| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Некоторые новые методы исследования краевых задач для общих дифференциальных уравнений в частных производных В. П. Бурский  Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010033 
Реферативные базы данных:
   1. Исследования корректности граничных задач восходят к Адамару, заметившему, что зависимость решения задачи Коши для уравнения Лапласа в полуплоскости от начальных данных не является непрерывной. Этот пример привел его к общепринятому сегодня определению корректности линейной граничной задачи с линейными операторами $L$ и $B$, которое выражается в виде оценки решения $u$
$$
\begin{equation}
\|u\|_\mathcal{S}\leqslant \|f\|_\mathcal{R}+\|g\|_\mathcal{B},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\mathcal{S},\mathcal{R}$ и $\mathcal{B}$ – банаховы пространства решений, правых частей уравнения и граничных данных соответственно. В частности, неединственность решения граничной задачи (1), т. е. существование нетривиального решения $u\in \mathcal{S}$ однородной задачи (1) с $f=0$, $g=0$, означает отсутствие оценки (2) и потому некорректность такой граничной задачи.
Во многих случаях не удается доказать корректность, но удается получить свойство фредгольмовости граничной задачи (1), что означает конечномерность ядра и конечномерность коядра оператора граничной задачи $L_B\colon \mathcal{S}_B\to R$, где $\mathcal{S}_B$ – подпространство таких функций из $\mathcal{S}$, для которых $Bu|_{\partial\Omega}=0$, а оператор $L_B=L|_{\mathcal{S}_B}$. Хорошо известно, что критерием фредгольмовости линейной дифференциальной граничной задачи для правильно (в другой терминологии – собственно) эллиптического уравнения в ограниченной области является условие Лопатинского (условие накрывания) [1], [2], мы же здесь рассматриваем случай общего оператора. После работ фон Неймана по самосопряженным расширениям обыкновенных дифференциальных операторов, работ Крейна и Калкина в работе Вишика [3] возникла и была развита основа общей теории граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Эта теория развивалась как в общем направлении (см., например, работы Аграновича [4], Дезина [5], автора [6], [7], Воловича и Сакбаева [8]), так и в направлении конкретных типов уравнений (см., например, [9], [10]) либо фиксированной области [11]. В настоящее время работы в области исследования граничных задач проводятся, за редким исключением, внутри типов дифференциальных уравнений – эллиптического, параболического и гиперболического. Это вызвано, с одной стороны, тем, что все возрастающая необходимость использовать математические модели буквально во всех областях знания ведет в использованию именно граничных задач, которые возникают на практике как граничные задачи для уравнений или систем уравнений именно этих трех типов, причем лишь некоторых видов граничных задач. С другой стороны, попытки развить общую теорию граничных задач показали как огромное многообразие реализуемых возможностей, так и сложность любого продвижения теории. К тому же перенос методов исследования граничных задач с одного типа уравнения на другой неизменно приводит либо к сложным теоретическим построениям, либо к задачам, не имеющим практического значения. Тем самым методы исследования граничных задач для общих уравнений практически отсутствуют. Настоящая работа содержит краткое изложение результатов автора в направлении получения инструментов для изучения граничных задач независимо от типа уравнения либо граничных задач более общего вида, нежели стандартные для данного типа уравнения. 2. Пусть $\Omega \subset$ $\mathbb{R}$$^n$ – ограниченная область с $C^\infty$-гладкой границей $\partial \Omega$, $m\in \mathbb{N}$, $L = \sum_{|\alpha| \leqslant m} a_\alpha D^\alpha$ – скалярная дифференциальная операция с постоянными комплексными коэффициентами, порождающая оператор $L\colon H^m (\Omega)\to H$, $H=L_2 (\Omega)$, где $H^m (\Omega)$ – соболевское пространство, $D^\alpha =(-i\partial)^{|\alpha|}/(\partial x_1)^{\alpha_1}\ldots(\partial x_n)^{\alpha_n}$ – “самосопряженная производная”, $L^+v = \sum_{|\alpha| \leqslant m} \overline{a_\alpha} D^\alpha v$ – формально сопряженная операция. Пусть $u \in H^m (\Omega) $ – решение уравнения Функция $u$ имеет следы
$$
\begin{equation}
u \big|_{\partial \Omega} = \psi_0, \qquad u^\prime_\nu \big|_{\partial \Omega} = \psi_1,\qquad \ldots,\qquad u^{(m-1)}_{\nu^{m-1}}\big|_{\partial \Omega} = \psi_{m-1},
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation*}
\psi = (\psi_0, \psi_1, \ldots, \psi_{m-1} ) \in H^{(m)} (\partial \Omega) = H^{m - 1 / 2} (\partial \Omega) \times \cdots \times H^{1 / 2} (\partial \Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu$ – внешняя нормаль к границе. Задача (3), (4) переопределена. Так, если оператор $L$ – правильно эллиптический оператор четного порядка, то с точностью до конечномерных эффектов задание первой половины набора функций $\psi$, как известно, определяет остальные через решение задачи Дирихле. Имеет место следующий вопрос: как связаны между собой следы $\psi$ решения $u$?
