| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Об одном обобщении дискретной формулы Родрига для многочленов Мейкснера В. Н. Сорокин Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9765e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1.Определим дискретную вероятностную меру μ(x)=μ(x;c,β), носителем которой служит множество целых неотрицательных чисел Z+. А именно, в точку x∈Z+ поместим массу, равную где Γ – гамма-функция (интеграл Эйлера второго рода). Мера зависит от двух параметров:Через Pn(x) обозначим многочлены Мейкснера (см. [1], а также [2]), т.е. многочлены, ортогональные по мере μ. Другими словами, Pn – ненулевой многочлен, степень которого не превосходит n, удовлетворяющий следующим соотношениям ортогональности: Эти соотношения определяют многочлен Pn единственным образом (с точностью до нормировки). Он имеет степень n. Все его нули простые, они лежат на промежутке Δ=[0,+∞) и по теореме Чебышёва–Маркова–Стилтьеса разделены целыми точками, т.е. для любого m∈Z+ на отрезке [m,m+1] лежит не более одного нуля.В дальнейшем ограничимся случаем β=1. Тогда – геометрическое распределение вероятности.Мейкснером был получен следующий дискретный аналог формулы Родрига: где – символ Похгаммера, а Δ – левый разностный оператор, Записав формулу (1.2), мы тем самым зафиксировали нормировку многочленов, а именно Pn(0)=1.В работах [3]–[10] изучались различные обобщения многочленов Мейкснера, связанные с аппроксимациями Эрмита–Паде (см. [11], [12]). Общим вопросам сходимости последовательностей дискретных мер и их потенциалов посвящена недавняя работа [13]. В теории диофантовых приближений широко применяются не только аппроксимации Эрмита–Паде, а также другие конструкции, связанные, например, с обобщениями формулы Родрига. В настоящей работе мы будем изучать многочлены, заданные следующий формулой: где Многочлен An(x) имеет степень 3n и нормирован условием An(0)=1. В § 3 мы полностью исследуем асимптотическое поведение этих многочленов при n→∞. Там же будут сформулированы основные результаты работы.Для нас основной мотивацией введения многочленов An послужила их связь с теорией диофантовых приближений. А именно, эти многочлены дают еще один новый пример специальных функций, генерирующих приближения Апери к значению дзета-функции Римана ζ(3) (подробнее об этом см. п. 1.3). Многочлены Qn также связаны с диофантовыми приближениями. В работе [3] среди прочих результатов нами была получена слабая асимптотика этих многочленов. Ниже, в § 2, приведем небольшой фрагмент этой работы для того, чтобы иметь базовые формулы для асимптотики многочленов Qn в том виде, в каком они необходимы при доказательстве основных результатов. 1.2.На примере многочленов Мейкснера обсудим понятие слабой асимптотики. Поскольку массы (1.1) экспоненциально убывают при x→∞, мы, следуя результатам Е. А. Рахманова (см. [14]), сделаем масштабирование где Cn – нормировочная постоянная такая, что старший коэффициент многочлена P∗n равен 1. Слабой асимптотикой последовательности {P∗n}∞n=0 называется следующий предел: Функция V(x) определена для тех x\in \mathbb {C}, для которых этот предел существует.Через \mathfrak {Z}(P^\ast_n) обозначим множество нулей многочлена P^\ast_n. Определим меры:
\begin{equation}
\lambda_n=\frac{1}{n}\sum_{\xi\in\mathfrak {Z}(P^\ast_n)}\delta_\xi,
\end{equation}
\tag{1.7}
где \delta_\xi – функция Дирака (единичная мера, помещенная в точку \xi). Таким образом, \lambda_n – это нормированная мера, считающая нули многочлена P^\ast_n. В работе [3] было доказано, что меры (1.7) имеют предел в \ast-слабой топологии сопряженного пространства (поточечная сходимость функционалов): Носитель \mathsf{S}(\lambda) конечной положительной борелевской меры \lambda лежит на промежутке \Delta, а ее полная вариация \|\lambda\| равна 1. Мера \lambda называется предельной мерой распределения нулей многочленов P^\ast_n. Было показано, что предел (1.6) существует вне носителя этой меры, при этом
\begin{equation*}
V(x)=V^\lambda(x), \qquad x\in \mathbb {C}\setminus\mathsf{S}(\lambda),
\end{equation*}
\notag
где V^\lambda – логарифмический потенциал меры \lambda (см. [15]), т.е. следующий конечный или бесконечный интеграл Лебега:
\begin{equation*}
V^\lambda(x)=\int \log\frac{1}{|x-t|}\,d\lambda(t), \qquad x\in \mathbb {C}.
\end{equation*}
\notag
Мера \lambda является решением следующей задачи равновесия теории логарифмического потенциала (см. [16]). Задача 1. Требуется найти конечную положительную борелевскую меру \lambda такую, что: 1) носитель меры лежит на промежутке \Delta, \mathsf{S}(\lambda) \subset \Delta; 2) полная вариация меры равна 1, \|\lambda\|=1; 3) выполняется ограничение (констрейн) где \chi – классическая мера Лебега на промежутке \Delta;4) выполняются условия равновесия
\begin{equation*}
W=2V^\lambda+\Phi \begin{cases} \leqslant w &\text{на }\ \mathsf{S}(\lambda), \\ \geqslant w &\text{на }\ \Delta \setminus \mathsf{Z}(\lambda), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
где w – некоторая постоянная равновесия,
\begin{equation*}
\mathsf{Z}(\lambda)=\mathsf{S}(\lambda)\setminus\mathsf{S}(\chi-\lambda)
\end{equation*}
\notag
– зона насыщения меры \lambda, т.е. подмножество носителя, на котором достигается ограничитель (1.8), \Phi – внешнее поле, равное Внешнее поле (1.9) появляется в результате масштабирования (1.5) из-за экспоненциального убывания меры \mu на бесконечности. Констрейн также появляется в результате масштабирования вследствие теоремы о разделении нулей. Неравенство (1.8) означает, что заряд \chi-\lambda, равный разности двух мер, также является положительной мерой. Впервые задачи равновесия с констрейном рассматривал Е. А. Рахманов (см. [17]). Положим
\begin{equation*}
x_-=\frac{1-\sqrt c}{1+\sqrt c }, \qquad x_+=\frac{1+\sqrt c}{1-\sqrt c}.
