Н. Т. Левашова, Д. С. Самсонов, “Устойчивость стационарного решения с двухмасштабным внутренним переходным слоем системы уравнений типа активатор-ингибитор”, ТМФ, 215:2 (2023), 269–288; Theoret. and Math. Phys., 215:2 (2023), 691

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 215, номер 2, страницы 269–288
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10409 (Mi tmf10409)

Устойчивость стационарного решения с двухмасштабным внутренним переходным слоем системы уравнений типа активатор-ингибитор

Н. Т. Левашова, Д. С. Самсонов

Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия

PDF полного текста (494 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10409

Аннотация: Проведено исследование краевых задач для систем обыкновенных уравнений второго порядка с условиями квазимонотонности, характерными для задач типа активатор-ингибитор, и с решениями, содержащими области с большими градиентами. Указаны достаточные условия существования устойчивого стационарного решения. С помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств проведено доказательство теорем существования и устойчивости.

Ключевые слова: внутренний переходный слой, метод дифференциальных неравенств, верхнее и нижнее решения, асимптотическое приближение, условия квазимонотонности.

Поступило в редакцию: 20.11.2022
После доработки: 09.01.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages 691–708
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050082

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

PACS: 02.30.Hq

MSC: 34B16

1. Введение

В работе исследуются вопросы существования и асимптотической устойчивости по Ляпунову стационарного решения системы уравнений типа реакция-диффузия, резко изменяющегося в области пространства, ширина которой много меньше ширины рассматриваемой области. Такие области называют внутренними переходными слоями. Исследуемая система относится к типу активатор-ингибитор и используется в математических моделях задач биофизики. Условием квазимонотонности называется условие на знаки производных функций в правых частях уравнений по переменной, отвечающей компоненте решения, которая входит в соответствующее уравнение как параметр. Физический смысл этих условий состоит в следующем: активатор усиливает действие ингибитора, а ингибитор ослабляет действие активатора.

Задачи для систем уравнений реакция-диффузия возникают, например, при моделировании биофизических процессов, связанных с распространением автоволновых фронтов, в частности, они использовались в модели развития мегаполисов [1], [2]. В указанной модели в роли активатора выступал фронт городской застройки, и рассматривались условия образования города с четкими границами как в случае непрерывных характеристик среды, в которой распространялся фронт, так и в среде с барьерами (разрывными характеристиками). В качестве объектов моделирования были рассмотрены процессы развития отдельных районов Москвы. Численные расчеты проводились в областях прямоугольной формы для однородных граничных условий Неймана. Физически эти условия означают отсутствие влияния внешних источников на процессы внутри расчетной области.

Вопрос об обосновании применявшихся моделей до конца так и не был закрыт. Настоящая работа является одним из шагов, ведущих к этому обоснованию. В ней получены условия существования устойчивого стационарного решения с внутренним переходным слоем для одномерного случая при достаточной гладкости функций, описывающих свойства среды. Такая же система уравнений, но с разрывной правой частью была рассмотрена в работе [3].

Доказательство существования и устойчивости решений в настоящей работе основано на методе верхних и нижних решений. Обоснование этого метода для систем с гладкими коэффициентами дано в [4].

Развитие метода верхних и нижних решений, направленное на задачи с внутренними переходными слоями, носит название асимптотического метода дифференциальных неравенств (см. по этой теме работы [5], [6]). Для систем уравнений с гладкими правыми частями этот метод применялся в статье [7], в которой был разобран случай условий квазимонотонности одноименных знаков.

2. Постановка задачи

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы параболических уравнений:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \varepsilon^4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}&=f(u,v,x,\varepsilon), \\ \varepsilon^2\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}-\frac{\partial v}{\partial t}&=g(u,v,x,\varepsilon), \end{aligned}\qquad x\in(0;1),\quad t>0; \\ \frac{\partial u}{\partial x}(0,t,\varepsilon)=\frac{\partial u}{\partial x}(1,t,\varepsilon)=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}(0,t,\varepsilon)=\frac{\partial v}{\partial x}(1,t,\varepsilon)=0,\qquad t>0; \\ u(x,0,\varepsilon)=u_{\text{init}},\quad v(x,0,\varepsilon)=v_{\text{init}},\qquad x\in[0,1], \end{gathered} \end{equation} \tag{1}$

где

$\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]$ – малый параметр,

$f$ и

$g$ – достаточно гладкие функции в области

$(u,v,x,\varepsilon)\in{I_u}\times{I_v}\times[0,1]\times(0,\varepsilon_0]$ , а

$I_u$ и

$I_v$ – некоторые промежутки изменения переменных

$u$ и

$v$ . Требуемый порядок гладкости функций

$f$ ,

$g$ связан с порядком строящейся асимптотики. В частности, для построения асимптотического приближения порядка

$n$ согласно используемому алгоритму необходимо потребовать принадлежность этих функций классу

$C^{n+2}$ в их областях определения.

Чтобы у поставленной задачи существовало классическое решение с внутренним переходным слоем, потребуем выполнения следующих условий.

Условие A1. Уравнение $f(u,v,x,0)=0$ имеет относительно $u$ ровно три корня $u=\varphi^i (v,x)\in{I_u}$ , $i=1,2,3$ , удовлетворяющих неравенствам

$\begin{equation*} \varphi^1 (v,x)<\varphi^2 (v,x)<\varphi^3(v,x), \end{equation*} \notag$

причем при всех

$(v,x)\in{I_v}\times[0,1]$ выполняются неравенства

$f_u (\varphi^{1,3} (v,x),v,x,0)>0$ .

Условие A2. Каждое из уравнений $h^i(v,x):=g(\varphi^i(v,x),v,x,0)=0$ , $i=1,3$ , имеет при каждом $x\in[0,1]$ единственное решение $v=v^i(x)\in {I_v}$ , причем для всех $x\in[0,1]$ выполнены неравенства $v^1(x)<v^3(x)$ и $h_v^i (v^i(x),x)>0$ , $i=1,3$ .

Отметим, что при выполнении этого условия для всех $(v,x)\in(v^1,v^3)\times(0;1)$ выполняются неравенства

$\begin{equation*} \int_{v^{1,3}(x)}^{v} h^{1,3}(s,x)\,ds>0. \end{equation*} \notag$

Следующее условие носит название “условие квазимонотонности”.

Условие A3. Всюду на множестве $(u,v,x)\in{I_u}\times{I_v}\times[0,1]$ выполняются неравенства $f_v(u,v,x,0)>0$ , $g_u(u,v,x,0)<0$ .

Такие неравенства для производных правых частей уравнений (1) характерны для задач типа активатор-ингибитор.

Далее нас будет интересовать устойчивое стационарное решение $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$ задачи (1) с внутренним переходным слоем, локализованным вблизи некоторой внутренней точки отрезка $[0,1]$ , достаточно удаленной от его границ. Эту точку будем обозначать через $x^*$ . Если стационарное решение задачи (1) существует, то оно, очевидно, является решением следующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \varepsilon^4\frac{d^2u}{dx^2}=f(u,v,x,\varepsilon),\quad \varepsilon^2\frac{d^2 v}{dx^2}=g(u,v,x,\varepsilon),\qquad x\in(0;1); \\ \frac{du}{dx}\bigg|_{x=0}=\frac{du}{dx}\bigg|_{x=1}=0,\qquad \frac{dv}{dx}\bigg|_{x=0}=\frac{dv}{dx}\bigg|_{x=1}=0. \end{gathered} \end{equation} \tag{2}$

Обозначим через $v^*$ значение $v$ -компоненты решения задачи (2) в точке $x^*$ . Параметры $x^*$ и $v^*$ неизвестны, их приближенное значение будет определено в ходе построения асимптотического приближения. Будем считать, что значения $u$ - и $v$ -компонент решения связаны с этими параметрами посредством равенств

$\begin{equation} v_\varepsilon(x^*)=v^*,\qquad u_\varepsilon(x^*)=\varphi^2(v^*,x^*). \end{equation} \tag{3}$

Условие A4. На множестве $(v,x)\in(v^1,v^3)\times(0,1)$ существует единственное решение $(v_0,x_0)$ следующей системы уравнений:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, J_0v(v,x)&:=\int_{v^1(x)}^{v} h^1(s,x)\,ds-\int_{v^3(x)}^{v}h^3(s,x)\,ds=0, \\ J_0u(v,x)&:=\int_{\varphi^1(v,x)}^{\varphi^3(v,x)}f(u,v,x,0)\,du=0. \end{aligned} \end{equation} \tag{4}$

Условие A5. Якобиан системы (4) отличен от нуля в точке $(v_0,x_0)$ :

$\begin{equation*} \frac{D(J_0v,J_0u)}{D(v,x)}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}\neq 0. \end{equation*} \notag$

Для детального описания внутреннего переходного слоя введем в окрестности точки $x^*$ растянутые переменные двух масштабов:

$\begin{equation} \tau=\frac{x-x^*}\varepsilon,\qquad\sigma=\frac{x-x^*}{\varepsilon^2}. \end{equation} \tag{5}$

Рассмотрим следующие краевые задачи относительно функций

$\tilde v^{1,3}(\tau,x^*)$ и

$\tilde u(\sigma,x^*)$ :

$\begin{equation} \begin{alignedat}{8} \frac{\partial^2\tilde v^1}{\partial\tau^2}&=h^1(\tilde v^1,x^*),&\quad &\tau\leqslant 0;&\qquad \tilde v^1(0,x^*)&=v^*;&\quad \tilde v^1(\tau,x^*)&\to v^1(x^*),&\quad &\tau\to-\infty; \\ \frac{\partial^2\tilde v^3}{\partial\tau^2}&=h^3(\tilde v^3,x^*),&\quad &\tau\geqslant 0;&\qquad \tilde v^3(0,x^*)&=v^*;&\quad \tilde v^3(\tau,x^*)&\to v^3(x^*),&\quad &\tau\to+\infty. \end{alignedat} \end{equation} \tag{6}$

Рассмотрим также задачи для функции

$\tilde u(\sigma,x^*)$ на полупрямых

$\sigma\geqslant 0$ и

$\sigma\leqslant 0$ :

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\partial^2\tilde u}{\partial\sigma^2}=f(\tilde u,v^*,x^*,0),\quad \sigma\leqslant 0; \\ \tilde u(0,x^*)=\varphi^{2}(v^*,x^*);\qquad \tilde u(\sigma, x^*)\to\varphi^1(v^*,x^*),\quad \sigma \to-\infty; \end{gathered} \end{equation} \tag{7}$

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\partial^2\tilde u}{\partial\sigma^2}=f(\tilde u,v^*,x^*,0),\quad \sigma\geqslant 0;\vphantom{|^{\Big|}} \\ \tilde u(0,x^*)=\varphi^{2}(v^*,x^*);\qquad \tilde u(\sigma, x^*)\to\varphi^3(v^*,x^*),\quad \sigma\to+\infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{8}$

Решение каждой из задач (6) существует для каждой пары параметров

$x^*\in(0,1)$ ,

$v^*\in(v^1(x^*),v^3(x^*))$ при выполнении условия A2, а каждой из задач (7) и (8) – при выполнении условия A1 (см. [8], [9]). Тем самым для всех

$\sigma\in\mathbb R$ можно определить непрерывную функцию

$\tilde u(\sigma,x^*)$ .

