Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Теоретическая и математическая физика
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2024, том 218, номер 1, страницы 60–79
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10523 (Mi tmf10523) 		 
О задаче Дирихле

А. К. Гущин

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
PDF полного текста (582 kB) Полный текст в HTML
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10523
Аннотация: За почти два века, которые прошли с постановки Гауссом задачи Дирихле для уравнения Лапласа, этой тематике и различным ее обобщениям посвящены исследования многих известных математиков. Получено много интересных и важных, ставших уже классическими результатов. Настоящая работа является расширенным изложением доклада автора на международной конференции, посвященной столетию со дня рождения В. С. Владимирова. Основным ее содержанием является обзор результатов в этом направлении, включающий в себя доказательства новых утверждений и обсуждение нерешенных задач. Целью является убедить читателя в том, что даже в случае линейного уравнения в этой “основной” задаче математической физики далеко не все известно: в этом направлении имеется много интересных и важных нерешенных вопросов.
Ключевые слова: эллиптическое уравнение, задача Дирихле, граничное значение, меры Карлесона.
Поступило в редакцию: 24.04.2023
После доработки: 24.04.2023
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages 51–67
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010045
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья

1. Классическое решение

Прежде всего отметим, что мы не можем привести сколь-нибудь полный обзор результатов, относящихся к задаче Дирихле даже для линейного эллиптического уравнения второго порядка. Рамки статьи вынуждают ограничиться только теми из них, которые тесно связаны с основной нитью изложения; более полный обзор по этой тематике и достаточно подробную библиографию можно найти, например, в работе [1]. Для описания места обсуждаемых теорем среди имеющихся придется привести ряд хорошо известных утверждений, обсудить основные постановки задачи Дирихле, их преимущества и недостатки. В центре внимания будут условия на данные задачи: правую часть уравнения, граничную функцию, коэффициенты уравнения и область, в которой рассматривается задача.

Мы будем рассматривать ограниченную область Q пространства Rn. При этом будем сначала предполагать, что ее граница ∂Q является ляпуновской поверхностью; далее мы рассмотрим процедуру, существенно расширяющую множество допустимых областей. Мы ограничимся рассмотрением линейных эллиптических уравнений второго порядка без младших членов

Lu≡n∑i,j=1aij(x)∂2u∂xi∂xj=−f(x),x∈Q,
где A(x)=(aij(x)) – равномерно в ¯QQ положительно определенная матрица с измеримыми и ограниченными элементами. Большинство обсуждаемых результатов справедливы и в случае общего линейного уравнения второго порядка.

Определение 1. Функция u:¯QQ→R является классическим решением задачи Дирихле для уравнения (1) с граничным значением u0, если

u∈C2(Q)и для всехx∈QLu(x)=−f(x),
и
u∈C(¯QQ)и для всехx∈∂Qu(x)=u0(x).

Необходимые условия разрешимости имеют вид

u0∈C(∂Q),f∈C(Q),ai,j∈C(Q).

Единственность решения немедленно следует из принципа максимума. Сильный принцип максимума для решений уравнения с переменными коэффициентами был доказан в 1927 году Хопфом. Достаточное для существования решения условие для правой части f было получено в случае уравнения Пуассона (в (1) (ai,j) – единичная матрица) в 1882 году Гёльдером: f∈Cα(¯QQ) с некоторым показателем α>0. Оно остается справедливым и для уравнения с непрерывными по Гёльдеру переменными коэффициентами. Условие Гёльдера близко к точному; его можно немного ослабить, например, заменив его условием непрерывности по Дини внутри области и ограниченности в замыкании. Но для произвольной непрерывной функции утверждение о существовании решения неверно.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа

Исследованию разрешимости рассматриваемой задачи были посвящены работы выдающихся математиков в конце XIX и в начале XX веков. Единственность решения немедленно следует, как отмечалось выше, из вытекающего из теоремы о среднем принципа максимума. Условие на правую часть уравнения было получено Гёльдером. Основное внимание было уделено теореме существования решения для любой непрерывной граничной функции u0.

Первым результатом в этом направлении был метод Дирихле (по словам Римана до 1857 года). Он заключался в нахождении минимума интеграла Дирихле

∫Q|∇v(x)|2dx.
Но при этом отсутствовали обоснование достижимости минимума этого функционала и точное описание области его определения.

Более или менее строгое (по словам В. А. Стеклова) доказательство существования решения было впервые предложено в 1870 году Нейманом. Он доказал это утверждение и теорему о существовании решений основной задачи гидродинамики, которую сейчас принято называть задачей Неймана. При этом было получено аналитическое выражение решений этих задач в виде сумм функциональных рядов. Однако метод Неймана (метод последовательных приближений) был применим только для выпуклых областей (дважды гладкая конвексная поверхность ∂Q) и использовал в то время недоказанное (и в общем случае неверное) утверждение о существовании и совпадении предельных значений изнутри и извне производных по нормали потенциала двойного слоя. Достаточное для справедливости последнего утверждения условие было установлено Ляпуновым [2] только в 1898 году. Им же были аккуратно доказаны другие свойства потенциалов простого и двойного слоев. Использование полученного Ляпуновым достаточного условия существования и совпадения внутренней и внешней правильных нормальных производных потенциала двойного слоя привело бы к весьма жестким ограничениям на граничную функцию. Не гарантирует выполнение этого свойства даже ее непрерывная дифференцируемость.

Первый результат для невыпуклой области Q был получен в 1896 году Пуанкаре [3]. В доказательстве имелся пробел – недоказанное утверждение, В. А. Стеклов назвал его фундаментальной теоремой Пуанкаре. В 1899 году Корн [4] ликвидировал этот пробел в случае звездной области. В 1901 году Заремба [5] доказал ослабленный вариант теоремы Пуанкаре. Окончательное решение этой проблемы – строгое доказательство теоремы о существовании решения для любой непрерывной граничной функции – было получено В. А. Стекловым в начале 1900-х годов; он же доказал и фундаментальную теорему Пуанкаре как следствие теоремы о разрешимости. Более подробную информацию по этому поводу можно найти в книге [6].

Ослабление требований на гладкость границы. Метод Перрона

Подробнее остановимся на условиях гладкости границы. Требование ляпуновской границы, как легко видеть, вытекает из метода исследования. Использованный метод потенциалов допускает ослабление этого условия: достаточно предположить, что нормаль к границе непрерывна по Дини. Но полностью отказаться от него нельзя: как показал в 1907 году Лебег [7], для произвольной области задача Дирихле с непрерывной граничной функцией не имеет решения.

Окончательный ответ на этот вопрос потребовал принципиально новых идей и методов. Он дается в терминах решения Перрона и регулярности граничной точки. Предложенный в 1923 году в работе Перрона [8] метод построения решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа отделяет задачу существования решения от изучения его граничного поведения. Он элементарен и опирается только на принцип максимума и доказанную еще Шварцем разрешимость задачи Дирихле в шаре. Идея метода принадлежит Пуанкаре (см. отмечавшуюся выше его работу 1889 года); Петровский [9] называл его методом Пуанкаре–Перрона.

Решением Перрона называется точная верхняя грань непрерывных в замыкании области Q субгармонических функций v, удовлетворяющих на границе неравенству v(x)⩽u0(x), x∈∂Q. Эта функция гармонична в области Q. Классическое решение задачи Дирихле, очевидно, является решением Перрона. Справедливость обратного утверждения определяется свойствами границы области. Точка x0∈∂D называется регулярной, если для любой функции u0∈C(∂Q) решение Перрона непрерывно в этой точке и принимает в ней значение, равное u0(x0). Таким образом, существование решения задачи Дирихле для любой непрерывной граничной функции эквивалентно регулярности всех граничных точек. Приведем несколько достаточных условий регулярности точек границы. В случае двух независимых переменных (n=2) точка x0∈∂D регулярна, если она является концом лежащей вне ¯QQ∖x0 кривой. При n=3 достаточным условием регулярности точки является возможность коснуться ее извне конусом, получающимся вращением вокруг оси x1 кривой x2=xk1 с некоторым показателем k>0 (см., например, [9]). Заменить в этом утверждении степенной порядок касания в вершине конуса экспоненциальным нельзя: если конус получен вращением кривой x2=e−1/x1, то классическое решение задачи Дирихле, как показал Лебег [7], не обязано существовать для всех непрерывных u0. Критерий регулярности граничной точки был получен в 1924 году Винером [10]. Он дается в терминах емкости множества

capQ=inf

Критерий Винера. Пусть \lambda – произвольное фиксированное число из интервала (0, 1). Точка x_0 \in \partial Q регулярна тогда и только тогда, когда расходится ряд

\begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} \lambda^{-k(n-2)} \operatorname{cap} \{ x \in Q\colon |x - x^0| \leqslant \lambda^k\} . \end{equation*} \notag

Приведенные выше результаты переносятся без изменений и на уравнения с переменными коэффициентами. Эквивалентность регулярности граничной точки относительно оператора \cal L и ее регулярности относительно оператора Лапласа была доказана Олейник [11] (о дальнейшем развитии этой тематики см. работу Келдыша [12]).

Уравнения с переменными коэффициентами

Идея рассматривать уравнения с достаточно гладкими переменными коэффициентами как возмущения уравнений с постоянными коэффициентами принадлежит Корну [13]. Ее реализация: доказательство существования решений задачи Дирихле (в частности, с произвольной непрерывной граничной функцией) и основные свойства решений задачи Дирихле были получены в 1929–1932 годах Жиро [14]–[16].

Другой метод исследования задачи Дирихле был предложен в 30-х годах прошлого века Шаудером [17], [18]. Как отмечалось выше, непрерывность правой части уравнения не гарантирует существования решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; достаточно потребовать выполнения условия Гёльдера: f \in C^{\alpha}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) с некоторым \alpha > 0. В этом случае, как доказано в 1909 году Корном [19], производные второго порядка решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона также удовлетворяют условию Гёльдера, причем с тем же показателем \alpha. В случае уравнения с переменными коэффициентами непосредственное (не использующее теорему существования) доказательство результата о непрерывности по Гёльдеру вторых производных решения (из C^2(Q)) было получено в 1932 году Хопфом [20]. Его метод, основанный на идее Корна возмущения уравнения с постоянными коэффициентами, предвосхищает некоторые важные аспекты теории Шаудера.

Основой метода Шаудера являются априорные оценки решений в C^{2+\alpha}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) и разрешимость задачи Дирихле для уравнения Пуассона в этом пространстве. Естественным условием существования решения в этом пространстве является соответствующая гладкость коэффициентов уравнения, границы области и граничной функции. От условия гладкости u_0 нетрудно отказаться, рассматривая весовые (внутренние) гёльдеровы нормы (см., например, [21]).

Если рассмотреть случай u_0 = 0, к которому, очевидно, сводится общий случай, то из теории Шаудера немедленно следует теорема об осуществляемом оператором \mathcal{L} изоморфизме пространства \{ v \in C^{2+\alpha}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ): для всех x \in \partial Q \; v(x) = 0\} на C^{\alpha}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ). В книге Ладыженской и Уральцевой [22] этот результат справедливо назван “безупречным во всех отношениях”.

В заключение этого раздела зафиксируем достаточные условия существования классического решения задачи Дирихле для уравнения (1):

\begin{equation*} u_0 \in C(\partial Q),\quad f \in C^{\alpha}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ),\quad a_{i,j} \in C^{\alpha}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ),\quad \alpha > 0, \end{equation*} \notag
все точки границы \partial Q являются регулярными (удовлетворяют критерию Винера).

2. Обобщенные решения

Истоки понятия обобщенного решения лежат в предложенном еще Дирихле вариационном подходе к рассматриваемой задаче и в использовании метода гильбертова пространства (см. работы Гильберта [23] и Лебега [7]).

Введенные в 1936–1938 годах Соболевым (см. работы [24]–[26] и книгу [27]) пространства дифференцируемых в обобщенном смысле функций оказались мощным аппаратом исследования краевых задач для дифференциальных уравнений (см. также [28]). Пространства Соболева идеально приспособлены к исследованию смешанных задач и задачи Коши для гиперболических уравнений, для которых в классической постановке требования на гладкость начальных функций и правой части растут с увеличением числа независимых переменных. Кроме того, они оказались весьма удобным аппаратом и в теории уравнений эллиптического типа. Расширение класса дифференцируемых функций и ослабление требований на гладкость решения позволило, в частности, с новых позиций взглянуть на задачу Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка и получить совсем простое, прозрачное доказательство ее однозначной разрешимости. Именно в таких пространствах удобно рассматривать функционал энергии (2), на отыскании экстремума которого базируется принцип Дирихле. При этом решаются многие проблемы, возникающие при работе с классическим решением.

Здесь нам будет удобно рассматривать уравнение в самосопряженном виде

\begin{equation} \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\biggl(a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr) = - f(x). \end{equation} \tag{$1'$}
При этом выполнение уравнения (1') понимается как равенство обобщенных функций:
\begin{equation*} \int_Q \biggl(\,\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} a_{ij}(x) \frac{\partial \eta}{\partial x_j}\biggr)\,dx = \langle f, \eta\rangle, \qquad \eta \in {\mathring{W}_2^1(Q)}, \end{equation*} \notag
которое, очевидно, является условием экстремали соответствующего уравнению (1') функционала энергии
\begin{equation} \int_Q [ (\nabla v(x), A(x) \nabla v(x)) - 2 f(x) v(x)]\, dx, \quad A(x) = (a_{ij}). \end{equation} \tag{$2'$}

Определение 2. Функция u является обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения (1'), если u\in W_2^{1}(Q) и выполняется равенство (1'), а след u на \partial Q совпадает с функцией u_0:

\begin{equation} u|_{\partial Q} = u_0. \end{equation} \tag{3}

Необходимые условия имеют вид

\begin{equation*} u_0 \in W_2^{1/2}(\partial Q),\quad f \in W_2^{-1}(Q),\quad a_{i,j} \in L_{\infty}(Q), \end{equation*} \notag
достаточные условия совпадают с необходимыми.

Условия на область в рассматриваемом случае определяется возможностью определить след функции на границе. Но от этого требования легко освободиться, если потребовать, чтобы граничная функция была определена на всей области Q и принадлежала пространству W_2^{1}(Q). Тогда условие (2) можно заменить требованием u - u_0 \in \mathring{W}_2^1(Q). С учетом этого замечания ограниченная область Q может быть произвольной.

Для случая u_0 = 0, к которому сводится общая ситуация, справедлива теорема об изоморфизме: оператор \mathcal{L} отображает пространство \mathring{W}_2^1(Q) на сопряженное к нему пространство \mathring{W}_2^{-1}(Q). В случае общего эллиптического уравнения второго порядка задача немедленно сводится к операторному уравнению в пространстве \mathring{W}_2^1(Q). В силу компактности оператора вложения этого пространства в L_2(Q) оператор в этом уравнении вполне непрерывен, и по теореме Фредгольма существование решения следует из утверждения о его единственности.

Если потребовать более жесткие условия на гладкость коэффициентов и правую часть уравнения, то и обобщенное решение будет более гладким. А с помощью теорем вложения Соболева можно добиться, чтобы оно стало классическим1 (конечно, для этого нужны естественные условия на граничную функцию). Мы не будем останавливаться на многочисленных результатах, относящихся к исследованию свойств обобщенных решений эллиптических уравнений. Отметим только известные работы Де Джорджи [30] и Нэша [31] (см. также [32]), в которых без дополнительных условий на коэффициенты был получен неожиданный результат о непрерывности по Гёльдеру внутри рассматриваемой области обобщенного решения однородного (с f = 0) уравнения (1'). В работе автора [33] “интегральное” свойство принадлежности решений пространству W_{2, \mathrm{loc}}^1 (Q) (пространству W_2^1 на любом лежащем в области Q компакте) и “точечное” свойство его внутренней непрерывности по Гёльдеру были объединены принадлежностью специальному функциональному пространству, определяемому в терминах конечности интегралов от квадрата разности значений функции в различных точках по специальному классу мер. Причем это объединение не является чисто интерполяционной теоремой: среди полученных таким образом промежуточных свойств имеются и свойства, которые не следуют из крайних.

Отметим, что теорема Де Джорджи не может быть получена из теорем вложения: без дополнительных условий на коэффициенты уравнения решение не обязано принадлежать пространству W_{p, \mathrm{loc}}^1 (Q) с p > 2. Для однозначной разрешимости задачи Дирихле в W_{p}^1 (Q) необходимы, кроме того, и условия на область2.

Более полное изложение результатов о свойствах решений эллиптических уравнений (в том числе теоремы о гёльдеровой непрерывности вплоть до границы и доказательство этого свойства для решений общего эллиптического уравнения) можно найти в книгах [22] и [21] (см. также работу [36]).

3. Решение из W_{2,\mathrm{{loc}}}^1(Q)

Естественное и удобное для исследования понятие обобщенного решения имеет один недостаток. Оно не является в буквальном смысле обобщением понятия классического решения: не любая непрерывная на границе функция является следом функции из W_2^1(Q). Это вызвано жестким требованием на выполнение граничного условия. Поэтому естественно возникает желание расширить определение обобщенного решения. Естественным обобщением пространств C(\partial Q) и W_2^{1/2}(\partial Q) является пространство L_2(\partial Q) (или L_p(\partial Q)).

Как было показано в 1960 году Нечасом [37], оператор, ставящий в соответствие граничной функции u_0 решение u задачи Дирихле (ограничимся случаем однородного уравнения), рассматриваемый как оператор из L_2(\partial Q) в L_2(Q), допускает ограниченное расширение на все пространство L_2(\partial Q). Но явное описание получаемой при таком расширении постановки задачи Дирихле и вариационный метод ее решения требуют более детального описания области значений этого оператора, существование у решения производных первого порядка.

Основная трудность этой задачи – это правильное понимание выполнения граничного условия. Для определения условия (3) естественно обратиться к классическим работам по граничному поведению аналитических и гармонических функций [38]–[41].

Как и в аналоге теоремы Рисса для гармонических функций, граничное значение на \partial Q можно понимать как предел в L_2 (или в L_p) по “параллельным границе” поверхностям: \partial Q_{\delta} = \{ x = x^0 + \delta \upsilon (x^0) \in Q\colon r(x) = |x - x^0| = \operatorname{dist} \{x, \partial Q\} = \delta, x^0 \in \partial Q\}, 0 < \delta < \delta_0, с некоторым (достаточно малым) числом \delta_0, \upsilon (x^0) – внутренняя нормаль к \partial Q в точке x^0 = x^0(x) \in \partial Q (x \in \partial Q_{\delta}), на которой достигается наименьшее расстояние до границы. Если граница дважды гладкая, \partial Q \in C^2, то, как легко видеть, при достаточно малых значениях параметра \delta и поверхность \partial Q_{\delta} \in C^2 и отображение x^0 = x^0(x) взаимнооднозначно.

Определение 3. Функция u называется решением из W_{2,\mathrm{loc}}^1(Q) задачи Дирихле (1'), (3) с u_0 \in L_2 (или u_0 \in L_p ), если u \in W_{2,\mathrm{loc}}^1(Q) и ее следы u|_{\partial Q_{\delta}}(x(x^0)) на поверхности \partial Q_{\delta} (как функции точки x_0 \in \partial Q) сходятся в L_2(\partial Q) (или, соответственно, принадлежат L_p(\partial Q) и сходятся в этом пространстве) к граничной функции u_0.

Среди многочисленных работ этого направления следует отметить результаты статьи Михайлова [42], в которой было введено это определение и получены основные результаты о разрешимости, и более позднюю работу [43], в которой доказаны эти теоремы с наименьшими условиями на данные задачи. Далее мы остановимся на наиболее простом случае p = 2.

Достаточные условия разрешимости: u_0 \in L_2(\partial Q), а коэффициенты a_{i,j} \in L_{\infty}(Q) и непрерывны по Дини на \partial Q, т. е. они могут быть так изменены на множестве меры нуль, что полученные функции непрерывны по Дини на границе:

\begin{equation} \begin{gathered} \, \text{для всех} \; x \in \partial Q \quad \text{и всех} \quad y \in \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \\ |a_{i,j}(x) - a_{i,j}(y)| \leqslant \omega (|x - y|), \quad \text{где} \quad \int_0 \frac{\omega (t)}{t}\, dt < \infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{4}
Условия на коэффициенты не являются точными. Но совсем отказаться от условия (4) нельзя: нарушается утверждение о единственности решения. Соответствующий пример приведен в работе [44].

Замечание 1. Напомним, что для однозначной разрешимости в пространстве W^1_2(Q) дополнительное условие типа (4) не требуется. Но в этом случае в принятии граничного значения u_0 вместо предела в L_2 следов решения справедливо существенно более сильное условие

\begin{equation*} \| u|_{\partial Q_{\delta}}(x(\cdot)) - u_0(\cdot) \|_{L_2(\partial Q)} = o(\sqrt{\delta}). \end{equation*} \notag
Таким образом, отказ от требования принятия граничного значения с порядком требует дополнительного условия на коэффициенты. Интересно, что будет, если потребовать выполнения аналогичного соотношения с более слабым убыванием, например с удовлетворяющим условию Дини модулем непрерывности.

Требование на правую часть уравнения (1')

Она представляется в виде f(x) = g(x) - \operatorname{div} G(x), где

\begin{equation} \int_Q {r^{3}(x)} \frac{|g(x)|^2}{\omega (r(x))}\, dx < \infty, \qquad \int_Q {r(x)} \frac{|G(x)^2|}{\omega (r(x))}\, dx < \infty. \end{equation} \tag{5}
Напомним, что r(x) – расстояние от точки x до границы \partial Q, а функция \omega (t) удовлетворяет условию Дини – последнему неравенству из формулы (4) (по поводу условий на правую часть уравнения см. работу [43]). Отметим, что взять в (5) функцию \omega = 1 нельзя (см. пример в [42]).

Кроме того, как отмечалось выше, определение решения требует гладкости границы области. Условие \partial Q \in C^2 можно ослабить: достаточно потребовать, чтобы граница имела непрерывную по Дини нормаль (см. [44]).

Заметим еще, что в статье [42] рассмотрено общее эллиптическое уравнение второго порядка. Доказано, что спектр порождающего рассматриваемой задачей оператора и соответствующие собственным значениям собственные функции совпадают со спектром и собственными функциями задачи в пространстве W_2^1(Q).

Основную проблему рассмотренный подход решает. Но от условий гладкости границы в предложенном принятии граничного значения освободиться невозможно. Это обстоятельство и стремление отказаться от выделенного направления (нормали) явились причиной дальнейшего исследования. Следующим этапом в изучении этого вопроса явилось введение пространства (n-1)-мерно непрерывных функций, являющихся, как мы увидим, естественным обобщением непрерывных функций. Эти функции имеют следы на любом замкнутом множестве положительной (n-1)-меры Хаусдорфа. Граничное условие (3) понимается как равенство u_0 следа решения на границе.

4. Пространство {s}-мерно непрерывных функций. Решение задачи Дирихле из C_{{n}-1,{p}}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q )

Пространство s-мерно непрерывных функций C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) было введено в работе [30]. Мы будем рассматривать эквивалентное определение этого понятия, которое содержится в статье [45].

Обозначим символом {\cal M}_{s}, где 0 \leqslant s \leqslant n , множество борелевских неотрицательных мер \mu с носителями в \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q , удовлетворяющих оценке

\begin{equation} \exists\, C>0 \quad \forall \,r>0, \quad \forall\, x^0\in \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \quad \mu (B_{x^0}(r)) \leqslant C r^{s}, \end{equation} \tag{6}
B_{x^0}(r) = \{ x \in \mathbb{R}\colon |x - x^0| < r\}. Точную нижнюю грань постоянных C, с которыми выполнено неравенство (6), будем называть нормой меры \mu в \mathcal{M}_s и обозначать \|\mu\|_s = \|\mu\|.

Заметим, что с этой нормой (в которой мера \mu заменена ее полной вариацией) пространство зарядов, являющееся линейной оболочкой \mathcal{M}_s, будет банаховым.

Возьмем две произвольные меры \mu и \nu из \mathcal{M}_s; нам будет удобно считать их единичными: \mu( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) = \nu( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) = 1. Соединяющей (или сплетающей) их мерой \phi будем называть неотрицательную (борелевскую) меру \phi в \mathbb{R}_{2n}, проекция которой на первые n переменных равна \mu, а на вторые равна \nu: для любого борелевского множества G \subset \mathbb{R}_n

\begin{equation} \phi(G \times \mathbb{R}_n) = \mu (G) \quad \text{и} \quad \phi(\mathbb{R}_n \times G) = \nu (G). \end{equation} \tag{7}

Определение 4 (см. [45]). Функция v\colon \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \to \mathbb{R} называется s-мерно непрерывной со значениями в L_p, p > 1, и обозначается v \in C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ), если для любого \varepsilon > 0 существует такое \delta> 0, что для любых \mu и \nu из \mathcal{M}_s и соединяющей их меры \phi, удовлетворяющих условию

\begin{equation} \int\!\!\!\int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt \times \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } |x-y|\, d\phi (x,y) < \delta, \end{equation} \tag{8}
справедлива оценка
\begin{equation} \frac{1}{\|\mu\| + \|\nu\|} \int\!\!\!\int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt \times \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } |v(x)-v(y)|^p\, d\phi (x,y) < \varepsilon. \end{equation} \tag{9}

Можно рассматривать функцию из C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) как отображение, ставящее в соответствие каждой мере \mu из класса \mathcal{M}_s элемент пространства L_p(\mu) – след этой функции на \mu. Соотношение (8) можно интерпретировать как близость мер, а соотношение (9) – как близость значений (следов) функции u(x) на мерах \mu и \nu (вдоль соединяющей их меры \phi).

На пространстве C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) вводится норма

\begin{equation} \|u\|^p_{{C_s( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt )}} = \sup\limits_{\mu \in \mathcal{M}_s} \frac{1}{\|\mu\|} \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt }|u|^p\,d\mu(x). \end{equation} \tag{10}

Отметим, что при обсуждаемом взгляде на s-мерно непрерывные функции, очевидно, отпадает необходимость в отождествлении аргументов: мера \mu \in \mathcal{M}_s имеет норму 0 тогда и только тогда, когда \mu = 0. В представлении, когда аргументом функции является точка x \in \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q , такое обсуждение необходимо (см. [45]).

Всюду далее мы будем считать, что выполнено следующее условие:

\begin{equation*} \exists\, c>0, \; \exists\, r_0 > 0\colon\, \forall \,r \in (0, r_0), \; \forall x^0 \in Q \quad \mathop{\operatorname{mes}}_{n}(Q\cap B_{x^0}(r)) \geqslant c r^n. \end{equation*} \notag

1. Пространство C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) с нормой (10) является банаховым. Пространство непрерывных функций C( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) = C_{0,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) плотно в нем; C_{n,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) = L_p(Q). В частности, эквивалентным определением обсуждаемого понятия является пополнение пространства непрерывных функций c введенной нормой (см. [44]).

Следует отметить, что можно дать еще одно эквивалентное определение пространства C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ). Пусть E – ограниченное множество в \mathbb{R}_n, а \{ B(r_i)\} – некоторое покрытие его шарами радиусов r_i; будем считать их замкнутыми. Рассмотрим функцию множеств

\begin{equation*} \mathbf{M}_s(E) = \inf\biggl\{\sum_{i-1}^{\infty}r_i^{s}, \; \bigcup_{i=1}^{\infty} B(r_i) \supset E \biggr\}, \end{equation*} \notag
где точная нижняя грань берется по всем покрытиям. Определим на пространстве непрерывных в замыкании Q функций функционал
\begin{equation*} \biggl\{ \int_0^{\infty}\mathbf{M}_s(\{ x \in \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q : |v(x)|^p \geqslant \lambda\})\, d\lambda \biggr\}^{1/p}, \qquad v \in C( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ). \end{equation*} \notag

Этот функционал не является нормой, не выполнено неравенство треугольника. Однако он оценивается снизу и сверху с зависящими только от размерности пространства n и показателя p постоянными нормой из (10). Из (6) и определения функции M_s немедленно следует неравенство

\begin{equation*} \mu (E) \leqslant \|\mu\| M_s(E) \quad \text{для любой} \quad \mu \in \mathcal{M}_s, \end{equation*} \notag
из которого вытекает оценка нормы сверху. Более сложная оценка снизу получается с помощью утверждения леммы 2 работы [44]. Тем самым мы имеем следующее утверждение.

Существует такая постоянная C = C(n,p) > 0, что для всех v \in C( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) справедливы оценки

\begin{equation*} \| v \|_{C_s( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt )} \leqslant \biggl\{\int_0^{\infty} \mathbf{M}_s(\{ x \in \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q : |v(x)|^p \geqslant \lambda\})\, d\lambda \biggr\}^{1/p} \leqslant С \| v \|_{C_s( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt )}. \end{equation*} \notag

2. Шкала пространств C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) обладает свойством монотонного возрастания по параметру s с соответствующей оценкой норм. Для функции из пространства C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) естественно определяется понятие следа на произвольном замкнутом подмножестве положительной s-меры Хаусдорфа. Множество всех следов функции из C_{n-1,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) на гладкой поверхности \Gamma совпадает с пространством L_p(\Gamma). Но существование предела в L_p(\partial Q) следов функции на \partial Q_{\delta} при \delta \to 0 (см. обозначения в разделе 3) и ее гладкость внутри области не гарантирует принадлежности ее пространству C_{n-1,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ).

3. Следующее утверждение является еще одним критерием принадлежности функции пространству s-мерно непрерывных функций.

Теорема 1. Принадлежащая для всех \mu \in \mathcal{M}_s пространству L_p({ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q }; \mu) функция v принадлежит пространству C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) тогда и только тогда, когда построенное по ней семейство

\begin{equation} \frac{1}{\|\mu\|} \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } \biggl[ \frac{1}{\operatorname{mes}_{n} (Q\cap B_x(\rho))} \int_{h \in B_0(\rho), x+h \in Q} |v(x)-v(x+h)|^p\, dh \biggr]\, d\mu(x) \end{equation} \tag{11}
равномерно по \mu \in\mathcal{M}_s стремится к нулю при \rho \to 0.

Эта теорема показывает, что в определении s-мерно непрерывных функций не обязательно брать две произвольные “близкие” меры и произвольную соединяющую их меру \phi. Достаточно для любой \mu \in \mathcal{M}_s рассмотреть только специальные “близкие” к ней меры и специальное соединяющее их семейство мер \phi_{\rho}, определенное равенством

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int\!\!\!\int_{\mathbb{R}_{2n}} g(x,y)\, d\phi_{\rho}(x,y)&= \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } \frac{1}{\operatorname{mes}_n (Q\cap B_x(\rho))} \biggl[ \int_{Q\cap B_x(\rho)} g(x,y) dy\biggr] d\mu(x) \end{aligned} \end{equation*} \notag
для всех g \in C({ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \times \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q }). То есть рассматривается произвольная мера \mu \in \mathcal{M}_s на диагонали \{x = y\} и в каждой ее точке в ортогональном этой диагонали подпространстве берется нормированная n-мерная мера Лебега, сосредоточенная на соответствующей части шара с центром в этой точке.

Доказательство теоремы 1. Прежде всего заметим, что в определение (11) входит выражение d\mu/\|\mu\|. Поэтому можно считать, что мера \mu нормирована: \mu (\mathbb{R}_n) = 1. Очевидно, что проекции \phi_{\rho}' мер \phi_{\rho} на первые n переменных равны \mu \in \mathcal{M}_s. Рассмотрим проекцию на последние n переменных:

\begin{equation*} \nu (G) = \nu_{\rho}(G) = \phi_{\rho}''(G) = \phi_{\rho}(\mathbb{R}_n \times G) = \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } \frac{1}{\operatorname{mes}_n (Q\cap B_x(\rho))} \biggl[ \int_{Q\cap B_x(\rho)\cap G} dy\biggr] d\mu(x). \end{equation*} \notag

Докажем, что для всех \rho > 0 мера \nu = \nu_{\rho} \in \mathcal{M}_s и ее норма равномерно по \rho > 0 ограничена: \forall \rho > 0, \forall \mu \in \mathcal{M}_s \|\nu_{\rho}\| \leqslant \mathrm{const} \,{\|\mu\|}.

Для этого рассмотрим

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \nu_{\rho}(B_{y^0}(r)) &= \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } \frac{\operatorname{mes}_n(Q\cap B_x(\rho)\cap B_{y^0}(r))}{\operatorname{mes}_{n} (Q\cap B_x(\rho))}\, d\mu(x) \leqslant{} \\ &\leqslant C(Q) \frac{\operatorname{min}{\{ r^n, \rho^n\}}}{\rho^n} \|\mu\| r^s \leqslant C(Q) \|\mu\| r^s. \end{aligned} \end{equation*} \notag
Кроме того, так как носитель мер \phi_{\rho} стремится к диагонали \{x = y\} при \rho \to 0, то для любого \delta условие (8) выполнено при всех достаточно малых \rho. Следовательно, если функция v принадлежит пространству C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ), то построенное по ней семейство (11) равномерно по \mu \in\mathcal{M}_s стремится к нулю при \rho \to 0.

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть семейство (11) равномерно по \mu \in \mathcal{M}_s стремится к нулю при \rho \to 0. Рассмотрим выражение

\begin{equation*} I(v; \mu; \rho) = \frac{1}{\|\mu\|} \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt }\, \biggl| v(x) - \frac{1}{\operatorname{mes}_{n} (Q\cap B_x(\rho))} \int_{y \in B_x(\rho) \cap Q} v(y)\, dy \biggr|^p d\mu(x). \end{equation*} \notag
Преобразуем его следующим образом:
\begin{equation*} \begin{aligned} \, I(v; \mu; \rho) ={}& \frac{1}{\|\mu\|} \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } \, \biggl|\frac{1}{\operatorname{mes}_{n} (Q\cap B_x(\rho))} \int_{y \in B_x(\rho) \cap Q} v(x)\, dy -{} \\ &- \frac{1}{\operatorname{mes}_{n} (Q\cap B_x(\rho))} \int_{y \in B_x(\rho) \cap Q} v(y)\, dy \biggr|^p d\mu(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag
И оценим его с помощью неравенства Гёльдера:
\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathop{\operatorname{sup}}_{\mu\in\mathcal{M}_s} I(v; \mu; \rho)& \leqslant \frac{1}{\|\mu\|} \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt }\, \biggl[ \frac{1}{\operatorname{mes}_{n} (Q\cap B_x(\rho))}\times{} \\ &\times \int_{h \in B_0(\rho), x+h \in Q} |v(x)-v(x+h)|^p\, dh \biggr]d\mu(x) \to 0 \quad \text{при}\,\, \rho \to 0. \end{aligned} \end{equation*} \notag
То есть функция v является пределом семейства непрерывных функций.

4. Отметим еще одно нетривиальное свойство рассматриваемых пространств. Следует ли из принадлежности функции пространству C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) с (0 <) s < n ее принадлежность C_{n,q}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) = L_q(Q) с q > p? Можно привести пример, показывающий, что для гладкой внутри круга \{ |x|<1 \} функции, норма которой в L_p(\{ |x|=r \}) стремится к нулю при r \to 1, это свойство не выполняется. Тем не менее для s-мерно непрерывных функций оно верно. Более того, справедливо следующее более сильное утверждение.

Теорема 2 [45]. При p' \leqslant p \frac{s'}{s} справедливо вложение

\begin{equation*} C_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) \subset C_{s',p'}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ). \end{equation*} \notag
При p \geqslant r \frac{n-1}{n-r}, r \geqslant 1, справедливо вложение
\begin{equation*} W_r^1(Q) \subset C_{n-1,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ). \end{equation*} \notag

Показатели суммируемости в этих утверждениях точные.

5. Задача Дирихле в C_{{n}-1,{p}}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q )

Рассмотрим сначала однородное уравнение

\begin{equation} \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}\biggl(a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr) = 0, \qquad x \in Q. \end{equation} \tag{$1_0$}
При этом будем предполагать, что коэффициенты уравнения непрерывны по Дини на границе. Будем также считать, что граница области принадлежит классу C^1 и нормаль к ней непрерывна по Дини.

Определение 5. Функция u \in {W_{2,\mathrm{loc}}^1(Q)} \cap C_{n-1,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) называется решением задачи Дирихле (1_0), (3) из C_{n-1,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ), если она удовлетворяет уравнению в смысле обобщенных функций и ее след на границе равен заданной функции u_0.

Обозначим через \Gamma (x^0) = \Gamma(x^0; a) лежащий в области Q открытый усеченный конус раствора a > 0 фиксированной высоты h_0 с вершиной в точке x^0 \in \partial Q, ось которого направлена по внутренней нормали \nu (x^0); в местной системе координат \{ y_1, y_2, \dots, y_n \} (начало координат находится в точке x^0, а ось y_n направлена по нормали \nu (x_0)) этот конус описывается неравенствами 0 < y_n < h_0, |y'| < a y_n. Высоту h_0 = h_0(a, Q) (она одинакова для всех x^0 \in \partial Q) выберем достаточно малой; в частности, будем считать, что границы конуса и области пересекаются только по вершине x^0. Пусть

\begin{equation*} M(x^0) = \sup\{ |u(x)|\colon x \in \Gamma (x^0; a)\}, \quad x^0 \in \partial Q, \end{equation*} \notag
– некасательная максимальная функция для решения u. Обозначим через \mathcal{S}(x') интеграл площадей Лузина функции v(x) = |u(x)|^{p/2}:
\begin{equation*} \mathcal{S}(x') = \mathcal{S}(x'; a) = \biggl[\, \int_{\Gamma (x'; a)} y_n^{2-n} |\nabla v(y)|^2\, dy\biggr]^{1/2}. \end{equation*} \notag

Теорема 3 [46]. Для любой p > 1 и всех u_0 \in L_p(\partial Q) существует решение из C_{n-1, p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) задачи Дирихле (1_0), (3). Это решение единственно, и для него справедлива оценка

\begin{equation} \begin{aligned} \, \int_{\partial Q} \!|u_0(x)|^p\, dS& \leqslant \mathrm{const}\, \| u\|_{C_{n-1, p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q )}^p \leqslant \mathrm{const} \int_{\partial Q} M^p(x)\, dS \leqslant{} \notag \\ &\leqslant \mathrm{const} \int_{\partial Q} \mathcal{S}^2(x)\, dS + \mathrm{const} \int_{Q}|u|^p\, dx \leqslant \mathrm{const} \int_{\partial Q} |u_0(x)|^p\, dS, \end{aligned} \end{equation} \tag{12}
где постоянные (вообще говоря, разные) не зависят от u_0.

Кратко остановимся на неоднородном уравнении (1'). Рассмотрим для простоты случай p = 2. Будем предполагать, что правая часть f = g - \operatorname{div} G удовлетворяет условиям

\begin{equation} \int_Q {r^{3}(x)}\ln^{3/2}(r(x)) |g(x)|^2\, dx < \infty, \qquad \int_Q {r(x)}\ln^{3/2}(r(x)) |G(x)|^2\, dx < \infty, \end{equation} \tag{$5'$}
где r(x) – расстояние от точки x до границы \partial Q. Граничная функция u_0 \in L_2(\partial Q).

Теорема 4 [43]. Для любого u_0 \in L_2(\partial Q) и функции f = g - (\nabla G), удовлетворяющей условиям (5'), существует решение u \in C_{n-1,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) задачи Дирихле для уравнения (1). Это решение единственно, и для него справедлива оценка

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|u\|_{C_{n-1}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt )}^2 &+ \int\!\!\!\int_Q r(x) |\nabla u|^2\, dx \leqslant{} \\ &\leqslant \mathrm{const}\, \|u_0\|^2_{L_2(\partial Q)} + \mathrm{const} \int_D r^{3}(x)\ln^{3/2}(r(x)) |g(x)|^2\, dx +{} \\ &\quad + \mathrm{const} \int_D r(x)\ln^{3/2}(r(x)) |G(x)|^2\, dx. \end{aligned} \end{equation*} \notag

Добавим комментарий к условиям (5'). Как отмечалось выше для предложенного Михайловым решения из W_{2,\mathrm{loc}}^1(Q) (см. определение 3), функцию {\ln^{3/2}(r(x))} в (5') можно заменить на 1/\omega (r(x)), где \int_0 \frac{\omega (t)}{t}\, dt < \infty. Такое ослабление условий на правую часть уравнения в рассматриваемом в этом разделе случае невозможно. Но почему степень логарифма должна быть именно 3/2? В каких терминах должно формулироваться необходимое и достаточное условие? Можно сформулировать близкое к необходимому естественное достаточное условие для круга (см. [47]).

Более трудным является случай p \ne 2. Сложность заключается в том, что без дополнительных условий на коэффициенты уравнения нельзя утверждать принадлежность решения пространству W_{p,\mathrm{loc}}^1(Q). В случае p > 2 такое решение может не существовать, а для p \in (1,2) несправедливо утверждение о единственности. Не помогает и условие гладкости коэффициентов на границе3.

Многие из приведенных результатов распространяются и на уравнения с младшими членами (см. [48]–[50]).

В заключение этого раздела зафиксируем обсужденные выше достаточные условия разрешимости задачи (1'), (3) в пространстве (n-1)-мерно непрерывных функций. При этом остановимся только на случае p = 2.

Граничная функция u_0 \in L_2(\partial Q).

Правая часть f = q - \operatorname{div} G удовлетворяет условию (5').

Коэффициенты уравнения {a_{ij}} измеримы и ограничены внутри области и непрерывны по Дини на границе.

Последнее условие можно несколько ослабить, но совсем отказаться от него нельзя.

Нормаль к границе непрерывна по Дини.

По-видимому, это условие может быть существенно ослаблено. Но для этого нужны новые идеи, необходим аналог метода Пуанкаре–Перрона. Кроме того, есть основания считать, что точное условие должно одновременно учитывать и коэффициенты уравнения, и границу области.

6. Свойство внутренней непрерывности решения. Теорема Карлесона

Обсудим вопрос о том, насколько соответствует задаче выбор класса мер. Можно ли его расширить и получить новые свойства решений?

Теорема 2 остается справедливой, если потребовать, чтобы рассматриваемые меры удовлетворяли аналогичной (6) оценке, в которой точка x^0 берется не из замыкания области Q, а только на ее границе \partial Q. То есть можно потребовать, чтобы выполнялось условие

\begin{equation} \exists\, C>0\colon\quad \forall \,r>0, \,\, \forall \, x^0 \in \partial{Q} \quad \mu (B_{x^0}(r)) \leqslant C r^{s}; \end{equation} \tag{$6'$}
напомним, что B_{x^0}(r) = \{ x \in \mathbb{R}\colon |x - x^0| < r\}. Множество таких мер обозначим через \mathcal{M}_{s}'; легко видеть, что {\cal M}_{s}' \supset \mathcal{M}_s. Точную нижнюю грань постоянных C, с которыми выполнено неравенство (6'), будем называть нормой меры \mu в \mathcal{M}_{s}' и обозначать \|\mu\|_s', \|\mu\|_s' \geqslant \|\mu\|_s. Отметим, что \mathcal{M}_{n-1}' – это множество всех мер Карлесона.

Построение функций на таких мерах осуществляется по той же схеме, как и в разделе 4; аналогично формулируются и доказываются основные их свойства.

Определение 4'. Будем говорить, что функция v\colon \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q \to \mathbb{R} принадлежит пространству C^0_{s,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ), если для любого \varepsilon > 0 существует такое \delta> 0, что для любых \mu и \nu из \mathcal{M}_s' и меры \phi в \mathbb{R}_{2n}, удовлетворяющих условиям

\begin{equation} \phi(G \times \mathbb{R}_n) = \mu (G), \qquad \phi(\mathbb{R}_n \times G) = \nu (G) \end{equation} \tag{$7'$}
и
\begin{equation} \int\!\!\!\int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt \times \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } |x-y|\, d\phi (x,y) < \delta, \end{equation} \tag{$8'$}
справедлива оценка
\begin{equation} \frac{1}{\|\mu\|_s' + \|\nu\|_s'} \int\!\!\!\int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt \times \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q } |v(x)-v(y)|^p\, d\phi (x,y) < \varepsilon. \end{equation} \tag{$9'$}

Как и выше, можно рассматривать функцию из C_{s,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) как отображение, ставящее в соответствие каждой мере \mu из класса \mathcal{M}_s' элемент пространства L_p(\mu) – след этой функции на \mu. Соотношение (8') можно интерпретировать как близость мер, а соотношение (9') – как близость значений (следов) функции u(x) на мерах \mu и \nu (вдоль соединяющей их меры \phi).

На пространстве C_{s,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) вводится норма

\begin{equation} \|u\|^p_{{C_{s,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt )}} = \mathop{\operatorname{sup}}_{\mu \in \mathcal{M}_s'} \frac{1}{\|\mu\|_s'} \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt }|u|^p\, d\mu(x). \end{equation} \tag{$10'$}

Пространство C_{s,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) с нормой (10') является банаховым. Пространство непрерывных функций C( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) = C_{0,p}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) = C_{0,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) плотно в нем. В частности, эквивалентным определением обсуждаемого понятия является пополнение непрерывных функций c введенной нормой.

Как и в разделе 4, справедлив cледующий критерий принадлежности функции рассматриваемому пространству.

Теорема 1'. Принадлежащая для всех \mu \in \mathcal{M}_s' пространству L_p(Q; \mu) функция v принадлежит пространству C_{s,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) тогда и только тогда, когда построенное по ней семейство

\begin{equation} \frac{1}{\|\mu\|_s'} \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt }\, \biggl[ \frac{1}{\operatorname{mes}_{n} (Q\cap B_x(\rho))} \int_{h \in B_0(\rho), x+h \in Q} |v(x)-v(x+h)|^p\, dh \biggr] d\mu(x) \end{equation} \tag{$11'$}
равномерно по \mu \in \mathcal{M}_{s}' стремится к нулю при \rho \to 0.

Доказательство этого утверждения в основном повторяет соответствующие рассуждения из раздела 4.

Кроме того, предложенное расширение класса мер, как легко видеть, немедленно дает свойство непрерывности функции из C_{s,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) внутри области Q. А в силу следующего утверждения, которое доказывается, как и теорема 3, следует свойство внутренней непрерывности решения задачи Дирихле для однородного уравнения.

Теорема 3'. Для любого p > 1 и любой граничной функции u_0 \in L_p(\partial Q) существует решение u \in C_{n-1,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q ) задачи Дирихле для однородного уравнения (1_0). Это решение единственно, и для него справедлива оценка

\begin{equation} \|u\|^p_{C_{s,p}^0( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt )} \leqslant \mathrm{const} \int_{\partial Q} |u_0(x)|^p\, dS \end{equation} \tag{$12'$}
с не зависящей от u_0 постоянной.

Следующая теорема показывает, что дальше по этому пути двигаться нельзя. Получить дальнейшие свойства решений с помощью расширения класса конечных мер невозможно.

Теорема 5 [51]. Оценка

\begin{equation*} \int_{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern4.8pt}\kern-5.8pt Q\kern0.2pt } |u(x)|^p\, d\mu (x) \leqslant \mathrm{const} \int_{\partial Q} |u_0(x)|^p\, dS \end{equation*} \notag
справедлива для всех u_0 \in L_p(\partial Q) тогда и только тогда, когда мера \mu является мерой Карлесона. При этом C = C(Q,p) \|\mu\|_{s}'.

Для аналитической в круге функции с граничным значением u_0 \in L_p(|z|=1) эта теорема была доказана в работах Карлесона [52], [53]. Для гармонических функций в ограниченной области пространства \mathbb{R}_n этот результат был установлен в работе Хёрмандера [54].

7. Обобщение свойства непрерывности по Гёльдеру

Следующее направление было порождено изящными работами Де Джорджи и Нэша о внутренней гёльдеровой непрерывности решений уравнения (1_0) [30], [31] (см. также [32]). Вопрос, интересующий нас, формулируется следующим образом. Какими промежуточными свойствами между принадлежностью пространства Соболева W_{2,\mathrm{loc}}^1(Q) и пространства Гёльдера C_{\mathrm{loc}}^\alpha(Q) с некоторым \alpha > 0 обладает решение уравнения (1_0)? Есть ли среди них те, которые не вытекают из крайних?

Такие промежуточные свойства есть. Причем в близких к оценке (9) (с p = 2) терминах – в терминах ограниченности интеграла

\begin{equation} \int\!\!\!\int_{D} |v(x)-v(y)|^2\, d\phi \end{equation} \tag{13}
по неотрицательной, но не обязательно конечной мере Бореля \phi на множестве D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}_{2n}\colon |x - y| \ne 0\} с носителем в D \cap \{ {\overline{Q'}} \times \overline{Q'}\}; область Q' задана и компактно принадлежит Q'', а Q'' компактно принадлежит Q; \delta_0 = \frac{1}{4}\operatorname{dist}\{ Q', \partial Q''\}.

Отметим, что для любого \sigma > 0 мера \phi компакта D_{\sigma} = \{(x, y)\in {\overline{Q'}} \times \overline{Q'}\colon |x - y| \geqslant \sigma\} конечна; \phi_\sigma – сужение меры \phi на D_\sigma; будем считать, что 0 < \sigma \leqslant \delta_0 < 1.

Определение 6. Неотрицательная борелевская мера \Phi_{\sigma} в D \times \mathbb{R}_1 является допустимым разложением меры \phi_\sigma, если ее носитель лежит в объединении множеств \{ (x, y, t) \in \mathbb{R}_{2n+1}\colon \sigma \leqslant |x - y| \leqslant t \leqslant \delta_0 \} и \{ (x, y, t) \in \mathbb{R}_{2n+1}\colon |x - y| > \delta_0, \, t = \delta_0\}, а проекция на пространство первых 2n переменных совпадает с разлагаемой мерой \phi_\sigma.

Определение 7. Мера \phi принадлежит классу \mathcal{M}^+ = \mathcal{M}^{\alpha ,+}(Q'), если

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \| \phi \|_\mathcal{M} &= \| \phi \|_{\mathcal{M}^{\alpha ,+}(Q')} ={} \\ &=\lim_{\sigma\to +0} \inf_{\Phi_{\sigma}} \sup_{z\in\mathbb{R}_n} \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\{(x,y,t)\in D\times\mathbb{R}_1: |x+y-z|\leqslant 2t\}}\!\!\biggl(\frac{|x-y|}{t}\biggr)^{2\alpha}\frac{d\Phi_\sigma}{t^{n - 2}}<\infty; \end{aligned} \end{equation*} \notag
здесь точная нижняя грань берется по всем допустимым разложениям \Phi_{\sigma} меры \phi_{\sigma}.

Теорема 6 [33]. Существуют такие постоянные \alpha_0 \in (0, 1), C_1 > 0 и C_2 > 0, зависящие только от размерности пространства n и постоянной эллиптичности \gamma, что для любого решения u уравнения (1_0) и любой меры \phi \in \mathcal{M}^{\alpha_0,+}(Q') справедлива оценка

\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{1}{\|\phi\|_{\mathcal{M}^{\alpha_0,+}(Q')}}& \int\!\!\!\int_{ D} | u(x) - u(y)|^2 \, d\phi \leqslant{} \\ &\leqslant C_1 \int_{Q''} |\bigtriangledown u(x) |^2 \, dx + \frac{C_2}{\delta_0^{n+2}} \int\!\!\!\int_{Q'' \times Q''} |u(y) - u(x)|^2 \, dx\, dy. \end{aligned} \end{equation*} \notag

Определение 8. Функция v \in L_2(Q') принадлежит пространству \mathcal{G}^{\alpha}(\overline{Q'}), где 0 < \alpha <1, если конечна ее норма:

\begin{equation*} \| v\|_{\mathcal{G}^{\alpha}(\overline{Q'})} = \| v\|_{L_2(Q')} + \sup_{\phi\in\mathcal{M}^{\alpha ,+}} \biggl[\frac{1}{\|\phi\|_{\mathcal{M}^{\alpha,+}}} \int\!\!\!\int_D |v(x) - v(y)|^2\, d\phi\biggr]^{1/2} < \infty. \end{equation*} \notag

Из теоремы 6 следует, что решение u уравнения (1_0) принадлежит введенному пространству при \alpha = \alpha_0.

Рассмотрим следствия полученного утверждения. Предположим, что v \in \mathcal{G}^{\alpha}(\overline{Q'}). Пусть мера \phi удовлетворяет условию

\begin{equation*} \int\!\!\!\int_D |x - y|^{2\alpha}\, d\phi < \infty. \end{equation*} \notag
Тогда, взяв разложение \Phi_\sigma с носителем на \{t = \delta_0\}, немедленно получаем, что \phi \in \mathcal{M}^{\alpha,+} и
\begin{equation*} \| \phi \|_{\mathcal{M}^{\alpha,+}} \leqslant \delta_0^{2-n-2\alpha} \int\!\!\!\int_D |x - y|^{2\alpha}\, d\phi. \end{equation*} \notag
Следовательно,
\begin{equation*} \int\!\!\!\int_D |v(x) - v(y)|^2\, d\phi \leqslant \delta_0^{2-n-2\alpha} (\| v\|_{\mathcal{G}^\alpha(\overline{Q'})})^2 \int\!\!\!\int_D |x - y|^{2\alpha}\, d\phi. \end{equation*} \notag
Отсюда немедленно получаем гёльдерову непрерывность с показателем \alpha функций из \mathcal{G}^\alpha (\overline{Q'}).

Если взять меру \phi с носителем на множестве \{ (x,y)\colon |x-y| = h_0 = \mathrm{const}\} и ее разложение с носителем на \{ |x - y| = t\}, то получим вложение введенного пространства в W^1_2(Q').

Для значений параметра t из интервала (|x - y|, \delta_0) получаем другие, “промежуточные” свойства функций из пространства \mathcal{G}^{\alpha}(\overline{Q'}). Среди них есть и те, которые не следуют из принадлежности C^\alpha (\overline{Q'}) и W^1_2(Q') (см. [33]).

В заключение отметим, что формы определения класса \mathcal{M}^{\alpha ,+}(Q') и пространства \mathcal{G}^\alpha(\overline{Q'}) нельзя считать удовлетворительными. Проверить принадлежность произвольно взятой меры классу \mathcal{M}^{\alpha,+}(Q') практически невозможно. Приведенные построения были нацелены исключительно на доказательство существования “промежуточных” (между C^\alpha(\overline{Q'}) и W^1_2(Q')) свойств решений эллиптических уравнений, в том числе и не вытекающих из крайних. Нахождение задающих эти свойства мер из рассматриваемого класса, если способ их продолжения задан, большого труда не вызывает.

Приведенные утверждения естественно рассматривать как начало исследований в данном направлении. Они показывают, что в этой области могут быть интересные и, возможно, важные результаты.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.

Список литературы
1. А. К. Гущин, “Труды В. А. Стеклова по уравнениям математической физики и развитие его результатов в этой области”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Труды МИАН, 289, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2015, 145–162  mathnet  crossref  crossref
2. А. М. Ляпунов, “О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле”, Избранные труды, Л., 1948, 97–178  zmath
3. H. Poincaré, “La méthode de Neumann et le probléme de Dirichlet”, Acta Math., 20:1 (1896), 59–142  crossref  mathscinet
4. A. Korn, Lehrbuch der Potentialtheorie. Band I. Allgemeine Theorie des Potentials und der Potentialfunctionen im Raume, Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhanblung, Berlin, 1899  zmath
5. S. Zaremba, “Sur la théorie de l'équation de Laplace et les méthodes de Neumann et de Robin”, Bull. Acad. Sci. Cracovie, 41 (1901), 171–189
6. В. А. Стеклов, Основные задачи математической физики, Под редакцией В. С. Владимирова, Наука, М., 1983  mathscinet
7. M. H. Lebesque, “Sur le problème de Dirichlet”, Rend. Circ. Matem. Palermo, 24 (1907), 371–402  crossref
8. O. Perron, “Eine neue Behandlung der Randwertaufgebe für \Delta u = 0”, Math. Z., 18:1 (1923), 42–54  crossref  mathscinet
9. И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, Гостехиздат, М., 1953  mathscinet
10. N. Wiener, “The Dirichlet problem”, J. Math. Phys., 3 (1924), 127–146  crossref  zmath
11. О. А. Олейник, “О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа”, Матем. сб., 24(66):1 (1949), 3–14  mathnet  mathscinet  zmath
12. М. В. Келдыш, “О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле”, УМН, 1941, № 8, 171–231  mathnet  mathscinet  zmath
13. A. Korn, “Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen”, Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz, eds. C. Caratheodory, G. Hessenberg, E. Landau, L. Lichtenstein, Springer, Berlin, Heidelberg, 1914, 215–229  crossref
14. G. Giraud, “Sur le problème de Dirichlet généralisé (deuxième mémoire)”, Ann. Sci. École Norm. Sup. Ser. 3, 46 (1929), 131–245  crossref  mathscinet
15. G. Giraud, “Sur certains problèmes non linéaires de Neumann et sur certains problèmes non linéaires mixtes”, Ann. Sci. École Norm. Sup. Ser. 3, 49 (1932), 1–104  crossref  mathscinet  zmath
16. G. Giraud, “Sur certains problèmes non linéaires de Neumann et sur certains non linéaires mixtes”, Ann. Sci. École Norm. Sup. Sup. Ser. 3, 49 (1932), 245–309  crossref  mathscinet
17. J. Schauder, “Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung”, Math. Z., 38:1 (1934), 257–282  crossref  mathscinet
18. J. Schauder, “Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen”, Studia Math., 5 (1934), 34–42  crossref
19. A. Korn, Über Minimalflächen, deren Randkurven wenig von ebenen Kurven abwiechen, Königl. Akad. Wiss., Berlin  zmath
20. E. Hopf, “Über den funkitonalen, insbesondere den analytischen Charakter der Lösungen elliptichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung”, Math. Z., 34:1 (1932), 194–233  crossref  mathscinet
21. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989  mathscinet
22. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1973  mathscinet  mathscinet  zmath  zmath
23. D. Hilbert, “Über das Dirichletsche Prinzip”, Jahresber. Deutsch. Math.-Ver., 8:1 (1900), 184–188  zmath
24. С. Л. Соболев, “О некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом”, Докл. АН СССР, 1(10):7(84) (1936), 267–270
25. S. Soboleff, “Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales lineaires hyperboliques normales ??”, Матем. сб., 1(43):1 (1936), 39–72  mathnet  zmath
26. С. Л. Соболев, “Об одной теореме функционального анализа”, Матем. сб., 4(46):3 (1938), 471–497  mathnet  zmath
27. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Наука, М., 1988  crossref  mathscinet  mathscinet
28. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985  mathscinet
29. В. П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных производных, Наука, М., 1983  mathscinet  mathscinet  zmath
30. E. De Giorgi, “Sulla differenziabilita e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari”, Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (3), 3 (1957), 25–43  mathscinet
31. J. Nash, “Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations”, Amer. J. Math., 80:4 (1958), 931–954  crossref  mathscinet
32. J. Moser, “A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations”, Comm. Pure Appl. Math., 13:3 (1960), 457–468  crossref  mathscinet
33. А. К. Гущин, “О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка”, Сиб. матем. журн., 46:5 (2005), 1036–1052  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
34. Ю. А. Алхутов, В. А. Кондратьев, “Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области”, Диффер. уравнения, 28:5 (1992), 806–818  mathnet  mathscinet
35. Ю. А. Алхутов, “L_p-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 189:1 (1998), 3–20  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
36. В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис, “Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 32, ВИНИТИ, М., 1988, 99–215  mathnet  mathscinet  zmath
37. И. Нечас, “О решениях эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с неограниченным интегралом Дирихле”, Чехослов. матем. журн., 10(85):2 (1960), 283–298  crossref
38. F. Riesz, “Über die Randwerte einer analytischen Funktion”, Math. Z., 18:1 (1923), 87–95  crossref  mathscinet
39. J. E. Littlewood, R. E. A. C. Paley, “Theorems on Fourier series and power series”, J. London Math. Soc., s1-6:3 (1931), 230–233  crossref  mathscinet
40. J. E. Littlewood, R. E. A. C. Paley, “Theorems on Fourier series and power series (II)”, J. London Math. Soc., s2-42:1 (1937), 52–89  crossref  mathscinet
41. J. E. Littlewood, R. E. A. C. Paley, “Theorems on Fourier series and power series (III)”, J. London Math. Soc., s2-43:1 (1938), 105–126  crossref  mathscinet
42. В. П. Михайлов, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Дифференц. уравнения, 12:10 (1976), 1877–1891  mathnet  mathscinet  zmath
43. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, “О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения”, Матем. сб., 182:6 (1991), 787–810  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
44. А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 137(179):1(9), 19–64  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
45. А. К. Гущин, “Обобщения пространства непрерывных функций; теоремы вложения”, Матем. сб., 211:11 (2020), 54–71  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
46. А. К. Гущин, “Интеграл площадей Лузина и некасательная максимальная функция для решений эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 209:6 (2018), 47–64  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
47. А. К. Гущин, “О разрешимости задачи Дирихле для неоднородного эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 206:10 (2015), 71–102  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
48. В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле с граничной функцией из L_2 для эллиптического уравнения второго порядка”, Изв. НАН Армении. Матем., 50:4 (2015), 3–22  crossref  mathscinet
49. В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка”, Матем. сб., 202:7, 75–94  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
50. В. Ж. Думанян, “О разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, ТМФ, 180:2, 189–205  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
51. А. К. Гущин, “L_p-оценки решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка”, ТМФ, 174:2 (2013), 243–255  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
52. L. Carleson, “An interpolation problem for analytic functions”, Amer. J. Math., 80:4 (1958), 921–930  crossref  mathscinet
53. L. Carleson, “Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem”, Ann. Math., 76:3 (1962), 547–559  crossref  mathscinet
54. L. Hormander, “L^p-estimates for (pluri-) subharmonic functions”, Math. Scand., 20 (1967), 65–78  crossref  mathscinet
Образец цитирования: А. К. Гущин, “О задаче Дирихле”, ТМФ, 218:1 (2024), 60–79; Theoret. and Math. Phys., 218:1 (2024), 51–67
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gus24}
\by А.~К.~Гущин
\paper О задаче Дирихле
\jour ТМФ
\yr 2024
\vol 218
\issue 1
\pages 60--79
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10523}
\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10523}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4700043}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024TMP...218...51G}
\transl
\jour Theoret. and Math. Phys.
\yr 2024
\vol 218
\issue 1
\pages 51--67
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577924010045}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001155091700008}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85183712337}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf10523
  • https://doi.org/10.4213/tmf10523
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v218/i1/p60
    • Доклады по теме:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Теоретическая и математическая физика Theoretical and Mathematical Physics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:217
    PDF полного текста:19
    HTML русской версии:34
    Список литературы:45
    Первая страница:25
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2025