В. Т. Шевалдин, “Локальная экстремальная интерполяция на полуоси с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 453–460; Math. Notes, 113:3 (2023), 446

Рассмотрим на полуоси

$[0;+\infty)$ бесконечную сетку узлов

$\Delta=\{kh\}_{k=0}^\infty$ с шагом

$h>0$ . Пусть

$y=\{y_k\}_{k=0}^\infty$ – произвольная последовательность действительных чисел. В данной работе будем рассматривать функции

$f\colon[0;\infty)\to\mathbb R$ , которые удовлетворяют условиям интерполяции:

$f(kh)=y_k$

$(k\in\mathbb Z_+)$ . Пусть

$\{\beta_j\}_{j=1}^n$ – попарно различные действительные числа и

$D$ – символ дифференцирования. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор

$n$ -го порядка с постоянными действительными коэффициентами следующего вида:

Сформулируем задачу локальной экстремальной интерполяции на полуоси, которую в 1996 году поставил Субботин [2]. В своей работе он сделал это только для оператора

$\mathscr L_n(D)=D^n$ . Для оператора вида (1.1) данная задача может быть сформулирована следующим образом. Пусть задано число

$s\in\mathbb N$ и первые члены

$y_0,y_1,\dots,y_{s-1}$ интерполируемой последовательности

$y=\{y_k\}_{k=0}^\infty$ . Требуется вычислить (или оценить) следующие величины:

Цель настоящей работы: показать, что для операторов вида (1.1) при

$s\geqslant n\geqslant 2$ величина

$B_{\mathscr L_n}(s,n)$ конечна, а при

$1\leqslant s\leqslant n-1$ величина

$B_{\mathscr L_n}(s,n)=\infty$ .

В случае оператора

$\mathscr L_n(D)=D^n$ эти результаты получил Субботин [2]. Кроме того, он в своей работе исследовал вопрос реализации величины

$B_{D^n}(s,n)$ линейным методом и точно вычислил эту величину при

$s\geqslant n=2$ и

$s=n=3$ .

Отметим, что случаи

$n=1$ и

$s=0$ в данной задаче интерполяции на полуоси

$[0;+\infty)$ неинтересны, поскольку первый случай сводится к обычной интерполяции ломаными, а в случае

$s=0$ за счет выбора

$y_0$ и

$y_1$ можно добиться, чтобы норма

$\|\mathscr L_n(D)f\|_\infty$ у интерполируемой функции

$f$ на отрезке

$[0;h]$ стремилась к бесконечности.

2. Экспоненциальная интерполяция

В данном разделе всюду считаем, что числа

$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ действительны и попарно различны.

Доказательство. Положим $x_j=e^{\beta_jh}$ , $j=1,2,\dots,n$ . Операторные равенства (2.1) с учетом (2.2) равносильны равенствам соответствующих характеристических многочленов в левой и правой частях этих равенств, которые можно записать в виде

$\begin{equation} \sum_{j=1}^n\frac{\omega(x)} {(x-x_j)\prod_{\substack{s=1\\ s\ne j}}^n(x_j-x_s)}\,x_j^l=x^l,\qquad l=0,1,\dots,n-1, \end{equation} \tag{2.3}$

где

$\omega(x)=\prod_{s=1}^n(x-x_s)$ .

Как известно, алгебраический многочлен Лагранжа $p(x)$ степени $n-1$ , удовлетворяющий условиям интерполяции

$\begin{equation*} p(x_j)=\overline y_j,\qquad j=1,2,\dots,n, \end{equation*} \notag$

где

$x_1,x_2,\dots,x_n$ – попарно различные действительные числа, может быть записан следующим образом:

$\begin{equation*} p(x)=\prod_{j=1}^n\frac{\omega(x)}{(x-x_j)\omega'(x_j)}\,\overline y_j. \end{equation*} \notag$

Он точен на базисных многочленах

$1,x,x^2,\dots,x^{n-1}$ в том смысле, что если

$\overline y_j=x_j^l$ ,

$j=1,2,\dots,n$ ;

$l=0,1,\dots,n-1$ , то имеют место равенства (2.3). Поэтому лемма 1 доказана.

3. Основные результаты

Доказательство. Для доказательства теоремы 1 для любой последовательности $y\in Y$ требуется построить $n$ раз дифференцируемую функцию $f\in F(y)$ , т.е. такую, что норма $\|\mathscr L_n(D)f\|_\infty$ конечна, и которая удовлетворяет условиям интерполяции: $f(kh)=y_k$ $(k\in \mathbb Z_+)$ . В качестве такой функции $f$ на отрезке $[0;(n-1)h]$ положим

$\begin{equation*} f(x)=P_0(x),\qquad x\in[0;(n-1)h], \end{equation*} \notag$

где функция

$P_0(x)$ определена равенством (2.2) при

$k=0$ . Поэтому на интервале

$(0;(n-1)h)$ имеет место равенство

$\mathscr L_n(D)f=0$ . Пусть функция

$f$ уже построена на отрезке

$[0;mh]$ ,

$m\geqslant n-1$ . Покажем, как строить эту функцию на отрезке

$[mh;(m+1)h]$ . Для этого положим

$\begin{equation} f(x)=P_{m-n+1}(x)+\int_{mh}^x\varphi_n(x-t)u(t)\,dt,\qquad x\in[mh;(m+1)h], \end{equation} \tag{3.1}$

где функция

$\varphi_n$ определена в лемме 3, а функция

$u(t)$ подлежит дальнейшему определению. В связи с равенством (3.1) отметим, что любое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

$\mathscr L_n(D)f(t)=u(t)$ может быть записано в виде

$\begin{equation*} f(x)=\sum_{j=1}^nc_je^{\beta_jx}+\int_0^x\varphi_n(x-t)u(t)\,dt, \end{equation*} \notag$

где

$\{c_j\}_{j=1}^n$ – произвольные константы. Продифференцируем обе части равенства (3.1)

$n-1$ раз. Далее положим

$x=(m+1)h$ , и пусть

$y_{m+1}=f((m+1)h)=P_{m-n+2}((m+1)h)$ , где функция

$P_{m-n+2}(x)$ определена равенством (2.2) при

$k=m-n+2$ . Получим систему уравнений

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &P_{m-n+2}^{(l)}((m+1)h)-P_{m-n+1}^{(l)}((m+1)h) \nonumber \\ &\qquad=\int_{mh}^{(m+1)h}\varphi_n^{(l)}((m+1)h-t)u(t)\,dt,\qquad l=0,1,\dots,n-1. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.2}$

Функцию

$u(t)$ на полуинтервале

$[mh;(m+1)h)$ будем строить в виде

$\begin{equation} u(t)=Z_k^{(m)}\Delta_h^{\mathscr L_n}y_{m-n+1},\qquad t_{k-1}^{(m)}\leqslant t<t_k^{(m)},\qquad k=1,2,\dots,n. \end{equation} \tag{3.3}$

Здесь

$\{Z_k^{(m)}\}_{k=1}^n$ – неизвестные числа, для которых в дальнейшем мы выпишем систему

$n$ линейных алгебраических уравнений, из которых эти числа определяются единственным образом. Числа

$\{t_k^{(m)}\}_{k=0}^n$ определим с помощью равенств

$\begin{equation} t_k^{(m)}=mh+\frac{kh}{n}\,,\qquad k=0,1,\dots,n, \end{equation} \tag{3.4}$

т.е.

$mh=t_0^{(m)}<t_1^{(m)}<t_2^{(m)}<\dotsb<t_{n-1}^{(m)}<t_n^{(m)}=(m+1)h$ . Преобразуем правые части равенств (3.2) с учетом равенств (3.3). Получим

$\begin{equation*} \int_{mh}^{(m+1)h}\varphi_n^{(l)}((m+1)h-t)u(t)\,dt =\Delta_h^{\mathscr L_n}y_{m-n+1}\sum_{k=1}^nZ_k^{(m)} \int_{t_{k-1}^{(m)}}^{t_k^{(m)}}\varphi_n^{(l)}((m+1)h-t)\,dt. \end{equation*} \notag$

После замены переменного

$t=x+(m-n+1)h$ из последнего равенства с учетом (3.4) и леммы 3 выводим следующие равенства:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_{mh}^{(m+1)h}\varphi_n^{(l)}((m+1)h-t)u(t)\,dt =\Delta_h^{\mathscr L_n}y_{m-n+1}\sum_{k=1}^nZ_k^{(m)} \int_{t_{k-1}^{(n-1)}}^{t_k^{(n-1)}}\varphi_n^{(l)}(nh-x)\,dx \nonumber \\ &\qquad=\Delta_h^{\mathscr L_n}y_{m-n+1}\sum_{k=1}^nZ_k^{(m)} \sum_{j=1}^n \frac{e^{\beta_jnh}\beta_j^{l-1}(e^{-\beta_jt_{k-1}^{(n-1)}}-e^{-\beta_jt_k^{(n-1)}})} {\prod_{\substack{s=1\\ s\ne j}}^n(\beta_j-\beta_s)}\,, \\ l &=0,1,\dots,n-1. \nonumber \end{aligned} \end{equation} \tag{3.5}$