\end{equation*}
\notag
Носителем меры \lambda является отрезок [0,x_+], а ее зоной насыщения – отрезок [0,x_-]. 1.3.В заключение этого параграфа отметим интересный факт, а именно связь многочленов A_n с теорией диофантовых приближений, точнее, с одним из ее направлений – изучением арифметических свойств значений дзета-функции Римана–Эйлера. Напомним, что
\begin{equation*}
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_p \frac{1}{1-1/{p^s}}, \qquad \operatorname{Re}s>1,
\end{equation*}
\notag
где произведение берется по всем простым числам. Многочлены A_n аналитически зависят от параметра c , точнее, они являются многочленами от q=1/c. Положим c=1, При этом происходит сильное вырождение – многочлен \mathring{A}_n имеет степень n. Рассмотрим числа Они являются знаменателями диофантовых приближений Апери (см. [18]) числа \zeta(3). Числа (1.10) удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению где n=1, 2, 3, \dots, и начальным условиям a_0=1, a_1=5. Этот результат непосредственно следует из формул (1.3) и (1.4).М. Прево (см. [19]) получил приближения Апери для числа \xi(2), используя многочлены Тушара (см. [20]), совпадающие с многочленами Это многочлены степени n, ортогональные относительно линейного функционала \mathfrak{S}:
\begin{equation*}
\mathfrak{S}\{\mathring{Q}_n(x)x^l\}=0, \qquad l=0, \dots, n-1, \quad n\in \mathbb Z_+,
\end{equation*}
\notag
степенными моментами которого служат числа Бернулли Напомним, что числа Бернулли определены следующей производящей функцией (распределением Планка):
\begin{equation*}
\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}z^n, \qquad |z|<2\pi.
\end{equation*}
\notag
Приближения Апери для числа \zeta(3) Прево получил из многочленов, ортогональных относительно функционала,
\begin{equation*}
\mathfrak{S}'\{\varphi(x)\}=-\mathfrak{S}\{\varphi'(x)\}, \qquad \varphi(x)\in \mathbb C[x],
\end{equation*}
\notag
связанных с многочленами Вильсона (см. [21]). Предъявленные нами многочлены \mathring{A}_n отличаются от них. Это еще одна новая конструкция построения приближений Апери.
§ 2. Асимптотика многочленов Q_n2.1.Многочлены Q_n, определенные дискретной формулой Родрига (1.4), изучались нами в работе [3]. Это многочлены степени 2n, нормированные условием Q_n(0)=1 и удовлетворяющие следующим соотношениям ортогональности:
\begin{equation*}
\int{Q_n(x)x^l\,d\mu(x)=0}, \qquad \int{Q'_n(x)x^l\,d\mu(x)=0},
\end{equation*}
\notag
где l=0, \dots, n-1, n\in\mathbb Z_+. Сделаем масштабирование где C^\ast_n – нормировочная постоянная такая, что старший коэффициент многочлена Q^\ast_n равен 1. Через
\begin{equation}
V_\ast(x)=\lim_{n\to\infty}\biggl({-\frac{1}{n}}\biggr)\log|Q^\ast_n(x)|
\end{equation}
\tag{2.1}
обозначим соответствующую слабую асимптотику. Положим
\begin{equation}
\lambda^Q_n=\frac{1}{n}\sum_{\xi\in\mathfrak {Z}(Q^\ast_n)}\delta_\xi.
\end{equation}
\tag{2.2}
Тогда \lambda^Q_n – нормированная мера, считающая нули многочлена Q^\ast_n. В [3] было показано, что последовательность мер (2.2) имеет предел в \ast-слабой топологии: где \lambda_\ast – конечная борелевская (на комплексной плоскости) положительная мера с некоторым компактным носителем \mathsf{S}(\lambda_\ast) и полной вариацией \|\lambda_\ast\|, равной 2. Это предельная мера распределения нулей многочленов Q^\ast_n. При этом
\begin{equation*}
V_\ast(x)=V^{\lambda_\ast}(x), \qquad x \in \mathbb {C}\setminus\mathsf{S}(\lambda_\ast).
