| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Об одном классе квазилинейных уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями В. Н. Павленкоa, Д. К. Потаповb a Челябинский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9175e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение, постановка задачи и формулировка основных результатовВ ограниченной области Ω⊂Rn класса C1,1 (см. [1]) рассматривается краевая задача с однородным граничным условием Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с неотрицательным параметром λ и разрывной нелинейностью g(x,u) следующего вида:
Предполагается, что для коэффициентов дифференциального оператора L выполнены следующие условия: (i1) aij(x,t)=aji(x,t) на ¯Ω×R, и существует невозрастающая положительная на R+ функция χ(t) такая, что для любых (x,t)∈¯Ω×R справедливо неравенство (i2) функции aij(x,t) и a(x,t) непрерывно дифференцируемые на ¯Ω×R, а bi(x,t,η) непрерывно дифференцируемые на ¯Ω×R×Rn, причем a(x,t)⩾0 на ¯Ω×R. Нелинейность g(x,t) удовлетворяет условиям: (g1) g(x,t) борелева (mod0) на Ω×R [2], т. е. она отлична от некоторой борелевой на Ω×R функции лишь на множестве ω⊂Ω×R, проекция которого на Ω имеет меру нуль; (g2) существуют неубывающая на R+ положительная функция ψ(t) и функция d(x) из пространства Lp(Ω) (p>n) такие, что для почти всех x∈Ω верно (g3) для некоторой положительной на Ω функции β(x) справедливо неравенство g(x,t)⩾β(x) на Ω×R. Заметим, что из условия (g1) следует суперпозиционная измеримость g(x,t) на Ω×R [2], т. е. для любой измеримой на Ω функции u(x) композиция g(x,u(x)) измерима на Ω. Если суперпозиционно измеримая на Ω×R функция g(x,u) монотонная по u на R, то она борелева (mod0) [2]. Каратеодориева на Ω×R функция g(x,u) (измеримая по x для любого u∈R и непрерывная по u для почти всех x∈Ω) также борелева (mod0) [2], хотя она может не быть борелевой на Ω×R. В дальнейшем понадобится также условие: (g4) существует множество ω⊂Ω нулевой меры Лебега такое, что множество имеет меру нуль, и a(x,t)≡0 на ¯Ω×R.Здесь и далее g−(x,u)=lim inf, g_+(x,u)=\limsup_{\eta\to u}g(x,\eta) для функции g\colon \Omega\times\mathbb R\to\mathbb R, у которой сечение g(x,{\cdot}\,) – локально ограниченная функция для почти всех x\in\Omega. Исследуется структура множества решений задачи (1.1), (1.2). При этом под решением задачи (1.1), (1.2) понимаем упорядоченную пару (\lambda,u), где \lambda\geqslant 0, а u\in W_p^2(\Omega), p>n, в определенном смысле удовлетворяет уравнению (1.1) и имеет нулевой след на границе \partial\Omega. Множество решений задачи (1.1), (1.2) рассматривается в прямом произведении \mathbb R и S, где S – функциональное банахово пространство, непрерывно вложенное в W_p^1(\Omega), и в которое компактно вложено пространство W_q^2(\Omega) (p\geqslant q >n, q\geqslant 2). В данной работе S=C^{1,\alpha}(\overline\Omega), 0<\alpha<(p-n)/p. Определение 1. Обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) называется пара (\lambda,u) такая, что для почти всех x\in\Omega функция u(x) удовлетворяет включению Lu(x)\in \lambda[g_-(x,u(x)),\,g_+(x,u(x))] и граничному условию (1.2). Мотивировкой изучения структуры множества обобщенных решений класса задач типа (1.1), (1.2) явилось вхождение в этот класс известной задачи Х. Дж. Купера о нагреве проводника, помещенного в однородное электрическое поле интенсивности \sqrt\lambda (см. [3]). В задаче Купера дифференциальный оператор в левой части уравнения (1.1) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\sum_{i=1}^n(k(x,u(x))u_{x_i})_{x_i} &= -\sum_{i=1}^nk(x,u(x))u_{x_ix_i} \\ &\qquad- \sum_{i=1}^n\bigl(k_{x_i}(x,u(x))+k_u(x,u(x))u_{x_i}\bigr)u_{x_i}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Здесь u(x) – температура проводника в точке x\in\Omega, k(x,u(x)) – коэффициент теплопроводности. Роль нелинейности g(x,u) в задаче Купера играет удельная электропроводность, которая при определенных температурах может меняться скачкообразно, например, при рекристаллизации. В данной статье топологическим методом доказывается существование в множестве обобщенных решений U задачи (1.1), (1.2) связной, замкнутой и неограниченной компоненты в банаховом пространстве \mathbb R\times S, содержащей (0,0). Проекция этой компоненты на \mathbb R – связное множество, поэтому это либо полуинтервал, возможно, [0,\infty), либо отрезок с левым концом нуль. Для задачи Купера это означает, что если квадрат интенсивности электрического поля, в которое помещен проводник, принадлежит этой проекции, то существует стационарное распределение температуры. Заметим, что при сделанных предположениях, в силу принципа максимума, для всякого обобщенного решения (\lambda,u) с \lambda>0 задачи (1.1), (1.2) функция u(x) положительная почти всюду на \Omega. Связную, замкнутую и неограниченную компоненту множества обобщенных решений U в пространстве \mathbb R\times S, содержащую (0,0), называют континуумом обобщенных положительных решений, соединяющим (0,0) и \infty, в пространстве \mathbb R\times S. Рассмотрим еще два определения решения задачи (1.1), (1.2) – сильное и полуправильное. Определение 2. Сильным решением задачи (1.1), (1.2) называется пара (\lambda,u), где функция u(x)\in W_p^2(\Omega)\cap\mathring{W}^1_p(\Omega) (p>n) удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на \Omega. Определение 3. Полуправильным решением задачи (1.1), (1.2) называется такое сильное решение (\lambda,u) этой задачи, что множество x\in\Omega, для которых u(x) – точка разрыва функции g(x,{\cdot}\,), имеет меру нуль. Если для почти всех x\in\Omega справедливо включение
\begin{equation}
g(x,t)\in [g_-(x,t),\,g_+(x,t)]\quad \forall\, t\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{1.3}
то сильное решение является и обобщенным. Полуправильное решение задачи (1.1), (1.2) будет и обобщенным решением этой задачи. Понятие полуправильного решения было введено М. А. Красносельским и А. В. Покровским в [4]. Укажем на последние работы авторов [5]–[16], где рассматривалась проблема существования обобщенных, сильных и полуправильных решений задачи (1.1), (1.2) с дифференциальным оператором L, линейно зависящим от u. Исследуемый в данной статье квазилинейный случай требует иных подходов к изучению задачи (1.1), (1.2). В [17] Х. Дж. Купер рассматривал задачу (1.1), (1.2) с дифференциальным оператором в дивергентной форме и a(x,u)\leqslant 0 на \Omega\times\mathbb R. От нелинейности g(x,u) Купер требовал выполнения следующих условий: (a1) g(x,u)=g_0(x,u)+\psi_1(x,u)-\psi_2(x,u), где g_0(x,u) каратеодориева на \Omega\times\mathbb R функция, функции \psi_j(x,u) (j=1,2) непрерывны по x на \Omega при каждом u\in\mathbb R и неубывающие по u на \mathbb R для всех x\in\Omega; (a2) для функции g_0(x,u) из условия (a1) верна оценка
\begin{equation*}
|g_0(x,u)|\leqslant d(x)+\psi(|u|)\quad\forall\, (x,u)\in\Omega\times\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
где d(x)\in L_p(\Omega) (p>n), \psi(t) – неубывающая функция на \mathbb R_+; (a3) для некоторой положительной на \Omega функции \beta(x) справедливо неравенство
\begin{equation*}
g(x,t)\geqslant\beta(x)\quad\forall\, (x,t)\in\Omega\times\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
Из условия (a1) следует, что множество точек разрыва g(x,u) по фазовой переменной u не более чем счетно, т. е. не более чем счетно множество
\begin{equation*}
D=\{t\in\mathbb R\colon \text {существует } x\in\Omega \text { такое, что } g_-(x,t)\neq g_+(x,t)\}
\end{equation*}
\notag
(см. [17]). Если в условии (a1) отказаться от непрерывности \psi_j(x,t) по x, заменив ее на измеримость по x на \Omega, то множество D может быть несчетным. Пример 1. Определим функцию f\colon [0,1]\times\mathbb R\to\mathbb R следующим образом:
\begin{equation*}
f(x,t)=\begin{cases} 2, &\text{если }x<t, \\ 1, &\text{если }x\geqslant t. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тогда f – измеримая по x и неубывающая по t. Множество D точек разрыва f(x,t) по фазовой переменной t равно [0,1], и оно несчетно. Поскольку для любого x\in [0,1] функция f(x,{\cdot}\,) непрерывна слева на \mathbb R, то она суперпозиционно измеримая [18]. Отсюда из монотонности по t следует, что она борелева (\operatorname{mod} 0) на [0,1]\times\mathbb R (см. [2]). Заметим, что функция f(x,t), измеримая по x и неубывающая по t, может не быть суперпозиционно измеримой. Пример 2. Пусть функция f(x,t) задана на [0,1]\times\mathbb R следующим образом:
\begin{equation*}
f(x,t)= \begin{cases} 1, &\text{если } x\in [0,1],\, t<1, \\ 2, &\text{если } x\in [0,1],\, t>1, \\ 1, &\text{если } x\in A,\, t=1, \\ 2, &\text{если } x\in [0,1]\setminus A,\, t=1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
где A – неизмеримое подмножество [0,1]. Тогда f(x,t) не является суперпозиционно измеримой на [0,1]\times\mathbb R, так как композиция f(x,t(x)), где t(x)\equiv 1 на [0,1], неизмеримая на [0,1] функция (она равна 1 при x\in A и 2 при x\in [0,1]\setminus A). Отметим, что в примере 2 функции f_-(x,t) и f_+(x,t) суперпозиционно измеримы, поскольку при любом x\in [0,1] функция f_-(x,{\cdot}\,) (f_+(x,{\cdot}\,)) непрерывна слева (справа) на \mathbb R и для любого u\in\mathbb R функция f_-(x,u) (f_+(x,u)) измерима по x на \Omega [18]. В [17] доказана теорема существования континуума положительных решений задачи (1.1), (1.2) в пространстве \mathbb R\times S, соединяющего (0,0) и \infty. Для доказательства Купер использовал специальную аппроксимацию разрывной нелинейности g(x,u) непрерывными нелинейностями на \Omega\times\mathbb R. Для аппроксимирующих задач установлено существование континуума положительных решений, соединяющего (0,0) и \infty, с помощью теоремы Красносельского [19; теорема 5.5]. Затем предельным переходом получено существование континуума положительных решений для исходной задачи. В работе [20] К.-Ч. Чанг к задаче (1.1), (1.2) с оператором L в дивергентной форме применил топологический метод. Относительно правой части уравнения (1.1) у него те же предположения (a1)–(a3), что и у Купера. В отличие от Купера у Чанга a(x,u)\geqslant 0 на \Omega\times\mathbb R. Заметим, что для Купера условие a(x,u)\leqslant 0 на \Omega\times\mathbb R существенно, и он дополнительно требует от дифференциального оператора L коэрцитивности (см. [17; условие L-2]). В [20] Чанг формулирует теорему о существовании континуума положительных решений задачи (1.1), (1.2), соединяющего (0,0) и \infty, в \mathbb R\times W_p^1(\Omega), p>n, для более общего вида чем в уравнении (1.1) квазилинейного оператора L эллиптического типа в дивергентной форме. Существование континуума обобщенных положительных решений задачи (1.1), (1.2), соединяющего (0,0) с \infty, в пространстве W_p^1(\Omega), утверждает Чанг, следует из [20; теорема 2.12]. Однако проверка выполнения условий этой теоремы в работе отсутствует. Приведем формулировки основных результатов данной работы. Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) область \Omega\subset\mathbb R^n класса C^{1,1}; 2) коэффициенты дифференциального оператора L удовлетворяют условиям (i1), (i2); 3) для нелинейности g(x,t) выполнены условия (g1)–(g3) и для почти всех x\in\Omega справедливо включение (1.3). Тогда задача (1.1), (1.2) имеет континуум обобщенных положительных решений, соединяющий (0,0) и \infty, в пространстве \mathbb R\times C^{1,\alpha}(\overline\Omega), 0<\alpha<(p-n)/p, p>n. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно выполнено условие (g4). Тогда все обобщенные решения задачи (1.1), (1.2) являются полуправильными. Доказательство теоремы 1 сводится к операторной постановке задачи (1.1), (1.2), а затем проверке выполнения условий теоремы 2.12 из [20]. Указано достаточное условие полуправильности обобщенных решений задачи (1.1), (1.2) (теорема 2). По сравнению с работами [17] и [20] ослаблены ограничения на нелинейность g(x,u) (условие (a1) заменено на более общее условие (g1)). В частности, множество точек разрыва g(x,u) по фазовой переменной u может быть несчетным (см. пример 1). § 2. Операторная постановка задачи (1.1), (1.2), вспомогательные результатыФиксируем p>n и \alpha\in (0,(p-n)/p). В этом случае соболевское пространство W_p^2(\Omega) компактно вложено в пространство Гёльдера C^{1,\alpha}(\overline\Omega) (см. [21]) с нормой
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u\| &=\sup_\Omega|u(x)|+\sup\Bigl\{\sup_\Omega|u_{x_j}|\colon j=1,\dots,n\Bigr\} \\ &\qquad+\sup\biggl\{\sup_{x,y\in\Omega,\, x\neq y} \frac{|u_{x_j}(x)-u_{x_j}(y)|}{|x-y|^\alpha}\colon j=1,\dots,n\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Норму в соболевском пространстве W_q^l(\Omega) (q\geqslant 1, l\in\mathbb N) обозначим \|\,{\cdot}\,\|_{q,l}, а в пространстве Лебега L_q(\Omega) (1\leqslant q\leqslant\infty) через \|\,{\cdot}\,\|_q. Для каждого u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega) определим на E=W_p^2(\Omega)\cap\mathring{W}^1_p(\Omega) дифференциальный оператор L(u) со значениями в L_p(\Omega) равенством
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L(u)v &\equiv-\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x,u(x))v_{x_ix_j} \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=1}^nb_i(x,u(x),\nabla u(x))v_{x_i}+a(x,u(x))v\quad \forall\, v\in E. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
Здесь функции a_{ij}(x,t), b_i(x,t,\eta) и a(x,t) те же, что и в уравнении (1.1), и они удовлетворяют условиям (i1), (i2). Поэтому оператор L(u) равномерно эллиптический на \Omega, его коэффициенты непрерывны на \overline\Omega и коэффициент при v неотрицателен на \Omega. Более того, коэффициенты a_{ij}(x,u(x)) непрерывно дифференцируемы на \overline\Omega. Отсюда следует (см. [1; лемма 9.17]), что существует постоянная M>0, независящая от v\in E, такая, что Отображение L(u)\colon E\to L_p(\Omega) биективно (см. [1; теорема 9.15]). Из оценки (2.2) следует, что обратный оператор L^{-1}(u), u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega), ограниченный (E берется с нормой W_p^2(\Omega)) как оператор из L_p(\Omega) в E. Далее будем рассматривать L^{-1}(u) как оператор, действующий из L_p(\Omega) в C^{1,\alpha}(\overline\Omega). В силу компактности вложения W_p^2(\Omega) в C^{1,\alpha}(\overline\Omega) (p>n, \alpha\in (0,(p-n)/p)) оператор L^{-1}(u) компактный. Имеет место следующая лемма. Лемма 1. Пусть выполнены условия (i1), (i2), и B(\theta,R) – шар в пространстве C^{1,\alpha}(\overline\Omega) радиуса R с центром в нуле \theta этого пространства. Тогда существует постоянная M>0, зависящая только от R, такая, что для произвольного u\in B(\theta,R) верна оценка (2.2). Доказательство. Из условий (i1), (i2) следует, что для каждого u\in B(\theta,R) существует постоянная C>0, независящая от v\in E, такая, что
\begin{equation}
\|v\|_{p,2}\leqslant C(\|L(u)v\|_p+\|v\|_p)\quad \forall\, v\in E.
\end{equation}
\tag{2.3}
Постоянная C зависит от \chi(\|u\|_\infty) (\chi(t) – функция из условия (i1)), \|da_{ij}(x,u(x))/dx_s\|_\infty, \|b_i(x,u(x),\nabla u(x))\|_\infty, \|a(x,u(x))\|_\infty и \mu(\|u\|_\infty), где \mu(r)=\max\bigl\{\max\{|a_{ij}(x,t)|\colon x\in\overline\Omega,\, |t|\leqslant r\},\ i,j=1,\dots,n\bigr\} [22; с. 233]. Константу C можно выбрать неубывающей от перечисленных выше величин. На шаре B(\theta,R) величины \chi(\|u\|_\infty), \|da_{ij}(x,u)/dx_s\|_\infty, \|b_i(x,u,\nabla u)\|_\infty, \|a(x,u)\|_\infty и \mu(\|u\|_\infty) ограничены. Поскольку C монотонно зависит от этих величин и они ограничены, то можно указать значение C равное C_1, которое годится для всех u\in B(\theta,R).
Получим оценку для \|v\|_p через \|L(u)v\|_p для произвольного v\in E, справедливую для всех u\in B(\theta,R). В начале оценим \sup_\Omega|v(x)|. Запишем v(x) в виде v(x)=v^+(x)+v^-(x), где v^+(x)=\max\{v(x),0\}, v^-(x)=\min\{v(x),0\}. Тогда (-v(x))^+=-v^-(x), |v(x)|=v^+(x)+(-v)^+(x), \sup_\Omega v^+(x)=\sup_\Omega v(x) и \sup_\Omega (-v)^+(x)=\sup_\Omega (-v(x)). Для оператора L(u) через D обозначим определитель матрицы A(x,u) с элементами a_{ij}(x,u(x)), а через D^*=D^{1/n} – среднее геометрическое собственных значений матрицы A(x,u) (в силу условия (i1) матрица A – положительно определенная). Заметим, что D^*\in [\lambda_{\min},\lambda_{\max}], где \lambda_{\min}, \lambda_{\max} – наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы A(x,u) соответственно. Пусть L(u)v=f, u\in B(\theta,R), v\in E, и, значит, v=L^{-1}(u)f. Согласно слабому принципу максимума Александрова (см. [1; теорема 9.1])
\begin{equation*}
\sup_\Omega v(x)\leqslant\sup_{\partial\Omega} v^+(x)+C_2\|f/D^*\|_n,
\end{equation*}
\notag
где постоянная C_2 зависит только от n, \operatorname{diam}\Omega и \|b_j(x,u(x),\nabla u(x))/D^*\|_n, j=1,\dots,n, монотонно. В силу условия (i1) найдется постоянная \alpha>0 такая, что \lambda_{\min}>\alpha для всех u\in B(\theta,R). Отсюда и из ограниченности \|b_j(x,u(x),\nabla u(x))\|_n, j=1,\dots,n, на B(\theta,R) следует, что постоянную C_2/D^* можно выбрать независящей от u\in B(\theta,R). В результате с учетом того, что v(x)=0 на \partial\Omega, заключаем о существовании постоянной C_3, независящей от u\in B(\theta,R), для которой \sup_\Omega v^+(x)=\sup_\Omega v(x)\leqslant C_3\|L(u)v\|_n для любого v\in E и u\in B(\theta,R). Аналогично, заменяя v на -v, и учитывая, что L(u)(-v)=-f, получаем оценку \sup_\Omega (-v^-(x))=\sup_\Omega (-v(x))\leqslant C_4\|L(u)v\|_n для любого v\in E и u\in B(\theta,R). Здесь постоянная C_4 не зависит от выбора u\in B(\theta,R). Таким образом,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_\Omega |v(x)| &=\sup_\Omega (v^+(x)+(-v^-(x))) \nonumber \\ &\leqslant \sup_\Omega v^+(x)+\sup_\Omega (-v^-(x)) \le (C_3+C_4)\|L(u)v\|_n \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
для любого v\in E и u\in B(\theta,R). Поскольку p>n, то L_p(\Omega) непрерывно вложено в L_n(\Omega). Пространство L_\infty(\Omega) непрерывно вложено в L_p(\Omega). Отсюда из оценки (2.4) следует существование постоянной C_5, независящей от u\in B(\theta,R), такой, что \|v\|_p\leqslant C_5 \|L(u)v\|_p для любого v\in E и произвольного u\in B(\theta,R). Последняя оценка вместе с неравенством (2.3), в котором C заменена на C_1, влечет (2.2) для произвольного u\in B(\theta,R) с константой M=C_1(1+C_5), независящей от u\in B(\theta,R). Лемма 1 доказана. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 3) теоремы 1. Сопоставим ей многозначное отображение G из C^{1,\alpha}(\overline\Omega) в L_p(\Omega), положив для любого u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega)
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(u) &=\{z\colon \Omega\to\mathbb R\colon z \text { - измеримая на } \Omega, \text{ и } \nonumber \\ &\qquad z(x)\in [g_-(x,u(x)),\,g_+(x,u(x))] \text { почти всюду на } \Omega\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
В дальнейшем понадобятся два факта. Предложение 1 (см. [23; лемма]). Пусть T\colon E_1\to E_2 – локально ограниченное отображение на банаховом пространстве E_1, и банахово пространство E_2 рефлексивно. Тогда овыпукливание
\begin{equation*}
T^\Box u:=\bigcap_{\varepsilon>0}\operatorname{\overline{co}}\{y=Tv\colon \|v-u\|_{E_1}<\varepsilon\}
\end{equation*}
\notag
оператора T слабо-сильно замкнуто, т. е. из u_n\to u, y_n\in T^\Box u_n, y_n\rightharpoonup y следует, что y\in T^\Box u (\operatorname{\overline{co}}V – замкнутая выпуклая оболочка множества V в E_2, \rightharpoonup означает слабую сходимость). Предложение 2 (см. [2; теорема 27.1]). Пусть функция f(x,t) борелева (\operatorname{mod} 0) на \Omega\times\mathbb R (\Omega – ограниченная область в \mathbb R^n), и для почти всех x\in\Omega верна оценка
\begin{equation*}
|f(x,t)|\leqslant a(x)+b|t|^{q/s}\quad \forall\, t\in\mathbb R,
\end{equation*}
\notag
где a(x)\in L_s(\Omega), b – положительная константа, s\geqslant 1, q\geqslant 1. Отображение F(u)=f(x,u(x)) понимается как отображение из L_q(\Omega) в L_s(\Omega). Для функции f(x,{\cdot}\,)\colon \mathbb R\to\mathbb R (x\in\Omega) через f_t^\Box обозначим ее овыпукливание,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_t^\Box(u) &=\{z\colon \Omega\to\mathbb R\colon z(x) \textit { - измеримая функция на } \Omega, \textit { и} \\ &\qquad\qquad z(x)\in f_t^\Box(x,u(x))\textit { почти всюду на } \Omega \}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Тогда значения F_t^\Box и F^\Box лежат в L_s(\Omega) и F_t^\Box=F^\Box на L_q(\Omega). Справедлива следующая лемма. Лемма 2. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 3) теоремы 1, и G – многозначное отображение, заданное на C^{1,\alpha}(\overline\Omega) равенством (2.5). Тогда 1) значения G лежат в L_p(\Omega), и G ограниченные множества в C^{1,\alpha}(\overline\Omega) переводит в ограниченные в L_p(\Omega); 2) значения G – выпуклые и замкнутые множества в L_p(\Omega); 3) отображение G слабо-сильно замкнуто, т. е. если u_n\to u в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), y_n\in G(u_n) и y_n\rightharpoonup y, то y\in G(u). Доказательство. В силу условия (g2) значение G(u)\subset L_p(\Omega) для любого u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega) и, если U – ограниченное множество в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), то G(U):=\bigcup_{u\in U}G(u) – ограниченное множество в L_p(\Omega). Согласно условию 3) теоремы 1 g(x,u(x))\in G(u) для любого u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Заключение 1) доказано.
Докажем 2). Пусть u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega), y_1, y_2\in G(u). Тогда для почти всех x\in\Omega, j=1,2. Поэтому для любого t\in [0,1] имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (1-t)y_1(x)+ty_2(x)\geqslant (1-t)g_-(x,u(x))+tg_-(x,u(x))=g_-(x,u(x)), \\ (1-t)y_1(x)+ty_2(x)\leqslant (1-t)g_+(x,u(x))+tg_+(x,u(x))=g_+(x,u(x)) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
почти всюду на \Omega, т. е. для любого t\in [0,1] Выпуклость G(u) установлена.
Пусть теперь (y_n)\subset G(u) и y_n\to y в L_p(\Omega). Существует подпоследовательность (y_{n_k}) последовательности (y_n) такая, что y_{n_k}(x)\to y(x) почти всюду на \Omega. Поскольку y_{n_k}\in G(u), то g_-(x,u(x))\leqslant y_{n_k}(x)\leqslant g_+(x,u(x)) почти всюду на \Omega. Переходя к пределу при k\to\infty, получим g_-(x,u(x))\leqslant y(x)\leqslant g_+(x,u(x)) почти всюду на \Omega, т. е. y\in G(u). Замкнутость G(u) доказана. Перейдем к доказательству заключения 3) леммы 2. Пусть (u_n)\subset C^{1,\alpha}(\overline\Omega), u_n\to u в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), y_n\in G(u_n), и y_n\rightharpoonup y в L_p(\Omega). Заметим, что g_t^\Box(x,t)=[g_-(x,t),g_+(x,t)]. Поэтому G(v)=G_t^\Box(v) для произвольного v\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Существует постоянная c>0 такая, что для любого n\in\mathbb N имеем |u_n(x)|\leqslant c для любого x\in\overline\Omega и |u(x)|\leqslant c для любого x\in\overline\Omega, поскольку u_n\to u в C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Определим функцию \widehat{g}(x,t) на \Omega\times\mathbb R следующим образом: \widehat{g}(x,t)=g(x,t) при (x,t)\in\Omega\times [-c-\varepsilon,c+\varepsilon] (\varepsilon>0 фиксировано), \widehat{g}(x,t)=g(x,-c-\varepsilon), если x\in\Omega, t<-c-\varepsilon, и \widehat{g}(x,t)=g(x,c+\varepsilon), если x\in\Omega, t>c+\varepsilon. Тогда \widehat{g}(x,t) борелева (\operatorname{mod} 0) на \Omega\times\mathbb R, и в силу оценки из условия (g2) имеем на \Omega\times\mathbb R, где d(x)\in L_p(\Omega). Следовательно, для f(x,t)=\widehat{g}(x,t) выполнены условия предложения 2 с s=p и q\geqslant 1. Из чего заключаем, что овыпукливание оператора F(v)=\widehat{g}(x,v(x)), v\in L_p(\Omega), совпадает с F_t^\Box(v) с f(x,t)=\widehat{g}(x,t). В силу предложения 1 отображение F_t^\Box слабо-сильно замкнуто как многозначное отображение из L_q(\Omega) в L_p(\Omega). Так как из сходимости (u_n) в C^{1,\alpha}(\overline\Omega) к u(x) следует сходимость (u_n) к u(x) в L_q(\Omega) и y_n\in G(u_n)=F_t^\Box(u_n), y_n\rightharpoonup y в L_p(\Omega), то y\in F_t^\Box(u)=G(u). Заключение 3) леммы 2 доказано. Лемма 2 доказана.Имеет место следующая лемма. Лемма 3. Пусть для коэффициентов дифференциального оператора L в уравнении (1.1) выполнены условия (i1), (i2), p>n, \alpha\in (0,(p-n)/p), u_0\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega) и r>0. Тогда существует постоянная K>0 такая, что для любого u из шара B(u_0,r) в пространстве C^{1,\alpha}(\overline\Omega) и v\in W_p^2(\Omega) верно неравенство где \|\,{\cdot}\,\| – норма в C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Доказательство. Пусть u\in B(u_0,r), v\in W_p^2(\Omega). Оценим поточечно на \Omega функцию B(x)=|(L(u(x))-L(u_0(x)))v(x)|. Имеем для почти всех x\in\Omega
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B(x) &\leqslant\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}(x,u(x))-a_{ij}(x,u_0(x))|\cdot|v_{x_ix_j}(x)| \\ &\qquad+\sum_{i=1}^n|b_i(x,u(x),\nabla u(x))-b_i(x,u_0(x),\nabla u_0(x))|\cdot|v_{x_i}(x)| \\ &\qquad+|a(x,u(x))-a(x,u_0(x))|\cdot|v(x)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда, применяя формулу Лагранжа, получим для почти всех x\in\Omega
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &B(x) \leqslant\sum_{i,j=1}^n \bigl|a_{{ij}_t}\bigl(x,u_0(x)+\theta_{ij}(u(x)-u_0(x))\bigr)\bigr| \cdot|u(x)-u_0(x)|\cdot|v_{x_ix_j}(x)| \nonumber \\ &+ \sum_{i=1}^n\biggl(\sum_{s=1}^n\bigl|b_{i_{\eta_s}}\bigl(x,u_0(x)+\theta_i(u(x)-u_0(x)),\, \nabla u_0(x)+\theta_i\nabla (u-u_0)(x)\bigr)\bigr| \nonumber \\ &\ \times |u_{x_s}(x)\,{-}\,u_{0_{x_s}}(x)| \,{+}\, \bigl|b_{i_t}\bigl(x,u_0(x)\,{+}\,\theta_i(u(x)\,{-}\,u_0(x)),\, \nabla u_0(x)\,{+}\,\theta_i\nabla (u\,{-}\,u_0)(x)\bigr)\bigr| \nonumber \\ &\ \times |u(x)-u_0(x)|\biggr)\cdot |v_{x_i}(x)| \nonumber \\ &+ \bigl|a_t\bigl(x,u_0(x)+\theta_0(u(x)-u_0(x))\bigr)\bigr|\cdot|u(x)-u_0(x)|\cdot|v(x)|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
где \theta_{ij}(x), \theta_i(x) и \theta_0(x) из интервала (0,1). Для любого u\in B(u_0,r) имеем \|u\|\leqslant r+\|u_0\| в пространстве C^{1,\alpha}(\overline\Omega). По условию производные a_{{ij}_t}(x,t), a_t(x,t) непрерывны на \overline\Omega\times\mathbb R, а b_{i_{\eta_s}}(x,t,\eta) и b_{i_t}(x,t,\eta) непрерывны на \overline\Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^n. Поэтому они ограничены на ограниченных подмножествах множеств \overline\Omega\times\mathbb R и \overline\Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^n соответственно. Из чего заключаем о существовании постоянной K_1>0, ограничивающей значения производных коэффициентов оператора L из уравнения (1.1) в неравенстве (2.7) для почти всех x\in\Omega и любого u\in B(u_0,r). Отсюда в силу неравенства (2.7) получим оценку
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B(x) &\leqslant K_1\|u-u_0\|\sum_{i,j=1}^n|v_{x_ix_j}(x)| \\ &\qquad+K_1\|u-u_0\|\cdot \sum_{i=1}^n\sum_{s=1}^{n+1}1\cdot|v_{x_i}(x)| +K_1\|u-u_0\|\cdot|v(x)| \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
почти всюду на \Omega, любого u\in B(u_0,r) и v\in W_p^2(\Omega). Из чего следует
\begin{equation*}
\|B\|_p\leqslant K_1(n^2+n(n+1)+1)\cdot\|u-u_0\|\cdot\|v\|_{p,2}
\end{equation*}
\notag
для любого u\in B(u_0,r) и v\in W_p^2(\Omega). Таким образом, установлено (2.6) с константой K=K_1(2n^2+n+1)>0. Лемма 3 доказана. Существование обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) в пространстве W_p^2(\Omega) (p>n) эквивалентно существованию решения у включения в пространстве C^{1,\alpha}(\overline\Omega), где оператор L^{-1}(u), u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega), определен выше, отображение G задается формулой (2.5), \lambda\geqslant 0.Положим для любого u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Тогда включение (2.8) примет вид u\in\lambda\Phi(u), где \lambda\geqslant 0.Справедлива следующая лемма. Лемма 4. Пусть выполнены условия 1)–3) теоремы 1. Тогда отображение \Phi, определенное формулой (2.9), обладает следующими свойствами: 1) образ любого ограниченного множества из C^{1,\alpha}(\overline\Omega) при отображении \Phi – предкомпактное множество в C^{1,\alpha}(\overline\Omega); 2) значения \Phi – выпуклые компакты в C^{1,\alpha}(\overline\Omega); 3) отображение \Phi полунепрерывно сверху на C^{1,\alpha}(\overline\Omega) [24], т. е. для любого u_0\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega) и произвольного открытого множества U\supset\Phi(u_0) найдется окрестность V точки u_0 такая, что \Phi(V)\subset U. Доказательство. Пусть A – ограниченное множество в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), т. е. найдется шар B(\theta,R), содержащий A (\theta – нуль пространства, R>0). В силу леммы 1 существует постоянная M>0 такая, что для любых u\in B(\theta,R) и v\in W_p^2(\Omega) верно неравенство (2.2).
Из заключения 1) леммы 2 следует ограниченность множества G(A) в L_p(\Omega), т. е. существование постоянной C>0 такой, что для любого z\in G(A) имеем \|z\|_p\leqslant C. Последнее влечет оценку \|L(u)v\|_p\leqslant C для любых u\in A и v\in\Phi(u). Отсюда и оценки (2.2) следует, что \|v\|_{p,2}\leqslant MC для любого v\in\Phi(A). Из чего заключаем о предкомпактности множества \Phi(A), поскольку вложение W_p^2(\Omega) в C^{1,\alpha}(\overline\Omega) компактно (p>n, 0<\alpha<(p-n)/p). Докажем, что значения \Phi – выпуклые компакты в C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Пусть u\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega). В силу леммы 2 множество G(u) ограниченное, выпуклое и замкнутое в L_p(\Omega). Поскольку при фиксированном u оператор L^{-1}(u) линейный и компактный из L_p(\Omega) в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), то множество \Phi(u)=L^{-1}(u)G(u) выпуклое и предкомпактное. Осталось доказать, что оно замкнутое. Пусть (v_n)\subset\Phi(u) и v_n\to v в C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Тогда v_n=L^{-1}y_n, где y_n\in G(u). Так как L_p(\Omega) рефлексивно, а множество G(u) ограниченное, то существует подпоследовательность (y_{n_k}), слабо сходящаяся к y. Поскольку ограниченное множество G(u) выпуклое и замкнутое, то y\in G(u). Из слабой сходимости (y_{n_k}) к y и компактности оператора L^{-1}(u) следует, что L^{-1}(u)y_{n_k}\to L^{-1}(u)y. Значит, v=L^{-1}(u)y\in\Phi(u). Замкнутость \Phi(u) установлена. Перейдем к доказательству заключения 3) леммы 4. Необходимо показать, что для любого u_0\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega) и произвольного числа \varepsilon>0 найдется число \delta>0 такое, что \Phi(B(u_0,\delta))\subset\Phi(u_0)+B(\theta,\varepsilon), \theta – нулевой элемент пространства C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Последнее включение означает, что для любых u\in B(u_0,\delta) и v\in\Phi(u) найдется v_0\in\Phi(u_0) такой, что \|v-v_0\|<\varepsilon. Фиксируем u_0\in C^{1,\alpha}(\overline\Omega) и \varepsilon>0. Согласно лемме 1 существует постоянная M>0 такая, что для произвольных u\in B(u_0,1) и v\in W_p^2(\Omega) верна оценка (2.2): Поскольку пространство W_p^2(\Omega) компактно вложено в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), то существует константа C>0 такая, что
\begin{equation}
\|v\|\leqslant C\|v\|_{p,2}\quad\forall\, v\in W_p^2(\Omega).
\end{equation}
\tag{2.10}
Известно [2], что отображение G как многозначная функция из C(\overline\Omega) в L_p(\Omega) полунепрерывно сверху. Поскольку пространство C^{1,\alpha}(\overline\Omega) компактно вложено в C(\overline\Omega), то G и как отображение из C^{1,\alpha}(\overline\Omega) в L_p(\Omega) будет полунепрерывно сверху. Поэтому по данному \varepsilon>0 найдется \delta_1>0 такое, что для любого u\in B(u_0,\delta_1) справедливо включение
\begin{equation}
G(u)\subset G(u_0)+B\biggl(\theta,\frac{\varepsilon}{2MC}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.11}
где M и C константы из неравенств (2.2) и (2.10) соответственно. Поскольку множество \Phi(u_0) ограниченное в W_p^2(\Omega), то найдется \delta_2>0 такое, что
\begin{equation}
\delta_2K\|w\|_{p,2}<\frac{\varepsilon}{2MC}\quad\forall\, w\in\Phi(u_0),
\end{equation}
\tag{2.12}
где константа K соответствует шару B(u_0,1) в неравенстве (2.6) (см. лемму 3).
Выберем \delta=\min\{1,\delta_1,\delta_2\}. Покажем, что \Phi(B(u_0,\delta))\subset\Phi(u_0)+B(\theta,\varepsilon). Пусть u\in B(u_0,\delta) и v\in\Phi(u). Тогда v=L^{-1}(u)y, где y\in G(u). В силу (2.11) найдется y_0\in G(u_0) такой, что \|y-y_0\|_p<\varepsilon/(2MC). Положим v_0=L^{-1}(u_0)y_0. Заметим, что v_0\in\Phi(u_0). Оценим \|v-v_0\|. В силу (2.2) и (2.10) имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|v-v_0\| &\leqslant C\|v-v_0\|_{p,2}\leqslant CM\|L(u)(v-v_0)\|_p \nonumber \\ &\le CM\bigl(\|(L(u)-L(u_0))v_0\|_p+\|L(u)v-L(u_0)v_0\|_p\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
Заметим, что L(u)v=y, L(u_0)v_0=y_0, и в силу леммы 3
\begin{equation*}
\|(L(u)-L(u_0))v_0\|_p\leqslant K\|u-u_0\|\cdot\|v_0\|_{p,2}\leqslant K\delta_2\|v_0\|_{p,2}<\frac{\varepsilon}{2MC}
\end{equation*}
\notag
(воспользовались неравенством (2.12)). Отсюда в силу (2.13) с учетом выбора y_0 получим
\begin{equation*}
\|v-v_0\|\leqslant CM\biggl(\frac{\varepsilon}{2MC} +\|y-y_0\|_p\biggr)<\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
На этом доказательство полунепрерывности сверху отображения \Phi завершается. Лемма 4 доказана. Пусть X, Y – банаховы пространства, S – метрическое пространство, \Gamma(Y) – множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств Y. Предположим, что отображение \varphi_1 \colon S\to \Gamma (Y) – компактное, т. е. оно полунепрерывно сверху на S, и \varphi_1(S) – предкомпактное множество в Y, \varphi_2 \colon Y\to X – однозначное непрерывное отображение. Тогда \varphi=\varphi_2\circ\varphi_1\colon S\to 2^X называется компактной последовательностью отображений первого типа (см. [20]). Имеет место следующая лемма. Лемма 5. Пусть выполнены условия 1)–3) теоремы 1. Тогда для любого открытого ограниченного множества A в пространстве C^{1,\alpha}(\overline\Omega) отображение \Phi, определенное формулой (2.9), есть компактная последовательность первого типа на \overline A. Доказательство. Положим X=Y=C^{1,\alpha}(\overline\Omega), S=\overline A с метрикой пространства C^{1,\alpha}(\overline\Omega), \varphi_1=\Phi\vert {}_{\overline A}, \varphi_2 – тождественное отображение в C^{1,\alpha}(\Omega). В силу леммы 4 отображение \varphi_1\colon S\to\Gamma (Y) – компактное, а \varphi_2\colon Y\to X – однозначное непрерывное отображение. Поскольку \Phi\vert {}_{\overline A}=\varphi_2\circ\varphi_1, то оно является компактной последовательностью первого типа на \overline A. Лемма 5 доказана. Доказательство утверждения теоремы 1 о существовании континуума обобщенных положительных решений, соединяющего (0,0) и \infty, сводится к проверке условий теоремы 2.12 из [20]. Приведем ее формулировку. Теорема 3. Пусть X, Y – вещественные банаховы пространства, и X полуупорядочено конусом P, \varphi=\varphi_2\circ\varphi_1\colon [0,R]\times \overline A\to \Gamma(Y)\to 2^P – компактная последовательность отображений первого типа для каждого R>0 и произвольного открытого ограниченного множества A\subset P. Предположим, что \varphi(0,\theta)=\theta (\theta – нуль пространства X) и \theta – единственная неподвижная точка отображения \varphi(0,{\cdot}\,). Кроме того, предположим, что существует \rho>0, для которого \nu x\notin\varphi(0,x) для любых x\in S_\rho^+=\{y\in P\colon \|y\|=\rho\} и \nu\geqslant 1. Тогда множество решений \Sigma=\{(\lambda,x)\in\mathbb{R}_+\times P\colon x\in\varphi(\lambda,x)\} содержит неограниченное связное и замкнутое подмножество, содержащее (0,\theta) (т. е. континуум положительных решений включения x\in\varphi(\lambda,x), соединяющий (0,\theta) и \infty). Теорему 3 можно рассматривать как аналог теоремы Лере–Шаудера для многозначных отображений. Теорема 3 доказывается с помощью теории степени, построенной Чангом в [20] для компактных последовательностей отображений. Ниже приведем ответ на вопрос, что помешало провести доказательство теоремы 1 по схеме Купера. На первом этапе доказательства основной теоремы в [17] Купер устанавливает существование континуума положительных решений для аппроксимирующей задачи с непрерывной нелинейностью в правой части. Доказательство этого опирается на общую теорему из [25; теорема 2.5], которая является следствием теоремы Красносельского о собственном векторе [19; теорема 5.5]. В теореме 2.5 из [25] утверждается следующее. Если в банаховом пространстве Y, полуупорядоченном конусом K, оператор T\colon [0,\infty)\times K\to K компактный и непрерывный, то существует континуум положительных решений уравнения x=\lambda T(\lambda,x), соединяющий (0,0) и \infty. Положительность решения (\lambda,x) означает, что \lambda\geqslant 0 и x\in K. Если в теореме 1 нелинейность g(x,u) аппроксимировать непрерывными нелинейностями также как у Купера, то, используя лемму 4 и предположение (g3), можно доказать, что оператор T_k(u)\equiv L^{-1}(u)G_k(u), действующий в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), компактный и непрерывный, причем T_k(K)\subset K, где K – конус неотрицательных функций в пространстве C^{1,\alpha}(\overline\Omega). Здесь G_k – оператор Немыцкого, порожденный аппроксимирующей g(x,u) нелинейностью g_k(x,u). В силу теоремы 2.5 из [25] следует существование континуума положительных решений в C^{1,\alpha}(\overline\Omega) для аппроксимирующих задач (это следует и из [3; теорема 17]). Таким образом, первый этап доказательства по схеме Купера проходит и в условиях теоремы 1. На втором этапе доказательства у Купера реализуется предельный переход. В его обосновании ключевым является следующее утверждение. Если последовательность решений аппроксимирующих задач сходится в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), то предельная функция – это сильное решение исходной задачи с разрывной нелинейностью. При доказательстве этого утверждения Купер использовал ряд предположений, которые не следуют из условий теоремы 1. Такими являются предположение (a1) о структуре нелинейности g(x,u) (которое влечет, что число точек разрыва g(x,u) по u не более чем счетно), дивергентная форма уравнения и коэрцитивность левой части в \mathring{W}^1_2(\Omega) [17; условие L-2], неположительность a(x,u). По этой причине реализация второго этапа в схеме Купера при выполнении условий теоремы 1 оказалась проблематичной. Для доказательства утверждения теоремы 2 о полуправильности обобщенных решений понадобится еще одна лемма. Лемма 6. Пусть \Omega – ограниченная область в \mathbb R^n класса C^{1,1},
\begin{equation*}
Lu(x)\equiv-\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x)u_{x_ix_j}+\sum_{i=1}^nb_i(x)u_{x_i}
\end{equation*}
\notag
равномерно эллиптический дифференциальный оператор в \Omega, коэффициенты которого a_{ij}(x) непрерывно дифференцируемы, а b_i(x) непрерывны в \overline\Omega. Предположим, что u\in W_p^2(\Omega) (p>n) сильное решение задачи
\begin{equation*}
Lu(x)=f(x),\quad x\in\Omega; \qquad u(x)=0,\quad x\in\partial\Omega,
\end{equation*}
\notag
где функция f положительная на \Omega и принадлежит L_p(\Omega), а множество \sigma\subset\mathbb R имеет меру нуль. Тогда u^{-1}(\sigma):=\{x\in\Omega\colon u(x)\in\sigma\} – множество меры нуль. Доказательство. Допустим противное, т. е. \operatorname{mes}_nu^{-1}(\sigma)\neq 0 (\operatorname{mes}_n – мера Лебега в \mathbb R^n). Так как p>n, то u\in C^1(\overline\Omega). Значит, \nabla u(x) непрерывна на \overline\Omega. Поскольку u\in W_p^2(\Omega), то u_{x_i}(x)\in W_p^1(\Omega), i=1,\dots,n. Поэтому, если A=\{x\in\overline\Omega\colon \nabla u(x)=0\}, то обобщенные производные u_{x_ix_j}(x) равны нулю почти всюду на A (см. [1; лемма 7.7]). Из чего следует, что Lu(x)=0 почти всюду на A. Однако это возможно только если \operatorname{mes}_nA=0, поскольку Lu(x)=f(x)>0 почти всюду на \Omega. В силу непрерывности \nabla u(x) на \overline\Omega множество A замкнуто, поэтому его дополнение A^c=\Omega\setminus A открыто. Множество u^{-1}(\sigma) измеримое и содержится в \Omega. По предположению его мера не равна нулю. Поскольку \operatorname{mes}_nA=0 и A^c открыто, то найдется n-мерный параллелепипед \Pi=[a_1,b_1]\times\dots\times[a_n,b_n], содержащийся в A^c, такой, что \operatorname{mes}_n(u^{-1}(\sigma)\cap\Pi)\neq 0. Более того, \Pi можно выбрать так, что для некоторых i_0\in \{1,\dots,n\} и \varepsilon>0 дополнительно |u_{x_{i_0}}(x)|\geqslant\varepsilon на \Pi. Не теряя общности, можно считать i_0=1. Определим отображение R\colon \Pi\to\mathbb R^n равенством R(x)=R(x_1,x_2,\dots,x_n)=(u(x),x_2,\dots,x_n) для произвольного x\in\Pi. Функция R\in C^1(\Pi) и ее якобиан равен u_{x_1}(x). Согласно обобщенной лемме Сарда [26] отображение R^{-1} переводит множества меры нуль в множества меры нуль. Из чего следует, что R отображает множества положительной меры в множества положительной меры. Этим же свойством обладает функция \varrho\colon \mathbb R^n\to\mathbb R, \varrho(y_1,\dots,y_n)=y_1, а значит, и композиция \varrho\circ R, совпадающая с u|_\Pi. Поскольку \operatorname{mes}_n(u^{-1}(\sigma)\,{\cap}\,\Pi)>0, то в силу доказанного выше множество u(u^{-1}(\sigma)\cap\Pi)\subset\sigma имеет положительную меру. С другой стороны, \operatorname{mes}_1\sigma=0 по условию леммы 6. Получено противоречие. Лемма 6 доказана. Заметим, что доказательство леммы 6 аналогично доказательству теоремы 6 из работы [3]. Однако в [3] оператор L записан в дивергентной форме и предполагается его коэрцитивность: существует постоянная c>0 такая, что
\begin{equation*}
\int_\Omega\biggl(\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x)v_{x_i}v_{x_j}+\sum_{i=1}^nb_i(x)v_{x_i}v\biggr)\, dx\geqslant c\|v\|_{2,1}^2\quad \forall\, v\in\mathring{W}^1_2(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Здесь Lv\equiv -\sum_{i,j=1}^n(a_{ij}(x)v_{x_i})_{x_j}+\sum_{i=1}^nb_i(x)v_{x_i}.
§ 3. Доказательство основных результатов Доказательство теоремы 1. Существование обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) в пространстве W_p^2(\Omega) (p>n) эквивалентно существованию решения включения u\in\lambda\Phi(u) в пространстве C^{1,\alpha}(\overline\Omega), 0<\alpha<(p-n)/p, \Phi(u)=L^{-1}(u)G(u), где оператор L(u) определен равенством (2.1), L^{-1}(u) – оператор, обратный к L(u), рассмотренный как оператор из L_p(\Omega) в C^{1,\alpha}(\overline\Omega), отображение G задано формулой (2.5), \lambda\geqslant 0.
Введем частичную упорядоченность в вещественном банаховом пространстве X=C^{1,\alpha}(\overline\Omega) с помощью конуса P неотрицательных функций из C^{1,\alpha}(\overline\Omega): u\leqslant v, если u(x)\leqslant v(x) на \overline\Omega. В силу условия (g3) для некоторой положительной на \Omega функции \beta(x) верно неравенство g(x,t)\geqslant \beta(x) для любых (x,t)\in\Omega\times\mathbb R. Поэтому из сильного принципа максимума [1] следует, что обобщенные решения задачи (1.1), (1.2) положительные в \Omega, если \lambda>0. Из чего заключаем, что значения отображения \varphi(\lambda,u)=\lambda\Phi(u), \lambda\geqslant 0, лежат в конусе P. Поскольку \varphi(0,u)\equiv\theta (\theta – нулевой элемент в X), то у \varphi(0,{\cdot}\,) единственная неподвижная точка \theta и для любого u\neq\theta и произвольного \nu\geqslant 1 элемент \nu u\notin\varphi(0,u). В силу леммы 5 для любого открытого ограниченного множества A в пространстве X отображение \Phi – компактная последовательность первого типа на \overline A. Отсюда следует, что для любого открытого ограниченного множества A в X и произвольного R>0 отображение \varphi(\lambda,u) на [0,R]\times\overline A – компактная последовательность первого типа. Таким образом, выполнены все условия теоремы 3 с Y=X. Поэтому существует континуум обобщенных положительных решений задачи (1.1), (1.2), соединяющий (0,\theta) и \infty. Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Пусть (\lambda,u) – обобщенное решение задачи (1.1), (1.2). Тогда существует измеримая на \Omega функция для почти всех x\in\Omega такая, что почти всюду на \Omega, u(x)=0 на \partial\Omega. Из условия (g3) следует, что z(x)>0 почти всюду на \Omega. Если в уравнении (1.1) функция a(x,t)\equiv 0 на \overline\Omega\times\mathbb R, а функции a_{ij}(x,t) и b_i(x,t,\eta) удовлетворяют условиям (i1), (i2), то оператор L(u(x)) в уравнении (3.1) удовлетворяет условиям леммы 6. Из условия (g4) следует, что за исключением множества \omega\subset\Omega меры нуль, множество \sigma значений u(x), для которых g_-(x,u(x))\neq g_+(x,u(x)), имеет меру нуль. В силу леммы 6 имеем, что u^{-1}(\sigma) – множество меры нуль. Из чего следует, что (\lambda,u) – полуправильное решение задачи (1.1), (1.2). Теорема 2 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavPot22} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|