| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Построение асимптотики решения уравнения теплопроводности по известной асимптотике начальной функции в трехмерном пространстве С. В. Захаров Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9890e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПредметом настоящего исследования является решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве – фундаментальной модели математической физики: Общеизвестно, что для достаточно широкого класса начальных данных это решение можно представить в виде интегральной свертки1 по существу известной уже Фурье (см. [1; гл. IX, § 392]). В его основополагающем труде и выводится уравнение (1.1), а также подчеркивается2 универсальность тепловых явлений для физического мира: “La chaleur pénètre, comme la gravité, toutes les substances de l’univers, ses rayons occupent toutes les parties de l’espace”; соответствующий статус sine qua non уравнения теплопроводности полностью подтвердился дальнейшей историей (см. [2]). Напомним, что если начальная функция Λ:R3→R растет не слишком быстро, например, степенным образом, то решение u(x,t) является единственным (см. [3], [4]).Основная цель нашего исследования – построить асимптотическое приближение решения задачи Коши (1.1), (1.2) при t→+∞ для начальных функций, удовлетворяющих определенным специальным условиям. Помимо прямого приложения к моделям физических процессов теплопроводности и диффузии эта задача представляет самостоятельный теоретический интерес для асимптотического анализа решений уравнений параболического типа, поскольку необходимость в подобных знаниях естественным образом возникает при применении метода согласования (см. [5]) к начально-краевым задачам. Например, в задаче Коши с большим начальным градиентом для квазилинейного параболического уравнения (см. [6; п. 2]), чтобы построить равномерное приближение решения даже в малой окрестности особой точки, пришлось использовать асимптотику решения линейного уравнения теплопроводности на бесконечности по внутренним переменным, отдельному исследованию которой была посвящена работа [7]. Вообще, исследование асимптотического поведения решений эволюционных уравнений в частных производных на больших временах всегда было и сейчас является одной из актуальных задач математической физики, которой посвящена масса работ, в том числе и по уравнениям параболического типа; см. обзоры [8] и [9], где также есть сведения о теоремах, устанавливающих условия, при которых является корректной задача Коши для уравнений и систем параболического типа весьма общего вида, и со значительным запасом гарантирующих существование и единственность решения, в том числе и при тех специальных условиях, которые мы сформулируем далее. В частности, изучалось поведение при t→+∞ решений уравнений, дополненных различными краевыми условиями: задача Коши, решение которой рассмотрено в [10], [11]; первая, вторая и третья краевые задачи, рассмотренные в [12]–[15]; смешанные задачи, рассмотренные в [16]–[18]. Известны результаты о стабилизации решений с начальными функциями степенного роста (см. [19], [20]). Правда, теоремы о сходимости не дают детального представления о поведении решений, а исследования по асимптотическому анализу решений часто ограничиваются нахождением лишь главного приближения. Вероятно, первые полные асимптотические при t→+∞ разложения решений параболических уравнений в бесконечные ряды были получены А. Фридманом (см. [21], [22; гл. 6]) для областей, ограниченных по пространственным переменным. Для неубывающих и даже растущих начальных данных полные асимптотики решений в пространствах различной размерности были построены в [7], [23], [24]. Главная трудность аналитического исследования решений с неубывающими начальными данными в пространственно неограниченных областях возникает вследствие сингулярного поведения этих решений. Действительно, если в выражении (1.3) формально положить t=+∞, то в общем случае получится расходящийся интеграл, поскольку начальная функция предполагается лишь локально интегрируемой. Поэтому вторая важная цель настоящей работы состоит в том, чтобы на примере решения задачи Коши, выраженного в виде свертки по формуле (1.3), осветить в деталях работу метода введения вспомогательного параметра, позволяющего с произвольной степенью точности находить структуру асимптотических приближений интегралов, сингулярно зависящих от малых параметров. § 2. Выбор начальной функцииВ настоящей работе мы построим асимптотику при t→+∞ решения u(x,t) задачи Коши (1.1), (1.2) в предположении, что начальная функция Λ является локально интегрируемой по Лебегу и при всех N⩾1 удовлетворяет асимптотическому соотношению в смысле Пуанкаре (см. [25; § 1], [26; гл. I, п. 1.3]), где Λ2,n:R→R и Λ3,n:R→R – локально интегрируемые функции, а оценка остатка в правой части (2.1) не зависит от переменных (x2,x3)∈R2. Мы считаем, что при всех n⩾0 функции Λ2,n на бесконечности стремятся к нулю сверхстепенным образом, а функции Λ3,n при всех N⩾1 удовлетворяют асимптотическим соотношениям Кроме того, пусть выполняется условие которое вместе с локальной интегрируемостью функции Λ заведомо гарантирует сходимость интеграла (1.3), и пусть и при всех n⩾0 где N⩾1, интегрируемые функции Φ±n,m на бесконечности стремятся к нулю сверхстепенным образом.Выбор ограничений (2.1)–(2.4) был продиктован, с одной стороны, тезисом Гильберта о важности изучения частных постановок задач3 и соображениями простоты – с другой; смысл условия (2.5) выяснится в процессе дальнейших вычислений. В физической интерпретации задачи этому выбору соответствует начальное распределение тепла, локализованное вблизи полуплоскости независимых переменных Ясно, что в силу линейности уравнения теплопроводности комбинирование условий (2.1)–(2.4) с перестановкой пространственных переменных расширяет множество начальных данных, для которых без особого труда можно получить асимптотику решения непосредственно из результата, установленного в настоящей работе. § 3. Применение метода вспомогательного параметраПри изучении задач теории оптимального управления А. Р. Данилиным был разработан оригинальный метод введения вспомогательного параметра для исследования интегралов, имеющих сингулярное поведение (см. [27], [28]). Следуя общей идее этого метода (см. [29; гл. 7, § 30]) и учитывая условие (2.4) для начальных данных, представим решение (1.3) в виде суммы двух интегралов – по ограниченному слою и по полупространству:
u(x,t)=U0(x,t)+U1(x,t),U0(x,t)=18(πt)3/2∫σ(x,t)0∫+∞−∞∫+∞−∞Λ(s)exp(−|s−x|24t)ds2ds3ds1,U1(x,t)=18(πt)3/2∫+∞σ(x,t)∫+∞−∞∫+∞−∞Λ(s)exp(−|s−x|24t)ds2ds3ds1,
где интегрирование от 0 до σ(x,t) в U0(x,t) и от σ(x,t) до +∞ в U1(x,t) ведется по s1, число β – это произвольный параметр. Собственно вычислительная сторона метода применительно к декомпозиции (3.1) интегральной свертки (1.3) состоит в следующих действиях. Чтобы вычислить асимптотику интеграла U1(x,t) по полупространству, сначала применяется асимптотика начальной функции, а затем производится регуляризация возникающих особенностей вычитанием полинома Тейлора для экспоненциального ядра теплопроводности. Чтобы вычислить асимптотику интеграла U0(x,t) по ограниченному слою, наоборот, сначала применяется формула Тейлора для ядра теплопроводности, а затем производится вычитание асимптотики начальной функции. В полученные таким образом формулы входят “виртуальные” суммы – выражения с произвольным вспомогательным параметром β. Доказательство достаточной малости полной суммы этих выражений при t→+∞ представляет собой финальный шаг и вместе с тем концептуальную сторону метода. Если же при декомпозиции интегральной свертки взять вполне определенную, фиксированную границу разбиения интервала интегрирования [0,+∞), то в результате возникнет множество фиктивных выражений, избавиться от которых можно было бы лишь вычислением их в явном виде, что представляется довольно затруднительным при построении полного асимптотического приближения в виде бесконечного ряда. 3.1. Асимптотика интеграла U1(x,t)Точный смысл возникающих далее асимптотических соотношений будет каждый раз определяться отдельно; чаще всего они понимаются в смысле Эрдейи (см. [26; гл. II, п. 2.1]) по асимптотическим последовательностям {(|x|2+t)−ϰn}∞n=1 с различными числами ϰ>0 при |x|2+t→+∞. В выражении для U1(x,t) удобно сделать замену переменной интегрирования s1=2z√t. Вводя далее естественные автомодельные переменные4 и пользуясь асимптотическим условием (2.1), для любого натурального N получаем следующую формулу:
U1(x,t)=14π3/2t∫+∞μexp(−(η1−z)2)×∫+∞−∞∫+∞−∞Λ(2z√t,s2,s3)E(s2,s3,x2,x3,t)ds2ds3dz=1√πN−1∑n=02−nt−n/2∫+∞μz−nexp(−(z−η1)2)dz×14πt∫+∞−∞∫+∞−∞Λ2,n(s2)Λ3,n(s3)E(s2,s3,x2,x3,t)ds2ds3+RN(x,t,μ),
где а для остатка справедлива оценка которая будет потом уточнена формулой (3.15). В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что при σ→+∞ в неограниченной области выполняются следующие элементарно проверяемые неравенства: где по определению Пользуясь последним неравенством (3.7), для интеграла ∫+∞μ в правой части формулы (3.4) при n=0 получаем
∫+∞μexp(−(z−η1)2)dz=∫+∞0exp(−(z−η1)2)dz−∫μ0exp(−(z−η1)2)dz=∫+∞−η1exp(−z2)dz−exp(−η21)∫μ0exp(2zη1−z2)dz=∫+∞−η1exp(−z2)dz+exp(−η21)N−1∑r=1Hr(η1)μrr!+O(σ−γN)
при σ→+∞, где Hr(η1) – полиномы Эрмита степени r, поскольку выражение exp(2zη1−z2) представляет собой в точности производящую функцию полиномов Эрмита (см. [30; гл. IV, § 4.9]). В случае n⩾1 необходимо провести регуляризацию подынтегрального выражения, чтобы отделить особенность z−n при z=μ→0. С этой целью, пользуясь разложением Тейлора для экспоненты, запишем следующее тождество: где а сумма по r в квадратных скобках – это частичная сумма ряда Тейлора для функции exp(2zη1−z2) при z→0. Отсюда получаем
∫+∞μz−nexp(−(z−η1)2)dz=∫+∞1z−nexp(−(z−η1)2)dz−exp(−η21)Hn−1(η1)(n−1)!lnμ+exp(−η21)n−2∑r=0Hr(η1)r!(r−n+1)−exp(−η21)n−2∑r=0Hr(η1)r!(r−n+1)μr−n+1+∫10Ψn(z,η1)dz−∫μ0Ψn(z,η1)dz,
где суммы по r полагаются равными нулю при n=1. Из определения (3.10) вытекает, что функция Ψn(z,η1) не имеет особенностей при z→0, и, кроме того, легко видеть, что Ψn(z,η1) – аналитическая функция, представимая в виде сходящегося ряда: Тогда для любого N⩾2 справедливы асимптотические соотношения
∫μ0Ψn(z,η1)dz=N−1∑r=1∂r−1Ψn(0,η1)∂zr−1μrr!+O(σ−γN)=exp(−η21)N−1∑r=1Hn+r−1(η1)r(n+r−1)!μr+O(σ−γN),σ→+∞,
где оценка остатка следует из неравенств (3.7) и (3.8). Для дальнейшего нам будет важно знать порядок поведения при η1→∞ не зависящих от величины μ первого и пятого слагаемых в правой части формулы (3.11). Доказательство. Из формулы (3.10) получаем оценку второго интеграла
при η1→∞, поскольку выражение в квадратных скобках согласно определению функции Ψn(z,η1) устраняет неинтегрируемую особенность z−n при z→0, а функция exp(−η21/2) заведомо подавляет рост интеграла ∫10z−n[…]dz. К первому интегралу при η1→−∞ применим интегрирование по частям: При η1→+∞ воспользуемся заменой z=η1w и асимптотикой лапласовского типа: откуда следует, что оценка в утверждении леммы является точной. Лемма доказана. Далее нам будет удобно использовать класс гладких функций степенного роста Из соотношений (3.11), (3.12) и леммы 1 вытекает, что где Jn∈B1,n−2, сумма по r считается равной нулю при n=1,Пользуясь формулой (3.14) и вторым неравенством (3.7), получаем новую оценку остатка в формуле (3.4) Теперь исследуем выражение
14πt∫+∞−∞∫+∞−∞Λ2,n(s2)Λ3,n(s3)E(s2,s3,x2,x3,t)ds2ds3=14πt∫+∞−∞Λ2,n(s2)exp(−(s2−x2)24t)ds2×∫+∞−∞Λ3,n(s3)exp(−(s3−x3)24t)ds3
в правой части формулы (3.4). Учитывая сверхстепенное убывание функций Λ2,n(s2) для всех n⩾0 и N⩾1 (например, согласно работе [7]), имеем
12√πt∫+∞−∞Λ2,n(s2)exp(−(s2−x2)24t)ds2=exp(−η22)12√πt∫+∞−∞Λ2,n(s2)ds2+exp(−η22)N∑m=1t−m/2q2,n,m−1(η2)+O((1+|η2|N)exp(−η22)1+t(N+1)/2),
где q2,n,m−1(η2) – некоторые полиномы степени m−1 по η2=2−1t−1/2x2, коэффициенты которых зависят от n. Из условия (2.2) (согласно той же работе [7]) получаем
12√πt∫+∞−∞Λ3,n(s3)exp(−(s3−x3)24t)ds3 =1√π[Λ−3,n,0∫+∞η3exp(−z2)dz+Λ+3,n,0∫+∞−η3exp(−z2)dz] +N∑j=1t−j/2(q3,n,j,0(η3)+q3,n,j,1(η3)exp(−η23)lnt)+O((1+|η3|N)lnt1+t(N+1)/2),
где η3=2−1t−1/2x3, q3,n,j,l∈B1,j−1. Используя асимптотические соотношения (3.16) и (3.17), для второго (двойного) интеграла в правой части формулы (3.4) в итоге находим
14πt∫+∞−∞∫+∞−∞Λ2,n(s2)Λ3,n(s3)exp(−(s2−x2)2+(s3−x3)24t)ds2ds3=exp(−η22)Λ∗2,n2π√t[Λ−3,n,0∫+∞η3exp(−z2)dz+Λ+3,n,0∫+∞−η3exp(−z2)dz]+N∑j=2t−j/2exp(−η22)[Qn,j,0(η2,η3)+Qn,j,1(η2,η3)exp(−η23)lnt]+O(exp(−η22)(1+|η2|N+|η3|N)lnt1+t(N+1)/2),t→+∞,∀N⩾1,
где Qn,j,0∈B2,j−1, Qn,j,1∈B2,0, Подставляя выражения (3.9), (3.14), (3.18) в формулу (3.4) и учитывая оценку (3.15), получаем асимптотику интеграла U_1(x,t). Очень важно подчеркнуть, что в слагаемых с логарифмом \ln\mu выражение
\begin{equation*}
\frac{1}{4\pi t} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \Lambda_{2,n}(s_2) \Lambda_{3,n}(s_3)E(s_2,s_3,x_2,x_3,t)\,ds_2\,ds_3
\end{equation*}
\notag
не заменяется нами по формуле (3.18); кроме того, учитывая определение (3.3) величины \mu, мы пишем \ln\mu=\ln\sigma-2^{-1} \ln{t}-\ln{2}. Сформулируем результат в виде следующего утверждения. Лемма 2. При всех N \geqslant 2 справедлива формула
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag U_1(x,t) &=t^{-1/2} \Omega^{(1)}_{1,0} (\eta) +\sum_{n=2}^{N} t^{-n/2} \bigl[ \Omega^{(1)}_{n,0} (\eta) +\Omega^{(1)}_{n,1} (\eta) \ln t \bigr] \\ &\qquad +V_{1,N}(\eta,t,\mu) +O(\sigma^{-\alpha N/ 2\beta}), \qquad \sigma \to +\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
где (x,t) \in T_{\alpha}, \Omega^{(1)}_{n,l} \in \mathscr{B}_{3,n-1},
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Omega^{(1)}_{1,0} (\eta) &=\frac{\Lambda^{*}_{2,0} \exp(-\eta_2^2 )}{2 \pi^{3/2}} \int_{- \eta_1}^{+\infty} \exp (-z^2)\,dz \\ &\qquad \times \biggl[ \Lambda^{-}_{3,0,0}\int_{\eta_3}^{+\infty} \exp (-z^2)\,dz + \Lambda^{+}_{3,0,0}\int_{- \eta_3}^{+\infty} \exp (-z^2)\,dz \biggr], \\ \notag \Omega^{(1)}_{n,l} (\eta) &=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{m=1}^{n} 2^{m} J_{m}(\eta_1) \exp(-\eta_2^2 ) Q_{m,n-m,l}(\eta_2,\eta_3), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
вся зависимость от величин с произвольным параметром отделена в следующем выражении:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag V_{1,N}(\eta,t,\mu) &=- \frac{\ln \sigma}{8(\pi t)^{3/2}} \sum_{n=0}^{N-1} t^{-n/2} \frac{\exp(-\eta_1^2) H_n(\eta_1)}{2^n n!} \\ \notag &\qquad\qquad \times \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda_{2,n+1}(s_2) \Lambda_{3,n+1} (s_3)\,ds_2\,ds_3 \\ \notag &\qquad - \exp(-\eta_1^2-\eta_2^2) \sum_{n=2}^{N} t^{-n/2} \sum_{m=1}^{n} \frac{2^{m}}{\sqrt{\pi}} \sum_{r=-m +1}^{N-1} \frac{H_{m+r-1}(\eta_1)}{r (m +r-1)!} \mu^{r} \\ &\qquad\qquad \times \bigl( Q_{m,n-m,0}(\eta_2,\eta_3) +Q_{m,n-m,1}(\eta_2,\eta_3) \ln {t} \bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
причем в сумме по r нет слагаемого с индексом r=0. 3.2. Асимптотика интеграла U_0(x,t)Заметим, что согласно определениям (3.2) и (3.6) при (x,t) \in T_{\alpha} из неравенств 0\leqslant s_1 \leqslant \sigma и (3.7) вытекает, что
\begin{equation}
x_1^2<\sigma^{2/\beta}, \qquad \frac{|x_1 s_1|}{t}<2 \sigma^{-\delta}, \qquad \frac{s_1^2}{t}<2 \sigma^{2-\alpha/\beta},
\end{equation}
\tag{3.23}
где
\begin{equation}
\delta=\frac{\alpha-1}{\beta}-1>0, \qquad \frac{\alpha}{\beta}-2>\delta.
\end{equation}
\tag{3.24}
С помощью неравенств (3.23), (3.24) и формулы Тейлора интегральное выражение U_0(x,t) можно представить в следующем виде:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &U_0(x,t)=\frac{\exp(-\eta_1^2)}{8(\pi t)^{3/2}} \int_{0}^{\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda(s_1,s_2,s_3) \\ &\qquad \times\sum_{m=0}^{N-1} \frac{1}{m!} \biggl(\frac{\eta_1 s_1}{\sqrt{t}}-\frac{s_1^2}{4t}\biggr)^m\,ds_2\,ds_3\,ds_1 +O(\sigma^{-\delta N}), \qquad \sigma \to +\infty, \quad \forall\, N \geqslant 1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) – это экспонента (3.5). Раскрывая степень (\dots)^m, при \sigma \to +\infty получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &U_0(x,t)=\frac{\exp(-\eta_1^2)}{8(\pi t)^{3/2}} \sum_{m=0}^{N-1} \sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{4^k k!\, (m-k)!} t^{-(m+k)/2} \eta_1^{m-k} \\ &\qquad \times \int_{0}^{\sigma} s_1^{m+k}\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda(s_1,s_2,s_3)\,ds_2\,ds_3\,ds_1 +O(\sigma^{-\delta N}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
После введения нового индекса суммирования n=m +k имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &U_0(x,t)=\frac{\exp(-\eta_1^2)}{8(\pi t)^{3/2}} \sum_{n=0}^{N-1} t^{-n/2} \frac{H_n(\eta_1)}{2^n n!} \\ &\qquad \times \int_{0}^{\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} s_1^{n} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda (s_1,s_2,s_3)\,ds_2\,ds_3\,ds_1 +O(\sigma^{-\delta N}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
где снова возникают полиномы Эрмита в форме (см. [30; гл. IV, § 4.9])
\begin{equation*}
H_n (\eta_1)=2^n n! \sum_{k=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^k \eta_1^{n-2k}}{4^k k! \,(n-2k)!}
\end{equation*}
\notag
и мы воспользовались тем, что согласно (3.7) и (3.24) выполняется неравенство \sigma^{\delta}<2^{\beta\delta/2} t^{1/2}, а значит, t^{-N/2}=O (\sigma^{-\delta N}) при t\to +\infty. Чтобы скомпенсировать растущий множитель s_1^n в подынтегральном выражении (3.25), удобно произвести регуляризацию вычитанием из функции \Lambda частичной суммы ее асимптотики. С этой целью, используя асимптотические условия (2.1) и (2.2) для начальных данных, преобразуем интеграл в правой части формулы (3.25) следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \int_{0}^{\sigma}\int_{ -\infty}^{+\infty}\int_{ -\infty}^{+\infty} s_1^{n} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda (s_1, s_2, s_3)\,ds_2\,ds_3\,ds_1 \\ &\ =\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Phi_n (s_2, s_3) \,ds_2\,ds_3 \\ &\ \qquad +\int_{1}^{\sigma}\int_{ -\infty}^{+\infty}\int_{ -\infty}^{+\infty} s_1^{n} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \bigl[ \Lambda(s_1, s_2, s_3) - \Lambda_{2,0}(s_2)\Lambda_{3,0}(s_3) \\ &\ \qquad- \dots-s_1^{-n-1} \Lambda_{2,n+1}(s_2)\Lambda_{3,n+1}(s_3) \bigr]\,ds_2\,ds_3\,ds_1 \\ &\ \qquad+\int_{1}^{\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \\ &\ \qquad\qquad\qquad\times \bigl[ s_1^{n} \Lambda_{2,0}(s_2)\Lambda_{3,0}(s_3) +\dots +s_1^{-1} \Lambda_{2,n+1}(s_2)\Lambda_{3,n+1}(s_3)\bigr]\,ds_2\,ds_3\,ds_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Учитывая, что в подынтегральном выражении во втором слагаемом за счет регуляризации при s_1 \to +\infty имеет место оценка
\begin{equation*}
s_1^{n} \bigl[ \Lambda(s_1, s_2, s_3) - \Lambda_{2,0}(s_2)\Lambda_{3,0}(s_3)-\dots - s_1^{-n-1} \Lambda_{2,n+1}(s_2)\Lambda_{3,n+1}(s_3) \bigr]=O( s_1^{-2}),
\end{equation*}
\notag
а в третьем слагаемом интеграл \displaystyle\int_{1}^{\sigma} \dots\, ds_1 вычисляется точно, при \sigma \to +\infty получаем следующее соотношение:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{\sigma}\int_{ -\infty}^{+\infty}\int_{ -\infty}^{+\infty} s_1^{n} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda (s_1, s_2, s_3)\,ds_2\,ds_3\,ds_1 \\ &\qquad=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Phi_n (s_2, s_3) \,ds_2\,ds_3 \\ &\qquad+\sum_{m=-N+1}^{n-1} \frac{\sigma^{m} -1}{m} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \\ &\qquad\qquad\qquad\times \Lambda_{2,n-m+1}(s_2)\Lambda_{3,n-m+1} (s_3)\,ds_2\,ds_3 \\ &\qquad+\ln\sigma \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda_{2,n+1}(s_2) \Lambda_{3,n+1} (s_3)\,ds_2\,ds_3 +O(\sigma^{-N}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где функция \Phi_n (s_2, s_3)={\displaystyle\int_{0}^{1} s_1^{n} \Lambda (s_1, s_2, s_3)\,ds_1} по предположению удовлетворяет условию (2.5), а в сумме по m нет слагаемого с индексом m=0, вместо которого появляется выражение с логарифмом \ln\sigma. Применяя соотношение (3.18) ко всем слагаемым в предыдущей формуле, за исключением слагаемого с логарифмом \ln\sigma, и найденную в [23; теорема 1] асимптотику интеграла
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{1}{4\pi t} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Phi_n (s_2, s_3) \,ds_2\,ds_3 \\ &\qquad =\exp (-\eta_2^2) \sum_{j=1}^{N-1} t^{-j/2} \bigl[ \widehat{S}_{n,j,0} (\eta_2,\eta_3) +t^{-1/2} \ln t\widehat{S}_{n,j,1} (\eta_2,\eta_3) \exp (-\eta_3^2) \bigr] \\ &\qquad\qquad +O \bigl( (\eta_2^2 +\eta_3^2 +t)^{-\rho N} \bigr), \qquad \eta_2^2 +\eta_3^2 +t \to +\infty, \quad \widehat{S}_{n,j,l} \in \mathscr{B}_{2,j}, \quad \rho>0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
при \sigma \to +\infty получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{1}{4\pi t} \int_{0}^{\sigma} \int_{ -\infty}^{+\infty} \int_{ -\infty}^{+\infty} s_1^{n} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda (s_1, s_2, s_3)\,ds_2\,ds_3\,ds_1 \\ &\qquad =t^{-1/2} \exp (-\eta_2^2) \bigl[ D_{n,1,0} (\eta_3) +D_{n,1,1} (\eta_3) \ln t \bigr] \\ &\qquad\qquad +\exp (-\eta_2^2) \sum_{j=2}^{N-1} t^{-j/2} \bigl[D_{n,j,0} (\eta_2,\eta_3) +D_{n,j,1} (\eta_2,\eta_3) \exp (-\eta_3^2) \ln t \bigr] \\ &\qquad\qquad +\frac{\ln\sigma}{4\pi t} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda_{2,n+1}(s_2) \Lambda_{3,n+1} (s_3)\,ds_2\,ds_3 \\ &\qquad\qquad +\sum_{k=-N+1}^{n-1} \mu^{k}\sum_{j=1}^{N} t^{-(k+j)/2} \bigl[ D'_{n,j,0} (\eta_2,\eta_3) +D'_{n,j,1} (\eta_2,\eta_3) \ln t \bigr] +O(\sigma^{-\rho N}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где D_{n,j,l}, D'_{n,j,l} \in \mathscr{B}_{2,j}, а в сумме по k нет слагаемого с индексом k=0. Используя приведенное в [31; п. 2] явное выражение для коэффициента главного приближения, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_{n,1,0} (\eta_3) &=\frac{1}{2\pi} \biggl[ \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi^{-}_{n,0}(s_2)\,ds_2 \int_{\eta_3}^{+\infty} \exp (-z^2)\,dz \\ &\qquad +\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi^{+}_{n,0}(s_2)\,ds_2 \int_{- \eta_3}^{+\infty} \exp (-z^2)\,dz \biggr], \\ D_{n,1,1} (\eta_3) &=\frac{\Lambda^{*}_{2,n+1}}{4\pi} \biggl[ \Lambda^{-}_{3,n+1,0}\int_{\eta_3}^{+\infty}\exp (-z^2)\,dz +\Lambda^{+}_{3,n+1,0}\int_{- \eta_3}^{+\infty}\exp (-z^2)\,dz \biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В итоге получаем следующее утверждение. Лемма 3. Для всех N \geqslant 2 при \sigma \to +\infty справедлива асимптотическая формула
\begin{equation}
U_0(x,t)=\sum_{n=2}^{N-1} t^{-n/2} \bigl[ \Omega^{(0)}_{n,0} (\eta) +\Omega^{(0)}_{n,1} (\eta) \ln t \bigr] +V_{0,N}(\eta,t,\mu) +O( \sigma^{-\delta N}),
\end{equation}
\tag{3.26}
где (x,t) \in T_{\alpha}, \Omega^{(0)}_{n,l} \in \mathscr{B}_{3,n-1}, \delta=(\alpha-1)/\beta-1>0,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag V_{0,N}(\eta,t,\mu) &=\frac{\ln \sigma}{8(\pi t)^{3/2}} \sum_{n=0}^{N-1} t^{-n/2} \frac{\exp(-\eta_1^2) H_n(\eta_1)}{2^n n!} \\ \notag &\qquad\qquad \times \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E(s_2,s_3,x_2,x_3,t) \Lambda_{2,n+1}(s_2) \Lambda_{3,n+1} (s_3)\,ds_2\,ds_3 \\ &\qquad+\sum_{r=-N+1}^{N-1} \mu^{r}\sum_{m=-3N+3}^{N-2} t^{m/2} \bigl[ V'_{r,m,0} (\eta) +V'_{r,m,1} (\eta) \ln t \bigr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
V'_{r,m,l} \in \mathscr{B}_{3,|m|}, причем в сумме по r нет слагаемого с индексом r=0. § 4. Оценка “виртуальных” суммЗамечая, что согласно (3.2), (3.6), (3.24) имеет место неравенство \alpha/(2\beta)>\delta, из лемм 2 и 3 получаем итог вычислительной части нашей работы – асимптотическое соотношение для решения исследуемой задачи
\begin{equation*}
u(x,t)=A_N(\eta,t) +\widetilde{W}_N(\eta,t,\mu) +O (\sigma^{-\delta N}), \qquad \sigma \to +\infty,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_N(\eta,t) \equiv t^{-1/2} \Omega^{(0)}_{1,0} (\eta) +\sum_{n=2}^{N} t^{-n/2} \bigl[ {S}_{n,0} (\eta) +{S}_{n,1} (\eta) \ln t \bigr], \\ {S}_{n,l} (\eta) \equiv \Omega^{(0)}_{n,l} (\eta) +\Omega^{(1)}_{n,l} (\eta), \qquad \widetilde{W}_N (\eta,t,\mu) \equiv V_{0,N}(\eta,t,\mu) +V_{1,N}(\eta,t,\mu). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Осталось сделать финальный шаг метода вспомогательного параметра – получить оценку суммы “виртуальных” выражений с величиной \mu, зависящей от произвольного параметра \beta. Замечая, что при сложении формул (3.22) и (3.27) сокращаются выражения с множителем \ln\sigma, находим следующее равенство:
\begin{equation*}
\widetilde{W}_N(\eta,t,\mu)=\sum_{r=-N+1}^{N-1} \mu^{r} \sum_{m \in \mathbb{Z}} t^{m/2} \bigl[ \widetilde{v}_{r,m,1} (\eta) +\widetilde{v}_{r,m,1} (\eta) \ln t \bigr].
\end{equation*}
\notag
Подставляя \mu=2^{-1} t^{-1/2} \sigma в предыдущие формулы, получаем
\begin{equation}
u(x,t)=A_N(\eta,t) +W_N(\eta,t,\sigma) +O(\sigma^{-\delta N}), \qquad \sigma \to +\infty,
\end{equation}
\tag{4.1}
где
\begin{equation}
W_N(\eta,t,\sigma)=\sum_{r=-N+1}^{N-1}\sigma^{r} w_{N,r} (\eta,t),
\end{equation}
\tag{4.2}
причем коэффициенты
\begin{equation*}
w_{N,r} (\eta,t)=\sum_{m \in \mathbb{Z}} t^{m/2} \bigl[ v_{r,m,1} (\eta) +v_{r,m,1} (\eta) \ln t \bigr]
\end{equation*}
\notag
представляют собой конечные суммы, а в сумме (4.2) нет слагаемого с индексом r=0. Прежде чем перейти непосредственно к доказательству малости суммы (4.2), приведем очень простой пример, позволяющей легко уяснить существо дела. Пусть для функции F и некоторого N>1 при всех \beta \in (0,1) выполнено условие
\begin{equation*}
F(t)=t^{\beta} a(t) +O(t^{-\beta N}), \qquad t \to +\infty.
\end{equation*}
\notag
В силу произвольности параметра \beta имеем
\begin{equation*}
F(t)=t^{\beta-\varepsilon} a(t) +O(t^{- (\beta-\varepsilon) N}), \qquad t \to +\infty,
\end{equation*}
\notag
с произвольным \varepsilon>0 таким, что 0<\beta\,{-}\,\varepsilon<1. Из этих двух асимптотических соотношений вытекает, что
\begin{equation*}
t^{\beta} a(t)=O(t^{- (\beta-\varepsilon) N}), \qquad t \to +\infty.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, получаем следующую оценку: где число h \in (0,1) можно взять сколь угодно близким к единице. Теперь становится ясной идея введения произвольного параметра, позволяющая избавиться от возникающих “виртуальных” выражений посредством их оценки. В действительности, если мы строим асимптотику некоторого интеграла путем его декомпозиции, происходит взаимное сокращение выражений, происходящих от различных интервалов интегрирования, и в простых ситуациях это можно проследить посредством явных вычислений; интуитивно, правда, ясно, что асимптотика решения не должна зависеть от искусственно введенных произвольных величин. Теперь сформулируем и докажем утверждение об оценке суммы W_N (\eta,t,\sigma). Лемма 4. Существует число \varkappa>0 такое, что при всех N \geqslant 2 для суммы (4.2) справедлива оценка Доказательство. Обозначая F_N(\eta,t,\sigma)=u(x,t)-A_N(\eta,t), из формулы (4.1) мы получаем следующее соотношение:
\begin{equation*}
F_N(\eta,t,\sigma)=W_N(\eta,t,\sigma) +O(\sigma^{-\delta N}), \qquad \sigma \to +\infty,
\end{equation*}
\notag
где W_N(\eta,t,\sigma) – это сумма (4.2). Пусть \theta=(|x|^2 +t)^{-1/2}, тогда
\begin{equation*}
F_N(\eta,t,\sigma)=\sum_{r=-N+1}^{2N-1} \theta^{-r \beta} w_{N,r} (\eta,t) +O(\theta^{\delta N \beta}), \qquad \theta \to +0.
\end{equation*}
\notag
Поскольку \beta – произвольный параметр, 0<\beta<1, а сумма по r конечна, можно найти \varepsilon>0 такое, что
\begin{equation*}
F_N(\eta,t,\sigma)=\sum_{r=-N+1}^{2N-1} \theta^{-r (\beta-\varepsilon)} w_{N,r} (\eta,t) +O(\theta^{\delta N (\beta- \varepsilon)}), \qquad \theta \to +0,
\end{equation*}
\notag
где 0<\beta\,{-}\,\varepsilon<1 и все степени \theta^{-r \beta}, \theta^{-r (\beta-\varepsilon)} различны. Начиная с наибольшей по величине степени \theta^{-(2N-1)\beta}, последовательно получаем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \theta^{-r \beta} w_{N,r} (\eta,t)=O(\theta^{\delta N (\beta-\varepsilon)}), \qquad \theta \to +0, \\ \theta^{-r (\beta-\varepsilon)} w_{N,r} (\eta,t)=O(\theta^{\delta N (\beta- \varepsilon)}), \qquad \theta \to +0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Дополнительно учитывая, что в суммах по r нет слагаемого с индексом r=0, приходим к выводу, что
\begin{equation*}
W_N(\eta,t,\sigma)=O(\theta^{\delta N (\beta-\varepsilon)}), \qquad \theta \to +0.
\end{equation*}
\notag
Отсюда вытекает оценка (4.3), если положить \varkappa=\delta (\beta-\varepsilon) / \beta.
Лемма доказана. § 5. Асимптотика решения и ее приложенияСобирая теперь воедино все полученные выше промежуточные результаты, мы можем сформулировать итог настоящей работы. Теорема. Пусть для локально интегрируемой функции \Lambda\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} выполнены соотношения (2.1)–(2.5). Тогда при t \to +\infty асимптотическое приближение решения уравнения теплопроводности (1.1) с начальным условием u(x,0)=\Lambda (x) в неограниченной области \{ (x,t)\colon t>|x|^{\alpha},\,1<\alpha<2\} имеет вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag u(x,t) &=\frac{\Lambda^{*}_{2,0} \exp(-\eta_2^2)}{2 \pi^{3/2} \sqrt{t}} \int_{- \eta_1}^{+\infty} \exp(-z^2)\,dz \\ \notag &\qquad\qquad\times \biggl[ \Lambda^{-}_{3,0,0}\int_{\eta_3}^{+\infty} \exp (-z^2)\,dz + \Lambda^{+}_{3,0,0}\int_{- \eta_3}^{+\infty} \exp (-z^2)\,dz \biggr] \\ &\qquad+\sum_{n=2}^{N} t^{-n/2} \bigl[ S_{n,0}(\eta) +S_{n,1}(\eta) \ln t \bigr] +O \bigl( (|x|^2 +t)^{- h N} \bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
где N \geqslant 2, S_{n,l}\in \mathscr{B}_{3,n-1}, h>0, Доказательство. Подставляя выражения (3.20) и (3.26) в правую часть представления решения u(x,t) в виде суммы (3.1), из формул (3.9), (3.18), (3.21), дающих явный вид главного приближения, и обозначений (3.2), (3.3), (3.13), получаем анзац в (5.1).
Используя формулу (4.1) и оценку (4.3), для разности между решением u(x,t) и асимптотическим анзацем A_N(\eta,t) находим следующее соотношение:
\begin{equation*}
F_N(\eta,t,\sigma)=O ((|x|^2 +t)^{- h N}), \qquad |x|^2 +t \to +\infty,
\end{equation*}
\notag
где h=\min \{ \delta \beta/2,\,\delta (\beta-\varepsilon) /2 \}>0. Таким образом, мы приходим к справедливости утверждения теоремы. Замечание 1. Формула приближения (5.1) представляет собой асимптотику решения u(x,t) в смысле Эрдейи (см. [26; гл. II, п. 2.1]) по калибровочной последовательности \{ (|x|^2 +t)^{- h n}\}_{n=1}^{\infty}, где число h зависит от области T_{\alpha} следующим образом: Замечание 2. При необходимости из приведенных выше выкладок – формул с явным функциональным видом коэффициентов при степенях переменной времени (3.4), (3.9), (3.10), (3.11) и др. – можно в принципе ценой преодоления некоторых технических трудностей извлечь также явный, хотя и довольно громоздкий вид функций S_{n,l}, определяющих высшие асимптотические приближения решения u(x,t). Поясним применение полученного в настоящей работе результата к изучению решения следующей задачи Коши для векторного уравнения Бюргерса:
\begin{equation}
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial \vartheta} +(\mathbf{v}\nabla_{\xi}) \mathbf{v} =\varepsilon\triangle_{\xi} \mathbf{v}, \qquad \vartheta>0,
\end{equation}
\tag{5.2}
с начальным условием
\begin{equation}
\mathbf{v}({\xi},0,\varepsilon,\rho)= \rho \nabla_{\xi} \Psi \biggl( \frac{\xi}{\rho}\biggr), \qquad \xi=(\xi_1, \xi_2, \xi_3)\in\mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{5.3}
где \mathbf{v}=(v_1, v_2, v_3) – потенциальное векторное поле, \varepsilon и \rho – независимые малые положительные параметры, \Psi (x)=\Psi (x_1,x_2,x_3) – непрерывно дифференцируемая функция с ограниченными частными производными. Если в (5.2), (5.3) сделать естественную замену переменных (см. [31; п. 2] в других обозначениях)
\begin{equation}
\xi=\rho x, \qquad \vartheta=\frac{\rho^2 t}{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{5.4}
то для компонент {u_l}(x,t,\varepsilon,\rho)={v_l}(\xi,\theta,\varepsilon,\rho) получится уравнение
\begin{equation*}
\frac{\partial u_l}{\partial t}-\triangle_x u_l =- \frac{\rho}{\varepsilon} \sum_{m=1}^{3} u_m \,\frac{\partial u_l}{\partial x_m}.
\end{equation*}
\notag
Тогда при \rho/ \varepsilon \to 0 в главном приближении возникает следующая начальная задача:
\begin{equation*}
\frac{\partial u_l}{\partial t}=\triangle_x u_l, \qquad u_l (x,0)=\frac{\partial \Psi (x)}{\partial x_l}.
\end{equation*}
\notag
И для построения асимптотики решения задачи (5.2), (5.3) методом согласования (см. [5]) необходимо исследовать поведение решения при |x|+t \to +\infty, поскольку малые значения внешних переменных (5.4) соответствуют большим значениям внутренних (растянутых) переменных (x,t). Резюмируя, можно сказать, что помимо очевидной возможности прямого использования в линейных моделях физических процессов теплопроводности, диффузии и других явлений знание асимптотического поведения решения (1.3) и приведенная выше аналитическая техника вычисления (позволяющая в принципе получить приближение решения с любой заданной степенью точности, в том числе и в случае уравнения теплопроводности с другим количеством независимых пространственных переменных для широкого класса многообразных асимптотических условий, предполагаемых относительно начальных данных) представляют интерес также для асимптотического анализа решений нелинейных уравнений и систем параболического типа методом согласования. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zak24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|