М. Л. Ятцелев, “Сходимость двухточечных аппроксимаций Паде к кусочно голоморфным функциям”, Матем. сб., 212:11 (2021), 128–164; M. L. Yattselev, “Convergence of two-point Padé approximants to piecewise holomorphic functions”, Sb. Math., 212:11 (2021), 1626

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2021, том 212, номер 11, страницы 128–164
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9024 (Mi sm9024)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Сходимость двухточечных аппроксимаций Паде к кусочно голоморфным функциям

М. Л. Ятцелев^ab

^a Department of Mathematical Sciences, Indiana University – Purdue University Indianapolis, Indianapolis, IN, USA
^b Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва

PDF полного текста (886 kB) PDF английской версии (842 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9024

Аннотация: Пусть

$f_0$ и

$f_\infty$ – формальные степенные ряды в нуле и в бесконечности соответственно, и пусть

$P_n/Q_n$ ,

$\deg(P_n),\deg(Q_n)\leq n$ , – рациональная функция, которая одновременно интерполирует

$f_0$ в нуле с порядком

$n$ и

$f_\infty$ в бесконечности с порядком

$n+1$ . Если

$f_0,f_\infty$ – ростки многозначных функций с конечных числом точек ветвления, то (как было показано В. И. Буслаевым) существует единственный компакт

$F$ , в дополнении к которому такие рациональные аппроксимации сходятся по емкости к приближаемым функциям. Множество

$F$ может разбивать или не разбивать плоскость. Мы изучаем равномерную сходимость аппроксимаций для геометрически простейшего случая множеств

$F$ , которые разбивают плоскость.
Библиография: 26 названий.

Ключевые слова: двухточечные аппроксимации Паде, неэрмитова ортогональность, сильная асимптотика,

$S$ -кривые, матричный подход Римана–Гильберта.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Simons Foundation	CGM-354538
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	075-15-2019-1623
Исследование выполнено при поддержке Simons Foundation (грант № CGM-354538) и Московского центра фундаментальной и прикладной математики грантом Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-15-2019-1623).

Поступила в редакцию: 24.10.2017 и 27.04.2021

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 11, Pages 1626–1659
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9024

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.53

MSC: 42C05, 41A20, 41A21

§ 1. Введение

Пусть $f(z) = \sum_{k=0}^\infty f_kz^{-k}$ – формальный степенной ряд в бесконечности, и пусть $M_n/N_n$ – такая рациональная функция, что $\deg(M_n),\deg(N_n)\leqslant n$ и

$\begin{equation*} (N_nf-M_n)(z) = \mathcal{O}(z^{-n-1}) \quad\text{при }\ z\to\infty. \end{equation*} \notag$

Известно, что такая рациональная функция единственна и называется классической диагональной аппроксимацией Паде для

$f$ в бесконечности. Следующая теорема¹ суммирует один из наиболее фундаментальных вкладов Герберта Шталя в теорию комплексных приближений; см. [18]–[23].

Теорема 1.1 (Г. Шталь). Предположим, что росток $f$ в бесконечности можно аналитически продолжить вдоль любого пути в $\overline{\mathbb{C}}$ , не проходящего через точки фиксированного полярного множества², и что продолжения этого ростка по различным путям хотя бы в одну точку вне упомянутого полярного множества дают хотя бы два различных ростка (т.е. в эту точку росток продолжается не однозначно).

Тогда существует компакт $F$ такой, что:

$F$ не разбивает плоскость и $f$ имеет голоморфное однозначное продолжение в область $D:=\overline{\mathbb{C}}\setminus F$ ;

$F$ состоит из открытых непересекающихся аналитических дуг $J_i$ , их концевых точек и некоторых особых точек функции $f$ , и ³

$\begin{equation*} \frac{\partial g_F(z,\infty)}{\partial n_+} = \frac{\partial g_F(z,\infty)}{\partial n_-} \end{equation*} \notag$

в каждой точке

$z\in\bigcup_i J_i$ , где

$g_F(\cdot,\infty)$ – функция Грина области

$D$ с особенностью в бесконечности, а

$\partial/\partial n_\pm$ обозначают односторонние нормальные производные;

для любого компакта $V\subset D$ при любом $\epsilon>0$ выполняется соотношение

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\mathrm{cap}\biggl\{z\in V \colon \biggl|\biggl(f-\frac{M_n}{N_n}\biggr)(z)\biggr|^{1/(2n)}\geqslant e^{-g_F(z,\infty)}+\epsilon\biggr\} = 0, \end{equation*} \notag$

где

$\mathrm{cap}(\cdot)$ – логарифмическая емкость.

Более общо, если выбрать ветвь $f$ , голоморфную в окрестности некоторого замкнутого множества, а также набор $2n+1$ не обязательно различных точек этого множества, то можно определить многоточечные аппроксимации Паде, интерполирующие $f$ в этих точках. Аналог теоремы Шталя для многоточечных аппроксимаций Паде был доказан А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым (см. [13]). Однако существование множества $F$ , удовлетворяющего условию (i) и соответствующему обобщению условия (ii), в [13] не показывалось, а предполагалось; из существования такого множества затем выводилось утверждение (iii) (в [16], [2], [25] есть результаты о существовании таких компактов, симметричных во внешнем поле).

Компакты, симметричные во внешнем поле, характеризуются тем, что они минимизируют определенную логарифмическую емкость во внешнем поле. Одно из главных препятствий, мешающих доказать общую теорему об их существовании, состоит в том, что минимизирующий компакт может разбивать плоскость. В [5] В. И. Буслаев интерпретировал эту возможность не как помеху, а как важное свойство. Более точно, пусть $f_0$ и $f_\infty$ – формальные степенные ряды в нуле и в бесконечности соответственно, т.е.

$\begin{equation} f_0(z) := \sum_{k=0}^\infty f_{k,0}z^k, \qquad f_\infty(z) := \sum_{k=0}^\infty f_{k,\infty}z^{-k}. \end{equation} \tag{1.1}$

Рациональная функция

$P_n/Q_n$ есть двухточечная аппроксимация Паде типа

$(n_1,n_2)$ ,

$n_1+n_2=2n+1$ , пары

$(f_0,f_\infty)$ , если

$\deg(P_n),\deg(Q_n)\leqslant n$ и

$\begin{equation} \begin{cases} (Q_nf_0-P_n)(z) = \mathcal{O}(z^{n_1}), & z\to 0, \\ (Q_nf_\infty-P_n)(z) = \mathcal{O}(z^{n-n_2}), & z\to\infty. \end{cases} \end{equation} \tag{1.2}$

Как и в случае классических аппроксимаций Паде, отношение

$P_n/Q_n$ всегда единственно. В [5; теорема 1] (см. также [6] для обобщений на

$m$ -точечные аппроксимации Паде) В. И. Буслаев доказал следующее.

Теорема 1.2 (В. И. Буслаев). Пусть ростки $f_0$ и $f_\infty$ в (1.1) можно аналитически продолжить вдоль любого пути в $\overline{\mathbb{C}}$ , не проходящего через некоторое конечное множество точек, причем одна из этих точек является точкой ветвления для $f_0$ , а еще одна – точкой ветвления для $f_\infty$ .

Тогда существует компакт $F$ такой, что:

$\overline{\mathbb{C}}\setminus F =D_0\cup D_\infty$ , где области $D_0\ni 0$ и $D_\infty \ni\infty$ либо не пересекаются, либо совпадают, и $f_e$ имеет однозначное голоморфное продолжение в $D_e$ , $e\in\{0,\infty\}$ (если $D_0=D_\infty=D$ , то $f_0$ и $f_\infty$ являются аналитическими продолжениями друг друга в области $D$ );

$F$ состоит из открытых аналитических дуг и их концевых точек, и в каждой точке этих дуг выполняется равенство

$\begin{equation*} \frac{\partial (g_F(z,0)+g_F(z,\infty))}{\partial n_+} = \frac{\partial (g_F(z,0)+g_F(z,\infty))}{\partial n_-}, \end{equation*} \notag$

где

$g_F(z,0)$ – функция Грина области

$D_0$ с особенностью в нуле, а

$g_F(z,\infty)$ – функция Грина области

$D_\infty$ с особенностью в бесконечности;

если последовательность индексов $n_1+n_2=2n+1$ в (1.2) такова, что $\lim_{n\to\infty}n_i/n=1$ , $i\in\{1,2\}$ , и если $\partial D_0\not\subset\partial D_\infty$ и $\partial D_\infty\not\subset\partial D_0$ , то для любого компакта $V \subset {\mathbb{C}}\setminus F$ и любого $\epsilon>0$

$\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\mathrm{cap}\biggl\{z\in V \colon \biggl|\biggl(f-\frac{P_n}{Q_n}\biggr)(z)\biggr|^{1/n}\geqslant e^{-g_F(z,0)-g_F(z,\infty)}+\epsilon\biggr\} = 0, \end{equation*} \notag$

где

$\mathrm{cap}(\cdot)$ – логарифмическая емкость и

$f=f_e$ в

$D_e$ ,

$e\in\{0,\infty\}$ .

Рис. 1.Компакт Буслаева $F$ для точки $a$ : (a) на мнимой оси; (b) на вещественной оси.

Пусть $f$ – росток в бесконечности, который можно аналитически продолжить вдоль любого пути в $\overline{\mathbb{C}}$ , не проходящего через конечное множество точек, причем одна из них является точкой ветвления для некоторого продолжения ростка. Положим $f_\infty = f$ , и пусть $f_0$ – один из аналитических элементов $f$ в нуле. Результат Буслаева утверждает, что независимо от выбора $f_0$ двухточечные аппроксимации Паде всегда сходятся в приближаемой паре ростков. Однако в зависимости от выбора $f_0$ множество сходимости может состоять из одной или двух связных компонент.

Утверждение (iii) теоремы Буслаева описывает так называемую слабую асимптотику, или асимптотику корня $n$ -й степени аппроксимаций Паде. Цель настоящей работы – получить формулы сильной асимптотики для подходящих подпоследовательностей индексов. В случае, когда $F$ не разбивает плоскость, подобные результаты были получены в [15], [24], [3], [4], [25] при различных предположениях о приближаемой функции. Ниже мы изучаем простейший геометрический случай, для которого области $D_0$ и $D_{\infty}$ различны (рис. 1).

§ 2. Основные результаты

Пусть $\mathbb{D}$ – открытый единичный круг с центром в нуле. Для заданной точки $a\in\mathbb{D}\setminus\{0\}$ обозначим через $K$ компакт Чеботарёва для тройки точек $\{-1,1,\mathfrak j(a)\}$ , где $\mathfrak j(z):=(z+z^{-1})/2$ – функция Жуковского. Компакт $K$ состоит из критических траекторий квадратичного дифференциала

$\begin{equation*} -\frac{(\zeta-\mathfrak j(b))\,\mathrm d \zeta^2}{(\zeta^2-1)(\zeta-\mathfrak j(a))}, \end{equation*} \notag$

где точка

$b\in\mathbb{D}$ определяется однозначно (точка

$\mathfrak j(b)$ называется точкой Чеботарёва). Если

$\operatorname{Im}(a)\neq 0$ , то множество

$K$ состоит из трех аналитических дуг, выходящих из

$\mathfrak j(b)$ и заканчивающихся в каждой из точек

$-1,1,\mathfrak j(a)$ . Если

$a\in(-1,0)$ , то

$b=-1$ и

$K=[-\mathfrak j(a),1]$ , а если

$a\in (0,1)$ , то

$b=1$ и

$K=[-1,\mathfrak j(a)]$ . Компакт Буслаева

$F$ , соответствующий точке

$a$ , в этом случае задается формулой

$\begin{equation*} F := \{z\colon \mathfrak j(z)\in K\} \end{equation*} \notag$

(рис. 1–3). Очевидно,

$F$ разбивает плоскость на две односвязные компоненты, одна из которых содержит нуль, а вторая – окрестность бесконечности; мы обозначаем их через

$D_0$ и

$D_\infty$ соответственно. Введем обозначение

$\begin{equation*} F := F^\circ\cup E, \qquad E:=\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}, \end{equation*} \notag$

где

$F^\circ$ состоит из четырех (трех, если

$a$ вещественно) открытых непересекающихся жордановых дуг; см. рис. 1. Пусть

$F_{\pm1}$ (соответственно

$F_{\pm1}^\circ$ ) – замкнутые (соответственно открытые) жордановы дуги, соединяющие

$b$ с

$b^{-1}$ и содержащие точки

$\pm1$ , а

$F_{a^{\pm1}}$ (соответственно

$F_{a^{\pm1}}^\circ$ ) – замкнутые (соответственно открытые) жордановы дуги, соединяющие

$a^{\pm1}$ с

$b^{\pm1}$ (при этом

$F_{-1}=\varnothing$ при

$a\in (-1,0)$ и

$F_1=\varnothing$ при

$a\in(0,1)$ ). Выберем ориентацию этих дуг так, чтобы объединение

$F_1\cup F_{-1}$ было замкнутой жордановой кривой, ориентированной против часовой стрелки, а

$F_{a^{-1}}\cup F_1\cup F_a$ было жордановой дугой, ориентированной от

$a^{-1}$ к

$a$ ; см. рис. 1. Простой подстановкой можно проверить, что множество

$F^\circ$ состоит из критических траекторий квадратичного дифференциала

$\begin{equation} {-}\frac{(z-b)(z-b^{-1})}{(z-a)(z-a^{-1})}\,\frac{\mathrm d z^2}{z^2}. \end{equation} \tag{2.1}$

Рис. 2.Нули полинома $Q_{60}$ для приближаемой пары вида $f_0(z) = \log\frac{z-1}{z-1/a}$ и $f_\infty(z) = \log\frac{z-a}{z-1}$ при $a=2$ .

Рис. 3.Нули полинома (a) $Q_{40}$ и (b) $Q_{60}$ для приближаемой пары вида $f_0(z) = \log\frac{z-1}{z-1/a}$ и $f_\infty(z) = \log\frac{z-a}{z-1}$ , где $a = 1.2+1.3\mathrm i$ . Хорошо заметен один нуль $Q_{40}$ , который не ложится на компакт Буслаева $F$ .

Начиная с этого момента, мы фиксируем точку $a\in \mathbb{D}\setminus\{0\}$ и соответствующий компакт Буслаева $F$ . В настоящей работе мы будем изучать приближения пар (1.1) вида

$\begin{equation} ( f_{\rho|D_0}, f_{\rho|D_\infty}), \qquad f_\rho(z) := \frac{1}{2\pi\mathrm i}\int_F\frac{\rho(s)\,\mathrm d s}{s-z}, \end{equation} \tag{2.2}$

для некоторых классов весов

$\rho$ , которые будут указаны позже. Таким образом, в зависимости от ситуации мы будем говорить об аппроксимациях (1.2) либо для пары функций, либо для одной функции, имея в виду в обоих случаях пару (2.2). Как можно увидеть из рис. 1, структура множества

$F$ для вещественных и для невещественных значений

$a$ качественно различается. Поэтому не удивительно, что описание асимптотики аппроксимаций также будет зависеть от того, является параметр

$a$ вещественным или нет.

2.1. Асимптотика аппроксимаций: $a\in(-1,0)\cup(0,1)$

Напомним, что в этом случае $F$ есть объединение единичной окружности $\mathbb{T}$ и отрезка, соединяющего $a$ и $a^{-1}$ (всегда ориентированного от $a^{-1}$ к $a$ ), который мы обозначим через $[a^{-1},a]$ . Начнем с описания класса весов $\rho$ , которые мы рассматриваем. Пусть

$\begin{equation} w(z) = w(z;a) := \sqrt{(z-a)(z-a^{-1})} \end{equation} \tag{2.3}$

обозначает голоморфную ветвь многозначной функции в правой части в дополнении к отрезку

$[a^{-1},a]$ так, что

$w(z) = z + \mathcal O(1)$ при

$z\to\infty$ . Для заданной функции

$\rho$ на

$F$ нам будет удобно положить⁴^[x]⁴Для функции

$g$ , голоморфной в дополнении к ориентированной жордановой дуге или кривой

$J$ , мы обозначаем через

$g_+$ (соответственно

$g_-$ ) предельные значения функции

$g$ на положительной (соответственно отрицательной) стороне

$J$ относительно ориентации этой кривой.

$\begin{equation} h(s) := \rho(s) \begin{cases} w_\pm(s), & s\in F_{a^{\pm1}}^\circ, \\ w(s), & s\in F_{-b}^\circ, \end{cases} \end{equation} \tag{2.4}$

где

$b:=a/|a|$ . Мы будем говорить, что функция

$\rho$ принадлежит классу

$\mathcal W_1$ , если

$h$ продолжается до голоморфной и не обращающейся в нуль функции в некоторой окрестности множества

$F\setminus\{a,a^{-1}\}$ с нулевым приращением аргумента вдоль единичной окружности и если существуют такие вещественные константы

$\alpha,\beta>-1$ , что

$\begin{equation} h_{|(a^{-1},a)}(s) = \widetilde h(s)(s-a)^{\alpha+1/2}(s-a^{-1})^{\beta+1/2}; \end{equation} \tag{2.5}$

здесь функция

$\widetilde h$ голоморфна и не обращается в нуль в некоторой окрестности отрезка

$[a^{-1},a]$ , а ветви степенных функций голоморфны в окрестности интервала

$(a^{-1},a)$ . Нам также будет удобно выделить следующий подкласс класса

$\mathcal W_1$ : будем считать, что

$\rho\in \mathcal W_2 \subset \mathcal W_1$ , если

$\alpha=\beta=-1/2$ , т.е. если

$h$ продолжается до голоморфной и не обращающейся в нуль функции в некоторой окрестности компакта

$F$ . В частности, если мы определим

$\rho$ из соотношения (2.4), положив

$h(s)\equiv 2$ , то приближаемая пара функций будет иметь вид

$(1/w,-1/w)$ .

