| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Солнечность и связность множеств в пространстве И. Г. Царьков Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9554 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ этой работе изучается нелинейный и невыпуклый объект, представляющий собой совокупность функций, составленных из n-кусков функций некоторого монотонно линейно связного подмножества C[a,b]. Изучаются его свойства: связность по Менгеру и монотонная линейная связность (теоремы 1, 2 и 4). Как известно, наличие таких свойств приближающих множеств дает возможность характеризовать элементы наилучшего приближения, а также изучать структуру ближайших элементов и устойчивость метрической проекции, что, конечно, важно для построения различных вычислительных процедур. В частности, установление монотонности (в каком-нибудь смысле) множества позволяет установить его солнечность или построить непрерывную выборку из оператора почти наилучших приближений. С более полным освещением этой тематики можно ознакомиться в работах [1]–[5]. В полиэдральных пространствах для множеств с полунепрерывной снизу выборкой из метрической проекции изучаются точки светимости этого множества. В частности, показано, что значения вышеуказанной выборки в каждой точке пространства, не принадлежащей множеству, являются для этой точки множествами светимости (следствие 2). В заключение мы в некотором четырехмерном пространстве строим пример не B-связного солнца. Напомним, что множество называется B-связным (B-стягиваемым или B-ацикличным), если непустое пересечение его с любым замкнутым шаром связно (стягиваемо или ациклично). Таким образом, отрицательно решается известная давно стоявшая задача о B-ацикличности солнца в конечномерных пространствах. Более того, указанный пример показывает, что есть солнца в конечномерных пространствах, не обладающие непрерывной ε-выборкой для малых ε>0, и эти солнца нельзя в хаусдорфовой метрике приблизить строгими солнцами (и, в частности, чебышёвскими множествами), поскольку, как доказал В. А. Кощеев (см. [6]), в конечномерных пространствах все строгие солнца являются B-связными. Отметим также, что в двумерном пространстве все солнца является B-стягиваемыми (см. Х. Беренс, Л. Хетзельт [7], А. Р. Алимов [8]), а в конечномерных пространствах размерности ⩾3 являются связными (см. В. А. Кощеев [6]) и даже линейно и локально линейно связными (см. А. Л. Браун [9]). Нам понадобятся следующие определения и обозначения. Через B(x,r) и B˚ обозначим соответственно замкнутый и открытый шары в линейном нормированном пространстве (X,\|\cdot\|) (в дальнейшем для краткости будем обозначать X) с центром x радиуса r, т.е. соответственно множества \{y\in X\mid \|y-x\|\leqslant r\} и \{y\in X\mid \|y-x\|< r\}. Через S(x,r) обозначим сферу с центром x радиуса r, т.е. множество \{y\in X\mid \|y-x \|=r\}. Нам также понадобится обозначение единичных сферы S^* и шара B^* сопряженного пространства X^* (в случае обычного линейно нормированного пространства X). И через \operatorname{ext}S^* будем обозначать множество всех экстремальных функционалов из S^*. Напомним определение сегмента [\![x,y]\!] в линейном нормированном пространстве X:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![x,y]\!] &:= \bigl\{z\in X\bigm| \min \{\varphi(x),\varphi(y)\} \leqslant \varphi(z)\leqslant \max \{\varphi(x),\varphi(y)\} \ \forall\, \varphi \in S^*\bigr\} \\ &\,= \bigl\{z\bigm| \varphi (z) \in [\varphi (x),\varphi (y)] \ \forall\, \varphi \in S^*\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для произвольного множества M в некотором нормированном пространстве X через \varrho(y,M) (y\in X, M\subset X) обозначим расстояние до множества M, т.е. величину \inf_{z\in M}\|z-y\|. Через P_Mx обозначим множество всех ближайших точек из M для x\in X, т.е. множество \{y\in M\mid \|y-x\|=\varrho(x,M)\}. Для произвольных x\in X и \delta>0 рассмотрим также метрические \delta-проекции P_M^\delta x и \mathring{P}_M^\delta x, представляющие собой соответственно множества \{y\,{\in}\, M\mid \|y-x\|\leqslant\varrho(x,M)\,{+}\,\delta\}=M\cap B(x,\varrho(x,M)\,{+}\,\delta) и \{y\in M\mid \|y-x\|<\varrho(x,M)+\delta\}=M\cap \mathring{B}(x,\varrho(x,M)+\delta). Определение 1. Пусть \varnothing \ne M\subset X. Точка x\in X\setminus M называется точкой солнечности, если существует точка y\in P_Mx\ne \varnothing (называемая точкой светимости) такая, что y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x) для всех \lambda\geqslant 0 (это геометрически означает, что из точки y исходит луч, проходящий через x, для каждой точки которого y является ближайшей из M). Точка x\in X\setminus M называется точкой строгой солнечности, если P_Mx\ne\varnothing и каждая точка y\in P_Mx является точкой светимости. Если все точки из X\setminus M являются точками солнечности (строгой солнечности), то множество M называют солнцем (строгим солнцем). Напомним, что множество, являющееся строгим солнцем, является так называемым множеством Колмогорова, т.е. все элементы наилучшего приближения могут быть охарактеризованы в форме критерия Колмогорова (см. [3]). Солнце же является так называемым обобщенным множеством Колмогорова, т.е. его точки светимости могут быть охарактеризованы в форме критерия Колмогорова. Определение 2. Путь p\colon [0,1]\to X в линейном нормированном пространстве X называется монотонным, если x^*(p(\tau)) является монотонной функцией для любого экстремального функционала x^* единичной нормы. Подмножество M\subset X называется монотонно линейно связным, если любые две точки из M можно соединить монотонным путем, след которого лежит в M. Множество M в линейном нормированном пространстве X называется устойчиво монотонно линейно связным, если существует непрерывное отображение p\colon M\times M\times[0,1]\to M, для которого p(x,y,\cdot\,) является монотонным путем, соединяющим точки x,y\in M. Отметим, что монотонно линейно связным множеством и даже устойчиво монотонно линейно связным множеством в C(Q) является такой классический объект приближения, как обобщенные дроби. Непустое пересечение любого открытого (замкнутого) шара с монотонно линейно связным (устойчиво монотонно линейно связным) множеством является монотонно линейно связным множеством (устойчиво монотонно линейно связным). § 2. Свойства кусочно монотонных множеств в C[a,b]Определение 3. Подмножество M\subset X называется сильно связным по Менгеру, если [\![x,y]\!]\cap M\ne \{x,y\} для любых различных точек x,y\in M. Подмножество M\subset X назовем слабо связным по Менгеру, если для любого конечного набора \alpha=(x^*_1,\dots,x^*_n)\subset \operatorname{ext}S^* множество (x^*_1,\dots,x^*_n)(M) сильно связно по Менгеру в пространстве \ell_\alpha:= (x^*_1,\dots,x^*_n)(X), где норма \|y\| элемента y=(y_1,\dots,y_n)=(x^*_1,\dots,x^*_n)(x)\in \ell_\alpha равна норме факторпространства X/L_\alpha, где L_\alpha=\{x\in X\mid x^*_i(x)=0,\, i=1,\dots,n\}, т.е. \|y\|_\alpha:=\varrho(x,L_\alpha). Замечание 1. Обычная связность по Менгеру определяется так же, как и сильная связность по Менгеру, с одной только разницей, что сегмент [\![x,y]\!] заменяется на множество \mathbf{m}(x,y):=\bigcap_{B(z,r)\supset \{x,y\}}B(z,r). Как известно, [\![x,y]\!]\subset \mathbf{m}(x,y), и поэтому из сильной связности по Менгеру вытекает обычная связность по Менгеру. Также известно, что в любом сепарабельном пространстве эти связности эквивалентны. Но до сих пор не известно ни одного примера, когда была бы обычная связность по Менгеру, а сильной не было. Связано это с тем, что не известно примеров, когда бы [\![x,y]\!]\neq \mathbf{m}(x,y). Отметим также, что в определении слабой связности по Менгеру можно ограничиться линейно независимыми наборами \alpha=(x^*_1,\dots,x^*_n). Отметим также, что любое пересечение с открытым или замкнутым шаром связного по Менгеру множества является связным по Менгеру. Определение 4. Пусть a<b, M\subset C[a,b] – монотонно линейно связное непустое множество, обладающее свойством: для любых функций f,g\in M
\begin{equation*}
\operatorname{card} \{t\in [a,b]\mid f(t)=g(t)\}\leqslant 1 \quad\text{или }\ f\equiv g \quad\text{на }\ [a,b].
\end{equation*}
\notag
Функцию \tau\in C[a,b] будем называть n-ломаной относительно множества M, если существует набор узлов \{x_i\}_{i=0}^{k} (k\leqslant n): a=x_0<x_1<\dots<x_k=b, для которых \tau(t)=f_i(t)\in M (говорят, что функция f_i задает i-й кусок функции \tau) на отрезке [x_{i-1},x_{i}], i=1,\dots,k. Множество всех n-ломаных относительно множества M будем обозначать через S_n(M)=S_n(M,[a,b]). В качестве примера таких множеств M можно взять множество функций вида \{cx+d\}. В этом случае множество S_n(M) будет множеством n-звенных ломаных с нефиксированными узлами. Можно также в качестве M взять множество функций вида \{c;c/(x+d)\}. Доказательство. Рассмотрим две различные функции s_1 и s_2 из множества S_n(M). Для некоторых чисел k,l\leqslant n найдутся наборы узлов: a=x_0<x_1<\dots<x_k=b и a=y_0<y_1<\dots<y_l=b, для которых s_1(\,\cdot\,)=f^1_m(\,\cdot\,)\in M на [x_{m-1},x_{m}], m=1,\dots,k, и s_2(\,\cdot\,)=f^2_m(\,\cdot\,)\in M на [x_{m-1},x_{m}], m=1,\dots,l. Будем считать, что числа l и k нельзя уменьшить, т.е. на соседних отрезках разбиений соответственно для s_1 и s_2 функции, определяющие соседние куски, не совпадают. Построим функцию s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Отметим, что случай \max\{k,l\}=1 тривиален. Будем предполагать, что для всех пар k,l: \max\{k,l\}<\alpha это можно сделать (для любых отрезков [a,b]), покажем, что это верно и для тех пар k,l: \max\{k,l\}=\alpha. Тем самым по принципу математической индукции мы и докажем требуемое утверждение. Для определенности будем считать, что t_1:=x_{k-1}\leqslant t_2:=y_{l-1}. Разберем всевозможные случаи. Пусть
\begin{equation*}
\delta_0:=\frac{1}{2}\min_{i=1,\dots,k;\,j=1,\dots,l}\{|x_{i}-x_{i-1}|,|y_{j}-y_{j-1}|\}.
\end{equation*}
\notag
1. Рассмотрим случай, когда f^1_k=f^2_l. Если t:=t_1=t_2, то можно свести этот случай к ситуации, когда k и l уменьшены на единицу, а вместо отрезка [a,b] можно взять отрезок [a,t]. По предположению индукции найдется функция \overline{s}\in S_n(M,[a,t]): \overline{s}\in [\![\overline{s}_1,\overline{s}_2]\!]\setminus \{\overline{s}_1,\overline{s}_2\}, где \overline{s}_1 и \overline{s}_2 – сужения s_1 и s_2 на отрезок [a,t]. Тогда искомая функция s задается формулой
\begin{equation*}
\begin{cases} \overline{s}(x), & x\in [a,t], \\ f^1_k(x)=f^2_l(x), & x\in [t,b]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Пусть теперь t_1<t_2. И пусть t_1\leqslant y_{l-2}. В этой ситуации функции f^1_k и f^2_{l-1} совпадают значениями только в точке t_2, а поэтому f^2_{l-2} и с f^1_k не равны в точке y_{l-2}. В силу монотонной линейной связности M существует монотонный путь p(\,\cdot\,)\colon [0,1]\to M: p(0)=f^1_k, p(1)=f^2_{l-1}. Выберем \delta\in (0,\delta_0) так, чтобы f^1_k и f^2_{l-2} не имели равных значений на отрезке [y_{l-2}-\delta, y_{l-2}+\delta]. Без потери общности можно считать, что p(u)\neq f^1_k ,f^2_{l-1} для всех u\in (0,1). Найдется число u_0\in (0,1) столь близкое к 1, что точка z, в которой значения f^2_{l-2} и p(u_0) совпадают, лежит в отрезке [y_{l-2}-\delta, y_{l-2}+\delta], и при этом p(u_0) не совпадают ни с f^2_{l-1}, ни с f^1_k. Положим
\begin{equation*}
s(x) =\begin{cases} s_2(x), &x\in[a,z], \\ p(u_0)(x), &x\in[z,y_{l-1}], \\ f^1_k(x) =f^2_l(x), &x\in[y_{l-1},b]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда по построению s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Пусть t_1> y_{l-2}. И пусть для определенности f^1_{k}>f^2_{l-1} на [t_1,t_2). Если f^1_{k-1}>f^2_{l-1} на отрезке [y_{l-2},t_1], то возьмем монотонный путь p(\,\cdot\,)\colon [0,1]\,{\to}\,M: p(0)=f^1_{k-1}, p(1)=f^2_{l-1} и выберем число u_0 столь близко к 1, чтобы f^1_{k-1}(x)>p(u_0)(x) на отрезке [y_{l-2},t_1], но при этом функция p(u_0) не совпадала с f^2_{l-1}. И, кроме того, подберем u_0 настолько близко к 1, что в некоторой точке v_2\in [y_{l-2}-\delta_0,y_{l-2}+\delta] функции f^2_{l-2} и p(u_0) имели одинаковые значения. Найдется точка v_1\in (t_1,t_2], в которой функции p(u_0) и f^1_{k} принимают одинаковые значения. Если найдется точка v_3\in [y_{l-2}-\delta_0,y_{l-2}], в которой значения функций s_1 и p(u_0) совпадают, то положим
\begin{equation*}
s(x) =\begin{cases} f^1_k(x), &x\in[v_1,b], \\ p(u_0)(x), &x\in[v_3,v_1], \\ s_1(x), &x\in[a,v_3]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда по построению s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Если же на отрезке [y_{l-2}- \delta_0,y_{l-2}] значения функции s_1 больше значений функции p(u_0), то положим
\begin{equation*}
s(x) =\begin{cases} f^1_k(x), &x\in[v_1,b], \\ p(u_0)(x), &x\in[v_2,v_1], \\ s_2(x), &x\in[a,v_2]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда по построению s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Пусть теперь найдется точка v_0 на отрезке [y_{l-2},t_1], для которой f^1_{k-1}(v_0)= f^2_{l-1}(v_0). Тогда для всех u\in [0,1] функции p(u), f^1_{k-1} и f^2_{l-1} имеют одинаковые значения в точке v_0. Можно считать, что p(u)\neq f^1_{k-1},f^2_{l-1} для всех u\in (0,1) и поэтому f^2_{l-1}>p(u)>f^1_{k-1} на [a,v_0) для всех u\in (0,1). Если y_{l-2}\leqslant x_{k-2}, то выберем \delta\in (0,\delta_0) настолько малым, что s_2>f^1_{k-1} на [y_{l-2}-\delta,v_0). Выберем число u_1\in (0,1), столь близкое к нулю, что функции p(u_1) и f^1_{k-2} имеют в некоторой точке v_2\in [x_{k-2}-\delta,v_0)\subset [y_{l-2}-\delta,v_0) одинаковое значение. Пусть v_1\in [t_1,t_2] – такая точка, что f^1_k и p(u_1) имеют в ней одинаковые значения. Положим
