| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О метрических свойствах П. В. Парамоновabc a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Санкт-Петербургский государственный университет c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9676 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеС историей вопроса можно ознакомиться в работах [1]–[3]. Пусть – произвольный однородный полином второго порядка в RN (N∈{2,3,…} фиксируется) с постоянными комплексными коэффициентами cij=cji, удовлетворяющий условию эллиптичности LN(x)≠0 при всех x≠0. Полиному LN(x) соответствует эллиптический дифференциальный оператор Пример: полиному LN(x)=∑Nn=1x2n соответствует лапласиан ΔN в RN.Пусть E – непустое подмножество в RN. Напомним обозначения: ‖f‖E – равномерная (sup-) норма ограниченной (комплекснозначной) функции f на E; \omega_E(f, r) – модуль непрерывности ограниченной функции f на E (при E=\mathbb R^N пишем \|f\| и \omega (f, r) соответственно); \mathrm{BC}(E) (соответственно C(E)) – пространство всех непрерывных и ограниченных (соответственно непрерывных) функций на E с нормой \|\cdot\|_E (топология в C(E) для некомпактных E использоваться не будет). Для открытого множества U \neq \varnothing через C_0(U) (соответственно C^{\infty}_0(U)) обозначается подпространство в \mathrm{BC}(U) (соответственно в C^{\infty}(U)) функций с компактными носителями в U. Для открытого множества U \neq \varnothing в \mathbb R^N положим
\begin{equation*}
\mathcal A_{\mathcal L_N}(U)=\bigl\{ f \in C^2(U)\mid \mathcal L_N f (\mathbf x)=0\ \forall\, \mathbf x \in U\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Функции этого класса назовем \mathcal L_N-аналитическими в U. Хорошо известно, что \mathcal A_{\mathcal L_N}(U)\subset C^{\infty}(U) (см., например, [4; теорема 4.4.1]). Обозначим через \Phi_{\mathcal L_N} (\mathbf x) стандартное (при N\geqslant 3 однородное порядка 2- N) фундаментальное решение для уравнения \mathcal L_N u=0 в \mathbb R^N (при N\geqslant 3 оно определяется однозначно, см., например, [4; теорема 7.1.20] или [5; с. 161]). При N \geqslant 3 назовем C\mathcal L_N-емкостью непустого ограниченного множества E \subset \mathbb R^N (в классе непрерывных функций) значение
\begin{equation}
\kappa_{\mathcal L_N} (E)=\sup_{T} \bigl\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T) \subset E,\, \Phi_N * T \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3),\, \|\Phi_N * T\| \leqslant 1\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.1}
где этот \sup берется по всем указанным распределениям T, * – оператор свертки, \langle T,\varphi \rangle – действие распределения T на функцию \varphi класса C^{\infty}(\mathbb R^N), \operatorname{Spt} (T) – носитель распределения (функции, меры) T. При E=\varnothing полагаем \kappa_{\mathcal L_N}(E)=0. В терминах указанных емкостей в работе [3] получены критерии равномерной приближаемости функций решениями уравнений \mathcal L_N u=0 на компактах в \mathbb R^N (N \geqslant 3). Свойствам этих емкостей посвящен § 3 работы [6]. В размерности N=2 возникает своя специфика. Пусть
\begin{equation*}
\mathcal L_2=c_{11}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} +2c_{12}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2}+c_{22}\, \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}
\end{equation*}
\notag
– эллиптический оператор в \mathbb R^2, и пусть \lambda_1 и \lambda_2 – корни соответствующего характеристического уравнения c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}=0. Свойство эллиптичности оператора \mathcal L_2 эквивалентно условиям \lambda_1, \lambda_2 \notin \mathbb R. Говорят, что оператор \mathcal L_2 является сильно эллиптическим, если мнимые части корней \lambda_1 и \lambda_2 имеют разные знаки. В работе [7] установлена следующая теорема. Пусть эллиптический оператор \mathcal L_2 в \mathbb R^2 не является сильно эллиптическим, X – произвольный (непустой) компакт в \mathbb R^2, f \in C(X). Тогда f равномерно на X с любой точностью приближается функциями, \mathcal L_2-аналитическими в (каждая в своей) окрестности компакта X, если и только если f является \mathcal L_2-аналитической на его внутренности X^{\circ}. Для всякого сильно эллиптического оператора \mathcal L_2 эта теорема уже неверна. В работе [8] соответствующие критерии приближаемости даны в терминах C\mathcal L_2-емкостей, однако сами эти емкости остались неизученными, за исключением гармонического случая \mathcal L_2=\Delta_2 (см. [2]). Нашей целью является обобщение основных результатов из [2] на все сильно эллиптические операторы \mathcal L_2. Всюду далее \mathbf x=(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3, \mathbf x'=(x_1, x_2) \in \mathbb R^2. Для открытого шара B=B(\mathbf x_0, r) (с центром \mathbf x_0 и радиусом r) в \mathbb R^3_\mathbf x через B' обозначается открытый круг B'(\mathbf x'_0, r) (с центром \mathbf x'_0 и радиусом r) в \mathbb R^2_{\mathbf x'}. Фиксируем произвольный сильно эллиптический оператор
\begin{equation*}
\mathcal L'=\mathcal L_2=c_{11}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+2c_{12}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2}+c_{22}\, \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}
\end{equation*}
\notag
в \mathbb R^2. По [6; лемма 2.1] оператор
\begin{equation*}
\mathcal L=\mathcal L_3=c_{11}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+2c_{12}\, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \,\partial x_2}+c_{22}\, \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+c_{11}\, \frac{\partial^2}{\partial x_3^2}=:\sum_{i, j=1}^3 c_{i j} x_{i} x_{j}
\end{equation*}
\notag
является эллиптическим оператором в \mathbb R^3. Напомним, что всякое фундаментальное решение \Phi'(\mathbf x')=\Phi_{\mathcal L'} (\mathbf x') для оператора \mathcal L' имеет вид (см., например, [9]) где k_0=k_0(\mathcal L') \in \mathbb C \setminus \{0\}, а \Psi_0 – некоторая однородная порядка 0 функция класса C^{\infty}(\mathbb R^2 \setminus \{\mathbf 0\}), однозначно определенная с точностью до аддитивной постоянной. В дальнейшем мы фиксируем ту единственную \Psi_0, для которой
\begin{equation}
\|\Psi_0\|_{\mathbb R^2\setminus \{\mathbf 0\}} =\inf_{c \in \mathbb C}\bigl\{\|\Psi_0+c\|_{\mathbb R^2\setminus \{\mathbf 0\}}\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.3}
и соответствующее ей фундаментальное решение \Phi'. При \delta>0 нам также потребуется другое фундаментальное решение
\begin{equation*}
\Phi'_{\delta}(\mathbf x')=\Phi'\biggl(\frac{\mathbf x'}{\delta}\biggr) =\Phi'(\mathbf x')-k_0 \log(\delta).
\end{equation*}
\notag
Пусть B'=B'(\mathbf x'_0, R) – круг и E' – непустое ограниченное множество, лежащее в круге (1/2) B'=B'(\mathbf x'_0, R/2). По определению C\mathcal L'-емкостью множества E' в B' называется величина
\begin{equation}
\kappa'_{B'}(E')=\sup_{T'} \bigl\{|\langle T', 1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T') \subset E',\, \Phi'_R * T' \in C(\mathbb R^2), \,\|\Phi'_R * T'\|_{B'} \leqslant 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.4}
Нетрудно видеть (см. предложение 2.2), что для любых рассматриваемых объектов в предыдущем определении, для всякого сдвига Q и для всякой гомотетии P в \mathbb R^2 имеем
\begin{equation}
\kappa'_{B'}(E')=\kappa'_{P(B')}(P(E'))=\kappa'_{Q(B')}(Q(E')).
\end{equation}
\tag{1.5}
Так, для \mathcal L'=\Delta_2 в \mathbb R^2 имеем k_0=1/(2\pi), \Psi_0 \equiv 0. При этом (как будет показано в предложении 2.1) \kappa'_{B'(\mathbf 0', 1)}(E')=2\pi \kappa_2(E'), где \kappa_2(E') – гармоническая (винеровская) емкость в \mathbb R^2, определяемая для множеств E'\subset B'(\mathbf 0', 1/2) так:
\begin{equation}
\kappa_2(E')=\sup_{\mu} \biggl\{\int d\mu \colon \operatorname{Spt} (\mu) \subset E', \,\log|\mathbf x'| * \mu \in C(\mathbb R^2),\,-\log|\mathbf x'| * \mu \leqslant 1 \biggr\},
\end{equation}
\tag{1.6}
а \sup берется по всем указанным неотрицательным борелевским мерам \mu, и последнее неравенство справедливо во всем \mathbb R^2. Данное определение эквивалентно определению винеровской емкости, приведенному в [10; гл. II, § 4], поскольку условие непрерывности потенциала в (1.6) можно опустить, см. доказательство леммы 2.3 ниже. Напомним (см. [10; гл. 2, § 4]), что
\begin{equation}
\kappa_2(B'(\mathbf 0', r))=\frac{1}{\log(1/r)}, \qquad r \in \biggl(0, \frac12\biggr).
\end{equation}
\tag{1.7}
В предложении 2.2 доказывается, что для всех множеств E'\subset B'(\mathbf 0', 1/2)) имеем где A_0 > 0 зависит только от \mathcal L'. В качестве следствия из этого утверждения и [11; следствие 3.1] в предложении 2.3 мы получаем точные оценки снизу емкостей \kappa'_{B'(\mathbf 0', 1)}(E') через обхваты по Хаусдорфу.Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть E'\subset B'(\mathbf x'_0, R/2), E=E'\times [-R, R]_{x_3}. Тогда справедливы оценки
\begin{equation}
A_1^{-1} R \kappa'_{B'(\mathbf x'_0, R)}(E') \leqslant \kappa(E) \leqslant A_1 R \kappa'_{B'(\mathbf x'_0, R)}(E'),
\end{equation}
\tag{1.8}
где \kappa(E)=\kappa_{\mathcal L_3}(E) для оператора \mathcal L_3=\mathcal L, а A_1 > 1 зависит только от \mathcal L'. Эта теорема доказывается в § 3. Там же приводится ее следствие (теорема 3.1) для задач теории равномерных приближений функций решениями уравнений \mathcal L'v=0 на компактах в \mathbb R^2. § 2. Предварительные сведения и некоторые оценкиПусть \mathcal L – введенный выше эллиптический оператор в \mathbb R^3, \Phi=\Phi_\mathcal L – его фундаментальное решение (класса C^{\infty}(\mathbb R^3\setminus \{\mathbf 0\}), однородное порядка -1), \delta > 0, B=B(\mathbf a, \delta), \psi \in C^{\infty}_0(B). Оператор
\begin{equation*}
g \to V_{\psi}(g)=\Phi*(\psi \mathcal L g), \qquad g \in \mathrm{BC}(B),
\end{equation*}
\notag
называется локализационным оператором (типа) Витушкина, соответствующим оператору \mathcal L и индекс-функции \psi (см. [12], [5]). При этом распределение \psi \mathcal L g предполагается равным нулю вне \operatorname{Spt}(\psi). Следующее свойство этого оператора хорошо известно (см., например, [6; лемма 2.2]). Лемма 2.1. В указанных обозначениях оператор V_{\psi} непрерывен из \mathrm{BC}(B) в \mathrm{BC}(\mathbb R^3). Точнее, найдется константа A_2=A_2(\mathcal L)\in (0,+\infty) c условиями V_{\psi} (g) \in \mathrm{BC}(\mathbb R^3) и
\begin{equation}
\|V_{\psi}(g)\| \leqslant A_2\delta^2\|\nabla^2 \psi\|\,\|g\|_B
\end{equation}
\tag{2.1}
для всех g \in \mathrm{BC}(B). Кроме того, \mathcal L V_{\psi}(g)=\psi \mathcal L g (т.е. оператор V_{\psi} “локализует” \mathcal L-особенности функции g на носителе \operatorname{Spt}(\psi) \subset B). Нам понадобится аналогичное определение для двумерного случая. Пусть \delta >0, B'=B(\mathbf a', \delta), \psi \in C^{\infty}_0(B'). Локализационный оператор
\begin{equation*}
g \to V'_{\psi \delta}(g)=\Phi'_{\delta}*(\psi \mathcal L' g), \qquad g \in \mathrm{BC}(B'),
\end{equation*}
\notag
соответствует оператору \mathcal L', кругу B' и индекс-функции \psi. Свойства непрерывности этого оператора выглядят следующим образом (см. [9; лемма 2.5]). Лемма 2.2. Оператор V'_{\psi \delta} непрерывен из \mathrm{BC}(B') в \mathrm{BC}(B'). Точнее, найдется константа A_3=A_3(\mathcal L')\in (0,+\infty) c условиями V'_{\psi \delta} (g) \in C(\mathbb R^2) и
\begin{equation}
\|V'_{\psi\delta}(g)\|_{B'} \leqslant A_3\delta^2\|\nabla^2 \psi\|\,\|g\|_{B'}
\end{equation}
\tag{2.2}
для всех g \in \mathrm{BC}(B'). Кроме того, \mathcal L' V'_{\psi \delta}(g)=\psi \mathcal L' g. Предложение 2.1. Пусть \mathcal L'=\Delta_2 в \mathbb R^2. Тогда k_0=1/(2\pi), \Psi_0 \equiv 0. При этом для любого множества E'\subset B'(\mathbf 0', 1/2) имеем Доказательство. То, что в данном случае \Phi'(\mathbf x')=(2\pi)^{-1}\log|\mathbf x'|, хорошо известно. При r>0 положим B'_r=B'(\mathbf 0', r) и Докажем сначала, что \kappa'(E') \geqslant 2\pi \kappa_2(E'). Пусть \mu – произвольная положительная мера из определения (1.6) и f=\Phi'*\mu. Тогда, очевидно, f \geqslant -1/(2\pi) на \mathbb R^2 (и, следовательно, на B'_1). Поскольку (ввиду (1.6) и (1.7)) \|\mu\|\leqslant 1/\log 2, имеем при любом \mathbf x'\in \partial B'_1
\begin{equation*}
f(\mathbf x')=(2\pi)^{-1}\int_{B'_{1/2}}\log|\mathbf x'-\mathbf y'|\,d\mu(\mathbf y') \leqslant \frac{1}{2\pi}.
\end{equation*}
\notag
Остается воспользоваться определением (1.4) для круга B'_1. Докажем неравенство \kappa'(E') \leqslant 2\pi \kappa_2(E'). Пусть \kappa'(E')>0, иначе доказывать нечего. Фиксируем любое \varepsilon \in (0,1) и возьмем распределение T' из (1.4) с условием \alpha:=\langle T', 1\rangle=(1-\varepsilon)\kappa'(E')>0. При этом мы можем считать, что T' вещественно. Функция g=-\log|\mathbf x'|*T'=-2\pi \Phi'*T' является гармонической в окрестности множества \mathbb R^2\setminus B'_1, не превосходит 2\pi на B'_1, причем при |\mathbf x'|\to+\infty имеет отрицательную главную часть -\alpha \log|\mathbf x'|. Следовательно, -\log|\mathbf x'|*T' \leqslant 2\pi всюду в \mathbb R^2. Остается воспользоваться утверждением следующей леммы 2.3. К сожалению, автору не удалось найти прямую ссылку на указанный в ней известный ранее факт. Как правило, он устанавливается для случая мер, а не распределений, и в размерностях не ниже трех. Идея доказательства этой леммы предложена М. Я. Мазаловым. Лемма 2.3. В (1.6) получается такой же \sup, если вместо положительных мер \mu брать произвольные вещественные распределения T', а вместо {\displaystyle\int d\mu} взять \langle T', 1\rangle. Доказательство. Ясно, что достаточно провести доказательство для компактов E'. Пусть, от противного, найдется вещественное распределение T' с условиями \operatorname{Spt}(T')\subset E', g=-\log|\mathbf x'|*T' \in C(\mathbb R^2), g(\mathbf x')\leqslant 1 всюду в \mathbb R^2 и \langle T', 1\rangle=\kappa_2(E')+\alpha при некотором \alpha >0. Из C-свойства Лузина следует (см. [10; теорема 1.8]), что в определении (1.6) можно опустить свойство непрерывности потенциала \log|\mathbf x'| * \mu. Отсюда легко установить, что найдется компакт K с гладкой границей и условиями E' \subset K \subset B'_{1/2} и \kappa_2(K)<\kappa_2(E')+\alpha. Пусть \nu – равновесная мера на K (см. [10; гл. 2, § 4, теорема 2.6']) и \Omega – неограниченная компонента множества \mathbb R^2\setminus K, так что \mathbb R^2 \setminus B'_{1/2} \subset \Omega. Хорошо известно, что потенциал f=-\log|\mathbf x'|*\nu непрерывен на \overline{\Omega} и равен 1 на \partial \Omega (это следует из связи f c функцией Грина области \Omega, см. [13; гл. 7, § 3]). Поскольку при |\mathbf x'| \to+\infty функция f(\mathbf x') имеет порядок -(\log|\mathbf x'|) \|\nu\| и \|\nu\|=\kappa_2(K)<\kappa_2(E')+\alpha, а функция g(\mathbf x') имеет порядок -(\log|\mathbf x'|) \langle T', 1\rangle и \langle T', 1\rangle=\kappa_2(E')+\alpha, из принципа максимума в \Omega \cap B'_R (при достаточно больших R) получаем неравенство
Пусть теперь T'_1 – произвольное распределение в B'_{1/2} с потенциалом g_1=-\log|\mathbf x'|*T'_1, и пусть r\in (1/2, 1). Утверждается, что тогда
