| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Лагранжева особенность Арнольда в асимптотике решения модельного двумерного уравнения Гельмгольца с локализованной правой частью И. А. Богаевскийab, С. Ю. Доброхотовc, А. А. Толченниковc  a Механико-математический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Научно-исследовательский институт системных исследований РАН, Москва, Россия c Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010021 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ работах [1], [2] развит подход и получены конструктивные формулы для решения неоднородных линейных (псевдо)дифференциальных уравнений с малым (квазиклассическим) параметром $h$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
\widehat{H}\psi\equiv H(x,\hat p, h)\psi=V\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr), \qquad \hat p=-ih\nabla=-ih \frac{\partial}{\partial x},\quad x\in \mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $ \widehat{H}$ – псевдодифференциальный оператор с символом $H(x,p,h)=H^0(x,p)+h H^1(x,p)+O(h^2)$, $V(y)$ – гладкая быстро убывающая функция, $\xi$ – фиксированный вектор (в случае уравнения Гельмгольца $H=H^0=p^2- v(x)$, $\widehat{H}=-h^2 \triangle-v(x)$). Мотивация рассмотрения уравнений (1), свойства оператора $\widehat{H}$ (его символа $H$), вопрос о дополнительных условиях (типа условий поглощения или условий Зоммерфельда) подробно обсуждались в работе [2]. Здесь мы скажем только, что задача о построении асимптотических решений с подходящими дополнительными условиями для уравнения (1) близка к задаче об асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца (и более общих уравнений) [3]–[5]. Разумеется, имея функцию Грина, можно получить решение изучаемой задачи в виде свертки, но соответствующие вычисления, как правило, оказываются достаточно сложными. При этом асимптотические формулы из работ [1], [2] содержат в асимптотике решения (описывающего поведение дальнего поля, порождаемого локализованного источника) структуру функции $V$. Одно из основных соображений статей [1], [2] заключается в том, чтобы представить ответ с помощью интеграла типа Дюамеля где $\varphi$ – решение задачи Коши
$$
\begin{equation*}
i h \frac{\partial \varphi}{\partial t} = \widehat H \varphi, \qquad \varphi|_{t=0} = V \biggl( \frac{x- \xi}{h} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Изучение интеграла (2) приводит к геометрическому объекту – лагранжеву многообразию $\Lambda_+$, сотканному из фазовых траекторий $p=P(\phi,t,\xi)$, $x=X(\phi,t,\xi) $ гамильтоновой системы выпущенных из множества нулей гамильтониана: Требуется, чтобы множество $L_0$ было гладкой $(n-1)$-мерной поверхностью в фазовом пространстве $\mathbb{R}^{2n}_{x,p}$, а выпускаемые из $L_0$ фазовые траектории были ей трансверсальны и покидали любую ограниченную область в пространстве плоскости $\mathbb{R}^n_x$ за конечное время. В этой статье в двумерном случае рассмотрен простой пример уравнения Гельмгольца
$$
\begin{equation}
H\biggl(x,-ih \frac{\partial}{\partial x}\biggr) \psi \equiv \biggl(\frac{1}{2}(-h^2 \triangle-x_1^2)-E \biggr)\psi = V\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr), \qquad x = (x_1,x_2) \in \mathbb R^2.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Для этого примера при $E>-a^2/2$ мы построили решения, удовлетворяющие принципу предельного поглощения [6] (c. 386), [7] (c. 345). В случае $E\neq 0$ применяются формулы из работ [1], [2], а при значении $E=0$ имеется фазовая траектория, остающаяся в конечной области бесконечное время, т. е. условия из работ [1], [2] не выполнены. Это приводит к изменению описанной в [1], [2] структуры дальнего поля, а у лагранжева подмногообразия, описывающего асимптотику решения, появляются особенности, обнаруженные Арнольдом (см. § 8.4 в [8]). Кроме того, для уравнения (5) мы написали в явном виде фундаментальное решение двумя способами, и сравнение этих формул приводит к интегралу типа Николсона для произведений функций параболического цилиндра. 2. Структура асимптотических решений модельной задачи2.1. Фазовые траектории и лагранжевы многообразияОтвечающий уравнению (5) гамильтониан равен Без потери общности будем считать, что $\xi = (-a,0)$, $a >0$. Тогда уравнение для поверхности $L_0$ принимает вид и требуемые фазовые траектории $p=P(\phi,t,a)$, $x=X(\phi,t,a)$ определяются формулами
$$
\begin{equation}
P(\phi,t,a)=\begin{pmatrix} -a \operatorname{sh} t +R \cos\phi \operatorname{ch} t \\ R \sin \phi \\ \end{pmatrix}, \qquad X(\phi,t,a)=\begin{pmatrix} -a \operatorname{ch} t +R \cos \phi \operatorname{sh} t \\ t R \sin \phi \\ \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $R=\sqrt{a^2+2E}$. Объединение положительных фазовых траекторий дает лагранжево многообразие с краем
$$
\begin{equation*}
\Lambda_+ := \{ (x,p)\in \mathbb{R}^4_{x,p} \mid x = X(\phi,t,a),\ p = P(\phi,t,a), \ t\geqslant 0,\ \phi \in S^1 \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих формул легко понять, что, во-первых, множество $L_0$ не пусто (т. е. источник порождает дальнее поле), если $E>-a^2/2$ (тогда $R>0$); а во-вторых, что все фазовые траектории за конечное время покидают любую ограниченную область, если $E\neq 0$ (тогда $R\neq a$). На рис. 1 приведены лучи на плоскости $\mathbb{R}^2_x$ при разных значениях энергии $E$. При $E\in(-a^2/2,0)\cup (0,\infty)$ старший член асимптотического решения всюду вне окрестности точки $x=\xi$ строится стандартным образом: согласно теореме 1.5 из работы [2] вне окрестности $x=\xi$ старший член асимптотического решения уравнения (5) выражается в виде канонического оператора Маслова на многообразии $\Lambda_+$:
$$
\begin{equation}
\psi_\mathrm{as}(x,h)= \sqrt{2\pi} e^{i \pi/4} h^{1/2} [ K_{\Lambda_+}^h A ](x,h);
\end{equation}
\tag{8}
$$
здесь $A(\phi)=\widetilde V (R \cos \phi, R \sin \phi)$, где
$$
\begin{equation*}
\widetilde V(p)=\int_{\mathbb{R}^2_y}V(y)e^{-i\langle p,y\rangle} \, dy
\end{equation*}
\notag
$$
– преобразование Фурье от функции $V$. 2.2. Асимптотика решений в случае $E>0$В случае $E>0$ многообразие $\Lambda_+$ вне края однозначно проецируется на координатное пространство, якобиан проекции
$$
\begin{equation}
J=\det\frac{\partial X}{\partial(t,\phi)}=R^2(t \cos^2 \phi \operatorname{ch} t+\sin^2 \phi \operatorname{sh} t)-t R a \operatorname{sh} t \cos \phi
\end{equation}
\tag{9}
$$
не обращается в нуль при всех $t>0,\phi\in S^1$. Действие на $\Lambda_+$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S(t,\phi) ={}& \int_0^t p\,dx = \frac{e^{2t}}{8} ( R \cos \phi - a )^2 -\frac{e^{-2t}}{8} ( R \cos \phi + a)^2+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{t}{2} ( R^2 - a^2 + R^2 \sin^2 \phi) + \frac{R a}{2} \cos \phi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Асимптотическое решение всюду вне окрестности точки $x=\xi$ представляется в виде ВКБ-функции (рис. 2в):
$$
\begin{equation}
[K^h_{\Lambda_+} A] (x,h) = i \frac{ e^{i S(t,\phi)/h} }{\sqrt{|J(t,\phi)|}}A(\phi)\big|_{t= t(x), \phi = \phi(x)},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $t(x)$ находится из уравнения
$$
\begin{equation}
x_1 = -a \operatorname{ch} t \pm \sqrt{R^2- \frac{x_2^2}{t^2 }} \operatorname{sh} t
\end{equation}
\tag{12}
$$
(при каждом $x$ из двух уравнений, соответствующих знакам $+$ и $-$, только одно имеет решение), а $\phi(x) = \arcsin (x_2/t(x) R)$ (если в уравнении для $t(x)$ выбран знак $+$) или $\phi(x) = \pi - \arcsin (x_2/t(x) R)$ (если в уравнении для $t(x)$ выбран знак $-$). 2.3. Асимптотика решений в случае $E \in (-a^2/2,0)$В случае $E \in (-a^2/2,0)$ у множества лучей появляется огибающая (каустика). В области вне окрестности каустики (куда лучи не доходят) асимптотическое решение есть $O(h^\infty)$. Внутри каустики уравнение (12) имеет два решения $t_{1,2}(x)$ (будем считать, что индекс 1 соответствует времени распространения луча, который пришел в точку $x$ и не отразился от каустики, а индекс 2 соответствует лучу, уже до этого успевшему отразиться от каустики). Внутри каустики и вне окрестности точки $x=\xi$ решение представляется в виде суммы двух ВКБ-функций (рис. 2а):
$$
\begin{equation}
[K^h_{\Lambda_+} A] (x,h) = i \frac{ e^{i S_1(x)/h} }{\sqrt{|J_1(x)|}}A_1(x) + \frac{ e^{i S_2(x)/h} }{\sqrt{|J_2(x)|}}A_2(x),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $S_j(x)\kern-0.5pt =\kern-0.5pt S(t_j(x),\phi_j(x))$, $J_j(x) = J(t_j(x),\phi_j(x))$, $A_j(x) = \widetilde V(R \cos \phi_j(x), R \sin \phi_j (x))$. Используя метод статьи [9] (этот же метод применялся еще в аналогичной задаче [10]), получаем выражение для старшего члена асимптотического решения везде вне окрестности точки $x = \xi$:
$$
\begin{equation}
\psi_\mathrm{as}(x,h)= \sqrt{2 h } \,\pi i e^{i \Theta/h} \biggl[ h^{-1/6} \operatorname{Ai} \biggl(- \frac{\Phi}{h^{2/3}}\biggr) B_+ + i h^{1/6} \operatorname{Ai}' \biggl(- \frac{\Phi}{h^{2/3}}\biggr)B_- \biggr],
\end{equation}
\tag{14}
$$
где функции $\Phi(x), \Theta(x), B_\pm(x)$ определены внутри каустики формулами:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Theta = \frac12 \biggl( S_1 + S_2 \biggr), \qquad \Phi= \biggl(\frac{3}{4} ( S_2 - S_1)\biggr)^{2/3}, \\ B_\pm= \biggl( \frac{3(S_2 - S_1)}{4} \biggr)^{1/6}\biggl( \frac{A_2}{\sqrt{|J_2|}}\pm\frac{A_1}{\sqrt{|J_1|}}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а вне каустики допускают гладкое продолжение. 2.4. Срывающаяся траектория при $E=0$Наиболее интересным и, как мы уже отмечали, неизученным представляется случай $E = 0 \Longrightarrow R=a$. В этом случае имеется исключительная фазовая траектория $\phi =0$
$$
\begin{equation}
P(0,t,a)=a\begin{pmatrix} e^{- t} \\0 \end{pmatrix}, \qquad X(0,t,a)=-a\begin{pmatrix} e^{-t}\\0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{15}
$$
которая за бесконечное время приходит из начальной точки $(-a,0)$ в точку $(0,0)$, и условия из работы [2] не выполнены. Основные рассуждения и результаты настоящей работы посвящены этому случаю. Мы покажем ниже, что из-за наличия такой исключительной траектории решение в правой полуплоскости не есть $O(h^\infty)$, а локализовано в окрестности множества $\{x_1 > 0, x_2=0\}$ (рис. 2б). При этом вне окрестности точек $x=\xi$ и $x=0$ старший член асимптотического решения имеет вид (14), такой же, как и в случае $E<0$. Замыкание $\bar{\Lambda}_+$ лагранжева подмногообразия $\Lambda_+$, отвечающего за старший член асимптотического разложения, при $E=0$ становится особым и задается соотношениями
$$
\begin{equation}
p_1=a \frac{\alpha^2-\beta^2}{1+\alpha^2 \beta^2}, \quad p_2=a \frac{2 \alpha \beta}{1+ \alpha^2 \beta^2}, \quad x_1=- a \frac{\alpha^2+\beta^2}{1+\alpha^2 \beta^2}, \quad x_2=- a \frac{2 \alpha \beta \ln{\alpha^2} }{1+ \alpha^2 \beta^2},
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $\alpha = e^{-t/2}$, $\beta = e^{t/2} \operatorname{tg} (\phi/2)$. Правые части этих соотношений определены при всех $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ (если положить по непрерывности $\alpha\log{\alpha^2}|_{\alpha=0}=0$) и не меняются при замене $(\alpha,\beta) \mapsto -(\alpha,\beta)$. Замыкание $\Lambda_+$ выделяется неравенством $\alpha \neq 0$, а дополнение $\bar{\Lambda}_+ \setminus \Lambda_+$ состоит из особых точек замыкания $\bar{\Lambda}_+$. На фазовых траекториях гамильтоновой системы $\alpha \beta = \mathrm{const}$. Условия $\alpha \neq 0$, $\beta= 0$ выделяют исключительную фазовую траекторию $p_1=-x_1 = a e^{-t}$, $p_2=x_2= 0$, которая приходит за бесконечное время из начальной точки $\alpha = \pm 1$, $x=(-a,0)$ в особую точку $p=0$, $q=0$ гамильтоновой системы. Условия $\alpha=0$, $\beta \neq 0$ выделяют фазовую траекторию $p_1 = x_1 = - a e^{t}$, $p_2=x_2=0$, которая выходит из особой точки, уходит по оси $x_1$ в $- \infty$ и состоит из особых точек замыкания $\bar{\Lambda}_+$. Согласно нашим результатам решение в правой полуплоскости $x_1>0$ локализовано в окрестности другой фазовой траектории $p_1=x_1=a e^t$, $p_2=x_2=0$, тоже выходящей из особой точки, но уходящей по оси $x_1$ в $+ \infty$. Таким образом, хоть эта траектория и срывается с лагранжева подмногообразия $\bar{\Lambda}_+$, но вносит нетривиальный вклад в асимптотику решения. Лагранжево подмногообразие (16) не является ни гладким, ни аналитическим – в его уравнения входят логарифмы. Если добавить еще одну координату – действие (10), равное интегралу от канонической формы $p \, d x$, то получится лежандрово подмногообразие в контактном пространстве $\mathbf{J}^1(\mathbb{R}^2_x,\mathbb{R})$ $1$-струй функций на плоскости, лежащее на особой гиперповерхности $p_1^2+p_2^2-x_1^2 =0$. Нормальная форма этого лежандрова подмногообразия в окрестности точки $p=0$, $x=0$ была найдена Арнольдом (см. § 8.4 в [8]) при исследовании особенностей фаз коротковолновых асимптотик систем линейных дифференциальных уравнений математической физики достаточно общего вида. Он также доказал, что эта особенность устойчива, т. е. от нее нельзя избавиться возмущениями коэффициентов уравнений системы и начальных условий. Устойчивость этой особенности относительно возмущения коэффициентов наблюдается лишь в системах уравнений, т. е. число уравнений и неизвестных функций должно быть не меньше двух. Кроме того, в § 8.4 монографии [8] обсуждается возможное появление луча, срывающегося с рассматриваемого лежандрова подмногообразия и в окрестности которого может быть локализовано решение. Арнольд рассматривал лежандровы подмногообразия, но его доказательство формулы (3) в § 8.4 монографии [8] дает также и нормальную форму
$$
\begin{equation*}
p_1=\alpha^2, \quad p_2= \alpha \beta, \quad x_1=- \beta^2, \quad x_2=- 2 \alpha \beta \ln{\alpha^2}
\end{equation*}
\notag
$$
лагранжева подмногообразия (16) в окрестности особой точки $p=0$, $x=0$ (в новых локальных канонических координатах и с новыми параметрами). Поэтому мы называем ее лагранжевой особенностью Арнольда. Гамильтониан при этой замене меняется – лагранжево подмногообразие теперь лежит на гиперповерхности $p_1 x_1 + p_2^2 = 0$. В задаче, рассматриваемой в настоящей работе, лагранжева особенность Арнольда реализуется для уравнения, а не для системы, и не является устойчивой относительно возмущений коэффициентов уравнения – например, она исчезает при любом $E \neq 0$. Тем не менее предсказание Арнольда существования срывающегося луча сбывается, однако фазовая траектория, вдоль которой локализовано решение, оказывается другой – теория Арнольда предсказывает траекторию $p_1=-x_1=-e^{-t}$, $p_2=x_2=0$, которая является гладким продолжением исключительной фазовой траектории. Разумеется, здесь нет никакого противоречия, поскольку мы рассматриваем не системы, а уравнение. С другой стороны, особенность Арнольда реализуется в двумерном уравнении Дирака с линейным потенциалом (см. [11], [12]). Это уже случай системы из двух уравнений, в котором особенность Арнольда является устойчивой. Согласно результатам работы [12] фазовая траектория, в окрестности которой локализуется решение, совпадает с предсказанной Арнольдом, но асимптотика в ее окрестности существенно отличается от полученной в настоящей работе. 3. Основные результаты: асимптотика решения в окрестности срывающейся траекторииСформулируем основные результаты статьи. Рассмотрим уравнение (5) c $E=0$:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}(-h^2 \triangle-x_1^2) \psi = V\biggl(\frac{x-\xi}{h}\biggr),
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $x = (x_1,x_2) \in \mathbb R^2$, $\xi = (\xi_1,\xi_2) \in \mathbb R^2$, $h>0$, $V(y)$ – гладкая, быстро убывающая на бесконечности функция. Теорема 1. Пусть $\psi$ – решение задачи (17), удовлетворяющее принципу предельного поглощения, $\xi_1 = -a$ ($a>0$), $\xi_2=0$. Тогда при $x_1 \in [c_1,c_2]$ ($c_2>c_1>0$) и $x_2 \in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi(x) ={}& \sqrt{\frac{h}{\ln (1/h)}} \frac{\widetilde V(a,0) e^{i\pi/4}}{2 \pi \sqrt{a x_1}} \exp{\biggl\{\frac{i}{h} \frac{a^2 + x_1^2}{2} + \frac{i x_2^2}{2h \ln (2a x_1/h)} -\frac{\pi x_2^2}{4h \ln^2 (2a x_1/h)} \biggr\}}\times{} \notag \\ &\times \Gamma \biggl( \frac12 + \frac{i x_2^2}{2h \ln^2 (2ax_1/h)} \biggr) + O\biggl( \frac{h^{1/2}}{(\ln (1/h))^{1-\delta}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $(a,0)$ – начальный импульс исключительной траектории, $\delta$ – любое положительное число, и оценка погрешности равномерна по $x_2\in \mathbb{R}$, $x_1 \in [c_1,c_2]$. На рис. 3 приведены сравнения графиков функции $\operatorname{Re} \psi(1/2,x_2)$ и ее асимптотики (18) (график $\operatorname{Re} \psi(x_1,x_2)$ приведен на рис. 2б). Теорема 1 показывает, что при $x_1 \geqslant c_1 > 0$ решение локализовано вдоль прямой $x_2=0$ в полосе шириной $\sqrt{h} \ln(1/h)$. Следствие 1. Пусть $\psi$ – решение задачи (17), удовлетворяющее принципу предельного поглощения, $\xi_1 = -a$ ($a>0$), $\xi_2=0$. Тогда при $x_1 \geqslant c_1 > 0$ и $x_2 \in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi \biggl( x_1, \eta \sqrt{h} \ln{\frac{1}{h}} \biggr) ={}& \sqrt{\frac{h}{\ln (1/h)}} \frac{\widetilde V(a,0) e^{i\pi/4}}{2 \pi \sqrt{a x_1}} \exp\biggl\{\frac{i(a^2 + x_1^2)}{2h} + \frac{i \eta^2 \ln(1/h)}{2} -{} \notag \\ & - \frac{i \eta^2 \ln (2a x_1)}{2} -\frac{\pi \eta^2}{4} \biggr\} \Gamma \biggl( \frac{1+i \eta}{2} \biggr) + O\biggl( \frac{h^{1/2}}{(\ln (1/h))^{1-\delta}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $(a,0)$ – начальный импульс исключительной траектории, $\delta$ – любое положительное число, и оценка погрешности равномерна на компактах. Формула (19) имеет вид первого члена ВКБ-разложения с разными скоростями осцилляций по осям: $1/h$ по $x_1$ и $\ln(1/h)$ по $x_2$. Она получается из формулы (18) разложением по малому параметру $1/\ln(1/h)$ и отбрасыванием членов, входящих в оценку погрешности. При этом теряется равномерность по $x_2 \in \mathbb{R}$. Чтобы получить асимптотику функции Грина, нужно положить $V(y) = \delta(y)$ и $\widetilde{V}(p) = 1$. Но мы эту формулу получим еще одним способом, вычисляя асимптотику функции Грина с помощью ее явного выражения через преобразования Фурье функций параболического цилиндра. На этом пути удается получить аналог формулы (19), но с улучшенной оценкой погрешности и недоказанной равномерностью. К тому же, выражая двумя способами функцию Грина, мы получим новое доказательство интегрального выражения для $D_w(u) D_w(v)$ (интеграла типа Николсона). Теорема 2. Пусть $\psi$ – решение уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}(-h^2 \triangle-x_1^2) \psi = h^2 \delta(x_1+a) \delta(x_2),
\end{equation}
\tag{20}
$$
удовлетворяющее принципу предельного поглощения. Тогда при фиксированных $x_1 \geqslant c_1 > 0$ и $x_2 \in \mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi \biggl( x_1, \eta \sqrt{h} \ln{\frac{1}{h}} \biggr) ={}& \sqrt{\frac{h}{\ln(1/h)}} \frac{e^{i\pi/4}}{2 \pi \sqrt{a x_1}} \exp\biggl\{\frac{i(a^2 + x_1^2)}{2h} + \frac{i \eta^2 \ln(1/h)}{2} -{} \notag \\ & - \frac{i \eta^2 \ln (2a x_1)}{2} -\frac{\pi \eta^2}{4} \biggr\} \Gamma \biggl( \frac{1+i \eta}{2} \biggr) + O\biggl( \frac{h^{1/2}}{( \ln(1/h))^{3/2}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
По всей видимости, теорема 1 и следствие 1 справедливы для более широкого класса функций, а теорема 2 дает основания предположить, что оценки погрешностей в них верны даже при $\delta = - 1/2$. 4. Доказательство теоремы 14.1. Точное решение модельной задачиПостроим решение задачи (17) со специальной правой частью
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}(-h^2 \triangle-x_1^2) \psi = V \equiv \exp{\biggl[-\frac{1}{2h} \langle x-\xi, D (x-\xi)\rangle\biggr]}, \qquad \operatorname{Re} D >0,
\end{equation}
\tag{22}
$$
удовлетворяющее принципу предельного поглощения, используя принцип Дюамеля и метод комплексного ростка Маслова [13]. Будем искать решение в виде
$$
\begin{equation*}
\psi(x) = \frac{i}{h}\int_0^\infty \varphi(x,t)\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi$ – решение задачи Коши
$$
\begin{equation*}
i h \frac{\partial \varphi}{\partial t} = H\biggl(x,-ih \frac{\partial}{\partial x}\biggr) \varphi, \qquad \varphi|_{t=0} = V.
\end{equation*}
\notag
$$
Построим точные решения задачи Коши с гауссовой экспонентой для двумерного уравнения Шредингера с параболическим потенциалом $v=-x_1^2/2$. Решение этой задачи находится в элементарных функциях, проще всего его построить с помощью теории комплексного ростка. Гамильтониан $H$ и начальная функция $\varphi|_{t=0}$ порождают задачи Коши для гамильтоновой системы
$$
\begin{equation}
\dot p_1=x_1,\quad \dot p_2=0,\quad \dot x_1=p_1,\quad \dot x_2=p, \quad p|_{t=0}=0,\quad x|_{t=0}=\xi,
\end{equation}
\tag{23}
$$
и соответствующей ей (и совпадающей с ней) системы в вариациях для $(2\times 2)$-матриц $B$, $C$
$$
\begin{equation}
\dot B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \\\end{pmatrix} C,\qquad \dot C=B, \qquad B|_{t=0}=i D,\qquad C|_{t=0}=E,
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $E$ – единичная $(2\times 2)$-матрица. Решения этих систем следующие:
$$
\begin{equation}
p=P(t)=\begin{pmatrix} \xi_1 \operatorname{sh} t \\0 \end{pmatrix},\qquad x=X(t)=\begin{pmatrix} \xi_1 \operatorname{ch} t \\\xi_2 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
B=i\begin{pmatrix} d_{11} \operatorname{ch} t & d_{12} \operatorname{sh} t \\d_{12} & d_{22} \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}i d_{11}\operatorname{sh} t+ \operatorname{ch} t & i d_{12} \operatorname{sh} t \\i d_{12}t & 1+i d_{22}t \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Обозначим через $J(t)$ якобиан
$$
\begin{equation*}
J(t)= \det C=(\operatorname{ch} t+id_{11}\operatorname{sh} t)(1+id_{22}t) + t\operatorname{sh} t d^2_{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Он не обращается в нуль, под его аргументом будем понимать непрерывную функцию, равную нулю при $t=0$. Определим комплексную фазу
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(x,t) &= \int_0^t ( \langle P(t), \dot X(t) \rangle - H(t))\, dt + \langle P(t), x- X(t) \rangle + {}\\ &\hphantom{={}}+\frac{1}{2} \langle x- X(t), BC^{-1} ( x- X(t))\rangle={} \\ &=\frac{1}{2}\operatorname{sh}(2t)+\xi_1\operatorname{sh} t(x_1-\xi_1 \operatorname{ch} t) +\frac{1}{2}\langle x-X(t), BC^{-1}(x-X(t))\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда решение (22) имеет вид
$$
\begin{equation}
\psi(x) = \frac{i}{h}\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{J(t)}} e^{(i/h)S(x,t)}\, dt.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Замечание 1. В случае, когда матрица $D$ диагональна, $d_{12}=0$, получим
$$
\begin{equation}
BC^{-1}=i\begin{pmatrix}\dfrac{ d_{11}\operatorname{ch} t }{i d_{11}\operatorname{sh} t+ \operatorname{ch} t } & 0\\0 &\dfrac{ d_{22}}{1+i d_{22}t} \end{pmatrix}, \qquad J(t)=(\operatorname{ch} t+i d_{11}\operatorname{sh} t)(1+i d_{22}t).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Если же выбрать $d_{11}=d_{22}=1/\varepsilon$ (при соответствующей нормировке это даст дельта-образную последовательность и позволит написать фундаментальное решение), то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J = \biggl(\operatorname{ch} t + \frac{i}{\varepsilon} \operatorname{sh} t\biggr)\biggl(\frac{i}{\varepsilon} t + 1\biggr)= -\frac{1}{\varepsilon^2} (\operatorname{sh} t - i \varepsilon \operatorname{ch} t)(t-i \varepsilon), \\ S= \frac14 \xi_1^2 \operatorname{sh} 2t + \xi_1 \operatorname{sh} t (x_1 - \xi_1 \operatorname{ch} t) + \frac12 \frac{\operatorname{ch} t -i \varepsilon \operatorname{sh} t}{\operatorname{sh} t - i \varepsilon \operatorname{ch} t} (x_1 - \xi_1 \operatorname{ch} t)^2+ \frac12 \frac{1}{t-i \varepsilon} (x_2 - \xi_2)^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. A. Интеграл (27) сходится абсолютно и равномерно по $x$. При этом для любого $\alpha$
$$
\begin{equation*}
\partial_x^\alpha \psi(x) = \frac{i}{h} \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{J(t)}} \partial_x^\alpha e^{(i/h)S(x,t)}\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где интеграл от производной сходится абсолютно и равномерно на компактах $x\in K$. Б. Функция $\psi(x)$ является точным решением уравнения (17). В. Решение $\psi(x)$ является пределом при $\mu \to 0^+$ в $D'(\mathbb{R}^2)$ (и поточечным пределом) единственных решений $\psi_\mu(x) \in L^2(\mathbb{R}^2)$ уравнения Доказательство. Для простоты выкладок будем доказывать лемму для случая $d_{11}=d_{22} = 1/h$, $d_{12}=0$. Тогда где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A = \frac{1}{\sqrt{(\operatorname{sh} t - i h \operatorname{ch} t)(t-i h )}}, \\ S= \frac14 \xi_1^2 \operatorname{sh} 2t + \xi_1 \operatorname{sh} t (x_1 - \xi_1 \operatorname{ch} t) + \frac12 \frac{\operatorname{ch} t -i h \operatorname{sh} t}{\operatorname{sh} t - i h \operatorname{ch} t} (x_1 - \xi_1 \operatorname{ch} t)^2+ \frac12 \frac{1}{t-i h} (x_2 - \xi_2)^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
A. Покажем, что несобственный интеграл (30) сходится абсолютно и равномерно по $x$. Поскольку
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im} S = \frac{h}{2} \frac{(x_1 - \xi_1 \operatorname{ch} t)^2}{\operatorname{sh}^2 t + h^2 \operatorname{ch}^2 t} + \frac{h}{2} \frac{(x_2-\xi_2)^2}{t^2 + h^2},
\end{equation}
\tag{31}
$$
то для модуля подынтегральной функции имеем оценку при $t\to \infty$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |e^{(i/h) S}| =e^{-\operatorname{Im} S/h} =\exp\biggl[- \frac{1}{2} \frac{(x_1 - \xi_1 \operatorname{ch} t)^2}{\operatorname{sh}^2 t + h^2 \operatorname{ch}^2 t} - \frac{1}{2} \frac{(x_2-\xi_2)^2}{t^2 + h^2}\biggr] = O(1), \\ |A|=( (\operatorname{sh}^2 t + h^2 \operatorname{ch}^2 t)(t^2 + h^2) )^{-1/4} =O(e^{-t/2} t^{-1/2}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Б. Теперь докажем, что можно менять местами производную по $x$ и интеграл. Для этого покажем, что интеграл от производной сходится абсолютно и равномерно на компактах $x\in K$. Возьмем первую производную от подынтегрального выражения:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial x_k} ( A(t) e^{(i/h) S(x,t)}) = A(t) \frac{\partial S}{\partial x_k} e^{(i/h) S(x,t)},
\end{equation*}
\notag
$$
но
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial S}{\partial x_1} = \xi_1 \operatorname{sh} t + (x_1 -\xi_1 \operatorname{ch} t) \frac{\operatorname{ch} t - ih \operatorname{sh} t}{\operatorname{sh} t - ih \operatorname{ch} t} = \frac{x_1 (\operatorname{ch} t - ih \operatorname{sh} t) - \xi_1}{\operatorname{sh} t -i h \operatorname{ch} t},\qquad \frac{\partial S}{\partial x_2} = \frac{x_2 - \xi_2}{t-ih}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, все производные $S_{x_k}, S_{x_i,x_j}$ ограничены при $t\to \infty$, $x\in K$. А значит,
$$
\begin{equation*}
| \partial^\alpha_x ( A e^{(i/h)S} ) | =O(e^{-t/2} t^{-1/2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, можно менять производные по $x$ и интеграл по $t$ в интеграле (30). Тем самым мы доказали п. Б леммы. В. Как и ранее, можно построить некоторое решение уравнения (29) методом комплексного ростка:
$$
\begin{equation*}
\psi_\mu(x) = \int_0^\infty A(t) \exp\biggl[-\frac{\mu t}{h} + \frac{i S(x,t)}{h}\biggr]\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $\psi_\mu \in L^2 (\mathbb{R}^2)$ при $\mu \geqslant 0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{\mathbb{R}^2} |\psi_\mu|^2\, dx = \int_{\mathbb{R}^2} \int_0^\infty \int_0^\infty F(x,t,\tau)\,dt\, d\tau\, dx, \\ F = A(t) \bar A (\tau) \exp\biggl[-\frac{\mu}{h} (t+ \tau ) + \frac{i}{h} ( S(x,t) - \bar S(x,\tau) )\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что четырехкратный интеграл сходится абсолютно:
$$
\begin{equation*}
|F| = |A(t)||A(\tau)| e^{-(\mu/h) (t+\tau)} \exp\biggl[-\frac{\operatorname{Im} S(x,t) + \operatorname{Im} S(x,\tau)}{h}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (31), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{2}{h}(\operatorname{Im} S(x,t) + \operatorname{Im} S(x,\tau)) &= \alpha x_1^2 - 2 \beta x_1 + \gamma + \delta (x_2 - \xi_2)^2={} \\ &= \alpha \biggl(x_1 - \frac{\beta}{\alpha}\biggr)^2 + \delta (x_2 - \xi_2)^2 + \gamma -\frac{\beta^2}{\alpha}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha = \frac{1}{a(t)} + \frac{1}{a(\tau)}, \qquad \beta = \frac{\xi_1 \operatorname{ch} t}{a(t)} + \frac{\xi_1 \operatorname{ch} \tau}{a(\tau)}, \qquad \gamma = \frac{\xi_1^2 \operatorname{ch}^2 t}{a(t)} + \frac{\xi_1^2 \operatorname{ch}^2 \tau}{a(\tau)}, \\ \delta = \frac{1}{b(t)} + \frac{1}{b(\tau)}, \qquad a(t) = \operatorname{sh}^2 t + h^2 \operatorname{ch}^2 t, \qquad b(t) = t^2 + h^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем оценки ($f \asymp g$, если $c_1 g \leqslant f \leqslant c_2 g$ с положительными константами $c_1,c_2$):
$$
\begin{equation*}
a(t) \asymp e^{2t},\quad b(t) \asymp t^2, \quad \gamma \asymp 1, \quad \beta^2 \asymp (e^{-t}+ e^{-\tau})^2, \quad \alpha \asymp e^{-2t} + e^{-2\tau}, \quad \frac{\beta^2}{\alpha} \asymp 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Делаем замену $y_1 = (x_1 - \beta/\alpha) \sqrt{\alpha}$, $y_2 = (x_2 - \xi_2)\sqrt{\delta}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^2}&\int_0^\infty \int_0^\infty |F(x,t,\tau)|\,dt\, d\tau\, dx ={} \\ &=\int_{\mathbb{R}^2} \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(\mu/h)(t+ \tau)} e^{-|y|^2/2}( b(t) b(\tau) a(t) a(\tau))^{-1/4} ( \alpha \delta)^{-1/2}\times{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times e^{-(1/2)(\gamma - \beta^2/\alpha)}\,dt\, d\tau\, dy={} \\ &=\int_{\mathbb{R}^2} \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(\mu/h)(t+ \tau)}e^{-|y|^2/2} \frac{a^{1/4} (t) a^{1/4} (\tau)}{\sqrt{ a(t) + a(\tau)}} \frac{b^{1/4} (t) b^{1/4} (\tau)}{\sqrt{ b(t) + b(\tau)}}\times{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times e^{-(1/2) ( \gamma - \beta^2/\alpha)}\,dt \,d\tau\, dy\leqslant{} \\ &\leqslant \mathrm{const} \int_{\mathbb{R}^2} \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-|y|^2/2}\frac{e^{t (1/2 - \mu/h)} e^{\tau (1/2 - \mu/h)}}{\sqrt{ e^{2t} + e^{2\tau}}} \,dt\, d\tau \,dy, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $b^{1/4} (t) b^{1/4} (\tau)/\sqrt{ b(t) +b(\tau)} \leqslant \mathrm{const}$, $e^{-(1/2)( \gamma - \beta^2/\alpha)} \leqslant \mathrm{const}$. Если $1/2 - \mu/h \leqslant 0$, то последний интеграл сходится. Если $1/2 - \mu/h > 0$, то делаем замену $r =e^{t(1/2 - \mu/h)}$, $s =e^{\tau (1/2 - \mu/h)}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^2} \int_0^\infty \int_0^\infty& |F(x,t,\tau)|\,dt\, d\tau\, dx \leqslant{} \\ &\leqslant \mathrm{const} \int_{\mathbb{R}^2} \int_1^\infty \int_1^\infty e^{-|y|^2/2}\frac{1}{\sqrt{r^{4/(1- 2\mu/h)} + s^{4/(1- 2\mu/h)}}}\,d r \,d s\, dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходим к полярным координатам $r =\rho \cos \phi, s = \rho \sin \phi$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^2} \int_0^\infty \int_0^\infty& |F(x,t,\tau)|\,dt \,d\tau\, dx \leqslant{} \\ &\leqslant \mathrm{const} \int_{\mathbb{R}^2} \int_1^\infty \int_0^{\pi/2} e^{-|y|^2/2}\rho^{-1 - (4\mu/h)/(1-2\mu/h)}\,d \rho\, d \phi \,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний интеграл сходится. Теперь докажем, что $\psi_\mu \to \psi$ в $D'(\mathbb{R}^2)$ при $\mu \to 0^+$. Пусть $f(x)\in D(\mathbb{R}^2)$: Поскольку $|A(t)| \leqslant \mathrm{const}\, e^{-t/2}$, $e^{- \operatorname{Im} S/h} \leqslant 1$, последний интеграл сходится равномерно по $\mu \geqslant 0$, а значит, под интегралом можно перейти к пределу при $\mu \to + 0$. Аналогично доказывается поточечная сходимость $\psi_\mu(x) \to \psi(x)$ ($\mu \to + 0$).4.2. Фундаментальное решениеЛемма 2. A. Фундаментальное решение $\mathcal{E}$ (удовлетворяющее принципу предельного поглощения) уравнения имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{E} (x) = \frac{1}{2\pi h^2} \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{t \operatorname{sh} t}} e^{i S_0/h}\, dt,
\end{equation}
\tag{32}
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_0 = \frac{(x_2 - \xi_2)^2}{2 t} + \frac{\xi_1^2+x_1^2}{2} \operatorname{cth} t - \frac{ x_1 \xi_1}{\operatorname{sh} t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Б. Преобразование Фурье фундаментального решения имеет вид
$$
\begin{equation}
\widetilde{ \mathcal{E}} \biggl( \frac{p_1}{h} ,\frac{p_2}{h} \biggr) = \frac{i}{h} \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{\operatorname{ch} t}} e^{i \widetilde S(p,t)/h}\, dt,
\end{equation}
\tag{33}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde S(p,t) = -\frac{p_2^2\, t}{2} - \frac{\xi_1\, p_1}{\operatorname{ch} t} + \frac{ \xi_1^2 - p_1^2}{2} \operatorname{th} t -\xi_2 p_2.