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} f^1_k(x), &x\in[v_1,b], \\ p(u_1)(x), &x\in[v_2,v_1], \\ s_1(x), &x\in[a,v_2]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда по построению s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Если x_{k-2}<y_{l-2}, то найдется точка v_3\leqslant y_{l-2}, самая близкая к y_{l-2} и в которой значения функций p(u_1) и s_1 или s_2 совпадают. Отметим, что если p(u_1) и s_1 имеют одинаковые значения в указанной точке v_3, то v_3\leqslant x_{k-2}, так как s_1=f^1_{k-1} на [x_{k-2},y_{l-2}]. Положим
\begin{equation*}
s(x) =\begin{cases} f^1_k(x), &x\in[v_1,b], \\ p(u_1)(x), &x\in[v_3,v_1], \\ s_1\, (s_2)(x), &x\in[a,v_3]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Выбор s_1 или s_2 в последней строке формулы определяется тем, с какой функцией p(u_1) совпадает в точке v_3: с s_1 или s_2. Тогда по построению s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. 2. Далее будем рассматривать случай, когда f^1_k и f^2_l не совпадают. a) Рассмотрим случай t:=t_1=t_2 и f^1_{k}(t)=f^2_{l}(t). В силу монотонной линейной связности множества M существует функция f\in [\![f^1_{k-1},f^2_{l-1}]\!]\setminus \{f^1_{k-1},f^2_{l-1}\}. Тогда в качестве s можно взять функцию
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} f(x), &x\in[t,b], \\ s_1(x), &x\in[a,t]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Нетрудно видеть, что s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. b) Рассмотрим случай t:=t_1=t_2 и f^1_{k}(t)> f^2_{l}(t) (случай противоположного неравенства разбирается аналогично). По условию s_1=f^1_{k-1} на отрезке [x_{k-2},x_{k-1}] и f^1_{k-1} не совпадает с f^1_{k}. Найдется число \delta\in (0,\delta_0) такое, что для функции \varphi:=f^1_{k-1}-f^1_{k} выполняется неравенство \varepsilon:=\max_{u\in[t-\delta,t+\delta]}{|\varphi(u)|}<(1/2)(f^1_{k}(t)- f^2_{l}(t)). В силу монотонной линейной связности множества M существует монотонный путь p(\,\cdot\,)\colon [0,1]\to M: p(0)=f^1_k, p(1)=f^2_{l}. Без потери общности можно считать, что p(u)\neq f^1_k , f^2_{l} для всех u\in (0,1). Выберем точку u_0\in (0,1) столь близко к нулю, что \|f^1_k-p(u_0)\|<\varepsilon. При этом за счет выбора достаточной малости нормы \|f^1_k-p(u_0)\| можно добиться, чтобы точка \kappa, в которой p(u_0) и f^1_{k-1} имеют одинаковые значения, лежала на отрезке [t-\delta,t+\delta]. В этом случае в качестве функции s можно взять функцию
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} s_1(x), &x\in[a,x_{k-2}], \\ f^1_{k-1}(x), &x\in[x_{k-2},\kappa], \\ p(u_0)(x), &x\in[\kappa,b]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Нетрудно видеть, что s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. c) Рассмотрим случай t_1<t_2. Рассмотрим ситуацию, когда f^1_k(t_2)=f^2_{l}(t_2). В силу монотонной линейной связности множества M существует функция f\in [\![f^1_{k},f^2_{l}]\!]\setminus \{f^1_{k},f^2_{l}\}. Тогда в качестве s можно взять функцию
\begin{equation*}
s(x)= \begin{cases} f(x), &x\in[t_2,b], \\ s_2(x), &x\in[a,t_2]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Нетрудно видеть, что s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Далее изучим случай f^1_{k}(t_2)> f^2_{l}(t_2) (случай противоположного неравенства разбирается аналогично). Так как функции f^2_{l-1} и f^2_{l} не совпадают, то значения этих функций различны во всех точках, кроме точки t_2. Пусть \delta\in (0,\delta_0) – такое число, что f^1_{k} > f^2_{l} на отрезке [t_2-\delta,t_2+\delta]. В силу монотонной линейной связности множества M существует монотонный путь p(\,\cdot\,)\colon [0,1]\to M: p(0)= f^1_k, p(1)=f^2_{l}. Без потери общности можно считать, что p(u)\neq f^1_k , f^2_{l} для всех u\in (0,1). Выберем точку u_1\in (0,1) настолько близко к 1, что функции f^2_{l-1} и p(u_1) имеют в некоторой точке v_1\in [t_2-\delta,t_2+\delta] одинаковые значения и f^1_{k} > p(u_1) на отрезке [t_2-\delta,t_2+\delta]. Тогда в качестве s можно взять функцию
\begin{equation*}
s(x)= \begin{cases} p(u_1)(x), &x\in[v_1,b], \\ f^2_{l-1}(x), &x\in[y_{l-2},v_1], \\ s_2(x), &x\in[a,y_{l-2}]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Нетрудно видеть, что s\in S_n(M): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Таким образом, мы, рассмотрев всевозможные случаи, показали, что множество S_n(M,[a,b]) связно по Менгеру. Теорема 1 доказана. Замечание 2. Нетрудно проверить, что в случае, когда множество M\subset C[a,b] компактно, множество S_n(M,[a,b]) компактно, а следовательно, замкнуто. Теорема 2. Пусть M\subset C[a,b] непусто и ограниченно компактно. Тогда множество S_n(M,[a,b]) монотонно линейно связно и является солнцем. Доказательство. Для каждого числа r>0 и некоторой точки x_0\in M рассмотрим компактные множества M_r:=M\cap B(x_0,r). А. Р. Алимовым (см. [1]) было доказано, что всякое ограниченно компактное связное по Менгеру множество является монотонно линейно связным солнцем. Отсюда следует, что S_n(M_r,[a,b]) монотонно линейно связно для всех r>0. Возьмем произвольные элементы f,g\in S_n(M,[a,b]). Найдется число r>0 такое, что f,g\in S_n(M_r,[a,b]), а следовательно, найдется монотонный путь, соединяющий f и g, след которого лежит в S_n(M_r,[a,b])\subset S_n(M,[a,b]). Отсюда следует, что множество S_n(M,[a,b]) монотонно линейно связно. Теорема доказана. Определение 5. Пусть \varepsilon\geqslant 0 , M\subset X. Отображение \varphi\colon X\to M называется аддитивной (мультипликативной) \varepsilon-выборкой, если для всех x\in X выполняется включение (соответственно \varphi(x)\in P_M^{\varepsilon\varrho(x,M)} x ). В случае, когда эти включения выполняются на некотором множестве E\subset X, говорят о \varepsilon -выборке на E.Часто для установления существования непрерывной \varepsilon-выборки бывает достаточно установить монотонную связность (в каком-нибудь смысле) аппроксимирующего множества. В частности, известно, что аппроксимативно компактное монотонно линейно связное множество допускает на себя непрерывные \varepsilon-выборки для всех \varepsilon>0 (см. [10; теорема 3]), что говорит об особом положении таких множеств в вопросах устойчивости аппроксимации. С другими свойствами множеств, обладающих \varepsilon -выборками, можно ознакомиться в работах [11]–[13]. Интересна и другая сторона монотонно линейно связных (и монотонно связных по Менгеру) множеств, относящаяся к свойству солнечности таких множеств. Это свойство в различных пространствах изучалось многими авторами, в частности А. Л. Брауном, Х. Беренсом, А. Р. Алимовым (подробнее с этой темой можно ознакомиться в обзоре [3]). Непосредственно из теоремы 2 вытекает следующее утверждение. Следствие 1. Пусть M\subset C[a,b] непусто и ограниченно компактно. Тогда множество S_n(M,[a,b]) обладает непрерывной \varepsilon -выборкой для всех \varepsilon>0 и является солнцем. § 3. Выборки для обобщенных n-ломанных с локализованными узламиВ этом параграфе мы рассмотрим семейство монотонно линейно связных множеств \mathcal{M}=\{M_i\}_{i=0}^{n} в пространстве X=C[a,b]. Рассмотрим набор из n отрезков \mathcal{T}_n=\{[a_k,b_k]\}_{k=1}^{n}, где a\leqslant a_1\leqslant b_1\leqslant a_2\leqslant b_2\leqslant\dots \leqslant a_k\leqslant b_k\leqslant\dots\leqslant a_n \leqslant b_n \leqslant b. Через S(\mathcal{T}_n, \mathcal{M}) обозначим функции s\in C[a,b], представляющие собой n-ломанные с узлами \{t_k\}_{k=1}^{n}: t_k\in [a_k,b_k], k=1,\dots,n, и t_0=a, t_{n+1}=b таких, что s(\,\cdot\,)=f_{i-1}(\,\cdot\,)\in M_{i-1} на отрезке [t_{i-1},t_{i}], i=1,\dots,n+1. Обозначим через \kappa(\mathcal{T}_n) величину \min_{k=1,\dots,n-1}\{a_{k+1}-b_k\}. В качестве множеств M_i можно брать, например, обобщенные или классические рациональные дроби. Мы будем пользоваться тем, что если функции f и g на отрезке [a,b] связаны монотонным путем p\colon [0,1]\to X=C[a,b], то для любой кривой \Delta, соединяющей точки графиков (v_1,f(v_1)) и (v_2,g(v_2)), график функции p(u) пересекает эту кривую \Delta. Теорема 3. Пусть набор \mathcal{M} состоит из одинаковых монотонно линейно связных множеств M. Тогда множество S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}) является связным по Менгеру в пространстве C[a,b]; в случае же, когда множество S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}) ограниченно компактно, то это множество является монотонно линейно связным в пространстве C[a,b]. В частности, это верно в случае, когда множество {M} равностепенно непрерывно. Доказательство. Возьмем произвольные различные функции s_1,s_2\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}). И пусть для функции s_1 узлами являются точки \{t_k^1 \}_{k=1}^{n}: t_k^1\in [a_k,b_k], k=1,\dots,n, и t_0^1=a, t_{n+1}^1=b, для которых s_1(\,\cdot\,)=f_{i-1}^1(\,\cdot\,)\in M на отрезке [t_{i-1}^1,t_{i}^1], i=1,\dots,n+1. Аналогично \{t_k^2 \}_{k=1}^{n}: t_k^2\in [a_k,b_k], k=1,\dots,n, и t_0^2=a, t_{n+1}^2=b – узлы для s_2, для которых s_2(\,\cdot\,)=f_{i-1}^2(\,\cdot\,)\in M на отрезке [t_{i-1}^2,t_{i}^2], i=1,\dots,n+1. Пусть для определенности t_1^2\leqslant t_1^1. Докажем, что для функций s_1,s_2\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}) существует функция s\in S(\mathcal{T}_m,\mathcal{M}): s\in [\![ s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Доказательство проведем по принципу математической индукции по числу отрезков из набора \mathcal{T}_n. Будем предполагать, что для всех m<n и всех отрезков [a,b] для всех различных функций s_1,s_2\in S(\mathcal{T}_m,\mathcal{M}) существует функция s\in S(\mathcal{T}_m,\mathcal{M}): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. И докажем требуемое утверждение для случая m=n. 1. Рассмотрим случай, когда s_1\equiv s_2 на отрезке [a,t^1_1]. Рассмотрев вместо отрезка [a,b] отрезок [t^1_1,b] и вместо системы отрезков \mathcal{T}_n=\{[a_k,b_k]\}_{k=1}^{n} систему \{[a_k,b_k]\}_{k=2}^{n}, применяя индукционное предположения, мы получим, что существует функция s\in S(\{[a_k,b_k]\}_{k=2}^{n},\mathcal{M}): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\} на отрезке [t^1_1,b]. Доопределим эту функцию на отрезке [a,t^1_1] функцией f^1_1. Тогда s\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. 2. Рассмотрим случай, когда s_1\equiv s_2 на отрезке [a,t^2_1 ], но s_1 и s_2 не совпадают на отрезке [t^2_1 ,t^1_1]. Сначала разберем случай, когда f^1_2\equiv f^2_2 на отрезке [t^2_1 ,t^1_1]. a) Если s_1 и s_2 не совпадают на отрезке [t^1_1 ,b], то сводим этот случай к случаю отрезка [t^1_1 ,b] вместо отрезка [a,b] и системы \{[a_k,b_k]\}_{k=2}^{n} вместо \mathcal{T}_n=\{[a_k,b_k]\}_{k=1}^{n}, применяя принцип математической индукции так же, как мы это делали в п. 1. При этом полученную функцию s, отличную от s_1 и s_2 на отрезке [t^1_1 ,b], доопределяем на отрезке [a,t^1_1] функцией f^1_1. b) Если s_1\equiv s_2 на отрезке [t^1_1,b ], то рассмотрим монотонный путь p\colon [0,1]\to M, соединяющий функции f^1_1 и f^2_2, при этом без потери общности будем считать, что p(u) не совпадает ни с f^1_1, ни с f^2_2 на отрезке [t^2_1,t^1_1 ] для u=\theta. Положим
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} s_2(x)= f^1_1(x)=f^2_1(x), &x\in[a,t^2_1] , \\ p(\theta)(x), &x\in[t^2_1,t^1_1 ], \\ s_1(x)=s_2(x), &x\in[t^1_1,b ]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда s\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Теперь разберем случай, когда f^1_2 и f^2_2 не совпадают на отрезке [t^2_1 ,t^1_1]. Пусть p\colon [0,1]\to M – монотонный путь, соединяющий функции f^1_1 и f^2_2, при этом p(\theta) не совпадает ни с f^1_1, ни с f^2_2 на отрезке [t^2_1,t^1_1 ] для некоторого \theta\in (0,1). Тогда график функции p(\theta) пересекает график функции f^1_1 в некоторой точке, первая координата которой равна t_0\in [ t^2_1,t^1_1 ]. Положим
