А. Б. Шишкин, “О непрерывных эндоморфизмах целых функций”, Матем. сб., 212:4 (2021), 131–158; A. B. Shishkin, “On continuous endomorphisms of entire functions”, Sb. Math., 212:4 (2021), 567

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2021, том 212, номер 4, страницы 131–158
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9316 (Mi sm9316)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

О непрерывных эндоморфизмах целых функций

А. Б. Шишкин

Кубанский государственный университет, г. Краснодар

PDF полного текста (636 kB) PDF английской версии (591 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9316

Аннотация: Работа посвящена линейным непрерывным операторам, действующим в пространстве целых функций. Исследованы свойства таких операторов, связанные с определением операторов типа свертки в пространствах аналитических функций. Сформулированы следствия, уточняющие аппроксимационную теорему в ядре оператора симметричной свертки и дуальное определение дифференциальных операторов в комплексной области.
Библиография: 20 названий.

Ключевые слова: оператор симметричного сдвига, оператор симметричной свертки, экспоненциальный синтез.

Поступила в редакцию: 10.08.2019 и 01.12.2020

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 4, Pages 567–591
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9316

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.547.7+517.98

MSC: Primary 46E15, 47B91; Secondary 30D20

§ 1. Введение

Настоящая работа дополняет исследования по спектральному синтезу в комплексной области, проведенные автором в работах [1]–[3].

1.1. Непрерывные эндоморфизмы целых функций

Пусть $A$ – непрерывный эндоморфизм пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ с топологией равномерной сходимости на компактах. Выберем произвольный компакт $d\subseteq\mathbb{C}$ и точку $h\in d$ . Частичные суммы ряда Тейлора функции $\xi\to e^{h\xi}$ сходятся к ней в пространстве $O(\mathbb{C})$ равномерно по $h\in d$ . В силу линейности и непрерывности оператора $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ функциональный ряд

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n} \end{equation*} \notag$

сходится к функции

$A(e^{h\xi})(\lambda)$ в пространстве

$O(\mathbb{C})$ равномерно по

$h\in d$ . С другой стороны, при фиксированном

$\lambda\in\mathbb{C}$ этот ряд является степенным рядом, который сходится в любой точке

$h\in d$ . Так как компакт

$d\subseteq\mathbb{C}$ выбирался произвольно, то для любых

$\varepsilon>0$ и

$\lambda\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство

$\begin{equation} \biggl| \frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}\biggr| \leqslant\frac{1}{\varepsilon^{n}}\sup_{| h| \leqslant\varepsilon}|A(e^{h\xi}) (\lambda)| . \end{equation} \tag{1.1}$

Отсюда вытекает, что для любого

$\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ и всех достаточно больших

$n\in\mathbb{Z}_{+}$ выполняются неравенства

$\begin{equation*} | A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant\frac{n!}{\varepsilon^{n}} \sup_{| h| \leqslant\varepsilon}| A(e^{h\xi}) (\lambda)| \leqslant\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{0}e}\biggr)^{n} \sup_{| h| \leqslant\varepsilon}| A(e^{h\xi}) (\lambda)| . \end{equation*} \notag$

А это означает, что для любых

$\varepsilon>0$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} \varlimsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\biggl(\frac{| A(\xi^{n})(\lambda)| }{\sup_{|h| \leqslant\varepsilon}| A(e^{h\xi}) (\lambda)| }\biggr)^{1/n}\leqslant\frac{1}{\varepsilon e}. \end{equation*} \notag$

Для теории спектрального синтеза в пространствах аналитических функций особое значение имеют эндоморфизмы $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ , для которых образы $A(e^{h\xi})$ при любом $h$ из окрестности нуля являются целыми функциями экспоненциального типа. В такой ситуации ключевое значение приобретает неравенство

$\begin{equation} \varlimsup_{n\to\infty,\,\lambda\to\infty} \frac{1}{n}\biggl(\frac{| A(\xi^{n})(\lambda)| }{\exp\varepsilon| \lambda| }\biggr)^{1/n} \leqslant\frac{1}{\varepsilon e}. \end{equation} \tag{1.2}$

Основной результат настоящей статьи вскрывает роль неравенства (1.2) в различных вопросах теории целых функций. Причем автор постарался охватить все ситуации, встречающиеся в исследовательской практике, имеющие какое-либо отношение к этому неравенству.

Для формулировки основной теоремы уточним используемые в ней обозначения и терминологию: $O(\Omega)$ – пространство функций, голоморфных в односвязной области $\Omega$ , с топологией равномерной сходимости на компактах; $P(\Omega)$ – интерпретация сильного сопряженного пространства $O^{\ast}(\Omega)$ в терминах преобразования Лапласа $L_{\Omega}\colon O^{\ast} (\Omega)\to P(\Omega)$ ; $U_{\varepsilon} := \{h\in \mathbb{C}\colon | h| <\varepsilon \}$ ; $\| \cdot\| _{\varepsilon}$ – функционал

$\begin{equation*} g\to\sup_{\lambda\in\mathbb{C}}\ \frac{| g(\lambda) |}{\exp\varepsilon| \lambda|}; \end{equation*} \notag$

на пространстве целых функций

$g(\lambda)$ , у которых тип при порядке

$1$ не превосходит

$\varepsilon$ ;

$\Omega_{0}$ – односвязная область, удовлетворяющая условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ при некотором

$\varepsilon'>0$ ;

$\widehat{f}$ – дуальный функционал для

$f\in O(\Omega)$ ;

$\widehat{\varphi}$ – дуальный функционал для

$\varphi\in P(\Omega_{0})$ ;

$\langle\varphi,\widehat{f}\rangle$ – значение функционала

$\widehat{f}$ в точке

$\varphi$ ;

$\langle\widehat{\varphi},f\rangle$ – значение функционала

$\widehat{\varphi}$ в точке

$f$ . Если

$A$ – эндоморфизм пространства целых функций и

$g$ – целая функция, то через

$A(g)(D)$ обозначается дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами с характеристической функцией

$A(g)$ , а через

$A(g)(D)(f)(\zeta)$ обозначается значение образа

$A(g)(D)(f)$ в точке

$\zeta$ .

Теорема 1. Если $A$ – непрерывный эндоморфизм пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ и образы $A(\xi^{n})$ , $n\in\mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке $1$ , то следующие утверждения эквивалентны:

для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2);

для любого компакта $d$ из круга $U_{\varepsilon}$ при некотором $N\in \mathbb{Z}_{+}$ множество

$\begin{equation*} \biggl\{ \sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}\colon h\in d\biggr\} \end{equation*} \notag$

ограничено по норме

$\| \cdot \| _{\varepsilon}$ при любом выборе

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ ;

для любого компакта $d$ из круга $U_{\varepsilon}$ множество

$\begin{equation*} \{ A(e^{h\xi})\colon h\in d\} \subseteq O(\mathbb{C}) \end{equation*} \notag$

ограничено по норме

$\| \cdot \| _{\varepsilon}$ при любом выборе

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ ;

сужение оператора $A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным эндоморфизмом пространства $P(U_{\varepsilon})$ при любом выборе $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ ;

для любой функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ сужение непрерывного эндоморфизма

$\begin{equation*} \varphi A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})\mid g\to\varphi A(g) \end{equation*} \notag$

на пространство

$P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным отображением из пространства

$P(U_{\varepsilon})$ в пространство

$P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ ;

для любого $f\in O(\Omega)$ и любых компактов $d\subseteq \Omega_{0}$ и $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ множество

$\begin{equation*} \{ \langle e^{z\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f} \rangle \colon z\in d,\,h\in d'\} \end{equation*} \notag$

ограничено в

$\mathbb{C}$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ ;

для любого компакта $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ семейство операторов

$\begin{equation*} g(\lambda)\to g(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda), \qquad h\in d', \end{equation*} \notag$

является равностепенно непрерывным семейством отображений пространства

$P(\Omega_{0})$ в пространство

$P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ ;

для любого $f\in O(\Omega)$ ряд

$\begin{equation*} AT_{h}(f):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}f^{(n)}(z) \end{equation*} \notag$

сходится к функции

$\langle e^{z\lambda }A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle$ равномерно по

$(z,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ ;

для любого $f\in O(\Omega)$ ряд

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f)(\zeta) \end{equation*} \notag$

сходится к функции

$AT_{h}(f)=\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle$ равномерно по

$(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ ;

10) линейный оператор

$\begin{equation*} AM_{\widehat{\varphi}}\colon f\to\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle \end{equation*} \notag$

действует из пространства

$O(\Omega)$ в пространство

$O(U_{\varepsilon})$ и является непрерывным при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и функции

$\varphi\in P(\Omega_{0})$ .

Эквивалентность условия 1) и каждого из условий 2)–10) доказаны в предложениях 5–13 соответственно. При этом, как это отмечено в формулировках указанных предложений, утверждения 2) $\Leftrightarrow$ 1), 3) $\Rightarrow$ 1), $\dots$ , 10) $\Rightarrow$ 1) остаются справедливыми без предположения, что образы $A(\xi^{n})$ , $n\in\mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1. Важно отметить, что теорема 1 остается справедливой, если предполагать, что области $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , являются выпуклыми. Это следует из того, что все рассуждения в доказательствах предложений 5–13, требующие выбора конкретных односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , проведены в условиях выпуклой ситуации. Доказанная теорема допускает естественное обобщение на случай целых функций произвольного уточненного порядка. Но в этом случае она сильно загромождается большим числом новых построений (обозначений, определений и т.д.).

Отметим, что теоремы 1) $\Leftrightarrow$ 6), $\dots$ , 1) $\Leftrightarrow$ 10) получены с использованием аналитической дуальной схемы, описанной в § 2. Теорема 1 дополняет свойства объектов этой схемы серией из девяти свойств 1) $\Leftrightarrow$ 2), $\dots$ , 1) $\Leftrightarrow$ 10), каждое из которых имеет самостоятельное значение. Истоки аналитической дуальной схемы восходят к работам [4], [5] о топологических свойствах пространств аналитических функций и к работам [6]–[9], использующим двойственные переходы к пространствам целых функций.

Теорема 1 имеет большое число приложений. В этой статье мы рассмотрим лишь два из них. Одно приложение связано с аппроксимационной теоремой для однородных уравнений типа свертки в пространствах аналитических функций. Другое приложение связано с дуальным определением линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Первое приложение является основным. Оно и побудило автора к исследованию, результаты которого описаны в этой работе. Второе приложение является хорошей иллюстрацией к применению теоремы 1 на практике.

1.2. Однородные уравнения $A$ -свертки

Пусть $\varepsilon'>0$ и $\Omega_{0},\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Выберем произвольную точку $h\in U_{\varepsilon'}$ и произвольный непрерывный эндоморфизм $A$ пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ , у которого образы $A(\xi^{n})$ , $n\in\mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1 (последнее условие использовалось в статье [3] по умолчанию). Линейный дифференциальный оператор с характеристической функцией $A(e^{h\xi})$ , который мы обозначаем через $AT_{h}$ , называют оператором $A$ -сдвига (на шаг $h$ ), если при любом $h\in U_{\varepsilon'}$ он действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$ и является непрерывным.

Выберем произвольный оператор $A$ -сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ , произвольные функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ и $f\in O(\Omega)$ и произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ . Дуальный функционал $\widehat{\varphi}$ принадлежит пространству $O^{\ast}(\Omega_{0})$ . Значит, на круге $U_{\varepsilon'}$ определена функция $\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle$ , которая называется $A$ -сверткой функции $f$ и функционала $\widehat{\varphi}$ . При этом на пространстве $O(\Omega)$ определен линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ , который любой функции $f\in O(\Omega)$ ставит в соответствие $A$ -свертку $\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle$ функции $f$ и функционала $\widehat{\varphi}$ . Если линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(U_{\varepsilon})$ и является непрерывным, то его называют оператором $A$ -свертки. Экспоненциальные полиномы, являющиеся решениями однородного уравнения $A$ -свертки

$\begin{equation} AM_{\widehat{\varphi}}(f)=0, \qquad f\in O(\Omega), \end{equation} \tag{1.3}$

называются элементарными решениями этого уравнения. Говорят, что для однородного уравнения

$A$ -свертки справедлива аппроксимационная теорема, если любое решение этого уравнения можно аппроксимировать в пространстве

$O(\Omega)$ его элементарными решениями.

Говорим, что радиальная плотность некоторого множества комплексных чисел меньше $\varepsilon\in(0;+\infty)$ , если это множество можно покрыть совокупностью колец $| | z| -t_{n}|\leqslant r_{n}$ , $n\in\mathbb{N}$ , где $0<r_{n}\leqslant t_{n}$ , последовательность $\{ t_{n}\}$ имеет единственную предельную точку в бесконечности и

$\begin{equation*} \varlimsup_{r\to+\infty}\frac{1}{r}\sum_{t_{n}<r}r_{n}<\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Если радиальная плотность некоторого множества комплексных чисел меньше любого положительного числа, то говорим, что это множество имеет нулевую радиальную плотность. Две целые функции

$g_{1},$

$g_{2}$ называем эквивалентными, если вне некоторого множества нулевой радиальной плотности

$\begin{equation} \bigl|\ln|g_{1}(z)|-\ln|g_{2}(z)|\bigr|=o(|z|), \qquad z\to\infty. \end{equation} \tag{1.4}$

Пусть

$\pi$ – целая функция минимального типа при порядке 1. Целая функция

$g$ называется целой

$\pi$ -симметричной, если она представляется в виде композиции

$g_{0}\circ\pi$ , где

$g_{0}$ – целая функция. Говорят, что класс

$P_{\pi}(\mathbb{C})$ целых

$\pi$ -симметричных функций экспоненциального типа факторизуем по отношению (1.4), если любая функция

$g\in P_{\pi}(\mathbb{C})$ представляется в виде произведения

$g_{1}g_{2}$ , где

$g_{1},g_{2}\in P_{\pi}(\mathbb{C})$ и

$g_{1}$ эквивалентна

$g_{2}$ . Непрерывный эндоморфизм

$A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ называется оператором

$\pi$ -симметризации, если

$A(1)=1$ ,

$A(\mathbb{C}[\xi])=\mathbb{C}[\pi(z)]$ , где

$\mathbb{C}[\lambda]$ – кольцо многочленов от

$\lambda$ .

Известно, что аппроксимационная теорема для однородного уравнения $A$ -свертки справедлива, если $\Omega$ – выпуклая область и выполнены следующие условия:

11) для любого $\varepsilon>0$ выполняется неравенство (1.2);

12) непрерывный эндоморфизм $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ является оператором $\pi$ -симметризации;

13) класс $P_{\pi}(\mathbb{C})$ факторизуем по отношению (1.4).

Случай $\pi(z)=z$ рассмотрен в статье [10], случай $\pi(z)=z^{q}$ изучен в статье [11], случай $\pi$ – многочлен исследован в работе [12], общий случай рассмотрен в работе [3]. Отметим, что в первых трех случаях условие 13) выполняется автоматически. В общем случае выполнимость его пока доказана при некоторых ограничениях на целую функцию $\pi(z)$ , описанных в работе [2]. В условиях многих переменных аппроксимационная теорема доказана лишь в случае $\pi(z_{1},\dots,z_{n})=(z_{1},\dots,z_{n})$ (см. [13]) и в случае $\pi(z_{1},\dots,z_{n})=(\pi_{1}(z_{1}),\dots,\pi_{n}(z_{n}))$ , где $\pi_{1},\dots,\pi_{n}$ – полиномы (см. [14], [15]). Ключевое значение для результатов из статей [13] и [15] имеет основная теорема статьи [16].

Условие 11) использовалось в статье [3] при доказательстве свойств 1–10 оператора $A$ -свертки ( $\pi$ -симметричной свертки). Из теоремы 1 вытекает, что для выполнения отмеченных свойств условие 11) является избыточным и может быть заменено условием 1). При этом условие 1) в каждом из доказываемых свойств уже не может быть ослаблено. Значит, из теоремы 1) $\Leftrightarrow$ 10) вытекает справедливость следующей теоремы.

Теорема 2. Если выполнены условия 12) и 13), то аппроксимационная теорема для однородного уравнения $A$ -свертки справедлива при любом выборе выпуклых областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ тогда и только тогда, когда выполнено условие 1).

Теорема 2 существенно ослабляет условия, при которых справедлива аппроксимационная теорема для уравнения (1.3) и, значит, существенным образом расширяет семейство однородных уравнений типа свертки в пространствах аналитических функций на выпуклых областях, решение которых получило исчерпывающее описание.

1.3. Дуальное определение дифференциальных операторов

Рассмотрим еще одно приложение теоремы 1. Пусть $\Omega_{0}$ , $\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости, $\Omega _{0}\subseteq\Omega$ и $g(\lambda)$ – целая функция. Предположим, что выполнены следующие условия:

14) оператор умножения на целую функцию $g(\lambda)$ действует из пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$ и является непрерывным;

15) существует такая последовательность многочленов $g_{k}$ , что последовательность $g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ сходится к $g(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ в топологии пространства $P(\Omega)$ равномерно по $\zeta$ на компактах из $\Omega_{0}$ .

По дуальному определению дифференциальный оператор $g(D)$ определяется как оператор

$\begin{equation*} O(\Omega)\to O(\Omega_{0})|f\to\langle g(\lambda )e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle, \end{equation*} \notag$

где

$\widehat{f}$ – дуальный функционал для

$f\in O(\Omega)$ (см. [3]). Возникает вопрос: при каких условиях в качестве последовательности

$g_{k}(\lambda)$ можно выбрать последовательность частичных сумм ряда Тейлора функции

$g(\lambda)$ . На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Для того чтобы при любом $f\in O(\Omega)$ ряд

$\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(D^{n}f)(\zeta), \qquad c_{n}:=\frac{g^{(n)}(0)}{n!}, \end{equation} \tag{1.5}$

сходился к функции

$\langle g(\lambda )e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle$ абсолютно и равномерно на компактах из

$\Omega_{0}$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , необходимо и достаточно, чтобы при любом

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство

$\begin{equation} \varlimsup_{n\to\infty,\,\lambda\to\infty} \sqrt[n]{\frac{| c_{n}| \,|\lambda|^{n}}{\exp\varepsilon| \lambda| }}\leqslant\frac{\varepsilon'}{\varepsilon}. \end{equation} \tag{1.6}$

Доказательство теоремы 3 основано на теореме 1) $\Leftrightarrow$ 8). Из теоремы 3 вытекает, что при определении дифференциального оператора $g(D)$ вместо предположения, что выполнены условия 14) и 15) или условия 14) и 16) (см. п. 6.1) можно предполагать, что выполнено лишь одно условие:

17) для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.6).

При этом условие 17) является слабейшим среди тех, которые гарантируют существование дифференциального оператора $g(D)\colon O(\Omega )\to O(\Omega_{0})$ , его непрерывность и возможность представления в виде ряда (1.5) при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ .

§ 2. Дуальные схемы

2.1. Сведения из общей теории двойственности

Дуальные построения в рамках задачи спектрального синтеза в комплексной области опираются на следующие факты из общей теории двойственности о взаимно однозначных и непрерывных отображениях локально выпуклых пространств.

Предложение 1. Пусть $E$ , $F$ – отделимые локально выпуклые пространства, $E^{\ast}$ и $F^{\ast}$ – их сильные сопряженные пространства. Если $u$ – линейное, взаимно однозначное и непрерывное отображение пространства $E$ на всюду плотное подпространство $u(E)\subseteq F$ , то сопряженное отображение $u^{\ast}$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства $F^{\ast}$ на всюду плотное подпространство $u^{\ast}(F^{\ast})\subseteq E^{\ast}$ .

Доказательство. Дуальные пары

$\langle E,E^{\ast}\rangle$ и

$\langle F,F^{\ast}\rangle$ являются отделимыми, следовательно, отображение

$u$ и сопряженное отображение

$u^{\ast}$ являются (сильно) непрерывными и слабо непрерывными, см. [17; 8.6.6]. При этом в локально выпуклых пространствах семейство слабо плотных подпространств совпадает с семейством всюду плотных подпространств. Значит, полный образ отображения

$u$ слабо плотен в

$F$ . Отсюда вытекает, что отображение

$u^{\ast}$ является взаимно однозначным и полный образ отображения

$u^{\ast}$ слабо плотен в пространстве

$E^{\ast}$ , см. [17; 8.6 (d)]. Предложение доказано.

Предложение 2. Пусть $E$ и $F$ – рефлексивные локально выпуклые пространства, $E^{\ast}$ и $F^{\ast}$ – их сильные сопряженные пространства. Если $u$ – линейное, взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства $E$ на пространство $F$ , то сопряженное отображение $u^{\ast}$ является взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением пространства $F^{\ast}$ на пространство $E^{\ast}$ .

Доказательство. Рефлексивные локально выпуклые пространства являются отделимыми. Из предложения 1 вытекает, что сопряженное отображение

$u^{\ast}$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства

$F^{\ast}$ на всюду плотное подпространство

$u^{\ast}(F^{\ast})\subseteq E^{\ast}$ . Рефлексивное пространство

$F$ является бочечным (см. [17; 8.4.5]), значит, открытость отображения

$u$ влечет его слабую открытость (см. [17; 8.6.10]). Отсюда вытекает, что полный образ отображения

$u^{\ast}$ (слабо) замкнут в

$E^{\ast}$ (см. [17; 8.6.3]). Это означает, что

$u^{\ast}(F^{\ast})=E^{\ast}$ , т.е. отображение

$u^{\ast}$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства

$F^{\ast}$ на пространство

$E^{\ast}$ . Так как

$u(E)=F$ , то обратное отображение

$(u^{\ast})^{-1}$ является слабо непрерывным (см. [17; 8.6.4 (2)]) и непрерывным (см. [17; 8.6.10]). Предложение доказано.

2.2. Дуальные схемы

Пусть $E$ – рефлексивное локально выпуклое пространство, $E^{\ast}$ – его сильное сопряженное пространство. На практике приходится иметь дело с разными интерпретациями пространства $E^{\ast}$ , и их совместное использование вызывает терминологическую путаницу. В связи с этим уместно следующее определение: локально выпуклое пространство $F$ называется дуальным по отношению к пространству $E$ , если существует линейный топологический изоморфизм $L\colon E^{\ast}\to F$ . Воспользуемся рефлексивностью пространства $E$ и отождествим это пространство с его вторым сопряженным пространством $E^{\ast\ast}$ . Тогда сопряженное отображение $L^{\ast}$ действует из пространства $F^{\ast}$ в пространство $E=E^{\ast\ast}$ и по предложению 2 тоже является линейным топологическим изоморфизмом. При этом пространство $E^{\ast}$ и изоморфное ему пространство $F$ являются рефлексивными. Значит, если пространство $F$ является дуальным по отношению к пространству $E$ , то пространство $E$ , в свою очередь, является дуальным по отношению к пространству $F$ . Говорят, что пространства $E$ и $F$ образуют пару дуальных пространств $\langle E,F\rangle$ . Понятно, что пара дуальных пространств $\langle E,F\rangle$ является дуальной парой с билинейной формой $\langle x,y\rangle =\langle x,L^{-1}(y)\rangle$ . Возникшую ситуацию удобно иллюстрирует следующая диаграмма:

$(2.1)$

Эту диаграмму принято называть дуальной схемой, порождаемой изоморфизмом

$L$ . Дуальная пара

$\langle F,E\rangle$ с билинейной формой

$\langle y,x\rangle =\langle y,(L^{\ast})^{-1}(x)\rangle$ тоже является парой дуальных пространств. При этом изоморфизм

$(L^{\ast})^{-1}\colon E\to F^{\ast}$ порождает ту же дуальную схему, что и изоморфизм

$L:E^{\ast}\to F$ . Функционалы

$\widehat{x}:=(L^{\ast})^{-1}(x)\in F^{\ast}$ и

$\widehat{y}:=L^{-1}(y)\in E^{\ast}$ называются дуальными функционалами (или дуальными элементами) по отношению к элементам

$x\in E$ и

$y\in F$ соответственно. Легко проверить, что для отображений, входящих в дуальную схему (2.1), справедливы следующие соотношения:

$L^{-1}=((L^{\ast})^{-1})^{\ast}$ ,

$(L^{\ast})^{-1}=(L^{-1})^{\ast}$ , где

$((L^{\ast})^{-1})^{\ast}$ и

$(L^{-1})^{\ast}$ – сопряженные к обратным отображениям

$(L^{\ast})^{-1}$ и

$L^{-1}$ соответственно. Из этих соотношений вытекает, что произвольные элементы

$x\in E$ ,

$y\in F$ и их дуальные функционалы

$\widehat{x}\in F^{\ast}$ и

$\widehat{y}\in E^{\ast}$ связаны соотношением

$\begin{equation} \langle x,\widehat{y}\rangle =\langle \widehat{x} ,y\rangle . \end{equation} \tag{2.2}$

2.3. Дуальные отображения

Выберем две произвольные пары дуальных пространств $\langle E_{0},F_{0}\rangle$ и $\langle E,F\rangle$ . Пусть $u\colon E\to E_{0}$ и $v\colon F_{0}\to F$ – линейные отображения. Каждый из изоморфизмов $L_{0}\colon E_{0}^{\ast}\to F_{0}$ и $L\colon E^{\ast}\to F$ порождает свою дуальную схему. Рассмотрим диаграмму, иллюстрирующую взаимодействие двух дуальных схем,

в которой

$u^{\ast}\colon E_{0}^{\ast}\to E^{\ast}$ и

$v^{\ast}\colon F^{\ast}\to F_{0}^{\ast}$ – сопряженные к отображениям

$u$ и

$v$ соответственно. Если эта диаграмма коммутативна, то отображение

$v$ называется дуальным отображением по отношению к (прямому) отображению

$u$ и обозначается через

$u^{\circledast}$ , а отображение

$u$ называется дуальным отображением по отношению к (прямому) отображению

$v$ и обозначается через

$v^{\circledast}$ . Для дуальных отображений справедливы представления

$u^{\circledast}=L\circ u^{\ast}\circ L_{0}^{-1}$ ,

$v^{\circledast} =L_{0}^{\ast}\circ v^{\ast}\circ(L^{\ast})^{-1}$ . Значит, для любых

$y\in F_{0}$ и

$x\in E$ справедливы соотношения

$\begin{equation} \langle u^{\circledast}(y),\widehat{x}\rangle =\langle\widehat{y},u(x)\rangle , \qquad \langle \widehat{y},v^{\circledast}(x)\rangle =\langle v(y),\widehat{x}\rangle . \end{equation} \tag{2.3}$

По свойствам сопряженных отображений непрерывность прямого отображения

$u$ или

$v$ влечет (сильную) непрерывность дуального отображения

$u^{\circledast}$ или

$v^{\circledast}$ соответственно. Кроме того, по определению сопряженных отображений

$(u^{\ast})^{\ast}=u$ и

$(v^{\ast})^{\ast}=v$ . Отсюда следует, что

$\begin{equation} (u^{\circledast})^{\circledast}=u, \qquad (v^{\circledast })^{\circledast}=v. \end{equation} \tag{2.4}$

Из соотношений (2.4) и предложения 1 вытекает справедливость следующего утверждения: линейное отображение $u\colon E\to E_{0}$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства $E$ на всюду плотное подпространство $u(E)\subseteq E_{0}$ тогда и только тогда, когда дуальное отображение $u^{\circledast}\colon F_{0}\to F$ является взаимно однозначным и непрерывным отображением пространства $F_{0}$ на всюду плотное подпространство $u^{\circledast}(F_{0})\subseteq F$ . Понятно, что для отображения $v\colon F_{0}\to F$ справедливо аналогичное утверждение. Отметим еще один факт. По предложению 2 прямое отображение $u$ или $v$ является линейным топологическим изоморфизмом тогда и только тогда, когда дуальное отображение $u^{\circledast}$ или $v^{\circledast}$ соответственно является линейным топологическим изоморфизмом.

2.4. Аналитическая дуальная схема

Дуальные схемы используются в различных вопросах комплексного анализа, например, при всяком исследовании функциональных пространств, связанном с необходимостью использовать факты из теории целых функций. Рассмотрим одну из таких схем. Пусть $\Omega$ – односвязная область в $\mathbb{C}$ ; $O(\Omega)$ – пространство функций, голоморфных в $\Omega$ , с топологией равномерной сходимости на компактах; $O^{\ast }(\Omega)$ – его сильное сопряженное пространство; $P(\Omega)$ – интерпретация сильного сопряженного пространства $O^{\ast}(\Omega)$ в терминах преобразования Лапласа

$\begin{equation*} L_{\Omega}\colon O^{\ast}(\Omega)\to P(\Omega)\mid S\to\langle S,e^{\lambda z}\rangle . \end{equation*} \notag$

Если $\Omega$ – выпуклая область, то топология пространства $P(\Omega)$ допускает простое независимое описание как топология индуктивного предела или как топология проективного предела банаховых пространств. Пусть $\Omega$ – выпуклая область, $a\in\Omega$ , $h_{d}(\lambda):=\sup_{\zeta\in d}\operatorname{Re}\zeta\lambda$ – опорная функция выпуклого компакта $d\subseteq\Omega-a$ в смысле комплексного анализа. Для любого компакта $d\subseteq\Omega-a$ через $P_{a}[1;h_{d}]$ обозначим банахово пространство целых функций $g$ , для которых конечна норма

$\begin{equation*} \| g\| _{h_{d}}:=\sup_{\lambda\in\mathbb{C}}\frac{| g( \lambda) |}{\exp(h_{d}(\lambda)+\operatorname{Re}a\lambda)}. \end{equation*} \notag$

Пространства

$P_{a}[1;h_{d}]$ ,

$d\subseteq\Omega-a$ , образуют прямой спектр относительно непрерывных вложений

$P_{a}[1;h_{d} ]\subseteq P_{a}[1;h_{d'}]$ ,

$d\subseteq d'$ . Индуктивный предел этого спектра не зависит от выбора

$a\in\Omega$ и совпадает с пространством

$P(\Omega)$ (см. [18]).

C другой стороны, пусть $\mathfrak{M}(\Omega-a)$ – класс положительных на $\mathbb{C}$ функций $\mu(\lambda)$ со свойствами:

1) ${\mu(\lambda)}/{\exp h_{d}(\arg\lambda)}\to\infty$ при $\lambda\to\infty$ для любого выпуклого компакта $d\subseteq\Omega-a$ ;

2) $\inf_{\lambda\in d'}\mu(\lambda)>0$ для любого компакта $d' \subseteq\mathbb{C}$ .

Для любой функции $\mu\in\mathfrak{M} (\Omega-a)$ через $P_{a}[1;\mu]$ обозначим банахово пространство целых функций $g$ , для которых конечна норма $\| g\| _{\mu}$ . Пространства $P_{a}[1;\mu]$ , $\mu\in\mathfrak{M}(\Omega-a)$ , образуют обратный спектр относительно непрерывных вложений $P_{a}[1;\mu ]\subseteq P_{a}[1;\mu']$ , $\mu\geqslant\mu'$ . Проективный предел этого спектра не зависит от выбора $a\in\Omega$ и совпадает с пространством $P(\Omega)$ . При этом совокупность множеств

$\begin{equation*} V_{\mu}:=\{g\in P(\Omega)\colon | g(\lambda)| \leqslant\mu (\lambda)|{\exp a\lambda}|\}, \qquad \mu\in\mathfrak{M}(\Omega-a) \end{equation*} \notag$

образует фундаментальную систему окрестностей нуля в

$P(\Omega)$ , см. [18].

Вернемся к общему случаю: $\Omega$ – односвязная область. Пространства $O(\Omega)$ и $P(\Omega)$ являются пространствами типа $(M^{\ast})$ и $(\mathrm{LN}^{\ast})$ соответственно, значит, они оба являются рефлексивными, см. [5]. Следовательно, пара $\langle O(\Omega),P(\Omega)\rangle$ является парой дуальных пространств. При этом преобразование Лапласа $L_{\Omega}$ порождает дуальную схему

которая называется аналитической дуальной схемой. В этой схеме

$P^{\ast }(\Omega)$ – сильное сопряженное к пространству

$P(\Omega)$ ,

$L_{\Omega}^{\ast}$ – сопряженное отображение к оператору Лапласа

$L_{\Omega}$ . Аналитическая дуальная схема кратко описана и использовалась ранее в статье [3]. Результаты из [3; разд. 3.1] сформулируем в виде отдельного предложения.

Предложение 3. Справедливы следующие утверждения:

для любого $z\in\Omega$ дуальный элемент функции $\lambda\to e^{z\lambda}$ , рассматриваемой как элемент пространства $P(\Omega)$ , совпадает с функционалом $\delta_{z}\in O^{\ast}(\Omega)$ , действующим по правилу $\langle \delta_{z},f\rangle =f(z)$ ;

для любого $\lambda\in\mathbb{C}$ дуальный элемент функции $z\to e^{\lambda z}$ , рассматриваемой как элемент пространства $O(\Omega)$ , совпадает с функционалом $\delta_{\lambda}\in P^{\ast}(\Omega)$ , действующим по правилу $\langle g,\delta_{\lambda}\rangle =g(\lambda)$ ;

для любых $g\in P(\Omega)$ , $f\in O(\Omega)$ и $n\in\mathbb{Z}_{+}$ имеют место представления

$\begin{equation*} g^{(n)}(\lambda)=\langle \widehat{g},z^{n}e^{\lambda z}\rangle, \qquad f^{(n)}(z)=\langle \lambda^{n}e^{z\lambda},\widehat{f}\rangle. \end{equation*} \notag$

Выберем еще одну односвязную область $\Omega_{0}\subseteq \mathbb{C}$ и рассмотрим диаграмму, иллюстрирующую взаимодействие двух аналитических дуальных схем,

в которой

$u$ ,

$v$ – произвольные линейные отображения,

$u^{\ast}$ ,

$v^{\ast}$ – их сопряженные отображения. Из соотношений (2.3) и предложения 3 вытекает простое описание дуальных отображений

$u^{\circledast}\colon P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ и

$v^{\circledast }\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ в терминах дуальных функционалов, см. [3; 3.2].

Предложение 4. Для любых $\varphi\in P(\Omega_{0})$ и $f\in O(\Omega)$ справедливы представления

$\begin{equation*} u^{\circledast}(\varphi)(\lambda)=\langle \widehat{\varphi},u(e^{\lambda z})(\zeta)\rangle , \qquad v^{\circledast}(f)(\zeta)=\langle v(e^{\zeta\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle . \end{equation*} \notag$

Обоснуем три свойства объектов аналитической дуальной схемы, вытекающие из предложения 4, которые неоднократно будут использоваться нами ниже по умолчанию. Во-первых, пусть $\Omega_{0}\subseteq\Omega$ и $u\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ – отображение вложения. По предложению 4 дуальное отображение $u^{\circledast}$ совпадает с отображением вложения $P(\Omega _{0})\to P(\Omega)$ . Отображение $u$ непрерывно и пространство $O(\Omega)$ всюду плотно в пространстве $O(\Omega_{0})$ , значит, по предложению 1 отображение вложения $P(\Omega _{0})\to P(\Omega)$ является непрерывным и пространство $P(\Omega_{0})$ всюду плотно в пространстве $P(\Omega)$ .

Во-вторых, для любого $h\in\mathbb{C}$ оператор сдвига $T_{h}\colon f(z)\to f(\zeta+h)$ осуществляет линейный топологический изоморфизм $O(\Omega)\to O(\Omega-h)$ . По предложению 4 дуальное к нему отображение $T_{h}^{\circledast}$ действует из пространства $P(\Omega-h)$ в пространство $P(\Omega)$ по правилу $g(\xi)\to g(\lambda)e^{h\lambda}$ и по предложению 2 является линейным топологическим изоморфизмом.

В-третьих, семейство $\{v_{h}\colon h\in H\}$ линейных непрерывных отображений $v_{h}\colon P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ является равностепенно непрерывным тогда и только тогда, когда семейство дуальных отображений $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in H\}$ является равностепенно непрерывным семейством линейных непрерывных отображений $O(\Omega)\,{\to}\, O(\Omega_{0})$ . Действительно, для любого компакта $d\subseteq\Omega _{0}$ множество экспонент $\{e^{\zeta \xi}\colon \zeta\,{\in}\,d\}$ ограничено в пространстве $P(\Omega_{0})$ . Из равностепенной непрерывности семейства отображений $\{v_{h}\colon h\in H\}$ вытекает, что множество целых функций $\{v_{h}(e^{\zeta\xi })(\lambda)\colon \zeta\in d,\,h\in H\}$ ограничено в пространстве $P(\Omega)$ . По предложению 4 для любого $f\in O(\Omega)$ множество $\{ v_{h}^{\circledast}(f)(\zeta)\colon \zeta\in d,\,h\in H\}$ ограничено в $\mathbb{C}$ . Это означает, что семейство дуальных отображений $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in H\}$ поточечно ограничено. Но пространство $O(\Omega)$ является бочечным, значит, поточечная ограниченность семейства дуальных отображений $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d\}$ влечет его равностепенную непрерывность, см. [20; гл. IV, теорема 3]. Обратная импликация доказывается аналогично. Предложение доказано.

§ 3. Непрерывные эндоморфизмы целых функций

3.1. Ограниченность сужений эндоморфизмов

Исследование неравенства (1.2) начнем с простейшей ситуации, отметив предварительно, что выполнение этого неравенства означает выполнение следующего условия: для любого $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ найдутся такие $N\in\mathbb{N}$ и $R>0$ , что для любых $n\geqslant N$ вне круга $| \lambda| <R$ выполняется неравенство

$\begin{equation} | A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{0}e}\biggr)^{n}\exp\varepsilon| \lambda| . \end{equation} \tag{3.1}$

Пусть $A$ – произвольный непрерывный эндоморфизм пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ . Для произвольного $\varepsilon>0$ через $U_{\varepsilon}$ обозначаем круг $\{h\in\mathbb{C}$ : $| h| <\varepsilon\}$ , а через $P[1;\varepsilon]$ обозначаем банахово пространство целых функций $g(\lambda)$ , у которых тип при порядке 1 не превосходит $\varepsilon$ , с нормой

$\begin{equation*} \|g\| _{\varepsilon}:=\sup_{\lambda\in\mathbb{C}}\frac{| g(\lambda) |}{\exp\varepsilon| \lambda|}. \end{equation*} \notag$

Справедливо следующее предложение.

Предложение 5. Неравенство (1.2) выполняется тогда и только тогда, когда для любого компакта $d$ из круга $U_{\varepsilon}$ при некотором $N\in \mathbb{Z}_{+}$ множество

$\begin{equation*} \biggl\{ r_{N}(\lambda,h):=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)} {n!}h^{n}\colon h\in d\biggr\} \end{equation*} \notag$

ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon]$ .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено. Значит, найдутся такие

$N\in\mathbb{N}$ и

$R>0$ , что для всех

$n\geqslant N$ вне круга

$| \lambda| <R$ выполняется неравенство (3.1). Выберем произвольный компакт

$d\subseteq U_{\varepsilon}$ . Пусть

$\varepsilon_{0},\varepsilon_{1} \in(0,\varepsilon)$ и

$\varepsilon_{0}>\varepsilon_{1}\geqslant\sup_{h\in d}| h|$ . Если

$h\in d$ , то при некотором

$C>0$ вне круга

$| \lambda| <R$ выполняются неравенства

$\begin{equation*} | r_{N}(\lambda,h)| \leqslant\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{| A(\xi^{n})(\lambda)| }{n!}h^{n} \leqslant\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\biggl(\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{0}}\biggr)^{n} \biggl(\frac{n}{e}\biggr)^{n}e^{\varepsilon|\lambda| } \leqslant C e^{\varepsilon| \lambda| }. \end{equation*} \notag$

При этом если

$| \lambda| <R$ , то в силу принципа максимума при том же

$h$ выполняются неравенства

$\begin{equation*} | r_{N}(\lambda,h)| \leqslant C e^{\varepsilon R} \leqslant C e^{\varepsilon R}e^{\varepsilon| \lambda| }. \end{equation*} \notag$

Значит, множество

$\{r_{N} (\lambda,h)\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon]$ .

Достаточность. Предположим, что при некотором натуральном $N$ множество $\{r_{N}(\lambda,h)\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$ для любого компакта $d$ из $U_{\varepsilon}$ . Выберем произвольные $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ , $\varepsilon_{1}\in(\varepsilon_{0},\varepsilon)$ и $\varepsilon_{2}\in(\varepsilon_{1},\varepsilon)$ . Из ограниченности множества $\{r_{N} (\lambda,h)\colon h\in U_{\varepsilon_{2}}\}$ по норме пространства $P[1;\varepsilon]$ и неравенства (1.1) вытекает существование такого $C>0$ , что для любых $n>N$ вне круга $| \lambda| <\varepsilon_{1}$ выполняются неравенства

$\begin{equation} \biggl| \frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}\biggr| \leqslant\frac{C \exp\varepsilon\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}^{n}} \leqslant\frac{C\exp\varepsilon| \lambda| }{\varepsilon_{1}^{n}}. \end{equation} \tag{3.2}$

Следовательно, найдeтся такое натуральное

$N_{0}>N$ , что для любых

$n\geqslant N_{0}$ вне круга

$| \lambda| <\varepsilon_{1}$ выполняются неравенства

$\begin{equation*} | A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant2C\biggl(\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon_{1}}\biggr)^{n} \sqrt{2\pi n}\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{0} e}\biggr)^{n}\exp\varepsilon| \lambda| \leqslant\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{0}e}\biggr)^{n}\exp\varepsilon|\lambda| . \end{equation*} \notag$

Отсюда уже вытекает выполнение неравенства (1.2). Предложение доказано.

Если целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке $1$ , то предложение 5 допускает следующее усиление.

Предложение 6. Для того чтобы множество $\{A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d\}$ было ограничено в пространстве $P[1;\varepsilon]$ для любого компакта $d$ из $U_{\varepsilon}$ , необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке $1$ , то и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (1.2).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что данное множество ограничено в пространстве

$P[1;\varepsilon]$ для любого компакта

$d$ из круга

$U_{\varepsilon}$ . Пусть

$0<\varepsilon_{0} <\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon$ . Тогда множество

$\{A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in U_{\varepsilon_{2}}\}$ ограничено в пространстве

$P[1;\varepsilon]$ . Значит, существует такое

$C>0$ , что для любых

$h\in U_{\varepsilon _{2}}$ и

$\lambda\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} | A(e^{h\xi})(\lambda)| =\biggl| \sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}\biggr| \leqslant Ce^{\varepsilon | \lambda| }. \end{equation*} \notag$

Следовательно, в силу неравенства (1.1) для любых

$n\in\mathbb{Z}_{+}$ вне круга

$|\lambda|\,{<}\,\varepsilon_{1}$ выполняются неравенства (3.2). Отсюда, как показано при доказательстве предложения 5, вытекает существование такого

$N_{0}\in\mathbb{Z}_{+}$ , что для любых

$n\,{\geqslant}\,N_{0}$ вне круга

$| \lambda| <\varepsilon_{1}$ выполняется неравенство (3.1). Необходимость доказана.

Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено и целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1. Выберем произвольный компакт $d\subseteq U_{\varepsilon}$ . По предложению 5 при некотором $N\in \mathbb{Z}_{+}$ множество $\{r_{N}(\lambda,h)\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства $P[1;\varepsilon]$ . Так как целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in\mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1, то для любых $\lambda \in\mathbb{C}$ и $n\in\mathbb{Z}_{+}$ при некотором $C_{n}>0$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} | A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant C_{n}e^{\varepsilon| \lambda| }. \end{equation*} \notag$

Значит, при

$h\in d$ ,

$\lambda\in\mathbb{C}$ и некотором

$C>0$ выполняются неравенства

$\begin{equation*} | S_{N}(\lambda,h)| \leqslant\sum_{n=0}^{N}\frac{| A(\xi^{n})(\lambda)| }{n!}h^{n}\leqslant\sum_{n=0}^{N}\frac {C_{n}e^{\varepsilon| \lambda| }}{n!}h^{n}\leqslant C e^{\varepsilon| \lambda| }. \end{equation*} \notag$

Значит, множество

$\begin{equation*} \biggl\{ S_{N}(\lambda,h):=\sum_{n=0}^{N}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}\colon h\in d\biggr\} \end{equation*} \notag$

тоже ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon]$ , а это влечет ограниченность множества

$\begin{equation*} \{ A(e^{h\xi})(\lambda)=S_{N}(\lambda,h)+r_{N}(\lambda,h)\colon h\in d\} \end{equation*} \notag$

в пространстве

$P[1;\varepsilon]$ . Предложение доказано.

3.2. Непрерывность сужений эндоморфизмов

Пусть $\varepsilon'>0$ . Пространства $P[1;\varepsilon]$ , $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ , образуют прямой спектр относительно вполне непрерывных вложений $P[1;\varepsilon _{0}]\subseteq P[1;\varepsilon_{1}]$ , $\varepsilon_{0}<\varepsilon_{1}$ . Индуктивный предел этого спектра совпадает с пространством $P(U_{\varepsilon'})$ . По запасу элементов пространство $P(U_{\varepsilon'})$ совпадает с множеством $P[1;\varepsilon')$ всех целых функций, у которых тип при порядке 1 меньше $\varepsilon'$ .

Предложение 7. Для того чтобы при любом выборе $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ сужение непрерывного эндоморфизма $A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ было непрерывным эндоморфизмом пространства $P(U_{\varepsilon})$ , необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что сужение оператора

$A$ на пространство

$P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным эндоморфизмом этого пространства при любом

$\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ . Выберем произвольное

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольный компакт

$d\subseteq U_{\varepsilon}$ . Пусть

$\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ и

$\varepsilon_{0}>\sup_{h\in d}| h|$ . Для любых

$h\in U_{\varepsilon _{0}}$ и

$\xi\in\mathbb{C}$ выполняются оценки

$| e^{h\xi}| \leqslant e^{| h| | \xi| }\leqslant e^{\varepsilon_{0}| \xi| }$ . Из этих оценок вытекает, что множество

$\{ e^{h\xi}\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{0}]$ и, значит, ограничено в пространстве

$P(U_{\varepsilon})$ . В силу линейности и непрерывности оператора

$A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(U_{\varepsilon})$ множество

$\{ A(e^{h\xi})\colon h\in d\}$ тоже ограничено в пространстве

$P(U_{\varepsilon})$ . По известному описанию ограниченных множеств в пространствах типа

$(\mathrm{LN}^{\ast})$ существует такое

$\varepsilon_{1}\in(0,\varepsilon)$ , что множество

$\{A(e^{h\xi})\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{1}]$ и, значит, ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon]$ . В силу предложения 6 для выбранного

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.

Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ . Пусть $g_{k}\to0$ в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$ . Из описания секвенциальной сходимости в пространствах типа $(\mathrm{LN}^{\ast})$ вытекает, что при некоторых $C_{k}>0$ и $\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ выполняются равномерные по $\xi\in\mathbb{C}$ оценки

$\begin{equation*} | g_{k}(\xi)| \leqslant C_{k}\exp\varepsilon_{0}| \xi|. \end{equation*} \notag$

При этом

$C_{k}\to0$ и для любых

$n\in\mathbb{Z}_{+}$ и

$k\in\mathbb{N}$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} \biggl| \frac{g_{k}^{(n)}(0)}{n!}\biggr| \leqslant\frac{C_{k}\exp \varepsilon_{0}r}{r^{n}}=C_{k}\biggl(\frac{e\varepsilon_{0}}{n}\biggr)^{n}, \end{equation*} \notag$

где

$r:=n\varepsilon_{0}^{-1}$ . Выберем произвольные

$\varepsilon_{1}\in(\varepsilon_{0},\varepsilon)$ и

$\varepsilon_{2} \in(\varepsilon_{1},\varepsilon)$ . По сделанному предположению найдутся такие

$N\in\mathbb{N}$ ,

$R>0$ и

$C>0$ , что для всех

$n\geqslant N$ вне круга

$| \lambda| <R$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} | A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant\biggl(\frac{n}{\varepsilon_{1}e}\biggr)^{n}\exp\varepsilon_{2}| \lambda| , \end{equation*} \notag$

а для всех

$n<N$ и всех

$\lambda\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} | A(\xi^{n})(\lambda)| \leqslant C \exp\varepsilon _{2}| \lambda| . \end{equation*} \notag$

В силу линейности и непрерывности оператора

$A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ вне круга

$| \lambda| <R$ выполняются неравенства

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, | (A(g_{k}) (\lambda)| &\leqslant\sum_{n=0} ^{N-1}\biggl| \frac{g_{k}^{(n)}(0)}{n!}\biggr|\,| A(\xi^{n})(\lambda)| +\sum_{n=N}^{\infty}\biggl| \frac{g_{k}^{(n)}(0)}{n!}\biggr|\,| A(\xi^{n})(\lambda)| \\ &\leqslant \sum_{n=0}^{N-1}C _{k}\biggl(\frac{e\varepsilon_{0}}{n}\biggr)^{n}C e^{\varepsilon_{2}| \lambda| } +\sum_{n=N}^{\infty}C _{k}\biggl(\frac{e\varepsilon_{0}}{n}\biggr)^{n} \biggl(\frac{n}{\varepsilon_{1}e}\biggr)^{n}e^{\varepsilon_{2}| \lambda| } \leqslant C _{k}C'e^{\varepsilon_{2}| \lambda| }, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} C':=C\sum_{n=0}^{N-1}\biggl(\frac{e\varepsilon_{0}}{n}\biggr)^{n} +\sum_{n=N}^{\infty}\biggl(\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon_{1}}\biggr)^{n}. \end{equation*} \notag$

Значит,

$A(g_{k})\to0$ в пространстве

$P[1;\varepsilon_{2}]$ и, значит, в пространстве

$P(U_{\varepsilon})$ . Таким образом, доказано, что

$A(P(U_{\varepsilon}))\subseteq P(U_{\varepsilon})$ и оператор

$A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(U_{\varepsilon})$ секвенциально непрерывен. Осталось отметить, что секвенциальная непрерывность эндоморфизма пространства типа

$(\mathrm{LN}^{\ast})$ влечет его непрерывность, см. [5]. Предложение доказано.

§ 4. Операторы умножения на целую функцию

4.1. Операторы умножения на целую функцию экспоненциального типа

Пусть $\Omega_{0}$ и $\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ , $\varepsilon'>0$ , $U_{\varepsilon'}:=\{h\colon | h| <\varepsilon'\}$ и $\Omega_{0}+U_{\varepsilon' }\subseteq\Omega$ . Выберем произвольный непрерывный эндоморфизм $A$ пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ и произвольный элемент $\varphi$ пространства $P(\Omega_{0})$ . Рассмотрим непрерывный эндоморфизм $\varphi A$ пространства целых функций, который действует по правилу

$\begin{equation*} O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})\mid g\to\varphi A(g). \end{equation*} \notag$

Предложение 7 допускает следующее развитие.

Предложение 8. Для того чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ сужение непрерывного эндоморфизма $\varphi A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ было линейным непрерывным отображением из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и любой целой функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ , необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что для любого

$\varepsilon\,{\in}\,(0,\varepsilon')$ сужение оператора

$g\to \varphi A(g)$ на пространство

$P(U_{\varepsilon})$ является линейным непрерывным отображением из пространства

$P(U_{\varepsilon})$ в пространство

$P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и целой функции

$\varphi\in P(\Omega_{0})$ . Выберем произвольное

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольный компакт

$d\in U_{\varepsilon}$ . Пусть

$\varepsilon_{0}\in(0,\varepsilon)$ и

$\varepsilon_{0}>\sup_{h\in d}| h|$ ,

$\delta \in(\varepsilon,2\varepsilon-\varepsilon_{0})$ и

$\delta_{0} \in(\varepsilon,\delta)$ . Положим

$\Omega_{0}:=U_{\delta}$ ,

$\Omega:=U_{2\varepsilon}$ и выберем в качестве функции

$\varphi\in P(\Omega_{0})$ произвольную целую функцию вполне регулярного роста с постоянным индикатором

$\delta_{0}$ при порядке 1. Так как

$\Omega_{0}+U_{2\varepsilon-\delta}=U_{\delta }+U_{2\varepsilon-\delta}=U_{2\varepsilon}\,{=:}\,\Omega$ , то по сделанному предположению сужение оператора

$\varphi A$ на пространство

$P(U_{2\varepsilon-\delta})$ является линейным непрерывным отображением этого пространства в пространство

$P(U_{2\varepsilon})$ . Множество

$\{ e^{h\xi}\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства

$P[1,\varepsilon_{0}]$ . Так как

$2\varepsilon-\delta>\varepsilon_{0}$ , то это множество ограничено в пространстве

$P(U_{2\varepsilon-\delta})$ . В силу непрерывности оператора

$\varphi A\colon P(U_{2\varepsilon-\delta})\to P(U_{2\varepsilon})$ множество

$\{ \varphi(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d\}$ ограничено в пространстве

$P(U_{2\varepsilon})$ и, значит, ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{1}]$ при некотором

$\varepsilon _{1}\in(\varepsilon_{0}+\delta,2\varepsilon)$ . Так как

$\varepsilon_{1}-\delta_{0}<\varepsilon$ , то из условий на выбор функции

$\varphi$ вытекает, что множество

$\{ A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d\}$ ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{2}]$ при некотором

$\varepsilon _{2}\in(\varepsilon_{1}-\delta_{0},\varepsilon)$ и, значит, ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon]$ . В силу предложения 6 для выбранного

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть $\Omega_{0}$ и $\Omega$ – односвязные области в комплексной области $\mathbb{C}$ и $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке $\rho=1$ . Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ , произвольную функцию $\varphi\in P(\Omega_{0})$ и произвольную последовательность $g_{k}$ , сходящуюся к нулю в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$ . Функция $\varphi$ допускает представление

$\begin{equation*} \varphi(\lambda)=\frac{1}{2\pi i}\int_{l}\gamma(t)e^{\lambda t}\,dt, \end{equation*} \notag$

где

$\gamma$ – функция, ассоциированная по Борелю с функцией

$\varphi$ ,

$l\subseteq\Omega_{0}$ – спрямляемый контур, охватывающий особенности функции

$\gamma$ . Разобьем контур

$l$ на конечное число спрямляемых кривых

$l_{1},\dots,l_{N}$ . Можно считать, что для любого

$j\in\{1,\dots,N\}$ кривая

$l_{j}$ лежит в круге

$U_{\delta_{j}}(h_{j})\subseteq\Omega_{0}$ с центром в точке

$h_{j}\in l_{j}$ и радиусом

$\delta_{j}<\delta$ при некотором

$\delta>0$ . Тогда

$\varphi=\varphi_{1}+\dots+\varphi_{N}$ , где

$\begin{equation*} \varphi_{j}(\lambda)=\frac{1}{2\pi i}\int_{l_{j}}\gamma(t)e^{\lambda t}\,dt. \end{equation*} \notag$

При этом произведение

$\psi_{j}:=\varphi_{j}e^{-h_{j}\lambda}$ принадлежит пространству

$P(U_{\delta})$ для любого

$j\in\{1,\dots,N\}$ . По предложению 7 отображение

$A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным, значит, последовательность

$A(g_{k})$ сходится к нулю по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{0}]$ при некотором

$\varepsilon _{0}\in(0,\varepsilon)$ . Отсюда вытекает, что последовательность

$\psi_{j}A(g_{k})$ сходится к нулю по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{0}+\delta_{j}]$ для любого

$j\in\{1,\dots,N\}$ . Следовательно, последовательность

$\psi_{j}A(g_{k})$ сходится к нулю в пространстве

$P(U_{\varepsilon_{0}+\delta})$ для любого

$j\in\{1,\dots,N\}$ . Так как

$U_{\varepsilon_{0}+\delta }\subseteq\Omega-h_{j}$ и отображение вложения

$P(U_{\varepsilon _{0}+\delta})\to P(\Omega-h_{j})$ непрерывно, то

$\psi_{j}A(g_{k})\to0$ в пространстве

$P(\Omega-h_{j})$ . Отображение

$P(\Omega-h_{j})\to P(\Omega)|g\to ge^{h_{j}\lambda}$ является топологическим изоморфизмом, значит,

$\varphi_{j}A(g_{k})\to0$ в пространстве

$P(\Omega)$ для любого

$j\in\{1,\dots,N\}$ . Отсюда вытекает, что

$\varphi A(g_{k})\to0$ в пространстве

$P(\Omega)$ . Таким образом, доказано, что оператор

$\varphi A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(\Omega)$ секвенциально непрерывен, а это влечет его непрерывность. Предложение доказано.

4.2. Равностепенная непрерывность семейства операторов умножения на целую функцию

Пусть $\Omega_{0}$ и $\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ , удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Выберем произвольный непрерывный эндоморфизм $A$ пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ , произвольную точку $h\in$ $U_{\varepsilon'}$ и рассмотрим другой непрерывный эндоморфизм пространства целых функций, действующий по правилу

$\begin{equation*} O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})\mid g\to A(e^{h\xi})g\text{.} \end{equation*} \notag$

Сужение этого эндоморфизма на пространство

$P(\Omega_{0})$ обозначим

$v_{h}$ . Опишем условия, при которых семейство операторов

$\{v_{h}\colon h\in d\}$ является равностепенно непрерывным семейством отображений

$P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ для любого компакта

$d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ .

Предложение 9. Для того чтобы семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d'\}$ было равностепенно непрерывным семейством отображений из пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе компакта $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ , необходимо и достаточно, чтобы для любого $f\in O(\Omega)$ и любых компактов $d\subseteq \Omega_{0}$ и $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ множество

$\begin{equation} \{ \langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f} \rangle \colon \zeta\in d,h\in d'\} \end{equation} \tag{4.1}$

было ограничено в

$\mathbb{C}$ .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что семейство операторов

$\{v_{h}\colon h\in d'\}$ является равностепенно непрерывным семейством отображений из пространства

$P(\Omega_{0})$ в пространство

$P(\Omega)$ при любом выборе компакта

$d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ . Выберем произвольный компакт

$d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ . Для любого

$h\in d'$ дуальное отображение

$v_{h}^{\circledast}$ действует из пространства

$O(\Omega)$ в пространство

$O(\Omega_{0})$ и является непрерывным. По предложению 4 для любого

$\ f\in O(\Omega)$ имеет место представление

$\begin{equation*} v_{h}^{\circledast}(f)(\zeta)=\langle v_{h}(e^{h\xi})(\lambda ),\widehat{f}\rangle =\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi} )(\lambda),\widehat{f}\rangle , \end{equation*} \notag$

в котором

$\widehat{f}\in P^{\ast}(\Omega)$ – дуальный элемент функции

$f\in O(\Omega)$ . Так как по предположению семейство операторов

$\{v_{h}\colon h\in d'\}$ является равностепенно непрерывным, то семейство дуальных операторов

$\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d'\}$ тоже будет равностепенно непрерывным. Отсюда вытекает, что семейство операторов

$\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d'\}$ поточечно ограничено, т.е. множество

$\{v_{h}^{\circledast}(f)\colon h\in d'\}$ ограничено в пространстве

$O(\Omega_{0})$ для любого

$f\in O(\Omega)$ . Значит, для любого компакта

$d\subseteq O(\Omega_{0})$ и любой функции

$f\in O(\Omega)$ множество

$\{v_{h}^{\circledast}(f)(\zeta)\colon \zeta\in d,h\in d'\}$ , совпадающее с множеством (4.1), ограничено в

$\mathbb{C}$ .

Достаточность. Ограниченность множества (4.1) для любых компактов $d\subseteq O(\Omega_{0})$ и $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ и любой функции $f\in O(\Omega)$ означает поточечную ограниченность семейства дуальных операторов $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d\}$ , а это влечет равностепенную непрерывность семейств $\{v_{h}^{\circledast}\colon h\in d\}$ и $\{v_{h}\colon h\in d\}$ , см. [20; гл. IV, теорема 3]. Предложение доказано.

Из предложения 9 вытекает следующее предложение.

Предложение 10. Для того чтобы семейство операторов $\{v_{h}\colon h\in d'\}$ было равностепенно непрерывным семейством отображений из пространства $P(\Omega_{0})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и компакта $d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ , необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке $1$ , то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что посылка доказываемой импликации выполнена. Выберем произвольное

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольный компакт

$d'\subseteq U_{\varepsilon}$ . Пусть

$\varepsilon_{0} \in(0,\varepsilon)$ и

$\varepsilon_{0}>\sup_{h\in d'}| h|$ ,

$\delta\in(\varepsilon,2\varepsilon-\varepsilon_{0})$ ,

$\delta_{0}\in(\varepsilon,\delta)$ ,

$\delta_{1}\in(\delta_{0},\delta)$ . Положим

$\Omega_{0}:=U_{\delta}$ ,

$\Omega:=U_{2\varepsilon}$ В силу предложения 9 для любого

$f\in O(\Omega)$ и любых компактов

$d\subseteq \Omega_{0}$ и

$d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ множество (4.1) ограничено в

$\mathbb{C}$ . Это означает, что множество

$\{ e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda)\colon \zeta\in d,\,h\in d'\}$ слабо ограничено и, значит, ограничено в пространстве

$P(U_{2\varepsilon})$ . Пусть

$\varphi\in P(U_{\delta})$ – целая функция вполне регулярного роста с постоянным индикатором

$\delta_{0}$ при порядке 1,

$\widehat{\varphi}\in O^{\ast}(U_{\delta})$ – дуальный элемент функции

$\varphi$ . Множество

$\{\zeta \colon | \zeta| \leqslant\delta_{0}\}$ является определяющим для функционала

$\widehat{\varphi}$ , значит, для любых

$h\in d'$ и

$\lambda\in\mathbb{C}$ имеем

$\begin{equation*} | \varphi(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda)| =| \langle \widehat{\varphi},e^{\lambda\zeta}A(e^{h\xi})(\lambda )\rangle | \leqslant C_{\varphi}\sup_{| \zeta| <\delta_{1}}| e^{\lambda\zeta}A(e^{h\xi})(\lambda)| . \end{equation*} \notag$

Следовательно, множество

$\{ \varphi(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d'\}$ ограничено в пространстве

$P(U_{2\varepsilon})$ и, значит, ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{1}]$ при некотором

$\varepsilon _{1}\in(\varepsilon_{0}+\delta,2\varepsilon)$ . Так как

$\varepsilon_{1}-\delta_{0}<\varepsilon$ , то из полной регулярности роста функции

$\varphi$ вытекает, что множество

$\{A(e^{h\xi})(\lambda)\colon h\in d'\}$ ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{2}]$ при некотором

$\varepsilon _{2}\in(\varepsilon_{1}-\delta_{0},\varepsilon)$ и, значит, ограничено по норме пространства

$P[1;\varepsilon]$ . В силу предложения 6 для выбранного

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.

Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1. Выберем произвольные односвязные области $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольные компакты $d'$ и $d$ в круге $U_{\varepsilon}$ и в области $\Omega_{0}$ соответственно. Множество $\{e^{h\xi }\colon h\in d'\}$ ограничено в пространстве $P(U_{\varepsilon})$ , и по предложению 7 отображение $A\colon P(U_{\varepsilon})\to P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным, значит, множество $\{A(e^{h\xi })\colon h\in d'\}$ тоже ограничено в пространстве $P(U_{\varepsilon})$ . Следовательно, при некоторых $\varepsilon _{0}\in(0,\varepsilon)$ и $C>0$ и для любых $h\in d$ и $\lambda\in\mathbb{C}$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} | A(e^{h\xi})(\lambda)| \leqslant C\exp\varepsilon_{0}| \lambda| . \end{equation*} \notag$

Пусть

$\varepsilon_{1}\in(\varepsilon _{0},\varepsilon)$ . Для любых

$h\in d'$ ,

$\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и

$r:=({\varepsilon_{1}}/{\varepsilon_{0}})| \lambda| >0$ выполняются неравенства

$\begin{equation*} \biggl|\sum_{n=0}^{m}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda^{n}\biggr| \leqslant\sum_{n=0}^{m}\frac{C\exp\varepsilon_{0}r}{r^{n}}|\lambda|^{n} \leqslant C\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{0}}\exp\varepsilon_{1}| \lambda| . \end{equation*} \notag$

Из этих оценок вытекает, что ряд

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda^{n} \end{equation*} \notag$

сходится к функции

$A(e^{h\xi})$ по норме пространства

$P[1;\varepsilon_{1}]$ равномерно по

$h\in d'$ , и, значит,

$\begin{equation*} e^{\zeta\lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda ^{n}\to e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda) \end{equation*} \notag$

в топологии

$P(\Omega)$ , причем сходимость будет равномерной по

$h\in d'$ и

$\zeta\in d$ , см. [20; лемма 3.1]. По предложению 4 для любого

$f\in O(\Omega)$

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{m}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}f^{(n)}(\zeta) =\biggl\langle e^{\zeta\lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda ^{n},\widehat{f}\biggr\rangle \to\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle \end{equation*} \notag$

равномерно по

$h\in d'$ и

$\zeta\in d$ , где

$\widehat{f}$ – дуальный элемент для

$f$ . Из произвольности выбора компактов

$d'\subseteq U_{\varepsilon}$ и

$d\subseteq\Omega_{0}$ следует, что для любого

$f\in O(\Omega)$ функция

$\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle$ является аналитической на бицилиндре

$U_{\varepsilon}\times\Omega_{0}$ как функция двух переменных

$h$ и

$\zeta$ . Значит, для любого

$\widehat{f}\in P^{\ast}(\Omega)$ множество (4.1) ограничено в

$\mathbb{C}$ . В силу предложения 9 семейство операторов

$\{v_{h}\colon h\in d'\}$ равностепенно непрерывно. Предложение доказано.

§ 5. Операторы типа свертки

5.1. Оператор $A$ -сдвига

Пусть $\varepsilon'\,{>}\,0$ и $\Omega_{0},\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Выберем произвольный непрерывный эндоморфизм $A$ пространства целых функций $O(\mathbb{C})$ и точку $h\in U_{\varepsilon'}$ . Линейный дифференциальный оператор

$\begin{equation} f(z)\to\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}f^{(n)}(\zeta) \end{equation} \tag{5.1}$

с характеристической функцией

$A(e^{h\xi})$ обозначим через

$AT_{h}$ . Оператор

$AT_{h}$ действует из пространства

$O(\Omega)$ в пространство

$O(\Omega_{0})$ тогда и только тогда, когда ряд (5.1) сходится равномерно на компактах из

$\Omega_{0}$ при любом выборе

$f$ из

$O(\Omega)$ . Оператор

$AT_{h}$ называют оператором

$A$ -сдвига (на шаг

$h$ ), если он действует из пространства

$O(\Omega)$ в пространство

$O(\Omega_{0})$ и является непрерывным, см. [3]. Из этого определения вытекает, что для любого оператора

$A$ -сдвига

$AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ , любого

$h\in U_{\varepsilon'}$ и любых

$\zeta\in\Omega_{0}$ и

$\lambda\in\mathbb{C}$ выполняются равенства

$\begin{equation} AT_{h}(e^{\lambda z})(\zeta) =e^{\lambda\zeta}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!}\lambda^{n} =e^{\lambda\zeta}A(e^{h\xi})(\lambda). \end{equation} \tag{5.2}$

Выберем произвольный оператор $A$ -сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ . Возникает вопрос: при каких условиях ряд (5.1) сходится равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и функции $f\in O(\Omega)$ . Этот вопрос возникает при проверке аналитичности образа $AT_{h}(f)(\zeta)$ как функции двух комплексных переменных $\zeta$ и $h$ на бицилиндре $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ . Прежде чем ответить на этот вопрос, выясним структуру дуального оператора $AT_{h}^{\circledast}\colon P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ по отношению к оператору $A$ -сдвига. Справедливо следующее предложение.

Лемма 1. Оператор $AT_{h}^{\circledast}\colon P(\Omega_{0})\to P(\Omega)$ , дуальный по отношению к оператору $A$ -сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ , действует на элементы $g\in P(\Omega_{0})$ по правилу

$\begin{equation*} g(\zeta)\to g(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda). \end{equation*} \notag$

Доказательство. Выберем произвольную функцию

$g\in P(\Omega_{0})$ . Из предложения 4 и соотношений (5.2) вытекает, что для любого

$h\in U_{\varepsilon'}$ и любых

$z\in O(\Omega)$ и

$\lambda\in\mathbb{C}$ выполняются равенства

$\begin{equation*} AT_{h}^{\circledast}(g) (\lambda)=\langle\widehat{g} ,AT_{h}(e^{\lambda z})(\zeta)\rangle=\langle\widehat{g},e^{\lambda\zeta }A(e^{h\xi})(\lambda)\rangle=\langle \widehat{g},e^{\lambda\zeta }\rangle A(e^{h\xi})(\lambda). \end{equation*} \notag$

В силу (2.2) и утверждения 2) из предложения 3 имеем

$\begin{equation*} AT_{h}^{\circledast}(g) (\lambda) =\langle g,\widehat{e^{\lambda\zeta}}\rangle A(e^{h\xi})(\lambda)=\langle g,\delta_{\lambda}\rangle A(e^{h\xi})(\lambda)=g(\lambda)A(e^{h\xi })(\lambda). \end{equation*} \notag$

Лемма доказана.

Из леммы 1 и свойств дуальных отображений вытекает, что оператор $A$ -сдвига $AT_{h}$ совпадает с дуальным оператором $v_{h}^{\circledast}$ по отношению к сужению $v_{h}$ непрерывного эндоморфизма $O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})\mid g\to A(e^{h\xi})g$ на пространство $P(\Omega_{0})$ . Этот факт позволяет привлечь результаты из § 4 к решению поставленной задачи.

Предложение 11. Для того чтобы при любом $f\in O(\Omega)$ ряд (5.1) сходился к функции $\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle$ равномерно по $(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что для любого

$f\,{\in}\,O(\Omega)$ ряд (5.1) сходится равномерно по

$(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Из этого предположения вытекает, что функция

$\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle$ является аналитической на бицилиндре

$U_{\delta}\times U_{\varepsilon'}$ , и, значит, множество (4.1) ограничено в

$\mathbb{C}$ для любых компактов

$d\subseteq O(\Omega_{0})$ и

$d'\subseteq U_{\varepsilon'}$ и любой функции

$f\in O(\Omega)$ . По предложению 9 семейство операторов

$\{v_{h}\colon h\in d'\}$ равностепенно непрерывно, и, значит, по предложению 10 для любого

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.

Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1. Равномерную сходимость ряда (5.1) к функции $\langle e^{\zeta \lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle$ на компактах из бицилиндра $\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и любой функции $f\in O(\Omega)$ можно доказать буквальным повторением второй части доказательства предложения 10. Предложение доказано.

5.2. Представления оператора $A$ -сдвига

Если целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1 и неравенство (1.2) выполняется при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ , то по предложению 11 оператор $A$ -сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ допускает следующее представление:

$\begin{equation} AT_{h}(f)(\zeta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(e^{h\xi})^{(n)}(0)}{n!} f^{(n)}(\zeta), \qquad f\in O(\Omega), \end{equation} \tag{5.3}$

в котором ряд сходится равномерно по

$(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ . Это представление является новым и не использовалось ранее. В проводимых ранее исследованиях использовалось традиционное представление оператора

$A$ -сдвига

$\begin{equation} AT_{h}(f)(\zeta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f)(\zeta), \qquad f\in O(\Omega), \end{equation} \tag{5.4}$

в котором тоже ряд сходится равномерно по

$(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ .

Представления (5.3) и (5.4) могут иметь место без предположения, что целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1. В этих условиях новое представление (5.3) выигрывает у традиционного представления (5.4), так как последнее априори предполагает, что для любого $n\in\mathbb{Z}_{+}$ определен дифференциальный оператор $A(\xi^{n})(D)$ , который действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$ , т.е. функции $A(\xi^{n})(D)(f)$ , $n\in\mathbb{Z}_{+}$ , являются аналитическими в области $\Omega_{0}$ при любом $f\in O(\Omega)$ . Для определения функций $A(\xi^{n})(D)(f)$ , $n\in\mathbb{Z}_{+}$ , можно использовать дуальное определение дифференциальных операторов из статьи [3] и считать, что для любых $f\in O(\Omega)$ и $\zeta\in\Omega_{0}$

$\begin{equation} A(\xi^{n})(D)(f)(\zeta):=\langle e^{\zeta\lambda}A(\xi^{n})(\lambda ),\widehat{f}\rangle , \end{equation} \tag{5.5}$

где

$\widehat{f}$ – дуальный функционал для

$f$ . При этом нужно предполагать, что эндоморфизм

$A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ удовлетворяет условию: для любого

$n\in\mathbb{Z}_{+}$ оператор умножения на целую функцию

$A(\xi^{n})$ действует из пространства

$P(\Omega_{0})$ в пространство

$P(\Omega)$ , является непрерывным и существует такая последовательность многочленов

$g_{n,k}$ , что

$g_{n,k}\to A(\xi^{n})$ в топологии пространства

$P(U_{\varepsilon})$ . При этом или ином предположении, гарантирующем аналитичность функций

$A(\xi^{n})(D)(f)$ ,

$n\in\mathbb{Z}_{+}$ , в области

$\Omega_{0}$ , справедливость представления (5.4), в котором ряд сходится равномерно по

$(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ , влечет выполнение неравенства (1.2) при любом

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ . Точнее, справедливо следующее предложение.

Предложение 12. Для того чтобы при любом $f\in O(\Omega)$ ряд

$\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f)(\zeta) \end{equation} \tag{5.6}$

сходился к функции

$\langle e^{\zeta \lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle$ равномерно по

$(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , необходимо, а если целые функции

$A(\xi^{n})$ ,

$n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что для любого

$f\,{\in}\,O(\Omega)$ ряд (5.6) сходится равномерно по

$(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Определение ряда (5.6) предполагает, что функции

$A(\xi^{n})(D)(f)$ аналитичны в области

$\Omega_{0}$ . Из этого условия и сделанного предположения вытекает, что функция

$\langle e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda),\widehat{f}\rangle$ является аналитической на бицилиндре

$U_{\delta}\times U_{\varepsilon'}$ . Отсюда, как это показано при доказательстве предложения 11, вытекает, что для любого

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.

Достаточность. Предположим, что неравенство (1.2) выполнено при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ и целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1. Выберем произвольные односвязные области $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Из ограничений на рост целых функций $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , вытекает, что для любого $n\in\mathbb{Z}_{+}$ соотношение (5.5) определяет линейный непрерывный дифференциальный оператор $A(\xi^{n})(D)$ , действующий из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega)$ (см. [3]), следовательно, для любого $f\in O(\Omega)$ функции $A(\xi^{n})(D)(f)$ будут аналитическими в области $\Omega$ и, значит, в области $\Omega_{0}\subseteq\Omega$ . Это означает, что в предполагаемых условиях ряд (5.6) определен корректно. Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ и произвольные компакты $d'$ и $d$ в круге $U_{\varepsilon}$ и в области $\Omega_{0}$ соответственно и произвольную функцию $f\in O(\Omega)$ . Легко показать, что

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}\xi^{n}\to e^{h\xi} \end{equation*} \notag$

в пространстве $P(U_{\varepsilon})$ равномерно по $h\in d'$ . При этом в силу предложения 7 сужение непрерывного эндоморфизма $A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным эндоморфизмом пространства $P(U_{\varepsilon})$ . Отсюда вытекает, что

$\begin{equation*} A\biggl(\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}\xi^{n}\biggr) =\sum_{n=0}^{m} \frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})\to A(e^{h\xi}) \end{equation*} \notag$

в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$ равномерно по $h\in d'$ . Значит,

$\begin{equation*} e^{\zeta\lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(\lambda)\to e^{\zeta\lambda}A(e^{h\xi})(\lambda) \end{equation*} \notag$

в топологии пространства $P(\Omega)$ равномерно по $\zeta\in d$ и $h\in d'$ , см. [20; лемма 3.1]. Следовательно,

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f) (z) =\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}\langle e^{\zeta\lambda}A(\xi^{n} )(\lambda),\widehat{f}\rangle =\biggl\langle e^{\zeta\lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(\lambda),\widehat{f}\biggr\rangle . \end{equation*} \notag$

Дуальный функционал $\widehat{f}$ принадлежит пространству $P^{\ast}(\Omega)$ , значит,

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{m}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n})(D)(f) (z)\to \langle e^{\zeta\lambda}A(\xi^{n})(\lambda),\widehat{f}\rangle \end{equation*} \notag$

равномерно по $\zeta\in d$ и $h\in d'$ . Предложение доказано.

5.3. Оператор $A$ -свертки

Пусть $\varepsilon'>0$ и $\Omega_{0},\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости, удовлетворяющие условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Выберем произвольный оператор $A$ -сдвига $AT_{h}\colon O(\Omega)\to O(\Omega_{0})$ , произвольные функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ и $f\in O(\Omega)$ и произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ . Дуальный функционал $\widehat{\varphi}$ принадлежит пространству $O^{\ast}(\Omega_{0})$ . Значит, $AT_{h}(f)\in O(\Omega_{0})$ для любых $f\in O(\Omega)$ и $h\in U_{\varepsilon}$ . Следовательно, на круге $U_{\varepsilon}$ определена функция $\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle$ , которая называется $A$ -сверткой функции $f$ и функционала $\widehat{\varphi}$ . При этом на пространстве $O(\Omega)$ определен линейный оператор

$\begin{equation*} AM_{\widehat{\varphi}}\colon O(\Omega)\to\mathbb{C}^{U_{\varepsilon}}\mid f\to\langle \widehat{\varphi},AT_{h}(f)\rangle . \end{equation*} \notag$

Если при любом

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ линейный оператор

$AM_{\widehat{\varphi }}$ действует из пространства

$O(\Omega)$ в пространство

$O(U_{\varepsilon})\subseteq\mathbb{C}^{U_{\varepsilon}}$ и является непрерывным, то его называют оператором

$A$ -свертки, см. [3].

Возникает вопрос: при каких условиях линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ является оператором $A$ -свертки при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ . Для решения этой задачи выясним структуру дуального оператора $AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast}$ по отношению к оператору $A$ -свертки $AM_{\widehat{\varphi}}$ при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ . Справедливо следующее предложение.

Лемма 2. Для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ дуальное отображение $AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast}$ по отношению к оператору $A$ -свертки $AM_{\widehat{\varphi}}$ действует из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ по правилу

$\begin{equation*} P(U_{\varepsilon})\to P(\Omega)\mid g\to\varphi A(g). \end{equation*} \notag$

Доказательство. Выберем произвольное

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ . Так как по определению оператор

$A$ -свертки

$AM_{\widehat{\varphi}}$ действует из пространства

$O(\Omega)$ в пространство

$O(U_{\varepsilon})$ , то дуальный оператор

$AM_{\widehat{\varphi }}^{\circledast}$ действует из пространства

$P(U_{\varepsilon})$ в пространство

$P(\Omega)$ . В силу линейности и непрерывности оператора

$A\colon O(\mathbb{C})\to O(\mathbb{C})$ для любых

$h$ и

$\lambda$ из

$\mathbb{C}$ имеем

$\begin{equation*} A(e^{h\xi})(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}A(\xi^{n} )(\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}. \end{equation*} \notag$

При этом для любого фиксированного

$\lambda\in\mathbb{C}$ ряд сходится равномерно по

$h$ на компактах из

$\mathbb{C}$ . Это позволяет рассматривать функцию

$A(e^{h\xi})(\lambda)$ как элемент пространства

$O(U_{\varepsilon})$ . Выберем произвольную функцию

$g$ из пространства

$P(U_{\varepsilon})$ . Тогда дуальный функционал

$\widehat{g}$ принадлежит пространству

$O^{\ast}(U_{\varepsilon})$ . Значит, для любого

$\lambda$ из

$\mathbb{C}$ имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\langle \widehat{g},A(e^{h\xi})(\lambda)\rangle =\biggl\langle\widehat{g},\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}h^{n}\biggr\rangle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}\langle\widehat{g},h^{n}\rangle \\ &\qquad=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A(\xi^{n})(\lambda)}{n!}g^{(n)}(0) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}A(\xi^{n})(\lambda)=A(g)(\lambda). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Кроме того, в силу (5.2) для любых $h\in U_{\varepsilon}$ и $\lambda \in\mathbb{C}$ выполняются равенства

$\begin{equation*} AM_{\widehat{\varphi}}(e^{\lambda z})(h)=\langle \widehat{\varphi} ,AT_{h}(e^{\lambda z})(\zeta)\rangle =\langle \widehat{\varphi },e^{\lambda\zeta}\rangle A(e^{h\xi})(\lambda)=\varphi(\lambda )A(e^{h\xi})(\lambda). \end{equation*} \notag$

Значит, для любых

$\lambda\in\mathbb{C}$ справедливы равенства

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast}(g)(\lambda) &=\langle AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast}(g),\delta_{\lambda}\rangle =\langle \widehat{g},AM_{\widehat{\varphi}}(e^{\lambda z} )(h)\rangle \\ &=\langle \widehat{g},\varphi(\lambda)A(e^{h\xi})(\lambda)\rangle =\varphi(\lambda)\langle \widehat{g},A(e^{h\xi})(\lambda)\rangle =\varphi(\lambda)A(g)(\lambda). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Тем самым лемма доказана.

Теперь все готово для решения поставленной задачи.

Предложение 13. Для того чтобы линейный оператор $AM_{\widehat{\varphi }}$ являлся оператором $A$ -свертки при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ , необходимо, а если целые функции $A(\xi^{n})$ , $n\in \mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1, то и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполнялось неравенство (1.2).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что линейный оператор

$AM_{\widehat{\varphi }}$ является оператором

$A$ -свертки при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и функции

$\varphi\,{\in}\,P(\Omega_{0})$ . Тогда при любом

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ дуальный оператор

$AM_{\widehat{\varphi }}^{\circledast}$ действует из пространства

$P(U_{\varepsilon})$ в пространство

$P(\Omega)$ и является непрерывным. По лемме 2 при любом

$\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ сужение непрерывного эндоморфизма

$\varphi A$ на пространство

$P(U_{\varepsilon})$ является непрерывным отображением из пространства

$P(U_{\varepsilon})$ в пространство

$P(\Omega)$ . По предложению 8 при любом

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Необходимость доказана.

Достаточность. Предположим, что при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2) и целые функции $A(\xi^{n})(\lambda)$ , $n\in\mathbb{Z}_{+}$ , имеют минимальный тип при порядке 1. По предложению 8 при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ сужение $v_{\varepsilon}$ непрерывного эндоморфизма $\varphi A$ на пространство $P(U_{\varepsilon})$ является линейным непрерывным отображением из пространства $P(U_{\varepsilon})$ в пространство $P(\Omega)$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ , и функции $\varphi\in P(\Omega_{0})$ . Следовательно, при любом $\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ дуальное отображение $v_{\varepsilon}^{\circledast}$ действует из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(U_{\varepsilon})$ и является непрерывным. Но по лемме 2 дуальный оператор $v_{\varepsilon }^{\circledast}$ совпадает с оператором $(AM_{\widehat{\varphi}}^{\circledast})^{\circledast}=AM_{\widehat{\varphi}}$ . Предложение доказано.

§ 6. Дуальное определение дифференциальных операторов

6.1.

Пусть $\Omega_{0}$ , $\Omega$ – односвязные области в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ , $\Omega _{0}\subseteq\Omega$ и $g(\lambda)$ – целая функция. Предположим, что выполнены условия 14) и 15) (см. § 1). По дуальному определению дифференциальный оператор $g(D)$ определяется как оператор, действующий из пространства $O(\Omega)$ в пространство $O(\Omega_{0})$ по правилу

$\begin{equation*} O(\Omega)\to O(\Omega_{0})\mid f\to\langle g(\lambda )e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle . \end{equation*} \notag$

Из условий 14) и 15) вытекает, что этот оператор является непрерывным и для любого

$f\in O(\Omega)$ последовательность

$g_{k}(D)f$ сходится к

$g(D)f:=\langle g(\lambda)e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle$ в топологии пространства

$O(\Omega)$ , т.е.

$\begin{equation*} g(D):=\lim g_{k}(D) \end{equation*} \notag$

в топологии поточечной сходимости пространства линейных операторов, действующих из пространства

$O(\Omega)$ в пространство

$O(\Omega_{0})$ , см. [3; 3.3].

Оператор $g(D)$ не зависит от выбора последовательности многочленов $g_{k}$ , удовлетворяющей условию 15), и если односвязные области $\Omega_{0}$ и $\Omega$ удовлетворяют условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ при некотором $\varepsilon'>0$ , то в силу [20; предложение 3.1] сходимость $g_{k}(\lambda)\to g(\lambda)$ в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$ влечет равномерную сходимость $g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda}\to g(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ в топологии пространства $P(\Omega)$ по $\zeta$ на компактах из $\Omega_{0}$ . Значит, если $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'} \subseteq\Omega$ при некотором $\varepsilon'>0$ , то условие 15) можно заменить следующим условием:

16) существует такая последовательность многочленов $g_{k}$ , что $g_{k}(\lambda)\to g(\lambda)$ в топологии пространства $P(U_{\varepsilon})$ .

Возникает естественный вопрос: при каких условиях в качестве последовательности $g_{k}(\lambda)$ можно выбрать последовательность частичных сумм ряда Тейлора функции $g(\lambda)$ . Если односвязные области $\Omega_{0}$ и $\Omega$ удовлетворяют условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ при некотором $\varepsilon'>0$ , то на этот вопрос отвечает теорема 3.

6.2. Доказательство теоремы 3

Необходимость. Предположим, что при любом $f\in O(\Omega)$ ряд (1.5) сходится к функции $\langle g(\lambda )e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle$ абсолютно и равномерно на компактах из $\Omega_{0}$ при любом выборе односвязных областей $\Omega_{0}$ и $\Omega$ , удовлетворяющих условию $\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . Положим $\Omega_{0}:=U_{\varepsilon'}$ . Из сделанного предположения вытекает, что функция $\langle g(\lambda)e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle$ является аналитической в круге $U_{\varepsilon'}$ , и, значит, множество $\{ \langle g(\lambda)e^{\zeta\lambda},\widehat{f}\rangle \colon \zeta\in d\} \subseteq\mathbb{C}$ ограничено для любого компакта $d\subseteq U_{\varepsilon'}$ и любого $f\in O(\Omega)$ . Это означает, что для любого компакта $d\subseteq U_{\varepsilon'}$ множество $\{ g(\lambda)e^{\zeta\lambda}\colon \zeta\in d\}$ (слабо) ограничено в пространстве $P(\Omega)$ . Отсюда вытекает, что функция $g(\lambda)$ является целой функцией экспоненциального типа. Следовательно, при некотором $C>0$ и всех достаточно больших $n$ выполняется неравенство $\sqrt[n]{| c_{n}| }\leqslant{C}/{n}$ . Из этого неравенства легко вытекает, что при любом $\varepsilon>0$ оператор

$\begin{equation*} A_{\varepsilon}\colon \phi(\xi)\to\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\phi^{(n)} (0)}{\varepsilon^{n}}c_{n}\xi^{n} \end{equation*} \notag$

является непрерывным эндоморфизмом пространства целых функций

$O(\mathbb{C})$ . Легко увидеть, что при любых

$h\in\mathbb{C}$ и

$n\in\mathbb{Z}_{+}$ выполняются равенства

$\begin{equation*} A_{\varepsilon}(e^{h\xi})(\lambda) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}} {\varepsilon^{n}}c_{n}\lambda^{n} =g\biggl(\frac{h}{\varepsilon} \lambda\biggr), \qquad A_{\varepsilon}(e^{h\xi})^{(n)}(0)=\frac{h^{n}}{\varepsilon^{n}}g^{(n)}(0). \end{equation*} \notag$

При этом если

$| h| \leqslant\varepsilon$ , то для любых

$\zeta\in\Omega_{0}$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} \biggl| \sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{\varepsilon^{n}}c_{n}f^{(n)} (\zeta)\biggr| \leqslant\sum_{n=0}^{\infty}| c_{n}| | f^{(n)}(\zeta)| . \end{equation*} \notag$

Значит, ряд

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{A_{\varepsilon'}(e^{h\xi})^{(n)}(0)} {n!}f^{(n)}(\zeta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{(\varepsilon ')^{n}}c_{n}f^{(n)}(\zeta) \end{equation*} \notag$

сходится к функции

$\langle e^{\zeta \lambda}A_{\varepsilon'}(e^{h\xi}),\widehat{f}\rangle$ абсолютно и равномерно по

$(\zeta,h)$ на компактах из бицилиндра

$\Omega_{0}\times U_{\varepsilon'}$ при любом выборе односвязных областей

$\Omega_{0}$ и

$\Omega$ , удовлетворяющих условию

$\Omega_{0}+U_{\varepsilon'}\subseteq\Omega$ . По предложению 11 при любом

$\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.2). Учитывая, что при любом

$n\in\mathbb{Z}_{+}$ выполняется равенство

$\begin{equation*} A_{\varepsilon'}(\xi^{n})(\lambda)=\frac{n!}{(\varepsilon ')^{n}}c_{n}\lambda^{n}, \end{equation*} \notag$

приходим к выводу, что при любом

$\varepsilon \in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} \varlimsup_{n\to\infty,\,\lambda\to\infty} \frac{1}{n}\biggl(\frac{n!\,| c_{n}|\,| \lambda|^{n}}{(\varepsilon')^{n} \exp\varepsilon| \lambda| }\biggr)^{1/n} \leqslant \frac{1}{\varepsilon e}, \end{equation*} \notag$

которое по известной формуле Стирлинга равносильно неравенству (1.6). Необходимость доказана.

Достаточность. Предположим, что при любом $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ выполняется неравенство (1.6). Выберем произвольное $\varepsilon\in(0,\varepsilon')$ . Из неравенства (1.6) вытекает, что для любого $\varepsilon''>\varepsilon'$ найдется такое $N\in\mathbb{N}$ , что для любых $n\geqslant N$ вне круга $| \lambda| <{N}/{\varepsilon}$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} \sqrt[n]{| c_{n}| }\leqslant\frac{\varepsilon'' }{\varepsilon| \lambda| }\exp\frac{\varepsilon} {n}| \lambda| . \end{equation*} \notag$

Полагая

$| \lambda| ={n}/{\varepsilon}$ , приходим к выводу, что для любых

$n\geqslant N$ выполняется неравенство

$\sqrt[n]{| c_{n}| }n\leqslant\varepsilon''e$ . Это означает, что функция

$g$ является целой функцией экспоненциального типа

$\sigma\leqslant\varepsilon'$ . Отсюда вытекает, что последовательность частичных сумм

$g_{k}(\lambda)$ ряда Тейлора функции

$g(\lambda)$ сходится к

$g(\lambda)$ по норме пространства

$P[1;\varepsilon'']$ для любого

$\varepsilon''>\varepsilon'$ . Значит,

$g_{k}(\lambda)\to g(\lambda)$ в пространстве

$P(U_{\varepsilon''})$ для любого

$\varepsilon''>\varepsilon'$ . Выберем произвольный компакт

$d\subseteq\Omega_{0}$ . Подберем

$\varepsilon>0$ и

$\varepsilon''>\varepsilon'$ из условия:

$d+U_{\varepsilon} \subseteq\Omega_{0}$ и

$d+U_{\varepsilon}+U_{\varepsilon'' }\subseteq\Omega$ . Затем, подберем точки

$a_{1},\dots,a_{k}\in d$ так, чтобы сдвиги

$U_{\varepsilon}+a_{1} ,\dots,U_{\varepsilon}+a_{l}$ покрывали компакт

$d$ . При любом

$j\in\{1,\dots,l\}$ совокупность множеств

$\begin{equation*} V_{\mu}(a_{j}):=\{\phi\in P(\Omega)\colon | \phi(\lambda)| \leqslant\mu(\lambda)|{\exp a_{j}\lambda}| \}, \qquad \mu \in\mathfrak{M}(\Omega-a_{j}), \end{equation*} \notag$

образует фундаментальную систему окрестностей нуля в пространстве

$P(\Omega)$ . Выберем произвольное

$j\in\{1,\dots,l\}$ и произвольную окрестность

$V_{\mu}(a_{j})$ , где

$\mu\in\mathfrak{M}(\Omega-a_{j})$ . Легко проверить, что функция

$\begin{equation*} \widehat{\mu}(\lambda):=\frac{\mu(\lambda)}{|{\exp\varepsilon \lambda}| } \end{equation*} \notag$

принадлежит классу

$\mathfrak{M}(U_{\varepsilon''})$ , значит, множество

$\begin{equation*} V_{\widehat{\mu}}:=\{\phi\in P(U_{\varepsilon''})\colon | \phi(\lambda)| \leqslant\widehat{\mu}(\lambda)\} \end{equation*} \notag$

является окрестностью нуля в пространстве

$P(U_{\varepsilon''})$ . Так как

$g_{k}(\lambda)\to g(\lambda)$ в пространстве

$P(U_{\varepsilon''})$ , то для всех

$\lambda$ и всех достаточно больших

$k$ имеем

$| g(\lambda)-g_{k} (\lambda)| \leqslant\widehat{\mu}(\lambda)$ . Отсюда вытекает, что для всех

$\lambda$ , всех достаточно больших

$k$ и всех

$\zeta\in U_{\varepsilon}$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} | g(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}-g_{k}(\lambda)e^{(\zeta +a_{j})\lambda}| \leqslant\mu(\lambda)| e^{a_{j}\lambda }| , \end{equation*} \notag$

т.е.

$\begin{equation*} g(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}-g_{k}(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}\in V_{\mu}(a_{j}). \end{equation*} \notag$

Отсюда вытекает, что

$g_{k}(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}\to g(\lambda)e^{(\zeta+a_{j})\lambda}$ в топологии пространства

$P(\Omega)$ равномерно по

$\zeta\in U_{\varepsilon}$ . Следовательно,

$g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda}\to g(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ в топологии пространства

$P(\Omega)$ равномерно по

$\zeta\,{\in}\, U_{\varepsilon}+a_{j}$ . Так как сдвиги

$U_{\varepsilon}+a_{1},\dots,U_{\varepsilon}+a_{l}$ покрывают компакт

$d$ , то сходимость

$g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda}\to g(\lambda)e^{\zeta\lambda}$ равномерна по

$\zeta\in d$ . Следовательно,

$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{k}c_{n}f^{(n)}(\zeta)=\langle g_{k}(\lambda)e^{\zeta\lambda },\widehat{f}\rangle \to\langle g(\lambda)e^{\zeta\lambda },\widehat{f}\rangle \end{equation*} \notag$

равномерно на компакте

$d$ . Теорема доказана.



Список литературы

1.	А. Б. Шишкин, “Проективное и инъективное описания в комплексной области. Двойственность”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 14:1 (2014), 47–65
2.	А. Б. Шишкин, “Факторизация целых симметричных функций экспоненциального типа”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 16:1 (2016), 42–68
3.	А. Б. Шишкин, “Экспоненциальный синтез в ядре оператора симметричной свертки”, Исследования по линейным операторам и теории функций. 44, Зап. науч. сем. ПОМИ, 447, ПОМИ, СПб., 2016, 129–170 ; англ. пер.: A. B. Shishkin, “Exponential synthesis in the kernel of a symmetric convolution”, J. Math. Sci. (N.Y.), 229:5 (2018), 572–599
4.	G. Köthe, “Dualität in der Funktionentheorie”, J. Reine Angew. Math., 1953:191 (1953), 30–49
5.	Ж. Себаштьян-и-Силва, “О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях”, Математика, 1:1 (1957), 60–77 ; пер. с англ.: J. Sebastião e Silva, “Su certe classi di spazi localmente convessi importanti per le applicazioni”, Rend. Mat. e Appl. (5), 14 (1955), 388–410
6.	L. Ehrenpreis, “Mean periodic functions. I. Varieties whose annihilator ideals are principal”, Amer. J. Math., 77:2 (1955), 293–328
7.	И. Ф. Красичков, “О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. II”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:5 (1968), 1024–1032 ; англ. пер.: I. F. Krasičkov, “Closed ideals in locally convex algebras of entire functions. II”, Math. USSR-Izv., 2:5 (1968), 979–986
8.	И. Ф. Красичков, “О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. Алгебры минимального типа”, Сиб. матем. журн., 9:1 (1968), 77–96 ; англ. пер.: I. F. Krasichkov, “Closed ideals in locally convex algebras of entire functions. Algebras of minimal type”, Siberian Math. J., 9:1 (1968), 59–71
9.	L. Ehrenpreis, Fourier analysis in several complex variables, Pure Appl. Math., 17, Wiley-Intersci. Publ. John Wiley & Sons, New York–London–Sydney, 1970, xiii+506 pp.
10.	И. Ф. Красичков-Терновский, “Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях”, Матем. сб., 88(130):1(5) (1972), 3–30 ; англ. пер.: I. F. Krasičkov-Ternovskiĭ, “Invariant subspaces of analytic functions. II. Spectral synthesis of convex domains”, Math. USSR-Sb., 17:1 (1972), 1–29
11.	А. Б. Шишкин, “Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной”, Матем. сб., 182:6 (1991), 828–848 ; англ. пер.: A. B. Shishkin, “Spectral synthesis for an operator generated by multiplication by a power of the independent variable”, Math. USSR-Sb., 73:1 (1992), 211–229
12.	И. Ф. Красичков-Терновский, “Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез”, Матем. сб., 183:8 (1992), 23–46 ; англ. пер.: I. F. Krasichkov-Ternovskiĭ, “Spectral synthesis in a complex domain for a differential operator with constant coefficients. IV. Synthesis”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 76:2 (1993), 407–426
13.	И. Ф. Красичков-Терновский, “Аппроксимационная теорема для однородного уравнения векторной свертки”, Матем. сб., 195:9 (2004), 37–56 ; англ. пер.: I. F. Krasichkov-Ternovskii, “Approximation theorem for a homogeneous vector convolution equation”, Sb. Math., 195:9 (2004), 1271–1289
14.	А. Б. Шишкин, “Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности”, Матем. сб., 189:9 (1998), 143–160 ; англ. пер.: A. B. Shishkin, “Spectral synthesis for systems of differential operators with constant coefficients. Duality theorem”, Sb. Math., 189:9 (1998), 1423–1440
15.	А. Б. Шишкин, “Обильность главных ${\mathbb C}[\pi]$ -подмодулей”, Изв. вузов. Сев.-кавказ. рег. Естеств. науки, 2009, № 3, 34–38
16.	N. Sibony, “Approximation polinomiale pondérée dans un domaine d'holomorphie de $\mathbf{C}^{n}$ ”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 26:2 (1976), 71–99
17.	Р. Эдвардс, Функциональный анализ. Теория и приложения, Мир, М., 1969, 1071 с. ; пер. с англ.: R. E. Edwards, Functional analysis. Theory and applications, Holt, Rinehart and Winston, New York–Toronto–London, 1965, xiii+781 с.
18.	И. Ф. Красичков-Терновский, “Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях”, Матем. сб., 87(129):4 (1972), 459–489 ; англ. пер.: I. F. Krasičkov-Ternovskii, “Invariant subspaces of analytic functions. I. Spectral analysis on convex regions”, Math. USSR-Sb., 16:4 (1972), 471–500
19.	А. Робертсон, В. Робертсон, Топологические векторные пространства, Мир, М., 1967, 257 с. ; пер. с англ.: A. P. Robertson, W. J. Robertson, Topological vector spaces, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys., 53, Cambridge Univ. Press, New York, 1964, viii+158 с.
20.	А. Б. Шишкин, “Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами”, Матем. сб., 194:12 (2003), 123–156 ; англ. пер.: A. B. Shishkin, “Spectral synthesis for systems of differential operators with constant coefficients”, Sb. Math., 194:12 (2003), 1865–1898

Образец цитирования: А. Б. Шишкин, “О непрерывных эндоморфизмах целых функций”, Матем. сб., 212:4 (2021), 131–158; A. B. Shishkin, “On continuous endomorphisms of entire functions”, Sb. Math., 212:4 (2021), 567–591

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Shi21}

\by А.~Б.~Шишкин

\paper О непрерывных эндоморфизмах целых функций

\jour Матем. сб.

\yr 2021

\vol 212

\issue 4

\pages 131--158

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9316}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9316}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:07373267}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212..567S}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46863768}

\transl

\by A.~B.~Shishkin

\paper On continuous endomorphisms of entire functions

\jour Sb. Math.

\yr 2021

\vol 212

\issue 4

\pages 567--591

\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9316}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701461900001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85109156641}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9316

https://doi.org/10.4213/sm9316

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i4/p131

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

Ю. С. Саранчук, А. Б. Шишкин, “Общее элементарное решение однородного уравнения типа $q$ -сторонней свертки”, Алгебра и анализ, 34:4 (2022), 188–213 ; Yu. S. Saranchuk, A. B. Shishkin, “General elementary solution of a homogeneous $q$ -sided convolution type equation”, St. Petersburg Math. J., 34:4 (2023), 695–713

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	319
PDF русской версии:	79
PDF английской версии:	18
HTML русской версии:	108
Список литературы:	52
Первая страница:	16