| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О классификации нелинейных интегрируемых трехмерных цепочек при помощи характеристических алгебр Ли И. Т. Хабибуллин, А. Р. Хакимова Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100094 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеТеория интегрируемости является важной составляющей современной математической физики. К настоящему времени задача исчерпывающего описания интегрируемых представителей для широкого класса нелинейных непрерывных и дискретных моделей размерности 1+1, наиболее интересных с точки зрения приложений, близка к завершению. При решении этой задачи успешно использовались классификационные алгоритмы, основанные на симметрийном подходе [1]–[6]. Для классификации уравнений с тремя и более независимыми переменными метод симметрий не подходит из-за проблем с нелокальностями. Кратко обсудим наиболее популярные методы классификации интегрируемых моделей в трехмерном пространстве. Метод классификации трехмерных уравнений, основанный на существовании гидродинамических редукций, является одним из наиболее востребованных специалистами по математической физике. Он создавался, апробировался и использовался в серии работ [7]–[12]. Метод классификации трехмерных интегрируемых цепочек, использующий идею совместности, был разработан в статьях [13], [14]. Существуют и альтернативные подходы к изучению и классификации уравнений в трехмерном пространстве (см., например, работы [15]–[17] и ссылки в них). В настоящей работе продолжается исследование задачи классификации нелинейных цепочек вида линейных по производным ujn,x=ddxujn, начатое в работе [18]. В уравнении (1.1) искомая функция ujn(x) зависит от трех аргументов: непрерывной переменной x и дискретных переменных n и j. Здесь f предполагается аналитической функцией, заданной в некоторой области пространства C4.Наш подход к задаче классификации интегрируемых цепочек в трехмерном пространстве основан на следующем любопытном наблюдении. Известные примеры интегрируемых уравнений с тремя независимыми переменными, когда хотя бы одна из переменных является дискретной, допускают редукции в виде интегрируемых в смысле Дарбу систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Эти редукции получаются в результате наложения граничных условий типа обрыва по дискретному аргументу (см., например, [19]–[21]). В работах [22], [23] такое свойство интегрируемых трехмерных цепочек было успешно использовано при классификации цепочек с одной дискретной и двумя непрерывными переменными. В работе [18] мы адаптировали алгебраический метод классификации на случай цепочек вида (1.1) с одной непрерывной и двумя дискретными независимыми переменными. Мы предполагаем, что существуют функции f−N2 и fN1 такие, что система дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа следующего вида: где
f−N2n=f−N2(u−N2+1n,u−N2n,u−N2n+1),fjn=f(uj+1n,ujn,ujn+1,uj−1n+1),−N2+1⩽j⩽N1−1,fN1n=fN1(uN1n,uN1n+1,uN1−1n+1),
интегрируема по Дарбу для любой пары неотрицательных чисел N1, N2. Тогда цепочки (1.1), соответствующие найденным функциям f=f(uj+1n,ujn,ujn+1,uj−1n+1), предположительно будут интегрируемыми. Напомним, что система уравнений (1.2) является интегрируемой в смысле Дарбу, если она допускает полные наборы характеристических интегралов по каждому из характеристических направлений x и n. Понятие характеристического интеграла дифференциального уравнения гиперболического типа впервые было введено в работе Дарбу [24]. Эффективный алгебраический критерий интегрируемости системы гиперболических уравнений был предложен Шабатом (см. [25]–[27]): конечномерность характеристической алгебры по каждому из характеристических направлений является необходимым и достаточным условием интегрируемости в смысле Дарбу системы гиперболических уравнений. Теория интегрируемости по Дарбу полностью переносится на системы дифференциально-разностных и чисто дискретных уравнений [28]–[33]. В работе [18] было доказано, что необходимым условием конечномерности алгебры Lx системы (1.2) по направлению x является выполнение равенства где операторы Zk имеют следующий вид: а P(λ) – некоторый многочлен с постоянными коэффициентами с нулевым свободным членом. Далее предполагается, что P(λ) – многочлен наименьшей степени, удовлетворяющий условиям (1.3).Задача об описании класса функций f, для которых система (1.2) является интегрируемой по Дарбу, естественным образом распадается на четыре варианта: Первый из перечисленных вариантов был исследован в работе [18], где показано, что для интегрируемости цепочки (1.1) в этом случае необходимо, чтобы она имела вид где k1, k2 – некоторые постоянные. Причем при k1=k2=−1 получаем известную интегрируемую цепочку, найденную ранее в работе [28].В настоящей работе мы исследуем случай 2. Случаи 3 и 4 остаются неизученными с точки зрения классификации по признаку интегрируемых по Дарбу редукций. Несколько примеров интегрируемых цепочек, соответствующих случаю 3, можно найти в работе [12]. Примеры цепочек с функцией f, соответствующей случаю 4, авторам неизвестны. Основной результат работы представлен в теоремах 8 и 9. В теореме 8 утверждается, что если цепочка (1.1) с функцией f, заданной в виде (2.1), интегрируема в смысле определения 1, то f принадлежит одному из трех классов, содержащих неопределенные константы. В разделе 3 детально обсуждается один из этих классов, в котором выделяются два подкласса. Представители одного из подклассов зависят от двух целочисленных параметров, в то время как цепочки из второго подкласса зависят от одного комплексного параметра (см. теорему 9). В разделе 4 предъявлены три конкретные цепочки, для двух из них показано, что характеристические алгебры по направлению x имеют конечные размерности, третья цепочка является интегрируемой. Она совпадает с цепочкой Адлера (см. [34]) с точностью до поворота координатных осей. Для завершения классификации необходимо исследовать полученные цепочки с помощью характеристической алгебры по дискретному направлению n. 2. Классификационная задачаНетрудно проверить, что общее решение f системы (1.3) при условии P(λ)=λ2 представимо в виде где коэффициенты Ai=Ai(τn) являются произвольными функциями от переменной τn=u0n−u0n+1. Основная цель работы состоит в выводе необходимых условий на эти функции из предположения о конечномерности характеристической алгебры Lx системы (1.2) по направлению x. Ниже мы обсудим определение и некоторые свойства этой алгебры.2.1. Характеристическая алгебра по направлению xНапомним, что характеристическая алгебра Lx системы (1.2) по направлению x определяется как алгебра Ли–Райнхарта [35] над кольцом локально-аналитических функций от динамических переменных, порожденная набором векторных полей, называемых характеристическими операторами (см. [18]): Отображение, действующее по правилу является автоморфизмом алгебры Lx (см. [27]). Для образующих алгебры имеем равенстваУсловие конечномерности алгебры Lx является необходимым и достаточным условием существования полного набора x-интегралов системы (1.2). Поэтому, для того чтобы система (1.2) была интегрируема в смысле Дарбу, необходимо, чтобы алгебра Lx имела конечную размерность. Этот факт лежит в основе классификационного алгоритма, которым мы пользуемся при уточнении вида функции (2.1). Для того чтобы цепочка (1.1) с функцией f, заданной в виде (2.1), допускала вырожденные обрывы с обеих сторон, необходимо, чтобы она имела стационарное решение вида ujn(x)=0. Это налагает определенные ограничения на коэффициенты Ai(τn), они должны быть непрерывны в нуле, и, кроме того, требуется, чтобы Ai(0)=0. С учетом этого предположения система (1.2) принимает вид
uN1n+1,x=uN1n,x+A1(τN1n)uN1nuN1−1n+1+A5(τN1n)uN1n+A6(τN1n)uN1−1n+1+A7(τN1n),ujn+1,x=ujn,x+fjn,u−N2n+1,x=u−N2n,x+A2(τ−N2n)u−N2+1nu−N2n++A4(τ−N2n)u−N2+1n+A5(τ−N2n)u−N2n+A7(τ−N2n),
где fj=f(uj+1n,ujn,ujn+1,uj−1n+1), а функция f задана в (2.1). Ниже мы будем пользоваться следующим определением. Определение 1. Будем называть цепочку (1.1), (2.1) интегрируемой, если характеристические алгебры системы (2.6) по направлениям n и x имеют конечную размерность для любого выбора N1⩾0 и N2⩾0. 2.2. Поиск функции A0Цель настоящего раздела состоит в определении функции A0(τ). Имеет место следующая Доказательство. Сосредоточимся на подалгебре алгебры Lx, порожденной операторами1 Рассмотрим последовательность кратных коммутаторов этих операторов: Автоморфизм (2.4) алгебры Lx является полезным инструментом при изучении последовательностей. Пользуясь формулами (2.5), легко вывести следующие соотношения: Можно проверить, что для k⩾2 оператор DnTkD−1n выражается не только через элементы последовательности (2.9), но и через операторы, полученные применением степеней оператора adT0, действующего по правилу adT0Z=[T0,Z]. Поэтому мы расширим последовательность (2.9) следующим образом. Введем мультииндекс α=(k,0,i1,i2,…,ir−1,ir), где k – некоторое натуральное число, переменная ij для любого j принимает одно из двух значений 0 или 1. Мультииндекс присваивается оператору согласно формуле Мы частично упорядочим множество операторов, пронумерованных мультииндексом, введением функции Опишем действие автоморфизма (2.4) на элементы последовательности операторов (2.10). Легко можно проверить следующую формулу: Для операторов Tα, не принадлежащих последовательности (2.9), имеем Построим базис P в линейном пространстве, порожденном элементами последовательности кратных коммутаторов операторов T0, T. Для этого выполним следующие действия.
В силу конечномерности рассматриваемой алгебры Ли–Райнхарта начиная с некоторого натурального N оператор TN+1 линейно выражается через операторы Tβ, для которых m(β)⩽N: По построению для Tγ∉P, m(γ)⩽N, имеем также представление Далее нам понадобится следующая лемма.Лемма 1. Для любого векторного поля Tα∉P, m(α)=N в представлении коэффициент μ(α,N) является константой. Доказательство. Применим к последнему равенству оператор сопряжения и получим С другой стороны, имеем Сравнивая в этих двух представлениях коэффициенты при TN, находим μ(α,N)=Dn(μ(α,N)), откуда следует, что μ(α,N) является постоянной. Лемма доказана. Продолжим доказательство теоремы 1. Подействуем на разложение (2.12) автоморфизмом (2.4) и получим слева
TN+1+A0TN−(A0u0n+A3)∑m(β)=NTβ+∑m(β)⩽N−1η(N+1,β)Tβ==μ(N+1,N)TN+∑Tβ∈P,m(β)⩽Nμ(N+1,β)Tβ+A0TN−−(A0u0n+A3)∑m(β)=NTβ+∑m(β)⩽N−1η(N+1,β)Tβ,
а справа соответственно Сравнивая коэффициенты при операторе TN справа и слева, приходим к равенству Поскольку в (2.13) функции A0 и A3 зависят только от разности u0n−u0n+1, то очевидно, что коэффициент μ=μ(N+1,N) может зависеть только от u0n. Исследуем уравнение (2.13) на искомую функцию μ=μ(u0n): Дифференцируя равенство (2.14) сначала по u0n+1, а затем по u0n, получим дифференциальные уравнения Отсюда следует, что должны выполняться равенства
\begin{equation*}
A_0''(u^0_n-u^0_{n+1})=0,\qquad c(A_0'(u^0_n-u^0_{n+1})+A_3''(u^0_n-u^0_{n+1}))=0.
\end{equation*}
\notag
Решая первое из уравнений, находим где c_0 и c_{0,0} – некоторые константы. Если c\neq 0, то из второго уравнения находим функцию A_3:
\begin{equation*}
A_3(u^0_n-u^0_{n+1})=-\frac{c_0}{2}(u^0_n-u^0_{n+1})^2+c_{3,1}(u^0_n-u^0_{n+1})+c_{3,0}.
\end{equation*}
\notag
Найденные выражения для A_0 и A_3 подставим в первое из уравнений (2.15) и получим условие
\begin{equation*}
\mu'(u_{n+1}^0)=-c_0+cc_0u_n^0+c(-c_0(u^0_n-u^0_{n+1})+c_{3,1}),
\end{equation*}
\notag
из которого следует, что
\begin{equation*}
\mu(u_{n+1}^0)=\frac{cc_0}{2}(u_{n+1}^0)^2+(cc_{3,1}-c_0)u_{n+1}^0+k,
\end{equation*}
\notag
где k – некоторая постоянная. Подставляя найденные функции в равенство (2.14), после несложных преобразований приходим к соотношению Отсюда в силу сделанного выше предположения о том, что c\neq 0, получим c_{0,0}=0 и c_{3,0}=0. Следовательно, искомые функции имеют вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_0(u^0_n-u^0_{n+1})&=c_0(u^0_n-u^0_{n+1}), \\ A_3(u^0_n-u^0_{n+1})&=-\frac{c_0}{2}(u^0_n-u^0_{n+1})^2+c_{3,1}(u^0_n-u^0_{n+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Остается исследовать случай c=0. В этом случае равенство (2.14) принимает вид Исследуем это уравнение, следуя схеме, использованной выше, и найдем A_0(u^0_n-u^0_{n+1})=c_0(u^0_n-u^0_{n+1}), при этом никаких условий на функцию A_3(u^0_n-u^0_{n+1}) не получается. Окончательно имеем Теорема доказана.2.3. Уточнение функций A_1, A_2 и A_5Налагая на цепочку (1.1), (2.1) вырожденные условия обрыва u^{-1}_n=0 и u^{2}_n=0, получаем систему двух уравнений
\begin{equation}
\begin{cases} u^0_{n+1,x}=u^0_{n,x}+A_2u^1_nu^0_n+A_4u^1_n+A_5u^0_n+A_7,\\ u^1_{n+1,x}=u^1_{n,x}+\bar{A}_1u^1_nu^{0}_{n+1}+\bar{A}_5u^1_n+\bar{A}_6u^{0}_{n+1}+\bar{A}_7, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.16}
где A_i=A_i(u^0_n-u^0_{n+1}), \bar{A}_i=A_i(u^1_n-u^1_{n+1}). При таких условиях обрыва характеристические операторы X_0, X_1 и Y имеют вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_0&=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\frac{\partial}{\partial u^0_k}, \qquad X_1=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\frac{\partial}{\partial u^1_k},\\ Y&=f\frac{\partial}{\partial u^0_1}+g\frac{\partial}{\partial u^1_1}+(f+f_1)\frac{\partial}{\partial u^0_2}+(g+g_1)\frac{\partial}{\partial u^1_2}-{}\\ &\quad-f_{-1}\frac{\partial}{\partial u^0_{-1}}+g_{-1}\frac{\partial}{\partial u^1_{-1}}-(f_{-1}+f_{-2})\frac{\partial}{\partial u^0_{-2}}-(g_{-1}+g_{-2})\frac{\partial}{\partial u^1_{-2}}+\cdots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} f=A_2u^1_nu^0_n+A_4u^1_n+A_5u^0_n+A_7,&\qquad g=\bar{A}_1u^1_nu^{0}_{n+1}+\bar{A}_5u^1_n+\bar{A}_6u^{0}_{n+1}+\bar{A}_7,\\ f_i=D_n^if,&\qquad g_i=D_n^ig. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Ниже нам понадобятся операторы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y_0&=[X_0,Y]=(A_2u^1_n+A_5)\frac{\partial}{\partial u^0_1}+(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)\frac{\partial}{\partial u^1_1}+\cdots,\\ Y_{0,1}&=[X_1,Y_0]=A_2u^1_n\frac{\partial}{\partial u^0_1}+\bar{A}_1\frac{\partial}{\partial u^1_1}+\cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пользуясь этими операторами, построим последовательность операторов, лежащих в характеристической алгебре системы (2.16):
\begin{equation}
T=Y_0,\quad T_0=Y_{0,1}, \quad T_1=[T,T_0], \quad T_2=[T,T_1], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{2.17}
На элементы этой последовательности автоморфизм характеристической алгебры действует следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nX_0D^{-1}_n&=X_0, \qquad D_nX_1D^{-1}_n=X_1, \qquad D_nYD^{-1}_n=Y-fX_0-gX_1,\\ D_nTD^{-1}_n&=T-(A_2u^1_n+A_5)X_0-(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)X_1,\\ D_nT_0D^{-1}_n&=T_0-A_2X_0-\bar{A}_1X_1,\\ D_nT_1D^{-1}_n&=T_1-\bar{A}_1T_0+b_{1,1}X_0+b_{2,1}X_1,\\ D_nT_2D^{-1}_n&=T_2-\bar{A}_1T_1+T(\bar{A}_1)T_0-b_{2,1}T_0-(A_2u^1_n+A_5)[X_0,T_1]-{}\\ &\quad-(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)[X_1,T_1]+b_{1,2}X_0+b_{2,2}X_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
b_{1,1}=-T(A_2)+T_0(A_2u^1_n+A_5)-\bar{A}_1A_2, \qquad b_{2,1}=-T(\bar{A}_1)+T_0(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)-(\bar{A}_1)^2.
\end{equation*}
\notag
Можно показать, что операторы последовательности коммутируют с X_0, т. е. [X_0,T_k]=0 при k\geqslant1. А коммутирование T_k с X_1 приводит к операторам, вообще говоря, не выражающимся через элементы последовательности (2.17). Поэтому, для того чтобы получить замкнутую относительно действия автоморфизма последовательность, необходимо дополнить (2.17) операторами, пронумерованными мультииндексами. По аналогии с предыдущим разделом определим мультииндекс \alpha=(k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1},i_r) по правилу
\begin{equation}
T_\alpha= \begin{cases} [X_1,T_{k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1}}], &\text{если}\quad i_r=0,\\ [T,T_{k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1}}], &\text{если}\quad i_r=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.18}
Опишем действие автоморфизма на операторы T_\alpha:
\begin{equation*}
D_nT_\alpha D^{-1}_n=T_\alpha+\sum_{m(\beta)\leqslant m(\alpha)-1}\eta(\alpha,\beta)T_{\beta}.
\end{equation*}
\notag
Функция m(\beta) определена в (2.11). Для элементов последовательности (2.17) действие автоморфизма определяется равенством
\begin{equation*}
D_nT_kD^{-1}_n=T_k-\bar{A}_1T_{k-1}-(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)\sum_{m(\beta)=k-1}T_{\beta}+\sum_{m(\beta)\leqslant k-2}\eta(k,\beta)T_{\beta}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 2. Если характеристическая алгебра системы (2.16) имеет конечную размерность, то
\begin{equation*}
A_1(\tau)=c_1\tau, \qquad A_2(\tau)=c_2\tau, \qquad A_5(\tau)=c_5\tau, \qquad A_7(\tau)=-\frac{c_5}{2}\tau^2+c_7\tau,
\end{equation*}
\notag
где c_1, c_2, c_5, c_7 – некоторые постоянные. Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, поэтому мы дадим его схематично. При доказательстве того, что A_1(\tau)=c_1\tau, мы используем расширенную последовательность, полученную объединением последовательностей (2.17) и (2.18). Для доказательства равенства A_2(\tau)=c_2\tau мы строим аналогичные последовательности, беря в качестве T и T_0 операторы Y_1=[X_1,Y] и Y_{0,1}=[X_0,Y_1]. Для уточнения вида функции A_5 воспользуемся редукцией цепочки (1.1), (2.1): полученной наложением вырожденных граничных условий u^{-1}_n=0 и u^{1}_n=0. Класс уравнений вида u_{n+1,x}=u_{n,x}+f(u_n,u_{n+1}), являющихся интегрируемыми по Дарбу, описан в работах [29], [30]. Из результатов этих работ вытекает, что уравнение (2.19) должно иметь вид
\begin{equation*}
u_{n+1,x}=u_{n,x}+\frac{c_5}{2}(u^2_n-u^2_{n+1})+c_7(u_n-u_{n+1}),
\end{equation*}
\notag
где c_5, c_7 – постоянные параметры. Следовательно,
\begin{equation*}
A_5=c_5(u_n-u_{n+1}),\qquad A_7=-\frac{c_5}{2}(u_n-u_{n+1})^2+c_7(u_n-u_{n+1}).
\end{equation*}
\notag
2.4. Замена переменных в характеристических векторных поляхДля упрощения структуры характеристических операторов перейдем от стандартного набора динамических переменных \{ u^j_k\} к новым переменным \{ \tau ^j_k, \bar u^j_0\}, полагая \tau ^j_k=u^j_k-u^j_{k+1}, \bar u^j_0= u^j_0. Тогда операторы дифференцирования преобразуются по правилу
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial u^j_0}=\frac{\partial}{\partial \bar u^j_0}+\frac{\partial}{\partial \tau^j_0}-\frac{\partial}{\partial \tau^j_{-1}},
\end{equation*}
\notag
а также при k\neq 0
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial u^j_k}=\frac{\partial}{\partial \tau^j_k}-\frac{\partial}{\partial \tau^j_{k-1}}.
\end{equation*}
\notag
В результате характеристические операторы принимают более простой компактный вид:
\begin{equation*}
Y=\sum_{j=-N_2}^{N_1}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f^j_{n}\frac{\partial}{\partial \tau^j_{n}}, \qquad X_j=\frac{\partial}{\partial u^j_{0}}, \quad j=-N_2,-N_2+1,\ldots,N_1.
\end{equation*}
\notag
Здесь и всюду ниже мы опускаем черту над u^j_0. Положим Y_j:=[X_j,Y] и сосредоточимся на подалгебре L'_x характеристической алгебры, порожденной операторами \{ Y_j\}^{N_1}_{j=-N_2}. Оператор Y_j имеет следующий явный вид:
\begin{equation}
Y_j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_j(f^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial \tau^{j-1}_{k}}+ X_j(f^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial \tau^{j}_{k}}+ X_j(f^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial \tau^{j+1}_{k}}.
\end{equation}
\tag{2.20}
Предполагается, что в представлении (2.20) функции f^j_k=f(u^{j+1}_{k},u^{j}_k,u^j_{k+1 },u^{j-1}_{k+1}) переписаны в новых переменных с учетом равенств
\begin{equation*}
u^j_k=\begin{cases} u^j_0-\sum_{m=0}^{k-1}\tau^{j}_{m}& \text{для} \quad k>0,\\ u^j_0+\sum_{m=-1}^{k}\tau^{j}_{m}& \text{для} \quad k<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Формулу (2.20) приведем к следующему виду, собрав коэффициенты при независимых переменных u^{j-1}_0, u^j_0, u^{j+1}_0 и т. д.:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y&=u^{j-2}_0u^{j-1}_0S_0^{j-1}+u^{j-1}_0u^{j+1}_0S_0^{j+1}+u^{j+1}_0u^{j+2}_0S_0^{j+1}+{} \\ &\quad+u^{j-2}_0S_0^{j-1}+u^{j+2}_0S_1^{j+1}+u^{j-1}_0S_2^{j}+u^{j+1}_0S_2^{j+1}+S_3^j, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где S^j_m – преобразованные операторы, имеющие громоздкие выражения. После некоторого упрощения, связанного с заменой \tau^j_k=e^{w^j_k}, они приводятся к виду
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S^j_0&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_0 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\qquad S^j_1=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_0 \tilde \rho^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_3(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \\ S^j_2&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} +c_1\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+ c_0\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ c_0 \tilde \rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_2 \tilde \rho^{j-1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ \tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} + c_0 \tilde \rho^{j-1}_k \tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{}\\ &\quad+\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ c_0 \tilde \rho^{j+1}_k \tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} + c_1 \tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+ c_2 \tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+{}\\ &\quad+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+c_0 \tilde \rho^{j+1}_k \tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+{}\\ &\quad+c_1\tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+ \tilde A_3(w^{j+1}_{k})\tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
где \tilde A_s(w^j_k)=A_s(e^{w^j_k})e^{-w^j_k} для s=3,4,6, функция \tilde \rho^{j}_i имеет представление
\begin{equation}
\tilde \rho^{j}_i= \begin{cases} -e^{w^j_0}-e^{w^j_1}-e^{w^j_2}-\cdots-e^{w^j_{i-1}}, & i\geqslant1,\\ 0, & i=0, \\ e^{w^j_{-1}}+e^{w^j_{-2}}+e^{w^j_{-3}}+\cdots+e^{w^j_{i}}, & i\leqslant -1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.22}
Здесь -N_2+1\leqslant j \leqslant N_1-1. Воспользовавшись условием конечномерности построенной выше подалгебры L'_x характеристической алгебры, можно доказать следующее утверждение, уточняющее вид искомой функции f. Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть c_0\neq 0. Рассмотрим операторы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_0&=[S_0^{j+2},S_2^{j+1}]=c_0^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde \rho^{j+2}_k\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ W_1&=[S_0^{j+1},S_2^{j}]=c_0^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde \rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Построим последовательность кратных коммутаторов этих операторов:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_2&=[W_0,W_1]=c_0^4\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde\rho^{j+2}_k \tilde\rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ W_3&=[W_0,W_2]=c_0^6\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\tilde\rho^{j+2}_k)^2 \tilde\rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ W_N&=[W_0,W_{N-1}]=c_0^{2N}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\tilde\rho^{j+2}_k)^{N-1} \tilde\rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Легко проверить, что линейная оболочка, натянутая на элементы этой последовательности, имеет бесконечную размерность. Действительно, для набора операторов W_1, W_2, …, W_N определитель части матрицы коэффициентов
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} c_0^2\tilde\rho^{j+1}_0 & c_0^2\tilde\rho^{j+1}_1 & \ldots & c_0^2\tilde\rho^{j+1}_{N-1}\\ c_0^4\tilde\rho^{j+1}_0\tilde\rho^{j+2}_0 & c_0^4\tilde\rho^{j+1}_1\tilde\rho^{j+2}_1 & \ldots & c_0^4\tilde\rho^{j+1}_{N-1}\tilde\rho^{j+2}_{N-1}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ c_0^{2N}\tilde\rho^{j+1}_0(\tilde\rho^{j+2}_0)^{N-1} & c_0^{2N}\tilde\rho^{j+1}_1(\tilde\rho^{j+2}_1)^{N-1} & \ldots & c_0^{2N}\tilde\rho^{j+1}_{N-1}(\tilde\rho^{j+2}_{N-1})^{N-1} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
отличен от нуля при c_0\neq 0, поскольку он сводится к определителю Вандермонда. Поэтому наше предположение, что c_0\neq 0, неверно. Теорема доказана. Условие c_0=0 заметно упрощает набор операторов (2.21):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^j_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \tilde A_3(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\qquad S^j_2=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} +c_1\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_2 \tilde \rho^{j-1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ \tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{}\\ &\quad+ c_1 \tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+c_2 \tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+{}\\ &\quad+c_1\tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+ \tilde A_3(w^{j+1}_{k})\tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Основная цель наших построений ниже состоит в отыскании наиболее простых операторов в L_x с тем, чтобы вывести эффективные условия на искомую функцию f из конечномерности алгебры. Оператор R^j_0=c_2S^j_2-c_1S^{j+1}_2\in L_x, очевидно, имеет следующий простой вид:
\begin{equation}
R^j_0=c_2^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}-c_1^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}.
\end{equation}
\tag{2.23}
Ниже нам понадобятся операторы R^j_1:=[R^j_0,S^{j-1}_3] и R^j_2:=[R^j_0,S^{j+1}_3], которые также имеют простые явные выражения
\begin{equation*}
R^j_1=c_1^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j}_{k})\tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\qquad R^j_2=c_2^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j}_{k})\tilde \rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Предположим, что выполняются неравенства c_1\neq0, c_2\neq0, и построим новый оператор \bar{S}^j_3=S^j_3-R^{j+1}_1/c_1^2-R^{j-1}_2/c_2^2. Дадим его явный вид:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{S}_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_2 \tilde \rho^{j-1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ \tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ c_1 \tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+{}\\ &\quad+c_2 \tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+c_1\tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Оператор \bar{S}_3^j нуждается в дальнейшем упрощении. Рассмотрим коммутаторы \bar{W}^j=[S^j_2,\bar{S}^{j+1}_3], \bar{H}^j=[S^j_2,\bar{S}^{j-1}_3], которые представимы в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar{W}^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2 \tilde \rho^{j}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4'(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+ c_1 \tilde \rho^{j}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ \bar{H}^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2 \tilde \rho^{j}_k \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6'(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+c_1\tilde \rho^{j}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
Итогом наших построений являются следующие два оператора из L_x:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{Q}^j&=\frac{1}{c_1}[S^j_2,\bar{W}^j]-\bar{W}^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\tilde A_4''(w^{j}_{k})-\tilde A_4'(w^{j}_{k}))\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ \tilde{Q}^j&=\frac{1}{c_1}[S^j_2,\bar{H}^j]-\bar{H}^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\tilde A_6''(w^{j}_{k})-\tilde A_6'(w^{j}_{k}))\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Оба эти оператора имеют вид Q^j=\sum_k q(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. Сначала мы найдем возможные варианты функции q(w) при условии конечномерности алгебры L_x, затем по найденным q(w) определим возможные значения искомых функций \tilde A_4(w) и \tilde A_6(w), воспользовавшись равенствами q(w)=\tilde A_4''(w)-\tilde A_4'(w) и q(w)=\tilde A_6''(w)-\tilde A_6'(w). Теорема 4. Если алгебра Ли–Райнхарта, порожденная операторами
\begin{equation*}
S^j_2=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} +c_1\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad \quad Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} q(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},
\end{equation*}
\notag
имеет конечную размерность, то функция q(w) представима в одной из следующих форм: где k_{i,j} – некоторые постоянные. Доказательство теоремы можно найти в работе [29]. Теорема 5. Пусть q(w)=k_{0,1}+k_{1,1}w+k_{2,1}w^2 и алгебра Ли–Райнхарта, порожденная операторами
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^j_2&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} +c_1\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} q(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ \bar{H}^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2 \tilde \rho^{j}_k \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6'(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+c_1\tilde \rho^{j}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
имеет конечную размерность. Тогда k_{1,1}=0 и k_{2,1}=0. Доказательство. Оператор Q^j имеет вид
\begin{equation*}
Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (k_{0,1}+k_{1,1}w^{j}_{k}+k_{2,1}(w^{j}_{k})^2)\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим операторы следующего вида:
\begin{equation*}
[S^j_2,Q^j]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (k_{1,1}+2k_{2,1}w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad [S^j_2,[S^j_2,Q^j]]=2k_{2,1}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку эти операторы принадлежат алгебре L_x, то при выполнении условия k_{2,1}\neq 0 операторы
\begin{equation*}
\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j}_{k})^2\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}
\end{equation*}
\notag
также лежат в L_x. Рассмотрим последовательность операторов
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P^j_0&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ P^j_1&=[P^j_0,\bar{H}^j]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2w^{j}_{k}\tilde{\rho}^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_1(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ P^j_2&=[P^j_0,P^j_1]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2(w^{j}_{k})^2\tilde{\rho}^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_2(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где F_1(w^{j}_{k}) и F_2(w^{j}_{k}) – некоторые функции, явный вид которых мы не уточняем. Нетрудно проверить, что в общем случае оператор P^j_m=[P^j_0,P^j_{m-1}] имеет вид
\begin{equation*}
P^j_m=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2(w^{j}_{k})^m\tilde{\rho}^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_m(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad m\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Ясно, что линейная оболочка векторных полей \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j}_{k})^m\tilde{\rho}^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}, являющихся проекциями операторов P^j_m, образует при 1\leqslant m <\infty бесконечномерное пространство. Следовательно, предположение о том, что k_{2,1}\neq 0, неверно. Поэтому k_{2,1}=0. Аналогично можно доказать, что k_{1,1}=0. В итоге получаем q(w)=k_{0,1}. Теорема доказана. Полагая q(w)=\tilde A_4''(w)-\tilde A_4'(w) и воспользовавшись теоремами 4 и 5, приходим к дифференциальному уравнению на искомую функцию \tilde A_4(w): \tilde A_4''(w)-\tilde A_4'(w)=k_4, решение которого имеет вид Аналогично можно показать, что Исследуем случай 2 из теоремы 4.Теорема 6. Предположим, что алгебра Ли–Райнхарта, порожденная операторами
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^j_2&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} +c_1\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} q(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ \bar{H}^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2 \tilde \rho^{j}_k \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6'(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+c_1\tilde \rho^{j}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
имеет конечную размерность, а функция q(w) имеет вид q(w)=k_{0,2}+k_{1,2}e^{\lambda w}+k_{2,2}e^{-\lambda w}. Тогда q(w)=k_{0,2} или q(w)=k_{0,2}+k_{3}e^{-w/m}, где m – целое положительное число, k_3 – некоторая постоянная, отличная от нуля. Доказательство. Из очевидных равенств
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[S^j_2,Q^j]=\lambda k_{1,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-\lambda k_{2,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{-\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ &[S^j_2,[S^j_2,Q^j]]=\lambda^2 k_{1,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\lambda^2 k_{2,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{-\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
следует, что операторы
\begin{equation*}
Q_\lambda = k_{1,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad Q_{-\lambda} = k_{2,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{-\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}
\end{equation*}
\notag
лежат в L_x. Рассмотрим последовательность операторов
\begin{equation*}
Q_\lambda, \quad Q_1=[Q_\lambda,\bar{H}^j], \quad Q_2=[Q_\lambda,Q_1], \quad Q_3=[Q_\lambda,Q_2], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Для этих операторов легко найти явное представление:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_1&=k_{1,2}c_2\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\lambda w^{j}_{k}}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_1(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ Q_2&=k^2_{1,2}c_2(\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{2\lambda w^{j}_{k}}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_2(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ Q_m&=k^m_{1,2}c_2(\lambda+1)(2\lambda+1)\ldots((m-1)\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{m\lambda w^{j}_{k}}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{} \\ &\quad+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_m(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для того чтобы последовательность Q_\lambda, Q_1, Q_2, \ldots имела конечную размерность, необходимо, чтобы для некоторого целого m_1>0 выполнялось равенство m_1\lambda+1=0 или k_{1,2}=0. Заменяя \lambda \mapsto -\lambda, из этих же соображений находим, что для некоторого m_2>0 должно выполняться m_2\lambda-1=0 или k_{2,2}=0. В итоге получаем, что функция q(w) может иметь одно из следующих представлений: где m_1, m_2 – целые положительные числа. Фактически должно выполняться одно из двух условий: где k_{0,2} и k_3 – некоторые постоянные, а m – целое положительное число. Теорема доказана. Воспользуемся теоремой 6 для уточнения функций \tilde A_4(w) и \tilde A_6(w). В силу сказанного выше имеем уравнения
\begin{equation*}
\tilde A_4''(w)-\tilde A_4'(w)=k_{0,2}+k_3e^{-w/m}, \qquad \tilde A_6''(w)-\tilde A_6'(w)=\bar{k}_{0,2}+\bar{k}_3e^{-w/\bar{m}}.
\end{equation*}
\notag
Их решения имеют вид
\begin{equation}
\tilde A_4(w) =r_0+r_1e^w-k_{0,2}w+\frac{m^2}{m+1}k_3e^{-w/m},
\end{equation}
\tag{2.27}
\begin{equation}
\tilde A_6(w) =\bar{r}_0+\bar{r}_1e^w-\bar{k}_{0,2}w+\frac{\bar{m}^2}{\bar{m}+1}\bar{k}_3e^{-w/\bar{m}}.
\end{equation}
\tag{2.28}
В дальнейшем мы будем пользоваться представлениями (2.27) и (2.28) для функций \tilde A_4(w) и \tilde A_6(w), поскольку ранее найденные представления (2.25) и (2.26) являются частными случаями (2.27) и (2.28). Доказательство. Воспользуемся ранее введенным оператором \bar W^j, переписав его с учетом конкретного представления (2.27) искомой функции \tilde A_4(w):
\begin{equation*}
\bar W^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \biggl(c_2 \tilde \rho^{j}_k+ r_1e^{w^{j}_{k}}- k_{0,2}-\frac{m}{m+1} k_3e^{-w^{j}_{k}/m} \biggr) \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_1 \tilde \rho^{j}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Вычислим коммутатор операторов S^j_2\in L_x и \bar Q^j\in L_x, имея в виду уточненное представление оператора \bar Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (k_{0,2}+ k_3e^{-w^{j}_{k}/m}) \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}
\begin{equation*}
[S^j_2, \bar Q^j]=-\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{c_1}{m} k_3e^{-w^{j}_{k}/m} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}\in L_x.
\end{equation*}
\notag
Но тогда очевидно, что оператор \sum_{k=-\infty}^{+\infty} k_{0,2} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, а также оператор
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (c_2 \tilde \rho^{j}_k+r_1e^{w^{j}_{k}}) \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_1 \tilde \rho^{j}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.29}
тоже лежат в L_x.
Рассмотрим теперь последовательность операторов в L_x, заданную в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W^j,\,\,\, W^{j-1}, \,\,\, W^j_1=[W^{j-1},W^j], \,\,\, W^j_2=[W^{j-1},W^j_1], \,\,\, W^j_3=[W^{j-1},W^j_2], \,\, \dots\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.30}
Выясним, как действует автоморфизм (2.4) на элементы последовательности. Для этого нам понадобятся следующие простые соотношения:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_nW^jD^{-1}_n=W^j+e^{w^{j}_{0}}S_2^{j+1}, \qquad [S_2^j, W^j]=c_1W^j,\\ [S_2^j, W^{j-1}]=c_2W^{j-1}, \qquad [S_2^j, W^j_m]=(mc_2+c_1)W^j_m \quad \text{при}\quad m\geqslant1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
при помощи которых можно показать, что имеют место равенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nW^j_1D^{-1}_n&=W^j_1+c_1e^{w^{j-1}_{0}}W^{j},\\ D_nW^j_2D^{-1}_n&=W^j_2+(2c_1+c_2)e^{w^{j-1}_{0}}W^{j}_1+c_1(r_1+c_1+c_2)e^{w^{j-1}_{0}}W^{j},\\ D_nW^j_3D^{-1}_n&=W^j_3+3(c_1+c_2)e^{w^{j-1}_{0}}W^{j}_2+(c_2(2c_1+c_2)+ (3c_1+c_2)(r_1+c_1+c_2))\times{}\\ &\quad\times e^{2w^{j-1}_{0}}W^{j}_1+c_1(c_1+c_2+r_1)(c_1+2r_1+c_2)e^{3w^{j-1}_{0}}W^{j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В общем случае имеем
\begin{equation*}
D_nW^j_mD^{-1}_n=W^j_m+\biggl(mc_1+\frac{m(m-1)}{2}c_2\biggr)e^{w^{j-1}_{0}}W^{j}_{m-1}+\cdots, \quad m\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
где многоточием обозначена линейная комбинация младших членов последовательности.
Поскольку L_x имеет конечную размерность, существует такое целое число M\geqslant 1, что имеет место представление Применим автоморфизм (2.4) к обеим частям последнего равенства и упростим результат с помощью приведенных выше формул. В итоге придем к соотношению
\begin{equation*}
\lambda W^j_M+\biggl((M+1)c_1+\frac{M(M+1)}{2}c_2\biggr)e^{w^{j-1}_{0}}W^j_M=D_n(\lambda)W^j_M+\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
Сравнивая коэффициенты при операторе W^j_M, получим уравнение на \lambda
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=\biggl((M+1)c_1+\frac{M(M+1)}{2}c_2\biggr)e^{w^{j-1}_{0}}.
\end{equation*}
\notag
Функция \lambda может зависеть только от конечного числа динамических переменных, поэтому полученное равенство может выполняться лишь в том случае, когда правая часть уравнения равна нулю. Отсюда следует условие на параметры при M\geqslant 1
Случай M=0, т. е. когда выполняется равенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W^j_{1}=\lambda W^j+\nu S_2^{j+1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.33}
следует рассмотреть отдельно. Под действием автоморфизма равенство (2.33) преобразуется к виду
\begin{equation*}
\lambda W^j+\nu S^{j+1}_2+c_1e^{w^{j-1}_{0}}W^j=D_n(\lambda)(W^j+e^{w^{j}_{0}}S^{j+1}_2)+D_n(\nu) S^{j+1}_2.
\end{equation*}
\notag
Сравнивая коэффициенты при независимых операторах W^j и S^{j+1}_2, получаем уравнения
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=c_1e^{w^{j-1}_{0}}, \qquad D_n(\nu)-\nu=-D_n(\lambda)e^{w^{j}_{0}},
\end{equation*}
\notag
из которых следует, что
Схему рассуждений, предложенную выше, можно применить еще раз, заменив оператор W^j оператором
\begin{equation}
H^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2 \tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +(\bar{r}_1e^{w^{j+1}_{k}} + c_1 \tilde \rho^{j+1}_k) \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},
\end{equation}
\tag{2.35}
который также лежит в L_x, в чем нетрудно убедиться, используя те же соображения, что и в случае W^j, заменив \bar W^j на \bar H^j (см. формулу (2.34)). В этом случае вместо (2.30) мы воспользуемся последовательностью следующего вида:
\begin{equation}
H^{j+1},\quad H^{j}, \quad H^j_1=[H^{j+1},H^j], \quad H^j_2=[H^{j+1},H^j_1], \quad H^j_3=[H^{j+1},H^j_2], \quad \dots\,.
\end{equation}
\tag{2.36}
Опуская подробное изложение всей конструкции, мы приведем только выводы. Если последовательность обрывается на первом шаге, получаем c_2=0; если последовательность обрывается на шаге с номером N\geqslant2, приходим к равенству Комбинируя эти условия с полученными ранее (см. (2.32), (2.34)), сделаем вывод, что должна реализоваться одна из следующих возможностей:
Предположим, что имеет место случай 2. Поскольку N=1, имеем представление из которого, подействовав автоморфизмом (2.4), можно получить соотношение
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda H^j_1&+\mu H^j+\eta S_2^{j+1}+c_2(\bar{r}_1-c_2)e^{2w^{j+2}_0}H^j+c_2(\bar{r}_1-c_2)e^{2w^{j+2}_0+w^{j+1}_0}S_2^{j+1}={}\\ &=D_n(\lambda)(H_1^j+c_2e^{w^{j+2}_0}H^j+c_2e^{w^{j+2}_0+w^{j+1}_0}S_2^{j+1})+{}\\ &\quad+D_n(\mu)(H^j+e^{w^{j+1}_0}S_2^{j+1})+D_n(\eta)S_2^{j+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Сравним коэффициенты при независимых операторах и получим следующие уравнения:
\begin{equation*}
H^j_2=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2^2\tilde \rho^{j+2}_k\tilde \rho^{j+1}_k(e^{w^{j+2}_k}-\tilde \rho^{j+2}_k) \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\qquad S_2^{j+1}=c_2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+c_1\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},
\end{equation*}
\notag
поэтому случай “б” не реализуется, если хотя бы одно из чисел c_1 и c_2 отлично от нуля.
Аналогично проверяется, что случай 4 также не реализуется. Остается проверить случай 3: N=2, M=2, c_1=-c_2. Поскольку имеет место равенство
\begin{equation*}
D_nW^j_3D^{-1}_n=W^j_3-c_2(c_2+2r_1)e^{2w^{j-1}_{0}}W^{j}_1-2c_2r_1^2e^{3w^{j-1}_{0}}W^{j},
\end{equation*}
\notag
случаю 3 соответствует разложение
\begin{equation*}
W^j_3=\lambda W^j_2+\mu W^{j}_1+\eta W^{j}+\theta S_2^{j+1},
\end{equation*}
\notag
из которого в силу (2.4) получаем соотношение
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_n(&\lambda)(W_2^j-c_2e^{w_0^{j-1}}W^{j}_1-c_2r_1e^{2w^{j-1}_{0}}W^{j})+D_n(\mu)(W^{j}_1-c_2e^{w^{j-1}_{0}}W^{j})+{}\\ &+D_n(\eta)(W^j+e^{w^j_0}S_2^{j+1})+D_n(\theta) S_2^{j+1}=\lambda W^j_2+\mu W^{j}_1+\eta W^{j}+\theta S_2^{j+1}-{}\\ &-c_2(c_2+2r_1)e^{2w^{j-1}_{0}}W^{j}_1-2c_2r_1^2e^{3w^{j-1}_{0}}W^{j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Сравнивая коэффициенты при независимых операторах, получим уравнения
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D_n(\lambda)-\lambda=0,\\ &D_n(\mu)-\mu=D_n(\lambda)c_2e^{w_0^{j-1}}-c_2(c_2+2r_1)e^{2w^{j-1}_{0}},\\ &D_n(\eta)-\eta=D_n(\lambda)c_2r_1e^{2w^{j-1}_{0}}+D_n(\mu)c_2e^{w^{j-1}_{0}}-2c_2r_1^2e^{3w^{j-1}_{0}},\\ &D_n(\theta)-\theta=-D_n(\eta)e^{w^j_0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из этих уравнений находим соответственно
2.5. Уточнение функций A_3, A_4 и A_6Выше было показано, что часть функций в (2.1) равна нулю, в результате чего функция f принимает вид
\begin{equation}
f(u^1_n, u^0_n, u^{0}_{n+1}, u^{-1}_{n+1})=A_3(\tau)u^1_nu^{-1}_{n+1}+A_4(\tau)u^1_n+ A_5(\tau)u^0_n+A_6(\tau)u^{-1}_{n+1}+A_7(\tau),
\end{equation}
\tag{2.38}
где \tau=u^0_n-u^{0}_{n+1}, причем A_3(\tau), A_4(\tau), A_6(\tau) остаются неизвестными функциями, в то время как функции A_5(\tau)=c_5\tau и A_7(\tau)=-c_5\tau^2/2+c_7\tau уже определены с точностью до констант. При этом подалгебра L'_x характеристической алгебры L_x, введенная в п. 2.4, порождается операторами
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S^j_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \tilde A_3(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad -N_2\leqslant j\leqslant N_1,\\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{}\\ &\quad+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+ \tilde A_3(w^{j+1}_{k})\tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.39}
Рассмотрим последовательность, порожденную кратными коммутаторами операторов S^j_3 и S^{j+1}_1:
\begin{equation}
R_1=[S^j_3,S^{j+1}_1], \quad R_2=[S^j_3,R_1], \quad R_3=[S^j_3,R_2], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{2.40}
Легко проверить, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5\tilde A'_3(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}, \\ R_2&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5\tilde A''_3(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}, \\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ R_m&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5\tilde A^{(m)}_3(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу конечномерности характеристической алгебры L_x для некоторого M оператор R_{M+1} должен линейно выражаться через операторы S_1^{j+1}, R_1, R_2, …, R_M, которые являются линейно независимыми:
\begin{equation}
R_{M+1}=\lambda_MR_M+\lambda_{M-1}R_{M-1}+\cdots+\lambda_1R_1+\lambda_0S^{j+1}_1.
\end{equation}
\tag{2.41}
Отметим, что автоморфизм (2.4) переводит операторы последовательности (2.40) в себя. Применим автоморфизм к (2.41) и получим
\begin{equation}
R_{M+1}=D_n(\lambda_M)R_M+D_n(\lambda_{M-1})R_{M-1}+\cdots+D_n(\lambda_1)R_1+D_n(\lambda_0)S^{j+1}_1.
\end{equation}
\tag{2.42}
Отсюда ясно, что коэффициенты \lambda_j постоянны. Переходя к координатным представлениям операторов, легко показать, что \tilde A_3(w) является квазиполиномом, который можно уточнить, пользуясь леммой 6 работы [29], и доказать, что функция \tilde A_3(w) имеет одну из следующих двух форм:
\begin{equation}
\tilde A_3(w) =c_{3,0}+c_{3,1}e^{\lambda w}+c_{3,2}e^{-\lambda w},
\end{equation}
\tag{2.44}
где c_{i,j} – некоторые постоянные. Рассмотрим сначала более подробно случай (2.43). Лемма 2. Если \tilde A_3(w) имеет вид (2.43), то справедливо равенство \tilde A_3(w)\equiv0. Доказательство. С учетом формулы (2.43) оператор S^j_1 представляется в виде
\begin{equation*}
S^j_1=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (c_{3,0}+c_{3,1}w^{j}_{k}+c_{3,2}(w^{j}_{k})^2)\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Легко показать, взяв кратные коммутаторы операторов S^j_3 и S^j_1, что при выполнении условия c_{3,2}\neq 0 операторы \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} и \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j}_{k})^2\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} лежат в L_x.
Рассмотрим последовательность операторов, заданных в виде
\begin{equation*}
Q^{j+3}, \quad P^j, \quad P^j_1=[Q^{j+3}, P^j], \quad P^j_2=[Q^{j+3}, P^j_1], \quad \ldots\,,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q^{j+3}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j+3}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j+3}_{k}},\\ &P^j=\mathrm{ad}^2_{S^{j+1}_3}S^{j}_3-c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \tilde A''_6(w^{j+2}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}+c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}, \\ &P^j_1=c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j+3}_{k}\tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}},\\ &P^j_2=P^j_1+c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j+3}_{k})^2\tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}},\\ &P^j_3=3P^j_2-2P^j_1+c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j+3}_{k})^3\tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
По индукции можно доказать, что оператор вида c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(w^{j+3}_{k})^m\tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}} лежит в L_x. Если c_{3,2}\neq 0, то линейная оболочка всех таких операторов имеет бесконечную размерность, что противоречит условию конечномерности алгебры L_x. Следовательно, c_{3,2}=0. Аналогично можно проверить, что c_{3,1}=0.
Докажем методом от противного, что c_{3,0}=0. Пусть c_{3,0}\neq 0, тогда операторы
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R^j&=[S^{j+1}_1,S^{j-1}_3]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}\rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ \bar{R}^j&=[S^{j-1}_1,S^{j+1}_3]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.45}
принадлежат L_x. Рассмотрим последовательность их кратных коммутаторов:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R^j_1&=[R^{j-1},\bar{R}^j]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^2\rho^{j}_k\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^2\rho^{j}_k\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}},\\ R^j_2&=[R^{j-1},R^j_1]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^3(\rho^{j}_k)^2\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-2\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^3(\rho^{j}_k)^2\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для m\geqslant 3 имеем
\begin{equation*}
R^j_m=[R^{j-1},R^j_{m-1}]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^{m+1}(\rho^{j}_k)^m\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-m\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^{m+1}(\rho^{j}_k)^m\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Если c_{3,0}\neq 0, легко показать, пользуясь формулой Вандермонда, что эта последовательность бесконечномерна, поэтому c_{3,0}=0. Лемма доказана. Согласно лемме 2 подалгебра L'_x порождена семейством операторов
\begin{equation*}
S_3^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\biggl( c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}\biggr), \quad -N_2\leqslant j\leqslant N_1.
\end{equation*}
\notag
Возьмем операторы S^j_3 и S^{j+1}_3 и рассмотрим последовательность их кратных коммутаторов:
\begin{equation*}
S_3^j, \quad S^{j+1}_3, \quad R_1=[S_3^j,S^{j+1}_3], \quad R_2=[S_3^j,R_1], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Они имеют следующее явное представление:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \tilde A'_4(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5\tilde A'_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ R_2&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c^2_5 \tilde A''_4(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_2(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ R_m&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c^m_5 \tilde A^{m}_4(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_m(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда можно вывести, что функция \tilde A_4(w) является квазимногочленом, для определения структуры которого можно воспользоваться схемой, изложенной в работе [29] (см. лемму 6 в указанной работе), и показать, что \tilde A_4(w) принадлежит одному из следующих классов:
\begin{equation}
\tilde A_4(w) =c_{4,0}+c_{4,1}e^{\lambda w}+c_{4,2}e^{-\lambda w}.
\end{equation}
\tag{2.47}
Аналогично, рассматривая последовательность операторов
\begin{equation*}
S_3^{j+1}, \quad S^{j}_3, \quad \bar{R}_1=[S^{j+1}_3,S_3^j], \quad \bar{R}_2=[S^{j+1}_3,\bar{R}_1], \quad \ldots\, ,
\end{equation*}
\notag
можно убедиться, что функция \tilde A_6(w) имеет одну из следующих форм:
\begin{equation}
\tilde A_6(w) =c_{6,0}+c_{6,1}e^{\lambda w}+c_{6,2}e^{-\lambda w}.
\end{equation}
\tag{2.49}
Наметим схему доказательства утверждения, что функции \tilde A_4(w) и \tilde A_6(w) либо одновременно полиномиальны, либо экспоненциальны. Предположим, что \tilde A_4(w) имеет вид (2.46), а \tilde A_6(w) – вид (2.49). Воспользуемся операторами
\begin{equation*}
S_3^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\biggl( c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
с верхними индексами j и j+2. Легко видеть, что
\begin{equation*}
Q=[S_3^{j+2},S_3^j]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \bigl(\tilde A_4(w^{j+1}_{k})\tilde A'_6(w^{j+1}_{k})-\tilde A'_4(w^{j+1}_{k})\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\bigr)\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Пусть задана последовательность
\begin{equation*}
Q, \quad Q_1=[S_3^{j+2},Q], \quad Q_2=[S_3^{j+2},Q_1], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Можно проверить, что коэффициент при \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}} в выражении для оператора Q_m имеет вид P_m(w^{j+1}_{k})e^{\lambda w^{j+1}_{k}}, где P_m(w^{j+1}_{k}) – полином, степень r_m которого неограниченно возрастает по m. Поэтому эти операторы являются линейно независимыми. Нетрудно показать, что в (2.47) и (2.49) параметр \lambda имеет одно и то же значение. Теперь рассмотрим случай (2.44). Лемма 3. Если функция \tilde A_3(w) имеет вид (2.44), то где c_{3} совпадает с одной из двух констант c_{3,1} и c_{3,2}, m>0 – целое число. Доказательство. Построим новые операторы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_\lambda&=\frac{1}{2\lambda^2}(\lambda\, \mathrm{ad}_{S_3^{j}}S_1^{j}+\mathrm{ad}^2_{S_3^{j}}S_1^{j})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,1}e^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ Q_{-\lambda}&=-\frac{1}{2\lambda^2}(\lambda\, \mathrm{ad}_{S_3^{j}}S_1^{j}-\mathrm{ad}^2_{S_3^{j}}S_1^{j})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,2}e^{-\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где S_1^{j} и S_3^{j} имеют вид (2.39). Возьмем последовательность операторов вида
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{ad}_{Q_\lambda}S_3^{j-2}&=c_{3,1}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde{\rho}^j_ke^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}},\\ \mathrm{ad}^2_{Q_\lambda}S_3^{j-2}&=c^2_{3,1}(\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde{\rho}^j_ke^{2\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}},\\ \mathrm{ad}^3_{Q_\lambda}S_3^{j-2}&=c^3_{3,1}(\lambda+1)(2\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde{\rho}^j_ke^{3\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}},\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ \mathrm{ad}^m_{Q_\lambda}S_3^{j-2}&=c^m_{3,1}(\lambda+1)(2\lambda+1)\cdots((m-1)\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde{\rho}^j_ke^{m\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поскольку \lambda\neq 0, эта последовательность может оборваться только за счет обращения в нуль сомножителя c_{3,1}(m\lambda+1). Поэтому если c_{3,1}\neq 0, то \lambda=-1/m, где m – целое положительное число.
Аналогично, рассматривая кратные коммутаторы операторов Q_{-\lambda} и S_3^{j-2}, мы приходим к условию c_{3,2}(\bar{m}\lambda-1)=0, из которого в силу c_{3,2}\neq 0 находим \lambda=1/\bar{m}, где \bar{m}>0 – целое число. Сравнивая найденные условия, приходим к трем возможным вариантам:
\begin{equation*}
1) \quad c_{3,1}=0, \quad c_{3,2}=0; \qquad 2) \quad c_{3,1}=0, \quad \lambda=\frac{1}{\bar{m}}; \qquad 3) \quad c_{3,2}=0, \quad \lambda=-\frac{1}{m}.
\end{equation*}
\notag
Из первого варианта следует, что \tilde A_3(w)=c_{3,0}. Этот случай был рассмотрен ранее (см. лемму 2), было показано, что тогда \tilde A_3(w)=0. Объединим второй и третий случаи, представив \tilde A_3(w) в виде Покажем, что константа c_{3,0} равна нулю. Для этого, предполагая, что c_{3,0}\neq 0, введем в рассмотрение несколько операторов из L'_x:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R^j&=S_1^{j}-\frac{m}{c_5}[S_3^{j},S_1^{j}]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} \in L'_x, \\ P^j&=m[R^{j+1},[R^{j+2},S_3^{j}]]+c_{3,0}[R^{j+2},S_3^{j}]=c_{3,0}^3\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^{j+2}_k\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ Q^j&=m[R^{j-1},[R^{j-2},S_3^{j}]]+c_{3,0}[R^{j-2},S_3^{j}]=c_{3,0}^3\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пара операторов P^{j-1}, Q^{j+1} в точности совпадает с парой операторов R^j, \bar{R}^j (см. формулу (2.45)), рассмотренных при доказательстве леммы 2. Там же было доказано, что последовательность кратных коммутаторов этих операторов линейно независима, если c_{3,0}\neq0, что противоречит условию конечномерности алгебры L_x. Полученное противоречие убеждает в том, что c_{3,0}=0. Лемма доказана. Найдем функции \tilde A_4(w) и \tilde A_6(w) в том случае, когда \tilde A_3(w) имеет вид (2.50). Перейдем к новым переменным, полагая тогда операторы S_1^{j} и S_3^{j} принимают вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^j_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{c_3}{m}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}},\\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \biggl(\frac{c_5}{m} y^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}+\bar A_4(y^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial y^{j-1}_{k}}+\frac{c_3}{m}\bar \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial y^{j-1}_{k}}+\\ &\quad+\bar A_6(y^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial y^{j+1}_{k}}+ \frac{c_3}{m}\bar \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial y^{j+1}_{k}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \bar A_i(y)=\frac{y}{m}\tilde{A}_i(m\log y), функция \bar{\rho}^j_i получается из (2.22) заменой e^{w^{j}_{k}} на (y^j_k)^m. Рассматривая две последовательности кратных коммутаторов операторов S_1^{j} и S_3^{j} вида \mathrm{ad}^{s}_{S^j_1}S_3^{j+1} и \mathrm{ad}^{s}_{S^j_1}S_3^{j-1}, s\geqslant1, можно показать, что пара функций (\bar A_4(y),\bar A_6(y)) может совпадать лишь с одним из следующих вариантов (1a, 1b) либо (2a, 2b):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1\mathrm{a}) \quad \bar A_4(y)=\bar{c}_{4,0}+\bar{c}_{4,1}y+\bar{c}_{4,2}y^2,\\ &2\mathrm{a}) \quad \bar A_4(y)=\bar{c}_{4,0}+\bar{c}_{4,1}e^{\lambda y}+\bar{c}_{4,2}e^{-\lambda y}, \quad \lambda\neq0,\\ &1\mathrm{b}) \quad \bar A_6(y)=\bar{c}_{6,0}+\bar{c}_{6,1}y+\bar{c}_{6,2}y^2,\\ &2\mathrm{b}) \quad \bar A_6(y)=\bar{c}_{6,0}+\bar{c}_{6,1}e^{\lambda y}+\bar{c}_{6,2}e^{-\lambda y}, \quad \lambda\neq0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \bar{c}_{i,j} – некоторые постоянные. В случае (2a, 2b) параметры \bar{c}_{4,1}, \bar{c}_{4,2}, \bar{c}_{6,1} и \bar{c}_{6,2} равны нулю. Действительно, воспользовавшись операторами S_1^{j} и S_3^{j+1}, можно показать, что операторы вида
\begin{equation*}
Q_\lambda=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\bar{c}_{4,1}e^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}, \qquad Q_{-\lambda}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\bar{c}_{4,2}e^{-\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}
\end{equation*}
\notag
лежат в алгебре L_x. Исследуем последовательность кратных коммутаторов S_3^{j} и Q_\lambda следующего вида:
\begin{equation*}
Q_1=[S_3^{j},Q_\lambda], \quad Q_2=[S_3^{j},Q_1], \quad Q_3=[S_3^{j},Q_2], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Легко проверить, что выполняются соотношения
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_1&=\bar{c}_{4,1}\frac{c_5}{m}\lambda\sum_{k=-\infty}^{+\infty} y^{j}_{k}e^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}-\frac{c_5}{m}Q_\lambda, \\ Q_2&=\bar{c}_{4,1}\biggl(\frac{c_5}{m}\biggr)^2(\lambda)^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (y^{j}_{k})^2e^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}-\frac{c_5}{m}Q_1, \quad \ldots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
По индукции можно показать, что в общем случае справедливо равенство
\begin{equation*}
Q_M=\bar{c}_{4,1}\biggl(\frac{c_5}{m}\biggr)^M(\lambda)^M\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (y^{j}_{k})^Me^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}+\sum_{i=0}^{M-1}r_{M,i}Q_i,
\end{equation*}
\notag
где Q_0:=Q_\lambda, а сомножители r_{M,i} – некоторые постоянные. Поскольку последовательность операторов
\begin{equation*}
\bar{Q}_M=\bar{c}_{4,1}\biggl(\frac{c_5}{m}\biggr)^M(\lambda)^M\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (y^{j}_{k})^Me^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}},
\end{equation*}
\notag
лежащих в L_x, имеет бесконечную размерность, приходим к противоречию, так как \dim L_x<\infty. Следовательно, наше предположение о том, что \bar{c}_{4,1}\neq 0, неверно. Поэтому \bar{c}_{4,1}=0. Аналогично можно показать, что \bar{c}_{6,1}=0, \bar{c}_{4,2}=0, \bar{c}_{6,2}=0. Таким образом, в случае (2a, 2b) имеем \bar A_4(y)=\bar{c}_{4,0} и \bar A_6(y)=\bar{c}_{6,0}. Рассмотрим теперь случай (1a, 1b). Вернемся к переменным w, полагая y=e^{w/m}. Тогда найденные функции \bar A_4(y), \bar A_6(y) перепишутся в виде
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1\mathrm{a}) \quad \tilde{A}_4(w)=c_{4,0}+c_{4,1}e^{-w/m}+c_{4,2}e^{w/m},\\ &1\mathrm{b}) \quad \tilde{A}_6(w)=c_{6,0}+c_{6,1}e^{-w/m}+c_{6,2}e^{w/m}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
а операторы S_1^{j} и S_3^{j} в терминах w примут вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^j_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_3e^{- w^{j}_{k}/m}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\biggl( c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+c_3e^{- w^{j-1}_{k}/m}\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{}\\ &\quad+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+ c_3e^{- w^{j+1}_{k}/m}\tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Покажем, что c_{4,2}=0. Легко убедиться, что
\begin{equation*}
[S^{j-1}_1,S^j_3]=\frac{c_3}{m}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(2c_{4,2}+c_{4,0}e^{- w^{j-1}_{k}/m})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда ясно, что при c_{4,2}\neq 0 оператор S^j_0=\sum_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} лежит в алгебре L_x. Легко проверить, что выполняются равенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P^j&=[S^{j-1}_0,S^{j+1}_3]=c_3\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{- w^{j}_{k}/m}\tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ R^j&=[S^{j+1}_0,S^{j-1}_3]=c_3\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{- w^{j}_{k}/m}\tilde \rho^{j+1}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Вычитая из S_3^j линейную комбинацию полученных операторов с подходящими значениями j, получим, что оператор
\begin{equation*}
Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \biggl(c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
также лежит в алгебре L_x. Построим новый оператор
\begin{equation*}
Q_\lambda=\frac{m}{2}[S^{j}_0,Q^{j+1}]+\frac{m^2}{2}[S^{j}_0,[S^{j}_0,Q^{j+1}]]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{4,2}e^{ w^{j}_{k}/m}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим последовательность кратных коммутаторов вида
\begin{equation*}
Q_\lambda, \quad R^{j-1}, \quad R_1=[Q_\lambda,R^{j-1}], \quad R_2=[Q_\lambda,R_1], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Найдем явные представления для этих операторов:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_1&=c_3c_{4,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{w^{j}_{k}/m}e^{- w^{j-1}_{k}/m}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}, \\ R_2&=c_3c^2_{4,2}\biggl(\frac{1}{m}+1\biggr)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{2 w^{j}_{k}/m}e^{- w^{j-1}_{k}/m}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В общем случае имеем
\begin{equation*}
R_M=c_3c^M_{4,2}\biggl(\frac{1}{m}+1\biggr)\biggl(\frac{2}{m}+1\biggr)\cdots\biggl(\frac{M-1}{m}+1\biggr)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{M w^{j}_{k}/m}e^{- w^{j-1}_{k}/m}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку m\geqslant 1, линейная оболочка элементов этой последовательности имеет бесконечную размерность, если c_{4,2}\neq0, поэтому c_{4,2}=0. Аналогично можно показать, что c_{6,2}=0. Следовательно, в случае (1a, 1b) функции \tilde{A}_4(w) и \tilde{A}_6(w) имеют вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tilde{A}_4(w)&=c_{4,0}+c_{4,1}e^{-w/m},\\ \tilde{A}_6(w)&=c_{6,0}+c_{6,1}e^{-w/m}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Подведем итог рассуждениям, сформулируем его в виде теоремы. Теорема 8. Если цепочка (1.1), (2.1) интегрируема в смысле определения 1, то функция (2.1)
\begin{equation}
f=A_3(\tau)u^{j+1}_nu^{j-1}_{n+1}+A_4(\tau)u^{j+1}_n+A_5(\tau)u^j_n+A_6(\tau)u^{j-1}_{n+1}+A_7(\tau)
\end{equation}
\tag{2.51}
принадлежит одному из следующих трех классов:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1)\, &A_3=0, \quad A_4=c_{4,0}\tau+c_{4,1}\tau \log \tau+c_{4,2}\tau (\log \tau)^2, \\ & A_6=c_{6,0}\tau+c_{6,1}\tau \log \tau+c_{6,2}\tau (\log \tau)^2,\\ 2)\, &A_3=0, \quad A_4=c_{4,0}\tau+c_{4,1}\tau^{1+\lambda}+c_{4,2}\tau^{1-\lambda}, \quad A_6=c_{6,0}\tau+c_{6,1}\tau^{1+\lambda}+c_{6,2}\tau^{1-\lambda},\\ 3)\, &A_3=c_3\tau^{1-1/m}, \quad A_4=c_{4,0}\tau+c_{4,1}\tau^{1-1/m}, \quad A_6=c_{6,0}\tau+c_{6,1}\tau^{1-1/m}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \tau=u^j_{n}-u^j_{n+1}, коэффициенты A_5, A_7 имеют вид A_5(\tau)=c_5\tau, A_7(\tau)=-\frac{c_5}{2}\tau^2+c_7\tau. Здесь c_3, c_{4,0}, c_{4,1}, c_{4,2}, c_{5}, c_{6,0}, c_{6,1}, c_{6,2}, c_{7}, \lambda\neq 0 – произвольные постоянные, m\geqslant 1 – некоторое целое число. В результате рассматриваемая классификационная задача свелась к уточнению значений постоянных параметров в случаях 1–3 теоремы 8. 3. Дальнейший анализ цепочек класса 1 из теоремы 8Цель настоящего раздела состоит в дальнейшем уточнении вида искомой функции (2.51), принадлежащей классу 1 из теоремы 8. Для этого мы воспользуемся наиболее простой нетривиальной редукцией цепочки (1.1), (2.1) размерности 2:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u^0_{n+1,x}&=u^0_{n,x}+f(u^{1}_{n},u^{0}_n,u^0_{n+1}),\\ u^1_{n+1,x}&=u^1_{n,x}+f(u^{1}_n,u^1_{n+1},u^{0}_{n+1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
которая получена в результате наложения на цепочку вырожденных условий обрыва u^{-1}_n\equiv 0, u^{2}_n\equiv 0. Эта система в силу (2.51), очевидно, принимает вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\tau^0_{n,x}&=A_4(\tau^0_n)(u^{1}_0+\rho^1_n)+A_5(\tau^0_n)(u^{0}_0+\rho^0_n)+A_7(\tau^0_n),\\ -\tau^1_{n,x}&=A_5(\tau^1_n)(u^{1}_0+\rho^1_n)+A_6(\tau^1_n)(u^{0}_0+\rho^0_{n+1})+A_7(\tau^1_n), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \tau^0_n=u^{0}_n-u^0_{n+1}, \tau^1_n=u^{1}_n-u^1_{n+1}, функция \rho^i_k задана в (2.22). В качестве классификационного критерия, как и выше, берется условие конечномерности характеристической алгебры Ли–Райнхарта L_x, которая в этом случае порождается следующими тремя операторами: \bar{X}_0=\frac{\partial}{\partial u^0_0}, \bar{X}_1=\frac{\partial}{\partial u^1_0} и
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_4(\tau^0_n)(u^{1}_0+\rho^1_n)+A_5(\tau^0_n)(u^{0}_0+\rho^0_n)+A_7(\tau^0_n))\frac{\partial}{\partial \tau^0_n}+{}\\ &\quad+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_5(\tau^1_n)(u^{1}_0+\rho^1_n)+A_6(\tau^1_n)(u^{0}_0+\rho^0_{n+1})+A_7(\tau^1_n))\frac{\partial}{\partial \tau^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Легко заметить, что из конечномерности алгебры L_x следует конечномерность алгебры L'_x, порожденной операторами
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_0&=[\bar{X}_0,Y]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_5(\tau^0_n)\frac{\partial}{\partial \tau^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_6(\tau^1_n)\frac{\partial}{\partial \tau^1_n},\\ S_1&=[\bar{X}_1,Y]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_4(\tau^0_n)\frac{\partial}{\partial \tau^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_5(\tau^1_n)\frac{\partial}{\partial \tau^1_n},\\ S&=Y-u^0_0S_0-u^1_0S_1=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(A_4(\tau^0_n)\rho^1_n+A_5(\tau^0_n)\rho^0_n+A_7(\tau^0_n))\frac{\partial}{\partial \tau^0_n}+{}\\ &\quad+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_5(\tau^1_n)\rho^1_n+A_6(\tau^1_n)\rho^0_{n+1}+A_7(\tau^1_n))\frac{\partial}{\partial \tau^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для удобства перейдем в этих операторах к переменным w=\ln \tau:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_0&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_5(w^0_n)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_6(w^1_n)\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ S_1&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_4(w^0_n)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_5(w^1_n)\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ S&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(\tilde{A}_4(w^0_n)\tilde{\rho}^1_n+\tilde{A}_5(w^0_n)\tilde{\rho}^0_n+A_7(w^0_n))\frac{\partial}{\partial w^0_n}+{}\\ &\quad+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(\tilde{A}_5(w^1_n)\tilde{\rho}^1_n+\tilde{A}_6(w^1_n)\tilde{\rho}^0_{n+1}+A_7(w^1_n))\frac{\partial}{\partial w^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 4. Если нарушается хотя бы одно из условий
\begin{equation}
c_{4,2}(4c_{4,0}c_{4,2}-c^2_{4,1})=0, \qquad c_{6,2}(4c_{6,0}c_{6,2}-c^2_{6,1})=0,
\end{equation}
\tag{3.1}
то \dim L_x=\infty. Доказательство. Учитывая, что функция f принадлежит классу 1 из теоремы 8, найдем кратные коммутаторы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{ad}^3_{S_1}S_0&=c_5\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(4c_{4,0}c_{4,2}-c^2_{4,1})(2c_{4,2}w^0_n+c_{4,1})\frac{\partial}{\partial w^0_n},\\ \mathrm{ad}_{S_0}\,\mathrm{ad}^3_{S_1}S_0&=c^2_5\sum_{n=-\infty}^{+\infty}2c_{4,2}(4c_{4,0}c_{4,2}-c^2_{4,1})\frac{\partial}{\partial w^0_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если нарушается первое условие леммы, т. е. c_{4,2}(4c_{4,0}c_{4,2}-c^2_{4,1})\neq 0, то операторы Q_1:=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^0_n} и Q_2:=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}w^0_n\frac{\partial}{\partial w^0_n} лежат в L_x. Тогда, как легко заметить, операторы \mathrm{ad}^m_{Q_2}S допускают простое явное представление. Для m=1,2 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{ad}_{Q_2}S&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F^1_n\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_6(w^1_n)\tilde{\rho}^0_{n+1}w^0_n\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ \mathrm{ad}^2_{Q_2}S&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F^2_n\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_6(w^1_n)\tilde{\rho}^0_{n+1}((w^0_n)^2+w^0_n)\frac{\partial}{\partial w^1_n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
а при m\geqslant 3
\begin{equation*}
\mathrm{ad}^m_{Q_2}S=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F^m_n\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_6(w^1_n)\tilde{\rho}^0_{n+1}((w^0_n)^m+c_{m-1}(w^0_n)^{m-1}+\cdots+c_1w^0_n)\frac{\partial}{\partial w^1_n},
\end{equation*}
\notag
где F_n^m – некоторая функция, явный вид которой мы не уточняем. Ясно, что линейная оболочка семейства операторов \mathrm{ad}^m_{Q_2}S имеет бесконечную размерность, поэтому \dim L_x=\infty. Вторая часть леммы доказывается аналогично. Лемма 5. Пусть выполнены условия (3.1). Тогда для конечномерности алгебры L_x, порожденной операторами S_0, S_1, S, необходимо, чтобы параметры c_{4,1}, c_{4,2}, c_{6,1} и c_{6,2} удовлетворяли равенствам Схема доказательства. При выполнении (3.1) возникают семь непересекающихся наборов условий:
\begin{equation*}
S_0, \quad S, \quad [S_0,S], \quad [S_0,[S_0,S]], \quad [S_0,[S_0,[S_0,S]]], \quad \ldots,
\end{equation*}
\notag
которая содержит бесконечное множество линейно независимых элементов. Ниже нам понадобится следующий дискретный вариант леммы Шабата (см. книгу [27]). Лемма 6. Предположим, что векторное поле вида
\begin{equation*}
K=\sum_{j=1}^N\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a^j_n \frac{\partial}{\partial w^j_n},
\end{equation*}
\notag
где для всех j=1,2,\dots N выполнено условие a^j_0=0, удовлетворяет соотношению с некоторым множителем h, тогда K=0. Доказательство леммы 6 можно найти в работе [21]. Имеет место следующая теорема. Теорема 9. Предположим, что цепочка (1.1), (2.1) интегрируема в смысле определения 1 и принадлежит классу 1 из теоремы 8. Тогда если выполнено условие то цепочка точечными заменами приводится к виду
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}= u^j_{n,x}+(u^j_n-u^j_{n+1})(u^j_n+u^j_{n+1} -Mu^{j+1}_n-\bar M u^{j-1}_{n+1}),
\end{equation}
\tag{3.3}
где M\geqslant1 и \bar M\geqslant1 – некоторые целые числа. А если условие (3.2) нарушается, то цепочка заменой приводится к виду
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}= u^j_{n,x}+(u^j_n-u^j_{n+1})(u^j_n+u^j_{n+1}+C_{4}u^{j+1}_n+C_{6} u^{j-1}_{n+1}),
\end{equation}
\tag{3.4}
где C_4=2c_{4,0}/c_5, C_6=2c_{6,0}/c_5 – произвольные постоянные, при этом выполняется хотя бы одно из следующих двух условий: 1) C_4=2, 2) C_6=2. Доказательство. Пусть сначала выполняется условие (3.2). Уточним постоянные c_{4,0} и c_{6,0}. В силу леммы 5 операторы S_0, S_1, S принимают вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_0&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_5\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{6,0}\frac{\partial}{\partial w^1_n},\qquad S_1=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{4,0}\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_5\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ S&=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n+c_5\tilde{\rho}^0_n-\frac{c_5}{2}e^{w^0_n}+c_7\biggr)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+{}\\ &\quad+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\biggl(c_5\tilde{\rho}^1_n+c_{6,0}\tilde{\rho}^0_{n+1}-\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}+c_7\biggr)\frac{\partial}{\partial w^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Заметим, что при выполнении условия (3.2) можно рассматривать операторы вида
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P&=\frac{1}{c_{4,0}(c_5-c_{4,0})}(c_5[S_1,S]-[S_1,[S_1,S]]), \\ Q&=\frac{1}{c_{6,0}(c_5-c_{6,0})}(c_5[S_0,S]-[S_0,[S_0,S]]), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
поскольку постоянные c_{4,0} и c_{6,0} отличны от нуля по условию задачи (см. (1.1)). Операторы P и Q удобны тем, что они допускают сравнительно простое координатное представление
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P&=c_5\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\biggl(\tilde{\rho}^0_n-\frac{1}{2}e^{w^0_n}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+c_{6,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^0_{n+1}\frac{\partial}{\partial w^1_n}, \\ Q&=c_{4,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_{n}\frac{\partial}{\partial w^0_n}+c_5\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\biggl(\tilde{\rho}^1_n-\frac{1}{2}e^{w^1_n}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим следующую бесконечную последовательность операторов:
\begin{equation*}
Q, \quad P, \quad Q_1=[Q,P], \quad Q_2=[Q,Q_1], \quad Q_3=[Q,Q_2], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
Выясним действие автоморфизма (2.4) на элементы этой последовательности:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nQD^{-1}_n&=Q+e^{w^1_0}S_1, \qquad D_nPD^{-1}_n=P+e^{w^0_0}S_0, \\ D_nS_0D^{-1}_n&=S_0, \qquad D_nS_1D^{-1}_n=S_1,\\ D_nQ_1D^{-1}_n&=Q_1+c_{4,0}e^{w^1_0}P-c_{6,0}e^{w^0_0}Q+c_{4,0}e^{w^1_0+w^0_0}S_0,\\ D_nQ_2D^{-1}_n&=Q_2+(c_5+2c_{4,0})e^{w^1_0}Q_1+c_{4,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)e^{2w^1_0}P-{}\\ &\quad-c_{6,0}(c_5+2c_{4,0})e^{w^1_0+w^0_0}Q+c_{4,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)e^{2w^1_0+w^0_0}S_0,\\ D_nQ_3D^{-1}_n&=Q_3+3(c_5+c_{4,0})e^{w^1_0}Q_2+3\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)(c_5+c_{4,0})e^{2w^1_0}Q_1+{}\\ &\quad+c_{4,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)(c_5+c_{4,0})e^{3w^1_0}P-3c_{6,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)(c_5+c_{4,0})\times{}\\ &\quad\quad\quad\times e^{2w^1_0+w^0_0}Q+c_{4,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)(c_5+c_{4,0})e^{3w^1_0+w^0_0}S_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Можно доказать по индукции, что в общем случае m\geqslant2 автоморфизм алгебры действует как
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nQ_mD^{-1}_n&=Q_m+\alpha_{m,1}e^{w^1_0}Q_{m-1}+\alpha_{m,2}e^{2w^1_0}Q_{m-2}+\cdots+\alpha_{m,m-1}e^{(m-1)w^1_0}Q_{1}+{}\\ &\quad+\alpha_{m,m}e^{mw^1_0}P+\alpha_{m,m+1}e^{(m-1)w^1_0+w^0_0}Q+\alpha_{m,m+2}e^{mw^1_0+w^0_0}S_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где все коэффициенты \alpha_{m,j} постоянны. При этом первый из них имеет вид В силу конечномерности алгебры L_x существует такой номер M, что операторы Q_M, Q_{M-1}, …, Q_1, Q, P, S_0, S_1 линейно независимы, а оператор Q_{M+1} выражается в виде
\begin{equation}
Q_{M+1}=\lambda_1Q_{M}+\lambda_2Q_{M-1}+\cdots+\lambda_MQ_{1}+\lambda_{M+1}P+\lambda_{M+2}Q+\lambda_{M+3}S_0+\lambda_{M+4}S_1.
\end{equation}
\tag{3.6}
Применив к равенству (3.6) автоморфизм, получим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda_1Q_{M}&+\lambda_2Q_{M-1}+\lambda_3Q_{M-2}+\cdots+\lambda_{M+4}S_1+\alpha_{M+1,1}e^{w^1_0}Q_{M}+{} \notag\\ &\quad+\alpha_{M+1,2}e^{2w^1_0}Q_{M-1}+\cdots+\alpha_{M+1,M+3}e^{(M+1)w^1_0+w^0_0}S_0={} \notag\\ &=D_n(\lambda_1 )(Q_M+\alpha_{M,1}e^{w^1_0}Q_{M-1}+\alpha_{M,2}e^{2w^1_0}Q_{M-2}+\cdots)+{} \notag\\ &\quad+D_n(\lambda_2)(Q_{M-1}+\alpha_{M-1,1}e^{w^1_0}Q_{M-2}+\cdots)+\cdots+D_n(\lambda_{M+4})S_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
Сравнивая коэффициенты при независимых операторах, получим систему уравнений для определения коэффициентов \lambda_i. Имеем
\begin{equation*}
Q_{M}: \quad D_n(\lambda_1)-\lambda_1=\alpha_{M+1,1}e^{w^1_0},
\end{equation*}
\notag
откуда сразу вытекает, что \lambda_1=\mathrm{const}, \alpha_{M+1,1}=0, или в силу (3.5) Далее находим
\begin{equation*}
Q_{M-1}: \quad D_n(\lambda_2)-\lambda_2=\alpha_{M+1,2}e^{2w^1_0}-\lambda_1\alpha_{M,1}e^{w^1_0}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда имеем \lambda_2=\mathrm{const}, \alpha_{M+1,2}=0, \lambda_1\alpha_{M,1}=0. Далее
\begin{equation*}
Q_{M-2}: \quad D_n(\lambda_3)-\lambda_3=\alpha_{M+1,3}e^{3w^1_0}-\lambda_1\alpha_{M,2}e^{2w^1_0}-\lambda_2\alpha_{M-1,1}e^{w^1_0}.
\end{equation*}
\notag
В итоге находим \lambda_3=\mathrm{const}, \alpha_{M+1,3}=0, \lambda_1\alpha_{M,2}=0, \lambda_2\alpha_{M-1,1}=0.
Далее, сравнивая коэффициенты при всех остальных независимых операторах, получаем, что для \forall i \alpha_{M+1,i}=0, \lambda_1\alpha_{M,i}=0, \lambda_k\alpha_{M-k+1,i}=0. Отсюда следует, что Покажем, что из равенства (3.9) следует, что Q_{M+1}=0. С этой целью более детально исследуем явное координатное представление операторов последовательности. Для нескольких первых элементов имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_1&=c_{4,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_n\biggl(c_5\tilde{\rho}^0_n-\frac{c_5}{2}e^{w^0_n}-c_{6,0}\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+{}\\ &\quad+c_{6,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n-c_5\tilde{\rho}^1_n+\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ Q_2&=c_{4,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_n\biggl(\biggl(c_5\tilde{\rho}^0_n-\frac{c_5}{2}e^{w^0_n}-c_{6,0}\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggr)\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n+c_5\tilde{\rho}^1_n-\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}\biggr)-{} \\ &\quad-c_{6,0}\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n-c_5\tilde{\rho}^1_n+\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}\biggr)\biggr)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+{}\\ &\quad+c_{4,0}c_{6,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_n\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n-c_5\tilde{\rho}^1_n+\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для общего случая m\geqslant2 справедливо представление
\begin{equation*}
Q_m=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_n\biggl(F_n^m\frac{\partial}{\partial w^0_n} + G_n^m\frac{\partial}{\partial w^1_n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
где F^m_n, G^m_n – некоторые гладкие функции. При m=2 это легко следует из явной формулы. При m>2 это можно доказать по индукции, пользуясь тем, что оператор \frac{\partial}{\partial w^j_n} переводит \rho^1_n либо в нуль, либо в \rho^1_n.
Характерная деталь всех этих формул начиная с Q_2 состоит в том, что коэффициенты при операторах дифференцирования вида \frac{\partial}{\partial w^0_0} и \frac{\partial}{\partial w^1_0} равны нулю, поскольку \rho^1_0=0. Тогда в силу леммы 6 из равенства (3.9) немедленно вытекает, что Q_{M+1}=0 при M\geqslant 2. Следовательно, линейное пространство над кольцом функций от динамических переменных, натянутое на элементы рассматриваемой последовательности, имеет конечную размерность тогда и только тогда, когда выполняется равенство (3.8), выражающее связь между параметрами c_{4,0} и c_5. Применяя аналогичные рассуждения к последовательности операторов
\begin{equation*}
Q, \quad P, \quad P_1=[P,Q], \quad P_2=[P,P_1], \quad P_3=[P,P_2], \quad \ldots\,,
\end{equation*}
\notag
можно показать, что из конечномерности алгебры L_x вытекает равенство Формулы (3.8) и (3.10) устанавливают связь между константами цепочки (1.1), (2.51). В результате этого цепочка существенно упрощается и при помощи замен переменных легко приводится к виду (3.3).
Пусть теперь условие (3.2) нарушается. Тогда цепочка имеет вид
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x}= u^j_{n,x}+(u^j_n-u^j_{n+1})\biggl(\frac{1}{2}c_5u^j_n+\frac{1}{2}c_5u^j_{n+1}+c_{4,0}u^{j+1}_n+c_{6,0} u^{j-1}_{n+1}\biggr)+c_7(u^j_n-u^j_{n+1}),
\end{equation*}
\notag
где предполагается, что выполняется хотя бы одно из условий c_{4,0}=c_5, c_{6,0}=c_5. Ясно, что точечными заменами эту цепочку можно привести к виду (3.4). 4. Обсуждение конкретных примеровНайденные в теореме 8 классы 2 и 3, а также цепочки (3.3) и (3.4), полученные в результате дальнейшей работы с классом 1, нуждаются в дополнительном исследовании с привлечением характеристической алгебры по дискретному направлению. Однако уже на этом этапе нам удалось обнаружить довольно интересные примеры. Пример 1. Полагая C_{4}=C_{6}=2 в (3.4), приходим к цепочке
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}= u^j_{n,x}+(u^j_n-u^j_{n+1})(u^j_n+u^j_{n+1}+2u^{j+1}_n+2u^{j-1}_{n+1}).
\end{equation}
\tag{4.1}
А выбирая M=\bar M=2 в (3.3), получаем очень близкую к ней цепочку
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}= u^j_{n,x}+(u^j_n-u^j_{n+1})(u^j_n+u^j_{n+1}-2u^{j+1}_n-2u^{j-1}_{n+1}).
\end{equation}
\tag{4.2}
Для обеих цепочек редукции имеют конечномерные характеристические алгебры по направлению x. Для одномерной редукции u^j_{n+1,x}= u^j_{n,x}+(u^j_n)^2-(u^j_{n+1})^2 это следует из результатов работы [28]. Для редукций в виде систем двух и трех уравнений конечномерность алгебры L_x была проверена Кузнецовой [36]. Вопрос о свойствах характеристической алгебры по направлению n для этих редукций остается открытым. Пример 2. Наиболее интересной является цепочка, соответствующая выбору M=\bar M=1 в представлении (3.3):
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}= u^j_{n,x}+(u^j_n-u^j_{n+1})(u^j_n+u^j_{n+1}-u^{j+1}_n-u^{j-1}_{n+1}).
\end{equation}
\tag{4.3}
Эта цепочка полностью проходит наш тест как по направлению x, так и по направлению n, т. е. она является интегрируемой в смысле определения (2.1). Цепочка (4.3) является интегрируемой и в общепринятом смысле, что подтверждается наличием пары Лакса (см. [34], [37]). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{HabKha23}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|