Из леммы 2 при

$k=m-n+1$ имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &P_{m-n+2}^{(l)}((m+1)h)-P_{m-n+1}^{(l)}((m+1)h) \nonumber \\ &\qquad=\Delta_h^{\mathscr L_n}y_{m-n+1} \sum_{j=1}^n\frac{e^{\beta_j(n-1)h}\beta_j^l} {\prod_{\substack{s=1\\ s\ne j}}^n(e^{\beta_jh}-e^{\beta_sh})}\,,\qquad l=0,1,\dots,n-1. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.6}$

Таким образом, из (3.5) и (3.6) следует, что система (3.2) линейных уравнений относительно чисел

$\{Z_k^{(m)}\}_{k=1}^n$ равносильна системе

$n$ линейных алгебраических уравнений вида

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\sum_{k=1}^n Z_k^{(m)}\sum_{j=1}^n \frac{\beta_j^{l-1}e^{\beta_jnh}(e^{-\beta_jt_{k-1}^{(n-1)}}-e^{-\beta_jt_k^{(n-1)}})} {\prod_{\substack{s=1\\ s\ne j}}^n(\beta_j-\beta_s)} \nonumber \\ &\qquad=\sum_{j=1}^n \frac{\beta_j^{l}e^{\beta_j(n-1)h}} {\prod_{\substack{s=1\\ s\ne j}}^n(e^{\beta_jh}-e^{\beta_sh})}\,,\qquad l=0,1,\dots,n-1. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.7}$

В этой системе коэффициенты при

$\{Z_k^{(m)}\}_{k=1}^n$ и правые части не зависят от

$m$ . Значит,

$Z_k^{(m)}=Z_k^{(n-1)}$ ,

$k=1,2,\dots,n$ , при любом натуральном

$m\geqslant n-1$ . Анализируя однотипные выражения для чисел

$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ в системе (3.7), заключаем, что она, в свою очередь, равносильна следующей:

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^n Z_k^{(m)}(e^{-\beta_jt_{k-1}^{(n-1)}}-e^{-\beta_jt_k^{(n-1)}}) =\beta_je^{-\beta_jh}\prod_{\substack{s=1\\ s\ne j}}^n \frac{\beta_j-\beta_s}{e^{\beta_jh}-e^{\beta_sh}}\,,\qquad j=1,2,\dots,n. \end{equation*} \notag$

Используя определения чисел

$\{t_k^{(n-1)}\}_{k=0}^n$ (см. (3.4) при

$m=n-1$ ), еще более упростим исследуемую систему уравнений:

$\begin{equation} \sum_{k=1}^nZ_k^{(m)}e^{-\beta_jkh/n} =\frac{\beta_je^{\beta_j(n-2)h}}{e^{\beta_jh/n}-1} \prod_{\substack{s=1\\ s\ne j}}^n \frac{\beta_j-\beta_s}{e^{\beta_jh}-e^{\beta_sh}}\,,\qquad j=1,2,\dots,n. \end{equation} \tag{3.8}$

Главный определитель системы (3.8) является определителем Вандермонда и отличен от нуля, поскольку в силу условий теоремы все числа

$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ действительны и попарно различны. Значит, система

$n$ линейных алгебраических уравнений (3.8) относительно неизвестных чисел

$\{Z_k^{(m)}\}_{k=1}^n$ имеет единственное решение, которое зависит от чисел

$n$ ,

$h$ и

$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ и не зависит от последовательности

$y\in Y$ и числа

$m$ в том смысле, что

$Z_k^{(m)}=Z_k^{(n-1)}$ при любом натуральном

$m\geqslant n-1$ . Поскольку

$|\Delta_h^{{\mathscr L}_n}y_{m-n+1}|\leqslant 1$

$(m\geqslant n-1)$ , из равенств (3.3) таким образом следует ограниченность нормы функции

$u(t)=\mathscr L_n(D)f(t)$ в пространстве

$L_\infty$ на всей полуоси

$[0;+\infty)$ . Теорема 1 полностью доказана.

Доказательство. Рассмотрим экспоненциальный многочлен

$\begin{equation*} g(x)=\sum_{l=1}^{s+1}C_le^{\beta_lx}, \end{equation*} \notag$

удовлетворяющий

$s+1$ интерполяционным условиям:

$\begin{equation*} g(0)=g(h)=\dotsb=g((s-1)h)=0,\qquad g(sh)=a, \end{equation*} \notag$

где

$a$ – некоторое число. По лемме 1 имеем

$\begin{equation*} g(x)=\sum_{l=1}^{s+1}\frac{\Delta_h^{\mathscr L_{s,l}}y_0^*} {\prod_{\substack{m=1\\ m\ne l}}^{s+1}(e^{\beta_mh}-e^{\beta_sh})}\, e^{\beta_lx} =a\sum_{l=1}^{s+1} \frac{e^{\beta_lx}}{\prod_{\substack{m=1\\ m\ne l}}^{s+1}(e^{\beta_mh}-e^{\beta_sh})}\,, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \mathscr L_{s,l}=\mathscr L_{s,l}(D) =\prod_{\substack{m=1\\ m\ne l}}^{s+1}(D-\beta_m). \end{equation*} \notag$

Далее положим

$y_k^*=g(kh)$ ,

$k\in\mathbb Z_+$ . Поскольку

$g(x)$ – экспоненциальный многочлен по системе функций

$e^{\beta_1x},e^{\beta_2x},\dots,e^{\beta_{s+1}x}$ ,

$s+1\leqslant n$ , и разностный оператор

$\Delta_h^{\mathscr L_n}$ зануляет любую функцию из ядра дифференциального оператора

$\mathscr L_n$ , взятую на равномерной сетке с шагом

$h$ (это было отмечено при построении оператора

$\Delta_h^{\mathscr L_n}$ ), то

$\begin{equation*} \Delta_h^{\mathscr L_n}y_k^* =\Delta_h^{\mathscr L_n}g(kh)=0,\qquad k\in\mathbb Z_+, \end{equation*} \notag$

и, следовательно,

$y^*=\{y_k^*\}_{k=0}^\infty$ принадлежит классу

$Y$ .

Рассмотрим любую $n$ раз дифференцируемую функцию $f$ такую, что $f(kh)=y_k^*$ , $k\in\mathbb Z_+$ . Существование такой функции следует из теоремы 1. Вначале рассмотрим случай $s=n-1$ . Будем изучать поведение функции $f$ на отрезке $[(n-2)h;(n-1)h]$ . Обозначим

$\begin{equation*} \alpha_j=f^{(j)}((n-2)h),\qquad j=0,1,\dots,n-1. \end{equation*} \notag$

При этом

$\alpha_0=f((n-2)h)=y_{n-2}^*=0$ . Любое решение линейного дифференциального уравнения

$\mathscr L_n(D)f(t)=u(t)$ может быть записано в виде

$\begin{equation} \begin{gathered} \, f(x)=A_1e^{\beta_1x}+A_2e^{\beta_2x}+\dotsb+A_ne^{\beta_nx} +\int_{(n-2)h}^x\varphi_n(x-t)u(t)\,dt, \\ x\in[(n-2)h;(n-1)h]. \end{gathered} \end{equation} \tag{3.9}$

Константы

$A_1,A_2,\dots,A_n$ выберем, исходя из системы уравнений

$\begin{equation*} f^{(j)}((n-2)h)=\alpha_j,\qquad j=0,1,\dots,n-1. \end{equation*} \notag$

При этом снова возникает определитель Вандермонда, и в силу условий теоремы 2 числа

$A_1,A_2,\dots,A_n$ определяются единственным образом. Эти числа являются линейной комбинацией чисел

$\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ . Теперь подставим

$x=(n-1)h$ в равенство (3.9). Тогда

$\begin{equation*} a=y_{n-1}^*=f((n-1)h)=\sum_{j=1}^{n}A_je^{\beta_j(n-1)h} +\int_{(n-2)h}^{(n-1)h}\varphi_n((n-1)h-t)\mathscr L_n(D)f(t)\,dt. \end{equation*} \notag$

Обозначим

$A=\sum_{j=1}^nA_je^{\beta_j(n-1)h}$ . Из полученного равенства имеем

$\begin{equation*} |a-A|=\biggl|\int_{(n-2)h}^{(n-1)h}\varphi_n((n-1)h-t)\mathscr L_n(D)f(t)\,dt\biggr| \leqslant C\|\mathscr L_n(D)f\|_{L_\infty[(n-2)h;(n-1)h]}, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} C=\int_{(n-2)h}^{(n-1)h}|\varphi_n((n-1)h-t)|\,dt =\int_0^h|\varphi_n(t)|\,dt \end{equation*} \notag$

– некоторая положительная константа, зависящая от чисел

$n$ ,

$h$ и

$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ . Значит,

$\begin{equation*} \|\mathscr L_n(D)f\|_{L_\infty[(n-2)h;(n-1)h]} \geqslant\frac{|a-A|}{C}\,. \end{equation*} \notag$

Устремляя в этом неравенстве число

$a$ к бесконечности, получаем, что

$\begin{equation*} \|\mathscr L_n(D)f\|_{L_\infty[0;+\infty)}\to\infty. \end{equation*} \notag$

Доказательство теоремы 2 при

$1\leqslant s<n-1$ по существу не меняется. Надо только вместо отрезка