| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Распределения корней и масс целых и субгармонических функций с ограничениями на их рост вдоль полосы Б. Н. Хабибуллин Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук, г. Уфа
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2024, Volume 88, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9335e 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Постановки задачГоломорфную на всей комплексной плоскости C, или целую функцию f, для которой в обозначении ln+x:=max ее тип
\begin{equation}
\operatorname{type}[\ln |f|]:=\limsup_{z\to \infty}\frac{\ln^+|f(z)|}{|z|}
\end{equation}
\tag{1.1}
при порядке 1 конечен, называем целой функцией f экспоненциального типа [1]–[4], хотя так же широко распространен и термин “целая функция конечной степени” [5], [6]. Именно целые функции экспоненциального типа чаще всего используются в разнообразных приложениях теории целых функций, к примеру, как реализующие сопряженные пространства к функциональным пространствам на подмножествах в \mathbb{C}. Общая задача – для заданного распределения точек \mathrm{Z} на \mathbb{C} найти условия существования целой функции f\not\equiv 0 экспоненциального типа, обращающейся в нуль на \mathrm Z с учетом кратности (пишем f(\mathrm Z)=0), при предписанных ограничениях сверху на модуль |f| вдоль фиксированной прямой. Если учитывается лишь взаимное расположение этой прямой и распределения точек \mathrm{Z}, то выбор прямой не имеет значения. В качестве такой прямой чаще всего рассматривалась вещественная ось \mathbb{R}\subset \mathbb{C} или мнимая ось i\mathbb{R}\subset \mathbb{C}. Далее в основном придерживаемся последнего выбора, что продиктовано исходной для настоящей статьи теоремой Мальявена–Рубела [7], [3; гл. 22], [4; п. 3.2] об условиях существования целой функции экспоненциального типа
\begin{equation}
f\not\equiv 0, \qquad f(\mathrm{Z})=0, \qquad |f(iy)|\leqslant |g(iy)|\quad \text{при всех } y\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.2}
где g\not\equiv 0 – целая функция экспоненциального типа с g(\mathrm{W})=0 для заданного распределении точек \mathrm{W}. Решение этой задачи для распределений точек из \mathrm{Z} и \mathrm{W}, полностью лежащих на положительной полуоси \mathbb{R}^+:=\{x\in \mathbb{R}\mid x\geqslant 0\}, давалось в [7] и [3; гл. 22] в терминах соотношений между распределениями точек \mathrm{Z} и \mathrm{W}. В настоящей статье по задаче существования целой функции f экспоненциального типа из (1.2) будем рассматривать, как правило, соотношения между распределениями точек \mathrm{Z} на \mathbb{C} и ростом вдоль i\mathbb{R} заданной целой функции g экспоненциального типа. Еще более содержательна субгармоническая версия задачи о существовании целой функции экспоненциального типа
\begin{equation}
f\not\equiv 0, \qquad f(\mathrm{Z})=0, \qquad \ln |f(iy)|\leqslant M(iy)\quad \text{при всех } y\in \mathbb{R}\setminus E,
\end{equation}
\tag{1.3}
где M\not\equiv -\infty – субгармоническая функция конечного типа
\begin{equation}
\operatorname{type}[M]:=\limsup_{z\to \infty}\frac{M^+(z)}{|z|}\in \mathbb{R}^+, \qquad M^+(z):=\max\{0,M(z)\},
\end{equation}
\tag{1.4}
при порядке 1 на \mathbb{C}, а E – достаточно малое исключительное множество. Эту задачу также естественно решать в терминах соотношений между распределением точек из \mathrm{Z} с одной стороны и поведением функции M, а также размерами исключительного множества E с другой. Основные рассмотренные в настоящей статье задачи охватывают и более общие и жесткие субгармонические версии исходных задач (1.2), (1.3). В них для заданного распределения масс \nu на \mathbb{C} с некоторыми ограничениями на него вблизи мнимой оси и для произвольной субгармонической функции M\not\equiv -\infty конечного типа даются одновременно необходимые и достаточные условия, при которых для числа b\in \mathbb{R}^+ с соответствующей вертикальной открытой или замкнутой полосой
\begin{equation}
\operatorname{str}_b:=\bigl\{z\in \mathbb{C}\bigm| |{\operatorname{Re} z}|< b\bigr\}, \qquad \overline{\operatorname{str}}_b:=\bigl\{z\in \mathbb{C}\bigm| |{\operatorname{Re} z}|\leqslant b\bigr\}
\end{equation}
\tag{1.5}
ширины 2b со средней линией i\mathbb{R} найдется субгармоническая функция U\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса не меньшим, чем \nu, с тождеством
\begin{equation}
U(z)\equiv M(z) \quad\text{при всех } z\in \operatorname{str}_b \text{ или } z\in \overline{\operatorname{str}}_b.
\end{equation}
\tag{1.6}
Рассматривается и специальный выбор такой функции U=v+\ln |h| конечного типа с субгармонической функцией v с распределением масс Рисса, равным \nu, и целой функцией h\not\equiv 0 с неравенствами
\begin{equation}
v(z)+\ln|h(z)|\leqslant M^{\bullet r}(z)\quad\text{при всех } z\in \overline{\operatorname{str}}_b,
\end{equation}
\tag{1.7}
где M^{\bullet r}(z) – интегральные средние функции M по кругам с центрами z и очень быстро убывающими к нулю радиусами r(z) при z\to \infty, а также
\begin{equation}
v(z)+\ln|h(z)|\leqslant M(z)\quad\text{для всех } z\in \overline{\operatorname{str}}_b\setminus E,
\end{equation}
\tag{1.8}
где исключительное множество E\subset \mathbb{C} очень мало́. При этом некоторые ограничения на распределение масс \nu вблизи и на мнимой оси неизбежны, если искать решения в простых геометрических терминах логарифмических функций интервалов и субмер (2.1)–(2.3) на \mathbb{R}^+ для \nu, восходящих к логарифмическим характеристикам (1.16) распределений точек на \mathbb{R}^+ из [7], [3; гл. 22]. Здесь можно перейти и к п. 1.3, а к п. 1.2 обращаться по мере необходимости. 1.2. Некоторые обозначения, определения, соглашенияОдноточечные множества \{a\} часто записываем без фигурных скобок, т. е. просто как a. Так, \mathbb{N}_0:=0\cup \mathbb{N}=\{0,1, \dots\} для множества \mathbb N:=\{1,2, \dots\} натуральных чисел, \mathbb{C}_{\infty}:=\mathbb{C}\cup \infty и \overline{\mathbb{R}}:=-\infty \cup \mathbb{R}\cup +\infty – расширенные комплексная плоскость и вещественная ось с -\infty:=\inf \mathbb{R}\notin \mathbb{R}, +\infty:=\sup \mathbb{R}\notin \mathbb{R}, неравенствами -\infty\leqslant x\leqslant +\infty для любого x\in \overline{\mathbb{R}} и естественной порядковой топологией. По определению \sup \varnothing:=-\infty и \inf \varnothing:=+\infty для пустого множества \varnothing. Символом 0, кроме нуля, могут обозначаться нулевые функции, меры и пр. Для x\in X\subset \overline{\mathbb{R}} его положительную часть обозначаем как x^+:=\sup\{0,x \}, X^+:=\{x^+\mid x\in X\}. Расширенной числовой функции f\colon S\to \overline{\mathbb{R}} сопоставляем ее положительную часть f^+\colon s\underset{s \in S}{\longmapsto} (f(s))^+\in \overline{\mathbb{R}}^{\,+} и отрицательную часть f^-:=(-f)^+\colon S\to \overline{\mathbb{R}}^{\,+} . Как обычно, пишем f\not\equiv c, если функция f принимает хотя бы одно значение, отличное от c, в области ее определения. Для расширенной числовой функции m, заданной на луче из \mathbb{R}^+, величина
\begin{equation}
\operatorname{ord}[m]:=\limsup_{x\to +\infty} \frac{\ln(1+m^+(x))}{\ln x}\in \overline{\mathbb{R}}^{\,+}
\end{equation}
\tag{1.9}
есть порядок (роста) функции m (около +\infty), а для p\in \mathbb{R}^+ величина
\begin{equation}
\operatorname{type}_p[m]:=\limsup_{x\to +\infty} \frac{m^+(x)}{x^p}\in \overline{\mathbb{R}}^{\,+}
\end{equation}
\tag{1.10}
есть тип (роста) функции m при порядке p (около +\infty) [1], [5], [2], [8], [9; п. 2.1]. Для произвольной функции u\colon \mathbb{C}\to \overline{\mathbb{R}} с радиальной функцией роста
\begin{equation}
\mathrm{M}_u \colon r\underset{r\in \mathbb{R}^+}{\longmapsto} \sup\bigl\{u(z)\bigm| |z|=r\bigr\}
\end{equation}
\tag{1.11}
по определению \operatorname{ord}[u]:=\operatorname{ord}[{\mathrm M}_u] и \operatorname{type}_p[u]:=\operatorname{type}_p[{\mathrm M}_u] – соответственно порядок и тип функции u при порядке p [1], [2], [8], [9; замечание 2.1]. Функции u конечного типа \operatorname{type}_1[u]\in \mathbb{R}^+ при порядке p=1 называем просто функциями конечного типа, не упоминая и не указывая порядок 1 в \operatorname{type}[u]:=\operatorname{type}_1[u], как это делалось выше для целых функций экспоненциального типа в (1.1) и для субгармонических функций конечного типа в (1.4). Распределение масс – это положительная мера Радона [10], [11; дополнение A], [12; гл. 3], а распределение зарядов – разность распределений масс [13]. Для распределений масс или зарядов на \mathbb{C}, как правило, не указываем, где они заданы. Для субгармонической в области из \mathbb{C} функции u\not\equiv -\infty действие на нее оператора Лапласа \Delta в смысле теории обобщенных функций определяет ее распределение масс Рисса в этой области [12], [11], [14]. Для обозначения распределения масс Рисса функции u используем как первую форму записи \frac{1}{2\pi}\Delta u из (1.12), так и вторую \varDelta_u. Далее D_z(r):=\{w \in \mathbb{C} \mid |w-z|<r\} и \overline{D}_z(r):=\{w \in \mathbb{C}_{\infty} \mid |w-z|\leqslant r\}, а также \partial \overline{D}_z(r):=\overline{D}_z(r)\setminus {D}_z(r) – соответственно открытый и замкнутый круги, а также окружность радиуса r\in \overline{\mathbb{R}}^{\,+} с центром z\in \mathbb{C}; \mathbb{D}:=D_0(1) и \overline{\mathbb{D}}:=\overline D_0(1), а также \partial \overline{\mathbb{D}}:=\partial \overline{D}_0(1) – соответственно открытый и замкнутый единичные круги, а также единичная окружность в \mathbb{C}.Через \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}:=\{z\in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} z>0\} и \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}:=\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}\cup i\mathbb{R}, а также \mathbb{C}_{\mathrm{lh}}:=-\mathbb{C}_{\mathrm{rh}} и \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}:=-\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}} обозначаем соответственно правые открытую и замкнутую полуплоскости, а также левые открытую и замкнутую полуплоскости в \mathbb{C}. Для распределения зарядов \nu на S\subset \mathbb{C} через \nu^+:=\sup\{\nu,0\}, \nu^-:=(-\nu)^+ и |\nu|:=\nu^++\nu^- обозначаем соответственно верхнюю, нижнюю и полную вариации распределения зарядов \nu, а \operatorname{supp} \nu=\operatorname{supp} |\nu| – его носитель, но распределение зарядов \nu сосредоточено на \nu-измеримом подмножестве S_0\subset S, если полная вариация |\nu| дополнения S\setminus S_0 множества S равна нулю. Сужение функции f на S\subset \mathbb{C} обозначаем как f\lfloor_S. Аналогично через \nu\lfloor_S обозначается и сужение положительной меры Бореля или распределения зарядов \nu на \nu-измеримое подмножество S\subset \mathbb{C}. При r\in \overline{\mathbb{R}}^{\,+} для таких \nu через
\begin{equation}
\nu_z^{\mathrm{rad}} (r):=\nu \bigl(\overline D_z(r)\bigr),\qquad \nu^{\mathrm{rad}}(r):=\nu_0^{\mathrm{rad}}(r)=\nu(r\overline{\mathbb{D}})
\end{equation}
\tag{1.13}
обозначаем радиальные непрерывные справа считающие функции распределения зарядов \nu с центрами соответственно в точке z\in \mathbb{C} и в нуле. Верхняя плотность распределения зарядов \nu при порядке p\in \mathbb{R}^+ равна
\begin{equation}
\operatorname{type}_p[\nu]:=\operatorname{type}_p[|\nu|] \stackrel{(1.10)}{:=} \limsup_{0<r\to +\infty} \frac{|\nu|(r\overline{\mathbb{D}})}{r^p} \stackrel{(1.13)}{=} \limsup_{0<r\to +\infty} \frac{|\nu|^{\mathrm{rad}}(r)}{r^p} \in \overline{\mathbb{R}}^{\,+},
\end{equation}
\tag{1.14}
и при p\,{=}\,1 упоминание о порядке опускаем. В частности, распределение зарядов \nu имеет конечную верхнюю плотность, если \operatorname{type}[\nu]\,{:=}\operatorname{type}_1[\nu]\,{<}\,{+}\infty. Порядок распределения зарядов \nu определяется как величина \operatorname{ord}[\nu]\stackrel{(1.9)}{:=}\operatorname{ord} [|\nu|^{\mathrm{rad}}]. Всюду далее для распределений, вообще говоря, повторяющихся точек на \mathbb{C} предполагается, что в каждом круге r\mathbb{D} при r\in \mathbb{R}^+ содержится конечное число точек из этого распределения точек, т. е. рассматриваются только локально конечные в \mathbb{C} распределения точек. Распределение зарядов называем целочисленным, если оно принимает только целые значения из \mathbb{Z}:=\mathbb{N}_0\cup (-\mathbb{N}) на ограниченных множествах. Распределение точек \mathrm{Z} можно трактовать как целочисленное распределение масс, для которого масса каждого ограниченного в \mathbb{C} множества равна числу попавших в него точек из \mathrm{Z}. Для этого целочисленного распределения масс сохраняем то же самое обозначение \mathrm{Z}. Всюду далее \mathrm{Z} и \mathrm{W} – распределения точек на \mathbb{C}. Таким образом, каждое целочисленное распределение масс однозначно определяет локально конечное распределение точек, и наоборот, а равенство \mathrm{Z}=\mathrm{W} понимается как равенство соответствующих распределений масс [4; 0.1.2]. Все вводимые в статье понятия и обозначения для распределений зарядов и масс переносятся и на распределения точек. Так, \mathrm{Z}\lfloor_{S} – сужение распределения точек \mathrm{Z} на S\subset \mathbb{C}. Если \operatorname{supp} \mathrm{Z}\subset S, то для краткости часто пишем просто \mathrm{Z}\subset S. Для целой функции f\not\equiv 0 через \operatorname{Zero}_f обозначаем ее распределение корней, представляющее собой распределение точек, в котором каждая точка z\in \mathbb{C} повторяется столько раз, какова кратность корня функции f в точке z. При этом \operatorname{Zero}_f=\frac{1}{2\pi}\Delta \ln |f| – целочисленное распределение масс Рисса субгармонической функции \ln|f| [11; теорема 3.7.8]. Целая функция f\not\equiv 0 обращается в нуль на \mathrm{Z}, и пишем f(\mathrm{Z})=0, если имеет место неравенство \mathrm{Z}\leqslant \operatorname{Zero}_f для целочисленных распределений масс \mathrm{Z} и \operatorname{Zero}_f. Распределение точек \mathrm{Z} при его нумерации номерами из N\subset \mathbb{Z} можно рассматривать как некоторую последовательность \mathrm{Z}=(\mathrm{z}_n)_{n\in N} комплексных чисел, где каждое число z_n=z\in \mathbb{C} встречается ровно \mathrm{Z}(z) раз, т. е. столько же раз, сколько раз точка z\in \mathbb{C} повторяется в распределении точек \mathrm{Z}. При этом
\begin{equation}
\sum_{\substack{z\in S\\ z\in \mathrm{Z}}}f(z):=\int_Sf\,d \mathrm{Z}=\sum_{\mathrm{z}_n\in S} f(\mathrm{z}_n)
\end{equation}
\tag{1.15}
при нумерации \mathrm{Z}=(\mathrm{z}_n)_{n\in N} для S\subset \mathbb{C}, когда для расширенной числовой функции f на \operatorname{supp} \mathrm{Z} интеграл и сумма справа в (1.15) корректно определены. Если при некоторой нумерации \mathrm{Z}=(\mathrm{z}_n)_{n\in N} на \mathbb{C} можно так подобрать c\in \mathbb{R}^+ и последовательность попарно различных целых чисел (\mathrm{m}_n)_{n\in N}, что
\begin{equation*}
\sum_{k\in N}\biggl|\frac{1}{\mathrm{z}_n}-\frac{c}{i\mathrm{m}_n}\biggr|<+\infty,
\end{equation*}
\notag
то внешняя плотность Редхеффера от \mathrm{Z} вдоль i\mathbb{R} не превышает c [15]–[17], [4; 2.1.1], [18], а сама она равна точной нижней грани таких c\in \mathbb{R}^+. 1.3. Предшествующие результаты для целых функцийЗадача существования целой функции f экспоненциального типа со свойствами (1.2) для любой целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа, обращающейся в нуль на заданном распределении точек \mathrm{W}, в терминах соотношений между \mathrm{Z} и \mathrm{W} была полностью решена в начале 1960-х гг. в совместной работе П. Мальявена и Л. А. Рубела [7; теорема 4.1], но лишь для пар распределений положительных точек \mathrm{Z} и \mathrm{W} на \mathbb{R}^+. Это решение без каких-либо существенных дополнений изложено и в одной из основных глав монографии Л. А. Рубела с Дж. Э. Коллиандром [3; гл. 22] в 1996 г. Теорема Мальявена–Рубела. Для распределений точек \mathrm{Z}\subset \mathbb{R}^+\setminus 0 и \mathrm{W}\subset \mathbb{R}^+\setminus 0 конечной верхней плотности эквивалентны три утверждения: I. Для любой целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа с g(\mathrm{W})=0 найдется целая функция f экспоненциального типа со свойствами (1.2). II. Существует C\in \mathbb{R}, для которого в обозначениях (1.15)
\begin{equation}
\sum_{\substack{r<z\leqslant R\\z\in \mathrm{Z}}}\frac{1}{z}\leqslant \sum_{\substack{r<w\leqslant R\\w\in \mathrm{W}}}\frac{1}{w}+ C\quad \textit{при всех } 0<r<R<+\infty.
\end{equation}
\tag{1.16}
III. Существуют целая функция g экспоненциального типа с распределением корней \operatorname{Zero}_g с сужением \operatorname{Zero}_g\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}=\mathrm{W} на \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} и целая функция f экспоненциального типа, для которой имеет место (1.2). В наших работах 1988–1989 гг. были получены подобные результаты для комплексных \mathrm{Z} и \mathrm{W} на \mathbb{C} в форме, близкой к (1.2), но с некоторой малой добавкой к правой части неравенства из (1.2). Так, при g\equiv 1 имеет место следующая теорема. Теорема 1 (см. [19; основная теорема]). Для распределения точек \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} при любом \varepsilon \in \mathbb{R}^+\setminus 0 существует целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа с f(\mathrm{Z})=0 и \ln |f(iy)|\leqslant \varepsilon |y| при всех y\in \mathbb{R}, если и только если \mathrm{Z} конечной верхней плотности и для любого \varepsilon \in \mathbb{R}^+\setminus 0 найдется C_{\varepsilon}\in \mathbb{R}, для которого Доказательство теоремы 1 в [19; основная теорема] наряду с теоремой Мальявена–Рубела существенно использовало специальный случай \mathrm{Z}\subset i\mathbb{R} из статьи И. Ф. Красичкова-Терновского 1972 г. [20; теоремы 8.3, 8.5] по спектральному синтезу. Этот специальный случай \mathrm{Z}\subset i\mathbb{R} был значительно усилен в нашей статье [21; основная теорема] 2001 г. со взаимно обратным балансом на рост целой функции экспоненциального типа вдоль \mathbb{R} и i\mathbb{R}, что в некотором частном случае достаточно полно отражает следующий результат. Теорема 2 (см. [21; теорема 1], [4; теорема 3.3.8]). Пусть \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} – распределение точек конечной верхней плотности \operatorname{type}[\mathrm{Z}]\stackrel{(1.14)}{<}d\in \mathbb{R}^+, и пусть \lim_{\mathrm{Z}\ni z\to\infty}|{\operatorname{Re} z}|/|z|=0. Тогда для любого числа \varepsilon \in (0,1) существует целая функция экспоненциального типа f\not\equiv 0 с f(\mathrm{Z})=0, для которой одновременно выполнены неравенства Для случая мажоранты \ln |g(iy)|+ \varepsilon |y| по-прежнему со сколь угодно малым числом \varepsilon >0 и целой функцией g\neq 0 экспоненциального типа в 1989 г. установлена следующая теорема. Теорема 3 (см. [22; основная теорема], [23; основная теорема], [4; теорема 3.2.1]). Для любых распределений точек \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} и \mathrm{W}\subset \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} конечной верхней плотности эквивалентны следующие три утверждения. I. Для любой целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа, обращающейся в нуль на \mathrm{W}, и любого \varepsilon \in \mathbb{R}^+\setminus 0 найдутся целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа, обращающаяся в нуль на \mathrm{Z}, и борелевское множество E\subset \mathbb{R} конечной линейной меры Лебега \mathfrak{m}_1(E)<+\infty, для которых
\begin{equation}
\ln|f(iy)|\leqslant \ln|g(iy)|+\varepsilon |y|\quad\textit{при всех } y\in \mathbb{R}\setminus E.
\end{equation}
\tag{1.19}
II. Для логарифмической субмеры распределения точек \mathrm{Z}, определенной как
\begin{equation}
\ell_{\mathrm{Z}}(r,R)\stackrel{(1.15)}{:=}\max \Biggl\{ \sum_{\substack{r<|z|\leqslant R\\z\in \mathrm{Z}}}\operatorname{Re}^+ \frac{1}{z}, \sum_{\substack{r<|z|\leqslant R\\z\in \mathrm{Z}}}\operatorname{Re}^- \frac{1}{z}\Biggr\},
\end{equation}
\tag{1.20}
при любом \varepsilon \in \mathbb{R}^+\setminus 0 существует C_{\varepsilon}\in \mathbb{R}, для которого
\begin{equation}
\ell_{\mathrm{Z}}(r,R)\leqslant \ell_{\mathrm{W}}(r,R)+\varepsilon \ln\frac{R}{r}+C_{\varepsilon} \quad\textit{при всех } 0< r<R<+\infty.
\end{equation}
\tag{1.21}
III. Существует некоторая целая функция g\not\equiv 0 экспоненциального типа с \operatorname{Zero}_g\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}=\mathrm{W}, для которой при любом \varepsilon \in \mathbb{R}^+\setminus 0 найдутся такие целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа с f(\mathrm{Z})=0 и борелевское подмножество E\subset \mathbb{R}, что \mathfrak{m}_1(E)<+\infty и имеет место (1.19). При переходе к более жесткому, по сравнению с теоремами 1–3, требованию \varepsilon =0 как в задачах вида (1.2), так и вида (1.3) естественным образом возникает необходимость уже различать случаи сходимости или расходимости логарифмических интегралов [24]–[26], [27; 1.3], [28; 4.6, (4.16)]
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\ln^+ |g(iy)|}{1+y^2}\,dy, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{M^+ (iy)}{1+y^2}\,dy.
\end{equation}
\tag{1.22}
В случае конечности первого интеграла в (1.22) целая функция g экспоненциального типа называется функцией класса Картрайт вдоль i\mathbb{R}. При этом задача в версии (1.2) может быть легко вписана в знаменитые теоремы Бёрлинга–Мальявена о мультипликаторе и о радиусе полноты 1960-х гг. [4; гл. 2], [14]–[16], [28]–[33], даже с ограничениями на величины типов целых функций. Возможна объединяющая формулировка теорем Бёрлинга–Мальявена, мотивированная формулировкой теоремы Рубела–Мальявена. Теорема 4. При любом c\in \mathbb{R}^+\setminus 0 для любого распределения точек \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} эквивалентны следующие четыре утверждения. I. Для любой целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа и любого b\in \mathbb{R}^+ найдется целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа
\begin{equation}
\operatorname{type}[\ln|f|]< \pi c+\operatorname{type}[\ln|g|],
\end{equation}
\tag{1.23}
обращающаяся в нуль на \mathrm{Z}, для которой |f(z)|\leqslant |g(z)| при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_{b}. II. Внешняя плотность Редхеффера от \mathrm{Z} вдоль i\mathbb{R} строго меньше, чем c. III. Существует ограниченная на мнимой оси i\mathbb{R} целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа \operatorname{type}[\ln|f|]<\pi c, обращающаяся в нуль на \mathrm{Z}. IV. Существует ненулевая целая функция f\not\equiv 0 класса Картрайт вдоль i\mathbb{R} и типа \operatorname{type}[\ln|f|]<\pi c, обращающаяся в нуль на \mathrm{Z}. Простое обоснование теоремы 4 приведено в конце п. 2.2 из § 2. Гораздо более тонкая проблема существования или построения обращающейся в нуль на \mathrm{Z} целой функции f\not\equiv 0 экспоненциального типа с нестрогими неравенствами \operatorname{type}[\ln|f|]\leqslant \pi c+ \operatorname{type}[\ln|g|] в (1.23) и \operatorname{type}[\ln|f|]\leqslant \pi c в утверждении III теоремы 4 была исследована в наших совместных с Т. Ю. Байгускаровым, Г. Р. Талиповой и Ф. Б. Хабибуллиным статьях [34] и [27] 2014–2016 гг. В них рассматривалась даже версия (1.3) для субгармонических функций M\not\equiv -\infty конечного типа при условии конечности второго интеграла в (1.22), а сама проблема была решена на уровне критерия. Наиболее сильные на начало 1990-х гг. результаты в версии (1.2) для случая целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа с, вообще говоря, расходящимся первым логарифмическим интегралом в (1.22) были получены при условии расположения как \mathrm{Z}\subset \mathbb{C}, так и \operatorname{Zero}_g \subset \mathbb{C} вне какой-нибудь пары соответственно открытых или замкнутых вертикальных углов
\begin{equation}
\mathrm{X}_a:=\bigl\{z\in \mathbb{C} \bigm| |{\operatorname{Re} z}|<a |z|\bigr\},\quad \overline{\mathrm{X}}_a:=\bigl\{z\in \mathbb{C} \bigm| |{\operatorname{Re} z}|\leqslant a |z|\bigr\}, \qquad a\in [0,1],
\end{equation}
\tag{1.24}
с биссектрисой i\mathbb{R}, где {\mathrm X}_0=\varnothing, \overline{\mathrm{X}}_0=i\mathbb{R}, {\mathrm X}_1=\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}, \overline{\mathrm{X}}_1=\mathbb{C}, когда раствор 2\arcsin a углов (1.24) при 0<a\to 0 может быть сколь угодно мал. Теорема 5 (см. [35; основная теорема]). Пусть для распределения точек \mathrm{Z} на \mathbb{C} и целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа существует a\in (0,1), для которого \mathrm{Z}\subset \mathbb{C}\setminus \overline{\mathrm{X}}_a и \operatorname{Zero}_g\subset \mathbb{C}\setminus \overline{\mathrm{X}}_a. Для существования целой функции f экспоненциального типа со свойствами из (1.2) необходимо и достаточно, чтобы в обозначении (1.20) для некоторого C\in \mathbb{R} выполнялись неравенства Из последних результатов 2020–2022 гг. можно отметить определенные дополнительные продвижения по задаче в версии (1.2) исключительно в рамках целых функций экспоненциального типа в наших с А. Е. Салимовой работах [36]–[38], [18]. Ряд утверждений из этих работ с модификациями по существу используются ниже в доказательствах. Бо́льшую часть основных результатов из этих работ мы не приводим, поскольку они, после некоторой подготовки и корректировки, могут быть получены как частные случаи результатов настоящей статьи, что в некоторой мере прокомментировано в замечаниях. Часть основных результатов настоящей статьи докладывалась на Международной конференции по комплексному анализу памяти А. А. Гончара и А. Г. Витушкина в октябре 2021 г., а сам доклад доступен в полном объеме по ссылке [39]. Также, пользуясь случаем, выражаю глубокую признательность рецензенту за исправление ряда погрешностей в нашем первоначальном варианте статьи и за полезные замечания и советы по содержанию работы. 1.4. Специальные версии основных результатовВ формулировках приведенных ниже двух очень частных случаях результатов из § 2 и § 11 приоритет отдается простоте и краткости, а приводятся они лишь для целых функций экспоненциального типа без участия субгармонических функций. Но уже и эти облегченные варианты в достаточной мере иллюстрируют существенное усиление предшествующих результатов даже в рамках постановки лишь задачи (1.2), не затрагивающей субгармонические версии из (1.3) и (1.6)–(1.8). Следующий результат – развитие теоремы 5 с формулировкой, близкой по форме к теореме Мальявена–Рубела и теореме 3. Теорема 6. Пусть g\not\equiv 0 – целая функция экспоненциального типа, а для распределения точек \mathrm{Z} существует число a\in (0,1), для которого внешняя плотность Редхеффера от сужения \mathrm{Z}\lfloor_{\overline {\mathrm X}_a} вдоль i\mathbb{R} конечна. Тогда эквивалентны следующие три утверждения. I. При любом b\in \mathbb{R}^+ найдется целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа, для которой f(\mathrm{Z})=0 и |f(z)|\leqslant |g(z)| при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_b. II. При значениях n и N, пробегающих соответственно \mathbb{N}_0 и \mathbb{N}, имеем
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \biggl(\ell_\mathrm{Z}(2^n,2^N)-\frac{1}{2\pi}\int_{2^n}^{2^N}\frac{\ln |g(iy)g(-iy)|}{y^2}\,d y\biggr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{1.26}
III. Для некоторого числа p\in [0,1) существуют целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа с f(\mathrm{Z})=0 и \mathfrak{m}_1-измеримое подмножество E\subset \mathbb{R}^+ с функцией r\underset{r\in \mathbb{R}^+}{\longmapsto} \mathfrak{m}_1(E\cap [0,r]) порядка меньше единицы, для которых Следующий результат – прямое обобщение теоремы Мальявена–Рубела. Теорема 7. Пусть \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} – распределение точек точно такое же, что и в теореме 6, а \mathrm{W}\subset \mathbb{C} – распределение точек конечной верхней плотности и
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_\mathrm{W}(2^n,2^N)- \ell_{\mathrm{W}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}}(2^n,2^N)\bigr)<+\infty,
\end{equation}
\tag{1.28}
где \mathrm{W}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} – сужение \mathrm{W} на \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}. В частности, (1.28), очевидно, выполнено, если \mathrm{W}\subset \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}. Тогда эквивалентны следующие три утверждения. I. Для любой целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа с g(\mathrm{W})=0 при любом b\in \mathbb{R}^+ найдется целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа, обращающаяся в нуль на \mathrm{Z}, для которой |f(z)|\leqslant |g(z)| при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_b. II. При значениях n и N, пробегающих соответственно \mathbb{N}_0 и \mathbb{N}, имеем
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_\mathrm{Z}(2^n,2^N)-\ell_\mathrm{W}(2^n,2^N)\bigr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{1.29}
III. Для некоторого числа p\in [0,1) существуют целая функция g\not\equiv 0 экспоненциального типа с \operatorname{Zero}_g \lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} =\mathrm{W}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}, а также целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа с f(\mathrm{Z})=0 и множество E\subset \mathbb{R}^+ такие же, как в утверждении III теоремы 6, для которых имеет место (1.27). Теорема 6, выведенная из основных результатов в конце п. 2.2 из § 2, теорема 7, являющаяся частным случаем следствия 3 из § 11, и, тем более, основные результаты статьи из § 2 и § 11 усиливают, обобщают и дополняют предшествующие результаты в нескольких различных направлениях. Во-первых, ранее во всех предшествующих результатах, включая и последние [37; основная теорема], [38; теоремы 2.1 и 4.3], [18; теоремы 2, A и B, замечания 1 и 2] 2020–2022 гг., при требованиях вида (1.2) накладывались различные довольно жесткие ограничения на распределение корней \operatorname{Zero}_g в паре углов \overline{\mathrm X}_a\stackrel{(1.24)}{\supset} i\mathbb{R} при некотором a>0, в то время как в теореме 6 целая функция g\not\equiv 0 экспоненциального типа произвольная, а в теореме 7 на распределение точек \mathrm{W} наложено лишь одно условие (1.28), по которому в правой полуплоскости \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} точек из \mathrm{W} в некотором смысле не меньше, чем в левой. Во-вторых, ограничения на рост функции |f|\leqslant |g| рассматривались ранее только на i\mathbb{R}\stackrel{(1.5)}{=}\overline{\operatorname{str}}_0, а в теоремах 6 и 7 эти ограничения рассматриваются на полосе \overline{\operatorname{str}}_b сколь угодно большой ширины 2b\geqslant 0. В-третьих, ограничения на распределение точек \mathrm{Z} в (1.17), (1.20), (1.21), (1.25) предполагают проверку неравенств по множеству мощности континуума всех интервалов (r,R]\subset \mathbb{R}^+ с r\geqslant 1, в то время как в утверждении II теоремы 6 и утверждении II теоремы 7 требуется проверка единственного условия (1.26) и лишь по счетному множеству интервалов (2^n,2^N]\subset \mathbb{R}^+, 0\leqslant n<N\in \mathbb{N}. Наконец, ослабление исходной посылки в импликациях III \Rightarrow I теоремы Мальявена–Рубела, а также III \Rightarrow I теоремы 3, как и достаточного условия (1.25) в теореме 5 с сохранением соответствующих эквивалентностей также серьезно дополняет эти теоремы. Именно ослабления исходной посылки в трех направлениях предложены в утверждении III теоремы 6 и утверждении III теоремы 7, где неравенства |f(iy)|\leqslant |g(iy)| для всех y\in \mathbb{R} заменены на гораздо более слабые прологарифмированные неравенства (1.27) с интегральными средними по расширяющимся окружностям от \ln |g| с аддитивной возрастающей добавкой в правой части вне довольно массивного исключительного множества E. Значительно более слабые версии этих утверждений представлены в § 2 в субгармонической версии в утверждениях V основной теоремы и IV из теоремы 8, а также в § 11 в утверждениях V теоремы 10 и IV из теоремы 11. В статье не излагаются применения наших основных результатов к вопросам нетривиальности весовых пространств целых функций экспоненциального типа, полноты экспоненциальных систем в пространствах функций, к теоремам единственности для целых функций экспоненциального типа, к существованию мультипликаторов, гасящих рост целой функции вдоль прямой, к представлению мероморфных функций в виде отношения целых функций экспоненциального типа с ограничениями на рост этих функций вдоль прямой, к аналитическому продолжению рядов, к задачам спектрального анализа-синтеза в пространствах голоморфных функций и пр. подобно тому, как это проделано или проиллюстрировано в [4], [7], [18], [19], [21]–[23], [35], [37], [40]. Эти применения предполагается изложить отдельно в последующих работах. § 2. Основные результаты2.1. Формулировка основной теоремыДля распределения зарядов \nu функции
\begin{equation}
\ell_{\nu}^{\operatorname{rh}}(r, R) :=\int_{r<|z|\leqslant R} \operatorname{Re}^+ \frac{1}{z} \,d \nu(z)\in \mathbb{R}, \qquad 0< r < R < +\infty ,
\end{equation}
\tag{2.1}
\begin{equation}
\ell_{\nu}^{\operatorname{lh}}(r, R) :=\int_{r<|z|\leqslant R}\operatorname{Re}^- \frac{1}{z} \,d \nu(z)\in \mathbb{R}, \qquad 0< r < R < +\infty ,
\end{equation}
\tag{2.2}
есть соответственно правая и левая логарифмические функции интервалов (r,R] на \mathbb{R}^+. В случае распределения масс \mu они порождают его правую \ell_{\mu}^{\operatorname{rh}} и левую \ell_{\mu}^{\operatorname{lh}} логарифмические меры на \overline{\mathbb{R}}^{\,+}\setminus 0, допуская и R=+\infty в (2.1)–(2.2) с возможными значениями +\infty для \ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r, +\infty) и \ell_{\mu}^{\operatorname{lh}}(r, +\infty), а также его двустороннюю логарифмическую субмеру на \mathbb{R}^+\setminus 0, определенную как
\begin{equation}
\ell_{\mu}(r, R):=\max \bigl\{ \ell_{\mu}^{\operatorname{lh}}(r, R), \ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R)\bigr\}\in \overline{\mathbb{R}}^{\,+}, \qquad 0< r < R \leqslant +\infty.
\end{equation}
\tag{2.3}
Для распределения точек \mathrm{Z} это дает в точности \ell_\mathrm{Z}(r, R) из (1.20). Развивая [41; II], [42], [43; § 2.10], [44; гл. 5], [10; гл. 2], [45], [46; 5.2] [47; определение 3], для d\in \mathbb{R}^+, функции r\colon \mathbb{C}\to \overline{\mathbb{R}}^{\,+}\setminus 0 и гамма-функции \Gamma следующую внешнюю меру:
\begin{equation}
\mathfrak{m}_d^r\colon S\underset{S\subset \mathbb{C}}{\longmapsto} \inf \biggl\{\sum_k \dfrac{\pi^{d/2}}{\Gamma (1+d/2)}r_k^d\biggm| S\subset \bigcup_k \overline D_{z_k}(r_k), \, z_k\in \mathbb{C}, \, r_k \leqslant r(z_k)\biggr\},
\end{equation}
\tag{2.4}
называем d-мерным обхватом Хаусдорфа переменного радиуса обхвата r. При этом через постоянные функции r>0 определяется d-мерная мера Хаусдорфа
\begin{equation}
\mathfrak{m}_d\colon S\underset{S\subset \mathbb{C}}{\longmapsto} \lim_{0<r\to 0} \mathfrak{m}_d^r(S) \underset{r>0}{\geqslant} \mathfrak{m}_d^r(S)\geqslant \mathfrak{m}_d^\infty(S),
\end{equation}
\tag{2.5}
являющаяся регулярной мерой Бореля. По определению (2.4), очевидно,
\begin{equation}
\mathfrak{m}_d\geqslant \mathfrak{m}_d^{r}\geqslant \mathfrak{m}_d^{t}\geqslant \mathfrak{m}_d^{\infty} \quad\text{для любых пар функций } r\leqslant t.
\end{equation}
\tag{2.6}
В частности, \mathfrak{m}_2 – это плоская мера Лебега на \mathbb{C}, а для любой липшицевой кривой L в \mathbb{C} сужение \mathfrak{m}_1\lfloor_L – это мера длины дуги на L [10; 3.3.4A], что вполне согласовано с предшествующим обозначением \mathfrak{m}_1 для линейной меры Лебега на \mathbb{R}. При этом \mathfrak{m}_d=\mathfrak{m}_d^r=0 при любом d>2. Кроме того, 0-мерная мера Хаусдорфа \mathfrak{m}_0 множества – это число элементов в нем, а при всех d>2 как d-мерные меры, так и обхваты Хаусдорфа нулевые, т. е. \mathfrak{m}_d=\mathfrak{m}_d^r=0 при d>2. Как и в [10; предисловие], расширенная числовая функция интегрируема по мере Радона на множестве, если интеграл от нее по этой мере корректно определен значением из \overline{\mathbb{R}}. Интегрируемая функция суммируема, если соответствующий интеграл от нее конечен, т. е. принимает значения из \mathbb{R}. Для функций r\colon S\to \mathbb{R}^+ на подмножестве S\subset \mathbb{C} будут использованы интегральные средние с переменным радиусом r по окружностям
\begin{equation}
v^{\circ r}\colon z\underset{z\in S}{\longmapsto}\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} v\bigl(z+r(z)e^{i\theta}\bigr) \,d \theta
\end{equation}
\tag{2.7}
для \mathfrak{m}_1-интегрируемых функций v на окружностях \partial D_z(r(z)) при z\in S. Если функция v определена на объединении замкнутых кругов
\begin{equation}
S^{\cup r}:=\bigcup_{z\in S}\overline D_z(r(z))\subset \mathbb C,
\end{equation}
\tag{2.8}
то ее точные верхние грани по кругам \overline D_z(r(z)) обозначаем как
\begin{equation}
v^{\vee r}\colon z\underset{z\in S}{\longmapsto}\sup_{\overline D_z(r(z))} v,
\end{equation}
\tag{2.9}
а для \mathfrak m_2-интегрируемых функций v на этих кругах интегральные средние с переменным радиусом r по кругам \overline D_z(r(z)) обозначаем через
\begin{equation}
v^{\bullet r}\colon z\underset{z\in S}{\longmapsto} \frac{1}{\pi(r(z))^2} \int_{\overline D_z(r(z))} v \,d \mathfrak m_2 .
\end{equation}
\tag{2.10}
Для любой функции u, субгармонической на открытой окрестности объединения кругов (2.10), имеем неравенства [11; теорема 2.6.8]
\begin{equation}
u(z)\leqslant u^{\bullet r}(z)\leqslant u^{\circ r}(z) \leqslant u^{\vee r}(z) \quad\text{при всех } z\in S^{\cup r}.
\end{equation}
\tag{2.11}
Для \mathfrak m_1-измеримого подмножества E\subset \mathbb{R}^+ будет использована характеризующая его возрастающая функция [36; лемма 1]
\begin{equation}
q_E\colon r\underset{r\in \mathbb{R}^+}{\longmapsto} \mathfrak m_1(E\cap [0,r])\ln \frac{er}{\mathfrak m_1(E\cap [0,r])} \underset{r\in \mathbb{R}^+}{\leqslant} r.
\end{equation}
\tag{2.12}
Задачи (1.6) и (1.7), (1.8) решает следующий результат. Основная теорема. Пусть \nu – распределение масс на \mathbb{C}, для которого
\begin{equation}
s:= \inf_{z\in \operatorname{supp} \nu}|{\operatorname{Re} z}|>0, \qquad \liminf_{\substack{z\to \infty\\z\in \operatorname{supp} \nu}}\frac{|{\operatorname{Re} z}|}{|z|}>0.
\end{equation}
\tag{2.13}
Тогда для любой субгармонической функции M конечного типа следующие пять утверждений I– IV эквивалентны. I. Для любого b\in [0,s) существует субгармоническая функция U\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta U\geqslant \nu, для которой
\begin{equation}
U(z)\equiv M(z)\quad\textit{при всех } z\in \overline{\operatorname{str}}_b.
\end{equation}
\tag{2.14}
II. При значениях n и N, пробегающих соответственно \mathbb{N}_0 и \mathbb{N}, имеем
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \biggl(\ell_{\nu}(2^n,2^N) -\frac{1}{2\pi}\int_{2^n}^{2^N}\frac{M(iy)+M(-iy)}{y^2}\,d y\biggr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{2.15}
III. Для любой пары субгармонических функций v и m с распределениями масс Рисса соответственно \frac{1}{2\pi}\Delta v=\nu и \frac{1}{2\pi}\Delta m=\frac{1}{2\pi}\Delta M\lfloor_{\operatorname{str}_{s}} при каждом b\in [0,s) найдется целая функция h\not\equiv 0, с которой сумма v+m+\ln |h| – субгармоническая функция конечного типа и
\begin{equation}
v(z)+m(z)+\ln|h(z)|\leqslant M(z) \quad\textit{при всех } z\in \overline{\operatorname{str}}_b.
\end{equation}
\tag{2.16}
IV. Для произвольной субгармонической функции v с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta v=\nu при любых b\in [0,s), d\in (0,2] и функции r\colon \mathbb{C}\to (0,1] с
\begin{equation}
\inf_{z\in \mathbb{C}} \frac{\ln r(z)}{\ln(2+ |z|)}>-\infty
\end{equation}
\tag{2.17}
найдутся целая функция h\not\equiv 0 и подмножество E_b\subset \mathbb{C}, для которых v+\ln |h| – субгармоническая функция конечного типа и
\begin{equation}
v(z)+\ln|h(z)| \leqslant M^{\bullet r}(z) \quad\textit{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_b, \textit{ а также}
\end{equation}
\tag{2.18}
\begin{equation}
v(z)+\ln|h(z)| \leqslant M(z)\quad\textit{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_b\setminus E_b, \textit{ где}
\end{equation}
\tag{2.19}
\begin{equation}
\mathfrak{m}_d^r(E_b\cap S) \leqslant \sup_{z\in S}r(z)\quad\textit{для любого }S\subset \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{2.20}
V. Существуют \mathfrak{m}_1-измеримая функция q_0\colon \mathbb{R}\to \overline{\mathbb{R}}^{\,+}, непрерывная функция q\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}^+ конечного типа с убывающей при некоторых P\in \mathbb{R}^+ и t_0\in \mathbb{R}^+ функцией t\underset{t\geqslant t_0}{\longmapsto} (q(t)+q(-t))/t^P, субгармоническая функция U\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta U\geqslant \nu и \mathfrak m_1-измеримое множество E\subset \mathbb{R}^+ с функцией q_E из (2.12), для которых одновременно Замечание 1. Условия на \operatorname{supp} \nu из (2.13) эквивалентны одному условию: [ \boldsymbol\nu ] существуют числа s\in \mathbb{R}^+\setminus 0 и a\in (0,1), для которых Пример 1. Степенные функции q_0(y)\equiv q(y)\equiv |y|^p степени p\in [0,1) обладают всеми свойствами, требуемыми в утверждении V. Если при этом еще и порядок функции r\underset{r\in \mathbb{R}^+}{\longmapsto} \mathfrak{m}_1(E\cap [0,r]) меньше единицы, то найдутся числа C\geqslant 1, p_E\in [0,1) и r_E\geqslant 1, для которых \mathfrak{m}_1(E\cap [0,r])\leqslant Cr^{p_E}\leqslant r при всех r\geqslant r_E. Отсюда в силу возрастания функции x\underset{x\in [0,r]}{\longmapsto} x\ln(er/x) имеем
\begin{equation*}
q_E(r)\stackrel{(2.12)}{\leqslant} Cr^{p_E}\ln \frac{er}{Cr^{p_E}} \leqslant Cr^{p_E}\ln er \quad\text{при всех } r\geqslant r_E.
\end{equation*}
\notag
Очевидно, для таких функций q_0, q и q_E выполнено (2.22). Примеры, когда возможны лишь довольно слабые ограничения (2.21) с массивным исключительным множеством E, можно строить при выборе субгармонической функции M с существенной частью распределения масс Рисса \varDelta_M вблизи или на i\mathbb{R}, а также при этом крайне нерегулярно распределенной. Замечание 2. Условие (2.17) для r\colon \mathbb{C}\to (0,1] эквивалентно существованию достаточно малого c\in \mathbb{R}^+\setminus 0 и больших R\in \mathbb{R}^+ и P\in \mathbb{R}^+, для которых
\begin{equation}
r(z)\geqslant\begin{cases} c>0 &\text{ при всех }z\in R\,\overline{\mathbb{D}}, \\ \dfrac{1}{(1+|z|)^P} &\text{ при всех }z\in \mathbb{C}\setminus R\,\overline{\mathbb{D}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.24}
При любых таких функциях r для исключительного множества E_b\subset \mathbb{C} из утверждения IV соотношение (2.20) при выборе S:=\mathbb{C}\setminus t\,\overline{\mathbb{D}} дает
\begin{equation*}
\mathfrak{m}_d^r(E_b\setminus t\,\overline{\mathbb{D}}) \stackrel{(2.6)}{=}O\biggl(\frac{1}{t^P}\biggr)\quad\text{при }t\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда, например, при выборе d:=1 для любого сколь угодно большого P>0 исключительное множество E_b в утверждении IV может быть выбрано так, что его часть, лежащая на вертикальных прямых x+i\mathbb{R} с x\in [-b,b], не только конечной линейной меры Лебега \mathfrak{m}_1, но и быстро уменьшается по мере \mathfrak{m}_1 со степенной скоростью t^{-P} вне отрезков x+i[-t,t] при t\to +\infty. Замечание 3. Доказательство основной теоремы проводится по схеме
\begin{equation}
\mathrm{IV}\ \Rightarrow \ \mathrm{V} \ \Rightarrow \ \mathrm{II} \ \Rightarrow \ \mathrm{I} \ \Rightarrow \ \mathrm{III}\ \Rightarrow \ \mathrm{IV},
\end{equation}
\tag{2.25}
где в доказательствах импликаций, предшествующих II в (2.25), и в доказательстве последней импликации III \Rightarrow IV не будут использоваться ограничения (2.13) на распределение масс \nu. По замечанию 4 импликации I \Rightarrow V и III \Rightarrow V также верны без ограничений на \nu. Следовательно, импликации IV \Rightarrow V \Rightarrow II, I \Rightarrow V и III \Rightarrow V истинны для произвольного распределения масс \nu. Доказательства же импликаций II \Rightarrow I \Rightarrow III использует ограничения (2.13) или эквивалентное им условие [ \boldsymbol\nu ] с (2.23) из замечания 1 на распределение масс \nu. В то же время контрпример из [4; пример 3.3.2] при некотором его развитии показывает, что импликации II \Rightarrow I и II \Rightarrow III могут быть неверны и при значительно более слабом требовании-неравенстве вида \leqslant M(iy)+o(|y|) лишь на i\mathbb{R} при |y|\to +\infty, пропуская довольно массивное неограниченное исключительное подмножество E\subset \mathbb{R}^+, если не накладывать каких бы то ни было дополнительных ограничений на распределение масс \nu вблизи i\mathbb{R}. Это позволяет с уверенностью сказать, что в рамках логарифмической субмеры \ell_{\nu} для распределения масс \nu из утверждения II основная теорема дает исчерпывающее решение задач из п. 1.1. Возможные подходы к снятию ограничений (2.13) или эквивалентного им условия [ \boldsymbol\nu ] с (2.23) из замечания 1 на распределение масс \nu – это использование дополнительных характеристик распределений масс или точек, что обсуждается в заключительном комментарии к статье. 2.2. Случай распределения точек \mathrm Z в роли распределения массВ следующей теореме 8 рассматривается задача (1.3), когда в роли распределения масс \nu из основной теоремы выступает распределение точек \mathrm{Z}\subset \mathbb{C}. Теорема 8. Пусть M\not\equiv -\infty – субгармоническая функция конечного типа, а \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} – распределение точек, для которого при некотором a\in (0,1) внешняя плотность Редхеффера от сужения \mathrm{Z}\lfloor_{\overline{\mathrm X}_a} вдоль i\mathbb{R} конечна. Тогда следующие четыре утверждения I– IV эквивалентны. I. Для любых 0\leqslant b<s\in \mathbb{R}^+ и субгармонической функции m с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta m=\frac{1}{2\pi}\Delta M\lfloor_{\operatorname{str}_s} найдется целая функция f\not\equiv 0, обращающаяся в нуль на \mathrm{Z}, для которой субгармоническая функция \ln |f|+m конечного типа и выполняются неравенства
\begin{equation}
\ln |f(z)|+m(z)\leqslant M(z) \quad\textit{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_b.
\end{equation}
\tag{2.26}
II. При значениях n и N, пробегающих соответственно \mathbb{N}_0 и \mathbb{N}, имеем
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N}\biggl(\ell_\mathrm{Z}(2^n,2^N) -\frac{1}{2\pi}\int_{2^n}^{2^N}\frac{M(iy)+M(-iy)}{y^2}\,d y\biggr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{2.27}
III. При любых b\in \mathbb{R}^+, d\in (0,2] и функции r\colon \mathbb{C}\to (0,1] с ограничением (2.17) найдутся целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа с f(\mathrm{Z})=0 и E_b\subset \mathbb{C}, для которых \ln|f(z)|\leqslant M^{\bullet r}(z) при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_b, а также \ln|f(z)|\leqslant M(z) при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_b\setminus E_b, где для E_b выполнено (2.20). IV. Для целочисленного распределения масс \nu:=\mathrm{Z} выполнено утверждение V основной теоремы с соотношениями (2.21) и (2.22). Доказательство. Для произвольной субгармонической функции v с целочисленным распределением масс \nu:=\mathrm{Z} по одной из классических теорем Вейерштрасса найдется целая функция f_\mathrm{Z}\not\equiv 0, для которой
\begin{equation}
\operatorname{Zero}_{f_\mathrm{Z}}=\mathrm{Z}, \qquad v=\ln |f_\mathrm{Z}|.
\end{equation}
\tag{2.28}
Доказательство теоремы 8, которое проводим по схеме III \Rightarrow IV \Rightarrow II \Rightarrow I \Rightarrow III, будет полностью выведено из основной теоремы.
Пусть выполнено утверждение III. Для целой функции f\not\equiv 0 с f(\mathrm{Z})=0 из утверждения III имеет место представление f\stackrel{(2.28)}{=}f_\mathrm{Z}h. Отсюда по равенствам \ln |f|=\ln |f_\mathrm{Z}|+\ln|h|\stackrel{(2.28)}{=}v+\ln|h| утверждение III дает утверждение IV основной теоремы. Из импликации IV \Rightarrow V основной теоремы, истинной по замечанию 3 без ограничений на \nu, следует, что истинна импликация III \Rightarrow IV. Пусть выполнено утверждение IV. По замечанию 3 из импликации V \Rightarrow II основной теоремы следует, что для \nu:=\mathrm{Z} выполнено (2.15), что дает в точности (2.27) для \mathrm{Z}=\nu. Это доказывает истинность импликации IV \Rightarrow II. Для доказательства импликации II \Rightarrow I потребуется следующая лемма. Лемма 1. Пусть \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} – какое-либо распределение точек внешней плотности Редхеффера вдоль i\mathbb{R} строго меньшей, чем c\in \mathbb{R}^+\setminus 0. Тогда для любого числа s\in \mathbb{R}^+ найдется целая функция f_s\not\equiv 0 экспоненциального типа \operatorname{type}[\ln|f_s|]<\pi c, для которой f_s(\mathrm{Z})=0 и |f_s(z)|\leqslant 1 при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_{s}. Доказательство. Теорема Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты [30] в версии Р. М. Редхеффера [15], [4; теорема 2.1.10], после ее двойственной переформулировки в терминах целых функций экспоненциального типа и перехода с помощью поворота на прямой угол от \mathbb{R} к i\mathbb{R}, обеспечивает существование целой функции h_s\not\equiv 0 экспоненциального типа
\begin{equation}
\operatorname{type}[\ln|h_s|]<\pi c, \qquad h_s(\mathrm{Z})=0, \qquad \sup_{y\in \mathbb{R}}|h_s(iy)|\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.29}
Для ограниченной на мнимой оси i\mathbb{R} субгармонической функции \ln|h_s| конечного типа интеграл Пуассона от функции \ln|h_s| по мнимой оси для некоторого числа A\in \mathbb{R}^+ задает гармонические мажоранты на \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} и на \mathbb{C}_{\mathrm{lh}}:
\begin{equation*}
z\underset{z\in \mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}}{\longmapsto} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|{\operatorname{Re} z}| \ln|h_s(iy)|}{(\operatorname{Re} z)^2+(\operatorname{Im} z-y)^2} \,d y+A|{\operatorname{Re} z}|\stackrel{(2.29)}{\underset{z\in \mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}}{\leqslant}} A|{\operatorname{Re} z}|.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, выполнены неравенства
\begin{equation}
\ln |h_s(z)|\underset{z\in \mathbb{C}}{\leqslant} A |{\operatorname{Re} z}|\leqslant As\quad\text{при всех } z\in \overline{\operatorname{str}}_s.
\end{equation}
\tag{2.30}
Тогда целая функция f_s:=h_se^{-As} экспоненциального типа
\begin{equation*}
\operatorname{type}[\ln|f_s|]=\operatorname{type}[\ln|h_s|]\stackrel{(2.29)}{<}\pi c
\end{equation*}
\notag
согласно (2.29) обращается в нуль на \mathrm{Z} и
\begin{equation*}
\ln|f_s(z)|\leqslant \ln|h_s(z)| -As\stackrel{(2.30)}{\leqslant} As-As=0\quad\text{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_{s},
\end{equation*}
\notag
что завершает доказательство леммы 1. Из утверждения II при 0\leqslant b<s\in \mathbb{R}^+ выведем утверждение I. Сужение \mathrm{Z}\lfloor_{{\overline{\mathrm X}_a}\cup \overline{\operatorname{str}}_ s} добавляет к сужению \mathrm{Z}\lfloor_{\overline{\mathrm X}_a} не более чем конечное число точек. Поэтому, очевидно, и распределение точек \mathrm{Z}\lfloor_{{\overline{\mathrm X}_a}\cup \overline{\operatorname{str}}_ s} также конечной внешней плотности Редхеффера вдоль i\mathbb{R}. По лемме 1 с \mathrm{Z}\lfloor_{{\overline{\mathrm X}_a}\cup \overline{\operatorname{str}}_ s} в роли \mathrm{Z} существует целая функции f_s экспоненциального типа, для которой
\begin{equation}
f_s(\mathrm{Z}\lfloor_{{\overline{\mathrm X}_a}\cup \overline{\operatorname{str}}_ s})=0, \qquad |f_s(z)|\leqslant 1\quad\text{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_{s}.
\end{equation}
\tag{2.31}
Наряду с распределением точек \mathrm{Z}\lfloor_{{\overline{\mathrm X}_a}\cup \overline{\operatorname{str}}_ s} рассмотрим оставшуюся часть распределения точек \mathrm Z, для которой, при трактовке ее как целочисленной меры \nu:=\mathrm{Z}\lfloor_{\mathbb{C}\setminus ({\overline{\mathrm X}_a}\cup \overline{\operatorname{str}}_ s)}\leqslant \mathrm{Z}, очевидно, выполнено условие [ \boldsymbol\nu ] с (2.23) из замечания 1, эквивалентное условиям (2.13) основной теоремы, а из (2.27) следует (2.15). Для целочисленного распределения масс \nu существует целая функция F\not\equiv 0 с распределением корней \operatorname{Zero}_F=\mathrm{Z}\lfloor_{\mathbb{C}\setminus ({\overline{\mathrm X}_a}\cup \overline{\operatorname{str}}_ s)}\leqslant \mathrm{Z}. Другими словами, функция v:=\ln|F| субгармоническая с распределением масс Рисса, равным \nu. Из импликации II \Rightarrow III основной теоремы для этой субгармонической функции v=\ln|F| найдется целая функция h\not\equiv 0, для которой есть субгармоническая функция конечного типа и выполнено (2.16). Отсюда
\begin{equation}
\ln|F(z)h(z)|+m(z) \stackrel{(2.32)}{\underset{z\in \mathbb{C}}{\equiv}} v(z)+m(z)+\ln|h(z)| \underset{z\in \overline{\operatorname{str}}_b}{\stackrel{(2.16)}{\leqslant}} M(z),
\end{equation}
\tag{2.33}
где целая функция Fh обращается в нуль на \mathrm{Z}\lfloor_{\mathbb{C}\setminus ({\overline{\mathrm X}_a}\cup \overline{\operatorname{str}}_ s)}=\operatorname{Zero}_F. Тогда для целой функции f:=f_sFh функция \ln|f|+m=\ln|f_s|+\ln |Fh|+m – субгармоническая функция конечного типа как сумма таковых, и при этом
\begin{equation*}
\ln|f(z)|+m(z)=\ln|f_s(z)|+\ln |F(z)h(z)|+m(z) \stackrel{(2.31),(2.33)}{\underset{z\in \overline{\operatorname{str}}_b}{\leqslant}} M(z),
\end{equation*}
\notag
где f\not\equiv 0 обращается в нуль на \mathrm{Z}, поскольку для сомножителя f_s имеем (2.31), а сомножитель Fh обращается в нуль на \mathrm{Z}\lfloor_{\mathbb{C}\setminus (\overline{\mathrm X}_a\cup \overline{\operatorname{str}}_ s)}. Таким образом, установлено, что утверждение II влечет за собой утверждение I. Наконец, пусть выполнено утверждение I. Для вывода из него утверждения III при заданном b\geqslant 0 выберем s>b и вновь рассмотрим произвольную субгармоническую функцию v с целочисленным распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta v:=\nu:=\mathrm{Z}, как в (2.28). Целая функция f\not\equiv 0 из утверждения I представляется в виде f\stackrel{(2.28)}{=}f_\mathrm{Z}h, где h\not\equiv 0 – целая функция. При этом v+m+\ln |h|=\ln |f_\mathrm{Z}h|+m=\ln |f|+m. Отсюда по утверждению I субгармоническая функция v+m+\ln |h| конечного типа, а из (2.26) получаем
\begin{equation*}
v(z)+m(z)+\ln |h(z)|\underset{z\in \mathbb{C}}{\equiv} \ln |f(z)|+m(z)\stackrel{(2.26)}{\leqslant} M(z) \quad\text{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_b.
\end{equation*}
\notag
Это означает, что выполнено утверждение III основной теоремы для \nu=\mathrm{Z}. Из импликации III \Rightarrow IV основной теоремы, истинной по замечанию 3 без ограничений на \nu, для функции v=\ln|f_\mathrm{Z}| найдется некоторая целая функция h\not\equiv 0, с которой выполнены неравенства (2.18)–(2.20) с левой частью v+\ln|h|=\ln |f_\mathrm{Z}h|, являющейся субгармонической функцией конечного типа. Это означает, что для распределения масс \mathrm{Z}=\nu нашлась целая функция f:=f_\mathrm{Z}h, обращающаяся в нуль на \mathrm{Z}, со свойствами, требуемыми в утверждении III. Таким образом, импликация I \Rightarrow III истинна, а доказательство теоремы 8 завершено. Следующее следствие 1 позволяет объединить утверждения I и III теоремы 8 в одно более простое и полностью избавиться от интегральных усреднений M^{\bullet} и исключительного множества E_b в утверждении III теоремы 8. Следствие 1. Если в условиях теоремы 8 при некотором s\in \mathbb{R}^+\setminus 0 сужение \frac{1}{2\pi}\Delta M\lfloor_{\operatorname{str}_s} – целочисленное распределение масс, то в теореме 8 пару утверждений I и III можно заменить на одно, эквивалентное утверждениям II и IV теоремы 8, более сильное утверждение: I \cap III. Для любого b\in [0,s) найдется такая целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа, что f(\mathrm{Z})=0 и \ln |f(z)|\leqslant M(z) при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_b. Доказательство. Для любой субгармонической функции m с целочисленным распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta m=\frac{1}{2\pi}\Delta M\lfloor_{\operatorname{str}_s} из утверждения I теоремы 8 найдется такая целая функция l\not\equiv 0, что m=\ln |l|, а \ln |fl|=\ln|f|+\ln|l|=\ln|f|+m – субгармоническая функция конечного типа, для которой
\begin{equation}
\ln |f(z)l(z)|\underset{z\in\mathbb{C}}{\stackrel{(2.26)}{\equiv}} \ln |f(z)|+m(z)\leqslant M(z) \quad\text{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_b.
\end{equation}
\tag{2.34}
Таким образом, для целой функции fl экспоненциального типа имеет место (2.34). Если переобозначить произведение fl как целую функцию f экспоненциального типа, то утверждение I теоремы 8 становится в точности утверждением I \cap III, которое, очевидно, сильнее утверждения III теоремы 8. Следствие 2. Для любой целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа и такого же, как в теореме 8, распределения точек \mathrm{Z} каждое из утверждений I и II теоремы 6 эквивалентно утверждению IV теоремы 8. Доказательство. Положим M:=\ln |g|\not\equiv -\infty. Тогда для любого числа s>0 сужение \frac{1}{2\pi}\Delta M\lfloor_{\operatorname{str}_s}=\operatorname{Zero}_g\lfloor_{\operatorname{str}_s}, очевидно, есть целочисленное распределение масс, а утверждения I и II теоремы 6 – это в точности соответственно утверждение I \cap III из следствия 1 и утверждение II теоремы 8. Таким образом, следствие 1 влечет за собой следствие 2. Доказательство теоремы 6. Утверждение I при E:=\varnothing, очевидно, влечет за собой III, которое согласно примеру 1 – частный случай утверждения IV теоремы 8. Таким образом, следствие 2 влечет за собой теорему 6. Доказательство теоремы 4. Эквивалентность II \Leftrightarrow III – двойственный вариант теоремы Бёрлинга–Мальявена о радиусе полноты в сочетании с классической теоремой Пэли–Винера, а эквивалентность III \Leftrightarrow IV – одна из форм теоремы Бёрлинга–Мальявена о мультипликаторе. Импликация I \Rightarrow III очевидна при выборе g\equiv 1. Наконец, при выполнении утверждения II согласно лемме 1 при любом s\in \mathbb{R}^+ найдется целая функция f_s\not\equiv 0 экспоненциального типа \operatorname{type}[\ln|f_s|]<\pi c, для которой f_s(\mathrm{Z})=0 и |f_s(z)|\leqslant 1 при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_{s}. Тогда для произвольной целой функции g\not\equiv 0 экспоненциального типа целая функция f:=f_sg\not\equiv 0 экспоненциального типа
\begin{equation*}
\operatorname{type} [\ln|f|]\leqslant \operatorname{type} [\ln|f_s|]+\operatorname{type} [\ln|g|] <c+\operatorname{type} [\ln|g|]
\end{equation*}
\notag
обращается в нуль на \mathrm{Z}\leqslant \operatorname{Zero}_{f_s}\leqslant \operatorname{Zero}_f и удовлетворяет неравенствам
\begin{equation*}
\ln|f(z)|\equiv \ln|f_s(z)|+\ln|g(z)|\leqslant \ln|g(z)|\quad\text{при всех } z\in \overline{\operatorname{str}}_s,
\end{equation*}
\notag
что завершает доказательство теоремы 4. 2.3. Доказательства импликаций, предшествующих II в (2.25) Доказательство импликации IV \Rightarrow V. По утверждению IV при b:=0 существует субгармоническая функция U:=v+\ln|h|\not\equiv -\infty конечного типа в (2.19)–(2.20) с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta U\geqslant \nu, удовлетворяющая неравенству U(iy)\leqslant M(iy) для всех iy\in (\mathbb{C}\setminus E_0)\cap i\mathbb{R}, где при d:=1 и выборе r\equiv 1 в (2.17) имеем \mathfrak{m}_1^1(E_0) <+\infty. Последнее по определению обхвата Хаусдорфа (2.4) радиуса 1 означает, что некоторое объединение отрезков на i\mathbb{R} с конечной суммой длин покрывает iE':=E_0\cap i\mathbb{R} и по утверждению IV
\begin{equation}
U(iy)\leqslant M(iy)\quad\text{для всех }y\in \mathbb{R}\setminus E', \text{ где }\mathfrak{m}_1(E') <+\infty.
\end{equation}
\tag{2.35}
Отсюда для E:=(E'\cup (-E'))\cap \mathbb{R}^+ по-прежнему \mathfrak{m}_1(E) <+\infty и
\begin{equation}
U(iy)+U(-iy)\leqslant M(iy)+M(-iy)\quad\text{для всех }y\in \mathbb{R}^+\setminus E.
\end{equation}
\tag{2.36}
Для такого подмножества E\,{\subset}\,\mathbb{R}^+ в силу возрастания функции x\,{\underset{x\in [0,r]}{\longmapsto}}\, x\ln(er/x) по определению функции q_E из (2.12) при r\geqslant \mathfrak{m}_1(E) следует
\begin{equation}
q_{E}(r) \stackrel{(2.12)}{\leqslant} \mathfrak{m}_1(E)\ln\frac{er}{\mathfrak{m}_1(E)}\underset{r\to +\infty}{=}O(\ln r).
\end{equation}
\tag{2.37}
Отсюда при выборе q_0=q=0 получаем как конечность интеграла из (2.22), так и согласно (2.36) неравенства (2.21) при всех y\in \mathbb{R}^+\setminus E. Замечание 4. Доказательства импликаций I \Rightarrow V и III \Rightarrow V еще проще, поскольку выбор функции U в первом случае тот же, что и в утверждении I, во втором можем положить U:=v+m+\ln|h|, E:=\varnothing для обоих случаев, а рассуждения, начиная с (2.36) те же, что и при доказательстве IV \Rightarrow V. Кроме того, основную теорему можно дополнить еще одним, эквивалентным утверждениям I–V, но значительно более простым и кратким по сравнению с V утверждением. VI. Существуют субгармоническая функция U\not\equiv -\infty конечного типа с \frac{1}{2\pi}\Delta U\geqslant \nu и \mathfrak m_1-измеримое подмножество E'\subset \mathbb{R}, для которых
\begin{equation}
U(iy)\leqslant M(iy)\quad\textit{при всех }y\in \mathbb{R}\setminus E', \textit{ где } \mathfrak{m}_1(E')<+\infty.
\end{equation}
\tag{2.38}
Действительно, импликация IV \Rightarrow VI доказывается дословно так же, как импликация IV \Rightarrow V до (2.35) включительно, а импликация VI \Rightarrow V так же, как импликация IV \Rightarrow V от (2.35) до конца доказательства. Доказательство импликации V \Rightarrow II. Утверждение V до (2.21) включительно – это в точности посылка основного результата из [36; теорема 1] с той лишь разницей, что в ней даже не предполагается убывание функции
\begin{equation}
t\underset{t\geqslant t_0}{\longmapsto} \frac{q(t)+q(-t)}{t^P} \quad\text{при некоторых }P\in \mathbb{R}^+ \text{ и }t_0\in \mathbb{R}^+,
\end{equation}
\tag{2.39}
где, увеличивая P при необходимости, можно считать, что P\geqslant 2, сохраняя убывание функции (2.39). Теперь по существенно ослабленному заключению из [36; теорема 1, (1.10), (1.11)] для любых чисел r_0>0 и N\in \mathbb{R}^+ найдется C\in \mathbb{R}^+, для которого
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\ell_{\nu}(r,R)\leqslant \frac{1}{2\pi}\int_{r}^{R}\frac{M(iy)+M(-iy)}{y^2}\,d y +C\frac{1}{2\pi}\int_{r}^{R}\frac{q_0(t)+q_0(-t)+2q_E(t)}{t^2}\,d t \nonumber \\ &\qquad+C \int_r^R t^N\sup_{s\geqslant t} \frac{q(s)+q(-s)}{s^{2+N}}\,d t+C \quad\text{при всех }r_0\leqslant r<R<+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.40}
Поскольку P\geqslant 2, можем положить в этом заключении N:=P-2\in \mathbb{R}^+. При условии убывания функции (2.39) с P=2+N при некотором достаточно большом t_0\in \mathbb{R}^+ найдутся [36; предложение 1] числа r_1> 0 и C_1\in \mathbb{R}^+, для которых последний интеграл в (2.40) оценивается сверху как
\begin{equation*}
\int_r^R t^N\sup_{s\geqslant t} \frac{q(s)+q(-s)}{s^{2+N}}\,d t\leqslant C_1\int_r^R \frac{q(t)+q(-t)}{t^2}\,d t \quad\text{при всех }r_1\leqslant r<R<+\infty.
\end{equation*}
\notag
Последняя оценка вместе с (2.40) дает [36; предложение 1, (3.4)]
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ell_{\nu}(r,R) &\leqslant \frac{1}{2\pi}\int_{r}^{R}\frac{M(iy)+M(-iy)}{y^2}\,d y \\ &\qquad+C_2\frac{1}{2\pi}\int_{r}^{R}\frac{q_0(t)+q_0(-t)+2q_E(t)+q(t)+q(-t)}{t^2}\,d t +C_2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для некоторого C_2\in \mathbb{R}^+ при всех r_2:=\max\{1, r_0, r_1\}\leqslant r<R<+\infty, откуда согласно (2.22) для некоторого C_3\in \mathbb{R} получаем [36; следствие 1]
\begin{equation*}
\ell_{\nu}(r,R)\leqslant \frac{1}{2\pi}\int_{r}^{R}\frac{M(iy)+M(-iy)}{y^2}\,d y +C_3\quad\text{при всех }r_2\leqslant r<R<+\infty.
\end{equation*}
\notag
Здесь ввиду локальной \mathfrak{m}_1-суммируемости субгармонических функций на каждой прямой и неравенства субаддитивности \ell_{\nu}(r,R)\stackrel{(2.3)}{\leqslant} \ell_{\nu}(1,r_2)+\ell_{\nu}(r_2,R) при r\in [1,r_2) [36; 3.2] фиксированное значение r_2 можно заменить на 1, возможно увеличивая C_3. После этого, перекидывая интеграл из правой части с противоположным знаком в левую часть неравенства и применяя к полученной разности слева сначала операцию \sup_{r\in [1,R)}, а затем \limsup_{R\to +\infty}, получаем
\begin{equation}
\limsup_{R\to +\infty} \sup_{1\leqslant r<R}\biggl(\ell_{\nu}(r,R)- \frac{1}{2\pi}\int_{r}^{R}\frac{M(iy)+M(-iy)}{y^2}\,d y\biggr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{2.41}
Здесь левая часть не меньше левой части (2.15), что дает утверждение II. Замечание 5. Доказательство ключевой в основной теореме импликации II \Rightarrow I потребует значительной предварительной подготовки в §§ 3–6, основанной на технике выметания, и будет дано в § 7. Доказательства оставшихся импликаций I \Rightarrow III \Rightarrow IV приводятся в § 9. Они основываются на теореме 9 из § 8 о существовании для произвольной субгармонической функции u\not\equiv -\infty целой функции f\not\equiv 0 c \ln |f|\leqslant u вне очень малого исключительного множества, что представляет собой и самостоятельный интерес. § 3. Выметание из правой полуплоскости3.1. Выметания рода 0 и 1 распределений зарядовДля распределения заряда \nu используем [9; формула (1.9)] его функцию распределения на \mathbb{R}, обозначаемую как \nu_{\mathbb{R}}\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} и определенную равенствами
\begin{equation}
\nu_{\mathbb{R}}(x_2)-\nu_{\mathbb{R}}(x_1):=\nu((x_1,x_2]), \qquad -\infty <x_1<x_2<+\infty,
\end{equation}
\tag{3.1}
и функцию распределения \nu_{i\mathbb{R}}\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} на i\mathbb{R}, определенную равенствами
\begin{equation}
\nu_{i\mathbb{R}}(y_2)-\nu_{i\mathbb{R}}(y_1):=\nu(i(y_1,y_2]), \qquad -\infty <y_1<y_2<+\infty.
\end{equation}
\tag{3.2}
Поскольку эти функции распределения определены лишь с точностью до аддитивной постоянной, при необходимости используем их нормировки в нуле По построению (3.1) и (3.2) функции \nu_{\mathbb{R}} и \nu_{i\mathbb{R}} локально ограниченной вариации на \mathbb{R}, а в случае распределения масс \nu обе эти функции возрастающие. Обратно, любая функция локально ограниченной вариации на \mathbb{R} или i\mathbb{R} однозначно определяет распределение зарядов с носителем соответственно на \mathbb{R} или i\mathbb{R}. Мы напоминаем и адаптируем основные понятия и утверждения из [9] и [28], а также частично из [48] и [35] о выметании конечного рода q\in \mathbb{N}_0 распределений зарядов, но пока применительно только к правой полуплоскости \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} в случаях q:=0 и q:=1. В [9] и [28] в основном рассматривается верхняя полуплоскость \mathbb{C}^{\mathrm{up}}:=i\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}, что переносится на \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} поворотом на прямой угол. Характеристическую функцию множества S обозначаем через
\begin{equation}
\boldsymbol{1}_S\colon z\underset{z\in \mathbb C}{\longmapsto} \begin{cases} 1, &\text{если }z\in S, \\ 0, &\text{если }z\notin S. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
Гармоническая мера для \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} в точке z\in \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на интервалах i(y_1,y_2]\subset i\overline{\mathbb{R}}
\begin{equation}
\omega_{\mathrm{rh}} \bigl(z,i(y_1,y_2]\bigr)\stackrel{\text{[9, 3.1]}}{:=} \omega_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}(z,i(y_1,y_2]) \underset{z\in \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}{:=} \frac1{\pi} \int_{y_1}^{y_2}\operatorname{Re} \frac{1}{z-iy} \,d y
\end{equation}
\tag{3.5}
равна деленному на \pi углу, под которым виден интервал i(y_1,y_2] из точки z\in \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} [35; (3.1)], [9; 1.2.1, 3.1], а в точках мнимой оси i\mathbb{R} определяется как
\begin{equation}
\omega_{\mathrm{rh}} \bigl(iy,i(y_1,y_2]\bigr):=\boldsymbol{1}_{(y_1,y_2]}(y) \quad\text{при }y\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.6}
Для распределения зарядов \nu при классическом условии Бляшке для \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}
\begin{equation}
\ell_{|\nu|}^{\operatorname{rh}}(1,+\infty)\stackrel{(2.3)}{=} \int_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}\setminus \mathbb{D}} \operatorname{Re} \frac{1}{z}\,d |\nu| (z)<+\infty
\end{equation}
\tag{3.7}
определено [9; следствие 4.1, теорема 4] его классическое выметание из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} с носителем на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}, которое в более широких рамках [28; определение 3.1] представляет собой выметание рода 0, обозначавшееся в [28] как \nu^{\operatorname{bal}[0]}_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}}. Здесь используется чуть более компактная запись \nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}:= \nu^{\operatorname{bal}[0]}_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}}. По определению распределение зарядов \nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}} – это сумма сужения \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}} на \mathbb{C}_{\mathrm{lh}} с распределением зарядов на i\mathbb{R}, определяемым в обозначениях (3.2) функцией распределения
\begin{equation}
\nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y_2) -\nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y_1)\stackrel{(3.5),(3.6)}{:=} \int_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}} \omega_{\mathrm{rh}}\bigl(z, i(y_1,y_2]\bigr) \,d \nu(z)
\end{equation}
\tag{3.8}
с нормировкой вида (3.3) при необходимости. Классическое выметание рода 0 не увеличивает полную меру полной вариации распределения зарядов, поскольку гармоническая мера (3.5) вероятностная и
\begin{equation}
\bigl|\nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr|(S)\underset{S\subset \mathbb{C}}{\stackrel{(3.8)}{\leqslant}} |\nu|(S).
\end{equation}
\tag{3.9}
В [28; определение 2.1] вводилось понятие гармонического заряда рода 1 для верхней полуплоскости \mathbb{C}^{\mathrm{up}} в точке z\in \mathbb{C}^{\mathrm{up}}, обозначавшегося в [28; (2.1)] через \Omega^{[1]}_{\mathbb{C}^{\mathrm{up}}}. Здесь используем поворот на прямой угол с переходом от \mathbb{C}^{\mathrm{up}} к \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} и определим гармонический заряд рода 1 для правой полуплоскости \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} как функцию \Omega_{\mathrm{rh}} ограниченных интервалов i(y_1,y_2]\subset i\mathbb{R} по правилу
\begin{equation}
\Omega_{\mathrm{rh}}\bigl(z,i(y_1,y_2]\bigr)\stackrel{(3.5),(3.6)}{:=} \omega_{\mathrm{rh}}\bigl(z,i(y_1,y_2]\bigr)-\frac{y_2-y_1}{\pi}\operatorname{Re}\frac{1}{z} \quad\text{в }z\in \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}\setminus 0.
\end{equation}
\tag{3.10}
Для распределения зарядов \nu в [28; определение 3.1, теорема 1, замечание 3.3] определялось выметание \nu_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}}^{\operatorname{bal}[1]} рода 1 распределения зарядов \nu из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} при 0\notin \operatorname{supp} \nu. Здесь используется более компактная запись для такого выметания \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} :=\nu^{\operatorname{bal}[1]}_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}}. По определению распределение зарядов \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} – это сумма сужения \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}} с распределением зарядов на i\mathbb{R}, определяемым в обозначениях (3.2) функцией распределения
\begin{equation}
\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y_2) -\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y_1)\stackrel{(3.10)}{=} \int_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} \Omega_{\mathrm{rh}} \bigl(z, i(y_1,y_2]\bigr)\,d \nu (z)
\end{equation}
\tag{3.11}
с нормировкой вида (3.3) при необходимости. Замечание 6. Выметание распределения зарядов рода 1 из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} – это часть глобального, или двухстороннего, выметания распределения зарядов из \mathbb{C}\setminus i\mathbb{R} на i\mathbb{R}, рассмотренного в [35; § 3] и сыгравшего там одну из ключевых ролей. Двустороннее выметание на мнимую ось можно рассматривать как последовательное выметание рода 1 распределения зарядов сначала из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}, а затем зеркально симметричной относительно i\mathbb{R} процедуры выметания рода 1 получившегося распределения зарядов из \mathbb{C}_{\mathrm{lh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}. Ограничение 0\notin \operatorname{supp} \nu для выметания рода 1 легко преодолевается, если скомбинировать выметание рода 0 части \nu около нуля с выметанием рода 1 для оставшейся части \nu. Для этого определяем комбинированное выметание рода 01 распределения зарядов \nu из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} [28; замечание 3.3, (3.43), (4.1)]
\begin{equation}
\nu^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{01}}:= \bigl(\nu\lfloor_{r_0\mathbb{D}}\bigr)^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{0}} +\bigl(\nu\lfloor_{\mathbb{C}\setminus r_0\mathbb{D}}\bigr)^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{1}}
\end{equation}
\tag{3.12}
при каком-нибудь фиксированном радиусе r_0\in \mathbb{R}^+\setminus 0. Замечание 7. Круг r_0\mathbb{D} в правой части (3.12) можно заменить на любое ограниченное борелевское множество, содержащее полукруг r_0\mathbb{D}\setminus \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}, или даже на пустое множество. Другими словами, можно обойтись совсем без выметания рода 0 и положить \nu^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{01}}:= \nu^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{1}}, если 0\notin \operatorname{supp} \nu или, более общо́,
\begin{equation}
\int_{r_0\mathbb{D}} \operatorname{Re}^+\frac{1}{z} \,d |\nu|(z)<+\infty,
\end{equation}
\tag{3.13}
что, очевидно, выполнено, если для некоторого r_0\in \mathbb{R}^+\setminus 0 имеем Теперь вопрос существования выметания \nu^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{01}} упирается лишь в поведение распределения зарядов \nu около бесконечности, но один случай прост. Предложение 1. Если \nu – заряд с компактным носителем, сосредоточенный в \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}, и выполнено (3.13) или (3.14), то выметание \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} рода 1 связано с выметанием \nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}} рода 0 через функцию распределения равенством
\begin{equation}
\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y_2) -\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y_1)\stackrel{(3.10)}{=} \nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y_2) -\nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y_1) -\frac{y_2-y_1}{\pi}\int_{\mathbb{C}}\operatorname{Re}\frac{1}{z}\,d \nu(z)
\end{equation}
\tag{3.15}
для любых -\infty <y_1<y_2<+\infty, а для любой непрерывной на [y_1,y_2] числовой функции f имеет место равенство
\begin{equation}
\int_{y_1}^{y_2}f(y)\,d \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y) =\int_{y_1}^{y_2}f(y)\,d \nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}_{i\mathbb{R}}(y)- \frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{C}}\operatorname{Re}\frac{1}{z}\,d \nu(z)\cdot \int_{y_1}^{y_2}f(y)\,d y.
\end{equation}
\tag{3.16}
Доказательство. Для заряда \nu ввиду компактности носителя выметание \nu^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}} рода 0 с функцией распределения (3.8) корректно определено, а по замечанию 7 существует последний интеграл в (3.15). Отсюда вид (3.10) гармонического заряда \Omega_{\mathrm{rh}} вместе с определениями (3.8) и (3.11) сразу дает (3.15), откуда, очевидно, следует и интегральное равенство (3.16). Предложение доказано. Распределение зарядов \nu принадлежит классу сходимости при порядке роста p\in \mathbb{N}_0, если [12; определение 4.1], [9; § 2, 2.1, (2.3)]
\begin{equation}
\int_1^{+\infty}\frac{|\nu|^{\mathrm{rad}}(t)}{t^{p+1}}\,d t<+\infty.
\end{equation}
\tag{3.17}
В [38; разд. 3] использовались различные виды условий Линделёфа. Распределение зарядов \nu удовлетворяет \mathbb{R}-условию Линделёфа (рода 1), если
\begin{equation}
\sup_{r\geqslant 1} \biggl| \int_{1<|z|\leqslant r}\operatorname{Re}\frac{1}{z}\,d \nu(z)\biggr|<+\infty,
\end{equation}
\tag{3.18}
что по определениям (2.1), (2.2) эквивалентно соотношению
\begin{equation}
\sup_{r\geqslant 1} \bigl| \ell^{\operatorname{rh}}_{\nu}(1,r) -\ell^{\operatorname{lh}}_{\nu}(1,r)\bigr|<+\infty,
\end{equation}
\tag{3.19}
удовлетворяет i\mathbb{R}-условию Линделёфа (рода 1), если
\begin{equation}
\sup_{r\geqslant 1}\biggl| \int_{1<|z|\leqslant r}\operatorname{Im}\frac{1}{z}\,d \nu(z) \biggr|<+\infty,
\end{equation}
\tag{3.20}
и удовлетворяет условию Линделёфа (рода 1), если
\begin{equation}
\sup_{r\geqslant 1}\biggl|\int_{1<|z|\leqslant r}\frac{1}{z}\,d \nu(z) \biggr|<+\infty.
\end{equation}
\tag{3.21}
Ключевая роль условий Линделёфа отражает следующая классическая теорема. Теорема Вейерштрасса–Адамара–Линделёфа–Брело (см. [49; разд. 3, теорема 12], [12; 4.1, 4.2], [14; 2.9.3], [9; 6.1]). Если u\not\equiv -\infty – субгармоническая функция конечного типа, то ее распределение масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta u конечной верхней плотности и удовлетворяет условию Линделёфа (3.21). Обратно, если распределение масс \nu конечной верхней плотности, то существует субгармоническая функция u_{\nu} с \frac{1}{2\pi}\Delta u_{\nu}=\nu порядка \operatorname{ord}[u_{\nu}]\leqslant 1, которая при выполнении условия Линделёфа (3.21) для \nu будет уже функцией конечного типа. При этом любая субгармоническая функция u с \frac{1}{2\pi}\Delta u=\nu представляется в виде суммы u=u_{\nu}+H, где H – гармоническая функция на \mathbb{C}, которая при условии \operatorname{type}_2[u]=0 является гармоническим многочленом степени \deg H\leqslant 1, а функция u становится функцией порядка \operatorname{ord}[u]\leqslant 1. Предложение 2. Пусть \nu – распределение зарядов, для которого сужение \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} принадлежит классу сходимости при порядке p\stackrel{(3.17)}{=}2. Тогда существует выметание \nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} рода 01 из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}. В частности, если \operatorname{ord}[\nu]<2, то \nu из класса сходимости при порядке <2 и \operatorname{ord}[\nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}]\leqslant \operatorname{ord}[\nu]. Если \nu конечной верхней плотности и удовлетворяет условию
\begin{equation}
\sup_{r\geqslant 1}\bigl|\ell_{\nu}^{\operatorname{rh}}(1,r)\bigr| \stackrel{(2.1)}{<}+\infty,
\end{equation}
\tag{3.22}
то \nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} – распределение зарядов конечной верхней плотности c разностью \nu-\nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}, удовлетворяющей условию Линделёфа. При этом, если носитель \operatorname{supp} \nu не пересекается с замкнутым углом раствора строго больше, чем \pi, содержащим i\mathbb{R}, с вершиной в нуле и биссектрисой -\mathbb{R}^+, т. е.
\begin{equation}
\bigl\{z\in \mathbb{C} \bigm| \operatorname{Re} z\leqslant a |z|\bigr\} \cap \operatorname{supp} \nu=\varnothing\quad\textit{для некоторого }a \in (0,1),
\end{equation}
\tag{3.23}
то в обозначении (1.13) имеем
\begin{equation}
\sup_{y\in \mathbb{R}}\sup_{t\in (0,1]} \frac{\bigl|\nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}\bigr|_{iy}^{\mathrm{rad}}(t)}{t}<+\infty,
\end{equation}
\tag{3.24}
где \bigl|\nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}\bigr|_{iy}^{\mathrm{rad}} – радиальная считающая функция с центром iy\in i\mathbb{R} для полной вариации \bigl|\nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}\bigr| распределения зарядов \nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}. Доказательство. Для классического выметания (\nu\lfloor_{r_0\overline{\mathbb{D}}})^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{0}} рода 0 из правой части (3.12) имеем
\begin{equation*}
\bigl|(\nu\lfloor_{r_0\mathbb{D}})^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{0}}\bigr|(\mathbb{C}) \stackrel{(3.9)}{\leqslant} |\nu|(r_0\mathbb{D}).
\end{equation*}
\notag
Отсюда, очевидно, (\nu\lfloor_{r_0\mathbb{D}})^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^{0}} конечной верхней плотности и удовлетворяет условию Линделёфа, поэтому далее можем ограничиться распределениями зарядов \nu с носителем
\begin{equation}
\operatorname{supp} \nu \subset \mathbb{C}\setminus 2d\overline{\mathbb{D}} \quad\text{для некоторого } d\in (0,1]
\end{equation}
\tag{3.25}
и рассматривать только выметание \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} рода 1. Исходя из этого, первые утверждения об условии существования выметания \nu^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} и его порядке – очень частные случаи [28; теорема 1], а конечность верхней плотности выметания \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} при дополнительном условии (3.22) – частный случай [28; п. 4, теорема 3] или же [35; теорема 3.1], если учесть замечание 6.
Докажем при условии (3.22) выполнение условия Линделёфа для разности \nu -\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}, что будет развитием и усилением [35; теорема 3.2], где это доказывалось при дополнительном требовании, что и само распределение зарядов \nu удовлетворяет условию Линделёфа. Не умаляя общности можно считать, что распределение зарядов \nu сосредоточено в \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}, поскольку сужение \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}} при выметании из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} не меняется и
\begin{equation*}
\nu-\nu^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^1} =\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} -(\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}})^{\operatorname{bal}_{\mathrm{rh}}^1}.
\end{equation*}
\notag
Когда \nu сосредоточено в \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}, имеем \operatorname{supp} \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\subset i\mathbb{R}, и из (3.22) следует
\begin{equation}
\biggl|\int_{(r\overline{\mathbb{D}})\setminus d\overline{\mathbb{D}}}\operatorname{Re} \frac{1}{z}\,d \bigl(\nu-\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr)(z)\biggr|= |\ell_{\nu}^{\operatorname{rh}}(d,r)| \stackrel{(3.22)}{\underset{r\to+\infty}{=}}O(1).
\end{equation}
\tag{3.26}
Таким образом, \mathbb{R}-условие Линделёфа для разности зарядов \nu-\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} выполнено и достаточно установить i\mathbb{R}-условие Линделёфа для \nu-\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}.
Ввиду (3.25) существует C\in \mathbb{R}^+, для которого
\begin{equation}
|\nu|^{\mathrm{rad}}(t)+\bigl|\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr|^{\mathrm{rad}}(t) \leqslant Ct \quad\text{при всех }t\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{3.27}
При фиксированном r>2 представим распределение зарядов \nu в виде суммы двух распределений зарядов
\begin{equation}
\nu :=\nu_{2r}+\nu_{\infty}, \qquad \nu_{2r}:= \nu\lfloor_{2r\overline{\mathbb{D}}}, \qquad \nu_{\infty}:=\nu -\nu_{2r}=\nu\lfloor_{\mathbb{C}\setminus 2r\overline{\mathbb{D}}}.
\end{equation}
\tag{3.28}
По определению (3.11) выметания рода 1 и (3.28) имеем равенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\int_{(r\overline{\mathbb{D}})\setminus d\overline{\mathbb{D}}} \operatorname{Im} \frac{1}{z} \,d \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}(z) \stackrel{(3.11)}{=}\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y) \nonumber \\ &\qquad\stackrel{(3.28)}{=}\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y)+ \int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
Для первого интеграла из правой части (3.29) по равенству (3.16) из предложения 1, дважды примененному к непрерывной нечетной функции f\colon y\mapsto 1/y на интервалах (d,r] и [-r,-d), получаем равенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y) \stackrel{(3.16)}{=}\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y) \\ &\qquad-\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{C}}\operatorname{Re}\frac{1}{z}\,d \nu(z)\cdot \int_{d<|y|\leqslant r}\frac{1}{y}\,d y =\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где род выметания сменился с 1 на 0, а подстановка в (3.29) дает
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\int _{(r\overline{\mathbb{D}})\setminus d\overline{\mathbb{D}}} \operatorname{Im} \frac{1}{z} \,d \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}(z) \stackrel{(3.10)}{=}\!\!\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y) +\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y) \nonumber \\ &\quad =\int_{|y|>d} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y) +\int_{|y|>r} -\frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y) + \int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.30}
Для второго интеграла в правой части (3.30) получаем неравенства
\begin{equation}
\biggl|\int_{|y|>r} -\frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y)\bigr| \stackrel{(3.28)}{\leqslant} \frac{1}{r}\bigl|\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr|^{\mathrm{rad}}(2r) \stackrel{(3.9)}{\leqslant} \frac{1}{r}|\nu_{2r}|^{\mathrm{rad}}(2r) \stackrel{(3.27)}{\leqslant} 2C.
\end{equation}
\tag{3.31}
Для последнего интеграла в правой части (3.30) имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d (\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}})_{i\mathbb{R}}(y)\bigr|\leqslant \int_d^r \frac{1}{t}\,d \bigl|\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr|^{\mathrm{rad}}(t) \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{\bigl|\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr|^{\mathrm{rad}}(r)}{r}+ \int_d^r\frac{\bigl|\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr|^{\mathrm{rad}}(t)}{t^2} \,d t \stackrel{(3.27)}{\leqslant} C+ \int_d^r\frac{\bigl|\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr|^{\mathrm{rad}}(t)}{t^2} \,d t. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.32}
Из определения (3.10) гармонического заряда \Omega_{\mathrm{rh}} следует [35; лемма 3.1]
\begin{equation}
|\Omega_{\mathrm{rh}}(z,i[-t,t])|\leqslant 2\frac{t^2}{|z|^2}\quad \text{при } 2t\leqslant |z|.
\end{equation}
\tag{3.33}
Используя это неравенство, ввиду \operatorname{supp} \nu_{\infty}\stackrel{(3.28)}{\subset} \mathbb{C}\setminus 2r\mathbb{D} получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl|\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr|^{\mathrm{rad}}(t) &\stackrel{(3.11)}{\leqslant} \int_{|z|\geqslant 2r} |\Omega_{\mathrm{rh}}(z, i[-t,t])|\,d |\nu_{\infty}| (z) \stackrel{(3.33)}{\leqslant} 2t^2\int_{2r}^{\infty}\frac{d |\nu_{\infty}|^{\mathrm{rad}}(s)}{s^2} \\ &\ \ \leqslant 4t^2\int_{2r}^{\infty} \frac{|\nu|^{\mathrm{rad}}(s)}{s^3}\,d s \stackrel{(3.27)}{\leqslant} 4t^2\int_{2r}^{\infty} \frac{Cs}{s^3}\,d s= 2C\frac{t^2}{r} \quad\text{при }t\leqslant r, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
что при применении к интегралу в правой части (3.32) дает
\begin{equation*}
\biggl|\int_{d<|y|\leqslant r} \frac{1}{y}\,d (\nu_{\infty}^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}})_{i\mathbb{R}}(y)\biggr| \leqslant C+\int_d^r\frac{2C{t^2}/{r}}{t^2} \,d t\leqslant 3C.
\end{equation*}
\notag
Применяя эту оценку вместе с (3.31) к (3.30), получаем
\begin{equation}
\biggl|\int_{|y|>d} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y) +\int_{(r\overline{\mathbb{D}})\setminus d\overline{\mathbb{D}}} \operatorname{Im} \frac{1}{z} \,d \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}(z)\biggr|\leqslant 5C \quad\text{при всех }r>2.
\end{equation}
\tag{3.34}
Для распределения зарядов \nu_{2r}, сосредоточенного в \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}, с компактным носителем в \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}} первый интеграл под модулем в левой части (3.34)
\begin{equation}
\int_{|y|>d} \frac{1}{y}\,d \bigl(\nu_{2r}^{\operatorname{bal}^0_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{i\mathbb{R}}(y)
\end{equation}
\tag{3.35}
равен (см. [48; теорема 1.2], [9; теорема 6], [35; (3.14)]) интегралу по распределению зарядов \nu_{2r} от интеграла Пуассона в \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} от функции на i\mathbb{R} вида
\begin{equation}
iy\underset{y\in \mathbb{R}}{\longmapsto} \begin{cases} \dfrac1{y} &\text{при } |y|>d, \\ 0 &\text{при }|y|\leqslant d, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.36}
или от гармонического продолжения функции (3.36) в \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}. Это продолжение выписывается в явном виде [35; (3.15)] и в точках z\in \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} принимает значение
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{\pi}\operatorname{Re} \frac{1}{z} \ln\biggl|\frac{z-id}{z+id}\biggr| +\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,\omega_{\mathrm{rh}}(z, i[-d,d]) \biggr) -\operatorname{Im} \frac{1}{z}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда интеграл (3.35) равен
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{C}}\biggl(\frac{1}{\pi}\operatorname{Re} \frac{1}{z} \ln\biggl|\frac{z-id}{z+id}\biggr|+\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,\omega_{\mathrm{rh}} (z, i[-d,d])\biggr) \,d \nu_{2r}(z)-\int_{\mathbb{C}}\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,d \nu_{2r}(z) \\ &\stackrel{(3.28),(3.25)}{=} \int_{2d<|z|\leqslant 2r} \biggl(\frac{1}{\pi}\operatorname{Re} \frac{1}{z} \ln\biggl|\frac{z-id}{z+id}\biggr| +\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,\omega_{\mathrm{rh}} (z, i[-d,d])\biggr) \,d \nu(z) \\ &\qquad\qquad-\int_{r<|z|\leqslant 2r}\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,d \nu(z) -\int_{r\mathbb{D}\setminus d\overline{\mathbb{D}}}\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,d \nu(z), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
а подстановка правой части в (3.34) дает неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|-\int_{(r\overline{\mathbb{D}})\setminus d\overline{\mathbb{D}}}\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,d \nu(z)+\int _{(r\overline{\mathbb{D}})\setminus d\overline{\mathbb{D}}} \operatorname{Im} \frac{1}{z} \,d \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}(z)\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant 5C+\biggl|-\int_{r<|z|\leqslant 2r}\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,d \nu(z)\biggr| \nonumber \\ &\ \qquad+ \biggl|\int_{2d<|z|\leqslant 2r}\biggl(\frac{1}{\pi}\operatorname{Re} \frac{1}{z} \ln\biggl|\frac{z-id}{z+id}\biggr|+\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,\omega_{\mathrm{rh}} (z,i[-d,d])\biggr) \,d \nu(z)\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant 5C+\frac{1}{r}|\nu|^{\mathrm{rad}}(2r) \nonumber \\ &\ \qquad+\int _{2d<|z|\leqslant 2r} \biggl(\frac{1}{\pi}\biggl|\ln\biggl|\frac{z-id}{z+id}\biggr|\biggr|+ \omega_{\mathrm{rh}} (z, i[-d,d])\biggr)\frac{d |\nu|(z)}{|z|} \quad\text{при всех }r>2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.37}
Поскольку при |z|\geqslant 2d имеем |z\pm id|\geqslant |z|/2, из неравенств
\begin{equation*}
- \ln \biggl(1+\frac{2d}{|z-id|}\biggr)\leqslant \ln\biggl|\frac{z-id}{z+id}\biggr|\leqslant \ln \biggl(1+\frac{2d}{|z+id|}\biggr)
\end{equation*}
\notag
получаем
\begin{equation}
\biggl|\ln\biggl|\frac{z-id}{z+id}\biggr|\biggr|\leqslant \ln \biggl(1+\frac{4d}{|z|}\biggr)\leqslant \frac{4d}{|z|}\leqslant \frac{4}{|z|}\quad\text{при всех } |z|\geqslant 2d.
\end{equation}
\tag{3.38}
При |z|\geqslant 2d имеем |z|- d\geqslant |z|/2 и из [9; предложение 3.1, (3.10)] следует
\begin{equation}
\omega_{\mathrm{rh}}(z, i[-d,d])\leqslant \frac{1}{\pi}\frac{2d\operatorname{Re} z}{|z|^2-d^2}\leqslant \frac{1}{\pi}\frac{4d\operatorname{Re} z}{|z|^2}\leqslant \frac{1}{\pi}\frac{4}{|z|}\quad\text{при всех }|z|\geqslant 2d.
\end{equation}
\tag{3.39}
Используя (3.38) и (3.39), из неравенств (3.37) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{(r\overline{\mathbb{D}})\setminus d\overline{\mathbb{D}}}\operatorname{Im} \frac{1}{z}\,d \bigl(\nu- \nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr)(z)\biggr| \\ &\qquad\stackrel{(3.27)}{\leqslant} 7C +\int _{2d<|z|\leqslant 2r} \biggl(\frac{1}{\pi}\biggl|\ln\biggl|\frac{z-id}{z+id}\biggr|\biggr|+ \omega_{\mathrm{rh}} (z, i[-d,d])\biggr)\frac{d \nu(z)}{|z|} \\ &\stackrel{ (3.38),(3.39)}{\leqslant} 7C +\frac{8}{\pi} \int _{2d<|z|\leqslant 2r} \frac{d \nu(z)}{|z|^2} \leqslant 7C +3 \int _{2d}^{+\infty} \frac{d |\nu|^{\mathrm{rad}}(t)}{t^2} \\ &\stackrel{(3.27)}{\leqslant} 7C +6 \int _{2d}^{+\infty} \frac{|\nu|^{\mathrm{rad}}(t)}{t^3}\,d t \stackrel{(3.27)}{\leqslant} 7C +6 C\int _{2d}^{+\infty} \frac{\,d t}{t^2} \\ &\ \, = 7C +3\frac{C}{d}\quad\text{при всех }r\geqslant 2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, разность зарядов \nu-\nu^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} удовлетворяет условию Линделёфа.
Соотношение (3.24) в условиях (3.22) и (3.23) – частный случай сочетания [9; следствие 4.2(ii)] для выметания рода 0 и [28; следствие 3.1, п. (ii), (3.24)] для выметания рода 1, что неявно отражено и в [35; теорема 3.3, (3.18)]. Предложение 2 доказано. 3.2. Выметания разностей субгармонических функцийПусть \mathcal U=u-v – разность субгармонических на \mathbb{C} функций u и v или \delta-субгармоническая функция, для которой при u\not\equiv -\infty и v\not\equiv -\infty пишем \mathcal{U}\not\equiv \pm\infty. Значения такой функции \mathcal{U}\not\equiv \pm\infty определены во всех точках, в которых одна из функций u или v принимает значение из \mathbb{R}, т. е. вне некоторого полярного множества, а ее распределение зарядов Рисса
\begin{equation}
\varDelta_\mathcal{U}:=\frac{1}{2\pi}\Delta \mathcal{U}\stackrel{(1.12)}{:=} \frac{1}{2\pi}\Delta u-\frac{1}{2\pi}\Delta v\stackrel{(1.12)}{=} \varDelta_u-\varDelta_v
\end{equation}
\tag{3.40}
есть разность распределений масс Рисса u и v. Следуя [28; определение 4.1], \delta-субгармоническим выметанием \delta-субгармонической функции \mathcal{U}\not\equiv \pm\infty из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} называем каждую \delta-субгармоническую функцию, обозначаемую как \mathcal{U}^{{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}}}, которая равна функции \mathcal{U} на замкнутой левой полуплоскости \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} вне некоторого полярного множества и одновременно гармоническая на \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}. Предложение 3 (частный случай [28; теоремы 6 и 7]). Пусть \delta-субгармоническая функция \mathcal{U}\not\equiv \pm \infty c распределением зарядов Рисса (3.40) конечной верхней плотности представима в виде разности субгармонических функций порядка \leqslant 1. Тогда существует \delta-субгармоническое выметание \mathcal U^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} \not\equiv \pm\infty из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} c распределением зарядов Рисса
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi}\Delta \mathcal{U}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} \stackrel{(3.12)}{=}\varDelta_\mathcal{U}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}},
\end{equation}
\tag{3.41}
представимое вне некоторого полярного множества в виде разности
\begin{equation}
\mathcal{U}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}}:=u_+-u_-, \qquad u_{\pm}\not\equiv -\infty, \qquad \operatorname{ord}[u_{\pm}]\stackrel{(1.9)}{\leqslant} 1,
\end{equation}
\tag{3.42}
субгармонических функций1 u_{\pm}\not\equiv -\infty. Если при этом функция \mathcal U гармоническая в открытом полукруге r_0\mathbb{D}\cap \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} при некотором r_0>0, то правую часть в (3.41) можно заменить на выметание \varDelta_\mathcal{U}^{\operatorname{bal}^{1}_{\mathrm{rh}}} рода 1. Доказательство. По [28; теорема 6] для любой \delta-субгармонической функции \mathcal U с распределением зарядов Рисса конечного типа существует выметание \mathcal{U}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} с распределением зарядов Рисса (3.41), представимое в виде
\begin{equation}
\mathcal{U}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}}=v_+-u_-+H, \qquad v_+\not\equiv -\infty, \quad u_-\not\equiv -\infty,
\end{equation}
\tag{3.43}
где v_+ и u_- – субгармонические функции порядка не выше 1 , а H – гармоническая функция на \mathbb{C}. При этом, если функция \mathcal U представима в виде разности субгармонических функций порядка не выше 1, то в заключительной части [28; теорема 6] отмечено, что в качестве H можно выбрать гармонический многочлен степени \deg H\leqslant 1. Таким образом, u_+:=v_++H\not\equiv -\infty – субгармоническая функция порядка не выше 1 и из (3.43) получаем (3.42). Возможность замены правой части в (3.41) на \varDelta_\mathcal{U}^{\operatorname{bal}^{1}_{\mathrm{rh}}} следует из замечания 7 в части (3.14). Предложение 3 доказано. § 4. Две конструкции с распределениями зарядов и их выметанием, связанные с логарифмическими функциями интерваловЕсли функция z \mapsto \operatorname{Re} (1/z) суммируема по полной вариации |\nu| распределения зарядов \nu в правой окрестности нуля, т. е.
\begin{equation}
\int_{\mathbb{D}\cap \mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}\operatorname{Re} \frac{1}{z}\,d |\nu|(z)<+\infty \quad \Longleftrightarrow\quad \lim_{0<r\to 0} \ell_{|\nu|}^{\operatorname{rh}} (r,1) <+\infty,
\end{equation}
\tag{4.1}
или функция z \mapsto \operatorname{Re} (-1/z) суммируема по |\nu| в левой окрестности нуля, т. е.
\begin{equation}
\int_{\mathbb{D}\cap \mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}\operatorname{Re} \frac{-1}{z}\,d |\nu|(z)<+\infty \quad \Longleftrightarrow\quad \lim_{0<r\to 0} \ell_{|\nu|}^{\operatorname{lh}} (r,1) <+\infty,
\end{equation}
\tag{4.2}
то по непрерывности при 0<r\to 0 определены и вводившиеся ранее в [7; (2.2)], [3; гл. 22, определение] лишь для положительных распределений точек соответственно правый и левый характеристические логарифмы заряда \nu
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \ell_{\nu}^{\operatorname{rh}}(R)&:=\ell_{\nu}^{\operatorname{rh}}(0,R) \stackrel{(4.1)}{:=} \lim_{0<r\to 0}\ell_{\nu}^{\operatorname{rh}}(r,R), \\ \ell_{\nu}^{\operatorname{lh}}(R)&:=\ell_{\nu}^{\operatorname{lh}}(0,R) \stackrel{(4.2)}{:=}\lim_{0<r\to 0}\ell_{\nu}^{\operatorname{lh}}(r,R), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
а для меры \mu – двусторонний характеристический логарифм меры \mu
\begin{equation*}
\ell_{\mu}(R):=\ell_{\mu}(0,R):=\lim_{0<r\to 0}\ell_{\mu}(r,R).
\end{equation*}
\notag
Близкие версии следующего предложения для распределений точек содержатся в статьях [7; лемма 3.1], [3; лемма 22.2], [23; лемма 1.1.], [35; лемма 1]. Предложение 4. Для любого распределения зарядов \eta на \mathbb{C} при 0\notin \operatorname{supp} \eta можно построить распределение масс \alpha с \operatorname{supp} \alpha\subset \mathbb{R}^+\setminus 0, для которого
\begin{equation}
\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} |\ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,R)|\leqslant 2 \sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R),
\end{equation}
\tag{4.4}
где в случае распределения зарядов \eta конечной верхней плотности построенное распределение масс \alpha будет также конечной верхней плотности. Доказательство. Правая часть в (4.4) не может быть равна -\infty. Если правая часть в (4.4) равна +\infty, то полагаем \alpha:=0 и неравенство \leqslant +\infty верное. В остальных случаях возрастающая по построению функция
\begin{equation}
a\colon t \stackrel{(2.1)}{\underset{t\in \mathbb{R}^+ }{\longmapsto}}-\sup_{s\geqslant t} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(s) =\inf_{s\geqslant t} \bigl(-\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(s)\bigr)
\end{equation}
\tag{4.5}
однозначно определяет распределение масс \alpha через ее возрастающую функцию распределения
\begin{equation}
\alpha_{\mathbb{R}}\colon x\underset{x\in \mathbb{R}^+ }{\longmapsto} \int_0^x t \,d a(t) =xa(x)-\int_0^xa(t)\,d t.
\end{equation}
\tag{4.6}
По построению (4.5) и условию 0\notin \operatorname{supp} \eta функция a постоянна на некотором интервале [0,r_0)\neq \varnothing, откуда для функции распределения (4.6) получаем тождество \alpha_{\mathbb{R}}\equiv 0 на [0,r_0) и \operatorname{supp} \alpha\subset \mathbb{R}^+\setminus 0. По построению (4.5) также имеем
\begin{equation}
a(t) \stackrel{(4.5)}{=}\inf_{s\geqslant t}\bigl( -\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(s)\bigr)\leqslant -\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(t) \quad\text{при всех }t\in \mathbb{R}^+,\text{ откуда }a(0)\leqslant 0,
\end{equation}
\tag{4.7}
\begin{equation}
a(t) \stackrel{(4.5)}{=} -\sup_{s\geqslant t} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(s) \geqslant -\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R) \quad\text{при всех } t\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{4.8}
Кроме того, по определению (4.5) при всех t\in \mathbb{R}^+ имеем
\begin{equation*}
\ell_{\alpha}^{\operatorname{rh}} (t)\stackrel{(4.3)}{=} \int_0^t\frac{1}{x}\,d \alpha_{\mathbb{R}}(x)\stackrel{(4.6)}{:=}\int_0^t \,d a(t) =a(t)-a(0),
\end{equation*}
\notag
откуда для любых t\in \mathbb{R}^+ получаем
\begin{equation}
\ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(t) =\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(t)+a(t)-a(0)\stackrel{(4.7)}{\leqslant}-a(0) \stackrel{(4.8)}{\leqslant}\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R),
\end{equation}
\tag{4.9}
а также
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(t) &\stackrel{(4.9)}{=} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(t)+a(t)-a(0) \stackrel{(4.5)}{=} \inf_{s\geqslant t}\bigl(\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(t) -\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(s)\bigr)-a(0) \\ &\ =-\sup_{s\geqslant t} \bigl(\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(s)-\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(t) \bigl)-a(0) \stackrel{(4.3)}{=}-\sup_{s\geqslant t}\bigl(\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(t,s) \bigl)-a(0) \\ &\stackrel{(4.7)}{\geqslant} -\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R)\quad\text{для любых }t\in \mathbb{R}^+. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда и из (4.9) сразу следует
\begin{equation*}
\sup_{t\geqslant 0} |\ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(t)|\leqslant \sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R),
\end{equation*}
\notag
что влечет за собой (4.4), так как
\begin{equation*}
\sup_{0<r<R<+\infty} |\ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,R)|\leqslant \sup_{R\in \mathbb{R}^+} |\ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(R)r|+\sup_{r\in \mathbb{R}^+} |\ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r)|\leqslant 2 \sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R).
\end{equation*}
\notag
Если \eta – распределение зарядов конечной верхней плотности, то
\begin{equation}
|\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,2r)|\leqslant \int_r^{2r}\frac{1}{t}\,d |\eta|^{\mathrm{rad}}(t)\leqslant \frac{1}{r}|\eta|^{\mathrm{rad}}(2r)\underset{r\to +\infty}{=}O(1).
\end{equation}
\tag{4.10}
Отсюда и из (4.4) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2r}\bigl(\alpha^{\mathrm{rad}}(2r)-\alpha^{\mathrm{rad}}(r)\bigr) &\leqslant \int_r^{2r} \frac{1}{t}\,d \alpha^{\mathrm{rad}}(t) =\ell_{\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,2r) \leqslant |\ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,2r)| +|\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,2r)| \\ &\!\!\!\stackrel{(4.4)}{\leqslant} 2\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R)+|\ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,2r)| \underset{r\to +\infty}{\stackrel{(4.10)}{=}}O(1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Это означает, что распределение масс \alpha имеет конечную верхнюю плотность. Предложение 4 доказано. Предложение 5. Пусть a \in (0,1) и носители распределений масс \nu и \mu конечного типа содержатся в угле \{z\in \mathbb{C}\mid \operatorname{Re} z > a |z|\}, а также
\begin{equation}
\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\nu-\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R) <+\infty .
\end{equation}
\tag{4.11}
Тогда найдутся распределение масс \alpha конечной верхней плотности с носителем на \mathbb{R}^+\setminus 0, для которого существует выметание (\nu+\alpha-\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} рода 1 из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} конечной верхней плотности с носителем на i\mathbb{R}, а также распределение масс \beta с носителем на i\mathbb{R} и число c\in \mathbb{R}^+, для которых
\begin{equation}
(\nu+\alpha+\beta -\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}= (\nu+\alpha -\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}+\beta =c\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}}
\end{equation}
\tag{4.12}
есть линейная мера Лебега на мнимой оси, домноженная на c, а распределение зарядов \nu+\alpha+\beta-\mu удовлетворяет условию Линделёфа. Доказательство. Для распределения зарядов \eta:=\nu-\mu при условии (4.11) по предложению 4 существует распределение масс \alpha конечной верхней плотности с носителем на \operatorname{supp} \alpha \subset \mathbb{R}^+\setminus 0, для которых
\begin{equation*}
\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} |\ell_{\nu+\alpha-\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R)| =\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} |\ell_{\eta +\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,R)| \stackrel{(4.4)}{<}+\infty.
\end{equation*}
\notag
Вместе с расположением носителей \nu и \mu в \{z\in \mathbb{C}\mid \operatorname{Re} z> a |z|\} это означает выполнение условий (3.22) и (3.23) предложения 2 для \nu+\alpha-\mu в роли \nu. По предложению 2 существует выметание (\nu+\alpha-\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} конечной верхней плотности, сосредоточенное в данном случае исключительно на i\mathbb{R}, разность (\nu+\alpha-\mu)-(\nu+\alpha-\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} удовлетворяет условию Линделёфа и
\begin{equation}
\sup_{y\in \mathbb{R}}\sup_{t\in (0,1]} \frac{\bigl|(\nu+\alpha-\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}\bigr|_{iy}(t)}{t} \stackrel{(3.24)}{<}+\infty.
\end{equation}
\tag{4.13}
Положим
\begin{equation}
(\nu +\alpha -\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}=: \vartheta=\vartheta^+-\vartheta^-,
\end{equation}
\tag{4.14}
где \vartheta^+ и \vartheta^- – это верхняя и нижняя вариации распределения зарядов \vartheta. По построению распределения масс \vartheta^\pm конечной верхней плотности с носителями на i\mathbb{R} и ввиду (4.13) при некотором c\in \mathbb{R}^+ удовлетворяют ограничениям
\begin{equation}
\vartheta^{\pm}_{iy}(t)\leqslant 2ct \quad\text{при всех }y\in \mathbb{R}\text{ и }t\in (0,1].
\end{equation}
\tag{4.15}
Отсюда для линейной меры Лебега \mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}} на i\mathbb{R} разность c\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}}-\vartheta^+ – это распределение масс конечной верхней плотности с носителем на i\mathbb{R}, а из (4.14) при этом получаем
\begin{equation}
(\nu +\alpha -\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} +\underset{\beta}{\underbrace{\vartheta^-+(c\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}}-\vartheta^+)}} \stackrel{(4.14)}{=}\vartheta^++c\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}}-\vartheta^+=c\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}}.
\end{equation}
\tag{4.16}
При таком выборе распределения масс \beta:=\vartheta^-+ (c\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}}-\vartheta^+) конечной верхней плотности равенство (4.16) означает, что выполнено второе равенство в (4.12), а поскольку \operatorname{supp} \beta\subset i\mathbb{R}, то по определению (3.11) выметания рода 1 из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} имеем \beta^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}=\beta, что влечет за собой и первое равенство в (4.12). Наконец, как отмечалось выше перед (4.13), (\nu+\alpha-\mu)-(\nu+\alpha-\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} удовлетворяет условию Линделёфа, а из явного вида распределения масс c\mathfrak m_1|_{i\mathbb{R}} в правой части в (4.12), очевидно, удовлетворяющего условию Линделёфа, и из второго равенства в (4.12) также следует, что и распределение зарядов (\nu+\alpha -\mu)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}}+\beta удовлетворяет условию Линделёфа. Следовательно, и их сумма, записываемая как (\nu+\alpha-\mu)+\beta=\nu+\alpha+\beta -\mu, удовлетворяет условию Линделёфа. Предложение 5 доказано. § 5. Выметание на вертикальную полосу5.1. Сдвиги и двустороннее выметание распределения зарядовЗеркальная симметрия z\underset{z\in \mathbb{C}}{\longmapsto} -\overline z относительно мнимой оси позволяет все результаты о выметании рода 1 из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} переформулировать для выметания из левой полуплоскости \mathbb{C}_{\mathrm{lh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}} с заменой, где необходимо, правой логарифмической функции интервалов (2.1) на левую (2.2), а также с переобозначением верхнего индекса ^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} как ^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{lh}}} при выметании из левой полуплоскости \mathbb{C}_{\mathrm{lh}}. Для распределения зарядов \nu и точки w\in \mathbb{C} через \nu_{\vec{w}} обозначаем w-сдвиг распределения зарядов \nu, определяемый как
\begin{equation}
\nu_{\vec{w}}(K):=\nu(K-w) \quad\text{на компактах }K\subset \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{5.1}
Предложение 6. Пусть \nu – распределение зарядов конечной верхней плотности. Тогда для любых w\in \mathbb{C} и r_0\in \mathbb{R}^+\setminus 0 имеем
\begin{equation}
\sup_{r\geqslant r_0} \bigl|\ell^{\operatorname{rh}}_{\nu-\nu_{\vec{w}}}(r_0, r)\bigr| +\sup_{r\geqslant r_0} \bigl|\ell^{\operatorname{lh}}_{\nu-\nu_{\vec{w}}}(r_0, r)\bigr|<+\infty,
\end{equation}
\tag{5.2}
a \nu и \nu_{\vec{w}} могут удовлетворять какому-либо одному из трех видов условий Линделёфа (3.18)–(3.19), (3.20) или (3.21) только одновременно. Доказательство предложения 6, легко следующее из определений \ell^{\operatorname{rh}} и \ell^{\operatorname{lh}} в (2.1)–(2.2) и условий Линделёфа (3.18)–(3.21), опускаем. Выметание рода 01 распределения зарядов \nu на замкнутую вертикальную полосу \overline{\operatorname{str}}_b ширины 2b\geqslant 0 из (1.5) опишем в пять шагов [b1]–[b5], применяя каждый шаг к распределению зарядов, полученному на предыдущем шаге: [b1] (-b)-сдвиг \nu_{\vec{-b}} распределения зарядов \nu; [b2] выметание \nu_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} рода 01 из правой полуплоскости \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}; [b3] 2b-сдвиг \Bigl(\nu_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}\Bigr)_{\vec{2b}} распределения зарядов \nu_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}; [b4] выметание \Bigl(\nu_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}\Bigr)_{\vec{2b}}^{{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{lh}}}} рода 01 из левой полуплоскости \mathbb{C}_{\mathrm{lh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}; [b5] (-b)-сдвиг \biggl(\Bigl(\nu_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} \Bigr)_{\vec{2b}}^{{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{lh}}}}\biggr)_{\vec{-b}} распределения зарядов \Bigl(\nu_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} \Bigr)_{\vec{2b}}^{{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{lh}}}}. Полученное в [b5] распределение зарядов для краткости обозначаем как
\begin{equation}
\nu^{\operatorname{Bal}^{01}_b}:= \biggl(\Bigl(\nu_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} \Bigr)_{\vec{2b}}^{{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{lh}}}}\biggr)_{\vec{-b}}
\end{equation}
\tag{5.3}
и называем выметанием рода 01 на \overline{\operatorname{str}}_b распределения зарядов \nu, если шаги [b2] и [b4] реализуемы. Для последнего по предложению 2 достаточно, чтобы распределение зарядов \nu было из класса сходимости при порядке p\stackrel{(3.17)}{=}2. Замечание 8. По замечанию 7 при \pm b\notin \operatorname{supp} \nu или, более общо́, при
\begin{equation}
\int_{b+r_0\mathbb{D}} \operatorname{Re}^+\frac{1}{z-b} \,d |\nu|(z)+ \int_{-b+r_0\mathbb{D}} \operatorname{Re}^-\frac{1}{z+b} \,d |\nu|(z) <+\infty
\end{equation}
\tag{5.4}
для некоторого r_0>0 можно в [b2] и [b4], а в итоге и в (5.3) обойтись выметанием рода 1, результат чего в (5.3) будем обозначать через \nu^{\operatorname{Bal}^1_b}. В частности, (5.4) выполнено, если для некоторого числа r_0>0 имеем равенство Предложение 7. Пусть распределение масс \mu конечной верхней плотности удовлетворяет условию Линделёфа и для распределения масс \nu имеем
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\nu}(r,R)-\ell_{\mu}(r,R)\bigr)<+\infty,
\end{equation}
\tag{5.6}
\begin{equation}
\operatorname{supp} (\nu+\mu) \subset \mathbb{C}\setminus (\overline{\mathrm X}_{a}\cup \overline{\operatorname{str}}_b) \quad\textit{при некоторых } b\in \mathbb{R}^+\textit{ и }a\in (0,1).
\end{equation}
\tag{5.7}
Тогда найдутся распределение масс \alpha конечной верхней плотности с носителем на \mathbb{R}\setminus [-b,b], для которого существует выметание (\nu+\alpha-\mu)^{\operatorname{Bal}_b^1} рода 1 на \overline{\operatorname{str}}_b конечной верхней плотности с носителем на паре вертикальных прямых \pm b+i\mathbb{R}, проходящих через точки \pm b\in \mathbb{R}, а также пара распределений масс \beta_{\pm} с носителями на \pm b+i\mathbb{R} и число c\in \mathbb{R}^+, для которых
\begin{equation}
(\nu+\alpha+\beta_++\beta_- -\mu)^{\operatorname{Bal}^1_b} = (\nu+\alpha -\mu)^{\operatorname{Bal}^1_{b}}+\beta_++\beta_- =c\mathfrak m_1\lfloor_{b+i\mathbb{R}} +c\mathfrak m_1\lfloor_{-b+i\mathbb{R}}
\end{equation}
\tag{5.8}
есть пара линейных мер Лебега на прямых \pm b+i\mathbb{R}, домноженных на c, а распределение масс \nu+\alpha+\beta_++\beta_- удовлетворяет условию Линделёфа. Доказательство. Убедимся, что \nu конечной верхней плотности. Действительно, из соотношения (5.6) для некоторого C\in \mathbb{R} ввиду \operatorname{type}[\mu]<+\infty имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ell_{\nu}(r,2r) &\leqslant \ell_{\mu}(r,2r)+C\leqslant \int_r^{2r} \frac{1}{|z|}\,d \mu(z)+C \\ &\leqslant \frac{1}{r}\bigl(\mu^{\mathrm{rad}}(2r)-\mu^{\mathrm{rad}}(r)\bigr)+C\leqslant 2\operatorname{type}[\mu]+1+C \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
при достаточно больших r\in \mathbb{R}^+, а также ввиду (5.7) имеем оценку снизу для
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \ell_{\nu}(r,2r) &\stackrel{(2.3)}{\geqslant}\ell_\nu^{\operatorname{rh}}(r, 2r) \stackrel{(2.1)}{=} \int_{r}^{2r}\frac{\operatorname{Re} z}{|z|^2} \,d \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}(z) \nonumber \\ &\stackrel{(5.7)}{\geqslant} \int_{r}^{2r}\frac{a|z|}{|z|^2} \,d \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}(z) \geqslant \frac{a}{2r}\bigl(\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\mathrm{rad}}(2r) -\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\mathrm{rad}}(r)\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
откуда согласно предыдущей оценке сверху получаем
\begin{equation*}
\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\mathrm{rad}}(2r) -\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\mathrm{rad}}(r) \leqslant (2\operatorname{type}[\mu]+1+C) \frac{2}{a}\, r
\end{equation*}
\notag
при достаточно больших r\in\mathbb{R}^+. Отсюда следует, что распределение масс \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}} конечной верхней плотности. Аналогично устанавливается, что \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}} конечной верхней плотности, откуда и \nu конечной верхней плотности.
Поскольку по условию распределение масс \mu удовлетворяет условию Линделёфа (3.21), то \mu удовлетворяет \mathbb{R}-условию Линделёфа (3.18)–(3.19) и
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} |\ell^{\operatorname{rh}}_{\mu}(r,R)-\ell^{\operatorname{lh}}_{\mu}(r,R)| \stackrel{(2.1),(2.2)}{=}\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \biggl| \int_{r<|z|\leqslant R}\operatorname{Re}\frac{1}{z}\,d \mu(z)\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sup_{r\geqslant 1} |\ell^{\operatorname{rh}}_{\mu}(1,r)-\ell^{\operatorname{lh}}_{\mu}(1,r)| + \sup_{R\geqslant 1} |\ell^{\operatorname{rh}}_{\mu}(1,R) -\ell^{\operatorname{lh}}_{\mu}(1,R)|\stackrel{(3.19)}{<}+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда по определению (2.3) логарифмической субмеры интервалов для \mu
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} |\ell_{\mu}(r,R)-\ell^{\operatorname{rh}}_{\mu}(r,R)|+ \sup_{1\leqslant r<R<+\infty} |\ell_{\mu}(r,R) -\ell^{\operatorname{lh}}_{\mu}(r,R)| <+\infty.
\end{equation}
\tag{5.10}
Из условия (5.6) вновь по определению (2.3) логарифмической субмеры интервалов, но уже для \nu, получаем соответственно
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \ell^{\operatorname{rh}}_{\nu-\mu}(r,R) \stackrel{(2.3)}{\leqslant} \sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\nu}(r,R)-\ell^{\operatorname{rh}}_{\mu}(r,R)\bigr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant \sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\bigl(\ell_{\nu}(r,R)-\ell_{\mu}(r,R)\bigr) + |\ell_{\mu}(r,R)-\ell^{\operatorname{rh}}_{\mu}(r,R)|\bigr) \stackrel{(5.6)}{<}+\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
где в конце использовано и (5.10). Аналогично из (5.6) и (5.10) следует
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \ell^{\operatorname{lh}}_{\nu-\mu}(r,R)<+\infty.
\end{equation}
\tag{5.12}
В силу включения (5.7) имеем \pm b\notin \operatorname{supp} (\nu+\mu) и по замечанию 8 при реализации шагов [b2], [b4] можно будет обойтись выметанием рода 1.
Используем [b1], [b2], где на шаге [b2] применяем предложение 5 к распределениям масс \nu_{\vec{-b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} и \mu_{\vec{-b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} в роли \nu и \mu, для которых условия включения носителей в \{z\in \mathbb{C}\mid \operatorname{Re} z > a |z|\} и (4.11) обеспечены включением (5.7), а выполнение условия (4.11) – соотношением (5.11). Таким путем на шаге [b2] возникают распределение масс \alpha^{\operatorname{rh}} конечной верхней плотности с носителем на \mathbb{R}^+\setminus [0,r_0) при некотором r_0>0, а также распределение масс \beta^{\operatorname{rh}} с носителем на i\mathbb{R} и число c^{\operatorname{rh}}\in \mathbb{R}^+, для которых
\begin{equation}
\bigl(\nu_{\vec{-b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}+\alpha^{\operatorname{rh}} -\mu_{\vec{-b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}\bigr)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{rh}}} +\beta^{\operatorname{rh}} \stackrel{(4.12)}{=}c^{\operatorname{rh}}\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}},
\end{equation}
\tag{5.13}
\begin{equation}
\nu_{\vec{-b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}+\alpha^{\operatorname{rh}} +\beta^{\operatorname{rh}}-\mu_{\vec{-b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} \quad \text{удовлетворяет условию Линделёфа}.
\end{equation}
\tag{5.14}
После этого используем [b3], [b4], где на шаге [b4] снова применяем предложение 5 в зеркально симметричной относительно i\mathbb{R} форме к распределениями масс \nu_{\vec{b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}} и \mu_{\vec{b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}} в роли \nu и \mu, для которых условия включения их носителей в угол \{z\in \mathbb{C}\mid \operatorname{Re} z <- a |z|\} и (4.11) с \ell^{\operatorname{lh}} вместо \ell^{\operatorname{rh}} обеспечены включением (5.7) и соотношением (5.12). Таким путем возникают распределение масс \alpha^{\operatorname{lh}} конечной верхней плотности с \operatorname{supp} \alpha^{\operatorname{lh}}\subset -\mathbb{R}^+\setminus [0,r_0) при некотором r_0>0, а также распределение масс \beta^{\operatorname{lh}} с \operatorname{supp} \beta^{\operatorname{lh}}\subset i\mathbb{R} и число c^{\operatorname{lh}}\in \mathbb{R}^+, для которых
\begin{equation}
\bigl(\nu_{\vec{b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}+\alpha^{\operatorname{lh}} -\mu_{\vec{b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}\bigr)^{\operatorname{bal}^1_{\mathrm{lh}}} +\beta^{\operatorname{lh}} \stackrel{(4.12)}{=}c^{\operatorname{lh}}\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}},
\end{equation}
\tag{5.15}
\begin{equation}
\nu_{\vec{b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}+\alpha^{\operatorname{lh}} +\beta^{\operatorname{lh}} -\mu_{\vec{b}}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}} \quad \text{удовлетворяет условию Линделёфа}.
\end{equation}
\tag{5.16}
При этом, если c^{\operatorname{rh}}\geqslant c^{\operatorname{lh}}, то можем добавить распределение масс (c^{\operatorname{rh}}-c^{\operatorname{lh}})\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}}, очевидно, конечной верхней плотности, удовлетворяющее условию Линделёфа, к правой части (5.15) и к \beta^{\operatorname{lh}}, сохраняя прежнее обозначение \beta^{\operatorname{lh}} для суммы \beta^{\operatorname{lh}}+(c^{\operatorname{rh}}-c^{\operatorname{lh}})\mathfrak m_1\lfloor_{i\mathbb{R}}. Тогда, очевидно, (5.16) сохраняется, а в правых частях (5.13) и (5.15) окажется c^{\operatorname{lh}}=c^{\operatorname{rh}}. Аналогично поступаем при c^{\operatorname{rh}}< c^{\operatorname{lh}} по отношению к (5.13), (5.14) и получим c^{\operatorname{rh}}=c^{\operatorname{lh}}, что всегда позволяет выбрать
На шаге [b5] получаем требуемое распределение масс \alpha:=\alpha^{\operatorname{rh}}_{\vec{b}}+\alpha^{\operatorname{lh}}_{\vec{-b}} конечной верхней плотности с носителем на \mathbb{R}\setminus [-b,b], распределения масс \beta_+:=\beta_{\vec{b}}^{\operatorname{rh}} и \beta_-:=\beta_{\vec{-b}}^{\operatorname{lh}} конечной верхней плотности с носителями соответственно на прямых b+i\mathbb{R} и -b+i\mathbb{R}. При этом выметания на шагах [b2] и [b4] дают выметание
\begin{equation}
(\nu+\alpha -\mu)^{\operatorname{Bal}^1_{b}}+\beta_++\beta_-=(\nu+\alpha+\beta_++\beta_- -\mu)^{\operatorname{Bal}^1_b}
\end{equation}
\tag{5.18}
конечного порядка из (5.3) с носителем на паре прямых \pm b+i\mathbb{R}, где равенство в (5.18) следует из равенства (\beta_++\beta_-)^{\operatorname{Bal}^1_{b}}=\beta_++\beta_- для распределений с носителем на \overline{\operatorname{str}}_b. Равенство (5.18) вместе с (5.13), (5.15) и (5.17) дает (5.8). Из свойств (5.14) и (5.16) следует, что распределение зарядов \nu+\alpha+\beta_++\beta_--\mu удовлетворяет условию Линделёфа, а сложение этого распределения зарядов с распределением масс \mu, удовлетворяющим условию Линделёфа, дает распределение масс \nu+\alpha+\beta_++\beta_-, также удовлетворяющее условию Линделёфа. Предложение 7 доказано. 5.2. Сдвиги и выметание \delta-субгармонической функцииДля точек w\in \mathbb{C} аналогично w-сдвигу (5.1) распределений зарядов определяем w-сдвиг u_{\vec{w}} функции u на \mathbb{C}, задаваемый как
\begin{equation}
u_{\vec{w}}\colon z\underset{z\in \mathbb{C}}{\longmapsto} u(z-w) .
\end{equation}
\tag{5.19}
При w-сдвиге (5.19) \delta-субгармонической на \mathbb{C} функции \mathcal U\not\equiv \pm \infty распределение ее зарядов Рисса претерпевает w-сдвиг
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi}\Delta (\mathcal U_{\vec{w}})\stackrel{(5.1)}{=} \biggl(\frac{1}{2\pi}\Delta \mathcal U\biggr)_{\vec{w}}.
\end{equation}
\tag{5.20}
Для \delta-субгармонической функции \mathcal U\not\equiv \pm\infty и b\in \mathbb{R}^+ каждую \delta-субгармоническую функцию \mathcal U^{\operatorname{Bal}_b}, равную функции \mathcal U на вертикальной полосе \overline{\operatorname{str}}_b ширины 2b из (1.5) вне некоторого полярного множества и в то же время гармоническую на \mathbb{C}\setminus \overline{\operatorname{str}}_b, называем \delta-субгармоническим выметанием на \overline{\operatorname{str}}_b функции \mathcal U. Предложение 8. Пусть b\in \mathbb{R}^+ и \delta-субгармоническая функция \mathcal U\not\equiv \pm \infty c распределением зарядов Рисса (3.40) конечной верхней плотности представима в виде разности субгармонических функций не более чем первого порядка. Тогда существует \delta-субгармоническое выметание \mathcal U^{\operatorname{Bal}_b} на \overline{\operatorname{str}}_b функции \mathcal U c распределением зарядов Рисса
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi}\Delta (\mathcal U^{\operatorname{Bal}_b}) \stackrel{(5.3)}{=}\varDelta_\mathcal U^{\operatorname{Bal}^{01}_b},
\end{equation}
\tag{5.21}
представимое вне некоторого полярного множества в виде разности (3.42) субгармонических функций u_{\pm}\not\equiv -\infty не более чем первого порядка. Доказательство. Построение функции \mathcal U^{\operatorname{Bal}_b} проводится в пять последовательных шагов [B1]–[B5], применяя каждый шаг к \delta-субгармонической функции, полученной на предыдущем шаге:
[B1] (-b)-сдвиг \mathcal U_{\vec{-b}} функции \mathcal U с равенством \frac{1}{2\pi}\Delta (\mathcal U_{\vec{-b}})\stackrel{(5.20)}{=} (\varDelta_\mathcal U)_{\vec{-b}} и с очевидным сохранением для \mathcal U_{\vec{-b}} представления в виде разности субгармонических функций порядка не больше 1; [B2] \delta-субгармоническое выметание \mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} функции \mathcal U_{\vec{-b}} из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} в рамках предложения 3 с учетом равенства (3.41) в форме \frac{1}{2\pi}\Delta \bigl(\mathcal{U}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}}_{\vec{-b}}\bigr) \stackrel{(3.41)}{=}(\varDelta_\mathcal U)_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} и с представлением этого \delta-субгармонического выметания в виде разности субгармонических функций порядка не больше 1; [B3] 2b-сдвиг \bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{\vec{2b}} функции \mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} и \frac{1}{2\pi}\Delta \bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{\vec{2b}} \stackrel{(5.20)}{=}\bigl((\varDelta_\mathcal U)_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{\vec{2b}} с очевидным сохранением для (\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}})_{\vec{2b}} представления в виде разности субгармонических функций порядка не больше 1; [B4] зеркальная симметрия относительно i\mathbb{R} и применение выметания из \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} с обратной зеркальной симметрией позволяет определить \delta-субгармоническое выметание из \mathbb{C}_{\mathrm{lh}} на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}} c естественной верхней индексацией вида ^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{lh}}}, а применение такого выметания в рамках предложения 3 к функции \bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}}\bigr)_{\vec{2b}} с учетом равенства (3.41) дает
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi}\Delta \bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} \bigr)_{\vec{2b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{lh}}} \stackrel{(3.41)}{=}\bigl((\varDelta_\mathcal U)_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} \bigr)_{\vec{2b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{lh}}}
\end{equation*}
\notag
вместе с представлением для \bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} \bigr)_{\vec{2b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{lh}}} в виде разности субгармонических функций порядка не больше 1;
[B5] (-b)-сдвиг \Bigl(\bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} \bigr)_{\vec{2b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{lh}}}\Bigr)_{\vec{-b}} функции \bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} \bigr)_{\vec{2b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{lh}}} с равенством
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi}\Delta \Bigl(\bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} \bigr)_{\vec{2b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{lh}}}\Bigr)_{\vec{-b}} \stackrel{(5.20)}{=} \biggl(\Bigl((\varDelta_\mathcal U)_{\vec{-b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{rh}}} \Bigr)_{\vec{2b}}^{\operatorname{bal}^{01}_{\mathrm{lh}}}\biggr)_{\vec{-b}} \stackrel{(5.3)}{=} \varDelta_\mathcal{U}^{\operatorname{Bal}^{01}_b},
\end{equation}
\tag{5.22}
где по построению \Bigl(\bigl(\mathcal U_{\vec{-b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{rh}}} \bigr)_{\vec{2b}}^{\operatorname{Bal}_{\mathrm{lh}}}\Bigr)_{\vec{-b}} =\mathcal{U}^{\operatorname{Bal}_b} – некоторое \delta-субгармоническое выметание \delta-субгармонической функции \mathcal U на \overline{\operatorname{str}}_b, допускающее представление в виде разности субгармонических функций порядка не больше 1, а (5.22) и есть равенство (5.21). Предложение 8 доказано. Замечание 9. Если в условиях предложения 8 функция \mathcal U гармоническая в двух открытых полукругах b+r_0\mathbb{D}\cap \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} и -b+r_0\mathbb{D}\cap \mathbb{C}_{\mathrm{lh}} для некоторого r_0>0, то по варианту (5.5) замечания 8 правую часть в (5.21) можно заменить на выметание \varDelta_\mathcal U^{\operatorname{Bal}^{1}_b} рода 1 на \overline{\operatorname{str}}_{b}, т. е. § 6. Выметание субгармонической функции конечного типа на объединение вертикальной полосы и вещественной осиПредложение 9. Пусть M\not\equiv -\infty – субгармоническая функция конечного типа с распределением масс Рисса \varDelta_M. Тогда для любого s\in \mathbb{R}^+ существуют субгармоническая функция M_{\mathbb{R}} конечного типа с распределением масс Рисса \varDelta_{M_{\mathbb{R}}}=\frac{1}{2\pi}\Delta M_{\mathbb{R}}, сосредоточенным на \mathbb{R}\setminus [-s,s], со свойством
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty}|\ell_{\varDelta_M}(r,R) -\ell_{\varDelta_{M_{\mathbb{R}}}}(r,R)|<+\infty,
\end{equation}
\tag{6.1}
и субгармоническая функция M_{s} конечного типа с носителем \operatorname{supp} \varDelta_{M_{s}}\subset \overline{\operatorname{str}}_s распределения масс Рисса \varDelta_{M_s}=\frac{1}{2\pi}\Delta M_s, для которых
\begin{equation}
M(x) \equiv M_{\mathbb{R}}(x)+M_{s}(x)\quad\textit{при всех }x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{6.2}
Лемма 2 (см. [48; основная теорема], [21; предложение 2.1], [9; теорема 8]). Если для p\in \mathbb{R}^+ и замкнутой системы лучей S на \mathbb{C} с одной общей вершиной раствор любого открытого угла, дополнительного к S, т. е. связной компоненты в \mathbb{C}\setminus S, строго меньше, чем \pi /p, то для любой субгармонической функции u\not\equiv -\infty конечного типа при порядке p существует субгармоническая функция u^{\operatorname{bal}}\geqslant u на \mathbb{C} конечного типа при порядке p, равная функции u на каждом луче из S и гармоническая в каждом дополнительном к S угле. Функция u^{\operatorname{bal}} выше – выметание функции u из открытого множества \mathbb{C}\setminus S на систему лучей S. При этом система лучей S одновременно рассматривается и как замкнутое точечное множество в \mathbb{C} всех точек, лежащих на лучах из S. Рассмотрим сначала бесконечную замкнутую систему лучей S_s^-, состоящую из объединения луча [s,+\infty)\subset \mathbb{R} со всеми лучами из замкнутой полуплоскости \{z\in \mathbb{C}\mid \operatorname{Re} z\leqslant s\} с общей вершиной в точке s\in \mathbb{R} и с двумя дополнительными открытыми прямыми углами раствора \pi/2. Применяя лемму 2 при p:=1 к функции M в роли u и системе лучей S_s^-, получим субгармоническую функцию M^{\operatorname{bal}}\geqslant M конечного типа на \mathbb{C}, гармоническую на \mathbb{C}\setminus S_s^- и равную M на S_s^-. Пусть теперь S_{-s}^+ – бесконечная замкнутая система лучей, состоящая из объединения луча (-\infty, -s]\subset \mathbb{R} со всеми лучами из замкнутой полуплоскости \{z\in \mathbb{C}\mid \operatorname{Re} z\leqslant -s\} с общей вершиной в точке -s\in \mathbb{R} и тоже с двумя дополнительными открытыми прямыми углами. Применяя лемму 2 при p:=1 к функции M^{\operatorname{bal}} в роли u и системе лучей S_{-s}^+, получим субгармоническую функцию (M^{\operatorname{bal}})^{\operatorname{bal}}\geqslant M^{\operatorname{bal}} \geqslant M конечного типа на \mathbb{C}, которая совпадает с M на пересечении S_s^-\cap S_{-s}^+=\mathbb{R}\cup \overline{\operatorname{str}}_s и гармоническая вне этого пересечения. По первой части теоремы Вейерштрасса–Адамара–Линделёфа–Брело распределение масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta (M^{\operatorname{bal}})^{\operatorname{bal}} конечной верхней плотности, удовлетворяющее условию Линделёфа и сосредоточенное на \mathbb{R}\cup \overline{\operatorname{str}}_s, может быть разбито на сумму сужения \mu_{s}:=\frac{1}{2\pi}\Delta (M^{\operatorname{bal}})^{\operatorname{bal}}\lfloor_{\overline{\operatorname{str}}_s} на замкнутую полосу \overline{\operatorname{str}}_s и оставшуюся часть \mu_{\mathbb{R}}, сосредоточенную на \mathbb{R}\setminus [-s,s]. Каждое из этих двух распределений масс \mu_{s} и \mu_{\mathbb{R}}, очевидно, конечной верхней плотности, а их сумма \mu_s+\mu_{\mathbb{R}}=\frac{1}{2\pi}\Delta (M^{\operatorname{bal}})^{\operatorname{bal}} удовлетворяет условию Линделёфа. Поэтому ввиду сосредоточенности \mu_{\mathbb{R}} на \mathbb{R} распределение масс \mu_s удовлетворяет i\mathbb{R}-условию Линделёфа
\begin{equation}
\sup_{r\geqslant 1}\biggl|\int_{1< |z|\leqslant r} \operatorname{Im} \frac{1}{z}\,d \mu_{s}(z)\biggr|\stackrel{(3.20)}{<}+\infty.
\end{equation}
\tag{6.5}
Распределение масс \mu_{s} удовлетворяет и \mathbb{R}-условию Линделёфа (3.18), так как
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sup_{r>1}\biggl|\int_{1< |z|\leqslant r} \operatorname{Re} \frac{1}{z}\,d \mu_{s}(z)\biggr| \leqslant \int_{|z|> 1} \biggl|\operatorname{Re} \frac{1}{ z}\biggr|\,d \mu_{s}(z) \nonumber \\ &\qquad\stackrel{(1.13)}{\leqslant} |s|\int_1^{+\infty}\frac{d \mu^{\mathrm{rad}}_{s}(t)}{t^2} \leqslant 2|s|\int_1^{+\infty}\frac{\mu^{\mathrm{rad}}_s(t)}{t^3}\,d t<+\infty \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
для распределения масс \mu_{s} конечной верхней плотности. Следовательно, распределение масс \mu_{s} удовлетворяет условию Линделёфа (3.21), как и распределение масс \mu_\mathbb{R}, являющееся разностью двух распределений масс, удовлетворяющих условию Линделёфа (3.21). По второй части теоремы Вейерштрасса–Адамара–Линделёфа–Брело существует субгармоническая функция M_{\mathbb{R}} конечного типа с мерой Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta M_{\mathbb{R}}=\mu_{\mathbb{R}}, а субгармоническая функция M_{s}:=(M^{\operatorname{bal}})^{\operatorname{bal}} -M_{\mathbb{R}} с мерой Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta M_{s}=\mu_{s} также конечного типа. За исключением пока свойства (6.1), по построениям все остальные требования предложения 9 к функциям M_\mathbb{R} и M_{s}, включая (6.2)–(6.4), выполнены. Лемма 3 (см. [28; предложение 4.1, (4.19)]). Для любой субгармонической функции u\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \varDelta_u в обозначении
\begin{equation}
J_{i\mathbb{R}}(r,R; u):=\frac{1}{2\pi}\int_r^R \frac{u(-iy)+u(iy)}{y^2} \,d y, \qquad 0<r<R\leqslant +\infty,
\end{equation}
\tag{6.7}
при любом r_0\in \mathbb{R}^+\setminus 0 выполнены соотношения
\begin{equation}
\sup_{r_0\leqslant r<R<+\infty} \bigl|J_{i\mathbb{R}}(r,R;u)-\ell_{\varDelta_u}^{\operatorname{rh}}(r,R)\bigr| <+\infty,
\end{equation}
\tag{6.8}
Соотношение (6.8) этой леммы 3, примененное к (-s)-сдвигу M_{\vec{-s}} функции M на -s, определенному в (5.19), дает соотношение
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty}\bigl|\ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{M_{\vec{-s}}}}(r,R)- J_{i\mathbb{R}}(r,R;M_{\vec{-s}})\bigr|<+\infty ,
\end{equation}
\tag{6.11}
где \varDelta_{M_{\vec{-s}}} – это (-s)-сдвиг распределения масс из (5.1). Применение к такому же сдвигу (M_{\mathbb{R}}+M_{s})_{\vec{-s}} дает соотношение
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl|J_{i\mathbb{R}}\bigl(r,R;(M_{\mathbb{R}}+M_{s})_{\vec{-s}}\bigr) -\ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{(M_{\mathbb{R}}+M_{s})_{\vec{-s}}}}(r,R) \bigr|<+\infty .
\end{equation}
\tag{6.12}
По (6.3) функции (M_{\mathbb{R}}+M_{s})_{\vec{-s}} и M_{\vec{-s}} совпадают на i\mathbb{R} и, складывая (6.11) с (6.12), после оценок для суммы супремумов модулей получаем
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty}\bigl|\ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{M_{\vec{-s}}}}(r,R)- \ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{(M_{\mathbb{R}}+M_{s})_{\vec{-s}}}} (r,R) \bigr|<+\infty.
\end{equation}
\tag{6.13}
Но распределение масс Рисса \varDelta_{(M_s)_{\vec{-s}}} сдвига (M_s)_{\vec{-s}} функции M_s сосредоточена на \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}} и по определению правой логарифмической меры
\begin{equation*}
\ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{(M_{\mathbb{R}}+M_s)_{\vec{-s}}}}\stackrel {(2.1)}{=}\ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{(M_{\mathbb{R}})_{\vec{-s}}}}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда согласно (6.13) следует
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty}\bigl|\ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{M_{\vec{-s}}}}(r,R)- \ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{(M_{\mathbb{R}})_{\vec{-s}}}} (r,R) \bigr|<+\infty.
\end{equation}
\tag{6.14}
Конечность верхней плотности распределения масс \varDelta_M и предложение 6 влекут за собой соотношения
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sup_{1\leqslant r<R<+\infty}\bigl|\ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_M}(r,R)- \ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{M_{\vec{-s}}}}(r,R)\bigr|<+\infty, \\ \sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl|\ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{(M_{\mathbb{R}})_{\vec{-s}}}} (r,R)- \ell^{\operatorname{rh}}_{\varDelta_{M_{\mathbb{R}}}} (r,R)\bigr|<+\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Cкладывая эти соотношения с (6.14) и оценивая суммы супремумов модулей снизу через супремум модуля суммы, получаем (6.1).
§ 7. Доказательство импликации II \Rightarrow I основной теоремыПредложение 10. Пусть \mu и \nu – распределения масс конечной верхней плотности. Тогда следующие два утверждения эквивалентны. 1. Существует неограниченная последовательность (r_n)_{n\in \mathbb{N}} в \mathbb{R}^+\setminus 0, возрастающая не быстрее геометрической прогрессии в том смысле, что для которой выполнено соотношение
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\nu}(r_n,r_N) -\ell_{\mu}(r_n,r_N)\bigr) <+\infty.
\end{equation}
\tag{7.2}
2. Для любого r_0\in \mathbb{R}^+\setminus 0 выполнено соотношение
\begin{equation}
\sup_{r_0\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\nu}(r,R)-\ell_{\mu}(r,R)\bigr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{7.3}
Кроме того, если \mu – распределение масс Рисса субгармонической функции M\not\equiv -\infty конечного типа, то предыдущие утверждения 1, 2 эквивалентны каждому из следующих двух утверждений. 3. Существует такая же, как в утверждении 1, последовательность (r_n)_{n\in \mathbb{N}} со свойством (7.1), для которой в обозначении (6.7)
\begin{equation}
\limsup_{r_N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\nu}(r_n,r_N)- J_{i\mathbb{R}}(r_n,r_N;M)\bigr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{7.4}
4. Выполнено соотношение (2.41). Доказательство. Эквивалентности 1 \Leftrightarrow 3 и 1 \Leftrightarrow 4 следуют из соотношения (6.10) леммы 3. Импликация 2 \Rightarrow 1 очевидна. Если выполнено утверждение 1, то согласно (7.1) существует число A>1, для которого r_{n+1}\leqslant Ar_n для всех n\in \mathbb{N}, где можем рассмотреть произвольное r_0\in (0,r_1], а также согласно (7.2) существуют число B>0 и номер N_0\in \mathbb{N}, для которых при каждом N> N_0 для любых n<N. При любых 0\leqslant n<N\leqslant N_0
\begin{equation*}
\ell_{\nu}(r_n,r_N)\leqslant \int_{r_0}^{r_{N_0}}\Bigl|\operatorname{Re}\frac{1}{z}\Bigr|\,d \nu(z)\leqslant B_0,
\end{equation*}
\notag
где B_0 не зависит от n<N. Таким образом, при достаточно большом B>0 неравенства (7.5) выполнены при любых целых N>n\geqslant 0. При r_0\leqslant r<R выберем n\in \mathbb{N} и N\geqslant n так, что r\in (r_{n},r_{n+1}] и R\in (r_N,r_{N+1}]. Тогда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ell_{\nu}(r,R) &\leqslant \ell_{\nu}(r_n,r_{n+1})+\ell_{\nu}(r_{n+1},r_N)+\ell_{\nu}(r_N, r_{N+1}) \\ &\!\!\!\stackrel{(7.5)}{\leqslant} \ell_{\nu}(r_n,Ar_n) + \ell_{\mu}(r_n,r_N)+B+\ell_{\nu}(r_N,Ar_N) \\ &\leqslant \frac{\nu^{\mathrm{rad}}(Ar_n)}{r_n}+ \ell_{\mu}(r,R)+B+\frac{\nu^{\mathrm{rad}}(Ar_N)}{r_N}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда в силу конечной верхней плотности распределения масс \nu имеем (7.3). Предложение 10 доказано. Доказательство импликации II \Rightarrow I. Из соотношения (2.15) утверждения II в обозначении (6.7) для некоторого C\in \mathbb{R} имеем неравенства
\begin{equation}
\ell_{\nu}(2^n,2^{n+1})\leqslant J_{i\mathbb{R}}(2^n, 2^{n+1};M)+C\leqslant \operatorname{type}[M]+1+C
\end{equation}
\tag{7.6}
при всех достаточно больших n\in \mathbb{N}. При этом из предельного соотношения в условиях (2.13) основной теоремы или из вытекающего из него по замечанию 1 условия [ \boldsymbol\nu ] с (2.23) имеем, как в (5.9), оценки снизу для
\begin{equation*}
\ell_{\nu}(2^n,2^{n+1})\geqslant \ell_\nu^{\operatorname{rh}}(2^n, 2^{n+1}) \stackrel{(5.9)}{\geqslant} a 2^{-n-1}\bigl(\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\mathrm{rad}}(2^{n+1}) -\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\mathrm{rad}}(2^{n})\bigr),
\end{equation*}
\notag
откуда согласно (7.6) получаем
\begin{equation*}
\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\mathrm{rad}}(2^{n+1}) -\nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\mathrm{rad}}(2^{n}) \leqslant (\operatorname{type}[M]+1+C)\frac{1}{a} 2^{n+1}
\end{equation*}
\notag
при достаточно больших n\in \mathbb{N}. Это означает, что \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}} – распределение масс конечной верхней плотности. Аналогично то же самое устанавливаем и для сужения \nu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}. Таким образом, из (2.15) и предельного соотношения в (2.13) следует, что распределение масс \nu конечной верхней плотности.
Из эквивалентности 3 \Leftrightarrow 2 предложения 10 для случая двоичной последовательности из r_n:=2^n в (7.1) соотношение (2.15) утверждения II основной теоремы влечет за собой соотношение
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\nu}(r,R)-\ell_{\varDelta_M}(r,R)\bigr)<+\infty
\end{equation}
\tag{7.7}
с распределением масс Рисса \varDelta_M\stackrel{(1.12)}{=}\frac{1}{2\pi}\Delta M функции M. Применим предложение 9 к функции M с выметанием на объединение \mathbb{R} с замкнутой вертикальной полосой \overline{\operatorname{str}}_{s} ширины 2s, где s определено равенством в (2.13) из основной теоремы. В обозначениях предложения 9 из (7.7) и (6.1) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\nu}(r,R) -\ell_{\varDelta_{M_{\mathbb{R}}}}(r,R)\bigr) \leqslant \sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\nu}(r,R)-\ell_{\varDelta_M}(r,R)\bigr) \\ &\qquad+\sup_{1\leqslant r<R<+\infty}|\ell_{\varDelta_M}(r,R) -\ell_{\varDelta_{M_{\mathbb{R}}}}(r,R)| \stackrel{(7.7),(6.1)}{<} +\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Крайние части этих неравенств можно записать как
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\nu}(r,R)-\ell_{\mu}(r,R)\bigr) <+\infty ,
\end{equation}
\tag{7.8}
где для распределения масс Рисса функции M_{\mathbb{R}} использовано обозначение
\begin{equation}
\mu:=\varDelta_{M_{\mathbb{R}}}, \qquad\operatorname{supp} \mu=\operatorname{supp} \varDelta_{M_{\mathbb{R}}}\subset \mathbb{R}\setminus (-s,s).
\end{equation}
\tag{7.9}
Рассмотрим произвольное фиксированное число Тогда, наряду с (7.8), совпадающим с условием (5.6) предложения 7, по (7.9) выполнено и условие (5.7) предложения 7 с b\in (0,s), а значит, и его заключения, обозначения для объектов из которого и используем ниже.По теореме Вейерштрасса–Адамара–Линделёфа–Брело для распределений масс \nu+\alpha+\beta_++\beta_- конечной верхней плотности, удовлетворяющего условию Линделёфа, существует субгармоническая функция u конечного типа с распределением масс Рисса для которого по (7.9), построению \alpha и \beta_{\pm} в предложении 7 и по условиям (2.13) на \nu в виде условия [ \boldsymbol\nu ] с (2.23) из замечания 1 имеют место включения
\begin{equation}
\operatorname{supp} (\nu+\alpha-\mu)\subset \mathbb{C}\setminus (\overline {\mathrm X}_a\cup \overline{\operatorname{str}}_{b}), \qquad \operatorname{supp} \beta_{\pm}\subset \pm b+i\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{7.12}
Рассмотрим \delta-субгармоническую функцию
\begin{equation}
\mathcal{U}:=u-M_{\mathbb{R}}, \qquad \varDelta_\mathcal{U}:=\frac{1}{2\pi}\Delta \mathcal{U}=\nu+\alpha+\beta_++\beta_- -\mu,
\end{equation}
\tag{7.13}
представленную в виде разности субгармонических функций конечного типа. По предложению 8 существует \delta-субгармоническое выметание \mathcal U^{\operatorname{Bal}_b} на \overline{\operatorname{str}}_b функции \mathcal U c распределением зарядов Рисса (5.21), представимое вне некоторого полярного множества в виде разности (3.42) субгармонических функций порядка \leqslant 1. Поскольку ввиду (7.12) и (7.13) функция \mathcal U гармоническая в двух открытых полукругах b+r_0\mathbb{D}\cap \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} и -b+r_0\mathbb{D}\cap \mathbb{C}_{\mathrm{lh}} для r_0:=s-b>0, то по замечанию 9 правую часть в (5.21) можно заменить, как в (5.23), на выметание \varDelta_\mathcal U^{\operatorname{Bal}^{1}_b} рода 1 на \overline{\operatorname{str}}_{b}, которое по построению имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varDelta_\mathcal{U}^{\operatorname{Bal}^{1}_b} &=(\nu+\alpha+\beta_++\beta_--\mu)^{\operatorname{Bal}^{1}_b} \\ &\!\!\!\stackrel{(5.8)}{=} (\nu+\alpha -\mu)^{\operatorname{Bal}^1_{b}} +\beta_++\beta_- \stackrel{(5.8)}{=}c\mathfrak m_1\lfloor_{b+i\mathbb{R}} +c\mathfrak m_1\lfloor_{-b+i\mathbb{R}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В правой части здесь явно выписанное распределение масс, равное домноженной на c\in \mathbb{R}^+ сумме линейных мер Лебега на паре прямых \pm b+i\mathbb{R}, удовлетворяющее, очевидно, условию Линделёфа. Отсюда, учитывая вторую часть теоремы Вейерштрасса–Адамара–Линделёфа–Брело, \mathcal U^{\operatorname{Bal}_b} – субгармоническая функция конечного типа, равная сумме субгармонической функции
\begin{equation}
2\pi c (\operatorname{Re} z-b)^++2\pi c (\operatorname{Re} z+b)^-\underset{z\in \mathbb{C}}{=} \begin{cases} 2\pi c (\operatorname{Re} z-b)^+ &\text{при }\operatorname{Re} z>b, \\ 0 &\text{при }|{\operatorname{Re} z}|\leqslant b, \\ 2\pi c (\operatorname{Re} z+b)^- &\text{при }\operatorname{Re} z<-b, \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.14}
с некоторым гармоническим многочленом h степени \deg h\leqslant 1. Из этих построений по определению \delta-субгармонического выметания на полосу \overline{\operatorname{str}}_b имеем
\begin{equation*}
\mathcal U^{\operatorname{Bal}_b}(z)\stackrel{(7.13)}{\equiv} u(z)-M_{\mathbb{R}}(z) \quad\text{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_b,
\end{equation*}
\notag
откуда, учитывая явный вид \mathcal U^{\operatorname{Bal}_b} как суммы функции (7.14) и h, получаем
\begin{equation}
(u-M_{\mathbb{R}}-h)(z)= \mathcal U^{\operatorname{Bal}_b}(z)-h(z) \stackrel{(7.14)}{\equiv}0 \quad\text{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_b,
\end{equation}
\tag{7.15}
но вне некоторого полярного множества. Таким образом, построена субгармоническая функция u-h конечного типа, для которой
\begin{equation}
(u-h)(z)\stackrel{(7.15)}{\equiv} M_{\mathbb{R}}(z)\quad\text{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_b,
\end{equation}
\tag{7.16}
с распределением масс Рисса
\begin{equation}
\varDelta_{u-h}=\frac{1}{2\pi}(\Delta u-\Delta h)= \frac{1}{2\pi}\, \Delta u \stackrel{(7.11)}{=}\nu+\alpha+\beta_++\beta_-\geqslant \nu.