Пусть функция $u \in H^m (\Omega)$ – решение задачи (3), (4), $v \in H^m (\mathbb{R}^n)$ – любое продолжение функции $u (x)$, и пусть $\theta_\Omega(x)$ – характеристическая функция множества
$$
\begin{equation*}
\Omega\colon \ \theta_\Omega(x) =\begin{cases} 1, &x \in \Omega,\\ 0, &x \not\in \Omega. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Применим оператор $L$ к произведению $\theta_\Omega v$. Пользуясь правилом Лейбница, получаем
$$
\begin{equation}
L (\theta_\Omega v) = \theta_\Omega L v + \sum^{m - 1}_{k = 0} b_k (\delta_{\partial \Omega} )^{(k)}_{\nu^k},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\delta_{\partial \Omega}$ – мера, сосредоточенная на $\partial \Omega$, т. е. $\forall \varphi \in C^\infty (\mathbb{R}^n )$
$$
\begin{equation*}
\langle\delta_{\partial \Omega}, \varphi \rangle = \int_{\partial \Omega} \overline \varphi\, ds,
\end{equation*}
\notag
$$
а $b_k$ – линейные дифференциальные выражения по касательным направлениям $\tau$ от следов $\psi$ с коэффициентами, порожденными направляющими косинусами нормали. Заметим, что $(\theta_\Omega)^\prime_\nu = - \delta_{\partial \Omega}$, $(\theta_\Omega)^\prime_\tau = 0$. Член $\theta_\Omega L v$ равен нулю в силу (3), а к оставшемуся равенству (5) применим преобразование Фурье. Получим
$$
\begin{equation}
l (\xi)\mathcal{F}(\theta_\Omega v) (\xi) = \sum^{m - 1}_{k = 0} \int_{\partial \Omega} L_{(m-k-1)} u \langle - i \nu (s), \xi\rangle^k e^{- i x\cdot\xi}\, ds_x,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $l(\xi)$ – символ оператора $L$, а функции $L_{(k)} u$, $\operatorname{deg}L_{(k)}=k$ – линейные дифференциальные выражения по касательным направлениям от следов $\psi$ функции $u$ с переменными коэффициентами, которые получаются при перебрасывании производных:
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega (Lu \overline{v}-u \overline{L^+v}\,)\,dx=\sum_{k=0}^m\int_{\partial\Omega}L_{(k)}u\overline{\partial_\nu v}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим правую часть в (6) через $G_\psi (\xi)$. Подчеркнем, что функция $G_\psi (\xi)$ зависит только от следов $\psi$ решения $u$ и не зависит от поведения $u$ внутри $\Omega$. Согласно теореме Пэли–Винера–Шварца функции $\mathcal{F}(\theta_\Omega v)= \widehat {\theta_\Omega v}$ и $G_\psi$ – целые функции определенного роста на бесконечности. Обозначим через $Z_1$ алгебру целых функций на $\mathbb{C}^n$ первого порядка и конечного типа. Равенство (6) означает, что
$$
\begin{equation}
G_\psi / l \in \{\widehat {\theta_\Omega v} \mid v \in H^m (\mathbb{R}^n) \},
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $(l)$ – главный идеал, порожденный элементом $l$. Можно показать, что условия (7), (8) являются также достаточными. То есть для каждого набора следов $\psi \in H^{(m)}(\partial \Omega)$, удовлетворяющего условиям (7), (8), существует единственное решение $u \in H^m (\Omega)$ задачи (3), (4). Доказательство достаточности проводится обратными рассуждениями. Таким образом, имеет место