\begin{equation}
\langle T'_1, 1\rangle=\biggl(2\pi r \log\frac1r\biggr)^{-1}\int_{\partial B'_r} g_1(\mathbf x')\,d\ell_{\mathbf x'},
\end{equation}
\tag{2.4}
где d\ell – элемент длины дуги на \partial B'_r. Для доказательства (2.4) удобно воспользоваться комплексной формой записи векторов в \mathbb R^2. Сначала докажем (2.4) для случая T'_1=\delta_a, где a \in B'_{1/2} и \delta_a – единичная мера в точке a. Иными словами, g_1 (z)=-\log|z-a|. Пусть b=r^2/{\overline a} – точка, симметричная точке a относительно окружности \partial B'_r. Тогда для всякого z=re^{i\theta} \in \partial B'_r имеем
\begin{equation*}
\frac{|z-a|}{|z-b|}=\frac{|re^{i\theta}-a|}{|re^{i\theta}-r^2/{\overline a}|}=\frac{|a|\,|re^{i\theta}-a|}{r|{\overline a} e^{i\theta}-r|}=\frac{|a|}{r},
\end{equation*}
\notag
откуда g_1 (z)=-\log|z-a|=-\log|z-b|-\log|a|+\log(r), и по теореме о среднем для гармонических функций получаем:
\begin{equation*}
(2\pi r)^{-1}\int_{\partial B'_r} g_1(z) d\ell_z=g_1(0)=-\log|b|-\log|a|+\log(r)=-\log(r),
\end{equation*}
\notag
что и требовалось. Далее, если T'_1 – конечная мера на B'_{1/2}, то для завершения доказательства (2.4) остается применить теорему Фубини в правой части равенства (2.4), подставив вместо g_1 соответствующий интеграл (свертку). В общем случае следует предварительно воспользоваться методом регуляризации (подробности см. в окрестности формул (3.1) и (3.2) в § 3, только надо сделать аналогичные действия в \mathbb R^2). Наконец, применяя равенство (2.4) для распределений \nu и T', ввиду (2.3) получаем
\begin{equation*}
\langle \nu-T'_1, 1\rangle=\biggl(2\pi r \log\frac1r\biggr)^{-1} \int_{\partial B'_r} (f(\mathbf x')- g(\mathbf x'))\,d\ell_{\mathbf x'} \geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
что приводит к противоречию. Предложение 2.2. Для всякого рассматриваемого оператора \mathcal L': (1) для любого B'=B'(\mathbf x'_0, R), E' \subset (1/2) B', для всякой гомотетии P и сдвига Q в \mathbb R^2 имеем
\begin{equation*}
\kappa'_{B'}(E')=\kappa'_{P(B')}(P(E'))=\kappa'_{Q(B')}(Q(E'));
\end{equation*}
\notag
(2) для любого множества E'\subset B'(\mathbf 0', 1/2) справедливы оценки где A_0 > 0 зависит только от \mathcal L'. Доказательство. Докажем (1) для случая гомотетии P с коэффициентом p>0 (утверждение про сдвиг Q очевидно). Каждому распределению T', удовлетворяющему условиям определения (1.4) для E' в B'(\mathbf x'_0, R/2), можно взаимно однозначно сопоставить распределение PT', действующее по формуле
\begin{equation*}
\langle PT'(\mathbf x'), \psi(\mathbf x') \rangle =\langle T'(\mathbf y'), \psi(P(\mathbf y'))\rangle, \qquad \psi \in C^{\infty}(\mathbb R^2),
\end{equation*}
\notag
которое удовлетворяет условиям определения (1.4) для PE' в B'(P(\mathbf x'_0), pR/2). При этом \langle T', 1\rangle=\langle PT', 1\rangle и (1) доказано. Установим (2). Для выбранной \Psi_0 в (1.3) положим I=\|\Psi_0\|. Пусть \mu удовлетворяет условиям определения (1.6). Тогда из доказательства предложения 2.1 следует, что \|\log(\mathbf x')*\mu\|_{B'_1}\leqslant 1, откуда сразу получаем оценку \|\Phi'*\mu\|_{B'_1}\leqslant |k_0|+I\|\mu\|. Следовательно, \kappa'(E')=\kappa'_{B'_1}(E')\geqslant \|\mu\|/(|k_0|+I\|\mu\|). Остается \|\mu\| устремить к \kappa_2(E') и воспользоваться неравенством \kappa_2(E')\leqslant \kappa_2(B'_{1/2})=1/\log(2). В качестве A_0 тогда можно взять (|k_0|+I/\log(2))^{-1}. Предложение доказано. Если в определении (1.4) вместо распределений T' брать положительные меры \mu (ограничимся случаем \mathbf x'_0=\mathbf 0', R=1), то возникает еще одна полезная в приложениях емкость (E' \subset B'_{1/2})
\begin{equation}
\kappa'_+(E')=\sup_{\mu} \biggl\{\int d\mu \colon \operatorname{Spt} (\mu) \subset E',\,\Phi' * \mu \in C(\mathbb R^2),\,\|\Phi' * \mu\|_{B'_1} \leqslant 1\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.5}
Предложение 2.3. Найдутся r_0=r_0(\mathcal L')\in (0, 1/2] и A'_0=A'_0(\mathcal L') > 0 такие, что для всех E' \subset B'(\mathbf 0', r_0)=:B'_{r_0} справедливы оценки
\begin{equation*}
A_0 \kappa_2(E')\leqslant \kappa'_+(E') \leqslant A'_0 \kappa_2(E').
\end{equation*}
\notag
При \mathcal L'=\Delta_2 имеем r_0=1/2 и \kappa'_+(E')=2\pi \kappa_2(E'). Доказательство. Левая оценка доказывается как часть (2) в предложении 2.2. Докажем правую оценку. Пусть \mu – произвольная положительная мера из определения (2.5). Достаточно показать, что f=-\log(\mathbf x')*\mu удовлетворяет оценке f(\mathbf x') \leqslant A'_0 на \mathbb R^2. Более того, по принципу максимума вне B'_{1/2} (ввиду f(\infty)\leqslant 0) оценку f(\mathbf x') \leqslant A'_0 достаточно доказать на B'_{1/2}. Пусть, как и ранее в (1.2), \Phi'(\mathbf x')=k_0\log|\mathbf x'|+\Psi_0(\mathbf x'), I=\|\Psi_0\|. Тогда ввиду
\begin{equation*}
\biggl(|k_0|\log\frac{1}{r_0}-I\biggr)\|\mu\| \leqslant |\Phi'*\mu(\mathbf 0')|\leqslant 1
\end{equation*}
\notag
имеем \|\mu\|\leqslant 1/(|k_0|\log(1/r_0)-I). Фиксируя далее r_0 < \exp(-I/|k_0|), находим при \mathbf x'\in B'_{1/2}:
\begin{equation*}
f(\mathbf x')\leqslant |k_0|^{-1}(1+I\|\mu\|)\leqslant |k_0|^{-1}\biggl(1+I\biggl(|k_0|\log\frac{1}{r_0}-I\biggr)^{-1}\biggr)=:A'_0.
\end{equation*}
\notag
При \mathcal L'=\Delta_2, когда k_0=1/(2\pi) и I=0, можно взять r_0=1/2; при этом f(\mathbf x')\leqslant 2\pi в B'_{1/2}, что и требовалось. Предложение доказано. Поскольку емкость \kappa_2 полуаддитивна (т.е. \kappa_2(E'_1\cup E'_2)\leqslant \kappa_2(E'_1)+\kappa_2(E'_2) для всех E'_1 и E'_2 в B'_{1/2}), из предложения 2.3 вытекает важное свойство субаддитивности емкостей \kappa'_+. Точнее, найдутся (указанная выше) r_0 и A=A(\mathcal L')\geqslant 1 такие, что для всех E'_1 и E'_2 в B'_{r_0} имеем
\begin{equation*}
\kappa'_+(E'_1\cup E'_2)\leqslant A(\kappa'_+(E'_1)+\kappa'_+(E'_2)).
\end{equation*}
\notag
В связи с последним особый интерес представляют следующие проблемы. Задача 2.1. Верно ли, что \kappa' сравнима с \kappa'_+? То есть найдется ли A=A(\mathcal L')\geqslant 1 с условиями
\begin{equation*}
A^{-1} \kappa'(E')\leqslant \kappa'_+(E') \leqslant A \kappa'(E')
\end{equation*}
\notag
для всех E' из B'_{1/2} (или хотя бы из B'_{r_0})? В приложениях (например, в теореме 3.1 ниже) вместо C\mathcal L'-емкости (1.4) удобно пользоваться L^{\infty}\mathcal L'-емкостью
\begin{equation*}
\gamma'_{B'}(E')=\sup_{T'} \bigl\{|\langle T', 1\rangle| \colon \operatorname{Spt} (T') \subset E',\, \Phi'_R * T'\in L_{loc}^{\infty}(\mathbb R^2),\, \|\Phi'_R * T'\|_{L^{\infty}(B')} \leqslant 1\bigr\},
\end{equation*}
\notag
где указанные пространства L^{\infty} связаны с мерой Лебега в \mathbb R^2. Последняя емкость удовлетворяет следующему важному свойству (которое пока не установлено для C\mathcal L'-емкости!). Оно доказывается аналогично [6; предложение 3.1]. Предложение 2.4. Для любого круга B' и компакта K'\subset (1/2)B' имеем
\begin{equation*}
\gamma'_{B'}(K')=\lim_{\delta \to 0} \gamma'_{B'}(U'_{\delta}(K')),
\end{equation*}
\notag
где U'_{\delta}(K') – открытая \delta-окрестность компакта K' в \mathbb R^2. В случае \mathcal L'=\Delta_2 (как отмечено в доказательстве леммы 2.3) емкости \gamma'_{B'} и \kappa'_{B'} совпадают. Стандартно доказывается, что для всех \mathcal L' и открытых множеств E' \subset (1/2)B' имеем Следующий важный вопрос также остается пока открытым.Задача 2.3. Верно ли, что \gamma'_{B'} сравнима с \kappa'_{B'}? Точнее, найдется ли A=A(\mathcal L')\geqslant 1 с условиями
\begin{equation*}
A^{-1} \gamma'_{B'}(E') \leqslant \kappa'_{B'}(E') \leqslant A \gamma'_{B'}(E')
\end{equation*}
\notag
для всех E' из (1/2)B' (или хотя бы из B'_{r_0})? Напомним определение p-мерного (p \in (0, 2]) обхвата по Хаусдорфу ограниченного множества E' в \mathbb R^2: где нижняя грань берется по всем покрытиям \{B'_{(j)}\} множества E кругами (каждое \{B_{(j)}\} есть не более чем счетное покрытие множества E кругами B'_{(j)} в \mathbb R^2 с радиусами r_j).Из предложения 2.3 и оценок, полученных В. Я. Эйдерманом в [11; следствие 3.1] для винеровской емкости \kappa_2 (точность указанных оценок обсуждается в [11]), непосредственно получаем следующие оценки снизу для емкостей \kappa'_+ (и, следовательно, \kappa'). Предложение 2.5. Найдется константа A=A(\mathcal L')>1 со следующими свойствами. Для любого p \in (0, 2] и множества E' \subset B'_{1/2} с условием \kappa'_+(E') \leqslant p/A справедлива оценка § 3. Доказательство теоремы 1.1. Следствия Доказательство теоремы 1.1. Пусть P – гомотетия в \mathbb R^3 с коэффициентом p>0. Так как фундаментальное решение \Phi оператора \mathcal L однородно порядка -1, легко показать, что \kappa(P(E))=p\kappa(E) для любого ограниченного множества E \subset \mathbb R^3. Кроме того, при сдвигах емкости \kappa и \kappa'_{B'}(E') (при одном и том же сдвиге множеств B'=B'(\mathbf x'_0, R) и E'\subset (1/2) B') не меняются. Поэтому ввиду (1.8) без ограничения общности мы в этом доказательстве будем предполагать, что \mathbf x'_0=\mathbf 0' и R=1. Для краткости пусть B_{r}=B(\mathbf 0, r) и B_r'=B'(\mathbf 0', r), r>0, и \kappa'(E')=\kappa'_{B_1'}(E'). Докажем левую оценку в (1.8). Найдем распределение T' с условиями из определения (1.4) (случай \mathbf x'_0=\mathbf 0' и R=1) и свойством \langle T',1 \rangle=\kappa'(E')/2. Определим f=\Phi'*T' \in C(\mathbb R^2), \|f\|_{B'_1} \leqslant 1. Положим F(\mathbf x',x_3)=f(\mathbf x'). Тогда \|F\|_{B_1}\leqslant 1. Выберем функцию \psi_{12} \in C^{\infty}_0(B'_{2/3}) с условиями 0\leqslant\psi_{12}\leqslant 1, \psi_{12}=1 в B'_{1/2} и \|\nabla^2\psi_{12}\|\leqslant A. Здесь и далее параметр A>1, зависящий только от \mathcal L', может принимать различные значения в разных соотношениях. Выберем еще функцию \psi_3 \in C^{\infty}_0((-2/3, 2/3)) с условиями 0\leqslant\psi_3\leqslant 1, \psi_3=1 на (-1/2, 1/2) и \|\psi_3''\|\leqslant A. Определим \psi (\mathbf x)=\psi(\mathbf x',x_3)=\psi_{12}(\mathbf x')\psi_3(x_3) при \mathbf x\in\mathbb R^3. Тогда \psi \in C^{\infty}_0(B_1) и \|\nabla^2 \psi\|\leqslant A. Применим локализационный оператор Витушкина в \mathbb R^3, полагая F_{\psi}\,{=}\,V_{\psi}(F). Тогда по лемме 2.1 имеем
\begin{equation*}
\|F_\psi\|\leqslant A \|\nabla^2 \psi\| \, \|F\|_{B_1} \leqslant A^2,
\end{equation*}
\notag
причем в обобщенном смысле справедливо равенство
\begin{equation*}
\mathcal L F_{\psi}(\mathbf x',x_3)=\psi_{12}(\mathbf x')\psi_3(x_3) \mathcal L F(\mathbf x)=\psi_{12}(\mathbf x')\psi_3(x_3) \mathcal L' f(\mathbf x').
\end{equation*}
\notag
Пусть T=\mathcal L F_{\psi}. Ясно, что \operatorname{Spt} T\subset E, F_{\psi}=\Phi*T и \|F_{\psi}\| \leqslant A^2. Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A^2 \kappa(E) &\geqslant \langle T, 1\rangle=\langle \psi_{12}(\mathbf x')\psi_3(x_3) \mathcal L' f(\mathbf x'),1\rangle \\ &=\langle T',1\rangle \int_{-1}^1\psi_3(x_3)\,dx_3 \geqslant 2^{-1} \kappa'(E'), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда что и требовалось. Теперь установим правое неравенство в (1.8). Имеем E \subset B'_{1/2}\times [-1,1] \subset B_{5/4}. По определению емкости \kappa(E) найдется распределение T с (компактным) носителем \operatorname{Spt}(T)\subset K \subset E (где K=K'\times [-R,R] – компакт) такое, что функция F=\Phi*T \in C(\mathbb R^3), \|F\|\leqslant 1 и \langle \mathcal L F, 1\rangle=\langle T, 1\rangle=\kappa(E)/2. Фиксируем некоторую функцию \varphi_1 \in C^{\infty}_0(B_1) с условиями 0 \leqslant \varphi_1\leqslant 1, \displaystyle\int_{B_1}\varphi_1(\mathbf x)\, d\mathbf x=1, \|\nabla^2\varphi_1\|\leqslant A. При \varepsilon>0 положим \varphi_{\varepsilon}(\mathbf x)=\varepsilon^{-3}\varphi_1(\mathbf x/\varepsilon), так что \displaystyle\int_{B_{\varepsilon}}\varphi_{\varepsilon}(\mathbf x)\, d\mathbf x=1 и \|\nabla^2\varphi_{\varepsilon}\|\leqslant A/\varepsilon^2. Пусть T_{\varepsilon}=T*\varphi_{\varepsilon}, F_{\varepsilon}=F*\varphi_{\varepsilon}=\Phi*T_{\varepsilon}. Распределение T_{\varepsilon} – регулярно, т.е. имеет вид
\begin{equation}
\langle T_{\varepsilon}, \psi \rangle =\int h_{\varepsilon}(\mathbf x) \psi (\mathbf x)\,d \mathbf x, \qquad \psi \in C^{\infty}(\mathbb R^N),
\end{equation}
\tag{3.1}
где h_{\varepsilon} \in C^{\infty}_0(\mathbb R^3) – (вообще говоря) комплекснозначная функция. Кроме того,
\begin{equation}
\int_{\mathbb R^3} h_{\varepsilon}(\mathbf x) d \mathbf x=\langle T_{\varepsilon}, 1 \rangle =\langle T, \varphi_{\varepsilon}*1 \rangle=\langle T, 1 \rangle=\frac{\kappa(E)}2.
