| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Интегрирование системы Каупа–Буссинеска с коэффициентами, зависящими от времени Б. А. Бабажановab, А. Ш. Азаматовa, Р. Б. Атажановаa a Ургенчский государственный университет, Ургенч, Узбекистан b Институт математики им. В. И. Романовского Хорезмского филиала Академии наук Узбекистана, Ургенч, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792307005X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНелинейные эволюционные уравнения широко используются в качестве моделей для описания сложных физических явлений в различных областях науки, особенно в гидромеханике, физике твердого тела, физике плазмы и биологии. В работе [1] Кауп доказал, что нелинейная система уравнений вполне интегрируема. Эта система впервые была выведена Буссинеском при исследовании распространения волн на мелководье [2]. Нетрудно убедиться (см. [3]), что в результате преобразований система Каупа–Буссинеска принимает следующий более простой вид:Одной из основных физических задач для этой модели является получение ее солитонных решений. В работе [3] найдены многосолитонные решения и исследовано асимптотическое поведение этих решений. В работах [4], [5] изучаются вещественные конечнозонные регулярные решения системы Каупа–Буссинеска. Изучать точное динамическое поведение нелинейных эволюционных задач сложно, поэтому для построения его решений использовались различные методы, такие как метод обратной задачи рассеяния [6]–[11], билинейный метод Хироты [12], [13], метод группового анализа Ли [14], метод бифуркаций [15] и т. д. Другие аспекты интегрирования нелинейных эволюционных уравнений с дополнительным членом представлены в работах [16]–[25]. В работе [26] рассматривались артерии как тонкостенные предварительно напряженные эластичные трубки переменного радиуса и использовалось длинноволновое приближение. Было исследовано распространение слабонелинейных волн в такой заполненной жидкостью эластичной трубке с помощью модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с переменным коэффициентом где t – масштабная координата по оси сосуда после статической деформации, характеризующая осесимметричный стеноз на поверхности артериальной стенки, x – переменная, которая зависит от времени и координаты по оси сосуда, h(t) – форма стеноза, а функция u(x,t) характеризует среднюю осевую скорость жидкости.В настоящей работе изучается интегрирование системы Каупа–Буссинеска с зависящими от времени коэффициентами методом обратной задачи рассеяния. Мы показываем, что система Каупа–Буссинеска c дополнительным членом также является важной теоретической моделью, поскольку она является полностью интегрируемой системой. Получено представление для решения системы Каупа–Буссинеска с коэффициентами, зависящими от времени, в рамках обратной задачи рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма–Лиувилля. А именно, найдена временна́я эволюция данных рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма–Лиувилля, связанного с решением системы Каупа–Буссинеска с коэффициентами, зависящими от времени. Полученные равенства полностью определяют данные рассеяния при любом t, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для системы Каупа–Буссинеска с коэффициентами, зависящими от времени. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.2. Постановка задачиРассмотрим систему (1) при начальных условиях где μ(t) – произвольная заданная непрерывная функция, а функции v0(x), u0(x) удовлетворяют следующим условиям:
Основная цель настоящей работы – получить представления для решений v(x,t) и u(x,t) задачи Коши (1), (2) методом обратной задачи рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма–Лиувилля В работах [27]–[30] решена обратная задача рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма–Лиувилля (4). 3. Основные факты о задаче рассеянияВ этом разделе мы даем основные сведения о теории рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма–Лиувилля [27]. Для удобства мы временно опускаем переменную t в функциях v(x,t) и u(x,t). Рассмотрим следующий квадратичный пучок уравнений Штурма–Лиувилля: где u(x) и v(x) – вещественные функции, удовлетворяющие условию (3). При условии (3) уравнение (5) для всех k из полуплоскости Imk⩾ имеет решения f_{+} (x,k), f_{-} (x,k), которые могут быть представлены в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_{+} (x,k)&=e^{i\alpha_{+} (x)} e^{ikx} +\int_{x}^{\infty }K_{+} (x,\tau)e^{ik\tau} \, d\tau, \\ f_{-} (x,k)&=e^{i\alpha_{-} (x)} e^{-ikx} +\int_{-\infty }^{x}K_{-} (x,\tau)e^{-ik\tau}\, d\tau, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
где
\begin{equation*}
\alpha_{+} (x)=\int_{x}^{\infty }u(\tau)\,d\tau, \qquad \alpha_{-} (x)=\int_{-\infty }^{x}u(\tau)\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
а для ядер K_{\pm } (x,\tau) выполняются следующие соотношения:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, | K_{+} (x, \tau)|\leqslant \frac{1}{2}\sigma^{+}\biggl(\frac{x+\tau}{2}\biggr)e^{\sigma_{1}^{+}(x)}, \\ \sigma^{+}(x)=\int_{x }^{\infty }(| v (\tau)|+|u^{\prime} (\tau)|)\,d\tau ,\ \\ \sigma_{1}^{+}(x)=\int_{x }^{\infty }[(\tau-x)| v (\tau)|+2|u (\tau)|]\,d\tau, \\ K_{+} (x,x)=\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty }v(\tau)e^{i\alpha_{+} (\tau)}\, d\tau-\frac{i}{2} u(x)e^{i\alpha_{+} (x)} +i\int_{x}^{\infty }u(\tau)K_{+} (\tau,\tau)\,d\tau, \\ K_{-} (x,x)=\frac{1}{2} \int_{-\infty }^{x}v(\tau)e^{i\alpha_{-} (\tau)}\, d\tau-\frac{i}{2} u(x)e^{i\alpha_{-} (x)} +i\int_{-\infty }^{x}u(\tau)K_{-} (\tau,\tau)\,d\tau . \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Очевидно, что для каждого x\in (-\infty,\, \infty ) функции f_{+} (x,k), f_{-} (x,k) регулярны в полуплоскости \operatorname{Im}k>0 и справедливы асимптотические формулы Для вещественных k\ne 0 пары f_{+} (x,k), f_{-} (x,k) и f_{-} (x,k), \bar{f}_{-} (x,k) (черта над функцией здесь и далее обозначает комплексное сопряжение) образуют две фундаментальные системы решений уравнения (5). Имеют место следующие соотношения: Функции a(k) и b(k) определены для всех k\in \mathbb{R}^{*} =(-\infty, \infty )\backslash \{ 0\} , и выполняются равенства
\begin{equation}
a(k)=-\frac{1}{2ik} W\{f_{+},f_{-} \},\qquad b(k)=\frac{1}{2ik} W\{f_{+},\bar{f}_{-}\},
\end{equation}
\tag{11}
где через W\{f,g\} обозначен вронскиан функций f и g. При этом функция a(k) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость \operatorname{Im}k>0 и может иметь не более чем конечное число нулей k_{1}, k_{2},\dots,k_{N}. Кроме того, при k=k_{n}, n=1,2,\dots,N, имеет место равенство где величины B_{n}^{\pm} не зависят от x. Соответствующие функции f_{\pm } (x,k_{n}) являются собственными функциями. Наборы величин
\begin{equation}
\biggl\{r_{-} (k)=\frac{b(k)}{a(k)},\, k\in \mathbb{R},\, k_{1}, k_{2},\dots,k_{N}, \gamma_{1}^{-}, \gamma_{2}^{-},\dots,\gamma_{N}^{-} \biggr\}
\end{equation}
\tag{12}
и
\begin{equation}
\biggl\{r_{+} (k)=-\frac{\bar{b}(k)}{a(k)},\, k\in \mathbb{R}, \, k_{1}, k_{2},\dots,k_{N}, \gamma_{1}^{+}, \gamma_{2}^{+},\dots,\gamma_{N}^{+} \biggr\}
\end{equation}
\tag{13}
называются соответственно левыми и правыми данными рассеяния уравнения (5), здесь
\begin{equation*}
\gamma_{n}^{\pm } =B_{n}^{\pm }\biggl(\frac{da(k)}{dk} \bigg|_{k=k_{n} } \biggr)^{\!-1},\qquad n=1,2,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
Функции r_{-}(k) и r_{+}(k) называются соответственно левым и правым коэффициентами отражения. Величины \alpha_{\pm } (x), K_{\pm } (x, y) из формул (6) удовлетворяют уравнениям
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &e^{i\alpha_{+} (x)} F_{+} (x+y)+\overline{K_{+} (x,y)}+\int_{x}^{\infty }K_{+} (x,\tau)F_{+} (\tau+y)\,d\tau=0,&\qquad x&\leqslant y<\infty, \\ &e^{i\alpha_{-} (x)} F_{-} (x+y)+\overline{K_{-} (x,y)}+\int_{-\infty }^{x}K_{-} (x,\tau)F_{-} (\tau+y)\,d\tau=0,&\qquad -\infty& <y\leqslant x, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{14}
где
\begin{equation}
F_{\pm } (x)=-i\sum_{n=1}^{N}\gamma_{n}^{\pm } e^{\pm ik_{n} x} +\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty }r_{\pm } (k) e^{\pm ikx}\, dk.
\end{equation}
\tag{15}
Чтобы уравнения (14) и (15) для любого t \geqslant 0 имели единственное решение, мы добавим следующее условие:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &\begin{cases} \overline{a^{+} (y,t)}=\displaystyle\int_{x}^{\infty }F_{+} (y+\tau,t)a^{+} (\tau, t)\,d\tau, \qquad\;\;\;\;\; x\leqslant y<\infty, \\ \overline{a^{-} (y, t)}=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_{-} (y+\tau, t)a^{-} (\tau, t)\,d\tau, \qquad -\infty <y\leqslant x, \\ \end{cases} \Rightarrow \\ &\Rightarrow \begin{pmatrix} \,\overline{a^{+} (y,t)}\,\\ \\ \,\overline{a^{-} (y, t)}\, \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
То есть мы требуем, чтобы однородная система интегральных уравнений имела только нулевое решение. Если это условие выполняется, задача однозначно разрешима. Например, это условие автоматически выполняется в следующих двух случаях: 1) при отсутствии дискретного спектра; 2) спектр пучка состоит только из дискретного спектра, т. е. в случае r_{+}(k)=0. В общем случае, т. е. без дополнительного условия, нам не удалось решить рассматриваемую задачу. Теперь перейдем к вопросу о построении функций u(x) и v(x) по данным рассеяния (12) или (13). Заметим, что данные рассеяния (12), (13) и F_{\pm } (x) взаимно однозначно связаны через преобразования (15). Для восстановления коэффициентных функций u(x) и v(x) в уравнении (5) по правому коэффициенту отражения r_{+}(k) поступим следующим образом. 1. Необходимо найти функцию F_{+}(x) по формуле (15) и решить относительно K_{+}^{0}(x,y)\in L_{1}(x, \infty ), K_{+}^{1} (x,y)\in L_{1} (x, \infty ) интегральные уравнения
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_{+} (x+y)&+\overline{K_{+}^{(0)} (x,y)}+\int_{x}^{\infty }K_{+}^{(0)} (x,\tau)F_{+} (\tau+y)\,d\tau=0,\qquad x\leqslant y<\infty, \\ iF_{+} (x+y)&+\overline{K_{+}^{(1)} (x,y)}+\int_{x}^{\infty }K_{+}^{(1)} (x,\tau)F_{+} (\tau+y)\,d\tau=0,\qquad x\leqslant y<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
2. Далее определим функцию \alpha_{+}(x) как решение нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерры
\begin{equation}
\alpha_{+} (x)=\int_{x}^{\infty }\Phi (s, \alpha_{+} (s))\,ds,\qquad -\infty <x<\infty,
\end{equation}
\tag{17}
в котором
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi (s,z)={}&[\operatorname{Re}K_{+}^{(0)}(s,s)-\operatorname{Im}K_{+}^{(1)} (s,s)] \sin2z+{} \notag \\ &+2[\operatorname{Re}K_{+}^{(1)} (s,s)] \sin^2 z-2[\operatorname{Im}K_{+}^{(0)} (s,s)] \cos^2 z \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
и
\begin{equation}
K_{+} (x,y)=K_{+}^{(0)} (x,y) \cos\alpha_{+} (x)+K_{+}^{(1)} (x,y) \sin\alpha_{+}(x).
\end{equation}
\tag{19}
3. После этого коэффициенты u(x), v(x) уравнения (5) определяются равенствами
\begin{equation}
v(x)=-u^2 (x)-2\frac{d}{dx} \{[\operatorname{Re}K_{+} (x,x)] \cos\alpha_{+} (x)+[\operatorname{Im}K_{+} (x,x)] \sin\alpha_{+} (x)\}.
\end{equation}
\tag{21}
Следует отметить, что функции
\begin{equation*}
h_{n} (x)=\biggl(\frac{da(k)}{dk} \bigg|_{k=k_{n} } \biggr)^{-1} \frac{d}{dk} [f_{-} (x,k)-B_{n}^{+} f_{+} (x,k)]|_{k=k_{n} }, \qquad n=1,2,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
являются решениями уравнений T(0, k_{n} )y=k_{n}^2 y, n=1,2,\dots,N. Для \operatorname{Im}k>0, используя (7) и (8), мы получим следующую асимптотику:
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} h_{n} (x)&\to e^{-ik_{n} x},&\qquad x&\to +\infty, \\ h_{n} (x)&\to -B_{n}^{+} e^{ik_{n} x},&\qquad x&\to -\infty. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{22}
Из асимптотик (7), (8) и (22) следует
\begin{equation*}
W\{ h_{n} (x), f_{+} (x,k_{n} )\} =2ik_{n},\qquad W\{ h_{n} (x), f_{-} (x,k_{n} )\} =2ik_{n} B_{n}^{+}.
\end{equation*}
\notag
4. Эволюция данных рассеянияВ этом разделе мы выводим временну́ю эволюцию данных рассеяния, что позволяет нам предоставить алгоритм решения задачи (1)–(3). Пусть
\begin{equation}
U =(v,u)^\mathrm{T},\qquad G=(G_1, G_2)^\mathrm{T}, \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
L^{*} =\begin{pmatrix} 0 & {-\dfrac{\partial ^2 }{\partial x^2 } +4v-2v_{x} \displaystyle\int_{x}^{\infty } d\tau } \\ 1 & {4u-2u_{x} \displaystyle\int_{x}^{\infty } d\tau } \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{24}
Тогда систему (1) можно переписать следующим образом: Теперь введем “скалярное произведение”
\begin{equation*}
\langle V(x), W(x)\rangle =\int_{-\infty }^{\infty }[V_{1} (x)W_{1} (x)+V_{2} (x)W_{2} (x)]\,dx
\end{equation*}
\notag
для V(x)=(V_{1} (x),V_{2} (x))^\mathrm{T} и вектор-функции
\begin{equation}
\Phi _{1} (x,t,k)=(f_{+} (x,t,k)f_{-} (x,t,k), 2kf_{+} (x,t,k)f_{-} (x,t,k))^\mathrm{T},
\end{equation}
\tag{26}
\begin{equation}
\Phi _{2} (x,t,k)=(f_{+} (x,t,k)\bar{f}_{-} (x,t,k), 2kf_{+} (x,t,k)\bar{f}_{-} (x,t,k))^\mathrm{T},
\end{equation}
\tag{27}
\begin{equation}
\Phi _{3} (x,t,k_{n})=(h_{n} (x,t)f_{-} (x,t,k_{n}), 2k_{n} h_{n} (x,t)f_{-} (x,t,k_{n}))^\mathrm{T}.
\end{equation}
\tag{28}
Лемма 1. Имеют место следующие равенства:
\begin{equation}
-2ik\dot{a}(k,t) =\langle U_{t} (x,t), \Phi _{1} (x,t,k)\rangle,\qquad \operatorname{Im}k\geqslant 0,\,k\ne 0,
\end{equation}
\tag{29}
\begin{equation}
2ik\dot{b}(k,t) =\langle U_{t} (x,t), \Phi _{2} (x,t,k)\rangle,\qquad k\in {\mathbb R}^{*},
\end{equation}
\tag{30}
\begin{equation}
\ 2ik_{n} \dot{B}_{n}^{+}(t) =\langle U_{t} (x,t), \Phi _{3} (x,t, k_{n})\rangle.
\end{equation}
\tag{31}
Здесь и далее точка над буквой означает производную по t. Доказательство. Пусть y=y(x, t,k) и z=z(x, t, k) – два элемента множества
\begin{equation*}
\{f_{+} (x, t,k), f_{-} (x, t, k), \bar{f}_{+} (x, t, k), \bar{f}_{-} (x, t, k), h_{n} (x,t)\}.
\end{equation*}
\notag
Для x\in {\mathbb R} имеем следующие уравнения с V=v(x,t)+2ku(x,t): Умножим уравнение (32) на z_{t} , а уравнение (33) на y_{t}, затем сложим их и получим Продифференцируем (32) (соответственно (33)) по t и умножим результат на z (соответственно на y), после сложения двух результатов имеем Вычитание (35) из (34) дает
\begin{equation}
\frac{\partial }{\partial x} [W(z_{t}, y)+W(y_{t}, z)]=-2V_{t} yz.
\end{equation}
\tag{36}
Интегрируя (36) по x от -\infty до \infty , получим
\begin{equation}
W(z_{t}, y)|_{-\infty }^{\infty } + W(y_{t}, z)|_{-\infty }^{\infty } =-2\int_{-\infty }^{\infty }V_{t} yz\,dx.
\end{equation}
\tag{37}
Теперь, чтобы получить (29) и (30), мы используем асимптотики (7), (8) и их производные по времени для вычисления левой части (37) (с y=f_{-} (x, t,k), z=f_{+} (x, t, k), \operatorname{Im}k\geqslant 0, k\ne 0, или y=\bar{f}_{-} (x, t,k), z=f_{+} (x, t, k), k\in {\mathbb R}^{*}), а для получения (31) используется асимптотика (8), (22) с y=h_{n} (x,t), z= f_{-} (x, t,k_{n}). Затем воспользуемся обозначениями (26)–(28). Лемма 2. Для всех t выполняются следующие равенства:
\begin{equation}
0 =\langle U_{x} (x,t),\Phi _{1} (x,t,k)\rangle, \qquad \operatorname{Im}k\geqslant 0,\,k\ne 0,
\end{equation}
\tag{38}
Доказательство. Умножив уравнение (32) на z_{x}, а уравнение (33) на y_{x} и сложив их, получим
\begin{equation}
(y_{x} z_{x} +k^2 yz)|_{-\infty }^{\infty } =-\int_{-\infty }^{\infty }V_{x} yz\,dx.
\end{equation}
\tag{42}
В (42), если мы возьмем y=f_{-} (x, t,k), z=f_{+} (x, t, k) (\operatorname{Im}k\geqslant 0, k\ne 0), или y=\bar{f}_{-} (x, t,k), z=f_{+} (x, t, k) (k\in {\mathbb R}^{*}), или y=h_{n} (x,t), z=f_{-} (x, t,k_{n}), затем с помощью (7), (8), (10), (22) и обозначений (26), (27), (28) мы получим (38), (39) и (40) соответственно. Лемма 3. Оператор L, сопряженный L^{*}, определенный в (24) для фиксированного t, обладает следующими свойствами:
\begin{equation}
\langle U_{x} (x,t),L\Phi_{1} (x,t,k)\rangle =2k\langle U_{x} (x,t),\Phi_{1} (x,t,k)\rangle,\qquad \operatorname{Im}k\geqslant 0,\, k\ne 0,
\end{equation}
\tag{43}
Доказательство. Умножив уравнение (32) на z, а уравнение (33) на y и сложив их, находим Интегрируя (41) от -\infty до x и учитывая (46), получим
\begin{equation*}
\biggl(-\frac{1}{4} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V-\frac{1}{2} \int_{-\infty }^{x}V_{x} \, dx \biggr)yz=k^2 yz+n(k),
\end{equation*}
\notag
где n(k)=-(y_{x} z_{x} +k^2 yz)/2|_{x=-\infty}. Представим эти результаты в скалярном произведении и возьмем y=f_{-} (x, t,k), z=f_{+} (x, t,k) (\operatorname{Im}k\geqslant 0, k\ne 0), или y=\bar{f}_{-} (x, t,k), z=f_{+} (x, t, k) (k\in {\mathbb R}^{*}), или y=h_{n} (x,t), d z=f_ {-} (x, t,k_{n}), в результате получим (43), (44) и (45) соответственно. Основной результат работы содержится в следующей теореме. Теорема 1. Если функции v=v(x,t) и u=u(x,t) являются решениями задачи (1)–(3), то данные рассеяния оператора T(t, k) меняются по t следующим образом: Доказательство. Из лемм 1, 2, 3 и обозначений (23) легко следует, что
\begin{equation}
\dot{a}(k,t)=-(2ik)^{-1} \langle U_{t} +L^{*} U_{x}, \Phi _{1} \rangle,\qquad \operatorname{Im}k\geqslant 0,\,k\ne 0,
\end{equation}
\tag{50}
\begin{equation}
\dot{b}(k,t)-4ik^2 b(k,t)=(2ik)^{-1} \langle U_{t} +L^{*} U_{x}, \Phi_{2}\rangle,\qquad k\in {\mathbb R}^{*},
\end{equation}
\tag{51}
\begin{equation}
\dot{B}_{n}^{+} (t) +4ik_{n}^2 B_{n}^{+} (t)=(2ik_{n} )^{-1}\langle U_{t} +L^{*} U_{x},\Phi _{3} \rangle.
\end{equation}
\tag{52}
Если функция U(x,t) удовлетворяет (25), то уравнения (50), (51) и (52) примут следующий вид:
\begin{equation}
\dot{a}(k,t)=-(2ik)^{-1} \langle G, \Phi_{1}\rangle,\qquad \operatorname{Im}k\geqslant 0,\,k\ne 0,
\end{equation}
\tag{53}
\begin{equation}
\dot{b}(k,t)-4ik^2 b(k,t)=(2ik)^{-1} \langle G, \Phi_{2} \rangle,\qquad k\in {\mathbb R}^{*},
\end{equation}
\tag{54}
\begin{equation}
\dot{B}_{n}^{+} (t) +4ik_{n}^2 B_{n}^{+} (t)=(2ik_{n} )^{-1} \langle G, \Phi_{3}\rangle.
\end{equation}
\tag{55}
Вычислим правые части равенств (53)–(55):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle G, \Phi_{1} \rangle &=\int_{-\infty }^{\infty }(G_{1} f_{+} f_{-} +2kG_{2} f_{+} f_{-} )\,dx=\mu(t)\int_{-\infty }^{\infty }(v_{x} +2ku_{x} )f_{+} f_{-}\, dx={} \\ &= \mu(t)(v+2ku)f_{+} f_{-} |_{-\infty }^{\infty } -\mu(t)\int_{-\infty }^{\infty }(v+2ku)(f_{+} f_{-})^\prime\, dx={} \\ &=-\mu(t)\int_{-\infty }^{\infty }[(k^2 f_{-} +f''_{-} )f'_{+} +(k^2 f_{+} +f''_{+} )f'_{-}]\,dx ={} \\ &=-\mu(t) k^2 (f_{-} f_{+} )|_{-\infty }^{\infty } -\mu(t) k^2 (f'_{-} f'_{+} )|_{-\infty }^{\infty } ={} \\ &=-\mu(t) k^2 (-\bar{b}(k)f_{+} +a(k)\bar{f}_{+} )f_{+}|^{\infty }+\mu(t)k^2 (b(k)f_{-} +a(k)\bar{f}_{-} )f_{-}|^{-\infty } -{} \\ &\hphantom{={}}-\mu(t) k^2 (-\bar{b}(k)f'_{+} +a(k)\bar{f}'_{+} )f'_{+}|^{\infty }+\mu(t) k^2 (b(k)f'_{-} +a(k)\bar{f}'_{-} )f'_{-}|^{-\infty } =0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из последнего равенства, учитывая (53), получим Отсюда следует, что нули k_{n} =k_{n} (t), n=1,2,\dots,N, функции a(k,t) также не зависят от времени, это означает, что справедливо равенство (48). Теперь вычислим правую часть (54). Таким же образом, как и в приведенном выше вычислении, выводим
\begin{equation*}
\langle G, \Phi_{2}\rangle =\int_{-\infty }^{\infty }(G_{1} f_{+} \bar{f}_{-} +2kG_{2} f_{+} \bar{f}_{-})\,dx =4\mu(t)k^2 b(k,t).
\end{equation*}
\notag
Отсюда вытекает Из (56), (57) и вида функции r_{+} (t,k) находим (47). Далее вычислим зависимости от времени B_{n}^{+} (t), n=1,2,\dots,N:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle G, \Phi_{3} \rangle &=\int_{-\infty }^{\infty }(G_{1} h_{n} f_{-} (k_{n} )+2k_{n} G_{2} h_{n} f_{-} (k_{n} ))\,dx= {} \\ & =\mu(t)\int_{-\infty }^{\infty }(v+2k_{n} u)_{x} h_{n} f_{-} (k_{n})\,dx={} \\ &= -\mu(t)\int_{-\infty }^{\infty }(v+2k_{n} u)(h_{n} f_{-} (k_{n} ))^\prime\, dx= {} \\ &=-\mu(t)\int_{-\infty }^{\infty }[(k_{n}^2 f_{-} (k_{n} )+f''_{-} (k_{n} ))h'_{n} +(k_{n}^2 h_{n} +h''_{n})f'_{-}]\,dx ={} \\ &= -\mu(t)k_{n}^2 (h_{n} f_{-} (k_{n}))|_{-\infty }^{\infty } -\mu(t)(h'_{n} f'_{-} (k_{n}))|_{-\infty }^{\infty } =-4\mu(t)k_{n}^2 B_{n}^{+} (t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу (55) имеем
\begin{equation}
\dot{B}_{n}^{+} (t) =(2ik_{n} \mu (t)-4ik_{n}^2)B_{n}^{+} (t).
\end{equation}
\tag{58}
Из (58) и вида функции \gamma_{n}^{+} получим (49). Замечание 1. Полученные результаты полностью определяют эволюцию спектральных данных во времени, что позволяет решить задачу (1)–(3) по следующему алгоритму. Пусть даны v_0(x) и u_0(x). 1. При заданных функциях v_0(x) и u_0(x) находим данные рассеяния
\begin{equation*}
\{r_{+} (k), k\in \mathbb{R},\, k_{1}, k_{2},\dots,k_{N},\, \gamma_{1}^{+}, \gamma_{2}^{+},\dots,\gamma_{N}^{+} \}
\end{equation*}
\notag
для T(0, k). 2. Согласно теореме 1 получим временну́ю эволюцию данных рассеяния
\begin{equation*}
\{r_{+} (t,k), k\in \mathbb{R},\, k_{1}(t), k_{2}(t),\dots,k_{N}(t),\, \gamma_{1}^{+}(t), \gamma_{2}^{+}(t),\dots,\gamma_{N}^{+}(t)\}
\end{equation*}
\notag
для T(t, k). 3. По полученным данным рассеяния однозначно определяем функцию F_{+} (x,t) из равенства (15). 4. Подставляя F_{+} (x,t) в интегральные уравнения Гельфанда–Левитана–Марченко (16) и решая эту систему, получим K_{+}^ {(0)} (x,y,t) и K_{+}^{(1)} (x,y,t). 5. Далее из (17)–(19) выводим K_{+}(x,y,t), тогда потенциалы v(x,t) и u(x,t) можно получить по формулам (20) и (21). 5. ПримерПроиллюстрируем применение теоремы 1 для решения задачи (1), (2) для заданного начального условия
\begin{equation*}
v(x,t)|_{t=0} =-\frac{2}{ \operatorname{ch} ^2x},\qquad u(x,t)|_{t=0} =0,\qquad x\in {\mathbb R},
\end{equation*}
\notag
при \mu(t)=2t. В этом случае нетрудно найти данные рассеяния оператора T(0,k):
\begin{equation*}
r_{+} (k,0)=0,\qquad k_{1} (0)=i,\qquad \gamma_{1}^{+} (0)=2i.
\end{equation*}
\notag
В силу теоремы 1 имеем
\begin{equation*}
r_{+} (k,t)=0,\qquad k_{1} (t)=i,\qquad \gamma_{1}^{+} (t)=2ie^{4it-2t^2}.
\end{equation*}
\notag
По полученным данным рассеяния однозначно определяем функцию F_{+} (x,t) из равенства (15): Пусть
\begin{equation*}
K_{+}^{(0)} (x,y;t)=K_{+}^{(01)} (x,y;t)+iK_{+}^{(02)} (x,y;t)
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
K_{+}^{(1)} (x,y;t)=K_{+}^{(11)} (x,y;t)+iK_{+}^{(12)} (x,y;t).
\end{equation*}
\notag
Подставляя F_{+} (x,t), K_{+}^{(0)} (x,y;t) и K_{+}^{(1)} (x,y;t) в интегральные уравнения (16) и решая эту систему, получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_{+}^{(0)} (x,x;t)&=\frac{-2e^{-2t^2}\cos 4t\, e^{-2x} +2e^{-4t^2}e^{-4x}}{1-e^{-4t^2}e^{-4x} } +i\frac{2e^{-2t^2}\sin 4t\,e^{-2x} }{1-e^{-4t^2}e^{-4x} }, \\ K_{+}^{(1)}(x,x;t) &=\frac{2e^{-2t^2}\sin 4t\, e^{-2x} }{1-e^{-4t^2}e^{-4x} }+i\frac{2e^{-4t^2}e^{-4x} +2e^{-2t^2}\cos 4t\, e^{-2x} }{1-e^{-4t^2}e^{-4x}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Далее из (18) находим
\begin{equation*}
\Phi (x,z;t)=-\frac{2\sin (2z+4t)}{ \operatorname{sh} (2x+2t^2)}.
\end{equation*}
\notag
Теперь, подставляя \Phi (x,z;t) в интегральное уравнение Вольтерры (17) и решая его, имеем
\begin{equation}
\alpha_{+}(x,t) = \operatorname{arctg} \biggl(\frac{\operatorname{th}^2(x+t^2) \operatorname{tg} 2t}{\operatorname{th}^2 t^2}\biggr)-2t.
\end{equation}
\tag{59}
Из (20) находим, что
\begin{equation*}
u(x,t)=-\frac{4}{ \operatorname{sh} [2(x+t^2)]} \frac{2\operatorname{th}^2(x+t^2) \operatorname{tg} 2t }{1+\operatorname{th}^{4}(x+t^2) \operatorname{tg} ^2 2t}.
\end{equation*}
\notag
После этого коэффициент v(x,t) уравнения (5) выводится из равенства (21):
\begin{equation*}
v(x,t)=-3u^2-\frac{4 \operatorname{ch} {(2x+2t^2)}\cos(4t+2\alpha_{+}(x,t))-4}{ \operatorname{sh} ^2(2x+2t^2)},
\end{equation*}
\notag
где \alpha_{+}(x,t) определяется из (59).
6. ЗаключениеВ статье показано, что система Каупа–Буссинеска c дополнительным членом является важной теоретической моделью, поскольку она является полностью интегрируемой системой. Найдена временна́я эволюция данных рассеяния для квадратичного пучка операторов Штурма–Лиувилля, связанного с решением системы Каупа–Буссинеска с нагруженным членом. Это позволяет найти решение задачи (1)–(3) в классе быстроубывающих функций методом обратной задачи рассеяния. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BabAzaAta23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|