| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Вариационный метод для эллиптических систем с разрывными нелинейностями В. Н. Павленкоa, Д. К. Потаповb a Челябинский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9401 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеВ 1972 г. в [1] была получена теорема существования слабых решений для системы эллиптических уравнений высокого порядка с разрывными по фазовым переменным нелинейностями и однородными граничными условиями Дирихле. Вариационный подход в данной статье базировался на понятии квазипотенциального оператора (этот термин был введен в монографии М. М. Вайнберга [2]). В работе [3] рассматривалась эллиптическая система где Δ – оператор Лапласа, Ω – ограниченная область в Rn с достаточно гладкой границей, f(x,u) – суперпозиционно измеримая функция докритического роста на бесконечности, δ и γ – неотрицательные константы. Изучаемая система эквивалентна интегро-дифференциальному уравнению где Bu∈˚W12(Ω)∩W22(Ω) – решение задачи −Δv+γv=δu в Ω, v∈˚W12(Ω). Вариационным методом, основанным на теории критических точек К.-Ч. Чанга для локально липшицевых функций (см. [4]), доказана теорема существования обобщенного решения задачи (1.1), т.е. u∈˚W12(Ω)∩W2q(Ω), q>1, удовлетворяющего включению −Δu(x)+Bu(x)∈[f_(x,u(x)),¯f(x,u(x))] почти всюду на Ω.Здесь и далее через f_(x,u) и ¯f(x,u) будем обозначать lim inf и \limsup _{\eta \to u} f(x,\eta) соответственно. В случае, когда f(x,u) \equiv f(u) и a \in \mathbb{R} – единственная точка разрыва функции f(u), найдены условия, при которых решение задачи (1.1) принимает значения, равные a лишь на множестве меры нуль. Такие решения называются полуправильными. В статье [5] дуальный вариационный принцип применялся к эллиптической системе вида
\begin{equation}
{-}\Delta u(x) =a u(x)+b v(x) + f(v(x)), \quad -\Delta v(x) =c u(x)+a v(x) + g(u(x)) \quad\text{в }\ \Omega,
\end{equation}
\tag{1.2}
u(x)=v(x)=0 на \partial \Omega. Здесь \Omega – ограниченная область в \mathbb{R}^n с гладкой границей, a,b,c – вещественные числа, функции f(v) и g(u) разрывны каждая только в одной точке v=\theta и u=\xi соответственно, и в этих точках f(v) и g(u) имеют конечные односторонние пределы. Дополнительно предполагается существование положительных констант m и n таких, что функции f(v)+mv и g(u)+nu строго возрастающие на \mathbb R. Установлены теоремы существования сильного решения (u,v)\in \mathring W_2^1(\Omega)\,{\times}\,\mathring W_2^1(\Omega) системы (1.2), для которого множества \{ x \in \Omega\colon v(x) =\theta \} и \{ x \in \Omega\colon u(x) =\xi\} имеют нулевую меру (полуправильные решения). Наиболее общие теоремы существования обобщенных решений эллиптических систем из двух уравнений вариационным методом были получены в [6]. Изучалась задача вида
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta u=\lambda (a(x)u+b(x)v)+f(x,u(x),v(x)), \qquad x \in\Omega, \\ -\Delta v=\lambda (b(x)u+c(x)v)+g(x,u(x),v(x)), \qquad x \in\Omega, \\ u(x)=v(x)=0, \qquad x\in \partial \Omega, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где \Omega – ограниченная область в \mathbb{R}^n с гладкой границей \partial \Omega, \lambda – вещественный параметр, a, b, c непрерывны в \overline{\Omega} и b(x) \geqslant 0 на \overline{\Omega}, b(x)\not\equiv 0 на \Omega, \max\{\max \{a(x), c(x)\}\colon x\in\overline{\Omega}\}>0. Функции f(x,u,v) и g(x,u,v) суперпозиционно измеримые, локально ограниченные, и f(x,0,0)=g(x,0,0)=0. Для возможности применения вариационного подхода (теория критических точек для локально липшицевых функций) в работе [6] предполагалось, что выполняется следующее условие: (\mathrm H_2) пусть F\colon \Omega\times {\mathbb R}^2\to {\mathbb R} определяется равенством
\begin{equation*}
F(x,t_1,t_2)=\int_0^{t_1}f(x,s,t_2)\,ds+\int_0^{t_2}g(x,0,s)\,ds
\end{equation*}
\notag
и удовлетворяет равенствам
\begin{equation*}
\begin{cases} \displaystyle F(x,t_1,t_2)=\int_0^{t_1}f(x,s,0)\,ds+\int_0^{t_2}g(x,t_1,s)\,ds, \\ \displaystyle F(x,t_1,t_2)=0\quad \text{тогда и только тогда, когда } t_1=t_2=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Доказаны теоремы существования обобщенного нетривиального решения при \lambda\in (\lambda_k,\lambda_{k+1}) и не менее двух нетривиальных обобщенных решений при \lambda = \lambda_1>0. Здесь \lambda_k (k \in \mathbb{N}) – k-е собственное значение задачи
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\Delta \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a(x) & b(x) \\ b(x) & c(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}, \qquad x \in \Omega, \\ u(x)=v(x)=0, \qquad x\in\partial \Omega. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Метод верхних и нижних решений применительно к эллиптическим системам позволяет установить теоремы существования сильных решений, в том числе и ненулевых. При этом предполагается, что нелинейности удовлетворяют условию квазимонотонности (см., например, [7]). В случае двух уравнений квазимонотонность нелинейностей f(x,u,v) и g(x,u,v) означает, что f неубывающая по v, а g неубывающая по u, причем существует постоянная M>0 такая, что f(x,u,v)+Mu неубывающая по u, а g(x,u,v)+Mv неубывающая по v. В настоящей работе эллиптическая система из двух уравнений с разрывными нелинейностями изучается вариационным методом, основанным на понятии квазипотенциального оператора (соответствующие определения см. в § 3). В этом случае условия на нелинейности, обеспечивающие возможность применения вариационного метода отличаются от условия (\mathrm H_2) из работы [6]. Получены теоремы существования сильных и полуправильных решений. Отметим, что в [6] проблема существования сильных и полуправильных решений не рассматривалась. Понятие полуправильного решения для уравнения эллиптического типа с разрывной нелинейностью было введено М. А. Красносельским и А. В. Покровским в их совместной работе [8], а в статье [9] они доказали теорему существования полуправильного решения эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью методом нижних и верхних решений (см. также [10]). Более общие результаты в этом направлении были получены в [11]. § 2. Постановка задачи и формулировка основных результатовВ ограниченной области \Omega\subset {\mathbb R}^n рассматривается эллиптическая система из двух уравнений с однородными граничными условиями Дирихле Здесь \partial\Omega – граница области \Omega из класса C_{2,\alpha}, 0<\alpha<1,
\begin{equation}
L_s v=-\sum_{i,j=1}^n(a_{ij}^{(s)}v_{x_i})_{x_j}+a^{(s)}v, \qquad s=1,2,
\end{equation}
\tag{2.3}
– равномерно эллиптические дифференциальные операторы в области \Omega с коэффициентами a_{ij}^{(s)}\in C_{1,\alpha}(\overline{\Omega}), a^{(s)}\in C_{0,\alpha}(\overline{\Omega}). Равномерная эллиптичность означает, что выполняются неравенства
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^{(s)}(x)\xi_i \xi_j\geqslant \nu_s |\xi|^2 \quad \forall\, \xi=(\xi_1,\dots ,\xi_n)\in {\mathbb R}^n, \qquad x\in\overline\Omega,
\end{equation*}
\notag
где \nu_s>0 – константы эллиптичности L_s, s=1,2. Предполагается, что функции g_s(x,u), s=1,2, суперпозиционно измеримые на \Omega\times {\mathbb R}^2, т.е. для любой измеримой на \Omega функции u композиции g_s(x,u(x)) измеримые на \Omega. Кроме того, для почти всех x\in\Omega справедливы оценки
\begin{equation}
|g_s(x,u)|\leqslant a(x)+b|u|^\nu \quad \forall\, u\in {\mathbb R}^2, \qquad s=1,2,
\end{equation}
\tag{2.4}
где a\in L_{(1+\nu)/\nu}(\Omega), b – положительная константа, \nu\in [0,1) (a\in L_2(\Omega) при \nu=0), |u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}, u=(u_1,u_2). Из (2.4) следует, что для почти всех x\in\Omega и любых u\in {\mathbb R}^2 конечны
\begin{equation*}
\underline{g_s}(x,u)=\liminf_{\eta \to u} g_s(x,\eta), \quad \overline{g_s}(x,u)=\limsup_{\eta \to u} g_s(x,\eta), \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
Изучаются различные типы решений задачи (2.1), (2.2). Для формулировки определений и дальнейших выкладок билинейные формы на пространстве E=\mathring W_2^1(\Omega)\times\mathring W_2^1(\Omega), порождаемые эллиптическими дифференциальными операторами L_s, s=1,2, удобно ввести равенствами
\begin{equation*}
B_{L_s}(u,v)=\int_\Omega \biggl(\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^{(s)}(x)u_{x_i}v_{x_j}+a^{(s)}(x)u(x)v(x)\biggr)\,dx \quad \forall\, u,v\in\mathring W_2^1(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Определение 1. Слабым обобщенным решением задачи (2.1), (2.2) называется функция u\,{=}\,(u_1,u_2)\,{\in}\, E, для которой существует измеримая на \Omega функция z=(z_1,z_2) такая, что z_s(x)\in [\underline{g_s}(x,u(x)),\overline{g_s}(x,u(x))], s=1,2, почти всюду на \Omega и Определение 2. Сильным обобщенным решением задачи (2.1), (2.2) называется функция u\,{=}\,(u_1,u_2)\,{\in}\, W_q^2(\Omega)\times W_q^2(\Omega), q>1, удовлетворяющая граничным условиям (2.2) и для почти всех x\in\Omega включениям Определения слабого и сильного решений задачи (2.1), (2.2) получаются из определений 1 и 2 соответственно заменой z_s(x) на g_s(x,u(x)), s=1,2. Определение 3. Сильное решение u(x) задачи (2.1), (2.2) называется полуправильным, если для почти всех x\in\Omega значение u(x) является точкой непрерывности g_s(x,\cdot), s=1,2. Определения 1–3 отражают специфику эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями. Особый интерес представляют полуправильные решения, поскольку они важны для ряда прикладных задач. Для задач об отрывных течениях М. А. Гольдштика и М. А. Лаврентьева, для задачи о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры изменяется скачком, и для задачи В. Эленбааса об электрической дуге полуправильные решения были получены, например, в работах [12]–[15] соответственно. Основными результатами настоящей статьи являются теоремы 1 и 2. 1) коэффициент a^{(s)}(x) дифференциального оператора L_s неотрицательный на \Omega (s=1,2); 2) существует каратеодориева функция F(x,u) на \Omega\times {\mathbb R}^2 (т.е. она измерима по x и непрерывна по u) такая, что для почти всех x\in\Omega при произвольном выборе u,h\in {\mathbb R}^2 функция F(x,u+th) абсолютно непрерывна по t на отрезке [0,1] и для почти всех t\in [0,1] выполнено равенство где g(x,u)=(g_1(x,u),g_2(x,u)) и zv=z_1v_1+z_2v_2 для любых z=(z_1,z_2) и v=(v_1,v_2)\in {\mathbb R}^2;3) функции g_s(x,u), s=1,2, суперпозиционно измеримые, для них верны оценки (2.4) и для почти всех x\in\Omega
\begin{equation}
g_s(x,u)\in [\underline{g_s}(x,u),\overline{g_s}(x,u)] \quad \forall\, u\in {\mathbb R}^2;
\end{equation}
\tag{2.5}
4) для почти всех x\in\Omega при любых u, h \in {\mathbb R}^2 существует неотрицательный Тогда задача (2.1), (2.2) имеет сильное решение из пространства W_q^2(\Omega)\times W_q^2(\Omega) с q=(1+\nu)/\nu при \nu\in (0,1) и q=2 при \nu=0, где \nu – постоянная из оценок (2.4). Замечание 1. Условие 2) теоремы 1 (как и сформулированное в § 1 условие (\mathrm H_2) из работы [6]) связано с возможностью применить вариационный метод. В § 6 настоящей статьи приводится класс нелинейностей, удовлетворяющих этому условию. Теорема 2. Пусть выполнены условия 1), 2) и 4) теоремы 1. Дополнительно будем предполагать, что выполнены условия: 3) функции g_s(x,u), s=1,2, суперпозиционно измеримые и для них верны оценки (2.4); 5) для почти всех x\in\Omega функция g_s(x,u_1,u_2) неубывающая по u_2 на \mathbb R, если s=1, и по u_1 на \mathbb R, если s=2, причем существует постоянная M>0 такая, что g_s(x,u_1,u_2)+Mu_s неубывающие по u_s на \mathbb R, s=1,2. Тогда задача (2.1), (2.2) имеет полуправильное решение из пространства W_q^2(\Omega)\times W_q^2(\Omega) с q=(1+\nu)/\nu при \nu\in (0,1) и q=2 при \nu=0, где \nu – постоянная из оценок (2.4). Замечание. Как показано в [7], условий 3) и 5) теоремы 2 достаточно для существования сильного решения задачи (2.1), (2.2). Однако, как показывает пример 1 ниже, их не достаточно для существования полуправильного решения такой задачи.
\begin{equation*}
-\Delta u_1=\chi_{(0,+\infty)}(u_2), \quad -\Delta u_2=0, \qquad x\in\Omega, \quad u_1(x)=u_2(x)=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega,
\end{equation*}
\notag
где \chi_{(0,+\infty)} – характеристическая функция интервала (0,+\infty). Данная задача имеет единственное сильное решение u_1=u_2=0, которое не является полуправильным. При этом условия 3) и 5) теоремы 2 выполняются. § 3. Предварительные сведенияПриведем необходимые определения и утверждения для уравнений с квазипотенциальными операторами, которые используются при доказательстве теорем 1 и 2. Полное изложение этих результатов содержится в [16] (см. также [17]). Пусть E – вещественное банахово пространство, E^* – сопряженное с E пространство, \langle z,x\rangle – значение функционала z\in E^* на элементе x\in E. Определение 4. Оператор T\colon E\to E^* называется радиально суммируемым, если функция \varphi_{x,h}(t)=\langle T(x+th),h\rangle суммируема по Лебегу на отрезке [0,1] для любых x,h\in E. Определение 5. Радиально суммируемый оператор T\colon E\to E^* называется квазипотенциальным, если существует функционал f\colon E\to\mathbb R такой, что
\begin{equation}
f(x+h)-f(x)=\int_0^1 \langle T(x+th),h\rangle\,dt \quad \forall\, x,h\in E.
\end{equation}
\tag{3.1}
Функционал f, удовлетворяющий равенству (3.1), называется квазипотенциалом оператора T. Определение 6. Оператор T\colon E\to E^* называется радиально непрерывным в точке x\in E, если \lim_{t\to 0+}\langle T(x+th),h\rangle=\langle Tx,h\rangle для любого h\in E. В противном случае x\in E называется точкой разрыва оператора T. Замечание 3. Если оператор T\colon E\to E^* радиально непрерывный на E, то для его потенциальности необходимо и достаточно существование функционала f\colon E\to \mathbb R, удовлетворяющего (3.1). При этом f является потенциалом оператора T. Последнее означает, что f дифференцируем по Гато и его производная f'(x) равна Tx для любого x\in E. Однако квазипотенциальный оператор может иметь точки разрыва и не быть потенциальным. Так, если функция g\colon \Omega\times {\mathbb R}\to {\mathbb R} (\Omega – ограниченная область в {\mathbb R}^n) суперпозиционно измеримая, для почти всех x\in\Omega сечение g(x,\cdot) имеет в каждой точке \mathbb R конечные односторонние пределы и
\begin{equation*}
|g(x,u)|\leqslant a(x)+b|u|^{p-1} \quad \forall\, u\in\mathbb R, \qquad a\in L_q(\Omega), \quad b>0, \quad q=\frac{p}{p-1}, \quad p>1,
\end{equation*}
\notag
то оператор Немыцкого действует из пространства L_p(\Omega) в пространство L_q(\Omega). Он является квазипотенциальным с квазипотенциалом (см. [18]). В [16] показано, что если мера множества \{x\in\Omega\colon u(x) – точка разрыва g(x,\cdot)\} не равна нулю (u\in L_p(\Omega)), то u – точка разрыва оператора H при дополнительном предположении о непрерывности справа g(x,\cdot) на \mathbb R для почти всех x\in\Omega. Определение 8. Регулярным разрывом оператора T\colon E\to E^* называется точка разрыва x\in E оператора T, для которой существует h\in E такой, что \lim_{t\to 0+}\langle T(x+th),h\rangle <0. Приведем простое достаточное условие регулярности разрыва (см. [16; предложение 1]). Предложение 1. Если x\in E – точка разрыва оператора T и для любого h\in E существует \lim_{t\to 0+}\langle T(x+th)-Tx,h\rangle\leqslant 0, то x – регулярный разрыв оператора T. Имеет место Теорема 3 (см. [16; теорема 2]). Пусть T\,{=}\,T_1\,{+}\,T_2, где T_i\colon E\to E^* – квазипотенциальные операторы с квазипотенциалами f_i соответственно, i=1,2, оператор T_1 монотонный, оператор T_2 компактный, причем все точки разрыва оператора T регулярные, а пространство E рефлексивное. Предположим, что где f=f_1+f_2.Тогда существует x_0\in E такое, что f(x_0)=\inf\{f(x)\colon x\in E\}, x_0 – точка радиальной непрерывности оператора T и Tx_0=0. При доказательстве теоремы 2 используются свойства нелинейностей g_s(x,u), s=1,2, которые являются следствиями условия 4) этой теоремы. Перейдем к формулировке и обоснованию этих свойств. Определим на {\mathbb R}^2 отношение частичного порядка: u=(u_1,u_2)\leqslant (v_1,v_2)=v, если u_1\leqslant v_1 и u_2\leqslant v_2. Определение 9. Функция \psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R} называется монотонной, если для любых u, v \in {\mathbb R}^2 неравенство u\leqslant v влечет \psi (u)\leqslant \psi (v). Предложение 2. Пусть функция \psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R} неубывающая по обоим переменным, т.е. \psi(\cdot,u_2) неубывающая на \mathbb R для любого u_2\in\mathbb R и \psi(u_1,\cdot) неубывающая на \mathbb R для произвольного u_1\in\mathbb R. Тогда \psi – монотонная функция. Доказательство. Для любых u=(u_1,u_2) и v=(v_1,v_2) из неравенства u\leqslant v следует
\begin{equation*}
\psi(u)-\psi(v)=(\psi(u_1,u_2)-\psi(v_1,u_2))+(\psi(v_1,u_2)-\psi(v_1,v_2))\leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
поскольку функция \psi неубывающая по обоим переменным. Монотонность \psi доказана. Предложение 3. Пусть функция \psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R} неубывающая по обоим переменным. Тогда \psi ограниченные множества в {\mathbb R}^2 переводит в ограниченные. Доказательство. Достаточно доказать, что \psi ограничена на любом прямоугольнике \Pi=[-\varepsilon_1,\varepsilon_1]\times [-\varepsilon_2,\varepsilon_2], где \varepsilon_1, \varepsilon_2 – положительные числа. Заметим, что
\begin{equation*}
(-\varepsilon_1,-\varepsilon_2)\leqslant u\leqslant (\varepsilon_1,\varepsilon_2) \quad \forall\, u\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
Отсюда в силу предложения 2 получим \psi(-\varepsilon_1,-\varepsilon_2)\leqslant \psi(u)\leqslant\psi(\varepsilon_1,\varepsilon_2), что влечет ограниченность \psi на \Pi. Замечание 4. Если функция \psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R} неубывающая по обоим переменным, то конечны \underline{\psi}(u)=\liminf_{\eta \to u} \psi(\eta), \overline{\psi}(u)=\limsup_{\eta \to u} \psi(\eta) для любого u\in {\mathbb R}^2. Лемма. Если функция \psi\colon {\mathbb R}^2\to {\mathbb R} неубывающая по обоим переменным, то существуют
\begin{equation}
\lim_{\substack{\eta_1\to u_1+\\\eta_2\to u_2+}}\psi(\eta_1,\eta_2), \qquad \lim_{\substack{\eta_1\to u_1-\\\eta_2\to u_2-}}\psi(\eta_1,\eta_2)
\end{equation}
\tag{3.3}
и они равны \overline{\psi} (u) и \underline{\psi} (u) соответственно для произвольного u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2. Будем далее вместо \eta_1\to u_1+, \eta_2\to u_2+ (\eta_1\to u_1-, \eta_2\to u_2-) использовать обозначения \eta\to u+ (\eta\to u-), где \eta=(\eta_1,\eta_2), u=(u_1,u_2) взяты из {\mathbb R}^2. Доказательство леммы. Пусть \varepsilon_1, \varepsilon_2 – не равные нулю вещественные числа, u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2. Тогда
\begin{equation*}
(u_1-|\varepsilon_1|,u_2-|\varepsilon_2|)\leqslant (u_1+\varepsilon_1,u_2+\varepsilon_2)\leqslant (u_1+|\varepsilon_1|,u_2+|\varepsilon_2|).
\end{equation*}
\notag
Отсюда в силу монотонности \psi следует
\begin{equation*}
\psi(u_1-|\varepsilon_1|,u_2-|\varepsilon_2|) \leqslant\psi(u_1+\varepsilon_1,u_2+\varepsilon_2)\leqslant\psi(u_1+|\varepsilon_1|,u_2+|\varepsilon_2|),
\end{equation*}
\notag
из чего заключаем, что
\begin{equation*}
\liminf_{\eta \to u} \psi(\eta)\geqslant\liminf_{\eta \to u-} \psi(\eta), \qquad \limsup_{\eta \to u} \psi(\eta)\leqslant\limsup_{\eta \to u+} \psi(\eta).
\end{equation*}
\notag
Поскольку противоположные неравенства в последних двух неравенствах очевидны, то делаем вывод о совпадении правых частей этих неравенств с \underline{\psi}(u) и \overline{\psi}(u) соответственно.
Осталось доказать, что существуют пределы (3.3). Пусть \lim_{\eta\to u+}\psi(\eta) не существует для некоторого u\in {\mathbb R}^2. Тогда найдутся последовательности (v_n) и (v_n') в {\mathbb R}^2, v_n=(v_{n1},v_{n2}), v_n'=(v_{n1}',v_{n2}'), такие, что v_{ns}\to u_s+, v_{ns}'\to u_s+, s=1,2, \psi(v_n)\to a, \psi(v_n')\to b и a\neq b. Пусть для определенности a>b. Фиксируем \varepsilon>0. Тогда существует натуральное число n_0 такое, что \psi(v_n)>a-\varepsilon, \psi(v_n')<b+\varepsilon для любого n>n_0. Возьмем \overline{n}>n_0. Так как v_{\overline{n}s}'>u_s, s=1,2, и v_n\to u+, то существует k(\overline{n})>n_0 такое, что v_{k(\overline{n})}\leqslant v_{\overline{n}}'. В силу монотонности \psi получим
\begin{equation*}
a-\varepsilon<\psi(v_{k(\overline{n})})\leqslant\psi(v_{\overline{n}}')<b+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, 0<a-b<2\varepsilon. Беря \varepsilon=(a-b)/2, получим противоречие. Существование \lim_{\eta\to u+}\psi(\eta) доказано. Аналогично доказывается существование \lim_{\eta\to u-}\psi(\eta).
Лемма доказана. § 4. Операторная постановка задачи (2.1), (2.2)Пусть E=\mathring W_2^1(\Omega)\times\mathring W_2^1(\Omega) – гильбертово пространство со скалярным произведением
\begin{equation*}
(u,v)=\int_\Omega\sum_{i=1}^n(u_{1x_i}v_{1x_i}+u_{2x_i}v_{2x_i})\,dx,
\end{equation*}
\notag
\|u\|=\sqrt{(u,u)}, u=(u_1,u_2), v=(v_1,v_2)\in E. Рассмотрим на E\times E билинейную форму B(u,v)=B_{L_1}(u_1,v_1)+B_{L_2}(u_2,v_2), u=(u_1,u_2), v=(v_1,v_2). Существует постоянная C>0 такая, что |B(u,v)|\leqslant C\|u\|\cdot \|v\| для любых u,v\in E. Следовательно, линейный ограниченный оператор A\colon E\to E^* однозначно определяется равенством \langle Au,v\rangle=B(u,v) для любых u, v \in E. Так как операторы L_1 и L_2 формально самосопряженные, то B(u,v)=B(v,u), что влечет равенство \langle Au,v\rangle=\langle Av,u\rangle для любых u,v\in E. Из чего следует потенциальность A и равенство его потенциала величине \frac12 \langle Au,u\rangle (см. [2]). Пусть p=1+\nu при \nu\in (0,1), p=2 при \nu=0, где \nu – постоянная из оценок (2.4). Тогда пространство \mathring W_2^1(\Omega) компактно вложено в пространство L_p(\Omega), поскольку p<2n/(n-2). Отсюда следует, что E компактно вложено в E_1=L_p(\Omega)\times L_p(\Omega) с нормой где u(x)=(u_1(x),u_2(x)) и |u(x)|=\sqrt{|u_1(x)|^2+|u_2(x)|^2}. Обозначим оператор вложения пространства E в пространство E_1 через P. Сопряженный с P оператор P^* будет компактным и является оператором вложения E_1^* в E^*. Заметим, что E_1^*=L_q(\Omega)\times L_q(\Omega), где q=p/(p-1). Поскольку функции g_s(x,u) суперпозиционно измеримые на \Omega\times {\mathbb R}^2, s=1,2, и для них верны оценки (2.4), то порождаемый g(x,u)=(g_1(x,u),g_2(x,u)) оператор Немыцкого Gu=g(x,u(x)) для любого u\in E_1 действует в E_1^* и справедлива оценка
\begin{equation}
\|Gu\|_q\leqslant 2\|a\|_q+2b\|u\|_p^\nu \quad \forall\, u\in E_1.
\end{equation}
\tag{4.1}
Определим оператор H\colon E\to E^* равенством
\begin{equation*}
\langle Hu,v\rangle=\int_\Omega (g_1(x,u(x))v_1(x)+g_2(x,u(x))v_2(x))\,dx
\end{equation*}
\notag
для любых u,v\in E. Правая часть последнего равенства есть \langle G(Pu),Pv\rangle, что равно \langle P^*G(Pu),v\rangle. Следовательно, H=P^*GP. Отсюда следует компактность оператора H. Действительно, если B – ограниченное множество в E, то PB – ограниченное множество в E_1. В силу оценки (4.1) множество G(PB) ограничено в E_1^*. Поскольку оператор P^* компактный, то множество H(B) предкомпактное. Осталось заметить, что равенство Au-Hu=\theta (\theta – нуль пространства E^*) равносильно
\begin{equation}
B(u,v)=\int_\Omega (g_1(x,u(x))v_1(x)+g_2(x,u(x))v_2(x))\,dx \quad \forall\, v=(v_1,v_2)\in E.
\end{equation}
\tag{4.2}
Действительно, (4.2) эквивалентно равенствам
\begin{equation*}
B_{L_s}(u_s,v_s)=\int_\Omega g_s(x,u)v_s(x)\,ds \quad \forall\, v=(v_1,v_2)\in E, \qquad s=1,2,
\end{equation*}
\notag
поскольку B_{L_s}(u_s,0)=0. Последнее означает, что u(x) – слабое решение задачи (2.1), (2.2). Так как из принадлежности u(x) к E следует, что g_s(x,u(x))\in L_q(\Omega), s=1,2, то u(x) будет сильным решением задачи (2.1), (2.2) из пространства W_q^2(\Omega)\times W_q^2(\Omega), если коэффициенты a^{(s)}, s=1,2, в (2.3) неотрицательные на \Omega. Это следствие теоремы 9.15 из [19] и единственности слабого решения применительно к задачам L_su_s=f_s, x\in\Omega, u_s(x)=0, x\in\partial\Omega, где f_s\in L_q(\Omega), s=1,2.
§ 5. Доказательство основных результатовВ этом параграфе используется операторная постановка задачи (2.1), (2.2) из § 4. Доказательство теоремы 1. Согласно § 3 достаточно доказать, что существует u_0\in E, для которого Tu_0=\theta, где \theta – нуль пространства E^*, T=A\,{-}\,H. Этот результат получается как следствие теоремы 3. Проверим выполнение ее условий. Выше было показано, что оператор T_1=A потенциальный и его потенциал f_1(u) равен \frac12 \langle Au,u\rangle. Так как операторы L_s, s=1,2, равномерно эллиптические, то в силу условия 1) теоремы 1 найдется постоянная \chi>0 такая, что
\begin{equation}
\langle Au,u\rangle=B(u,u)\geqslant\chi\|u\|^2 \quad \forall\, u\in E.
\end{equation}
\tag{5.1}
Отсюда в силу линейности оператора A следует его монотонность.
Докажем квазипотенциальность оператора T_2=-H. Рассмотрим функционал определенный на E. Здесь F – функция из условия 2) теоремы 1. Покажем, что f_2 – квазипотенциал оператора H, т.е.
\begin{equation*}
f_2(u+h)-f_2(u)=\int_0^1\langle H(u+th),h\rangle\,dt \quad \forall\, u,h\in E.
\end{equation*}
\notag
В силу условия 2) теоремы 1 для любых u,h\in E и почти всех x\in\Omega выполнено равенство
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}F(x,u(x)+th(x))=g_1(x,u(x)+th(x))h_1(x)+g_2(x,u(x)+th(x))h_2(x)
\end{equation*}
\notag
для почти всех t\in [0,1]. Интегрируя обе части последнего равенства по t на отрезке [0,1] с учетом абсолютной непрерывности F(x,u(x)\,{+}\,th(x)) относительно t на [0,1], получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F(x,u(x)+h(x))-F(x,u(x)) \\ &\qquad =\int_0^1 (g_1(x,u(x)+th(x))h_1(x)+g_2(x,u(x)+th(x))h_2(x))\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Интегрирование по x на \Omega последнего равенства дает
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & f_2(u+h)-f_2(u) \\ &\qquad= \int_\Omega\biggl(\int_0^1 (g_1(x,u(x)+th(x))h_1(x)+g_2(x,u(x)+th(x))h_2(x))\,dt\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Осталось применить теорему Фубини о перестановке интегралов (см. [20]). В результате получим Квазипотенциальность H установлена.
Компактность оператора H была доказана в § 4. Установим регулярность точек разрыва оператора T=T_1+T_2, где T_1=A, T_2=-H. Согласно предложению 1 из § 3 для этого достаточно доказать, что для любых u,h\in E существует \lim_{t\to 0+}\langle T(u\,{+}\,th)\,{-}\,Tu,h\rangle \,{\leqslant}\, 0. Для произвольных u,h\in E имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\langle T(u+th)-Tu,h\rangle \\ &\qquad= \langle A(u+th)-Au,h\rangle -\int_\Omega (g(x,u(x)+th(x))-g(x,u(x)))h(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
Здесь использовано обозначение zh вместо z_1h_1+z_2h_2 для произвольных z=(z_1,z_2), h=(h_1,h_2)\in {\mathbb R}^2. Предел при t\to 0+ первого слагаемого в правой части равенства (5.3) равен нулю, так как A – линейный непрерывный оператор. Согласно условию 4) теоремы 1 для почти всех x\in\Omega существует
Покажем, что существует суммируемая на \Omega функция \psi (x), ограничивающая сверху модуль подынтегральной функции в (5.3) при почти всех x\in\Omega и t\in (0,1). Отсюда в силу теоремы Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла будет следовать существование предела правой части в (5.3) при t\to 0+ и его неотрицательность. Напомним, что u,h\in E и E компактно вложено в L_p(\Omega)\times L_p(\Omega), p=1+\nu, \nu\in (0,1). Поэтому |u| и |h| принадлежат пространству L_p(\Omega). Заметим, что
\begin{equation*}
|u|^\nu\in L_q(\Omega), \quad\text{где }\ q=\frac{p}{p-1}=\frac{1+\nu}{\nu},
\end{equation*}
\notag
так как
\begin{equation*}
\int_\Omega |u(x)|^{\nu q}\,dx=\int_\Omega |u(x)|^{1+\nu}\,dx=\int_\Omega |u(x)|^p\,dx<+\infty.
\end{equation*}
\notag
С учетом оценки (2.4) имеем для почти всех x\in\Omega и t\in (0,1)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|g(x,u(x)+th(x))h(x)-g(x,u(x))h(x)| \\ &\qquad\leqslant|g(x,u(x)+th(x))h(x)|+|g(x,u(x))h(x)| \\ &\qquad\leqslant 2|a(x)|\cdot|h(x)|+b|u(x)+th(x)|^\nu|h(x)|+b|u(x)|^\nu|h(x)| \\ &\qquad\leqslant2|a(x)|\cdot|h(x)|+b(2^\nu(|u|^\nu+|h|^\nu)+|u(x)|^\nu)|h(x)| \\ &\qquad=2|a(x)|\cdot|h(x)|+b((2^\nu+1)|u|^\nu|h(x)|+2^\nu|h|^{\nu+1})\equiv\psi (x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где a\in L_q(\Omega) – функция из оценки (2.4). В силу неравенства Гёльдера функции |a(x)|\cdot |h(x)|, |u|^\nu |h(x)| суммируемы на \Omega и |h|^{\nu+1}=|h|^p принадлежит пространству L_1(\Omega). Следовательно, \psi (x)\in L_1(\Omega). Таким образом, доказано, что для любых u,h\in E существует \lim_{t\to 0+}\langle T(u+th)-Tu,h\rangle\leqslant 0. Итак, все точки разрыва оператора T регулярные.
Осталось проверить условие (3.2) теоремы 3 (коэрцитивность квазипотенциала f оператора T). В силу неравенства (5.1) имеем
\begin{equation*}
f_1(u)\geqslant\frac{\chi}{2}\|u\|^2 \quad \forall\, u\in E,
\end{equation*}
\notag
\chi – положительная константа. Оценим f_2(u). Поскольку квазипотенциал оператора H определен с точностью до аддитивной постоянной, то можно считать, что f(0)=0 (см., например, [21]). Тогда, полагая в (5.2) u=0, получим
\begin{equation*}
f_2(h)=\int_0^1\langle H(th),h\rangle\,dt \quad\forall\, h\in E.
\end{equation*}
\notag
Так как \langle H(th),h\rangle=\langle G(tPh),Ph\rangle (P – оператор вложения E в E_1), то
\begin{equation*}
|\langle H(th),h\rangle|\leqslant \|G(tPh)\|_q\cdot \|Ph\|_p \quad \forall\, h\in E, \qquad t\in [0,1], \quad q=\frac{p}{p-1}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда в силу оценки (4.1) имеем для любого h\in E и t\in [0,1]
\begin{equation*}
|\langle H(th),h\rangle |\leqslant (2\|a\|_q+2bt^\nu \|Ph\|_p^\nu)\cdot \|Ph\|_p\leqslant C_1\|h\|+C_2\|h\|^{1+\nu},
\end{equation*}
\notag
где \nu\in [0,1) – постоянная из неравенств (2.4), C_1=2\|a\|_q\cdot \|P\|, C_2=2b\|P\|^{1+\nu}. Отсюда следует, что f_2(h)\leqslant C_1\|h\|+C_2\|h\|^{1+\nu}. Поэтому для любого h\in E имеем
\begin{equation*}
f(h)=f_1(h)-f_2(h)\geqslant\frac{\chi}{2}\|h\|^2-C_1\|h\|-C_2\|h\|^{1+\nu},
\end{equation*}
\notag
из чего (с учетом того, что \nu<1) заключаем, что функционал f коэрцитивен и, значит, условие (3.2) теоремы 3 выполняется. Как следствие теоремы 3 получаем существование u_0\in E, удовлетворяющего равенству Tu_0=\theta, такого, что u_0 является точкой радиальной непрерывности оператора T.
Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Все условия теоремы 1, кроме включения (2.5), содержатся в формулировке теоремы 2. Из условия 5) теоремы 2 следует, что функции неубывающие по переменным u_1, u_2 для почти всех x\in\Omega. В силу предложения 2 отсюда следует монотонность этих функций на {\mathbb R}^2 для почти всех x\in\Omega, из чего заключаем, что для почти всех x\in\Omega верны неравенства
\begin{equation*}
h_s(x,u_1-\varepsilon,u_2-\varepsilon)\leqslant h_s(x,u)\leqslant h_s(x,u_1+\varepsilon,u_2+\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
для всех u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2 и \varepsilon>0, s=1,2. Переходя к пределу при \varepsilon\to 0+, в силу леммы из § 3 получим для почти всех x\in\Omega
\begin{equation*}
\underline{g_s}(x,u)\leqslant g_s(x,u)\leqslant \overline{g_s}(x,u) \quad \forall\, u\in {\mathbb R}^2, \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
Включение (2.5) доказано.
Из теоремы 1 заключаем, что существует элемент u_0\in E, который является точкой радиальной непрерывности оператора T и удовлетворяет равенству Tu_0=0. Из радиальной непрерывности T в точке u_0 следует, что для любого h\in E существует
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}\langle T(u_0+th),h\rangle =\langle T(u_0),h\rangle .
\end{equation*}
\notag
Докажем, что u_0 – полуправильное решение задачи (2.1), (2.2). Допустим противное. Тогда мера множества D=\bigcup_{s=1}^2D_s, где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_s &=\{x\in\Omega\colon u_0(x) - \text{ точка разрыва } g_s(x,\cdot)\} \\ &=\{x\in\Omega\colon \underline{g_s}(x,u_0(x))<\overline{g_s}(x,u_0(x))\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
s=1,2, не равна нулю. Это равносильно тому, что либо D_1, либо D_2 имеют меру, не равную нулю. Пусть для определенности \operatorname{mes} D_1\neq 0. Тогда ненулевую меру имеет хотя бы одно из множеств
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_{11}=\{x\in D_1\colon g_1(x,u_0(x))\neq \underline{g_1}(x,u_0(x))\}, \\ D_{12}=\{x\in D_1\colon g_1(x,u_0(x))\neq \overline{g_1}(x,u_0(x))\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Заметим, что D_1=D_{11}\cup D_{12}, поскольку g_1(x,u_0(x))\in [\underline{g_1}(x,u_0(x)),\overline{g_1}(x,u_0(x))] почти всюду на \Omega. Если \operatorname{mes} D_{11}\neq 0, то возьмем h=(h_1,h_2)\in E такое, что h_s(x)<0 на \Omega, s=1,2. Для того чтобы h обладало указанными свойствами, достаточно, чтобы h_1=h_2 было решением однородной задачи Дирихле
\begin{equation*}
\Delta u=1, \quad x\in\Omega, \qquad u(x)=0 \quad\text{на }\ \partial\Omega.
\end{equation*}
\notag
В силу леммы из § 3 получаем, что для почти всех x\in\Omega существует
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}(g_s(x,u_0+th(x))-g_s(x,u_0(x)))=\underline{g_s}(x,u_0(x))-g_s(x,u_0(x)), \qquad s=1,2.
\end{equation*}
\notag
C учетом включения g_s(x,u_0(x))\in [\underline{g_s}(x,u_0(x)),\overline{g_s}(x,u_0(x))] отсюда следует, что для почти всех x\in\Omega
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{t\to 0+}((g_1(x,u_0+th(x))-g_1(x,u_0(x)))h_1(x) \\ &\qquad\qquad +(g_2(x,u_0+th(x))-g_2(x,u_0(x)))h_2(x)) \\ &\qquad=(\underline{g_1}(x,u_0(x))-g_1(x,u_0(x)))h_1+ (\underline{g_2}(x,u_0(x))-g_2(x,u_0(x)))h_2\geqslant 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Заметим, что это неравенство строгое на D_{11}, из чего, применяя теорему Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла, получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \lim_{t\to 0+}\langle T(u_0+th)-Tu_0,h\rangle= \lim_{t\to 0+}(\langle A(u_0+th)-Au_0,h\rangle \\ &\qquad\qquad -\int_\Omega \bigl((g_1(x,u_0+th(x))-g_1(x,u_0(x)))h_1(x) \\ &\qquad\qquad+(g_2(x,u_0+th(x))-g_2(x,u_0(x)))h_2(x)\bigr)\,dx \\ &\qquad= -\int_\Omega ((\underline{g_1}(x,u_0(x))-g_1(x,u_0(x)))h_1(x) \\ &\qquad\qquad +(\underline{g_2}(x,u_0(x))-g_2(x,u_0(x)))h_2(x))\,dx<0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Полученное неравенство противоречит радиальной непрерывности оператора T в точке u_0. Случай, когда \operatorname{mes} D_{12}\neq 0, рассматривается аналогично случаю \operatorname{mes}D_{11} \ne 0 с выбором h=(h_1,h_2)\in E такого, что h_s(x)>0 на \Omega, s=1,2, а в последующих выкладках \underline{g_s} заменяется на \overline{g_s}, s=1,2.
Теорема 2 доказана. Замечание 5. Для h=(h_1,h_2)\in {\mathbb R}^2, для которого h_1h_2\geqslant 0, существование и неотрицательность предела (2.6) следует из условия 5) теоремы 2. Действительно, если h=(h_1,h_2) и h_s\geqslant 0 или h_s\leqslant 0, s=1,2, то из леммы из § 3 заключаем, что существует предел (2.6), который равен
\begin{equation*}
(\overline{g_1}(x,u_1,u_2)-g_1(x,u_1,u_2))h_1+(\overline{g_2}(x,u_1,u_2)-g_2(x,u_1,u_2))h_2
\end{equation*}
\notag
или
\begin{equation*}
(\underline{g_1}(x,u_1,u_2)-g_1(x,u_1,u_2))h_1+(\underline{g_2}(x,u_1,u_2)-g_2(x,u_1,u_2))h_2
\end{equation*}
\notag
для почти всех x\in\Omega и любых u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2. Так как g_s(x,u_1,u_2)\in [\underline{g_s}(x,u_1,u_2),\overline{g_s}(x,u_1,u_2)], то эти пределы неотрицательные. Однако для функции \psi(u_1,u_2), не убывающей по обоим переменным, может не существовать Пример 2. Пусть \psi(u_1,u_2)=1, если u_2>-u_1, и \psi(u_1,u_2)=-1, если u_2\,{<}\,{-}u_1. На прямой u_2=-u_1 имеем \psi(u)=1, если u_1<-1 или u_1\,{\geqslant}\, 0, и \psi(u)=(-1)^n, если u_1\in [-1/n,-1/(n\,{+}\,1)), n\in\mathbb N. Данная функция монотонная и по u_1, и по u_2, но \lim_{t\to 0+}\psi(th), h=(-1,1), не существует. Заметим, что данная функция суперпозиционно измеримая. § 6. Классы нелинейностей, удовлетворяющих условиям теорем 1 и 2Пусть \Omega – ограниченная область в {\mathbb R}^n. Будем говорить, что функция f: \Omega\times {\mathbb R}\to {\mathbb R} удовлетворяет условию (i), если f(\cdot,s) измерима для любого s\,{\in}\,\mathbb R на \Omega и для почти всех x\in\Omega сечение f(x,\cdot) имеет в каждой точке s\in\mathbb R конечные односторонние пределы f(x,s-) и f(x,s+) и непрерывно справа на \mathbb R, т.е. f(x,s)=f(x,s+) для любого s\in\mathbb R. Заметим, что такая функция суперпозиционно измеримая на \Omega\times\mathbb R (см. [22]) и для почти всех x\in\Omega функция f(x,\cdot) на каждом отрезке числовой прямой ограниченная и измеримая, а значит, суммируемая. Отсюда следует, что для почти всех x\in\Omega функция \varphi (s)={\displaystyle\int_0^sf(x,t)\,dt} абсолютно непрерывна на \mathbb R и для почти всех s\in\mathbb R существует производная \varphi' (s)=f(x,s) (см. [20]). Рассмотрим функции f_j(x,s), \psi_j(x,s), j\,{=}\,1,2, удовлетворяющие условию (i), и положим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_1(x,u_1,u_2)&=f_1(x,u_1)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\psi_1(x,u_1), \\ g_2(x,u_1,u_2)&=f_2(x,u_2)\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds+\psi_2(x,u_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
x\in\Omega, u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2. Функции g_1(x,u), g_2(x,u) суперпозиционно измеримые на \Omega\times {\mathbb R}^2. Покажем, что для них выполняется условие 2) теоремы 1. Пусть
\begin{equation*}
F(x,u_1,u_2)=\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds \int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\int_0^{u_1}\psi_1(x,s)\,ds+\int_0^{u_2}\psi_2(x,s)\,ds,
\end{equation*}
\notag
x\in\Omega, u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2. Эта функция каратеодориева на \Omega\times {\mathbb R}^2 (измеримая по x на \Omega для всех u\in {\mathbb R}^2 и для почти всех x\in\Omega непрерывна по u на {\mathbb R}^2). Более того, для почти всех x\in\Omega и произвольных u,h\in {\mathbb R}^2 функция F(x,u\,{+}\,th) абсолютно непрерывна по t на отрезке [0,1] и существует производная \dfrac{d}{dt}F(x,u\,{+}\,th). Для почти всех t\in [0,1] имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{dt}F(x,u+th) \\ &\qquad =f_1(x,u_1+th_1)h_1\int_0^{u_2+th_2}f_2(x,s)\,ds+f_2(x,u_2+th_2)h_2 \int_0^{u_1+th_1}f_1(x,s)\,ds \\ &\qquad\qquad +\psi_1(x,u_1+th_1)h_1+\psi_2(x,u_2+th_2)h_2 \\ &\qquad= g_1(x,u+th)h_1+g_2(x,u+th)h_2=g(x,u+th)h, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где g(x,u)=(g_1(x,u),g_2(x,u)). Следовательно, условие 2) теоремы 1 выполняется. Для того чтобы выполнялось включение (2.5) в условии 3) теоремы 1 и условие 4) этой теоремы, дополнительно потребуем: a) для почти всех x\in\Omega справедливы неравенства sf_j(x,s)\geqslant 0 для любого s\in\mathbb R (j=1,2); b) f_j(x,s-)\leqslant f_j(x,s+), \psi_j(x,s-)\leqslant\psi_j(x,s+) для почти всех x\in\Omega и всех s\in\mathbb R, j=1,2. Из условия a) следует, что для почти всех x\in\Omega интегралы \displaystyle\int_0^s f_j(x,s)\,ds, j=1,2, неотрицательны для произвольного s\in\mathbb R. Так как функции f_j(x,s), \psi_j(x,s), j=1,2, непрерывны справа для почти всех x\in\Omega, то f_j(x,s)=f_j(x,s+), \psi_j(x,s)=\psi_j(x,s+) для почти всех x\in\Omega и s\in\mathbb R. Отсюда следует, что для почти всех x\in\Omega
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \underline{g_1}(x,u)&=\liminf_{\eta\to u}g_1(x,\eta)=f_1(x,u_1-)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\psi_1(x,u_1-), \\ \overline{g_1}(x,u)&=\limsup_{\eta\to u}g_1(x,\eta)=f_1(x,u_1)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\psi_1(x,u_1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для всех u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2. Аналогично для почти всех x\in\Omega
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \underline{g_2}(x,u)&=f_2(x,u_2-)\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds+\psi_2(x,u_2-), \\ \overline{g_2}(x,u)&=f_2(x,u_2)\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds+\psi_2(x,u_2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для любых u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2, из чего заключаем, что справедливо включение (2.5) в условии 3) теоремы 1, так как g_j(x,u)=\overline{g_j}(x,u), j=1,2, для почти всех x\in\Omega и произвольных u\in\mathbb R. Проверим выполнение условия 4) теоремы 1. Рассмотрим возможные варианты выбора h=(h_1,h_2)\in {\mathbb R}^2. Пусть h_1\geqslant 0, h_2\,{\in}\,\mathbb R. Тогда для почти всех x\in\Omega существует \lim_{t\to 0+}(g_1(x,u+th)-g_1(x,u))h_1=0 при всех u\in {\mathbb R}^2, так как
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}f_1(x,u_1+th_1)=f_1(x,u_1), \qquad \lim_{t\to 0+}\psi_1(x,u_1+th_1)=\psi_1(x,u_1),
\end{equation*}
\notag
если h_1\geqslant 0, поскольку f_1(x,\cdot), \psi_1(x,\cdot) непрерывны справа на \mathbb R для почти всех x\in\Omega. Если h_1<0, h_2\in\mathbb R, то для почти всех x\in\Omega существует
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \lim_{t\to 0+}(g_1(x,u+th)-g_1(x,u))h_1 \\ &\qquad=((f_1(x,u_1-)-f_1(x,u_1))\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds +(\psi_1(x,u_1-)-\psi_1(x,u_1)))h_1\geqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
при любых u\in {\mathbb R}^2, поскольку f_1(x,u_1-)\leqslant f_1(x,u_1), \psi_1(x,u_1-)\leqslant \psi_1(x,u_1) для почти всех x\in\Omega. Аналогично доказывается, что если h_1\in\mathbb R, h_2\geqslant 0, то для почти всех x\in\Omega а в случае h_1\in\mathbb R, h_2<0 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{t\to 0+}(g_2(x,u+th)-g_2(x,u))h_2 \\ &\qquad =((f_2(x,u_2-)-f_2(x,u_2))\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds +(\psi_2(x,u_2-)-\psi_2(x,u_2)))h_2\geqslant 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для произвольного u\in {\mathbb R}^2. Таким образом, для почти всех x\in\Omega существует
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}(g(x,u+th)-g(x,u))h\geqslant 0 \quad \forall\, u,h\in {\mathbb R}^2,
\end{equation*}
\notag
и, значит, условие 4) теоремы 1 выполнено. Осталось выяснить, какие должны быть ограничения на рост f_j(x,s) и \psi_j(x,s), j=1,2, чтобы для g_j(x,u), j=1,2, были верны оценки (2.4). Будем предполагать, что для почти всех x\in\Omega
\begin{equation}
|f_j(x,s)|\leqslant c_1 |s|^{\nu-1},\quad \text{если } |s|>s_0>0,
\end{equation}
\tag{6.1}
\begin{equation}
|f_j(x,s)|\leqslant c_2,\quad \text{если } |s|\leqslant s_0,
\end{equation}
\tag{6.2}
j=1,2, c_1, c_2 – положительные константы, \nu\in (0,1). Заметим, что из (6.1) и (6.2) следует существование постоянной c_3>0 такой, что для почти всех x\in\Omega Потребуем, чтобы для \psi_j(x,u) для почти всех x\in\Omega выполнялись неравенства
\begin{equation}
|\psi_j(x,s)|\leqslant a(x)+c_4 |s|^{\nu} \quad \forall\, s\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{6.4}
где j\,{=}\,1,2, a\,{\in}\, L_{(1+\nu)/\nu}(\Omega), c_4 – положительная константа. Из оценок (6.1)–(6.4) для почти всех x\in\Omega имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|g_1(x,u_1,u_2)|=\biggl|f_1(x,u_1)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+\psi_1(x,u_1)\biggr| \\ &\quad \leqslant(\nu^{-1}c_1|u_2|^\nu+c_2s_0)c_3+a(x)+c_4|u_1|^\nu\leqslant a_1(x)+c_5|u|^\nu \quad \forall\, u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где a_1(x)=a(x)+c_2c_3s_0, c_5=\nu^{-1}c_1c_3+c_4. Аналогично для почти всех x\in\Omega
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|g_2(x,u_1,u_2)|=\biggl|f_2(x,u_2)\int_0^{u_1}f_1(x,s)\,ds+\psi_2(x,u_2)\biggr| \\ &\qquad \leqslant a_1(x)+c_5|u|^\nu \quad \forall\, u=(u_1,u_2)\in {\mathbb R}^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, для того, чтобы были верны оценки (2.4), достаточно, чтобы для функций f_j(x,s), \psi_j(x,s), j=1,2, выполнялись неравенства (6.1), (6.2) и (6.4). Итак, если функции f_j(x,s), \psi_j(x,s), j=1,2, удовлетворяют перечисленным выше условиям, то построенные по ним нелинейности g_1(x,u) и g_2(x,u) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Выделим теперь из класса нелинейностей, удовлетворяющих условиям теоремы 1, указанного выше, подкласс нелинейностей, для которых выполняются условия теоремы 2. Пусть функции f_j(x,s) и \psi_j(x,s), j=1,2, удовлетворяют условию (i), сформулированному в начале § 6, и по ним, как и выше, строятся нелинейности g_1(x,u_1,u_2) и g_2(x,u_1,u_2). Предположим, что для почти всех x\in\Omega имеем f_j(x,s)=0, если s<0, f_j(x,s)\geqslant 0, если s\geqslant 0, j=1,2. Более того, существуют положительные постоянные M_1 и M_2 такие, что функции f_j(x,s)+M_js и \psi_j(x,s)+M_js неубывающие на \mathbb R по s для почти всех x\in\Omega, j=1,2. Дополнительно предполагается, что для почти всех x\in\Omega справедливы оценки
\begin{equation}
f_j(x,s)\leqslant \widetilde{c}_1 s^{\nu-1-\varepsilon}, \quad\text{если }\ s>s_0>0,
\end{equation}
\tag{6.5}
\begin{equation}
f_j(x,s)\leqslant \widetilde{c}_2, \quad\text{если }\ 0\leqslant s\leqslant s_0,
\end{equation}
\tag{6.6}
где j=1,2, \widetilde{c}_1, \widetilde{c}_2 – положительные константы, \nu\in (0,1), \varepsilon>\nu. Из (6.5) и (6.6) следует существование \widetilde{c}_3>0 такой, что для почти всех x\in\Omega имеют место неравенства f_j(x,s)\leqslant \widetilde{c}_3 для любого s\in\mathbb R (j=1,2). Потребуем, чтобы для \psi_j(x,u) при почти всех x\in\Omega были верны неравенства (6.4), j=1,2, a\in L_{(1+\nu)/\nu}(\Omega), c_4>0. Как и ранее, можно показать, что для g_j(x,u), j=1,2, верны оценки (2.4) для почти всех x\in\Omega. Осталось проверить выполнение условия 5) теоремы 2. Так как для почти всех x\in\Omega имеем f_j(x,s)=0 при s<0 и f_j(x,s)\geqslant 0 при s\geqslant 0, то для почти всех x\in\Omega функции g_1(x,u_1,u_2) неубывающая по u_2 на \mathbb R для любого u_1\in\mathbb R и g_2(x,u_1,u_2) неубывающая по u_1 на \mathbb R для любого u_2\in\mathbb R. Пусть M>0. Для почти всех x\in\Omega для любых вещественных u_1 и \widetilde{u}_1, удовлетворяющих неравенству u_1\geqslant \widetilde{u}_1, имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(g_1(x,u_1,u_2)+Mu_1)-(g_1(x,\widetilde{u}_1,u_2)+M\widetilde{u}_1) \\ \notag &\quad=(g_1(x,u_1,u_2)-g_1(x,\widetilde{u}_1,u_2))+M(u_1-\widetilde{u}_1) \\ \notag &\quad=((f_1(x,u_1)+M_1u_1)-(f_1(x,\widetilde{u}_1)+M_1\widetilde{u}_1))\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds \\ \notag &\quad\qquad -M_1(u_1-\widetilde{u}_1)\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds+(\psi_1(x,u_1)+M_1u_1) \\ &\quad\qquad -(\psi_1(x,\widetilde{u}_1)+M_1\widetilde{u}_1) -M_1(u_1-\widetilde{u}_1)+M(u_1-\widetilde{u}_1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.7}
В силу (6.5), (6.6) получим для почти всех x\in\Omega и u_2\geqslant s_0
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant\int_0^{u_2}f_2(x,s)\,ds =\int_0^{s_0}f_2(x,s)\,ds+\int_{s_0}^{u_2}f_2(x,s)\,ds\leqslant \widetilde{c}_2s_0+\int_{s_0}^{u_2}\widetilde{c}_1s^{\nu-1-\varepsilon}\,ds \\ &=\widetilde{c}_2s_0-\frac{\widetilde{c}_1}{\varepsilon-\nu}u_2^{\nu-\varepsilon}+\frac{\widetilde{c}_1}{\varepsilon-\nu}s_0^{\nu-\varepsilon}\leqslant \widetilde{c}_2s_0+\frac{\widetilde{c}_1}{\varepsilon-\nu}s_0^{\nu-\varepsilon}=\widetilde{c}_4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда в силу (6.7) получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(g_1(x,u_1,u_2)+Mu_1)-(g_1(x,\widetilde{u}_1,u_2)+M\widetilde{u}_1) \\ &\qquad\geqslant -(\widetilde{c}_4+1)M_1(u_1-\widetilde{u}_1)+M(u_1-\widetilde{u}_1)\geqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
если M\geqslant (\widetilde{c}_4+1)M_1. Аналогичный результат верен также для g_2(x,u_1,u_2), если выбрать M\geqslant (\widetilde{c}_4\,{+}\,1)M_2. Таким образом, условие 5) теоремы 2 выполняется для достаточно большого M. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PavPot21}
Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|