| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Топологические и гомологические свойства пространства орбит простой трехмерной компактной линейной группы Ли О. Г. Стырт Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Московская облаcть, г. Долгопрудный
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030124 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеРассмотрим точное линейное представление компактной группы Ли G в вещественном векторном пространстве V. Требуется выяснить, является ли топологический фактор V/G этого действия топологическим многообразием, а также является ли он гомологическим многообразием. Далее для краткости будем называть топологическое многообразие просто “многообразием”. Без ограничения общности можно считать, что V – евклидово пространство, G – подгруппа Ли группы O(V), а представление G:V тавтологическое. Исследования по данной тематике проводились в работах [1], [2] для конечных групп. Кроме того, в работах автора [3]–[6] изучаются как топологические, так и дифференциально-геометрические свойства фактора для различных классов групп: для групп с коммутативной связной компонентой [3] и для простых групп классического типа [4]–[6]. В работах автора [7]–[9] также рассматриваются группы с коммутативной связной компонентой и усиливается “топологическая” часть результатов работы [3]. Настоящая же работа служит аналогичным усилением результатов работы [4] для простых трехмерных групп. Через G0 будем обозначать связную компоненту единицы группы G, а через g – ее касательную алгебру. Допустим, что g≅su2 – что равносильно, группа G0 изоморфна одной из групп SU2 и SO3. Пусть n1,…,nL – размерности неприводимых компонент представления g:V с учетом кратностей и в порядке убывания. Учитывая, что представление G:V точное, имеем n1⩾⋯⩾nl>1=nl+1=⋯=nL, где l∈{1,…,N}. Обозначим через q(V) число Основным результатом работы является следующая теорема. 2. Обозначения и вспомогательные фактыВ этом разделе приведен ряд вспомогательных обозначений и утверждений, в том числе заимствованных из процитированных работ (все новые утверждения – с доказательствами). Для краткости будут использованы следующие обозначения:
Лемма 1. Пусть X – топологическое пространство, а n – натуральное число. 1) Если X – односвязная гомологическая n-сфера, то X≅Sn. 2) Конус над пространством X является гомологическим (n+1)-многообразием тогда и только тогда, когда X – гомологическая n-сфера. Доказательство. См. теорему 2.3 и лемму 2.6 в [2; § 2]. Традиционно будем обозначать через T группу Ли {λ∈C:|λ|=1} по умножению. Допустим, что имеется евклидово пространство V и компактная группа G⊂O(V) с касательной алгеброй g⊂so(V). Рассмотрим произвольный вектор v∈V. Подпространства gv и Nv:=(gv)⊥ пространства V инвариантны относительно стабилизатора Gv вектора v. Стационарная подалгебра gv вектора v совпадает с LieGv. Положим Mv:=Nv∩(NGvv)⊥⊂Nv. Ясно, что Nv=NGvv⊕Mv⊂V и GvMv=Mv. Утверждение 1. В любом G0-инвариантном подпространстве V′⊂V существует вектор v, для которого Mv⊂(V′)⊥. Доказательство. См. утверждение 2.2 в [3; § 2]. Теорема 2. Пусть v∈V – некоторый вектор. Если V/G – гомологическое многообразие, то Nv/Gv и Mv/Gv – гомологические многообразия. Доказательство. См. теорему 4 и следствие 5 в [8]. Определение. Линейный оператор в пространстве над некоторым полем называется отражением (соответственно псевдоотражением), если подпространство его неподвижных точек имеет коразмерность 1 (соответственно 2). Обозначим через K группу Ли {v∈H:‖ по умножению. Определение. Группой Пуанкаре называется прообраз группы вращений додекаэдра при накрывающем гомоморфизме K\twoheadrightarrow\mathbf{SO}_3. Хорошо известно, что группа Пуанкаре \Gamma_0\subset K совпадает со своим коммутантом; то же можно сказать о линейной группе \Gamma\subset\mathbf{GL}_{\mathbb{R}}(\mathbb{H}), полученной ограничением на \Gamma_0 действия K\colon\mathbb{H} левыми сдвигами. Теорема 3. Если группа G\subset\mathbf{O}(V) конечна, а V/G – гомологическое многообразие, то имеются разложения G=G_0\times G_1\times\dots\times G_k и V=V_0\oplus V_1\oplus\dots\oplus V_k (k\in\mathbb{Z}_{\geqslant0}), такие что
Доказательство. См. предложение 3.13 в [2; § 3]. На пространстве \mathfrak{g} имеется \operatorname{Ad}(G)-инвариантное скалярное умножение, с помощью которого мы в дальнейшем будем отождествлять пространства \mathfrak{g} и \mathfrak{g}^*. Если \mathfrak{g}'\subset\mathfrak{g} – одномерная подалгебра, а V'\subset V – подпространство, то \mathfrak{g}'V'\subset V – подпространство размерности не более \dim V'. Напомним определения q-устойчивых (q\in\mathbb{N}) и неразложимых множеств векторов конечномерных пространств над полями [3; § 1], необходимые и в данной работе. Разложением множества векторов конечномерного линейного пространства на компоненты будем называть его представление в виде объединения своих подмножеств, линейные оболочки которых линейно независимы. Если среди указанных линейных оболочек по крайней мере две нетривиальны, то такое разложение назовем собственным. Будем говорить, что множество векторов неразложимо, если оно не допускает ни одного собственного разложения на компоненты. Всякое множество векторов разлагается на неразложимые компоненты единственным образом (с точностью до распределения нулевого вектора), причем для любого его разложения на компоненты каждая компонента является объединением некоторых его неразложимых компонент (вновь с точностью до нулевого вектора). Определение. Назовем q-устойчивым (q\in\mathbb{N}) конечное множество векторов конечномерного пространства, рассматриваемое с учетом кратностей своих элементов, если его линейная оболочка сохраняется при удалении из него любых векторов в количестве не более q (с учетом кратностей). Для произвольного конечного множества P векторов в конечномерном пространстве над некоторым полем, рассматриваемого с учетом кратностей своих элементов, количество ненулевых векторов множества P (с учетом кратностей) будем обозначать через \|P\|. Предположим, что группа G^0 коммутативна, т.е. является тором. Любое неприводимое представление группы G^0 либо одномерно, либо двумерно. Напомним введенное в [3; § 1] понятие веса ее неприводимого представления. Произвольное двумерное неприводимое представление группы G^0 обладает G^0-инвариантной комплексной структурой, и мы можем рассматривать его как одномерное комплексное представление группы G^0, сопоставив ему естественным образом вес – гомоморфизм групп Ли \lambda\colon G^0\to\mathbb{T} – и отождествив последний с его дифференциалом – вектором \lambda\in\mathfrak{g}^*. Одномерному представлению группы G^0 сопоставим вес \lambda:=0\in\mathfrak{g}^*. Классы изоморфных неприводимых представлений группы G^0 характеризуются весами \lambda\in\mathfrak{g}^*=\mathfrak{g}, определенными с точностью до умножения на (-1). Пусть P\subset\mathfrak{g} – множество весов \lambda\in\mathfrak{g}, соответствующее разложению представления G^0\colon V в прямую сумму неприводимых (с учетом кратностей). Множество P\subset\mathfrak{g} не зависит от выбора указанного разложения (с точностью до умножения весов на (-1)). Поскольку представление G\colon V точное, имеем \langle P\rangle=\mathfrak{g}. Теорема 4 (см. [9; теорема 4]). Допустим, что V/G – гомологическое многообразие, а P\subset\mathfrak{g} – 2-устойчивое множество. Тогда представление G\colon V есть прямое произведение представлений G_l\colon V_l (l=0,\dots,p), таких что Теорема 5. Допустим, что \dim G=1, а P\subset\mathfrak{g} – 2-устойчивое множество. Если V/G – гомологическое многообразие, то \|P\|=3. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что 0\notin P. В самом деле, по теореме 4 представление G\colon V есть прямое произведение представлений G_l\colon V_l (l=0,1), факторы которых являются гомологическими многообразиями, причем |G_0|<\infty, |G_1|=\infty, а множество весов представления G_1\colon V_1 неразложимо, 2-устойчиво, содержит \|P\| ненулевых весов и ни одного нулевого. Поскольку 0\notin P, пространство V обладает G^0-инвариантной комплексной структурой. Если группа G\subset\mathbf{O}(V) не содержит комплексных отражений, то утверждение вытекает из теоремы 6 работы [9]. Произвольный же случай можно свести (см. [3; §§ 3, 7]) к случаю представления одномерной группы без комплексных отражений, множество весов которого получается из P умножением всех весов на ненулевые скаляры. Следствие 1. Если \dim G \! = \! 1, а V/G – гомологическое многообразие, то \|P\| \! \leqslant \! 3 (что равносильно, \dim(\mathfrak{g} V)\leqslant6). Доказательство. Допустим, что \|P\|>3. Тогда P\subset\mathfrak{g} – 2-устойчивое множество. Согласно теореме 5 \|P\|=3. Получили противоречие. Напомним основные сведения о представлениях комплексной алгебры Ли \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}) и ее компактной вещественной формы \mathfrak{su}_2. Для любого m\in\mathbb{N} существует единственное с точностью до изоморфизма m-мерное неприводимое представление \rho_m алгебры \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}) – именно, (m-1)-я симметрическая степень ее (очевидно, симплектического) тавтологического представления. При четном (соответственно нечетном) m представление \rho_m симплектично (соответственно ортогонально). Значит,
3. Доказательства результатовДанный раздел посвящен доказательству теоремы 1. На протяжении дальнейшей части работы будем считать, что \mathfrak{g}\cong\mathfrak{su}_2, т.е. что группа G^0 изоморфна \mathbf{SU}_2 либо \mathbf{SO}_3. Положим V_0:=V^{G^0}\subset V. В обозначениях и соглашениях п. 1 L-l=\dim V_0, V_0\ne V, а числа n_1,\dots,n_l суть размерности неприводимых компонент представления \mathfrak{g}\colon V_0^{\perp} (с учетом кратностей), причем каждое из них либо кратно 4, либо нечетно. Если \mathfrak{g}'\subset\mathfrak{g} – собственная подалгебра, то \dim\mathfrak{g}'=1, а подпространство \mathfrak{g}'V\subset V имеет размерность 2q(V). Стало быть, 2q(V)\leqslant\dim V. Достаточно доказать теорему в случае V_0=0 (т.е. при отсутствии одномерных неприводимых компонент представления G^0\colon V). В самом деле, найдется вектор v\in V_0, такой что M_v\subset V_0^{\perp} (см. утверждение 1). Имеем \mathfrak{g} v=0, N_v=V, G_v\supset G^0, (G_v)^0=G^0, \mathfrak{g}_v=\mathfrak{g}. Далее, M_v=(V^{G_v})^{\perp}\supset (V^{G^0})^{\perp}=V_0^{\perp}\supset M_v, откуда M_v=V_0^{\perp}. Согласно теореме 2, если V/G – гомологическое многообразие, то M_v/G_v – гомологическое многообразие. Что касается разложений на неприводимые компоненты представлений группы G^0=(G_v)^0 в пространствах V и M_v, то второе получается из первого удалением всех одномерных компонент. Значит, q(V)=q(M_v). Далее будем считать, что V/G – гомологическое многообразие, а V_0=0. Требуется доказать, что q(V)\leqslant4. Допустим, что найдется вектор v\in V, для которого \dim G_v=1. Тогда \dim\mathfrak{g}_v=1, \dim(\mathfrak{g} v)=2. Кроме того, в силу теоремы 2, N_v/G_v – гомологическое многообразие. Согласно следствию 1, \dim(\mathfrak{g}_v N_v)\leqslant6, 2q(V)=\dim(\mathfrak{g}_v V)\leqslant\dim(\mathfrak{g}_v N_v)+ \dim(\mathfrak{g} v)\leqslant8, q(V)\leqslant4. Далее будем предполагать, что в пространстве V не существует вектора с одномерным стабилизатором, а также что q(V)>4. Как следствие,
Произвольные операторы g\in G и \xi\in\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(g)} в пространстве V коммутируют. Значит, для всякого g\in G подпространства V^g, (E-g)V\subset V являются (\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(g)})-инвариантными; при \operatorname{Ad}(g)=E они \mathfrak{g}-инвариантны и потому \operatorname{rk}(E-g) \mathop{\vdots} 4. Рассмотрим произвольный вектор v\in V. Если подалгебра \mathfrak{g}_v\subset\mathfrak{g} собственная, то \dim\mathfrak{g}_v=1, что противоречит предположению. Поэтому \mathfrak{g}_v=\mathfrak{g} либо \mathfrak{g}_v=0. В первом случае имеем G_v\supset G^0, v\in V^{G^0}=V_0=0. Значит, если v\ne0, то \mathfrak{g}_v=0, |G_v|<\infty, отображение \mathfrak{g}\to(\mathfrak{g}v), \xi\to(\xi v) является линейным изоморфизмом, причем для любых g\in G_v и \xi\in\mathfrak{g} выполнено равенство g(\xi v)=(\operatorname{Ad}(g)\xi)v, откуда (\xi v\in V^g) \Leftrightarrow(\xi\in\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(g)}). Как следствие, если v\ne0 и g\in G_v, то (\mathfrak{g} v)^g=(\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(g)})v. Для произвольных g\in G и \xi\in\mathfrak{g} обозначим через \varphi_{g,\xi} линейное отображение пространства V во внешнюю прямую сумму двух копий пространства (E-g)V, заданное формулой v\to((E-g)v,(E-g)\xi v). Лемма 2. Для любых g\in G и \xi\in\mathfrak{g}\setminus (\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(g)}) имеем \operatorname{Ker}\varphi_{g,\xi}=0. Доказательство. Если v\ne0 и v\in\operatorname{Ker}\varphi_{g,\xi}, то (E-g)v=(E-g)\xi v=0, т.е. g\in G_v и \xi v\in V^g, откуда \xi\in\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(g)}, что противоречит условию. Следствие 2. Если g\in G и \operatorname{Ad}(g)\ne E, то \dim V\leqslant2\cdot\operatorname{rk}(E-g). Нашей ближайшей целью является доказательство следующей теоремы. Теорема 6. Для всякого v\in V\setminus\{0\} имеем [G_v,G_v]=G_v\subset\operatorname{Ker}\operatorname{Ad}. Для доказательства теоремы 6 фиксируем произвольный вектор v \in V\setminus\{0\}. Обозначим через \pi гомоморфизм G_v\to\mathbf{O}(N_v), g\to g|_{N_v}, а через H_v – подгруппу \pi(G_v)\subset\mathbf{O}(N_v). В силу теоремы 2 N_v/G_v – гомологическое многообразие. Кроме того, |G_v|<\infty. Согласно теореме 3 имеются разложения H_v=H_0\times H_1\times\dots\times H_k и N_v=W_0\oplus W_1\oplus\dots\oplus W_k (k\in\mathbb{Z}_{\geqslant0}), такие что
Если g\in G_v, то \operatorname{rk}(E-g)-\dim((E-g)N_v)= \dim((E-g)(\mathfrak{g} v))= \operatorname{rk}(E-\operatorname{Ad}(g)) \leqslant2; при \operatorname{Ad}(g)=E имеем \operatorname{rk}(E-g)=\dim((E-g)N_v). Доказательство. Согласно условию, \operatorname{rk}(E-g)\leqslant4. Если \operatorname{Ad}(g)\ne E, то \dim V \leqslant2 \cdot\operatorname{rk}(E -g)\leqslant8, в то время как \dim V>8. Значит, \operatorname{Ad}(g)=E, вследствие чего, во-первых, \operatorname{rk}(E-g) \mathop{\vdots} 4, а во-вторых, \operatorname{rk}(E-g)=\dim((E-g)N_v)\leqslant2. Таким образом, \operatorname{rk}(E-g)=0, g=E. В силу леммы 3 \operatorname{Ker}\pi=\{E\}\subset G_v, т.е. \pi есть изоморфизм G_v\to H_v. Отсюда, полагая G_i:=\pi^{-1}(H_i)\subset G_v (i=0,\dots,k), получаем, что
Доказательство. Допустим, что найдутся число i\in\{1,\dots,k\} и элементы g,h\in G_i, такие что операторы \operatorname{Ad}(g) и \operatorname{Ad}(h) не коммутируют. Имеем \operatorname{Ad}(g),\operatorname{Ad}(h)\ne E, причем \mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(g)}, \mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(h)}\subset\mathfrak{g} – различные одномерные подпространства. Значит, \mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(h)}=\mathbb{R}\xi (\xi\in(\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(h)})\setminus (\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(g)})), и тогда \xi V^h\subset V^h, а также (\mathfrak{g} v)^h= (\mathfrak{g}^{\operatorname{Ad}(h)})v=\mathbb{R}(\xi v). Далее, g,h\in G_i\setminus\{E\}, и потому, во-первых, \operatorname{rk}(E-h)\leqslant6, а во-вторых, N_v^g=N_v^h=N_v\cap W_i^{\perp}, V^h=N_v^g\oplus(\mathbb{R}(\xi v)), (E-g)\xi V^h\subset(E-g)V^h=\mathbb{R}((E-g)\xi v), \dim(\varphi_{g,\xi}V^h)\leqslant2. В силу леммы 2 \operatorname{Ker}\varphi_{g,\xi}=0, откуда \dim V^h=\dim(\varphi_{g,\xi}V^h)\leqslant2 и, следовательно, \dim V=\operatorname{rk}(E-h)+\dim V^h\leqslant8, в то время как \dim V>8. Полученное противоречие завершает доказательство. Для любого i=1,\dots,k имеем \operatorname{Ad}(G_i)= \operatorname{Ad}([G_i,G_i])= [\operatorname{Ad}(G_i),\operatorname{Ad}(G_i)]=\{E\}, т.е. G_i\subset\operatorname{Ker}\operatorname{Ad}. Значит, G_v=G_1\times\dots\times G_k\subset \operatorname{Ker}\operatorname{Ad}. Тем самым теорема 6 полностью доказана. Доказательство. Согласно теореме 6, G_v\subset\operatorname{Ker}\operatorname{Ad}, G_v\cap G^0\subset(\operatorname{Ker}\operatorname{Ad})\cap G^0=\{\pm E\} \subset\mathbf{O}(V). Существует вложение \mathbb{T}\hookrightarrow G^0, и поэтому группу \mathbb{T} можно отождествить с ее образом при данном вложении и понимать как подгруппу группы G^0. В силу следствия 3, всякое неприводимое подпредставление представления \mathbb{T}\colon V является точным, а значит, изоморфно представлению \mathbb{T}\colon\mathbb{C} умножениями. Тем самым пространство V наделяется комплексной структурой, в соответствии с которой действие \mathbb{T}\colon V осуществляется умножениями на скаляры. Все операторы группы \operatorname{Ker}\operatorname{Ad} коммутируют со всеми операторами группы G^0\supset\mathbb{T}, причем (\operatorname{Ker}\operatorname{Ad})\cap G^0=\{\pm1\} \subset\mathbb{T}. Значит, \operatorname{Ker}\operatorname{Ad} – конечная подгруппа группы \mathbf{GL}_{\mathbb{C}}(V), каждый ее оператор g полупрост над полем \mathbb{C} и удовлетворяет соотношению (\operatorname{Spec}_{\mathbb{C}}g)\subset\mathbb{T}\subset G^0. В группе G обозначим через H подгруппу, порожденную объединением всех подгрупп G_v, v\in V\setminus\{0\}. Согласно теореме 6, H\subset\operatorname{Ker}\operatorname{Ad}. Предложение 1. Для любого g\in\operatorname{Ker}\operatorname{Ad} имеем (\operatorname{Spec}_{\mathbb{C}}g)\subset(gH)\cap\mathbb{T}. Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент \lambda\in(\operatorname{Spec}_{\mathbb{C}}g). Найдется вектор v \in V\setminus\{0\}, такой что gv=\lambda v, и тогда \lambda\in gG_v\subset gH. Доказательство. Как отмечалось ранее, H\subset\operatorname{Ker}\operatorname{Ad}. Отсюда
\begin{equation*}
gH\subset g(\operatorname{Ker}\operatorname{Ad})= \operatorname{Ker}\operatorname{Ad}.
\end{equation*}
\notag
В силу предложения 1 (\operatorname{Spec}_{\mathbb{C}}g)\subset(gH)\cap\mathbb{T}\subset (\operatorname{Ker}\operatorname{Ad})\cap\mathbb{T}= \{\pm1\}\subset\mathbb{T}. Доказательство. Пусть g\in\operatorname{Ker}\operatorname{Ad} – произвольный элемент. Из предложения 1 и следствия 6 вытекает, что (\operatorname{Spec}_{\mathbb{C}}g)\subset\{g\}\cap\mathbb{T}. В то же время (\operatorname{Spec}_{\mathbb{C}}g)\ne\varnothing, откуда g\in\mathbb{T}\subset G^0. Поскольку \operatorname{Aut}(\mathfrak{g})= \operatorname{In}(\mathfrak{g}), имеем \operatorname{Ad}(G)=\operatorname{Ad}(G^0). Отсюда, а также из леммы 6 вытекает, что G=G^0(\operatorname{Ker}\operatorname{Ad})=G^0\cong\mathbf{SU}_2. Значит, \pi_3(G) \cong\pi_3(\mathbf{SU}_2)\cong\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z}. Пусть S\subset V – единичная сфера, а M – фактор S/G. Имеем \dim V>8, \dim S>7; значит, S и M – связные топологические пространства, причем \pi_k(S)=\{e\} (k=1,\dots,7). Согласно следствию 5 действие G\colon S свободное. Отображение факторизации S\twoheadrightarrow M является локально тривиальным расслоением со слоем G. Соответствующая точная гомотопическая последовательность дает соотношения \pi_k(M)\cong\pi_{k-1}(G) (k=2,\dots,7) и \pi_1(M)\cong G/G^0=\{e\}. В силу леммы 1 M\cong S^m (m:=\dim S-3>4); с другой стороны, \pi_4(M)\cong\pi_3(G)\cong\mathbb{Z}. Получили противоречие, которое окончательно доказывает теорему 1.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sty23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|