\end{equation}
\tag{7.17}
Для субгармонической функции M_s конечного типа из предложения 9 рассмотрим субгармоническую функцию U:=(u-h)+M_s также конечного типа с распределением масс Рисса \varDelta_U\geqslant \varDelta_{u-h}\stackrel{(7.17)}{\geqslant}\nu, для которой на полосе \overline{\operatorname{str}}_b\subset \operatorname{str}_s получаем тождества
\begin{equation}
U(z)\equiv (u-h+M_s)(z)\underset{z\in \overline{\operatorname{str}}_b}{\stackrel{(7.16)}{\equiv}} M_{\mathbb{R}}(z)+M_s(z) \underset{z\in \overline{\operatorname{str}}_s}{\stackrel{(6.3)}{\equiv}} M(z)
\end{equation}
\tag{7.18}
вне некоторого полярного множества. Две субгармонические функции, совпадающие на открытом множестве вне полярного множества, совпадают всюду на этом открытом множестве. Таким образом, построена субгармоническая функция U конечного типа с тождеством U(z)\equiv M(z) для всех z\in \operatorname{str}_b, где число b выбиралось в (7.10) произвольным из открытого интервала (0,s). Следовательно, тождество U(z)\equiv M(z) можно считать выполненным для всех z из замкнутой полосы \overline{\operatorname{str}}_b, и импликация II \Rightarrow I основной теоремы доказана. § 8. Ограничение снизу субгармонической функции логарифмом модуля целойДля произвольной субгармонической на \mathbb{C} функции u\not\equiv -\infty, конечно же, не всегда существует целая функция f\not\equiv 0, для которой \ln|f|\leqslant u на \mathbb{C} или на подмножестве в \mathbb{C}. Одна из причин этого в том, что (-\infty)-множество субгармонической функции u может быть не локально конечным или даже оказаться всюду плотным в \mathbb{C}. При необходимости какого-либо ограничения снизу вида \ln |f(z)|\leqslant u(z) два из возможных подходов – это ограничиться неравенствами для точек z, лежащих вне некоторого по возможности малого исключительного множества E\subset \mathbb{C}, или получение ограничений снизу для интегральных средних вида (2.10) или (2.7) по кругам или окружностям переменного малого радиуса r\colon \mathbb{C}\to \mathbb{R}^+\setminus 0. Последний вариант часто предпочтительнее, поскольку, во-первых, он аддитивен в отличие от наиболее часто используемых ограничений снизу для точной верхней грани функции u по кругам D_z\bigl(r(z)\bigr), а во-вторых, из него следуют и ограничения снизу вне исключительных множеств E, что отражено в [50; теорема 2] и развивает следующая теорема.Теорема 9. Пусть u\not\equiv -\infty – субгармоническая функция на \mathbb{C}, а функция r\colon \mathbb{C}\to (0,1] удовлетворяет условию (2.17), эквивалентному (2.24) из замечания 2. Тогда существует целая функция f\not\equiv 0, для которой
\begin{equation}
\ln |f(z)|\stackrel{(2.10)}{\leqslant} u^{\bullet r}(z) \stackrel{(2.7)}{\leqslant} u^{\circ r}(z) \stackrel{(2.9)}{\leqslant}u^{\vee r}(z) \quad\textit{при всех }z\in \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{8.2}
где последние два неравенства сразу следуют из (2.11), а также
\begin{equation}
\mathrm{M}_{\ln |f|}(R) \stackrel{(1.11)}{\leqslant} \mathrm{M}_{u^{\vee r}}(R)\leqslant M_u(R+1) \quad\textit{при всех }R\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{8.3}
Если для этой субгармонической функции u\not\equiv -\infty ее распределение масс Рисса \varDelta_u конечного порядка \operatorname{ord}[\varDelta_u]<+\infty, то для каждого d\in (0,2] целую функцию f\not\equiv 0, удовлетворяющую (8.2), (8.3), можно подобрать так, что Доказательство. Из [51; п. 1.3, следствие 2] с комментарием после формулировки, основанном на [51; п. 2.4, доказательство следствия 2], и в форме из [52; п. 4, лемма 5.1] и [50; теорема 1] для любой субгармонической на \mathbb{C} функции u\not\equiv -\infty и любого числа P\in \mathbb{R}^+ с конкретной функцией
\begin{equation}
p\colon z\underset{z\in \mathbb{C}}{\longmapsto} \frac{1}{(1+|z|)^P}
\end{equation}
\tag{8.6}
найдется целая функция f_P\not\equiv 0, для которой \ln|f_P(z)|\leqslant u^{\bullet p}(z) при всех z\in \mathbb{C}. Отсюда для функции r с оценками снизу в форме (2.24) из замечания 2 при выборе достаточно большого R\in \mathbb{R}^+ имеем r(z)\geqslant p(z) и \ln|f_P(z)|\leqslant u^{\bullet r}(z) при всех z\in \mathbb{C}\setminus R\,\overline{\mathbb{D}}. В то же время по неравенству (2.24) из замечания 2 имеем r(z)\geqslant c при всех z\in R\,\overline{\mathbb{D}} для некоторого числа c\in \mathbb{R}^+\setminus 0, откуда при всех z\in \overline{\mathbb{D}} получаем u^{\bullet r}(z)\geqslant u^{\bullet c}(z). Отсюда при достаточно малом значении числа a\in \mathbb{R}^+\setminus 0 для целой функции f:=af_P получаем требуемое (8.2) и, как следствие принципа максимума, (8.3).
При обосновании заключительной части теоремы 9 для задаваемых или конструируемых при этом функций p\colon \mathbb C \to \mathbb R, вообще говоря, отличных от использованных выше конкретных радиальных функций (8.6), используем точную верхнюю грань (2.9) по кругам D_z(s) постоянного радиуса s\in \mathbb R^+, т. е. Лемма 4. Пусть \mu – распределение масс на \mathbb{C}, а p\colon \mathbb{C} \to \mathbb{R}^+\setminus 0 – борелевская ограниченная функция и Тогда при любом d\in (0,2] множество
\begin{equation}
E:= \biggl\{z\in \mathbb C \biggm| \int_0^{p(z)}\frac{\mu_z^{\mathrm{rad}}(t)}{t}\, d t>\frac{1}{d}\biggr\}\subset \mathbb C
\end{equation}
\tag{8.9}
для каждого S\subset \mathbb{C} в обозначении (8.7) удовлетворяет неравенству
\begin{equation}
\mathfrak{m}_d^p(E\cap S) \leqslant 60 \int_{S_s} (p^d)^{\vee s} \,d \mu\in \overline{\mathbb{R}}^{\,+}
\end{equation}
\tag{8.10}
для некоторого борелевского подмножества S_s\stackrel{(2.8)}{\subset} S^{\cup (2s)}. Доказательство. Если для точки z\in \mathbb{C} выполнено
\begin{equation}
\mu_z^{\mathrm{rad}}(t)\leqslant p^{-d}(z)t^d\quad\text{при всех }t\leqslant p(z),
\end{equation}
\tag{8.11}
то эта точка z не принадлежит множеству E из (8.9), поскольку для нее
\begin{equation*}
\int_0^{p(z)}\frac{\mu_z^{\mathrm{rad}}(t)}{t}\,d t\stackrel{(8.11)}{\leqslant} p^{-d}(z)\int_0^{p(z)} t^{d-1}\,d t=\frac{1}{d}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, для каждой точки z\stackrel{(8.9)}{\in} E отрицание (8.11) дает
\begin{equation}
t_z^d\leqslant \frac{1}{p^{-d}(z)}\mu_z^{\mathrm{rad}}(t_z)\stackrel{(8.11)}{=} p^d(z) \mu_z^{\mathrm{rad}}(t_z)\quad\text{при некотором }t_z\in(0,p(z)],
\end{equation}
\tag{8.12}
и система кругов \{\overline D_z(t_z)\}_{z\in E}, очевидно, покрывает
Теорема Безиковича о покрытиях (см. [13; лемма 3.2], [43; 2.8.14], [53]–[55], [56; I.1, Замечания], [57]). Пусть t\colon z\underset{z\in E}{\longmapsto} t_z\in {\mathbb R}^+\setminus 0 – функция на E\subset\mathbb{C}. Если t или E ограничены, то для некоторого N\subset \mathbb{N} найдется последовательность попарно различных точек z_k\in E, k\in N\subset \mathbb{N}, для которых E\subset \bigcup_{k\in N} \overline D_{z_k}(t_{z_k}) и пересечение любых 20 различных кругов \overline D_{z_k}(t_{z_k}) пусто. По теореме Безиковича о покрытиях можно перейти от (8.13) к не более чем счетной системе кругов \{\overline D_{z_k}(t_k)\}_{z_k\in E}, покрывающей множество
\begin{equation}
E\subset \bigcup_{z_k\in E} \overline D_{z_k}(t_k), \qquad 0<t_k:=t_{z_k}\leqslant p(z_k)\stackrel{(8.8)}{\leqslant} s.
\end{equation}
\tag{8.14}
Рассмотрим произвольное S\subset \mathbb{C}, для которого множество
\begin{equation}
S_s:=\bigcup\{\overline D_{z_k}( t_k)\mid S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing\} \stackrel{(8.14)}{\subset} \bigcup_{z\in S}\overline D_z(2s) \stackrel{(2.8)}{=}S^{\cup (2s)},
\end{equation}
\tag{8.15}
очевидно, борелевское, а также имеем неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} t_k^d &\stackrel{(8.12)}{\leqslant} \sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} p^d(z_k) \mu_{z_k}^{\mathrm{rad}}(t_k) \nonumber \\ &\,\,\,= \sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} \int_{\overline D_{z_k}(t_k)} p^d(z_k)\,d \mu(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.16}
Ввиду z_k\stackrel{(8.8)}{\in} \overline D_z(s) для всех z\in \overline D_{z_k}(t_k) и соответствующего неравенства p^d(z_k)\stackrel{(8.8)}{\leqslant} (p^d)^{\vee s}(z) для всех таких z\in \overline D_{z_k}(t_k), неравенства (8.16) дают
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} t_k^d \stackrel{(8.7),(8.14)}{\leqslant} \sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} \int _{\overline D_{z_k}(t_k)}(p^d)^{\vee s} \,d \mu \\ &\stackrel{(8.15),(3.4)}{=} \!\sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} \int_{S_s} \boldsymbol{1}_{\overline D_{z_k}(t_k)} (p^d)^{\vee s} \,d \mu = \int_{S_s} \biggl(\sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} \!\boldsymbol{1}_{\overline D_{z_k}(t_k)}\biggr) (p^d)^{\vee s} \,d \mu. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда по теореме Безиковича о покрытиях внутренняя подынтегральная сумма в последнем интеграле не превышает 19 и
\begin{equation}
\sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} t_k^d\leqslant 19\int_{S_s} (p^d)^{\vee s} \,d \mu.
\end{equation}
\tag{8.17}
Кроме того, по определению \mathfrak{m}_d^p-обхвата Хаусдорфа (2.4) переменного радиуса p для любого \mu-измеримого множества S согласно (8.14) при d\leqslant 2 имеем
\begin{equation*}
\mathfrak{m}_d^p(E\cap S)\stackrel{(2.4)}{\leqslant} \dfrac{\pi^{d/2}}{{\Gamma(1+d}/2)}\sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} t_k^d\leqslant \pi\sum_{S\cap \overline D_{z_k}(t_k)\neq \varnothing} t_k^d,
\end{equation*}
\notag
откуда по неравенству (8.17) получаем (8.10), и лемма 4 доказана. Лемма 5. Пусть функция r\colon \mathbb{C}\to (0,1] удовлетворяет условию (2.17) или эквивалентному ему условию (2.24) из замечания 2, а \mu – распределение масс конечного порядка на \mathbb{C}. Тогда для любого d\in (0,2] можно подобрать функцию p\colon \mathbb{C}\to\mathbb{R}^+\setminus 0, также удовлетворяющую условию (2.17), для которой
\begin{equation}
\inf_{z\in \mathbb{C}} \frac{\ln p(z)}{\ln(2+ |z|)}>-\infty, \qquad p(z)\underset{z\in \mathbb{C}}{\leqslant} r(z),
\end{equation}
\tag{8.18}
а множество E, определенное в (8.9) с этой функцией p, для каждого борелевского подмножества S\subset \mathbb{C} удовлетворяет ограничению Доказательство. Для функции r с условием (2.17) в форме (2.24) из замечания 2 найдется достаточно большое Q\in \mathbb{R}^+, для которого
\begin{equation}
\frac{1}{(2+|z|)^Q}\underset{z\in \mathbb{C}}{\leqslant}r(z).
\end{equation}
\tag{8.20}
Если, как в условиях заключительной части теоремы 9, \operatorname{ord}[\mu]<l<+\infty, то для \mu найдется число C\geqslant 1, для которого
\begin{equation}
\mu^{\mathrm{rad}}(t)\leqslant C(1+t)^l \quad\text{при всех }t\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{8.21}
Для заданного d\in (0,2] положим и рассмотрим функцию
\begin{equation}
p\colon z\underset{z\in \mathbb{C}}{\longmapsto} \frac{1}{(60(l+1)C)^{1/d}(4+|z|)^P},
\end{equation}
\tag{8.23}
для которой ввиду C\geqslant 1, d>0 и P\stackrel{(8.22)}{\geqslant} 1 имеем
\begin{equation}
s\stackrel{(8.8)}{:=}\sup_{z\in \mathbb{C}} p(z)\leqslant \frac{1}{2}.
\end{equation}
\tag{8.24}
Очевидно, любые функции (8.23) удовлетворяют условию (2.17), так как
\begin{equation}
\inf_{z\in \mathbb{C}}\frac{\ln p(z)}{\ln(2+|z|)}=-P>-\infty,
\end{equation}
\tag{8.25}
т. е. первому соотношению в (8.18). Поэтому далее можем неограниченно увеличивать P\geqslant 1, оставаясь в рамках условия (8.25) для функции p из (8.23).
В обозначении (2.8) согласно (8.24) имеем включение
\begin{equation}
S^{\cup(2s)}\stackrel{(8.24)}{\subset} S^{\cup 1}\quad\text{для любого }S\subset \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{8.26}
а также из (8.20) согласно выбору P в (8.22) ввиду C\geqslant 1 получаем
\begin{equation}
p(z)\stackrel{(8.23),(8.22)}{\underset{z\in \mathbb{C}}{\leqslant}} \frac{1}{(2+|z|)^Q} \underset{z\in \mathbb{C}}{\stackrel{(8.20)}{\leqslant}} r(z),
\end{equation}
\tag{8.27}
что дает все условие (8.18). По лемме 4 для множества E, определенного в (8.9), для каждого подмножества S\subset \mathbb{C} выполнено неравенство (8.10), где
\begin{equation}
S_s\subset S^{\cup(2s)}\stackrel{(8.26)}{\subset} S^{\cup 1}.
\end{equation}
\tag{8.28}
Кроме того, в обозначениях (8.7) ввиду d\in (0,2] получаем
\begin{equation}
(p^d)^{\vee s}(z) \stackrel{(8.24)}{\leqslant} (p^d)^{\vee \frac12}(z) \stackrel{(8.23),(8.22)}{\underset{z\in \mathbb{C}}{\leqslant}} \frac{1}{60C(l+1)(3+|z|)^{Q+l+1}},
\end{equation}
\tag{8.29}
откуда согласно (8.21) для интеграла с множителем 60 в правой части (8.10) с распределением масс \mu имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &60 \int_{S_s} (p^d)^{\vee s} \,d \mu \stackrel{(8.29)}{\leqslant} 60 \int_{S_s} \frac{\,d \mu(z)}{60C(l+1)(3+|z|)^{Q+l+1}} \nonumber \\ &\qquad\!\!\!\stackrel{(8.28)}{\leqslant} \sup_{z\in S^{\cup 1}} \frac{1}{(3+|z|)^Q} \int_{\mathbb{C}} \frac{d \mu(z)}{C(l+1)(3+|z|)^{l+1}} \nonumber \\ &\qquad= \frac{1}{(3+\inf_{z\in S} |z|-1)^Q} \int_0^{+\infty} \frac{d \mu^{\mathrm{rad}}(t)}{C(l+1)(3+t)^{l+1}} \nonumber \\ &\qquad\!\!\!\stackrel{(8.21)}{\leqslant} \sup_{z\in S} \frac{1}{(2+|z|)^Q} \int_0^{+\infty} \frac{C(1+t)^l\,d t}{C(3+t)^{l+2}} \leqslant \sup_{z\in S} \frac{1}{(2+|z|)^Q}\leqslant \sup_{z\in S} r(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.30}
Таким образом, имеют место неравенства
\begin{equation}
\mathfrak{m}_d^p(E\cap S) \stackrel{(8.10)}{\leqslant} 60 \int_{S_s} (p^d)^{\vee s} \,d \mu \stackrel{(8.30)}{\leqslant} \sup_{z\in S} r(z).
\end{equation}
\tag{8.31}
Но по построению r\geqslant p всюду, вследствие чего \mathfrak{m}_d^r(E\cap S)\stackrel{(2.6)}{\leqslant} \mathfrak{m}_d^p(E\cap S). Отсюда согласно (8.31) получаем (8.19), и лемма 5 доказана. Вернемся к доказательству заключительной части теоремы 9 для случая распределения масс Рисса \mu:=\varDelta_u конечного порядка \operatorname{ord}[\mu] =\operatorname{ord}[\varDelta_u]<+\infty. По лемме 5 можно построить функцию p\colon \mathbb{C}\to (0,1] со свойствами (8.18) и (8.19), удовлетворяющую условию (2.17), т. е. первому соотношению в (8.18). Отсюда по уже доказанной части теоремы 9 для этой функции p в роли r существует целая функция f_p\not\equiv 0, удовлетворяющая неравенствам
\begin{equation}
\ln |f_p(z)|\underset{z\in \mathbb{C}}{\stackrel{(8.2)}{\leqslant}} u^{\bullet p}(z) \underset{z\in \mathbb{C}}{\stackrel{(8.2)}{\leqslant}} u^{\circ p}(z).
\end{equation}
\tag{8.32}
По формуле Пуассона–Йенсена–Привалова [58; гл. II, § 2], [11; 4.5], [12; 3.7] для распределения масс \mu:=\varDelta_u имеем
\begin{equation*}
u^{\circ p}(z)= u(z)+\int_0^{p(z)}\frac{\mu^{\mathrm{rad}}(t)}{t}\,d t \quad\text{при всех }z\stackrel{(8.1)}{\in} \mathbb C\setminus (-\infty)_u.
\end{equation*}
\notag
Отсюда по определению (8.9) множества E из леммы 5 по (8.32) получаем
\begin{equation}
\ln |f_p(z)|\stackrel{(8.32)}{\leqslant} u(z)+\frac1d \quad\text{при всех }z\in \mathbb{C}\setminus \bigl(E\cup (-\infty)_u\bigr),
\end{equation}
\tag{8.33}
где (-\infty)_u\subset E и E\cup (-\infty)_u=E, поскольку
\begin{equation*}
\int_0^{p(z)}\frac{\mu^{\mathrm{rad}}(t)}{t}\,d t=+\infty \quad\text{для всех }z\in (-\infty)_u.
\end{equation*}
\notag
Положим f:=f_pe^{-1/d}\not\equiv 0. Тогда из (8.33) имеем (8.4):
\begin{equation}
\ln |f(z)|\underset{z\in \mathbb{C}}{\equiv}\ln |f_p(z)|-\frac{1}{d} \stackrel{(8.33)}{\leqslant} u(z)\quad\text{при всех }z\in \mathbb{C}\setminus E,
\end{equation}
\tag{8.34}
где по лемме 5 для множества E выполнено (8.19), или (8.5), для любого подмножества S\subset \mathbb{C}. В то же время для функции \ln|f|=\ln|f_p|-1/d по (8.32) и неравенству p\stackrel{(8.18)}{\leqslant} r на \mathbb{C} по-прежнему выполнены и соотношения из (8.2):
\begin{equation*}
\ln |f(z)|\stackrel{(8.34)}{\underset{z\in \mathbb{C}}{\leqslant}}\ln |f_p(z)|\underset{z\in \mathbb{C}}{\stackrel{(8.32)}{\leqslant}} u^{\bullet p}(z) \underset{z\in \mathbb{C}}{\stackrel{(8.18)}{\leqslant}} u^{\bullet r}(z) \underset{z\in \mathbb{C}}{\stackrel{(2.11)}{\leqslant}} u^{\circ r}(z) \underset{z\in \mathbb{C}}{\leqslant} u^{\vee r}(z),
\end{equation*}
\notag
и, как следствие, (8.3). Это завершает доказательство теоремы 9.
§ 9. Доказательства импликаций I \Rightarrow III \Rightarrow IV основной теоремы Доказательство импликации I \Rightarrow III. Применение утверждения I с произвольным b'\in (b,s) вместо b\in [0,s) обеспечивает существование субгармонической функции U\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \varDelta_U\geqslant \nu, для которой выполнено тождество
\begin{equation}
U(z)\stackrel{(2.14)}{\underset{z\in \overline{\operatorname{str}}_{b'}}{\equiv}} M(z).
\end{equation}
\tag{9.1}
Функцию U можно представить в виде суммы трех субгармонических функций
\begin{equation}
U=v+m+u, \qquad v\not\equiv -\infty, \qquad m\not\equiv -\infty, \qquad u\not\equiv -\infty,
\end{equation}
\tag{9.2}
с распределениями масс Рисса конечной верхней плотности соответственно:
\begin{equation}
\varDelta_v=\nu, \qquad \varDelta_m=\varDelta_M\lfloor_{\operatorname{str}_{s}}, \qquad \varDelta_u=\varDelta_U-\varDelta_M\lfloor_{\operatorname{str}_{s}}-\nu.
\end{equation}
\tag{9.3}
По тождеству (9.1) имеем \varDelta_U\lfloor_{\operatorname{str}_{b'}} =\varDelta_M\lfloor_{\operatorname{str}_{b'}}, и \operatorname{str}_{b'}\cap \operatorname{supp} \nu =\varnothing по (2.13). Отсюда \operatorname{str}_{b'} \cap \operatorname{supp}\varDelta_u\stackrel{(9.3)}{=}\varnothing и субгармоническая функция u гармоническая на открытой вертикальной полосе \operatorname{str}_{b'} ширины 2b'>2b. Постоянная функция
\begin{equation}
r\colon z\underset{z\in \mathbb{C}}{\longmapsto}\min\biggl\{\frac12(b'-b),\, 1\biggr\}>0,
\end{equation}
\tag{9.4}
очевидно, удовлетворяет условию (2.17) теоремы 9. По теореме 9 найдется целая функция h\not\equiv 0, для которой с функцией r из (9.4) имеем
\begin{equation}
\ln|h(z)|\stackrel{(8.2)}{\leqslant} u^{\circ r}(z)\quad\text{при всех }z\in \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{9.5}
Отсюда по представлению (9.2) на \mathbb{C} получаем неравенство
\begin{equation}
v+m+\ln|h|\stackrel{(9.5)}{\leqslant} v+m+u^{\circ r} \quad\text{на }\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{9.6}
которое может быть продолжено как
\begin{equation*}
v+m+\ln|h|\stackrel{(2.11)}{\leqslant} v^{\circ r}+m^{\circ r}+u^{\circ r} \stackrel{(2.7)}{=}U^{\circ r}\stackrel{(9.4)}{\leqslant}U^{\circ 1},
\end{equation*}
\notag
где справа субгармоническая функция U^{\circ 1} конечного типа. Следовательно, и v+m+\ln|h| – субгармоническая функция конечного типа.
Кроме того, согласно выбору (9.4) постоянной функции r для функции u, гармонической на полосе \operatorname{str}_{b'} ширины 2b'>2b, на \overline{\operatorname{str}}_b имеем тождество
\begin{equation}
u^{\circ r}(z)\underset{z\in \overline{\operatorname{str}}_b}{\equiv}u(z),
\end{equation}
\tag{9.7}
откуда согласно (9.6) получаем
\begin{equation*}
v(z)+m(z)+\ln|h(z)|\stackrel{(9.6)}{\leqslant} v(z)+m(z)+u^{\circ r}(z) \underset{z\in \overline{\operatorname{str}}_b}{\stackrel{(9.7)}{\equiv}} v(z)+m(z)+u(z).
\end{equation*}
\notag
Правая часть здесь по представлению (9.2) тождественно равна U(z) для всех z\in \mathbb{C}, а тождество (9.1) влечет за собой (2.16), что дает утверждение III. Доказательство импликации III \Rightarrow IV. Для значения b\in [0,s) выберем b'\in (b,s) и заменим функцию r из (2.17) на ме́ньшую функцию
\begin{equation}
r_*(z)\underset{z\in \mathbb{C}}{:=}\min\biggl\{r(z),\, \frac12(b'-b)\biggr\}\leqslant r(z)\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{9.8}
для которой, очевидно, по-прежнему выполнено условие (2.17) и
Пусть выполнено утверждения III с числом b' в роли b. Применение теоремы 9 с функцией r_* вместо r к субгармонической функции m с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta m=\frac{1}{2\pi}\Delta M\lfloor_{\operatorname{str}_{s}} конечной верхней плотности позволяет подобрать целую функцию f\not\equiv 0 так, что
\begin{equation}
\ln |f(z)| \stackrel{(2.10)}{\leqslant} m^{\bullet r_*}(z) \quad \text{при всех }z\in \mathbb{C},
\end{equation}
\tag{9.10}
\begin{equation}
\ln |f(z)| \,\,\,\,\leqslant m(z) \quad \text{при всех }z\in \mathbb{C}\setminus E,
\end{equation}
\tag{9.11}
где для множества E\subset \mathbb{C} имеет место неравенство
\begin{equation}
\mathfrak{m}_d^{r_*}(E\cap S)\stackrel{(8.5)}{\leqslant} \sup_{z\in S} r_*(z) \quad \text{для любого } S\subset \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{9.12}
Но из неравенств r(z)\underset{z\in \mathbb{C}}{\stackrel{(9.8)}{\geqslant}} r_*(z) следует
\begin{equation*}
\mathfrak{m}_d^r(E\cap S)\stackrel{(2.6)}{\leqslant} \mathfrak{m}_d^{r_*}(E\cap S) \stackrel{(9.12)}{\leqslant}\sup_{z\in S} r_*(z)\leqslant \sup_{z\in S} r(z) \quad\text{для любого }S\subset \mathbb{C},
\end{equation*}
\notag
что для E_b:=E дает (2.20). При этом из неравенств (2.16) и (9.11) получаем
\begin{equation*}
v(z)+\ln |f(z)h(z)|\underset{z\in \mathbb{C}}{\stackrel{(9.11)}{\leqslant}} v(z)+m(z)+\ln|h(z)|\stackrel{(2.16)}{\leqslant} M(z)\quad\text{при всех }z\in \overline{\operatorname{str}}_{b'}\setminus E_b,
\end{equation*}
\notag
что даст соотношения (2.19), (2.20) из утверждения IV, если переобозначить целую функцию fh\not\equiv 0 как целую функцию h\not\equiv 0.
Применяя интегральные средние (2.10) по кругам D_z(r(z)) к неравенству (2.16) утверждения III, получаем неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v(z)+\ln |f(z)|+\ln|h(z)| &\stackrel{(9.10)}{\leqslant} v(z)+m^{\bullet r_*}(z)+(\ln|h|)(z) \\ &\stackrel{(2.11)}{\leqslant} v^{\bullet r_*}(z)+m^{\bullet r_*}(z)+(\ln|h|)^{\bullet r_*}(z) \\ &\stackrel{(2.10)}{=} (v+m+\ln|h|)^{\bullet r_*}(z)\quad\text{при всех } z\in \mathbb{C}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Откуда сразу следует, что субгармоническая функция v+\ln |fh| конечного типа, поскольку таковой по утверждению III является функция v+m+\ln|h|, а функция r_* ограничена. Кроме того, из крайних частей этих неравенств согласно (2.16) и (9.9) сразу следует
\begin{equation*}
v(z)+\ln|f(z)h(z)|\leqslant (v+m+\ln|h|)^{\bullet r_*}(z) \stackrel{(2.16),(9.9)}{\leqslant} M^{\bullet r_*}(z)\quad\text{при всех } z\in \overline{\operatorname{str}}_b,
\end{equation*}
\notag
откуда для целой функции fh\not\equiv 0 получаем
\begin{equation*}
v(z)+\ln |(fh)(z)|\stackrel{(2.16),(9.9)}{\leqslant} M^{\bullet r_*}(z)\stackrel{(9.8)}{\leqslant} M^{\bullet r}(z) \quad\text{при всех } z\in \overline{\operatorname{str}}_b,
\end{equation*}
\notag
что после переобозначения целой функции fh как h дает (2.18). Таким образом, импликация III \Rightarrow IV, а значит, и основная теорема доказаны. § 10. Дополнение распределения масс до удовлетворяющего условиям ЛинделёфаВ этом параграфе рассматриваем распределение масс \mu конечной верхней плотности, которые удовлетворяют следующему условию:
Для выполнения [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}] с (10.1) достаточно любого из следующих пяти условий:
где, очевидно, [ \boldsymbol\mu 1] следует из [ \boldsymbol\mu 2], [ \boldsymbol\mu 3] – из [ \boldsymbol\mu 4], а по теореме Вейерштрасса–Адамара–Линделёфа–Брело условие [ \boldsymbol\mu 5] влечет за собой [ \boldsymbol\mu 4]. Для подмножества S\subset \mathbb{C} зеркально симметричное ему относительно вещественной оси \mathbb{R} множество обозначаем через \overline{S}:=\{\overline z\mid z\in S\}. Для распределения зарядов \nu на \mathbb{C} зеркально симметричное ему относительно мнимой оси i\mathbb{R} распределение зарядов обозначаем и определяем как
\begin{equation}
\nu^{\leftrightarrow}(S):=\nu(-\overline S)\quad\text{для всех }S\subset \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{10.2}
Предложение 11. Для распределения масс \mu конечной верхней плотности со свойством [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}] существует распределение масс \gamma конечной верхней плотности с носителем \operatorname{supp} \gamma на отрицательной полуоси -\mathbb{R}^+, для которого \mu+\gamma удовлетворяет \mathbb{R}-условию Линделёфа (3.18), (3.19) и Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что 0\notin \operatorname{supp} \mu. Представим распределение масс \mu в виде суммы двух его сужений:
\begin{equation}
\mu=\mu_{\overline{\mathrm{rh}}}+\mu_{\mathrm{lh}}, \qquad \mu_{\overline{\mathrm{rh}}}:=\mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}, \qquad \mu_{\mathrm{lh}}:=\mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}},
\end{equation}
\tag{10.4}
соответственно на замкнутую правую и открытую левую полуплоскости. Для распределения масс \mu_{\mathrm{lh}} рассмотрим зеркально симметричное ему относительно i\mathbb{R} распределение масс \mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}, определенное равенствами (10.2). По построению
\begin{equation}
0\notin \operatorname{supp} \mu_{\overline{\mathrm{rh}}}\cup \operatorname{supp} \mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}\subset \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}},
\end{equation}
\tag{10.5}
и для любых 0<r<R<+\infty по определениям (2.1), (2.2) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ell_{\mu}^{\operatorname{lh}}(r,R)-\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R) &\stackrel{(10.4)}{=}\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}}^{\operatorname{lh}}(r,R) -\ell_{\mu_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\operatorname{rh}}(r,R) \\ &\stackrel{(10.2)}{=}\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}}^{\operatorname{rh}}(r,R) -\ell_{\mu_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\operatorname{rh}}(r,R) \stackrel{(10.5)}{=} \ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}}(r,R)-\ell_{\mu_{\overline{\mathrm{rh}}}}(r,R). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда по условию (10.1) получаем
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}}(r_n,r_N) -\ell_{\mu_{\overline{\mathrm{rh}}}}(r_n,r_N)\bigr)<+\infty,
\end{equation}
\tag{10.6}
а из импликации (7.2) \Rightarrow (7.3) предложения 10 при (7.1) и (10.5) имеем
\begin{equation}
\sup_{0< r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}}(r,R) -\ell_{\mu_{\overline{\mathrm{rh}}}}(r,R)\bigr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{10.7}
Рассмотрим распределение зарядов
\begin{equation}
\eta:=\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}-\mu_{\overline{\mathrm{rh}}},\qquad \operatorname{supp} \eta\stackrel{(10.5)}{\subset} \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}},
\end{equation}
\tag{10.8}
конечной верхней плотности, для которого (10.7) означает, что
\begin{equation}
\sup_{0< r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R)<+\infty.