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} f^1_1(x), &x\in[a,t_0], \\ p(\theta)(x), &x\in[t_0,v_0 ]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
на отрезке [a,v_0], где v_0:=\min\{t^1_2,t^2_2\}. Рассмотрим случай v_0=t^2_2\leqslant t^1_2 (случай v_0=t^1_2\leqslant t^2_2 разбирается аналогично). Если график функции p(\theta) пересекается с графиком функции s_2 в точке, первая координата которой равна v_1 и лежит на отрезке [t^2_2,b], то полагаем
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[v_0,v_1], \\ s_2(x), &x\in[v_1,b]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Если это не выполняется, то полагаем, что s= p(\theta) на отрезке [t^2_2, t^1_2]. Кроме того, если график функции p(\theta) пересекается с графиком функции s_1 в точке, первая координата которой равна v_2 и лежит на отрезке [t^1_2,b], то полагаем
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[t^1_2,v_2], \\ s_1(x), &x\in[v_2,b ]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
В противном случае полагаем s=p(\theta) на отрезке [t^1_2,b]. Тогда s\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\} для всех рассмотренных случаев. 3. Рассмотрим случай, когда s_1 и s_2 не совпадают на отрезке [a,t^2_1 ]. Пусть p\colon [0,1]\to M – монотонный путь, соединяющий функции f^1_1 и f^2_1, при этом p(\theta) не совпадает ни с f^1_1, ни с f^2_1 на отрезке [a, t^2_1 ] для некоторого \theta\in (0,1). Положим s=p(\theta) на отрезке [a,t^2_1]. Если график функции p(\theta) пересекается с графиком функции s_2 в точке, первая координата которой равна v_1 и лежит на отрезке [t^2_1,t^1_1], то полагаем
\begin{equation*}
s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[t^2_1,v_1], \\ s_2(x), &x\in[v_1,b ]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
В случае, когда такой точки нет, полагаем, что s= p(\theta) на отрезке [t^2_1, t^1_1]. Если график функции p(\theta) пересекается с графиком функции s_2 (s_1) в точке, первая координата которой равна v^2 (v^1) и лежит на отрезке [t^1_1,b] и это значение минимально из возможных, то положим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[t^1_1,v^2], \\ s_2(x), &x\in[v^2,b], \end{cases} \\ \left( s(x)=\begin{cases} p(\theta)(x), &x\in[t^1_1,v^1], \\ s_1(x), &x\in[v^1,b] \end{cases}\right). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Если же график p(\theta) не пересекается ни с графиком функции s_2, ни с графиком функции s_1 в точках, первая координата которых лежит на отрезке [t^1_1,b], то полагаем s= p(\theta) на отрезке [t^1_1,b]. Так построенная функция s удовлетворяет условию: s\in S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}): s\in [\![ s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\}. Из произвольности выбора функций s_1 и s_2 следует, что множество S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}) является связным по Менгеру в пространстве C[a,b]. Второе утверждение вытекает из следующих соображений. Для всякой ограниченной подпоследовательности \{s_{l}\} из S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}) можно выбрать подпоследовательность n-ломаных \{s_{l_m}\}, у которой упорядоченный вектор-набор узлов \{t_k^m\}_{k=1}^{n} и вектор-набор соответствующих значений \{\xi_k^m\}_{k=1}^{n} в этих узлах сходятся, например к \{t_k\}_{k=1}^{n} и \{\xi_k\}_{k=1}^{n} соответственно. При этом функции f^m_k\in M: s_{l_m}\equiv f^m_k на отрезке [t_{k-1}^m,t_{k}^m] в силу равностепенной непрерывности M равномерно сходятся к некоторым функциям f_k\in M. Поэтому \{s_{l_m}\} равномерно сходится к n-ломаной s^0, для которой s^0\equiv f_k на отрезке [t_{k-1} ,t_{k} ]. Теорема 3 доказана. Рассмотрим теперь еще один частный случай множества S(\mathcal{T}_n,\mathcal{M}), когда a_i=b_i, i=1,\dots,n. В этом случае это множество превращается в множество обобщенных (n+1)-ломанных с фиксированными узлами \{a_k\}_{k=1}^{n }. Здесь набор \mathcal{M}=\{M_k\}_{k=1}^{n+1} будет состоять из, вообще говоря, различных монотонно линейно связных множеств. Такое множество мы будем обозначать через \mathcal{S}(\mathcal{M}). Теорема 4. Пусть набор \mathcal{M}=\{M_k\}_{k=1}^{n+1} состоит из монотонно линейно связных множеств. Тогда если множество \mathcal{S}(\mathcal{M}) непусто, то оно является связным по Менгеру в пространстве C[a,b]. Доказательство. Пусть \{t_k=a_k \}_{k=1}^{n} и t_0 =a, t_{n+1} =b. Возьмем произвольные различные функции s_1,s_2\in \mathcal{S}( \mathcal{M}). Пусть s_1(\,\cdot\,)=f_{i-1}^1(\,\cdot\,)\in M_i и s_2(\,\cdot\,)=f_{i-1}^2(\,\cdot\,)\in M_i на отрезке [t_{i-1} ,t_{i} ], i=1,\dots,n+1. Пусть j – минимальный индекс, для которого функции f_{j}^1(\,\cdot\,)\in M_{j+1} и f_{j}^2(\,\cdot\,)\in M_{j+1} не совпадают на отрезке [t_{j} ,t_{j+1} ]. Тогда полагаем s равным s_1=s_2 во всех точках t\leqslant t_{j}. Так как функции f_{j}^1(\,\cdot\,)\in M_{j+1} и f_{j}^2(\,\cdot\,)\in M_{j+1} не совпадают на отрезке [t_{j} ,t_{j+1} ], а множество M_{j+1} монотонно линейно связно, найдется функция f\in [\![f_{j}^1,f_{j}^2]\!]\cap M_{j+1}, не равная функциям f_{j}^1 и f_{j}^2 на отрезке [t_{j} ,t_{j+1} ]. Пусть \theta_{j+1}:=f(t_{j+1}). Положим s=f на отрезке [t_{j} ,t_{j+1} ]. В силу монотонной линейной связности множества M_{j+2} найдется функция \varphi_{j+1}\in [\![f_{j+1}^1,f_{j+2}^2]\!]\cap M_{j+2} такая, что \theta_{j+1}=\varphi_{j+1}(t_{j+1}). Положим \theta_{j+2}:=\varphi_{j+1}(t_{j+2}) и s=\varphi_{j+1} на отрезке [t_{j+1} ,t_{j+2} ]. Последний шаг будем повторять до тех пор, пока не построим \varphi_{j+k}, где j+k=n+1. Так мы построим s\in \mathcal{S}(\mathcal{M}): s\in [\![s_1,s_2]\!]\setminus \{s_1,s_2\} и тем самым докажем теорему. Теорема доказана.
§ 4. Свойства множеств с полунепрерывной снизу выборкой из метрической проекции в конечномерных полиэдральных пространствахОпределение 6. Отображение F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\} в случае метрических пространств X и Y называется полунепрерывным снизу, если для любого замкнутого подмножества A\subset Y множество \{x\in X\mid F(x)\subset A\} замкнуто. Приведем также эквивалентное последнему определение. Определение 7. Пусть \mathcal{X}=(X,\eta) , \mathcal{Y}=(Y,\nu) – произвольные метрические пространства, отображение F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\} называется полунепрерывным снизу в точке x\in X, если для любой окрестности O(y)\subset Y произвольной точки y\in F(x) множество \{v\in X\mid F(v)\cap O(y)\neq \varnothing\} содержит некоторую окрестность точки x . Отображение F\colon X\to 2^Y\setminus\{\varnothing\} называется полунепрерывным снизу (на X), если оно является таковым в каждой точке x\in X. Конечномерное несимметричное полиэдральное пространство представляет собой конечномерное пространство с выпуклым многогранником, содержащим нуль как внутреннюю точку и определяющим собой единичный шар. Несимметричная норма в таком пространстве – функционал Минковского, заданный этим многогранником. Метрическая проекция, свойство солнечности и точки светимости определяются аналогично этим понятиям в симметричном случае. Теорема 5. Пусть M – непустое множество в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве X (т.е. шар в X является многогранником), обладающее полунепрерывной снизу выборкой \Psi\colon X\to 2^M\setminus \{\varnothing\} из метрической проекции P_M (т.е. отображение \Psi полунепрерывно снизу и \Psi (x)\subset P_Mx для всех x\in X), и при этом отображение \Psi удовлетворяет дополнительному свойству: для всех x\in X\setminus M, y\in \Psi(x) и \lambda\in [0,+\infty). Тогда M – солнце, и \Psi(x) состоит из точек светимости множества M для каждой точки x\in X. Доказательство. Возьмем произвольный элемент x\in X\setminus M и предположим, что некоторая точка y\in \Psi (x) не является точкой светимости для x. Тогда существует такое минимально возможное k_0\geqslant 1, что для всех 0<k<k_0 шар B(y+k(x-y),k\varrho(x,M)) не пересекается своей внутренностью с множеством M и для всех k>k_0 шар B(y+k(x-y),k\varrho(x,M)) пересекается своей внутренностью с множеством M (т.е. в этом случае \varrho(y+k(x-y),M)< k\varrho(x,M)). Отметим, что поскольку шар B(y+k_0(x-y),k_0\varrho(x,M)) – многогранник, то найдется число \varepsilon>0, что для всех k\geqslant k_0 верно равенство B(y,\varepsilon)\cap B(y+k_0(x-y),k_0\varrho(x,M))=B(y,\varepsilon)\cap B(y+k (x-y),k \varrho(x,M)), и B(y,\varepsilon)\cap \mathring{B}(y+k_0(x-y),k_0\varrho(x,M)) не пересекается с M. Как было отмечено, \varrho(y+k(x-y),M)<k\varrho(x,M) для всех k>k_0 и, следовательно, \Psi(y+k (x-y))\subset P_M(y+k (x-y))\subset \mathring{B}(y+k(x-y),k\varrho(x,M)), отсюда \Psi(y+k (x-y))\cap \mathring{B}(y,\varepsilon)=\varnothing для всех k>k_0. Последнее противоречит полунепрерывности отображения \Psi. Отсюда следует утверждение теоремы. Теорема доказана. Замечание 3. В условиях теоремы 5, но без дополнительного свойства на функцию \Psi, точка x является точкой локальной солнечности, т.е. найдется число \delta=\delta(x)>0 такое, что y\in P_M(\lambda(x-y)+y) для всех \lambda\in [1,1+\delta], а точка y является соответственно точкой локальной светимости для x. На самом деле, из доказательства теоремы 5 вытекает, что такая локальная солнечность получается при менее ограничительном условии на \Psi, точнее, можно заменить полунепрерывность снизу этого отображения (на всем X) на так называемую \mathrm{ORL}-непрерывность, т.е. достаточно предполагать, что отображение \Psi, суженное на луч \{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\geqslant 1\}, полунепрерывно снизу в точке x при \lambda\to 1+0. Предложение 1. Пусть M – непустое множество в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве X, обладающее полунепрерывной снизу выборкой \Psi\colon X\to 2^M\setminus \{\varnothing\} из метрической проекции P_M. Тогда существует отображение \Psi_0, удовлетворяющее свойству: для всех x\in X\setminus M, y\in \Psi(x) и \lambda\in [0,+\infty), и его сужение на луч \{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\geqslant 1\} полунепрерывно снизу. Доказательство. Отметим, что в [13; следствие 3] было доказано, что всякое множество в произвольном конечномерном пространстве, обладающее полунепрерывной снизу выборкой из метрического проектора на это множество, является солнцем. Более того, было показано, что для любой точки x\in X\setminus M существуют грани B_\alpha=B_\alpha(x) сферы S(x,r), r=\varrho(x,M), которые пересекаются с множеством P_Mx по своей относительной внутренности (и можно считать, что каждая из таких граней максимальна по вложению) так, что B=B(x):=\bigcap_{\alpha}B_\alpha – непустая грань сферы S(x,r), содержащая множество \Psi(x). Из полунепрерывности снизу отображения \Psi и полиэдральности пространства X вытекает, что отображение \Phi(x):=B(x) (x\in X) также полунепрерывно снизу. Действительно, если y\in \Psi(x) – произвольная точка, принадлежащая относительной внутренности грани B_\alpha(x) сферы S(x,\varrho(x,M)), а \{x_n\} – произвольная последовательность, сходящаяся к x, и \{y_n\} – некоторая последовательность, сходящаяся к y и такая, что y_n\in \Psi(x_n), n\in \mathbb{N}. Через B_n обозначим ту грань сферы S(x_n,\varrho(x_n,M)), которая содержит точку y_n в своей относительной внутренности (n\in \mathbb{N}). Так как различных граней на сфере S(0,1) конечное число, то разбивая при необходимости последовательность \{x_n\} на конечное число подпоследовательностей \{x^i_n\}, можно свести доказательство к случаем, когда все грани (B_n-x^i_n)/\varrho(x^i_n,M) совпадают и равны некоторой грани B^0 на сфере S(0,1) (т.е. достаточно обойтись такого сорта последовательностями). Для таких последовательностей сохраним обозначение \{x_n\}. Более того, можно считать, что весь набор граней \{B_\beta(x_n)\}, которые пересекаются своей относительной внутренностью с множеством P_Mx_n, соответствует одному и тому же набору граней сферы S(0,1) при соответствующей гомотетии (\cdot-x_n)/\varrho(x_n,M) , n\in \mathbb{N}. Так как y\in \Psi(x) принадлежит относительной внутренности грани B_\alpha(x) сферы S(x,\varrho(x,M)), то грань (B_\alpha-x)/\varrho(x,M) содержится в грани B^0 с сферы S(0,1). Отсюда вытекает, что грани B_n=\varrho(x_n,M)B^0+x_n в хаусдорфовой метрике сходятся к грани \widehat{B}_\alpha:=\varrho(x,M)B^0+x сферы S(x,\varrho(x,M)), содержащей грань B_\alpha. В силу замечания 3 для всех x\in X\setminus M и y\in \Psi(x) найдется число \delta=\delta(x)\,{>}\,0 такое, что y\in P_M(\lambda(x-y)+y) для всех \lambda\in [1,1+\delta]. Тогда B(\lambda(x-y)+y)\supset B(x) и P_M(\lambda(x-y)+y)\supset P_M(x). Отсюда отображение \Psi_0(z)=P_M(z)\cap B(z), z\in X, является полунепрерывным снизу на отрезке \Delta:=\{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\in [1,1+\delta], и y\in \Psi_0(z) для всех z\in \Delta. Поэтому или y\in \Psi_0(z) для всех точек луча \{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\geqslant 1\}, или найдется максимально возможное число \lambda_0\geqslant 1, для которого выполняется условие y\in \Psi_0(\lambda(x-y)+y)\subset P_M(\lambda(x-y)+y) для всех \lambda\in [1,\lambda_0] . В последнем случае, выбирая вместо точки x точку \lambda_0(x-y)+y и проводя рассуждения, аналогичные вышеизложенным, мы придем к тому, что \lambda_0 не является максимально возможным среди чисел \eta, для которых y\in \Psi_0(\lambda(x-y)+y)\subset P_M(\lambda(x-y)+y для всех \lambda\in [1,\eta] . Это замечание показывает, что выполняется первый случай. В этом случае y\in \Psi_0(z) для всех точек z луча \{\lambda(x-y)+y\mid \lambda\geqslant 1\}, и поэтому \Psi_0(z)=P_M(z)\cap B(z) полунепрерывно снизу на этом луче. Предложение доказано. Из второй части замечания 3 и предложения 1 вытекает следующее утверждение. Следствие 2. Пусть M – непустое множество в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве X, обладающее полунепрерывной снизу выборкой \Psi\colon X\to 2^M\setminus \{\varnothing\} из метрической проекции P_M. Тогда M – солнце, и \Psi(x) состоит из точек светимости множества M для каждой точки x\in X. В частности, отсюда следует, что множество с полунепрерывной метрической проекцией в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве является строгим солнцем. § 5. Построение не B-связного солнца в четырехмерном пространствеПриступим к построению не B-связного солнца в четырехмерном полиэдральном пространстве. Рассмотрим линейное пространство X=\mathbb{R}^3, вложенное в Y=\mathbb{R}^4 как подпространство \Gamma_0:=\{x=(x_1,x_2,x_3,0)\mid (x_1,x_2,x_3)\in X\}. На X рассмотрим правильный симплекс B\subset X, центр тяжести которого находится в нуле. Этот симплекс будет рассматриваться как единичный несимметричный шар, порождающий на X несимметричную норму \|\cdot|, равную функционалу Минковского для тела B. Рассмотрим множество M\subset X, представляющее собой объединение двух скрещивающихся ребер симплекса B, это множество несвязно и является солнцем в несимметричном пространстве (X,\|\cdot|) (см. [14]). Построим в пространстве Y центрально симметричный многогранник V, задающий в качестве единичного шара симметричную норму \|\cdot\|. Этот шар-многогранник зададим как выпуклую оболочку верхней и нижней граней B_1:=B+e и B_2:=-B-e, где e=(0,0,0,1). Здесь мы считаем, что симплекс B естественно вложен в Y как подмножество X. Отметим, что по построению существует число \alpha_0\in (0,\pi/2) такое, что для любой опорной гиперплоскости \Gamma к шару V, заданной функционалом y^*\in V^*, т.е. \Gamma=\{y\in Y\mid y^*(y)=1\} и y^*(y)\leqslant 1 для всех y\in V, и такой, что евклидовый угол \alpha между \Gamma и вектором e не меньше \alpha_0, эта гиперплоскость \Gamma опирается на множество V в точках верхней грани B_1. При этом если угол \alpha=\pi/2, то гиперплоскость \Gamma содержит грань B_1, а если \alpha\in (\alpha_0,\pi/2), то \Gamma опирается только в граничных (относительно B_1) точках B_1. Напомним известное свойство солнц, а именно, их равномерные окрестности M-\varepsilon B для всех \varepsilon\geqslant 0 являются также солнцами в (X,\|\cdot|). Сделаем такое линейное растяжение-сжатие A\colon Y\to Y первых трех координатных осей пространства Y, что для тела A(V) соответствующий угол \alpha_0 будет меньше \pi/4. В дальнейшем будем считать, что \alpha_0<\pi/4, и множество A(V) переобозначим через V. Тогда множество V содержится в конусе K:=\{ (1-u)e+u B+e\mid u\geqslant 0\} с вершиной 2e, а точнее, в усеченном конусе K_0:=K\cap (e+T), где T:=\{y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\mid y_4\leqslant 0 \} – полупространство с границей \Gamma_0. Положим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, N_0:=\{t e+ M-t B\mid t\in [0,1]\}, \qquad N:=N_0\cup T_1, \\ \text{где }\ T_1:= \{y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\mid y_4\geqslant 1\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Покажем, что N является солнцем в симметричном пространстве (Y,\|\cdot\|). Для произвольных точки y\in Y и числа r>0 рассмотрим шар V(y,r):=y+rV. Рассмотрим случай, когда шар V(y,r) является опорным к N в некоторой точке z\in N_0 и лежит в полупространстве T:=\{y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\mid y_4\leqslant 0\} с границей \Gamma_0. Пусть H^k_v – гомотетия пространства Y с центром v и коэффициентом k. Тогда шар V(z+k(y-z),kr)=H^k_z(V(y,r)) также лежит в полупространстве T, при этом \Gamma_0\cap N=M. Таким образом, шар V(z+k(y-z),kr)=H^k_z(V(y,r)) пересекается с N только по верхней грани, представляющей собой гомотетию верхней грани шара V(y,r), равной H^k_{z}(y_0+rB), y_0=(y_1,y_2,y_3,0), и поэтому шар V(z+k(y-z),kr) является опорным к N в точке z для всех k>1. Пусть теперь шар V(y,r) является опорным к N в некоторой точке z= t_0 e+ (m-t_0 b)\in t_0 e+ (M-t_0 B), где t_0\in (0,1], m\in M, b\in B. В этом случае точка z принадлежит отрезку [m,m+e-b]\subset N_0, который параллелен \ell=\{2e+u(b-e)\mid u\geqslant 0\} – одному из лучей, составляющих границу конуса K. Как мы уже отмечали, шар V содержится в усеченном конусе K_0:=K\cap (e+T), следовательно, шар V(y,r) содержится в усеченном конусе y+rK_0. При этом верхняя крышка усеченного конуса y+rK_0 является верхней крышкой шара V(y,r), т.е. является множеством y+rB_1=rB+ y+re, а все остальные точки шара V(y,r) лежат во внутренности усеченного конуса y+rK_0. Отсюда следует, что точка z принадлежит относительной границе верхней крышке y+rB_1, а следовательно, ее относительная внутренность не пересекается с M+t_0(-B)+t_0e. Пусть \Gamma_t=\Gamma_0\,{+}\,te=\Gamma_0\,{+}\,t(e\,{-}\,b) (t\in [0,t_0]). Сечение гиперплоскостью \Gamma_t усеченного конуса y\,{+}\,rK_0 равно множеству B_t:=(r+t_0-t)B+(t-t_0)e+ y+re. Пересечение относительной внутренности множества (r\,{+}\,t\,{-}\,t_0)B\,{+}\,(t\,{-}\,t_0)e\,{+}\, y\,{+}\,re с множеством M+t (-B)+t e=\Gamma_t\cap N_0 равносильно тому, что 0 принадлежит относительной внутренности M+t (-B)+t e-((r+t_0-t)B+(t-t_0)e+ y+re)=M+t_0(-B)+t_0e-(rB+ y+re), а это утверждение равносильно, что множество M+t_0(-B)+t_0e пересекается с относительной внутренностью множества y+rB_1=rB+ y+re, чего не может быть. Поэтому усеченный конус y+rK_0 не пересекаются своей внутренностью с множеством N_0, а следовательно, является опорным к множеству N_0 во всех точках отрезка [m,z]. Для всех k\geqslant 1 пересечение H^k_z(y+rK_0) с гиперплоскостью \Gamma_t содержится в пересечении H^k_{m+t(e-b)}(y+rK_0) с гиперплоскостью \Gamma_t, которое равно множеству H^k_{m+t(e-b)}(B_t) и представляет собой гомотетичное раздутие несимметричного шара B_t=(r+t_0-t)B+ y+re\ni m+t(e-b), опорного к солнцу M+t (-B)+t e в гиперплоскости \Gamma_t в точке m+t(e-b). Поэтому шары H^k_{m+t(e-b)}(B_t) не пересекаются своей относительной внутренностью с множеством M+t (-B)+t e для всех k\geqslant 1. Отсюда H^k_z(y+rK_0) – опорное множество к N_0 для всех k\geqslant 1. Учитывая, что H^k_z(y+rK_0)\supset H^k_z(V(y,r)) для всех k\geqslant 1, мы получим, что точка z является точкой светимости N_0 и N для точки y. Пусть теперь шар является опорным к полупространству T_1 и не пересекается с множеством N_0. Тогда шар V(y,r) является опорным к полупространству T_1 в центре своей верхней грани z_1\in rB+y. Раздуем шар V(y,r) относительно точки z_1 так, чтобы он коснулся множества N_0 своей верхней гранью в некоторой точке z_0. Пусть это раздутие шара V(y,r) есть шар V(y_1,r_1). Как было показано раньше, H^k_{z_0}(V(y_1,r_1)) – опорный шар к N_0 для всех k\geqslant 1. Кроме того, H^k_{z_0}(V(y_1,r_1))\supset H^k_{z }(V(y,r)) для всех k\geqslant 1, где z – точка относительной границы грани rB_1+y, которая при вышеуказанном раздутии шара V(y,r) перешла в точку z_0. Таким образом, H^k_{z }(V(y,r)) является опорным шаром к множеству N в точке z для всех k\geqslant 1, т.е. точка z является точкой светимости множества N для точки y. Из всего вышеизложенного вытекает, что множество N является солнцем в симметричном полиэдральном пространстве (Y,\|\cdot\|). Теорема 6. Солнце N, построенное выше, в четырехмерном симметричном полиэдральном пространстве (Y,\|\cdot\|) не является B-связным, так как множество ближайших для точки -e=(0,0,0,-1) – это множество M, состоящее из двух непересекающихся отрезков. Отметим следующие свойства шаров несимметричных полиэдральных пространств. Во-первых, шары B(x,R) представляют собой сдвинутые на вектор x гомотетичные раздутия в R раз шара-многогранника B(0,1). Во-вторых, для любых числа a>0, прямой \ell\ni 0, шара B(x,R) и точки y\in B(x,R) таких, что прямая \ell_y:=\ell+y пересекает шар B(x,R) по отрезку длины >a, найдется такое число \varepsilon>0, что для всех y',z\in X, r: \|y-y'|,\|z-x|,|R-r|<\varepsilon, y'\in B(z,r), прямая \ell_{y'} пересекает шар B(z,r) по отрезку длины >a. Поскольку мы выяснили, что солнце в трехмерном полиэдральном несимметричном пространстве может быть несвязным множеством, а для симметричного полиэдрального пространства солнце может иметь несвязное множество ближайших уже в четырехмерном пространстве, то возникает вопрос: насколько плохо в смысле связности может быть множество P_Mx для некоторых x\in X, где X – конечномерное полиэдральное пространство, M\subset X – солнце. Следующее утверждение показывает, что совсем плохого случая не может быть, точнее, одноточечной компоненты P_Mx не должно существовать. Теорема 7. Для любого солнца M в несимметричном конечномерном полиэдральном пространстве X и для любого x\in X несвязное множество P_Mx не может иметь одноточечную компоненту связности. Доказательство. Докажем методом от противного. Предположим, что найдется такая точка x\in X, что P_Mx несвязно и P_Mx=N\cup \{y\}, где \varrho(y,N)=b>0. В этом случае для всех точек z\in N отрезок [z,y] содержится в шаре B(x,\varrho(x,M)) и имеет длину \geqslant b. Найдется число k>0 такое, что гомотетия H^k_y(B(x,))= B(y+k(x-y),k\varrho(x,M)) шара B(x,\varrho(x,M)) пересекается с множеством M только по точке y, которая в этом случае является единственной точкой светимости для точки x_0=y+k(x-y). Отрезки [y+k(z-y),y]\subset B(y+k(x-y),k\varrho(x,M)) для всех точек z\in N имеют длину > kb/2=:a. Возьмем произвольную точку z\in N и прямую \ell:= \{\lambda(z-y)\mid \lambda \in \mathbb{R}\} и R=k\varrho(x,M), тогда в силу замечания перед теоремой найдется такое число \varepsilon\in (0,a/2), что для всех y',w\in X, r: \|y-y'|,\|w-x_0|,|R-r|<\varepsilon, y'\in B(w,r) прямая \ell_{y'}:=\ell+y' пересекает шар B(w,r) по отрезку длины >a. Рассмотрим точку \omega\in [x_0,(y+z)/2]\cap O_\varepsilon(x_0), столь близкую к x_0, что \varrho(\omega,M)> \|(y+z)/2 -x_0| и все ближайшие y' в M для точки \omega лежат в \varepsilon-окрестности точки y по отрезку длины >a. Среди ближайших точек для \omega найдется точка светимости y'\in M. Поскольку шар B(\omega,\varrho(\omega,M)) содержит точку (y+z)/2 как внутреннюю и прямая \ell_{y'}=\ell+y' пересекает этот шар по отрезку длины > a, то опорный к M (так как y' – точка светимости) конус \bigcup_{\mu\geqslant 0}H^\mu_{y'}(B(\omega,\varrho(\omega,M))) содержит точку z внутри себя, чего не может быть. Это противоречие доказывает теорему.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa22}
Эта публикация цитируется в следующих 7 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|