| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Построение локализованных частных решений цепочек с тремя независимыми переменными М. Н. Кузнецова Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792308007X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДанная работа посвящена построению локализованных частных решений для цепочек из класса при помощи редукций, интегрируемых в смысле Дарбу. Здесь искомая функция ujn(x) зависит от одной непрерывной переменной x и двух дискретных переменных j,n.В работе [1] было предложено в качестве признака интегрируемости трехмерной цепочки рассматривать существование редукций в виде систем уравнений с двумя независимыми переменными, интегрируемых в смысле Дарбу. Ключевым моментом здесь является свойство конечномерности характеристических алгебр по обоим направлениям. Применение характеристической алгебры для исследования редукций позволило эффективно решать задачу классификации цепочек с тремя независимыми переменными. В результате в работах [2]–[5] была проведена классификация интегрируемых цепочек вида где αi=αi(un+1,un,un−1) – произвольные аналитические функции трех переменных, |α1|+|α2|+|α3|≠0.Далее исследования были распространены на цепочки с одной непрерывной и двумя дискретными переменными [6]–[8]. В работе [6] был рассмотрен список интегрируемых дифференциально-разностных уравнений, полученный в работе [9]. Было показано, что все модели из списка приводятся к виду (1) и удовлетворяют следующему критерию интегрируемости: цепочка вида (1) является интегрируемой тогда и только тогда, когда существуют функции H(1) и H(2) такие, что для любого выбора целого N система дифференциально-разностных уравнений
u1n+1,x=H(1)(u1n,x,u2n,u1n,u1n+1),ujn+1,x=Fj(ujn,x,uj+1n,ujn,ujn+1,uj−1n+1),1<j<N,uNn+1,x=H(2)(uNn,x,uNn,uNn+1,uN−1n+1),−∞<n<∞,
полученная из (1), является интегрируемой в смысле Дарбу. В статье [8] проведена частичная классификация интегрируемых цепочек вида Интегрируемость в смысле Дарбу нелинейного гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными подразумевает наличие интегралов по обоим характеристическим направлениям. Благодаря этому свойству интегрирование уравнения сводится к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно это позволяет получить явную формулу для общего решения (см. [10], [11]). В книге [12] решена задача построения явных формул для решений двумерных экспоненциальных систем, отвечающих полупростым алгебрам Ли. В обзоре [13] приводится процедура нахождения общего решения нелинейных гиперболических уравнений лиувиллевского типа (эквивалентное название для уравнений, интегрируемых в смысле Дарбу), основанная на использовании инвариантов Лапласа. В статье [14] была проведена классификация двухкомпонентных нелинейных гиперболических систем, обладающих интегралами первого и второго порядка по каждому характеристическому направлению. Для полученных систем были построены общие решения при помощи найденных интегралов. В работе [15] обсуждается метод построения явной формулы для общего решения для интегрируемых по Дарбу дифференциально-разностных цепочек. Для цепочек вида un+1,x=un,x+d(un,un+1) построены общие решения. В работе [16] приводятся интегралы и строятся формулы общего решения для редукций некоторых полудискретных и дискретных цепочек. Со свойством интегрируемости в смысле Дарбу тесно связано понятие характеристической алгебры. Характеристическая алгебра была введена в работах [17], [18] для гиперболических систем экспоненциального типа. Было показано, что конечномерность характеристических алгебр по обоим характеристическим направлениям является критерием интегрируемости по Дарбу таких систем. В дальнейшем алгебраический подход был распространен на системы дифференциальных уравнений гиперболического типа более общего вида, а также на дискретные модели (см. монографию [19]). Кратко напомним определение интегрируемости в смысле Дарбу дифференциально-разностных систем уравнений. Рассмотрим дифференциально-разностную систему следующего вида: Правая часть данной системы при j=−N2 не зависит от переменной u−N2−1n+1, а при j=N1 не зависит от uN1+1n. Введем обозначение um=(u−N2m,u−N2+1m,…,uN1m). где k,m=0,1,2,…, называется x-интегралом порядка m+k системы (1), если выполняется равенство DxW=0 в силу системы (2) и хотя бы для одной пары чисел j,s=−N2,−N2+1,…,N1 произведение ∂W∂ujn+m×∂W∂usn−k отлично от тождественного нуля. Здесь Dx – оператор полного дифференцирования по переменной x. называется n-интегралом порядка m системы (2), если для каждого целого r>0 выполняется условие DrnI=I в силу системы (2) и хотя бы одна из производных ∂I∂ujn,[m], где j=−N2,−N2+1,…,N1, отлична от тождественного нуля. Здесь Dn – оператор сдвига дискретного аргумента, действующий по правилу Dnt(n)=t(n+1). Определение 3. Система (2) называется интегрируемой в смысле Дарбу, если она допускает N2+N1+1 функционально независимых интегралов по каждому направлению x и n. В работе [8] была рассмотрена цепочка На цепочку налагались условия обрыва, в результате чего была записана редукция в виде одного уравнения, интегрируемого в смысле Дарбу. При помощи интегралов было найдено общее решение уравнения, а затем построено частное решение указанной цепочки. В настоящей работе применяется этот метод.В настоящее время для всех известных цепочек вида (1) не доказано, что обрыв любой длины будет интегрируемым в смысле Дарбу. Для некоторых классов цепочек с тремя независимыми переменными этот факт доказан. В работе [20] доказана полная интегрируемость по Дарбу полудискретных и дискретных двумеризованных цепочек Тоды, соответствующих простым алгебрам Ли серий A и C. Построены полные наборы интегралов для обрывов произвольной длины. В работе [4] приводятся цепочки с одной дискретной и двумя непрерывными переменными, обладающие редукциями сколько угодно большой длины, которые являются интегрируемыми в смысле Дарбу. Интегрируемость по Дарбу доказывается при помощи алгебраического подхода. В работе [6] для большого количества цепочек вида (1) доказано, что обрывы небольшой длины являются интегрируемыми в смысле Дарбу. Несмотря на то что интегрируемость в смысле Дарбу редукций произвольной длины не доказана для всех известных цепочек с тремя независимыми переменными, можно ожидать, что общее решение можно получить для обрыва любой длины. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 строятся локализованные частные решения дифференциально-разностных цепочек с тремя независимыми переменными при помощи интегралов соответствующих редукций. Рассматриваются редукции в виде одного уравнения. В разделе 3 рассматривается редукция трехмерной цепочки в виде системы двух дифференциально-разностных уравнений. Находятся n-интегралы этой системы. При помощи найденных n-интегралов строятся общее решение указанной системы и затем локализованное частное решение соответствующей трехмерной цепочки. 2. Построение частных решений на основе редукций в виде дифференциально-разностных уравненийПокажем, как, используя редукции, интегрируемые в смысле Дарбу, строить локализованные частные решения цепочек. В данном разделе используются редукции в виде одного дифференциально-разностного уравнения. Рассмотрим цепочку (см. [6]) Налагаем граничные условия обрыва u1n=c, u−1n=0. Получаем следующее уравнение: Уравнение (4) обладает n- и x-интегралами По определению интегралов это означает, что на любом решении уравнения (4) выполняются равенства DnI=I, DxJ=0. Отсюда следует, что I на любом решении уравнения (4) есть некоторая функция, зависящая только от x (вообще говоря, разная для разных решений), а J – функция, зависящая только от n. Найдем решение уравнения где φ(x) – некоторая функция от x. После замены ux=w, wx/w=v уравнение приобретает вид Последнее уравнение имеет решение Возвращаясь к заменам, находим решение уравнения (6): Далее, используя интеграл I (см. (5)) и исходное уравнение (4), находим связь между функциями дискретного переменного: Итак, решение уравнения (4) задается формулами (7), (8).Соответственно, локализованное частное решение цепочки (3) определяется следующим образом: Рассмотрим цепочку Граничные условия u1n=c1, u−1n=c0 приводят к уравнению Интегралы последнего уравнения имеют вид (см. [6]) Получаем, что решение un(x) цепочки (9) задается формулой гдеРассмотрим цепочку Зададим условия обрыва u1n=c, u−1n=0, получим уравнение Для нахождения n-интеграла удобно переписать исходное уравнение в виде Находим интегралы последнего уравнения: Поскольку по определению I на любом решении уравнения (11) есть некоторая функция, зависящая только от x, то для любого решения выполняется равенство Переписывая гиперболический синус через экспоненциальную функцию, приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению на функцию un(x): Интегрируя, получаем где b, ψ – произвольные функции. Подставляя последнее выражение в x-интеграл J (см. (12)), получаем, что J=ψ(n+1)/ψ(n), и определение x-интеграла выполняется автоматически. Подставляя функцию un(x), определенную формулой (13), в уравнение (11), получаем тождество. Итак, уравнение (11) имеет решение а цепочка (10) – соответственно частное решение3. Построение общего решения дифференциально-разностной системы двух уравнений. Частное решение трехмерной цепочкиРассмотрим цепочку [6] Налагаем граничные условия u0n=0, u3n=0, получаем систему следующего вида:
u1n+1,x=u1n,xsh(u1n+1)sh(u1n+1−u2n)sh(u1n)sh(u1n−u2n),u2n+1,x=u2n,xsh(u1n+1−u2n+1)sh(u2n+1)sh(u1n+1−u2n)sh(u2n).
В экспоненциальной форме система имеет вид
u1n+1,x=(eu1n+1−e−u1n+1)(eu1n+1−u2n−e−u1n+1+u2n)(eu1n−e−u1n)(eu1n−u2n−e−u1n+u2n),u2n+1,x=(eu1n+1−u2n+1−e−u1n+1+u2n+1)(eu2n+1−e−u2n+1)(eu1n+1−u2n−e−u1n+1+u2n)(eu2n−e−u2n).
В настоящей работе найдены n-интегралы:
I1=2e2u1e2u2u1,xu2,x(e2u2−1)(e2u1−1)(e2u1−e2u2),I2=u1,xxu1,x−2e2u1+1e2u1−1u1,x+2e2u2(e2u1−1)u2,x(e2u2−1)(e2u1−e2u2).
По определению n-интегралы на любом решении системы являются функциями только от x. Таким образом, для того чтобы найти решение исходной системы, необходимо решить систему I1=φ(x), I2=ψ(x). Замена переменных ui=ln(evi+1)/2, i=1,2, приводит интегралы и соответственно последнюю систему к виду Используя уравнение (16), можно переписать уравнение (17) следующим образом: Замена ω=e−V1 приводит последнее уравнение к линейному уравнению Решение последнего уравнения имеет вид где c1(n), c2(n) – произвольные функции. Далее введем обозначения Тогда Возвращаясь к замене, получаем, что решение уравнения (18) имеет вид Перепишем уравнение (17): откуда имеем Замена S=e−V2 сводит последнее уравнение к линейному уравнению которое имеет решение Соответственно решение V2 имеет вид Теперь следует уточнить функцию h(x,n). Подставляем найденное решение (19), (20) в систему (16), (17). Первое уравнение обращается в тождество. Второе уравнение дает Находим решение последнего уравнения: Отметим, что при этом ψ=φ′/φ−η″.Итак, получаем, что решение системы (16), (17) задается формулами (19)–(21). Теперь наша цель – переписать формулы для решения без использования интегралов. Для этого введем обозначение тогда \varphi(x) = B'(x) \eta'(x) и
\begin{equation*}
\int \frac{\eta(x) \varphi(x)}{\eta'(x)}\, dx = \eta(x) B(x) - \int \eta'(x) B(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
Функция h запишется в виде
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h(x,n) &= \eta(x) B(x) - \int \eta'(x) B(x)\, dx + c_2(n) B(x) + c_3(n), \\ h_x(x, n) &= (\eta(x) + c_2(n)) B'(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Тогда интеграл, фигурирующий в формуле (20), вычисляется:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)}{h_x(x,n)}\, dx = \int \frac{\eta'(x)}{\eta(x) + c_2(n)}\, dx = \ln (\eta(x) + c_2(n)).
\end{equation*}
\notag
Далее получаем, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int &\biggl( \frac{\varphi(x) h(x,n)}{h_x(x,n)} \exp{\biggl[-\int \frac{\varphi(x)}{h_x(x,n)}}\, dx\biggr] \biggr) dx ={} \\ &= \int \biggl( B(x) \eta(x) - \int \eta'(x) B(x)\, dx + c_2(n) B(x) + c_3(n) \biggr) \frac{\eta'(x)}{(\eta(x) + c_2)^2}\, dx ={}\\ & = - \frac{1}{\eta(x) + c_2(n)} \biggl( B(x) \eta(x) - \int \eta'(x) B(x)\, dx + c_2(n) B(x) + c_3(n) \biggr) + B(x) ={}\\ & = \frac{1}{\eta(x) + c_3(n)}\biggl[\int \eta'(x) B(x)\, dx - c_3(n)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Итак, имеем следующие формулы для V_1, V_2:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_1(x,n) &= -\ln \biggl( B(x)(\eta(x) + c_2(n)) - \int \eta'(x) B(x)\,dx + c_3(n) \biggr),\\ V_2(x,n) &= -\ln \biggl( c_4(n) (\eta(x) + c_2(n)) - \int \eta'(x) B(x)\, dx + c_3(n) \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \eta = \eta(x), B = B(x), c_i = c_i(n). Теперь введем обозначение тогда окончательно получаем решение системы (19), (20):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_1(x,n) &= -\ln \biggl[ \frac{a'(x) (\eta(x) + c_2(n))}{\eta'(x)} - a(x) + c_3(n) \biggr], \\ V_2(x,n) &= - \ln [ c_4(n)(\eta(x) + c_2(n)) - a(x) + c_3(n)], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \eta = \eta(x), a = a(x), c_i = c_i(n), i=1,2. Вернемся к замене
\begin{equation*}
u_1 = \frac{1}{2} \ln (e^{V_1} + 1), \qquad u_2 = \frac{1}{2} \ln(e^{V_2}+1).
\end{equation*}
\notag
Подставляя полученное решение в исходную систему (15), находим связь между функциями дискретного аргумента: Итак, найдено общее решение исходной системы (15):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1(x,n) &= \frac{1}{2} \ln \biggl( \frac{\eta'(x)}{a'(x)( \eta(x) + c_2(n)) + \eta'(x) ( c_3(n) - a(x) )} + 1\biggr), \\ u_2(x,n) &= \frac{1}{2} \ln \biggl(\frac{1}{c_4(n) ( \eta(x) + c_2(n) ) + c_3(n) - a(x)} + 1 \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \eta'(x) \neq 0, а функции c_2, c_3, c_4 связаны соотношением (22). Локализованное частное решение соответcтвующей цепочки (15) задается формулой
\begin{equation*}
u^j_n(x) = \begin{cases} 0, & j < 1,\\ \dfrac{1}{2} \ln \biggl( \dfrac{\eta'(x)}{a'(x)( \eta(x) + c_2(n) ) + \eta'(x) ( c_3(n) - a(x) )} + 1\biggr), & j = 1,\\ \dfrac{1}{2} \ln \biggl( \dfrac{1}{c_4(n) ( \eta(x) + c_2(n) ) + c_3(n) - a(x)} + 1 \biggr), & j = 2,\\ 0, & j > 2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
где \eta'(x) \neq 0, а функции c_2, c_3, c_4 связаны соотношением (22). Отметим также, что цепочка (15) связана заменой u^j_n \to \frac{1}{2} \ln (u^j_n + 1) с цепочкой
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x} = u^j_{n,x} \frac{(u^{j-1}_{n+1} - u^j_{n+1})(u^j_{n+1} - u^{j+1}_n)}{(u^{j-1}_{n+1} - u^j_n)(u^j_n - u^{j+1}_n)}.
\end{equation*}
\notag
БлагодарностиАвтор выражает благодарность И. Т. Хабибуллину за постановку задачи и полезные обсуждения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у нее нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kuz23}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|