\end{equation}
\tag{34}
$$
В. Решение (удовлетворяющее принципу предельного поглощения) уравнения $\hat H \psi (x)= V((x-\xi)/h)$ (с произвольной быстро убывающей функцией $V(y)$) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\psi(x) = \mathcal{E}(x) \ast V\biggl( \frac{x}{h} \biggr) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{0}^\infty \int_{\mathbb{R}^2} \frac{i}{h} \frac{1}{\sqrt{\operatorname{ch} t}} e^{i \Phi(p,t)/h} \widetilde V(p)\, dp\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где Это решение $\psi$ при $|x-\xi|>C>0$ имеет следующую асимптотику при $h\to 0$: Доказательство. A. Применим лемму 1 для дельта-образной правой части
$$
\begin{equation*}
V_\varepsilon = \frac{1}{2\pi \varepsilon h} e^{-(1/2 \varepsilon h) |x-\xi|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В $D'(\mathbb{R}^2)$ решение (27) при $\varepsilon \to 0$ будет сходиться к (32). Б. Преобразование Фурье вычисляется явно, поскольку фаза $S_0$ квадратична по $x$. В. Имеем
$$
\begin{equation*}
\psi(x) = \mathcal{E} (x) \ast V\biggl( \frac{x}{h} \biggr) = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb{R}^2} e^{i (p,x)/h} \widetilde{ \mathcal{E}} \biggl( \frac{p}{h} \biggr) \widetilde V(p)\, dp.
\end{equation*}
\notag
$$
Стационарные точки по $(p_1,p_2)$ при $t>0$ (т. е. вне окрестности $x=\xi$) определяются из системы
$$
\begin{equation*}
\Phi_{p_1} = x_1 - \frac{\xi_1}{\operatorname{ch} t} - p_1 \operatorname{th} t = 0,\qquad \Phi_{p_2} = x_2 - p_2 t -\xi_2 = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
p_1 = \frac{x_1 \operatorname{ch} t -\xi_1}{\operatorname{sh} t},\qquad p_2 = \frac{x_2 - \xi_2}{t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Фаза $\Phi$ в стационарной точке $\Phi|_{p = p(x,t)} = S_0(x,t)$. Применение метода стационарной фазы дает интеграл (35). ПримерыВ качестве $V$ можно рассмотреть растянутую и повернутые гауссовы экспоненты:
$$
\begin{equation}
V(x)=\exp\biggl[-\frac12 \biggl( \frac{x_1 \cos \alpha - x_2 \sin \alpha}{a_1} \biggr)^2 -\frac12 \biggl( \frac{x_1 \sin \alpha + x_2 \cos \alpha}{a_2} \biggr)^2 \biggr],
\end{equation}
\tag{36}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi} \widetilde V(p) = a_1 a_2 \exp\biggl[-\frac{a_1^2}{2} \biggl( p_1 \cos \alpha - p_2 \sin \alpha \biggr)^2 -\frac{a_2^2}{2} \biggl( p_1 \sin \alpha + p_2 \cos \alpha \biggr)^2 \biggr].
\end{equation}
\tag{37}
$$
На рис. 4–6 показаны графики $\operatorname{Re} \psi(x)$ при параметрах правой части $a_1=1$, $a_2=6$, $\alpha = 0, \pi/8, \pi/2$ и при разных энергиях $E=-0.1,0,0.1$. Заметим разницу между амплитудами волн в правой полуплоскости на рис. 5а (когда длинная сторона источника направлена вдоль оси $x_1$) и рис. 5в (когда короткая сторона источника направлена вдоль оси $x_1$). Амплитуда волны в правой полуплоскости на рис. 5в в $e^{(a_2^2 - a_1^2)/2} = e^{35/2} \approx 4 \cdot 10^7$ раз меньше амплитуды волны в правой полуплоскости на рис. 5а. То есть она настолько мала, что на рисунке ее не видно. Поведение предъявленных решений описывает зависимость важной с точки зрения приложений диаграммы направленности волнового поля, порожденного локализованным источником, как от поведения траекторий, зависящих от характеристик неоднородности среды, так и от формы локализованного источника. В асимптотике функции Грина влияние формы источника естественно отсутствует. 4.3. Асимптотика решения в области $x_1 \geqslant \mathrm{const} >0$Сначала напишем асимптотику решения в области $x_1 \geqslant \mathrm{const} >0$ с помощью эталонного интеграла. При $x_2=0$ основной вклад в интеграл (35) дает окрестность бесконечности (на бесконечности имеется стационарная точка). Асимптотически упростим фазу и амплитуду на бесконечности. А именно, в фазе $S_0$ оставим только $1/t$ и $e^{-t}$ и упростим амплитуду, заменив $\operatorname{sh} t$ на $e^{t}/2$ и заменив $\widetilde V$ на значение при $t=\infty$:
$$
\begin{equation*}
S_0 = \frac{x_2^2}{2 t} + \frac{a^2+x_1^2}{2} \operatorname{cth} t + \frac{a x_1}{\operatorname{sh} t} = \frac{x_2^2}{2 t} + \frac{a^2+x_1^2}{2} + \frac{2 a x_1}{e^t} + O(e^{-2t}).
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
\sqrt{2} \frac{1}{2\pi} \widetilde V(a,0) \exp\biggl[\frac{i}{h} \frac{a^2 + x_1^2}{2}\biggr] \int_c^\infty \chi(t) \exp\biggl[\frac{i}{h} \biggl( \frac{x_2^2}{2t} + \frac{2 a x_1}{e^t} \biggr)\biggr] \frac{1}{\sqrt{t e^t}}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем эталонный интеграл
$$
\begin{equation*}
I(\alpha,\mu) = \int_1^\infty \exp\biggl[\frac{i}{\mu} \biggl( e^{-\tau} + \frac{\alpha^2}{\tau} \biggr)\biggr] \frac{1}{\sqrt{\tau e^\tau}}\, d \tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим погрешность, которую мы допустили, изменив фазу, амплитуду и убрав срезающую функцию. Доказательство. Для простоты будем считать, что $\widetilde V(p) = 2\pi e^S_1$, $S_1 = -|p|^2$. Достаточно рассматривать только случай $|x_2| < c_3$, поскольку при $|x_2| \geqslant c_3$ имеем $\psi = O(h^\infty)$, $I = O(h^\infty)$ (доказывается интегрированием по частям). Добавим в интеграл (35) срезающую функцию $\chi_\lambda(t)$, вырезающую окрестности нуля и бесконечности: $\chi_\lambda(t) =0$ при $t<c$, $t>\lambda+1$ и $\chi_\lambda(t) =1$ при $2c<t<\lambda$. Сначала выберем $\lambda$ максимально большим, чтобы интеграл со срезающей функцией был порядка $O(h^\infty)$. 1. Докажем, что
$$
\begin{equation*}
I_1:=\int_0^\infty \chi_\lambda(t) A_0(t) e^{S_1} e^{i S_0/h}\, dt = O(h^\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda = \alpha \ln (1/h)$ при любом $\alpha < 2/3$. Интегрируем по частям:
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty \chi_\lambda(t) A_0(t) e^{S_1} e^{i S_0/h}\, dt = ih \int_c^{\lambda+1} \biggl[\, \underbrace{ \frac{-S_0''}{(S_0')^2} \chi_\lambda A_0 e^{S_1} }_{(1)} + \underbrace{ \frac{1}{S_0'} ( \chi_\lambda A_0 e^{S_1})' }_{(2)}\, \biggr] e^{i S_0/h}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим интегралы от двух слагаемых:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_0' &= - \biggl( \frac{x_1^2 + a^2}{2} \frac{1}{\operatorname{sh}^2 t} + x_1 a \frac{\operatorname{ch} t}{\operatorname{sh}^2 t} + \frac{x_2^2}{2t^2} \biggr), \\ S_0'' &= (x_1^2 + a^2) \frac{\operatorname{ch} t}{\operatorname{sh}^3 t} + x_1 a \frac{1+ \operatorname{ch}^2 t}{\operatorname{sh}^3 t} + \frac{x_2^2}{t^3}, \\ S_1' &= \frac{x_1 + a \operatorname{ch} t}{\operatorname{sh} t}\cdot \frac{a+ x_1 \operatorname{ch} t}{\operatorname{sh}^2 t} + \frac{x_2^2}{t^3}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\operatorname{sh} t \asymp e^t, \operatorname{ch} t\asymp e^t$ при $t\in [c,\infty)$, получим
$$
\begin{equation*}
|S_0'| \asymp \frac{x_1^2 + a^2}{2} \frac{1}{e^{2t}} + x_1 a \frac{1}{e^t} + \frac{x_2^2}{2t^2} \geqslant \mathrm{const}\, e^{-t}, \qquad |S_0''| \leqslant \frac{ \mathrm{const}}{t^3}, \quad |S_1'| \leqslant \frac{\mathrm{const}}{t^3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_c^{\lambda+1} |(1)|\, dt \leqslant \mathrm{const} \int_c^{\lambda+1} t^{-7/2} e^{3t/2}\, dt \sim \mathrm{const} \, \lambda^{-5/2} e^{3\lambda/2} = o(e^{3\lambda/2})\quad \text{ при } \lambda \to \infty, \\ \int_c^{\lambda+1} |(2)| \,dt = o(e^{\lambda/2})\quad \text{ при } \lambda \to \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $\lambda = \alpha \ln (1/h)$, тогда $|I_1|\leqslant h \, o(e^{3\lambda/2}) = o(h^{1-3\alpha/2})$. Если выбрать $\alpha < 2/3$, после аналогичного многократного интегрирования по частям получим $I_1 = O(h^\infty)$. 2. Теперь в интеграле
$$
\begin{equation*}
I_2 =\int_\lambda^\infty (1-\chi_\lambda(t)) A_0(t) e^{S_1} e^{i S_0/h}\, dt
\end{equation*}
\notag
$$
будем упрощать фазу и амплитуду: $S_0 = \widetilde S_0 + R$, где
$$
\begin{equation*}
\widetilde S_0 = \frac{x_2^2}{2 t} + \frac{a^2+x_1^2}{2} + \frac{2 a x_1}{e^t}, \qquad R =(x_1^2 + a^2) \frac{e^{-2t}}{1-e^{-2t}} + 2x_1 a \frac{e^{-3t}}{1- e^{-2t}} = O(e^{-2t}).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим разность
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde I_2 - I_2 & := \int_\lambda^\infty (1-\chi_\lambda(t)) A_0(t) e^{S_1} e^{i \widetilde S_0/h}\, dt - \int_\lambda^\infty (1-\chi_\lambda(t)) A_0(t) e^{S_1} e^{i S_0/h}\, dt={} \\ & = \int_\lambda^\infty (1-\chi_\lambda(t)) A_0(t) e^{S_1} e^{i \widetilde S_0/h} ( 1- e^{i R/h} )\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$|R/h| \leqslant \mathrm{const}\, h^{-1} e^{-2\lambda} = O(h^{-1+2\alpha})$ при $t> \lambda$. Величина $R/h$ будет малой при $\alpha > 1/2$. Тогда можно оценить $|1- e^{i R/h}| < \mathrm{const}\, h^{-1} e^{-2\lambda}$ при $t>\lambda$. Получаем
$$
\begin{equation*}
|\widetilde I_2 - I_2| < \frac{\mathrm{const}}{h e^{2\lambda}} \int_\lambda^\infty \frac{dt}{\sqrt{t \operatorname{sh} t}} \sim \frac{\mathrm{const}}{h e^{2\lambda}} \lambda^{3/2} e^{-\lambda/2} = \mathrm{const} \biggl(\ln \frac{1}{h}\biggr)^{3/2} h^{-1 + 5 \alpha/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $\alpha = 2/3 - \nu$, где $\nu \in (0,1/6)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|\widetilde I_2 - I_2| =O\biggl( \biggl(\ln \frac{1}{h}\biggr)^{3/2} h^{2/3 - 5 \nu/2}\biggr) = O ( h^{2/3 - \gamma}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma >0$ можно сделать сколь угодно малым. 3. Теперь докажем, что можно в интеграле $\widetilde I_2$ в амплитуде $A_0$ заменить $\operatorname{sh} t$ на $e^t/2$, не ухудшив оценку из п. 2. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl| &\int_\lambda^\infty (1- \chi_\lambda) \biggl( \frac{1}{\sqrt{t \operatorname{sh} t}} - \frac{1}{\sqrt{t e^t/2}} \biggr) e^{S_1} e^{i \widetilde S_0/h}\, dt \biggr|\leqslant{} \\ &\leqslant \int_\lambda^\infty \sqrt{\frac{2}{t}} \frac{e^{-t}}{ \sqrt{e^t} \sqrt{e^{t} -e^{-t}} (\sqrt{e^t} + \sqrt{e^t + e^{-t}})}\, dt \sim \lambda^{3/2} e^{-5\lambda/2} ={} \\ &= \biggl( \ln \frac{1}{h}\biggr)^{3/2} h^{5\alpha/2} = \biggl( \ln \frac{1}{h} \biggr)^{3/2} h^{5/3- 5 \nu/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4. Теперь докажем, что можно в интеграле убрать $e^{S_1}$, не ухудшив оценку из п. 2. Поскольку $S_1 \leqslant - \mathrm{const}/\operatorname{sh}^2 t$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl| \int_\lambda^\infty &(1- \chi_\lambda) \frac{1}{\sqrt{t e^t}} ( e^{S_1} -1 ) e^{i \widetilde S_0/h}\, dt \biggr| \leqslant \int_\lambda^\infty \frac{1}{\sqrt{t e^t}} (1- e^{-1/\operatorname{sh}^2 t} )\, dt\leqslant{} \\ &\leqslant \mathrm{const} \int_\lambda^\infty t^{-1/2} e^{-5t/2}\, dt \sim \mathrm{const}\, \lambda^{3/2} e^{-5 \lambda/2}= \mathrm{const} \biggl( \ln \frac{1}{h}\biggr)^{3/2} h^{5/3 - 5 \nu/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
5. Оставляем только интеграл от $1$ до $\infty$ (т. е. изменяем на величину $O(h)$): где $\gamma>0$ можно сделать сколь угодно малым.Теперь асимптотически упростим эталонный интеграл. Лемма 4. Равномерно по $\alpha\in [0,\infty)$ при $\mu \to 0$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I(\alpha,\mu) ={}& \sqrt{\frac{i \mu}{\ln(1/\mu)}} \exp\biggl[\frac{i \alpha^2}{\mu \ln (1/\mu)}\biggr] \exp\biggl[- \frac{ \pi \alpha^2}{2\mu \ln^2 (1/\mu)} \biggr] \Gamma \biggl(\frac12 + \frac{i \alpha^2}{\mu \ln^2 (1/\mu)}\biggr) +{} \\ &+ O\biggl( \frac{\mu^{1/2}}{(\ln (1/\mu))^{1-\delta}} \biggr)\quad \forall \delta>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 2. При $\alpha \ll \sqrt{\mu}$ асимптотика $I$ получается из формулы 1.35 (с. 166) в [14] (интеграл с логарифмической особенностью в стационарной точке). Доказательство леммы 4. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\beta = \frac{\alpha}{\sqrt{\mu}},\qquad \,\, I = \int_1^\infty e^{i e^{-t}/\mu} e^{i \beta^2/t} \frac{1}{\sqrt{t e^t}}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем преобразование Фурье по $\beta$:
$$
\begin{equation*}
F_{\beta \to p} [I] = \sqrt{\pi} e^{i \pi/4} \int_1^\infty e^{i e^{-t}/\mu} e^{-t/2} e^{-i p^2 t/4}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену $r=e^{-t}/\mu$:
$$
\begin{equation*}
F_{\beta \to p} [I] = \sqrt{\pi} e^{i \pi/4} \mu^{i p^2/4 + 1/2} \int_0^{1/e \mu} e^{i r} r^{i p^2/4 - 1/2}\, dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим последний интеграл как где $R=1/e \mu$. Выразим $K$ через гамма-функцию. Для этого рассмотрим отрезки $I_1 = \{ (x,0)\in \mathbb{C}\, |\, x\in [0,R] \}$, $I_2 = \{ (0,-y)\in \mathbb{C}\, |\, y\in [0,R] \}$ и четверть окружности $\gamma_R = \{ R e^{i\theta}\, | \, \theta\in [-\pi/2,0] \}$. Интегрируем функцию $f(w) = e^{-w} w^{i p^2/4 - 1/2}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{I_2} f(w)\, dw = e^{\pi p^2/8} e^{-i \pi/4} \int_0^R e^{i r} r^{i p^2/4 -1/2}\, dr = e^{\pi p^2/8} e^{-i \pi/4} K, \\ \int_{I_1} f(w)\, dw = \int_0^R e^{-t} t^{i p^2/4 - 1/2}\, dt, \\ \int_{\gamma_R} f(w)\,dw = \int_{-\pi/2}^0 e^{-R e^{i \theta}} \exp\biggl[(\ln R + i \theta)\biggl(\frac{ip^2}{4} - \frac12\biggr)\biggr] R i e^{i \theta}\, d\theta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\int_{I_2} f \,dw = \int_{I_1} f\, dw - \int_{\gamma_R} f\, dw,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
e^{-i \pi/4} K = e^{-\pi p^2/8} \Gamma \biggl( \frac12 + \frac{i p^2}{4} \biggr) - F(p,\mu) - G(p,\mu),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
F(p,\mu) = e^{- \pi p^2/8} \int_R^\infty e^{-t}t^{ip^2/4 - 1/2}\, dt, \qquad G(p,\mu) = e^{- \pi p^2/8}\int_{\gamma_R} f(w)\, dw.
\end{equation*}
\notag
$$
Делаем обратное преобразование Фурье:
$$
\begin{equation}
I = \frac{i \sqrt{\mu}}{2 \sqrt{\pi}} \int_\mathbb{R} \exp\biggl[i \biggl( \beta p -\frac{ p^2}{4} \ln \frac{1}{\mu} \biggr)\biggr] \biggl[ e^{-\pi p^2/8} \Gamma \biggl( \frac12 + \frac{i p^2}{4} \biggr) - F(p,\mu) - G(p,\mu) \biggr]\, dp.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Докажем, что интегралы, содержащие функции $F$ и $G$, малы равномерно по $\beta \in [0,\infty)$. А затем найдем асимптотику интеграла от первого слагаемого. 1. Оценим интеграл, содержащий функцию $F$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_R^\infty e^{-t} t^{i p^2/4 - 1/2} \,dt\biggr| \leqslant \int_R^\infty e^{-t}\, dt = e^{-1/e \mu},
\end{equation*}
\notag
$$
то $|F(p,\mu)| \leqslant e^{-\pi p^2/8} e^{-1/ e \mu}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl| \frac{i \sqrt{\mu}}{2 \sqrt{\pi}} \int_\mathbb{R} \exp\biggl[i \biggl( \beta p -\frac{ p^2}{4} \ln \frac{1}{\mu} \biggr)\biggr] F(p,\mu)\, dp \biggr| = O(\mu^{\infty})
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $\beta\geqslant 0$. 2. Оценим интеграл, содержащий функцию $G$:
$$
\begin{equation}
\int_\mathbb{R} \int_{-\pi/2}^0 \exp\biggl[i \biggl( \beta p - \frac{p^2}{4} \ln \frac{1}{\mu} \biggr)\biggr] e^{-\pi p^2/8} e^{-R e^{i \theta}} \exp\biggl[( \ln R + i \theta)\biggl(\frac{i p^2}{4} - \frac12\biggr)\biggr] R i e^{i \theta}\, d\theta\, dp.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Покажем, что можно поменять местами интегралы. Для этого докажем, что двойной интеграл сходится абсолютно. Оценим сверху интеграл от модуля подынтегрального выражения, используя оценку из леммы Жордана: $\cos \theta \geqslant (\theta + \pi/2) (2/\pi)$ при $\theta \in [-\pi/2,0]$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_\mathbb{R} \int_{-\pi/2}^0 &e^{-\pi p^2/8} e^{-R \cos \theta} \exp\biggl[\frac12 \ln R - \frac{\theta p^2}{4}\biggr]\, d\theta\, dp \leqslant{} \\ &\leqslant \sqrt{R} \int_\mathbb{R} \int_{-\pi/2}^0 \exp\biggl[-\frac{p^2}{4}\biggl(\theta + \frac{\pi}{2}\biggr)\biggr] \exp\biggl[-R\biggl(\frac{\pi}{2} + \theta\biggr) \frac{2}{\pi}\biggr]\, d \theta\,dp={} \\ &= \sqrt{R} \int_\mathbb{R} \int_0^{\pi/2} e^{-u^2/4} \frac{e^{-2R\xi/\pi}}{\sqrt{\xi}}\, d \xi\,du, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где в последнем равенстве сделана замена $\xi = \theta + \pi/2$, $u = p \sqrt{\xi}$. Последний двойной интеграл сходится. Меняем местами интегралы в (39) и интегрируем по $p$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, i \int_{-\pi/2}^0 \int_\mathbb{R} &\exp\biggl[i \beta p -\frac{p^2}{4}\biggl( \theta + \frac{\pi}{2} + i \biggr)\biggr] e^{-R e^{i \theta}} \sqrt{R e^{i\theta}}\, d p\, d\theta={} \\ &= i \int_{-\pi/2}^0 \sqrt{\frac{4\pi}{\theta + \pi/2 + i}} \exp\biggl[-\frac{\beta^2}{\theta + \frac{\pi}{2} + i}\biggr] e^{-R e^{i\theta}} \sqrt{ R e^{i\theta}}\, d\theta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оцениваем сверху интеграл от модуля подынтегрального выражения, сделав замену $\xi = \theta +\pi/2$, использовав оценки
$$
\begin{equation*}
\cos \theta \geqslant \frac{2 \xi}{\pi}, \qquad \biggl| \sqrt{\frac{4\pi}{\theta +\pi/2 + i}} e^{-\beta^2/(\theta + \pi/2 + i)} \biggr| \leqslant \mathrm{const}
\end{equation*}
\notag
$$
равномерно по $\beta \in \mathbb{R}$:
$$
\begin{equation*}
\sqrt{R} \int_0^{\pi/2} e^{-2R\xi/\pi }\, d\xi = \frac{\pi}{2\sqrt{R}} ( 1- e^{-R}) = O(\sqrt{\mu}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation}
\biggl| \frac{i \sqrt{\mu}}{2 \sqrt{\pi}} \int_\mathbb{R} \exp\biggl[i \biggl( \beta p -\frac{ p^2}{4} \ln \frac{1}{\mu} \biggr)\biggr] G(p,\mu) \, dp \biggr| = O(\mu)
\end{equation}
\tag{40}
$$
равномерно по $\beta \geqslant 0$. 3. Найдем асимптотику интеграла
$$
\begin{equation}
\frac{i \sqrt{\mu}}{2 \sqrt{\pi}} \int_\mathbb{R} \exp\biggl[i \biggl( \beta p -\frac{ p^2}{4} \ln \frac{1}{\mu} \biggr)\biggr] e^{-\pi p^2/8} \Gamma \biggl( \frac12 + \frac{i p^2}{4} \biggr) \, dp.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\beta = \gamma \ln \frac{1}{\mu},\qquad \varepsilon = \frac{1}{\ln (1/\mu)},\qquad g(p) = e^{-\pi p^2/8} \Gamma \biggl( \frac12 + \frac{i p^2}{4} \biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl[\frac{i}{\varepsilon} \biggl( \gamma p - \frac{p^2}{4} \biggr)\biggr] g(p)\, dp.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl[\frac{i}{\varepsilon} \biggl( \gamma p - \frac{p^2}{4} \biggr) \biggr] g(p)\, dp = 2 \sqrt{\pi \varepsilon} e^{-i \pi/4}e^{i\gamma^2/\varepsilon} g(2\gamma) + O(\varepsilon^{1-\delta})\quad \forall \delta >0
\end{equation}
\tag{42}
$$
равномерно по $\gamma \geqslant 0$. Тем самым лемма будет доказана. Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl[\frac{i}{\varepsilon} \biggl( \gamma p - \frac{p^2}{4} \biggr)\biggr] g(p)\, dp = e^{i \gamma^2/\varepsilon} \int_{\mathbb{R}} e^{-i p^2/4\varepsilon} g(p+2 \gamma)\, dp.
\end{equation*}
\notag
$$
Добавим в интеграл срезающую функцию $\chi(x)$ такую, что $\chi(x) = 1 $ при $|x|<1$, $\chi(x) =0$ при $|x|>2$, и рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}} e^{-i p^2/4 \varepsilon} g(p+ 2\gamma) \biggl( 1- \chi \biggl( \frac{p}{\varepsilon^\kappa} \biggr) \biggr)\, dp.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Докажем, что он есть $O(\varepsilon^\infty)$ равномерно по $\gamma \geqslant 0$ при любом $\kappa < 1/2$. Интегрируем по частям в (43):
$$
\begin{equation*}
-2 i \varepsilon \int_{\varepsilon^\kappa}^\infty e^{-i p^2/4\varepsilon} \biggl[ -\frac{1}{p^2} g(p+2\gamma) (1- \chi) + \frac{1}{p} g'(p+2\gamma) (1-\chi) -\frac{1}{p} g(p+2\gamma) \chi'\biggl(\frac{p}{\varepsilon^\kappa}\biggr) \frac{1}{\varepsilon^\kappa} \biggr]\, dp.
\end{equation*}
\notag
$$
По модулю этот интеграл не превосходит
$$
\begin{equation*}
4 \varepsilon^{1-2\kappa} \int_{\mathbb{R}} |g(p)| \,dp + \varepsilon^{1-\kappa} \int_{\mathbb{R}}|g'(p)|\,dp \leqslant \mathrm{const}\, \varepsilon^{1-2\kappa}
\end{equation*}
\notag
$$
с константой, не зависящей от $\gamma$. Далее, многократно интегрируя по частям, получаем равномерную по $\gamma$ оценку $O(\varepsilon^\infty)$ при $\kappa < 1/2$. Теперь оценим разность
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta &= \int_{\mathbb{R}} e^{-i p^2/4\varepsilon} g(p+2\gamma) \chi \biggl( \frac{p}{\varepsilon^\kappa} \biggr)\, dp -g(2\gamma) \int_{\mathbb{R}} e^{-i p^2/4\varepsilon} \chi \biggl( \frac{p}{\varepsilon^\kappa} \biggr)\, dp={} \\ &=\varepsilon^\kappa \int_\mathbb{R} e^{-(i/4)\varepsilon^{2\kappa -1} q^2} (g(\varepsilon^\kappa q + 2\gamma) - g(2\gamma)) \chi(q)\, dq, \\ |\Delta| &\leqslant 4 \varepsilon^\kappa \max_{q\in [-2,2]} |g(\varepsilon^\kappa q + 2\gamma) - g(2\gamma)| \leqslant \mathrm{const}\, \varepsilon^{2\kappa}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где константа не зависит от $\gamma$ в силу равномерной непрерывности функции $g$ на $\mathbb{R}$ (потому что $g'$ ограничена на $\mathbb{R}$). Мы доказали (42) и тем самым доказали лемму. Из двух последних лемм непосредственно следует формула (18). Теорема 1 доказана. 5. Доказательство теоремы 25.1. Решения одномерного уравнения ГельмгольцаОднородное уравнение Гельмгольца
$$
\begin{equation}
\biggl( - \frac{h^2}{2} \frac{d^2}{d x^2} - \frac{x^2}{2} - E \biggr) u = 0, \qquad x \in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{44}
$$
имеет решения
$$
\begin{equation}
u = D_{\nu}( \lambda x), \qquad u = D_{\nu}( - \lambda x),
\end{equation}
\tag{45}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda = \frac{1-i}{\sqrt{h}}, \qquad \nu = - \frac{1}{2} + \frac{i E}{h},
\end{equation*}
\notag
$$
а $D_\nu$ – функция параболического цилиндра порядка $\nu$. В самом деле, $u = D_\nu(z)$ – решение дифференциального уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{d^2 u}{d z^2} + \biggl( \nu + \frac{1}{2} - \frac{z^2}{4} \biggr) u = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
После замены $z=\pm \lambda x$ получим уравнение
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\lambda^2} \frac{d^2 u}{d x^2} + \biggl( \frac{i E}{h} - \frac{\lambda^2 x^2}{4} \biggr) u = 0, \qquad \lambda^2 = - \frac{2 i}{h},
\end{equation*}
\notag
$$
которое совпадает с уравнением (44) с точностью до множителя $i h$. При фиксированных $h > 0$ и $E \in \mathbb{C}$ справедлива следующая асимптотика при $x \to + \infty$:
$$
\begin{equation}
D_{\nu}( \lambda x) = e^{i x^2/ 2 h} \frac{( (1-i) x)^\nu}{h^{\nu/2}} ( 1 + O( x^{-2}) ).
\end{equation}
\tag{46}
$$
Она следует из хорошо известной асимптотики функции параболического цилиндра при фиксированном $\nu$ и $|z| \to + \infty$ в секторе $|\! \arg{z} | < 3 \pi/4$:
$$
\begin{equation*}
D_{\nu} ( z ) = e^{-z^2/4} z^{\nu} (1+ O ( {|z|^{- 2}} )),
\end{equation*}
\notag
$$
приведенной, например, в § 8.4 книги [15]. Асимптотика (46) влечет, что при $E = E_0 \in \mathbb{R}$ решение $D_{\nu} ( \lambda x )$ удовлетворяет принципу предельного поглощения при $x \to + \infty$. В самом деле, тогда оно является пределом решения с $E = E_0 + i \mu$ при $\mu \to +0$, которое принадлежит пространству $L^2$ на луче $[c, + \infty)$, поскольку в асимптотике (46) $\operatorname{Re} \nu = -1/2 - \mu/h < -1/2$. Итак, первое и второе решения (45) удовлетворяют принципу предельного поглощения в $+ \infty$ и $- \infty$ соответственно. Другими словами, решение $D_{\nu} ( \lambda x)$ представляет собой волну с энергией $E$, которая набегает на потенциальный барьер слева и частично его проходит, а частично отражается. А симметричная волна $D_{\nu}( - \lambda x )$ набегает на барьер справа. 5.2. Фундаментальное решение одномерного уравненияВыразим фундаментальное решение одномерного уравнения Гельмгольца
$$
\begin{equation}
\biggl( - \frac{h^2}{2} \frac{d^2}{d x^2} - \frac{x^2}{2} - E \biggr) \Psi(x,E) = h^{2} \delta (x + a)
\end{equation}
\tag{47}
$$
через решения $D_{\nu}( \lambda x)$ и $D_{\nu}( - \lambda x)$. Получим
$$
\begin{equation}
\Psi (x, E) = \frac{2}{\mathcal{W}_\nu} \begin{cases} D_\nu(\lambda a) D_\nu(\lambda x), & x \geqslant -a,\\ D_\nu(-\lambda a) D_\nu(-\lambda x), & x \leqslant -a, \end{cases}
\end{equation}
\tag{48}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{W}_\nu = \left| \begin{array}{rr} D_\nu(\lambda x) & D_\nu(-\lambda x) \\ \lambda D'_\nu(\lambda x) & - \lambda D'_\nu(-\lambda x) \end{array} \right|
\end{equation*}
\notag
$$
– определитель Вронского рассматриваемых решений (45), который не зависит от $x$, поскольку в уравнении (44) нет первых производных. В самом деле, функция (48) удовлетворяет уравнению (47) вне точки $x=-a$, непрерывна в этой точке, а скачок ее производной в точке $x=-a$ равен $-2$. Вычислим определитель Вронского:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{W}_\nu = - 2 \lambda D_\nu(0) D_\nu'(0) &= 2 \lambda D_\nu(0) D_{\nu+1}(0) = 2 \lambda \frac{2^{\nu+1/2} \pi}{\Gamma ((1-\nu)/2) \Gamma (-\nu/2)} = {} \\ &= \frac{\lambda \sqrt{2 \pi}}{ \Gamma( -\nu)} = \frac{2 e^{-\pi i /4} \sqrt{\pi}}{ \sqrt{h} \Gamma ( -\nu )}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь использованы следующие известные формулы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_\nu'(z) = \frac12 z D_\nu (z) - D_{\nu+1}(z), \qquad D_\nu(0)= \frac{2^{\nu/2} \sqrt{\pi}}{\Gamma ((1-\nu)/2)}, \\ \Gamma \biggl( \frac{1}{2} + z \biggr) \Gamma( z) = 2^{1- 2 z} \sqrt{\pi} \Gamma(2 z). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
5.3. Асимптотика одномерного фундаментального решенияТеперь вычислим асимптотику одномерного фундаментального решения (48) при $E = h \epsilon$, $h \to +0$ и фиксированных $x, a >0$, $\epsilon \in \mathbb{R}$, для чего вновь воспользуемся асимптотикой функции параболического цилиндра при фиксированном $\nu$ и $|z| \to + \infty$ в секторе $|\! \arg{z} | < 3 \pi/4$: приведенной в § 8.4 книги [15]. Получим
$$
\begin{equation*}
D_{\nu}( \lambda x) = e^{i x^2/2 h} \frac{( (1-i) x)^\nu}{h^{\nu/2}} ( 1+ O(h) ), \qquad \nu = - \frac{1}{2} + i \epsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi ( x, \epsilon h) &= \frac{\sqrt{h} e^{\pi i/4} \Gamma ( -\nu )} {\sqrt{\pi}} e^{i (a^2+x^2)/ 2 h} \frac{( -2 i a x)^\nu}{h^{\nu}} (1+ O (h)) = {} \notag \\ & = h f \biggl( x, -\frac12 + i \epsilon \biggr) \exp{\biggl\{ \frac{i (a^2+x^2)}{ 2 h} + i \epsilon \ln{\frac{1}{h}} \biggr\}}( 1 + O (h) ), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f(x, {\nu}) = \frac{ e^{\pi i/4} \Gamma ( -\nu)} {\sqrt{\pi} ( -2 i a x )^{-\nu} }.
\end{equation*}
\notag
$$
5.4. Решение уравнения (20) и его асимптотикаВ уравнении (20) перейдем от пространственной переменной $x_2$ к импульсной переменной $p_2$, подставив следующие выражения:
$$
\begin{equation*}
\psi (x_1, x_2) = \frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde\phi (x_1, p_2) e^{i p_2 x_2/h} \, d p_2, \qquad \delta(x_2) = \frac{1} {2 \pi h} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i p_2 x_2/h} \, d p_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим уравнение
$$
\begin{equation*}
\frac12 \biggl( - h^2 \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + p_2^2 - x_1^2 \biggr) \tilde\phi(x_1, p_2) = h^{2} \delta (x_1 + a),
\end{equation*}
\notag
$$
решение которого выражается через фундаментальное решение (48) одномерного уравнения Гельмгольца:
$$
\begin{equation}
\tilde\psi(x_1, p_2) = \Psi\biggl(x_1, -\frac{p_2^2}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\psi (x_1, x_2) = \frac{1}{2 \pi h} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi \biggl(x_1, - \frac{p_2^2}{2}\biggr) e^{i p_2 x_2/h} \, d p_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{h}} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi \biggl(x, -\frac{ h q^2}{2}\biggr) e^{i q x_2/\sqrt{h}} \, d q.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из асимптотики (49) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi ( x_1, \sqrt{h} \ln{h}^{-1} \eta) ={}& \frac{\sqrt{h}}{2 \pi} e^{i (a^2+x_1^2)/2 h} ( 1 + O (h))\times{} \\ & \times \int_{-\infty}^{+\infty} f \biggl( x_1, -\frac{1 + i q^2}{2} \biggr) \exp{\biggl[- \frac{i q^2}{2 \mu} + \frac{i q \eta}{\mu} \biggr]} \, d q, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mu = \frac{1}{\ln{h^{-1}}} \to + 0 \quad \text{при} \quad h \to +0.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя последний интеграл методом стационарной фазы, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi (x, \sqrt{h} \ln{h}^{-1} \eta) &= \frac{\sqrt{\mu h}}{\sqrt{2 \pi i}} \exp{\biggl[\frac{i (a^2+x^2)}{ 2 h} + \frac{i \eta^2}{2 \mu} \biggr]} \biggl( f \biggl( x, -\frac{1 + i \eta^2}{2} \biggr) + O( \mu) \biggr) = {} \\ & = \frac{\sqrt{\mu h}}{\pi \sqrt{2}} \exp{ \biggl[\frac{i (a^2+x^2)}{ 2 h} + \frac{i \eta^2}{2 \mu}\biggr] } \biggl( \frac{ \Gamma( k)} {( -2 i a x)^{k} } + O( \mu) \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k = (1 + i \eta^2)/2$. После преобразований получаем формулу (21). Теорема 2 доказана. 5.5. Интегралы типа Николсона, получающиеся из разных представлений фундаментального решенияСделаем в формуле (32) преобразование Фурье по $x_2$ и получим
$$
\begin{equation*}
F_{x_2\to p_2/h} [ h^2 \mathcal{E}] = \sqrt{\frac{h i}{2\pi}} \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{\operatorname{sh} t}} \exp\biggl\{\frac{i}{h} \biggl[ \frac{x_1^2 + a^2}{2} \operatorname{cth} t + \frac{x_1 a}{\operatorname{sh} t} \biggr] \biggr\} e^{-i t p_2^2/2h}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, это совпадает с формулой (50), которая выражается через функции параболического цилиндра. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{ 2\operatorname{sh} t}} \exp\biggl\{\frac{i}{h} \biggl[ \frac{x_1^2 + a^2}{2} \operatorname{cth} t + \frac{x_1 a}{\operatorname{sh} t} \biggr] \biggr\} e^{-i t p_2^2/2h}\, dt={} \\ &\quad=\Gamma\biggl(\frac12 + \frac{i p_2^2}{2h}\biggr) \begin{cases} D_{-1/2 - i p_2^2/2h} \biggl( \dfrac{1-i}{\sqrt{h}} a \biggr) D_{-1/2 - i p_2^2/2h} \biggl( \dfrac{1-i}{\sqrt{h}} x_1 \biggr)& \text{при } x_1 \geqslant -a, \\ D_{-1/2 - i p_2^2/2h} \biggl(- \dfrac{1-i}{\sqrt{h}} a \biggr) D_{-1/2 - i p_2^2/2h} \biggl( - \dfrac{1-i}{\sqrt{h}} x_1 \biggr) & \text{при } x_1 < -a. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Или, если обозначить
$$
\begin{equation*}
u = \frac{1-i}{\sqrt{h}} a,\quad v = \frac{1-i}{\sqrt{h}} x_1,\quad w= - \frac12 -\frac{i p_2^2}{2h},
\end{equation*}
\notag
$$
получится соотношение типа Николсона
$$
\begin{equation*}
D_w (\pm u) D_{w} (\pm v) = \frac{1}{\Gamma(-w)} \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \operatorname{sh} t}} \exp\biggl[-\frac14 (u^2 + v^2) \operatorname{cth} t - \frac{ u v}{2\operatorname{sh} t}\biggr] e^{t(w+1/2)}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Для совпадающих аргументов это соотношение было доказано в 2003 году [16], для произвольных аргументов это было доказано в 2015 году [17], а в 2017 году формула была обобщена для произвольных номеров и аргументов [18]. БлагодарностиАвторы благодарят В. Е. Назайкинского, А. И. Шафаревича за полезные замечания. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BogDobTol24}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|