| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) К задаче о классификации интегрируемых цепочек с тремя независимыми переменными М. Н. Кузнецова, И. Т. Хабибуллин, А. Р. Хакимова Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050070 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ настоящей работе представлены результаты разработки нового алгоритма классификации интегрируемых нелинейных цепочек с тремя независимыми переменными. Наш подход к этой проблеме основан на следующем любопытном наблюдении. Хорошо известно, что цепочки типа Вольтерра и Тоды можно свести путем наложения некоторых специальных условий обрыва к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), являющимся интегрируемыми по Лиувиллю гамильтоновыми системами. Отметим, что таких условий обрыва много, и они, как правило, согласованы с частью всех высших симметрий и с частью всех интегралов движения (см., например, [1], [2]). Однако интегрируемая цепочка имеет одно особое (вырожденное) условие обрыва, которое согласовано со всеми симметриями и интегралами. Конечномерные редукции, полученные наложением таких особых условий обрыва, обладают повышенной интегрируемостью в том смысле, что их общие решения выражаются в явном виде через элементарные функции. Например, цепочка Вольтерра un,t=un(un+1−un−1) при помощи нулевых (вырожденных) граничных условий сводится к системе ОДУ вида явное решение которой найдено в работе Березанского [3]. Упомянем также прорывную работу Адлера и Шабата [4], в которой решена явно дискретная версия задачи Гуревича–Питаевского об эволюции в силу уравнения Вольтерра начального состояния вида ступеньки, также связанная с особыми граничными условиями. Отметим, что в случае заведомо невырожденных периодических граничных условий и их вариантов общее решение этой цепочки выражается в терминах тета-функций Римана (см., например, [5]).В качестве следующего примера приведем красивый результат Мозера [6] по явному интегрированию открытой цепочки Тоды с вырожденными условиями обрыва a0=aN=0: Известно, что функцию f(λ), представленную непрерывной дробью: где aj>0, bj∈R, можно разложить в сумму простых дробей где λi∈R, причем λi≠λj, если i≠j, rk∈R и, кроме того, ∑r2k=1. Справедливо и обратное утверждение: функция (1.3) с параметрами λj, rk, удовлетворяющими перечисленным выше условиям, представима в виде непрерывной дроби (1.2). Поэтому отображение, переводящее динамические переменные (a1,a2,…,an−1;b1,…,bn) в спектральные данные (λ1,…,λn;r1,…,rn), является взаимно однозначным, т. е. определяет замену переменных. Как показано в работе [6], эта замена переменных приводит рассматриваемую систему (1.1) к виду Общее решение полученной системы задается равенствами Для перехода к исходным переменным aj и bj можно воспользоваться алгоритмом Евклида о разложении функции в непрерывную дробь.Вырожденные условия обрыва встречаются и в случае уравнений размерности 3. Например, обобщенная цепочка Тоды серии AN, а именно экспоненциальная система, соответствующая матрице Картана простой алгебры серии AN: получается из известной двумеризованной цепочки Тоды un,xy=eun+1−2un+un−1 наложением в двух точках вырожденных условий обрыва u−1=0, uN+1=0. Система уравнений (1.4) появилась еще в XIX веке в работах Дарбу (см., например, [7]). Дарбу показал, что общее решение системы можно предъявить в явном виде. Подробное обсуждение теории интегрирования экспоненциальных систем можно найти в замечательном обзоре [8].Интерес к интегрируемым экспоненциальным системам возродился в 80-е годы прошлого столетия после работ [9]–[12], посвященных двумеризованным цепочкам Тоды и ее обобщениям. Отталкиваясь от примера (1.4) и других интегрируемых аналогов двумеризованной цепочки Тоды, в нашей работе [13] мы предложили следующую гипотезу. Гипотеза 1. Дифференциально-разностное уравнение вида является интегрируемым тогда и только тогда, когда существуют функции вида f0(u1,u0,u0,x,u0,y) и fN(uN,uN−1,uN,x,uN,y) такие, что для любого целого числа N система гиперболических уравнений полученная из (1.5), является интегрируемой в смысле Дарбу, т. е. допускает полные наборы интегралов по обоим характеристическим направлениям.Гипотеза была подтверждена известными интегрируемыми примерами уравнений вида (1.5) из работы [14]. В наших работах [13], [15]–[17] перечислены все квазилинейные уравнения вида удовлетворяющие условию существования таких редукций, при дополнительном условии |A1|+|A2|+|A3|≠0. Здесь Ai=Ai(un+1,un,un−1) – произвольные аналитические функции трех переменных. В результате классификации список интегрируемых уравнений типа цепочки Тоды, предъявленный ранее в работе [14], дополнился новым уравнением (см. уравнение 7 в списке ниже). Приведем список известных интегрируемых цепочек типа Тоды:
В работе [18] было установлено, что интегрируемые нелинейные модели с двумя дискретными и одной непрерывной независимыми переменными, найденные в статье [19], могут быть приведены к виду Кроме того, было показано, что эти модели допускают интегрируемые по Дарбу редукции. Аналогичные свойства интегрируемых дискретных уравнений типа Хироты–Мивы были обнаружены в работах [20], [21].После этих работ стало ясно, что наличие иерархии интегрируемых по Дарбу редукций является признаком интегрируемости и может применяться в качестве классификационного критерия для описания интегрируемых уравнений с тремя независимыми переменными, хотя бы одна из которых является дискретной. Кроме того, такие редукции можно использовать для построения локализованных частных решений цепочек. Пример 1. Рассмотрим нелинейную цепочку которая допускает одномерную редукцию Она получается наложением граничных условий обрыва u−1n=1 и u1n=1. Это скалярное уравнение имеет интегралы по характеристическим направлениям x и n: Здесь через Dx и Dn обозначены операторы полной производной по x и соответственно оператор сдвига аргумента n, т. е. Dny(n)=y(n+1).Произвольное решение un(x) уравнения (1.8) удовлетворяет ОДУ где f(x) – некоторая функция. Общее решение этого ОДУ параметризуется в следующем виде: где ν(x) и A(n) – произвольные функции от параметров x и n соответственно, функции B(n) и C(n) определяются из уравнений Таким образом, мы находим явное решение ujn(x) цепочки (1.7), которое при j≠0 принимает значение ujn(x)=1, а при j=0 – значение u0n(x)=un(x), найденное выше, или в более наглядной форме:В настоящей работе мы обсудим практическую реализацию классификационного алгоритма, основанного на интегрируемых по Дарбу редукциях на примере дифференциально-разностного уравнения вида являющегося частным случаем уравнения (1.6). В процессе классификации предполагается найти функции f−N2, fN1 и f такие, чтобы система дифференциально-разностных уравнений где
f−N2n=f−N2(u−N2+1n,u−N2n,u−N2n+1),fjn=f(uj+1n,ujn,ujn+1,uj−1n+1),−N2+1⩽j⩽N1−1,fN1n=fN1(uN1n,uN1n+1,uN1−1n+1),
была бы интегрируемой по Дарбу для любой пары неотрицательных чисел N1,N2. Тогда соответствующая найденной функции f=f(uj+1n,ujn,ujn+1,uj−1n+1) трехмерная цепочка (1.10) по нашему предположению должна быть интегрируемой. Используемый в работе алгоритм классификации основан на эффективном критерии интегрируемости по Дарбу системы дифференциально-разностных уравнений, который состоит в конечномерности ее характеристических алгебр по обоим направлениям: как дискретному, так и непрерывному (см. [20]). Следует отметить, что задача классификации уравнений и систем общего положения, интегрируемых по Дарбу, является чрезвычайно сложной. Здесь наиболее ярким примером является сформулированная в конце XIX века проблема Гурса об описании нелинейных уравнений гиперболического типа, обладающих нетривиальными инвариантами характеристик, которая до сих пор остается нерешенной, несмотря на усилия многих исследователей (см., например, [22]–[24]). Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 мы приводим определение характеристических интегралов системы дифференциально-разностных уравнений и обсуждаем критерий полноты набора интегралов, напоминаем понятие интегрируемости системы в смысле Дарбу. В разделе 3 мы определяем характеристическую алгебру Lx системы (1.11) по направлению x и обсуждаем алгебраический критерий интегрируемости по Дарбу этой системы. В этом же разделе доказано, что если система (1.11) имеет полный набор x-интегралов, то функция f, задающая цепочку (1.10), является квазимногочленом от динамических переменных. В разделе 4 решается задача дальнейшего уточнения вида квазимногочлена f при некотором ограничении на свойства характеристической алгебры Lx. Основным результатом работы является доказательство того, что в рассматриваемом случае задача описания всех интегрируемых трехмерных цепочек вида (1.10) сводится к задаче определения численных значений двух постоянных параметров k1 и k2 так, чтобы система уравнений экспоненциального типа с двумя независимыми переменными (4.44) допускала полный набор интегралов. 2. Определение интегрируемости в смысле Дарбу системы дифференциально-разностных уравненийПонятие характеристического интеграла (инварианта характеристик) уравнения в частных производных гиперболического типа второго порядка было впервые введено в работах Дарбу в конце XIX века. Дарбу предложил метод построения общего решения уравнения в частных производных, когда известны нетривиальные интегралы по обоим характеристикам. Системы нелинейных уравнений гиперболического типа, допускающие полные наборы независимых интегралов по обоим характеристическим направлениям, активно изучались в последние несколько десятков лет в работах А.Б. Шабата, А.Н. Лезнова, А.В. Жибера и др. (см., например, монографию [25]). В настоящем разделе мы кратко напомним понятие интеграла системы дифференциально-разностных уравнений вида (1.11). Обозначим через um∈RN1+N2+1 точку с координатами um=(u−N2m,u−N2+1m,…,uN1m). где k,m=0,1,2,…, называется x-интегралом порядка m+k системы (1.11), если хотя бы для одной пары чисел j,s=−N2,−N2+1,…,N1 произведение ∂W∂ujn+m×∂W∂usn−k отлично от тождественного нуля, причем выполняется равенство DxW=0 в силу системы (1.11). Здесь Dx обозначает оператор полного дифференцирования по переменной x. Поскольку оператор Dx перестановочен с оператором Dn, сдвигающим дискретный аргумент n по правилу Dny(n)=y(n+1), то оператор Dn переводит любой x-интеграл снова в x-интеграл. Поэтому без потери общности можно считать, что в определении 1 k=0. называется n-интегралом порядка m системы (1.11), если хотя бы одна из производных ∂I/∂ujn,[m], где j=−N2,−N2+1,…,N1, отлична от тождественного нуля и для каждого целого r>0 выполняется условие DrnI=I в силу системы (1.11). В развернутом виде последнее равенство имеет вид Отметим, что x-интеграл, зависящий только от переменной n (n-интеграл, зависящий только от переменной x) называется тривиальным. Следуя Шабату (см. [10], [25]), введем понятие полного набора интегралов минимальных порядков n1<n2<⋯<ns. Минимальность порядка n1 состоит в том, что функция вида удовлетворяющая условию Dnω=ω и имеющая порядок k, меньший n1, является тривиальным интегралом. При этом имеется хотя бы один нетривиальный интеграл порядка n1. Обозначим через ω1,1,…,ω1,m1 полный набор функционально независимых интегралов порядка n1. Далее подберем число n2 такое, что любой интеграл порядка k<n2 является функцией от x и интегралов ω1,1,…,ω1,m1, построенных на предыдущем шаге, а также их сдвигов по n. А при k=n2 имеются существенно новые интегралы, т. е. интегралы, уже не выражающиеся через найденные выше. Обозначим через ω2,1,…,ω2,m2 набор функционально независимых интегралов порядка n2, которые не выражаются через x, интегралы ω1,1,…,ω1,m1 и их сдвиги. Продолжая этот процесс, мы получим набор интегралов минимальных порядков. Аналогично определяется набор n-интегралов минимальных порядков.Лемма 1 [20], [26]. Пусть задан набор x-интегралов минимальных порядков n1⩽n2⩽…⩽nN1+N2+1 системы (1.11) и пусть выполняется неравенство
|∂W1∂u−N2n,[n1]∂W1∂u−N2+1n,[n1]…∂W1∂uN1n,[n1]⋮⋮⋮⋮∂WN1+N2+1∂u−N2n,[nN1+N2+1]∂WN1+N2+1∂u−N2+1n,[nN1+N2+1]…∂WN1+N2+1∂uN1n,[nN1+N2+1]|≠0.
Тогда набор (2.1) задает полный набор x-интегралов системы (1.11). Лемма 2 [20], [26]. Будем говорить, что система (1.11) допускает полный набор n-интегралов, если она имеет набор n-интегралов минимальных порядков k1⩽k2⩽…⩽kN1+N2+1 такой, что следующий определитель отличен от нуля:Определение 3. Система (1.11) называется интегрируемой в смысле Дарбу, если она допускает полные наборы интегралов по направлениям x и n. 3. Характеристические алгебры системы дифференциально-разностных уравненийОтметим, что понятие характеристической алгебры было введено в работах [10], [11] при исследовании систем гиперболических уравнений экспоненциального типа. В этих работах было продемонстрировано, что конечномерность характеристических алгебр по обоим характеристическим направлениям является критерием интегрируемости систем экспоненциального типа, весьма эффективным с точки зрения классификации. В дальнейшем алгебраический подход к теории интегрируемости по Дарбу был адаптирован на случай системы дифференциальных уравнений гиперболического типа более общего вида, а также на случай дискретных моделей (см. монографию [25]). Ниже мы напомним понятие характеристической алгебры системы дифференциально-разностных уравнений и обсудим важные для приложений свойства этого понятия (см. [18], [20], [26]). Предположим, что система уравнений (1.11) допускает полный набор x-интегралов вида (2.1). Это означает, что уравнение имеет достаточно широкий класс решений вида W=W(x,n,un,un±1,un±2,…). Поскольку система (1.11) является автономной, можно ограничиться рассмотрением только автономных x-интегралов (см. [27]), т. е. можно считать, что Легко заметить, что на функции (3.2) оператор Dx действует по следующему правилу: В силу уравнения (1.11) и его следствий имеем Заменяя производные ujn+k,x, ujn−k,x, в силу этих равенств находим выражение для оператора K0: где Ясно, что в силу равенств (3.2), (3.3) уравнение K0W=0 распадается в переопределенную систему уравнений следующего вида: Кроме того, как легко заметить, должно выполняться уравнение вида ZW=0, где оператор Z является произвольной линейной комбинацией с переменными коэффициентами кратных коммутаторов операторов Xj, Y, или, другими словами, Z является произвольным элементом алгебры Lx, порожденной операторами {Xj,Y}N1j=−N2 над кольцом локально-аналитических функций от динамических переменных {ujn}. При этом операции коммутирования операторов и умножения оператора на функцию согласованы естественным образом.Отображение, действующее по правилу является автоморфизмом алгебры Lx (см. [25]). Для образующих алгебры имеем равенства Для удобства введем обозначение для операции коммутирования: adXW=[X,W], тогда ad2XW=adX(adXW)=[X,[X,W]] и т. д. При этом из формулы (3.5) легко следует, что для любого полинома с постоянными коэффициентами P=P(λ) справедливо тождество где соответствие hjn↦Zhjn, определенное формулой согласовано с представлением (3.5), т. е.Имеет место следующее утверждение. Теорема 1. Если система (1.11) допускает полный набор x-интегралов, то функция f0=f(u1n,u0n,u0n+1,u−1n+1) является квазимногочленом от переменных u1n, u0n, u−1n+1 с коэффициентами, зависящими от переменной τn=u0n−u0n+1. Доказательство. Рассмотрим последовательность операторов в Lx, определенную по правилу Vk=adkXiY, где i – произвольное целое число такое, что −N2⩽i⩽N1. В силу (3.8) имеем По условию теоремы система имеет полный набор x-интегралов, следовательно, ее характеристическая алгебра Lx имеет конечную размерность [26]. Поэтому существует такое натуральное число K, что набор операторов V0,V1,…,VK−1 является линейно независимым, в то время как VK линейно выражается в виде Положим P(λ)=λK+aK−1λK−1+a1λ+a0, тогда (3.9) принимает вид Покажем, что все коэффициенты полинома P(λ) постоянны. С этой целью применим автоморфизм (3.6) к обеим частям равенства (3.9), в результате получим Сравнивая коэффициенты при Vk в соотношении (3.10), легко можно убедиться, что коэффициенты ak, k=0,1,…,K−1, постоянны. Далее, соберем коэффициенты при Xj и найдем, что где для любого i P(Xi) – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Пусть j=0, тогда P(Xi)f0=0 для i=−1,0,1. При i=±1 уравнения принимают вид В уравнении P(X0)f0=0 перейдем к новым переменным u1n,u0n,τn,u−1n+1, полагая τn=u0n−u0n+1, в итоге получим P(∂∂u0n)φ=0, где φ(u1n,u0n,τn,u−1n+1)=f(u1n,u0n,u0n+1,u−1n+1). Отсюда следует утверждение теоремы.
4. Классификационная задачаДля известных примеров интегрируемых цепочек вида (3.1) полином P(λ) имеет вторую либо третью степень. Отметим, что свободный член полинома обязательно равен нулю, т. е. P(0)=0. В этом легко можно убедиться, сравнив явные представления для операторов V0=Y (см. (3.5)) и Vk при k>0. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы исследовать структуру характеристической алгебры Lx для интегрируемых цепочек вида (1.10), для которых полином P(λ) имеет вид При этом без ограничения общности можно считать α=1, так как этого легко добиться, применив к цепочке преобразование растяжения u↦cu. Нетрудно проверить, что в этом случае искомая функция f0=f(u1n,u0n,u0n+1,u−1n+1) представима в виде где коэффициенты ci=ci(τn) зависят от переменной τn=u0n−u0n+1.4.1. Поиск функции c1Для поиска функции c1 воспользуемся тождеством Рассмотрим оператор R0=adX−1adX0adX1Y, где Y – характеристический оператор системы (1.11) с функцией fj, выбранной так, что при j=0 имеем (4.1). Тогда действие оператора сопряжения определено по правилу Аналогично для оператора R1=adX0adX1adX2Y находим где c(1)1=c1(u1n−u1n+1).Рассмотрим последовательность операторов в алгебре Lx Эту лемму легко можно доказать, пользуясь равенствами (4.3), (4.4). Опишем действие оператора сопряжения на элементы рассматриваемой последовательности. Имеем в силу (4.3), (4.4) и в общем случае k⩾2 где многоточием обозначены слагаемые, содержащие младшие члены последовательности и операторы X0, X1. Здесь принято обозначение w=u1n+u0n+u−1n+1.Предположим, что Lx – конечномерная алгебра, тогда члены последовательности (4.5), начиная с RN+1, линейно выражаются через R0,R1,R2,R3,…,RN, которые предполагаются линейно независимыми: Применим к обеим частям соотношения (4.6) операцию сопряжения R↦DnRD−1n и получим новое соотношение Сравнивая коэффициенты при RN, получим уравнение на коэффициент λ, который может зависеть только от конечного числа динамических переменных ujn и их сдвигов по n: Легко видеть, что это уравнение противоречиво, если c_1 не является нулем. Следовательно в (4.1) c_1\equiv 0.4.2. Уточнение функции c_3Покажем, что функция c_3=c_3(\tau_n) равна нулю. Поскольку c_1=0, имеем Легко проверить, пользуясь формулами (3.7), что операторы P_0=[X_{-1},[X_1,Y]] и P_1=[X_{0},[X_2,Y]] удовлетворяют соотношениям
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nP_0D^{-1}_n&=P_0-c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}X_0, \\ D_nP_1D^{-1}_n&=P_1-c^{(1)}_3e^{u^2_n+u^{0}_{n+1}}X_1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
где c^{(1)}_3=c_3(u^1_n-u^1_{n+1}), c_3=c_3(u^0_n-u^0_{n+1}). Рассмотрим последовательность операторов в L_x, заданную в виде
\begin{equation*}
P_0, \quad P_1, \quad P_2=[P_0,P_1], \quad P_3=[P_0,P_2], \quad \ldots, \quad P_{k+1}=[P_0,P_k], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Элементы этой последовательности удовлетворяют равенствам
\begin{equation*}
[X_0,P_0]=0, \qquad [X_0,P_1]=P_1, \qquad [X_0,P_2]=P_2, \qquad \ldots, \qquad [X_0,P_k]=P_k, \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Автоморфизм (3.6) действует на первые элементы последовательности по правилу (4.7), из которого следует, что
\begin{equation*}
D_nP_2D^{-1}_n=P_2-c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}P_1+c^{(1)}_3e^{u^2_n+u^{0}_{n+1}}P_0+\cdots,
\end{equation*}
\notag
где многоточием обозначены линейные комбинации операторов X_0, X_1. Для оператора P_3 имеем Можно доказать по индукции, что для k\geqslant 2
\begin{equation*}
D_nP_kD^{-1}_n=P_k-(k-1)c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}P_{k-1}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
Предположим, что операторы P_0,P_1,P_2,\ldots,P_{M-1} линейно независимы, при этом оператор P_M линейно выражается через эти операторы: Применим автоморфизм (3.6) к обеим частям равенства (4.8) и получим при M\geqslant 2
\begin{equation*}
\lambda P_{M-1}-(M-1)c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}P_{M-1}+\cdots=D_n(\lambda)P_{M-1}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
Поэтому коэффициент \lambda=\lambda(u^{-1}_{n},u^{0}_{n}) должен удовлетворять уравнению
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=-(M-1)c_3e^{u^1_n+u^{-1}_{n+1}}, \qquad c_3=c_3(u^0_n-u^0_{n+1}),
\end{equation*}
\notag
что возможно лишь при c_3\equiv 0. 4.3. Уточнение функций c_2 и c_4Для поиска функций c_2 и c_4 исследуем подалгебру характеристической алгебры L_x, порожденную операторами X_0, X_1, X_2, R_0, R_1, где R_0=[X_1,[X_0,Y]] и R_1=[X_2,[X_1,Y]]. Последние два оператора, как легко проверить, под действием автоморфизма (3.6) преобразуются следующим образом:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nR_0D^{-1}_n&=R_0-c_2e^{u^1_n+u^{0}_{n}}X_0-c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}X_1, \\ D_nR_1D^{-1}_n&=R_1-c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^{1}_{n}}X_1-c^{(2)}_4e^{u^2_n+u^{1}_{n+1}}X_2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
где c^{(j)}_k=c_k(u^j_n-u^j_{n+1}). Рассмотрим последовательность операторов в L_x, заданную в виде
\begin{equation}
R_0, \quad R_1, \quad R_2=[R_0,R_1],\quad \ldots, \quad R_k=[R_0,R_{k-1}], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{4.10}
Легко проверить, что выполняются коммутационные соотношения
\begin{equation*}
[X_0,R_0]=R_0, \qquad [X_0,R_1]=0, \qquad [X_1,R_0]=R_0, \qquad [X_1,R_1]=R_1.
\end{equation*}
\notag
Более того, при k\geqslant 2 имеем На основе соотношений (4.9), (4.10) можно описать действие автоморфизма (3.6) на любой элемент последовательности (4.10). Для операторов R_2, R_3 имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nR_2D^{-1}_n&=R_2-c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}R_1+c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^{1}_{n}}R_0+\cdots, \\ D_nR_3D^{-1}_n&=R_3-(3c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^0_{n+1}}+c_2e^{u^1_n+u^0_{n}})R_2+\cdots. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
По индукции можно показать, что автоморфизм (3.6) действует на произвольный элемент последовательности (4.10) при k\geqslant 2 следующим образом:
\begin{equation*}
D_nR_{k+1}D^{-1}_n=R_{k+1}-\biggl(\frac{k^2+k}{2}c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^0_{n+1}}+\frac{k^2-k}{2}c_2e^{u^1_n+u^0_{n}}\biggr)R_{k}+\cdots,
\end{equation*}
\notag
где многоточием обозначены линейные комбинации операторов X_0, X_1, X_2 и младших членов последовательности. В силу конечномерности алгебры L_x последовательность (4.10) может содержать лишь конечное число линейно независимых элементов, например Следует рассмотреть по отдельности два существенно разных случая: L=1 и L\geqslant 2.Рассмотрим первый случай L=1. Пусть выполняется условие Применим автоморфизм (3.6) к обеим частям (4.12) и воспользуемся (4.11). В результате получим тождество
\begin{equation*}
\lambda R_{0}+\mu R_1-c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}R_1+c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^{1}_{n}}R_0+\cdots=D_n(\lambda) R_{0}+D_n(\mu) R_1 +\cdots.
\end{equation*}
\notag
Приравнивая коэффициенты при R_0 и R_1, получим следующие два уравнения:
\begin{equation*}
\lambda+c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^{1}_{n}}=D_n(\lambda),\qquad \mu-c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}=D_n(\mu).
\end{equation*}
\notag
Как легко заметить, если c_2, c_4 отличны от тождественного нуля, то полученные уравнения не имеют решений нужного вида. Поэтому операторы R_{0}, R_{1}, R_{2} линейно независимы. Перейдем к рассмотрению случая L\geqslant 2. Предположим, что оператор R_{L+1} линейно выражается через младшие члены последовательности (4.10), которые предполагаются линейно независимыми:
\begin{equation*}
R_{L+1}=\lambda R_L+\cdots, \qquad \text{где} \quad L\geqslant2.
\end{equation*}
\notag
Применяя к обеим частям отображение (3.6), после несложных преобразований получаем равенство
\begin{equation}
D_n(\lambda)-\lambda=-\frac{L^2+L}{2}c^{(1)}_4e^{u^1_n+u^{0}_{n+1}}-\frac{L^2-L}{2}c_2e^{u^1_n+u^{0}_{n}},
\end{equation}
\tag{4.13}
где \lambda=\lambda(u^{0}_{n},u^{1}_{n}), c_2=c_2(u^0_n-u^{0}_{n+1}), c^{(1)}_4=c_4(u^1_n-u^{1}_{n+1}). Сравнительно простой анализ уравнения (4.13) позволяет получить следующие явные формулы для искомых функций:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_2(u^0_n-u^{0}_{n+1})&=-\frac{L+1}{L-1}\left(\alpha^{(1)}+\beta^{(1)}e^{u^{0}_{n+1}-u^0_n}\right),\\ c_4(u^0_n-u^{0}_{n+1})&=\alpha^{(1)}e^{u^{0}_{n+1}-u^0_n}+\beta^{(1)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
где L\geqslant 2, а коэффициенты \alpha^{(1)}, \beta^{(1)} – некоторые константы. Продолжим изучение подалгебры характеристической алгебры L_x, порожденной операторами X_0, X_1, X_2, R_0, R_1. Рассмотрим теперь последовательность кратных коммутаторов, полученных повторным применением оператора \mathrm{ad}_{R_1}:
\begin{equation*}
R_0, \quad R_1, \quad Q_2=[R_1,R_0], \quad Q_3=[R_1,Q_2], \quad \ldots, \quad Q_{k+1}=[R_1,Q_{k}], \qquad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Имеют место коммутационные соотношения вида
\begin{equation*}
[X_2,R_0]=0, \qquad [X_2,R_1]=R_1, \qquad [X_2,Q_m]=(m-1)Q_m, \qquad [X_1,Q_m]=mQ_m.
\end{equation*}
\notag
Действие автоморфизма (3.6) для k\geqslant 2 задается равенством
\begin{equation*}
D_nQ_{k+1}D^{-1}_n=Q_{k+1}-\biggl(\frac{k^2+k}{2}c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^1_{n}}+\frac{k^2-k}{2}c^{(2)}_4e^{u^2_n+u^1_{n+1}}\biggr)Q_{k}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
Предполагая, как и в предыдущем случае, что после несложных преобразований приходим к уравнению
\begin{equation*}
\lambda-D_n(\lambda)=\biggl(\frac{S^2+S}{2}\biggr)c^{(1)}_2e^{u^2_n+u^1_{n}}+\biggl(\frac{S^2-S}{2}\biggr)c^{(2)}_4e^{u^2_n+u^1_{n+1}},
\end{equation*}
\notag
анализируя которое можно получить следующее представление для искомых функций:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_2(u^0_n-u^{0}_{n+1})&=\alpha^{(2)}+\beta^{(2)}e^{u^{0}_{n+1}-u^0_n},\\ c_4(u^0_n-u^{0}_{n+1})&=-\frac{S+1}{S-1}(\beta^{(2)}+\alpha^{(2)}e^{u^{0}_{n+1}-u^0_n}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
где S\geqslant 2 – натуральное число, коэффициенты \alpha^{(2)}, \beta^{(2)} – некоторые постоянные. Из двух представлений (4.14) и (4.15) искомых функций c_2 и c_4 получаем два условия:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(\frac{L+1}{L-1}\cdot\frac{S+1}{S-1}-1\biggr)\beta^{(2)}&=0,\\ \biggl(\frac{L+1}{L-1}\cdot\frac{S+1}{S-1}-1\biggr)\alpha^{(2)}&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если хотя бы один из сомножителей \alpha^{(2)}, \beta^{(2)} отличен от нуля, приходим к противоречивому соотношению где S\geqslant 2, L\geqslant 2. Следовательно, \alpha^{(2)}=\beta^{(2)}=0, но тогда в силу (4.15) c_2\equiv c_4\equiv 0. 4.4. Описание функций c_5, c_6, c_7Из полученных выше результатов следует, что искомая функция f^0=f(u^{1}_{n},u^{0}_{n},u^{0}_{n+1},u^{-1}_{n+1}) (см. (4.1)) имеет вид
\begin{equation}
f^0=c_5e^{u^{-1}_{n+1}}+c_6e^{u^{0}_{n}}+c_7e^{u^{1}_{n}}+c_8,
\end{equation}
\tag{4.16}
где коэффициенты c_k=c_k(u^{0}_{n}-u^{0}_{n+1}) являются функциями, которые требуется найти. Замечание 1. В силу требования (1.6) должны выполняться следующие условия: c_5\neq 0, c_7\neq 0. Для этого введем операторы Y_0=[X_0,Y], Y_1=[X_1,Y]. Пользуясь явным выражением (4.16), из тождеств (3.7) легко можно вывести формулы, описывающие действие автоморфизма (3.6) на эти операторы:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nY_0D^{-1}_n&=Y_0-c^{(1)}_5e^{u^0_n}X_1-c_6e^{u^0_n}X_0-c^{(-1)}_7e^{u^0_n}X_{-1}, \\ D_nY_1D^{-1}_n&=Y_1-c^{(2)}_5e^{u^1_n}X_2-c^{(1)}_6e^{u^1_n}X_1-c_7e^{u^1_n}X_{0}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c^{(j)}_k=c_k(u^j_n-u^j_{n+1}). Сосредоточимся на последовательности операторов в L_x, определенных повторным применением оператора \mathrm{ad}_{Y_0}:
\begin{equation}
R_0=Y_0, \quad R_1=Y_1, \quad R_2=[R_0,R_1],\quad \ldots, \quad R_k=[R_0,R_{k-1}], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{4.17}
Операторы \mathrm{ad}_{X_0}, \mathrm{ad}_{X_1} на элементы последовательности (4.17) действуют по следующему простому правилу:
\begin{equation}
[X_0,R_0]=R_0, \qquad [X_0,R_1]=0, \qquad [X_1,R_0]=0, \qquad [X_1,R_1]=R_1.
\end{equation}
\tag{4.18}
При k\geqslant 2 имеем Можно проверить, что
\begin{equation*}
D_nR_2D^{-1}_n=R_2+c_7e^{u^{1}_{n}}R_0-c^{(1)}_5e^{u^{0}_{n+1}}R_1+\cdots.
\end{equation*}
\notag
Для k\geqslant 2, как легко доказать по индукции, действие автоморфизма (3.6) задается формулой
\begin{equation*}
D_nR_{k+1}D^{-1}_n=R_{k+1}-\biggl(kc^{(1)}_5e^{u^0_{n+1}}+\frac{k(k-1)}{2}c_6e^{u^0_n}\biggr)R_{k}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
В двух последних равенствах многоточием обозначены линейные комбинации операторов X_j и младших членов последовательности (4.17). В силу конечномерности алгебры L_x существует такое натуральное число M, что операторы R_0,R_1,\ldots,R_M линейно независимы, а оператор R_{M+1} линейно выражается через них с коэффициентами, зависящими от динамических переменных: Применим к обеим частям последнего равенства автоморфизм (3.6) и преобразуем его к виду
\begin{equation*}
\lambda R_{M}-\biggl(Mc^{(1)}_5e^{u^0_{n+1}}+\frac{M(M-1)}{2}c_6e^{u^0_n}\biggr)R_{M}+\cdots=D_n(\lambda)R_M+\cdots.
\end{equation*}
\notag
Отсюда имеем уравнение на \lambda:
\begin{equation}
\lambda(u^0_n,u^1_n)-Mc_5(u^1_n-u^1_{n+1})e^{u^0_{n+1}}-\frac{M(M-1)}{2}c_6(u^0_n-u^0_{n+1})e^{u^0_n}=\lambda(u^0_{n+1},u^1_{n+1}).
\end{equation}
\tag{4.19}
Продифференцируем (4.19) сначала по u^0_n:
\begin{equation*}
\frac{\partial\lambda(u^0_n,u^1_n)}{\partial u^0_n}=\frac{M(M-1)}{2}\left(c'_6(\theta)+c_6(\theta)\right)e^{u^0_n}, \qquad \theta=u^0_n-u^0_{n+1},
\end{equation*}
\notag
а затем еще раз по u^0_{n+1}, в итоге получим уравнение Проинтегрируем его и найденную функцию c_6 подставим в предыдущее уравнение, которое легко можно проинтегрировать и найти \lambda. Подставим найденные представления в (4.19) и уточним оставшиеся неизвестные функции. В результате получим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_5(u^0_n-u^0_{n+1})&=-\frac{M-1}{2}(A+B),\\ c_6(u^0_n-u^0_{n+1})&=A+Be^{u^0_{n+1}-u^0_n}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
где M\geqslant 2. Предполагая, что M=1, т. е. выполнено равенство R_2=\lambda R_0+\mu R_1, можно показать, что должны выполняться условия c_5=c_7=0, что невозможно (см. замечание 1). Для дальнейшего уточнения функций c_5, c_6, c_7 построим еще одну последовательность, поменяв ролями Y_0 и Y_1:
\begin{equation*}
P_0=Y_0, \quad P_1=Y_1, \quad P_2=[P_1,P_0],\quad \ldots, \quad P_{k+1}=[P_1,P_{k}], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Здесь, в дополнение к (4.18), нам понадобятся соотношения выполненные при i\geqslant 2. Кратные коммутаторы удовлетворяют равенству
\begin{equation*}
D_nP_{k+1}D^{-1}_n=P_{k+1}-\biggl(kc_7+\frac{k(k-1)}{2}c^{(1)}_6\biggr)e^{u^1_n}P_{k}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
Предполагая, как и выше, что существует L\geqslant 2 такое, что P_{L+1}=\lambda P_L+\cdots, и применяя автоморфизм алгебры, выведем уравнение
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=-e^{u^1_n}\biggl(Lc_7+\frac{L(L-1)}{2}c^{(1)}_6\biggr)
\end{equation*}
\notag
на неизвестную функцию \lambda=\lambda(u^0_n,u^1_n):
\begin{equation}
\lambda(u^0_{n+1},u^1_{n+1})-\lambda(u^0_n,u^1_n)=-e^{u^1_n}\biggl(Lc_7(u^0_n-u^0_{n+1})+\frac{L(L-1)}{2}c_6(u^1_n-u^1_{n+1})\biggr).
\end{equation}
\tag{4.21}
Дифференцируя уравнение (4.21) по u^1_{n+1}, найдем
\begin{equation*}
\frac{\partial\lambda(u^0_{n+1},u^1_{n+1})}{\partial u^1_{n+1}}=\frac{L(L-1)}{2}c'_6(\eta)e^{u^1_n}, \qquad \eta=u^1_n-u^1_{n+1}.
\end{equation*}
\notag
Продифференцируем теперь полученное уравнение по u^1_{n}: Отсюда находим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_6(u^1_n-u^1_{n+1})=\alpha e^{u^1_n-u^1_{n+1}}+\beta,\\ \lambda(u^0_n,u^1_n)=-\frac{L(L-1)}{2}\alpha e^{u^1_n}+\rho(u^0_n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Подставляя полученные выражения в (4.21), можно показать, что \rho(u^0_n)=\rho(u^0_{n+1})=\mathrm{const}, а также найти c_7: Сравнивая полученные представления для искомых функций с представлениями (4.20), приходим к равенствам
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_5(u^0_n-u^0_{n+1})&=-\frac{M-1}{2}(\alpha+\beta),\\ c_6(u^0_n-u^0_{n+1})&=\alpha e^{u^0_{n+1}-u^0_n}+\beta,\\ c_7(u^0_n-u^0_{n+1})&=-\frac{L-1}{2}(\alpha+\beta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В итоге имеем
\begin{equation}
f^0=-\frac{M-1}{2}(\alpha+\beta)e^{u^{-1}_{n+1}}+\alpha e^{u^0_{n+1}}+\beta e^{u^{0}_{n}}-\frac{L-1}{2}(\alpha+\beta)e^{u^{1}_{n}}+c_8,
\end{equation}
\tag{4.22}
где M\geqslant 2, L\geqslant 2. Замечание 2. В силу условий c_5\neq 0, c_7\neq 0 (см. замечание 1) выполняется неравенство \alpha+\beta\neq 0. В представлении (4.22) все параметры, кроме c_8, постоянны, функцию c_8(u^{0}_{n}-u^{0}_{n+1}) требуется определить. 4.5. Уточнение вида граничных уравненийВыше было показано, что при j\neq -N_2, j\neq N_1 функция f^j, задающая правую часть системы (1.12), представляется в виде (см. (4.22))
\begin{equation*}
f^j=r_1e^{u^{j-1}_{n+1}}+ r_2e^{u^j_{n}}+ r_3e^{u^{j}_{n+1}}+ r_4e^{u^{j+1}_{n}}+ r_5,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} r_1&=-\frac{M-1}{2}(\alpha+\beta), &\qquad &r_2=\beta, \quad r_3=\alpha,\\ r_4&=-\frac{L-1}{2}(\alpha+\beta),&\qquad &r_5=c_8(u^{j}_{n}-u^{j}_{n+1}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Для поиска функций f^{-N_2}, f^{N_1}, определяющих первое и последнее уравнения системы (4.22), воспользуемся теми же соображениями, что и выше. При этом здесь задача несколько упрощается, поскольку эти функции зависят от меньшего числа переменных. Начнем с функции f^{N_1}(u^{N_1}_n,u^{N_1}_{n+1},u^{N_1-1}_{n+1}), которая является решением системы двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
\begin{equation*}
(X_{N_1}-1)X_{N_1}f^{N_1}=0, \qquad (X_{N_1-1}-1)X_{N_1-1}f^{N_1}=0,
\end{equation*}
\notag
поэтому она имеет вид
\begin{equation}
f^{N_1}=a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}+a_3e^{u^{N_1}_n}+a_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+a_5,
\end{equation}
\tag{4.23}
где a_j=a_j(u^{N_1}_{n}-u^{N_1}_{n+1}) – неизвестные функции, которые требуется определить. 4.5.1. Поиск функции a_2Исследуем функцию (4.23). Рассмотрим последовательность операторов
\begin{equation}
Y_{N_1}, \quad Z, \quad P_2=[Z,Y_{N_1}], \quad P_3=[Z,P_2], \quad \ldots, \quad P_{k+1}=[Z,P_k], \quad \ldots,
\end{equation}
\tag{4.24}
где Y_{N_1}=[X_{N_1},Y], Z=[X_{N_1-1},Y_{N_1}]. Найдем, как действует автоморфизм (3.6) на последовательность (4.24). Для операторов Y_{N_1} и Z имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nY_{N_1}D^{-1}_n&=Y_{N_1}-(a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}+a_3e^{u^{N_1}_n})X_{N_1}-r_1e^{u^{N_1}_n}X_{N_1-1}+\cdots,\\ D_nZD^{-1}_n&=Z-a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}X_{N_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Аналогично можно проверить, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nP_2D^{-1}_n&=P_2-a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}Y_{N_1}+(a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}+(a_3+r_1)e^{u^{N_1}_n})Z+\cdots, \\ D_nP_3D^{-1}_n&=P_3-2a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}P_2+\cdots. \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.25}
При k\geqslant 3 имеем единообразное выражение для описания действия автоморфизма
\begin{equation*}
D_nP_kD^{-1}_n=P_k-(k-1)a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}P_{k-1}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
Сначала мы рассмотрим случай, когда все операторы последовательности (4.24) выражаются через первые два, т. е. Тогда, действуя отображением (3.6) на (4.26) и воспользовавшись формулой (4.25), приходим к тождеству
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda Y_{N_1}+\mu Z-a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}Y_{N_1}&+(a_2e^{u^{N_1}_n+u^{N_1-1}_{n+1}}+(a_3+r_1)e^{u^{N_1}_n})Z+\cdots={}\\ &=D_n(\lambda) Y_{N_1}+D_n(\mu) Z+\cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Сравнение коэффициентов при Y_{N_1} приводит к уравнению из которого следует, поскольку a_2=a_2(u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1}), что не существует функции \lambda, удовлетворяющей (4.26), если a_2 отлично от тождественного нуля. Поэтому a_2\equiv 0. Аналогично проверяется, что при k\geqslant 3 представление может иметь место только при выполнении условия a_2\equiv 0. Поэтому в дальнейшем будем считать, что где a_j=a_j(u^{N_1}_{n}-u^{N_1}_{n+1}), j=3,4,5. 4.5.2. Поиск функций a_3 и a_4Построим последовательность операторов в L_x:
\begin{equation}
Y_{N_1}, \,\, Y_{N_1-1}, \,\, S_2=[Y_{N_1},Y_{N_1-1}], \,\, S_3=[Y_{N_1},S_2], \,\, \ldots, \,\, S_k=[Y_{N_1},S_{k-1}], \ldots,
\end{equation}
\tag{4.27}
где Y_{N_1}=[X_{N_1},Y], Y_{N_1-1}=[X_{N_1-1},Y]. Найдем в силу (3.7), что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nY_{N_1}D^{-1}_n&=Y_{N_1}-a_3e^{u^{N_1}_n}X_{N_1}+r_1e^{u^{N_1}_n}X_{N_1-1},\\ D_nY_{N_1-1}D^{-1}_n&=Y_{N_1-1}-a_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}X_{N_1}-(r_2e^{u^{N_1-1}_{n}}+r_3e^{u^{N_1-1}_{n+1}})X_{N_1-1}-{}\\ &\qquad-r_1e^{u^{N_1-1}_{n}}X_{N_1-2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Далее находим
\begin{equation*}
D_nS_{2}D^{-1}_n=S_{2}-r_1e^{u^{N_1}_{n}}Y_{N_1-1}+a_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}Y_{N_1}.
\end{equation*}
\notag
Предполагая, что все члены последовательности линейно выражаются через Y_{N_1}, Y_{N_1-1}, т. е. полагая легко можно вывести соотношение Это соотношение является противоречивым, поскольку r_1\neq 0, а функция \mu зависит только от конечного числа динамических переменных и их сдвигов. Следовательно, операторы Y_{N_1}, Y_{N_1-1}, S_{2} линейно независимы. Поэтому последовательность обрывается на некотором k\geqslant 2, иначе говоря, выполняется разложение которое в силу формулы
\begin{equation*}
D_nS_{k+1}D^{-1}_n=S_{k+1}-k\biggl(r_1+\frac{k-1}{2}a_3\biggr)e^{u^{N_1}_{n}}S_{k}+\cdots
\end{equation*}
\notag
приводит к уравнению на коэффициент \lambda:
\begin{equation}
D_n(\lambda)-\lambda =-k\biggl(r_1+\frac{k-1}{2}a_3\biggr)e^{u^{N_1}_{n}}.
\end{equation}
\tag{4.28}
Учитывая, что a_3=a_3(u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1}), можно заметить, что \lambda=\lambda(u^{N_1}_n). Дифференцируя (4.28) по u^{N_1}_{n+1}, а затем по u^{N_1}_{n}, приходим к уравнению a''_3(\theta)+a'_3(\theta)=0, где \theta=u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1}. Поэтому имеем Подставим найденное значение a_3 в (4.28) и найдем, что параметры A и B удовлетворяют условию В приведенных выше рассуждениях заменим последовательность (4.27) на другую, которая получается заменой Y_{N_1}\leftrightarrow Y_{N_1-1}:
\begin{equation*}
Y_{N_1-1}, \,\, Y_{N_1}, \,\, Q_2=[Y_{N_1-1},Y_{N_1}], \,\, Q_3=[Y_{N_1-1},Q_2], \,\, \ldots, \,\, Q_k=[Y_{N_1-1},Q_{k-1}], \,\, \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
При этом для k \geqslant 2 имеют место соотношения
\begin{equation*}
D_nQ_{k+1}D^{-1}_n=Q_{k+1}-k\biggl(a_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+\frac{k-1}{2}r_3e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+\frac{k-1}{2}r_2e^{u^{N_1-1}_{n}}\biggr)Q_{k}+\cdots.
\end{equation*}
\notag
Опуская вычисления, которые вполне аналогичны тем, которые соответствуют последовательности (4.27), приведем только вывод: функция a_4 является постоянной, где \bar{M}\geqslant 2 является целым числом. Следовательно, функция f^{N_1} имеет вид
\begin{equation*}
f^{N_1}=p_2e^{u^{N_1}_n}+p_3e^{u^{N_1}_{n+1}}+p_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+p_5,
\end{equation*}
\notag
где p_2, p_3, p_4 — некоторые постоянные, а последнее слагаемое является функцией p_5=p_5(u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1}). Аналогичное представление, вообще говоря с другими коэффициентами, имеет место и для функции f^{-N_2}_n. В итоге для правых частей уравнений (1.11) имеем выражения
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f^{N_1}&=p_2e^{u^{N_1}_n}+p_3e^{u^{N_1}_{n+1}}+p_4e^{u^{N_1-1}_{n+1}}+p_5(u^{N_1}_n-u^{N_1}_{n+1}), \\ f^j&=r_1e^{u^{j-1}_{n+1}}+ r_2e^{u^j_{n}}+ r_3e^{u^{j}_{n+1}}+ r_4e^{u^{j+1}_{n}}+ r_5(u^j_n-u^j_{n+1}), \\ f^{-N_2}&=q_1e^{u^{-N_2+1}_{n}}+ q_2e^{u^{-N_2}_{n}}+ q_3e^{u^{-N_2}_{n+1}}+ q_5(u^{-N_2}_n-u^{-N_2}_{n+1}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.29}
Здесь постоянные коэффициенты перед экспонентами и функции p_5, r_5, q_5 нуждаются в дальнейшем уточнении. 4.6. Уточнение функций p_5, r_5 и q_5Покажем, что p_5=r_5=q_5=0. Для упрощения рассуждений будем считать, что в равенствах (4.29) N_1=N_2=1:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^1&=p_2e^{u^1_n}+p_3e^{u^{1}_{n+1}}+p_4e^{u^{0}_{n+1}}+p_5(u^1_n-u^1_{n+1}), \\ f^0&=r_1e^{u^{-1}_{n+1}}+ r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}+ r_4e^{u^{1}_{n}}+ r_5(u^0_n-u^0_{n+1}), \\ f^{-1}&=q_1e^{u^{0}_{n}}+ q_2e^{u^{-1}_{n}}+ q_3e^{u^{-1}_{n+1}}+ q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Легко проверить непосредственным вычислением, что оператор W:=Y-\sum_{j=-1}^1Y_j имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W={}&p_5(u^1_n-u^1_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^1_{n+1}}-p_5(u^1_{n-1}-u^1_{n})\frac{\partial}{\partial u^1_{n-1}}+{}\\ &+r_5(u^0_n-u^0_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^0_{n+1}}-r_5(u^0_{n-1}-u^0_{n})\frac{\partial}{\partial u^0_{n-1}}+{}\\ &+q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^{-1}_{n+1}}-q_5(u^{-1}_{n-1}-u^{-1}_{n})\frac{\partial}{\partial u^{-1}_{n-1}}+\cdots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где многоточием обозначены дифференцирования по переменным u^i_{n\pm 2}, u^i_{n\pm 3}, \ldots . Напомним, что операторы Y_j определены как коммутаторы Y_j=[X_j,Y], при этом действие автоморфизма на них задано формулой Нетрудно проверить, что
\begin{equation}
D_nWD^{-1}_n=W-p_5(u^1_n-u^1_{n+1})X_1-r_5(u^0_n-u^0_{n+1})X_0-q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1})X_{-1}.
\end{equation}
\tag{4.30}
Ниже нам понадобится последовательность операторов в алгебре L_x:
\begin{equation}
W, \quad Y_0, \quad W_1=[Y_0,W], \quad W_2=[Y_0,W_1], \quad \ldots, \quad W_k=[Y_0,W_{k-1}], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{4.31}
Опишем действие автоморфизма на элементы этой последовательности:
\begin{equation}
D_nW_2D^{-1}_n=W_2-(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})W_1+\cdots,\nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
D_nW_3D^{-1}_n=W_3-3(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})W_2+\cdots,\nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
D_nW_kD^{-1}_n=W_k-\frac{k^2-k}{2}(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})W_{k-1}+\cdots, \qquad k\geqslant 2.
\end{equation}
\tag{4.33}
В силу конечномерности алгебры L_x существует натуральное число K такое, что оператор W_K можно представить в виде линейной комбинации предшествующих членов последовательности (4.31): Применяя к (4.34) автоморфизм (3.6), получаем еще одно соотношение: из которого в силу (4.33), (4.34) легко можно получить уравнение на коэффициент \lambda:
\begin{equation*}
D_n(\lambda)=\lambda-\frac{k^2-k}{2}(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}),
\end{equation*}
\notag
которое должно выполняться при K\geqslant 2. Нетрудно проверить, что это уравнение может иметь решение \lambda, зависящее лишь от конечного набора динамических переменных, тогда и только тогда, когда выполняется равенство r_2=-r_3. А это невозможно в силу замечания 2, в котором следует положить \alpha=r_3, \beta=r_2. Поэтому число K должно равняться единице, поскольку Y_0 и W являются линейно независимыми, т. е. реализуется именно такой случай, когда Для того чтобы исследовать уравнение (4.35), нам потребуется уточнить все слагаемые в представлении (4.32), включая обозначенные многоточием. Для этого воспользуемся равенством (4.30) и формулой
\begin{equation}
D_nY_0D^{-1}_n=Y_0-p_4e^{u^0_{n+1}}X_1-(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})X_0-q_1e^{u^0_{n}}X_{-1}.
\end{equation}
\tag{4.36}
Нетрудно проверить, что тогда из равенства D_nW_1D^{-1}_n=[D_nY_0D^{-1}_n,D_nWD^{-1}_n] следует
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nW_1D^{-1}_n={}&W_1+r_5Y_0+(W(p_4e^{u^0_{n+1}})-Y_0(p_5)-r_5p_4e^{u^0_{n+1}})X_1+{}\\ &+(W(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})-Y_0(r_5)-r_5(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}))X_0+{}\\ &+(W(q_1e^{u^0_{n}})-Y_0(q_5)-r_5q_1e^{u^0_{n}}t)X_{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Учитывая, что имеют место соотношения
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &W(e^{u^{0}_{n+1}})=p_5(u^1_n-u^1_{n+1})e^{u^{0}_{n+1}}, \qquad W(e^{u^{0}_{n}})=0,\\ &Y_0(p_5(u^1_n-u^1_{n+1}))=-p_4e^{u^{0}_{n+1}}p'_5(u^1_n-u^1_{n+1}),\\ &Y_0(r_5(u^0_n-u^0_{n+1}))=-(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})r'_5(u^0_n-u^0_{n+1}),\\ &Y_0(q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1}))=-q_1e^{u^0_{n}}q'_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
находим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_nW_1D^{-1}_n={}&W_1+r_5Y_0+(p_4p_5e^{u^{0}_{n+1}}-p_4p'_5e^{u^{0}_{n+1}}-p_4r_5e^{u^{0}_{n+1}})X_1+{} \notag \\ &+(r_3p_5e^{u^{0}_{n+1}}-r_5(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})+r'_5(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}))X_0+{} \notag\\ &+(q_1q'_5e^{u^0_{n}}-r_5q_1e^{u^0_{n}})X_{-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.37}
Подействуем автоморфизмом (3.6) на (4.35) и преобразуем результат с помощью соотношений (4.30), (4.35)–(4.37), в итоге получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda Y_0&+\mu W+r_5Y_0+(p_4p_5e^{u^{0}_{n+1}}-p_4p'_5e^{u^{0}_{n+1}}-p_4r_5e^{u^{0}_{n+1}})X_1+{}\\ &\hphantom{={}}+(r_3p_5e^{u^{0}_{n+1}}+(r'_5-r_5)(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}}))X_0+(q_1q'_5e^{u^0_{n}}-r_5q_1e^{u^0_{n}})X_{-1}={}\\ &=D_n(\lambda)(Y_0-p_4e^{u^0_{n+1}}X_1-(r_2e^{u^0_{n}}+ r_3e^{u^{0}_{n+1}})X_0-q_1e^{u^0_{n}}X_{-1})+{}\\ &\hphantom{={}}+D_n(\mu)(W-p_5X_1-r_5X_0-q_5X_{-1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где p_5=p_5(u^1_n-u^1_{n+1}), r_5=r_5(u^0_n-u^0_{n+1}), q_5=q_5(u^{-1}_n-u^{-1}_{n+1}). Сравнивая коэффициенты при линейно независимых операторах Y_0 и W, находим уравнения на \lambda и \mu:
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=r_5(u^0_n-u^0_{n+1}),\qquad D_n(\mu)=\mu.
\end{equation*}
\notag
Из этих условий очевидным образом вытекает, что \mu=\mathrm{const}, r_5(u^0_n-u^0_{n+1})=cu^0_n-cu^0_{n+1}, где c – некоторая постоянная, \lambda=cu^0_n. Далее соберем коэффициенты при X_1:
\begin{equation*}
p_4e^{u^{0}_{n+1}}(p_5-p'_5-cu^0_n+cu^0_{n+1})=-cu^0_{n+1}p_4e^{u^0_{n+1}}-\mu p_5.
\end{equation*}
\notag
Приравнивая коэффициенты при u^0_ne^{u^{0}_{n+1}}, получаем, что p_4c=0. Поскольку p_4\neq 0, то c=0, т. е. r_5\equiv 0. Повторяя приведенные выше рассуждения, заменив оператор Y_0 на Y_1, а затем на Y_{-1}, можно показать, что функции p_5 и q_5 также равны нулю. Подведем итог вычислениям, приведенным выше, в следующей теореме. Теорема 2. Цепочка вида (1.10), допускающая при любом N интегрируемые по Дарбу редукции вида (1.11), при условии, что P(\lambda)=\lambda(\lambda-1), принадлежит следующему классу цепочек: В равенстве (4.38) постоянные параметры r_1-r_4 требуют дальнейшего уточнения. 4.7. Вырожденные обрывы цепочкиДо сих пор мы рассматривали первое и последнее уравнения системы (1.11) вне связи с основным искомым объектом f. Теперь воспользуемся тем, что они получаются из цепочки (4.38) в результате наложения вырожденных условий обрыва, согласованных с динамикой, задаваемой цепочкой. Для отыскания вырожденного обрыва мы применим метод, использованный ранее в работе [16]. Посредством замены переменных, заданных формулами при j\neq N_1+1 и j\neq -N_2-1, а в этих точках заданных как кроме того, полагая x=\varepsilon\tau, где N_1, N_2 – неотрицательные целые числа, приведем цепочку (4.38) к некоторому специальному виду.Сначала рассмотрим случай, когда |N_1-N_2|\geqslant 1. Тогда цепочка (4.38) перейдет в бесконечную систему уравнений, представленную в виде
\begin{equation}
v^j_{n+1,\tau}=v^j_{n,\tau}+r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+ r_2e^{v^j_{n}}+ r_3e^{v^{j}_{n+1}}+ \varepsilon r_4e^{v^{j+1}_{n}}
\end{equation}
\tag{4.39}
для j=N_1 либо j=-N_2-2;
\begin{equation}
v^j_{n+1,\tau}=v^j_{n,\tau}+r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+\varepsilon r_2e^{v^j_{n}}+\varepsilon r_3e^{v^{j}_{n+1}}+r_4e^{v^{j+1}_{n}}
\end{equation}
\tag{4.40}
для j=N_1+1 либо j=-N_2-1;
\begin{equation}
v^j_{n+1,\tau}=v^j_{n,\tau}+\varepsilon r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+r_2e^{v^j_{n}}+ r_3e^{v^{j}_{n+1}}+r_4e^{v^{j+1}_{n}}
\end{equation}
\tag{4.41}
для j=N_1+2 либо j=-N_2. В точках, отличных от упомянутых выше, цепочка (4.38) переходит в себя:
\begin{equation}
v^j_{n+1,\tau}=v^j_{n,\tau}+r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+r_2e^{v^j_{n}}+ r_3e^{v^{j}_{n+1}}+r_4e^{v^{j+1}_{n}}.
\end{equation}
\tag{4.42}
Положим теперь \varepsilon=0 в полученной системе (4.39)–(4.42) и придем к трем не связанным между собой системам уравнений:
Конечная система в представленном списке есть не что иное, как редукция вида (1.11), которая теперь имеет более конкретный вид:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v^{N_1}_{n+1,\tau}&=v^{N_1}_{n,\tau}+r_1e^{v^{N_1-1}_{n+1}}+r_2e^{v^{N_1}_{n}}+ r_3e^{v^{N_1}_{n+1}},\\ v^j_{n+1,\tau}&=v^j_{n,\tau}+r_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+r_2e^{v^j_{n}}+ r_3e^{v^{j}_{n+1}}+r_4e^{v^{j+1}_{n}}, \qquad -N_2+1\leqslant j\leqslant N_1-1,\\ v^{-N_2}_{n+1,\tau}&=v^{-N_2}_{n,\tau}+r_2e^{v^{-N_2}_{n}}+ r_3e^{v^{-N_2}_{n+1}}+r_4e^{v^{-N_2+1}_{n}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь рассмотрим наиболее простой случай, когда N_1=N_2=0. При этом преобразованная цепочка немного отличается от (4.39)–(4.42). Опуская детали, приведем только полученное в результате редукции однополевое уравнение: В работе [28] было показано (см. также [25]), что уравнение (4.43) является интегрируемым в смысле Дарбу тогда и только тогда, когда выполняется условие r_2=\pm r_3. Однако, как было отмечено в замечании 2, случай r_2=-r_3 противоречит другим условиям интегрируемости цепочки (4.38). Поэтому параметры цепочки должны удовлетворять условию r_2=r_3. В заключение отметим, что задача классификации 3D цепочек вида (1.10) с правой частью вида (4.1) (т. е. задача поиска функции f от четырех переменных) свелась к задаче об отыскании двух констант k_1, k_2 таких, чтобы система уравнений экспоненциального типа
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v^{N_1}_{n+1,t}&=v^{N_1}_{n,t}+k_1e^{v^{N_1-1}_{n+1}}+e^{v^{N_1}_{n}}+ e^{v^{N_1}_{n+1}},\\ v^j_{n+1,t}&=v^j_{n,t}+k_1e^{v^{j-1}_{n+1}}+e^{v^j_{n}}+ e^{v^{j}_{n+1}}+k_2e^{v^{j+1}_{n}}, \qquad -N_2+1\leqslant j\leqslant N_1-1,\\ v^{-N_2}_{n+1,t}&=v^{-N_2}_{n,t}+e^{v^{-N_2}_{n}}+ e^{v^{-N_2}_{n+1}}+k_2e^{v^{-N_2+1}_{n}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.44}
была бы интегрируема по Дарбу для любой пары неотрицательных чисел N_1, N_2. Здесь t=r_2\tau, k_1=r_1/r_2, k_2=r_4/r_2. В работе Смирнова [29] показано, что конечно-полевая система (4.44), где k_1=k_2=-1, является интегрируемой в смысле Дарбу для любых N_1\geqslant0, N_2\geqslant0. При этом цепочка (4.38) сводится к хорошо известной интегрируемой модели – полудискретной цепочке Тоды, найденной в работе [30]:
\begin{equation*}
w^j_{n+1,t}=w^j_{n,t}-e^{w^{j-1}_{n+1}}+e^{w^j_{n}}+ e^{w^{j}_{n+1}}-e^{w^{j+1}_{n}}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, этот пример согласован с гипотезой о том, что любая интегрируемая цепочка с тремя независимыми переменными, хотя бы одна из которых является дискретной, допускает иерархию интегрируемых по Дарбу редукций. Вопрос о том, при каких значениях постоянных параметров k_1, k_2 цепочка
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+k_1e^{u^{j-1}_{n+1}}+ e^{u^j_{n}}+ e^{u^{j}_{n+1}}+ k_2e^{u^{j+1}_{n}}
\end{equation*}
\notag
является интегрируемой, остается до конца не выясненным. Полное решение классификационной задачи возможно лишь при использовании других условий интегрируемости, которые связаны с конечномерностью характеристической алгебры по направлению n. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KuzHabKha23}
Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|