| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Некоторые алгебраические свойства полиномов Эрмита–Паде С. П. Суетин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030136 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеК. Малером (см. [1], а также [2] и [3]) были открыты теперь уже широко известные и важные для приложений алгебраические соотношения между полиномами Эрмита–Паде 1-го и 2-го типов. Эти соотношения связывают друг с другом полиномы Эрмита–Паде двух разных типов для набора формальных степенных рядов, заданных в точке $\zeta=0$. Тем самым, из них вытекает, что такие полиномы не являются независимыми. В последнее время получили дальнейшее развитие результаты Г. Чудновского [4], [5], связанные с использованием полиномов Эрмита–Паде в теории фуксовых систем. Эти новые результаты основаны на различных обобщениях классических тождеств Малера, которые удалось успешно применить при изучении проблемы монодромии для фуксовых систем; см. [3], [6]–[8] и имеющуюся там библиографию. Так же как и классический результат Малера, эти обобщения были получены для формальных степенных рядов, заданных в точке $\zeta=0$. Но затем при дальнейшем использовании полученных тождеств для изучения проблемы монодромии производилась замена переменной $\zeta$ на $z=1/\zeta$; см. [6] и [3]. Причина этого состоит в том, что только после такой замены исходные тождества принимают вид, пригодный для дальнейшего использования. Отметим также, что в рамках такого применения полиномов Эрмита–Паде рассматривались и более общие интерполяционные конструкции (см. [8], [7] и ср. [9], [10]). Основная цель настоящей статьи состоит в том, чтобы для набора $[f_0,\dots,f_m]$ формальных степенных рядов по неотрицательным степеням переменного $1/z$ представить некоторую конструкцию полиномов Эрмита–Паде 1-го и 2-го типов, соответствующих разложениям не в точке $\zeta=0$, а в бесконечно удаленной точке $z=\infty$. Устанавливается, что при определенных условиях “общего положения” (см. [2], [11], [12]) эта конструкция приводит к двум $(m+1)\times(m+1)$ полиномиальным матрицам $M_1(z)$ и $M_2(z)$, $M_1(z),M_2(z)\in\operatorname{GL}(m+1,\mathbb C[z])$, обладающим следующим свойством: $M_1(z)M_2(z)\equiv I$, где $I$ единичная $(m+1)\times(m+1)$-матрица. Автор выражает искреннюю признательность рецензенту за сделанные замечания, которые позволили устранить имевшиеся недостатки и улучшить изложение полученных результатов. 2. Случай $m=1$Поясним предлагаемую конструкцию полиномов Эрмита–Паде для разложений в бесконечно-удаленной точке на примере полиномов Паде, т.е. для случая $m=1$. Пусть дан набор $[f_0,f_1]$ двух формальных степенных рядов по неотрицательным степеням переменной $1/z$. Предполагается, что этот набор находится в “общем положении”. Для рассматриваемого случая $m=1$ это означает, что все индексы в таблице Паде ряда $f=f_1/f_0$, $f(\infty)\ne 0,\infty$, являются нормальными (см. [2]). Очевидно, что это условие выполняется и для таблицы Паде ряда $1/f$. Пусть $\mathbf n_0:=(n,n-1)$ и $\mathbf n_1:=(n-1,n)$ – два мультииндекса, $n\geqslant 1$. Нетрудно увидеть, что для мультииндекса $\mathbf n_0$ существуют два полинома $Q^{(0)}_0$, $\operatorname{deg}Q^{(0)}_0\leqslant n$, и $Q^{(0)}_1$, $\operatorname{deg}Q^{(0)}_1\leqslant{n-1}$, со следующим свойством1:
$$
\begin{equation}
Q^{(0)}_0f_0+zQ^{(0)}_1f_1=O\biggl(\frac{1}{z^n}\biggr),\qquad z\to\infty.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Непосредственно из соотношения (1) вытекает, что $Q^{(0)}_0(0)\ne 0$. Действительно, в противном случае мы получили бы, что $Q^{(0)}_0=z\widetilde Q^{(0)}_0$, где $\operatorname{deg}\widetilde Q^{(0)}_0\leqslant n-1$. Тем самым из (1) вытекало бы соотношение
$$
\begin{equation}
\widetilde Q^{(0)}_0+Q^{(0)}_1f=O\biggl(\frac{1}{z^{n+1}}\biggr),\qquad z\to\infty.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Из соотношения (2) следует, что индекс $(n-1,n-1)$ не является нормальным для ряда $f=f_1/f_0$, что противоречит нашему предположению. Таким образом, из условия нормальности таблицы Паде для функции $f$ получаем, что $\operatorname{deg}Q^{(0)}_1=n-1$, $\operatorname{deg}Q^{(0)}_0=n$ и $Q^{(0)}_0(0)\ne 0$. Поэтому можно ввести следующую нормировку полинома $Q^{(0)}_0$: $Q^{(0)}_0(0)=1$. Таким же образом мы получаем, что для мультииндекса $\mathbf n_1$ существуют два полинома $Q^{(1)}_0$, $\operatorname{deg}Q^{(1)}_0\leqslant{n-1}$, и $Q^{(1)}_1$, $\operatorname{deg}Q^{(1)}_1\leqslant n$, удовлетворяющие следующему соотношению:
$$
\begin{equation}
zQ^{(1)}_0f_0+Q^{(1)}_1f_1=\biggl(\frac{1}{z^n}\biggr),\qquad z\to\infty.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Из соотношения (3) и условия нормальности таблицы Паде для ряда $1/f$ вытекет, что $\operatorname{deg}Q^{(1)}_0=n-1$, $\operatorname{deg}Q^{(1)}_1=n$, $Q^{(1)}_1(0)\ne 0$. Тем самым, мы можем ввести нормировку $Q^{(1)}_1(0)=1$. Из (1) и (3) вытекает соотношение
$$
\begin{equation}
Q^{(0)}_0Q^{(1)}_1-z^2Q^{(0)}_1Q^{(1)}_0=O(1),\qquad z\to\infty.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Поэтому полином $\mathscr P:=Q^{(0)}_0Q^{(1)}_1-z^2Q^{(0)}_1Q^{(1)}_0$ не зависит от $z$, т.е. является постоянной. Для того чтобы найти эту постоянную, надо найти значение полинома в точке $z=0$. В силу введенных выше нормировок имеем $\mathscr P(0)=1$. Таким образом, мы получаем, что $Q^{(0)}_0Q^{(1)}-z^2Q^{(0)}_1Q^{(1)}_0\equiv 1$. Поэтому для $(2\times2)$-матрицы
$$
\begin{equation*}
M(z):=\begin{pmatrix} Q^{(0)}_0 &zQ^{(0)}_1 \\ zQ^{(1)}_0 &Q^{(1)}_1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $\operatorname{det}M(z)\equiv 1$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
M^{-1}(z)=\begin{pmatrix} Q^{(1)}_1 &-zQ^{(0)}_1 \\ -zQ^{(1)}_0 &Q^{(0)}_0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{deg}Q^{(0)}_0=\operatorname{deg}Q^{(1)}_1=n$ (ср. [3]).
3. Общий случай $m\in\mathbb N$Рассмотрим набор $[f_0,\dots,f_m]$, состоящий из $m\geqslant 2$ формальных рядов по неотрицательным степеням переменной $1/z$ таких, что $f_j(\infty)\ne 0$ и этот набор находится в “общем положении”. “Общее положение” означает здесь, что все мультииндексы $\mathbf n=(n_0,\dots,n_m)\in\mathbb N^{m+1}$ являются нормальными для полиномов Эрмита–Паде, соответствующих заданному набору и бесконечно удаленной точке (см. [2], [12]). Положим $n\in\mathbb N$,
$$
\begin{equation*}
\mathbf n_k:=(n-1,\dots,n-1,\underbrace{n}_{k+1},n-1,\dots,n-1) \in\mathbb N^{m+1}, \qquad k=0,\dots,m,
\end{equation*}
\notag
$$
– мультииндексы. Нетрудно увидеть, что для каждого $k=0,\dots,m$ и соответствующего мультииндекса $\mathbf n_k$ существуют полиномы $Q^{(k)}_j$, $j=0,\dots,m$, $\operatorname{deg}Q^{(k)}_j\leqslant n-1$, $j\ne k$, $\operatorname{deg}Q^{(k)}_k\leqslant n$, такие, что выполняется следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
zQ^{(k)}_0f_0+\dotsb+zQ^{(k)}_{k-1}f_{k-1} +Q^{(k)}_kf_k+zQ^{(k)}_{k+1}f_{k+1}+\dotsb+zQ^{(k)}_mf_m =O\biggl(\frac{1}{z^{mn}}\biggr).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Из соотношения (5) вытекает, что $\operatorname{deg}Q^{(k)}_k=k$ и $Q^{(k)}_k(0)\ne 0$, поскольку в противном случае мы получили бы, что мультииндекс $(n-1,\dots,n-1)\in\mathbb N^{m+1}$ не является нормальнам для заданного набора $[f_0,\dots,f_m]$. Поэтому мы можем нормировать полиномы $Q^{(k)}_k$ условием $Q^{(k)}_k(0)=1$, $k=0,\dots,m$. Для каждого $n\in\mathbb N$ введем мультииндекс
$$
\begin{equation*}
\mathbf d_s:=(mn-1,\dots,mn-1,\underbrace{mn}_{s+1},mn-1,\dots,mn-1) \in\mathbb N^{m+1}, \qquad s=0,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно увидеть, что для каждого $s=0,\dots,m$ и соответствующего мультииндекса $\mathbf d_s$ существуют полиномы $P^{(s)}_j$, $j=0,\dots,m$, $\operatorname{deg}P^{(s)}_j\leqslant mn-1$, $j\ne s$, $\operatorname{deg}P^{(s)}_s\leqslant mn$, удовлетворяющие следующему соотношению:
$$
\begin{equation}
zf_sP^{(s)}_j-f_jP^{(s)}_s=O\biggl(\frac1{z^n}\biggr),\qquad j=0,\dots,m,\quad j\ne s.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Из соотношения (6) вытекает, что $\operatorname{deg}P^{(s)}_s=mn$ и $P^{(s)}_s(0)\ne 0$, поскольку в противном случае мы получили бы, что мультииндекс $(mn-1,\dots,mn-1)$ не является нормальным для заданного набора $[f_0,\dots,f_m]$. Следовательно, для полиномов $P^{(s)}_s$, $s=0,\dots,m$, мы можем ввести нормировку $P^{(s)}_s(0)=1$. Справедливо следующее две полиномиальные $(m+1)\times(m+1)$-матрицы. Тогда $M_1(z)M_2^{\mathrm T}(z)\equiv I$, где $I$ – единичная $(m+1)\times(m+1)$-матрица. Замечание 1. Из определения матриц $M_1(z)$ и $M_2(z)$ вытекает, что $M_1(0)=M_2(0)=I$. Отметим, что поскольку мы рассматриваем разложения в бесконечно удаленной точке, то определения (5) и (6) сохраняются после замены сомножителя $z$ на сомножитель $z-a$ для произвольного фиксированного $a\in\mathbb C$. Как следствие, мы получаем две матрицы $M_1(z,a)$ и $M_2(z,a)$, полиномиальные по $z$ и обладающие следующими свойствами: $M_1(z,a)M_2^{\mathrm T}(z,a)\equiv I$ и $M_1(a,a)=M_2(a,a)=I$. Доказательство предложения 1. Введем два полиномиальных вектора:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf u_k(z): =(zQ^{(k)}_0,\dots,zQ^{(k)}_{k-1},Q^{(k)}_k,zQ^{(k)}_{k+1},\dots,zQ^{(k)}_m), \qquad k=0,\dots,m, \\ \mathbf v_s(z): =(zP^{(s)}_0,\dots,zP^{(s)}_{s-1},P^{(s)}_s,zP^{(s)}_{s+1},\dots,zP^{(s)}_m), \qquad s=0,\dots,m. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Скалярное произведение $\mathscr P_{k,s}(z):=\mathbf u_k(z)\cdot\mathbf v_s^{\mathrm T}(z)$ двух этих векторов является полиномом переменного $z$. Положим $\mathbf f:=(f_0,\dots,f_m)$. Из (5) и (6) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathscr P_{k,s}(z) &=\frac{1}{f_s}\,\mathbf u_k(z)\cdot f_s\mathbf v_s^{\mathrm T} =\frac{1}{f_s}\,\mathbf u_k(z) \cdot\biggl(P^{(s)}_s\mathbf f^{\mathrm T} +O\biggl(\frac{1}{z^n}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &=\frac{1}{f_s}(P^{(s)}_s\mathbf u_k(z)\cdot\mathbf f^{\mathrm T}+O(1)) =\frac{1}{f_s}\biggl(P^{(s)}_s \cdot O\biggl(\frac{1}{z^{mn}}\biggr)+O(1)\biggr)=O(1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Следовательно, из (7) мы получаем, что $\mathscr P_{k,s}(z)=O(1)$ при $z\to\infty$. Значит, полином $\mathscr P_{k,s}(z)\equiv\mathrm{const}=\mathscr P_{k,s}(0)$. Нам необходимо рассмотреть два различных случая. 1) Если $k=s$, то
$$
\begin{equation*}
\mathscr P_{k,k}(z)=\mathbf u_k(z)\cdot\mathbf v_k^{\mathrm T}(z) =Q^{(k)}_kP^{(k)}_k+zp(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, $\mathscr P_{k,k}(0)=Q^{(k)}_k(0)P^{(k)}_k(0)=1$. 2) Если $k\ne s$, то $\mathscr P_{k,s}(z)=zq(z)$ и, следовательно, $\mathscr P_{k,s}(0)=0$. Предложение 1 доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sue23}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|