Аннотация:
В работе в терминах разделенных разностей формулируется общая задача экстремальной функциональной интерполяции действительных функций одного переменного (для конечных разностей это задача Яненко–Стечкина–Субботина). Требуется вычислить наименьшее значение n-й производной в пространстве Lp(R), 1⩽p⩽∞, на классе функций, интерполирующих любую заданную бесконечную последовательность действительных чисел на произвольной, бесконечной в обе стороны сетке узлов на числовой оси R для класса интерполируемых последовательностей, у которых последовательность разделенных разностей n-го порядка принадлежит пространству lp(Z). В настоящей работе эта задача решается в случае n=2. Указанная величина оценивается сверху и снизу через наибольший и наименьший шаги сетки узлов.
Библиография: 12 наименований.
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075-02-2021-1383).
Поступило в редакцию: 18.11.2020 Исправленный вариант: 06.12.2020
Пусть на числовой оси R=(−∞;+∞) задана бесконечная в обе стороны сетка узлов Δ={xk}k∈Z вида
⋯<xk<xk+1<xk+2<⋯,
и пусть hk=xk+1−xk – шаги этой сетки, причем h_=inf, \overline{h}=\sup_k h_k. В настоящей работе всюду далее полагаем, что \underline{h}>0 и \overline{h}<+\infty. Отсюда, в частности, следует, что \lim_{k\to -\infty} x_k=-\infty, \lim_{k\to +\infty} x_k=+\infty. Для функции f, определенной на \mathbb R, положим
где y=\{y_k\}_{k\in \mathbb Z} – произвольная последовательность действительных чисел. Разделенная разность порядка n для функции f на сетке \Delta определяется рекуррентно при помощи равенств
Хорошо известно, что если исходная сетка узлов равномерная с шагом h>0 (т. е. x_m=x+mh, m\in \mathbb Z), то разделенная разность n-го порядка с точностью до постоянного множителя совпадает с обычной конечной разностью
связывающие разделенные разности и соответствующие производные (см., например, [1; гл. 1]). Более интересна другая формула (см. [2; с. 15]), в неявном виде она была впервые выписана Ж. Фаваром в 1940 г. в работе [3], а именно,
Здесь \mathrm{AC} – класс локально абсолютно непрерывных функций и L_p=L_p(\mathbb R), 1\leqslant p\leqslant \infty, – класс функций с обычным определением нормы
Дифференциальный оператор взятия n-й производной и разностный оператор разделенной разности n-го порядка имеют одно и то же ядро – пространство алгебраических многочленов степени (n-1). Легко видеть, что если n-я производная некоторой действительной функции f ограничена сверху по модулю для всех x\in \mathbb R положительной константой M, то абсолютная величина разделенной разности n-го порядка на любой сетке узлов \Delta не превосходит числа M/(n!). Поэтому задачу о вычислении величин A_{p,n}(\Delta) можно считать обратной к отмеченному свойству разделенных разностей и более общей, чем известная задача Яненко–Стечкина–Субботина для конечных разностей. Она имеет богатую историю в случае равномерной сетки узлов (т. е. для конечных разностей), а для разделенных разностей оказалась гораздо труднее. Отметим, что случай n=1 является тривиальным, поскольку он сводится к локальной интерполяции ломаными.
Для конечных разностей вида \Delta_{h}^{n}f(x) эта задача для любой индивидуальной последовательности y=\{y_k\}_{k\in \mathbb Z} возникла в исследованиях академика Н. Н. Яненко при построении разностных методов решения дифференциальных уравнений. После бесед с Н. Н. Яненко профессор С. Б. Стечкин в начале 60-х гг. предложил своему ученику (ныне члену-корреспонденту РАН) Ю. Н. Субботину рассмотреть данную задачу в экстремальной постановке (1.2) для равномерной сетки узлов (обозначим ее через \overline{\Delta}) и всего класса последовательностей Y_{p,n}. К тому времени оценки сверху (неточные) для величины A_{p,n}(\overline{\Delta}) были получены В. С. Рябеньким (p=\infty) [4], [5] и С. Л. Соболевым [6]. Ю. Н. Субботин в нескольких своих работах (см. [7]–[9]) успешно справился с этой задачей, вычислив точно величину A_{n,p}(\overline{\Delta}) для равномерной сетки \overline{\Delta} при всех n\in \mathbb N и 1\leqslant p\leqslant \infty. Важным моментом решения было то, что экстремальными функциями в данной задаче оказались полиномиальные сплайны (с правильными узлами “склейки”) и их обобщения. Работы Ю. Н. Субботина дали мощный толчок к исследованию аппроксимативных и экстремальных свойств этих кусочно-полиномиальных функций. Многочисленные обобщения и применения результатов Ю. Н. Субботина изложены в обзорной статье [10].
Близкой по постановке к задаче (1.2) является интерполяционная задача Ж. Фавара [3] (полную библиографию и некоторые обобщения см., например, в [11]). Ж. Фавар рассматривал только случай p=\infty и равенства (1.1) для конечного набора чисел k, а именно, для k=0,1,\dots,m-n (m – любое фиксированное натуральное число, большее n) (см. [3]) и любых (m+1) точек x_0<x_1<\dots<x_m, в которых заданы значения y_0=f(x_0), \dots, y_m=f(x_m) некоторой функции f. Пусть имеют место неравенства
где M – фиксированное положительное число. При таких ограничениях Ж. Фавар рассмотрел задачу нахождения функции f на интервале (x_0;x_m), у которой n-я производная в пространстве L_{\infty} является наименьшей.
В свою очередь, при формулировке задачи (1.2) мы предполагаем, что равенства (1.1) выполнены для всех целых значений параметра k, и при p=\infty все эти разделенные разности ограничены (см. определение класса Y_{\infty,n}), и минимизируем n-ю производную не локально, а на всей оси \mathbb R.
В недавней работе С. И. Новикова и автора [12] нам удалось продвинуться в решении задачи (1.2) при n=2 и p=\infty для произвольной сетки узлов \Delta (не требуя ограничений вида \underline{h}>0 и \overline{h}<+\infty). А именно, из результатов работы [12], в частности, следует неравенство
Отметим, что Ю. Н. Субботин [7]–[9], решая задачу (1.2) для равномерной сетки узлов \overline{\Delta}=\{kh\}_{k\in \mathbb Z}, рассматривал только случай h=1. Но если в его работах сделать соответствующую замену переменных и рассмотреть равномерную сетку с произвольным шагом h, то в случае n=2 основной результат Ю. Н. Субботина (с учетом связи между конечными и разделенными разностями) может быть переформулирован следующим образом:
Структура настоящей работы следующая. В § 2 и § 3 будут получены соответственно оценки снизу и сверху для величины A_{p,2}(\Delta) при 1<p<\infty. В § 4 рассмотрен случай p=1, и, наконец, в § 5 уточнена оценка сверху в неравенстве (1.3).
§ 2. Оценка снизу величины A_{p,2}(\Delta)
Функцию f\in F_{p,2}(y), 1\leqslant p\leqslant \infty, с помощью формулы Тейлора запишем в виде
(при p=1 полагаем q=\infty, а при p=\infty считаем, что q=1). При получении оценки снизу величины A_{p,2}, 1\leqslant p<\infty, будем действовать методом Ю. Н. Субботина [7]–[9]. Рассмотрим произвольную последовательность y^*=\{ y_k^*\}_{k\in \mathbb Z}\in Y_{p,2}, удовлетворяющую условию
\begin{equation}
[y_{k+2}^*,y_{k+1}^*,y_k^*]=\begin{cases} (-1)^k(2N+1)^{-1/p}, &|k|\leqslant N, \\ 0, &|k|> N, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.2}
где N – произвольное натуральное число, N\geqslant 2. Принимая во внимание (2.1) и (2.2), имеем
\begin{equation}
\varphi_k(t)=\frac{x_{k+1}-t}{h_k(h_{k-1}+h_k)}-\frac{t-x_k}{h_k(h_k+h_{k+1})},\qquad t\in [x_k;x_{k+1}],\quad k=-N+1,\dots, N,
\end{equation}
\tag{2.4}
играют важную роль в дальнейших рассуждениях. При любом k функция \varphi_k(t) является линейной на отрезке [x_k;x_{k+1}], причем имеют место равенства
Из (2.5) следует, что \varphi_{k+1}(x_{k+1})=-\varphi_{k}(x_{k+1}), и поэтому функция \psi(t)\geqslant 0 является непрерывной функцией на отрезке [t_{-N+1};t_N]. График этой функции похож на “пилу” с вершинами в точках x_{-N+2},\dots, x_N и нулями в точках t_{-N+1},\dots, t_N (см. (2.6)). Оценим сверху величины \overline{B} и \overline{\overline{B}} при 1<p<\infty с помощью неравенства Гёльдера. Получим
В этом неравенстве присутствует функция \psi(t) (см. (2.4) и (2.10)). Пересчитаем интеграл в правой части неравенства (2.12) в терминах h_k – длин шагов сетки \Delta, используя то, что функция \psi кусочно линейна. Из (2.4) с учетом (2.6) имеем
В дальнейшем мы загрубим полученную оценку с учетом условий теоремы (мы рассматриваем только сетки \Delta, удовлетворяющие условиям \underline{h}>0 и \overline{h}<+\infty). Но интересно отметить, что оценка (2.15) величины A_{p,2}(\Delta) является точной для равномерной сетки узлов \overline{\Delta}, т. е. в случае h_k=h. В этом случае для любого числа k имеет место равенство
Напомним, что числа p и q связаны соотношением 1/p\,{+}\,1/q=1. Таким образом, при 1<p<\infty в теореме, сформулированной во введении, доказана оценка снизу с константой
Пусть 1<p<\infty. Покажем, что для любой последовательности y\in Y_{p,2} существует функция f\in F_{p,2}(y) – обобщенный параболический сплайн с узлами \{ t_k\}_{k\in \mathbb Z} (см. (2.6)), причем f(t_k)=0, k\in \mathbb Z, который интерполирует значения последовательности y в точках \{x_k\}_{k\in \mathbb Z}, т. е. f(x_k)=y_k, k\in \mathbb Z, и для него справедлива оценка
с некоторой положительной константой C_2(p), где \overline{h}=\sup_k h_k. Построим этот сплайн с помощью введенной в § 2 функции \psi(t) (см. (2.4) и (2.10)). Для любого числа k\in \mathbb Z полагаем
и можно воспользоваться представлением (2.1). Подставляя (3.1) в равенство (2.1), для определения чисел \{Z_k\}_{k\in \mathbb Z} получаем разностное уравнение
Свойства чисел a_k, b_k(1) и c_k были исследованы в совместной работе С. И. Новикова и автора [12; лемма 1 и следствие к этой лемме]. С учетом (3.7) справедливо следующее утверждение.
Лемма 3.1(см. [12]). При любом k\in \mathbb Z имеют место неравенства
Из определения чисел b_k(q) легко видеть, что b_k(q)\geqslant b_k(1) при q\geqslant 1, и поэтому из (3.7) следует неравенство
\begin{equation}
a_k+b_k(q)+c_k\geqslant 1,\qquad q\geqslant 1,\quad k\in \mathbb Z.
\end{equation}
\tag{3.8}
Лемма 3.2. Для любой последовательности y\in Y_{p,2}, 1<p<\infty, разностное уравнение (3.5) имеет решение \widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_k\}_{k\in \mathbb Z}\in l_p, и это решение единственно.
Доказательство. Разностное уравнение (3.5) перепишем в следующем виде:
Значит, оператор T является сжимающим оператором в полном метрическом пространстве l_p=l_p(\mathbb Z) с константой сжатия 17/18<1. Здесь \widetilde{Z}^{(1)}=\{\widetilde{Z}_{k+1}^{(1)}\}_{k\in \mathbb Z} и \widetilde{Z}^{(2)}=\{\widetilde{Z}_{k+1}^{(2)}\}_{k\in \mathbb Z}. Поэтому согласно теореме о сжимающем операторе уравнение T\widetilde{Z}=\widetilde{Z} (т. е. разностное уравнение (3.5)) имеет решение \widetilde{Z}\in l_p, и это решение единственно. Лемма 3.2 доказана.
Лемма 3.3. Для решения \widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_k\}_{k\in \mathbb Z} разностного уравнения (3.5) справедлива оценка
Доказательство. В лемме 3.2 было доказано, что разностное уравнение (3.5) имеет единственное решение \widetilde{Z}=\{\widetilde{Z}_{k+1}\}\in l_p, но при этом не был найден явный вид этого решения. Для доказательства леммы 3.3 будем рассуждать от противного. Пусть \|\widetilde{Z}\|_{l_p}>18. Поскольку y\in Y_{p,2}, то
Для любой функции f\in F_{1,2}(y^*), как и в случае 1<p<\infty, правую часть равенства (4.3) представим в виде A+B, где A и B определены равенствами (2.3). Заметим, что в силу условий теоремы \underline{h}>0 и \overline{h}<+\infty, и поэтому если f''\in L_1(\mathbb R), то при N\to \infty
В силу этого обстоятельства легко видеть, что A=o(1) и аналогично \overline{B}=o(1) при N\to \infty (см. (2.8), (2.9)). Из равенств (2.4), (2.5) и (2.10) имеем
Для доказательства оценки сверху величины A_{1,2}(\Delta) для любого числа \varepsilon>0 и любой последовательности y\in Y_{1,2} построим функцию f(t)=f_{\delta}(t)\in F_{1,2}(y) такую, что
Обоснуем, что для любой последовательности y\in Y_{1,2} уравнение (4.7) имеет решение и затем оценим норму этого решения в пространстве l_1. Уравнение (4.7) с учетом (4.8) можно переписать в виде
Рассмотрим нелинейный оператор T, который ставит в соответствие каждой последовательности Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z} последовательность, стоящую в правой части равенства (4.9). Поскольку \delta<(1/2)\underline{h}, то из неравенства
следует, что T является сжимающим оператором в полном метрическом пространстве l_1=l_1(\mathbb Z). Следовательно, по теореме о сжимающем операторе уравнение (4.9) (а потому и уравнение (4.7)) имеет решение Z\in l_1, и это решение единственно. Оценим норму этого решения в пространстве l_1.
т. е. норма в пространстве l_1 последовательности, стоящей в правой части разностного уравнения (4.10), не превосходит числа 8\overline{h}. Покажем, что та же норма последовательности, стоящей в левой части этого уравнения, будет больше 8\overline{h} при подходящем выборе числа \delta (это число фигурирует в равенстве (4.6)). Имеем
Оценим снизу выражение (обозначим его через Q), стоящее в правой части этого неравенства под знаком модуля с учетом того, что \delta<(1/2)\underline{h}. Получим
Выберем число \delta\,{<}\min\{ (1/2)\underline{h},\varepsilon\underline{h}/(2+\varepsilon)\}. Тогда 4(2+\varepsilon)(\underline{h}-\delta)\,{>}\,8\underline{h}, и поэтому из (4.13) следует, что Q>8\overline{h}. Получили противоречие с неравенством (4.12).
Оценим теперь норму функции f'' в пространстве L_1=L_1(\mathbb R). Из (4.6) имеем
для любого числа \varepsilon>0, и неравенство (4.5) доказано. Устремляя число \varepsilon к нулю (тогда \delta также стремится к нулю), отсюда получим, что
По схеме, изложенной в предыдущих параграфах, докажем существование решения \{Z_k\}_{k\in \mathbb Z} разностного уравнения (5.2). Это уравнение с учетом (5.3) перепишем в виде
Нелинейный оператор T, ставящий в соответствие каждой последовательности Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z} последовательность, стоящую в правой части равенства (5.4), является сжимающим, поскольку из (5.4) легко следует, что
Значит, по известной теореме о сжимающем операторе в полном метрическом пространстве l_{\infty}=l_{\infty}(\mathbb Z) получаем, что разностное уравнение (5.2) имеет единственное решение Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z}\in l_{\infty}.
Лемма 5.1. Для решения разностного уравнения (5.2) справедлива оценка
Доказательство. Доказательство леммы 5.1, приведенное ниже, практически повторяет доказательство аналогичной леммы 3 [12] и представлено здесь в основном для полноты изложения.
Пусть Z=\{Z_{k+1}\}_{k\in \mathbb Z} – единственное ограниченное решение уравнения (5.2). Обозначим \alpha=\sup_k|Z_k| и будем рассуждать от противного. Пусть \alpha>4. Тогда существует положительное число \beta такое, что \alpha>\beta+4 (например, можно взять \beta=(1/2)(\alpha-4)). Поскольку \alpha=\sup_k|Z_k|, то для любого целого числа k имеет место неравенство |Z_k|\leqslant \alpha, и для любого числа \varepsilon>0 найдется такое целое число m, что
Устремляя положительное число \varepsilon к нулю, получаем, что для некоторого числа m=m(\varepsilon)\in \mathbb Z имеет место неравенство D_m>1, что противоречит (5.5). Лемма 5.1 доказана.
Из леммы 5.1 и равенства (5.1) выводим неравенство
поскольку в [12] было еще доказано, что для геометрической сетки узлов вида \Delta_r=\{ r^kh\}_{k\in \mathbb Z}, r\geqslant 1, h>0, имеет место равенство
и при этом A_{\infty,2}(\Delta_1)=A_{\infty,2}(\overline{\Delta})=4, \lim_{r\to \infty}A_{\infty,2}(\Delta_r)=2.
Список литературы
1.
А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, 3-е изд., Наука, М., 1967, 375 с. ; англ. пер.: A. O. Gelfond, Calculus of finite differences, Int. Monogr. Adv. Math. Phys., Hindustan Publishing Corp., Delhi, 1971, vi+451 с.
2.
С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин, Сплайны в вычислительной математике, Наука, М., 1976, 248 с.
3.
J. Favard, “Sur l'interpolation”, J. Math. Pures Appl. (9), 19:9 (1940), 281–306
4.
В. С. Рябенький, “Необходимые и достаточные условия хорошей обусловленности краевых задач для систем обыкновенных разностных уравнений”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:2 (1964), 242–255; англ. пер.: V. S. Ryaben'kii, “Necessary and sufficient conditions for good definition of boundary value problems for systems of ordinary difference equations”, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 4:2 (1964), 43–61
5.
В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов, Об устойчивости разностных уравнений, Гостехиздат, М., 1956, 171 с. ; нем. пер.: V. S. Rjabenki, A. F. Filippow, Über die Stabilität von Differenzengleichungen, Mathematik für Naturwissenschaft und Technik, 3, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1960, viii+136 pp.
6.
С. Л. Соболев, Лекции по теории кубатурных формул, Ч. 2, Изд-во Новосибирского ун-та, Новосибирск, 1965, 293 с.
7.
Ю. Н. Субботин, “О связи между конечными разностями и соответствующими производными”, Экстремальные свойства полиномов, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 78, Наука, М., 1965, 24–42
8.
Ю. Н. Субботин, “Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей n-й производной”, Приближение функций в среднем, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 88, 1967, 30–60; англ. пер.: Yu. N. Subbotin, “Functional interpolation in the mean with smallest n derivative”, Proc. Steklov Inst. Math., 88 (1967), 31–63
9.
Ю. Н. Субботин, “Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны”, Тр. МИАН СССР, 138 (1975), 118–173; англ. пер.: Yu. N. Subbotin, “Extremal problems of functional interpolation, and mean interpolation splines”, Proc. Steklov Inst. Math., 138 (1977), 127–185
10.
Ю. Н. Субботин, С. И. Новиков, В. Т. Шевалдин, “Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 3, 2018, 200–225
11.
Th. Kunkle, “Favard's interpolation problem in one or more variables”, Constr. Approx., 18:4 (2002), 467–478
12.
С. И. Новиков, В. Т. Шевалдин, “О связи между второй разделенной разностью и второй производной”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, № 2, 2020, 216–224
Образец цитирования:
В. Т. Шевалдин, “Экстремальная интерполяция с наименьшим значением нормы второй производной в пространстве L_p(\mathbb R)”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:1 (2022), 219–236; Izv. Math., 86:1 (2022), 203–219
C. Э. Нохрин, В. Т. Шевалдин, “О достаточных условиях существования решения бесконечно-разностного уравнения с переменными коэффициентами”, Чебышевский сб., 25:2 (2024), 243–250
Sergey I. Novikov, “Interpolation with minimum value of L_{2}-norm of differential operator”, Ural Math. J., 10:2 (2024), 107–120