А. Ю. Орлов, “Склейка многоугольников и коммутирующие бозонные операторы”, ТМФ, 216:2 (2023), 234–244; Theoret. and Math. Phys., 216:2 (2023), 1110

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 216, номер 2, страницы 234–244
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10506 (Mi tmf10506)

Склейка многоугольников и коммутирующие бозонные операторы

А. Ю. Орлов^ab

^a Институт океанологии им. П. П. Ширшова Российской академии наук, Москва, Россия
^b Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия

PDF полного текста (449 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10506

Аннотация: Построены два семейства коммутирующих гамильтонианов, параметризованных постоянной матрицей. Первая серия является новой, а вторая известна и в рамках представленного подхода является следствием первой серии. Для доказательства использованы известные факты о связях между случайными матрицами и числами Гурвица, но текст самосогласован и не требует ссылок на эти работы.

Ключевые слова: склейка многоугольников, коммутирующие квантовые гамильтонианы.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	20-12-00195
Работа была поддержана Российским научным фондом (грант № 20-12-00195).

Поступило в редакцию: 26.03.2023
После доработки: 14.05.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages 1110–1118
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080032

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

Посвящается Леониду Чехову и Никите Славнову в честь их 60-летия

1. Введение

Одной из известных задач математики и математической физики является нахождение кольца коммутирующих операторов, действующих в бесконечномерном пространстве. В настоящей статье мы представляем пример такого кольца. Наше исследование инициировано статьями [1]–[4], посвященными несколько иной тематике. Современные методы получения таких колец описаны в многочисленных работах, в частности в работах по квантовым интегрируемым системам. Мы не можем даже пролистать огромную коллекцию статей на эту тему. Для поиска ссылок приведем, например, статьи [5], [6] с большим списком литературы, принося свои извинения за неполную библиографию. В настоящей работе представлено семейство операторов, для которых доказано, что они коммутируют между собой. Конструкция этих операторов вполне естественна, но представляется новой. Доказательство простое, но мы используем некоторые факты, которые хорошо известны из взаимосвязи между многоматричными ансамблями Жинибра и склейкой многоугольников [7], [8]. На самом деле шаги доказательства достаточно элементарны. Мы последовательно проводим прямые вычисления, применяя небольшую хитрость, чтобы сделать их проще. Необходимые определения объясняются в приложении А. В приложении Б описано действие операторов на векторы Фока, которое выражается через числа Гурвица.

2. Коммутирующие гамильтонианы I

Рассмотрим следующую осцилляторную алгебру:

$\begin{equation} [\phi^\unicode{8224}_{i,j},\phi^\unicode{8224}_{i',j'}]=[\phi_{i,j},\phi_{i',j'}]=0,\quad [\phi^\unicode{8224}_{i,j},\phi_{j',i'}]=\delta_{i,i'}\delta_{j,j'}, \qquad 0\leqslant i,j,i',j'\leqslant N. \end{equation} \tag{1}$

Пространство Фока порождается действием операторов рождения

$\phi_{i,j}$ на вакуум

$|0\rangle$ , при этом

$\phi^\unicode{8224}_{i,j}|0\rangle=0$ для всех

$0\leqslant i,j\leqslant N$ . Мы обозначаем матрицы с элементами

$\phi_{i,j}$ и

$\phi^\unicode{8224}_{i,j}$ ,

$0\leqslant i,j\leqslant N$ , как

$\phi$ и

$\phi^\unicode{8224}$ соответственно.

Введем оператор $H_n(A)= \operatorname{tr} (\phi^\unicode{8224}\phi A)^n$ , где $A$ – матрица размера $N\times N$ . Если матрица $A$ эрмитова, то оператор $H_n(A)$ можно рассматривать как гамильтониан системы бозонных частиц. Заметим, что при $A=I_N$ оператор $H_2(I_N)$ связан с оператором Лапласа–Бельтрами на группе $GL_N$ и гамильтонианом квантовой системы Калоджеро при специальном значении константы связи, когда собственные функции гамильтониана превращаются в функции Шура:

$\begin{equation} H_n(I_N)s_\lambda(\phi C)|0\rangle=E_n(\lambda)s_\lambda(\phi C)|0\rangle,\qquad C\in GL_N, \end{equation} \tag{2}$

где

$\lambda$ – разбиение,

$E_n(\lambda)$ – собственное значение и

$C$ не зависит от

$\phi$ .

Замечание 1. Из рассуждений, представленных в работе [8], следует, что

$\begin{equation} H_n(A)s_\lambda(\phi C)|0\rangle=E_n(\lambda)s_\lambda(\phi AC)|0\rangle, \end{equation} \tag{3}$

где

$|\lambda|=n$ . Соотношение (3) можно интерпретировать как задачу на собственные значения в двух случаях: когда либо

$A=I_N$ , либо

$A\neq I_N$ ,

$AC=C$ , откуда следует, что оба оператора

$A$ и

$C$ вырожденны. Первый случай является специализацией “обобщенного уравнения разрезания и склейки”, введенного в работе [2], и для этого случая равенство (3) верно без ограничения

$|\lambda|=n$ .

Примечательным свойством операторов $H_n(A)$ является тот факт, что они коммутируют друг с другом.

Предложение 1. Для любой пары чисел $n,m\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ имеет место равенство

$\begin{equation} [H_n(A),H_m(A)]=0. \end{equation} \tag{4}$

Доказательство. Рассмотрим многокомпонентные аналоги операторов

$\phi$ и

$\phi^\unicode{8224}$ . Пусть для

$a,b=1,\ldots,k$

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, {} [\phi^{(a)\unicode{8224}}_{i,j},\phi^{(b)\unicode{8224}}_{i',j'}]=[\phi^{(a)}_{i,j},\phi^{(b)}_{i',j'}]=0,\quad [\phi^{(a)\unicode{8224}}_{i,j},\phi^{(b)}_{j',i'}]=\delta_{a,b}\delta_{i,i'}\delta_{j,j'}, \quad 0\leqslant i,j,i',j'\leqslant N, \\ \phi^{(a)\unicode{8224}}_{i,j}|0\rangle=0,\quad 0\leqslant i,j\leqslant N. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Представим оператор рождения $\phi^{(a)}_{i,j}$ в виде белой пунктирной стрелки, начало которой помечено как $i$ , конец – как $j$ , а самой стрелке присвоим номер $a$ . Оператор уничтожения $\phi^{(a)\unicode{8224}}_{i,j}$ представим как черную пунктирную стрелку с тем же номером $a$ , но теперь мы присвоим метку $j$ началу этой стрелки и метку $i$ ее концу.

Пусть $B_a$ и $C_a$ – некоторые ( $N\times N$ )-матрицы, $a=1,\ldots,k$ . Изобразим каждый элемент $B^{(a)}_{i,j}$ матрицы $B_a$ сплошной черной стрелкой с номером $a$ и присвоим ее началу метку $i$ , а концу метку $j$ . Аналогично каждый элемент $C^{(a)}_{i,j}$ матрицы $C_a$ изображается сплошной белой стрелкой с номером $a$ , началом $i$ и концом $j$ .

След произведения нескольких матриц можно представить как многоугольник с направленными ребрами и с суммированием меток в вершинах. У нас есть два таких произведения: первое приходит из $H_n(A)$ , а второе – из $H_m(A)$ ; мы соответственно называем их черными и белыми многоугольниками. Ребра черного многоугольника направлены в положительном направлении (против часовой стрелки), а ребра белого многоугольника – в отрицательном направлении. Таким образом, переход против часовой стрелки от одного черного ребра многоугольника к другому соответствует взятию произведения под знаком следа слева направо, переход по часовой стрелке от одного белого ребра многоугольника к другому также соответствует взятию произведения под знаком следа от слева направо. Если нарисовать на сфере отрицательно ориентированный $k$ -угольник, то дополнительным к нему будет положительно ориентированный $k$ -угольник. В дальнейшем под склейкой $k$ -угольников будем понимать склейку черного $k$ -угольника с дополнительным к белому $k$ -угольнику.

Рассмотрим два противоположно ориентированных $2k$ -угольника: черный, порожденный следом $\operatorname{tr} (\phi^{(1)\unicode{8224}}B_1\phi^{(2)\unicode{8224}}B_2\ldots\phi^{(k )\unicode{8224}} B_k)$ , ребра которого представляют собой чередующиеся пунктирные и сплошные черные стрелки, и белый, порожденный следом $\operatorname{tr} (\phi^{(k)}C_k\phi^{(k-1)}C_{k-1 }\ldots \phi^{(1)}C_1)$ , ребра которого представляют собой чередующиеся пунктирные и сплошные белые стрелки.

На самом деле удобнее сначала рассмотреть случай, когда все матрицы $B_a$ , $C_a$ , $a=1,\ldots,k$ , одинаковы. В этом случае все ребра обоих многоугольников – это пунктирные стрелки. Только после этого мы добавляем матрицы $B_a$ , $C_a$ по углам многоугольников как поперечины. Поэтому будем называть матрицы $B_a$ и $C_a$ черной и белой угловыми матрицами соответственно.

Можно показать, что

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \langle 0| \operatorname{tr} (\phi^{(1)\unicode{8224}}B_1\phi^{(2)\unicode{8224}}B_2\ldots\phi^{(k)\unicode{8224}}B_k) \operatorname{tr} (\phi^{(k)}&C_k\phi^{(k-1)}C_{k-1}\ldots\phi^{(1)} C_1)|0\rangle= \notag\\ &= \operatorname{tr} (B_1C_2) \operatorname{tr} (B_2C_3)\ldots \operatorname{tr} (B_kC_1). \end{aligned} \end{equation} \tag{5}$

Это соотношение можно интерпретировать как следующую склейку двух

$2k$ -угольников. Каждая пара противоположно направленных пунктирных стрелок (черной и белой) с номером

$a=1,\ldots,k$ склеивается по правилу

$\begin{equation} \langle 0|\phi^{(a)\unicode{8224}}_{i,j}\phi^{(b)}_{j',i'}|0\rangle= \delta_{a,b}\delta_{i,i'}\delta_{j,j'}. \end{equation} \tag{6}$

Видно, что соотношение (5) описывает сферу, склеенную из двух многоугольников с

$k$ вершинами, каждая из которых окружена отрицательно ориентированными 2-угольниками, ребра этих 2-угольников задаются стрелками, связанными с

$(B_1,C_2),( B_2,C_3),\ldots,(B_k,C_1)$ . Тогда правая часть в (5) очевидна.

Однако то, какая поверхность получится из математического ожидания, зависит от того, какие ребра белого многоугольника и черного многоугольников склеиваются. Если перенумеровать ребра белого многоугольника как

$\begin{equation*} (k,k-1,\ldots,1)\to i_k,i_{k-1},\ldots,i_1 \end{equation*} \notag$

и снова склеить многоугольники по пунктирным стрелкам с теми же номерами, то можно получить другую ориентированную поверхность.

Например, мы имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \langle 0| \operatorname{tr} (\phi^{(1)\unicode{8224}}B_1\phi^{(2)\unicode{8224}}B_2\phi^{(3)\unicode{8224}}B_3) \operatorname{tr} (\phi^{(2)}&C_2\phi^{(1)}C_1\phi^{(3)}C_3)|0\rangle= \notag\\ &= \operatorname{tr} (B_1C_2) \operatorname{tr} (B_2C_3) \operatorname{tr} (B_3C_1) \end{aligned} \end{equation} \tag{7}$

так как получается сфера, составленная из двух треугольников (двух полушарий: южного (черного) и северного (белого)). Вот грани черного треугольника нумеруются как

$1$ ,

$2$ ,

$3$ , если мы обходим его в положительном направлении относительно cеверного полюса. Ребра белого треугольника нумеруются так же, если мы обходим его в положительном направлении относительно южного полюса. Получаем три вершины, каждая из которых имеет по два угла, а монодромия каждой вершины есть произведение одной черной и одной белой угловой матрицы.

Выражение

$\begin{equation} \langle 0| \operatorname{tr} (\phi^{(1)\unicode{8224}}B_1\phi^{(2)\unicode{8224}}B_2\phi^{(3)\unicode{8224}}B_3) \operatorname{tr} (\phi^{(1)}C_1\phi^{(2)}C_2\phi^{(3)}C_3)|0\rangle= \operatorname{tr} (B_1C_2B_3C_1B_2C_3) \end{equation} \tag{8}$

описывает склейку двух треугольников, ребра которых пронумерованы как

$1$ ,

$2$ ,

$3$ и

$2$ ,

$1$ ,

$3$ , в результате чего получается тор с одной шестивалентной вершиной и шестью соседними углами.

Мы получаем следующее соотношение:

$\begin{equation} \langle 0| \operatorname{tr} (\phi^{(1)\unicode{8224}}B_1\phi^{(2)\unicode{8224}}B_2\ldots\phi^{(k)\unicode{8224}}B_k) \operatorname{tr} (\phi^{(a_k)}C_{a_k}\ldots\phi^{(a_1)}C_{a_1})|0\rangle= \operatorname{tr} (W_1)\ldots \operatorname{tr} (W_V), \end{equation} \tag{9}$

где

$V$ – количество вершин, а каждая

$W_\alpha$ есть монодромия, полученная как произведение угловых матриц вокруг вершины

$\alpha$ при обходе ее по часовой стрелке.

Замечание 2. Важно, что черные и белые угловые матрицы, связанные с каждой вершиной, чередуются по мере обхода вершины. Вершина $\alpha$ валентности $2v$ имеет монодромию вида $W_\alpha=(B_{b_1}C_{c_1})\ldots(B_{b_v}C_{c_v})$ , где числа $b_1,\ldots,b_v$ и $c_1,\ldots,c_v$ , отвечающие угловым матрицам, принадлежат множеству $1,\ldots,k$ (см., например, правые части уравнений (5)–(8)).

Теперь мы можем записать

$\begin{equation} \mathopen{:\,} \operatorname{tr} ((\phi^\unicode{8224}\phi A)^n) \mathclose{:\,} \; \mathopen{:\,} \operatorname{tr} ((\phi^\unicode{8224}\phi A)^m) \mathclose{:\,} =\sum_{k=0}^{\min (n,m)} \mathopen{:\,} Q_k \mathclose{:\,} , \end{equation} \tag{10}$

где

$k$ – число спариваний

$\langle 0|\phi^\unicode{8224}\phi|0\rangle$ по правилу Вика. Каждое слагаемое

$\mathopen{:\,} Q_k \mathclose{:\,}$ представляет собой сумму, которая включает в себя:

1) сумму по всем возможным способам выбора $k$ операторов $\phi^\unicode{8224}$ и $k$ операторов $\phi$ соответственно в первом и втором множителях в левой части (10);

2) сумму по всем возможным способам спариваний выбранных операторов, которая равна сумме по всем элементам группы перестановок $S_k$ , где $k$ – число спариваний $\langle 0|\phi^\unicode{8224}\phi|0\rangle$ по правилу Вика.

Замечание 3. Чтобы описать различные пары, выберем операторы $\phi^\unicode{8224}$ , стоящие на позициях с номерами $1,\ldots,k$ в произведении

$\begin{equation} \underbrace{(\phi^\unicode{8224}\phi A)\ldots(\phi^\unicode{8224}\phi A)}_n, \end{equation} \tag{11}$

нумеруя их слева направо. В произведении

$\begin{equation} \underbrace{(\phi^\unicode{8224}\phi A)\ldots (\phi^\unicode{8224}\phi A)}_m \end{equation} \tag{12}$

пронумеруем выбранные операторы

$\phi$ числами

$\sigma(1),\ldots,\sigma(k)$ слева направо. Мы спариваем

$\phi^\unicode{8224}$ и

$\phi$ с одним и тем же номером. Следует иметь в виду, что циклическая перестановка в произведении операторов не меняет след. Поэтому мы можем поместить

$\phi^\unicode{8224}_1$ и

$\phi_1$ на крайнее левое место соответственно в (11) и (12).

Символически мы можем написать

$\begin{equation} \mathopen{:\,} Q_k \mathclose{:\,} =\sum_{\text{samples}}\sum_{\sigma\in S_k} \mathopen{:\,} q_\sigma(k\cdot k\,{\text{samples}}) \mathclose{:\,} \end{equation} \tag{13}$

(здесь и далее samples означает различные варианты выбора

$k$ операторов

$\phi$ и

$k$ операторов

$\phi^\unicode{8224}$ ). Самыми простыми являются

$\mathopen{:\,} Q_0 \mathclose{:\,}$ ,

$\mathopen{:\,} Q_1 \mathclose{:\,}$ и

$\mathopen{:\,} Q_2 \mathclose{:\,}$ ,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathopen{:\,} Q_0 \mathclose{:\,} &= \mathopen{:\,} \operatorname{tr} ((\phi^\unicode{8224}\phi A)^n)\, \operatorname{tr} ((\phi^\unicode{8224}\phi A)^m) \mathclose{:\,} , \\ \mathopen{:\,} Q_1 \mathclose{:\,} &=nm\, \mathopen{:\,} \operatorname{tr} (A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n+m-1}) \mathclose{:\,} , \\ \mathopen{:\,} Q_2 \mathclose{:\,} &=nm\sum_{\substack{n_1,n_2,m_1,m_2:\\ n_1+n_2=n-2,\,m_1+m_2=m-2}} \mathopen{:\,} \operatorname{tr} (A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_1+m_2-1})\, \operatorname{tr} (A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_2+m_1-1}) \mathclose{:\,} . \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для

$k=3$ используем соотношения (6) и (8):

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathopen{:\,} Q_3 \mathclose{:\,} &=nm\kern-7pt\sum_{\substack{n_1,n_2,n_3:\\ n_1+n_2+n_3=n-3,\\ m_1,m_2,m_3:\\ m_1+m_2+m_3=m-3}}\kern-15pt \begin{aligned} \, &{}\\ \mathopen{:\,} \operatorname{tr} (A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_1+m_2-1}) \operatorname{tr} &(A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_2+m_3-1})\times{}\\ &\times \operatorname{tr} (A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_3+m_1-1}) \mathclose{:\,} +{}\end{aligned} \\ &\quad+nm\kern-7pt\sum_{\substack{n_1,n_2,n_3:\\ n_1+n_2+n_3=n-3,\\ m_1,m_2,m_3:\\ m_1+m_2+m_3=m-3}}\kern-15pt \mathopen{:\,} \operatorname{tr} ( A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_1+m_2-1} A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_3+m_1-1}A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_2+m_3-1}) \mathclose{:\,} . \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для произвольного

$k$ имеем

$\begin{equation*} \mathopen{:\,} Q_k \mathclose{:\,} =n\sum_{\substack{n_1,\ldots,n_k,\\ m_1,\ldots,m_k}}\sum_{\sigma\in S_k} \mathopen{:\,} q_\sigma(k) \mathclose{:\,} , \end{equation*} \notag$

где

$\sigma$ перечисляет различные способы спаривания каждого

$\phi$ с

$\phi^\unicode{8224}$ из выбранных операторов в левой части. Существуют

$\binom{n}{k}$ и

$\binom{m}{k}$ способов выбора операторов и

$|S_k|=k!$ разных пар (фактически

$(k-1)!$ из-за циклических перестановок). Но эти числа на самом деле для нас не важны.

Когда выбор образцов операторов и нумерация фиксированы, можно записать левую часть (10) в виде (9), где

$\begin{equation} B_i=\phi A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_i},\qquad C_i=A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{m_i}\phi^\unicode{8224}. \end{equation} \tag{14}$

Здесь числа

$n_1,\ldots,n_k$ показывают, чему равно “расстояние” между соседними операторами

$\phi^\unicode{8224}$ , выбранными в (11). Справедливы следующие равенства:

$\begin{equation} \sum_{a=1}^v n_{i_a}=n-k,\qquad\sum_{a=1}^v m_{j_a}=m-k. \end{equation} \tag{15}$

Каждый способ спаривания дает определенный вложенный граф. Каждый граф порождает произведение следов монодромий вокруг вершин, см. соотношение 9, структура каждой монодромии описана в замечании 2, поэтому след каждой монодромии $W_\alpha$ имеет вид

$\begin{equation} \operatorname{tr} W_\alpha= \operatorname{tr} ((B_{i_1}C_{j_1})\ldots(B_{i_v}C_{j_v}))= \operatorname{tr} (A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_{i_1}+m_{j_1}+1}\ldots A (\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_{i_v}+m_{j_v}+1}) \end{equation} \tag{16}$

для некоторых

$i_1,j_1,\ldots,i_v,j_v$ , где

$2v$ – валентность вершины

$\alpha$ . Таким образом, каждый след монодромии полностью характеризуется упорядоченным множеством чисел

$\begin{equation} n_{i_1}+m_{j_1},\ldots,n_{i_v}+m_{j_v} \end{equation} \tag{17}$

с точностью до циклической перестановки. Назовем это множество спектром вершины

$\alpha$ и сравним эти спектры.

Аналогично предыдущему запишем для второго члена коммутатора соотношения

$\begin{equation} \mathopen{:\,} \operatorname{tr} ((\phi^\unicode{8224}\phi A)^m) \mathclose{:\,} \mathopen{:\,} \operatorname{tr} ((\phi^\unicode{8224}\phi A)^n) \mathclose{:\,} =\sum_{k=0}^{\min (n,m)} \mathopen{:\,} Q^*_k \mathclose{:\,} \end{equation} \tag{18}$

$\begin{equation} \mathopen{:\,} Q^*_k \mathclose{:\,} =\sum_{{\text{samples}}^*}\sum_{\sigma\in S_k} \mathopen{:\,} q^*_\sigma(k\times k\,{\text{samples}}^*) \mathclose{:\,} . \end{equation} \tag{19}$

Сравним члены

$\mathopen{:\,} q_\sigma(k\times k\,{\text{samples}}) \mathclose{:\,}$ и

$\mathopen{:\,} q^*_\sigma(k\times k\,{\text{samples}}^*) \mathclose{:\,}$ для данного

$\sigma$ . Мы соотносим выбранные операторы следующим образом: каждому

$\phi^\unicode{8224}$ из выборки в (13) сопоставляем ближайший правый соседний

$\phi$ из выборки в (19), а каждому

$\phi$ в (13) сопоставляем ближайший левый соседний

$\phi^\unicode{8224}$ для соответствующей выборки в (19). Такие пары операторов будем называть дуальными.

Если $k$ – количество пар, то для каждого $k$ мы имеем

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \mathopen{:\,} Q^*_k \mathclose{:\,} =\sum_{\sigma\in S_k} \mathopen{:\,} q^*_\sigma(k) \mathclose{:\,} , \\ \operatorname{tr} W^*_\alpha= \operatorname{tr} ((B_{i_1}C_{j_1})\ldots(B_{i_v}C_{j_v}))= \operatorname{tr} (A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_{i_1}+m_{j_2}+1}\ldots A(\phi^\unicode{8224}\phi A)^{n_{i_v}+m_{j_1}+1}), \end{gathered} \end{equation} \tag{20}$

и след характеризуется спектром

$\begin{equation} n_{i_1}+m_{j_2},\ldots,n_{i_v}+m_1. \end{equation} \tag{21}$

Теперь сравним этот дуальный спектр со спектром (17). Существует взаимно однозначное соответствие между спектрами (17) и (21), задающееся циклической перестановкой чисел

$n_{i_a}$ ,

$a=1,\ldots,v$ , связанных с рассматриваемой вершиной

$\alpha$ :

$\begin{equation*} n_{i_1}\to n_{i_2},\ldots,n_{i_v}\to n_{i_1}, \end{equation*} \notag$

при этом все

$m_{j_a}$ ,

$a=1,\ldots,v$ , в (21) те же, что в (17). Эти замены не нарушают условия (15).

Те же соответствия между членами, приходящими из (10) и из (18), мы можем установить для всех вершин результирующего графа, и это получается для всех графов. Тем самым условие (4) доказано. $\blacksquare$

Для заданного разбиения $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_\ell)$ , $\ell=1,2,\ldots$ введем

$\begin{equation} H_\mu(A)=\, \mathopen{:\,} \prod_{i=1}^\ell \operatorname{tr} ((\phi^\unicode{8224}\phi A)^{\mu_i}) \mathclose{:\,} . \end{equation} \tag{22}$

Так же, как мы доказывали предложение 1, можно доказать, что

$[H_n(A),H_\mu(A)]=0$ для

$n=1,2,\ldots{}$ и любого разбиения

$\mu=(\mu_1,\mu_2,\ldots)$ . В этом случае для каждого заданного

$k$ cклеивается один черный

$k$ -угольник, связанный с выбором определенных членов в

$\operatorname{tr} ((\phi^\unicode{8224}\phi A)^n)$ , и набор белых многоугольников, полученных выделением бозонных операторов из произведения

$h_\mu(A)$ . Далее мы используем циклическую перестановку чисел

$n_i$ , описанную выше.

3. Коммутирующие гамильтонианы II

Пусть $A=1+\epsilon\kern1pt\mathcal{A}$ , где $\mathcal{A}\in\operatorname{Mat}_{N\times N}$ , а $\epsilon$ – параметр. Введем

$\begin{equation*} h_n(\mathcal{A})= \mathopen{:\,} \operatorname{tr} (\mathcal{A}(\phi^\unicode{8224}\phi)^n) \mathclose{:\,} ,\qquad h_\lambda(\mathcal{A})= \mathopen{:\,} \prod_{i=1}^\ell \operatorname{tr} (\mathcal{A}(\phi^\unicode{8224}\phi)^{\lambda_i}) \mathclose{:\,} , \end{equation*} \tag{23}$

где

$\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_\ell$ –некоторое разбиение. Тогда из предложения 1 и соотношений

$\begin{equation} [H_n(I_N),H_m(I_N)]=0,\qquad \mathopen{:\,} [H_n(I_N),h_\lambda(\mathcal{A})] \mathclose{:\,} =0 \end{equation} \tag{24}$

следует, что

$\begin{equation} [h_n(\mathcal{A}),h_\lambda(\mathcal{A})]=0,\qquad \mathcal{A}\in\operatorname{Mat}_{N\times N}. \end{equation} \tag{25}$

Каждое из уравнений (24) и по существу утверждение (25) доказываются так же, как предложение 1. Детали мы опускаем. Соотношения (24) и (25), записанные как дифференциальные операторы и без нормального упорядочения, достаточно известны (см., например, [9]).

4. Обсуждение

В представленной работе мы нашли последовательность коммутирующих эрмитовых операторов, и это означает, что мы имеем дело с квантовой интегрируемой системой. Отметим, что для общих эрмитовых матриц собственные функции гамильтонианов $h_n(A)$ пока неизвестны. Эту задачу нужно решать вместе с несколькими другими задачами, например такими, которые решались в работе [10] для некоторых квантово-интегрируемых систем. Было бы интересно сравнить эти результаты с результатами, полученными в [5], [9], [11]–[19].

Еще одно интересное направление развития предложенного подхода – это его связь с квантовой моделью Калоджеро. По этому поводу следует отметить работы [1]–[4], [20]–[22].

Приложение А. Разбиения и функции Шура

Напомним, что характеры унитарной группы $\mathbb{U}(N)$ индексируются разбиениями и совпадают с так называемыми функциями Шура [23]. Разбиение $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ – это множество неотрицательных целых чисел $\lambda_i$ , упорядоченных как $\lambda_i\geqslant\lambda_{i+1}$ , которые называются частями разбиения $\lambda$ . Количество ненулевых частей называется длиной разбиения $\lambda$ и обозначается через $\ell(\lambda)$ . Число $|\lambda|=\sum_i\lambda_i$ называется весом разбиения $\lambda$ .

Функция Шура с индексом $\lambda$ при $\ell(\lambda)\leqslant N$ может быть задана как следующая функция переменных $x=(x_1,\ldots,x_N)$ :

$\begin{equation} s_\lambda(x)=\frac{\det[x_j^{\lambda_i-i+N}]_{i,j}}{\det[x_j^{-i+N}]_{i,j}}\kern1pt; \end{equation} \tag{26}$

если

$\ell(\lambda)>N$ , функция Шура равна нулю. Видно, что

$s_\lambda(x)$ является симметричным однородным полиномом степени

$|\lambda|$ от переменных

$x_1,\ldots,x_N$ , причем

$\deg x_i=1$ для всех

$i=1,\ldots,N$ .

Замечание 4. Если множество переменных $x$ есть множество собственных значений матрицы $X$ , мы также пишем $s_\lambda(X)$ вместо $s_\lambda(x)$ .

Существует другое определение функции Шура как квазиоднородного несимметричного полинома степени $|\lambda|$ , но от других переменных – так называемых степенных сумм $\mathbf p=(p_1,p_2,\ldots)$ , где $\deg p_m=m$ . А именно, сначала введем

$\begin{equation*} s_{\{h\}}(\mathbf p)=\det[s_{(h_i+j-N)}(\mathbf p)]_{i,j}, \end{equation*} \notag$

где

$\{h\}$ – произвольный набор

$N$ целых чисел. Тогда функция Шура

$s_{(i)}$ задается равенством

$\begin{equation*} \exp\biggl\{\,\sum_{m>0}\frac{1}{m}p_m z^m\biggr\}=\sum_{m\geqslant 0}s_{(i)}(\mathbf p)z^i. \end{equation*} \notag$

Если положить

$h_i=\lambda_i-i+N$ , где

$N$ не превосходит длины разбиения

$\lambda$ , то функция Шура

$\begin{equation} s_\lambda(\mathbf p)= s_{\{h\}}(\mathbf p). \end{equation} \tag{27}$

Два определения функции Шура (26) и (27) эквивалентны,

$s_\lambda(\mathbf p)=s_\lambda(x)$ , если переменные

$\mathbf p$ и

$x$ связаны соотношением степенных сумм

$\begin{equation} p_m=\sum_i x_i^m. \end{equation} \tag{28}$

Далее, если аргумент функции $s_\lambda$ обозначен строчной жирной буквой, мы имеем в виду определение (27); если этот аргумент обозначен обычной строчной буквой, мы имеем в виду определение (26); в случае, когда аргумент, обозначенный заглавной буквой, является матрицей, мы имеем в виду определение (26), где $x=(x_1,\ldots,x_N)$ – собственные значения этой матрицы.

Формула (27) связывает многочлены $s_\lambda$ и $\mathbf p_\Delta$ одной и той же степени $d=|\lambda|=|\Delta|$ . В явном виде

$\begin{equation} \mathbf p_{\Delta}=\sum_{\lambda\in\Upsilon_d}\frac{\dim\lambda}{d!}\zeta_\Delta\varphi_\lambda(\Delta) s_\lambda(\mathbf p) \end{equation} \tag{29}$

$\begin{equation} s_\lambda(\mathbf p)=\frac{\dim\lambda}{d!}\sum_{\Delta\in\Upsilon_d}\varphi_\lambda(\Delta)\mathbf p_{\Delta}. \end{equation} \tag{30}$

Последнее соотношение называется соотношением отображения характеров. Здесь

$\begin{equation} \frac{\dim\lambda}{d!}:=\frac{\prod_{i<j\leqslant N}^{}(\lambda_i-\lambda_j-i+j)}{\prod_{i=1}^{N}(\lambda_i-i+N)!},\qquad N\geqslant\ell(\lambda) \end{equation} \tag{31}$

(см. пример 1 в разделе 1 и пример 5 в разделе 3 главы I монографии [23]). Можно проверить, что правая часть этого равенства не зависит от

$N$ . Напомним, что

$\lambda_i=0$ , если

$i>\ell(\lambda)$ . Число

$\dim\lambda$ целое.

Множители $\varphi_\lambda(\Delta)$ удовлетворяют следующим условиям ортогональности:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \zeta_{\Delta}\sum_{\lambda\in\Upsilon_d}\biggl(\frac{\dim\lambda}{d!}\biggr)^{\!2}\varphi_\lambda(\mu)\varphi_\lambda(\Delta)= \delta_{\Delta,\mu}, \\ \biggl(\frac{\dim\lambda}{d!}\biggr)^{\!2}\sum_{\Delta\in\Upsilon_d}\zeta_\Delta\varphi_\lambda(\Delta)\varphi_\mu(\Delta)= \delta_{\lambda,\mu}. \end{gathered} \end{equation} \tag{32}$

Приложение Б. Операторы $H_\lambda(A)$ и числа Гурвица

Обширный обзор материала, который касается чисел Гурвица, можно найти в книге Звонкина и Ландо [28].

Соотношения для многоматричных моделей, аналогичные рассмотренным в [25], и для чисел Гурвица из работ [7], [8] можно естественным образом переформулировать как соотношения для бозонных гамильтонианов $H_\lambda(A)$ и чисел Гурвица $\mathcal H(\lambda,\mu,\nu)$ , которые перечисляют накрытия сферы Римана с тремя точками ветвления. Мы имеем

$\begin{equation} H_\lambda(A)\prod_{i} \operatorname{tr} ((\phi C)^{\mu_i})|0\rangle=\sum_{\nu_i}\mathcal H(\lambda,\mu,\nu) \operatorname{tr} ((\phi AC)^{\nu_i})|0\rangle, \end{equation} \tag{33}$

где

$\lambda$ ,

$\mu$ ,

$\nu$ – разбиения с условием

$|\lambda|=|\mu|=|\nu|$ , которые определяют профили ветвления в точках ветвления, а

$\mathcal H(\lambda,\mu,\nu)$ – число Гурвица. Оно имеет смысл структурной константы в алгебре Фробениуса, связанной с числами Гурвица.

С помощью соотношения отображения характеров (30) и равенств (32) можно записать (33) в виде

$\begin{equation} H_\lambda(A) s_\mu((\phi C))|0\rangle=\frac{|\mu|!}{\dim \mu}\chi_\mu(\lambda) s_\mu((\phi AC)|0\rangle, \end{equation} \tag{34}$

где

$\chi_\mu(\lambda)$ – характер неприводимого представления

$\mu$ симметрической группы

$S_d$ ,

$d=|\mu|$ , вычисленного на классе циклов

$\lambda$ . В случае

$A=C=I_N$ равенство (34) представляет собой частный случай обобщенного соотношения разрезания и склейки Миронова–Морозова–Натанзона [1]. Родственные проблемы обсуждались в работе [26], см. также книгу [27] для некоторых связей.

Благодарности

Я выражаю свою благодарность Г. Шарыгину за важные обсуждения и указание на работу [24], а также А. Д. Миронову, Д. Гуревичу и А. Жеглову за вдохновляющие дискуссии по смежным темам. Я благодарю А. Е. Миронова и И. Тайманова за приглашение в Новосибирск, где эта работа была завершена.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	А. Д. Миронов, А. Ю. Морозов, С. М. Натанзон, “Полный набор операторов разрезания и склейки в теории Гурвица–Концевича”, ТМФ, 166:1 (2011), 3–27, arXiv: 0904.4227
2.	A. D. Mironov, A. Yu. Morozov, S. M. Natanzon, Universal algebras of Hurwitz numbers, arXiv: 0909.1164
3.	A. D. Mironov, A. Yu. Morozov, S. M. Natanzon, “Algebra of differential operators associated with Young diagramms”, J. Geom. Phys., 62:2 (2012), 148–155, arXiv: 1012.0433
4.	A. D. Mironov, A. Yu. Morozov, S. M. Natanzon, “Integrability properties of Hurwitz partition functions. II. Multiplication of cut-and-join operators and WDVV equations”, JHEP, 11 (2011), 097, 32 pp., arXiv: 1108.0885
5.	А. И. Молев, М. Л. Назаров, Г. И. Ольшанский, “Янгианы и классические алгебры Ли”, УМН, 51:2(308) (1996), 27–104, arXiv: hep-th/9409025
6.	A. B. Zheglov, “Algebraic geometric properties of spectral surfaces of quantum integrable systems and their isospectral deformations”, in Geometric Methods in Physics XXXVIII (Workshop, Białowei.{z}a, Poland, 2019), Trends in Mathematics, ред. P. Kielanowski, A. Odzijewicz, E. Previato, Birkhäuser, Cham, 2020, 313–331 ; А. Б. Жеглов, “Теория Шура–Сато для квазиэллиптических колец”, Алгебра, арифметическая, алгебраическая и комплексная геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Алексея Николаевича Паршина, Труды МИАН, 320, МИАН, М., 2023, 128–176
7.	S. M. Natanzon, A. Yu. Orlov, “Hurwitz numbers from matrix integrals over Gaussian measure”, Integrability, Quantization, and Geometry, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 103.1, eds. S. Novikov, I. Krichever, O. Ogievetsky, S. Shlosman, AMS, Providence, RI, 2021, 337–375, arXiv: 2002.00466
8.	С. М. Натанзон, А. Ю. Орлов, “Числа Гурвица, получающиеся из фейнмановских диаграмм”, ТМФ, 204:3 (2020), 396–429, arXiv: 2006.07396
9.	D. Gurevich, P. Saponov, D. Talalaev, “KZ equations and Bethe subalgebras in generalized Yangians related to compatible $R$ -matrices”, J. Integrable Syst., 4:1 (2019), xyz005, 18 pp.
10.	Н. А. Славнов, “Алгебраический анзац Бете и квантовые интегрируемые системы”, УМН, 62:4(376) (2007), 91–132
11.	Г. И. Ольшанский, “Янгианы и универсальные обертывающие алгебры”, Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. IX, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 164, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1987, 142–150
12.	G. I. Olshanski, “Representations of infinite-dimensional classical groups, limits of enveloping algebras, and Yangians”, Topics in Representation Theory, Advances in Soviet Mathematics, 2, ed. A. A. Kirillov, AMS, Providence, RI, 1991, 1–66
13.	A. Okounkov, “Quantum immanants and higher Capelli identities”, Transform. Groups, 1:1–2 (1996), 99–126
14.	A. Okounkov, “Young basis, Wick formula, and higher Capelli identities”, Internat. Math. Res. Notices, 1996, no. 17, 817–839
15.	M. Nazarov, G. Olshanski, “Bethe subalgebras in twisted Yangians”, Commun. Math. Phys., 178:2 (1996), 483–506
16.	M. Nazarov, E. Sklyanin, “Integrable hierarchy of the quantum Benjamin–Ono equation”, SIGMA, 9 (2013), 078, 14 pp., arXiv: 1309.6464
17.	G. I. Sharygin, “ $L_\infty$ -derivations and the argument shift method for deformation quantization algebras”, Acta Math. Sci., 1 (2021), 61–86, arXiv: 1912.00586
18.	G. Sharygin, “Deformation quantization and the action of Poisson vector fields”, Lobachevskii J. Math., 38:6 (2017), 1093–1107, arXiv: 1612.02673
19.	D. Gurevich, P. Pyatov, P. Saponov, “Braided Weyl algebras and differential calculus on $U(u(2))$ ”, J. Geom. Phys., 62:5 (2012), 1175–1188, arXiv: 1112.6258
20.	N. Reshetikhin, Spin Calogero–Moser periodic chains and two dimensional Yang–Mills theory with corners, arXiv: 2303.10579
21.	A. N. Sergeev, A. P. Veselov, “Dunkl operators at infinity and Calogero–Moser systems”, Int. Math. Res. Notices, 2015:21 (2015), 10959–10986
22.	D. Gurevich, V. Petrova, P. Saponov, $q$ -Casimir and $q$ -cut-and-join operators related to reflection equation algebras, arXiv: 2110.04354
23.	И. Макдональд, Симметрические функции и многочлены Холла, Мир, М., 1984
24.	Я. Икеда, “Квазидифференциальный оператор и квантовый метод сдвига инвариантов”, ТМФ, 212:1 (2022), 33–39
25.	Я. Амбьорн, Л. О. Чехов, “Матричная модель для гипергеометрических чисел Гурвица”, ТМФ, 181:3 (2014), 421–435, arXiv: 1409.3553
26.	А. М. Переломов, В. С. Попов, “Операторы Казимира для классических групп”, Докл. АН СССР, 174:2 (1967), 287–290
27.	Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, МЦНМО, М., 2007
28.	А. К. Звонкин, С. К. Ландо, Графы на поверхностях и их приложения, МЦНМО, М., 2010

Образец цитирования: А. Ю. Орлов, “Склейка многоугольников и коммутирующие бозонные операторы”, ТМФ, 216:2 (2023), 234–244; Theoret. and Math. Phys., 216:2 (2023), 1110–1118

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Orl23}

\by А.~Ю.~Орлов

\paper Склейка многоугольников и~коммутирующие бозонные операторы

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 216

\issue 2

\pages 234--244

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10506}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10506}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634810}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...216.1110O}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 216

\issue 2

\pages 1110--1118

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923080032}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85169109180}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10506

https://doi.org/10.4213/tmf10506

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v216/i2/p234

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	180
PDF полного текста:	14
HTML русской версии:	95
Список литературы:	30
Первая страница:	14

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Коммутирующие гамильтонианы I

3. Коммутирующие гамильтонианы II

4. Обсуждение

Приложение А. Разбиения и функции Шура

Приложение Б. Операторы H_\lambda(A)H_\lambda(A) и числа Гурвица

Благодарности

Конфликт интересов

Список литературы

Приложение Б. Операторы $H_\lambda(A)$ и числа Гурвица