От уравнений второго порядка в (6)–(8) можно перейти к системам уравнений

$\begin{equation} \frac{\partial\tilde v^{1,3}}{\partial\tau} =\Phi^{(\mp)}, \qquad \frac{\partial\Phi^{(\mp)}}{\partial\tau} =h^{1,3}(\tilde v^{1,3},x^*); \end{equation} \tag{9}$

$\begin{equation} \frac{\partial\tilde u}{\partial\sigma} =\Psi, \qquad \frac{\partial\Psi}{\partial\sigma} =f(\tilde u,v^*,x^*,0). \end{equation} \tag{10}$

В силу условия A2 каждая из точек

$(v^{1,3}(x^*),0)$ является точкой покоя типа седла соответствующей системы (9) на фазовой плоскости

$(\tilde v,\Phi)$ , а в силу условия A1 каждая из точек

$(\varphi^{1,3}(v^*,x^*),0)$ является точкой покоя типа седла системы (10) на фазовой плоскости

$(\tilde u,\Psi)$ .

Сепаратрисы седел даются выражениями

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \Phi^{(\mp)}(\tilde v,x^*)&=\sqrt{2\int_{v^{1,3}(x^*)}^{\tilde v} h^{1,3}(v,x^*)\,dv}, \\ \Psi^{(\mp)}(\tilde u,v^*,x^*)&=\sqrt{2\int_{\varphi^{1,3}(v^*,x^*)}^{\tilde u} f(u,v^*,x^*,0)\,du}. \end{aligned} \end{equation} \tag{11}$

Как было отмечено ранее, интегралы в правой части выражений для

$\Phi^{(\mp)}$ неотрицательны при

$\tilde v\in[v^1(x^*),v^3(x^*)]$ в силу условия A2. В свою очередь, в силу условия A1 в выражениях для

$\Psi^{(\mp)}$ под корнем стоит неотрицательная величина, если

$\tilde u\in[\varphi^1(v^*,x^*),\varphi^{2}(v^*,x^*)]$ для

$\Psi^{(-)}$ , и если

$\tilde u\in[\varphi^{2}(v^*,x^*),\varphi^3(v^*,x^*)]$ для

$\Psi^{(+)}$ .

В силу условия A4 значения функций $\Phi^{(-)}$ и $\Phi^{(+)}$ совпадают в точке $(v_0,x_0)$ , а значения функций $\Psi^{(-)}$ и $\Psi^{(+)}$ совпадают в точке $(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)$ . Тем самым можно ввести обозначения

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \Phi(0)&:=\Phi^{(-)}(v_0,x_0)=\Phi^{(+)}(v_0,x_0), \\ \Psi(0)&:=\Psi^{(-)}(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)=\Psi^{(+)}(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0). \end{aligned} \end{equation} \tag{12}$

Условие A6. Пусть выполняется неравенство

$\begin{equation*} \frac{\partial J_0v}{\partial x}(v_0,x_0)\neq 0. \end{equation*} \notag$

Введем обозначения

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \nu^{(\mp)}(v,x):=g_v(\varphi^{1,3}(v,x),v,x,0)+\frac{f_v(\varphi^{1,3}(v,x),v,x,0)}{f_u(\varphi^{1,3}(v,x),v,x,0)}g_u(\varphi^{1,3}(v,x),v,x,0), \\ \bar\nu^{(\mp)}(x):=\nu^{(\mp)}(v^{1,3}(x),x). \end{gathered} \end{equation} \tag{13}$

Условие A7. Пусть функция $\bar\nu^{(-)}(x)$ принимает строго положительные значения при $x\in[0,x_0]$ , функция $\bar\nu^{(+)}(x)$ принимает строго положительные значения при $x\in[x_0,1]$ , а для функций $\nu^{(\mp)}(v,x)$ справедливы соотношения

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{5} &\int_{v^1}^{v}\nu(s,x_0)\,ds\geqslant 0,&\quad &v\in[v^1(x_0),v_0);&\qquad\quad &\int_{v^1}^{v_0}\nu(s,x_0)\,ds>0, \\ &\int_v^{v^3}\nu(s,x_0)\,ds\geqslant 0,&\quad &v\in(v_0,v^3(x_0)];&\qquad\quad &\int_{v_0}^{v^3}\nu(s,x_0)\,ds>0. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Доказательство существования и устойчивости стационарного решения проведем с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. Для этого построим верхнее и нижнее решение задачи (2) как модификации асимптотического приближения ее решения. Последнее ничем не отличается от построенного в работе [7], поэтому здесь кратко приведем основные выкладки.

3. Асимптотическое приближение решения стационарной задачи

Асимптотическое представление решения задачи (2) будем строить отдельно слева и справа от точки $x^*$ , обозначая верхним индексом $(-)$ асимптотическое приближение на отрезке $[0,x^*]$ , а верхним индексом $(+)$ – асимптотическое приближение на отрезке $x\in[x^*,1]$ . Эти решения складываются из функций регулярной части, описывающих поведение решения вдали от внутреннего переходного слоя и границ отрезка, и функций переходного и пограничных слоев. Функции переходного слоя и функции пограничных слоев являются двухмасштабными, т. е. состоят из двух слагаемых, зависящих от различных растянутых переменных: переходный слой описывается функциями аргументов $\tau$ и $\sigma$ , заданных формулами (5), а пограничные слои – переменными $\zeta_1=x/\varepsilon$ , $\xi_1=x/\varepsilon^2$ и $\zeta_2=(1-x)/\varepsilon$ , $\xi_2=(1-x)/\varepsilon^2$ . Левая и правая части асимптотического приближения, в свою очередь, представляются в виде разложений по степеням $\varepsilon$ :

$\begin{equation} U_n=\begin{cases} U^{(-)}_n, & 0\leqslant x\leqslant x^*,\quad\tau\leqslant 0,\quad\sigma\leqslant 0,\quad\zeta_1\geqslant 0,\quad\xi_1\geqslant 0, \\ U^{(+)}_n, & x^*\leqslant x\leqslant 1,\quad\tau\geqslant 0,\quad\sigma\geqslant 0,\quad\zeta_2\geqslant 0,\quad\xi_2\geqslant 0, \end{cases} \end{equation} \tag{14}$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, U^{(-)}_n&=\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(-)}(x)+Q_i^{(-)}u(\tau)+M_i^{(-)}u(\sigma)\bigr)+ \sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^iP_i^{(-)}u(\zeta_1)+ \sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^iR_i^{(-)}u(\xi_1), \\ U^{(+)}_n&=\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(+)}(x)+Q_i^{(+)}u(\tau)+M_i^{(+)}u(\sigma)\bigr)+ \sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^iP_i^{(+)}u(\zeta_2)+ \sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^iR_i^{(+)}u(\xi_2), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

$\begin{equation} V_n=\begin{cases} V^{(-)}_n, & 0\leqslant x\leqslant x^*,\quad\tau\leqslant 0,\quad\sigma\leqslant 0,\quad\zeta_1\geqslant 0,\quad \xi_1\geqslant 0, \\ V^{(+)}_n, & x^*\leqslant x\leqslant 1,\quad\tau\geqslant 0,\quad\sigma\geqslant 0,\quad\zeta_2\geqslant 0,\quad\xi_2\geqslant 0, \end{cases} \end{equation} \tag{15}$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, V^{(-)}_n&\!=\!\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(-)}(x)\,{+}\,Q_i^{(-)}v(\tau)\bigr)\,{+}\!\sum_{i=0}^{n{+}2}\varepsilon^i M_i^{(-)}v(\sigma)\,{+}\! \sum_{i=0}^{n{+}1}\varepsilon^iP_i^{(-)}v(\zeta_1)\,{+}\!\sum_{i=0}^{n{+}2}\varepsilon^iR_i^{(-)}v(\xi_1), \\ V^{({+})}_n&\!=\!\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{({+})}(x)\,{+}\,Q_i^{({+})}v(\tau)\bigr)\,{+}\!\sum_{i=0}^{n{+}2}\varepsilon^i M_i^{({+})}v(\sigma)\,{+}\! \sum_{i=0}^{n{+}1}\varepsilon^iP_i^{({+})}v(\zeta_2)\,{+}\!\sum_{i=0}^{n{+}2}\varepsilon^iR_i^{({+})}v(\xi_2). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пары функций $U^{(-)}_n$ , $U^{(+)}_n$ и $V^{(-)}_n$ , $V^{(+)}_n$ сшиваются непрерывно в точке $x^*$ . С учетом равенств (3), а также экспоненциального убывания до нуля пограничных функций вне небольших окрестностей соответствующих граничных точек эти условия записываются как

$\begin{equation} \sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(x^*)+Q_i^{(\mp)}v(0)+M_i^{(\mp)}v(0)\bigr)=v^*+O(\varepsilon^{n+1}), \end{equation} \tag{16}$

$\begin{equation} \sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(x^*)+Q_i^{(\mp)}u(0)+M_i^{(\mp)}u(0)\bigr)=\varphi^2(v^*,x^*)+O(\varepsilon^{n+1}) . \end{equation} \tag{17}$

Величины

$v^*$ и

$x^*$ будем представлять в виде сумм

$\begin{equation} x^*=x_0+\varepsilon x_1+\cdots, \qquad v^*=v_0+\varepsilon v_1+\cdots, \end{equation} \tag{18}$

а коэффициенты

$x_k$ ,

$v_k$ определять таким образом, чтобы в точке

$x^*$ выполнялись следующие условия сшивания производных левых и правых частей асимптотического приближения:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \sum_{i=0}^{n-1}&\varepsilon^i\frac{d \overline{v}\kern1pt _i^{(-)}}{dx}\bigg|_{x=x^*}+ \frac{1}\varepsilon\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\frac{dQ_i^{(-)}v}{d\tau}\bigg|_{\tau=0}+ \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^i\frac{dM_i^{(-)}v}{d\sigma}\bigg|_{\sigma=0}= \notag\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon^i\frac{d \overline{v}\kern1pt _i^{(+)}}{dx}\bigg|_{x=x^*}+ \frac{1}\varepsilon\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\frac{dQ_i^{(+)}v}{d\tau}\bigg|_{\tau=0}+ \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^i\frac{dM_i^{(+)}v}{d\sigma}\bigg|_{\sigma=0}+O(\varepsilon^n); \notag\\ {} \\ \sum_{i=0}^{n-2}&\varepsilon^i\frac{d \overline{u}\kern1pt _i^{(-)}}{dx}\bigg|_{x=x^*}+ \frac{1}\varepsilon\sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon^i\frac{dQ_i^{(-)}u}{d\tau}\bigg|_{\tau=0}+ \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\frac{d M_i^{(-)}u}{d\sigma}\bigg|_{\sigma=0}= \notag\\ &=\sum_{i=0}^{n-2}\varepsilon^i\frac{d \overline{u}\kern1pt _i^{(+)}}{dx}\bigg|_{x=x^*}+ \frac{1}\varepsilon\sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon^i\frac{dQ_i^{(+)}u}{d\tau}\bigg|_{\tau=0}+ \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\frac{dM_i^{(+)}u}{d\sigma}\bigg|_{\sigma=0}+O(\varepsilon^{n-1}). \notag \end{aligned} \end{equation} \tag{19}$

3.1. Регулярная часть асимптотического представления

Главные члены $\overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x)$ , $\overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x)$ регулярной части суть решения вырожденной системы

$\begin{equation*} f( \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x), \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x),x,0)=0,\qquad g( \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x), \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x),x,0)=0; \end{equation*} \notag$

они определяются условиями A1 и A2:

$\begin{equation*} \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x)=\varphi^{1,3}(v^{1,3}(x),x),\qquad \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_0(x)=v^{1,3}(x). \end{equation*} \notag$

Функции

$\overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)$ ,

$\overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)$ ,

$k\geqslant 1$ , определяются из линейных систем:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \overline{f\kern-1pt}\kern1pt ^{(\mp)}_u(x) \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)+ \overline{f\kern-1pt}\kern1pt ^{(\mp)}_v(x) \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)&= \kern2pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.6pt F ^{(\mp)}_k(x), \\ \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt ^{(\mp)}_u(x) \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)+ \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt ^{(\mp)}_v(x) \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x)&= \kern1.4pt\overline{\vphantom{G}\kern6.2pt}\kern-7.6pt G ^{(\mp)}_k(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Здесь введены обозначения

$\begin{equation} \overline{f\kern-1pt}\kern1pt ^{(\mp)}_u(x):=f_u(\overline{\varphi}^{1,3}(x),v^{1,3}(x),x,0),\qquad\overline{\varphi}^{1,3}(x):=\varphi^{1,3}(v^{1,3}(x),x), \end{equation} \tag{20}$

и аналогичный смысл имеют функции

$\overline{f\kern-1pt}\kern1pt ^{(\mp)}_v(x)$ ,

$\overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt ^{(\mp)}_u(x)$ ,

$\overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt ^{(\mp)}_v(x)$ , а функции

$\kern2pt\overline{\vphantom{F}\kern5.6pt}\kern-7.6pt F ^{(\mp)}_k(x)$ и

$\kern1.4pt\overline{\vphantom{G}\kern6.2pt}\kern-7.6pt G ^{(\mp)}_k(x)$ в правых частях системы известны на

$k$ -м шаге и рекуррентно выражаются через

$\overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_i(x)$ и

$\overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_i(x)$ с номерами

$i<k$ . Эти системы разрешимы в силу условий A1–A3.

3.2. Функции переходного слоя

Уравнения для функций переходного слоя $Q_i^{(\mp)}u(\tau)$ , $Q_i^{(\mp)}v(\tau)$ и $M_i^{(\mp)}u(\sigma)$ , $M_i^{(\mp)}v(\sigma)$ , $i=0,1,\ldots{}$ , получаются стандартным способом (см. [10], [7]): путем приравнивания коэффициентов при $\varepsilon^i$ в разложениях Тейлора по степеням $\varepsilon$ обеих частей равенств

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \varepsilon^2\frac{d^2}{d\tau^2}\sum_{i=0}^{n-2}\varepsilon^i Q_i^{(\mp)}u&=Q^{(\mp)}f+O(\varepsilon^{n+1}), \\ \frac{d^2}{d\tau^2}\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i Q_i^{(\mp)}v&=Q^{(\mp)}g+O(\varepsilon^{n+1}), \end{aligned} \end{equation} \tag{21}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{d^2}{d\sigma^2}\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i M_i^{(\mp)}u&=M^{(\mp)}f+O(\varepsilon^{n+1}), \\ \frac{1}{\varepsilon^2}\frac{d^2}{d\sigma^2}\sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^i M_i^{(\mp)}v&=M^{(\mp)}g+O(\varepsilon^{n+1}), \end{aligned} \end{equation} \tag{22}$

где введены обозначения

$\begin{equation} Q^{(\mp)}f :=f\biggl(\,\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon\tau+x^*)+Q_i^{(\mp)}u(\tau)\bigr), \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \kern40pt\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon\tau+x^*)+Q_i^{(\mp)}v(\tau)\bigr),\varepsilon\tau+x^*,\varepsilon\biggr)-{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad -f\biggl(\,\sum_{i=0}^{n} \varepsilon^i \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon\tau+x^*), \sum_{i=0}^{n} \varepsilon^i \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon\tau+x^*),\varepsilon\tau+x^*,\varepsilon\biggr), \end{equation} \tag{23}$

$\begin{equation} M^{(\mp)}f: =f\biggl(\,\sum_{i=0}^{n} \varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon^2\sigma+x^*)+Q_i^{(\mp)}u(\varepsilon\sigma)+M_i^{(\mp)}u(\sigma)\bigr), \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \kern40pt\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon^2\sigma+x^*)+Q_i^{(\mp)}v(\varepsilon\sigma)\bigr)+ \sum_{i=0}^{n+2} \varepsilon^iM_i^{(\mp)}v(\sigma),\varepsilon^2\sigma+x^*,\varepsilon\biggr)-{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad -f\biggl(\,\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon^2\sigma+x^*)+Q_i^{(\mp)}u(\varepsilon\sigma)\bigr), \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \kern50pt \sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt _i^{(\mp)}(\varepsilon^2\sigma+x^*)+Q_i^{(\mp)}v(\varepsilon\sigma)\bigr),\varepsilon^2\sigma+x^*,\varepsilon\biggr). \end{equation} \tag{24}$

Аналогично определяются функции

$Q^{(\mp)}g$ и

$M^{(\mp)}g$ .

Уравнения (21), (22) дополняются краевыми условиями при $\tau=0$ и $\sigma=0$ , которые получаются из условий непрерывности (16), (17), и требованием равенства нулю функций переходного слоя на бесконечности, при этом оказывается, что функции $M_0^{(\mp)}v(\sigma)$ и $M_1^{(\mp)}v(\sigma)$ тождественно равны нулю.

Из первой пары равенств (21) в нулевом порядке с учетом представлений (23) для функций $Q^{(\mp)}f$ получаем уравнения

$\begin{equation*} f(\overline{\varphi}^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}u(\tau),v^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}v(\tau),x^*,0)=0, \end{equation*} \notag$

из которых с учетом условия A1 следуют равенства

$\begin{equation*} \overline{\varphi}^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}u(\tau)=\varphi^{1,3}(v^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}v(\tau),x^*). \end{equation*} \notag$

Введем обозначения

$\begin{equation} \tilde v^{1,3}(\tau,x^*):=v^{1,3}(x^*)+Q_0^{(\mp)}v(\tau),\qquad \tilde\varphi^{1,3}(\tau,x^*):=\varphi^{1,3}(\tilde v^{1,3}(\tau,x^*),x^*). \end{equation} \tag{25}$

Задачи для функций

$\tilde v^{1,3}(\tau, x^*)$ совпадают с (6). Как говорилось выше, их решения существуют и экспоненциально стремятся к значениям

$v^{1,3}(x^*)$ при

$\tau\to\mp\infty$ соответственно [8], [9], откуда с учетом равенств (25) для функций

$Q_0^{(\mp)}v(\tau)$ получаются оценки

$\begin{equation} |Q_0^{(\mp)}v(\tau)|\leqslant C\exp(-k|{\tau}|), \end{equation} \tag{26}$

где

$C$ и

$k$ – некоторые положительные числа, не зависящие от

$\varepsilon$ . Аналогичные оценки имеют место и для функций

$Q_0^{(\mp)}u(\tau)$ .

Функция $M_0^{(-)}u(\sigma)$ определяется как разность $\tilde u(\sigma,x^*)-\varphi^1(v^*,x^*)$ , где $\tilde u(\sigma,x^*)$ – решение задачи (7), а $M_0^{(+)}u(\sigma)$ определяется как разность $\tilde u(\sigma,x^*)-\varphi^3(v^*,x^*)$ , где $\tilde u(\sigma,x^*)$ – решение задачи (8). Поскольку функция $\tilde u(\sigma,x^*)$ экспоненциально стремится к $\varphi^1(v^*,x^*)$ при $\sigma\to-\infty$ и к $\varphi^3(v^*,x^*)$ при $\sigma\to+\infty$ [8], [9], для функций $M_0^{(\mp)}u(\sigma)$ справедливы оценки

$\begin{equation} |M_0^{(\mp)}u(\sigma)|\leqslant C\exp(-k|{\sigma}|). \end{equation} \tag{27}$

Далее будем использовать обозначения

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \tilde f_u^{(\mp)}(\tau)=f_u(\tilde\varphi^{1,3}(\tau,x^*),\tilde v^{1,3}(\tau,x^*),x^*,0),\qquad \hat f_u(\sigma)=f_u(\tilde u(\sigma,x^*),v^*,x^*,0), \\ \tilde h_v^{(\mp)}(\tau)=h_v(\tilde v^{1,3}(\tau,x^*),x^*) \end{gathered} \end{equation*} \notag$

и аналогичные обозначения для остальных частных производных функций

$f$ ,

$g$ и

$h$ .

Алгоритм построения функций порядка выше нулевого в суммах (14) и (15) такой же, как в работе [7]. Сначала определяются функции $M_k^{(\mp)}v(\sigma)$ из задач

$\begin{equation*} \frac{\partial^2}{\partial\sigma^2}M_k^{(\mp)}v(\sigma)=M_k^{(\mp)}g(\sigma),\qquad \sigma\in\mathbb R^{\mp},\quad M_k^{(\mp)}v(\mp\infty)=0, \end{equation*} \notag$

где

$M_k^{(\mp)}g(\sigma)$ – известные на

$k$ -м шаге функции, которые экспоненциально убывают до нуля соответственно при

$\sigma\to\mp\infty$ по построению [7]. Как отмечалось ранее,

$M_1^{(\mp)}v(\sigma)=0$ .

Далее из первой пары равенств (21) в порядке $\varepsilon^k$ получаем соотношение, связывающее функции $Q_k^{(\mp)}u(\tau)$ и $Q_k^{(\mp)}v(\tau)$ :

$\begin{equation} \overline{u}\kern1pt _k^{(\mp)}(x^*)+Q_k^{(\mp)}u(\tau)=\tilde\varphi^{1,3}_v(\tau,x^*)\bigl( \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_k(x^*)+Q_k^{(\mp)}v(\tau)\bigr)+q_k^{(\mp)}f(\tau,x^*), \end{equation} \tag{28}$

где

$q_k^{(\mp)}f(\tau,x^*)$ – известные на

$k$ -м шаге функции. С использованием равенств вида (28) и второй пары уравнений (21) можно получить задачи для функций

$Q_k^{(\mp)}v(\tau)$ :

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial^2}{\partial\tau^2}Q_k^{(\mp)}v(\tau)=\tilde h_v^{(\mp)}(\tau)Q_k^{(\mp)}v(\tau)+H_k^{(\mp)}(\tau,x^*),\quad \tau\in\mathbb{R}^{\mp}; \\ Q_k^{(\mp)}v(0)=- \overline{v}\kern1pt _k^{(\mp)}(x^*)- M_k^{(\mp)}v(0),\qquad Q_k^{(\mp)}v(\mp\infty)=0, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где

$H_k^{(\mp)}(\tau,x^*)$ – известные на

$k$ -м шаге функции. Наконец, из первой пары уравнений (22) получаем задачи для функций

$M_k^{(\mp)}u(\sigma)$ :

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial^2}{\partial\sigma^2}M_k^{(\mp)}u(\sigma)=\hat f_u(\sigma)M_k^{(\mp)}u(\sigma)+F_k^{(\mp)}(\sigma,x^*),\quad\sigma\in\mathbb{R}^{\mp}; \\ M_k^{(\mp)}u(0)=- \overline{u}\kern1pt _k^{(\mp)}(x^*)-Q_k^{(\mp)}u(0),\qquad M_k^{(\mp)}u(\mp\infty)=0, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где

$F_k^{(\mp)}(\sigma,x^*)$ – известные на

$k$ -м шаге функции.

Отметим, что для функций $M_k^{(\mp)}v(\sigma)$ , $Q_k^{(\mp)}v(\tau)$ , $M_k^{(\mp)}u(\sigma)$ , $Q_k^{(\mp)}u(\tau)$ , $k=1,2,\ldots{}$ , имеют место экспоненциальные оценки типа (26) и (27).

Из условий сшивания производных (19) с учетом представлений (18) получаем системы уравнений для определения коэффициентов $v_k$ , $x_k$ . Система для $v_0$ , $x_0$ совпадает с системой из условия A4. При $k\geqslant 1$ эти коэффициенты определяются из линейных систем с отличным от нуля в силу условия A5 определителем:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, v_k\frac{\partial J_0v}{\partial v}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}+ x_k\frac{\partial J_0v}{\partial x}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}+S_k=0, \\ v_k\frac{\partial J_0u}{\partial v}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}+ x_k\frac{\partial J_0u}{\partial x}\bigg|_{\substack{v=v_0,\\ x=x_0\;}}+T_k=0, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$S_k$ ,

$T_k$ – известные числа.

3.3. Функции пограничных слоев

Процесс построения пограничных функций для задачи (2) описан в работе [11].

3.4. Асимптотическое приближение $n$ -го порядка

Определим коэффициенты разложений (18) до номера $n$ включительно. Составим суммы $\hat v_n$ , $X_n$ и введем растянутые переменные $\tau_n$ , $\sigma_n$ следующим образом:

$\begin{equation*} \hat v_n=\sum_{i=0}^{n}{\varepsilon^i v_i},\quad X_n=\sum_{i=0}^{n}{\varepsilon^ix_i},\qquad \tau_n=\frac{x-X_n}\varepsilon,\quad \sigma_n=\frac{x-X_n}{\varepsilon^2}. \end{equation*} \notag$

Определим все функции, входящие в следующие суммы:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, U_n^{(\mp)}&= \sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{u}\kern1pt ^{(\mp)}_i(x)+Q^{(\mp)}_i u(\tau_n)+M^{(\mp)}_i u(\sigma_n)\bigr)+{} \\ &\quad +\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^i P^{(\mp)}_iu(\zeta_{1,2}) +\sum_{i=0}^{n+2}\varepsilon^i R^{(\mp)}_iu(\xi_{1,2}), \\ V_n^{(\mp)}&= \sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i\bigl( \overline{v}\kern1pt ^{(\mp)}_i(x)+Q^{(\mp)}_iv(\tau_n)\bigr)+{} \\ &\quad +\sum_{i=0}^{n+2} \varepsilon^i\bigl(M^{(\mp)}_iv(\sigma_n)+R^{(\mp)}_iv(\xi_{1,2})\bigr) +\sum_{i=0}^{n+1} \varepsilon^i P^{(\mp)}_iv(\zeta_{1,2}). \end{aligned} \end{equation} \tag{29}$

В суммах (29) параметр

$x^*$ , входящий в

$Q$ - и

$M$ -функции (23), (24), заменен на

$X_n$ . Положим

$\begin{equation*} U_n(x,\varepsilon)=\begin{cases} U^{(-)}_n, & x\in[0;X_n], \\ U^{(+)}_n, & x\in[X_n;1]; \end{cases}\qquad V_n(x,\varepsilon)=\begin{cases} V^{(-)}_n, & x\in[0;X_n], \\ V^{(+)}_n, & x\in[X_n;1].\end{cases} \end{equation*} \notag$

Функции

$U_n$ и

$V_n$ по построению удовлетворяют граничным условиям задачи (2) с точностью

$O(\varepsilon^{n+1})$ и с той же точностью – уравнениям (2) всюду на отрезке

$[0,1]$ , за исключением точки

$X_n$ .

Нашей дальнейшей целью будет доказательство существования классического решения $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$ задачи (2), для которого пара функций $(U_n,V_n)$ является равномерным асимптотическим приближением, а также устойчивости этого решения как стационарного решения задачи (1). Для доказательства мы будем использовать метод верхних и нижних решений [4], [3]. Последние будем строить как модификации асимптотического приближения, используя асимптотический метод дифференциальных неравенств [6], [7], [3], [12].

4. Верхнее и нижнее решения

Верхнее и нижнее решения задачи (2) будем строить как модификации асимптотического приближения порядка $n+1$ . Введем следующие обозначения:

$\begin{equation*} X_{n+1}=\sum_{i=0}^{n+1}\varepsilon^{i}x_i,\qquad \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt =X_{n+1}- \varepsilon^{n+1}\delta,\quad \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt =X_{n+1}+\varepsilon^{n+1}\delta, \end{equation*} \notag$

где

$\delta$ – константа, которую уточним ниже. Согласно определениям, данным в [4], [3], [12], под верхним и нижним решениями задачи (2) мы будем понимать пары функций

$\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\,$ ,

$\,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\,$ и

$\underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\,$ ,

$\underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\,$ , непрерывных всюду на отрезке

$[0,1]$ и дважды непрерывно дифференцируемых почти всюду на этом отрезке, за исключением, быть может, точек

$X_{n+1}$ (для

$\,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\,$ и

$\underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\,$ ),

$\overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt$ (для

$\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\,$ ) и

$\underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt$ (для

$\underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\,$ ); кроме того, для верхнего и нижнего решений должны выполняться следующие условия:

$\begin{equation} \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, \leqslant \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ,\quad \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, \leqslant \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ,\qquad x\in[0,1]; \end{equation} \tag{$1^\circ$}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \varepsilon^4 \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ''- f( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ,x,\varepsilon)=:{}&L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, \,)\leqslant 0,\qquad x\in(0,1)\backslash \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,\vphantom{|^{\Big|}} \\ &L_u( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )\geqslant 0,\qquad \,x\in(0,1)\backslash \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt , \\ \varepsilon^2 \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ''- g( \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ,x,\varepsilon)=:{}&L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )\leqslant 0\leqslant L_v( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, \,),\qquad x\in(0,1)\backslash X_{n+1}; \end{aligned} \end{equation} \tag{$2^\circ$}$

$\begin{equation} \begin{alignedat}{3} \frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=0}&\leqslant 0\leqslant\frac{d \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=0},&\qquad \frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=0}&\leqslant 0\leqslant\frac{d \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=0},\vphantom{|^{\bigg|}} \\ \frac{d \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=1}&\leqslant 0\leqslant\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=1},&\qquad \frac{d \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=1}&\leqslant 0\leqslant\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{x=1}; \end{alignedat} \end{equation} \tag{$3^\circ$}$

$\begin{equation} \begin{alignedat}{3} \frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt -0}-\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt +0}&\geqslant 0,&\qquad \frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{X_{n+1}-0}-\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, }{dx}\bigg|_{X_{n+1}+0}&\geqslant 0,\vphantom{|^{\bigg|}} \\ \frac{d \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt -0}-\frac{d \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt +0}&\leqslant 0,&\qquad \frac{d \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{X_{n+1}-0}-\frac{d \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, }{dx}\bigg|_{X_{n+1}+0}&\leqslant 0. \end{alignedat} \end{equation} \tag{$4^\circ$}$

4.1. Построение верхнего и нижнего решений

Верхнее и нижнее решения строятся как модификации асимптотического приближения $(n+1)$ -го порядка. Далее будем считать, что $n\geqslant 3$ .

Введем растянутые переменные

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt =\frac{x- \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt }\varepsilon,\quad \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt =\frac{x- \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt }{\varepsilon^2},\qquad \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt =\frac{x- \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt }\varepsilon,\quad \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt =\frac{x- \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt }{\varepsilon^2}, \\ \tau_{n+1}=\frac{x-X_{n+1}}\varepsilon,\qquad \sigma_{n+1}=\frac{x-X_{n+1}}{\varepsilon^2}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Также введем функции

$\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$ ,

$\underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ и

$\,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$ ,

$\underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ следующим образом:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )&=U^{(\mp)}_{n+1}\big|_{ \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }- \varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}(\tilde u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )-{} \\ &\quad-\varepsilon^n\delta\tilde\varphi^{1,3}_v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )\Phi^{(\mp)}(\tilde v^{1,3}( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ), \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+ \varepsilon^{n+1}\alpha^{(\mp)}(x)+\varepsilon^{n+1}q_{n+1}^{(\mp)}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )+{} \end{aligned}\nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\quad+\sum_{i=n}^{n+1}\varepsilon^{i}m_i^{(\mp)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )+\varepsilon^{n+2} \overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.6pt\Omega ^{(\mp)}_u+ \varepsilon^{n+3}\widetilde R^{(\mp)}_{n+3}u({\xi_{1,2}}), \\ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )&=U^{(\mp)}_{n+1}\big|_{ \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt }+ \varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}(\tilde u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ),\hat v_{n+1}, \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )+{} \end{aligned} \end{equation} \tag{30}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\kern65pt+\varepsilon^n\delta\tilde\varphi^{1,3}_v( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )\Phi^{(\mp)}(\tilde v^{1,3}( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ), \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )- \varepsilon^{n+1}\alpha^{(\mp)}(x)-\varepsilon^{n+1}q_{n+1}^{(\mp)}u( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )-{} \\ &\kern65pt-\sum_{i=n}^{n+1}\varepsilon^i m_i^{(\mp)}u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )+ \varepsilon^{n+2}\underline\Omega^{(\mp)}_u-\varepsilon^{n+3}\widetilde R^{(\mp)}_{n+3}u({\xi_{1,2}}), \end{aligned}\nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1})&=V^{(\mp)}_{n+1}+\varepsilon^{n+1}\beta^{(\mp)}(x)+ \varepsilon^{n+1} q_{n+1}^{(\mp)}v (\tau_{n+1})+{} \\ &\quad+\sum_{i=n+2}^{n+3}\varepsilon^im_i^{(\mp)}v(\sigma_{n+1})+\varepsilon^{n+2} \overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.6pt\Omega ^{(\mp)}_v+ \varepsilon^{n+2}\widetilde P^{(\mp)}_{n+2}v({\zeta_{1,2}}), \\ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1})&=V^{(\mp)}_{n+1}-\varepsilon^{n+1}\beta^{(\mp)}(x)- \varepsilon^{n+1} q_{n+1}^{(\mp)}v (\tau_{n+1})-{} \\ &\quad-\sum_{i=n+2}^{n+3}\varepsilon^i m_i^{(\mp)}v (\sigma_{n+1})+\varepsilon^{n+2}\underline\Omega^{(\mp)}_v- \varepsilon^{n+2}\widetilde P^{(\mp)}_{n+2}v({\zeta_{1,2}}). \end{aligned} \end{equation} \tag{31}$

В этих формулах через

$U^{(\mp)}_{n+1}|_{ \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }$ ,

$U^{(\mp)}_{n+1}|_{ \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt }$ обозначены асимптотические представления

$(n+1)$ -го порядка, в которых переменные

$\tau_{n+1}$ ,

$\sigma_{n+1}$ заменены соответственно на

$\overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt$ ,

$\overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt$ и

$\underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt$ ,

$\underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt$ ; функции

$\Phi^{(\mp)}$ и

$\Psi^{(\mp)}$ определены выражениями (11). К асимптотическим представлениям добавлены слагаемые

$\alpha^{(\mp)}$ ,

$\beta^{(\mp)}$ , обеспечивающие выполнение условий

$(1^\circ)$ и

$(2^\circ)$ вдали от концов отрезка

$[0,1]$ и достаточно малой окрестности точки

$x=X_{n+1}$ , а также слагаемые

$m_i^{(\mp)}u$ (для

$i=n,\,n+1$ ),

$q_{n+1}^{(\mp)}u$ ,

$q_{n+1}^{(\mp)}v$ и

$m_i^{(\mp)}v$ (для

$i=n+2,\,n+3$ ), устраняющие невязки порядка

$O(\varepsilon^n)$ и

$O(\varepsilon^{n+1})$ . Эти невязки возникают в окрестности точки

$x=X_{n+1}$ в выражениях для

$L_u$ и

$L_v$ из-за того, что в эти выражения входят функции, зависящие от различных растянутых переменных, а также из-за включения дополнительных слагаемых, не входящих в асимптотическое представление. Кроме того, добавлены пограничные функции, зависящие от переменных

$\xi_{1,2}$ и

$\zeta_{1,2}$ , обеспечивающие выполнение условий

$(3^\circ)$ . Процесс построения этих функций описан в [11].

Будем сшивать функции $\,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$ , $\underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ и $\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$ , $\underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ непрерывным образом так, чтобы выполнялись равенства

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)}(X_{n+1},0,0)&= \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(+)}(X_{n+1},0,0)=\hat v_{n+1}+\varepsilon^{n+1}\mu, \\ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(-)}(X_{n+1},0,0)&= \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(+)}(X_{n+1},0,0)=\hat v_{n+1}- \varepsilon^{n+1}\mu, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(-)}( \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,0,0)&= \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}( \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,0,0)=\varphi^2(\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )-\varepsilon^{n-1}\delta\Psi(0)+\varepsilon^n\gamma_n, \\ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(-)}( \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ,0,0)&= \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(+)}( \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ,0,0)=\varphi^2(\hat v_{n+1}, \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )+ \varepsilon^{n-1}\delta\Psi(0)-\varepsilon^n\gamma_n. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation} \tag{32}$

Здесь

$\hat v_{n+1}=v_0+\cdots+\varepsilon^{n+1}v_{n+1}$ , величина

$\Psi(0)$ определена в (12),

$\mu$ – положительное число,

$\gamma_n$ – константа, которая выбирается далее вместе с

$\delta$ так, чтобы были выполнены условия

$(1^\circ)$ и

$(4^\circ)$ .

Все слагаемые порядка не выше $\varepsilon^{n+1}$ , входящие в пары функций $\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$ , $\,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$ , $\underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ и $\underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}$ , сшиваются непрерывно. Чтобы устранить скачки в точках сшивания более высокого порядка, в суммы (30), (31) добавлены константы $\varepsilon^{n+2} \overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.6pt\Omega ^{(\mp)}_u$ , $\varepsilon^{n+2}\underline\Omega^{(\mp)}_u$ , $\varepsilon^{n+2} \overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.6pt\Omega ^{(\mp)}_v$ , $\varepsilon^{n+2}\underline\Omega^{(\mp)}_v$ .

Составим непрерывные функции

$\begin{equation} \begin{alignedat}{3} \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )&=\begin{cases} \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(-)}, & x\in{[0; \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ]}, \\ \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}, & x\in{[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ;1]}; \end{cases} &\quad\; \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1})&=\begin{cases} \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)}, & x\in{[0;X_{n+1}]}, \\ \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(+)}, & x\in{[X_{n+1};1]}; \end{cases} \end{alignedat} \end{equation} \tag{33}$

$\begin{equation} \begin{alignedat}{3} \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, (x, \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )&=\begin{cases} \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(-)}, & x\in{[0; \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ]}, \\ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(+)}, & x\in{[ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ;1]}; \end{cases}&\quad\; \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, (x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1})&=\begin{cases} \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(-)}, & x\in{[0;X_{n+1}]}, \\ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(+)}, & x\in{[X_{n+1};1]}.\end{cases} \end{alignedat} \end{equation} \tag{34}$

Покажем теперь, каким образом следует определить функции

$\alpha^{(\mp)}$ ,

$\beta^{(\mp)}$ ,

$q_{n+1}^{(\mp)}u$ и

$m_i^{(\mp)}u$ (для

$i=n,n+1$ ),

$q_{n+1}^{(\mp)}v$ , и

$m_i^{(\mp)}v$ (для

$i=n+2,n+3$ ), чтобы для пар функций

$( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )$ и

$( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, )$ выполнялись условия

$(1^\circ)$ –

$(4^\circ)$ . Приведем рассуждения для верхнего решения; для нижнего они будут аналогичными.

Неравенства

$\begin{equation*} L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, (x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))<0\quad\text{и}\quad L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))<0 \end{equation*} \notag$

из условия

$(2^\circ)$ будем рассматривать отдельно на каждом из отрезках

$[0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ]$ ,

$[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,1]$ и на каждом из отрезков

$[0,X_{n+1}]$ ,

$[X_{n+1},1]$ соответственно. Заметим, что в силу непрерывности функции

$\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\,$ в точке

$\overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt$ и условия сшивания производных (19) (с заменой

$n$ на

$n+1$ ) для всех

$x\in[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,X_{n+1}]$ ,

$\bar \tau\in[0,\varepsilon^n\delta]$ ,

$\overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt \in[0,\varepsilon^{n-1}\delta]$ выполняется равенство

$\begin{equation*} \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(-)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )= \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )+O(\varepsilon^{2n+1}), \end{equation*} \notag$

и аналогичные соотношения связывают пары функций

$\,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)},\, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(+)}$ и

$\underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(-)}$ ,

$\underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(+)}$ при

$x\in[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,X_{n+1}]$ .

В выражениях для $L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))$ перейдем к переменным $\overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt$ , $\overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt$ , а в выражениях для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))$ – к переменным $\tau_{n+1}$ , $\sigma_{n+1}$ . В результате перепишем условия $(2^\circ)$ для верхнего решения в виде условия

$\begin{equation} \begin{aligned} \, L_u&( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))= \notag\\ &=\varepsilon^4\frac{d^2 \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}}{dx^2}- f( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ),x,\varepsilon)-{} \notag\\ &\quad-f_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ),x,\varepsilon)\times{} \notag\\ &\qquad\quad\times\bigl(-\varepsilon^n\delta\Phi^{(\mp)}(\tilde v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ), \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )- \varepsilon^{n+1}\delta(Q_{1\tau}^{(\mp)}v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )+ M_{2\sigma}^{(\mp)}v( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )-Q^{(\mp)}_{0x^*}v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt ))\bigr)+{} \notag\\ &\quad+O(\varepsilon^{n+2})<0, \end{aligned} \end{equation} \tag{35}$

которое выполняется при

$0\leqslant x\leqslant \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt$ ,

$\tau\leqslant0$ ,

$\sigma\leqslant 0$ для функций с верхним индексом

$(-)$ и при

$\overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt \leqslant x\leqslant 1$ ,

$\tau\geqslant 0$ ,

$\sigma\geqslant 0$ для функций с верхним индексом

$(+)$ , и условия

$\begin{equation} \begin{aligned} \, L_v&( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x, \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ), \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}))= \notag\\ &=\varepsilon^2 \frac{d^2 \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)}}{dx^2}- g( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}),x,\varepsilon)-{} \notag\\ &\quad-g_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}), \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\tau_{n+1},\sigma_{n+1}),x,\varepsilon)\times{} \notag\\ &\qquad\quad\times\biggl(\varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}(\tilde u(\sigma_{n+1},X_{n+1}),\hat v_{n+1},X_{n+1})+{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad+\varepsilon^n\delta \tilde\varphi^{1,3}_v (\tau_{n+1},X_{n+1})\Phi^{(\mp)}(\tilde v^{1,3}(\tau_{n+1},X_{n+1}),X_{n+1})+{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad+\varepsilon^{n-1}\delta\sum_{i=1}^{2}\varepsilon^{i} M_{i\sigma}^{(\mp)}u(\sigma_{n+1})+{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad+\varepsilon^{n+1}\delta( Q_{1\tau}^{(\mp)}u(\tau_{n+1})- Q_{0x^*}^{(\mp)}u(\tau_{n+1})- M^{(\mp)}_{0x^*}u(\sigma_{n+1}))\biggr)+{} \notag\\ &\quad+O(\varepsilon^{n+2})<0, \end{aligned} \end{equation} \tag{36}$

которое выполняется при

$0\leqslant x\leqslant X_{n+1}$ ,

$\tau_{n+1}\leqslant 0$ ,

$\sigma_{n+1}\leqslant 0$ для функций с верхним индексом

$(-)$ и при

$X_{n+1}\leqslant x\leqslant 1$ ,

$\tau_{n+1}\geqslant 0$ ,

$\sigma_{n+1}\geqslant 0$ для функций с верхним индексом

$(+)$ .

Отметим, что слагаемые $-\varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}(\tilde u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )$ , входящие в функции $\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}$ , компенсируют невязку порядка $O(\varepsilon^{n-1})$ в выражениях для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)})$ , а слагаемые $-\varepsilon^n\delta \tilde\varphi^{1,3}_v ( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )\Phi^{(\mp)}(\tilde v^{1,3}( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ), \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )$ в выражениях для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)})$ компенсируют невязку порядка $O(\varepsilon^n)$ , возникающую за счет перехода к одной “медленной” растянутой переменной $\tau_{n+1}$ . В свою очередь, эти слагаемые вносят невязки порядка $O(\varepsilon^n)$ в выражение для $L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)})$ в той области переходного слоя, в которой существенную роль играют функции, зависящие от “быстрой” растянутой переменной $\overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt$ . Можно показать, что эти невязки будут устранены, если определить функции $m_n^{(\mp)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )$ как решения уравнений

$\begin{equation*} \biggl[\frac{\partial^2}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ^2}-\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\biggr] (m_n^{(\mp)}u +\delta M^{(\mp)}_{1 \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }u)=0,\qquad \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt \in\mathbb{R}^{(\mp)}. \end{equation*} \notag$

Убывающие соответственно при

$\overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt \to\mp\infty$ решения этих уравнений с условиями

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, m_n^{(\mp)}u(0)&-\delta(\tilde\varphi^{1,3}_v (0,x_0)\Phi(0)+{} \\ &+\Psi^{(\mp)}_x(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)x_1+\Psi^{(\mp)}_v(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)v_1)=\gamma_n, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

которые следуют из (32), имеют вид

$\begin{equation*} m_n^{(\mp)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )=\gamma\frac{\Psi^{(\mp)}(\tilde u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )}{\Psi^{(\mp)}(\tilde u(0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )}- \delta M^{(\mp)}_{1 \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ). \end{equation*} \notag$

Здесь введено обозначение

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \gamma&:=\gamma_n+\delta (\tilde\varphi^{1,3}_v (0,x_0)\Phi(0)+{} \notag\\ &\quad +\Psi^{(\mp)}_x(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)x_1+\Psi^{(\mp)}_v(\varphi^2(v_0,x_0),v_0,x_0)v_1+M^{(\mp)}_{1 \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }u(0)). \end{aligned} \end{equation} \tag{37}$

Равенство величин

$\gamma$ для слагаемых с верхними индексами

$(-)$ и

$(+)$ следует из условия сшивания производных (19) в первом порядке (здесь

$x_1$ ,

$v_1$ – коэффициенты разложения (18), а обозначение

$\Phi(0)$ введено в (12)). Заметим, что для любого значения

$\delta$ можно подобрать величину

$\gamma_n$ таким образом, чтобы выполнялось неравенство

$\gamma>0$ .

Функции $m_{n+2}^{(\mp)}v(\sigma_{n+1})$ устраняют невязки порядка $O(\varepsilon^n)$ , вносимые функциями $m_n^{(\mp)}u$ в $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)})$ , а также невязки, возникающие в этом выражении в результате перехода к растянутой переменной $\sigma_{n+1}$ . Определим эти функции как решения задач

$\begin{equation*} \frac{\partial^2 m_{n+2}^{(\mp)}v}{\partial\sigma_{n+1}^2}= \hat g_u(\sigma_{n+1})\bigl(m_n^{(\mp)}u+\delta M^{(\mp)}_{1\sigma}u(\sigma_{n+1})\bigr), \quad\sigma_{n+1}\in\mathbb{R}^{\mp},\qquad m_{n+2}^{(\mp)}v(\mp\infty)=0. \end{equation*} \notag$

Определим функции $\alpha^{(\mp)}(x)$ , $\beta^{(\mp)}(x)$ , входящие в верхнее и нижнее решения, из систем уравнений

$\begin{equation} \overline{f\kern-1pt}\kern1pt _u^{(\mp)}(x)\alpha^{(\mp)}- \overline{f\kern-1pt}\kern1pt _v^{(\mp)}(x)\beta^{(\mp)}=C,\qquad \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt _u^{(\mp)}(x)\alpha^{(\mp)}+ \overline{g\kern-0.5pt}\kern0.5pt _v^{(\mp)}(x)\beta^{(\mp)}=D, \end{equation} \tag{38}$

где

$C$ и

$D$ – положительные числа и использованы обозначения (20). При выполнении условия A7 функции

$\alpha^{(\mp)}(x)$ и

$\beta^{(\mp)}(x)$ принимают строго положительные значения соответственно на отрезках

$[0,x_0]$ и

$[x_0,1]$ (см. [12]).

Чтобы устранить невязки порядка $O(\varepsilon^{n+1})$ , зависящие от растянутой переменной $\overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt$ , а также невязки, которые вносят слагаемые $\alpha^{(\mp)}(x)$ и $\beta^{(\mp)}(x)$ в выражение для $L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)})$ , потребуем, чтобы функции $q^{(\mp)}_{n+1}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )$ и $q^{(\mp)}_{n+1}v( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )$ были связаны посредством равенств

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \tilde f_u^{(\mp)}( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt ) \bigl(\alpha^{(\mp)}(x_0)&{}+q^{(\mp)}_{n+1}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )+\delta[Q_{1\tau}^{(\mp)}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )-Q_{0x^*}^{(\mp)}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )]\bigr)-{} \notag\\ &-\tilde f_v^{(\mp)}\bigl(\beta^{(\mp)}(x_0)+q^{(\mp)}_{n+1}v( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )\bigr)-C=0. \end{aligned} \end{equation} \tag{39}$

Уравнения для функций $q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})$ составим таким образом, чтобы устранить невязки порядка $O(\varepsilon^{n+1})$ в выражении (36) для $L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)})$ , зависящие от растянутой переменной $\tau_{n+1}.$ Воспользуемся выражениями для функций $q^{(\mp)}_{n+1}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )$ , полученными из равенств (39), поскольку возникающие при этом невязки будут иметь порядок $\overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt -\tau_{n+1}=O(\varepsilon^n)$ .

Наконец, определим функции $q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})$ как решения задач

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \frac{\partial^2q^{(\mp)}_{n+1}v}{\partial\tau_{n+1}^2}= \tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})&+\tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})\beta^{(\mp)}(x_0)+{} \\ &+C\frac{\tilde g_u^{(\mp)}(\tau_{n+1})}{\tilde f_u^{(\mp)}(\tau_{n+1})}-D-de^{-\kappa\tau_{n+1}},\quad \tau_{n+1}\in\mathbb{R}^{\mp}; \end{aligned}\\ q^{(\mp)}_{n+1}v(0)=\mu-\beta^{(\mp)}(x_0),\qquad q^{(\mp)}_{n+1}v(\mp\infty)=0, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где функции

$\tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})$ заданы в (13),

$d$ и

$\kappa$ – положительные константы, которые можно выбрать так, чтобы неоднородности в правых частях уравнения принимали строго отрицательные значения соответственно на полупрямых

$\tau_{n+1}\leqslant 0$ и

$\tau_{n+1}\geqslant 0$ . Заметим также, что эти неоднородности экспоненциально убывают до нуля при

$\tau_{n+1}\to\mp\infty$ соответственно. Явные выражения для

$q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})$ имеют вид

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})&=\mu W^{(\mp)}(\tau_{n+1})+{} \\ &\quad+W^{(\mp)}(\tau_{n+1})\int_0^{\tau_{n+1}}\frac{d\tau_1}{[W^{(\mp)}(\tau_1)]^2}\times{} \\ &\qquad\times\int_{\mp\infty}^{\tau_1}W^{(\mp)}(\tau_2) \biggl(\tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})\beta^{(\mp)}(x_0)+C\frac{\tilde g_u^{(\mp)}(\tau_2)}{\tilde f_u^{(\mp)}(\tau_2)}-D-de^{-\kappa\tau_2}\biggr)d\tau_2, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$W^{(\mp)}(\tau_{n+1})$ – решения задач

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial^2 W^{(\mp)}}{\partial\tau_{n+1}^2}(\tau_{n+1})-\tilde\nu^{(\mp)}(\tau_{n+1})W^{(\mp)}(\tau_{n+1})=0,\quad\tau_{n+1}\in\mathbb{R}^{\mp}, \\ W^{(\mp)}(0)=1,\qquad W^{(\mp)}(\mp\infty)=0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

В работе [3] доказана лемма, что при выполнении условия A7 функции

$W^{(\mp)}(\tau_{n+1})$ строго положительны соответственно на полупрямых

$\tau_{n+1}\leqslant 0$ и

$\tau_{n+1}>0$ , кроме того, выполняются неравенства

$\begin{equation} \frac{dW^{(-)}}{d\tau_{n+1}}(0)>0,\qquad \frac{dW^{(+)}}{d\tau_{n+1}}(0)<0. \end{equation} \tag{40}$

Функции $q^{(\mp)}_{n+1}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )$ экспоненциально убывают соответственно при $\tau_{n+1}\to\mp\infty$ и при указанном выборе констант $d$ и $\kappa$ принимают строго положительные значения соответственно при $\tau_{n+1}\leqslant 0$ и $\tau_{n+1}\geqslant0$ . Функции $m_{n+1}^{(\mp)}u$ устраняют невязки порядка $O(\varepsilon^{n+1})$ в выражении (35) для $L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)})$ , зависящие от растянутой переменной $\overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt$ . Они определяются как решения задач

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\biggl[\frac{\partial^2}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ^2}-\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\biggr] \biggl(m_{n+1}^{(\mp)}u+\frac{\gamma}{\Psi(0)}\frac{\partial M_1^{(\mp)}u}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }- \delta\frac{\partial M_2^{(\mp)}u}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt }\biggr)= \\ &\quad =F_{2n-2}( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )-C\biggl(1-\frac{\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )}{\tilde f_u(0)}\biggr){-} \biggl(\mu+\gamma\frac{\Phi(0)}{\Psi(0)}-\delta\tilde{v}_x(0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )\biggr) \bigl(\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\tilde\varphi^{1,3}_v(0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+\hat f_v( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\bigr)\,+ \\ &\kern204pt +\delta\bigl(\hat f_u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\tilde\varphi^{1,3}_x(0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+\hat f_x( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )\bigr),\quad \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt \in\mathbb{R}^{\mp}; \end{aligned}\\ m_{n+1}^{(\mp)}u(0)=-\alpha^{(\mp)}(x_0)-q_{n+1}^{(\mp)}u (0)+D^{(\mp)},\qquad m_{n+1}^{(\mp)}u(\mp\infty)=0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Здесь использованы обозначения (12), функция

$F_{2n-2}$ задается как

$\begin{equation*} F_{2n-2}=\begin{cases}\dfrac{1}{2}\hat f_{uu}\delta^2(\Psi^{(\mp)})^2, & n=3, \\ 0, & n>3, \end{cases} \end{equation*} \notag$

а через

$D^{(\mp)}$ обозначены невязки порядка

$O(\varepsilon^{n+1})$ в граничных условиях (32), вносимые функциями

$\varepsilon^{n-1}\delta\Psi^{(\mp)}$ и

$\varepsilon^n\delta \tilde\varphi^{1,3}_v\Phi^{(\mp)}$ .

Наконец, определим функции $m_{n+3}^{(\mp)}v(\sigma_{n+1})$ как решения задач

$\begin{equation*} \frac{\partial^2m_{n+3}^{(\mp)}v}{\partial \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt ^2}=m_{n+1}^{(\mp)}g(\sigma_{n+1}),\quad \sigma_{n+1}\in\mathbb{R}^{\mp},\qquad m_{n+3}^{(\mp)}v(\mp\infty)=0, \end{equation*} \notag$

где

$m_{n+1}^{(\mp)}g$ – известные функции, содержащие невязки порядка

$O(\varepsilon^{n+1})$ в выражении (36) для

$L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}, \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)})$ , зависящие от растянутой переменной

$\sigma_{n+1}$ . Эти функции экспоненциально убывают до нуля соответственно при

$\sigma_{n+1}\to\mp\infty$ .

Покажем, что построенные указанным способом функции (30), (31) удовлетворяют условиям $(1^\circ)$ – $(4^\circ)$ определения верхних и нижних решений.

4.2. Проверка выполнения условий $(1^\circ)$ – $(4^\circ)$

В предыдущем пункте мы построили пары функций $( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )$ и $( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, )$ , для которых справедливы равенства

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, L_u( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, )&=-\varepsilon^{n+1}C+O(\varepsilon^{n+2}), \\ L_u( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )&=\varepsilon^{n+1}C+O(\varepsilon^{n+2}); \\ L_v( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, )&=-\varepsilon^{n+1}(D+de^{-\kappa\tau_{n+1}})+O(\varepsilon^{n+2}), \\ L_v( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, )&=\varepsilon^{n+1}(D+de^{-\kappa\tau_{n+1}})+O(\varepsilon^{n+2}). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Здесь

$C$ и

$D$ – положительные константы в правых частях уравнений (38). Правые части равенств положительны, тем самым условия

$(2^\circ)$ выполнены. Выполнение условия

$(3^\circ)$ следует из тех же соображений, что в работе [11].

Проверим справедливость условия $(1^\circ)$ упорядоченности верхнего и нижнего решений. Упорядоченность $V$ -компонент следует из положительности константы $\mu$ и функций $q^{(\mp)}_{n+1}v(\tau_{n+1})$ (при $\tau_{n+1}\leqslant 0$ и $\tau_{n+1}\geqslant 0$ соответственно). Рассмотрим разность $U$ -компонент верхнего и нижнего решений на отрезке $[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ]$ . Заметим, что взаимное расположение точек $\overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt$ и $\underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt$ зависит от знака $\delta$ . В случае положительного $\delta$ эта разность записывается как

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, - \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, &= \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}- \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(-)}= \\ &=\sum_{i=0}^{n}\varepsilon^i \bigl( \overline{u}\kern1pt _i^{(+)}(x)- \overline{u}\kern1pt _i^{(-)}(x)+Q_i^{(+)}u( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )- Q_i^{(-)}u( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt )+M_i^{(+)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )- M_i^{(-)}u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )\bigr)\,- \\ &\quad-\varepsilon^{n-1}\delta(\Psi^{(+)}(\tilde u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ),\hat v_{n+1}, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+ \Psi^{(-)}(\tilde u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ),\hat v_{n+1}, \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ))-{} \\ &\quad-\varepsilon^n\delta\bigl(\tilde\varphi^3_v ( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )\Phi^{(+)}(\tilde v^3( \overline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ), \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt )+ \tilde\varphi^1_v ( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )\Phi^{(-)}(\tilde v^1( \underline{\tau\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ), \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt )\bigr)+{} \\ &\quad+\varepsilon^n\bigl(m_n^{(+)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )+m_i^{(-)}u( \underline{\sigma\kern-0.5pt}\kern1pt )\bigr)+O(\varepsilon^{n+1}). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

В силу непрерывности асимптотического приближения

$U_{n+1}$ в точке

$X_{n+1}$ и условия сшивания производных (19) в порядках

$\varepsilon^{-2}$ и

$\varepsilon^{-1}$ (см. также комментарий после формулы (37)), принимая во внимание явный вид функций

$m_n^{(+)}u( \overline{\kern-0.5pt\sigma\kern-1pt}\kern1pt )$ , можно получить следующее выражение для разности

$\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, - \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\,$ на рассматриваемом отрезке:

$\begin{equation*} \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}- \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(-)}=2\varepsilon^n\gamma+O(\varepsilon^{n+1}). \end{equation*} \notag$

Правая часть этого выражения положительна при достаточно малых

$\varepsilon$ за счет выбора величины

$\gamma>0$ .

Упорядоченность $U$ -компонент верхнего и нижнего решений вне отрезка $[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt , \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ]$ доказывается аналогично работе [7].

Для скачков производных верхнего решения в точках сшивания можно получить равенства вида

$\begin{equation*} \varepsilon\biggl(\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(-)}}{dx}-\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ^{(+)}}{dx}\biggr)\bigg|_{x=X_{n+1}}=\varepsilon^{n+1}A_1,\qquad \varepsilon^2\biggl(\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(-)}}{dx}-\frac{d \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(+)}}{dx}\biggr)\bigg|_{x= \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt }=\varepsilon^{n+1}B_1, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A_1&=\mu\biggl(\frac{\partial W^{(-)}}{\partial\tau_{n+1}}-\frac{\partial W^{(+)}}{\partial\tau_{n+1}}\biggr)\bigg|_{\tau_{n+1}=0}- \gamma\frac{1}{\Psi(0)}\frac{\partial J_0v}{\partial v}(v_0,x_0)+A_2, \\ B_1&=\biggl({-\delta}\frac{\partial J_0v}{\partial x}(v_0,x_0)\biggl(\frac{\partial J_0v}{\partial v}(v_0,x_0)\biggr)^{\!-1}- \mu-\gamma\frac{\Phi(0)}{\Psi(0)}\biggr)\frac{1}{\Psi(0)}\frac{\partial J_0u}{\partial v}(v_0,x_0)+B_2 \end{aligned} \end{equation} \tag{41}$

$A_2$ ,

$B_2$ – величины, не зависящие от

$\mu$ ,

$\gamma$ и

$\delta$ .

В силу неравенств (40) величина $A_1$ может быть сделана положительной за счет выбора достаточно большого положительного значения $\mu$ . Согласно условию A6 можно выбрать величину $\delta$ так, чтобы первое слагаемое в (41) было достаточно большим и положительным для выполнения неравенства $B_1>0$ . Тем самым условие $(4^\circ)$ для верхнего решения окажется выполненным. При тех же значениях $\mu$ и $\delta$ будет выполнено также неравенство $(4^\circ)$ для нижнего решения.

5. Существование, локальная единственность и асимптотическая устойчивость стационарного решения

Теорема 1. При выполнении условий A1–A7 при достаточно малом $\varepsilon>0$ существует решение $u_\varepsilon(x)$ , $v_\varepsilon(x)$ задачи (2), для которого функции $U_n(x,\varepsilon)$ , $V_n(x,\varepsilon)$ являются равномерным на $[0,1]$ асимптотическим приближением с точностью порядка $O(\varepsilon^{n+1})$ .

Доказательство. Согласно асимптотическому методу дифференциальных неравенств [5], [6] построенные верхнее и нижнее решения гарантируют существование решения

$u_\varepsilon(x)$ ,

$v_\varepsilon(x)$ задачи (2), удовлетворяющего неравенствам:

$\begin{equation*} \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, (x,\varepsilon)\leqslant u_\varepsilon(x) \leqslant \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon),\quad \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, (x,\varepsilon)\leqslant v_\varepsilon(x) \leqslant \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon),\qquad x\in[0,1]. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon)- \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, (x,\varepsilon)=O(\varepsilon^n)$ и

$\,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon)- \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, (x,\varepsilon)=O(\varepsilon^{n+1})$ , имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, u_\varepsilon(x)&= \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon)+O(\varepsilon^n)=U_{n-1}(x,\varepsilon)+O(\varepsilon^n), \\ v_\varepsilon(x)&= \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, (x,\varepsilon)+O(\varepsilon^{n+1})=V_{n-1}(x,\varepsilon)+O(\varepsilon^n). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Заменяя

$n$ на

$n+1$ , получаем утверждение теоремы.

Теорема 2. Пусть выполняются условия A1–A7, тогда при достаточно малом $\varepsilon>0$ стационарное решение $(u_\varepsilon(x),v_\varepsilon(x))$ задачи (1) локально единственно как решение задачи (2) и асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова c областью притяжения не меньше $[ \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ]\times[ \underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\, , \,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\, ]$ , где функции $\underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\,$ , $\,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\,$ , $\underline{\kern0.5pt V\kern-1.5pt}\,$ , $\,\overline{\kern-0.5pt V\kern-0.5pt}\,$ определены выражениями (33), (34), (30), (31) при $n=3$ .

Доказательство этой теоремы проводится по стандартной схеме (см. например, [6]). Построим верхнее и нижнее решения задачи (1) в виде

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \widehat U(x,t,\varepsilon)=\begin{cases} \widehat U^{(-)}(x,t,\varepsilon), & x\in[0, \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ], \\ \widehat U^{(+)}(x,t,\varepsilon), & x\in[ \overline{x\kern-0.5pt}\kern1pt ,1]; \end{cases}\qquad \widetilde U(x,t,\varepsilon)=\begin{cases} \widetilde U^{(-)}(x,t,\varepsilon), & x\in[0, \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ], \\ \widetilde U^{(+)}(x,t,\varepsilon), & x\in[ \underline{\kern1.5pt x\kern-1.5pt}\kern2pt ,1], \end{cases}\\ \begin{aligned} \, \widehat U^{(\mp)}(x,t,\varepsilon)&=u_\varepsilon(x)+ \bigl( \,\overline{\kern-0.5pt U\kern-0.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\varepsilon)-u_\varepsilon(x)\bigr)e^{-\lambda\varepsilon^2t}, \\ \widetilde U^{(\mp)}(x,t,\varepsilon)&=u_\varepsilon(x)+ \bigl( \underline{\kern0.5pt U\kern-1.5pt}\, ^{(\mp)}(x,\varepsilon)-u_\varepsilon(x)\bigr)e^{-\lambda\varepsilon^2t}. \end{aligned} \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Функции

$\widehat V(x,t,\varepsilon)$ ,

$\widetilde V(x,t,\varepsilon)$ имеют схожий вид.

6. Пример

В качестве примера рассмотрим систему уравнений, представленную в работе [1] в качестве одномерной модели развития городской среды:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \varepsilon^4\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\varepsilon^2\frac{\partial u}{\partial t}&=u(u-a(x))(u-1)+uv, \\ \varepsilon^2\frac{\partial^2v}{\partial x^2}-\varepsilon^2\frac{\partial v}{\partial t}&=v-bu, \end{aligned}\quad x\in(0;1),\quad t\in(0;T]; \\ u_x(0,t,\varepsilon)=u_x(1,t,\varepsilon)=v_x(0,t,\varepsilon)=v_x(1,t,\varepsilon)=0,\qquad t\in(0;T], \\ u(x,0)=u_{\text{init}}(x),\qquad v(x,0)=v_{\text{init}}(x),\quad x\in[0,1]. \end{gathered} \end{equation} \tag{42}$

Здесь

$b$ – положительная константа из интервала

$(0,1/2)$ ,

$a(x)$ – достаточно гладкая функция, связанная с

$b$ посредством неравенства

$\begin{equation} a(x)\leqslant(1+b)-\sqrt{b^2+4b},\qquad x\in[0,1]. \end{equation} \tag{43}$

При выполнении этого неравенства уравнение

$(u-a(x))(u-1)+uv=0$ имеет три вещественных корня относительно

$u$ :

$\begin{equation*} \varphi^1=0,\qquad \varphi^{2,3}(v,x)=\frac{1}{2}\bigl(a(x)+1\mp\sqrt{(a(x)-1)^2-4v}\,\bigr). \end{equation*} \notag$

Функции

$h^{1,3}(v,x)$ имеют вид

$\begin{equation*} h^1=v,\qquad h^3(v,x)=v-\frac{b}{2}\bigl(a(x)+1+\sqrt{(a(x)-1)^2-4v}\,\bigr). \end{equation*} \notag$

Решениями уравнений

$h^{1,3}=0$ являются соответственно функции

$\begin{equation*} v^1=0,\qquad v^3(x)=\frac{b}{2}\bigl(a(x)+1-b\bigr)+b\sqrt{(a(x)+1-b)^2-4a}. \end{equation*} \notag$

Величины

$v_0$ ,

$x_0$ определяются из системы уравнений

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, J_0v& :=\frac{1}{2}(v^3(x_0))^2+\biggl[b\bigl(a(x_0)+1\bigr)v-\frac{b}{12}\bigl((a(x_0)-1)^2-4v\bigr)^{3/2}\biggr]\bigg|_{v^3(x_0)}^{v_0}=0, \\ J_0u&:=\frac{1}{6}(\varphi^3(v_0,x_0))^2\biggl(\varphi^{2}(v_0,x_0)-\frac{\varphi^3(v_0,x_0)}{2}\biggr)=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Из второго уравнения можно получить выражение

$\begin{equation*} v_0=\frac{9(a(x_0)-1)^2-(a(x_0)+1)^2}{36}. \end{equation*} \notag$

Подставим его в уравнение

$J_0v=0$ и получим уравнение, разрешимое относительно

$x_0$ при выполнении условия

$\begin{equation} a_x(x_0)\neq 0, \end{equation} \tag{44}$

которое также обеспечивает выполнение неравенства

$\frac{\partial J_0v}{\partial x}(x_0,v_0)\neq 0$ из условия A6. Тем самым неравенства (43) и (44) можно считать условиями применимости модели, при выполнении которых задача (42) имеет устойчивое стационарное решение с внутренним переходным слоем.

7. Заключение

В работе представлен алгоритм построения верхнего и нижнего решений для системы уравнений, применявшейся в модели развития мегаполисов. Хотя результаты по применению этой модели опубликованы [1], [2], до сих пор не существовало обоснования того, что у данной задачи существует решение с внутренним переходным слоем. Это было связано с большими трудностями, возникающими при построении верхнего и нижнего решений для специфических условий квазимонотонности, естественным образом возникающих в модели типа активатор-ингибитор. В настоящей работе предложен алгоритм построения верхнего и нижнего решений в этом случае. С небольшими модификациями этот алгоритм можно применять для систем с другими условиями квазимонотонности. Также исследование может быть распространено на системы параболических уравнений или многомерный случай. Результаты работы можно использовать для постановки обратных задач, связанных с внутренними переходными слоями [13], [14].

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	Н. Т. Левашова, А. А. Мельникова, Д. В. Лукьяненко, А. Э. Сидорова, С. В. Быцюра, “Моделирование урбоэкосистем как процессов самоорганизации”, Матем. моделирование, 29:11 (2017), 40–52
2.	А. Э. Сидорова, Н. Т. Левашова, А. Е. Семина, “Автоволновая модель морфогенеза мегаполисов в представлениях неоднородных активных сред”, Изв. РАН. Сер. физ., 83:1 (2019), 106–112
3.	Н. Т. Левашова, Б. В. Тищенко, “Существование и устойчивость решения системы двух нелинейных уравнений диффузии в среде с разрывными характеристиками”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 61:11 (2021), 1850–1872
4.	C. V. Pao, Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenum Press, New York, 1992
5.	Н. Н. Нефедов, “Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями”, Дифференц. уравнения, 31:7 (1995), 1142–1149
6.	Н. Н. Нефедов, “Развитие методов асимптотического анализа переходных слоев в уравнениях реакции–диффузии–адвекции: теория и применение”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 61:12 (2021), 2074–2094
7.	В. Ф. Бутузов, Н. Т. Левашова, А А. Мельникова, “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:11 (2012), 1983–2003
8.	P. C. Fife, J. B. McLeod, “The approach of solutions of nonlinear diffusion equations to travelling front solutions”, Arch. Rational Mech. Anal., 65:4 (1977), 335–361
9.	A. I. Volpert, V. A. Volpert, Vl. A. Volpert, Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems, Translations of Mathematical Monographs, 140, AMS, Providence, RI, 1994
10.	А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Асимптотические методы в теоpии сингуляpных возмущений, Высшая школа, М., 1990
11.	Б. В. Тищенко, “Существование, локальная единственность и асимптотическая устойчивость погранслойного решения краевой задачи Неймана для системы двух нелинейных уравнений с разными степенями малого параметра”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон., 2021, № 5, 44–50
12.	Н. Т. Левашова, Б. В. Тищенко, “Существование и устойчивость стационарного решения системы уравнений диффузии в среде с разрывными характеристиками при различных условиях квазимонотонности”, ТМФ, 212:1 (2022), 62–82
13.	D. V. Lukyanenko, M. A. Shishlenin, V. T. Volkov, “Solving of the coefficient inverse problems for a nonlinear singularly perturbed reaction-diffusion-advection equation with the final time data”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 54 (2018), 233–247
14.	D. V. Lukyanenko, M. A. Shishlenin, V. T. Volkov, “Asymptotic analysis of solving an inverse boundary value problem for a nonlinear singularly perturbed time-periodic reaction-diffusion-advection equation”, J. Inverse Ill-Posed Probl., 27:5 (2019), 745–758

Образец цитирования: Н. Т. Левашова, Д. С. Самсонов, “Устойчивость стационарного решения с двухмасштабным внутренним переходным слоем системы уравнений типа активатор-ингибитор”, ТМФ, 215:2 (2023), 269–288; Theoret. and Math. Phys., 215:2 (2023), 691–708

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{LevSam23}

\by Н.~Т.~Левашова, Д.~С.~Самсонов

\paper Устойчивость стационарного решения с~двухмасштабным внутренним переходным слоем системы уравнений типа активатор-ингибитор

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 215

\issue 2

\pages 269--288

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10409}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10409}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4602485}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...215..691L}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 215

\issue 2

\pages 691--708

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923050082}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85159496637}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10409

https://doi.org/10.4213/tmf10409

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v215/i2/p269

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	145
PDF полного текста:	21
HTML русской версии:	103
Список литературы:	28
Первая страница:	6