dt\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (2.5) при $n=2r$, отсюда получим
$$
\begin{equation*}
U_{2r+2,\delta}(x)=\frac{1}{h_1(1-x)^2} \bigl[x\overline{A}_{1,\delta}(x)-x^2\overline{A}_{2,\delta}(x) +x\overline{A}_{3,\delta}(x)-x^2\overline{A}_{4,\delta}(x) \bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{A}_{1,\delta}(x)=\frac{1}{\delta} \biggl(\widetilde{R}_{2r+1}\biggl(x,\overline{t}_1 +\frac{\delta}{2}\biggr)-\widetilde{R}_{2r+1}(x,\overline{t}_1)\biggr), \\ \overline{A}_{2,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\biggl(\widetilde{R}_{2r+1} \biggl(x,\overline{t}_2+\frac{\delta}{2}\biggr)-\widetilde{R}_{2r+1}(x,\overline{t}_2)\biggr), \\ \overline{A}_{3,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\biggl(\widetilde{R}_{2r+1} (x,\overline{t}_1)-\widetilde{R}_{2r+1} \biggl(x,\overline{t}_1-\frac{\delta}{2}\biggr)\biggr), \\ \overline{A}_{4,\delta}(x)=\frac{1}{\delta}\biggl(\widetilde{R}_{2r+1} (x,\overline{t}_2)-\widetilde{R}_{2r+1} \biggl(x,\overline{t}_2-\frac{\delta}{2}\biggr)\biggr) \\ 0<\overline{t}_2=1-\frac{h_1}{2h}<\frac12, \qquad \frac12<\overline{t}_1=\frac{h_1}{2h}<1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из полученных равенств и равенства (2.5) при $n=2r$ имеем
$$
\begin{equation}
U_{2r+2}(x)=\lim_{\delta\to +0}U_{2r+2,\delta}(x)=\frac{h}{h_1(1-x)} \bigl[xR_{2r}^0(x,\overline{t}_1)-x^2R_{2r}^0(x,\overline{t}_2)\bigr].
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Лемма 6. 1. Многочлен $U_{2r+2}(x)$ является возвратным многочленом степени $2r+1$, и $U_{2r+2}(0)=0$. Остальные $2r$ нулей этого многочлена являются отрицательными и простыми. 2. $|U_{2r+2}(-1)|=\|H_{2r}\|_{C[0,1]}=|H_{2r}(0)|$. Доказательство. Первая часть утверждения 1 леммы 6 следует из равенства $\overline{B}_0=\overline{B}_{2r+2}=0$. Таким образом, для доказательства второй части утверждения 1 достаточно установить, что многочлен $U_{2r+2}(x)$ имеет на интервале $(0,1)$ ровно $r$ отрицательных простых корней, поскольку в силу леммы 5 он также является возвратным.
Пусть $\xi$ – любое число из интервала $(\overline{t}_1,1)$. Из леммы 2 при $n=2r$ имеем $\eta_j(\xi)<\eta_j(\overline{t}_1)<\eta_j(\overline{t}_2)$, $j=1,2,\dots,2r$. При этом, поскольку $\eta_{r+1}=-1$ (лемма 3), то $\eta_r(\xi)>-1=\eta_{r+1}$. Снова из леммы 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sign}R_{2r}^0(\eta_j(\xi),\overline{t}_1)=(-1)^{j+1}, \quad \operatorname{sign}R_{2r}^0(\eta_j(\xi),\overline{t}_2)=(-1)^{j+1}, \qquad j=1,2,\dots,r.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (2.8) выводим, что $\operatorname{sign}U_{2r+2}(\eta_j(\xi))=(-1)^{j}$, $j=1,2,\dots,r$. Поэтому на интервале $(\eta_r(\xi),(\eta_1(\xi)))\subset (-1,0)$ многочлен $U_{2r+2}(x)$ имеет по меньшей мере $r-1$ отрицательных корней. В силу первого утверждения леммы 3 $\operatorname{sign} R_{2r}^0(-1,t)=(-1)^r$, $0<t<1$, и, следовательно, из (2.8) получим, что $\operatorname{sign}U_{2r+2}(-1)=(-1)^{r+1}$. Но $\operatorname{sign} U_{2r+2}(\eta_r(\xi))=(-1)^r$. Отсюда следует наличие еще одного отрицательного корня у многочлена $U_{2r+2}(x)$ на интервале $(-1,\eta_r(\xi))$. Поскольку многочлен является возвратным, у него еще имеется ровно $r$ отрицательных корней на полуоси $(-\infty,-1)$. Таким образом, утверждение леммы 6 о нулях многочлена $U_{2r+2}(x)$ полностью доказано. Далее из определения многочлена $U_{2r+2,\delta}(x)$, равенства (2.7) и леммы 1 с учетом равенства $H_{2r}(t+1)=-H_{2r}(t)$ (см. раздел 1) имеем
$$
\begin{equation*}
|U_{2r+2,\delta}(-1)|=\biggl| \frac{1}{\delta}\int_{0}^{\delta/2}H_{2r}(t)\,dt- \frac{1}{\delta}\int_{1-\delta/2}^1 H_{2r}(t)\,dt\biggr|\underset{\delta\to +0}{\longrightarrow} |H_{2r}(0)|=\|H_{2r}\|_{C[0,1]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6 полностью доказана. Следствие 2. Существует такое положительное число $\delta_{0,2r}$, что при любом $\delta\colon 0<\delta<\delta_{0,2r}$ все $2r$ нулей многочлена $U_{2r+2,\delta}(x)/x$ степени $2r$ являются отрицательными и простыми. 3. Оценки сверху и снизу величины $A_1(\mathcal L_n,h,h_1)$Теорема A. Если все нули многочлена $U_n(x)=\sum_{j=0}^n \widetilde{B}_jx^j$, $\widetilde{B}_j\in \mathbb R$, $\widetilde{B}_n\ne 0$, отрицательны и просты, $U_{n}(-1)\ne 0$, то разностное уравнение имеет единственное решение $Z^0=\{Z_m^0\}_{m=-\infty}^{\infty}\in l_p$, выражаемое формулой $Z_m^0=\sum_{s=-\infty}^{\infty}a_{-s-m}K_s$, где $\sum_{s=-\infty}^{\infty}a_s x^s=1/U_n(x)$, для которого справедлива оценка $\|Z^0\|_{l_p}\leqslant \|K\|_{l_p}/|U_n(-1)|$.Существование решения разностного уравнения в теореме A доказано Крейном [19], а оценка сверху нормы этого решения получена Субботиным [8]. В силу доказанного в предыдущем разделе (леммы 4, 6 и следствия 1, 2) характеристические многочлены $U_{2r+1,\delta}(x)/x$ и $U_{2r+2,\delta}(x)/x$ разностных уравнений (2.2) и (2.6) при $\delta\to +0$ удовлетворяют всем условиям теоремы A, которую применим при $p=1$. Поэтому каждое из этих разностных уравнений при любом фиксированном достаточно малом положительном числе $\delta$ для любой последовательности $y\in Y_{h,1}$ имеет единственное решение $Z_{\delta}^0=\{ Z_{m,\delta}^0\}_{m=-\infty}^{\infty}\in l_1$, и для каждого из этих решений справедлива единообразно записываемая оценка
$$
\begin{equation}
\lim_{\delta\to +0}\|Z_{\delta}^0\|_{l_1}\leqslant \frac{1}{|U_{n+2}(-1)|}, \qquad n=2r-1,2r.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Данное утверждение, в частности, означает, что при $0<h<h_0$, $h<h_1<2h$ для любой последовательности $y\in Y_{h,1}$ существует последовательность функций $f_{\delta}\in F_{h,h_1,1}(y)$, и в силу (3.1), лемм 4 и 6 справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
A_1(\mathcal L_n,h,h_1)\leqslant (\|H_n\|_{C[0,1]})^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
но при этом существование экстремальной функции $f\in F_{h,h_1,1}(y)$, реализующей равенство в этом неравенстве, доказать на удается. Для полноты изложения следует отметить, что последовательность функций $f_{\delta}\in F_{h,h_1,1}(y)$ мы строили (см. (2.1)), полагая
$$
\begin{equation*}
\Delta_h^{\mathcal L_n}y_m=\Delta_h^{\mathcal L_n}\biggl(\frac{1}{h_1}\int_{-h_1/2}^{h_1/2}f(mh+t)\,dt\biggr), \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом требуется обосновать, что функция $f_{\delta}$ удовлетворяет не только этим условиям, а самим условиям интерполяции в среднем, т.е.
$$
\begin{equation*}
y_m=\frac{1}{h_1}\int_{-h_1/2}^{h_1/2}f(mh+t)\,dt, \qquad m\in \mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Этот факт при $0<h_1\leqslant h<h_0$ доказан автором в [14] для любого линейного дифференциального оператора вида (0.1). В случае $h<h_1<2h$ доказательство [14] отмеченного утверждения полностью сохраняется. Получим теперь оценку снизу величины $A_1(\mathcal L_n,h,h_1)$. Рассмотрим любую последовательность $y^*=\{y_m^*\}_{m=-\infty}^{\infty}\in Y_{h,1}$, удовлетворяющую условию
$$
\begin{equation*}
\Delta_h^{\mathcal L_n}y_m^*= \begin{cases} 1,& m=0, \\ 0,& m\ne 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой функции $f\in F_{h,h_1,1}(y^*)$ в [14; с. 230–231] при $0<h_1<h<h_0$ для любого линейного дифференциального оператора $\mathcal L_n$ вида (0.1) (не обязательно, формально самосопряженного) доказано неравенство $\|\mathcal L_n(D)f\|_{L_1(\mathbb R)}\geqslant (\|H_n\|_{C[0,1]})^{-1}$. При $h<h_1<2h$ доказательство в работе [14] отмеченного утверждения (случай $\mathcal L_n(D)= D^n$ см. в [12]) полностью сохраняется. Поэтому при $h<h_1<2h$ для величины $A_1(\mathcal L_n,h,h_1)$ справедлива оценка снизу
$$
\begin{equation*}
A_1(\mathcal L_n,h,h_1)\geqslant (\|H_n\|_{C[0,1]})^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
совпадающая с оценкой сверху (3.1). Теорема 1 полностью доказана. Следствие 3. Пусть $0<h<h_0=\pi/\max \alpha_s$, и $\mathcal L_n(D)$ – произвольный линейный дифференциальный формально самосопряженный оператор вида (0.1). Тогда Доказательство этого утверждения следует из того факта, что при $h_1=2h$ функция $H_n(t)\equiv 0$ (см. (0.4)) и предельного перехода при $h_1\to 2h$ в теореме 1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{She24}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|