\end{equation}
\tag{3.2}
При 0<\varepsilon < 3/2-5/4=1/4 определим G_{\varepsilon}(\mathbf x)=F_{\varepsilon}(\mathbf x)-F_{\varepsilon}(\mathbf x-(3,0,0)). Эта функция является \mathcal L-аналитической вне множества U_{\varepsilon}(K\cup K_3), где K_3=\{\mathbf x+(3,0,0)\mid \mathbf x \in K\} и U_{\varepsilon}(Q) – \varepsilon-окрестность множества Q в \mathbb R^3. Рассмотрим функцию
\begin{equation}
g_{\varepsilon}(\mathbf x)=\int_{-\infty}^{+\infty} G_{\varepsilon}(\mathbf x', x_3+t)\,dt.
\end{equation}
\tag{3.3}
Равномерная сходимость последнего интеграла на компактах в \mathbb R^3 следует из стандартных оценок (см., например, [6; (2.6) и лемма 2.3]):
\begin{equation*}
|G_{\varepsilon}(\mathbf x)|\leqslant\frac{A}{|\mathbf x|^2+1},
\end{equation*}
\notag
причем функция g_{\varepsilon}(\mathbf x)=g_{\varepsilon}(\mathbf x') не зависит от x_3 и является \mathcal L'-аналитической вне множества U'_{\varepsilon}(K'\cup K'_3) (последнее следует из равномерной сходимости на компактах частичных сумм в интеграле (3.3) и теореме [4; теорема 4.4.2] о пределе \mathcal L-аналитических функций), где K'_3=\{\mathbf x'+(3,0)\mid \mathbf x' \in K'\}. Откуда находим
\begin{equation*}
|g_{\varepsilon}(\mathbf x')|\leqslant \frac{A}{\sqrt{|\mathbf x'|^2+1}}\leqslant A.
\end{equation*}
\notag
Кроме того,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal L' g_{\varepsilon}(\mathbf x') &=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal L G_{\varepsilon}(\mathbf x', x_3+t)\,dt \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl(h_{\varepsilon}(\mathbf x', x_3+t) -h_{\varepsilon}(\mathbf x'-(3,0), x_3+t)\bigr)\,dt \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl( h_{\varepsilon}(\mathbf x', t)- h_{\varepsilon}(\mathbf x'-(3,0), t) \bigr)\,dt =: h'_{\varepsilon}(\mathbf x')-h'_{\varepsilon}(\mathbf x'-(3,0)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь возьмем функцию \psi \in C^{\infty}_0(B'_1) с условиями 0 \leqslant \psi \leqslant 1, \psi=1 в B'(\mathbf 0', 3/4) и \|\nabla^2 \psi\|\leqslant A, и рассмотрим локализацию
\begin{equation*}
f_{\varepsilon}=V_{\psi 1} g_{\varepsilon}=\Phi'*(\psi \mathcal L' g_{\varepsilon})=\Phi'*(\psi (\mathbf x') (h'_{\varepsilon}(\mathbf x')-h'_{\varepsilon}(\mathbf x'-(3,0))= \Phi'*(h'_{\varepsilon}).
\end{equation*}
\notag
По лемме 2.2 мы получаем \|f_{\varepsilon}\|_{B'_1} \leqslant A. При этом \operatorname{Spt}(h'_{\varepsilon}) \subset U'_{\varepsilon}(E') и
\begin{equation*}
\langle h'_{\varepsilon}, 1 \rangle =\int_{\mathbb R^3} h_{\varepsilon}(\mathbf x)\,d\mathbf x=\frac{\kappa(E)}2.
\end{equation*}
\notag
Наконец, при \varepsilon \to 0 имеем G_{\varepsilon}(\mathbf x) \to G(\mathbf x)=F(\mathbf x)-F(\mathbf x-(3,0,0)) равномерно на \mathbb R^3, \displaystyle g_{\varepsilon}(\mathbf x') \to g(\mathbf x')=\int_{-\infty}^{+\infty} G(\mathbf x', t)\,dt равномерно на \mathbb R^2 и, следовательно, f_{\varepsilon}(\mathbf x') \to f(\mathbf x') равномерно на компактах в \mathbb R^2, где функция f непрерывна на \mathbb R^2, \mathcal L'-аналитична вне K' и \|f\|_{B'_1} \leqslant A. Фиксируем \psi_1 \in C^{\infty}_0(2B'_1) с условием \psi_1 \equiv 1 на B'_1, тогда
\begin{equation*}
\langle h'_{\varepsilon}, 1 \rangle=\langle \mathcal L'f_{\varepsilon}, 1\rangle=\langle \mathcal L'f_{\varepsilon}, \psi_1\rangle=\langle f_{\varepsilon}, \mathcal L'\psi_1\rangle\to \langle f, \mathcal L'\psi_1\rangle=\langle \mathcal L'f, 1\rangle \geqslant \frac{\kappa(E)}2.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, по определению емкости \kappa'(E'), имеем
\begin{equation*}
A \kappa'(E') \geqslant |\langle \mathcal L' f, 1 \rangle|= \frac{\kappa(E)}2,
\end{equation*}
\notag
что завершает доказательство теоремы 1.1. Из теоремы 1.1 и оценки [6; предложение 3.2 (1)] непосредственно вытекает следующая оценка сверху для емкости \kappa'_{B'(\mathbf x'_0, R)}. Следствие 3.1. Для всякого E' \subset B'(\mathbf x'_0, R/2) имеем:
\begin{equation*}
\kappa'_{B'(\mathbf x'_0, R)}(E')\leqslant A R^{-1} \mathcal M^1 (E'\times [-R, R]_{x_3}),
\end{equation*}
\notag
где A=A(\mathcal L')>0. В работе [6; следствие 1.1] получен следующий критерий (индивидуальной) равномерной приближаемости \mathcal L'-аналитическими функциями. Пусть X' – компакт в \mathbb R^2, \rho >0 и X=X' \times [-\rho, \rho]_{x_3}. Для любой функции f \in C_0(\mathbb R^2) следующие условия эквивалентны: (a) найдется последовательность \{f_n\}_{n=1}^{+\infty} функций, каждая из которых является \mathcal L'-аналитической (в своей) окрестности компакта X', с условием f_n \to f равномерно на X'; (b) найдутся \lambda \geqslant 1 и функция \omega (r) \to 0 при r \to 0 такие, что для всякого открытого шара B в \mathbb R^3 с центром \mathbf a=(\mathbf a', 0) и радиусом r имеем (\lambda B=B(\mathbf a, \lambda r)):
\begin{equation*}
\biggl| \frac{1}{\pi r^2} \int_{B'} f(\mathbf x') \frac{L'(\mathbf x'-\mathbf a')+(1+c_{22})(|\mathbf x'- \mathbf a'|^2-r^2)}{\sqrt{r^2-|\mathbf x'-\mathbf a' |^2}} \,d\mathbf x' \biggr| \leqslant\omega (r) \kappa (\lambda B \setminus X).
\end{equation*}
\notag
Если условие (a) выполнено, то (b) имеет место при \lambda=1 и \omega (r)=A\omega (f, r). Здесь L' – символ оператора \mathcal L', а емкость \kappa определяется оператором \mathcal L (см. (1.1) для N=3, \mathcal L=\mathcal L_3), A=A(\mathcal L) \in (0,+\infty). Из этого утверждения и теоремы 1.1 вытекает следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть X' – компакт в \mathbb R^2. Для любой функции f \in C_0(\mathbb R^2) следующие условия эквивалентны: (\mathrm a') найдется последовательность \{f_n\}_{n=1}^{+\infty} функций, каждая из которых является \mathcal L'-аналитической (в своей) окрестности компакта X', с условием f_n \to f равномерно на X'; (\mathrm b') найдутся \lambda \geqslant 1 и функция \omega (r) \to 0 при r \to 0 такие, что для всякого открытого круга B'=B'(\mathbf a', r) имеем (\lambda B'=B(\mathbf a', \lambda r))
\begin{equation*}
\biggl| \frac{1}{\pi r^2} \int_{B'} f(\mathbf x') \frac{L'(\mathbf x'-\mathbf a')+(1+c_{22})(|\mathbf x'- \mathbf a'|^2-r^2)}{\sqrt{r^2-|\mathbf x'-\mathbf a' |^2}} \,d\mathbf x' \biggr| \leqslant\omega (r)r\kappa'_{2\lambda B'} (\lambda B' \setminus X').
\end{equation*}
\notag
Если условие (\mathrm a') выполнено, то (\mathrm b') имеет место при \lambda=1 и \omega (r)=A\omega (f, r), A=A(\mathcal L') \in (0,+\infty). Доказательство. В условиях и обозначениях этих двух критериев достаточно ограничиться случаями 2\lambda r < \rho. При этом
\begin{equation*}
\lambda B \setminus X \subset (\lambda B' \setminus X')\times (-r, r) \subset 2\lambda B \setminus X,
\end{equation*}
\notag
и эквивалентность условий (\mathrm b') и (\mathrm b) (сформулированного выше критерия) следует из теоремы 1.1. Теорема 3.1 доказана. Теорема 3.1 является аналогом известного критерия А. Г. Витушкина [12; гл. IV, § 2, теорема 2] для равномерных рациональных аппроксимаций, а также критерия М. Я. Мазалова [8; теорема 4]. Из теоремы 3.1 так же, как из [8; теорема 4], стандартно вытекает следующий критерий приближаемости для классов функций. Следствие 3.2. Пусть X' – компакт в \mathbb R^2. Следующие условия эквивалентны: (1) для любой функции f \in C(X')\cap \mathcal A_{\mathcal L'}((X')^{\circ}) найдется последовательность \{f_n\}_{n=1}^{+\infty} функций, каждая из которых является \mathcal L'-аналитической (в своей) окрестности компакта X', с условием f_n \to f равномерно на X'; (2) для всякого круга B' имеем \kappa'_{2B'} (B' \setminus (X')^{\circ})=\kappa'_{2B'} (B' \setminus X'); (3) найдется \lambda \geqslant 1 такая, что для всякого открытого круга B'=B'(\mathbf a', r) имеем \kappa'_{2B'} (B' \setminus (X')^{\circ}) \leqslant A\kappa'_{2\lambda B'} (\lambda B' \setminus X'). Автор глубоко благодарен рецензентам за их труд по ознакомлению с этой статьей и ряд полезных замечаний. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Par22}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|