| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О сочетании интегралов Лебега и Римана в теории уравнений свертки Н. Б. Енгибарян  Институт математики НАН РА, Ереван, Армения
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010057 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНачиная со своих ранних работ по математической теории переноса [1] В. С. Владимиров уделял большое внимание вопросу соответствия применяемого математического аппарата рассматриваемым физическим процессам, включая выбор функциональных пространств. По словам Учителя: “Во многих разделах математики делают то, что удается, а в математической физике – то, что нужно”. Выдающимся вкладом Владимировa в этом направлении является основание $p$-адической математической физики (см. [2]), которая плодотворно развивается его учениками и последователями. Математическая теория интегральных уравнений свертки в основном построена на базе интеграла Лебега (см., например, [3]–[6]). В этом вопросе большую роль играют следующие функционально-аналитические свойства лебеговых пространств: полнота; монотонная сходимость; широкие возможности изменения порядка интегрирования и свертывания суммируемых функций с функциями из различных классов; изоморфизм между сверточной алгеброй $L_1 =L_1 (-\infty ,\infty)$ и винеровской алгеброй $W$ преобразований Фурье функций из $L_1$. Процедура интегрирования по Лебегу не используется при выводе уравнений математической физики. Прикладные возможности интеграла Лебега существенно уступают возможностям интегралов Римана и Стилтьеса. Интеграл Лебега считается чисто теоретическим вспомогательным инструментом, далеким от применений. Роль интеграла Римана в экзистенциальных вопросах теории уравнений свертки все еще невелика. По отмеченным обстоятельствам разрешимость уравнений свертки часто устанавливается в лебеговых пространствах методами функционального анализа, а решение строится применением интегрирования по Риману и других средств классического анализа. Рассмотрим уравнение Винера–Хопфа с суммируемой на $(-\infty ,\infty )$ ядерной функцией $K$.Скалярные и векторные уравнения вида (1) широко применяются в различных разделах математической физики, в теории стохастических процессов и др. Ими описываются разнообразные физические процессы, происходящие в однородном полупространстве. Метод Винера–Хопфа успешно применяется к решению уравнения (1) в тех случаях, когда ядерная функция задана аналитически и соответствующие выкладки удается осуществить аналитически. Ситуация проблематична в случае систем уравнений Винера–Хопфа. В работах автора и его учеников развиты методы изучения и решения уравнения (1) в лебеговых пространствах методами вещественного анализа. К ним относятся метод нелинейных уравнений факторизации [6] и метод усреднения ядра [7]. Они обладают значительными прикладными возможностями как в скалярном, так и в векторном случае. В настоящей работе на примере уравнения (1) представлены способы сочетания возможностей интеграла Римана и лебеговых функциональных пространств при применении методов нелинейных уравнений факторизации и усреднения ядра к уравнениям свертки. Вводится и используется одно обобщение концепции непосредственной интегрируемости по Риману [8], [9]. 2. Непосредственная интегрируемость по Риману и ее обобщениеФеллером [8] была получена альтернативная форма основной теоремы восстановления теории случайных процессов с использованием понятия непосредственной (прямой) интегрируемости по Риману (НИР). Условие НИР налагается на свободный член уравнения восстановления. Приведем определение НИР [8], [9]. Пусть функция $f\geqslant 0$ ограничена на полупрямой $[a,\infty )$, $a>-\infty$, и $x_{k} =a+kh$, $k=0,1,2,\ldots\,$, $h>0$. Обозначим $M_{k} =\sup f(x)$ и $m_{k} =\inf f(x)$ на $[x_{k},x_{k+1})$, $k=0,1,\ldots\;$. Составим верхнюю и нижнюю интегральные суммы для функции $f$ на всей полупрямой через сходящиеся или расходящиеся ряды:
$$
\begin{equation}
\overline{\sigma}_{h} =h\sum_{k=0}^{\infty}M_{k}, \qquad \underline{\sigma}_{h} =h\sum_{k=0}^{\infty}m_{k}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Функция $f\geqslant 0$ называется непосредственно интегрируемой по Риману (НИР-функцией) на полупрямой $[a,\infty)$, если суммы (2) конечны и $\overline{\sigma}_{h} -\underline{\sigma}_{h} \to 0$ при $h\to 0$. Тогда общий предел $\sigma$ интегральных сумм совпадает с несобственным интегралом Римана функции $f$ на $[a,\infty)$. Обозначим через $R_{d}^{+} [a,\infty )$ класс неотрицательных НИР-функций на $[a,\infty)$. Имеем $R_{d}^{+} [a,\infty)\subset L_1 [a,\infty )$. Функции из $R_{d}^{+} [a,\infty)$ ограничены, несобственно интегрируемы по Риману и стремятся к нулю в бесконечности. Для принадлежности ограниченной и неотрицательной функции $f$ классу $R_{d}^{+} [a,\infty)$ достаточно, чтобы она была несобственно интегрируема по Риману на $[a,\infty)$ и убывала на $[r,\infty)$ при некотором $r\geqslant a$. Знакопеременная функция считается НИР-функцией, если таковыми являются ее положительная и отрицательная части. Роль класса $R_{d}^{+} [a,\infty)$ в теории уравнений (1) все еще невелика. Введем одно обобщение понятия НИР-функции. Определение 1. Функцию $f\geqslant 0$ на $[a,\infty)$ (или $(a,\infty)$) назовем непосредственно интегрируемой по Риману в несобственном смысле, если она несобственно интегрируема по Риману и для любого $r>a$ сужение $f|_{[r,\infty)} $ принадлежит $R_{d}^{+} [r,\infty)$. Обозначим через $R_{id}^{+} [a,\infty)$ класс неотрицательных НИР-функций в несобственном смысле. В отличие от $R_{d}^{+} [a,\infty)$, функция из $R_{id}^{+} [a,\infty)$ может быть неограниченной в окрестности точки $a$. Имеем
$$
\begin{equation}
R_{d}^{+} [a,\infty)\subset R_{id}^{+} [a,\infty)\subset L_1 (a,\infty).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Классы $R_{d}^{+} [a,\infty)$ и $R_{id}^{+} [a,\infty)$ замкнуты относительно линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами. 3. Классы интегральных операторов на полупрямой с разностными ядрами. Основная леммаОбозначим через $I$ единичный оператор во всех рассматриваемых функциональных пространствах. Через $E^{+}$ обозначим одно из пространств $L_{p}^{+} =L_{p} (0,\infty)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, $M_0 \subset L_{\infty }^{+}$. Обозначим через $\Omega$ пространство скалярных интегральных операторов Винера–Хопфа
$$
\begin{equation}
\widehat{K}f(x)=\int _0^{\infty }K(x-t)f(t)\,dt, \qquad x>0, \,\, K\in L_1 \equiv L_1 (-\infty ,\infty).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Оператор $\widehat{K}\in \Omega$ ограниченно действует в пространствах $E^{+}$. Имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\| \widehat{K}\| _{E^{+}} \leqslant (L)\int_{-\infty}^{\infty} |K(x)|\,dx.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Класс $\Omega$ является прямой суммой алгебр $\Omega^{+}$ и $\Omega^{-}$ нижнего и верхнего треугольных (формально вольтерровых) операторов: $\widehat{V}^{\pm} \in \Omega^{\pm}$, если
$$
\begin{equation}
\widehat{V}^{+} f(x)=\int_0^{x}V^{+} (x-t)f(t)\,dt, \qquad \widehat{V}^{-} f(x)=\int_{x}^{\infty }V^{-} (t-x)f(t)\,dt, \qquad V^{\pm} \in L_1^{+}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
При $\widehat{K}\in \Omega$ имеем $\widehat{K}=\widehat{K}^{+} +\widehat{K}^{-}$, где $\widehat{K}^{\pm} \in \Omega^{\pm}$ суть треугольные части $\widehat{K}$:
$$
\begin{equation}
\widehat{K}^{+} f(x)=\int_0^{x}K^{+} (x-t)f(t)\,dt,\qquad \widehat{K}^{-} f(x)=\int_{x}^{\infty}K^{-} (t-x)f(t)\,dt.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Здесь $K^{\pm} (x)=K(\pm x)$, $x>0$. Считается, что $K^{\pm} (x)=0$, $x<0$. Класс $\Omega$ не замкнут относительно операторного умножения, но обладает следующим замечательным алгебраическим свойством: если $\widehat{V}_{\pm} \in \Omega^{\pm}$, то произведение
$$
\begin{equation}
\widehat{W}=\widehat{V}^{-} \widehat{V}^{+} \in \Omega.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Пусть $\widehat{V}^{\pm} \in \Omega^{\pm}$. Операторы $I-\widehat{V}_{\pm}$ назовем нормально обратимыми, если
$$
\begin{equation}
\exists (I-\widehat{V}^{\pm})^{-1} =I+\widehat{\Phi}^{\pm},\qquad \widehat{\Phi}^{\pm} \in \Omega^{\pm}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Ядерные функции $\Phi_{\pm} \in L_1^{+}$ треугольных операторов $\widehat{\Phi}^{\pm}$ определяются из следующих уравнений свертки типа Вольтерра:
$$
\begin{equation}
\Phi ^{\pm} (x)=V^{\pm} (x)+\int_0^{x}V^{\pm} (x-t)\Phi^{\pm} (t)\,dt.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Если $V^{\pm} \geqslant 0$, то $\Phi^{\pm} \geqslant 0$. Рассмотрим верхний треугольный оператор $\widehat{U}^{-} \in \Omega^{-}$ с ядерной функцией $U^{-}$. Пусть $\varphi =\widehat{U}^{-} f$, $f\in E^{+}$. Из (6) имеем То обстоятельство, что аргумент функции $f$ в (11) больше или равен $x$, позволяет распространить на $\varphi $ многие частные свойства функции $f$. К ним относятся финитность, свойства гладкости, представление через экспоненты или через некоторые показательно-степенные функции, монотонность при $U,f\geqslant 0$ и др. Отмеченные свойства операторов из $\Omega^{-}$ были использованы при изучении и решении уравнения (1) и других классов уравнений свертки [6]. Ниже мы добавим к этому списку свойства принадлежности $\varphi$ классам $R_{d}^{+} [a,\infty)$ и $R_{id}^{+} [a,\infty)$. Стандартными средствами проверяется справедливость следующей основной леммы. Лемма 1. При $U\geqslant 0$ оператор $\widehat{U}\in \Omega^{-}$ действует в классах $R_{d}^{+} [0,\infty)$ и $R_{id}^{+} [0,\infty)$. Для (11) имеет место оценка 4. Нелинейные уравнения факторизацииКлассы $R_{d}^{+} [a,\infty)$, $R_{id}^{+} [a,\infty)$ будут использованы при применении метода нелинейных уравнений факторизации. Приведем краткое описание этого метода [6]. Перепишем уравнение (1) в операторной форме: где $\widehat{K}\in \Omega$ задается посредством (4).Рассмотрим треугольную (формально вольтеррову) факторизацию
$$
\begin{equation}
I-\widehat{K}=(I-\widehat{V}^{-})(I-\widehat{V}^{+}).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Здесь $\widehat{V}^{\pm}$ – искомые операторы из $\Omega^{\pm}$. Факторизация (14) эквивалентна следующей системе относительно ядерных функций, названной нами нелинейным уравнением факторизации:
$$
\begin{equation}
V^{\pm} (x)=K^{\pm} (x)+\int_0^{\infty}V^{\mp} (t) V^{\pm} (x+t)\,dt,\quad x>0, \qquad V^{\pm} \in L_1^{+}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пусть в симметричном случае $K^{-} =K^{+} =K$ функция $V\in L_1^{+}$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
V(x)=K(x)+\int_0^{\infty }V(t) V(x+t)\,dt,\quad x>0, \qquad V\in L_1^{+}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Тогда пара $V^{\pm} =V$ удовлетворяет системе (15). Отметим, что существует прямая связь между методом нелинейных уравнений факторизации (15) и факторизацией Винера–Хопфа. Факторизация (14) называется канонической, если факторы $I-\widehat{V}_{\pm}$ нормально обратимы: имеют место равенства (9). Тогда справедливы формулы
$$
\begin{equation}
V^{\pm} (x)=K^{\pm} (x)+\int_0^{\infty}\Phi ^{\mp} (t) K^{\pm} (x+t)\,dt.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Формула (16) позволяет перенести на $V_{\pm}$ ряд частных свойств функций $K^{\pm}$ аналогично (11). Если $K^{\pm} \geqslant 0$ и $\Phi^{\pm} \geqslant 0$, то к (17) может быть применена лемма 1.
5. Уравнение (1) в диссипативном и консервативном случаяхРассмотрим скалярное уравнение (1) в случае, когда ядерная функция $K$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
0\leqslant K\in L_1 (-\infty ,\infty),\qquad \mu =\int_{-\infty}^{\infty}K(x)\,dx \leqslant 1.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Уравнения (1), (18) играют большую роль в теории переноса, в кинетической теории газов, в теории случайных процессов, массового обслуживания и др. Наибольший интерес представляет симметричный случай, когда ядерная функция $K$ четная: $K^{\pm} =K$. Докритический (неособый) случай $\mu <1$ называется диссипативным. Критический (особый) случай $\mu =1$ называется консервативным. В консервативном случае оператор $I-\widehat{K}$ необратим в пространствах $E^{+}$, тем не менее существует факторизация (14), в которой хотя бы один из сомножителей необратим. В симметричном случае оба сомножителя необратимы (двойное вырождение). В условиях (18) нелинейное уравнение факторизации (15) обладает так называемым основным решением $(V^{+},V^{-})\in L_1^{+} \times L_1^{+}$, которое является пределом в $L_1^{+} \times L_1^{+}$ итерационной последовательности $(V_{n}^{+},V_{n}^{-})$, определяемой посредством соотношения
$$
\begin{equation}
V_{n+1}^{\pm} (x)=K^{\pm} (x)+\!\int_0^{\infty}V_{n}^{\mp} (t) V_{n}^{\pm} (x+t)\,dt,\quad x>0, \quad n=0,1,\ldots, \qquad V_0^{\pm} =0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Последовательности $V_{n}^{+}$, $V_{n}^{-}$ обладают следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
0\leqslant V_{n}^{\pm} \uparrow V^{\pm},\qquad (\mathrm{L})\int_0^{\infty}V_{n}^{\pm} (x)\,dx \leqslant \mu,\qquad \gamma^{\pm} \equiv (\mathrm{L})\int_0^{\infty}V^{\pm} (x)\,dx \leqslant \mu.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Предельная пара $(V^{+},V^{-})$ удовлетворяет нелинейному уравнению факторизации (17) и называется его основным решением. В симметричном случае $K^{\pm} =K$ имеем
$$
\begin{equation}
V_{n}^{\pm} =V_{n},\qquad V^{\pm} =V,\qquad \gamma^{\pm} =\gamma =1-\sqrt{1-\mu}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
В случае уравнений (1), (18) в математической физике, как правило, ядерные функции $K^{\pm}$ принадлежат $R_{id} [0,\infty)$. В тех случаях, когда $K^{\pm}$ представлены через экспоненты (вполне монотонные и др.), нелинейные уравнения факторизации (15), (16) сводятся к обобщенному уравнению Амбарцумяна [6]. В ряде приложений ядерные функции $K^{\pm} \in R_{id} [0,\infty)$ не представлены через экспоненты. Так обстоит дело, например, в случае задачи переноса в спектральной линии в движущейся среде. Используя лемму 1, в (19) индукцией по $n$ проверяется, что при $K^{\pm} \in R_{id} [0,\infty)$ функции $V_{n}^{\pm}$ принадлежат $R_{id} [0,\infty)$ и интегралы в (19), (20) обращаются в несобственные интегралы Римана. В диссипативном случае $\mu <1$ в силу оценок (20) операторы $I-V^{\pm}$ нормально обратимы и резольвентные функции $\Phi^{\pm}$ принадлежат $L_1^{+}$. Тогда согласно лемме 1 и формуле (17) функции $V^{\pm}$ принадлежат $R_{id} [0,\infty)$, т. е. классу $R_{id} [0,\infty)$ принадлежат как члены последовательностей $V_{n}^{\pm}$, так и их пределы $V^{\pm}$. В данной ситуации интеграл Лебега играет формальную промежуточную роль. Имеет место Лемма 2. Если в диссипативном случае уравнения (1) ядерные функции $K^{\pm}$ принадлежат $R_{id} [0,\infty)$, то таковыми являются функции $V^{\pm}$, дающие каноническую факторизацию (14). В консервативном (особом) случае функции $\Phi ^{\pm}$ суммируемы на каждом конечном промежутке, но хотя бы одна из них не суммируема на всей положительной полуоси (не принадлежит $L_1^{+}$). Тем не менее имеют место формулы (17) [6]. Тогда при $K^{\pm}\in R_{id} [0,\infty)$ мы не можем гарантировать несобственную интегрируемость по Риману функций $V^{\pm}$, но они аппроксимируются в $L_1^{+}$ функциями $V_n^{\pm}$ из $R_{id} [0,\infty)$. Факторизация (14) сводит уравнение (1) к последовательному решению следующих двух уравнений свертки с треугольными ядрами: В диссипативном случае $\mu <1$, если $g\in R_{id} [0,\infty)$ или $g\in R_{d} [0,\infty)$, согласно лемме 1 таковой является функция $F$, определяемая из (22). Свойства решения соответствующего уравнения (23) в настоящей работе не рассматриваются. Представляет интерес изучение уравнения (23) при $F\in R_{d} [0,\infty)$ и $V^{+} \in R_{id} [0,\infty)$ в консервативном случае. Этот случай относится к альтернативной форме основной теоремы восстановления [8]. 6. Решение скалярного и векторного уравнений $(1)$ методом усреднения ядраВ настоящем разделе вкратце описанa роль класса функций из $R_{id} [0,\infty)$ в вопросе численно-аналитического решения скалярного и векторного уравнений (1) методом усреднения ядра, предложенным в работе автора с Барсегян [7]. Будем считать, что мы располагаем возможностью конечным числом элементарных операций с произвольной точностью определить значения интегралов от рассматриваемых функций из $R_{id} [0,\infty)$ на произвольных интервалах. Приведем схему применения метода усреднения ядра к уравнению (1) в скалярном диссипативном случае при $K^{\pm}, g\in R_{id}^{+} (0,\infty)$. Шаг 1. Вычисляются числa $a_{j}$ при выбранном полушаге дискретизации $h>0$:
$$
\begin{equation}
a_{j} =a_{j} (h)=\int_{(2j-1)h}^{(2j+1)h}K(x)\,dx,\qquad -n<j<n.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Шаг 2. Вычисляются числа $g_{j}$ по формулам
$$
\begin{equation}
g_{j} =g_{j} (h)=\int_{2(j-1)h}^{2jh}g(x)\,dx,\qquad 0<j\leqslant n.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Шаг 3. Решается следующее дискретное уравнение Винера–Хопфа относительно $\gamma_1,\ldots,\gamma_{n},\ldots\,$:
$$
\begin{equation}
\gamma_{j} =g_{j} +\sum_{m=1}^{\infty }a_{j-m} \gamma_{m}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
При $\mu <1$ система (26) имеет единственное решение в $l_1$ при произвольном $h>0$. Это решение может быть построено с использованием конечнодиагональной редукции теплицевой матрицы $(a_{j-m})$ и метода нелинейных уравнений факторизации для бесконечных теплицевых матриц (подробнее см. [7]). Приближенное решение $f_{h}$ уравнения (1) дается формулой
$$
\begin{equation}
f_{h} (x)=g(x)+\sum_{j=1}^{\infty}K(x-\eta_{j})\gamma_{j},\qquad \eta_{j} =(2j-1)h.
\end{equation}
\tag{27}
$$
При $h\to 0$ функция $f_{h}$ сходится по норме $L_1^{+}$ к точному решению $f$ уравнения (1). В работе [7] приведены соответствующие оценки через интегральные модули непрерывности функций $K^{\pm}$ и $g$. Реализация описанной выше схемы предполагает вычисление интегралов по Риману по формулам (24) и (25). Отметим, что, хотя члены ряда, фигурирующего в формуле (27), несобственно интегрируемы по Риману, сумма ряда может не быть таковой. При конечнодиагональной редукции системы (26) в сумме (27) остается конечное число слагаемых и приближенное решение принадлежит классу $R_{id} [0,\infty)$. Описанная выше процедура решения скалярного уравнения (1) распространяется на неособые системы, когда элементы $(n\times n)$-матриц-функций $K(\pm x)$, $x>0$, и $n$-мерного вектор-столбца $g$ принадлежат $R_{id} [0,\infty)$, и выполняется условие диссипативности где $r(A)$ – спектральный радиус положительной $(n\times n)$-матрицы $A=\int_{-\infty }^{\infty }K(x)\,dx$.7. Заключительное замечаниеФакты, изложенные в настоящей статье, наводят на мысль взглянуть на лебеговы пространства с точки зрения пополнения пространств функций, интегрируемых по Риману. Возникает вопрос построения теории различных классов интегральных уравнений свертки через интеграл Римана, без применения концепции интеграла Лебега. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Eng24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|