Для краткости обозначим $\sqrt x := \mathrm i \sqrt{|x|}$ для $x<0$ . Как мы увидим ниже, асимптотическое поведение корня $n$ -й степени из аппроксимаций описывается следующей функцией:

$\begin{equation} \varphi(z) := \frac{z+b+w(z)}{\sqrt{a}+\sqrt{a^{-1}}}, \end{equation} \tag{2.6}$

которая голоморфна вне отрезка

$[a^{-1},a]$ , обращается в нуль в точке

$z=0$ и имеет простой полюс в бесконечности. Кроме того, поскольку

$w$ имеет чисто мнимые односторонние предельные значения на отрезке

$[a^{-1},a]$ и

$w^2(e^{\mathrm i t}) = 2e^{\mathrm i t}(\cos(t)-\mathfrak j(a))$ , то можно легко проверить, что

$\begin{equation} \begin{cases} \varphi_+(s)\varphi_-(s)=s, & s\in [a^{-1},a], \\ |\varphi(s)|=1, & s\in F_{-b}^\circ. \end{cases} \end{equation} \tag{2.7}$

Для того чтобы лучше описать поведение аппроксимаций, определим следующие функции. Пусть

$\log h$ обозначает любую гладкую ветвь логарифма

$h$ на единичной окружности (напомним, что функция

$h$ непрерывна на

$\mathbb{T}$ и ее аргумент имеет нулевое приращение по этой окружности). Положим

$\begin{equation} D(z) := \exp\biggl\{\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int_{\mathbb{T}}\frac{\log h(s)\,\mathrm d s}{s-z}\biggr\}; \end{equation} \tag{2.8}$

тогда

$D(z)$ – голоморфная и не обращающаяся в нуль функция в дополнении к

$\mathbb{T}$ , которая с каждой из сторон гладко продолжается на единичную окружность, причем эти продолжения удовлетворяют соотношению

$D_+(s)=D_-(s)h(s)$ (см. [12; гл. I]). Поэтому функция

$\begin{equation*} \widehat h(s) := D^2(s)h^{\mp1}(s), \qquad s\in F_{a^{\pm1}}, \end{equation*} \notag$

гладкая и не обращается в нуль на интервале

$(a^{-1},a)$ , а значит, ее логарифм имеет непрерывные ветви. Таким образом, функция

$\begin{equation} S(z) : = \exp\biggl\{\frac{w(z)}{2\pi\mathrm i}\int_{[a^{-1},a]}\frac{\log\widehat h(s)}{s-z}\,\frac{\mathrm d s}{w_+(s)}\biggr\} \end{equation} \tag{2.9}$

голоморфна и не обращается в нуль вне отрезка

$[a^{-1},a]$ , а ее предельные значения с двух сторон этого отрезка удовлетворяют соотношению

$S_+(s)S_-(s)=\widehat h(s)$ . Используя введенные функции (2.6), (2.8) и (2.9), определим функцию

$\begin{equation} {\mathcal Q}_n(z) := \begin{cases} \biggl(\dfrac{z}{\varphi(z)}\biggr)^n\dfrac{S(z)}{D(z)}, & z\in D_0, \\ \varphi(z)^n\dfrac{D(z)}{S(z)}, & z\in D_\infty, \end{cases} \end{equation} \tag{2.10}$

которая голоморфна, не обращается в нуль в

${\mathbb{C}}\setminus F$ и имеет полюс порядка

$n$ в бесконечности, и функцию

$\begin{equation} \mathcal R_n(z) := \begin{cases} \biggl(\dfrac{\varphi(z)}{z}\biggr)^n\dfrac{D(z)}{S(z)}, & z\in D_0, \\ -\biggl(\dfrac1{\varphi(z)}\biggr)^n\dfrac{S(z)}{D(z)}, & z\in D_\infty, \end{cases} \end{equation} \tag{2.11}$

которая голоморфна, не обращается в нуль в

${\mathbb{C}}\setminus F$ и имеет нуль порядка

$n$ в бесконечности (легко видеть, что произведение функций

$\mathcal R_n$ и

${\mathcal Q}_n$ кусочно постоянно, и поэтому второе определение может показаться избыточным; однако для невещественных

$a$ соотношение между этими двумя функциями не будет столь простым, а мы предпочитаем рассматривать случаи вещественного и невещественного параметра в едином стиле).

Теорема 2.1. Обозначим через $P_n/Q_n$ двухточечную аппроксимацию Паде типа $(n,n+1)$ для (2.2) с $\rho\in \mathcal W_1$ . Положим

$\begin{equation} R_n(z) := z^{-n}(Q_nf_\rho-P_n)(z), \qquad z\in\overline{\mathbb{C}}\setminus F. \end{equation} \tag{2.12}$

Тогда для всех достаточно больших $n$ полином $Q_n$ имеет степень $n$ и может быть нормирован так, чтобы его старший коэффициент был единицей. При такой нормировке выполняются соотношения

$\begin{equation} \begin{cases} Q_n= \gamma_n(1+\upsilon_{{\mathcal Q}_n}){\mathcal Q}_n, \\ wR_n = \gamma_n(1+\upsilon_{\mathcal R_n})\mathcal R_n, \end{cases} \end{equation} \tag{2.13}$

в которых для функций

$\upsilon=\upsilon_{{\mathcal Q}_n},\upsilon_{\mathcal R_n}$ локально равномерно в

$\overline{\mathbb{C}}\setminus F$ выполняются оценки

$\begin{equation} |\upsilon(z)| \leqslant C \begin{cases} \dfrac1{n}, & \rho\in\mathcal W_1, \\ c^n, & \rho\in\mathcal W_2, \end{cases} \end{equation} \tag{2.14}$

с некоторыми константами

$C>0$ и

$c<1$ , а постоянные

$\gamma_n$ выбираются так, чтобы выполнялось предельное соотношение

$\lim_{z\to\infty}\gamma_n{\mathcal Q}_n(z)z^{-n} = 1$ .

Непосредственно из (2.10), (2.11) и (2.13) можно получить

$\begin{equation} \biggl(f_\rho-\frac{P_n}{Q_n}\biggr)(z) = \frac{1+o(1)}{w(z)} \begin{cases} \biggl(\dfrac{\varphi^2(z)}{z}\biggr)^n(SD)^2(z), & z\in D_0, \\ -\dfrac{(z/\varphi^2(z))^n}{(SD)^2(z)}, & z\in D_\infty. \end{cases} \end{equation} \tag{2.15}$

Далее, из (2.7) можно вывести, что правая часть этого соотношения экспоненциально мала в

$\overline{\mathbb{C}}\setminus F$ .

2.2. Асимптотика аппроксимаций: $a\in\mathbb{D}\setminus(-1,1)$

Как и в п. 2.1, мы начнем с определения классов весов $\rho$ , которые будем рассматривать.

Мы будем говорить, что функция $\rho$ принадлежит классу $\mathcal W_1$ , если выполнены следующие условия:

1) ограничения функции $\rho$ на дуги $F_1^\circ,F_{-1}^\circ$ продолжаются до голоморфных, не обращающихся в нуль функций в окрестности $F_1$ и $F_{-1}$ соответственно;

2) существуют константы $\alpha,\beta>-1$ такие, что ограничения $\rho$ на $F_a^\circ$ и $F_{a^{-1}}^\circ$ имеют вид

$\begin{equation} \widetilde\rho(s)(s-a)^\alpha(s-a^{-1})^\beta, \end{equation} \tag{2.16}$

где

$\widetilde\rho$ – голоморфная и не обращающаяся в нуль функция в окрестности

$F_a$ или

$F_{a^{-1}}$ соответственно, и ветви степенных функций голоморфны в окрестности

$F_a^\circ$ и

$F_{a^{-1}}^\circ$ ;

3) выполнены соотношения

$\begin{equation} \begin{cases} \rho_{|F_a}(z) + \rho_{|F_{-1}}(z)-\rho_{|F_1}(z) \equiv 0, \\ \rho_{|F_{a^{-1}}}(z) + \rho_{|F_{-1}}(z) - \rho_{|F_1}(z) \equiv 0 \end{cases} \end{equation} \tag{2.17}$

в некоторой окрестности точки

$b$ (верхнее соотношение) и в некоторой окрестности точки

$b^{-1}$ (нижнее соотношение), где, допуская некоторую вольность в обозначениях, мы обозначаем через

$\rho_{|F_e}(z)$ не только ограничение функции

$\rho$ на

$F_e$ , но и его аналитическое продолжение.

В отличие от случая вещественного параметра класс $\mathcal W_2$ теперь не будет пересекаться с классом $\mathcal W_1$ . Пусть

$\begin{equation} w(z) = w(z;a) := \sqrt{(z-a)(z-a^{-1})(z-b)(z-b^{-1})} \end{equation} \tag{2.18}$

обозначает голоморфную ветвь многозначной функции в правой части равенства, голоморфную в

${\mathbb{C}}\setminus(F_{a^{-1}}\cup F_a)$ и такую, что

$w(z) = z^2 + \mathcal O(z)$ при

$z\to\infty$ .

Мы будем говорить, что функция $\rho$ принадлежит классу $\mathcal W_2$ , если функция

$\begin{equation} h(s) := \rho(s) \begin{cases} w_\pm(s), & s\in F_{a^{\pm1}}, \\ w(s), & s\in F_{-1}^\circ\cup F_1^\circ, \end{cases} \end{equation} \tag{2.19}$

продолжается до голоморфной и не обращающейся в нуль функции в некоторой окрестности компакта

$F$ . Легко проверить, что, если

$h(s)\equiv2$ , мы опять получаем пару

$(1/w,-1/w)$ .

Преимущество класса $\mathcal W_2$ состоит в том, что в аналоге соотношения (2.13) оценки ошибок опять будут экспоненциально убывать. Однако это не очень естественный класс, так как для того, чтобы определить функции из этого класса, нужно знать точку $b$ , а ее нахождение в общем случае является трансцендентной задачей. Класс $\mathcal W_1$ более естественный; например, он содержит пары $(c_0/w_a, c_\infty/w_a)$ для некоторых констант $c_0\neq\pm c_\infty$ , где $w_a(z) := \sqrt{(z-a)(z-a^{-1})}$ обозначает ветвь радикала, голоморфную вне $F_{a^{-1}} \cup F_1 \cup F_a$ .

Аналоги функций $\varphi$ , $D$ и $S$ из (2.6), (2.8) и (2.9) теперь выглядят сложнее, поскольку в данном случае их нужно определять с помощью различных дифференциалов на римановой поверхности

$\begin{equation} \boldsymbol{\mathfrak{R}} := \bigl\{\boldsymbol z:=(z,w)\colon w^2=(z-a)(z-a^{-1})(z-b)(z-b^{-1})\bigr\}, \end{equation} \tag{2.20}$

которая имеет род 1. Более того, этих функций самих по себе не достаточно, чтобы определить аналоги функций

${\mathcal Q}_n,\mathcal R_n$ . Поэтому мы изберем другой подход.

Поверхность $\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ можно реализовать как две копии $\overline{\mathbb{C}}$ , разрезанные вдоль $F_{a^{-1}}\cup F_a$ и затем склеенные между собой крест-накрест вдоль соответствующих дуг. Мы будем обозначать эти копии через $\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(0)}$ и $\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(1)}$ . Пусть $\pi\colon \boldsymbol{\mathfrak{R}}\to\overline{\mathbb{C}}$ обозначает естественную проекцию $\pi(\boldsymbol z) =z$ . Для точки $z\not\in F_{a^{-1}}\cup F_a$ мы также будем обозначать через $z^{(i)}$ ее прообраз при проекции, лежащий на $\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(i)}$ . Положим

$\begin{equation*} \boldsymbol\Delta:=\pi^{-1}(F)=\boldsymbol\alpha\cup\boldsymbol\beta\cup\boldsymbol\gamma\cup\boldsymbol\delta, \end{equation*} \notag$

где дуга

$\boldsymbol\beta :=\pi^{-1}(F_{a^{-1}})$ ориентирована так, что

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(0)}\setminus\boldsymbol\Delta$ остается справа, когда

$\boldsymbol\beta$ проходится в положительном направлении, дуга

$\boldsymbol\delta:=\pi^{-1}(F_a)$ ориентирована так, что

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(0)}\setminus\boldsymbol\Delta$ остается слева, когда

$\boldsymbol\delta$ проходится в положительном направлении, а

$\boldsymbol\alpha:=\pi^{-1}(F_1)$ и

$\boldsymbol\gamma:=\pi^{-1}(F_{-1})$ ориентированы так, что их положительные направления на

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(0)}$ совпадают с положительными направлениями дуг

$F_1$ и

$F_{-1}$ .

Теорема 2.2. Пусть $h(s)$ – функция на $F$ , для которой существуют такие вещественные константы $\alpha(e)$ , $e\in E=F\setminus F^\circ$ , и такие ветви функций $(z-e)^{\alpha(e)}$ , что произведение

$\begin{equation*} h(s)\prod_{e\in E}(s-e)^{-\alpha(e)} \end{equation*} \notag$

продолжается до не обращающейся в нуль гёльдеровой функции на

$F$ .

Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ существуют мероморфная на $\boldsymbol{\mathfrak{R}}\setminus\boldsymbol\Delta$ функция $\Psi_n$ и точка $\boldsymbol z_n \in \boldsymbol{\mathfrak{R}}$ такие, что:

$\Psi_n$ имеет непрерывные предельные значения на $\pi^{-1}(F^\circ)$ , которые удовлетворяют соотношению

$\begin{equation} \Psi_{n-}(\boldsymbol s) = \Psi_{n+}(\boldsymbol s)h(s), \qquad \boldsymbol s\in\boldsymbol\Delta; \end{equation} \tag{2.21}$

$\Psi_n$ имеет полюс порядка $n$ в точке $\infty^{(1)}$ (порядка $n-1$ , если $\boldsymbol z_n\,{=}\,\infty^{(1)}$ ), простой полюс в точке $\infty^{(0)}$ (точку голоморфности, если $\boldsymbol z_n=\infty^{(0)}$ ), нуль кратности $n$ в точке $0^{(1)}$ (кратности $n+1$ , если $\boldsymbol z_n=0^{(1)}$ ), простой нуль в точке $\boldsymbol z_n\not\in\boldsymbol\Delta\cup\{\infty^{(0)},\infty^{(1)},0^{(1)}\}$ (если $\boldsymbol z_n\in\boldsymbol\Delta$ , то мы используем явное представление (3.16) для $\Psi_n$ , чтобы рассматривать $\boldsymbol z_n$ как нуль и $\Psi_{n+}$ , и $\Psi_{n-}$ ), а в остальных точках $\Psi_{n}$ не обращается в нуль и конечна;

(3) выполняются соотношения

$\begin{equation} |\Psi_n(z^{(k)})|^2 \sim \begin{cases} |z-e|^{(-1)^{1-k}\alpha(e)+m_n(e)} & \textit{при } \ z\to e\in\{a,a^{-1}\}, \\ |z-e|^{(-1)^{1-k}\alpha(e)+m_n(e)} & \textit{при } \ D_0\ni z\to e\in\{b,b^{-1}\}, \\ |z-e|^{(-1)^k\alpha(e)+m_n(e)} & \textit{при } \ D_\infty\ni z\to e\in\{b,b^{-1}\} \end{cases} \end{equation} \tag{2.22}$

для

$k\in\{0,1\}$ , где

$m_n(e):=1$ , если

$\pi(\boldsymbol z_n)=e$ , и

$m_n(e):=0$ в противном случае⁵^[x]⁵Запись

$|g_1(z)|\sim|g_2(z)|$ при

$z\to z_0$ означает, что существует константа

$C>1$ такая, что

$C^{-1} \leqslant |(g_1/g_2)(z)| \leqslant C$ в некоторой окрестности точки

$z_0$ ..

Обратно, если $\Psi$ – функция с нулем кратности не меньше $n$ в точке $0^{(1)}$ , с полюсом порядка не выше $n$ в точке $\infty^{(1)}$ , не более чем с простым полюсом в точке $\infty^{(0)}$ , не имеющая других полюсов и удовлетворяющая соотношениям (2.21) и

$\begin{equation*} |\Psi_n(z^{(k)})|^2 = \begin{cases} \mathcal O(|z-e|^{(-1)^{1-k}\alpha(e)}) & \textit{при } \ z\to e\in\{a,a^{-1}\}, \\ \mathcal O(|z-e|^{(-1)^{1-k}\alpha(e)}) & \textit{при } \ D_0\ni z\to e\in\{b,b^{-1}\}, \\ \mathcal O(|z-e|^{(-1)^k\alpha(e)}) & \textit{при } \ D_\infty\ni z\to e\in\{b,b^{-1}\}, \end{cases} \end{equation*} \notag$

то

$\Psi$ получается из

$\Psi_n$ умножением на константу.

Как отмечалось выше, функции $\Psi_n$ можно явно выразить через различные дифференциалы на $\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ так же, как и через тета-функции Римана; см. формулу (3.16) ниже.

При нашем асимптотическом анализе мы будем интересоваться только индексами $n$ , для которых точки $\boldsymbol z_n$ отделены от $\infty^{(1)}$ . Как утверждается в следующем предложении, таких индексов бесконечно много.

Предложение 2.1. Для заданного $\varepsilon>0$ пусть $D_\varepsilon(z)$ – круг радиуса $\varepsilon$ в сферической метрике с центром $z\in\overline{\mathbb{C}}$ , и пусть $D_\varepsilon(\boldsymbol z)$ – связная компонента $\pi^{-1}(D_\varepsilon(z))$ , содержащая $\boldsymbol z$ . Положим

$\begin{equation} \mathbb{N}_\varepsilon :=\bigl\{n\in\mathbb{N}\colon \boldsymbol z_n\not\in D_\varepsilon(\infty^{(1)} )\bigr\}. \end{equation} \tag{2.23}$

Тогда для всех достаточно малых $\varepsilon$ и для всех натуральных чисел $n>1$ либо $n$ , либо $n-1$ принадлежит множеству $\mathbb{N}_\varepsilon$ .

В соответствии с нашими обозначениями для любого множества $B$ положим $B^{(i)}:= \pi^{-1}(B)\cap \boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(i)}$ . Теперь мы готовы определить аналоги функций (2.10) и (2.11) для невещественных $a$ . Пусть

$\begin{equation} {\mathcal Q}_n(z) := \begin{cases} \Psi_{n|D_0^{(0)}}(\boldsymbol z), & z\in D_0, \\ \Psi_{n|D_\infty^{(1)}}(\boldsymbol z), & z\in D_\infty, \end{cases} \end{equation} \tag{2.24}$

– это кусочно голоморфная функция в

${\mathbb{C}}\setminus F$ с полюсом порядка

$n$ в бесконечности. Также пусть

$\begin{equation} \mathcal R_n(z) := \frac1{z^n} \begin{cases} \Psi_{n|D_0^{(1)}}(\boldsymbol z), & z\in D_0, \\ -\Psi_{n|D_\infty^{(0)}}(\boldsymbol z), & z\in D_\infty, \end{cases} \end{equation} \tag{2.25}$

– это кусочно голоморфная функция в

$\overline{\mathbb{C}}\setminus F$ с нулем кратности

$n-1$ в бесконечности⁶^[x]⁶Опять же, эти порядки могут измениться в зависимости от положения точки

$\boldsymbol z_n$ .. Из-за специфики анализа Римана–Гильберта, который мы будем использовать для изучения поведения аппроксимаций Паде, нам понадобятся еще следующие функции. Пусть

$\Upsilon_n$ – рациональная функция на

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ , которая конечна всюду, кроме двух простых полюсов в точках

$\infty^{(0)}$ и

$\boldsymbol z_n$ , и имеет простой нуль в точке

$0^{(1)}$ (такая функция единственна с точностью до скалярного множителя). Положим

$\begin{equation*} \Psi_n^\star := \Psi_n \Upsilon_n \end{equation*} \notag$

и определим

${\mathcal Q}_n^\star$ и

$\mathcal R_n^\star$ соответственно соотношениями (2.24) и (2.25), однако при этом в (2.25) заменим

$\Psi_n$ на

$\Psi_n^\star$ и

$z^n$ на

$z^{n+1}$ . Полученные функции голоморфны в

${\mathbb{C}}\setminus F$ , причем

${\mathcal Q}_n^\star$ имеет полюс порядка

$n$ в бесконечности, в то время как

$\mathcal R_n^\star$ имеет в бесконечности нуль кратности

$n-1$ .

Теорема 2.3. Обозначим через $P_n/Q_n$ двухточечную аппроксимацию Паде типа $(n,n+1)$ для пары (2.2) с $\rho\in \mathcal W_1 \cup \mathcal W_2$ . Пусть $R_n$ задается формулой (2.12). Далее, пусть ${\mathcal Q}_n$ и $\mathcal R_n$ задаются формулами (2.24) и (2.25) с функцией $\Psi_n$ , определенной, как в теореме 2.2, но по функции $h$ , задаваемой равенством (2.19).

Тогда для любого $\varepsilon> 0$ и для всех достаточно больших $n\in\mathbb{N}_\varepsilon$ полином $Q_n$ имеет степень $n$ и может быть нормирован так, что его старший коэффициент равняется единице. При такой нормировке выполняются соотношения

$\begin{equation} \begin{cases} Q_n = \gamma_n\bigl[(1+\upsilon_{n1}){\mathcal Q}_n + \upsilon_{n2}\mathcal Q_{n-1}^\star\bigr], \\ wR_n = \gamma_n\bigl[(1+\upsilon_{n1})\mathcal R_n + \upsilon_{n2}\mathcal R_{n-1}^\star\bigr], \end{cases} \end{equation} \tag{2.26}$

где константа

$\gamma_n$ такова, что

$\lim_{z\to\infty}\gamma_n{\mathcal Q}_n(z)z^{-n} = 1$ , а функции

$\upsilon=\upsilon_{nj}$ локально равномерно в

$\overline{\mathbb{C}}\setminus F$ удовлетворяют оценкам (2.14).

Аналогично (2.15) мы получаем

$\begin{equation*} f_\rho-\frac{P_n}{Q_n} = \frac{z^n\mathcal R_n}{w{\mathcal Q}_n} \frac{1+\upsilon_{n,1}+\upsilon_{n,2}(\mathcal R_{n-1}^\star/\mathcal R_n)}{1+\upsilon_{n,1}+\upsilon_{n,2}(\mathcal Q_{n-1}^\star/{\mathcal Q}_n)}. \end{equation*} \notag$

Из-за наличия блуждающего нуля

$\boldsymbol z_n$ из этой формулы непосредственно не следует локальная равномерная сходимость аппроксимаций к

$f_\rho$ . Действительно, если

$\begin{equation*} \boldsymbol z_n\in D_{\mathcal R} := D_0^{(1)} \cup D_\infty^{(0)}, \end{equation*} \notag$

то $\mathcal R_n(z_n)=0$ , что означает, что аппроксимация имеет дополнительную точку интерполяции вблизи $z_n$ . Однако если

$\begin{equation*} \boldsymbol z_n\in D_{\mathcal Q} := D_0^{(0)} \cup D_\infty^{(1)}, \end{equation*} \notag$

то ${\mathcal Q}_n(z_n)=0$ , и поэтому аппроксимация имеет полюс в окрестности точки $z_n$ . Следующие результаты способствуют дальнейшему прояснению ситуации.

Теорема 2.4. Функции $\Psi_n$ можно нормировать так, что для любого замкнутого множества $B \subset \overline{\mathbb{C}}\setminus F$ и для любого $\delta>0$ существуют положительные константы $C(B)$ и $C_\delta(B)$ такие, что

$\begin{equation} |{\mathcal Q}_n(z)|e^{-ng(z)} \begin{cases} \leqslant C(B), & z\in B, \\ \geqslant C_\delta(B), & z\in B\setminus \pi(D_{\mathcal Q}\cap D_\delta(\boldsymbol z_n)), \end{cases} \end{equation} \tag{2.27}$

где $g(z)$ – непрерывная функция на ${\mathbb{C}}$ , которая гармонична в ${\mathbb{C}}\setminus F$ и удовлетворяет условиям

$\begin{equation} g(z) = \log|z| + \mathcal O(1), \quad z\to\infty, \qquad 2g(s) = \log|s|, \quad s\in F \end{equation} \tag{2.28}$

(из принципа минимума для супергармонических функций следует, что

$2g(z)-\log|z|\,{>}\,0$ в

${\mathbb{C}}\setminus F$ ). Более того, константы

$C(B)$ и

$C_\delta(B)$ можно выбрать так, что

$\begin{equation} |\mathcal R_n(z)|e^{(n-1)g(z)} \begin{cases} \leqslant C(B), & z\in B, \\ \geqslant C_\delta(B), & z\in B\setminus \pi(D_{\mathcal R}\cap D_\delta(\boldsymbol z_n)). \end{cases} \end{equation} \tag{2.29}$

Функции $\Upsilon_n$ можно нормировать так, чтобы неравенства (2.27) и (2.29) выполнялись также для ${\mathcal Q}_n^\star$ и $\mathcal R_n^\star$ . Более того, для любого $\delta>0$ существует константа $C_\delta$ такая, что

$\begin{equation} C_\delta \geqslant \begin{cases} \biggl|\dfrac{\mathcal Q_{n-1}^\star}{{\mathcal Q}_n}\biggr| & \textit{в } \ \overline{\mathbb{C}}\setminus \pi(\overline D_{\mathcal Q}\cap D_\delta(\boldsymbol z_n) ), \\ \biggl|\dfrac{\mathcal R_{n-1}^\star}{\mathcal R_n}\biggr| & \textit{в } \ \overline{\mathbb{C}}\setminus \bigl(D_\delta(\infty) \cup \pi(\overline D_{\mathcal R}\cap D_\delta(\boldsymbol z_n) )\bigr). \end{cases} \end{equation} \tag{2.30}$

В силу теоремы Буслаева ясно, что $2g(z)-\log|z|=g_F(z,0)+g_F(z,\infty)$ .

Благодарность

Автор выражает благодарность Андрею Мартинес-Финкельштейну за неоднократные ценные обсуждения.

§ 3. Доказательства теорем 2.2, 2.4 и предложения 2.1

Пусть $\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ – риманова поверхность, определенная в (2.20). Будем считать, что каждое из множеств $\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(i)}$ – замкнутое подмножество в $\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ , т.е. оно содержит циклы $\boldsymbol\beta$ и $\boldsymbol\delta$ . Определим конформную инволюцию поверхности $\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ формулой $\boldsymbol z=(z,w) \mapsto \boldsymbol z^* =(z,-w)$ . Легко видеть, что пара циклов $(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)$ образует базис гомологий поверхности $\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ . В частности, область $\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}:= \boldsymbol{\mathfrak{R}}\setminus(\boldsymbol\alpha\cup\boldsymbol\beta)$ односвязна.

3.1. Дифференциал Наттолла

Пусть $w(\boldsymbol z) := (-1)^iw(z)$ , $\boldsymbol z\in \boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(i)}$ , где $w(z)$ – ветвь, определенная в (2.18). Для удобства положим

$\begin{equation*} v(\boldsymbol z) := \frac{(z-b)(z-b^{-1})}{w(\boldsymbol z)} \end{equation*} \notag$

$v(z):= v(\boldsymbol z)$ для

$\boldsymbol z\in\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(0)}\setminus\{\boldsymbol\beta\cup\boldsymbol\gamma\cup\boldsymbol\delta\}$ . Заметим, что

$v(0)=v(\infty)=1$ . Дифференциал

$\begin{equation} \mathcal N(\boldsymbol s) = \frac{1-v(\boldsymbol s)}{2s}\,\mathrm d s \end{equation} \tag{3.1}$

голоморфен всюду, кроме двух простых полюсов в точках

$0^{(1)}$ и

$\infty^{(1)}$ с вычетами соответственно

$1$ и

$-1$ . Более того, можно легко проверить, используя (2.1), что все периоды

$\mathcal N(\boldsymbol s)$ чисто мнимые, и поэтому мы можем определить вещественные константы:

$\begin{equation} \omega := -\frac1{2\pi\mathrm i}\oint_{\boldsymbol\beta}\mathcal N, \qquad \tau:=\frac1{2\pi\mathrm i}\oint_{\boldsymbol\alpha}\mathcal N. \end{equation} \tag{3.2}$

Лемма 3.1. Пусть $\sqrt a$ – главное значение квадратного корня. Положим

$\begin{equation} \Phi(\boldsymbol z) := \sqrt a \exp\biggl\{\int_{\boldsymbol a}^{\boldsymbol z}\mathcal N\biggr\}, \qquad \boldsymbol z\in\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}, \end{equation} \tag{3.3}$

где путь интегрирования полностью лежит в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}$ .

Тогда функция $\Phi(\boldsymbol z)$ голоморфна и не обращается в нуль в $\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}\setminus\{\infty^{(1)},0^{(1)}\}$ , имеет простой полюс в точке $\infty^{(1)}$ и простой нуль в точке $0^{(1)}\in \boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(1)}$ . Выполняется равенство $\Phi(\boldsymbol z)\Phi(\boldsymbol z^*)=z$ , а предельные значения $\Phi(\boldsymbol z)$ удовлетворяют соотношениям

$\begin{equation} \Phi_+ = \Phi_- \begin{cases} \exp\{2\pi\mathrm i\tau\} & \textit{на }\ \boldsymbol\beta, \\ \exp\{2\pi\mathrm i\omega\} & \textit{на }\ \boldsymbol\alpha. \end{cases} \end{equation} \tag{3.4}$

Более того,

$|\Phi(\boldsymbol z)|^2<|z|$ при

$z\in D_{\mathcal R}$ и

$|\Phi(\boldsymbol z)|^2>|z|$ при

$z\in D_{\mathcal Q}$ .

Доказательство. Свойства голоморфности

$\Phi$ непосредственно следуют из свойств голоморфности

$\mathcal N$ . Поскольку

$v(\boldsymbol z) = -v(z)$ при

$\boldsymbol z\in\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(1)}\setminus\{\boldsymbol\beta\cup\boldsymbol\gamma\}$ , то выполняется соотношение

$\begin{equation} \Phi(\boldsymbol z)\Phi(\boldsymbol z^*) = a\exp\biggl\{\int_a^z\frac{(1-v(t))\,\mathrm d t}{2t}+\int_a^z\frac{(1+v(t))\,\mathrm d t}{2t}\biggr\} = a\exp\biggl\{\int_a^z\frac{\mathrm d t}{t}\biggr\} = z. \end{equation} \tag{3.5}$

Далее, на

$\boldsymbol \alpha$ и

$\boldsymbol\beta$ мы получаем соответственно

$\begin{equation*} \Phi_+ = \Phi_-\exp\biggl\{-\oint_{\boldsymbol\beta}\mathcal N\biggr\}, \qquad \Phi_+ = \Phi_-\exp\biggl\{\oint_{\boldsymbol\alpha}\mathcal N\biggr\}, \end{equation*} \notag$

что дает (3.4); см. (3.2). Наконец, напомним, что

$F$ состоит из критических траекторий квадратичного дифференциала

$-(v(z)\,\mathrm dz/z)^2$ ; см. (2.1). Значит, интеграл от

$v(t)\,\mathrm d t/t$ по любой дуге, содержащейся в

$F$ , чисто мнимый, и поэтому

$\begin{equation*} |\Phi^2(\boldsymbol s)| = |s|\exp\biggl\{\pm\operatorname{Re}\biggl(\int_a^s\frac{v(t)}t\mathrm \,dt\biggr)\biggr\} = |s|, \qquad \boldsymbol s\in\boldsymbol\Delta, \end{equation*} \notag$

где знак минус нужно брать при

$\boldsymbol s\in\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(0)}$ , а знак плюс – при

$\boldsymbol s\in\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(1)}$ . Теперь последнее утверждение леммы следует из принципа максимума модуля. Лемма доказана.

3.2. Голоморфные дифференциалы

Можно легко проверить, что

$\begin{equation*} \mathcal H(\boldsymbol s) := \frac{C\,\mathrm d s}{w(\boldsymbol s)}, \quad\text{где }\ C:=\biggl(\oint_{\boldsymbol\alpha}\frac{\mathrm d s}{w(\boldsymbol s)}\biggr)^{-1}, \end{equation*} \notag$

является голоморфным дифференциалом на

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ (единственным с точностью до мультипликативной константы). Обозначим

$\begin{equation*} \mathbf B:= \oint_{\boldsymbol \beta}\mathcal H. \end{equation*} \notag$

Известно, что

$\operatorname{Im}(\mathbf B) >0$ . Доказательство следующей леммы полностью аналогично доказательству леммы 3.1.

Лемма 3.2. Для данного $\sigma\in{\mathbb{C}}$ положим

$\begin{equation} A_\sigma(z) := \exp\biggl\{-2\pi\mathrm i\sigma\int_{\boldsymbol a}^{\boldsymbol z}\mathcal H\biggr\}, \qquad \boldsymbol z\in\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}, \end{equation} \tag{3.6}$

где путь интегрирования полностью лежит в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}$ .

Тогда функция $A_\sigma(\boldsymbol z)$ голоморфна и не обращается в нуль в $\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}$ . Выполняется равенство $A_\sigma(\boldsymbol z) A_\sigma(\boldsymbol z^*)\equiv1$ , а предельные значения $A_\sigma(\boldsymbol z)$ на $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta$ удовлетворяют соотношениям

$\begin{equation} A_{\sigma+} = A_{\sigma-} \begin{cases} \exp\{-2\pi\mathrm i\sigma\} & \textit{на }\ \boldsymbol\beta, \\ \exp\{2\pi\mathrm i\mathbf B\sigma\} & \textit{на } \ \boldsymbol\alpha. \end{cases} \end{equation} \tag{3.7}$

3.3. Дифференциалы Коши

Обозначим через $\mathcal C_{\boldsymbol z}$ единственный мероморфный дифференциал, который имеет два простых полюса в точках $\boldsymbol z$ и $\boldsymbol z^*$ с вычетами $1$ и $-1$ соответственно и нулевой $\boldsymbol\alpha$ -период. Если $\pi(\boldsymbol z)\in{\mathbb{C}}$ , то можно легко проверить, что

$\begin{equation} \mathcal C_{\boldsymbol z}(\boldsymbol s) = \frac{w(\boldsymbol z)}{s-z}\frac{\mathrm d s}{w(\boldsymbol s)} - \biggl(\oint_{\boldsymbol\alpha}\frac{w(\boldsymbol z)}{s-z}\frac{\mathrm d s}{w(\boldsymbol s)}\biggr)\mathcal H(\boldsymbol s). \end{equation} \tag{3.8}$

Лемма 3.3. Пусть функция $h(z)$ такая же, как в теореме 2.2. Фиксируем на каждой из дуг $F_a$ , $F_{a^{-1}}$ , $F_1$ , $F_{-1}$ гладкую ветвь функции

$\begin{equation*} \log h(s) - \sum_{e\in E}\alpha(e)\log(z-e). \end{equation*} \notag$

Положим

$\lambda_h(\boldsymbol s) := -\log h(s)$ ,

$s\in F^\circ$ , и

$\begin{equation} S_h(\boldsymbol z) := \exp\biggl\{\frac1{4\pi\mathrm i}\oint_{\boldsymbol\Delta}\lambda_h\mathcal C_{\boldsymbol z}\biggr\}, \qquad \boldsymbol z\in\boldsymbol{\mathfrak{R}}\setminus\boldsymbol\Delta. \end{equation} \tag{3.9}$

Тогда функция $S_h(\boldsymbol z)$ голоморфна и не обращается в нуль в $\boldsymbol{\mathfrak{R}}\setminus\boldsymbol\Delta$ . Выполняется равенство $S_h(\boldsymbol z)S_h(\boldsymbol z^*)\equiv1$ , а предельные значения функции $S_h(\boldsymbol z)$ удовлетворяют соотношению

$\begin{equation} S_{h+}(\boldsymbol s) = \frac{S_{h-}(\boldsymbol s)}{h(s)} \begin{cases} 1 & \textit{на }\ \boldsymbol\Delta\setminus\boldsymbol\alpha, \\ \displaystyle \exp\biggl\{-\oint_{\boldsymbol\Delta}\lambda_h\mathcal H\biggr\} & \textit{на }\ \boldsymbol\alpha, \end{cases} \end{equation} \tag{3.10}$

где точки самопересечения следует исключить. Кроме того,

$\begin{equation} |S_h(z^{(k)})|^2 \sim \begin{cases} |z-e|^{(-1)^{1-k}\alpha(e)} & \textit{при } \ z\to e\in\{a,a^{-1}\}, \\ |z-e|^{(-1)^{1-k}\alpha(e)} & \textit{при } \ D_0\ni z\to e\in\{b,b^{-1}\}, \\ |z-e|^{(-1)^k\alpha(e)} & \textit{при } \ D_\infty\ni z\to e\in\{b,b^{-1}\}, \end{cases} \qquad k\in\{0,1\}. \end{equation} \tag{3.11}$

Доказательство. Пусть

$\boldsymbol\nu$ – симметричный относительно инволюции цикл на

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ , проходящий через точки ветвления

$\boldsymbol p_1$ ,

$\boldsymbol p_2$ , и пусть

$\lambda_{\boldsymbol\nu}$ – такая инвариантная относительно инволюции функция на

$\boldsymbol\nu$ , что для некоторых вещественных констант

$\alpha_1$ ,

$\alpha_2$ функция

$\begin{equation*} \lambda_{\boldsymbol\nu}(\boldsymbol z) + \alpha_1\log(z-p_1) + \alpha_2\log(z-p_2) \end{equation*} \notag$

гёльдерова на

$\boldsymbol\nu$ , где ветви логарифмов выбираются голоморфными на

$\pi(\boldsymbol\nu)\setminus \{p_1,p_2\}$ . Пусть

$\begin{equation*} \Lambda_{\boldsymbol\nu}(\boldsymbol z) := \frac1{4\pi\mathrm i}\oint_{\boldsymbol\nu}\lambda_{\boldsymbol\nu}\mathcal C_{\boldsymbol z}. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\mathcal C_{\boldsymbol z^*} = - \mathcal C_{\boldsymbol z}$ , имеем

$\Lambda_{\boldsymbol\nu}(\boldsymbol z) + \Lambda_{\boldsymbol\nu}(\boldsymbol z^*) \equiv 0$ . Более того, известно (см. [26; формулы (2.7)–(2.9)]), что

$\Lambda_{\boldsymbol\nu}(\boldsymbol z)$ – голоморфная функция в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}\setminus(\boldsymbol\nu\cup\boldsymbol\alpha)$ с непрерывными предельными значениями на

$(\boldsymbol\nu\setminus\boldsymbol\alpha)\setminus\{\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_2\}$ и

$(\boldsymbol\alpha\setminus\boldsymbol\nu)\setminus\{\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_2\}$ , которые удовлетворяют соотношению

$\begin{equation*} \Lambda_{\boldsymbol\nu+}(\boldsymbol s) - \Lambda_{\boldsymbol\nu-}(\boldsymbol s) = \begin{cases} \lambda_{\boldsymbol\nu}(\boldsymbol s), & \boldsymbol s\in\boldsymbol\nu\setminus\boldsymbol\alpha, \\ -{\displaystyle\oint_{\boldsymbol\nu}\lambda_{\boldsymbol\nu}\mathcal H}, & \boldsymbol s\in\boldsymbol\alpha\setminus\boldsymbol\nu, \end{cases} \end{equation*} \notag$

где мы использовали, что

$\lambda_{\boldsymbol\nu}(\boldsymbol s) = \lambda_{\boldsymbol\nu}(\boldsymbol s^*)$ ; на дугах, входящих в

$\boldsymbol\nu \cap \boldsymbol\alpha$ , скачки нужно складывать. При отсутствии логарифмических особенностей, т.е. когда все

$\alpha(e)$ равны нулю, утверждения леммы можно получить, суммируя

$\Lambda_{\boldsymbol\nu}$ по всем

$\boldsymbol\nu\in\{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma,\boldsymbol\delta\}$ и взяв

$\lambda_{\boldsymbol\nu} := \lambda_{h|\boldsymbol\nu}$ .

Пусть $\Lambda :=\sum_{\boldsymbol\nu=\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma,\boldsymbol\delta}\Lambda_{\boldsymbol\nu}$ . Если точка ветвления $\boldsymbol p$ такова, что $\pi(\boldsymbol p)\in\{a,a^{-1}\}$ , то ровно один цикл из цепи $\boldsymbol\Delta$ проходит через $\boldsymbol p$ (либо $\boldsymbol\beta$ , либо $\boldsymbol\delta$ ). Более того, поскольку $\boldsymbol\beta$ и $\boldsymbol\delta$ разбивают $\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ на листы $\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(0)}\setminus\{\boldsymbol\beta \cup \boldsymbol\delta\}$ и $\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(1)}\setminus\{\boldsymbol\beta \cup \boldsymbol\delta\}$ , то можно использовать анализ, изложенный в [1; п. 5.2], и получить, что для $k\in\{0,1\}$

$\begin{equation*} \Lambda(z^{(k)}) = (-1)^{1-k}\frac{\alpha(p)}{2}\log(p-z)+\mathcal O(1) \quad \text{при } \ z\to p\in\{a,a^{-1}\}, \end{equation*} \notag$

где ветви функции

$\log(p\,{-}\,{\cdot})$ голоморфны в некоторой окрестности точки

$p$ , разрезанной вдоль дуги

$F_p$ . Ситуация, когда

$p\in\{b,b^{-1}\}$ , опять очень похожа на ту, которая обсуждается в [1; п. 5.2]. Ясно, что структура особенности функции в точке

$p$ определяется первым слагаемым в (3.8). Как объясняется в [12; п. I.8.5], для того, чтобы изучить эту структуру, достаточно найти функцию, которая имеет логарифмическую особенность в

$p$ и такие же скачки на циклах, составляющих

$\boldsymbol\Delta$ . Таким образом, можно проверить, что

$\begin{equation*} \Lambda(z^{(k)}) = \pm(-1)^{1-k}\frac{\alpha(p)}{2}\log(z-p)+\mathcal O(1) \quad \text{при } \ z\to p\in\{b,b^{-1}\}, \end{equation*} \notag$

где знак плюс выбирается, если

$z\in D_0$ , а знак минус, если

$z\in D_\infty$ , и у ветви

$\log({\cdot}\,{-}\,p)$ есть скачок на дуге

$F_a$ при

$p=b$ и на

$F_{a^{-1}}$ при

$p=b^{-1}$ .

3.4. Задача обращения Якоби

Мы определяем отображение Абеля на $\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ формулой

$\begin{equation*} \mathfrak a(\boldsymbol z) := \int_{\boldsymbol a}^{\boldsymbol z}\mathcal H, \qquad \boldsymbol z \in \boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}, \end{equation*} \notag$

где путь интегрирования целиком лежит в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}$ , и полагаем

$\mathfrak a(\boldsymbol z) := \mathfrak a_+(\boldsymbol z)$ при

$\boldsymbol z\in\boldsymbol\alpha \cup \boldsymbol\beta$ . Поскольку поверхность

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ имеет род

$1$ , любая задача обращения Якоби на

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ однозначно разрешима. В частности, для заданных функции

$h$ и целого числа

$n\in\mathbb{N}$ существуют единственная точка

$\boldsymbol z_n=\boldsymbol z_n(h)\in\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ и единственные числа

$j_n,m_n\in\mathbb{Z}$ такие, что

$\begin{equation} \mathfrak a(\boldsymbol z_n) = \mathfrak a(\infty^{(0)}) -\frac1{2\pi\mathrm i}\oint_{\boldsymbol\Delta}\lambda_h\mathcal H + n(\omega+\mathbf B\tau) + j_n + \mathbf Bm_n. \end{equation} \tag{3.12}$

Лемма 3.4. Пусть для всех $\varepsilon>0$ множество $\mathbb{N}_\varepsilon$ определено так же, как в (2.23). Тогда верно утверждение предложения 2.1.

Далее, пусть $\boldsymbol z_n^\star=\boldsymbol z_n^\star(h)$ – решение следующей задачи обращения Якоби:

$\begin{equation*} \mathfrak a(\boldsymbol z_n^\star+0^{(1)}-\boldsymbol z_n-\infty^{(0)}) \in \mathbb{Z}+\mathbf B\mathbb{Z}. \end{equation*} \notag$

Тогда существует область

$U_\varepsilon\ni \infty^{(0)}$ такая, что

$\boldsymbol z_{n-1}^\star\not\in U_\varepsilon$ для всех

$n\in\mathbb{N}_\varepsilon$ .

Доказательство. В силу соотношений Римана

$\begin{equation*} \mathfrak a( \infty^{(1)} ) -\mathfrak a( 0^{(1)} ) = \int_{0^{(1)}}^{\infty^{(1)}}\mathcal H = \frac1{2\pi\mathrm i}\oint_{\boldsymbol\beta}\mathcal M_{\infty^{(1)},0^{(1)}}, \end{equation*} \notag$

где

$\mathcal M_{\boldsymbol z_1,\boldsymbol z_2}$ – мероморфный дифференциал, имеющий два простых полюса в точках

$\boldsymbol z_1$ и

$\boldsymbol z_2$ с вычетами

$1$ и

$-1$ соответственно и нулевой период по циклу

$\boldsymbol\alpha$ . Заметим, что

$\begin{equation*} \mathcal M_{\infty^{(1)},0^{(1)}} = - \mathcal N + 2\pi\mathrm i\tau\mathcal H, \end{equation*} \notag$

как можно видеть из (3.2). Значит,

$\begin{equation*} \mathfrak a( \infty^{(1)} ) -\mathfrak a( 0^{(1)} ) = -\frac1{2\pi\mathrm i}\oint_{\boldsymbol\beta}\mathcal N + \tau\oint_{\boldsymbol\beta}\mathcal H = \omega+\mathbf B\tau. \end{equation*} \notag$

Также из (3.12) следует, что

$\begin{equation*} \mathfrak a(\boldsymbol z_n ) -\mathfrak a(\boldsymbol z_{n-1}) - (\omega+\mathbf B\tau) \in \mathbb{Z}+\mathbf B\mathbb{Z}. \end{equation*} \notag$

Из непрерывности

$\mathfrak a(\boldsymbol z)$ и единственности решения задачи обращения Якоби теперь следует, что если

$\boldsymbol z_n\to\infty^{(1)}$ по некоторой подпоследовательности индексов

$\mathbb{N}'$ , то

$\boldsymbol z_{n-1}\to 0^{(1)}$ при

$\mathbb{N}'\ni n\to\infty$ , а из этого следует как бесконечность множества

$\mathbb{N}_\varepsilon$ , так и то, что при всех достаточно малых

$\varepsilon$ либо

$n$ , либо

$n-1$ попадает в

$\mathbb{N}_\varepsilon$ . Те же рассуждения доказывают последнее утверждение леммы, поскольку сходимость

$\boldsymbol z_{n-1}^\star \to \infty^{(0)}$ по некоторой подпоследовательности индексов влечет сходимость

$\boldsymbol z_{n-1} \to 0^{(1)}$ и соответственно сходимость

$\boldsymbol z_n\to\infty^{(1)}$ по той же подпоследовательности. Лемма доказана.

3.5. Тета-функция Римана

Напомним, что тета-функция, ассоциированная с числом $\mathbf B$ , – это целая трансцендентная функция, определяемая формулой

$\begin{equation*} \theta(u) := \sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp\{\pi\mathrm i\mathbf Bn^2 + 2\pi\mathrm i un\}, \qquad u\in{\mathbb{C}}. \end{equation*} \notag$

Лемма 3.5. Пусть $h$ и $\boldsymbol z_n$ такие же, как выше. Определим функцию $\Theta_n$ как

$\begin{equation} \Theta_n(\boldsymbol z) := \frac{\theta(\mathfrak a(\boldsymbol z) - \mathfrak a(\boldsymbol z_n) - (1+\mathbf B)/2)}{\theta(\mathfrak a(\boldsymbol z) - \mathfrak a(\infty^{(0)}) - (1+\mathbf B)/2)}. \end{equation} \tag{3.13}$

Функция

$\Theta_n$ мероморфна в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}$ , имеет простой нуль в точке

$\boldsymbol z_n$ , простой полюс в точке

$\infty^{(0)}$ , а в остальных точках конечна и не обращается в нуль. Заметим, что она голоморфно продолжается через

$\boldsymbol\beta$ и

$\begin{equation} \Theta_{n+} = \Theta_{n-} \exp\biggl\{\oint_{\boldsymbol\Delta}\lambda_h\mathcal H-2\pi\mathrm i n(\tau+\mathbf B\omega)-2\pi\mathrm i\mathbf Bm_n\biggr\} \quad \textit{на } \ \boldsymbol\alpha. \end{equation} \tag{3.14}$

Доказательство. Можно напрямую проверить, что

$\begin{equation} \theta(u + j + \mathbf Bm) = \exp\{-\pi\mathrm i\mathbf Bm^2 - 2\pi\mathrm i um\}\theta(u), \qquad j,m\in\mathbb{Z}. \end{equation} \tag{3.15}$

Более того, известно, что

$\theta(u)=0$ тогда и только тогда, когда

$u = (1+\mathbf B)/2 + j+\mathbf Bm$ ,

$j,m\in\mathbb{Z}$ . Далее, напомним, что

$\begin{equation*} \mathfrak a_+ - \mathfrak a_- = \begin{cases} \displaystyle -\oint_{\boldsymbol\beta}\mathcal H & \text{на }\ \boldsymbol\alpha, \\ \displaystyle \oint_{\boldsymbol\alpha}\mathcal H & \text{на } \ \boldsymbol\beta \end{cases} = \begin{cases} -\mathbf B & \text{на }\ \boldsymbol\alpha, \\ 1 & \text{на }\ \boldsymbol\beta. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Поэтому для

$\boldsymbol s\in\boldsymbol\beta$ выполняется равенство

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Theta_{n+}(\boldsymbol s) &= \frac{\theta(\mathfrak a_+(\boldsymbol z) - \mathfrak a(\boldsymbol z_n) - (1+\mathbf B)/2)}{\theta(\mathfrak a_+(\boldsymbol z) - \mathfrak a(\infty^{(0)}) - (1+\mathbf B)/2)} \\ &= \frac{\theta(1+ \mathfrak a_-(\boldsymbol z) - \mathfrak a(\boldsymbol z_n) - (1+\mathbf B)/2)}{\theta(1 + \mathfrak a_-(\boldsymbol z) - \mathfrak a(\infty^{(0)}) - (1+\mathbf B)/2)} = \Theta_{n-}(\boldsymbol s). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

То есть функция

$\Theta_n$ голоморфно продолжается через дугу

$\boldsymbol\beta$ , как и утверждается. Аналогично, на

$\boldsymbol\alpha$ имеем

$\begin{equation*} \Theta_{n+} = \Theta_{n-} \exp\bigl\{2\pi\mathrm i(\mathfrak a(\infty^{(0)}) - \mathfrak a(\boldsymbol z_n))\bigr\}, \end{equation*} \notag$

что дает (3.14) в силу (3.12). Лемма доказана.

3.6. Доказательство теоремы 2.2 и предложения 2.1

Предложение 2.1 было доказано как часть леммы 3.4. Чтобы доказать теорему 2.2, определим функцию

$\begin{equation} \Psi_n := \Phi^nA_{n\tau+m_n}S_h\Theta_n, \end{equation} \tag{3.16}$

используя (3.3), (3.6), (3.9) и (3.13). Свойства мероморфности этой функции напрямую следуют из лемм 3.1–3.3 и 3.5, а свойство (2.21) получается комбинацией (3.4), (3.7), (3.10) и (3.14). Асимптотика (2.22) вблизи точек ветвления

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ есть прямое следствие (3.11). Если теперь

$\Psi$ – функция со свойствами, описанными в формулировке теоремы, то отношение

$\Psi/\Psi_n$ – рациональная функция на

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ , которая может иметь полюс только в точке

$\boldsymbol z_n$ . Поскольку риманова поверхность

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ имеет род

$1$ , на ней не существует рациональных функций с единственным полюсом. Таким образом, отношение

$\Psi/\Psi_n$ с необходимостью постоянно. Теорема и предложение доказаны.

3.7. Доказательство теоремы 2.4

Из леммы 3.1 следует, что описанная в формулировке теоремы функция $g(z)$ задается формулой

$\begin{equation*} g(z) := \log|\Phi(\boldsymbol z)| = \log|z| - \log|\Phi(\boldsymbol z^*)|, \qquad \boldsymbol z \in D_{\mathcal Q}, \end{equation*} \notag$

где второе равенство напрямую следует из (3.5). Тогда из (2.24), (2.25) и (3.16) получаем

$\begin{equation*} \begin{cases} |{\mathcal Q}_n(z)| = | (A_{n\tau+m_n}S_h\Theta_n)(\boldsymbol z) | e^{ng(z)}, & \boldsymbol z \in D_{\mathcal Q}, \\ |\mathcal R_n(z)| = | (A_{n\tau+m_n}S_h\Theta_n)(\boldsymbol z) | e^{-ng(z)}, & \boldsymbol z \in D_{\mathcal R}. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Заметим, что образ отображения Абеля

$\mathfrak a(\boldsymbol z)$ ограничен. Напомним также, что

$\operatorname{Im}(\mathbf B)>0$ . Поэтому из (3.12) следует, что последовательность

$\{ n\tau+m_n \}$ ограничена. Следовательно, для любого

$\delta>0$ найдется такая константа

$C_\delta\,{>}\,1$ , что

$\begin{equation} C_\delta^{-1}\leqslant| (A_{n\tau+m_n}S_h)(\boldsymbol z) | \leqslant C_\delta \end{equation} \tag{3.17}$

для точек

$\boldsymbol z$ вне круговых окрестностей “радиуса”

$\delta$ каждой из точек ветвления. Далее, из компактности

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ и непрерывности отображения Абеля следует, что семейство функций

$\{ \Theta(\,\cdot\,;\boldsymbol p ) \}$ , где

$\begin{equation*} \Theta(\boldsymbol z;\boldsymbol p) := \frac{\theta(\mathfrak a(\boldsymbol z) - \mathfrak a(\boldsymbol p) - (1+\mathbf B)/2)}{\theta(\mathfrak a(\boldsymbol z) - \mathfrak a(\infty^{(0)}) - (1+\mathbf B)/2)}, \end{equation*} \notag$

также компактно и поэтому обязательно имеет равномерно ограниченные сверху модули в точках

$\boldsymbol z$ вдали от

$\infty^{(0)}$ . Аналогично можно увидеть, что семейство функций

$\{\Theta(\,\cdot\,;\boldsymbol p)/\Phi\}$ также имеет равномерно ограниченные сверху модули вдали от точки

$0^{(1)}$ . Двух последних наблюдений достаточно, чтобы завершить доказательство верхних оценок в (2.27) и (2.29). Ясно, что для получения нижних оценок нужно оценить снизу модули функций

$\Theta(\boldsymbol z;\boldsymbol p)$ и

$\Theta(\boldsymbol z;\boldsymbol p)/\Phi$ вне

$D_\delta(\boldsymbol p)$ . Наличие таких оценок для каждой из функций при каждом значении

$\boldsymbol p$ очевидно, а положительность их точной нижней грани (по всем

$\boldsymbol p$ ) опять следует из компактности.

Далее заметим, что второй нуль функции $\Upsilon_n$ – это точка $\boldsymbol z_n^\star$ по лемме 3.4. Поэтому из (3.12) получаем, что

$\begin{equation*} \mathfrak a(\boldsymbol z_n^\star) = 2\mathfrak a(\infty^{(0)}) - \mathfrak a(0^{(1)}) -\frac1{2\pi\mathrm i}\oint_{\boldsymbol\Delta}\lambda_h\mathcal H +n (\omega+\mathbf B\tau) + j_n^\star + \mathbf Bm_n^\star \end{equation*} \notag$

для некоторых

$j_n^\star,m_n^\star \in\mathbb{Z}$ . Таким образом, функцию

$\Psi_n^\star$ можно эквивалентно определить равенством

$\begin{equation} \Psi_n^\star = \Phi^n A_{n\tau+m_n^\star}S_h\Theta(\,\cdot\,;0^{(1)})\Theta(\,\cdot\,;\boldsymbol z_n^\star). \end{equation} \tag{3.18}$

Из этого представления мы можем получить оценки (2.27) и (2.29) в точности так же, как выше. Наконец, заметим, что отношение

$\Psi_{n-1}^\star/\Psi_n$ равно

$\mathcal Q_{n-1}^\star/{\mathcal Q}_n$ в

$D_{\mathcal Q}$ и равно

$\mathcal R_{n-1}^\star/\mathcal R_n$ в

$D_{\mathcal R}$ . Значит, нам просто нужно оценить модуль

$|\Psi_{n-1}^\star/\Psi_n|$ на

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ . Из (3.16) и (3.18), очевидно, следует, что

$\begin{equation*} \biggl|\frac{\Psi_{n-1}^\star}{\Psi_n}\biggr| = |A_{m_{n-1}^\star-m_n-\tau}| \cdot \biggl| \frac{\Theta(\,\cdot\,;0^{(1)})}{\Phi} \biggr| \cdot \biggl| \frac{\Theta(\,\cdot\,;\boldsymbol z_{n-1}^\star)}{\Theta_n}\biggr|. \end{equation*} \notag$

Аналогично (3.17) мы можем утверждать, что первый множитель в этом произведении равномерно ограничен сверху по всем

$n$ и на всей поверхности

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ . Второй множитель представляет собой функцию, не зависящую от

$n$ , с единственным полюсом в точке

$\infty^{(0)}$ . Наконец, последнее отношение имеет единственный полюс в точке

$\boldsymbol z_n$ и поэтому равномерно ограничено сверху в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}\setminus D_\delta(\boldsymbol z_n)$ для всякого

$\delta> 0$ по приведенному выше соображению компактности. Теорема 2.4 доказана.

§ 4. Доказательство теоремы 2.1 в случае $\rho\in\mathcal W_2$

Чтобы изучить асимптотическое поведение полиномов $Q_n$ и линеаризованных функций остатка $R_n$ , мы будем использовать матричный подход Римана–Гильберта, впервые предложенный А. С. Фокасом, А. Р. Итсом и А. В. Китаевым (см. [10], [11]), и нелинейный метод наискорейшего спуска, развитый П. Дейфтом и С. Чжоу (см. [9]). Для дальнейшего нам будет удобно положить

$\begin{equation*} \sigma_3 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol I :=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

4.1. Ортогональность

Нам также понадобится двухточечная аппроксимация Паде для $f_\rho$ типа $(n,n-1)$ , которую мы обозначим через $P_{n-1}^\star/Q_{n-1}^\star$ . Положим

$\begin{equation} R_{n-1}^\star(z) := z^{-n}(Q_{n-1}^\star f_\rho-P_{n-1}^\star)(z), \qquad z\in\overline{\mathbb{C}}\setminus F. \end{equation} \tag{4.1}$

В соответствии с (1.2) и (2.12) функции

$R_n$ и

$R_{n-1}^\star$ голоморфны в окрестности нуля и

$\begin{equation} R_n(z) = \mathcal{O}(z^{-n-1}), \quad R_{n-1}^\star(z) = \mathcal{O}(z^{-n}) \quad \text{при } \ z\to\infty. \end{equation} \tag{4.2}$

Пусть

$\Omega$ – ограниченная кольцеобразная область, содержащая

$F$ и не содержащая

$0$ , граница которой состоит из двух гладких замкнутых жордановых кривых. Предполагая, что

$\partial \Omega$ положительно ориентирована, мы получим

$\begin{equation} 0 = \int_{\partial\Omega} R_n(z)z^k\,\mathrm d z = \int_{\partial \Omega} Q_n(z)f_\rho(z)z^{k-n}\,\mathrm d z = -\int_FQ_n(s)s^{k-n}\rho(s)\,\mathrm d s \end{equation} \tag{4.3}$

для всех

$k\in\{0,\ldots,n-1\}$ , где первое равенство следует из (4.2) и теоремы Коши, примененной к внешности

$\Omega$ , второе получается, если применить теорему Коши внутри

$\Omega$ , а последнее следует из (2.2), теоремы Фубини–Тонелли и интегральной формулы Коши. Аналогично (4.3) мы получаем

$\begin{equation} 0 = \int_FQ_{n-1}^\star(s)s^{k-n}\rho(s)\,\mathrm d s, \qquad k\in\{0,\ldots,n-2\}. \end{equation} \tag{4.4}$

Более того, аналогичные вычисления также дают

$\begin{equation*} R_{n-1}^\star(z) = -z^{-n}\int_F Q_{n-1}^\star(s)s^{-1}\rho(s)\,\frac{\mathrm d s}{2\pi\mathrm i} + \mathcal{O}(z^{-n-1}) =: \frac1{a_nz^n} + \mathcal{O}(z^{-n-1}). \end{equation*} \notag$

Таким образом,

$a_n$ бесконечно тогда и только тогда, когда

$Q_{n-1}^\star$ также удовлетворяет (4.4) с

$k=n-1$ . Однако если это так, то

$Q_{n-1}^\star$ удовлетворяет (4.3). Обратно, если существует полином степени не выше

$n-1$ , удовлетворяющий (4.3), то он автоматически удовлетворяет (4.4), и поэтому коэффициент при

$z^{-n}$ в разложении

$R_{n-1}^\star$ в бесконечности должен быть нулевым. В целом

$a_n$ конечен, если и только если

$\deg(Q_n)=n$ , где

$Q_n$ – полином наименьшей степени, удовлетворяющий (4.3).

4.2. Начальная задача Римана–Гильберта

В предположении, что $\deg(Q_n)=n$ , положим

$\begin{equation} {\boldsymbol Y}:= \begin{pmatrix} Q_n & R_n \\ a_nQ_{n-1}^\star & a_nR_{n-1}^\star \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{4.5}$

Тогда эта матричнозначная функция является решением следующей задачи Римана–Гильберта $(\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y)$ . Найти $(2\times2)$ -матричнозначную функцию $\boldsymbol Y$ такую, что:

(a) ${\boldsymbol Y}$ голоморфна в ${\mathbb{C}}\setminus F$ и $\lim_{z\to\infty} {\boldsymbol Y}(z)z^{-n\sigma_3} = \boldsymbol I$ ;
(b) $\boldsymbol Y$ имеет непрерывные предельные значения на $F^\circ$ , которые удовлетворяют соотношению $\boldsymbol Y_+(s) = \boldsymbol Y_- (s)\begin{pmatrix} 1 & \rho(s)/s^n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ;
(c) выполнены условие $\boldsymbol Y(z) = \mathcal O\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ при $z\to b$ и условие $\boldsymbol Y(z) = \mathcal O\begin{pmatrix} 1 & |z-e|^{-1/2} \\ 1 & |z-e|^{-1/2} \end{pmatrix}$ при $z\to e\in\{a,a^{-1}\}$ , где $\mathcal O(\cdot)$ понимается поэлементно.

Действительно, можно прямой проверкой установить, что $\boldsymbol Y$ удовлетворяет $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (a), если $\deg(Q_n)=n$ , из чего также следует, что $a_n$ конечно. Пусть $Q$ обозначает либо $Q_n$ , либо $Q_{n-1}^\star$ , а $R$ обозначает либо $R_n$ , либо $R_{n-1}^\star$ . Тогда из (2.12), (4.1) и формул Сохоцкого–Племеля (см. [12; п. I.4.2]) мы получаем, что

$\begin{equation*} (R_+ - R_-)(x) = \frac{(Q\rho)(x)}{x^n}, \qquad x\in F^\circ, \end{equation*} \notag$

и поэтому

$\boldsymbol Y$ удовлетворяет условию

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (b). Наконец, из (2.4) следует, что

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\rho_{|F_a}(b) - \rho_{|F_{a^{-1}}}(b) + \rho_{|F_{-b}}(b+) - \rho_{|F_{-b}}(b-) \nonumber \\ &\qquad = \frac{h(b)}{w_+(b)} - \frac{h(b)}{w_-(b)} + \frac{h(b)}{w_-(b)} - \frac{h(b)}{w_+(b)} = 0, \end{aligned} \end{equation} \tag{4.6}$

где предельные значения

$\rho_{|F_{-b}}(b\pm)$ вычисляются в соответствии с ориентацией

$F_{-b}$ (также следует помнить, что отрезок

$[a^{-1},a ]$ всегда ориентирован от

$a^{-1}$ к

$a$ ). Таким образом, свойство

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (c) вытекает из известного поведения интегралов Коши вблизи точек разрыва веса (см. [12; пп. I.8.1–4]), а тот факт, что второй столбец не имеет логарифмической особенности в

$b$ , напрямую следует из (4.6). Утверждение, что решение задачи

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ , если оно существует, должно иметь вид (4.5), к настоящему времени стандартно; см., например, [14; лемма 2.3] или [1; лемма 1]. Таким образом, мы доказали следующую лемму.

Лемма 4.1. Если решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ существует, то оно единственно и задается равенством (4.5), причем $\deg(Q_n)=n$ . Обратно, если $\deg(Q_n)=n$ , то (4.5) решает задачу $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ .

4.3. Раскрытие линз

Пусть $\Gamma_0$ и $\Gamma_\infty$ – две положительно ориентированные жордановы кривые, которые лежат в $D_0$ и $D_\infty$ соответственно. Предположим далее, что эти кривые достаточно близки к $F$ , так что $h(z)$ голоморфна и не обращается в нуль в кольцеобразной области, ограниченной этими двумя кривыми. Обозначим через $\Omega_0$ и $\Omega_\infty$ пересечения этой кольцеобразной области с $D_0$ и с $D_\infty$ соответственно. Пусть

$\begin{equation} \boldsymbol X(z) := \boldsymbol Y(z) \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -z^n/\rho(z) & 1 \end{pmatrix}, & z\in\Omega_0, \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ z^n/\rho(z) & 1 \end{pmatrix}, & z\in\Omega_\infty, \\ \boldsymbol I, & z\in \overline{\mathbb{C}}\setminus(\overline\Omega_0\cup\overline\Omega_\infty), \end{cases} \end{equation} \tag{4.7}$

где мы полагаем

$\rho(z) := h(z)/w(z)$ в

$\Omega_0 \cup \Omega_\infty$ для

$w(z)$ , заданной в (2.3).

Тогда матричнозначная функция $\boldsymbol X$ является решением следующей задачи Римана–Гильберта:

(a) $\boldsymbol X$ голоморфна в ${\mathbb{C}}\setminus (\Gamma_0\cup F\cup\Gamma_\infty)$ и $\lim_{z\to\infty} {\boldsymbol X}(z)z^{-n\sigma_3} = \boldsymbol I$ ;
(b) $\boldsymbol X$ имеет непрерывные предельные значения на $\Gamma_0\cup F^\circ\cup\Gamma_\infty$ , которые удовлетворяют соотношениям
$\begin{equation*} \boldsymbol X_+(s) =\boldsymbol X_-(s) \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ s^n/\rho(s) & 1 \end{pmatrix}, & s\in\Gamma_0\cup\Gamma_\infty, \\ \begin{pmatrix} 0 & \rho(s)/s^n \\ -s^n/\rho(s) & 0 \end{pmatrix}, & s\in F^\circ; \end{cases} \end{equation*} \notag$
(c) $\boldsymbol X$ удовлетворяет условию $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (c).

Следующая лемма тривиальна.

Лемма 4.2. Задача $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol X$ разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ . Если решения задач $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol X$ и $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ существуют, то они единственны и связаны между собой соотношением (4.7).

4.4. Модельная задача Римана–Гильберта

Рассмотрим следующую задачу Римана–Гильберта ( $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ ):

(a) $\boldsymbol N$ голоморфна в ${\mathbb{C}}\setminus F$ и $\lim_{z\to\infty} {\boldsymbol N}(z)z^{-n\sigma_3} = \boldsymbol I$ ;
(b) $\boldsymbol N$ имеет непрерывные предельные значения на $F^\circ$ , которые удовлетворяют соотношению
$\begin{equation*} \boldsymbol N_+(s) =\boldsymbol N_-(s) \begin{pmatrix} 0 & \rho(s)/s^n \\ -s^n/\rho(s) & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Чтобы решить задачу $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ , вспомним определения (2.10) и (2.11) функций ${\mathcal Q}_n$ и $\mathcal R_n$ . Поскольку $D_+=D_-h$ на $\mathbb{T}$ , $S_+S_-=D^2/h$ на $F_a$ и $S_+S_-=D^2h$ на $F_{a^{-1}}$ , можно легко проверить, что

$\begin{equation} \mathcal Q_{n\pm}(s) = \biggl[\frac{s^n}{h(s)}\biggr] \mathcal R_{n\mp}(s) \begin{cases} 1, & s\in F_a^\circ, \\ -1, & s\in F_{a^{-1}}^\circ, \\ \mp1, & s\in F_{-b}^\circ; \end{cases} \end{equation} \tag{4.8}$

здесь мы также воспользовались соотношениями (2.7). Далее положим

$\begin{equation} \phi(z) := \frac{z-b-w(z)}{\sqrt a-\sqrt{a^{-1}}}, \end{equation} \tag{4.9}$

где соглашение о корнях из отрицательных чисел такое же, как в (2.6). Можно показать аналогично тому, как это было сделано для

$\varphi(z)$ , что функция

$\phi(z)$ голоморфна вне

$[a^{-1},a]$ , имеет простой нуль в точке

$z=0$ и удовлетворяет условию

$\phi_-(s)\phi_+(s)\,{=}\,s$ при

$s\in[a^{-1},a]$ . Далее, используя (2.10) и (2.11), положим

$\begin{equation} \mathcal Q_{n-1}^\star(z) := \mathcal Q_{n-1}(z) \begin{cases} \dfrac{z}{\phi(z)}, & z\in D_0, \\ \phi(z), & z\in D_\infty , \end{cases} \end{equation} \tag{4.10}$

– это голоморфная и не обращающаяся в нуль функция в

${\mathbb{C}}\setminus F$ с полюсом порядка

$n-1$ в бесконечности. Пусть

$\begin{equation} \mathcal R_{n-1}^\star(z) := \mathcal R_{n-1}(z) \begin{cases} \dfrac{\phi(z)}{z}, & z\in D_0, \\ \dfrac1{\phi(z)}, & z\in D_\infty, \end{cases} \end{equation} \tag{4.11}$

– это голоморфная и не обращающаяся в нуль функция в

${\mathbb{C}}\setminus F$ с нулем кратности

$n-1$ в бесконечности. Очевидно, что функции

$\mathcal Q_{n-1}^\star$ и

$\mathcal R_{n-1}^\star$ также удовлетворяют условию (4.8). Тогда можно легко проверить, что матричнозначная функция

$\begin{equation} \boldsymbol N := \boldsymbol{CM}, \qquad \boldsymbol C:= \begin{pmatrix} \gamma_n & 0 \\ 0 & \gamma_{n-1}^\star \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol M :=\begin{pmatrix} {\mathcal Q}_n & \mathcal R_n/w \\ \mathcal Q_{n-1}^\star & \mathcal R_{n-1}^\star/w \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{4.12}$

решает задачу

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ , где

$\gamma_{n-1}^\star$ такова, что

$\lim_{z\to\infty}\gamma_{n-1}^\star z^{n-1}\mathcal R_{n-1}^\star(z)\,{=}\,1$ . Заметим, что функция

$\boldsymbol M$ удовлетворяет условию

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (c) и

$\det(\boldsymbol N)\equiv1$ , потому что

$\det(\boldsymbol N)(z)$ – голоморфная функция вне точек

$\{a,a^{-1}\}$ , в которых она имеет особенности не более чем порядка квадратного корня, причем эта функция имеет значение

$1$ в бесконечности. Также верно, что

$\begin{equation} \det(\boldsymbol M) = (\gamma_n\gamma_{n-1}^\star)^{-1} = -\frac4{2b+a+a^{-1}}. \end{equation} \tag{4.13}$

4.5. Задача Римана–Гильберта с малыми скачками

Рассмотрим следующую задачу Римана–Гильберта ( $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Z$ ):

(a) $\boldsymbol{Z}$ – голоморфная матричнозначная функция в $\overline{\mathbb{C}}\setminus(\Gamma_0\cup \Gamma_\infty)$ и $\boldsymbol{Z}(\infty)=\boldsymbol{I}$ ;
(b) $\boldsymbol{Z}$ имеет непрерывные предельные значения на $\Gamma_0\cup \Gamma_\infty$ , которые удовлетворяют соотношению
$\begin{equation*} \boldsymbol Z_+(s) = \boldsymbol Z_- (s)\boldsymbol M(s) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ s^n/\rho(s) & 1 \end{pmatrix} \boldsymbol M^{-1}(s). \end{equation*} \notag$

Верна следующая лемма.

Лемма 4.3. Для достаточно больших $n$ решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Z$ существует и удовлетворяет условию

$\begin{equation} \boldsymbol{Z}=\boldsymbol{I}+ \mathcal O( c^n) \end{equation} \tag{4.14}$

для некоторой константы $c<1$ , не зависящей от $\Gamma_0,\Gamma_\infty$ , где $\mathcal O(\cdot)$ равномерно всюду в $\overline{\mathbb{C}}$ .

Доказательство. Из явных вычислений и из (4.13) следует, что матрица скачков для

$\boldsymbol{Z}$ равна

$\begin{equation} \boldsymbol I \,{+}\, \gamma_n\gamma_{n-1}^\star\frac{s^n}{(hw)(s)} \begin{pmatrix} (\mathcal R_n\mathcal R_{n-1}^\star)(s) & -\mathcal R_n^2(s) \\ \mathcal R_{n-1}^{\star2}(s) & -(\mathcal R_n\mathcal R_{n-1}^\star)(s) \end{pmatrix} = \boldsymbol I \,{+}\, \mathcal O( c^n(\Gamma_0,\Gamma_\infty) ), \end{equation} \tag{4.15}$

где $c(\Gamma_0,\Gamma_\infty)\in (0,1)$ ; последнее равенство следует из (2.7) и принципа максимума модуля для голоморфных функций. Утверждение леммы теперь следует из тех же соображений, что и в [7; следствие 7.108]. Лемма доказана.

4.6. Асимптотика

Пусть $\boldsymbol Z$ – решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Z$ , даваемое леммой 4.3, и пусть $\boldsymbol C,\boldsymbol M$ определены формулами (4.12). Тогда можно легко проверить, что функция $\boldsymbol X := \boldsymbol{CZM}$ решает задачу $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol X$ , и поэтому решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ получается из (4.7).

Для заданного замкнутого множества $B\subset\overline{\mathbb{C}}\setminus F$ выберем $\Omega_0$ и $\Omega_\infty$ так, что $B\subset \overline{\mathbb{C}} \setminus (\overline\Omega_0 \cup \overline\Omega_\infty)$ . Тогда $\boldsymbol Y = \boldsymbol{CZM}$ на $B$ . Значит, если ввести обозначения $\upsilon_{n1}$ , $\upsilon_{n2}$ , полагая, что первая строка матрицы $\boldsymbol Z$ имеет вид $\begin{pmatrix} 1+\upsilon_{n1} & \upsilon_{n2} \end{pmatrix}$ , мы можем записать

$\begin{equation*} \begin{cases} Q_n = \gamma_n\bigl[(1+\upsilon_{n1}){\mathcal Q}_n + \upsilon_{n2}\mathcal Q_{n-1}^\star\bigr], \\ wR_n=\gamma_n\bigl[(1+\upsilon_{n1})\mathcal R_n + \upsilon_{n2}\mathcal R_{n-1}^\star\bigr] \end{cases} \end{equation*} \notag$

вследствие (4.5) и (4.12). Теперь равенства (2.13) вытекают из (2.10) и (4.10), а также из (2.11) и (4.11), поскольку мы знаем из леммы 4.3, что

$|\upsilon_{nk}|\leqslant c^n$ равномерно в

$\overline{\mathbb{C}}$ (

$\upsilon_{nk}(\infty)=0$ , так как

$\boldsymbol{Z}(\infty)=\boldsymbol{I}$ ).

§ 5. Доказательство теоремы 2.3 при $\rho\in\mathcal W_2$

Можно проверить напрямую, что все, написанное в пп. 4.1–4.3, остается справедливым и в этом случае, за исключением условия $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (c), которое теперь имеет вид

$\begin{equation*} \boldsymbol Y(z) = \mathcal O \begin{pmatrix} 1 & |z-e|^{-1/2} \\ 1 & |z-e|^{-1/2} \end{pmatrix} \quad \text{при } \ z\to e\in E=\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}. \end{equation*} \notag$

Далее, формулировка задачи

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ также остается той же самой. Чтобы решить эту задачу, заметим, что условие (4.8) по-прежнему выполняется (с заменой

$F_{-b}^\circ$ на

$F_{-1}^\circ\cup F_1^\circ$ ), если функции

${\mathcal Q}_n$ и

$\mathcal R_n$ теперь определить равенствами (2.24) и (2.25). Действительно, для

$s\in F_a^\circ$ имеем

$\begin{equation*} \mathcal Q_{n\pm}(s) = \Psi_{n+}(\boldsymbol s) = h^{-1}(s)\Psi_{n-}(\boldsymbol s) = \biggl[\frac{s^n}{h(s)}\biggr]\mathcal R_{n\mp}(s), \end{equation*} \notag$

как и утверждается. Доказательство равенства (4.8) на оставшихся дугах совершенно аналогично (нужно только следить за выбранной ориентацией циклов

$\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma,\boldsymbol\delta$ ). Более того, функции

$\mathcal Q_{n-1}^\star$ и

$\mathcal R_{n-1}^\star$ , определенные перед формулировкой теоремы 2.3, также удовлетворяют условию (4.8), что можно показать аналогичным способом, поскольку

$\Psi_{n-1}^\star$ , очевидно, удовлетворяет (2.21). Таким образом, легко проверить, используя (4.8), что задача

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ решается для каждого такого

$n$ , что

$\boldsymbol z_n\neq\infty^{(1)}$ , с помощью формул (4.12), в которых константы

$\gamma_n$ и

$\gamma_{n-1}^\star$ опять определяются условиями

$\begin{equation*} \lim_{z\to\infty}\gamma_n{\mathcal Q}_n(z)z^{-n} = 1, \qquad \lim_{z\to\infty} \gamma_{n-1}^\star\mathcal R_{n-1}^\star(z)z^{n-2} = 1. \end{equation*} \notag$

Эти константы определены корректно в силу определения множества

$\mathbb{N}_\varepsilon$ и леммы 3.4. Опять заметим, что

$\boldsymbol M$ имеет такое же поведение, как и

$\boldsymbol Y$ , вблизи

$E$ . Более того,

$\det(\boldsymbol N)\equiv1$ по тем же причинам, что и выше, и поэтому

$\det(\boldsymbol M) = (\gamma_n\gamma_{n-1}^\star)^{-1}$ . По решению задачи

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ мы опять можем построить решение задачи

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Z$ . Очевидно, скачок

$\boldsymbol Z$ равен левой части (4.15). Поскольку

$\begin{equation*} \gamma_n\gamma_{n-1}^\star = \lim_{z\to\infty}\frac{z^2}{{\mathcal Q}_n(z)\mathcal R_{n-1}^\star(z)}= \lim_{\boldsymbol z\to\infty^{(1)}} \frac{z^3A_{m_{n-1}^\star-m_n-\tau}(\boldsymbol z^*)}{\Phi(\boldsymbol z)\Theta_n(\boldsymbol z)\Theta(\boldsymbol z^*;0^{(1)})\Theta(\boldsymbol z^*;\boldsymbol z_{n-1}^\star)}, \end{equation*} \notag$

то из определения

$\mathbb{N}_\varepsilon$ , леммы 3.4 и соображений компактности из доказательства теоремы 2.4 следует, что последовательность

$\{|\gamma_n\gamma_{n-1}^\star|\}_{n\in\mathbb{N}_\varepsilon}$ ограничена сверху (константой, не зависящей от

$\varepsilon$ ). Поэтому утверждение леммы 4.3 опять выполняется, но только для достаточно больших

$n\in\mathbb{N}_\varepsilon$ и с константой

$c=c_\varepsilon$ ; для доказательства равенства в (4.15) нам нужно использовать соотношения (2.29) и (2.28), а также принцип максимума для гармонических функций. Наконец, доказательство равенств (2.26) абсолютно такое же, как и в случае теоремы 2.1. Теорема 2.3 доказана.

§ 6. Доказательство теоремы 2.1 при $\rho\in\mathcal W_1$

6.1. Начальная задача Римана–Гильберта

Все изложенное в п. 4.1 остается справедливым и в этом случае. Единственное изменение, которое нужно внести в рассуждения из п. 4.2, – это заменить условие $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (c) на условие

$\begin{equation} \boldsymbol Y(z) = \begin{cases} \mathcal O \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & \text{при } \ z\to\{b,b^{-1}\}, \\ \mathcal O \begin{pmatrix} 1 & \psi_\alpha(z-a) \\ 1 & \psi_\alpha(z-a) \end{pmatrix} & \text{при } \ z\to a, \\ \mathcal O\begin{pmatrix} 1 & \psi_\beta(z-a^{-1}) \\ 1 & \psi_\beta(z-a^{-1}) \end{pmatrix} & \text{при } \ z\to a^{-1}, \end{cases} \end{equation} \tag{6.1}$

где

$\begin{equation*} \psi_\alpha(z) := \begin{cases} |z|^\alpha & \text{при} \ \alpha<0, \\ \log|z| & \text{при} \ \alpha=0, \\ 1 & \text{при} \ \alpha>0. \end{cases} \end{equation*} \notag$

6.2. Раскрытие линз

Здесь мы выбираем $\Gamma_0$ и $\Gamma_\infty$ , как в п. 4.3, за исключением того, что теперь мы требуем, что $\Gamma_0$ имеет с $F$ общую точку $a$ , а $\Gamma_\infty$ имеет с $F$ общую точку $a^{-1}$ . Мы опять определяем $\Omega_0$ и $\Omega_\infty$ , как в п. 4.3, но, однако, теперь они больше не являются кольцеобразными областями. Далее, мы по-прежнему определяем $\boldsymbol X$ формулой (4.7) с функцией $\rho(s)$ , продолженной на $\Omega_0\cup\Omega_\infty$ , как отношение $h(z)/w(z)$ (мы предполагаем, что множества разреза ветвей $(z-a)^{\alpha+1/2}$ и $(z-a^{-1})^{\beta+1/2}$ в (2.5) проходят вне пересечения некоторых окрестностей $a$ и $a^{-1}$ с $\overline\Omega_0\,{\cup}\,\overline\Omega_\infty$ ). Задача Римана–Гильберта $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol X$ остается той же самой, за исключением условия $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol X$ (c), которое заменяется в $\Omega_0\cup\Omega_\infty$ на следующее:

$\begin{equation} \boldsymbol X(z) = \begin{cases} \mathcal O\begin{pmatrix} 1 & |z-a|^\alpha \\ 1 & |z-a|^\alpha \end{pmatrix}, & \alpha<0, \\ \mathcal O\begin{pmatrix} \log|z-a| & \log|z-a| \\ \log|z-a| & \log|z-a| \end{pmatrix}, & \alpha=0, \\ \mathcal O\begin{pmatrix} |z-a|^{-\alpha} & 1 \\ |z-a|^{-\alpha} & 1 \end{pmatrix}, & \alpha>0, \end{cases} \end{equation} \tag{6.2}$

при

$\Omega_0\cup\Omega_\infty\,{\ni}\, z\to a$ ; и аналогичное изменение нужно сделать вблизи

$a^{-1}$ . С учетом описанных выше изменений лемма 4.2 остается справедливой.

6.3. Модельная и локальная задачи Римана–Гильберта

Модельная задача Римана–Гильберта $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ формулируется и решается в точности так же, как в случае $\rho\in\mathcal W_2$ . Более того, опять верно, что $\det(\boldsymbol N)\equiv 1$ (особенности элементов $\boldsymbol N$ в точках $a,a^{-1}$ сокращаются при вычислении определителя). Пусть теперь $U_a$ и $U_{a^{-1}}$ – открытые множества, содержащие соответственно точки $a$ и $a^{-1}$ . Положим

$\begin{equation} \boldsymbol D(z) := \begin{cases} \biggl(\dfrac{z}{\varphi(z)}\biggr)^{n\sigma_3}, & z\in D_0, \\ \varphi(z)^{n\sigma_3}, & z\in D_\infty, \end{cases} \end{equation} \tag{6.3}$

где

$\varphi$ задается формулой (2.6) и

$g^{\sigma_3} = \mathrm{diag}( g, 1/g )$ .

Нам понадобится решить следующие локальные задачи Римана–Гильберта ( $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ , $e\in\{a,a^{-1}\}$ ):

(a)–(c) $\boldsymbol P_e$ удовлетворяет условиям $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol X$ (a, b, c) в $U_e$ ;

(d) $\boldsymbol P_e = \boldsymbol{MD}^{-1}(\boldsymbol I+\mathcal O(1/n) )\boldsymbol D$ равномерно на $\partial U_e$ .

Поскольку построение $\boldsymbol P_e$ достаточно длинно, мы отложим его до конца этого параграфа.

6.4. Задача Римана–Гильберта с малыми скачками

Пусть

$\begin{equation*} \Sigma = ( \partial U_a \cup \partial U_{a^{-1}}) \cup \bigl[( \Gamma_0\cup \Gamma_\infty)\setminus ( \overline U_a \cup \overline U_{a^{-1}}) \bigr]. \end{equation*} \notag$

Задачу Римана–Гильберта $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Z$ теперь нужно формулировать следующим образом:

(a) $\boldsymbol{Z}$ – голоморфная матричнозначная функция в $\overline{\mathbb{C}}\setminus\Sigma$ и $\boldsymbol{Z}(\infty)=\boldsymbol{I}$ ;
(b) $\boldsymbol{Z}$ имеет непрерывные предельные значения в точках гладкости множества $\Sigma$ , которые удовлетворяют соотношениям
$\begin{equation*} \boldsymbol Z_+(s) = \boldsymbol Z_- (s) \begin{cases} \boldsymbol M(s) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ s^n/\rho(s) & 1 \end{pmatrix} \boldsymbol M^{-1}(s), \\ (\boldsymbol P_e \boldsymbol M^{-1})(s), \end{cases} \end{equation*} \notag$
где первое соотношение выполняется для $s\in (\Gamma_0\cup \Gamma_\infty)\setminus ( \overline U_a \cup \overline U_{a^{-1}})$ , а второе для $s\in \partial U_e\setminus (\Gamma_0\cup F\cup \Gamma_\infty)$ , $e\in\{a,a^{-1}\}$ .

Имеет место следующая лемма.

Лемма 6.1. Для всех достаточно больших $n$ решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Z$ существует и обладает следующим свойством: $\boldsymbol{Z}\,{=}\,\boldsymbol{I}\,{+}\,\mathcal O(1/n)$ равномерно в $\overline{\mathbb{C}}$ .

Доказательство. Доказательство того, что скачок

$\boldsymbol Z$ экспоненциально мал на

$(\Gamma_0\cup \Gamma_\infty)\setminus ( \overline U_a \cup \overline U_{a^{-1}})$ , такое же, как в случае

$\rho\in\mathcal W_2$ . Далее, имеем

$\begin{equation*} \boldsymbol P_e \boldsymbol M^{-1} = \boldsymbol I + \boldsymbol{MD}^{-1}\mathcal O\biggl(\frac 1n\biggr)\boldsymbol{DM}^{-1} \end{equation*} \notag$

на

$\partial U_e$ . Из (2.10), (2.11), (4.10)–(4.12) следует, что

$\begin{equation*} \boldsymbol{MD}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \varphi/\phi & \phi/\varphi \end{pmatrix} \biggl(\frac SD \biggr)^{\sigma_3} \end{equation*} \notag$

на

$\partial U_a$ , и аналогичная формула верна на

$\partial U_{a^{-1}}$ . В любом случае это фиксированная матрица, не зависящая от

$n$ . Таким образом, скачок

$\boldsymbol Z$ имеет порядок

$\boldsymbol I + \mathcal O(1/n)$ на

$\partial U_a \cup \partial U_{a^{-1}}$ . Утверждение леммы теперь можно получить так же, как в случае

$\rho\in\mathcal W_2$ .

6.5. Асимптотика

Формулы (2.13) теперь получаются в точности так же, как в случае $\rho\in\mathcal W_2$ .

6.6. Решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ , $e\in\{a,a^{-1}\}$

Мы построим только матрицу $\boldsymbol P_a$ , поскольку построение $\boldsymbol P_{a^{-1}}$ полностью аналогично.

6.6.1. Модельная задача

Ниже мы всегда будем предполагать, что вещественная прямая и ее интервалы ориентированы слева направо. Положим

$\begin{equation} I_\pm:=\biggl\{z\colon \arg(z)=\pm\frac{2\pi}{3}\biggr\} \end{equation} \tag{6.4}$

и будем считать, что лучи

$I_\pm$ ориентированы в направлении к началу координат. Для данного

$\alpha>-1$ пусть

$\boldsymbol\Psi_\alpha$ – матричнозначная функция такая, что:

(a) $\boldsymbol\Psi_\alpha$ голоморфна в ${\mathbb{C}}\setminus(I_+\cup I_-\cup(-\infty,0])$ ;
(b) $\boldsymbol\Psi_\alpha$ имеет непрерывные предельные значения на $I_+\cup I_-\cup(-\infty,0)$ , которые удовлетворяют условиям
$\begin{equation*} \boldsymbol\Psi_{\alpha+} = \boldsymbol\Psi_{\alpha-} \begin{cases} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & \text{на }\ (-\infty,0), \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ e^{\pm\pi\mathrm{i}\alpha} & 1 \end{pmatrix} & \text{на }\ I_\pm; \end{cases} \end{equation*} \notag$
(c) при $\zeta\to0$ выполняются соотношения
$\begin{equation*} \boldsymbol\Psi_\alpha(\zeta) = \mathcal{O}\begin{pmatrix} |\zeta|^{\alpha/2} & |\zeta|^{\alpha/2} \\ |\zeta|^{\alpha/2} & |\zeta|^{\alpha/2} \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol\Psi_\alpha(\zeta) = \mathcal{O}\begin{pmatrix} \log|\zeta| & \log|\zeta| \\ \log|\zeta| & \log|\zeta| \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$
при $\alpha<0$ и при $\alpha=0$ соответственно и
$\begin{equation*} \boldsymbol\Psi_\alpha(\zeta) = \mathcal{O} \begin{pmatrix} |\zeta|^{\alpha/2} & |\zeta|^{-\alpha/2} \\ |\zeta|^{\alpha/2} & |\zeta|^{-\alpha/2} \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol\Psi_\alpha(\zeta) = \mathcal{O}\begin{pmatrix} |\zeta|^{-\alpha/2} & |\zeta|^{-\alpha/2} \\ |\zeta|^{-\alpha/2} & |\zeta|^{-\alpha/2} \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$
при $\alpha>0$ для $|\arg(\zeta)|<2\pi/3$ и для $2\pi/3<|\arg(\zeta)|<\pi$ соответственно;
(d) равномерно в ${\mathbb{C}}\setminus(I_+\cup I_-\cup(-\infty,0])$ выполняется соотношение
$\begin{equation*} \boldsymbol\Psi_\alpha(\zeta) = \boldsymbol S(\zeta)\bigl(\boldsymbol I+\mathcal{O}(\zeta^{-1/2})\bigr)\exp\{2\zeta^{1/2}\sigma_3\}, \end{equation*} \notag$
где $\displaystyle \boldsymbol S(\zeta) := \frac{\zeta^{-\sigma_3/4}}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \mathrm i \\ \mathrm i & 1 \end{pmatrix}$ , и мы выбираем главную ветвь функции $\zeta^{1/4}$ .

Явное построение такой матричнозначной функции можно найти в [14] (оно использует модифицированные функции Бесселя и Ганкеля). Заметим, что

$\begin{equation} \boldsymbol S_+(\zeta) = \boldsymbol S_-(\zeta)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \ -1 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation} \tag{6.5}$

так как для главной ветви функции

$\zeta^{1/4}$ выполняется соотношение

$\zeta_+^{1/4}=\mathrm i\zeta^{1/4}_-$ .

6.6.2. Конформное отображение

Здесь мы определим конформное отображение области $U_a$ в плоскость переменного $\zeta$ . Положим

$\begin{equation} \zeta_a(z) := \biggl(\frac14 \log\frac{z}{\varphi^2(z)}\biggr)^2, \qquad z\in U_a, \end{equation} \tag{6.6}$

где функция

$\varphi$ задана в (2.6). Из (2.7) следует, что функция

$\zeta_a$ голоморфно продолжается через

$F_a$ . Также из явного представления для

$\varphi$ следует, что

$\zeta_a$ обращается в нуль в точке

$a$ . Более того, поскольку

$\begin{equation*} \frac z{\varphi^2(z)} = 1 - \frac{2w(z)}{z+b+w(z)}, \end{equation*} \notag$

этот нуль в точке

$a$ обязательно простой. Заметим также, что

$|\varphi_+|=|\varphi_-|$ на

$[a^{-1},a]$ , и поэтому

$|s/\varphi_\pm^2(s)| \equiv 1$ на этом отрезке в соответствии с (2.7). Таким образом, функция

$\zeta_a$ отображает

$F_a$ во множество отрицательных вещественных чисел. Также несложно проверить, что оставшиеся вещественные числа в

$U_a$ отображаются функцией

$\zeta_a$ в положительные вещественные числа. Положим

$\begin{equation*} U_a^\pm := U_a \cap \begin{cases} \{\pm\operatorname{Im}(z)>0\}, & a<0, \\ \{\mp\operatorname{Im}(z)>0\}, & a>0. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Из предыдущего обсуждения понятно, что

$\zeta_a(U_a^\pm) \subset \{\pm\operatorname{Im}(z)>0\}$ . Пусть

$\Gamma_0^\pm : = \Gamma_0\cap U_a^\pm$ . Заметим, что в соответствии с выбранной ориентацией кривой

$\Gamma_0$ дуга

$\Gamma_0^+$ ориентирована по направлению к

$a$ , а дуга

$\Gamma_0^-$ ориентирована по направлению от

$a$ . Поскольку мы имели некоторую свободу в выборе кривой

$\Gamma_0$ , выберем ее так, что

$\zeta_a(\Gamma_0^\pm) \subset I_\pm$ .

Наконец, в дальнейшем мы будем понимать под $\zeta_a^{1/2}$ ветвь, задаваемую выражением в скобках в (6.6) со скачком вдоль $F_a$ . В частности, тогда

$\begin{equation} \exp\bigl\{2n\zeta_a^{1/2}(z)\sigma_3\bigr\} = z^{-n\sigma_3/2}\boldsymbol D(z), \end{equation} \tag{6.7}$

где матрица

$\boldsymbol D$ была определена в (6.3). Аналогично будем обозначать через

$\zeta_a^{1/4}$ ветвь, которая отображает

$U_a$ в сектор

$|\arg(z)|<\pi/4$ . Например, на

$F_a$ выполняется равенство

$\zeta_{a+}^{1/4} = \mathrm i \zeta_{a-}^{1/4}$ .

6.6.3. Матрица $\boldsymbol P_a$

При условиях, наложенных на функции класса $\mathcal W_1$ , верно, что

$\begin{equation*} \rho(z)=\frac{h_*(z)}{w(z)} \begin{cases} (a-z)^{\alpha+1/2}, & a<0, \\ (z-a)^{\alpha+1/2}, & a>0, \end{cases} \qquad z\in U_a\setminus[-1,1], \end{equation*} \notag$

где функция

$h_*$ голоморфна и не обращается в нуль в

$U_a$ ,

$\alpha>-1$ , а для степеней, содержащих

$\alpha$ , выбираются главные значения. Напомним также, что

$\rho$ на

$F_a$ определяется как предельное значение на

$F_a$ функции

$\rho_{|U_a^+}$ . Приведенную выше формулу для

$\rho$ можно эквивалентным образом переписать в виде

$\begin{equation*} \rho(z) = \pm\rho_*(z) \begin{cases} (a-z)^{\alpha/2}, & a<0, \\ (z-a)^{\alpha/2}, & a>0, \end{cases} \qquad z\in U_a^\pm, \end{equation*} \notag$

где функция

$\rho_*$ голоморфна и не обращается в нуль в

$U_a$ . Положим

$\begin{equation*} r_a(z) := \sqrt{\rho_*(z)} \begin{cases} (z-a)^{\alpha/2}, & a<0, \\ (a-z)^{\alpha/2}, & a>0, \end{cases} \end{equation*} \notag$

где опять выбираются главные ветви степенных функций. Тогда

$r_a$ – голоморфная и не обращающаяся в нуль функция в

$U_a\setminus F_a$ , для которой выполняются соотношения

$\begin{equation*} \begin{cases} r_{a+}(s)r_{a-}(s) = \rho(s), & s\in F_a^\circ\cap U_a, \\ r_a^2(z) = \rho(z)e^{\pi\mathrm i\alpha}, & z\in\Gamma_0^+, \\ r_a^2(z) = -\rho(z)e^{-\pi\mathrm i\alpha}, & z\in\Gamma_0^-. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Из приведенных выше соотношений и

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol \Psi_\alpha}$ (a, b, c) следует, что функция

$\begin{equation} \boldsymbol P_a(z) := \boldsymbol E_a(z) \boldsymbol\Psi_\alpha\bigl(n^2\zeta_a(z)\bigr) z^{n\sigma_3/2}r_a^{-\sigma_3}(z) \end{equation} \tag{6.8}$

удовлетворяет

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ (a, b, c), если

$\boldsymbol E_a$ – произвольная голоморфная матричнозначная функция (отметим, что ориентация дуги

$\zeta_a(\Gamma_0^-)$ противоположна ориентации луча

$I_-$ ). Далее, из

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ (b), (2.7) и (6.5) вытекает, что функция

$\begin{equation} \boldsymbol E_a(z) := (\boldsymbol{MD}^{-1})(z)r_a^{\sigma_3}(z)\boldsymbol S^{-1}(n^2\zeta_a(z)) \end{equation} \tag{6.9}$

голоморфна в

$U_a\setminus\{a\}$ . Так как

$|r_a(z)|\sim|z-a|^{\alpha/2}$ ,

$\boldsymbol S^{-1}(n^2\zeta_a(z))\sim |z-a|^{\sigma_3/4}$ и

$\begin{equation*} \boldsymbol M(z) = \begin{pmatrix} |z-a|^{-\alpha/2-1/4} & |z-a|^{\alpha/2-1/4}\\ |z-a|^{-\alpha/2-1/4} & |z-a|^{\alpha/2-1/4} \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

функция

$\boldsymbol E_a$ действительно голоморфна в

$U_a$ . Наконец, условие

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ (d) следует из (6.7) и

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol \Psi_\alpha}$ (d).

§ 7. Доказательство теоремы 2.3 при $\rho\in\mathcal W_1$

Как обычно, результаты пп. 4.1, 4.2 буквально переносятся на данный случай, если заменить условие $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (c) на (6.1).

7.1. Раскрытие линз

Мы выбираем кривые $\Gamma_0$ и $\Gamma_\infty$ так же, как в п. 4.3, однако требуем, чтобы $\Gamma_0$ имела с $F$ общую точку $a$ , а $\Gamma_\infty$ имела с $F$ общую точку $a^{-1}$ (рис. 4).

Рис. 4.Множество $F$ (штриховые дуги), дуги $\Gamma_v$ , $\Gamma_{v,-1}$ (помечены) и $\Gamma_{v,1}$ (не помечена, расположена симметрично $\Gamma_{v,-1}$ ) и области $\Omega_{\infty,1}$ , $\Omega_{0,1}$ , $\Omega_{v,1}$ (помечены) и $\Omega_{\infty,-1}$ , $\Omega_{0,-1}$ , $\Omega_{v,-1}$ (не помечены, расположены симметрично помеченным) вблизи точек $v\in\{b,b^{-1}\}$ : (a) $v=b$ ; (b) $v= b^{-1}$ . Символы $\oplus$ и $\ominus$ показывают, является ли соответствующая область частью $\Omega_+$ или $\Omega_-$ .

Более того, мы также выбираем открытые ориентированные дуги $\Gamma_{v,1}$ , $\Gamma_{v,-1}$ , $\Gamma_v$ , соединяющие $v$ с $\Gamma_0\cup\Gamma_\infty$ , $v\in\{b,b^{-1}\}$ , как показано на рис. 4. Кроме внутренней области $\Gamma_0$ и внешней области $\Gamma_\infty$ , объединение выбранных дуг, которое мы назовем $\Gamma$ , вместе с $F$ ограничивает восемь областей, которые мы помечаем, как на рис. 4. Заметим, что $\rho$ имеет голоморфные и не обращающиеся в нуль продолжения в каждую из этих восьми областей (если нужно, мы можем для этого выбрать дуги $\Gamma_0$ и $\Gamma_\infty$ ближе к $F$ ). Мы предполагаем, что все введенные дуги гладкие. Положим

$\begin{equation} \boldsymbol X(z) := \boldsymbol Y(z) \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \pm z^n/\rho(z) & 1 \end{pmatrix}, & z\in\Omega_\pm, \\ \boldsymbol I & \text{в противном случае}, \end{cases} \end{equation} \tag{7.1}$

где

$\Omega_+ := \Omega_{\infty,1}\cup\Omega_{\infty,-1}\cup\Omega_{b,-1}\cup\Omega_{b^{-1},1}$ и

$\Omega_- := \Omega_{0,1}\cup\Omega_{0,-1}\cup\Omega_{b,1}\cup\Omega_{b^{-1},-1}$ .

Тогда задачу Римана–Гильберта для $\boldsymbol X$ можно поставить следующим образом:

(a) $\boldsymbol X$ голоморфна в ${\mathbb{C}}\setminus (F\cup\Gamma)$ и $\lim_{z\to\infty} {\boldsymbol X}(z)z^{-n\sigma_3} = \boldsymbol I$ ;
(b) $\boldsymbol X$ имеет непрерывные предельные значения в точках гладкости $F\cup\Gamma$ , которые удовлетворяют соотношению
$\begin{equation*} \boldsymbol X_+(s) =\boldsymbol X_-(s)\begin{pmatrix} 0 & \rho(s)/s^n \\ -s^n/\rho(s) & 0 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$
при $s\in F^\circ$ , а также
$\begin{equation*} \boldsymbol X_+(s) =\boldsymbol X_-(s) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \pm s^n/\rho(s) & 1 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$
при $s\in(\Gamma_0\cup\Gamma_\infty)\,{\setminus}\,\{a,a^{-1}\}$ , где знак минус следует выбирать для части $\Gamma_0$ , ограничивающей $\Omega_{b,-1}$ , и для части $\Gamma_\infty$ , ограничивающей $\Omega_{b^{-1},-1}$ , и
$\begin{equation*} \boldsymbol X_+(s) = \boldsymbol X_-(s) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ s^nR(s) & 1 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$
при $s\in \bigcup_{v\in\{b,b^{-1}\}}(\Gamma_v \cup \Gamma_{v,1} \cup \Gamma_{v,-1})$ , где мы положили $\rho_e:=\rho_{|F_e}$ для $e\in\{a,a^{-1},1,-1\}$ и
$\begin{equation*} R(s) := \begin{cases} -\dfrac{\rho_{a^{\pm1}}(s)}{(\rho_1\rho_{-1})(s)}, & s\in\Gamma_{b^{\pm1}}, \\ \dfrac{\rho_1(s)}{(\rho_{-1}\rho_{a^{\pm1}})(s)}, & s\in\Gamma_{b^{\pm1},-1}, \\ \dfrac{\rho_{-1}(s)}{(\rho_{a^{\pm1}}\rho_1)(s)}, & s\in\Gamma_{b^{\pm1},1}; \end{cases} \end{equation*} \notag$
(c) $\boldsymbol X$ удовлетворяет соотношению $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Y$ (c) всюду, кроме пересечения окрестности точки $a$ с $\Omega_{b,1}\cup\Omega_{b,-1}$ , где она ведет себя в соответствии с (6.2).

При описанных выше изменениях лемма 4.2 выполняется с заменой (4.7) на (7.1).

7.2. Модельная и локальная задачи Римана–Гильберта

Модельная задача Римана–Гильберта $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ формулируется и решается в точности так же, как в случае $\rho\in\mathcal W_2$ для $n\in \mathbb{N}_\varepsilon$ .

Рис. 5.Открытые множества $U_e$ для $e\in E$ .

Пусть теперь $U_e$ – открытое множество, содержащее $e\in E$ . В случае $U_{b^{\pm1}}$ мы будем предполагать, что эти множества не пересекают множество $\Gamma_0\,{\cup}\,\Gamma_\infty$ и полностью содержат $\Gamma_{b^{\pm1}},\Gamma_{b^{\pm1},1}$ и $\Gamma_{b^{\pm1},-1}$ (рис. 5). Положим $\boldsymbol D(z) := \Phi(\boldsymbol z)^{n\sigma_3}$ , $\boldsymbol z\in D_{\mathcal Q}$ , где $\Phi$ задается формулой (3.3), а открытое множество $D_{\mathcal Q}$ было определено перед формулировкой теоремы 2.4. Как и в п. 6.3, нам понадобится решить задачу $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ для всех $e\in E$ . Как и в п. 6.3, мы отложим построение матричнозначных функций, решающих эту задачу, до конца этого параграфа.

7.3. Задача Римана–Гильберта с малыми скачками

Пусть

$\begin{equation*} \Sigma = \bigcup_{e\in E} \partial U_e \cup \biggl[( \Gamma_0\cup \Gamma_\infty)\setminus\bigcup_{e\in E} \overline U_e \biggr]. \end{equation*} \notag$

Задачу Римана–Гильберта $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Z$ теперь нужно формулировать следующим образом:

(a) $\boldsymbol{Z}$ – голоморфная матричнозначная функция в $\overline{\mathbb{C}}\setminus\Sigma$ и $\boldsymbol{Z}(\infty)=\boldsymbol{I}$ ;
(b) $\boldsymbol{Z}$ имеет непрерывные предельные значения на $(\Gamma_0\cup \Gamma_\infty)\setminus\bigcup_{e\in E} \overline U_e$ , которые удовлетворяют соотношению
$\begin{equation*} \boldsymbol Z_+(s) = \boldsymbol Z_- (s)\boldsymbol M(s) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \pm s^n/\rho(s) & 1 \end{pmatrix} \boldsymbol M^{-1}(s), \end{equation*} \notag$
где знак плюс или минус выбирается так же, как во втором соотношении в $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol X$ (b); кроме того,
$\begin{equation*} \boldsymbol Z_+(s) = \boldsymbol Z_- (s)(\boldsymbol P_e \boldsymbol M^{-1})(s) \end{equation*} \notag$
на $\partial U_e$ для всех $e\in E$ .

Тогда имеет место следующая лемма.

Лемма 7.1. Для достаточно больших $n\in\mathbb{N}_\varepsilon$ решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol Z$ существует и удовлетворяет условию $\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{I}\,{+}\, \mathcal O( 1/n)$ , где $\mathcal O(\cdot)$ равномерно на $\overline{\mathbb{C}}$ и зависит от $\varepsilon$ .

Доказательство. Доказательство того, что скачок

$\boldsymbol Z$ экспоненциально мал на

$(\Gamma_0\cup \Gamma_\infty)\setminus\bigcup_{e\in E} \overline U_e$ , такое же, как в случае

$\rho\in\mathcal W_2$ . Далее,

$\begin{equation*} \boldsymbol P_e \boldsymbol M^{-1} = \boldsymbol I + \boldsymbol{MD}^{-1}\mathcal O\biggl(\frac1n\biggr)\boldsymbol{DM}^{-1} \end{equation*} \notag$

на

$\partial U_e$ . Из (2.24), (2.25), (3.16) и равенства

$\Phi(\boldsymbol z)\Phi(\boldsymbol z^*)=z$ (см. лемму 3.1) следует, что первая строка матрицы

$\boldsymbol{MD}^{-1}$ равна

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} (A_{n\tau+m_n}S_h\Theta_n)(\boldsymbol z) & \pm (A_{n\tau+m_n}S_h\Theta_n)(\boldsymbol z^*) \end{pmatrix} , \qquad \boldsymbol z\in D_{\mathcal Q}. \end{equation*} \notag$

В процессе доказательства теоремы 2.4 было показано, что эти функции имеют модули, равномерно ограниченные сверху на компактных подмножествах

${\mathbb{C}}$ . Подобным же образом можно показать, что то же самое верно и для второй строки матрицы

$\boldsymbol{MD}^{-1}$ . Поскольку

$\begin{equation*} \det(\boldsymbol{MD}^{-1}) = \det(\boldsymbol M) = (\gamma_n\gamma_{n-1}^\star)^{-1} \end{equation*} \notag$

и константы

$|\gamma_n\gamma_{n-1}^\star|$ равномерно ограничены сверху для

$n\in\mathbb{N}_\varepsilon$ , мы получаем, что скачок

$\boldsymbol Z$ имеет вид

$\boldsymbol I + \mathcal O(1/n)$ на

$\partial U_e$ для каждого

$e\in E$ . Теперь утверждение леммы выводится так же, как в случае

$\rho\in\mathcal W_2$ . Лемма доказана.

7.4. Асимптотика

Формулы (2.26) теперь выводятся так же, как в случае $\rho\in\mathcal W_2$ .

7.5. Решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ для $e\in\{a,a^{-1}\}$

Как и в п. 6.6, мы построим только матрицу $\boldsymbol P_a$ . Построение опять основано на матричнозначной функции $\boldsymbol\Psi_\alpha$ , решающей задачу $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol \Psi_\alpha}$ . Мы опять начинаем с того, что определяем специальное конформное отображение в окрестности точки $a$ .

7.5.1. Конформное отображение

Используя те же обозначения, что и в п. 3.1, положим

$\begin{equation} \zeta_a(z) := \biggl(-\int_a^z\frac{v(s)}{4s}\,\mathrm d s\biggr)^2, \qquad z\in U_a. \end{equation} \tag{7.2}$

Поскольку

$v_+=-v_-$ на

$F_a^\circ$ , функция

$\zeta_a$ голоморфна в

$U_a$ . Более того, поскольку

$v$ имеет особенность типа квадратного корня в точке

$a$ , функция

$\zeta_a$ имеет в точке

$a$ простой нуль. Таким образом, можно выбрать

$U_a$ столь малым, чтобы

$\zeta_a$ была конформна в

$\overline U_a$ . Напомним, что дифференциал

$v(s)\,\mathrm d s/s$ чисто мнимый на

$F_a^\circ$ (см. последнюю часть доказательства леммы 3.1). Поэтому

$\zeta_a$ отображает точки

$F_a$ в отрицательные вещественные числа. Поскольку мы имели некоторую свободу в выборе кривой

$\Gamma_0$ , теперь мы выберем эту кривую в

$U_a$ так, чтобы часть

$\Gamma_0$ , ограничивающая

$\Omega_{b,1}$ (скажем,

$\Gamma_0^+$ ), отображалась в

$I_+$ , а часть, ограничивающая

$\Omega_{b,-1}$ (скажем,

$\Gamma_0^-$ ), отображалась в

$I_-$ . Отметим, что ориентация дуги

$\zeta_a(\Gamma_0^-)$ противоположна ориентации луча

$I_-$ .

В дальнейшем под $\zeta_a^{1/2}$ мы будем понимать ветвь, задаваемую выражением в скобках в (7.2). Уравнения (3.1) и (3.3) показывают, что

$\begin{equation*} \zeta_a(z) = \biggl(\frac14\log\frac{\Phi(z^{(0)})}{\Phi(z^{(1)})}\biggr)^2, \qquad z\in U_a. \end{equation*} \notag$

Так как

$\Phi(\boldsymbol z)\Phi(\boldsymbol z^*)\equiv z$ , соотношение (6.7) остается справедливым для

$\zeta_a$ , как и выше, и

$\boldsymbol D(z)=\Phi(\boldsymbol z)^{n\sigma_3}$ ,

$\boldsymbol z\in D_\mathcal{Q}$ . Наконец, как и в случае вещественного

$a$ , на дуге

$F_a$ выполняется равенство

$\zeta_{a+}^{1/4} = \mathrm i \zeta_{a-}^{1/4}$ .

7.5.2. Матрица $\boldsymbol P_a$

Пусть $J_a$ – такая дуга в $U_a$ , выходящая из $a$ , что $\zeta_a(J_a)\,{\subset} [0,\infty)$ . В силу условий, наложенных на функции класса $\mathcal W_1$ , выполняется равенство

$\begin{equation*} \rho(z)=\rho_*(z)(z-a)^\alpha, \end{equation*} \notag$

где

$\rho_*$ – функция, голоморфная и не обращающаяся в нуль в

$U_a$ , а

$(z-a)^\alpha$ обозначает ветвь, голоморфную в

$U_a\setminus J_a$ . Пусть

$U_a^\pm$ – связные компоненты множества

$U_a\setminus(F_a\cup J_a)$ , содержащие

$\Gamma_0^\pm$ . Определим функцию

$\begin{equation*} r_a(z) := \sqrt{\rho_*(z)}(a-z)^{\alpha/2}, \end{equation*} \notag$

где ветвь

$(a-z)^{\alpha/2}$ голоморфна в

$U_a\setminus F_a$ и выбрана так, что верно равенство

$\begin{equation*} (a-z)^\alpha = e^{\pm\pi\mathrm i\alpha}(z-a)^\alpha, \qquad z\in U_a^\pm. \end{equation*} \notag$

Тогда функция

$r_a$ голоморфна и не обращается в нуль в

$U_a\setminus F_a$ , и для нее выполняются соотношения

$\begin{equation*} \begin{cases} r_{a+}(s)r_{a-}(s) = \rho(s), & s\in F_a\cap U_a, \\ r_a^2(z) = \rho(z)e^{\pm\pi\mathrm i\alpha}, & z\in\Gamma_0^\pm. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Теперь несложно проверить, что решение задачи

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ при

$e=a$ задается формулами (6.8), (6.9).

7.6. Решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ для $e\in\{b,b^{-1}\}$

Мы построим только матрицу $\boldsymbol P_{b^{-1}}$ , поскольку построение $\boldsymbol P_b$ полностью аналогично.

7.6.1. Модельная задача

Напомним, что мы ввели обозначения (6.4). Пусть $\boldsymbol\Psi$ – такая матричнозначная функция, что:

(a) $\boldsymbol\Psi$ голоморфна в ${\mathbb{C}}\setminus(I_+\cup I_-\cup(-\infty,\infty))$ ;
(b) $\boldsymbol\Psi$ имеет непрерывные предельные значения на $I_+\cup I_-\cup(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ , которые удовлетворяют соотношениям
$\begin{equation*} \boldsymbol\Psi_+ = \boldsymbol\Psi_- \begin{cases} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & \text{на } \ (-\infty,0), \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & \text{на } \ I_\pm, \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & \text{на } \ (0,\infty); \end{cases} \end{equation*} \notag$
(c) $\boldsymbol\Psi(\zeta)=\mathcal O(1)$ при $\zeta\to0$ ;
(d) $\boldsymbol\Psi$ имеет следующее поведение вблизи точки $\infty$ :
$\begin{equation*} \boldsymbol\Psi(\zeta) = \boldsymbol S(\zeta) \bigl(\boldsymbol I+\mathcal{O}(\zeta^{-3/2})\bigr) \exp\biggl\{-\frac23\zeta^{3/2}\sigma_3\biggr\} \end{equation*} \notag$
равномерно в ${\mathbb{C}}\setminus(I_+\cup I_-\cup(-\infty,\infty))$ , где функция $\boldsymbol S(\zeta)$ была определена в $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol \Psi_\alpha}$ (d).

Такая матричнозначная функция была построена в [8] с помощью функций Эйри.

7.6.2. Конформное отображение

Используя те же обозначения, что и в п. 3.1, положим

$\begin{equation} \zeta_{b^{-1}}(z) := \biggl(-\frac34\int_{b^{-1}}^z\frac{v(s)}{s}\,\mathrm d s\biggr)^{2/3}, \qquad z\in U_{b^{-1}}. \end{equation} \tag{7.3}$

Поскольку

$v_+=-v_-$ на

$F_{a^{-1}}^\circ$ , функция

$\zeta_{b^{-1}}^3$ голоморфна в

$U_{b^{-1}}$ . Более того, поскольку

$v$ стремится к нулю при

$z\to b^{-1}$ как квадратный корень, функция

$\zeta_{b^{-1}}^3$ имеет нуль третьего порядка в

$b^{-1}$ , и поэтому

$\zeta_{b^{-1}}$ голоморфна в

$U_{b^{-1}}$ . Размер окрестности

$U_{b^{-1}}$ можно подобрать так, чтобы функция

$\zeta_{b^{-1}}$ была конформна в

$U_{b^{-1}}$ . Напомним, что дифференциал

$v(s)\,\mathrm d s/s$ на

$F$ чисто мнимый. Таким образом, мы можем выбрать такую ветвь выражения (7.3), что

$\begin{equation*} \zeta_{b^{-1}}(F_{a^{-1}}\cap U_{b^{-1}}) \subset (-\infty,0]. \end{equation*} \notag$

Более того, мы можем подобрать систему дуг

$\Gamma$ так, что

$\begin{equation*} \zeta_{b^{-1}}(\Gamma_{b^{-1},-1})\subset I_+, \qquad \zeta_{b^{-1}}(\Gamma_{b^{-1},1})\subset I_-, \qquad \zeta_{b^{-1}}(\Gamma_{b^{-1}})\subset (0,\infty). \end{equation*} \notag$

Далее мы понимаем под

$\zeta_{b^{-1}}^{3/2}$ ветвь, задаваемую выражением в скобках в (7.3), и выбираем ветвь

$\zeta_{b^{-1}}^{1/4}$ со скачком вдоль

$F_{a^{-1}}$ , для которой

$\zeta_{b^{-1}+}^{1/4}=\mathrm i \zeta_{b^{-1}-}^{1/4}$ .

Пусть точка $z\in U_{b^{-1}}\setminus (F_{a^{-1}}\cup F_1)$ принадлежит компоненте, содержащей $F_{-1}$ , скажем, $U_{b^{-1}}^1$ (см. рис. 4 и 5). Пусть $\gamma$ – путь из $a$ в $b^{-1}$ , а $\gamma_z$ – путь из $b^{-1}$ в $z$ , которые полностью лежат в $U_{b^{-1}}^1$ . Как обычно, обозначим через $B^{(i)}$ поднятие множества $B$ на $\boldsymbol{\mathfrak{R}}^{(i)}$ . Тогда пути

$\begin{equation} \gamma^{(0)}\cup\gamma_z^{(0)}, \qquad \gamma^{(0)}\cup\boldsymbol\alpha\cup\boldsymbol\beta\cup\gamma_z^{(1)} \end{equation} \tag{7.4}$

идут соответственно из

$\boldsymbol a$ в

$z^{(0)}$ и в

$z^{(1)}$ и лежат в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}$ (формально циклы

$\boldsymbol\alpha$ ,

$\boldsymbol\beta$ в (7.4) нужно деформировать в гомологичные им циклы в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}$ ). Тогда, используя пути (7.4) в формуле (3.3) и вспоминая определение (3.2), мы получим

$\begin{equation*} \frac{\Phi(z^{(0)})}{\Phi(z^{(1)})} = \exp\biggl\{2\pi\mathrm i(\omega-\tau)+\frac43\zeta_{b^{-1}}^{3/2}(z)\biggr\}. \end{equation*} \notag$

Пусть теперь точка

$z \in U_{b^{-1}}\setminus (F_{a^{-1}}\cup F_1)$ принадлежит компоненте, не содержащей

$F_{-1}$ , скажем

$U_{b^{-1}}^2$ . Выберем путь

$\gamma_z$ , лежащий в этой компоненте. Тогда пути

$\begin{equation} \gamma^{(0)}\cup\gamma_z^{(0)}, \qquad \gamma^{(0)}\cup\boldsymbol\alpha\cup-\boldsymbol\beta\cup\gamma_z^{(1)} \end{equation} \tag{7.5}$

соединяют

$\boldsymbol a$ с

$z^{(0)}$ и

$z^{(1)}$ соответственно и лежат в

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}$ (с той же оговоркой, что и ранее). Таким образом, из (7.5), (3.3) и (3.2) следует, что

$\begin{equation*} \frac{\Phi(z^{(0)})}{\Phi(z^{(1)})} = \exp\biggl\{-2\pi\mathrm i(\omega+\tau)+\frac43\zeta_{b^{-1}}^{3/2}(z)\biggr\}. \end{equation*} \notag$

В итоге мы получаем, что

$\begin{equation} \exp\biggl\{-\frac23n\zeta_{b^{-1}}^{3/2}(z)\biggr\} = (\boldsymbol{KJD})(z)z^{-n\sigma_3/2}\boldsymbol J^{-1}(z), \end{equation} \tag{7.6}$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \boldsymbol J(z) = \begin{cases} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, & z\in D_0\cap U_{b^{-1}}, \\ \boldsymbol I & \text{в противном случае}, \end{cases} \\ \boldsymbol K(z) := \begin{cases} e^{\pi\mathrm i(\omega-\tau)n\sigma_3}, & z\in U_{b^{-1}}^1, \\ e^{-\pi\mathrm i(\omega+\tau)n\sigma_3}, & z\in U_{b^{-1}}^2. \end{cases} \end{gathered} \end{equation*} \notag$

7.6.3. Матрица $\boldsymbol P_{b^{-1}}$

Положим

$\begin{equation*} r_{b^{-1}}(z) := \begin{cases} \biggl(\dfrac{(\rho_1\rho_{a^{-1}})(z)}{\rho_{-1}(z)}\biggr)^{1/2}, & z\in U_{b^{-1}}^2, \\ \biggl(\dfrac{(\rho_1\rho_{-1})(z)}{\rho_{a^{-1}}(z)}\biggr)^{1/2}, & z\in D_0 \cap U_{b^{-1}}^1, \\ \biggl(\dfrac{(\rho_{a^{-1}}\rho_{-1})(z)}{\rho_1(z)}\biggr)^{1/2}, & z\in D_\infty \cap U_{b^{-1}}^1. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Тогда из свойств

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol \Psi}$ (a, b, c) следует, что матричнозначная функция

$\begin{equation*} \boldsymbol P_{b^{-1}}(z) := \boldsymbol E_{b^{-1}}(z)\boldsymbol \Psi(n^{2/3}\zeta_{b^{-1}}(z))\boldsymbol J(z)z^{n\sigma_3/2}r_{b^{-1}}^{-\sigma_3}(z) \end{equation*} \notag$

удовлетворяет условиям

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ (a, b, c) для

$e=b^{-1}$ , если

$\boldsymbol E_{b^{-1}}$ – произвольная голоморфная матричнозначная функция в

$U_{b^{-1}}$ . Таким образом, остается только выбрать матрицу

$\boldsymbol E_{b^{-1}}$ так, чтобы выполнялось условие

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ (d). Положим

$\begin{equation*} \boldsymbol E_{b^{-1}}(z) := \boldsymbol M(z) \boldsymbol D^{-1}(z)r_{b^{-1}}^{\sigma_3}(z)\boldsymbol J^{-1}(z)\boldsymbol K^{-1}(z) \boldsymbol S^{-1}(n^{2/3}\zeta_{b^{-1}}(z)). \end{equation*} \notag$

Напомним, что

$\boldsymbol D(z)=\Phi^{n\sigma_3}(\boldsymbol z)$ при

$\boldsymbol z\in D_{\mathcal Q}$ . Обозначим элемент матрицы

$\boldsymbol D(z)$ с индексом

$(1,1)$ через

$d(z)$ . Тогда

$\begin{equation} (d_-d_+)(s) = \begin{cases} \Phi^n(s^{(1)})\Phi^n(s^{(0)}), & s\in F_{-1}, \\ \Phi_+^n(s^{(1)})\Phi_+^n(s^{(0)}), & s\in F_1, \\ \Phi_+^n(\boldsymbol s)\Phi_+^n(\boldsymbol s^*), & s\in F_{a^{-1}}, \end{cases} = s^n \begin{cases} 1, & s\in F_{-1}, \\ e^{2\pi\mathrm i\omega n}, & s\in F_1, \\ e^{2\pi\mathrm i\tau n}, & s\in F_{a^{-1}}, \end{cases} \end{equation} \tag{7.7}$

в силу свойств

$\Phi(\boldsymbol z)\Phi(\boldsymbol z^*) = z$ и (3.4); здесь предельные значения

$d(z)$ берутся на дугах в комплексной плоскости, а предельные значения

$\Phi(\boldsymbol z)$ берутся на циклах на поверхности

$\boldsymbol{\mathfrak{R}}$ . Используя

$\mathrm{RHP}\text{-}\boldsymbol N$ (b), (6.5), (7.7) и явные определения для

$r_{b^{-1}}$ ,

$\boldsymbol J$ и

$\boldsymbol K$ , можно прямой проверкой выяснить, что функция

$\boldsymbol E_{b^{-1}}$ голоморфна в

$U_{b^{-1}}\setminus \{b^{-1}\}$ . Кроме того, из (2.22) и поведения функции

$\boldsymbol S$ в нуле следует, что

$\begin{equation*} \boldsymbol E_{b^{-1}}(z) = \begin{pmatrix} 1 & |z-b^{-1}|^{-1/2} \\ 1 & |z-b^{-1}|^{-1/2} \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Это показывает, что фактически эта функция голоморфна на всем открытом множестве

$U_{b^{-1}}$ . Соотношение

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ (d) следует из

$\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol \Psi}$ (d) и (7.6).



Список литературы

1.	A. I. Aptekarev, M. L. Yattselev, “Padé approximants for functions with branch points – strong asymptotics of Nuttall–Stahl polynomials”, Acta Math., 215:2 (2015), 217–280
2.	L. Baratchart, H. Stahl, M. Yattselev, “Weighted extremal domains and best rational approximation”, Adv. Math., 229:1 (2012), 357–407
3.	L. Baratchart, M. Yattselev, “Convergent interpolation to Cauchy integrals over analytic arcs”, Found. Comput. Math., 9:6 (2009), 675–715
4.	L. Baratchart, M. Yattselev, “Convergent interpolation to Cauchy integrals over analytic arcs with Jacobi-type weights”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2010:22 (2010), 4211–4275
5.	В. И. Буслаев, “О сходимости многоточечных аппроксимаций Паде кусочно аналитических функций”, Матем. сб., 204:2 (2013), 39–72 ; англ. пер.: V. I. Buslaev, “Convergence of multipoint Padé approximants of piecewise analytic functions”, Sb. Math., 204:2 (2013), 190–222
6.	В. И. Буслаев, “О сходимости $m$ -точечных аппроксимаций Паде набора многозначных аналитических функций”, Матем. сб., 206:2 (2015), 5–30 ; англ. пер.: V. I. Buslaev, “Convergence of $m$ -point Padé approximants of a tuple of multivalued analytic functions”, Sb. Math., 206:2 (2015), 175–200
7.	P. Deift, Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann–Hilbert approach, Courant Lect. Notes Math., 3, Courant Inst. Math. Sci., New York; Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, viii+273 pp.
8.	P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T.-R. McLaughlin, S. Venakides, X. Zhou, “Strong asymptotics of orthogonal polynomials with respect to exponential weights”, Comm. Pure Appl. Math., 52:12 (1999), 1491–1552
9.	P. Deift, X. Zhou, “A steepest descent method for oscillatory Riemann–Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation”, Ann. of Math. (2), 137:2 (1993), 295–368
10.	A. S. Fokas, A. R. Its, A. V. Kitaev, “Discrete Panlevé equations and their appearance in quantum gravity”, Comm. Math. Phys., 142:2 (1991), 313–344
11.	A. S. Fokas, A. R. Its, A. V. Kitaev, “The isomonodromy approach to matrix models in $2D$ quantum gravitaty”, Comm. Math. Phys., 147:2 (1992), 395–430
12.	Ф. Д. Гахов, Краевые задачи, 3-е изд., Наука, М., 1977, 640 с. ; англ. пер. 2-го изд.: F. D. Gakhov, Boundary value problems, Pergamon Press, Oxford–New York–Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, MA–London, 1966, xix+561 с.
13.	А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, “Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций”, Матем. сб., 134(176):3(11) (1987), 306–352 ; англ. пер.: A. A. Gonchar, E. A. Rakhmanov, “Equilibrium distributions and degree of rational approximation of analytic functions”, Math. USSR-Sb., 62:2 (1989), 305–348
14.	A. B. Kuijlaars, K. T.-R. McLaughlin, W. Van Assche, M. Vanlessen, “The Riemann–Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on $[-1,1]$ ”, Adv. Math., 188:2 (2004), 337–398
15.	G. López, “Szegő's theorem for polynomials orthogonal with respect to varying measures”, Orthogonal polynomials and their applications (Segovia, 1986), Lecture Notes in Math., 1329, Spinger, Berlin, 1988, 255–260
16.	E. A. Rakhmanov, “Orthogonal polynomials and $S$ -curves”, Recent advances in orthogonal polynomials, special functions, and their applications, Contemp. Math., 578, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, 195–239
17.	T. Ransford, Potential theory in the complex plane, London Math. Soc. Stud. Texts, 28, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, x+232 pp.
18.	H. Stahl, “Extremal domains associated with an analytic function. I”, Complex Variables Theory Appl., 4:4 (1985), 311–324
19.	H. Stahl, “Extremal domains associated with an analytic function. II”, Complex Variables Theory Appl., 4:4 (1985), 325–338
20.	H. Stahl, “The structure of extremal domains associated with an analytic function”, Complex Variables Theory Appl., 4:4 (1985), 339–354
21.	H. Stahl, “Orthogonal polynomials with complex-valued weight function. I”, Constr. Approx., 2:3 (1986), 225–240
22.	H. Stahl, “Orthogonal polynomials with complex-valued weight function. II”, Constr. Approx., 2:3 (1986), 241–251
23.	H. Stahl, “The convergence of Padé approximants to functions with branch points”, J. Approx. Theory, 91:2 (1997), 139–204
24.	H. Stahl, “Strong asymptotics for orthonormal polynomials with varying weights”, Acta Sci. Math. (Szeged), 66:1-2 (2000), 147–192
25.	M. L. Yattselev, “Symmetric contours and convergent interpolation”, J. Approx. Theory, 225 (2018), 76–105
26.	Э. И. Зверович, “Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях”, УМН, 26:1(157) (1971), 113–179 ; англ. пер.: È. I. Zverovich, “Boundary value problems in the theory of analytic functions in Hölder classes on Riemann surfaces”, Russian Math. Surveys, 26:1 (1971), 117–192

Образец цитирования: М. Л. Ятцелев, “Сходимость двухточечных аппроксимаций Паде к кусочно голоморфным функциям”, Матем. сб., 212:11 (2021), 128–164; M. L. Yattselev, “Convergence of two-point Padé approximants to piecewise holomorphic functions”, Sb. Math., 212:11 (2021), 1626–1659

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Yat21}

\by М.~Л.~Ятцелев

\paper Сходимость двухточечных аппроксимаций Паде к кусочно голоморфным функциям

\jour Матем. сб.

\yr 2021

\vol 212

\issue 11

\pages 128--164

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9024}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9024}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1501.30013}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212.1626Y}

\transl

\by M.~L.~Yattselev

\paper Convergence of two-point Pad\'e approximants to piecewise holomorphic functions

\jour Sb. Math.

\yr 2021

\vol 212

\issue 11

\pages 1626--1659

\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9024}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000745284300001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85121368019}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9024

https://doi.org/10.4213/sm9024

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i11/p128

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

С. П. Суетин, “Прямое доказательство теоремы Шталя для некоторого класса алгебраических функций”, Матем. сб., 213:11 (2022), 102–117 ; S. P. Suetin, “A direct proof of Stahl's theorem for a generic class of algebraic functions”, Sb. Math., 213:11 (2022), 1582–1596

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	349
PDF русской версии:	55
PDF английской версии:	33
HTML русской версии:	137
Список литературы:	51
Первая страница:	11

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

§ 1. Введение

§ 2. Основные результаты

2.1. Асимптотика аппроксимаций: a\in(-1,0)\cup(0,1)a\in(-1,0)\cup(0,1)

2.2. Асимптотика аппроксимаций: a\in\mathbb{D}\setminus(-1,1)a\in\mathbb{D}\setminus(-1,1)

Благодарность

§ 3. Доказательства теорем 2.2, 2.4 и предложения 2.1

3.1. Дифференциал Наттолла

3.2. Голоморфные дифференциалы

3.3. Дифференциалы Коши

3.4. Задача обращения Якоби

3.5. Тета-функция Римана

3.6. Доказательство теоремы 2.2 и предложения 2.1

3.7. Доказательство теоремы 2.4

§ 4. Доказательство теоремы 2.1 в случае \rho\in\mathcal W_2\rho\in\mathcal W_2

4.1. Ортогональность

4.2. Начальная задача Римана–Гильберта

4.3. Раскрытие линз

4.4. Модельная задача Римана–Гильберта

4.5. Задача Римана–Гильберта с малыми скачками

4.6. Асимптотика

§ 5. Доказательство теоремы 2.3 при \rho\in\mathcal W_2\rho\in\mathcal W_2

§ 6. Доказательство теоремы 2.1 при \rho\in\mathcal W_1\rho\in\mathcal W_1

6.1. Начальная задача Римана–Гильберта

6.2. Раскрытие линз

6.3. Модельная и локальная задачи Римана–Гильберта

6.4. Задача Римана–Гильберта с малыми скачками

6.5. Асимптотика

6.6. Решение задачи \mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e, e\in\{a,a^{-1}\}e\in\{a,a^{-1}\}

6.6.1. Модельная задача

6.6.2. Конформное отображение

6.6.3. Матрица \boldsymbol P_a\boldsymbol P_a

§ 7. Доказательство теоремы 2.3 при \rho\in\mathcal W_1\rho\in\mathcal W_1

7.1. Раскрытие линз

7.2. Модельная и локальная задачи Римана–Гильберта

7.3. Задача Римана–Гильберта с малыми скачками

7.4. Асимптотика

7.5. Решение задачи \mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e для e\in\{a,a^{-1}\}e\in\{a,a^{-1}\}

7.5.1. Конформное отображение

7.5.2. Матрица \boldsymbol P_a\boldsymbol P_a

7.6. Решение задачи \mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e для e\in\{b,b^{-1}\}e\in\{b,b^{-1}\}

7.6.1. Модельная задача

7.6.2. Конформное отображение

7.6.3. Матрица \boldsymbol P_{b^{-1}}\boldsymbol P_{b^{-1}}

Список литературы

2.1. Асимптотика аппроксимаций: $a\in(-1,0)\cup(0,1)$

2.2. Асимптотика аппроксимаций: $a\in\mathbb{D}\setminus(-1,1)$

§ 4. Доказательство теоремы 2.1 в случае $\rho\in\mathcal W_2$

§ 5. Доказательство теоремы 2.3 при $\rho\in\mathcal W_2$

§ 6. Доказательство теоремы 2.1 при $\rho\in\mathcal W_1$

6.6. Решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ , $e\in\{a,a^{-1}\}$

6.6.3. Матрица $\boldsymbol P_a$

§ 7. Доказательство теоремы 2.3 при $\rho\in\mathcal W_1$

7.5. Решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ для $e\in\{a,a^{-1}\}$

7.5.2. Матрица $\boldsymbol P_a$

7.6. Решение задачи $\mathrm{RHP}\text{-}{\boldsymbol P}_e$ для $e\in\{b,b^{-1}\}$

7.6.3. Матрица $\boldsymbol P_{b^{-1}}$