Предложение 1. Для однозначной разрешимости задачи (3), (4) в пространстве $H^m(\Omega)$ необходимо и достаточно выполнение условий (7), (8). Сразу заметим, что если символ $l$ разложим в произведение различных неприводимых полиномов, то условие (7) можно записать в эквивалентном виде: где $\Lambda$ – алгебраическое многообразие нулей символа $l$. Условие (8) выглядит трудно проверяемым, но можно доказать, что для некоторых операторов и областей оно может быть сведено к условию (7) только некоторым повышением гладкости следов $\psi$ (см. [12], [13], [7]).3. Покажем, что получается для оператора второго порядка
$$
\begin{equation}
L = a \,\frac {\partial^2}{\partial x_1^2} + b\, \frac {\partial^2}{\partial x_1\, \partial x_2} + c\, \frac {\partial^2}{\partial x_2^2}, \qquad a, b, c \in \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{10}
$$
в плоской области. Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G_\psi = \int_{\partial \Omega} [(-i) (x, \xi) L_{(0)} (\tau) + L_{(1)} (\tau) ] e^{-i (x, \xi)}\, d\tau_x, \\ L_{(0)} (\tau) = - l (x (\tau) )\psi_0(\tau), \\ L_{(1)}(\tau) = l (x (\tau)) \psi_1 (\tau)+\frac {1}{k} l^\prime_\tau \psi^\prime_{0 \tau} + \biggl(\frac 1{2k}l^{\prime }_{\!\tau }\biggr)^\prime_\tau \psi_0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau \in \partial \Omega$ – координата, $l (x) = a x_1^2 + b x_1 x_2 + c x_2^2$, $k=-|\nu^\prime_\tau|$ – кривизна. В этом случае условие (9) можно записать в следующей эквивалентной форме:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \forall Q \in \mathbb{C}[z],\qquad \forall \xi \in \Lambda=\{\xi\in \mathbb{C}^2\mid l(\xi)=0\} \notag \\ \int_{\partial \Omega}[(\nu(x)\cdot\xi) Q^\prime (x\cdot \xi)L_{(0)}(\tau) +Q(x\cdot\xi) L_{(1)}(\tau)]\,d\tau = 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Условие (9) в форме (11) позволяет в случае, когда область – единичный круг, записать связи между функциями $\psi_0$, $\psi_1$ в терминах коэффициентов разложения в ряд Фурье функций $L_{(0)}$ и $L_{(1)}$, которые можно использовать для изучения задачи Дирихле (см. [12], [13], [7]).
Этот метод делимости преобразования Фурье правой части уравнения $Lu = f$ во всем пространстве на символ оператора с постоянными коэффициентами использовался для уравнений и раньше (см., например, [14]), а в применении к граничным задачам (т. е. к уравнению (5)) предложен Ройтбергом [15] для случая полупространства и независимо и одновременно автором для случая круга [16]. То же условие (11) можно сразу получить из формулы Грина:
$$
\begin{equation}
\int_\Omega [Lu \overline v - u \overline {L^+ v}\,]\, dx = \int_{\partial\Omega} [L_{(0)}(\tau) \overline v^\prime_\nu + L_{(1)}(\tau) \overline v \,]\,d\tau_x,
\end{equation}
\tag{12}
$$
если положить $v = Q (x, \xi)$, $Q \in \mathbb{C}[z]$, $\xi \in \Lambda$. Точно так же условие (9) можно получить из общей формулы Грина типа формулы (12), если положить $v = e^{i(x, \overline\xi)}$, $\xi \in \Lambda$, а $u \in \operatorname{ker} L$.
4. Прямо из формулы (12) также удобнее получать условие связи следов функции из ядра $\operatorname{ker} L$ оператора (10), записанное в виде проблемы моментов:
$$
\begin{equation*}
\forall N \in \mathbb{Z}_+ \qquad \int_{\partial \Omega} \biggl[u^\prime_{\nu_*} + (-1)^{j - 1} \frac {\overline\Delta}2 u^\prime_\tau \biggr] (x, \tilde a^j)^N\, d\tau_x = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu_*$ – конормаль, $\tilde a^j$, $j = 1, 2$, – векторы характеристических направлений, $\Delta = \sin \varphi_0 =\operatorname{det}\mathrm{matrix} (\tilde a^1 \tilde a^2)$, $\varphi_0$ – (комплексный) угол между $\tilde a^1$ и $\tilde a^2$. Исследуя последнее условие, можно сопоставить свойства конкретной граничной задачи для различных уравнений. Такое сопоставление, в частности, для случая круга показало, что тип уравнения (эллиптический, гиперболический, смешанный) на свойства граничных задач особого влияния не оказывает (см. [12], [13], [7]) и привносит лишь небольшое изменение в гладкость решения. Главную роль в свойствах граничных задач, как оказалось, играет число $\varphi_0$, точнее его свойства. Если оно невещественно, то граничная задача, например задача Дирихле, имеет те же свойства, что и в случае правильно эллиптического уравнения, хотя исходное уравнение не является правильно эллиптическим. Если это число $\pi$-рационально, как в одном из примеров Бицадзе [17], [18], то эта задача имеет бесконечное число линейно независимых полиномиальных решений. Если же это число $\pi$-иррационально, то имеется единственность решения, но гладкость решения зависит от гладкости исходной функции $\psi_0$ из условия Дирихле $u|_{\partial K}=\psi_0$ и от скорости $k$ приближения числа $\varphi_0/\pi$ рациональными числами: существует $C>0$, такое что $|\varphi_0/\pi-p/q|>C/q^k$ для любых $p/q\in \mathbb{Q}$. Кроме того, удается найти условие на коэффициенты $a, b, c$ уравнения (3) с оператором (10), более широкое, чем условие правильной эллиптичности, выполнение которого влечет корректность в привычном смысле задачи Дирихле в любом эллипсе.
5. В общем теоретическом плане формула Грина также оказалась полезной. С ее помощью можно изучать граничные свойства решений, получать какие-то характеристики области определения максимального оператора $L\colon D(L)\to H$ с нормой графика $\|u\|^2_{D(L)}=\|u\|^2_{H}\|u\|^2_{H}$, $ H=L_2(\Omega) $ и минимального оператора $L_0,\ D(L_0)=\mathrm{closure}\{C_0^\infty(\Omega)\}$ в норме графика, граничного пространства $C(L)=D(L)/D(L_0)$, ядер операторов $L,L^+$ (подробнее см. гл. 1 в книге [7] (см. также [19]), где, в частности, показано, что при выполнении условий Вишика ($\|u\|_{D(L)}\leqslant C\|Lu\|_{D(L)}$) максимальный оператор $L$ разлагается в прямую сумму $L=L_0\oplus L_C$ своей внутренней части (минимальный оператор $L_0$) и граничной части (оператор $L_C$)). Основным в наших построениях ниже является понятие ассоциированного следа. Покажем, как определяются ассоциированные следы (в п. 4 это функции $L_{(0)}u$ и $L_{(1)}u$). Пусть $\mathcal{L} (x, D) = \sum_{|\alpha| \leqslant m} a_\alpha D^\alpha\ $ – общая скалярная линейная дифференциальная операция с гладкими комплекснозначными коэффициентами, $\Omega$ – ограниченная область с односторонней гладкой границей $\partial \Omega$. Пусть $f\in L_2(\Omega)$. Рассмотрим уравнение где $L$ – максимальный оператор, порожденный операцией $\mathcal{L}(x, D)$ в $L_2 (\Omega)$. Первый вопрос, который здесь возникает: какими граничными свойствами обладает каждое решение уравнения (13), какие следы или агломераты следов существуют, пусть хотя бы в смысле теории распределений? Примеры показывают, что в общем случае обычные следы у решений из $L_2 (\Omega)$ не существуют в распределениях даже для простейших уравнений. Так, для уравнения $L u = \partial^2 u / \partial x_1 \partial x_2 = 0$ в единичном круге $К$ решение $u (x) = (1 - x_1^2)^{- 5 / 2}$ принадлежит $L_2 (K)$, но $\langle u \vert_{\partial K}, 1\rangle_{\partial K} = \infty$ в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{r \to 1 - 0} \int_{|x| = r} u (x)\, ds_x = \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
так что след $u |_{\partial K}$ не является распределением. Можно показать, однако, что у каждого решения $u \in L_2 (K)$ такого уравнения существует след произведения $L_{(0)} u := - u (x) l (x) |_{\partial K} \in L_2 (\partial K)$, где $l (x) = x_1 x_2$ – символ оператора. Точно так же не для всех решений существует след $u^\prime_\nu \vert_{\partial K}$, но для каждого решения $u \in L_2 (K)$ существует след $L_{(1)} u = l (x) u^\prime_\nu (x) + l^\prime_\tau u^\prime_\tau + 1 / 2 l^{\prime \prime}_{\tau \tau} u |_{\partial K} \in H^{- 3 / 2} (\partial K)$, где $\tau$ – угловая координата. Подобные рассуждения можно провести и в общем случае. Они основываются на следующем утверждении.
Лемма 1. Для любой пары функций $w$ и $\varphi$ из $H^m ({\mathbb{R}}^n)$ имеет место следующая формула Грина:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(w, \varphi)&:=-\langle L (\theta_\Omega w) - \theta_\Omega Lw,\varphi\rangle_{{\mathbb{R}}^n}={} \notag \\ &=\sum^{m - 1}_{q = 0} \langle L_{(m - q -1)} w, \partial^q_\nu \varphi\rangle_{\partial \Omega} =: \langle\mathcal{L}_{\partial \Omega} w, \varphi\rangle_{\partial\Omega}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\partial^q_\nu \varphi = \varphi^{(q)}_{\nu^q}$, $L_{(p)} = \sum^P_{s = 0} L_{(ps)} \partial^s_\nu$ – оператор порядка $p$, $L_{(ps)}\ $ – некоторый линейный дифференциальный оператор по касательным направлениям $\tau$ с гладкими коэффициентами степени $p - s$. Отметим, что если $L^+$ – максимальный оператор к формально сопряженной операции, то
$$
\begin{equation*}
G(w, v)=\int_\Omega ( Lw \cdot \overline \varphi -w \cdot \overline {L^+ \varphi}\,)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае эллиптического уравнения второго порядка распределения $f_q = (-1)^q \partial^q_\nu (\mu \cdot \delta_{\partial \Omega} )$, $\mu \in \mathcal{D}^\prime (\partial \Omega)$, действующие по формуле $\langle f_q, \varphi\rangle_{R^n} = \langle\mu, \partial^q_\nu \varphi\rangle_{\partial \Omega}$ и стоящие в равенстве (14), принято называть для $q = 0$ простым, а для $q = 1$ – двойным слоем на $\partial \Omega$ с плотностью $\mu$. Соответствующий потенциал получается сверткой $f_q * \mathcal{E}$ с фундаментальным решением $\mathcal{E}$.
Пусть $J^m_q=J_{m-q-1}\colon H^{m-q-1/2} (\partial \Omega) \to H^m (\mathbb{R}^n) $ – непрерывный оператор продолжения со свойством $\partial^p_\nu (J^m_q\psi) |_{\partial \Omega} = \delta^p_q \psi$, $p,q = 0, 1, \ldots, m - 1$. Подставим в (14) вместо $\varphi$ функцию $J^m_q\psi$, а вместо $w$ – последовательность $\{w_k \} \in H^m (\mathbb{R}^n)$, сходящуюся к решению $u$ уравнения (13) в смысле нормы графика $\| w \|_{L_2 (\Omega)} + \| L w \|_{L_2 (\Omega)}$. Левая часть равенства (14) будет стремиться к выражению
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega (f\cdot \overline {J^m_q \psi} - u\cdot \overline {L^+ J^m_q\psi}\,)\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
линейному и непрерывному по $\psi \in H^{m - q - 1 /2} (\partial \Omega)$. Полученный функционал обозначим $L_{(m - q - 1)} u$. Распределение $L_{(p)} u$ назовем $p$-м следом решения $u$ на $\partial \Omega$, ассоциированным с оператором $L$, или просто $p$-м $L$-следом функции $u$ на $\partial \Omega$, а распределение $L_{\partial \Omega} w$ из (14) – $L$-граничным распределением.
Итак, мы видим, что $L$-следы функции из области определения $D(L)$ максимального оператора существуют и $L_{(p)} u \in H^{m - q - 1} (\partial \Omega)$, $p = 0, 1, \ldots, m - 1$, если, конечно, $H^m (\Omega)$ плотно в $D (L)$. Главным свойством $L$-следов является то, что они все равны нулю при условиях плотности гладких функций в $D(L)$ и $D(L^+)$ тогда и только тогда, когда они являются $L$-следами функции из области определения минимального оператора $D(L_0)$, что видно из формулы (14), расширенной на области определения максимального ($L^+$) и минимального ($L_0$) операторов. Это позволяет сузить их на граничное пространство $C(L)$, понимаемое нами как фактор $D(L)/D(L_0)$, тем самым расширяя область определения явно заданного оператора $\mathcal{L}_{\partial \Omega}$, и характеризовать пространства, связанные с оператором $L$. Пространство $L^+$-следов функций из $D(L^+)$ естественно отождествляется с ортогональным к $D(L_0)$ подпространством $A\subset D(L)$, которое, с другой стороны, являясь сопряженным к $C(L)$, может рассматриваться в силу его гильбертовости как реализация граничного пространства $C(L)$ (п. 1.4 из книги [7], см. также [6]) и которое является инстументом для исследования различных вопросов общей теории. Кроме того, в терминах ассоциированных следов получается условие связи обычных следов гладких функций из ядра. Предложение 2. Пусть гладкие функции плотны в пространствах $D(L)$ и $D(L^+)$. Для того чтобы набор $u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}$ $L$-следов был набором $L$-следов решения $u$ уравнения $Lu=0$, необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности $v_k \in H^m ({\mathbb{R}}^n)$, сходящейся в норме $\| v \|_{L_2 (\Omega)} + \| L^+ v \|_{L_2 (\Omega)}$ к некоторому решению уравнения $L^+ v = 0$, было выполнено условие
$$
\begin{equation}
\lim_{k \to \infty} \sum_{q = 0}^{m - 1} \langle u_{m - q - 1}, \partial^q_\nu v_k \rangle_{\partial \Omega} = 0
\end{equation}
\tag{15}
$$
(для уточнений см. утверждение 2.9 гл. 1 в книге [7]). Отмеченные выше условия (9) и (11) являются формами условия (15). Другим применением $L$-следов является формула представления решения через аналоги классических потенциалов, а также теорема о среднем (гл. 1, п. 1.3.4 в [7], см. также [6]). 6. Предложен также следующий метод изучения граничных задач, который будем называть двойственностью “уравнение–область” [20], [21]. Рассмотрим в пространстве $L_2 (\Omega)$ граничную задачу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L u &= f \in L_2 (\Omega) \quad \text{в} \,\, \Omega, \\ L_{(p)} u |_{\partial \Omega} &= 0, \quad p = 0, 1, \ldots, k \leqslant m - 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Пусть $L$ – оператор с постоянными коэффициентами, а область $\Omega$ полуалгебраична, т. е. $\exists P \in {\mathbb{R}}[x]$, $\Omega = \{x \in {\mathbb{R}}^n \mid P(x) > 0, \,\nabla P |_{\partial \Omega} \not= 0 \}$, ограничена и имеет гладкую границу. Подставляя в (14) вместо $\varphi$ функцию $(\overline {P(x)})^{m - k - 1} \varphi_0 (x)$, а вместо $w$ – решение задачи (16), получаем после преобразования Фурье уравнение
$$
\begin{equation}
[P (- D_\xi )]^{m - k -1} [l (\xi) v (\xi)] = \hat F,
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $v = \theta_\Omega u \in Z_\Omega = \{ \widehat {\theta_\Omega u} \mid u \in L_2 (\Omega) \}$, $F = (P(x))^{m - k -1} (\theta_\Omega f)$, $ \theta_\Omega u, \theta_\Omega f$ – продолжения функций $u$ и $f$ нулем. Справедливо следующее
Предложение 3. Каждому решению $u \in L_2 (\Omega)$ задачи (16) отвечает единственное решение $v \in Z_\Omega$ уравнения (17) и наоборот. Заметим, что если область $\Omega$ выпукла, то в предложении 3 можно $Z_\Omega$ заменить на $Z_0 = \{ \hat u \mid u \in \mathcal{E}^\prime ({\mathbb{R}}^n) \cap L_2 (\mathbb{R}^n) \}$. Заметим также, что если в уравнении (5) учесть граничные условия (16), умножить полученное равенство на $(P(x))^{m - k -1}$ и применить преобразование Фурье, то получим то же равенство (17) с нулевой правой частью. Пусть в условиях п. 5 настоящей статьи $L$ – оператор второго порядка с простыми характеристиками. Рассмотрим однородную задачу Дирихле, понимая под условием Дирихле $u \vert_{\partial \Omega} = 0$ условие $l_2(\nu (x)) u|_{\partial \Omega} = 0$, Тогда уравнение (17) запишется в виде $P(-D_\xi) [l(\xi) v(\xi) ] = 0$. Обозначим $w = l v$, тогда получим задачу в некотором пространстве целых функций. Уравнение перешло в область, область – в уравнение. Предложение 3 утверждает, в частности, что существование нетривиальных решений задач (18) и (19) в соответствующих пространствах взаимно обусловлено существованием изоморфизма между пространствами решений. Этот метод применен к изучению единственности решения задачи Дирихле для ультрагиперболического уравнения в шаре [22], [23], откуда следует одно приложение в интегральной геометрии на сфере, позволяющее посмотреть на получаемые условия с точки зрения преобразования Радона [22], [24]. Двойственность “уравнение–область”, по-видимому, является изобретением автора, хотя обычный в физике способ построения решений однородного уравнения, например уравнения Клейна–Гордона, через импульсное представление напоминает обратную процедуру.Если же для изучения задачи (18) использовать условие (15), в котором стоит $v = \overline {e^{- i (x, \xi)}}$, $\xi \in \Lambda^+$, $v \in \operatorname{ker} L^+$, то из существования нетривиального решения задачи Дирихле (18) в пространстве $L_2 (\Omega)$ получим существование нетривиальной функции $\alpha \in H^{- 1/2} (\partial \Omega)$ такой, что
$$
\begin{equation}
\int_{\partial \Omega} \alpha (x) e^{- i(x, \xi)} d x = 0 \qquad \forall \xi \in \Lambda^+,
\end{equation}
\tag{20}
$$
т. е. неплотность функций вида $e^{- i(x, \xi)}$, $\xi \in \Lambda^+$ на $\partial \Omega$. Здесь плотность экспонент $e^{-i(x, \xi)}$, $\xi \in \Lambda^+$, на $\partial \Omega$ гарантирует, таким образом, единственность решения задачи Дирихле. Условие (20) можно понимать также как условие исчезновения правой части уравнения (5), в которой уже учтены граничные условия, или как условие ортогональности правой части $\alpha\delta_{\partial\Omega}$ уравнения (13) ядру сопряженного оператора.
7. Если исходные операция и область инвариантны относительно некоторой группы преобразований, имеет смысл рассмотреть и инвариантные граничные задачи. Рассматривая здесь граничное пространство $C(L)=D(L)/D(L_0)$ для функций из $D(L)$ как пространство представления действия группы, для случая компактной группы мы можем получить разложение граничного пространства на конечномерные инвариантные пространства неприводимых представлений, в каждом из которых имеется подпространство граничных значений функций из ядра оператора, задающего уравнение, и подпространство граничных значений функций, удовлетворяющих граничному условию инвариантной задачи. Таким образом, вопрос о корректности граничной задачи переходит в вопрос о взаимодействии двух подпространств в каждом из заданного счетного набора конечномерных пространств. Сформулируем это более точно и подробно. Пусть $G$ – некоторая группа Ли (в частности, дискретная), гладко действующая в замкнутой области $\overline \Omega$. Это означает, что имеется группа диффеоморфизмов $U_g\colon \overline \Omega \ni x \to g \cdot x = U_g (x) \in \overline \Omega$ области $\overline \Omega$ на себя, гладко зависящих от элемента группы $G$, и отображение $g \to U_g$ – гомоморфизм групп. При этом сужение диффеоморфизмов $U_g$ на границу $\partial \Omega$ индуцирует гладкое действие группы $G$ на границе $\partial \Omega$. Действие группы $G$ на области $\overline \Omega$ порождает представление группы $G$ в функциональных пространствах: $(g u) (x) = u (g^{-1} x)$ (гомоморфизм группы $G$ в группу обратимых операторов). Такое представление индуцируется на пространствах $C^\infty_0 (\Omega)$, $C^\infty (\Omega)$, $ H^m (\Omega)$, $H^{-m} (\Omega)$, $\mathcal{D}^\prime (\Omega)$, $H^{(m)} (\Omega)$, $H^{(-m)} (\Omega)$ и других. Пусть дифференциальная операция $\mathcal{L}$ инвариантна относительно действия группы $G$, т. е. $g (\mathcal{L} u ) = \mathcal{L} (g u)$. Тогда пространства $D (L)$, $D (L_0)$, $C (L)$, $\operatorname{ker} L$ инвариантны относительно действия группы $G$. Если действие группы сохраняет объем области $\Omega$, то скалярное произведение в пространстве $L_2 (\Omega)$ инвариантно относительно действия группы $G$, и поэтому представление группы $G$ в этом пространстве унитарно. В этом случае операция $\mathcal{L}^+$ также инвариантна относительно действия группы $G$, инвариантны пространства $D (L^+)$, $D(L^+_0)$, $ C(L^+)$, $\operatorname{ker} L^+$, а также операторы $\mathcal{L}_{\partial \Omega}$, $ \mathcal{L}^+_{\partial \Omega}$. Будем говорить тогда, что оператор $L$ $G$-инвариантен. Граничную задачу с $G$-инвариантным оператором $L$ порожденную подпространством $B \subset C (L)$, будем называть $G$-инвариантной, если пространство $B$ инвариантно относительно указанного действия группы $G$. $G$-инвариантную граничную задачу будем называть эквивариантной, если ясно, какая группа действует.Если группа $G$ компактна (и непрерывна), то, как хорошо известно, гильбертово пространство представления разлагается в прямую сумму конечномерных инвариантных подпространств, в которых индуцируются неприводимые представления группы $G$. А если группа еще и коммутативна, то неприводимые представления одномерны. Пусть пространством представления группы $G$ является граничное пространство $C (L)$. Для компактной группы имеем разложения
$$
\begin{equation*}
C (L) = \sum^\infty_{k = 0} \oplus \widetilde C^k, \qquad C (\operatorname{ker} L) = \sum^\infty_{k = 0} \oplus C^k ( \operatorname{ker} L), \qquad B = \sum^\infty_{k = 0} \oplus B^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Если наша $G$-инвариантная граничная задача корректна, то разложение в прямую сумму $C (L) = C (\operatorname{ker} L) \oplus B$ влечет разложения в прямую сумму
$$
\begin{equation*}
C^k : = C^k (\operatorname{ker} L) \oplus B^k = \sum_l \widetilde C^{k_l}
\end{equation*}
\notag
$$
с конечномерными проекторами $\Pi^k\colon C^k \to C^k (\operatorname{ker} L )$ вдоль $B^k$, и проверка корректности $G$-инвариантной граничной задачи может быть сведена к проверке двух свойств:
1) $C^k (\operatorname{ker} L) \cap B^k = 0$; 2) существует $\kappa > 0$, такая что $\| \Pi^k \|_{C^k} < \kappa$ для любого $k$. Нами изучался спектр оператора общей корректной эквивариантной граничной задачи для уравнения Пуассона в круге и в шаре, выявлялись случаи нарушения корректности задачи, выражающиеся в нарушении свойства 1. При этом выполнение свойства 2 оказалось обеспеченным свойством корректности задачи для уравнения Пуассона [25], [26], [7]. 8. Как отмечалось выше, свойства корректности граничной задачи напрямую связаны с областью, в которой она ставится. Вместе с тем идеология правильно эллиптического случая приучила к тому, что результаты о корректности справедливы для широкого класса областей, в формулировках отмечаются, как правило, лишь ограниченность и гладкость границы. Аналогична ситуация в обобщенных постановках граничных задач, скажем, для дивергентных линейных и квазилинейных эллиптических уравнений. Стремление рассматривать наиболее общие уравнения и системы с такими свойствами привели автора к обобщенной постановке задачи Дирихле, Неймана, других граничных задач для уравнений и систем вида с общей дифференциальной операцией $\mathcal{L}$ и некоторым линейным или нелинейным оператором $A$, действующим в пространствах $L_2^k(\Omega)$ с подходящими $k$. Здесь обобщенным решением, например, однородной задачи Дирихле называется функция из области определения минимального оператора $u\in D(L_0)$, для которой выполнено “интегральное” тождество
$$
\begin{equation}
\langle \mathcal{L}u,A\mathcal{L}\phi\rangle_\Omega=\langle f,\phi\rangle_\Omega
\end{equation}
\tag{24}
$$
для любой функции $\phi\in C_0^\infty(\Omega)$. Аналогия с дивергентными уравнениями станет очевидной, если заметить, что для оператора $L=\nabla$, $\mathcal{L}^+=- \operatorname{div}$ область определения минимального расширения $D(L_0)$ совпадает с $H^1_0(\Omega)$, и тождество (24), скажем, с оператором Немыцкого $A$ превращается в хорошо известное определение обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона $-\Delta u=f$. Такая постановка приводит к ясным критериям корректности [27], [28], [7]. В частности, этот метод позволил доказать критерий фредгольмовости общей линейной дифференциальной граничной задачи для неправильно эллиптического уравнения в ограниченной области [19].
Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bur24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|