Аннотация:
Предложен единый подход к изучению нарушения корректности начально-краевых задач для дифференциальных уравнений. Взрыв множества решений задачи для дифференциального уравнения определен как разрыв многозначного отображения, сопоставляющего начально-краевой задаче множество решений этой задачи. Показано, что такое определение не только охватывает эффекты разрушения решения или его неединственности, но и дает возможность задать процедуру продолжения решения через момент возникновения особенности с помощью подходящего случайного процесса. Рассмотрение начально-краевых задач, допускающих особенности типа взрыва множества решений, вместе с некоторой их окрестностью в пространстве задач позволяет сопоставить исходной задаче множество предельных точек последовательности решений аппроксимирующих задач. Наделение пространства задач структурой пространства с мерой приводит к возникновению случайной полугруппы, порождаемой исходной задачей. Изучены свойства математических ожиданий случайной полугруппы и их эквивалентность по Чернову полугруппам с усредненными генераторами.
Результаты разделов 1, 2 получены Л. С. Ефремовой, разделов 3, 4 – В.Ж. Сакбаевым.
Исследование Л. С.~Ефремовой выполнено за счет
гранта № 10-14 Министерства образования
и~науки РФ.
Исследование В.Ж. Сакбаева выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00687) в Математическом институте им. В.А. Стеклова Российской академии наук.
Поступило в редакцию: 05.12.2014 После доработки: 13.04.2015
Образец цитирования:
Л. С. Ефремова, В. Ж. Сакбаев, “Понятие взрыва множества решений дифференциальных уравнений и усреднение случайных полугрупп”, ТМФ, 185:2 (2015), 252–271; Theoret. and Math. Phys., 185:2 (2015), 1582–1598
V. Zh. Sakbaev, “Application of Banach limits to invariant measures of infinite-dimensional Hamiltonian flows”, Ann. Funct. Anal., 15:2 (2024)
René Lozi, Vladimir Belykh, Jim Michael Cushing, Lyudmila Efremova, Saber Elaydi, Laura Gardini, Michał Misiurewicz, Eckehard Schöll, Galina Strelkova, “The paths of nine mathematicians to the realm of dynamical systems”, Journal of Difference Equations and Applications, 30:1 (2024), 1
В. А. Глазатов, В. Ж. Сакбаев, “Меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно гамильтоновых потоков”, Уфимск. матем. журн., 14:2 (2022), 3–22; V. A. Glazatov, V. Zh. Sakbaev, “Measures on Hilbert space invariant with respect to Hamiltonian flows”, Ufa Math. J., 14:2 (2022), 3–21
V. Zh. Sakbaev, A. D. Shiryaeva, “Blow-Up of States in the Dynamics Given by the Schrödinger Equation with a Power-Law Nonlinearity in the Potential”, Diff Equat, 58:4 (2022), 497
В. М. Бусовиков, В. Ж. Сакбаев, “Пространства Соболева функций на гильбертовом пространстве с трансляционно инвариантной мерой и аппроксимации полугрупп”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:4 (2020), 79–109; V. M. Busovikov, V. Zh. Sakbaev, “Sobolev spaces of functions on a Hilbert space endowed with a translation-invariant measure and approximations of semigroups”, Izv. Math., 84:4 (2020), 694–721
V. Zh. Sakbaev, N. V. Tsoi, “Analogue of Chernoff Theorem For Cylindrical Pseudomeasures”, Lobachevskii J. Math., 41:12, SI (2020), 2369–2382
А. Д. Грехнева, В. Ж. Сакбаев, “Динамика множества квантовых состояний, порождаемая нелинейным уравнением Лиувилля–фон Неймана”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 60:8 (2020), 1383–1393; A. D. Grekhneva, V. Zh. Sakbaev, “Dynamics of a set of quantum states generated by a nonlinear Liouville–von Neumann equation”, Comput. Math. Math. Phys., 60:8 (2020), 1337–1347
Ю. Н. Орлов, В. Ж. Сакбаев, О. Г. Смолянов, “Формулы Фейнмана и закон больших чисел для случайных однопараметрических полугрупп”, Математическая физика и приложения, Сборник статей. К 95-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Труды МИАН, 306, МИАН, М., 2019, 210–226; Yu. N. Orlov, V. Zh. Sakbaev, O. G. Smolyanov, “Feynman Formulas and the Law of Large Numbers for Random One-Parameter Semigroups”, Proc. Steklov Inst. Math., 306 (2019), 196–211
L. S. Efremova, A. D. Grekhneva, V. Zh. Sakbaev, “Phase flows generated by Cauchy problem for nonlinear Schrodinger equation and dynamical mappings of quantum states”, Lobachevskii J. Math., 40:10, SI (2019), 1455–1469
V. Zh. Sakbaev, “Averaging of random flows of linear and nonlinear maps”, European Conference - Workshop Nonlinear Maps and Applications, Journal of Physics Conference Series, 990, IOP Publishing Ltd, 2018, UNSP 012012
В. Ж. Сакбаев, “Полугруппы преобразований пространства функций, квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантной мере на банаховом пространстве”, Квантовая вероятность, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 151, ВИНИТИ РАН, М., 2018, 73–90; V. Zh. Sakbaev, “Transformation Semigroups of the Space of Functions That Are Square Integrable with respect to a Translation-Invariant Measure on a Banach Space”, J. Math. Sci. (N. Y.), 252:1 (2021), 72–89
Л. С. Ефремова, “Динамика косых произведений отображений интервала”, УМН, 72:1(433) (2017), 107–192; L. S. Efremova, “Dynamics of skew products of interval maps”, Russian Math. Surveys, 72:1 (2017), 101–178
В. Ж. Сакбаев, “Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов”, ТМФ, 191:3 (2017), 473–502; V. Zh. Sakbaev, “Averaging of random walks and shift-invariant measures on a Hilbert space”, Theoret. and Math. Phys., 191:3 (2017), 886–909
В. Ж. Сакбаев, “Случайные блуждания и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов и поворотов”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 140 (2017), 88–118; V. Zh. Sakbaev, “Random walks and measures on Hilbert space that are invariant with respect to shifts and rotations”, J. Math. Sci. (N. Y.), 241:4 (2019), 469–500
В. Ж. Сакбаев, “О законе больших чисел для композиций независимых случайных полугрупп”, Изв. вузов. Матем., 2016, № 10, 86–91; V. Zh. Sakbaev, “On the law of large numbers for compositions of independent random semigroups”, Russian Math. (Iz. VUZ), 60:10 (2016), 72–76
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: