| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Непрерывные выборки из многозначных отображений и аппроксимация в несимметричных и полулинейных пространствах И. Г. Царьковab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9331e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ настоящей работе мы будем рассматривать обобщения линейно нормированных пространств, а именно, линейные пространства с некоторой несимметричной нормой ‖⋅| на нем, а также обобщения линейных метрических пространств: несимметричные метрические пространства или метрические пространства на полулинейных пространствах, ярким представителем которых являются пространства замкнутых ограниченных множеств с метрикой Хаусдорфа. С многочисленными фактами, затрагивающими общие вопросы несимметричных пространств, а также с различными вопросами геометрической теории аппроксимации, можно ознакомиться, например, в работах [1]–[16]. Цель данной работы – получить новые теоремы о непрерывной выборке (селекции) из многозначных отображений, частным случаем которых являются многозначные операторы множества точек наилучшего приближения (метрические проекторы) или почти наилучшего приближения (тематика так называемых ε-выборок). В первой части работы мы получим обобщение теоремы Майкла о непрерывной выборке для многозначных отображений, образы которых необязательно выпуклы (теоремы 1 и 2). Здесь нам понадобится такое понятие, как ˚B-бесконечная связность множеств в линейных нормированных пространствах. Такие множества (вместо выпуклых множеств) мы будем рассматривать как значения многозначных функций. Среди различных вариантов обобщений теоремы Майкла отметим обзор [17] и работу [18]. В качестве следствия получим теорему о неподвижной точке для полунепрерывного снизу отображения c ˚B-бесконечно связными образами Ψ:K→2K компакта в K, являющегося ˚B-бесконечно связным множеством (следствие 1). Далее мы изучим условия, при которых существует непрерывная ε-выборка для любых ε>0 на выпуклое подмножество несимметричного линейного нормированного пространства (теорема 6). Надо отметить, что этот вопрос в существенно несимметричных пространствах не является простым в отличии от симметричных нормированных пространств. Определение 1. Пусть (X,ϱ) – метрическое или полуметрическое пространство (симметричное или несимметричное), ε>0, M⊂X. Отображение φ:X→M называется аддитивной (мультипликативной) ε-выборкой, если для всех x∈X выполняется неравенство (соответственно \varrho(x,\varphi(x))\leqslant (1+\varepsilon)\varrho(x,M)), где \varrho(x,M)=\inf_{y\in M}\varrho(x,y).Также рассмотрим классический пример полулинейного пространства и покажем, что для пространства \mathbf{L}_h(X), состоящего из выпуклых непустых ограниченных подмножеств рефлексивного пространства X и снабженного хаусдорфовой полуметрикой, верна теорема о существовании чебышёвского центра (теорема 9). § 2. Обобщение теоремы Майкла на случай многозначных отображений с бесконечно связными образамиОпределение 2. Функция \nu\colon X\times X\to \mathbb{R}_+ называется несимметричной полуметрикой на множестве X, если выполняются следующие свойства: 1) \nu(x,x)= 0 для всех x\in X; 2) \nu(x,z)\leqslant \nu(x,y)+ \nu(y,z) для всех x,y,z\in X. Пару \mathcal{X}=(X,\nu) в этом случае будем называть несимметричным полуметрическим пространством. Функцию \sigma(x,y):=\max\{\nu(x,y), \nu(y,x)\} будем называть полуметрикой симметризации. Пространство \mathcal{X} называется полным, если оно полно относительно полуметрики \sigma. Определение 3. Множество A в полуметрическом (симметричном или несимметричном) пространстве (X,\nu) называется бесконечно связным, если для всех n\in \mathbb{N} и единичного шара B\subset \mathbb{R}^n и произвольного непрерывного отображения \varphi\colon \partial B\to A существует непрерывное продолжение \widetilde{\varphi}\colon B\to A. Множество M\subset X называется \mathring{B}-бесконечно связным (B-бесконечно связным), если пересечение множества M с любым открытым (замкнутым) шаром либо пусто, либо бесконечно связно. Множество M\subset X называется \mathring{B}-стягиваемым (B-стягиваемым), если пересечение множества M с любым открытым (замкнутым) шаром либо пусто, либо стягиваемо. Для произвольного множества M некоторого несимметричного полуметрического пространства (X,\nu) через \varrho(y,M) (y\in X, M\subset X) обозначим расстояние до множества M (правая метрическая функция), т. е. величину \varrho(y,M)=\inf_{z\in M}\nu(y,z). Аналогично определяется расстояние от множества до точки, т. е. \varrho^-(y,M)=\inf_{z\in M}\nu(z,y) (т. е. левая метрическая функция). Нам понадобится определение метрической проекции (правой и левой). Через P_Mx (и P_M^-x) обозначим множества всех ближайших точек из M для x\in X, т. е. множества
\begin{equation*}
\{y\in M\mid \varrho(x,y)=\varrho(x,M)\} \quad \text{и}\quad \{y\in M\mid \varrho(y,x)=\varrho^-(x,M)\}.
\end{equation*}
\notag
Эти отображения будем называть соответственно правой и левой метрическими проекциями. Отметим некоторые простые свойства функции расстояния \varrho(\,{\cdot}\,,M): 1. \varrho(x,M)\leqslant \varrho(y,M)+\varrho(x,y)\ \forall \, x,y\in X. Действительно, так как \varrho(x,M)\leqslant \varrho(x,z)\leqslant \varrho(x,y)+\varrho(y,z) для всех z\in M, то \varrho(x,M)\leqslant \inf_{z\in M}(\varrho(x,y)+\varrho(y,z))= \varrho(y,M)+\varrho(x,y). 2. |\varrho(x,M)- \varrho(y,M)|\leqslant \max\{\varrho(x,y),\varrho(y,x)\}=\sigma(x,y)\ \forall \, x,y\in X. Определение 4. Пусть (X,q) – полуметрическое пространство, отображение \chi\colon X\to \overline{\mathbb{R}} называется полунепрерывным снизу на этом полуметрическом пространстве, если для любых точки x\in X и последовательности \{x_n\}\subset X\colon q(x,x_n)\to 0 (n\to\infty) верно неравенство \varliminf_{n\to\infty}\chi(x_n)\geqslant \chi(x). Определение 5. (X,q), (Y,\nu) – полуметрические пространства, M\subset Y. Отображение F\colon X\to 2^M назовем устойчивым снизу, если F(x)\neq \varnothing для всех x\in X, и для любых x_0\in X и \varepsilon>0 найдется такое число \delta>0, что \varrho(y,F(x))-\varrho(y,F(x_0))\leqslant\varepsilon для всех y\in Y и x\in X: q(x,x_0)\leqslant\delta. Замечание 1. Если A\subset X – замкнутое множество в полуметрическом пространстве (X,q), а отображение F\colon A\to 2^M, где M\subset Y и (A,q), (Y,\nu) – полуметрические пространства, устойчиво снизу. Тогда, положив F(x)=M для всех x\in X\setminus A, получим устойчивое снизу отображение F на всем пространстве X. Для двух непустых подмножеств A,B\subset Y через d(A,B) обозначим одностороннее хаусдорфово расстояние (уклонение B от A), т. е. величину \sup_{y\in B}\varrho(y,A). Хаусдорфовым расстоянием между A и B назовем величину Отметим, что \sup_{y\in Y}(\varrho(y,F(x))-\varrho(y,F(x_0))) представляет собой одностороннее хаусдорфово расстояние между множествами F(x) и F(x_0). В случае, когда образы отображения компактны, устойчивость снизу отображения F равносильна его полунепрерывности снизу. Полунормированные пространства, которые мы будем рассматривать далее в этом параграфе, – это линейные пространства с некоторой полунормой (симметричной) \|\,{\cdot}\,\|, отличие которой от нормы состоит только в том, что равенство \|x\|=0 не влечет, вообще говоря, равенство x=0. Отметим, что \varrho(x,y):=\|y-x\| задает на этом пространстве полуметрику (симметричную). В дальнейшем мы также будем рассматривать и несимметричные линейные нормированные пространства (X,\|\,{\cdot}\,|), где \|\,{\cdot}\,| – несимметричная норма, которая удовлетворяет свойствам: 1) \|\alpha x|=\alpha\| x| для всех \alpha\geqslant 0, x\in X; 2) \| x+y|\leqslant \| x |+\| y| для всех x,y\in X; 3) \|x|\geqslant 0 для всех x\in X; 3a) \|x|= 0\ \Leftrightarrow \ x=0. Несимметричная норма порождает на X уже, вообще говоря, несимметричную метрику: \nu(x,y):=\|y-x|. Далее будем предполагать, что (X,\|\,{\cdot}\,\|), (Y,\|\,{\cdot}\,\|) – линейные полунормированные пространства (симметричные), M\subset Y. Также будем предполагать, что некоторое отображение F\colon X\times[0,\vartheta]\to 2^M удовлетворяет следующим условиям: 1) отображение F(\,{\cdot}\,,t) устойчиво снизу для всех t\in [0,\vartheta ]; 2) для любых чисел t_1,t_2\colon t_1<t_2 и произвольного ограниченного множества \mathcal{A}\subset X найдется такое число \delta>0, что O_\delta(F(x,t_1))\subset F(x,t_2) для всех x \in \mathcal{A}; 3) функция d(F(x,0),F(x,t)) непрерывна по x для каждого t\in [0,\vartheta ] и равномерно стремится к нулю при t\to 0+ на любом ограниченном множестве \mathcal{A}\subset X; 4) множества F(x,t) бесконечно связны для всех x\in X и t\in (0,\delta_0). Обозначим \Psi_{\delta}(x,t) := \{u\in M\mid \varrho(u,F(x,t))<\delta\}=M\cap O_\delta(F(x,t)) для всех (x,t)\in X\times [0,\vartheta] и \delta\in (0,\delta_0). Будем также полагать, что \chi\colon X\to \overline{\mathbb{R}} – некоторая полунепрерывная снизу положительная функция. Без потери общности будем считать, что \chi(\,{\cdot}\,)\leqslant\delta_0 (для некоторого \delta_0>0), рассматривая при необходимости вместо \chi функцию \min\{\chi(\,{\cdot}\,),\delta_0\}. Техника в леммах 1–3 представляет собой модернизацию техники из работы [16]. Лемма 1. Пусть S\subset X – невырожденный симплекс размерности n, а множество Q представляет собой объединение некоторых его собственных граней, и на этом множестве задано непрерывное отображение \varphi\colon Q\to M такое, что \varphi(x)\in F(x,t_0) для некоторого числа t_0\in (0,\vartheta) и
\begin{equation*}
d\bigl(F(x,0),F(x,t_0)\bigr)<\chi(x)\quad\textit{для всех}\quad x\in Q.
\end{equation*}
\notag
Тогда существует такое непрерывное продолжение \varphi\colon S\to M, \varphi(x)\in F(x,t) для некоторого числа t \in (t_0,\vartheta), и \varrho(\varphi(x),F(x,0))\leqslant d(F(x,0),F(x,t))<\chi(x) для всех x\in S. Доказательство. Существует число t>t_0, для которого
\begin{equation*}
d\bigl(F(x,0),F(x,t_0)\bigr)<\chi(x)\quad\text{для всех}\quad x\in S.
\end{equation*}
\notag
Пусть t_0<t'_0<t_1<t'_1<\dots<t_n<t'_n<t_{n+1}=t. Найдутся числа \delta_k>0 такие, что
\begin{equation*}
O_{\delta_k}\bigl(F(x,t_{k-1})\bigr)\subset F(x,t'_{k-1}) \quad \text{и} \quad O_{\delta_k}\bigl(F(x,t'_{k-1})\bigr)\subset F(x,t_k)
\end{equation*}
\notag
для всех x \in S (k=1,\dots,n+1). Положим \delta=(1/2)\min_{k=1,\dots,n+1}\delta_k.
Для каждой точки x\in S найдется такое число r=r(x)\in (0,\delta), что для всех точек y\in O_{2r}(x) верно неравенство
\begin{equation*}
\sup_{u\in Y}\bigl(\varrho\bigl(u,F(y,t_k)\bigr)-\varrho\bigl(u,F(x,t_k)\bigr)\bigr)<\delta,\qquad k=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
Из открытого покрытия \{O_{r(x)}(x)\} множества S выделим конечное подпокрытие \{O_{r(x_j)}(x_j)\}_{j=1}^{N}. Разобьем симплекс S на конечное число симплексов \{S_i\} размерности n так, чтобы их диаметр был меньше \delta и так, чтобы каждый из них содержался хотя бы в одной окрестности O_{r(x_j)}(x_j). А, кроме того, будем считать, что различные симплексы этого разбиения пересекаются по не более, чем одной собственной грани размерности <n.
1^\circ. Для каждой 0-мерной грани s симплексов \{S_i\} (т. е. вершины) найдется такой индекс j=j_s, для которого число r(x_j) максимально среди тех, что грань s принадлежит окрестности O_{r(x_j)}(x_j). Если s\notin Q, то сопоставим точке s некоторую точку y := \varphi(s)\in F(x_j,t_0)\subset F(x_j,t'_0). Тогда
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(s),F(s,t'_0)\bigr)< \varrho\bigl(\varphi(s),F(x_j,t'_0)\bigr)+\delta=\delta,
\end{equation*}
\notag
т. е. \varphi(s)\in \Psi_{\delta}(s,t'_0). Если же s\in Q, то \varrho(\varphi(s),F(s,t'_0))=0< \delta, т. е. для всех 0-мерных граней \varphi(s)\in \Psi_{\delta}(s,t'_0)\subset F(s,t_1).
2^\circ. Предположим, что отображение \varphi непрерывно продолжено на множество T_m, являющееся объединением граней \{\Delta_{ik}\} размерности m симплексов набора \{S_i\}. И при этом \varphi(x)\in F(x,t_{m+1}) для всех x\in T_m. Более того, для каждой грани \Delta_{ik} найдется индекс j=j_{ik}=j_{\Delta_{ik}}, для которого \Delta_{ik}\subset O_{r(x_j)}(x_j) и \varphi(\Delta_{ik})\subset F(x_j,t'_{m}). Возьмем произвольную (m+1)-мерную грань \Delta\not\subset Q какого-либо симплекса из набора \{S_i\}. На его относительной границе \partial\Delta определена функция \varphi\colon T_m\to M. Каждой грани P границы \partial\Delta размерности k\leqslant m сопоставляем максимальное из чисел r(x_l) (l=l_P), для которых эта грань содержится в окрестности O_{r(x_l)}(x_l). Эти окрестности мы также сопоставляем грани P. Пусть j=j_{\Delta} – такой индекс, что число r(x_j) – максимальное из чисел r(x_k), для которых грань \Delta содержится в O_{r(x_k)}(x_k). Для каждой грани \Delta_{ik} из границы \partial\Delta значения функции \varphi на ней содержатся в F(x_{j_{ik}},t'_m)\subset F(x_{j_{ik}},t_{m+1}) ({j_{ik}}=j_{\Delta_{ik}}). Учитывая, что окрестность O_{r(x_{j_{ik}})}(x_{j_{ik}}) имеет максимальный радиус среди тех, которые содержат грань \Delta_{ik}, получим неравенство r(x_{j_{ik}})\geqslant r(x_j). Отсюда из условия x_j\in O_{2r(x_{j_{ik}})}(x_{j_{ik}}) вытекает неравенство
\begin{equation*}
\varrho\bigl(y,F(x_{j},t_{m+1})\bigr)-\varrho\bigl(y,F(x_{j_{ik}},t_{m+1})\bigr) <\delta.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(x),F(x_{j},t_{m+1})\bigr)\leqslant \varrho\bigl(\varphi(x),F(x_{j_{ik}},t_{m+1})\bigr)+\delta, \qquad x\in \Delta_{ik},
\end{equation*}
\notag
и поэтому \varphi(x)\in \Psi_{\delta}(x_j,t_{m+1}), x\in \Delta_{ik}. Таким образом,
\begin{equation*}
\varphi(\partial\Delta)\subset \Psi_{\delta}(x_j,t_{m+1})\subset F(x_j,t'_{m+1}).
\end{equation*}
\notag
Поскольку F(x_j,t'_{m+1}) бесконечно связно, то существует непрерывное продолжение \varphi на \Delta такое, что \varphi(\Delta)\subset F(x_j,t'_{m+1}). Так как
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(x),F(x,t'_{m+1})\bigr)\leqslant \varrho\bigl(\varphi(x),F(x_j,t'_{m+1})\bigr)+\delta
\end{equation*}
\notag
для всех x\in \Delta, то \varphi(x)\in \Psi_{\delta}(x, t'_{m+1})\subset F(x,t_{m+2}) для всех x\in \Delta.
Поскольку все различные грани размерности m+1 пересекаются только по собственным граням, то отображение \varphi корректно определено на множестве T_{m+1}, представляющем собой объединение всех граней размерности m+1 симплексов из набора \{S_i\}. При этом \varphi \in C(T_{m+1}). 3^\circ. Из принципа математической индукции вытекает, что на множестве T_n\,{=}\, S построено непрерывное отображение \varphi\colon T_n\to M такое, что \varphi(x)\in F(x,t) (x\in S). Тем самым для всех y\in S верно неравенство
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(y),F(y,0)\bigr)\leqslant d\bigl(F(y,0),F(y,t)\bigr)<\chi(y),
\end{equation*}
\notag
т. е. \varphi – искомое отображение.
Лемма доказана. Замечание 2. Из доказательства леммы 1 видно, что для точек y симплексов S_i, не принадлежащих изначально множеству Q, верно \varphi(y)\in F(x_j,t) для некоторого индекса j, для которого y\in O_{r(x_j)}(x_j), и
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(y),F(x,t)\bigr)\leqslant \varrho\bigl(\varphi(y),F(x_j,t)\bigr)+\delta\leqslant \delta.
\end{equation*}
\notag
И, следовательно, если в начале построения множество Q пусто, то все точки y из произвольного симплекса S_i обладают этим свойством. Лемма 2. Пусть (X,\|\,{\cdot}\,\|) и (Y,\|\,{\cdot}\,\|) – линейные полунормированные пространства, M\subset Y, \{x_\alpha\}_\alpha – набор векторов из X, \Sigma=\{S_\beta\}_\beta – набор симплексов, вершины которых составляют конечный поднабор из \{x_\alpha\}_\alpha, и при этом все различные симплексы S_\beta либо не пересекаются, либо пересекаются по своим собственным граням, либо один из них является собственной гранью другого; T – объединение некоторых симплексов набора \Sigma, а многозначное отображение F описано выше. Тогда существует такое отображение \varphi\colon T\to M, что \varrho(\varphi(x),F(x,0))<\chi(x) для всех x\in T, и отображение \varphi непрерывно на каждом из симплексов, составляющих T. Доказательство. Без потери общности будем считать, что все грани симплексов S_\beta также принадлежат набору \Sigma. Для каждого 0-мерного симплекса s из набора \Sigma (т. е. какой-то точки из набора \{x_\alpha\}_\alpha) определим \varphi(s) как некоторый элемент y\in M\colon \varrho(y,F(s,0))<\chi(s).
1^\circ. Согласно лемме 1 существует такое непрерывное продолжение отображения \varphi на каждый одномерный симплекс S\in \Sigma, что \varrho(\varphi(y),F(y,0))<\chi(y) для всех y\in S. 2^\circ. Пусть отображение \varphi\colon T_m\to M построено на объединении T_m всех m-мерных симплексов из набора \Sigma и непрерывно на каждом таком симплексе. При этом для любого (m+1)-мерного симплекса S\in \Sigma на его относительной границе \partial S непрерывное отображение \varphi удовлетворяет свойствам \varrho(\varphi(y),F(y,0))<\chi(y) для всех y\in \partial S. В силу леммы 1 существует такое непрерывное продолжение \varphi\colon S\to M, что \varrho(\varphi(y),F(y,0))<\chi(y) для всех y\in S. Построенное отображение будет корректно определено на объединении всех (m+1)-мерных симплексов набора \Sigma, так как различные (m+1)-мерные симплексы пересекаются только по собственным граням (если они вообще пересекаются). При этом на каждом таком симплексе это отображение непрерывно. 3^\circ. Таким образом, мы построим такое отображение \varphi\colon T\to M, что
\begin{equation*}
\varrho\bigl(\varphi(x),F(x,0)\bigr)<\chi(x)\quad \text{для всех}\quad x\in T,
\end{equation*}
\notag
и отображение \varphi непрерывно на каждом из симплексов, составляющих T. Лемма доказана. Замечание 3. Поскольку любое конечномерное пространство X можно представить в виде множества T из леммы 2, то существует такая функция \varphi\in C(X,M), что \varrho(\varphi(x),F(x,0))<\chi(x)) для всех x\in X. Замечание 4. Пусть \Sigma – набор симплексов из леммы 2. Поскольку при доказательстве этой леммы и при построении функции \varphi используется лемма 1, то в силу замечания 2 для каждого симплекса S_i из набора \Sigma (после измельчения) верно \varphi(y)\in F(x_j,t) для некоторого индекса j, для которого y\in O_{r(x_j)}(x_j), и Лемма 3. Пусть (X,\|\,{\cdot}\,\|) и (Y,\|\,{\cdot}\,\|) – линейные нормированные пространства, M\subset Y, а многозначное отображение F из леммы 1. Тогда существует такое отображение \widehat{\varphi}\in C(X, M), что \varrho (\widehat{\varphi}(x),F(x,0))<\chi(x) для всех x\in X. Доказательство. В силу замечания 3 достаточно рассмотреть случай, когда \dim X=\infty. Найдется непрерывная функция \widehat{\chi}\colon X\to \mathbb{R} такая, что 0<\widehat{\chi}(x)<\chi(x) для всех x\in X.
Для каждой точки x\in X найдется максимальное число \delta=\delta(x)\in (0,1] такое, что верны неравенства \inf_{O_{3\delta}(x)}\widehat{\chi}\geqslant 4\delta. Отметим, что если O_{\delta(y)}(y)\cap O_{\delta(z)}(z)\neq\varnothing и для определенности \delta(y)\geqslant \delta(z), то z\in O_{2\delta(y)}(y). Отсюда \delta(z)\geqslant \delta(y)/3, иначе O_{3\delta(y)}(y)\supset O_{\delta'}(z)\supset O_{3\delta(z)}(z) (\delta'>3\delta(z)), и следовательно, \widehat{\chi}\geqslant 4\delta(y)\geqslant 12 \delta(z) на O_{\delta'}(z)\supset O_{3\delta(z)}(z), что противоречит максимальности выбора числа \delta(z). Пусть r=r(x)\in (0,\delta(x)/3) такое число, что для всех точек y\in O_{2r}(x) верно неравенство \sup_{u\in Y}(\varrho(u,F(y,0))-\varrho(u,F(x,t)))<\delta=\delta(x). Отметим, что если y\in O_{2r(x)}(x) (O_{2r(x)}(x)\subset O_{\delta(x)}(x)), то r(x)<\delta(x)/3\leqslant\delta (y). Впишем в открытое покрытие \{O_{r(x)}(x)\} открытое локально конечное покрытие \{U_\alpha\}_\alpha. Кроме того, для всякого \alpha найдется точка y_\alpha, для которой U_\alpha\subset O_{r(y_\alpha)}(y_\alpha). И пусть \{g_\alpha\}_\alpha – разбиение единицы, связанное с этим покрытием, т. е. g_\alpha\equiv 0 вне U_\alpha; \sum_\alpha g_\alpha\equiv 1 на X, g_\alpha\geqslant 0 для всех \alpha. Выберем такой набор векторов \{x_\alpha\}, что x_\alpha\in U_\alpha для всех \alpha, и любой конечный поднабор векторов линейно независим. Рассмотрим непрерывное отображение q(t)=\sum_\alpha x_\alpha g_\alpha(t). Для каждой точки y\in X множество индексов \mathcal{A}=\{\alpha\mid y\in \overline{U_\alpha} \}=\{\alpha_1,\dots,\alpha_N\} конечно, и найдется такая окрестность O(y), что множество индексов \{\alpha\mid U_\alpha\cap O(y)\neq\varnothing\}=\mathcal{A} =\{\alpha_1,\dots,\alpha_N\}. Пусть индекс i таков, что \max_{j=1,\dots,N}r(y_{\alpha_j})=r(y_{\alpha_i}) := r_y=r. Тогда U_{\alpha_j}\subset O_{2r}(y_{\alpha_i}) для всех j=1,\dots,N. Следовательно, симплекс S_y с вершинами в точках \{x_{\alpha_1},\dots,x_{\alpha_N}\} содержится в O_{2r}(y_{\alpha_i}). Все различные симплексы вида S_y (y\in X) либо не пересекаются, либо пересекаются по своим собственным граням, либо один из них является собственной гранью другого. В силу леммы 2 на множестве T=\bigcup_yS_y существует отображение \varphi\colon T\to M непрерывное на каждом S_y и такое, что \varrho (\varphi(u),F(u,0))<\widehat{\chi}(u) для всех u\in T. Для непрерывной функции q(u)=\sum_\alpha x_\alpha g_\alpha(u)\in S_y\subset O_{2r}(y_{\alpha_i}) для всех u\in O(y) верны соотношения
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi(q(u))\in F(y_{\alpha_i},t)\quad\text{для некоторого индекса }\alpha_i, \\ \varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(q(u),t)\bigr)\leqslant \varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(y_{\alpha_i},t)\bigr)+\delta \leqslant\delta, \\ \varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(u,0)\bigr)\leqslant\varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(u,t)\bigr)+\delta\leqslant \varrho\bigl(\varphi(q(u)),F(y_{\alpha_i},t)\bigr)+2\delta\leqslant 2\delta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Положим \widehat{\varphi}(y)=\varphi(q(y)). Тогда \widehat{\varphi}\in C(X,M) и \varrho(\widehat{\varphi}(y),F(y,0))\leqslant 2\delta(y)\,{<}\,\chi(y) для всех y\in X. Лемма доказана. Замечание 5. В условиях леммы 3 пространство (X,\|\,{\cdot}\,\|) можно заменить на метрическое линейное пространство без изменения утверждения этой леммы. А затем это пространство заменить на произвольное метрическое пространство (D,\nu), устроив изометричное \tau\colon D\to X вложение его в пространство непрерывных функций X:= C_b(D,\mathbb{R}) с метрикой \upsilon(f,g):=\sup_D|f(\,{\cdot}\,)-g(\,{\cdot}\,)|, положив \tau(x):=\nu(x,{\cdot}\,)\in C_b(D,\mathbb{R}). Отображение F при этом надо продолжить на все пространство C_b(D,\mathbb{R}), положив F(x,t):=M для всех точек x\notin \tau(X) и t\in \mathbb{R}. Таким образом, в лемме 3 можно считать X произвольным метрическим пространством. В следующей теореме нам понадобится доказанное в работе [16; следствие 4] утверждение: любая замкнутая (открытая) r-окрестность (r>0) \mathring{B} -бесконечно связного замкнутого множества в банаховом пространстве является \mathring{B}-бесконечно связным множеством, а следовательно, непустое пересечение этой окрестности и произвольного открытого шара является бесконечно связным множеством. Также в следующей теореме положим M=Y. Отметим, что рассмотрение в следующей теореме 1 полунормированного пространства (Y,\|\,{\cdot}\,\|) сводится к случаю нормированного пространства с помощью факторизации полупространства Y по подпространству L:=\{y\in Y\mid\|y\|=0\} и рассмотрении на полученном факторпространстве нормы этого факторпространства. Теорема 1. Пусть (X,\upsilon) – метрическое пространство, (Y,\|\,{\cdot}\,\|) – полное линейное полунормированное пространство, а многозначное отображение \Phi\colon X\to 2^Y устойчиво снизу и имеет замкнутые \mathring{B} -бесконечно связные в (Y,\|\,{\cdot}\,\|) образы. Тогда существует отображение \varphi\in C(X, Y)\colon \varphi(x)\in \Phi(x) для всех x\in X. Доказательство. 1. В силу леммы 3 и комментария перед теоремой найдется \psi_1\in C(X, Y)\colon \varrho(\psi_1(x),\Phi(x))<1/2 (x\in X).
2. Пусть построено отображение \psi_n\in C(X, Y)\colon \varrho(\psi_n(x),\Phi(x))<1/2^n. Положим \chi(x)=2^{-n-1}-(1/2)\varrho(\psi_n(x),\Phi(x)) и \delta(x)=(1/2)\varrho(\psi_n(x),\Phi(x)). Рассмотрим многозначные отображения H(x,t)=O_{\delta(x)+t}(\Phi(x)) и G(x,t)=O_{2^{-n-1}+t}(\psi_n(x)) (x\in X). Тогда множества F(x,t)=H (x,t)\cap G (x,t) непусты для всех t\geqslant 0 и бесконечно связны. Более того, нетрудно видеть, что отображение F удовлетворяет условиям, сформулированным перед леммой 1, а следовательно, для него верно утверждение леммы 3 и замечания 5. Поэтому существует отображение \psi_{n+1}\in C(X, Y)\colon \varrho(\psi_{n+1}(x),F(x,0))<\chi(x) (x\in X). Отсюда \varrho(\psi_{n+1}(x),\Phi(x))<\delta(x)+\chi(x)=2^{-n-1} и \|\psi_{n+1}(x)-\psi_n(x)\|<2^{-n}. 3. Последовательность \{\psi_n(x)\} равномерно фундаментальна в (Y,\|\,{\cdot}\,\|), поэтому сходится к некоторому непрерывному отображению \varphi\colon X\to Y. При этом \varrho(\psi_{n+1}(x),\Phi(x))<2^{-n-1}\to 0 (n\to\infty), и следовательно, \varrho(\varphi(x),\Phi(x))=0, т. е. \varphi(x)\in \Phi(x) для всех x\in X. Теорема доказана. Так же, как и в рассмотренной выше теореме, в следующем утверждении случай полунормированного пространства (X,\|\,{\cdot}\,\|) сводится к случаю нормированного с использованием факторизации по пространству элементов, имеющих нулевую полунорму. Следствие 1. Пусть (X,\|\,{\cdot}\,\|) – линейное полунормированное пространство, \mathcal{K} – компакт в пространстве X, являющийся \mathring{B}-бесконечно связным множеством, отображение \Psi\colon \mathcal{K}\to 2^\mathcal{K} полунепрерывно снизу, и для всех y\in \mathcal{K} множество \Psi(y) является \mathring{B}-бесконечно связным компактом. Тогда найдется неподвижная точка x_0\in \mathcal{K}\colon x_0\in \Psi(x_0). Доказательство. Без потери общности можно считать, что X – полное пространство. В силу \mathring{B}-бесконечно связности компакта \mathcal{K} на него существует непрерывная мультипликативная \varepsilon-выборка (\varepsilon-селекция) \psi\colon X\to \mathcal{K} (для некоторого \varepsilon>0), которая является ретрактом всего пространства X на \mathcal{K} (см. [16; следствие 2]). Тогда отображение \Phi=\Psi\circ \psi является устойчивым снизу. Как мы уже отмечали ранее, если образы полунепрерывного снизу отображения компактны, то оно устойчиво снизу. Применяя предыдущее утверждение, мы построим непрерывное отображение \varphi\colon X\to X: \varphi(x)\in \Phi(x) (x\in X).
В силу теоремы Шаудера существует неподвижная точка x_0\in \mathcal{K} для непрерывного отображения \varphi, суженного на выпуклую оболочку компакта \mathcal{K}. Тогда x_0=\varphi(x_0)\in \Phi(x_0)=\Psi(x_0). Следствие доказано. Попытки получить селекционные теоремы для более общих свойств пространств, чем метризуемость, а также попытки найти хорошее сочетание структуры выпуклости и структуры метрики делались неоднократно. Отметим в этом направление работы Майкла [19], Бира [20] и обзорную статью Д. Реповша, П. В. Семенова [17] для ознакомления с соответствующей тематикой. § 3. Непрерывные \varepsilon-выборки в несимметричных метрических пространствахОпределение 6. Множество X будем называть полулинейным пространством (или конусом) над полем \mathbb{R}, если на этом множестве определены операции сложения элементов (векторов) и умножения их на неотрицательные числа, и выполняются следующие свойства для произвольных x,y,z\in X и \alpha,\beta\in \mathbb{R}_+: 1) x+y=y+x; 2) x+(y+z)=(x+y)+z; 3) существует и единственен нулевой элемент \theta\in X, для которого x+\theta=x; 4) \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y; 5) (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta y; 6) \alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x; 7) 0\cdot x=\theta; 1\cdot x=x. Когда не будет возникать путаницы, нулевой элемент \theta будем обозначать как 0. Определение 7. Пару \mathcal{X}=(X,\varrho) будем называть полулинейным несимметричным полуметрическим пространством, если несимметричная полуметрика \varrho определена на полулинейном пространстве X, и операции сложения элементов (векторов) и умножения их на неотрицательные числа непрерывны, т. е. для любых последовательностей \{\alpha_n\},\{\beta_n\}\subset \mathbb{R}_+ и \{x_n\},\{y_n\}\subset X, сходящихся соответственно к \alpha,\beta\in \mathbb{R}_+ и x,y\in X, последовательность \sigma(\alpha_n x_n+\beta_n y_n,\alpha x +\beta y) сходится к 0, где \sigma – полуметрика симметризации. Множество M\subset X называется выпуклым, если [a,b]\subset M для всех a,b\in M. Несимметричная метрика \varrho называется обобщенно выпуклой (выпуклой) на выпуклом множестве M\subset X, если \varrho(z,\alpha x+(1-\alpha)y)\leqslant \max\{\varrho(z,x),\varrho(z,y)\} \bigl(\varrho(z,\alpha x+(1-\alpha)y)\leqslant \alpha\varrho(z,x)+(1-\alpha)\varrho(z,y)\bigr) для всех \alpha\in[0,1], z\in X и x,y \in M. В частности, из выпуклости \varrho вытекает ее обобщенная выпуклость. Замечание 6. Если несимметричная полуметрика обобщенно выпукла на M, то для любого отрезка [x,y]\subset M выполнено неравенство Замечание 7. Если несимметричная полуметрика обобщенно выпукла на выпуклом множестве M, то непустое пересечение этого множества с произвольным открытым шаром является стягиваемым по себе в точку множеством, и следовательно, M – \mathring{B}_\varrho-бесконечно связно (т. е. непустое пересечение с любым открытым шаром бесконечно связно). Поэтому в силу [12; теорема 5] существует непрерывная \varepsilon-выборка на выпуклое множество M для всех \varepsilon>0. Следующее утверждение доказано в [12; следствие 6]. Теорема A. Пусть (X,\varrho) – полулинейное полуметрическое пространство, в котором метрика \varrho обобщенно выпукла, и для полуметрики выполняются равенства \varrho(x,y)=\varrho(y,x) и \varrho(x,(1-\alpha)x+\alpha y)= \alpha \varrho(x,y) для всех x,y\in X и \alpha\in [0,1] (в частности, это верно в пространстве \mathbf{L}_h, см. ниже § 4). Пусть множество M является \mathring{B}_\varrho-бесконечно связным в X, или в этом пространстве множество M для любого \varepsilon>0 имеет непрерывную аддитивную \varepsilon-выборку. Тогда любая r-окрестность (r>0) этого множества является \mathring{B}_\varrho-бесконечно связной. Полностью повторяя доказательство теоремы 1, с помощью теоремы A мы получим следующее утверждение, являющееся обобщением теоремы 1 и расширением классического варианта теоремы Майкла. Теорема 2. Пусть (X,\upsilon) – метрическое пространство, (Y,\varrho) – полное полулинейное полуметрическое пространство, в котором метрика \varrho обобщенно выпукла и для полуметрики выполняются равенства \varrho(x,y)=\varrho(y,x) и \varrho(x,(1-\alpha)x+\alpha y)= \alpha \varrho(x,y) для всех x,y\in X и \alpha\in [0,1]; а многозначное отображение \Phi\colon X\to 2^Y устойчиво снизу и имеет замкнутые \mathring{B}-бесконечно связные в (Y,\|\,{\cdot}\,\|) образы. Тогда существует отображение \varphi\in C(X, Y)\colon \varphi(x)\in \Phi(x) для всех x\in X. Замечание 8. В [11; замечание 1] было отмечено, что в несимметричном линейно нормированном пространстве (Y,\|\,{\cdot}\,|), несимметричная норма которого эквивалентна норме симметризации \|\,{\cdot}\,\|_{\mathrm{sym}} (см. определение ниже), любые открытые (замкнутые) r-окрестности \mathring{B}-бесконечно связного множества M\subset Y являются \mathring{B}-бесконечно связными в Y. Пользуясь этим утверждением, нетрудно перенести результат теоремы 2 на случай, когда Y из этой теоремы – полное несимметричное нормированное пространство, несимметричная норма которого эквивалентна норме симметризации. Следствие 2. Пусть (Y,\|\,{\cdot}\,|) – полное несимметричное линейное пространство, норма которого эквивалентна норме симметризации, или (Y,\varrho) – полное полулинейное полуметрическое пространство, в котором метрика \varrho обобщенно выпукла и для полуметрики выполняются равенства \varrho(x,y)=\varrho(y,x) и \varrho(x,(1-\alpha)x+\alpha y)= \alpha \varrho(x,y) для всех x,y\in X и \alpha\in [0,1]. Пусть M\subset Y обладает устойчивой снизу метрической проекцией P_M (P_M^-), образы которой замкнуты и \mathring{B}-бесконечно связные в Y. Тогда существует отображение \varphi\in C(X, M)\colon \varphi(x)\in P_M(x) (P_M^-(x)) для всех x\in X. Аналогично верно и следующее утверждение. Следствие 3. Пусть (Y,\|\,{\cdot}\,|) – полное несимметричное линейное пространство, норма которого эквивалентна норме симметризации, или (Y,\varrho) – полное полулинейное полуметрическое пространство, в котором метрика \varrho обобщенно выпукла и для полуметрики выполняются равенства \varrho(x,y)=\varrho(y,x) и \varrho(x,(1-\alpha)x+\alpha y)= \alpha \varrho(x,y) для всех x,y\in X и \alpha\in [0,1]. Пусть M\subset Y обладает многозначной выборкой \Psi\colon X\to 2^M из метрической проекцией P_M (P_M^-), устойчивой снизу, образы которой замкнуты и \mathring{B}-бесконечно связные в Y. Тогда существует отображение \varphi\in C(X, M)\colon\varphi(x)\in \Psi(x)\subset P_M(x) (P_M^-(x)) для всех x\in X. Замечание 9. Поскольку в условиях следствия 2 и следствия 3 существует непрерывная выборка из метрической проекции, то для любого замкнутого правого шара B(x,r):=\{y\in Y\mid \varrho(x,y)\leqslant r\} или левого шара B^-(x,r):=\{y\in Y\mid \varrho(y,x)\leqslant r\}, имеющих непустое пересечение с M, соответствующая непрерывная выборка \varphi отображает конус K:=\{z\in [x,y]\mid y\in M\cap B(x,r)\}\subset M\cap B(x,r) или соответственно конус K^-:=\{z\in [x,y]\mid y\in M\cap B^-(x,r)\}\subset M\cap B^-(x,r) в себя и является тождественной на множестве соответственно M\cap B(x,r) или M\cap B^-(x,r). Отсюда вытекает, что в этих случаях множества P_M(x) (P_M^-(x)) и M\cap B(x,r) (M\cap B^-(x,r)) являются ретрактами соответствующего конуса, а следовательно, являются стягивающимися множествами по себе в точку. Отсюда следует, что непустое пересечение множества M с замкнутым правым (левым) шаром является стягиваемым множеством. Рассмотрим теперь случай несимметричной полунормы на линейном пространстве. Далее в этом параграфе мы будем рассматривать классы линейных пространств с несимметричной нормой или полунормой \|\,{\cdot}\,| на нем. Для несимметричной нормы на линейном пространстве X требуются соответствующие свойства-аксиомы: 1) \|\alpha x|=\alpha\| x| для всех \alpha\geqslant 0, x\in X; 2) \| x+y|\leqslant \| x |+\| y| для всех x,y\in X; 3) \|x|\geqslant 0 для всех x\in X; 3a) \|x|= 0 \ \Leftrightarrow \ x=0. Несимметричная норма так же, как и симметричная, задается функционалом Минковского некоторого тела, содержащего нуль в своем ядре, но при этом не требуется, чтобы нуль являлся центром симметрии этого тела. В общем случае пространство с несимметричной нормой удовлетворяет только аксиоме отделимости T_1 (т. е. для любых a, b \in X найдутся их окрестности O(a), O(b) такие, что a\notin O(b), b\notin O(a)) и может быть нехаусдорфовым (т. е. может не удовлетворять аксиоме T_2). Также можно рассмотреть несимметричную полунорму \|\,{\cdot}\,|, для которой все условия 1)–3) сохраняются, а условие 3a) заменяется на условие (\|x|= 0=\|{-}x|)\ \Rightarrow\ x=0. В этом случае несимметричное пространство (X,\|\,{\cdot}\,|) обладает лишь аксиомой отделимости T_0, и такие пространства мы назовем полунормированными. Случай несимметричных полунормированных пространств будем явно формулировать в соответствующих утверждениях в отличии от несимметричных нормированных линейных пространств. Отметим, что вместе с несимметричной нормой или полунормой \|\,{\cdot}\,| на том же пространстве удобно рассматривать норму симметризации
\begin{equation*}
\|x\|=\|x\|_{\mathrm{sym}}:=\max\{\|x|,\|{-}x|\},\qquad x\in X.
\end{equation*}
\notag
Если на множестве M\subset X рассматривается топология, порожденная нормой симметризации, то будем писать M^{\mathrm{sym}} вместо M. Также полезно рассматривать симметричную полунорму \|\,{\cdot}\,\|_{\Sigma}, определяемую соотношением В [21] было доказано, что эта полунорма наибольшая из симметричных полунорм, удовлетворяющих неравенству \|\,{\cdot}\,\|_{\Sigma}\leqslant\|\,{\cdot}\,|,\|{-}\,{\cdot}\,|. Через B(x,r) и \mathring{B}(x,r) обозначим соответственно замкнутый и открытый правые шары в линейном несимметричном нормированном пространстве или в несимметричном полунормированном пространстве \mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,|) с центром x радиуса r, т. е. соответственно множества \{y\in X\mid \|y-x|\leqslant r\} и \{y\in X\mid \|y- x|< r\}. Обозначим также через B^-(x,r) и \mathring{B}^-(x,r) соответственно множества (левые шары) \{y\in X\mid \|x- y|\leqslant r\} и \{y\in X\mid \|x- y|< r\}. Топология пространства X определяется открытыми шарами \mathring{B}(x,r) как предбазой (так называемая правая топология); топология, определяемая открытыми шарами \mathring{B}^-(x,r) как предбазой, называется левой. Определение 8. Пусть \varnothing \ne M\subset X. Точка x\in X\setminus M называется точкой солнечности, если существует точка y\in P_Mx\ne \varnothing (называемая точкой светимости) такая, что y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x) для всех \lambda\geqslant 0 (это геометрически означает, что из точки y исходит луч, проходящий через x, для каждой точки которого y является ближайшей из M). Точка x\in X\setminus M называется точкой строгой солнечности, если P_Mx\ne\varnothing, и каждая точка y\in P_Mx является точкой светимости. Если все точки из X\setminus M являются точками солнечности (строгой солнечности), то множество M называют солнцем (строгим солнцем). В работе [9] было доказано следующее утверждение. Теорема B. Пусть (X,\|\,{\cdot}\,|) – несимметричное конечномерное пространство, M\subset X обладает полунепрерывной снизу метрической проекцией P_M. Тогда существует непрерывное отображение \varphi\colon X\to M: \varphi(x)\in P_Mx для всех x\in X. В [14; теоерема 5] было показано, что в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Отсюда и из теоремы B вытекает следующее утверждение. Теорема 3. Пусть (X,\|\,{\cdot}\,|) – несимметричное конечномерное пространство, M\subset X обладает полунепрерывной снизу метрической проекцией. Тогда существует непрерывное отображение \varphi\colon X\to M: \varphi(x)\in P_Mx для всех x\in X. При этом множество M является B-стягиваемым и в полиэдральном пространстве является строгим солнцем. Определение 9. Путь p\colon [0,1]\to X в линейном несимметричном пространстве X называется монотонным, если x^*(p(\tau)) является монотонной функцией для любого экстремального функционала x^* единичной нормы. Подмножество M\subset X называется монотонно линейно связным, если любые две точки из M можно соединить монотонным путем, след которого лежит в M. Множество M в линейном нормированном пространстве X называется устойчиво монотонно линейно связным, если существует непрерывное отображение p\colon M\times M\times[0,1]\to M, для которого p(x,y,{\cdot}\,) является монотонным путем, соединяющим точки x,y\in M. Для нормированных пространств монотонная линейная связность была введена А. Р. Алимовым (см. [22]). Известно, что замкнутый и открытый шары являются монотонно линейно связными множествами, и пересечение их с любым монотонно линейно связным множеством является монотонно линейно связным множеством. Устойчиво монотонно линейно связное множество обладает тем же свойством и является B- и \mathring{B} -стягиваемым, а следовательно, \mathring{B}-бесконечно связным. Компактное монотонно линейно связное множество также \mathring{B}-бесконечно связно. Таким образом, из теоремы 3 и следствия 3 вытекает следующее утверждение. Теорема 4. Пусть (Y,\|\,{\cdot}\,|) – полное несимметричное линейное пространство, норма которого эквивалентна норме симметризации. Пусть M\subset Y является устойчиво монотонно линейно связным множеством (аппроксимативно компактным (см. определение 2) монотонно линейно связным множеством). Тогда следующие условия равносильны: 1) множество M обладает многозначной выборкой \Psi\colon X\to 2^M соответственно из метрической проекцией P_M или P_M^-, устойчивой снизу (полунепрерывной снизу); 2) множество M обладает непрерывной выборкой \varphi\colon X\to M соответственно из метрических проекций P_M или P_M^-. Пример. В пространстве всех непрерывных функций на компакте Q рассмотрим несимметричную норму \|f|_{\psi_+,\psi_-}:=\max_{x\in Q}\{f_+/\psi_+,f_-/\psi_-\}, где f_+=\max\{f,0\} и f_-=\max\{-f,0\} для функции f\in C(Q,\mathbb{R}), а \psi_+ и \psi_- – фиксированные функции, удовлетворяющие неравенствам 0<c<\psi_+,\psi_-<C для некоторых положительных констант c и C. Несимметричный шар B(0,R) представляет собой все функции f, заключенные между функциями R\psi_+ и -R\psi_-, т. е. -R\psi_-(x) \leqslant f(x)\leqslant R\psi_+(x) для всех x\in Q. Поэтому шар B(g,R) состоит из функций f, для которых функция f-g заключена между R\psi_+ и -R\psi_-. Пространство непрерывных функций на компакте Q с несимметричной нормой \|\,{\cdot}\,|_{\psi_+,\psi_-} будем обозначать C_{\psi_+,\psi_-}(Q). Эта норма эквивалентна норме симметризации, которая, в свою очередь, эквивалентна классической равномерной норме в C(Q). Путь p(\,{\cdot}\,)\colon [0,1]\to C_{\psi_+,\psi_-}(Q) в линейном несимметричном пространстве X будем называть монотонным, если (p(\tau))[x] является монотонной функцией переменной \tau для всех x\in Q, а подмножество M\subset C_{\psi_+,\psi_-}(Q) будем называть монотонно линейно связным, если любые две точки из M можно соединить монотонным путем, след которого лежит в M. Тогда к пространству Y=C_{\psi_+,\psi_-}(Q) и множеству M, являющемуся аппроксимативно компактным, можно применять теорему 4. Поскольку в C(Q) каждое ограниченно слабо компактное солнце является монотонно линейно связным множеством (см. [23; теорема 4]), то из теоремы 4 вытекает следующее утверждение. Теорема 5. Пусть M – ограниченно слабо компактное и аппроксимативно компактное солнце в C(Q). Тогда следующие условия равносильны: 1) множество M обладает многозначной выборкой \Psi\colon X\to 2^M из метрической проекцией P_M, полунепрерывной снизу; 2) множество M обладает непрерывной выборкой \varphi\colon X\to M из метрической проекцией P_M. Следующее утверждение непосредственно вытекает из [12; следствие 1]. Теорема C. Пусть (X,\|\,{\cdot}\,|) – несимметричное линейное полунормированное пространство, M\subset X – \mathring{B}-бесконечно связно (в частности, выпуклое множество). Тогда для любой полунепрерывной снизу (относительно нормы симметризации) функции \psi\colon X\to\overline{\mathbb{R}}\colon \varrho(x,M)<\psi(x) (x\in X) существует отображение \varphi\in C(X^{\mathrm{sym}},M)\colon \|\varphi(x)-x|<\psi(x) (x\in X). Аналогично для непустого открытого множества D\subset X и полунепрерывной снизу (относительно нормы симметризации) функции \psi\colon D\to\overline{\mathbb{R}}: \varrho(x,M)<\psi(x) (x\in D) существует отображение \varphi\in C(D^{\mathrm{sym}},M)\colon \|\varphi(x)-x|<\psi(x) (x\in D). Теорема 6. Пусть (X,\|\,{\cdot}\,|) – несимметричное линейное полунормированное пространство, M\subset X – выпуклое множество, K\subset X – непустой хаусдорфов компакт, на котором метрическая функция \varrho(\,{\cdot}\,,M) непрерывна. Тогда для произвольного числа \varepsilon>0 найдется непрерывная функция \varphi\in C(K,M): Доказательство. Напомним, что метрическая функция \varrho(\,{\cdot}\,,M) (а следовательно, и функция \psi(\,{\cdot}\,)=\varrho(\,{\cdot}\,,M)+\varepsilon/2) полунепрерывна снизу на X (см. [7], [8]) и непрерывна на любом конечномерном подпространстве. Возьмем произвольное \varepsilon>0 и для каждой точки x компакта K возьмем такую \delta_x-окрестность O_{\delta_x}(x) (\delta_x\in (0,\varepsilon/4)) этой точки, что в силу непрерывности метрической функции \varrho(y,M)<\varrho(x,M)+\varepsilon/4 для всех y\in O_{\delta_x}(x). Из открытого покрытия K семейством \{O_{\delta_x}(x)\}_{x\in K} можно выбрать конечное подпокрытие, тогда центры окрестностей этого подсемейства образуют конечную \varepsilon/4-сеть для K. Пусть T=T_\varepsilon – выпуклая оболочка этой конечной \varepsilon/4-сети для K. Отметим, что сужение правой или левой топологий на T эквивалентно топологии \tau, порожденной нормой симметризации. Пусть
\begin{equation*}
\Phi(x):=\biggl\{t\in T\biggm| t\in \mathring{B}^-\biggl(x,\frac{\varepsilon}4\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Отображение \Phi является полунепрерывным снизу, если в прообразе рассматривать правую топологию, а в образе – топологию \tau. Это вытекает из следующего свойства. Если \|z_n-z|\to 0 (n\to\infty) и y\in \Phi(z), то найдется \delta\in (0,\varepsilon/4), для которого \|z-y|<\delta, и \|z_n-y|\leqslant \|z_n-z|+\|z-y|< \|z_n-z|+\delta<\varepsilon/4, начиная с некоторого n_0. Следовательно, y\in \Phi(z_n) для всех n>n_0.
В силу теорем 1 и 2 существует непрерывное отображение g\colon K\to T: g(x)\in \Phi(x) (т. е. \|g(x)-x|<\varepsilon/4) (x\in K). В силу теоремы C для конечномерного подпространства T^0, натянутого на T, существует непрерывная функция \vartheta\colon T^0\to M: \|\vartheta(x)-x|<\varrho(x,M)+\varepsilon/2 (x\in T^0). Тогда \varphi=\vartheta\circ g\colon K\to M – непрерывное отображение, и \|\varphi(x)-x|=\|\vartheta\circ g(x)-x|\leqslant \|\vartheta\circ g(x)- g(x)|+\|g(x)-x|<\varrho(g(x),M)+\varepsilon/2+\varepsilon/4<\varrho(x,M)+\varepsilon. Теорема доказана. Аналогичным образом, проводя доказательство для левой метрической функции или умножая все множества и вектора на -1, или рассматривая на X несимметричную полунорму \|\,{\cdot}\,|^-:=\|-\,{\cdot}\,|, мы получим следующее утверждение. Теорема 7. Пусть (X,\|\,{\cdot}\,|) – несимметричное линейное полунормированное пространство, M\subset X – выпуклое множество, K\subset X – непустой хаусдорфов компакт (в левой топологии), на котором метрическая функция \varrho^-(\,{\cdot}\,,M) непрерывна в левой топологии. Тогда для произвольного числа \varepsilon>0 найдется непрерывная функция (в образе и прообразе рассматривается левая топология) \varphi\colon K\to M: Замечание 10. В случае, когда несимметричное нормированное пространство X является паракомпактом, утверждение теорем 6 и 7 останется верным, если компакт K заменить на паракомпакт X (относительно соответственно правой или левой топологий). В доказательстве можно обойтись без теоремы C, используя подходящее локально конечное покрытие и соответствующее ему разбиение единицы. Поскольку несимметричное нормированное сепарабельное пространство X, единичный шар которого является замкнутым, является линделёфовым регулярным пространством, то оно является паракомпактом. Следовательно, в этом случае множество K из теорем 6 и 7 можно заменить на все пространство X. Определение 10. Пусть X=(X,\|\,{\cdot}\,|) – пространство с несимметричной полунормой, множество M\subset X называется лево-аппроксимативно (право-аппроксимативно) устойчивым в точке x\in X, если для любых последовательностей точек \{x_n\}\subset X, \{y_n\}\subset M и бесконечно малой последовательности чисел \{\varepsilon_n\}\subset \mathbb{R}_+ таких, что \|x_n-x|\to 0 (n\to\infty), и для всех n\in \mathbb{N}
\begin{equation*}
\|x_n-y_n|\leqslant\varrho^-(x_n,M)+\varepsilon_n\quad (\|y_n -x_n|\leqslant\varrho(x_n,M)+\varepsilon_n),
\end{equation*}
\notag
найдется подпоследовательность \{y_{n_k}\}: \|y-y_{n_k}|\to 0 (\|y_{n_k}-y|\to 0) при k\to\infty для некоторой точки y\in M. Если множество M\subset X является лево-аппроксимативно (право-аппроксимативно) устойчивым в любой точке x\in X, то будем называть его лево-аппроксимативно (право-аппроксимативно) устойчивым. Определение 11. Пусть M – непустое подмножество пространства (X,\|\,{\cdot}\,|) с несимметричной полунормой. Точку x\in X называют точкой лево-аппроксимативной (право-аппроксимативной) компактности, если для любой минимизирующей последовательности \{y_n\}\subset M: \|x-y_n|\to \varrho^-(x,M) (\|y_n- x|\to \varrho(x,M)) при n\to\infty существует подпоследовательность \{y_{n_k}\}: \|y-y_{n_k}|\to 0 (\|y_{n_k}-y|\to 0) при k\to\infty для некоторой точки y \,{\in}\, M. Обозначение x\,{\in}\, \mathrm{AC}^-(M) (x\,{\in}\, \mathrm{AC}(M)). Если \mathrm{AC}^-(M)=X (\mathrm{AC}(M)=X), то множество M называется лево-аппроксимативно (право-аппроксимативно) компактным. В работе [24] была получена следующая теорема. Теорема D. Пусть X=(X,\|\,{\cdot}\,|) – пространство с несимметричной полунормой, шар B(0,1) – замкнутое множество, множество M\subset X – лево-аппроксимативно устойчиво в точке x\in X. Тогда x\in X является точкой лево-аппроксимативной компактности для M и функция \varrho^-(\,{\cdot}\,,M) непрерывна в точке x. Из замечания 10 и теорем 7 и D непосредственно вытекает следующее утверждение. Теорема 8. Пусть X=(X,\|\,{\cdot}\,|) – пространство с несимметричной полунормой, шар B(0,1) – замкнутое множество, M\subset X – лево-аппроксимативно устойчивое и выпуклое множество в X. Тогда для произвольного числа \varepsilon>0 найдется непрерывная функция \varphi\in C(X,M): § 4. Задача о чебышёвском центре в пространстве с хаусдорфовой полуметрикойОпределение 12. Пусть \mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,\|) – линейное полунормированное пространство. Рассмотрим семейство \mathcal{M}=\mathcal{M}(X) всех ограниченных подмножеств X. Определим линейную комбинацию \alpha M_1+\beta M_2 (M_1,M_2\in \mathcal{M}) как множество \{z=\alpha x_1+\beta x_2\mid x_j\in M_j,\ j=1,2\}. На множестве \mathcal{M} можно рассмотреть симметричную полуметрику h(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,) (расстояние по Хаусдорфу) и несимметричную полуметрику d(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,) (одностороннее расстояние по Хаусдорфу). Пары \mathbf{M}_h=(\mathcal{M}(X),h) и \mathbf{M}_d=(\mathcal{M}(X),d) являются несимметричными полуметрическими пространствами. Отметим также, что полуметрика h является симметризацией метрики d. В пространстве \mathcal{M}=\mathcal{M}(X) можно рассмотреть полулинейное подпространство всех выпуклых ограниченных подмножеств \mathcal{L}=\mathcal{L}(X), которое вместе с полуметриками d и h будет образовывать полулинейные несимметричные полуметрические пространства \mathbf{L}_d=\mathbf{L}_d(X) и \mathbf{L}_h=\mathbf{L}_h(X) соответственно. Следующие два утверждения доказаны в работе [12]. Замечание 11. Пусть \mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,\|) – линейное полунормированное пространство. Тогда полуметрики пространств \mathbf{L}_d и \mathbf{L}_h являются обобщенно выпуклыми. При этом, если \mathcal{X} полно, то и \mathbf{M}_h, и \mathbf{L}_h полно. Отметим также, что h(A,B)=h(A+C,B+C) и d(A,B)=d(A+C,B+C), h(\alpha A,\alpha B)=\alpha h(A,B) и d(\alpha A,\alpha B)=\alpha d(A,B) для всех A,B,C\in \mathcal{L} и \alpha\geqslant 0. Следствие 4. Пусть \mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,\|) – линейное полунормированное пространство. Тогда h(A,(1-\alpha)A+\alpha B)=h((1-\alpha)A+\alpha A,(1-\alpha)A+\alpha B)=h(\alpha A,\alpha B)=\alpha\cdot h(A,B) и d(A,(1-\alpha)A+\alpha B)=d((1-\alpha)A+\alpha A,(1-\alpha)A+\alpha B)=d(\alpha A,\alpha B)=\alpha \cdot d(A,B) для всех A,B \in \mathcal{L} и \alpha\geqslant 0. Теорема 9. Пусть X – действительное рефлексивное пространство. Тогда для любого непустого ограниченного подмножества в пространстве \mathbf{L}_h=\mathbf{L}_h(X) существует чебышёвский центр. Доказательство. Пусть \mathbf{M}\subset \mathbf{L}_h – непустое ограниченное семейство выпуклых непустых ограниченных множеств \{M_\alpha\}\subset X. Без потери общности можно считать, что все эти множества замкнуты, а следовательно, слабо компактны в пространстве X. Пусть \{A_n\}\subset X – последовательность непустых замкнутых ограниченных множеств таких, что
\begin{equation*}
h(A_n,M_\alpha)\leqslant r_n\to r:=r(\mathbf{M}):=\inf_{A\in \mathbf{L}_h}\sup_{M_\alpha\in \mathbf{M}} h(M_\alpha,A)\quad \text{для всех}\quad M_\alpha\in \mathbf{M}.
\end{equation*}
\notag
Без потери общности, при необходимости переходя к подпоследовательности, можно считать, что \{r_n\}\downarrow. Пусть B_n – замыкание выпуклой оболочки множества \bigcup_{k\geqslant n}A_k в пространстве X (n\in \mathbb{N}). Поскольку все множества A_k (k\geqslant n) содержатся в выпуклом замкнутом множестве M_\alpha+B(0,r_n) для всех \alpha, то и B_n (n\in \mathbb{N}) содержится в M_\alpha+B(0,r_n) для всех \alpha. Кроме того,
\begin{equation*}
B_n+B(0,r_n)\supset A_n+B(0,r_n)\supset M_\alpha \quad \text{ для всех }\alpha.
\end{equation*}
\notag
Положим B:=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}B_n, тогда B – выпукло замкнуто и непусто (так как \{B_n\} – вложенная последовательность слабо компактных множеств), и M_\alpha+B(0,r){\kern1pt}{\supset}{\kern1pt}B для всех \alpha. Докажем, что B+B(0,r)\supset M_\alpha для всех \alpha. Действительно, для каждого множества M_\alpha и произвольной точки y\in M_\alpha существует точка x_n\in A_n\subset B_n такая, что \|y-x_n\|\leqslant r_n (n\in \mathbb{N}). Всякая предельная точка x в слабой топологии последовательности \{x_n\} принадлежит каждому множеству B_m (m\in \mathbb{N}), так как x_k\in B_m для всех k\geqslant m. Отсюда x\in B. Конечно, Из произвольности выбора точки y\in M_\alpha мы имеем, что B+B(0,r)\supset M_\alpha для всех \alpha. Таким образом, h(M_\alpha,B)\leqslant r для всех \alpha, и следовательно, B\in \mathbf{L}_h – чебышёвский центр множества \mathbf{M}. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa23}
Эта публикация цитируется в следующих 7 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|