\end{equation}
\tag{10.9}
Согласно конструкции предложения 4 можно построить распределение масс \alpha конечной верхней плотности с носителем \operatorname{supp} \alpha\subset \mathbb{R}^+\setminus 0, для которого
\begin{equation*}
\sup_{0\leqslant r<R<+\infty} |\ell_{\eta+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,R)| \stackrel{(4.4)}{\leqslant} 2 \sup_{0\leqslant r<R<+\infty} \ell_{\eta}^{\operatorname{rh}}(r,R)\stackrel{(10.9)}{<}+\infty,
\end{equation*}
\notag
что согласно (10.8) может быть записано как
\begin{equation}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl|\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,R) -\ell_{\mu_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\operatorname{rh}}(r,R)\bigr|<+\infty.
\end{equation}
\tag{10.10}
При этом, если положим \gamma\stackrel{(10.2)}{:=}\alpha^{\leftrightarrow}, то \operatorname{supp} \gamma \subset -\mathbb{R}^+ ввиду \operatorname{supp} \alpha\subset \mathbb{R}^+ и
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \ell_{\mu+\gamma}^{\operatorname{lh}}(r,R)-\ell_{\mu+\gamma}^{\operatorname{rh}}(r,R) &=\ell_{\mu+\gamma}^{\operatorname{lh}}(r,R)-\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R) \nonumber \\ &=\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}+\gamma^{\leftrightarrow}}^{\operatorname{rh}}(r,R) -\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R) =\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,R) -\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.11}
что вместе с \ell_{\mu+\gamma}^{\operatorname{rh}}(r,R) =\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R)\leqslant \ell_{\mu}(r,R) по определениям (2.1)–(2.3) дает
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\mu+\gamma}(r,R)-\ell_{\mu}(r,R) \bigr) \leqslant \sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\mu+\gamma}(r,R)-\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R) \bigr) \\ &\qquad\stackrel{(2.3)}{=}\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl(\ell_{\mu+\gamma}^{\operatorname{lh}}(r,R)-\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R) \bigr)^+ \\ &\qquad\!\!\stackrel{(10.11)}{\leqslant} \sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl|\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,R) -\ell_{\mu_{\overline{\mathrm{rh}}}}^{\operatorname{rh}}(r,R)\bigr| \stackrel{(10.10)}{<}+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда и из очевидного для \mu+\gamma\geqslant \mu неравенства \ell_{\mu+\gamma}(r,R)\geqslant\ell_{\mu}(r,R) получаем (10.3). Кроме того, из (10.11) следует
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \|\ell_{\mu+\gamma}^{\operatorname{lh}}(r,R) -\ell_{\mu+\gamma}^{\operatorname{rh}}(r,R)| \\ &\qquad=\sup_{1\leqslant r<R<+\infty} \bigl|\ell_{\mu_{\mathrm{lh}}^{\leftrightarrow}+\alpha}^{\operatorname{rh}}(r,R) -\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}(r,R)\bigr| \stackrel{(10.10)}{<}+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда распределение масс \mu+\gamma удовлетворяет \mathbb{R}-условию Линделёфа (3.19). Предложение 11 доказано. Предложение 12. Если \nu – распределение масс конечной верхней плотности, то найдется распределение масс \beta конечной верхней плотности, для которого \operatorname{supp} \beta\subset i\mathbb{R}, а \nu+\beta удовлетворяет i\mathbb{R}-условию Линделёфа (3.20). Доказательство. Не умаляя общности, можем считать, что 0\notin \operatorname{supp} \nu. Рассмотрим поворот на прямой угол по часовой стрелке распределения масс \nu, обозначаемый и определяемый как
\begin{equation}
\nu^\circlearrowright(S):=\nu(-iS)\quad\text{для всех }S\subset \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{10.12}
Представим распределение масс \nu^{\circlearrowright} в виде суммы двух его сужений:
\begin{equation}
\nu^{\circlearrowright}=\nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{rh}} +\nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{lh}},\qquad \nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{rh}} :=\nu^{\circlearrowright}\lfloor_{\mathbb{C}_{\overline{\mathrm{rh}}}}, \qquad \nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{lh}}:=\mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}},
\end{equation}
\tag{10.13}
соответственно на замкнутую правую и открытую левую полуплоскости. Сопоставим левой составляющей \nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{lh}} какое-нибудь распределение масс \gamma_{\mathrm{rh}} конечной верхней плотности, сосредоточенное на положительной полуоси, для которого
\begin{equation}
\ell_{\nu^{\circlearrowright}}^{\operatorname{lh}}(2^n,2^{n+1}) \stackrel{(2.2)}{=}\ell_{\nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{lh}}}(2^n,2^{n+1})\leqslant \ell_{\gamma_{\mathrm{rh}}}(2^n,2^{n+1})\quad\text{при всех }n\in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
\tag{10.14}
Сделать это можно, например, следующим поинтервально-поточечным способом. При каждом n\in \mathbb{N}_0 соответствующего интервала (2^n,2^{n+1}] расположим в правом конце 2^{n+1} этого интервала массу, равную
\begin{equation}
g_n:=2^{n+1}\ell_{\nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{lh}}}^{\operatorname{lh}}(2^n,2^{n+1}) \stackrel{(2.2)}{\leqslant} 2^{n+1}\frac{1}{2^n}\nu^{\mathrm{rad}}(2^{n+1}) \leqslant 2\nu^{\mathrm{rad}}(2^{n+1}),
\end{equation}
\tag{10.15}
а за распределение масс \gamma_{\mathrm{rh}} примем сумму всех этих масс g_n, сосредоточенных в точках 2^{n+1}. По построению и из неравенств (10.15) следует, что
\begin{equation*}
\gamma_{\mathrm{rh}}^{\mathrm{rad}}(2^{n+1})-\gamma_{\mathrm{rh}}^{\mathrm{rad}}(2^{n})=g_n\leqslant 2\nu^{\mathrm{rad}}(2^{n+1})\quad\text{для всех }n\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
откуда \gamma_{\mathrm{rh}} – распределение масс конечной верхней плотности с \operatorname{supp} \gamma_{\mathrm{rh}} \subset \mathbb{R}^+. Кроме того, по построению (10.15) масс g_n в точках 2^{n+1} имеем
\begin{equation*}
\ell_{\gamma_{\mathrm{rh}}}^{\operatorname{rh}}(2^n,2^{n+1})\stackrel{(2.1)}{=} \frac{1}{2^{n+1}}g_n\stackrel{(10.15)}{=} \ell_{\nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{lh}}}^{\operatorname{lh}}(2^n,2^{n+1}),
\end{equation*}
\notag
откуда, тем более, выполнено (10.14). Рассмотрим распределение масс
\begin{equation}
\mu:=\nu^\circlearrowright+\gamma_{\mathrm{rh}}, \qquad \mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}=\nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{lh}}, \qquad \mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}=\nu^{\circlearrowright}_{\mathrm{lh}}+\gamma_{\mathrm{rh}}
\end{equation}
\tag{10.16}
конечной верхней плотности, для которого согласно (10.14) выполнено условие [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}] с соотношением (10.1) для последовательности чисел r_n\underset{n\in \mathbb{N}_0}{:=}2^n. По предложению 11 для распределения масс \mu существует распределение масс \gamma_{\mathrm{lh}} конечной верхней плотности с \operatorname{supp} \gamma\subset -\mathbb{R}^+, для которого \mu+\gamma_{\mathrm{lh}} удовлетворяет \mathbb{R}-условию Линделёфа (3.18), (3.19). Если положим \gamma:=\gamma_{\mathrm{lh}}+\gamma_{\mathrm{rh}}, то по построению \gamma – распределение масс конечной верхней плотности с \operatorname{supp} \gamma\subset \mathbb{R}, а \nu^\circlearrowright+\gamma\stackrel{(10.16)}{=}\mu+\gamma_{\mathrm{lh}} удовлетворяет \mathbb{R}-условию Линделёфа (3.18), (3.19). Очевидно, существует распределение масс \beta конечной верхней плотности с \operatorname{supp} \beta\subset i\mathbb{R}, поворот которого по часовой стрелке дает \gamma\stackrel{(10.12)}{=}\beta^{\circlearrowright}, откуда
\begin{equation*}
(\nu+\beta)^\circlearrowright\stackrel{(10.12)}{=} \nu^\circlearrowright+\beta^\circlearrowright= \nu^\circlearrowright+\gamma
\end{equation*}
\notag
есть распределение масс конечной верхней плотности, которое удовлетворяет \mathbb{R}-условию Линделёфа (3.18), (3.19). Соответственно по определению (3.20) распределение масс \nu+\beta конечной верхней плотности удовлетворяет i\mathbb{R}-условию Линделёфа (3.20), что завершает доказательство. Предложение 12 доказано. Предложение 13. Для распределения масс \mu конечной верхней плотности со свойством [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}] существует распределение масс \varDelta\geqslant \mu конечной верхней плотности, удовлетворяющее условию Линделёфа (3.21), для которого Доказательство. По предложению 11 найдется распределение масс \gamma конечной верхней плотности с носителем \operatorname{supp} \gamma на отрицательной полуоси -\mathbb{R}^+, для которого \mu+\gamma удовлетворяет \mathbb{R}-условию Линделёфа (3.18), (3.19) и выполнено (10.3). По предложению 12 для распределения масс \nu:=\mu+\gamma найдется распределение масс \beta конечной верхней плотности, для которого \operatorname{supp} \beta\subset i\mathbb{R}, а \nu+\beta=\mu+\gamma+\beta удовлетворяет i\mathbb{R}-условию Линделёфа (3.20).
Положим \varDelta:=\mu+\gamma+\beta. Тогда ввиду \operatorname{supp} \gamma \cup \operatorname{supp} \beta\subset (-\mathbb{R}^+)\cup i\mathbb{R} получаем (10.17), а из равенства \ell_{\varDelta}=\ell_{\mu+\gamma} и соотношения (10.3) следует (10.18), что завершает доказательство предложения 13. Замечание 10. Вместо условия [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}] можно было рассматривать зеркально симметричное относительно мнимой оси i\mathbb{R} условие
Замечание 11. В недавней нашей с А. Е. Салимовой статье приводится результат [38; теорема 3.2] о дополнении распределения точек \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} конечной верхней плотности до распределения точек конечной верхней плотности, удовлетворяющей условию Линделёфа. При этом в доказательстве этого результата для последовательности (r_n)_{n\in \mathbb{N}} из (7.1) неявно использовано условие
\begin{equation*}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_\mathrm{Z}^{\operatorname{lh}}(r_n,r_N) -\ell_\mathrm{Z}^{\operatorname{rh}}(r_n,r_N)\bigr)<+\infty
\end{equation*}
\notag
или зеркально симметричное ему условие такого же вида, в котором \ell_\mathrm{Z}^{\operatorname{lh}} и \ell_\mathrm{Z}^{\operatorname{lh}} меняются местами. Эти условия являются версиями соответственно условий [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}] или [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}], и какое-нибудь из них следует включить в формулировку [38; теорема 3.2], а также требовать выполнения одного из них применительно к распределению точек \mathrm{W}\subset \mathbb{C} вместо \mathrm{Z} в [38; следствие 3.1, теоремы 4.1–4.3]. § 11. Варианты основных результатов для пар распределений масс или точек11.1. Развития теоремы Мальявена–РубелаВ исходной для настоящей статьи теореме Мальявена–Рубела и теореме 3, сформулированных в п. 1.3, в условиях рассматриваются распределения точек \mathrm{Z}\subset \mathbb{C} и \mathrm{W}\subset \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} конечной верхней плотности. Развивая такую постановку, в настоящем п. 11.1 далее вместо распределения точек \mathrm{W}\subset \mathbb{C}_{\mathrm{rh}} рассматриваем распределение масс \mu. Теорема 10. Пусть \mu – распределение масс конечной верхней плотности со свойством [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}], а распределение масс \nu удовлетворяет условиям (2.13). Тогда следующие пять утверждений I– V эквивалентны. I. Для любого b\in [0,s) и любой субгармонической функции M\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta M\geqslant\mu существует субгармоническая функция U\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta U\geqslant \nu, для которой имеет место тождество (2.14). II. При значениях n и N, пробегающих соответственно \mathbb{N}_0 и \mathbb{N}, имеем
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\nu}(2^n,2^N) -\ell_{\mu}(2^n,2^N)\bigr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{11.1}
III. Для любой субгармонической функции M\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta M\geqslant\mu и любой пары субгармонических функций v и m с распределениями масс Рисса соответственно \frac{1}{2\pi}\Delta v=\nu и \frac{1}{2\pi}\Delta m=\frac{1}{2\pi}\Delta M\lfloor_{\operatorname{str}_{s}} при каждом b\in [0,s) найдется целая функция h\not\equiv 0, с которой сумма v+m+\ln |h| – субгармоническая функция конечного типа и выполнены неравенства (2.16). IV. Для любой субгармонической функции M\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta M\geqslant\mu и для произвольной субгармонической функции v с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta v=\nu при любых b\in [0,s), d\in (0,2] и функции r\colon \mathbb{C}\to (0,1] с ограничением (2.17) найдутся целая функция h\not\equiv 0 и подмножество E_b\subset \mathbb{C}, для которых v+\ln |h| – субгармоническая функция конечного типа и имеет место (2.18)–(2.20). IV. Существуют субгармоническая функция M\not\equiv -\infty конечного типа с
\begin{equation}
\varDelta_M\stackrel{(1.12)}{:=}\frac{1}{2\pi}\Delta M\geqslant\mu, \qquad \varDelta_M\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}=\mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}},
\end{equation}
\tag{11.2}
и функции q_0, q, множество E\subset \mathbb{C} и субгармоническая функция U\not\equiv -\infty такие же, как в утверждении V основной теоремы с (2.21), (2.22). Доказательство. Нетрудно понять, что импликации I \Rightarrow III \Rightarrow IV – это в точности импликации I \Rightarrow III \Rightarrow IV основной теоремы. Установим IV \Rightarrow V \Rightarrow II \RightarrowI.
Выведем из утверждения IV утверждение V. По предложению 13 существует распределение масс \varDelta\geqslant \mu конечной верхней плотности, удовлетворяющее условию Линделёфа (3.21) со свойствами (10.17)–(10.18). По теореме Вейерштрасса–Адамара–Линделёфа–Брело найдется субгармоническая функция M\not\equiv -\infty с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta M=\varDelta\geqslant \mu. По утверждению IV при b:=0 существует субгармоническая функция конечного типа U:=v+\ln|h|\not\equiv -\infty из (2.18)–(2.20) с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta U\geqslant \nu, удовлетворяющая неравенству U(iy)\leqslant M(iy) для всех iy\in (\mathbb{C}\setminus E_0)\cap i\mathbb{R}, где при d:=1 и выборе r\equiv 1 в (2.17) имеем \mathfrak{m}_1^1(E_0) <+\infty. Таким образом, из утверждения IV имеем U(iy)+U(-iy)\leqslant M(iy)+M(-iy) для всех y\in \mathbb{R}^+\setminus E, где E:=((iE_0)\cup (-iE_0))\cap \mathbb{R}^+ конечной лебеговой меры \mathfrak{m}_1(E) <+\infty. Для такого подмножества E\subset \mathbb{R}^+ имеет место (2.37), откуда при выборе q_0=q=0 получаем как конечность интеграла из (2.22), так и неравенства (2.21) при всех y\in \mathbb{R}^+\setminus E. Это доказывает истинность импликации IV \Rightarrow V. Если выполнено V, то из импликации V \Rightarrow II основной теоремы следует соотношение (2.15). Это в сочетании с соотношением (6.10) леммы 3, записанным в обозначении (6.7), дает неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\nu}(2^n,2^N)-\ell_{\varDelta_M}(2^n,2^N)\bigr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant \limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\nu}(2^n,2^N) -J_{i\mathbb{R}}(2^n,2^N;M)\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad+\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl|J_{i\mathbb{R}}(2^n,2^N;M)-\ell_{\varDelta_M}(2^n,2^N)\bigr| \stackrel{(2.15),(6.10)}{<}+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.3}
Но для распределения масс \varDelta_M, удовлетворяющего условию Линделёфа и, тем более, \mathbb{R}-условию Линделёфа в форме (3.19), выполнено
\begin{equation*}
\sup_{1\leqslant r<R<+\infty}\bigl|\ell_{\varDelta_M}(r,R) -\ell_{\varDelta_M}^{\operatorname{rh}}(r,R)\bigr|<+\infty.
\end{equation*}
\notag
Отсюда согласно (11.3) получаем
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\nu}(2^n,2^N) -\ell_{\varDelta_M}^{\operatorname{rh}}(2^n,2^N)\bigr) <+\infty.
\end{equation}
\tag{11.4}
Ввиду \varDelta_M\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}\stackrel{(11.2)}{=} \mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}, имеем равенства \ell_{\varDelta_M}^{\operatorname{rh}} =\ell_{{\varDelta_M}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}} =\ell_{\mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}}=\ell_{\mu}^{\operatorname{rh}}\leqslant \ell_{\mu}, что позволяет из соотношения (11.4) получить (11.1) и утверждение II.
Из соотношения (11.1) утверждения II следует, что для любой субгармонической функции M\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \varDelta_M=\frac{1}{2\pi}\Delta M\geqslant\mu тем более выполнено соотношение
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N}\bigl(\ell_{\nu}(2^n,2^N) -\ell_{\varDelta_M}(2^n,2^N)\bigr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{11.5}
Отсюда по соотношению (6.10) леммы 3, записанному в обозначении (6.7),
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\nu}(2^n,2^N) -J_{i\mathbb{R}}(2^n,2^N;M)\bigr) \\ &\qquad\leqslant \limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} \bigl(\ell_{\nu}(2^n,2^N) -\ell_{\varDelta_M}(2^n,2^N)\bigr) \\ &\qquad\qquad+\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N} |\ell_{\varDelta_M}(2^n,2^N) -J_{i\mathbb{R}}(2^n,2^N;M)| \stackrel{(11.5),(6.10)}{<}+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где крайние части и есть соотношение (2.15) из утверждения II основной теоремы. Из импликации II \Rightarrow I основной теоремы для любого b\in [0,s) существует субгармоническая функция U\not\equiv -\infty конечного типа с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta U\geqslant \nu, для которой выполнено тождество (2.14). Таким образом, импликация II \Rightarrow I истинна и теорема 10 доказана. Теорема 11. Пусть \mu – распределение масс конечной верхней плотности со свойством [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}], а распределение точек \mathrm{Z} такое же, как в теореме 8. Тогда следующие четыре утверждения I– IV эквивалентны. I. При любых 0\leqslant b<s\in \mathbb{R}^+ для произвольной субгармонической функции M\not\equiv -\infty конечного типа с \frac{1}{2\pi}\Delta M\geqslant\mu и любой субгармонической функции m с распределением масс Рисса \frac{1}{2\pi}\Delta m=\frac{1}{2\pi}\Delta M\lfloor_{\operatorname{str}_s} найдется целая функция f\not\equiv 0 с f(\mathrm{Z})=0, для которой субгармоническая функция \ln |f|+m конечного типа и выполняются неравенства (2.26). II. При значениях n и N, пробегающих соответственно \mathbb{N}_0 и \mathbb{N}, имеем
\begin{equation}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n< N} \bigl(\ell_\mathrm{Z}(2^n,2^N) -\ell_{\mu}(2^n,2^N)\bigr)<+\infty.
\end{equation}
\tag{11.6}
III. При любых b\in \mathbb{R}^+, d\in (0,2] и функции r\colon \mathbb{C}\to (0,1] из (2.17) для любой субгармонической функции M\not\equiv -\infty конечного типа с \frac{1}{2\pi}\Delta M\geqslant\mu найдутся целая функция f\not\equiv 0 экспоненциального типа с f(\mathrm{Z})=0 и E_b\subset \mathbb{C}, для которых \ln|f(z)|\leqslant M^{\bullet r}(z) при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_b, а также \ln|f(z)|\leqslant M(z) при всех z\in \overline{\operatorname{str}}_b\setminus E_b, где для E_b выполнено (2.20). IV. Для распределения масс \nu:=\mathrm{Z} выполнено утверждение V теоремы 10. Вывод теоремы 11 из теоремы 10 опускаем, поскольку он во многом почти дословно повторяет вывод теоремы 8 из основной теоремы в п. 2.2. То же самое относится и к следующему следствию 3, которое можно вывести из теоремы 11 по схеме, аналогичной последовательному выводу следствий 1 и 2 из теоремы 8, также изложенному в п. 2.2. Следствие 3. Если в условиях теоремы 11 распределение масс \mu целочисленное, т. е. является распределением точек \mathrm{W}=\mu, то свойство [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}] с (10.1) при r_n\underset{n\in \mathbb{N}_0}{:=}2^n эквивалентно свойству (1.28), а каждое из трех утверждений I– III теоремы 7 эквивалентно утверждению IV теоремы 11. Замечание 12. Если в условиях теорем 10 и 11 свойство [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{rh}}] заменить на зеркально симметричное относительно мнимой оси свойство [ \boldsymbol\mu ^{\operatorname{lh}}], то с учетом замечания 10 единственное изменение, которое необходимо внести в формулировки теорем 10 и 11 – это заменить в (11.2) второе “правостороннее” равенство \varDelta_M\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}}=\mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} на “левостороннее” \varDelta_M\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}=\mu\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}. Соответственно и в теореме 7 условие (1.28) на \mathrm{W} можно заменить на зеркально симметричное относительно мнимой оси i\mathbb{R} условие
\begin{equation*}
\limsup_{N\to \infty}\sup_{0\leqslant n<N}\bigl(\ell_\mathrm{W}(2^n,2^N) -\ell_{\mathrm{W}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}}(2^n,2^N)\bigr)<+\infty
\end{equation*}
\notag
с сужением \mathrm{W}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}} \mathrm{W} на \mathbb{C}_{\mathrm{lh}}, которое, очевидно, выполнено при \mathrm{W}\subset \mathbb{C}_{\overline{\mathrm{lh}}}. При этом единственное дополнительное изменение в теореме 7, которое необходимо, – это замена правостороннего равенства \operatorname{Zero}_g \lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} =\mathrm{W}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{rh}}} в утверждении III на левостороннее \operatorname{Zero}_g \lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}} =\mathrm{W}\lfloor_{\mathbb{C}_{\mathrm{lh}}}. 11.2. Заключительные комментарииНе касаясь применений результатов статьи, которые указаны в конце введения, отметим некоторые возможные пути дальнейшего естественного развития основных результатов, не претендуя, впрочем, на полноту описания перспектив такого развития. Вместо внешней плотности Редхеффера от распределений точек в формулировках результатов, где она встречается, можно использовать многочисленные известные и равные ей внешние плотности Бёрлинга–Мальявена, Кахана и др. [30], [31], [15], [24], [25]. Взаимосвязи между этими плотностями, дополненные и новые, наиболее детально исследованы И. Ф. Красичковым-Терновским [16] c реализацией и для распределений масс. Кроме того, можно использовать и иные, гораздо более тонкие, плотности и характеристики распределений точек и масс, порождаемые специальными классами тестовых субгармонических функций из работ [34] и [27]. Эти классы тестовых функций – аналоги классов основных функций теории обобщенных функций. Именно такие тестовые плотности и характеристики представляются наиболее естественным развитием логарифмических функций интервалов и субмер для частей распределений точек или масс вблизи или на мнимой оси. Такой подход через тестовые функции уже неплохо зарекомендовал себя при доказательстве теорем Бёрлинга–Мальявена [17], [26; гл. III], теоремы 2 и ее более общих версий в [21], при решении других задач в [59], [40], [60], а из недавних – в [61]–[65] и так далее. Метод тестовых субгармонических функций, двойственный в теоретико-потенциальном смысле к методу огибающей из [66], [67], позволит учитывать и значительно более жесткие, чем в теоремах 4, 6, 7 и в основных результатах из § 2 и § 11, ограничения на целые функции экспоненциального типа или субгармонические функции конечного типа, учитывающие точные значения их типа или даже ограничения на индикаторы роста по направлениям. Наконец, постановки задач (1.3), (1.6)–(1.8) во введении возможны не только для субгармонических функций M конечного типа, но и для достаточно произвольных расширенных числовых функций M, определенных лишь на мнимой оси или на вертикальной полосе \overline{\operatorname{str}}_b из (1.5). Такие версии постановок задач в духе и строго в рамках теоремы Бёрлинга–Мальявена о мультипликаторе затронуты в [29], [32], [6], [33] и наиболее детально исследованы в монографиях П. Кусиса [24], [25], а также в ряде его последующих статей. Один из возможных подходов при таком развитии – аппроксимация расширенных числовых функций M на мнимой оси или полосе субгармоническими функциями конечного типа или их разностями в поточечных, интегральных или равномерных метриках вне малых исключительных множеств. Это уже иная задача, представляющая самостоятельный интерес.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kha24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|