\end{equation*}
\notag
Мера \lambda_\ast является решением некоторой векторной задачи равновесия типа Анжелеско (см. [12]) с внешним полем и с констрейном. Прежде чем сформулировать эту задачу, введем некоторые обозначения. Зафиксируем две (пока произвольные) комплексно сопряженные точки, \zeta_+ и \zeta_-, а также точку x_\ast>0. Пусть \zeta_+ лежит в открытой верхней полуплоскости, а \zeta_- в нижней: \zeta_\pm\in\mathbb {C}_\pm. Соединим точки \zeta_+ и x_\ast аналитической (пока произвольной) жордановой дугой \gamma_+, лежащей в открытой верхней полуплоскости (за исключением концевой точки x_\ast). Точки \zeta_- и x_\ast соединим аналогичной дугой \gamma_-, симметричной \gamma_+ относительно вещественной оси. Положим Класс всех таких кривых \gamma обозначим \gimel. Множество будем называть жуком.Задача 2. Требуется найти кривую \Gamma \in \gimel и две конечные борелевские в \mathbb {C} положительные меры \lambda_\Delta и \lambda_\Gamma такие, что: 1) носитель меры \lambda_\Delta лежит на промежутке \Delta=[0,+\infty), \mathsf{S}(\lambda_\Delta)\subset \Delta, а носителем меры \lambda_\Gamma служит жук \Gamma_\ast, \mathsf{S}(\lambda_\Gamma)=\Gamma_\ast; 2) полные вариации мер равны 1, 3) выполняется ограничение (констрейн)
\begin{equation}
\lambda_\ast|_\Delta\leqslant2\chi, \qquad \lambda_\ast=\lambda_\Delta+\lambda_\Gamma,
\end{equation}
\tag{2.3}
где \chi – классическая мера Лебега на промежутке \Delta; 4) выполняются условия равновесия
5) кривая \Gamma является экстремальной, т.е. обладает S-свойством (свойством симметрии), а именно
\begin{equation*}
\frac{\partial {W}_\Gamma}{\partial\vec{n}_+}=\frac{\partial {W}_\Gamma}{\partial\vec{n}_-} \quad \text{на }\ \Gamma,
\end{equation*}
\notag
где \vec{n}_\pm – единичные нормальные векторы, проведенные к двум противоположным берегам разреза \Gamma. 2.2.Процитируем из работы [3] схему доказательства приведенного выше результата. Перепишем дискретную формулу Родрига (1.4) по формуле Коши, сделаем масштабирование и соответствующую замену переменной. Получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q_n(nx)c^{nx} \\ &\qquad =\frac{1}{n!}\,\frac{1}{n^n}\,\frac{1}{2\pi i}\int_{l_\ast} {c^{nt}\biggl(\frac{\Gamma(nt+n+1)}{\Gamma(nt+1)}\biggr)^2\frac{dt}{(t-x)(t-x+1/n)\cdots(t-x+n/n)}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где замкнутый контур l_\ast отделяет полюсы ядра Коши, т.е. точки x, x-1/n, \dots, x-n/n, от полюсов гамма-функции \Gamma (nt+n+1), т.е. точек -1-m/n, m \in \mathbb Z_+. Вместо предела (2.1) нам удобнее ввести предел Тогда
\begin{equation}
V_Q(x)+\operatorname{Re} x \log c=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \log \biggl|\int_{l_\ast}\exp\{n{S}(t;x)\}\,dt\biggr|,
\end{equation}
\tag{2.4}
где
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag S(t;x) &=t\log c +2\bigl((t+1)\log(t+1)-t\log t\bigr) \\ &\qquad +\bigl((t-x)\log(t-x)-(t-x+1)\log(t-x+1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
Асимптотику интеграла в (2.4) исследуем методом перевала. Критические точки функции (2.5) находим из уравнения
\begin{equation*}
\frac{\partial{S}}{\partial t}=\log\frac{c(t+1)^2(t-x)}{t^2(t-x+1)}=0,
\end{equation*}
\notag
равносильного кубическому уравнению Дискриминант уравнения (2.6) равен При любом c \in (0,1) многочлен (2.7) имеет два комплексно сопряженных корня \zeta_\pm\in\mathbb {C}_\pm и два положительных корня 0<a<b. Корни дискриминанта суть точки ветвления второго порядка алгебраической функции t(x). Для того чтобы выделить ее однозначные ветви, проведем разрезы. Точки a и b соединим отрезком \mathsf{E}, а точки \zeta_+ и \zeta_- – пока произвольной кривой из класса \gimel. Через t_0(x) обозначим ветвь такую, что Именно эта критическая точка t_0 дает основной вклад в асимптотику (по крайней мере в некоторой окрестности бесконечности). Через обозначим соответствующее критическое значение. Рассмотрим функцию Дифференцируя, получим где Исключая переменную t_0, удовлетворяющую уравнению (2.6), получим следующее кубическое уравнение, которому удовлетворяет функция \theta=\theta_0(x):
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &c^2x^2\theta^3+(-c^2+2c(1-c)x-c(2+c)x^2)\theta^2 \\ &\qquad\qquad +(1-2(1-c)x+(1+2c)x^2)\theta-x^2=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
Дискриминант этого уравнения равен (2.7). Нули дискриминанта суть точки ветвления 2-го порядка алгебраической функции \theta(x). Других точек ветвления она не имеет. Ветвь \theta_0(x) ведет себя в бесконечности следующим образом:
\begin{equation*}
\theta_0(x)=1+\frac{2}{x}+O\biggl(\frac{1}{x^2}\biggr), \qquad x\to\infty.
\end{equation*}
\notag
В (2.8) мы берем главную ветвь логарифма. Поведение в бесконечности двух других ветвей следующее:
\begin{equation*}
\theta_\pm(x)=\frac{1}{c}\biggl(1-\frac{1}{x}-\frac{a_\pm}{x^2}\biggr) +O\biggl(\frac{1}{x^3}\biggr), \qquad x\to\infty,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
a_+=\frac{\sqrt c}{1-\sqrt c}, \qquad a_-=-\frac{\sqrt c}{1+\sqrt c}.
\end{equation*}
\notag
Функция h(x) является марковской функцией некоторой меры \lambda_\ast, а именно
\begin{equation*}
h(x)=\int \frac{d\lambda_\ast(t)}{x-t}, \qquad x \in \mathbb {\overline C} \setminus \mathsf{S}(\lambda_\ast).
\end{equation*}
\notag
Носителем меры \lambda_\ast служит множество {\Gamma_\ast \cup \mathsf{E}}. Это, вообще говоря, комплексная мера, которая восстанавливается по функции h с помощью формул Сохоцкого. Мера \lambda_\ast становится положительной, если кривая \Gamma экстремальная. Имеем где меры \lambda_\Delta и \lambda_\Gamma имеют следующие марковские функции:
\begin{equation*}
-\log(c\theta_\pm(x)) \begin{cases} x \in \mathbb {\overline C} \setminus \mathsf{E}, \\ x \in \mathbb {\overline C} \setminus \Gamma_\ast. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Подробный анализ уравнения (2.9) приводит к задаче равновесия 2. Подведем итог. Имеем
\begin{equation*}
\mathsf{S}(\lambda_\Delta)=\mathsf{E}, \qquad\mathsf{S}(\lambda_\Gamma)=\Gamma_\ast, \qquad \mathsf{Z}=[0,x_\ast].
\end{equation*}
\notag
Точка x_\ast удовлетворяет некоторому трансцендентному уравнению. Отрезок \mathsf{E} и жук \Gamma_\ast могут как не пересекаться, так и пересекаться, в зависимости от значения параметра c (рис. 1 и рис. 2). Введем более удобные обозначения для однозначных ветвей алгебраической функции \theta в окрестности бесконечности
\begin{equation*}
\theta_\ast=\theta_0, \qquad \theta_\Delta=\theta_+, \qquad \theta_\Gamma=\theta_-.
\end{equation*}
\notag
На рис. 3 и рис. 4 изображены схемы римановой поверхности \mathfrak{K} этой функции (в случаях, когда компакты \mathsf{E} и \Gamma_\ast не пересекаются и пересекаются соответственно). Род поверхности равен 0. После поднятия на свою риманову поверхность \theta становится мероморфной функцией имеющей следующий дивизор. У нее есть нуль 2-го порядка в точке x=0 на листе \mathfrak{K}_\ast, а именно Она имеет полюс 2-го порядка в точке x=0 на листе \mathfrak{K}_\Gamma, а именно Других нулей и полюсов у функции \theta нет. Условие нормировки следующее: \theta=1 в точке x=\infty на листе \mathfrak{K}_\ast. На рис. 5 изображено сечение графика функции \theta(x) вещественной плоскостью (\operatorname{Re}x, \operatorname{Re}\theta) в случае, когда компакты \mathsf{E} и \Gamma_\ast не пересекаются (в противном случае изменения очевидны).Если c\to 0, то и отрезок \mathsf{E}, и жук \Gamma_\ast, и зона насыщения стягиваются к отрезку [0,1]. Если c\to 1, то отрезок \mathsf{E} уходит на бесконечность, а жук \Gamma_\ast стягивается к отрезку мнимой оси [-i/2,+i/2]. Зона насыщения при этом пропадает. § 3. Асимптотика многочленов A_n3.1.Напомним, что многочлены A_n определены дискретной формулой Родрига (1.3). Сделаем масштабирование
\begin{equation*}
A^\ast_n(x)=\widetilde C_nA_n(nx), \qquad n\in \mathbb {Z_+},
\end{equation*}
\notag
где \widetilde C_n – нормировочная постоянная такая, что старший коэффициент многочлена A^\ast_n равен 1. Нас интересует слабая асимптотика последовательности \{A^\ast_n\}^\infty_{n=0}, т.е. следующий предел:
\begin{equation}
\widetilde V(x)=\lim _{n\to\infty}\biggl(-\frac{1}{n}\biggr)\log|A^\ast_n(x)|.
\end{equation}
\tag{3.1}
Пусть
\begin{equation*}
\lambda^A_n=\frac{1}{n}\sum_{\xi\in\mathfrak{Z}(A^\ast_n)}\delta_\xi
\end{equation*}
\notag
– нормированная мера, считающая нули многочлена A^\ast_n. Будет показано, что существует предельная мера распределения нулей этих многочленов, т.е. следующий предел:
\begin{equation*}
\lambda^A_n\xrightarrow{\ast}\lambda_\star, \qquad n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
Здесь \lambda_\star – конечная борелевская (на комплексной плоскости) положительная мера с некоторым компактным носителем \mathsf{S}(\lambda_\star) и с полной вариацией \|\lambda_\star\|=3. Эта мера служит решением векторной задачи равновесия теории логарифмического потенциала. Задача 3. Требуется найти кривую \Gamma\in \gimel и четыре конечные борелевские в \mathbb {C} положительные меры \lambda_\Delta, \lambda_\Gamma, \lambda_\alpha, \lambda_\beta такие, что: 1) носитель меры \lambda_\Delta лежит на промежутке \Delta=[0,\infty), \mathsf{S}(\lambda_\Delta)\subset \Delta, носителем меры \lambda_\Gamma является жук \Gamma_\ast, \mathsf{S}(\lambda_\Gamma)=\Gamma_\ast, носители мер \lambda_\alpha и \lambda_\beta лежат на промежутке \mathsf{F}=(-\infty,0], \mathsf{S}(\lambda_\alpha)\subset \mathsf{F}, \mathsf{S}(\lambda_\beta)\subset \mathsf{F}; 2) полная вариация меры \lambda_\Delta равна 2, \|\lambda_\Delta\|=2, полные вариации мер \lambda_\Gamma, \lambda_\alpha, \lambda_\beta равны 1, 3) выполняются ограничения (констрейны)
\begin{equation*}
\lambda_\star|_\Delta\leqslant\chi_c, \qquad \lambda_\star=\lambda_\Delta+\lambda_\Gamma,
\end{equation*}
\notag
где \chi_c – мера на \Delta с плотностью
\begin{equation}
\chi'_c= \begin{cases} 1 &\text{на }\ [0,1), \\ 2 &\text{на }\ [1,+\infty], \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
а также
\begin{equation*}
\lambda_\alpha\leqslant\chi_{\mathsf{F}}, \qquad \lambda_\beta\leqslant\chi_{\mathsf{F}},
\end{equation*}
\notag
где \chi_{\mathsf{F}} – классическая мера Лебега на промежутке \mathsf{F}; 4) справедливы условия равновесия
5) кривая \Gamma является экстремальной, т.е. обладает S-свойством (свойством симметрии), а именно
\begin{equation*}
\frac{\partial W_\Gamma}{\partial\vec{n}_+}=\frac{\partial W_\Gamma}{\partial\vec{n}_-} \quad\text{на }\ \Gamma,
\end{equation*}
\notag
где \vec{n}_\pm – единичные нормальные векторы, проведенные к противоположным берегам разреза \Gamma. Сформулируем основной результат работы. Теорема. Существует мера \lambda_\star – предельная мера распределения нулей многочленов A^\ast_n. Она является решением задачи 3. При этом Окончание § 3 посвящено доказательству этой теоремы. 3.2.Перепишем дискретную формулу Родрига (1.3) по формуле Коши, сделаем масштабирование и соответствующую замену переменной. Получим
\begin{equation*}
A_n(nz)c^{nz}=\frac{1}{n^n}\,\frac{1}{2\pi i}\int_{l_\ast} {c^{nx}\frac{\Gamma(nx+n+1)}{\Gamma(nx+1)}\,\frac{Q_n(nx)\,dx}{(x-z)(x-z+1/n)\cdots(x-z+n/n)}},
\end{equation*}
\notag
где контур интегрирования тот же, что в (2.4). Вместо предела (3.1) нам удобнее ввести предел Тогда
\begin{equation}
V_A(z)+\operatorname{Re} z \log c=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \log \biggl|\int_{l_\ast}\exp\bigl\{n\Sigma(x;z)\bigr\}\,dx\biggr|,
\end{equation}
\tag{3.3}
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma(x;z) &=\bigl((x+1)\log(x+1)-x\log x\bigr)+{S}_0(x) \\ &\qquad+\bigl((x-z)\log(x-z)-(x-z+1)\log(x-z+1)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отметим, что хотя при формулировке результатов мы всегда предъявляем интересующую нас слабую асимптотику многочленов, фактически метод перевала дает сильную асимптотику. Конечно, при выводе формулы (3.3) мы подставляем под знак интеграла сильную асимптотику многочленов Q_n. Более того, поскольку сильная асимптотика имеет место равномерно на компактах, то при применении метода перевала к ее остаточному члену мы получим такую же асимптотику, как для главного члена, но с множителем вида O(1/\sqrt{n}). Асимптотику интеграла в (3.3) исследуем методом перевала. Критические точки функции \Sigma находим из уравнения
\begin{equation}
\frac{\partial \Sigma}{\partial x}=\log\frac{(x+1)(x-z)}{x(x-z+1)}+{S}'_0(x)=0.
\end{equation}
\tag{3.4}
Имеем
\begin{equation*}
{S}'_0(x)=\frac{\partial {S}} {\partial x}\Big|_{t=t_0(x)}=\log\frac{t-x+1}{t-x},
\end{equation*}
\notag
где t=t_0(x). Таким образом, уравнение (3.4) равносильно уравнению Исключая переменную t, удовлетворяющую уравнению (2.6), приходим к следующему алгебраическому уравнению на критические точки:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(1-c)x^5+(1-c)(3-z)x^4+(3(1-c)+(3c-4)z)x^3 \\ &\qquad\qquad +((1-c)+(3c-5)z+2z^2)x^2+z((c-2)+3z)x+z^2(1-z)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
В окрестности бесконечности выделим ветвь x_\star(z) алгебраической функции x(z), для которой Именно эта критическая точка в окрестности бесконечности дает основной вклад в асимптотику. Через обозначим соответствующее критическое значение. Положим
\begin{equation}
h_\star(z)=-\frac{d}{dz}\{\Phi(z)+\Sigma_\star(z)\}=\log\frac{1}{c}+ \frac{\partial \Sigma}{\partial z}\Big|_{x=x_\star(z)}=\log\phi(z),
\end{equation}
\tag{3.6}
где Исключая переменную x, удовлетворяющую уравнению (3.5), приходим к следующему алгебраическому уравнению:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &c^4z^4\phi^5+c^3z(-c+(2-3c)z+(4-3c)z^2-(4+c)z^3)\phi^4 \\ \notag &\qquad +c^2((1-c)+2(2-c)z+3cz^2-4(3-2c)z^3+2(3+2c)z^4)\phi^3 \\ \notag &\qquad +cz((3c-4)+3(c-2)z+6(2-c)z^2-2(2+3c)z^3)\phi^2 \\ &\qquad +z^2((4-3c)-4z+(1+4c)z^2)\phi+z^3(1-z)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
3.3.Будем изучать уравнение (3.7) и заданную им алгебраическую функцию \phi(z). Исследуем поведение функции \phi на бесконечности. В некоторой окрестности бесконечности с разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси многозначная функция \phi распадается на пять однозначных ветвей таких, что при z\to \infty имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi_\star(z)=1+\frac{3}{z}+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr), \\ \phi^+_\pm(z)=\frac{1}{c}\biggl(1-\frac{1}{z}\biggl(1+\frac{a_\pm}{\sqrt z}\biggr)\biggr)+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr), \\ \phi^-_\pm(z)=\frac{1}{c}\biggl(1-\frac{1}{z}\biggl(1-\frac{a_\pm}{\sqrt z}\biggr)\biggr)+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где при этом берется та ветвь квадратного корня \sqrt z , которая положительна при z>0. Заметим также, что ветвь \phi_\star соответствует критической точке x_\star. В окрестности нуля три ветви ведут себя следующим образом:
\begin{equation*}
\phi(z)\thicksim \delta_{(j)}z, \qquad z \to 0, \quad j=1, 2, 3,
\end{equation*}
\notag
где \delta_{(1)}, \delta_{(2)}, \delta_{(3)} – корни кубического уравнения При всех c \in (0,1) это уравнение имеет один отрицательный и два положительных корня: Одна из ветвей стремится к бесконечности как
\begin{equation*}
\phi(z)\thicksim\frac{1-c}{c^2}\,\frac{1}{z}, \qquad z\to 0,
\end{equation*}
\notag
и одна как В точке z=1 одна из ветвей имеет нуль 1-го порядка. Дискриминант уравнения (3.7) равен
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(z;c) &=c(c-1)(32-27c)-4(32-127c+117c^2-27c^3)z \\ &\qquad -2(416-800c+453c^2-81c^3)z^2-4(152-123c+9c^2-27c^3)z^3 \\ &\qquad +(2320-3032c+813c^2+27c^3)z^4-32(1-c)(44+27c)z^5 \\ &\qquad+256(1-c)^2z^6. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
При всех c \in (0,1) дискриминант имеет два отрицательных, два положительных и два комплексно сопряженных корня. Обозначим их следующим образом:
\begin{equation*}
-\infty < \beta<\alpha<0<a<b<+\infty, \qquad \zeta_\pm \in \mathbb {C}_\pm.
\end{equation*}
\notag
В каждом нуле дискриминанта функция \phi имеет одну точку ветвления 2-го порядка и три правильные точки. В бесконечности функция \phi имеет две точки ветвления 2-го порядка и одну регулярную точку, соответствующую ветви \phi_\star. Других точек ветвления эта функция не имеет. Род римановой поверхности \mathfrak {R} функции \phi, вычисленный по формуле Римана–Гурвица, равен нулю. Таким образом, риманова поверхность \mathfrak {R} – это сфера. Для выделения однозначных ветвей проведем разрезы. Точки a и b соединим отрезком \mathsf{E}. Точки \zeta_+ и \zeta_- соединим (пока произвольной) кривой \Gamma из класса \gimel. Проведем также разрезы (-\infty,\beta] и (-\infty,\alpha]. Тогда выделяются следующие однозначные ветви:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi_\star \quad&\text{на листе }\ \mathfrak {R}_\star= \overline {\mathbb{C}}\setminus(\mathsf{E}\cup\Gamma), \\ \phi_\Delta=\phi^+_- \quad&\text{на листе }\ \mathfrak {R}_\Delta=\mathbb{C}\setminus(\mathsf{E}\cup(-\infty,\alpha]), \\ \phi_\Gamma=\phi^+_+ \quad&\text{на листе }\ \mathfrak {R}_\Gamma=\mathbb{C}\setminus(\Gamma\cup(-\infty,\beta]), \\ \phi_\alpha=\phi^-_- \quad&\text{на листе }\ \mathfrak {R}_\alpha=\mathbb{C}\setminus(-\infty,\alpha], \\ \phi_\beta=\phi^-_+ \quad&\text{на листе }\ \mathfrak {R}_\beta=\mathbb{C}\setminus(-\infty,\beta]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Здесь и далее мы рассматриваем случай x_\ast<a. В противном случае рассуждения аналогичны (см. п. 2.2). На рис. 6 изображена схема римановой поверхности \mathfrak{R}. Поднимем функцию \phi на ее риманову поверхность. Тогда мероморфная функция будет однозначно определена своим дивизором и условием нормировки. Эта функция имеет нуль 1-го порядка в точке z=1 на листе \mathfrak{R}_\Gamma и три нуля 1-го порядка в точке z=0 на листах \mathfrak{R}_\star, \mathfrak{R}_\alpha, \mathfrak{R}_\beta. Других нулей она не имеет. Функция \phi имеет полюс 1-го порядка в точке z=0 на листе \mathfrak{R}_\Delta и полюс 3-го порядка в точке z=0 на листе \mathfrak{R}_\Gamma. Других полюсов она не имеет. Условие нормировки следующее: \phi=1 в точке z=\infty на листе \mathfrak{R}_\star. На рис. 7 показано сечение графика функции \phi вещественной плоскостью.3.4.Предъявим решение задачи 3. Если \nu – конечная борелевская в \mathbb{C}, вообще говоря, комплексная мера с носителем \mathsf{S}(\nu), то через
\begin{equation*}
\mathsf{h}_\nu(z)=\int\frac{d\nu(t)}{z-t}, \qquad z\in \mathbb{C}\setminus \mathsf{S}(\nu),
\end{equation*}
\notag
обозначим ее марковскую функцию. Функция \phi_\alpha голоморфна в области \mathfrak{R}_\alpha. Положим при этом мы берем главную ветвь логарифма, когда z\to +\infty. Функция h_\alpha голоморфна в области \mathbb{C}\setminus \mathsf{F}. Она является марковской функцией некоторой положительной меры \lambda_\alpha: Носителем этой меры служит промежуток \mathsf{F}, а ее полная вариация \|\lambda_\alpha\| равна 1. Если z\in [\alpha,0], то \operatorname{Im}h_\alpha(z)=\mp\pi i (на верхнем и нижнем берегах этого отрезка соответственно). Следовательно, на отрезке [\alpha,0] мера \lambda_\alpha распределена равномерно с плотностью 1. Этот отрезок служит зоной \mathsf{Z}_\alpha насыщения меры \lambda_\alpha.Функция \phi_\beta голоморфна в области \mathfrak {R}_\beta. Положим Функция h_\beta голоморфна в области \mathbb {C}\setminus\mathsf{F}. При этом где \lambda_\beta – положительная мера с носителем \mathsf{F}, с полной вариацией \|\lambda_\beta\|=1 и с зоной насыщения \mathsf{Z_\beta}=[\beta,0].Функция \phi_\Delta мероморфна в области \mathfrak {R}_\Delta. Положим Функция h_\Delta голоморфна в области \mathbb {C}\setminus(\mathsf{E}\cup\mathsf{F}). При этом
\begin{equation}
h_\Delta=\mathsf{h}_{\lambda_\Delta}-\mathsf{h}_{\lambda_\alpha}.
\end{equation}
\tag{3.10}
Меру \lambda_\alpha мы определили выше. Носителем положительной меры \lambda_\Delta является отрезок \mathsf{E}, а ее полная вариация \|\lambda_\Delta\| равна 2. Функция \phi_\Gamma мероморфна в области \mathfrak {R}_\Gamma. Положим
\begin{equation*}
h_\Gamma(z)=-\log\biggl(c\phi_\Gamma(z)\frac{z}{z-1}\biggr),\qquad h_\Gamma(\infty)=0.
\end{equation*}
\notag
Функция h_\Gamma голоморфна в области \mathbb {C}\setminus(\Gamma_\ast\cup\mathsf{F}). При этом
\begin{equation}
h_\Gamma=\mathsf{h}_{\lambda_\Gamma}-\mathsf{h}_{\lambda_\beta}.
\end{equation}
\tag{3.11}
Меру \lambda_\beta мы определили выше. Носителем меры \lambda_\Gamma является жук \Gamma_\ast, а ее полная вариация \|\lambda_\Gamma\| равна 1. На кривой \Gamma эта мера, вообще говоря, комплексная. Мы проведем такую кривую \Gamma, на которой мера \lambda_\Gamma становится положительной. Функция \phi_\star голоморфна в области \mathfrak {R}_\star. Положим, как в (3.6), h_\star=\log \phi_\star. Функция h_\star голоморфна в области \mathbb {C}\setminus(\mathsf{E}\cup\Gamma_\ast). При этом
\begin{equation}
h_\star=\mathsf{h}_{\lambda_\star}, \qquad \lambda_\star=\lambda_\Delta+\lambda_\Gamma.
\end{equation}
\tag{3.12}
Далее, \operatorname{Im} h_\star=\mp\pi i на верхнем и нижнем берегах отрезка [0,x_\ast] соответственно. Следовательно, на этом отрезке мера \lambda_\star распределена равномерно с плотностью 1. Отрезок [0,x_\ast] служит зоной насыщения \mathsf{Z} меры \lambda_\star|_\Delta. (Напомним, что доказательство проводим для случая x_\ast<a.) Из метода перевала следует, что вне компакта \mathsf {E} \cup \Gamma_\ast многочлены A^\ast_n имеют геометрическую асимптотику, а сам компакт является предельным множеством нулей этих многочленов. Это и есть условие положительности меры \lambda_\Gamma. Из формул (3.8)–(3.12) вытекает, что
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathsf{h}_{\lambda_\alpha}=h_\alpha, \qquad \mathsf{h}_{\lambda_\beta}=h_\beta, \\ \mathsf{h}_{\lambda_\Delta}=h_\Delta+h_\alpha, \qquad \mathsf{h}_{\lambda_\Gamma}=h_\Gamma+h_\beta, \qquad \mathsf{h}_{\lambda_\star}=h_\star. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.13}
Через \mathcal {W}_J обозначим комплексификацию гармонической (вне соответствующих разрезов) функции W_J, где J=\alpha, \beta, \Delta, \Gamma. Из (3.13) следует, что
\begin{equation*}
\mathcal {W}'_\alpha\,{=}\,\log \frac{\phi_\alpha}{\phi_\Delta}, \qquad\mathcal {W}'_\beta=\log \frac{\phi_\beta}{\phi_\Gamma}, \qquad\mathcal {W}'_\Delta=\log \frac{\phi_\Delta}{\phi_\star}, \qquad \mathcal {W}'_\Gamma=\log \frac{\phi_\Gamma}{\phi_\star},
\end{equation*}
\notag
при этом в бесконечности берутся главные ветви логарифмов. Обобщенные потенциалы W_J непрерывны во всей комплексной плоскости и кусочно дифференцируемы на вещественной оси. Имеем
\begin{equation*}
W'_\alpha=\log\biggl|\frac{\phi_\alpha}{\phi_\Delta}\biggr| \begin{cases} =0 &\text{на }\ (-\infty,\alpha), \\ <0 &\text{на }\ (\alpha,0). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, с некоторой постоянной w_\alpha выполняются соотношения
\begin{equation*}
W_\alpha \begin{cases} =w_\alpha &\text{на }\ (-\infty,\alpha], \\ \leqslant w_\alpha &\text{на }\ [\alpha,0]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Условие равновесия (\alpha) доказано. Имеем
\begin{equation*}
W'_\beta=\log\biggl|\frac{\phi_\beta}{\phi_\Gamma}\biggr| \begin{cases} =0 &\text{на }\ (-\infty,\beta), \\ <0 &\text{на }\ (\beta,0). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, с некоторой постоянной w_\beta выполняются соотношения
\begin{equation*}
W_\beta \begin{cases} = w_\beta &\text{на }\ (-\infty,\beta], \\ \leqslant w_\beta &\text{на }\ [\beta,0]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Условие равновесия (\beta) доказано. Имеем
\begin{equation*}
W'_\Delta=\log\biggl|\frac{\phi_\Delta}{\phi_\star}\biggr| \begin{cases} <0 &\text{на }\ (x_\ast, a), \\ =0 &\text{на }\ (a,b), \\ >0 &\text{на }\ (b,+\infty). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, с некоторой постоянной w_\Delta выполняются соотношения
\begin{equation*}
W_\Delta \begin{cases} \geqslant w_\Delta&\text{на }\ [x_\ast,a], \\ = w_\Delta &\text{на }\ [a,b], \\ \geqslant w_\Delta &\text{на }\ [b,+\infty). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Условие равновесия (\Delta) доказано. Имеем
\begin{equation*}
W'_\Gamma=\log\biggl|\frac{\phi_\Gamma}{\phi_\star}\biggr| >0 \quad \text{на }\ (0,x_\ast).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, где w_\Gamma=W_\Gamma(x_\ast). Осталось проверить условие равновесия на кривой \Gamma. Обозначим через \tau единичный касательный вектор к кривой \Gamma, это комплексное число. Вычислим производную обобщенного потенциала W_\Gamma по натуральному параметру этой кривой. Имеем
\begin{equation*}
\dot W_\Gamma=\operatorname{Re}\biggl\{\tau \log\frac{\phi_\Gamma}{\phi_\star}\biggr\}=\operatorname{Re}\{\tau ((\mathsf{h}_{\lambda_\Gamma})_+-(\mathsf{h}_{\lambda_\Gamma})_-)\},
\end{equation*}
\notag
где значения марковской функции \mathsf{h}_{\lambda_\Gamma} берутся на противоположных берегах разреза \Gamma. Эта функция сводится к интегралу типа Коши, а именно
\begin{equation*}
\mathsf{h}_{\lambda_\Gamma}(z)=\int_{\Gamma} \frac{\omega(\zeta)\,d\zeta}{z-\zeta}+\widetilde h(z),
\end{equation*}
\notag
где \omega – некоторая комплексная функция на \Gamma, а функция \widetilde h голоморфна на множестве \mathring\Gamma_+ \cup \mathring\Gamma_-. Тогда по формулам Сохоцкого при этом \omega \tau – плотность положительной меры. Следовательно, \dot W_\Gamma=0 на \mathring\Gamma_+ \cup \mathring\Gamma_-, и, значит, W_\Gamma=w_\Gamma на \Gamma. Условие равновесия (\Gamma) доказано. Условие равновесия на \Gamma равносильно свойству симметрии этой кривой. Теорема доказана. 3.5.В заключение рассмотрим предельные случаи. Пусть c\downarrow0. Это случай сильного внешнего поля. Тогда Отрезок \mathsf{E} и жук \Gamma_\ast стягиваются к отрезку [0,2]. Уравнение (3.7) в пределе вырождается в следующее уравнение: где \mathring\phi=\phi|_{c=0}. Функция \mathring\phi имеет простые нули в точках z=0 и z=1. Она имеет полюс 2-го порядка в точке z=2. Других нулей и полюсов эта функция не имеет. На бесконечности
\begin{equation*}
\mathring\phi(z)=1+\frac{3}{z}+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation*}
\mathring h =\log\mathring\phi, \qquad \mathring h(\infty)=0.
\end{equation*}
\notag
Функция \mathring h голоморфна в области \overline{\mathbb{C}}\setminus[0,2]. При этом где \mathring\lambda=\chi_c – положительная мера с плотностью (3.2) на отрезке [0,2]. Никаких условий равновесия нет. Предельная мера совпадает со своим констрейном. Пусть c\uparrow1. Это случай слабого внешнего поля. Тогда
\begin{equation*}
a\uparrow +\infty, \qquad b\uparrow +\infty, \qquad \beta\downarrow\beta^\circ, \qquad \zeta_\pm\to\zeta_\pm^\circ,
\end{equation*}
\notag
где \beta^\circ и \zeta_\pm^\circ суть корни следующего кубического многочлена: а именно \beta^\circ\approx-0.35, \zeta_\pm^\circ\approx 0.35 \pm 0.56i. Отрезок \mathsf{E} уходит на бесконечность. Жук \Gamma_\ast приближается к некоторому предельному жуку \Gamma^{\circ}_\ast. Уравнение (3.7) в пределе переходит в следующее кубическое уравнение:
\begin{equation*}
z^3\varphi^3-(3z^3-z^2+z+1)\varphi^2+z(3z^2-2z+1)\varphi+z^2(1-z)=0,
\end{equation*}
\notag
где \varphi=\phi|_{c=1}. В бесконечности корни этого уравнения ведут себя следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_0(z)=1+\frac{1}{z}+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr), \\ \varphi_\pm(z)=1-\frac{1}{z}\biggl(1\pm\frac{1}{\sqrt{2z}}\biggr)+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
при этом \sqrt{2z}>0, когда z\to+\infty. Функция \varphi имеет ветвления 2-го порядка в точках \zeta^\circ_\pm, \beta^\circ и \infty. Других точек ветвления нет. Риманова поверхность функции \varphi склеивается из трех листов
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{N}_\circ=\mathbb{\overline C}\setminus\Gamma^\circ, \\ \mathfrak{N}_+=\mathbb{C}\setminus(\Gamma^\circ\cup(-\infty,\beta^\circ]), \\ \mathfrak{N}_-=\mathbb{C}\setminus(-\infty,\beta^\circ]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Она имеет род 0. Ветвь \varphi_J мероморфна на листе \mathfrak{N}_J, где J=0,\pm. Функция \varphi (поднятая на \mathfrak{N}) имеет простой нуль в точке z=1 на листе \mathfrak{N}_+ и два простых нуля в точке z=0 на листах \mathfrak{N}_- и \mathfrak{N}_0, при этом
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_-(z)\thicksim\frac{1}{\upsilon}z, \qquad z\to 0, \\ \varphi_0(z)\thicksim\-\upsilon z, \qquad z\to 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где \upsilon=(\sqrt 5 -1)/2 – золотое сечение. Функция \varphi имеет полюс 3-го порядка в точке z=0 на листе \mathfrak{N}_+, а именно Других нулей и полюсов эта функция не имеет. Она нормирована условием: \varphi=1 в точке z=\infty на листе \mathfrak{N}_0. На рис. 8 показан график функции \varphi на вещественной оси. Положим Функция h_- голоморфна в области \mathbb{C}\setminus\mathsf{F}. При этом где \lambda_- – положительная мера с носителем \mathsf{F}, с полной вариацией \|\lambda_-\|=1 и с зоной насыщения [\beta^\circ,0].Положим Функция h_0 голоморфна в области \overline{\mathbb{C}}\setminus\Gamma^\circ_\ast. При этом где \lambda_0 – положительная единичная мера с носителем \Gamma^\circ_\ast.Положим
\begin{equation*}
h_+(z)=-\log\biggl(\varphi_+(z)\frac{z}{z-1}\biggr), \qquad h_+(\infty)=0.
\end{equation*}
\notag
Функция h_+ голоморфна в области \mathbb{C}\setminus(\Gamma^\circ_\ast\cup\mathsf{F}). При этом При ограничениях \lambda_-\leqslant \chi_{\mathsf{F}}, \lambda_0\leqslant\chi_c и с некоторыми постоянными w_0, w_- выполняются следующие условия равновесия:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_0=2V^{\lambda_0}-V^{\lambda_-}+V^{\chi_0} \begin{cases} = w_0 &\text{на }\ \Gamma^\circ, \\ \leqslant w_0 &\text{на }\ [0,x_\ast], \end{cases} \\ W_-=-V^{\lambda_0}+2V^{\lambda_-}-V^{\lambda_{\chi_0}} \begin{cases} = w_- &\text{на }\ (-\infty,\beta^\circ], \\ \leqslant w_- &\text{на }\ [\beta^\circ,0]. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sor22}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|