Случайные блуждания и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов и поворотов

Изучаются случайные блуждания в гильбертовом пространстве $H$ и представления с их помощью решений задач Коши для дифференциальных уравнений, начальными условиями которых являются числовые функции на гильбертовом пространстве $H$. Приведены примеры таких представлений решений различных эволюционных уравнений в случае конечномерного пространства $H$. Для реализации таких представлений в бесконечномерном гильбертовом пространстве исследуются меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов. Согласно теореме А. Вейля не существует меры Лебега на бесконечномерном гильбертовом пространстве. В статье исследован конечно-аддитивный аналог меры Лебега — инвариантная относительно сдвигов и поворотов в гильбертовом пространстве $H$ неотрицательная конечно аддитивная мера $\lambda$, определенная на минимальном кольце подмножеств бесконечномерного гильбертова пространства $H$, содержащем все бесконечномерные прямоугольники, произведения длин сторон которых сходятся абсолютно. Рассмотрены также конечно-аддитивные аналоги меры Лебега на пространствах $l_{p}$, $1\leq p\leq \infty$. Определено гильбертово пространство $\mathcal H$ комплекснозначных функций на гильбертовом пространстве $H$, квадратично интегрируемых по инвариантной относительно сдвигов мере $\lambda$. Получены представления решений задачи Коши для уравнения диффузии в пространстве $H$ и уравнения Шредингера с координатным пространством $H$ с помощью итераций математических ожиданий операторов случайного сдвига в гильбертовом пространстве $\mathcal H$.