М. Я. Мазалов, “Равномерное приближение функций решениями однородных сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb{R}^2$”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:3 (2021), 89–126; Izv. Math., 85:3 (2021), 421

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js

Известия Российской академии наук. Серия математическая

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2021, том 85, выпуск 3, страницы 89–126
DOI: https://doi.org/10.4213/im9027 (Mi im9027)

Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)

Равномерное приближение функций решениями однородных сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в

$\mathbb{R}^2$

М. Я. Мазалов^ab

^a Национальный исследовательский университет "Московский энергетический институт" в г. Смоленске
^b Санкт-Петербургский государственный университет

PDF полного текста (805 kB) PDF английской версии (751 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (4)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/im9027

Аннотация: Получен критерий равномерной приближаемости функций решениями однородных сильно эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах в

$\mathbb{R}^2$ (частный случай гармонических приближений не выделяется).
Критерий формулируется в терминах единственной (скалярной) емкости Харви и Полкинга, связанной со старшим коэффициентом разложения в ряд типа Лорана (для хорошо изученного случая не сильно эллиптических уравнений соответствующая емкость тривиальна).
В доказательстве применяются усовершенствованная схема Витушкина, специальные геометрические конструкции и методы теории сингулярных интегралов. Рассматриваемая задача, в силу неоднородности фундаментальных решений сильно эллиптических операторов в

$\mathbb{R}^2$ , технически сложнее аналогичной задачи в

$\mathbb{R}^d$ ,

$d>2$ .
Библиография: 19 наименований.

Ключевые слова: равномерное приближение, схема Витушкина, емкости, однородные эллиптические уравнения, меры Карлесона.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	17-11-01064
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01064).

Поступило в редакцию: 08.06.2020
Исправленный вариант: 30.05.2020

Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages 421–456
DOI: https://doi.org/10.1070/IM9027

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.518.8+517.956.2

MSC: 35A35, 35J15, 41A30, 30E10

§ 1. Введение

Пусть

$\begin{equation} L(x)=c_{11}x_1^2+2c_{12}x_1x_2+c_{22}x_2^2,\quad\text{где}\quad x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2, \end{equation} \tag{1.1}$

– однородный эллиптический многочлен второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами; здесь эллиптичность означает, что

$L(x)\ne0$ при всех

$x\ne0$ . С многочленом

$L(x)$ связан эллиптический дифференциальный оператор

$\begin{equation} L=c_{11}\,\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+2c_{12}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}+c_{22}\, \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}. \end{equation} \tag{1.2}$

Существует (см. [1; теорема 7.1.20]) фундаментальное решение $E$ оператора $L$ , имеющее вид

$\begin{equation} E(x)=E_0(x)+A_0\log|x|, \end{equation} \tag{1.3}$

где

$E_0$ – вещественно аналитическая функция в

${\mathbb{R}}^2\setminus\{0\}$ , ограниченная и однородная степени

$0$ ,

$A_0$ – постоянная. При

$A_0\ne0$ оператор

$L$ называется сильно эллиптическим, а если

$A_0=0$ , то

$L$ – не сильно эллиптический оператор.

Эллиптичность оператора $L$ равносильна тому, что корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ характеристического многочлена $c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}$ невещественны. При этом (см., например, [2; § 2]) для сильно эллиптических операторов знаки мнимых частей $\lambda_1$ и $\lambda_2$ различны, а для не сильно эллиптических – совпадают.

Пример сильно эллиптического оператора – оператор Лапласа $L=\Delta$ , здесь $L(x)=x_1^2+x_2^2$ , и в (1.3) имеем $E_0\equiv0$ и $A_0=(2\pi)^{-1}$ . Квадрат оператора Коши–Римана – пример не сильно эллиптического оператора, здесь $L(x)=(x_1+ix_2)^2/4$ , и $E=E_0=\pi^{-1}\overline{z}/z$ , где $z=x_1+ix_2\in\mathbb{C}$ , $\overline{z}=x_1-ix_2$ .

Пусть $Y$ – непустое подмножество $\mathbb{R}^2$ . Функцию $f$ назовем $L$ -аналитической на $Y$ , если она удовлетворяет уравнению $Lf=0$ (в классическом смысле) на некотором открытом множестве $W$ , содержащем $Y$ . Заметим, что в силу эллиптичности $L$ достаточно потребовать непрерывности $f$ и выполнения равенства $Lf=0$ на $W$ в смысле теории распределений.

Пусть $X\subset\mathbb{R}^2$ , $X\ne\varnothing$ – компакт, $X^\circ$ – множество всех внутренних точек $X$ . Через $H_L(X)$ обозначим класс функций $f\in C(X)$ , таких, что для любого $\varepsilon>0$ существует функция $F$ , $L$ -аналитическая на $X$ и удовлетворяющая неравенству $\|F-f\|_{\mathrm{L}^{\infty}(X)}<\varepsilon$ (здесь и всюду ниже под $\mathrm{L}^{\infty}$ -нормой функции на непустом множестве понимаем супремум модуля ее значений). Ясно, что имеет место включение $H_L(X)\subset h_L(X)$ , где $h_L(X)$ – класс всех функций $f\in C(X)$ , $L$ -аналитических в $X^\circ$ .

Важно отметить, что в случае произвольного не сильно эллиптического оператора $L$ для любого компакта $X\subset\mathbb{R}^2$ имеет место равенство $h_L(X)=H_L(X)$ , это частный случай теоремы 1 из [3] (который устанавливается существенно проще основных результатов настоящей работы). Если оператор $L$ сильно эллиптический, то, как хорошо известно, в силу $\lim_{x\to0}E(x)=\infty$ существуют компакты $X$ с $h_L(X)\ne H_L(X)$ .

В настоящей работе для произвольного сильно эллиптического оператора $L$ в $\mathbb{R}^2$ получен критерий принадлежности функций классу $H_L(X)$ (см. теоремы 1.1–1.4). Критерий формулируется в терминах $C$ -емкости Харви и Полкинга [4; § 1], связанной с главным коэффициентом разложения функций в ряд типа Лорана по производным фундаментального решения и характеризующей множества устранимых особенностей решений уравнения $Lf=0$ в классе непрерывных функций (как множества емкости нуль). По существу это естественный аналог критерия Витушкина для аналитических функций [5; гл. 4, § 2, лемма 1 и гл. 5, § 3, теорема 1].

История вопроса обсуждается в [6], а результаты, полученные после 2012 г., – в [7], [8]. Важно отметить, что по сравнению с аналогичными задачами равномерных приближений в $\mathbb{R}^d$ , $d>2$ , здесь есть специфика, связанная с тем, что фундаментальные решения сильно эллиптических операторов в $\mathbb{R}^2$ неоднородны и не ограничены на бесконечности. По этой причине в работе [8] применяется метод редукции.

А именно, теорема 1.1 из [8] сводит задачу приближения гармоническими функциями на компакте $X\subset\mathbb{R}^2$ к такой же задаче для компакта $X\times[-1,1]$ в пространстве $\mathbb{R}^3$ переменных $(x_1,x_2,x_3)$ . В [8] (см. теоремы 1.1–1.3 и следствия к ним) получен критерий принадлежности функций классу $H_{\Delta}(X)$ в терминах логарифмической емкости редукцией к изученному в [9] случаю равномерных гармонических приближений в $\mathbb{R}^3$ .

В настоящей работе метод редукции не используется, все построения и оценки проводятся только в $\mathbb{R}^2$ . Это позволяет добиться большей естественности в доказательствах и формах критериев.

Далее через $\operatorname{Spt}(\,{\cdot}\,)$ обозначаем носитель распределения (функции), через $\langle \Psi\,|\,\varphi\rangle$ – действие распределения конечного порядка $\Psi$ на достаточно гладкую пробную функцию $\varphi$ . Для $a\in\mathbb{R}^2$ через $B=B(a,r)$ обозначаем открытый круг с центром $a$ и радиусом $r$ , $\overline{B}$ – его замыкание, $\partial B$ – границу, $\lambda B=B(a,\lambda r)$ при $\lambda>0$ .

Пусть $U$ – непустое ограниченное множество, $B$ – круг такой, что $U\subset(1/2)B$ . Определим емкость $\operatorname{Cap}_L^B(U)$ множества $U$ относительно $B$ следующим образом.

Допустимой (для $L$ , $U$ и $B$ ) будем называть каждую функцию $g\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$ , для которой выполнены следующие условия:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \operatorname{Spt}(Lg)\subset U,\qquad g\in C(\mathbb{R}^2),\qquad \|g\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B)}\leqslant1, \\ |g(x)|=O(\log|x|)\quad\text{при}\quad x\to\infty. \end{gathered} \end{equation} \tag{1.4}$

При этом

$\begin{equation} \operatorname{Cap}_L^B(U)=\sup_g\{|\langle Lg\,|\,1\rangle|\colon g\text{ допустимая}\}. \end{equation} \tag{1.5}$

Комментарии. В силу определения имеем равенство

$\begin{equation} \langle Lg\,|\,1\rangle=\langle Lg\,|\,\varphi\rangle=\int g(x)L(\varphi(x))\, dm_x, \end{equation} \tag{1.6}$

где

$\varphi\in C^2_0$ – произвольная функция такая, что

$\varphi(x)\equiv1$ в некоторой окрестности

$\operatorname{Spt}(Lg)$ , интеграл вычисляется по мере Лебега в

$\mathbb{R}^2$ . Ясно, что

$g\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2\setminus U)$ .

Поскольку $L(g-E*(Lg))\equiv0$ в $\mathbb{R}^2$ (где “ $*$ ” означает операцию свертки) и $|g(x)|=O(\log|x|)$ при $x\to\infty$ , то в силу естественного аналога теоремы Лиувилля имеет место равенство (в обобщенном смысле)

$\begin{equation} g=E*(Lg)+\mathrm{const}. \end{equation} \tag{1.7}$

Заметим, что в определении (1.5) ограничение $|g(x)|=O(\log|x|)$ можно снять, а вместо $\mathrm{L}^{\infty}$ -нормы достаточно рассмотреть колебание функции $g$ на $B$ , что приводит к соизмеримой величине емкости. Действительно, взяв подходящую функцию $\varphi$ из (1.6) и применив стандартную оценку локализаций (см., например, лемму 2.1), будем иметь оценку

$\begin{equation*} \|E*(\varphi Lg)+t\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B)}\leqslant A, \end{equation*} \notag$

где

$t$ – некоторая постоянная, и постоянная

$A>0$ зависит только от оператора

$L$ . В частности, емкость (1.5) соизмерима с каждой

$C$ -емкостью из определений 1.1 и 1.2, см. [4], где в качестве

$\Omega$ рассматривается круг

$B$ .

В случае $L=\Delta$ и круга $B$ единичного радиуса емкость $\operatorname{Cap}_L^B(\,{\cdot}\,)$ соизмерима с гармонической (винеровой) емкостью $\operatorname{Cap}_2(\,{\cdot}\,)$ . Напомним, что для $U\subset(1/2)B(a,1)$ одно из равносильных определений гармонической емкости следующее ( $\mu$ – неотрицательная борелевская мера с полной вариацией $\|\mu\|$ ):

$\begin{equation} \operatorname{Cap}_2(U)=\sup_{\mu}\biggl\{\|\mu\|\colon \operatorname{Spt}(\mu)\subset U,\, \mu*\log\frac1{|x|}\leqslant1\biggr\}. \end{equation} \tag{1.8}$

Формально (1.8) – частный случай (1.5), в котором функции $g$ имеют специальный вид, соизмеримость этих емкостей следует из принципа максимума модуля и принципа непрерывности (см. [4; § 3] и [10; гл. 3, теорема 2 и лемма 6]).

Отсюда непосредственно следует, что в случае круга $B$ единичного радиуса выполнена оценка

$\begin{equation} \operatorname{Cap}_L^B(U)\geqslant A_1 \operatorname{Cap}_2(U) \end{equation} \tag{1.9}$

с множителем

$A_1>0$ , зависящим только от

$L$ (для доказательства достаточно ограничиться допустимыми функциями вида

$g=\mu*E$ , где

$E$ из (1.3),

$\mu$ – неотрицательная борелевская мера с носителем на

$U$ ). В частности, для оценки снизу емкостей

$\operatorname{Cap}_L^B(\,{\cdot}\,)$ в терминах мер Хаусдорфа можно использовать утверждения из [10; гл. 4]. Возможность обращения неравенства (1.9) – важный открытый вопрос.

Ниже будем применять только элементарные свойства емкостей $\operatorname{Cap}_L^B(\,{\cdot}\,)$ .

1) Для фиксированного $B$ и $U'\subset U$ имеем $\operatorname{Cap}_L^B(U')\leqslant \operatorname{Cap}_L^B(U)$ .

2) При гомотетии с коэффициентом $\lambda$ относительно центра $B$ выполнено равенство $\operatorname{Cap}_L^{\lambda B}(\lambda U)=\operatorname{Cap}_L^B(U)$ .

3) Пусть $B=B(a,r)$ , $B'$ – круг радиуса $\rho$ , содержащийся в $(1/2)B$ . Тогда существует постоянная $A_2>1$ , зависящая только от $L$ , такая, что имеет место оценка

$\begin{equation} (A_2)^{-1}\frac1{\log(r/\rho)}\leqslant\operatorname{Cap}_L^B(B')\leqslant A_2\frac1{\log(r/\rho)}. \end{equation} \tag{1.10}$

Свойства 1) и 2) очевидны. Левое неравенство в (1.10) следует из (1.9) и свойства 2), а правое неравенство является несложным следствием асимптотики (2.3), (2.4), а именно, вместо модуля допустимой функции достаточно оценить модуль ее первого слагаемого в лорановском разложении.

Изучение содержательных свойств емкостей $\operatorname{Cap}_L^B(\,{\cdot}\,)$ (в частности, обращение (1.9), вопрос о полуаддитивности, сравнение $C$ - и $\mathrm{L}^{\infty}$ -емкостей и так далее) представляет значительный интерес и требует отдельного исследования, но не является целью настоящей работы.

Отметим, что для упрощения оценок удобно рассматривать емкости (1.5) не относительно фиксированного круга $B$ , а варьировать $B$ в зависимости от масштаба локализации особенностей приближаемой функции. Это делается, например, в следующей теореме – критерии приближаемости в форме основной леммы Витушкина [5; гл. 4, § 2, лемма 1]. Функцию $f\in h_L(X)$ считаем продолженной до функции, непрерывной всюду в $\mathbb{R}^2$ с компактным носителем (см., например, [11; гл. 6, п. 2.2]), $\omega_f$ – модуль непрерывности продолженной функции, $\mathrm{L}^{\infty}=\mathrm{L}^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ .

Теорема 1.1. Пусть $X$ – компакт, $f\in h_L(X)$ .

Если существуют $k\geqslant1$ и функция $\epsilon\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ , $\epsilon(t)\to0$ при $t\to0$ такие, что для любого круга $B=B(a,r)$ и любой (пробной) функции $\varphi\in C^2_0(\mathbb{R}^2)$ такой, что $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset B$ , выполнена оценка

$\begin{equation} |\langle Lf\,|\,\varphi\rangle|\leqslant \|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} \epsilon(r)r^2\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X), \end{equation} \tag{1.11}$

то

$f\in H_L(X)$ .

Если $f\in H_L(X)$ , то оценка (1.11) имеет место при $k=1$ и $\epsilon=A\omega_f$ , где постоянная $A>0$ может зависеть только от $L$ .

Замечание. Ключевой результат настоящей работы, который потребовал новых оценок и конструкций – часть I) теоремы 1.1 (часть II) стандартна). Важно отметить, что для доказательства части I) теоремы 1.1 оценка (1.11) в полном объеме не нужна, достаточно ее частного случая (2.10) для стандартных функций $\varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^2)$ (см. леммы 2.6 и 2.7).

Так же, как и для аналитических функций, несложным следствием теоремы 1.1 является следующий критерий равенства классов, аналогичный критерию Витушкина [5; гл. 5, § 3, теорема 1].

Теорема 1.2. Пусть $X\subset\mathbb{R}^2$ – компакт. Равенство $h_L(X)=H_L(X)$ имеет место тогда и только тогда, когда для произвольного ограниченного открытого множества $U$ и всех соответствующих $B$ из (1.5) выполнено равенство

$\begin{equation} \operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)=\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X). \end{equation} \tag{1.12}$

Цель следующих двух теорем – придать критерию (1.11) более простой вид.

В работе [12] П. В. Парамонов предложил (в случае аналитических функций) удобный вид критериев приближаемости, использующий набор пробных функций $\varphi^a_{\delta}$ , полученных из фиксированной $\varphi^0_1$ с помощью сдвигов и гомотетий. Такой подход реализуется в следующей теореме. Пусть

$\begin{equation} \varphi^a_{\delta}(x)=\frac1{{\delta}^2}\varphi_1^0\biggl(\frac{x-a}{\delta}\biggr), \end{equation} \tag{1.13}$

где

$\varphi^0_1\in C^2_0(\mathbb{R}^2)\geqslant0$ ,

$\varphi^0_1\geqslant0$ ,

$\varphi^0_1\equiv0$ всюду вне

$B(0,1)$ и

$\int \varphi^0_1(x)\, dm_x=1$ .

Теорема 1.3. Если существуют $k_1\geqslant1$ и функция $\epsilon_1\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ , $\epsilon_1(t)\to0$ при $t\to0$ такие, что для любого круга $B(a,{\delta})$ радиуса ${\delta}\leqslant1$ и функции $\varphi^a_{\delta}$ из (1.13) выполнена оценка

$\begin{equation} |\langle Lf|\varphi^a_{\delta}\rangle|\leqslant \epsilon_1({\delta}){\delta}^{-2}\operatorname{Cap}_L^{2k_1B}(k_1 B\setminus X), \end{equation} \tag{1.14}$

то

$f\in H_L(X)$ .

Теорема 1.4 – специальный случай теоремы 1.3, в которой функция $\varphi^0_1$ пропорциональна $\phi^0_1=(1-|x|^2)\chi(B(0,1))$ , где $\chi(\,{\cdot}\,)$ – характеристическая функция.

Хотя $\phi^0_1\notin C^1(\mathbb{R}^2)$ , действия $\langle Lf\,|\,\varphi^a_{\delta}\rangle$ переносятся на функции $f\in C(\mathbb{R}^2)$ с помощью (1.15). Теорема 1.4 формулируется в терминах $L$ -осцилляции, предложенной П. В. Парамоновым в [7], и аналогична по форме теореме 1 из [7], в которой получен критерий приближаемости индивидуальных функций в пространствах $C^m$ типа Уитни при $m\in(0,1)\cup(1,2)$ . Заметим, что случай равномерных приближений ( $m=0$ ) значительно сложнее по причине неограниченности в $\mathrm{L}^{\infty}$ сингулярных интегральных операторов с ядрами Кальдерона–Зигмунда.

Напомним определение $L$ -осцилляции (см. [7; лемма 1]). Пусть $f\in C^2(\mathbb{R}^2)$ , $L(x)$ из (1.1), $B=B(a,{\delta})$ , $l$ – мера Лебега (длина) на $\partial B$ . Тогда имеет место равенство

$\begin{equation} \int_B \frac{{\delta}^2-|x-a|^2}{4\pi\delta^2}L(f(x))\, dm_x=\frac1{2\pi\delta} \int_{\partial B}f(x)\frac{L(x-a)}{\delta^2}\, dl_x-\frac{c_{11}+c_{22}}{2\pi\delta^2}\int_B f(x)\, dm_x. \end{equation} \tag{1.15}$

Правая часть формулы (1.15) не содержит производных $f$ и распространяется на все функции $f\in C(\mathbb{R}^2)$ , она называется $L$ -осцилляцией $f$ на $B(a,{\delta})$ и обозначается как $\mathcal{O}^L_B(f)$ . В частном случае $L=\Delta$ – это разность средних значений функции $f$ по граничной окружности и кругу:

$\begin{equation} \mathcal{O}^{\Delta}_B(f)=\frac1{2\pi\delta}\int_{\partial B}f(x)\, dl_x-\frac1{\pi\delta^2}\int_B f(x)\, dm_x. \end{equation} \tag{1.16}$

Заметим, что величина (1.16) в настоящем контексте впервые появилась в работе [13; теорема 1.1].

Теорема 1.4. Если существуют $k_1\geqslant1$ и функция $\epsilon_1\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ , $\epsilon_1(t)\to0$ при $t\to0$ такие, что для любого круга $B$ радиуса ${\delta}$ выполнена оценка

$\begin{equation} |\mathcal{O}^L_B(f)|\leqslant \epsilon_1({\delta})\operatorname{Cap}_L^{2k_1B}(k_1 B\setminus X), \end{equation} \tag{1.17}$

то $f\in H_L(X)$ .

Теоремы 1.3 и 1.4 сводятся к теореме 1.1 по схеме рассуждений из [14; § 4]. В основе этой схемы предложенные П. В. Парамоновым в [12] специальные разбиения единицы с помощью кратных сверток, а масштаб определяется емкостью $\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)$ . Необходимость оценки (1.14) при $k_1=1$ и $\epsilon_1=A\omega_f$ следует из части II) теоремы 1.1, а необходимость (1.17) доказывается аналогично (см., например, [9; лемма 2.5]).

Заметим, что следствию 1.1 из [8], в отличие от теоремы 1.4, соответствует другой специальный случай теоремы 1.3: $\phi^0_1=(1-|x|^2)^{3/2}\chi(B(0,1))$ и $L=\Delta$ .

План работы следующий. Параграф 2 содержит подготовительные результаты, в частности, здесь устанавливаются некоторые свойства емкостей (существенно новыми являются леммы 2.9 и 2.11), доказывается часть II) теоремы 1.1 (это лемма 2.4), в лемме 2.5 выводится теорема 1.2 из теоремы 1.1.

Доказательство части I) теоремы 1.1 проводится в §§ 3–5. В доказательстве применяется схема разделения особенностей и приближения функции по частям (схема Витушкина), предложенная А. Г. Витушкиным в [5], усовершенствованная и адаптированная к случаю общих эллиптических уравнений в работах многих авторов. При этом важную роль играет теорема о приближении функции по частям [3; теорема 2], которая сводит приближение исходной функции к уравниванию лорановских коэффициентов при первых производных фундаментального решения у ее локализаций. Возможность такого уравнивания утверждается в основной лемме 3.3, см. § 3.

Лемма 3.3 доказывается в § 4, § 5. В § 4 приводится геометрическая конструкция, представляющая собой значительную переработку конструкции из [9], в частности, существенно новыми являются леммы 4.5, 4.6. Результатом § 4 является лемма 4.4.

В § 5 завершается доказательство леммы 3.3 (и соответственно теоремы 1.1). В доказательстве применяются методы теории сингулярных интегралов.

В § 6 теоремы 1.3 и 1.4 выводятся из теоремы 1.1.

§ 2. Подготовительные результаты

Всюду в дальнейшем через $A,A_1,A_2,\dots$ будем обозначать положительные постоянные, которые могут зависеть только от оператора $L$ и постоянной $k$ из (1.11). Значения каждой из этих постоянных в разных соотношениях могут быть различными.

Зафиксируем $E$ из (1.3) с $|E_0(x)|\leqslant A=A(L)$ при $|x|=1$ . При любом $r>0$ функция

$\begin{equation} E^{r}(x)=E_0(x)+A_0\log\frac{|x|}{r} \end{equation} \tag{2.1}$

также является фундаментальным решением оператора

$L$ (она отличается на постоянное слагаемое и фактически проводит перенормировку). Для

$g\in C(\mathbb{R}^2)$ и

$\varphi\in C^2_0(\mathbb{R}^2)$ свертка

$\begin{equation} V_{\varphi}^{r}g=E^{r}*(\varphi L g) \end{equation} \tag{2.2}$

называется локализацией

$g$ , а соответствующий оператор

$V_{\varphi}^{r}(\,{\cdot}\,)$ – локализационным оператором Витушкина.

Следующая лемма стандартна (см. [2; предложение 2.5], [3; лемма 1.2]).

Лемма 2.1. Пусть $g\in C(\mathbb{R}^2)$ , $B=B(a,r)$ – круг, $\varphi\in C^2_0(\mathbb{R}^2)$ , $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset B$ , функция $V_{\varphi}^{r}g$ – локализация из (2.2). Тогда имеет место следующее:

$L(V_{\varphi}^rg)=\varphi L g$ и, следовательно, $\operatorname{Spt}(L(V_{\varphi}^rg))\subset(\operatorname{Spt}\varphi\cap \operatorname{Spt}(L g))$ ;

$|V_{\varphi}^rg(x)|=O(\log|x|)$ при $x\to\infty$ ;

$V_{\varphi}^rg\in C(\mathbb{R}^2)$ ;

при всех $\lambda\geqslant2$ имеет место оценка

$\begin{equation*} \|V_{\varphi}^rg\|_{\mathrm{L}^{\infty}(\lambda B)}\leqslant A\omega_g(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2\log\lambda. \end{equation*} \notag$

Комментарии. Утверждения a), b) очевидны. Для доказательства c), d) делаем линейную замену переменных $y=(x-a)/r$ , при этом $E^r$ меняется на $E=E^1$ . Проводим интегрирование по частям в (2.2), при вычислении $L(\varphi E)$ учитываем фундаментальность $E$ и стандартные оценки $E$ и первых производных $E$ в силу (1.3) (подробно см., например, [3; лемма 1.2]).

Пусть $T$ – распределение, причем $\operatorname{Spt}(T)$ содержится в круге $B(a,r)$ , $a=(a_1,a_2)$ . Тогда (см. [16; 1.B.], [2; предложение 2.3]) всюду вне круга $B(a,A_1r)$ , где $A_1=A_1(L)\geqslant1$ , для любого $\delta>0$ имеет место разложение в ряд Лорана, сходящийся в $C^{\infty}$ :

$\begin{equation} E^{\delta}*T(x)=c_0E^{\delta}(x-a)+\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\{(m_1,m_2)\in\mathbb{Z}_+^2\colon m_1+m_2=m\}} c_{m_1,m_2}\frac{\partial^{m}E(x-a)}{\partial^{m_1}_{x_1}\, \partial^{m_2}_{x_2}}. \end{equation} \tag{2.3}$

Коэффициенты разложения определяются как действия распределения

$T$ на пробные

$C^{\infty}$ -функции:

$\begin{equation} c_0=\langle T\,|\,1\rangle,\qquad c_{m_1,m_2}=\frac{(-1)^m}{m_1!\,m_2!}\langle T\,|\,(x_1-a_1)^{m_1}(x_2-a_2)^{m_2}\rangle \quad\text{при}\quad m\geqslant1. \end{equation} \tag{2.4}$

Заметим, что лорановские коэффициенты не зависят от $\delta$ , а главный коэффициент $c_0$ также не зависит от центра разложения $a$ .

С учетом асимптотики (1.7) и (2.4), емкость (1.5) определяется как супремум $|c_0(g)|$ по всем допустимым функциям $g$ из (1.4). В силу леммы 2.1 и определения емкости для любой функции $f\in h_L(X)$ при всех $\lambda\geqslant2$ выполнена оценка

$\begin{equation} |c_0(V_{\varphi}^rf)|=|\langle \varphi Lf\,|\,1\rangle|=|\langle Lf\,|\,\varphi\rangle|\leqslant A\omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^2\operatorname{Cap}_L^{\lambda B}(B\setminus X^\circ)\log\lambda. \end{equation} \tag{2.5}$

Смысл условия (1.11) состоит в возможности заменить для функции

$f\in h_L(X)$ в правой части (2.5) выражение

$\omega_f(r)\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X^\circ)$ на

$\epsilon(r)\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)$ . А именно, в силу определения емкости имеет место следующее утверждение об уравнивании коэффициента

$c_0$ (не ограничивая общности, далее считаем, что

$\omega_f(r)<\epsilon(r)$ ).

Лемма 2.2. Пусть для функции $f$ выполнено условие (1.11), множество $kB\,{\setminus}\, X$ непусто. Тогда для любого $\delta>0$ и любой локализации $V_{\varphi}^{\delta}f$ вида (2.2) существует функция $g\in C(\mathbb{R}^2)$ такая, что

$\operatorname{Spt}(Lg)\subset(kB\setminus X)$ ;

$c_0(V_{\varphi}^{\delta}f)=c_0(g)$ и $\lim_{x\to\infty}(V_{\varphi}^{\delta}f(x)-g(x))=0$ ;

выполнена оценка $\|V_{\varphi}^{\delta}f-g\|_{\mathrm{L}^{\infty}} \leqslant\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\epsilon(r)r^2$ .

Условие (1.11) дает оценки и других коэффициентов через $\operatorname{Cap}_L^{2kB}(kB\setminus X)$ .

Лемма 2.3. В обозначениях (1.11), (2.4) и леммы 2.2 имеют место оценки

$\begin{equation} |c_{m_1,m_2}(V_{\varphi}^{\delta}f,a)|\leqslant (m_1!\,m_2!)^{-1}A\epsilon(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} (2r)^{2+m}\operatorname{Cap}_L^{2kB}(kB\setminus X). \end{equation} \tag{2.6}$

Для доказательства (2.6) заменим в (1.11) $\varphi$ на $\varphi(x)(x_1-a_1)^{m_1}(x_2-a_2)^{m_2}$ и воспользуемся элементарной оценкой

$\begin{equation*} \|\nabla^2(\varphi(x)(x_1-a_1)^{m_1}(x_2-a_2)^{m_2})\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}(2r)^{m}. \end{equation*} \notag$

Лемма 2.3 доказана.

Важно отметить, что из условия (1.11) не следует возможности автоматически уравнять коэффициенты $c_{m_1,m_2}(V_{\varphi}^{\delta}f,a)$ даже при $m=1$ . Тем не менее, сделать это удается, что приводит к требуемому приближению функции $f$ (см. лемму 3.2).

Утверждение II) теоремы 1.1 стандартно. Оно устанавливается в следующей лемме.

Лемма 2.4. Если $f\in H_L(X)$ , то имеет место условие (1.11), где $k=1$ и $\epsilon=A\omega_f$ .

Доказательство. Пусть

$f\,{\in}\, H_L(X)$ . Тогда для любого

$\varepsilon\,{>}\,0$ существует функция

$F$ такая, что в некоторой окрестности

$X$

$L F\,{=}\,0$ и

$|f(x)\,{-}\,F(x)|\,{<}\,\varepsilon$ . Уменьшив в случае необходимости

$\varepsilon$ и продолжив разность

$f-F$ по теореме Уитни [11; гл. 6, п. 2.2] до функции, непрерывной и финитной в

$\mathbb{R}^2$ , будем считать, что всюду в

$\mathbb{R}^2$ выполнена оценка

$|f(x)-F(x)|\leqslant \omega_f(r)$ .

Оценив с помощью леммы 2.1, d) функцию $V_{\varphi}^rf=E^r*(\varphi L f)$ , а также функцию $E^r*(\varphi L(f-F))$ , получим соответствующую оценку и для функции $V_{\varphi}^rF$ :

$\begin{equation} \|V_{\varphi}^rF\|_{\mathrm{L}^{\infty}(2B)}\leqslant A\omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2. \end{equation} \tag{2.7}$

Так как $L(V_{\varphi}^rF)=\varphi L F$ и $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset B$ , то в силу леммы 2.1, a) имеем $\operatorname{Spt}(L(V_{\varphi}^rF))\subset(B\setminus X)$ . В силу (2.7) и определения емкости (1.5) имеем

$\begin{equation} |\langle L F\,|\,\varphi\rangle|=|\langle \varphi L F\,|\,1\rangle|\leqslant A\omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X), \end{equation} \tag{2.8}$

что в силу

$|f(x)-F(x)|<\varepsilon$ и произвольности

$\varepsilon$ приводит к такой же оценке и для

$|\langle Lf\,|\,\varphi\rangle|$ , т. е. левой части (1.11). Лемма 2.4 доказана.

Теорема 1.2 вытекает из теоремы 1.1 и следующего утверждения.

Лемма 2.5. Пусть $X\subset\mathbb{R}^2$ – компакт.

Если существует постоянная $A>0$ такая, что для любого круга $B$ имеет место оценка $\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X^\circ)\leqslant A\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X)$ , то для любых соответствующих функций $f\in h_L(X)$ и $\varphi$ выполнена оценка (1.11) с $k=1$ .

Если имеет место равенство $H_L(X)= h_L(X)$ , то для любого ограниченного открытого множества $U$ и круга $B$ радиуса $r$ из (1.4) такого, что $U\subset(1/2)B$ , выполнено равенство $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)=\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X)$ .

Доказательство. 1) В силу (2.5) для любых соответствующих функций

$f$ и

$\varphi$ имеем (1.11):

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, |\langle Lf\,|\,\varphi\rangle| &\leqslant A_1\omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^2\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X^\circ) \\ &\leqslant A_2 \omega_f(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^2\operatorname{Cap}_L^{2B}(B\setminus X). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

2) Очевидно, можем считать, что $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)>0$ (иначе $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X)=0$ ). В силу (1.4), (1.5) для любого $\varepsilon>0$ существует функция $g\in h_L(X)$ , допустимая для $U\setminus X^\circ$ , такая, что $c_0(g)>\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)-\varepsilon$ .

Так как множество $U\setminus \operatorname{Spt}(Lg)$ открыто, существует функция $\varphi\in C^2_0(U)$ такая, что $\varphi\equiv1$ в некоторой окрестности компакта $\operatorname{Spt}(Lg)$ , при этом в силу (1.7) имеем $g=E^r*(\varphi Lg)+\mathrm{const}$ , где $E^r$ из (2.1).

Если $H_L(X)= h_L(X)$ , то существует функция $G$ такая, что в некоторой окрестности $X$ выполнено условие $LG=0$ , и, применив теорему Уитни [11; гл. 6, п. 2.2], можем считать, что всюду в $\mathbb{R}^2$ выполнена оценка $|g(x)-G(x)|\leqslant \varepsilon$ .

Рассмотрим функцию $G_r=E^r*(\varphi LG)$ . Ясно, что $LG_r=\varphi LG$ , и, в частности, $\operatorname{Spt}(LG_r)\subset (U\setminus X)$ . В силу (1.6) и леммы 2.1 соответственно имеем:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, |c_0(g)-c_0(G_r)|=|\langle L(g-G)|\varphi\rangle|\leqslant A\varepsilon\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2, \\ \|g-G_r\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B)}=\|E^r*(\varphi L(g-G))\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B)}\leqslant A\varepsilon\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^2. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

В силу произвольности $\varepsilon$ отсюда следует, что $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)\leqslant\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X)$ .

Таким образом, $\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X^\circ)=\operatorname{Cap}_L^B(U\setminus X)$ . Лемма 2.5 доказана.

Начинаем доказательство части I) теоремы 1.1, которое завершится в § 5. Сначала дадим элементарные переформулировки условия (1.11) и его следствий.

Всюду под квадратами будем понимать замкнутые квадраты с ребрами, параллельными осям координат. Для квадрата $Q=Q(a,s)$ с центром $a\in\mathbb{R}^2$ и ребром $s$ через $\lambda Q$ будем обозначать концентричный квадрат с ребром $\lambda s$ . Для покрытий будем использовать двоичные квадраты вида

$\begin{equation} Q=Q_{n_1,n_2}^p=[n_12^{-p},(n_1+1)2^{-p}]\times[n_22^{-p},(n_2+1)2^{-p}], \end{equation} \tag{2.9}$

где

$(p,n_1,n_2)\in\mathbb{Z}^3$ . Будем считать, что в покрытиях квадраты раздельные, т. е. попарно не имеют общих внутренних точек.

Для указанных покрытий будем рассматривать вариант разбиений единицы, введенных Р. Харви и Дж. Полкингом [15; лемма 3.1].

Лемма 2.6. Пусть $\{Q_j\}$ – конечное семейство раздельных двоичных квадратов с ребрами $s_j$ . Тогда существуют функции $\varphi_j\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^2)$ такие, что

$0\leqslant \varphi_j(x)\leqslant1$ при всех $x$ ;

$\operatorname{Spt}(\varphi_j)\subset((33/32)Q_j)$ ;

для всех $j$ и $m\leqslant3$ выполнены неравенства $\|\nabla^{m}\varphi_j\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant As_j^{-m}$ ;

$\sum_j\varphi_j(x)\equiv1$ на множестве $\bigcup_jQ_j$ .

По сравнению с леммой 3.1 из [15], здесь в условии 2) постоянная $3/2$ уменьшена до $33/32$ , для этого, очевидно, достаточно каждый квадрат $Q_j$ разложить на $256$ двоичных квадратов одного размера и применить к ним лемму с $3/2$ . Уменьшение геометрических постоянных полезно для упрощения сложных конструкций с двоичными квадратами.

Если $\{Q_j\}$ – конечное семейство раздельных двоичных квадратов, то семейство функций $\{\varphi_j\}$ из леммы 2.6 будем называть стандартным разбиением единицы. Локализацию $V_{\varphi}^{s}(\,{\cdot}\,)$ вида (2.2) будем называть стандартной локализацией, если носитель $\varphi$ содержится в квадрате $(33/32)Q(a,s)$ , и для $\varphi$ имеют место те же оценки производных относительно $s$ , что и для $\varphi_j$ из леммы 2.6.

Проведем и другие элементарные упрощения. Произвольно большая постоянная $k$ из (1.11) также создает неудобства в геометрических конструкциях, увеличивая кратность пересечений. С помощью подразбиения квадратов (в масштабе, зависящем от $k$ ) получим следующее утверждение, легко вытекающее из (1.11).

Лемма 2.7. Пусть имеет место оценка (1.11), $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат, функция $\varphi$ удовлетворяет условиям 2), 3) леммы 2.6 (где опущен индекс $j$ ), $B=B(a,2s)$ .

Тогда имеет место оценка

$\begin{equation} |\langle Lf|\varphi\rangle|\leqslant A\epsilon(s)\operatorname{Cap}_L^{B(a,2s)} \biggl(\frac{17}{16}Q^\circ\setminus X\biggr), \end{equation} \tag{2.10}$

где A=A(k).

Для краткости введем (и будем всюду ниже использовать) обозначение

$\begin{equation} \beta(Q)=\operatorname{Cap}_L^{B(a,2s)}\biggl(\frac{17}{16}Q^\circ\setminus X\biggr). \end{equation} \tag{2.11}$

Большой радиус круга $B(a,A_1r)$ , вне которого имеет место разложение (2.3), также вносит неудобства. Леммы 2.1 и 2.3 и суммирование геометрической прогрессии в (2.3) стандартно дают следующие оценки при $|x-a|\geqslant A_2r$ , где $A_2\geqslant2$ зависит от $A_1$ :

$\begin{equation} |V_{\varphi}^rf(x)|\leqslant A_3\epsilon(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^2\operatorname{Cap}_L^{2kB}(kB\setminus X)\log\frac{|x-a|}{r}, \end{equation} \tag{2.12}$

$\begin{equation} |V_{\varphi}^rf(x)-c_0(V_{\varphi}^rf)E^{r}(x-a)|\leqslant A_3\epsilon(r)\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}} r^3\frac{\mathrm{Cap}_L^{2kB}(kB\setminus X)}{|x-a|}. \end{equation} \tag{2.13}$

Применение оценок (2.12), (2.13) и лемм 2.1–2.3 и 2.7 к стандартным локализациям из леммы 2.6 функции $V_{\varphi}^rf$ в масштабе порядка $\max(k,A_1)^{-1}$ (где $A_1=A_1(L)$ из (2.3)), позволяет уменьшить круги, вне которых имеет место лорановское разложение. А именно, считаем, что для квадрата $Q$ и кругов $B_j$ с центрами на $(33/32)Q$ круги $A_2B_j$ и $2kB_j$ содержатся в $(17/16)Q^\circ$ . Это приводит к следующему утверждению, с которым удобнее работать, чем с (2.12), (2.13).

Лемма 2.8. Пусть для функции $f\in h_L(X)$ выполнено условие (1.11) с фиксированным $k\geqslant1$ , $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат, $\varphi\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^2)$ , $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset((33/32)Q)$ , причем имеют место оценки $\|\nabla^{m}\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant As^{-m}$ при $m\leqslant3$ , $V_{\varphi}^sf$ – стандартная локализация $f$ , $\beta(Q)$ из (2.11).

Тогда выполнены следующие оценки с $A=A(L,k)$ :

$\|V_{\varphi}^sf\|_{\mathrm{L}^{\infty}((9/8)Q)}\leqslant A\epsilon(s)$ , а при $x\notin((9/8)Q)$ соответственно

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, |V_{\varphi}^sf(x)|\leqslant A\epsilon(s)\beta(Q)\log\frac{3|x-a|}{s}, \\ |V_{\varphi}^sf(x)-c_0(V_{\varphi}^sf)E^{s}(x-a)|\leqslant A\epsilon(s)\beta(Q)\frac{s}{|x-a|}; \end{gathered} \end{equation*} \notag$

(ii)

$\begin{equation} |c_{m_1,m_2}(V_{\varphi}^sf,a)|\leqslant A \epsilon(s)\beta(Q)s^{m},\qquad 0\leqslant m\leqslant 3, \end{equation} \tag{2.14}$

причем старшие лорановские коэффициенты не зависят от центра разложения

$a$ ;

существует функция $g\in C(\mathbb{R}^2)$ такая, что $\operatorname{Spt}(Lg)\subset((17/16)Q^\circ\setminus X)$ , $c_0(V_{\varphi}^sf)\,{=}\,c_0(g)$ , и для $G\,{=}\,V_{\varphi}^sf\,{-}\,g$ имеют место оценки $\|G\|_{\mathrm{L}^{\infty}((9/8)Q)}\,{\leqslant}\, A\epsilon(s)$ и

$\begin{equation*} |G(x)|\leqslant A\epsilon(s)\beta(Q)\frac{s}{|x-a|},\quad\textit{где}\quad x\notin\biggl(\frac98Q\biggr). \end{equation*} \notag$

Не ограничивая общности, будем считать, что для функции $g$ из леммы 2.8, (iii) выполнено неравенство $\omega_g(t)<\epsilon(t)$ и, следовательно, для $|\langle Lg\,|\,\varphi\rangle|$ , так же, как для $|\langle Lf\,|\,\varphi\rangle|$ , имеет место оценка (2.10). Поэтому к стандартным локализациям функции

$\begin{equation} G=V_{\varphi}^sf-g=E*(\varphi Lf-Lg), \end{equation} \tag{2.15}$

так же как к

$V_{\varphi}^sf$ , применимы оценки леммы 2.8. В частности, с учетом асимптотики

$G$ , независимо от центра разложения при

$m=m_1+m_2=1$ имеем неравенства

$\begin{equation} |c_{m_1,m_2}(G)|\leqslant A \epsilon(s)\beta(Q)s. \end{equation} \tag{2.16}$

Используя следующие две леммы, оценку (2.16) можно улучшить за счет выбора подходящей функции $g$ , если $\beta(Q)\ll 1$ . Лемма 2.9 – аналог леммы 3 из [5; гл. 2, § 6]. Она имеет место несмотря на то, что емкость $\beta(\,{\cdot}\,)$ в общем случае немонотонна, т. е. возможна ситуация $Q'\subset Q$ , но $\beta(Q')\gg\beta(Q)$ , в частности,

$\begin{equation*} \frac{\beta(Q')}{\beta(Q)}>A\log\frac{s(Q)}{s(Q')}. \end{equation*} \notag$

Поэтому в лемме 2.9 квадраты разложения

$Q_j$ выбираются достаточно большими.

Лемма 2.9 также используется ниже (в § 6) при выводе теорем 1.3 и 1.4 из теоремы 1.1.

Лемма 2.9. Пусть $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат, $0<\beta(Q)<1/10$ , где $\beta(Q)$ из (2.11). Возьмем $\delta<s/4$ такое, что

$\begin{equation} \beta(Q)=\frac1{(\log(s/\delta_0))^2}, \qquad \frac{\delta}2\leqslant\delta_0<\delta, \quad \textit{где} \quad \delta=2^{-p_0}, \quad p_0\in\mathbb{Z}. \end{equation} \tag{2.17}$

Разложим $(33/32)Q$ на семейство $\{Q_j(a_j,\delta)\}$ двоичных квадратов (одного размера). Пусть $\beta=\beta(Q)$ и $\beta_j=\beta(Q_j)$ , тогда имеет место оценка

$\begin{equation} \sum_j\beta_j\leqslant A\beta. \end{equation} \tag{2.18}$

Доказательство. Пусть

$h_j$ – допустимые функции для

$\beta_j$ из определения (1.4), (1.5), такие, что

$c_0(h_j)\geqslant(1/2)\beta_j$ . Возьмем функции

$\begin{equation} h_j^*=E^{\delta}*(\varphi_jLh_j), \end{equation} \tag{2.19}$

где

$0\leqslant\varphi_j\leqslant1$ ,

$\varphi_j\equiv1$ на

$\operatorname{Spt}(Lh_j)$ ,

$\operatorname{Spt}(\varphi_j)\subset B(a_j,2\delta)$ и

$\|\nabla^2\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A_1\delta^{-2}$ .

Ясно, что $h_j^*=h_j+\mathrm{const}$ , $c_0(h_j^*)=c_0(h_j)$ , и в силу леммы 2.8, (i) имеем: $|h_j^*(x)|\leqslant A_1$ на $(9/8)Q_j$ и $|h_j^*(x)|\leqslant A_1\beta_j\log(3|x-a_j|/\delta)$ вне $(9/8)Q_j$ .

Следовательно, выполнена оценка

$\begin{equation} \biggl\|\sum_jh_j^*\biggr\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B(a,2s))}\leqslant A_2\biggl(1+\log\frac{s}{\delta}\sum_j\beta_j\biggr). \end{equation} \tag{2.20}$

В силу (2.20) и определения емкости $\beta$ имеем

$\begin{equation} \sum_j\beta_j\leqslant2c_0\biggl(\sum_jh_j^*\biggr)\leqslant 2\beta\biggl\|\sum_jh_j^*\biggr\|_{\mathrm{L}^{\infty}(B(a,2s))}\leqslant A_3 \beta\biggl(1+\log\frac{s}{\delta}\sum_j\beta_j\biggr). \end{equation} \tag{2.21}$

Случай 1. Если $\log(s/\delta)\sum_j\beta_j>1$ , то из (2.21) получим

$\begin{equation*} \sum_j\beta_j\leqslant2A_3\beta\log\frac{s}{\delta}\sum_j\beta_j, \end{equation*} \notag$

и, так как

$\sum_j\beta_j>0$ , то

$\begin{equation*} \frac1{\log(s/\delta)}\leqslant2A_3\beta. \end{equation*} \notag$

Отсюда в силу (2.17) получим

$\beta\geqslant(2A_3)^{-2}$ , и в силу выбора

$\delta$ число индексов

$j$ не превосходит

$A_4$ , причем

$\delta$ соизмеримо с

$s$ . Следовательно,

$\sum_j\beta_j\leqslant A\beta$ .

Случай 2. Если $\log(s/\delta)\sum_j\beta_j\leqslant1$ , то в силу (2.21) получим

$\begin{equation*} \sum_j\beta_j\leqslant2A_3\beta. \end{equation*} \notag$

Лемма 2.9 доказана.

Следующее утверждение легко вытекает из лемм 2.8, 2.9.

Лемма 2.10. Пусть $V_{\varphi}^sf$ – стандартная локализация функции $f$ из леммы 2.8, $\beta(Q)$ из (2.11), $\delta$ из (2.17).

Тогда существует функция $g\in C(\mathbb{R}^2)$ , $\operatorname{Spt}(Lg)\subset((17/16)Q^\circ\setminus X)$ , $c_0(V_{\varphi}^sf)=c_0(g)$ , такая, что для $G=V_{\varphi}^sf-g$ имеют место оценки

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \|G\|_{\mathrm{L}^{\infty}((9/8)Q)}\leqslant A\epsilon(s), \\ |c_{m_1,m_2}(G)|\leqslant A \epsilon(s)\beta(Q)\delta \quad\textit{при}\quad m_1+m_2=1, \\ |G(x)|\leqslant A\epsilon(s)\beta(Q)\frac{\delta}{|x-a|}\quad\textit{при}\quad x\notin\frac98Q. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Для доказательства леммы 2.10 функция $V_{\varphi}^sf$ разбивается на сумму стандартных локализаций $f_j$ , построенных по квадратам $\{Q_j(a_j,\delta)\}$ из леммы 2.9, для каждой функции $f_j$ строится функция $g_j=g$ из леммы 2.8, (iii) относительно $Q_j$ , уравнивающая у $f_j$ коэффициент $c_0$ , и применяются оценки (2.18) и (2.14) с $s=\delta$ , $\beta(Q)=\beta_j$ и $m=1$ .

Замечание. Будет удобно использовать оценки леммы 2.10 с заменой $\beta(Q)\delta$ на $(\beta(Q))^ns$ для подходящего $n\geqslant1$ с учетом очевидного неравенства, вытекающего из (2.17):

$\begin{equation*} \frac{\beta(Q)\delta}2\leqslant\beta(Q)\delta_0= s\beta(Q)\exp\biggl(-\frac1{\sqrt{\beta(Q)}}\biggr)\leqslant A(n) (\beta(Q))^ns. \end{equation*} \notag$

Далее (в § 4) зафиксируем

$n=3$ , этого будет достаточно (см. лемму 4.6).

Следующее утверждение будет играть важную роль в оценке и уравнивании коэффициентов $c_{m_1,m_2}$ локализаций при $m_1+m_2=1$ .

Лемма 2.11. Пусть $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат, $\{Q_j=Q_j(a_j,s_j)\}$ – конечное множество таких двоичных квадратов, что $Q_j\subset Q$ (квадраты $Q_j$ могут пересекаться); $\widetilde{Q}$ и $\widetilde{Q}_j$ – ортогональные проекции квадратов $Q$ и $Q_j$ на фиксированную координатную ось ( $x_1=0$ или $x_2=0$ ).

Квадратам $Q_j$ соответствуют коэффициенты $\Lambda_j=\Lambda(Q_j)\in[0,1]$ , причем для всех $x\in\widetilde{Q}$ имеет место неравенство

$\begin{equation} \sum_j\Lambda_j\chi(\widetilde{Q}_j)(x)\leqslant 1, \end{equation} \tag{2.22}$

где

$\chi(\,{\cdot}\,)$ – характеристическая функция.

Пусть $s=s(Q)$ , $s_j=s(Q_j)$ , тогда для $\beta=\beta(Q)$ из (2.11) и $\beta_j=\beta(Q_j)$ соответственно при $n\geqslant1$ имеет место оценка

$\begin{equation} \sum_j\Lambda_j(\beta_j)^ns_j\leqslant A(n) \beta^ns. \end{equation} \tag{2.23}$

В частности, если проекции

$\widetilde{Q}_j$ попарно раздельны, то

$\begin{equation} \sum_j(\beta_j)^ns_j\leqslant A(n) \beta^ns. \end{equation} \tag{2.24}$

Доказательство. Пусть, как и в лемме 2.9,

$h_j$ – допустимые функции для

$\beta_j$ из определения (1.4), (1.5) такие, что

$c_0(h_j)\geqslant(1/2)\beta_j$ . Ясно, что

$|h_j(x)|\leqslant 1$ на

$(9/8)Q_j$ , и в силу леммы 2.8, (i) имеем вне

$(9/8)Q_j$ следующую оценку:

$\begin{equation} |h_j(x)-c_0(h_j)E^{s_j}(x-a_j)|\leqslant A_1. \end{equation} \tag{2.25}$

Проведем следующую перенормировку, где $A_0$ из (1.3):

$\begin{equation} h_j^*=h_j-c_0(h_j)A_0\log\frac{s}{s_j}. \end{equation} \tag{2.26}$

Покажем, что при $n\geqslant0$ имеет место оценка

$\begin{equation} \biggl\|\sum_j\Lambda_js_j(h_j^*)^n\biggr\|_{{\mathrm{L}}^{\infty}(B(a,2s))}\leqslant A_2(n)s. \end{equation} \tag{2.27}$

Действительно, пусть $x\in B(a,2s)$ произвольно, и для $m\in\mathbb{Z}_+$ квадрат $Q_j$ содержится в круге $B(x,s/2^m)$ , но не содержится в $B(x,s/2^{m+1})$ . Тогда в силу (2.25), (2.26) выполнено неравенство $|h_j^*(x)|\leqslant A_3 m$ . Следовательно, в силу (2.22) сумма $\Lambda_js_j|(h_j^*(x))^n|$ по всем соответствующим $Q_j$ не превосходит $A_4m^ns/2^m$ , откуда суммированием по $m$ получается оценка (2.27).

Выведем из (2.27) требуемую оценку (2.23). В силу определения емкости $\beta$ имеем

$\begin{equation} \sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^n\leqslant2\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^{n-1}c_0(h_j^*) \leqslant 2\beta\biggl\|\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^{n-1}h_j^* \biggr\|_{{\mathrm{L}}^{\infty}(B(a,2s))}. \end{equation} \tag{2.28}$

При $n=1$ оценка (2.23) немедленно следует из (2.27), (2.28). При $n>1$ воспользуемся неравенством Гёльдера с показателями $n/(n-1)$ и $n$ . Получим для произвольного $x\in B(a,2s)$ в силу (2.27)

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\biggl|\sum_j(\Lambda_js_j)^{(n-1)/n}(\Lambda_js_j)^{1/n}(\beta_j)^{n-1}h_j^*(x)\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \biggl(\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^n\!\biggr)^{(n-1)/n} \biggl(\sum_j\Lambda_js_j|h_j^*(x)|^n\biggr)^{1/n} \nonumber \\ &\qquad\leqslant\biggl(\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^n\biggr)^{(n-1)/n}(A_2(n)s)^{1/n}. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.29}$

Оценки (2.28), (2.29) дают

$\begin{equation*} \biggl(\sum_j\Lambda_js_j(\beta_j)^n\biggr)^{1/n}\leqslant 2\beta(A_2(n)s)^{1/n}, \end{equation*} \notag$

что равносильно (2.23). Лемма 2.11 доказана.

§ 3. Основная лемма

Продолжим доказательство утверждения I) теоремы 1.1. Пусть $f\in h_L(X)$ – исходная функция, $\{\varphi_j\}$ – какое-либо стандартное разбиение единицы из леммы 2.6 на $\operatorname{Spt}(f)$ . Представим функцию $f$ в виде конечной суммы стандартных локализаций:

$\begin{equation} f=\sum_jf_j, \quad \text{где} \quad f_j=E*(\varphi_j L f). \end{equation} \tag{3.1}$

Следующее утверждение – частный случай (для оператора $L$ второго порядка в $\mathbb{R}^2$ ) теоремы 2 из [3] о приближении функции по частям, доказательство см. в [3; § 2]. То, что в [3] теорема 2 сформулирована для $\varepsilon=\omega_f$ , не меняет ее доказательства по существу.

Лемма 3.1. Возьмем произвольное $n_0\in\mathbb{N}$ . Пусть существует функция $\varepsilon\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ , $\varepsilon\to0$ при $r\to0$ , такая, что имеет место следующее. Для любого покрытия $\{Q_j\}$ множества $\operatorname{Spt}(f)$ конечным семейством двоичных квадратов с $s_j\leqslant 2^{-n_0}$ и любой стандартной локализации $f_j$ из (3.1) существует функция $F_j$ со следующими свойствами 1)–3):

$\operatorname{Spt}LF_j\subset (2Q_j\setminus X)$ ;

$\|r_j\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant \varepsilon(s_j)$ , где $r_j=f_j-F_j$ ;

$\lim_{x\to\infty}|x|r_j(x)=0$ (или, что то же самое, у функций $f_j$ и $F_j$ совпадают коэффициенты $c_0$ и $c_{1,0}$ и $c_{0,1}$ из (2.4)).

Тогда $f\in H_L(X)$ .

Так как коэффициент $c_0$ уравнивается в силу (1.11), лемма 3.1 сводит доказательство части I) теоремы 1.1 к следующему утверждению.

Лемма 3.2. В обозначениях леммы 2.8, (iii) и (2.15) существует функция $\Phi$ такая, что $\operatorname{Spt}(L\Phi)\subset(2Q^\circ\setminus X)$ , $\|\Phi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A\epsilon(s)$ , $\lim_{x\to\infty}\Phi(x)=0$ , $c_{1,0}(G)=c_{1,0}(\Phi)$ и $c_{0,1}(G)=c_{0,1}(\Phi)$ .

Сделаем ряд полезных переформулировок. Далее лорановский коэффициент $c_{1,0}$ для краткости будем обозначать через $c_1$ , а $c_{0,1}$ – через $c_2$ . В силу асимптотики функций $G$ и $\Phi$ указанные коэффициенты не зависят от центра разложения.

При необходимости изменив масштаб, без ограничения общности будем считать, что $Q=[1/4,1/2]^2=Q((3/8,3/8),1/4)$ и $\|G\|_{\mathrm{L}^{\infty}}=1$ для $G$ из (2.15), при этом указанные квадрат и функцию обозначим через $\mathbf{Q}$ и $\mathbf{G}$ . С учетом этого, лемма 3.2 сводится к следующему утверждению, в котором уточняется структура функции $\Phi$ .

Лемма 3.3 (основная). Существуют $4$ функции $\mathbf{g}_1$ , $\mathbf{g}_2$ , $\mathbf{h}_1$ и $\mathbf{h}_2$ из $C(\mathbb{R}^2)$ , исчезающие на бесконечности, $L$ -аналитические всюду вне $2\mathbf{Q}^\circ\setminus X$ и такие, что выполнены следующие неравенства:

$\sum_{m=1}^2(\|\mathbf{g}_m\|_{\mathrm{L}^{\infty}} +\|\mathbf{h}_m\|_{\mathrm{L}^{\infty}})\leqslant A$ ;

$\operatorname{Re}c_1(\mathbf{h}_1)\geqslant |c_1(\mathbf{G}-\mathbf{g}_1)|+|c_2(\mathbf{G}-\mathbf{g}_1)|$ , $\operatorname{Re}c_2(\mathbf{h}_2)\geqslant |c_1(\mathbf{G}-\mathbf{g}_2)|+|c_2(\mathbf{G}-\mathbf{g}_2)|$ ;

$\operatorname{Re}c_1(\mathbf{h}_1)\geqslant (9/8)|c_2(\mathbf{h}_1)|$ , $\operatorname{Re}c_2(\mathbf{h}_2)\geqslant (9/8)|c_1(\mathbf{h}_2)|$ .

Лемма 3.2 немедленно следует из леммы 3.3. Действительно, если выполнено неравенство

$\begin{equation} |c_1(\mathbf{G}-\mathbf{g}_1)|+|c_2(\mathbf{G}-\mathbf{g}_1)|\geqslant |c_1(\mathbf{G}-\mathbf{g}_2)|+|c_2(\mathbf{G}-\mathbf{g}_2)|, \end{equation} \tag{3.2}$

то нужная функция

$\Phi$ леммы 3.2 строится как

$\mathbf{g}_{2}+\lambda_1\mathbf{h}_1+\lambda_2\mathbf{h}_2$ , причем в силу условия 3) система двух линейных уравнений, из которой находятся

$\lambda_1$ и

$\lambda_2$ , хорошо обусловлена, поэтому

$\max(|\lambda_1|,|\lambda_2|)\leqslant A_1$ . В случае невыполнения неравенства (3.2), аналогично, возьмем

$\Phi=\mathbf{g}_{1}+\lambda_1\mathbf{h}_1+\lambda_2\mathbf{h}_2$ .

В доказательстве леммы 3.3 построим только пару функций $(\mathbf{g}_2,\mathbf{h}_2)$ , пара $(\mathbf{g}_1,\mathbf{h}_1)$ строится аналогично, с точностью до переобозначения осей координат.

Лемма 3.3 доказывается в § 4, § 5, до конца § 3 рассмотрим вспомогательные утверждения. Сначала уточним структуру функции $\mathbf{h}_2$ ( $\mathbf{g}_2$ получается из функций вида $g$ леммы 2.10 после подходящих разбиений единицы).

В [17; § 3] было введено понятие согласованной пары квадратов, нам понадобится некоторое его обобщение. Упорядоченную пару $(Q,Q')$ двоичных квадратов назовем согласованной парой, если выполнены следующие условия.

1) Длины сторон квадратов согласованной пары или равны (это пара I типа), или отличаются в два раза (это пара II типа).

2) Проекции квадратов согласованной пары на ось $x_1$ имеют общие точки, в том числе для пары II типа – общие внутренние точки.

3) Пусть $x(x_1,x_2)$ и $x'(x_1',x_2')$ – произвольные точки квадратов $Q$ и $Q'$ соответственно, тогда выполнены неравенства

$\begin{equation} a)\quad x_2'-x_2\geqslant\frac32|x_1'-x_1|,\qquad b)\quad 3s\leqslant x_2'-x_2<50s, \end{equation} \tag{3.3}$

где

$s$ – длина стороны не большего квадрата из пары.

Пусть $(Q,Q')$ – согласованная пара квадратов, $y=(y_1,y_2)$ и $y'=(y_1',y_2')$ – пара произвольных точек таких, что $y\in(17/16)Q$ и $y'\in(17/16)Q'$ , $s=s(Q)=s(Q')$ , тогда для функции

$\begin{equation} h_0(x)=E(x-y')-E(x-y), \end{equation} \tag{3.4}$

очевидно,

$c_0(h_0)=0$ ,

$c_1(h_0)=y_1'-y_1$ ,

$c_2(h_0)=y_2'-y_2$ , и в силу (3.3) “с запасом” выполнено то же неравенство в условии 3) леммы 3.3, что и для

$\mathbf{h}_2$ .

Считаем, что емкости $\beta=\beta(Q)$ и $\beta'=\beta(Q')$ в обозначениях (2.11) положительны, $h_Q(x)\in C(\mathbb{R}^2)$ – функция, такая, что $\operatorname{Spt}(Lh_Q)\subset((17/16)Q^\circ\setminus X)$ , $\|h_Q\|_{\mathrm{L}^{\infty}(2Q)}\leqslant A$ и $c_0(h_Q)=\beta$ . Функция $h_{Q'}$ определяется аналогично относительно квадрата $Q'$ .

Положительные числа $\lambda$ и $\lambda'$ выберем так, что

$\begin{equation} \lambda\beta=\lambda'\beta'. \end{equation} \tag{3.5}$

Рассмотрим функции вида

$\begin{equation} h_{\lambda}^{\beta}=\lambda'h_{Q'}-\lambda h_Q. \end{equation} \tag{3.6}$

В силу (3.5) имеем:

$c_0(h_{\lambda}^{\beta})=0$ и

$\max\bigl(|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|,\,|c_2(h_{\lambda}^{\beta})|\bigr)\leqslant A_1\lambda\beta s$ , причем указанные лорановские коэффициенты, как старшие, не зависят от центра разложения.

Условие 3) леммы 3.3 (то же, что и для $\mathbf{h}_2$ ) для произвольной функции $h_{\lambda}^{\beta}$ в общем случае не выполняется, но его нетрудно добиться с помощью подразбиения квадратов $(17/16)Q$ и $(17/16)Q'$ (аналогично тому, как это было сделано перед леммой 2.8). А именно, берутся квадраты с центрами $y\in(17/16)Q$ и $y'\in(17/16)Q'$ , для которых емкости $\beta$ и $\beta'$ соизмеримы с соответствующими емкостями для $Q$ и $Q'$ , а достаточно малый размер позволит в силу (2.14) при $m=1$ с любой степенью точности приблизить коэффициенты $c_1$ и $c_2$ функции $\lambda\beta h_0$ для $h_0$ из (3.4).

Тем самым, в дальнейшем будем считать, что выполнены следующие оценки ( $a$ – центр $Q$ ):

$\begin{equation} \operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})\geqslant \frac98|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|,\qquad 2\lambda\beta s<\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})\leqslant |c_2(h_{\lambda}^{\beta})|<100\lambda\beta s, \end{equation} \tag{3.7}$

$\begin{equation} |h_{\lambda}^{\beta}(x)|\leqslant A_2\lambda, \quad x\in\frac98Q,\qquad |h_{\lambda}^{\beta}(x)|\leqslant A_2\lambda', \quad x\in\frac98Q', \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} |h_{\lambda}^{\beta}(x)|\leqslant \frac{A_2\lambda\beta s}{|x-a|},\qquad x\notin\biggl(\frac98Q\cup\frac98Q'\biggr). \end{equation} \tag{3.8}$

Функцию $\mathbf{h}_2$ леммы 3.3 определим как конечную линейную комбинацию функций $h_{\lambda}^{\beta}$ с положительными коэффициентами. Тем самым, в силу (3.7) условие 3) леммы 3.3 будет выполняться автоматически.

Согласованные пары будут строиться в геометрической конструкции § 4. В заключение § 3 введем соответствующую терминологию.

Вертикальный ряд – это множество всех двоичных квадратов (2.9), таких, что $p$ и $n_1$ фиксированы. Два (различных) вертикальных ряда $\{Q^p_{n_1, n_2}\}$ и $\{Q^p_{n_1',n_2'}\}$ соседние, если $|n_1-n_1'|=1$ . Таким образом, квадраты согласованных пар I) типа расположены в одном вертикальном ряду или в соседних. Меньший из квадратов согласованной пары II) типа вложен в квадрат (с вдвое большей длиной стороны), расположенный в том же вертикальном ряду, что и больший квадрат той же пары.

Вертикальная тройка – множество из трех двоичных квадратов, расположенных подряд в одном вертикальном ряду, таких, что $n_2=3n,3n+1,3n+2$ , где $n\in\mathbb{N}$ . Если две вертикальные тройки расположены в одном вертикальном ряду или в соседних и не касаются друг друга, то для любых двух точек, принадлежащих разным вертикальным тройкам, выполнено неравенство (3.3), a), что позволяет автоматически получать согласованные пары.

Вертикальная $5\times3$ группа – множество из пяти вертикальных троек, расположенных подряд в одном вертикальном ряду, причем для квадратов центральной вертикальной тройки максимальное значение $\beta$ из (2.11) положительно и не меньше максимального $\beta$ для других вертикальных троек группы. Применение вертикальных $5\times3$ групп в конструкции позволит почти автоматически добиться выполнения условия 4) леммы 4.4 за счет фиксирования квадратов с локально малыми $\beta$ , расположенных “по краям”.

Вертикальная $10\times3$ группа получается из вертикальной $5\times3$ группы, когда ее каждый квадрат разбивается на четыре двоичных квадрата со стороной в два раза меньше.

§ 4. Конструкция

Начинаем доказательство леммы 3.3 для пары функций $(\mathbf{g}_2,\mathbf{h}_2)$ . Будем считать, что множество $(33/32)\mathbf{Q}\setminus X^\circ$ непусто, иначе $\mathbf{G}\equiv0$ , и доказывать нечего. При этом, очевидно, $(17/16)\mathbf{Q}^\circ\setminus X$ – непустое открытое множество.

4.1. Общее описание и цели конструкции

Смысл конструкции в следующем (см. лемму 4.4). Строится покрытие компакта $(17/16)\mathbf{Q}\setminus X^\circ$ конечным семейством двоичных квадратов $Q_j$ . Квадраты накапливаются к липшицевой кривой $\Gamma$ , а именно, выполняются неравенства $\operatorname{dist}(Q_j,\Gamma)\leqslant As(Q_j)$ (кривая $\Gamma$ сама конструируется в процессе построения). Кратность пересечений квадратов $(9/8)Q_j$ оценивается сверху постоянной $A$ . Величина $\sum_j(\beta(Q_j))^3s(Q_j)$ является мерой Карлесона относительно $\Gamma$ и допускает двустороннюю оценку через сумму $\operatorname{Re}c_2$ функций (3.6), или, что равносильно, через сумму $\lambda\beta s$ из (3.7).

Каждой вертикальной $5\times3$ группе соответствует суммарный (накапливающийся) коэффициент $\Lambda_{\Sigma}\geqslant0$ , который оценивает сверху лорановские коэффициенты локализаций в соответствии с леммой 2.11 и замечанием к лемме 2.10 (фактически суммы $(\beta(Q_j))^3s(Q_j)$ ), он будет увеличиваться на каждом шаге на величину, не превосходящую постоянной $A>0$ (она определяется количеством согласованных пар, которые группа может образовать). Условием локальной остановки будет: $\Lambda_{\Sigma}\geqslant1$ (и тем самым, всегда $0\leqslant\Lambda_{\Sigma}\leqslant A+1$ ).

Двоичные квадраты первого поколения имеют длину стороны, равную $1$ . На каждом шаге соответствующий квадрат поколения $n$ разбивается на четыре двоичных квадрата размера, в два раза меньшего, и получается $(n+1)$ -е поколение квадратов. При этом вертикальная $5\times3$ группа разбивается на две вертикальные $10\times3$ группы следующего поколения, которые наследуют коэффициент $\Lambda_{\Sigma}$ . Общее число шагов конструкции конечно и определяется $\epsilon(s_{\min})$ (см. (4.5)).

4.2. База индукции

В начале конструкции имеем одну вертикальную $5\times3$ группу с $-6\leqslant n_2\leqslant8$ и $n_1=0$ (так как $\mathbf{Q}=Q((3/8,3/8),1/4)$ , $(17/16)\mathbf{Q}$ покрывается одним квадратом с $n_2=0$ ). Положим для этой группы $\Lambda_{\Sigma}=0$ .

4.3. Индукционный переход

В общем случае, перед каждым шагом $n\in\mathbb{N}$ имеем множество (возможно, пустое) зафиксированных ранее двоичных квадратов поколений не выше $n$ и множество вертикальных $5\times3$ групп поколения $n$ , в каждой из которых не у всех квадратов $\beta=0$ , и с которыми будем работать. Для указанных групп выполнены следующие три условия.

1) В каждом вертикальном ряду расположено не более одной вертикальной $5\times3$ группы.

2) Если две вертикальные $5\times3$ группы расположены в соседних вертикальных рядах, то их центральные вертикальные тройки касаются.

3) Каждой вертикальной $5\times3$ группе соответствует свой коэффициент $\Lambda_{\Sigma}\in[0,1)$ .

На каждом $n$ -м шаге делаем следующее. Разбиваем каждую вертикальную $5\times3$ группу поколения $n$ на две вертикальные $10\times3$ группы поколения $n+1$ , исключаем из рассмотрения группы, у которой для всех квадратов $\beta=0$ и проводим следующие операции I)–IV).

I) В каждой вертикальной $10\times3$ группе поколения $n+1$ отметим вертикальную тройку квадратов, у которой максимум $\beta(Q_j)$ по всем своим квадратам $Q_j$ не меньше, чем у других вертикальных троек (если таких несколько, выбор делаем произвольно).

В каждом случае, когда отмеченная вертикальная тройка не имеет общих точек (хотя бы граничных) с центральной вертикальной тройкой исходной $5\times3$ группы поколения $n$ , переходим к п. II) (до исчерпания всех таких случаев), иначе сразу переходим к п. III).

II) Пусть $D^1$ – отмеченная вертикальная тройка, $D^0$ – центральная вертикальная тройка исходной $5\times3$ группы поколения $n$ , $Q^0$ и $Q^1$ – квадраты троек $D^0$ и $D^1$ соответственно с максимальными значениями $\beta$ . Так как $Q^0$ – квадрат максимальной емкости $\beta$ в исходной $5\times3$ группе, то $\beta(Q^0)\geqslant(1/4)\beta(Q^1)$ , причем $Q^0$ и $Q^1$ образуют согласованную пару II) типа. В обозначениях (3.5), (3.6) $Q'$ – тот из квадратов $Q^0$ или $Q^1$ , который расположен выше по оси $x_2$ , а $Q$ соответственно ниже. Построим по согласованной паре функцию $h_{\lambda}^{\beta}$ вида (3.6), в которой в соответствии с равенством (3.5) положим

$\begin{equation} \lambda(Q^1)=(\beta(Q^1))^2,\qquad \lambda(Q^0)=\frac{(\beta(Q^1))^3}{\beta(Q^0)}. \end{equation} \tag{4.1}$

В силу максимальности $\beta(Q^1)$ в $10\times3$ группе и (3.7) имеет место двусторонняя оценка с $A>1$ :

$\begin{equation} A^{-1}\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})\leqslant\sum_j(\beta(Q_j))^3s(Q_j)\leqslant A\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta}), \end{equation} \tag{4.2}$

где сумма берется по всем квадратам вертикальной

$10\times3$ группы. Так как сумма модулей коэффициентов

$c_1$ и

$c_2$ по всей

$10\times3$ группе в силу (4.2) оценена, все ее квадраты фиксируются и исключаются из рассмотрения до окончания конструкции.

Зададим коэффициент $\Lambda=\Lambda(Q^0)$ так, чтобы выполнялось следующее равенство:

$\begin{equation} \Lambda(Q^0)(\beta(Q^0))^3=\lambda(Q^0)\beta(Q^0). \end{equation} \tag{4.3}$

Замечание. Смысл равенства (4.3): $\Lambda$ – это та часть $(\beta(Q^0))^3s(Q^0)$ , которая в силу (4.1) оценивается функцией $h_{\lambda}^{\beta}$ ; в силу максимальности $\beta(Q)$ аналогично (сверху) оцениваются все такие же выражения для квадратов $5\times3$ группы.

В силу (4.1) и того, что $\beta(Q^0)$ по порядку величины не меньше $\beta(Q^1)$ , имеем

$\begin{equation} \Lambda(Q^0)=\frac{(\beta(Q^1))^3}{(\beta(Q^0))^3}\leqslant A_1. \end{equation} \tag{4.4}$

Каждый раз при построении функции $h_{\lambda}^{\beta}$ к коэффициенту $\Lambda_{\Sigma}$ , соответствующему исходной $5\times3$ группе поколения $n$ , добавляем величину $\Lambda=\Lambda(Q^0)$ из (4.3).

В заключение п. II) каждую вертикальную $5\times3$ группу поколения $n$ исключим из рассмотрения до окончания конструкции, а ее коэффициент $\Lambda_{\Sigma}$ , полученный в результате добавлений всех $\Lambda$ , перенесем на незафиксированные $10\times3$ группы поколения $n+1$ , полученные из нее.

III) Теперь имеем дело только с незафиксированными вертикальными $10\times3$ группами поколения $n+1$ , причем в каждом вертикальном ряду расположено не более одной группы. Рассмотрим произвольную такую группу и ее соответствующую $5\times3$ группу, в которой отмеченная в п. I) вертикальная тройка квадратов центральная. Далее коэффициент $\Lambda_{\Sigma}$ будем относить к $5\times3$ группе.

Пронумеруем вертикальные тройки $10\times3$ группы числами $1,2,\dots,9,10$ по возрастанию $x_2$ . Так как случай п. II) не имеет место, номер отмеченной вертикальной тройки не меньше $4$ и не больше $7$ . Это означает, что в вертикальной $10\times3$ группе хотя бы одна вертикальная тройка расположена выше ее $5\times3$ группы и хотя бы одна – ниже. Такие тройки фиксируются и исключаются из рассмотрения в соответствии с процедурой, аналогичной п. II).

А именно, пусть $Q^0$ – квадрат центральной вертикальной тройки с максимальным значением $\beta$ , $Q^1$ – квадрат с максимальным значением $\beta$ из вертикальной тройки, расположенной выше или ниже $5\times3$ группы (достаточно рассмотреть случай $\beta(Q^1)>0$ , противоположный случай тривиален). В силу построения имеем $\beta(Q^0)\geqslant\beta(Q^1)$ . Построим по $Q^0$ и $Q^1$ согласованную пару I) типа, выбрав коэффициенты в соответствии с (4.1), при этом имеет место оценка (4.2) при суммировании по всем квадратам фиксируемой вертикальной тройки, $\Lambda=\Lambda(Q^0)$ выбирается в соответствии с (4.3) и прибавляется к $\Lambda_{\Sigma}$ . По завершению таких процедур для всех (незафиксированных) вертикальных $5\times3$ групп переходим к п. IV).

IV) Теперь имеем дело только с вертикальными $5\times3$ группами поколения $n\,{+}\,1$ , причем в каждом вертикальном ряду расположено не более одной группы.

Будем рассматривать пары вертикальных $5\times3$ групп, расположенных в соседних вертикальных рядах, таких, что их центральные вертикальные тройки не касаются друг друга. Пусть $Q^0$ и $Q^1$ – квадраты указанных троек с максимальными значениями $\beta$ . Переобозначив в случае необходимости, будем считать, что $\beta(Q^0)\geqslant\beta(Q^1)$ . Зафиксируем и исключим из рассмотрения вертикальную $5\times3$ группу, соответствующую $Q^1$ (в случае равенства фиксируем обе группы). Квадраты $Q^0$ и $Q^1$ образуют согласованную пару I) типа. Построим функцию $h_{\lambda}^{\beta}$ точно так же, как это делалось в п. II) и III) (в тех же обозначениях (4.1)–(4.4)), при этом имеет место оценка (4.2), где суммирование проводится по всем квадратам зафиксированной $5\times3$ группы.

Если $5\times3$ группа, соответствующая $Q^0$ , не фиксируется, добавим к ее коэффициенту $\Lambda_{\Sigma}$ величину $\Lambda$ в соответствии с (4.3). Продолжим процедуру до исчерпания указанных пар $5\times3$ групп. В заключение фиксируем (и исключаем из рассмотрения) те вертикальные $5\times3$ группы, которым соответствует $\Lambda_{\Sigma}\geqslant1$ , и переходим к следующему $(n+1)$ -у шагу.

Конструкция завершается, если выполнено хотя бы одно из двух следующих условий.

1) Зафиксированы все квадраты, с которыми работали на последнем шаге.

2) Выполнено неравенство

$\begin{equation} \epsilon(s_{\mathrm{min}})<\sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta}), \end{equation} \tag{4.5}$

где в левой части

$s_{\mathrm{min}}$ – длина стороны квадратов последнего поколения, в правой части рассматривается сумма по всем построенным функциям

$h_{\lambda}^{\beta}$ . Правая часть (4.5), очевидно, не убывает при возрастании номера шага

$n$ и (так как

$(17/16)\mathbf{Q}^\circ\setminus X$ – непустое открытое множество, в котором заведомо есть согласованные пары с

$\beta>0$ ) положительна, начиная с некоторого

$n$ . Тем самым, конструкция конечна. По ее окончании все квадраты последнего поколения фиксируются.

Непосредственный результат конструкции – леммы 4.1 и 4.2.

Лемма 4.1. По окончании конструкции выполнено следующее.

Имеет место двусторонняя оценка вида (4.2) с $A>1$ :

$\begin{equation} A^{-1}\sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta}) \leqslant\sum_j(\beta(Q_j))^3s(Q_j)\leqslant A\operatorname{Re}\sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}c_2(h_{\lambda}^{\beta}), \end{equation} \tag{4.6}$

где рассматриваются сумма по всем построенным функциям

$h_{\lambda}^{\beta}$ и сумма по всем квадратам

$Q_j(a_j,s_j)$ конструкции, зафиксированным при непосредственной оценке в п. II)– IV) или в силу условия

$\Lambda_{\Sigma}\geqslant1$ , а также оценка

$\begin{equation} \epsilon(s_{\mathrm{min}})\sum_j(\beta(Q_j))^3s_{\mathrm{min}}\leqslant A\operatorname{Re} \sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}c_2(h_{\lambda}^{\beta}), \end{equation} \tag{4.7}$

где в левой части берется сумма по квадратам, зафиксированным в силу (4.5).

Пусть $Q(a,s)$ – двоичный квадрат. Тогда сумма $(\beta(Q_j))^3s(Q_j)$ по всем зафиксированным квадратам, содержащимся в $Q$ , и сумма $|c_2(h_{\lambda}^{\beta})|+|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|$ по всем построенным функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ , для которых хотя бы один квадрат согласованной пары содержится в $Q$ , не превосходят $A_1s$ .

Доказательство. Оценка (4.7) следует из (4.5), оценка (4.6) по всем квадратам, зафиксированным в п. II)–IV) конструкции непосредственно, следует из (4.2). Оценка

$\begin{equation*} \sum_j(\beta(Q_j))^3s(Q_j)\leqslant A_2\sum_p(\beta(Q_p))^3s(Q_p), \end{equation*} \notag$

где в левой части рассматривается сумма по всем квадратам, зафиксированным в силу условия

$\Lambda_{\Sigma}\geqslant1$ , а в правой части – по всем квадратам, зафиксированным непосредственно, следует из замечания к (4.3) и леммы 2.11 при

$n=3$ , что доказывает 1).

Для квадратов последнего поколения оценка 2) очевидна, поэтому рассмотрим все остальные квадраты. Из леммы 2.11 при $n=3$ , замечания к (4.3), (3.7) и того, что $\Lambda_{\Sigma}\leqslant A_3$ , следует, что указанные суммы в 2) не превосходят $A_4(\beta(Q^2))^3s(Q^2)$ для квадрата $Q^2$ , содержащего все соответствующие согласованные пары. Так как квадраты согласованных пар расположены близко друг к другу, $Q^2$ можно взять соизмеримым с $Q$ , что доказывает 2).

Лемма 4.1 доказана.

Лемма 4.2. Возьмем $n\in\mathbb{N}$ и рассмотрим множества всех вертикальных $5\times3$ и $10\times3$ групп поколений не выше $n$ (не обязательно зафиксированных), полученных в процессе построения. Имеет место следующее.

Каждая вертикальная $10\times3$ группа поколения выше первого вложена в соответствующую вертикальную $10\times3$ группу предыдущего поколения. Из двух различных вертикальных $10\times3$ групп либо одна вложена в другую, либо их проекции на ось $x_1$ не имеют общих внутренних точек. Все сказанное о вертикальных $10\times3$ группах имеет место и для вертикальных $5\times3$ групп.

Пусть вертикальная $10\times3$ группа $T$ вложена в вертикальную $10\times3$ группу $T_1$ , $Q$ и $Q_1$ – квадраты соответственно $T$ и $T_1$ , $a$ – центр $Q$ . Тогда выполнено неравенство $\operatorname{dist}(Q_1,a)<As(Q_1)$ .

В процессе построения квадраты каждой вертикальной $10\times3$ группы с максимальным и минимальным значениями $n_2$ из (2.9) (т. е. самый верхний и самый нижний) в любом случае фиксируются.

Пусть $Q_1$ и $Q_2$ – двоичные квадраты, каждый из которых либо был зафиксирован (допускается случай $\beta=0$ ), либо принадлежит к поколению $n$ . Пусть $Q_1$ и $Q_2$ касаются, а одна из их проекций на прямую $x_1$ вложена в другую, тогда $1/2\leqslant s(Q_1)/s(Q_2)\leqslant2$ .

Рассмотрим множество вертикальных $10\times3$ групп, которые либо были зафиксированы, либо принадлежат к поколению $n$ . Пусть $Q'$ и $Q''$ – какие-либо выбранные квадраты различных $10\times3$ групп $T'$ и $T''$ с центрами соответственно $(x_1',x_2')$ и $(x_1'',x_2'')$ . Тогда выполнено неравенство

$\begin{equation} |x_2'-x_2''|\leqslant A |x_1'-x_1''|. \end{equation} \tag{4.8}$

Доказательство. Утверждение a1) легко проверяется по индукции, a2) очевидно. Утверждение a3) следует из п. II) и III) конструкции, a4) следует из a3) и того, что при переходе к следующему поколению размеры квадратов уменьшаются в два раза.

Утверждение a5) является следствием п. IV) конструкции и условия 2) индукционного перехода (если две вертикальные $5\times3$ группы расположены в соседних вертикальных рядах, то их центральные вертикальные тройки касаются).

Действительно, обозначим через $l_0$ номер поколения $10\times3$ группы $T'$ ; не ограничивая общности, считаем, что $l_0$ не больше, чем номер поколения $T''$ . Рассмотрим вложенные цепочки вертикальных $10\times3$ групп $\{T'(l)\}$ и $\{T(l)\}$ , приводящие от первого поколения к соответственно $T'$ и $T$ , где $T$ – вертикальная $10\times3$ группа поколения $l_0$ , содержащая $T''$ ( $l=1,\dots,l_0$ – номер поколения).

Так как в силу a1) проекции $T'$ и $T''$ на ось $x_1$ не имеют общих внутренних точек, существует максимальный номер $l_1\leqslant l_0$ такой, что $T'(l_1)$ и $T(l_1)$ находятся в соседних вертикальных рядах. Тогда возможны только два случая:

1) $T'(l_1)$ и $T(l_1)$ получены из одной вертикальной $5\times3$ группы предыдущего поколения;

2) $T'(l_1-1)$ и $T(l_1-1)$ получены из вертикальных $5\times3$ групп, расположенных в соседних вертикальных рядах, причем их центральные вертикальные тройки касаются.

Ясно, что в каждом из указанных случаев для произвольных квадратов $T'(l_1)$ и $T(l_1)$ выполнена оценка (4.8).

Так как номер $l_1$ максимален, то либо $T'=T'(l_1)$ , либо $10\times3$ группы $T'(l_1+1)$ и $T(l_1+1)$ (вложенные соответственно в $T'(l_1)$ и $T(l_1)$ и содержащие центры указанных квадратов) уже не находятся в соседних вертикальных рядах, откуда следует (4.8) в общем случае. Утверждение a5) доказано.

Лемма 4.2 доказана.

Заметим, что она обобщает лемму 2.1 из [17].

По завершении конструкции возьмем в каждой зафиксированной вертикальной $10\times3$ группе центр произвольно выбранного квадрата. В силу (4.8) и теоремы Уитни о продолжении [11; гл. 6, § 2, теорема 3], существует липшицев граф $\Gamma$ , с уравнением $x_2=\Psi(x_1)$ , проходящий через указанные центры квадратов, такой, что

$\begin{equation} \|\Psi'\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A_1. \end{equation} \tag{4.9}$

При этом в силу a2) для любого зафиксированного квадрата $Q$ выполнено неравенство

$\begin{equation} \operatorname{dist}(Q,\Gamma)\leqslant A_2s(Q). \end{equation} \tag{4.10}$

Заметим, что геометрические постоянные $A_1$ из (4.9) и $A_2$ из (4.10) – абсолютные.

Напомним, что целью конструкции является лемма 4.4, в которой осталось добиться выполнения условия 4), все остальное следует из лемм 4.1 и 4.2. Дополнительное построение, использующее конструкцию Х. Уитни (см., например, [11; гл. 6, § 1]), позволяет получить требуемое условие 4) и не испортить остальные оценки.

Напомним конструкцию Х. Уитни. Пусть $W$ – компакт в $\mathbb{R}^2$ . Тогда существует разложение дополнения к $W$ на счетное семейство раздельных двоичных квадратов $Q_j$ со следующими двумя свойствами:

1) $\sqrt{2}\,s(Q_j)\leqslant \operatorname{dist}(Q_j,W)\leqslant 4\sqrt{2}\,s(Q_j)$ ;

2) если два квадрата семейства $\{Q_j\}$ имеют общую граничную точку, то отношение длин их сторон не превосходит $4$ .

Напомним, что в каждой вертикальной $10\times3$ группе $30$ квадратов. Следующее утверждение – простой вариант леммы 2.11 для квадратов Уитни.

Лемма 4.3. Пусть $Q=Q(a,s)$ – двоичный квадрат с $\beta=\beta(Q)>0$ , $\Omega$ – конечное множество двоичных квадратов, меньших $Q$ и касающихся $Q$ так, что проекции квадратов из $\Omega$ на ось $x_1$ не имеют общих внутренних точек с проекцией $Q$ на $x_1$ , и для квадратов из $\Omega$ выполнено неравенство (4.10) относительно липшицевой кривой $\Gamma:y=\Psi(x)$ , удовлетворяющей условию (4.9).

Пусть $W$ – множество центров всех квадратов из $\Omega$ , $\{Q_j=Q_j(a_j,s_j)\}$ – множество всех квадратов Уитни для $W$ , содержащихся в $Q$ , $\beta_j=\beta(Q_j)$ . Тогда для указанных квадратов $Q_j$ имеет место оценка (2.24).

Доказательство. Обозначим через

$\mathcal{Q}^m$ множество всех квадратов

$Q_j$ таких, что

$s(Q)/s(Q_j)=2^m$ . В силу свойства 1) квадратов Уитни, число квадратов в произвольном множестве

$\mathcal{Q}^m$ не превосходит абсолютной постоянной

$A_3$ , зависящей от

$A_1$ из (4.9) и

$A_2$ из (4.10). Отсюда легко вывести, что

$\begin{equation*} \sum_{\{j\mid Q_j\in\mathcal{Q}^m\}}(\beta_j)^n\leqslant A_4m^n\beta^n. \end{equation*} \notag$

Окончательно, при суммировании по всем квадратам Уитни имеем оценку (2.24)

$\begin{equation*} \sum_j(\beta_j)^ns_j\leqslant A_4\beta^ns\sum_{m=1}^{\infty}\frac{m^n}{2^m}\leqslant A(n)\beta^ns. \end{equation*} \notag$

Лемма 4.3 доказана.

Теперь применим лемму 4.3, а именно, разложим зафиксированные квадраты конструкции на соответствующие квадраты Уитни, если они касаются значительно меньших квадратов конструкции. Полученное покрытие компакта $(17/16)\mathbf{Q}\setminus X^\circ$ – требуемое, назовем его $\mathbf{Cover}$ .

С учетом условия a4) леммы 4.2 и свойства 2) квадратов Уитни, для множества квадратов $\{Q_j\}$ из $\mathbf{Cover}$ имеет место оценка $\bigl\|\sum_j\chi((9/8)Q_j)\bigr\|_{\mathrm L^{\infty}}\leqslant A_3$ . В силу леммы 4.3 оценки 1) и 2) леммы 4.1 сохраняются (возможно, с несколько большими постоянными).

В итоге (в силу лемм 4.1 и 4.2, (4.9) и (4.10)) имеет место следующее утверждение.

Лемма 4.4. Существуют $\mathbf{Cover}$ – конечное семейство раздельных двоичных квадратов, покрывающее компакт $(17/16)\mathbf{Q}\setminus X^\circ$ , $\mathbf{Pair}$ – конечный набор согласованных пар двоичных квадратов $(Q,Q')$ и соответствующий ему набор $\mathbf{H(Pair)}$ функций $h_{\lambda}^{\beta}$ вида (3.6) такие, что имеет место следующее.

Длины сторон всех указанных квадратов не превосходят $1$ , при этом существует липшицев граф $\Gamma$ , заданный уравнением $x_2=\Psi(x_1)$ , такой, что $\|\Psi'\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A$ , и имеет место следующее. Пусть $Q$ – квадрат покрытия $\mathbf{Cover}$ или квадрат, входящий в какую-либо согласованную пару из $\mathbf{Pair}$ , тогда $\operatorname{dist}(Q,\Gamma)\leqslant A_1s(Q)$ . При этом квадрат $Q$ , входящий в согласованную пару из $\mathbf{Pair}$ , не является собственной частью квадрата покрытия $\mathbf{Cover}$ (возможно, совпадает).

2) Имеет место неравенство

$\begin{equation*} \sum_j\epsilon(s_j)(\beta(Q_j))^3s(Q_j)\leqslant A_1\operatorname{Re} \sum_{\{h_{\lambda}^{\beta}\}}c_2(h_{\lambda}^{\beta}), \end{equation*} \notag$

где в левой части записана сумма по всем квадратам

$Q_j$ покрытия

$\mathbf{Cover}$ , а в правой части – сумма по всем функциям

$h_{\lambda}^{\beta}$ из

$\mathbf{H(Pair)}$ .

Пусть $Q(a,s)$ – двоичный квадрат. Тогда сумма $(\beta_j)^3s_j$ по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$ , содержащимся в $Q$ , и сумма $|c_2(h_{\lambda}^{\beta})|+|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|$ по всем функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ из $\mathbf{H(Pair)}$ , для которых хотя бы один квадрат согласованной пары содержится в $Q$ , не превосходят $A_2s$ .

При суммировании по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$ имеет место оценка $\bigl\|\sum_j\chi((9/8)Q_j)\bigr\|_{\mathrm L^{\infty}}\leqslant A_3$ .

В случае квадратов согласованных пар $Q_j$ получение аналога условия 4) леммы 4.4 для $\sum_j\lambda(Q_j)\chi((9/8)Q_j)$ при сохранении условия 2) приводит к весьма сложной конструкции (для сравнения см. [9; § 4]). Будет удобнее отказаться от аналога 4) и применить лемму 5.4, (b), опирающуюся на следующие две леммы. Напомним (см. (4.3)), что $\lambda(Q_j)=(\beta(Q_j))^2\Lambda(Q_j)$ , и в силу условия $1<\Lambda_{\Sigma}\leqslant A$ имеет место неравенство, аналогичное (2.22) в обозначениях леммы 2.11:

$\begin{equation} \sum_j\Lambda(Q_j)\chi(\widetilde{Q}_j)(x)\leqslant A. \end{equation} \tag{4.11}$

Лемма 4.5. Пусть $\Gamma$ – липшицев граф из условия 1) леммы 4.4, $\{Q_j\}$ – конечное множество двоичных квадратов, пересекающих $\Gamma$ , для которых выполнено неравенство (4.11). Тогда:

для $C\geqslant1$ при интегрировании по $\Gamma$ функции $F=\sum_j\Lambda(Q_j)\chi(CQ_j)$ имеет место оценка

$\begin{equation} \int_{\Gamma}(F(x))^2\, dl_x\leqslant A_1C\sum_j\Lambda(Q_j)s(Q_j); \end{equation} \tag{4.12}$

для $M\geqslant1$ множество $\{x|F(x)\geqslant M\}$ в $\mathbb{R}^2$ покрывается таким конечным семейством кругов $B_m$ с центрами на $\Gamma$ , что

$\begin{equation} \sum_mr(B_m)\leqslant A_2C\frac{\sum_j\Lambda(Q_j)s(Q_j)}{M^2}. \end{equation} \tag{4.13}$

Доказательство. Из (4.11) следует, что для всех квадратов

$Q_p$ , содержащихся в некотором квадрате

$Q$ , имеет место оценка

$\begin{equation*} \int_{\Gamma}\sum_p\Lambda(Q_p)\chi(CQ_p)(x)\, dl_x\leqslant A_3Cs(Q). \end{equation*} \notag$

Поэтому для любого квадрата $Q_j$ и всех квадратов $Q_p$ таких, что $s(Q_p)\leqslant s(Q_j)$ , выполнена оценка

$\begin{equation*} \int_{\Gamma}\Lambda(Q_j)\chi(CQ_j)(x)\sum_p\Lambda(Q_p)\chi(CQ_p)(x)\, dl_x\leqslant A_4C\Lambda(Q_j)s(Q_j), \end{equation*} \notag$

откуда суммированием по

$j$ получается (4.12).

Оценка (4.13) – стандартное следствие (4.12), оценки слабого типа в $\mathrm{L}^2$ и расположения квадратов $Q_j$ . Лемма 4.5 доказана.

В силу (4.13) и того, что для любого квадрата $Q$ из $\mathbf{Pair}$ выполнено неравенство $\operatorname{dist}(Q,\Gamma)\leqslant A_1s(Q)$ , имеет место следующее утверждение.

Следствие 4.1. Пусть $\{Q_j\}(n)$ – некоторое подмножество квадратов из $\mathbf{Pair}$ , для которых при $n{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}\mathbb{N}$ выполнено неравенство $\lambda(Q_j)/\Lambda(Q_j){\kern1pt}{\in}{\kern1pt}(2^{-n},2^{-n+1}]$ .

Тогда для любого $M{\kern0.7pt}{\geqslant}{\kern1pt}2^{-n}$ множество $\bigl\{x\bigm|\!\sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j) \chi((5/4)Q_j)(x){\kern1pt}{\geqslant}{\kern0.8pt}M\bigr\}$ в $\mathbb{R}^2$ покрывается конечным семейством кругов $B_m$ с центрами на $\Gamma$ таким, что

$\begin{equation} \sum_mr(B_m)\leqslant A_5\frac{\sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j)s(Q_j)}{2^{n}M^2}. \end{equation} \tag{4.14}$

Лемма 4.6. Пусть $\{Q_j\}(n)$ – множество квадратов $Q_j$ из следствия леммы 4.5, $\{D_p\}$ – конечное множество раздельных двоичных квадратов, $\nu$ – неотрицательная функция из $\in\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^2)$ такая, что $\operatorname{Spt}(\nu)\subset\bigl(\bigcup_pD_p\bigr)$ , и выполнено следующее условие (a):

для любого двоичного квадрата $D$ , содержащего хотя бы один из квадратов $D_p$ , имеет место неравенство $\int_{D}\nu(x)\, dm_x\leqslant 4s(D)$ .

Пусть

$\begin{equation*} F_n=\sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j)\chi\biggl(\frac98Q_j\biggr), \end{equation*} \notag$

и выполнены следующие условия:

1) имеет место неравенство

$\begin{equation} \sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j)\beta(Q_j)s(Q_j)\leqslant \|\nu\|_{\mathrm{L}^1}; \end{equation} \tag{4.15}$

если квадраты $Q_j$ и $3D_p$ имеют общие внутренние точки, то $s(Q_j)\geqslant s(D_p)$ .

Тогда имеет место оценка

$\begin{equation} \int F_n(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant \frac{A}{2^{n/4}} \|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{4.16}$

Доказательство. Так как в силу (4.3) имеем

$\lambda(Q_j)/\Lambda(Q_j)=(\beta(Q_j))^2$ , из определения

$\{Q_j\}(n)$ и неравенства (4.15) следует, что

$\beta(Q_j)\leqslant2^{-n/2}$ и

$\begin{equation} \sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j)s(Q_j)\leqslant 2^{n/2}\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{4.17}$

Удобно несколько увеличить функции $\chi((9/8)Q_j)$ . Для каждого квадрата $Q_j$ возьмем функцию $\varphi_j$ такую, что $\operatorname{Spt}(\varphi_j)\subset(5/4)Q_j$ , $\varphi_j(x)\equiv1$ на $(9/8)Q_j$ , $0\leqslant \varphi_j(x)\leqslant1$ и $|\nabla\varphi_j(x)|\leqslant A_1/s(Q_j)$ при всех $x$ . Пусть

$\begin{equation*} \widetilde{F}_n=\sum_{\{Q_j\}(n)}\lambda(Q_j)\varphi_j. \end{equation*} \notag$

Так как для любого $x$ выполнено неравенство $\sum_{\{Q_j\}(n)}\Lambda(Q_j)\chi(Q_j)(x)\leqslant A_2$ (имеет место более сильное утверждение (4.11) – для проекций квадратов на ось $x_1$ ), из условия 2) леммы 4.6 и $\lambda(Q_j)/\Lambda(Q_j)\in(2^{-n},2^{-n+1}]$ следует, что колебание функции $\widetilde{F}_n$ на произвольном квадрате $D_p$ не превосходит $A_32^{-n}$ .

Достаточно установить оценку (4.16) с заменой $F_n$ на $\widetilde{F}_n$ . Разобьем множество квадратов $D_p$ на непересекающиеся классы $K_0,K_1,K_2,\dots$ так, что на всех квадратах из $K_0$ для некоторого $A_4>1$ выполнено неравенство $\widetilde{F}_n\leqslant A_42^{-n/4}$ , а на всех квадратах из $K_t$ при $t\geqslant1$ соответственно $2^{(t-n)/4}\leqslant\widetilde{F}_n\leqslant A_42^{(t-n)/4}$ . Очевидно,

$\begin{equation*} \sum_{\{p\mid D_p\in K_0\}}\int_{D_p} \widetilde{F}_n(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant \frac{A_4}{2^{n/4}} \|\nu\|_{\mathrm{L}^1}, \end{equation*} \notag$

а в силу (4.14), (4.17) и условия (a) леммы 4.6 имеем:

$\begin{equation*} \sum_{t=1}^{\infty}\sum_{\{p\mid D_p\in K_t\}}\int_{D_p} \widetilde{F}_n(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant A_5\sum_{t=1}^{\infty}\frac{2^{(t-n)/4}2^{n/2}\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}}{2^n2^{(t-n)/2}}\leqslant \frac{A_6}{2^{n/4}} \|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation*} \notag$

Лемма 4.6 доказана.

Заметим, что лемма 4.6 будет использоваться в лемме 5.4, а ее условие (a) будет следствием леммы 5.3.

§ 5. Завершение доказательства теоремы 1.1

Напомним, что для завершения доказательства теоремы 1.1 остается установить лемму 3.3. Лемма 3.3 выводится из леммы 4.4 методами теории сингулярных интегралов с помощью леммы 5.1 – частного случая известной теоремы об отделимости выпуклых множеств в конечномерном пространстве.

Лемма 5.1. Пусть $\mathbf{D}\subset\mathbb{R}^2$ – компакт; $\psi_1,\psi_2,\dots,\psi_p$ – конечное множество неотрицательных функций из $C(\mathbf{D})$ ; $b>0$ – постоянная.

Если для любой неотрицательной функции $\nu\in\mathrm{L}^1(\mathbf{D},dm)$ найдется номер $n=n(\nu)$ такой, что

$\begin{equation} \int_{\mathbf{D}}\psi_n(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant b \int_{\mathbf{D}}\nu(x)\,dm_x, \end{equation} \tag{5.1}$

то для некоторой выпуклой комбинации

$\psi=\sum_{n=1}^p\lambda_n\psi_n$ (т. е.

$\lambda_n\geqslant0$ и

$\sum_{n=1}^p\lambda_n=1$ ) выполнена оценка

$\max_{x\in \mathbf{D}}\psi(x)\leqslant b$ .

Обозначим сумму $\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})$ по всем функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ из $\mathbf{H(Pair)}$ через $\mathbf{C_2(H)}$ . Напомним, что в силу (3.7) величина $\mathbf{C_2(H)}$ соизмерима с суммой $\lambda\beta s$ по всем квадратам согласованных пар. Лемма 5.1 сводит лемму 3.3 к следующему утверждению (очевидно, достаточно добиться выполнения оценки 1) леммы 3.3 на $\mathbf{D}=[0,1]^2$ ).

Лемма 5.2. Пусть $\mathbf{D}=[0,1]^2=Q(1/2,1)$ , $\nu\in\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^2)$ – произвольная неотрицательная функция такая, что $\operatorname{Spt}(\nu)\subset\mathbf{D}$ . Тогда существуют покрытие $\mathbf{Cover(\nu)}$ и множество согласованных пар $\mathbf{Pair}(\nu)$ такие, что имеет место следующее.

Покрытие $\mathbf{Cover}(\nu)$ получено из $\mathbf{Cover}$ после того, как некоторые квадраты $\mathbf{Cover}$ увеличены по включению, т. е. заменены на содержащие их двоичные квадраты, при этом каждый квадрат $\mathbf{Cover}(\nu)$ содержится в $\mathbf{D}$ ; множество согласованных пар $\mathbf{Pair}(\nu)$ получено из $\mathbf{Pair}$ после исключения некоторых согласованных пар.

Для $\mathbf{Cover}(\nu)$ , $\mathbf{Pair}(\nu)$ и соответствующего множества $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ функций $h_{\lambda}^{\beta}$ сохраняются оценки 2), 3) леммы 4.4 (аналогичных объектов без $\nu$ ) с тем же липшицевым графом $\Gamma$ и несколько увеличенными постоянными.

3) В обозначениях леммы 3.3 имеет место оценка

$\begin{equation} \int_{\mathbf{D}}\bigl(|\mathbf{G}(x)-\mathbf{g}_{2,\nu}(x)|+|\mathbf{h}_{2,\nu}(x)|\bigr)\nu(x)\, dm_x \leqslant A\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}, \end{equation} \tag{5.2}$

где

$\mathbf{h}_{2,\nu}$ – сумма всех функций

$h_{\lambda}^{\beta}$ по

$\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ ,

$\mathbf{g}_{2,\nu}$ – сумма всех функций

$g$ из лемм 2.9, 2.10, соответствующих квадратам покрытия

$\mathbf{Cover}(\nu)$ .

Действительно, применим лемму 5.1 к конечному множеству функций

$\begin{equation*} \psi_n=\psi(\nu)=|\mathbf{g}_{2,\nu}|+|\mathbf{h}_{2,\nu}| \end{equation*} \notag$

(конечность очевидна из условия 1) леммы 5.2). Получим, что для

$\mathbf{g}_{2}$ и

$\mathbf{h}_{2}$ – подходящих выпуклых комбинаций соответственно

$\mathbf{g}_{2,\nu}$ и

$\mathbf{h}_{2,\nu}$ имеет место утверждение 1) леммы 3.3. При этом утверждения 2) и 3) леммы 3.3 для выпуклых комбинаций сохраняются.

Доказательство леммы 5.2. Оценка (5.2) линейна относительно функции

$\nu$ , поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что

$\begin{equation} \|\nu\|_{\mathrm{L}^1}= A_0\mathbf{C_2(H)}<1, \end{equation} \tag{5.3}$

где достаточно малая постоянная

$A_0>0$ будет определена ниже, сразу же после леммы 5.3. Преобразования, указанные в условии 1) леммы 5.2, проводятся с помощью двоичного разложения Кальдерона–Зигмунда, а именно, следующим образом.

В силу (5.3) имеем $\int_\mathbf{D}\nu(x)\, dm_x<s(\mathbf{D})$ . На каждом шаге делаем следующее. Рассмотрим произвольный двоичный квадрат $D$ , полученный на предыдущем шаге, длина стороны которого больше, чем у минимальных квадратов покрытия $\mathbf{Cover}$ . Если $\int_D\nu(x)\, dm_x\geqslant s(D)$ , то фиксируем $D$ и назовем плохим, в противном случае делим $D$ на четыре двоичных квадрата одного размера. Если длина стороны этих квадратов такая же, как у минимальных квадратов покрытия $\mathbf{Cover}$ , фиксируем их и назовем хорошими.

После конечного числа шагов двоичное разложение завершается, и результатом является следующая стандартная лемма.

Лемма 5.3. Существует разложение квадрата $\mathbf{D}$ на конечное семейство раздельных двоичных квадратов (так называемых хороших и плохих квадратов, $D^g$ и $D^b$ соответственно) со следующими свойствами.

Для каждого квадрата $D$ выполнено неравенство $s(D)\geqslant\min_js(Q_j)$ , где $Q_j$ – квадраты покрытия $\mathbf{Cover}$ .

2) Выполнены неравенства

$\begin{equation*} s(D^b)\leqslant\int_{D^b}\nu(x)\, dm_x<4s(D^b). \end{equation*} \notag$

Пусть $D'$ – произвольный двоичный квадрат, содержащий хотя бы один квадрат разложения. Тогда

$\begin{equation*} \int_{D'}\nu(x)\, dm_x<4s(D'). \end{equation*} \notag$

Пусть $D'$ – двоичный квадрат, содержащий хотя бы один плохой квадрат. Тогда

$\begin{equation*} \sum_{\{D^b\subset D'\}}s(D^b)\leqslant\int_{D'}\nu(x)\, dm_x<4s(D'). \end{equation*} \notag$

При этом

$\begin{equation} \sum_{\{D^b\}}s(D^b)<\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{5.4}$

Доказательство. Свойства 1) и 2) очевидны из построения. Если бы свойство 3) не выполнялось, то в силу построения двоичный квадрат, содержащий

$D'$ и не совпадающий с ним, был бы ранее зафиксирован как плохой. Свойство 4) следует из 2) и 3):

$\begin{equation*} \sum_{\{D^b\subset D'\}}s(D^b)\leqslant\sum_{\{D^b\subset D'\}}\int_{D^b}\nu(x)\, dm_x \leqslant\int_{D'}\nu(x)\, dm_x<4s(D'), \end{equation*} \notag$

а оценка (5.4) – из 2).

Лемма 5.3 доказана.

Теперь построим требуемые $\mathbf{Cover}(\nu)$ и $\mathbf{Pair}(\nu)$ . Для каждого квадрата $D^b$ из леммы 5.3 рассмотрим его “оболочку” – множество, состоящее из девяти двоичных квадратов того же размера, составляющих $3D^b$ .

Каждый квадрат $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$ , который является собственной частью квадрата $D$ , принадлежащего оболочке некоторого $D^b$ , заменим на $D$ , затем в полученном семействе удалим все квадраты, не являющиеся максимальными по включению. В результате получим покрытие $\mathbf{Cover}(\nu)$ . Аналогично, если в согласованной паре $(Q,Q')$ хотя бы один из двух квадратов является собственной частью квадрата $D$ , принадлежащего оболочке некоторого $D^b$ , исключим из рассмотрения эту пару и соответствующую ей функцию $h_{\lambda}^{\beta}$ . Оставшиеся семейства согласованных пар и функций $h_{\lambda}^{\beta}$ – это $\mathbf{Pair}(\nu)$ и $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ .

Утверждение 1) леммы 5.2 очевидно в силу построения. Из (5.4) и утверждения 3) леммы 4.4 следует, что для всех достаточно малых $A_0>0$ в (5.3) величина $\mathbf{C_2(H)}$ при переходе к $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ уменьшается не более, чем в два раза, а сумма $\epsilon(s_j)(\beta(Q_j))^3s(Q_j)$ по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}$ увеличивается не более, чем в два раза. При этом утверждение 2) леммы 5.2 является следствием утверждения 2) леммы 4.4 и утверждения 4) леммы 5.3. Таким образом, для завершения доказательства леммы 3.3 осталось установить оценку (5.2) с учетом (5.3).

В силу построения имеет место следующее свойство A), которое будет играть ключевую роль в доказательстве оценки (5.2).

Свойство A). Пусть квадрат $Q_0$ принадлежит покрытию $\mathbf{Cover}(\nu)$ или согласованной паре из $\mathbf{Pair}(\nu)$ , $D^b$ – плохой квадрат из леммы 5.3. Если $Q_0$ и $3D^b$ имеют общие внутренние точки, то $s(Q_0)\geqslant s(D^b)$ .

Вернемся к формулировке леммы 4.6. Условие (а) леммы 4.6 для функции $\nu$ следует из утверждения 3) леммы 5.3, условие 1) леммы 4.6 для всех квадратов $Q_j$ согласованных пар следует из (3.7) и (5.3) с точностью до постоянного множителя $A_0>0$ , условие 2) леммы 4.6 следует из свойства A). Имеет место следующее утверждение.

Лемма 5.4. При суммировании по всем квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$ и по всем квадратам $Q_j$ и $Q_j'$ согласованных пар из $\mathbf{Pair}(\nu)$ имеют место следующие оценки:

(a)

$\begin{equation*} \int\sum_j\chi\biggl(\frac98Q_j\biggr)(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant A\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}; \end{equation*} \notag$

(b)

$\begin{equation*} \int\sum_j\biggl(\lambda_j\chi\biggl(\frac98Q_j\biggr)(x) +\lambda_j'\chi\biggl(\frac98Q_j'\biggr)(x)\biggr)\nu(x)\, dm_x\leqslant A\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Оценка (a) для квадратов

$Q_j$ , которые не изменялись при переходе от

$\mathbf{Cover}$ к

$\mathbf{Cover}(\nu)$ , следует из леммы 4.4, 4). При суммировании по всем остальным квадратам покрытия

$\mathbf{Cover}(\nu)$ в силу (5.3) и (5.4) имеем

$\begin{equation*} \sum_js(Q_j)\leqslant A_1\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}, \end{equation*} \notag$

причем в силу свойства A) и утверждения 3) леммы 5.3 выполнены неравенства

$\begin{equation*} \int\chi\biggl(\frac98Q_j\biggr)(x)\nu(x)\, dm_x\leqslant A_1s(Q_j), \end{equation*} \notag$

что доказывает (a).

Оценка (b) следует из леммы 4.6 суммированием (4.16) по всем $n$ (в случае $\lambda(Q_j)/\Lambda(Q_j)\geqslant1/2$ доказательство только упрощается). Лемма 5.4 доказана.

Продолжим доказательство оценки (5.2). Рассмотрим структуру функций из левой части (5.2). С помощью покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)=\{Q_j(a_j,s_j)\}$ и соответствующего ему разбиения единицы из леммы 2.6 при $\tau=1/32$ представим функцию $\mathbf{G}$ в виде суммы стандартных локализаций $\mathbf{G}_j$ из леммы 2.8. Пусть $R_j$ – соответствующие $\mathbf{G}_j$ функции $G$ из леммы 2.10, тогда $\mathbf{g}_{2,\nu}=\sum_j(\mathbf{G}_j-R_j)$ .

Из лемм 2.8 и 2.10 (с учетом замечания к ней) вытекают следующие оценки:

$\begin{equation} \biggl|R_j(x)-c_{1}(R_j)\, \frac{\partial E(x-a_j)}{\partial{x_1}}-c_{2}(R_j)\,\frac{\partial E(x-a_j)}{\partial{x_2}}\biggr|\leqslant A_1\epsilon(s_j) \frac{(\beta_j)^3(s_j)^{2}}{|x-a_j|^{2}}, \end{equation} \tag{5.5}$

где

$x\notin(9/8)Q_j$ , и

$\begin{equation} |c_{1}(R_j)|+|c_{2}(R_j)|\leqslant A_1\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j. \end{equation} \tag{5.6}$

Функция $\mathbf{h}_{2,\nu}$ – сумма всех функций $h_{\lambda}^{\beta}$ по $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ , которые в силу (3.8) оцениваются аналогично, при этом $\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j$ заменяется на $\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})$ (или, в силу (3.5) и (3.7), на сравнимую величину: $\lambda\beta s$ или $\lambda'\beta' s'$ для любого квадрата согласованной пары $(Q,Q')$ ).

В силу леммы 5.4 в доказательстве оценки (5.2) заменим $R_j$ на $R_j(1-\chi((9/8)Q_j))$ и аналогично – каждую функцию $h_{\lambda}^{\beta}$ на $h_{\lambda}^{\beta}(1-\chi((9/8)Q))(1-\chi((9/8)Q'))$ . Полученные функции обозначим как $R^0_j$ и $h_{\lambda}^{0,\beta}$ . Тем самым оценка (5.2) сводится к следующей:

$\begin{equation} \int_{\mathbf{D}}\biggl(\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}R^0_j(x)\biggr| +\biggl|\sum_{\{\mathbf{H(Pair)}(\nu)\}}h_{\lambda}^{0,\beta}(x)\biggr|\biggr)\nu(x)\, dm_x \leqslant A\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{5.7}$

Оценка (5.7) является следствием:

а) оценок (5.5) и (5.6) и аналогичных оценок функций $h_{\lambda}^{\beta}$ , где $\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j$ заменяется на $\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})$ с оценкой из (3.7);

b) $\mathrm{L}^2$ -ограниченности сингулярных интегралов на $\Gamma$ с ядрами $\partial E/\partial x_1$ и $\partial E/\partial x_2$ , которые являются функциями нечетными, однородными степени $-1$ и вещественно аналитическими при $x\ne0$ (конкретный вид ядер см., например, в [2; § 2]);

c) лемм 4.4 и 5.2, в силу которых сумма $(\beta_j)^3s_j$ по квадратам $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$ и сумма $|c_2(h_{\lambda}^{\beta})|+|c_1(h_{\lambda}^{\beta})|$ по функциям $h_{\lambda}^{\beta}$ из $\mathbf{H(Pair)}(\nu)$ являются мерами Карлесона относительно $\Gamma$ ;

d) утверждения 3) леммы 5.3 и свойства A), которые являются условиями регулярности меры $\nu$ .

Для произвольного квадрата $D\,{\in}\,\{D^g\}\,{\cup}\,\{D^b\}$ из леммы 5.3 возьмем функции

$\begin{equation*} \widetilde{\nu}(x)=\frac{1}{m(D)}\int_D\nu(y)\, dm_y \end{equation*} \notag$

$\nu_b=\nu-\widetilde{\nu}$ . Ясно, что

$\begin{equation} \int_D\nu_b(x)\, dm_x=0, \end{equation} \tag{5.8}$

и для функции

$\widetilde{\nu}$ имеет место оценка 3) леммы 5.3 в случае любого квадрата

$D'$ (не обязательно содержащего квадрат разложения).

Оценка (5.7) естественно сводится к двум следующим оценкам:

$\begin{equation} \biggl|\int_{\mathbf{D}}\biggl(\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}R^0_j(x)\biggr| +\biggl|\sum_{\{\mathbf{H(Pair)}(\nu)\}} h_{\lambda}^{0,\beta}(x)\biggr|\biggr)\nu_b(x)\, dm_x \biggr|\leqslant A_1\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}; \end{equation} \tag{5.9}$

$\begin{equation} \int_{\mathbf{D}}\biggl(\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}R^0_j(x)\biggr| +\biggl|\sum_{\{\mathbf{H(Pair)}(\nu)\}} h_{\lambda}^{0,\beta}(x)\biggr|\biggr)\widetilde{\nu}(x)\, dm_x \leqslant A_1\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{5.10}$

Сначала установим следующую оценку:

$\begin{equation} \Biggl|\int_{\mathbf{D}}\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}R^0_j(x)\biggr|\nu_b(x)\, dm_x\Biggr|\leqslant A_2\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{5.11}$

Пусть $\mathbf{Cover}(\nu)=\{Q_j(a_j,s_j)\}$ и $\{D_p(a_p',s_p')\}$ – множество квадратов из леммы 5.3. В силу (5.8) и элементарных свойств модуля оценка (5.11) вытекает из следующей:

$\begin{equation} \sum_p\sum_j \int_{D_p}|R^0_j(x)-R^0_j(a_p')||\nu_b(x)|\, dm_x \leqslant A_3\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{5.12}$

Зафиксируем $p$ и рассмотрим каждый квадрат $Q_j$ такой, что $(9/8)Q_j\cap D_p\,{=}\,\varnothing$ . В силу (5.5) и (5.6) выполнены оценки

$\begin{equation*} \int_{D_p}|R^0_j(x)-R^0_j(a_p')||\nu_b(x)|\, dm_x\leqslant A_4\frac{\epsilon(s_j)(\beta_j)^3(s_j)^{2}}{|a_j-a_p'|^2}s_p'\int_{D_p} \nu(x)\, dm_x. \end{equation*} \notag$

В силу условия 3) леммы 4.4 и условия 2) леммы 5.2 имеем

$\begin{equation*} \sum_j\frac{\epsilon(s_j)(\beta_j)^3(s_j)^{2}}{|a_j-a_p'|^2}\leqslant A\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^ms_p'}{(2^ms_p')^2} =A(s_p')^{-1}, \end{equation*} \notag$

и, следовательно, имеем оценку (5.12) при суммировании по всем парам квадратов

$(Q_j,D_p)$ таким, что

$(9/8)Q_j\cap D_p=\varnothing$ .

В силу очевидной оценки $|R^0_j(x)|\leqslant A\epsilon(s_j)(\beta_j)^3$ , утверждения 3) леммы 5.3 и свойства A), для всех $D_p$ таких, что $(9/8)Q_j\cap D_p\ne\varnothing$ , имеем

$\begin{equation*} \sum_p\int_{D_p}|R^0_j(x)-R^0_j(a_p')||\nu_b(x)|\, dm_x \leqslant A\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j, \end{equation*} \notag$

откуда при суммировании по всем

$j$ в силу утверждения 2) леммы 4.4 и (5.3) получим оценку (5.12) и для всех пар квадратов

$(Q_j,D_p)$ таких, что

$(9/8)Q_j\cap D_p\ne\varnothing$ .

Оценка второго слагаемого в (5.9), содержащего модуль суммы функций $h_{\lambda}^{0,\beta}$ , проводится аналогично первому, с очевидными изменениями, а именно, $\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j$ заменяется на $\operatorname{Re}c_2(h_{\lambda}^{\beta})$ . Таким образом, для завершения доказательства леммы 3.3 осталось установить оценку (5.10).

В силу липшицевости $\Gamma$ (см. условие 1) леммы 4.4) в пространстве $\mathrm{L}^2=\mathrm{L}^2(d\sigma)$ для функции $\psi\in\mathrm{L}^2$ при $m=1,2$ выполнены оценки

$\begin{equation} \biggl\|\frac{\partial E}{\partial x_m}*\psi\biggr\|_{\mathrm{L}^2}\leqslant A\|\psi\|_{\mathrm{L}^2}, \end{equation} \tag{5.13}$

где

$\sigma(\,{\cdot}\,)$ – поверхностная мера на

$\Gamma$ , свертка понимается как сингулярный интеграл в смысле главного значения.

Так как для функции $\widetilde{\nu}$ имеет место оценка 3) леммы 5.3 в случае произвольного квадрата $D'$ , то (см., например, [18; ч. 3, леммы 2.5, 2.6]) выполнены неравенства

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^2}\biggl|\frac{\partial E}{\partial x_m}*\psi(x)\biggr|^2 \widetilde{\nu}(x)\, dm_x\leqslant A_1 \int_{\Gamma}\biggl|\frac{\partial E}{\partial x_m}*\psi(x)\biggr|^2\, d\sigma_x\leqslant A_2\int_{\Gamma}|\psi(x)|^2\, d\sigma_x. \end{equation} \tag{5.14}$

Рассмотрим произвольный квадрат $Q_j$ покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$ и соответствующую функцию $R_j^0$ . Несколько изменив обозначения, через $\widetilde{Q}_j$ обозначим проекцию $Q_j$ на $\Gamma$ в направлении оси $x_2$ . Возьмем

$\begin{equation} \widetilde{R}_j=\sum_{m=1}^2\biggl(\frac{\partial E}{\partial x_m}*\psi_{m,j}\biggr), \end{equation} \tag{5.15}$

где

$\psi_{m,j}=c_{m}(R_j)\chi(\widetilde{Q}_j)/\sigma(\widetilde{Q}_j)$ . Ясно, что

$\int_{\Gamma}\psi_{m,j}(x)\, d\sigma_x=c_{m}(R_j)$ , где

$m=1,2$ .

В силу неравенства Коши–Буняковского, (5.5), (5.6) и (5.14) имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{D}}|\widetilde{R}_j(x)-R_j^0(x)|\widetilde{\nu}(x)\, dm_x \\ &\qquad\leqslant A_1\frac{\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j}{\sigma(\widetilde{Q}_j)}\sqrt{s_j}\, \sqrt{\int_{\Gamma}|\chi(\widetilde{Q}_j)(x)|^2\, d\sigma_x}\leqslant A_2 \epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

и, таким образом, в левой части (5.10) мы можем заменить

$R_j^0$ на

$\widetilde{R}_j$ .

Аналогично (5.15), для каждой функции $h_{\lambda}^{0,\beta}$ возьмем функцию

$\begin{equation*} \widetilde{h}_{\lambda}^{\beta}=\sum_{m=1}^2\biggl(\frac{\partial E}{\partial x_m}*\phi_{m}\biggr), \end{equation*} \notag$

где

$\phi_{m}=c_{m}(h_{\lambda}^{\beta})\chi(\widetilde{Q})/\sigma(\widetilde{Q})$ ,

$\widetilde{Q}$ – проекция выбранного квадрата из двух квадратов согласованной пары. Напомним, что размеры квадратов согласованной пары различаются не более, чем в два раза, расстояния между ними и от квадратов до

$\Gamma$ не превосходят по порядку величины длины сторон (см. (3.3) и утверждение 1) леммы 4.4).

Повторяя те же аргументы, которые были применены для функций $\widetilde{R}_j$ , мы можем в левой части (5.10) заменить каждую функцию $h_{\lambda}^{0,\beta}$ на $\widetilde{h}_{\lambda}^{\beta}$ , и оценка (5.10) сводится к следующей:

$\begin{equation} \int_{\mathbf{D}}\biggl(\biggl|\sum_{\{\mathbf{Cover}(\nu)\}}\widetilde{R}_j(x)\biggr| +\biggl|\sum_{\{\mathbf{H(Pair)}(\nu)\}}\widetilde{h}_{\lambda}^{\beta}(x)\biggr|\biggr) \widetilde{\nu}(x)\, dm_x \leqslant A_1\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{5.16}$

В силу неравенства Коши–Буняковского, (5.6) и (5.14) имеем (суммирование проводится по всем квадратам покрытия $\mathbf{Cover}(\nu)$ ):

$\begin{equation*} \int_{\mathbf{D}}\biggl|\sum_j\widetilde{R}_j(x)\biggr|\widetilde{\nu}(x)\, dm_x \leqslant A_2\sqrt{\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}}\, \sqrt{\int_{\Gamma}\biggl(\sum_j\epsilon(s_j)(\beta_j)^3 \chi(\widetilde{Q}_j)(x)\biggr)^2\, d\sigma_x}. \end{equation*} \notag$

Чтобы установить оценку (5.16) для слагаемого, содержащего модуль суммы $\widetilde{R}_j$ , осталось показать, что

$\begin{equation} \int_{\Gamma}\biggl(\sum_j\epsilon(s_j)(\beta_j)^3 \chi(\widetilde{Q}_j)(x)\biggr)^2\, d\sigma_x\leqslant A_3 \|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{equation} \tag{5.17}$

Квадраты $Q_j$ двоичные, поэтому если внутренние части проекций $\widetilde{Q}_j$ и $\widetilde{Q_p}$ пересекаются, то одна из проекций содержится в другой. В силу утверждения 1) леммы 4.4 из $\widetilde{Q_p}\subset\widetilde{Q}_j$ следует $Q_p\subset AQ_j$ . Поэтому в силу утверждений 2) и 3) леммы 4.4, а также (5.3), левая часть (5.17) не превосходит

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &A_4\sum_j\epsilon(s_j)(\beta_j)^3\sum_{\{p\mid\widetilde{Q_p}\subset\widetilde{Q}_j\}} \int_{\widetilde{Q}_j}\epsilon(s_p)(\beta_p)^3 \chi(\widetilde{Q_p})(x)\, d\sigma_x \\ &\qquad\leqslant A_5\sum_j\epsilon(s_j)(\beta_j)^3s_j\leqslant A_3\|\nu\|_{\mathrm{L}^1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Оценка (5.16) для второго слагаемого, содержащего модуль суммы функций $\widetilde{h}_{\lambda}^{\beta}$ , проводится аналогично. Лемма 3.3 доказана. Доказательство теоремы 1.1 завершено.

§ 6. Доказательство теорем 1.3 и 1.4

Теоремы 1.3 и 1.4 вытекают из леммы 6.1, обобщающей теорему 3 из [14], и замечания к теореме 1.1 (в доказательстве утверждения I) теоремы 1.1 оценка (1.11) используется только для функций $\varphi$ таких, что $\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}_{\infty}}r^3\leqslant A$ ).

Пусть $B=B(0,1)$ – единичный круг, а функция $\varphi^0_1\in C^2(B)$ удовлетворяет следующим условиям:

1) $\varphi^0_1\in C(\mathbb{R}^2)$ и $\varphi^0_1\equiv0$ вне $B$ ;

2) $\nabla\varphi^0_1\in C(\overline{B})$ ;

3) $\nabla^2\varphi^0_1\in\mathrm{L}^1(B)$ .

Тогда (см., например, [19; гл. 1, § 2, п.3] или [7], доказательство леммы 1) интегрирование по частям дает для функции $f\in C^2(\mathbb{R}^2)$ следующую оценку:

$\begin{equation} |\langle Lf\,|\,\varphi^0_1\rangle|\leqslant A(\varphi^0_1) \|f\|_{\mathrm{L}^{\infty}(\overline{B(0,1)})}, \end{equation} \tag{6.1}$

причем распределение

$L(\varphi^0_1)$ представляет собой сумму функции из

$\mathrm{L}^1(B)\cap C(B)$ и конечной комплексной борелевской меры на

$\partial B$ . Следовательно, действие

$\langle Lf|\varphi^0_1\rangle$ корректно определено для любой функции

$f\in C(\mathbb{R}^2)$ .

Дополнительно считаем, что

$\begin{equation} \varphi^0_1(x)\geqslant0\quad\text{на}\quad B(0,1),\qquad\int \varphi^0_1(x)\, dm_x=1, \end{equation} \tag{6.2}$

при этом функции

$\varphi^a_{\delta}$ для

$\delta>0$ и

$a\in\mathbb{R}^2$ определяем в соответствии с (1.13), а именно,

$\varphi^a_{\delta}(x)=\delta^{-2}\varphi_1^0((x-a)/\delta)$ .

Теореме 1.3 соответствует частный случай $\varphi^0_1\in C^2_0(\mathbb{R}^2)$ , в теореме 1.4, напомним, $\varphi^0_1(x)=A(1-|x|^2)\chi(B(0,1))$ , а действия $\langle Lf|\varphi^a_{\delta}\rangle$ определяются по формуле (1.15) (см. [7; лемма 1]). Также напомним, что в [8; следствие 1.1] рассматривается другой частный случай: $\varphi^0_1(x)=A(1-|x|^2)^{3/2}\chi(B(0,1))$ .

Лемма 6.1. Пусть для исходной функции $f\in h_L(X)\cap C_0(\mathbb{R}^2)$ и произвольного круга $B(a,\delta)$ выполнены оценки

$\begin{equation} |\langle Lf\,|\,\varphi^a_{\delta}\rangle|\leqslant \epsilon_1({\delta}){\delta}^{-2}\operatorname{Cap}_L^{2k_1B}(k_1 B\setminus X). \end{equation} \tag{6.3}$

Тогда для произвольного круга $B$ радиуса $r$ и произвольной функции $\varphi\in C^3(\mathbb{R}^2)$ такой, что $\operatorname{Spt}(\varphi)\subset B$ , имеет место оценка

$\begin{equation} |\langle L f\,|\,\varphi\rangle|\leqslant \|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\epsilon(r)r^3\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X), \end{equation} \tag{6.4}$

где

$k$ зависит от

$k_1$ ,

$\epsilon$ зависит от

$k_1$ и

$\epsilon_1$ .

Доказательство. Следуя [12], построим некоторые вспомогательные функции. Рассмотрим для

$\varphi^0_{\delta}$ из (1.13) следующую свертку:

$\begin{equation} \varphi^0_{3,\delta}=\varphi^0_{\delta}*\varphi^0_{\delta}*\varphi^0_{\delta}. \end{equation} \tag{6.5}$

Ясно в силу (6.2), что

$\varphi^0_{3,\delta}(x)\geqslant0$ ,

$\operatorname{Spt}(\varphi^0_{3,\delta})\subset \overline{B(0,3\delta)}$ и

$\int \varphi^0_{3,\delta}(x)\, dm_x=1$ .

Пусть $\{Q_j(a_j,\delta)\}$ – множество двоичных квадратов с длиной стороны $\delta$ , объединение которых содержит круг $B$ ; нужное значение $\delta<r$ определим ниже, в (6.10), $\{\varphi_j\}$ – подчиненное $\{Q_j\}$ разбиение единицы из леммы 2.6. Используя функции $\varphi^0_{3,\delta}$ , получим новое разбиение единицы

$\begin{equation} \{\psi_{3,j}\}=\{\varphi^0_{3,\delta}*\varphi_j\}, \end{equation} \tag{6.6}$

при этом выполнены следующие свойства:

$\psi_{3,j}\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ ,

$\operatorname{Spt}(\psi_{3,j})\subset B(a_j,5\delta)$ и

$\|\nabla^3\psi_{3,j}\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A\delta^{-3}$ .

Для доказательства леммы 6.1 понадобится оценка (6.7), вытекающая из следующих двух лемм.

Лемма 6.2. Пусть $f\in C(\mathbb{R}^2)$ , $\Psi\in \mathrm{L}^1(\mathbb{R}^2)\cap C(\mathbb{R}^2)$ , тогда имеет место равенство

$\begin{equation*} \langle L f\,|\,\varphi^0_{\delta}*\Psi\rangle=\int\Psi(y)\, dm_y\langle Lf\,|\, \varphi^y_{\delta}\rangle. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Для функции

$f\in C^2(\mathbb{R}^2)$ в силу теоремы Фубини выполнена цепочка равенств

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\langle L f\,|\,\varphi^0_{\delta}*\Psi\rangle=\iint L_x f(x+y)\varphi^0_{\delta}(x)\Psi(y)\, dm_x\, dm_y \\ &\qquad=\int\Psi(y)\, dm_y\int L f(t)\varphi^0_{\delta}(t-y)\, dm_t=\int\Psi(y)\, dm_y\int L f(t)\varphi^y_{\delta}(t)\, dm_t \\ &\qquad=\int\Psi(y)\, dm_y\,\langle L f\,|\,\varphi^y_{\delta}\rangle. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

То же самое для $f\,{\in}\, C(\mathbb{R}^2)$ получается предельным переходом, сдвигом и гомотетией, так как в (6.1) оценки зависят только от равномерной нормы функции $f$ . Лемма 6.2 доказана.

Следующее утверждение обобщает лемму 2.5 из [12]. Введем стандартные обозначения: $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2)\in\mathbb{Z}_+^2$ – би-индекс, при этом

$\begin{equation*} |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2,\qquad \partial^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\, \partial x_2^{\alpha_2}},\qquad \alpha!=\alpha_1!\,\alpha_2!,\qquad x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}. \end{equation*} \notag$

Лемма 6.3. Пусть $\{\varphi^0_{3,\delta}\}$ из (6.5), $\{\varphi_j\}$ – разбиение единицы из (6.6), $a_j$ – центр квадрата $Q_j$ , $\alpha$ , $|\alpha|\leqslant 2$ – би-индекс, $\Psi_{\alpha,j}$ – решение следующего уравнения свертки:

$\begin{equation*} (\varphi^0_{3,\delta}*\varphi_j)(x-a_j)^{\alpha}=\varphi^0_{\delta}*\Psi_{\alpha,j}. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\Psi_{\alpha,j}\in C^{\infty}_0(\mathbb{R}^2)$ ,

$\operatorname{Spt}(\Psi_{\alpha,j})\subset B(a_j,A\delta)$ и

$\|\Psi_{\alpha,j}\|_{\mathrm{L}^\infty}\leqslant A\delta^{|\alpha|}$ .

Доказательство. Утверждение леммы при

$|\alpha|\,{=}\,0$ очевидно, так как

$\Psi_{0,j}\,{=} \varphi^0_{\delta}*\varphi^0_{\delta}*\varphi_j$ . Считаем, что

$|\alpha|>0$ , достаточно рассмотреть случай

$a_j=0$ . Пусть

$\mathrm{F}[\,\cdot\,]$ – прямое преобразование Фурье. Напомним, что имеют место равенства

$\mathrm{F}[x_mg]=-i\,\partial\mathrm{F}[g]/\partial x_m$ , где

$m=1,2$ . Вычисление дает:

$\begin{equation*} \mathrm{F}[\Psi_{\alpha,j}]=(-i)^{|\alpha|}\frac{\partial^{\alpha} (\mathrm{F}[\varphi_j]\mathrm{F}[(\varphi^0_{\delta})]^3)}{\mathrm{F}[\varphi^0_{\delta}]}. \end{equation*} \notag$

Заметим, что в формуле (6.5) взята двойная свертка для возможности разделить без остатка при $|\alpha|\leqslant{2}$ числитель полученной дроби на $\mathrm{F}[\varphi^0_{\delta}]$ . Функция $\Psi_{\alpha,j}$ находится с помощью обратного преобразования Фурье, где учитываем, что произведение функций преобразуется в свертку, а дифференцирование $\partial^{\gamma}$ , $|\gamma|\leqslant|\alpha|$ , дает множитель $x^{\gamma}$ ; это приводит к требуемому утверждению. Лемма 6.3 доказана.

Результатом лемм 6.2 и 6.3 является следующая оценка для разбиения единицы $\{\psi_{3,j}\}=\{\varphi^0_{3,\delta}*\varphi_j\}$ из (6.6) при $|\alpha|\leqslant 2$ :

$\begin{equation} |\langle \psi_{3,j}L f\,|\,(x-a_j)^{\alpha}\rangle|=|\langle L f\,|\, \varphi^0_{\delta}*\Psi_{\alpha,j}\rangle|\leqslant A_1\delta^{2+|\alpha|}\sup_{y\in B(a_j,A\delta)}|\langle L f\,|\,\varphi^y_{\delta}\rangle|. \end{equation} \tag{6.7}$

Отсюда в силу (6.3) имеем

$\begin{equation} |\langle \psi_{3,j}L f\,|\,(x-a_j)^{\alpha}\rangle|\leqslant A_1 \epsilon_1(\delta)\delta^{|\alpha|}\widetilde{\beta}_j^{\delta}, \end{equation} \tag{6.8}$

где

$\begin{equation} \widetilde{\beta}_j^{\delta}=\sup_{y\in B(a_j,A\delta)} \operatorname{Cap}_L^{2k_1B(y,\delta)}(k_1 B(y,\delta)\setminus X), \end{equation} \tag{6.9}$

ясно, что кратность пересечений указанных кругов

$2k_1B(y,\delta)$ при различных

$j$ не превосходит постоянной, зависящей от

$k_1$ .

Теперь определим подходящие $k$ и $\delta$ , зависящие от $k_1$ и $r$ из леммы 6.1. Считаем, что $\delta<r$ , тогда существует $k(k_1)$ , такое, что все круги $2k_1B(y,\delta)$ из (6.9) содержатся в $(k/2)B$ . Выберем соответствующее “почти минимальное” $k$ . Не ограничивая общности, можем считать, что $0<\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)<1/10$ , иначе оценка (6.4) тривиальна.

Аналогично лемме 2.9, определим $\delta$ следующим образом:

$\begin{equation} \operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)=\frac1{(\log(r/\delta_0))^2}, \qquad \frac{\delta}2\leqslant\delta_0<\delta, \qquad \delta=2^{-p_0}, \quad p_0\in\mathbb{Z}. \end{equation} \tag{6.10}$

Повторяя доказательство леммы 2.9, получим для $\widetilde{\beta}_j^{\delta}$ из (6.9) следующую оценку:

$\begin{equation} \sum_j\widetilde{\beta}_j^{\delta}\leqslant A(k_1)\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X). \end{equation} \tag{6.11}$

Вернемся к доказательству леммы 6.1. Проведем разбиение единицы $\{\psi_{3,j}\}$ . По формуле Тейлора имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\langle L f\,|\,\varphi\rangle=\sum_j\langle \psi_{3,j}L f\,|\, \varphi\rangle=\sum_j\varphi(a_j)\langle \psi_{3,j}L f\,|\, 1\rangle \nonumber \\ &\qquad+\sum_j\sum_{\{\alpha\colon 1\leqslant|\alpha|\leqslant2\}}\frac{\partial^{\alpha}\varphi(a_j)} {\alpha!}\langle \psi_{3,j}L f\,|\,(x-a_j)^{\alpha}\rangle+\sum_j\langle \psi_{3,j}L f\,|\, R_{3,j}\rangle, \end{aligned} \end{equation} \tag{6.12}$

где

$\partial^{\alpha}R_{3,j}(a_j)=0$ при

$|\alpha|\leqslant 2$ и

$\partial^{\alpha}R_{3,j}\equiv\partial^{\alpha}\varphi$ при

$|\alpha|=3$ .

Рассмотрим сначала слагаемые

$\begin{equation*} \langle \psi_{3,j}L f\,|\,R_{3,j}\rangle=\int f(x)L\bigl(\psi_{3,j}(x)R_{3,j}(x)\bigr)\, dm_x. \end{equation*} \notag$

Так как $\partial^{\alpha}R_{3,j}\equiv\partial^{\alpha}\varphi$ при $|\alpha|=3$ , то при $|\alpha|\leqslant 2$ имеют место оценки

$\begin{equation*} |\partial^{\alpha} R_{3,j}(x)|\leqslant A\delta^{3-|\alpha|}\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}. \end{equation*} \notag$

С учетом стандартных оценок производных функций

$\psi_{3,j}$ отсюда следует, что

$\|L(\psi_{3,j}R_{3,j})\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\leqslant A\delta\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}$ .

Так как число индексов $j$ квадратов $Q_j$ не превосходит $A(r/\delta)^2$ , выполнена оценка

$\begin{equation} \biggl|\sum_j\langle \psi_{3,j}L f\,|\,R_{3,j}\rangle\biggr|\leqslant A_1\epsilon_1(\delta)\delta^2\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\delta \biggl(\frac{r}{\delta}\biggr)^2= A_1\epsilon_1(\delta)\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^3\frac{\delta}{r}. \end{equation} \tag{6.13}$

При этом в силу (6.10)

$\begin{equation*} \frac{\delta}r\approx\exp\Biggl(\frac1{\sqrt{\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X)}}\Biggr)<\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X), \end{equation*} \notag$

и, следовательно, правая часть (6.13) не превосходит правой части (6.4).

Остальные слагаемые из (6.12) оцениваются в силу (6.8) и (6.11). При $|\alpha|\leqslant 2$ имеем

$\begin{equation*} \sum_j\biggl|\frac{\partial^{\alpha}\varphi(a_j)} {\alpha!}\langle \psi_{3,j}L f|(x-a_j)^{\alpha}\rangle\biggr| \leqslant A_2 \epsilon_1(\delta)\delta^{|\alpha|} \|\nabla^{|\alpha|}\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\operatorname{Cap}_L^{2kB}(k B\setminus X). \end{equation*} \notag$

Так как при $|\alpha|\leqslant 2$ : $\|\nabla^{|\alpha|}\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}\delta^{|\alpha|} \leqslant\|\nabla^{|\alpha|}\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^{|\alpha|}\leqslant A\|\nabla^3\varphi\|_{\mathrm{L}^{\infty}}r^3$ , оценка (6.4) установлена. Тем самым завершено доказательство леммы 6.1.

Теоремы 1.3 и 1.4 доказаны.



Список литературы

1.	Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с. ; пер. с англ.: L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, т. I, Grundlehren Math. Wiss., 256, Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1983, ix+391 с.
2.	П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “О равномерной и $C^1$ -приближаемости функций на компактах в $\mathbb{R}^2$ решениями эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 190:2 (1999), 123–144 ; англ. пер.: P. V. Paramonov, K. Yu. Fedorovskiy, “Uniform and $C^1$ -approximability of functions on compact subsets of $\mathbb R^2$ by solutions of second-order elliptic equations”, Sb. Math., 190:2 (1999), 285–307
3.	М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений”, Матем. сб., 199:1 (2008), 15–46 ; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, “A criterion for uniform approximability on arbitrary compact sets for solutions of elliptic equations”, Sb. Math., 199:1-2 (2008), 13–44
4.	R. Harvey, J. C. Polking, “A notion of capacity which characterizes removable singularities”, Trans. Amer. Math. Soc., 169 (1972), 183–195
5.	А. Г. Витушкин, “Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений”, УМН, 22:6(138) (1967), 141–199 ; англ. пер.: A. G. Vitushkin, “The analytic capacity of sets in problems of approximation theory”, Russian Math. Surveys, 22:6 (1967), 139–200
6.	М. Я. Мазалов, П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “Условия $C^m$ -приближаемости функций решениями эллиптических уравнений”, УМН, 67:6(408) (2012), 53–100 ; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, P. V. Paramonov, K. Yu. Fedorovskiy, “Conditions for $C^m$ -approximability of functions by solutions of elliptic equations”, Russian Math. Surveys, 67:6 (2012), 1023–1068
7.	П. В. Парамонов, “Критерии индивидуальной $C^m$ -приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb R^N$ ”, Матем. сб., 209:6 (2018), 83–97 ; англ. пер.: P. V. Paramonov, “Criteria for the individual $C^m$ -approximability of functions on compact subsets of $\mathbb R^N$ by solutions of second-order homogeneous elliptic equations”, Sb. Math., 209:6 (2018), 857–870
8.	П. В. Парамонов, “Новые критерии равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в $\mathbb R^2$ ”, Комплексный анализ и его приложения, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Шабата, 85-летию со дня рождения Анатолия Георгиевича Витушкина и 85-летию со дня рождения Андрея Александровича Гончара, Тр. МИАН, 298, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 216–226 ; англ. пер.: P. V. Paramonov, “New criteria for uniform approximability by harmonic functions on compact sets in $\mathbb R^2$ ”, Proc. Steklov Inst. Math., 298 (2017), 201–211
9.	М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в $\mathbb R^3$ ”, Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа, Сборник статей, Тр. МИАН, 279, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2012, 120–165 ; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, “Criterion of uniform approximability by harmonic functions on compact sets in $\mathbb R^3$ ”, Proc. Steklov Inst. Math., 279 (2012), 110–154
10.	Л. Карлесон, Избранные проблемы теории исключительных множеств, Мир, М., 1971, 126 с. ; пер. с англ.: L. Carleson, Selected problems on exceptional sets, Van Nostrand Math. Studies, 13, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, NJ–Toronto, ON–London, 1967, v+151 с.
11.	И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973, 342 с. ; пер. с англ.: E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton Math. Ser., 30, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1970, xiv+290 с.
12.	П. В. Парамонов, “Некоторые новые критерии равномерной приближаемости функций рациональными дробями”, Матем. сб., 186:9 (1995), 97–112 ; англ. пер.: P. V. Paramonov, “Some new criteria for uniform approximability of functions by rational fractions”, Sb. Math., 186:9 (1995), 1325–1340
13.	Дж. Вердера, М. С. Мельников, П. В. Парамонов, “ $C^1$ -аппроксимация и продолжение субгармонических функций”, Матем. сб., 192:4 (2001), 37–58 ; англ. пер.: J. Verdera, M. S. Mel'nikov, P. V. Paramonov, “ $C^1$ -approximation and extension of subharmonic functions”, Sb. Math., 192:4 (2001), 515–535
14.	М. Я. Мазалов, “О задаче равномерного приближения гармонических функций”, Алгебра и анализ, 23:4 (2011), 136–178 ; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, “On uniform approximation of harmonic functions”, St. Petersburg Math. J., 23:4 (2012), 731–759
15.	R. Harvey, J. Polking, “Removable singularities of solutions of linear partial differential equations”, Acta Math., 125 (1970), 39–56
16.	J. Verdera, “ $C^m$ -approximation by solutions of elliptic equations, and Caldéron–Zygmund operators”, Duke Math. J., 55:1 (1987), 157–187
17.	М. Я. Мазалов, “О равномерных приближениях бианалитическими функциями на произвольных компактах в $\mathbb C$ ”, Матем. сб., 195:5 (2004), 79–102 ; англ. пер.: M. Ya. Mazalov, “Uniform approximations by bianalytic functions on arbitrary compact subsets of $\mathbb C$ ”, Sb. Math., 195:5 (2004), 687–709
18.	G. David, Wavelets and singular integrals on curves and surfaces, Lecture Notes in Math., 1465, Springer-Verlag, Berlin, 1991, x+107 pp.
19.	И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними, Обобщенные функции, 1, 2-е изд., Физматгиз, М., 1959, 440 с. ; нем. пер.: I. M. Gelfand, G. E. Schilow, Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen), v. I, Hochschulbücher für Math., 47, Funktionen und das Rechnen mit ihnen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1960, 364 pp.

Образец цитирования: М. Я. Мазалов, “Равномерное приближение функций решениями однородных сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в

$\mathbb{R}^2$ ”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:3 (2021), 89–126; Izv. Math., 85:3 (2021), 421–456

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Maz21}

\by М.~Я.~Мазалов

\paper Равномерное приближение функций решениями однородных сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в~$\mathbb{R}^2$

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2021

\vol 85

\issue 3

\pages 89--126

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9027}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9027}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1468.35046}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021IzMat..85..421M}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2021

\vol 85

\issue 3

\pages 421--456

\crossref{https://doi.org/10.1070/IM9027}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000671433900001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85110754079}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/im9027

https://doi.org/10.4213/im9027

https://www.mathnet.ru/rus/im/v85/i3/p89

Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:

М. Я. Мазалов, “О емкостях, соизмеримых с гармоническими”, Матем. сб., 215:2 (2024), 120–146 ; M. Ya. Mazalov, “Capacities commensurable with harmonic ones”, Sb. Math., 215:2 (2024), 250–274
М. Я. Мазалов, П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “Критерии $C^m$ -приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb{R}^N$ и связанные с ними емкости”, УМН, 79:5(479) (2024), 101–177 ; M. Ya. Mazalov, P. V. Paramonov, K. Yu. Fedorovskiy, “Criteria for $C^m$ -approximability of functions by solutions of homogeneous second-order elliptic equations on compact subsets of $\mathbb{R}^N$ and related capacities”, Russian Math. Surveys, 79:5 (2024), 847–917
K. Fedorovskiy, “Uniform approximation by polynomial solutions of elliptic systems on boundaries of Carathéodory domains in $\boldsymbol{\mathbb{R}}^{\mathbf{2}}$ ”, Lobachevskii J. Math., 44:4 (2023), 1299–1310
П. В. Парамонов, “О метрических свойствах $C$ -емкостей, связанных с решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка в $\mathbb R^2$ ”, Матем. сб., 213:6 (2022), 111–124 ; P. V. Paramonov, “On metric properties of $C$ -capacities associated with solutions of second-order strongly elliptic equations in $\pmb{\mathbb R}^2$ ”, Sb. Math., 213:6 (2022), 831–843

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Известия Российской академии наук. Серия математическая

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	414
PDF русской версии:	78
PDF английской версии:	39
HTML русской версии:	160
Список литературы:	47
Первая страница:	9

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы