У. А. Хоитметов, “Интегрирование уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени”, ТМФ, 214:1 (2023), 30–42; Theoret. and Math. Phys., 214:1 (2023), 24

Processing math: 98%

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 214, номер 1, страницы 30–42
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10312 (Mi tmf10312)

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Интегрирование уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени

У. А. Хоитметов

Ургенчский государственный университет им. Аль-Хорезми, Ургенч, Узбекистан

PDF полного текста (449 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10312

Аннотация: Уравнение Хироты с коэффициентами, зависящими от времени, интегрируется методом обратной задачи рассеяния в классе быстроубывающих функций. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных результатов. Решается задача Коши для нагруженного уравнения Хироты в классе быстроубывающих функций.

Ключевые слова: метод обратной задачи рассеяния, данные рассеяния, уравнение Хироты, интегральное уравнение Гельфанда–Левитана–Марченко.

Поступило в редакцию: 16.05.2022
После доработки: 03.08.2022

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages 24–35
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923010026

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 34L25, 35P25, 37K15

1. Введение

Нелинейные эволюционные уравнения широко используются для демонстрации характеристик и структуры нелинейных волновых явлений. Исследователей всегда интересовало построение новых аналитических решений, важных для изучения нелинейных моделей, возникающих в различных областях науки и техники. Изучение солитонов и их физической природы представляет интерес для исследователей в различных областях науки, таких как волоконная оптика, электрохимия, материаловедение, электромагнитная теория, океанотехника, гидродинамика, акустика, астрофизика, физика плазмы и др. [1]–[9].

В 1973 году Хирота [1] рассмотрел уравнение

$\begin{equation} iu_t+3i\eta|u|^2u_x+\mu u_{xx}+i\xi u_{xxx}+\zeta|u|^2 u=0, \end{equation} \tag{1}$

где нижние индексы обозначают частные производные,

$u$ – скалярная функция,

$(x,t)\in\mathbb R^2$ ,

$i$ – мнимая единица,

$\eta$ ,

$\mu$ ,

$\xi$ ,

$\zeta$ – вещественные константы, удовлетворяющие равенству

$\eta\mu=\xi\zeta$ . Это уравнение было первоначально предложено Хиротой [10] в качестве модели для описания ультракоротких импульсов, подверженных дисперсии более высокого порядка и эффекту самообострения [11]. Хирота [10] получил

$N$ -солитонные решения этого уравнения. Уравнение (1) можно записать в виде

$\begin{equation} iu_t+\alpha(u_{xx}+2u|u|^2)+i\beta (6|u|^2 u_x+u_{xxx})=0, \end{equation} \tag{2}$

где

$\eta=2\beta$ ,

$\mu=\alpha$ ,

$\xi=\beta$ ,

$\zeta=2\alpha$ . Заметим, что при

$\alpha=1$ ,

$\beta=0$ мы получаем нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), а для

$\alpha=0$ ,

$\beta=1$ уравнение (2) сводится к комплексному модифицированному уравнению Кортевега–де Фриза (КдФ). Уравнение (2) интегрируемо, так как оно представляет собой сумму коммутирующих интегрируемых потоков, заданных НУШ и комплексным модифицированным уравнением КдФ, которые являются уравнениями в частных производных, принадлежащими одной и той же иерархии. В 1991 году Фукумото и Миядзаки [12] показали актуальность уравнения Хироты (2) при моделировании движения вихревой струны для трехмерной эйлеровой несжимаемой жидкости. Несмотря на свою долгую историю, уравнение Хироты и его различные расширения и обобщения до сих пор остаются объектом пристального внимания исследователей [13]–[22].

Мы будем искать аналитические решения уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени, с помощью метода обратной задачи рассеяния, который является мощным методом (подробнее см. [23]–[25]), позволяющим решать задачу Коши для класса нелинейных уравнений в частных производных, называемых интегрируемыми уравнениями. Метод обратной задачи рассеяния применялся ко многим значимым нелинейным эволюционным уравнениям, таким как уравнение КдФ [26], НУШ [27], модифицированное уравнение КдФ [28] и многие другие уравнения (см., например, [29]–[34]), все они могут быть получены из подходящей пары Лакса. Здесь под интегрируемым уравнением понимается уравнение, возникающее как условие совместности из пары Лакса.

В настоящей работе изучается уравнение Хироты с коэффициентами, зависящими от времени. А именно, рассмотрим следующее уравнение:

$\begin{equation} iu_t+p(t)(u_{xx}+2u|u|^2)+iq(t)(6|u|^2u_x+u_{xxx})=0, \end{equation} \tag{3}$

где

$p(t)$ ,

$q(t)$ – заданные непрерывно дифференцируемые функции. Уравнение (3) рассматривается при начальном условии

$\begin{equation} u(x,0)=u_0(x), \end{equation} \tag{4}$

где начальная функция

$u_0(x)$ ,

$-\infty<x<\infty$ , обладает следующими свойствами:

1) справедливо неравенство

$\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty(1+|x|)|u_0(x)|\,dx<\infty; \end{equation} \tag{5}$

2) оператор

$\begin{equation*} L(0)=i\begin{pmatrix} \dfrac{d}{dx} &-u_0(x) \\ -u_0^*(x) &-\dfrac{d}{dx} \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$

в верхней полуплоскости комплексной плоскости имеет ровно

$N$ собственных значений

$\lambda_1(0),\lambda_2(0),\dots,\lambda_N(0)$ с кратностями

$m_1(0),m_2(0),\dots,m_N(0)$ .

Пусть функция $u(x,t)$ обладает требуемой гладкостью и достаточно быстро стремится к своим пределам при $x\to\pm\infty$ , т. е.

$\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty\biggl((1+|x|)|u(x,t)| +\sum_{k=1}^3 \biggl|\frac{\partial^ku(x,t)}{\partial x^k}\biggr|\biggr)\,dx<\infty. \end{equation} \tag{6}$

Основная цель работы – получить представления для решения $u(x,t)$ задачи (3)–(6) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора $L(t)$ .

2. Необходимые сведения

Рассмотрим систему уравнений Дирака

$\begin{equation} \begin{aligned} \, y_{1x}+i\lambda y_1 &=u(x)y_2, \\ y_{2x}-i\lambda y_2 &=-u^*(x)y_1 \end{aligned} \end{equation} \tag{7}$

на всей оси (

$-\infty<x<\infty$ ) с функциями

$u(x)$ и

$u^*(x)$ , удовлетворяющими условию

$\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty(1+|x|)|u(x)|\,dx<\infty. \end{equation} \tag{8}$

С помощью оператора

$\begin{equation*} L=i\begin{pmatrix} \dfrac{d}{dx} &-u(x) \\ -u^*(x) &-\dfrac{d}{dx} \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$

систему уравнений (7) можно переписать в виде

$\begin{equation*} LY=\lambda Y, \end{equation*} \notag$

где

$Y=(y_1,y_2)^{\mathrm T}$ .

Прямая и обратная задачи рассеяния для оператора $L$ изучены в работах [35], [36] и др.

При условии (8) система уравнений (7) обладает решениями Йоста со следующими асимптотиками:

$\begin{equation} \left.\begin{matrix} \varphi &\sim\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x} \\ \bar\varphi &\sim\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 \\ -1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x}\end{matrix}\right\}\qquad \text{при}\quad x\to -\infty, \end{equation} \tag{9}$

$\begin{equation} \left.\begin{matrix} \psi &\sim\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x} \\ \bar\psi &\sim\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x}\end{matrix}\right\}\qquad \text{при}\quad x\to\infty. \end{equation} \tag{10}$

Отметим, что

$\bar\varphi$ не является комплексным сопряжением к

$\varphi$ , для комплексного сопряжения будем пользоваться обозначением

$\varphi^*$ .

При выполнении условий (8) такие решения существуют, они определяются асимптотиками (9) и (10) однозначно. При действительных $\lambda$ пары вектор-функций $\{\varphi(x,\lambda),\bar\varphi(x,\lambda)\}$ и $\{\psi(x,\lambda),\bar\psi(x,\lambda)\}$ являются парами линейно независимых решений для системы уравнений (7), поэтому

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \varphi &=a(\lambda)\bar\psi+b(\lambda)\psi, \\ \bar\varphi &=-\bar a(\lambda)\psi+\bar b(\lambda)\bar\psi. \end{aligned} \end{equation} \tag{11}$

Легко заметить, что справедливо равенство

$\begin{equation} a(\lambda)=W\{\varphi,\psi\}\equiv\varphi_1\psi_2-\varphi_2\psi_1, \end{equation} \tag{12}$

кроме того, при действительных

$\lambda$

$\begin{equation} a(\lambda)\bar a(\lambda)+b(\lambda)\bar b(\lambda)=1. \end{equation} \tag{13}$

Функция $a(\lambda)$ ( $\bar a(\lambda)$ ) допускает аналитическое продолжение в верхнюю (нижнюю) полуплоскость $\operatorname{Im}\lambda>0$ ( $\operatorname{Im}\lambda<0$ ). При $|\lambda|\to\infty$ , $\operatorname{Im}\lambda\geqslant 0$ функция $a(\lambda)$ обладает асимптотикой $a(\lambda)=1+O(1/|\lambda|)$ . Функция $a(\lambda)$ ( $\bar a(\lambda)$ ) может иметь в полуплоскости $\operatorname{Im}\lambda>0$ ( $\operatorname{Im}\lambda<0$ ) только конечное число нулей $\lambda_k$ , $k=1,2,\dots,N$ ( $\bar\lambda_k$ , $k=1,2,\dots, \kern1.9pt\overline{\vphantom{N}\kern6.6pt}\kern-8.5pt N$ ). Нули $\lambda_k$ $(\bar\lambda_k)$ функции $a(\lambda)$ ( $\bar a(\lambda)$ ) соответствуют собственным значениям оператора $L$ в верхней (нижней) полуплоскости.

Существуют такие цепочки чисел $\{\chi_0^k,\chi_1^k,\dots,\chi_{m_k-1}^k\}$ и $\{\bar\chi_0^k,\bar\chi_1^k,\dots,\bar\chi_{m_k-1}^k\}$ , что имеют место соотношения

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{1}{l!}\biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^l \varphi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k} &=\sum_{j=0}^l\chi_{l-j}^k\frac{1}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr) \psi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \\ \frac{1}{l!}\biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^l \psi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k} &=\sum_{j=0}^l\bar\chi_{l-j}^k\frac{1}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr) \varphi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \end{aligned} \end{equation} \tag{14}$

при этом

$\chi_0^k\ne 0$ и

$\bar\chi_0^k\ne 0$ . Цепочка чисел

$\{\chi_0^k,\chi_1^k,\dots,\chi_{m_k-1}^k\}$ называется нормировочной цепочкой оператора

$L$ , прикрепленной к собственным значениям

$\{\lambda_k\}_{k=1}^N$ , а цепочка чисел

$\{\bar\chi_0^k,\bar\chi_1^k,\dots,\bar\chi_{m_k-1}^k\}$ называется союзной цепочкой.

Требование отсутствия у оператора $L$ спектральных особенностей означает отсутствие действительных нулей у функций $a(\lambda)$ и $\bar a(\lambda)$ . Класс таких операторов не пуст. В частности, он содержит операторы с безотражательными потенциалами, т. е. $b(\lambda)=0$ , потому что в этом случае согласно (13) $a(\lambda)\bar a(\lambda)=1$ .

В рассматриваемом случае верны следующие соотношения:

$\begin{equation} \bar\psi(x,\lambda)=\begin{pmatrix} \hphantom{-}\psi_2^*(x,\lambda^*) \\ -\psi_1^*(x,\lambda^*) \end{pmatrix},\qquad \bar\varphi(x,\lambda)=\begin{pmatrix} \hphantom{-}\varphi_2^*(x,\lambda^*) \\ -\varphi_1^*(x,\lambda^*) \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{15}$

что приводит к равенствам

$\begin{equation} \bar a(\lambda)=a^*(\lambda^*),\qquad \bar b(\lambda)=b^*(\lambda^*), \end{equation} \tag{16}$

и, следовательно,

$\begin{equation} N= \kern1.9pt\overline{\vphantom{N}\kern6.6pt}\kern-8.5pt N ,\qquad \bar\lambda_k=\lambda_k^*. \end{equation} \tag{17}$

Для функций

$\psi$ ,

$\bar\psi$ справедливы следующие интегральные представления:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \psi &=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x} +\int_x^\infty\mathbf K(x,s)e^{i\lambda s}\,ds, \\ \bar\psi &=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x} +\int_x^\infty \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)e^{-i\lambda s}\,ds, \end{aligned} \end{equation} \tag{18}$

где

$\mathbf K(x,s)$ ,

$\overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ являются двухкомпонентными векторами, т. е.

$\begin{equation*} \mathbf K(x,s)=\begin{pmatrix} K_1(x,s) \\ K_2(x,s) \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

В представлениях (18), (19) ядра

$\mathbf K(x,s)$ и

$\overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ не зависят от

$\lambda$ и связаны с

$u(x)$ и

$u^*(x)$ с помощью равенств

$\begin{equation} u(x)=-2K_1(x,x),\qquad u^*(x)=-2 \overset{\kern3.01pt\underline{\kern5.5pt}\kern0.7pt}{K} _{2}(x,x). \end{equation} \tag{19}$

Ядра $\mathbf K(x,s)$ и $\overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ при $y>x$ являются решением интегральных уравнений Гельфанда–Левитана–Марченко

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,y) +\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}F(x+y) +\int_x^\infty\mathbf K(x,s)F(s+y)\,ds &=0, \\ \mathbf K(x,y)-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (x+y) -\int_x^\infty \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s) \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (s+y)\,ds&=0, \end{aligned} \end{equation} \tag{20}$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, F(x) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}\,e^{i\lambda x}\,d\lambda -i\sum_{k=1}^N\sum_{j=0}^{m_k-1} \frac{\chi_{m_k -1-j}^k}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^j \biggl\{\frac{(\lambda-\lambda_k)^{m_k}e^{i\lambda x}} {a(\lambda)}\biggr\}\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \\ \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (x) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\bar b(\lambda)e^{-i\lambda x}}{a(\lambda)}\,d\lambda +i\sum_{k=1}^N\sum_{j=0}^{m_k-1} \frac{\bar\chi_{m_k-1-j}^k}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^j \biggl\{\frac{(\lambda-\lambda_k)^{m_k}}{a(\lambda)}\, e^{-i\lambda x}\biggr\}\biggr|_{\lambda=\lambda_k}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Заметим, что здесь имеет место $\overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (s+y)=F^*(s+y)$ .

Набор

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl\{r^+(\lambda) &\equiv\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}\,, \lambda_k,\,\chi_j^k,\,k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k -1\biggr\} \\ \biggl(\biggl\{r^-(\lambda) &\equiv\frac{\bar b(\lambda)}{a(\lambda)}\,,\, \bar\lambda_k,\,\bar\chi_j^k,\, k=\overline{1,\overline N},\,j=0,1,\dots,m_k -1\biggr\}\biggr) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

называется данными рассеяния для системы уравнений (7).

Справедлива следующая теорема ([24], 6.2).

Теорема 1. Данные рассеяния оператора $L$ однозначно определяют $L$ .

3. Эволюция данных рассеяния

Пусть потенциал $u(x,t)$ в системе уравнений $LY=\lambda Y$ является решением уравнения (3).

Операторы

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A &=p(t)\begin{pmatrix} i|u|^2-2i\lambda^2 &iu_x+2\lambda u \\ iu_x^*-2\lambda u^* &-i|u|^2+2i\lambda^2 \end{pmatrix}, \\ B &=q(t)\begin{pmatrix} -4i\lambda^3+2i\lambda|u|^2-u^*u_x+u_x^*u &4u\lambda^2+2i\lambda u_x-u_{xx}-2u|u|^2 \\ -4\lambda^2u^*+2i\lambda u_x^*+u_{xx}^*+2u^*|u|^2 &4i\lambda^3-2i\lambda|u|^2+u^*u_x-u_x^*u \end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation} \tag{21}$

удовлетворяют соотношению Лакса

$\begin{equation} \begin{aligned} \, [L,A+B] &\equiv LA-AL+LB-BL= \nonumber \\ &=i\,\begin{pmatrix} 0 &ip(t)(u_{xx}+2u|u|^2) \\ -ip(t)(u_{xx}^*+2u^*|u|^2) &0 \end{pmatrix}-{} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad{}-i\,\begin{pmatrix} 0 &q(t)(6|u|^2u_x+u_{xxx}) \\ q(t)(6|u|^2u_x^*-u_{xxx}^*) &0 \end{pmatrix}. \end{aligned} \end{equation} \tag{22}$

Поэтому уравнение (3) можно переписать в виде

$\begin{equation} L_t+[L,A]+[L,B]=0. \end{equation} \tag{23}$

Дифференцируя по $t$ уравнение

$\begin{equation*} L\varphi=\lambda\varphi, \end{equation*} \notag$

получим равенство

$\begin{equation*} L_t\varphi+L\varphi_t=\lambda\varphi_t, \end{equation*} \notag$

которое согласно (23) можно переписать в виде

$\begin{equation} (L-\lambda)(\varphi_t-A\varphi-B\varphi)=0. \end{equation} \tag{24}$

Из этого следует, что функция $h=\varphi_t-A\varphi-B\varphi$ является решением уравнения $Lh=\lambda h$ . Поэтому это решение можно разложить с помощью системы фундаментальных решений $\{\varphi,\bar\varphi\}$ :

$\begin{equation} \varphi_t-A\varphi-B\varphi =C(\lambda,t)\varphi+D(\lambda,t)\bar\varphi. \end{equation} \tag{25}$

Воспользовавшись формулами (9) и (21), при

$x\to-\infty$ имеем

$\begin{equation} C(\lambda,t)\to 2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t),\qquad D(\lambda,t)\to 0. \end{equation} \tag{26}$

Таким образом, равенство (25) имеет следующий вид:

$\begin{equation} \varphi_t-A\varphi-B\varphi =(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))\varphi. \end{equation} \tag{27}$

Согласно (11) равенство (27) принимает вид

$\begin{equation*} a_t\bar\psi+b_t\psi-A(a\bar\psi+b\psi)-B(a\bar\psi+b\psi) =(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))(a\bar\psi+b\psi). \end{equation*} \notag$

Переходя в последнем равенстве к пределу

$x\to+\infty$ с учетом (21), получим

$\begin{equation} a_t=0, \end{equation} \tag{28}$

$\begin{equation} b_t=(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))b. \end{equation} \tag{29}$

Поэтому при

$\operatorname{Im}\lambda=0$ из равенства

$\begin{equation*} \frac{dr^+}{dt}=\frac{b_ta-a_tb}{a^2} \end{equation*} \notag$

следует

$\begin{equation} \frac{dr^+}{dt}=(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))r^+. \end{equation} \tag{30}$

Согласно (28) имеем

$\begin{equation} m_k(t)=m_k(0),\qquad \lambda_k(t)=\lambda_k(0),\quad k=\overline{1,N}. \end{equation} \tag{31}$

Найдем теперь эволюцию нормировочной цепочки $\{\chi_0^n,\chi_1^n,\dots,\chi_{m_k-1}^n\}$ , соответствующей собственному значению $\lambda_n$ , $n=\overline{1,N}$ .

Дифференцируя равенство (27) $m_n-1$ раз по $\lambda$ и полагая $\lambda=\lambda_n$ , получим

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\frac{\partial\varphi_n^{(m_n-1)}}{\partial t} -A_0\varphi_n^{(m_n-1)}-(m_n-1)A_1\varphi_n^{(m_n-2)} -\frac{(m_n-1)(m_n-2)}{2}A_2\varphi_n^{(m_n-3)}-{} \nonumber \\ &\quad{}-B_0\varphi_n^{(m_n-1)}-(m_n-1)B_1\varphi_n^{(m_n-2)} -\frac{(m_n-1)(m_n-2)}{2}B_2\varphi_n^{(m_n-3)}-{} \nonumber \\ &\quad{}-\frac{(m_n-1)(m_n-2)(m_n-3)}{6}B_3\varphi_n^{(m_n-4)}= \nonumber \\ &=(2i\lambda_n^2p(t)+4i\lambda_n^3q(t))\varphi_n^{(m_n-1)} +(m_n-1)(4i\lambda_np(t)+12i\lambda_n^2q(t))\varphi_n^{(m_n-2)}+{} \nonumber \\ &\quad{}+(m_n-1)(m_n-2)(2ip(t)+12i\lambda_nq(t))\varphi_n^{(m_n-3)}+{} \nonumber \\ &\quad{}+4i(m_n-1)(m_n-2)(m_n-3)q(t)\varphi_n^{(m_n-4)}, \end{aligned} \end{equation} \tag{32}$

где

$\begin{equation*} A_l=\frac{d^l}{d\lambda^l}A|_{\lambda=\lambda_n},\qquad B_j=\frac{d^j}{d\lambda^j}B|_{\lambda=\lambda_n},\qquad l=0,1,2,\quad j=0,1,2,3. \end{equation*} \notag$

Используя (6), (10) и (14), перейдем в равенстве (32) к переделу при

$x\to\infty$ . Приравнивая коэффициенты при

$\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}(ix)^l\cdot e^{i\lambda_nx}$ ,

$l=m_n-1,m_n-2,\dots,0$ , получим

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{d\chi_0^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_1^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_1^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_2^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_2^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_1^n+{} \\ &\quad{}+(4ip(t)+24i\lambda_nq(t))_n\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_l^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_l^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_{l-1}^n+{} \\ &\quad{}+(4ip(t)+24i\lambda_nq(t))\chi_{l-2}^n +8iq(t)\chi_{l-3}^n, \\ n&=1,2,\dots,N,\quad l=3,4,\dots,m_n-1. \end{aligned} \end{equation} \tag{33}$

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Если функция $u(x,t)$ является решением задачи (3)–(6), то данные рассеяния оператора $L(t)$ с потенциалом $u(x,t)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям (30), (31) и (33).

Замечание 1. Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (3)–(6).

Пусть задана функция $u_0(x)$ , удовлетворяющая условию (5). Тогда решение задачи (3)–(6) находится по следующему алгоритму.

1. Решаем прямую задачу рассеяния с начальной функцией $u_0(x)$ и получаем данные рассеяния

$\begin{equation*} \{r^+(\lambda,0),\,\lambda_k(0),\,\chi_j^k(0),\, k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k-1\} \end{equation*} \notag$

для оператора

$L(0)$ .

2. Используя результаты теоремы 2, находим данные рассеяния при $t>0$ :

$\begin{equation*} \{r^+(\lambda,t),\,\lambda_k(t),\,\chi_j^k(t),\, k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k-1\}. \end{equation*} \notag$

3. Методом, основанным на интегральном уравнении Гельфанда–Левитана–Марченко, решаем обратную задачу рассеяния, т. е. находим единственную (согласно теореме 1) функцию $u(x,t)$ по данным рассеяния при $t>0$ , полученным на предыдущем шаге.

Приведем пример, иллюстрирующий применение этого алгоритма.

Пример 1. Рассмотрим следующую задачу:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, iu_t+u_{xx}+2u|u|^2+it(u_{xxx}+6|u|^2u_x)=0, \\ u(x,0)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i\xi_0x}}{|\chi_0^0| \operatorname{ch} 2(\eta_0 x-\varphi)}, \end{gathered} \end{equation} \tag{34}$

где

$\begin{equation*} \lambda_0=\xi_0+i\eta_0,\quad \eta_0>0,\quad \chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0},\quad \frac{|\chi_0^0|^2}{4\eta_0^2}=e^{4\varphi}. \end{equation*} \notag$

Нетрудно найти данные рассеяния оператора

$L(0)$ :

$\begin{equation*} r^+(0)=0,\quad \lambda(0)=\lambda_0=\xi_0+i\eta_0,\quad\eta_0>0, \quad \chi_0(0)=\chi_0^0. \end{equation*} \notag$

В силу теоремы 2 имеем

$\begin{equation*} \lambda_0(t)=\lambda_0(0)=\xi_0+i\eta_0,\qquad \chi_0(t)=\chi_0^0e^{\mu(t)}, \end{equation*} \notag$

где

$\mu(t)=4i\lambda_0^2t+4i\lambda_0^3 t^2$ . Следовательно,

$\begin{equation*} F(x,t)=-i\chi_0(t)e^{i\lambda_0x}. \end{equation*} \notag$

Решая систему интегральных уравнений (20), имеем

$\begin{equation*} K_1(x,t)=\frac{i\chi_0^*(t)e^{-2i\lambda_0^*x}} {1+(|\chi_0(t)|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0x}}, \end{equation*} \notag$

откуда находим решение задачи Коши (34):

$\begin{equation} u(x,t)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^* e^{-4it((\xi_0^2-\eta_0^2)+\xi_0(\xi_0^2-3\eta_0^2)t)-2i\xi_0x}} {|\chi_0^0| \operatorname{ch} 2(\eta_0x-\varphi+4\xi_0\eta_0t+2\eta_0(3\xi_0^2-\eta_0^2)t^2)}. \end{equation} \tag{35}$

Так как

$\chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0}$ , то решение (35) можно переписать в следующем виде:

$\begin{equation*} u(x,t)=\frac{2\eta_0e^{-4it((\xi_0^2-\eta_0^2)+\xi_0(\xi_0^2-3\eta_0^2)t) -i(\psi_0+\pi/2)-2i\xi_0x}} { \operatorname{ch} 2(\eta_0x-\varphi+4\xi_0\eta_0t+2\eta_0(3\xi_0^2-\eta_0^2)t^2)}. \end{equation*} \notag$

4. Нагруженное уравнение Хироты

Впервые термин “нагруженное уравнение” был использован в работе Нахушева [37], где дается наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробно классифицируются различные нагруженные уравнения. Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие в коэффициентах или в правой части какие-либо функционалы от решения, в частности значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности. Исследование таких уравнений представляет интерес как с точки зрения построения общей теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения приложений. Среди работ, посвященных нагруженным уравнениям, следует особо отметить работы [37]–[46].

Рассмотрим нагруженное уравнение Хироты

$\begin{equation} iu_t+P(u(x_0,t))(u_{xx}+2u|u|^2)+iQ(u(x_1,t))(6|u|^2u_x+u_{xxx})=0, \end{equation} \tag{36}$

где

$P(y)$ и

$Q(z)$ – некоторые полиномы от

$y$ и

$z$ соответственно. Уравнение (36) не является частным случаем уравнения (3), так как в уравнении (36) коэффициенты зависят от значения решения на многообразии меньшей размерности. Если в задаче (3)–(6) вместо уравнения (3) взять уравнение (36), то справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если функция $u(x,t)$ является решением задачи (36), (4)–(6), то данные рассеяния оператора $L(t)$ меняются по $t$ следующим образом:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{dr^+}{dt}&=(2i\lambda^2P(u(x_0,t))+4i\lambda^3Q(u(x_1,t)))r^+,\qquad \operatorname{Im}\lambda=0, \\ &\qquad\qquad\qquad m_n(t)=m_n(0),\qquad \frac{d\lambda_n}{dt}=0, \\ \frac{d\chi_0^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2P(u(x_0,t))+8i\lambda_n^3Q(u(x_1,t)))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_1^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2P(u(x_0,t))+8i\lambda_n^3Q(u(x_1,t)))\chi_1^n+{} \\ &\quad{}+(8i\lambda_nP(u(x_0,t))+24i\lambda_n^2Q(u(x_1,t)))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_2^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2P(u(x_0,t))+8i\lambda_n^3 Q(u(x_1,t)))\chi_2^n+{} \\ &\quad{}+(8i\lambda_nP(u(x_0,t))+24i\lambda_n^2Q(u(x_1,t)))\chi_1^n+{} \\ &\quad{}+(4iP(u(x_0,t))+24i\lambda_nQ(u(x_1,t)))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_l^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2P(u(x_0,t)) +8i\lambda_n^3Q(u(x_1,t)))\chi_l^n+{} \\ &\quad{}+(8i\lambda_nP(u(x_0,t))+24i\lambda_n^2Q(u(x_1,t)))\chi_{l-1}^n+{} \\ &\quad{}+(4iP(u(x_0,t))+24i\lambda_nQ(u(x_1,t)))\chi_{l-2}^n +8iQ(u(x_1,t))\chi_{l-3}^n, \\ &\qquad\qquad\qquad n=1,2,\dots,N,\qquad l=3,4,\dots,m_n-1. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Полученные равенства позволяют применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (36), (4)–(6). Покажем применимость полученных результатов на конкретном примере.

Пример 2. Рассмотрим следующую задачу:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, iu_t+\alpha(t)u(0,t)(u_{xx}+2u|u|^2)+i\beta(t)u(1,t)(u_{xxx}+6|u|^2u_x)=0, \\ u(x,0)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i\xi_0x}} {|\chi_0^0| \operatorname{ch} 2(\eta_0x-\varphi)}, \end{gathered} \end{equation} \tag{37}$

где

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \alpha(t)&=-\frac{|\chi_0^0|t \operatorname{ch} (4\xi_0\eta_0t^2 +(6\xi_0^2\eta_0-2\eta_0^3)t^4-2\varphi)} {2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2+(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4)}}, \\ \beta(t)&=-\frac{|\chi_0^0|t^3 \operatorname{ch} (2(\eta_0-\varphi)+4\xi_0\eta_0t^2 +(6\xi_0^2\eta_0-2\eta_0^3)t^4)} {2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2 +(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4+\xi_0)}}, \\ \lambda_0&=\xi_0+i\eta_0,\quad \eta_0 >0,\quad \chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0},\quad \frac{|\chi_0^0|^2}{4\eta_0^2}=e^{4\varphi}. \end{aligned} \end{equation} \tag{38}$

Как и в примере 1, данные рассеяния для оператора $L(0)$ следующие:

$\begin{equation*} r^+(0)=0,\quad \lambda(0)=\lambda_0=\xi_0+i\eta_0,\quad \eta_0>0,\quad \chi_0(0)=\chi_0^0. \end{equation*} \notag$

В силу теоремы 3 имеем

$\begin{equation*} \lambda_0(t)=\lambda_0(0)=\xi_0+i\eta_0,\qquad r^+(t)=0,\qquad \chi_0(t)=\chi_0^0e^{\mu(t)}, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation} \mu(t)=\int_0^t(4i\lambda_0^2\alpha(t)u(0,t)+4i\lambda_0^3\beta(t)u(1,t))\,dt. \end{equation} \tag{39}$

Следовательно,

$F(x,t)=-i\chi_0(t)e^{i\lambda_0x}$ . Решая систему интегральных уравнений (20), имеем

$\begin{equation*} K_1(x,t)=\frac{i\chi_0^*(t)e^{-2i\lambda_0^*x}} {1+(|\chi_0(t)|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0x}}, \end{equation*} \notag$

откуда имеем

$\begin{equation*} u(x,t)=-\frac{2i(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*e^{-2i\lambda_0^*x }} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0x}}. \end{equation*} \notag$

Если в последнем равенстве подставим

$x=0$ и

$x=1$ , то, учитывая (39), имеем следующую задачу:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mu'(t)=\frac{8\lambda_0^2(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*\alpha(t)} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)} +\frac{16\lambda_0^3(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*e^{-2i\lambda_0^*}\beta(t)} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0}}, \qquad \mu(0)=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Учитывая (38), находим решение этой задачи:

$\begin{equation*} \mu(t)=2i\lambda_0^2t^2(1+\lambda_0t^2). \end{equation*} \notag$

В результате решение рассматриваемой задачи выражается следующим образом:

$\begin{equation*} u(x,t)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2 +(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4+\xi_0x)}} {|\chi_0^0| \operatorname{ch} (2\eta_0x-2\varphi +4\xi_0\eta_0t^2+2(3\xi_0^2\eta_0-\eta_0^3)t^4)}. \end{equation*} \notag$

Так как

$\chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0}$ , то последнее равенство можно переписать в следующем виде:

$\begin{equation*} u(x,t)=\frac{2\eta_0e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2 +(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4+(1/2)(\psi_0+\pi/2)+\xi_0x)}} { \operatorname{ch} (2\eta_0x-2\varphi+4\xi_0\eta_0t^2+2(3\xi_0^2\eta_0-\eta_0^3)t^4)}. \end{equation*} \notag$

Конфликт интересов. Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	K. U. Tariq, M. Younis, H. Rezazadeh, S. T. R. Rizvi, M. S. Osman, “Optical solitons with quadratic–cubic nonlinearity and fractional temporal evolution”, Modern Phys. Lett. B, 32:26 (2018), 1850317, 13 pp.
2.	M. S. Osman, “One-soliton shaping and inelastic collision between double solitons in the fifth-order variable-coefficient Sawada–Kotera equation”, Nonlinear Dynam., 96:2 (2019), 1491–1496
3.	M. S. Osman, K. U. Tariq, A. Bekir, A. Elmoasry, N. S. Elazab, M. Younis, M. Abdel-Aty, “Investigation of soliton solutions with different wave structures to the $(2+1)$ -dimensional Heisenberg ferromagnetic spin chain equation”, Commun. Theor. Phys., 72:3 (2020), 035002, 7 pp.
4.	D. Lu, K. U. Tariq, M. S. Osman, D. Baleanu, M. Younis, M. M. A. Khater, “New analytical wave structures for the $(3+1)$ -dimensional Kadomtsev–Petviashvili and the generalized Boussinesq models and their applications”, Results Phys., 14 (2019), 102491, 7 pp.
5.	A. R. Seadawy, “Nonlinear wave solutions of the three-dimensional Zakharov–Kuznetsov–Burgers equation in dusty plasma”, Phys. A, 439 (2015), 124–131
6.	A.-M. Wazwaz, “Multiple complex soliton solutions for integrable negative-order KdV and integrable negative-order modified KdV equations”, Appl. Math. Lett., 88 (2019), 1–7
7.	K. S. Al-Ghafri, H. Rezazadeh, “Solitons and other solutions of $(3+1)$ -dimensional space-time fractional modified KdV–Zakharov–Kuznetsov equation”, Appl. Math. Nonlinear Sci., 4:2 (2019), 289–304
8.	A.-M. Wazwaz, “A $(2+1)$ -dimensional time-dependent Date–Jimbo–Kashiwara–Miwa equation: Painlevé integrability and multiple soliton solutions”, Comput. Math. Appl., 79:4 (2020), 1145–1149
9.	D. W. Brzezinski, “Review of numerical methods for NumILPT with computational accuracy assessment for fractional calculus”, App. Math. Nonlinear Sci., 3:2 (2018), 487–502
10.	R. Hirota, “Exact envelope-soliton solutions of a nonlinear wave equation”, J. Math. Phys., 14:7 (1973), 805–809
11.	R. Hirota, The Direct Method in Soliton Theory, Cambridge Tracts in Mathematics, 155, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004
12.	Y. Fukumoto, T. Miyazaki, “Three-dimensional distortions of a vortex filament with axial velocity”, J. Fluid Mech., 222 (1991), 369–416
13.	M. Eslami, M. A. Mirzazadeh, A. Neirameh, “New exact wave solutions for Hirota equation”, Pramana – J. Phys., 84:1 (2015), 3–8
14.	J. Cen, F. Correa, A. Fring, “Integrable nonlocal Hirota equations”, J. Math. Phys., 60:8 (2019), 081508
15.	Q. Wang, Y. Chen, B. Li, H.-Q. Zhang, “New exact travelling wave solutions to Hirota equation and $(1+1)$ -dimensional dispersive long wave equation”, Commun. Theor. Phys., 41:6 (2004), 821–828
16.	A. A. Al Qarni, A. A. Alshaery, H. O. Bakodah, J. F. Gómez-Aguilar, “Novel dynamical solitons for the evolution of Schrödinger–Hirota equation in optical fibres”, Opt. Quant. Electron., 53 (2021), 151, 15 pp.
17.	X. Zhang, L. Ling, “Asymptotic analysis of high-order solitons for the Hirota equation”, Phys. D, 426 (2021), 132982, 26 pp.
18.	A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo, N. Akhmediev, “Rogue waves and rational solutions of the Hirota equation”, Phys. Rev. E, 81:4 (2010), 046602, 8 pp.
19.	S. Chen, Z. Yan, “The Hirota equation: Darboux transform of the Riemann–Hilbert problem and higher-order rogue waves”, App. Math. Lett., 95 (2019), 65–71
20.	F. Demontis, G. Ortenzi, C. van der Mee, “Exact solutions of the Hirota equation and vortex filaments motion”, Phys. D, 313 (2015), 61–80
21.	Y. Li, S.-F. Tian, “Inverse scattering transform and soliton solutions of an integrable nonlocal Hirota equation”, Commun. Pure Appl. Anal., 21:1 (2022), 293–313
22.	Y. Tao, J. He, “Multisolitons, breathers, and rogue waves for the Hirota equation generated by the Darboux transformation”, Phys. Rev. E, 85:2 (2012), 026601, 7 pp.
23.	М. Абловиц, Х. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи, Мир, М., 1987
24.	Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис, Солитоны и нелинейные волновые уравнения, Мир, М., 1988
25.	Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, М., 1986
26.	C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura, “Method for solving the Korteweg–de Vries equation”, Phys. Rev. Lett., 19:19 (1967), 1095–1097
27.	В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Точная теория двумерной самофокусировки в одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах”, ЖЭТФ, 61:1 (1971), 118–134
28.	M. Wadati, “The exact solution of the modified Korteweg–de Vries equation”, J. Phys. Soc. Japan, 32:6 (1972), 1681–1681
29.	P. D. Lax, “Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves”, Comm. Pure Appl. Math., 21:5 (1968), 467–490
30.	А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов, “Об интегрировании уравнения Кортевега–де Фриза в классе быстроубывающих комплекснозначных функций”, Изв. вузов. Матем., 2018, № 3, 79–90
31.	В. Е. Захаров, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, “Полное описание решений ‘sin-Gordon’ уравнения”, Докл. АН СССР, 219:6 (1974), 1334–1337
32.	Ф. Демонтис, “Точные решения модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза”, ТМФ, 168:1 (2011), 35–48
33.	Г. У. Уразбоев, У. А. Хоитметов, А. К. Бабаджанова, “Интегрирование матричного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с источником интегрального типа”, ТМФ, 203:3 (2020), 351–364
34.	R. Camassa, D. D. Holm, “An integrable shallow water equation with peaked solitons”, Phys. Rev. Lett., 71:11 (1993), 1661–1664, arXiv: patt-sol/9305002
35.	И. С. Фролов, “Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси”, Докл. АН СССР, 207:1 (1972), 44–47
36.	А. Б. Хасанов, “Об обратной задачи теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка”, Докл. АН СССР, 277:3 (1984), 559–562
37.	А. М. Нахушев, “Нагруженные уравнения и их приложения”, Дифференц. уравнения, 19:1 (1983), 86–94
38.	А. М. Нахушев, Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995
39.	А. И. Кожанов, “Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 44:4 (2004), 694–716
40.	A. B. Hasanov, U. A. Hoitmetov, “On integration of the loaded Korteweg–de Vries equation in the class of rapidly decreasing functions”, Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics National Academy of Sciences of Azerbaijan, 47:2 (2021), 250–261
41.	У. А. Хоитметов, “Интегрирование нагруженного уравнения КдФ с самосогласованным источником интегрального типа в классе быстроубывающих комплекснозначных функций”, Матем. тр., 24:2 (2021), 181–198
42.	A. B. Khasanov, U. A. Hoitmetov, “On integration of the loaded mKdV equation in the class of rapidly decreasing functions”, Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Матем., 38 (2021), 19–35
43.	А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов, “Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега–де Фриза с интегральным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций”, Изв. вузов. Матем., 2021, № 7, 52–66
44.	А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов, “О комплекснозначных решениях общего нагруженного уравнения Кортевега–де Фриза с источником”, Дифференц. уравнения, 58:3 (2022), 385–394
45.	А. Б. Хасанов, Т. Г. Хасанов, “Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега–де Фриза с нагруженным членом и источником”, Сиб. журн. индустр. матем., 25:2 (2022), 127–142
46.	U. A. Hoitmetov, “Integration of the loaded general Korteweg–de Vries equation in the class of rapidly decreasing complex-valued functions”, Eurasian Math. J., 13:2 (2022), 43–54

Образец цитирования: У. А. Хоитметов, “Интегрирование уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени”, ТМФ, 214:1 (2023), 30–42; Theoret. and Math. Phys., 214:1 (2023), 24–35

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Hoi23}

\by У.~А.~Хоитметов

\paper Интегрирование уравнения Хироты с~коэффициентами, зависящими от времени

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 214

\issue 1

\pages 30--42

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10312}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10312}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4538886}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...214...24H}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 214

\issue 1

\pages 24--35

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923010026}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149376569}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10312

https://doi.org/10.4213/tmf10312

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v214/i1/p30

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

А. Б. Хасанов, А. А. Рейимберганов, “Об уравнении Хироты с самосогласованным источником”, ТМФ, 221:2 (2024), 298–314 ; A. B. Khasanov, A. A. Reyimberganov, “On the Hirota equation with a self-consistent source”, Theoret. and Math. Phys., 221:2 (2024), 1852–1866
Б. А. Бабажанов, А. Ш. Азаматов, Р. Б. Атажанова, “Интегрирование системы Каупа–Буссинеска с коэффициентами, зависящими от времени”, ТМФ, 216:1 (2023), 63–75 ; B. A. Babajanov, A. Sh. Azamatov, R. B. Atajanova, “Integration of the Kaup–Boussinesq system with time-dependent coefficients”, Theoret. and Math. Phys., 216:1 (2023), 961–972

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	244
PDF полного текста:	34
HTML русской версии:	182
Список литературы:	49
Первая страница:	20

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы