| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Глобальная ограниченность функций конечного порядка, ограниченных вне малых множеств Б. Н. Хабибуллин Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9502 
Реферативные базы данных:
    § 1. Введение1.1. Предшествующие результатыВсюду в статье N:={1,2,…} – множество натуральных чисел, R и C – соответственно поля вещественных и комплексных чисел, а R+:={x∈R:x⩾0} – положительный луч на R. Для чисел m,n∈N векторные пространства Rm над R и Cn над C рассматриваются как евклидовы пространства с евклидовой нормой-модулем |⋅|. При необходимости и возможности пространство Cn отождествляется с R2n разбиением на пару вещественных координат каждой комплексной координаты. Исходный мотивирующий классический результат – это Теорема Лиувилля (см. [1]–[4]). Из ограниченности сверху выпуклой или гармонической функции на Rm, а также целой или плюрисубгармонической функции на Cn следует, что эта функция постоянна. При условии ограниченности сверху целой функции одной комплексной переменной вне асимптотически малых по площади множеств в 2018 г. была установлена и нашла полезные применения следующая теорема. Теорема 1 (см. [5; лемма 4.2], [6; лемма 4.2], [7; лемма 2.1], [8; теорема 2.1]). Если целая функция конечного порядка на C ограничена вне E⊂C, а площади пересечений E с кругами радиуса r∈R+ с центром в нуле определены и являются величиной порядка o(r2) при r→+∞, то она постоянная. На самом деле в указанных в ссылках к теореме 1 утверждениях условия на исключительное множество E могут быть и несколько бо́льших размеров, чем в теореме 1. “Быстрое” краткое доказательство теоремы 1 изложено в [9]. В [10] и [11] теорема 1 перенесена на функции многих переменных. Теорема 2 (см. [10; теорема 1], [11; теорема 1]). Если плюрисубгармоническая или целая функция конечного порядка на Cn ограничена сверху вне E⊂Cn, а объемы пересечений E⊂Cn с шарами радиуса r∈R+ с центром в нуле определены и являются величиной порядка o(r2n) при r→+∞, то она постоянная. В условиях основных результатов настоящей статьи ограничения на рост функции даются на расширяющихся последовательностях окружностей или сфер вне асимптотически малых множеств на этих окружностях или сферах при стремлении их радиусов к бесконечности. Более того, методы настоящей работы дают подобные результаты и для плюрисубгармонических и целых функций на Cn при всех n∈N, а также для выпуклых и гармонических функций на Rm при всех m∈N. Схемы, использованные при доказательствах основных теорем в [10] и [11], а также основной теоремы настоящей статьи (теоремы 3), без особых сложностей переносятся на (плюри)субгармонические и голоморфные функции в единичном открытом интервале, круге или шаре, но с заключением не о постоянстве, а об ограниченности сверху всюду. Основные результаты настоящей статьи для функций одной переменной нам ранее также не встречались. Далее при обращении к (плюри)субгармоническим, гармоническим, целым и выпуклым функциям и их свойствам, как правило, достаточны основные сведения о них из [1]–[4]. 1.2. Порядок функцииЧерез обозначаем соответственно открытый и замкнутый шары, а также сферу в Rm радиуса r∈R+ с центром x∈Rm; здесь Bm(r):=Bm(0,r), ¯Bm(r):=¯Bm(0,r) и Sm−1(r):=Sm−1(0,r), а нижние индексы m и m−1 указывают на размерность. Такие же обозначения с m:=2n используем в Cn, отождествляемом с R2n. Нижние индексы m и m−1 по возможности опускаем, когда это не вызывает разночтений. Меру Лебега на Rm и ее сужения на шары B(x,r) и ¯B(r) обозначаем через λ, а поверхностную меру на S(r) – через σr.Пусть функция M со значениями в расширенной вещественной прямой ¯R:=R∪{±∞} определена в R+ или R, в Rm или Cn, но, возможно, вне некоторого шара B(r) радиуса r∈R+. Порядок M (около ∞) определяется как (см. [12; п. 2.1]) где M+:x↦max{0,M(x)} – положительная часть функции M. Порядок целой функции f на Cn или голоморфной функции f вне некоторого шара – это порядок ord∞[ln|f|] плюрисубгармонической функции ln|f| при соглашении, что субгармонические функции на подмножествах комплексной плоскости C называем также и плюрисубгармоническими.Пусть функция M со значениями в ¯R определена на интервале [0,1) или в открытом единичном шаре B(1)⊂Rm, или B(1)⊂Cn, но, возможно, вне некоторого шара B(r) радиуса r<1. Порядок функции M (около единицы для интервала [0,1) или около границы для шара B(1)) определяется как Порядок функции f, голоморфной в шаровом слое B(1)∖B(r)⊂Cn с r<1, – это порядок ord1[ln|f|] плюрисубгармонической функции ln|f|.Через sbh(S) обозначаем класс всех субгармонических (локально выпуклых при m=1) функций на каких-либо открытых окрестностях множества S⊂Rm. § 2. Основные результаты2.1. Функции на Rm или CnОсновной теоремой настоящей статьи является Теорема 3. Пусть m∈N, r0∈R+, (rk)k∈N – неограниченная возрастающая 1 последовательность чисел (rk)k∈N на R+ с r1>r0, растущая не быстрее геометрической прогрессии в том смысле, что для которой множества Ek⊂S(rk) измеримы по поверхностной мере σrk и Тогда для любой функции v∈sbh(Rm∖¯B(r0)) конечного порядка ord∞[v]<+∞ имеет место равенство гдеТеорема 4. Пусть выполнены условия основной теоремы для Cn, отождествленного с R2n и m:=2n. Если функция конечного порядка:
Доказательство. При n>1 по известному принципу Хартогса функция, голоморфная на дополнении Cn∖¯B(r0) компакта ¯B(r0), является сужением некоторой целой функции на Cn∖¯B(r0). Поэтому и в части (ii) голоморфную функцию можно считать целой.
Пусть v – плюрисубгармоническая функция на Cn, которую можно рассматривать как субгармоническую на R2n. Выберем произвольным образом положительное r0<r1 и числа ME и M0, как в (2.3E) и (2.3o) соответственно. Тогда по теореме 3 (основной теореме) имеет место (2.3M), и функция v ограничена сверху на Cn. Но поскольку она плюрисубгармонична, то по теореме Лиувилля она постоянна. Если f – целая функция, то для плюрисубгармонической функции ln|f| выполнены все условия теоремы 4. Следовательно, |f| – постоянная функция, поэтому и функция f постоянна. Теорема доказана. Приведем отдельно одномерную формулировку теоремы 4. Теорема 4'. Пусть множества Ek⊂C, k∈N, лежат на окружностях S1(rk), k∈N, с центрами в нуле и возрастающими радиусами rk, удовлетворяющими (2.1), для которых множества ek:={argz:z∈Ek}∩[0,2π) измеримы по линейной мере Лебега на интервале [0,2π), а предел линейных мер Лебега множеств ek при k→∞ равен нулю. Если целая или субгармоническая функция конечного порядка ограничена сверху на объединении всех множеств S1(rk)∖Ek, то она постоянна. Обозначения и условия в теореме 4' согласованы с (2.2) при n=1 и m=2⋅1 для меры Лебега λ на [0,2π) и меры длины окружности σrk на окружности S1(rk) радиуса rk, так как Замечание 1. Теорема 2 может быть выведена из теоремы 4, поскольку при подразумеваемой в ней λ-измеримости множества E из условия теоремы 2 по теории интегрирования и меры следует, что в шаровом слое B(2k+1)∖B(2k) при каждом k∈N найдется сфера S(rk) радиуса rk∈[2k,2k+1), для которой множество Ek:=S(rk)∖E измеримо по поверхностной мере σrk, и для этих сфер S(rk) выполнено соотношение (2.2).Теорема 5. Пусть для каждой точки s на единичной сфере S(1)∈Cn и соответствующей ей комплексной прямой Cs:={zs:z∈C} в Cn, рассматриваемой как комплексная плоскость, найдутся последовательность (rk(s))k∈N на R+ и множества Ek(s) на окружностях S1(rk(s))⊂Cs, для которых выполнены все условия теоремы 4'. Если для плюрисубгармонической или целой функции на Cn ее сужение на каждую плоскость Cs – функция конечного порядка, ограниченная сверху на объединении ⋃k∈N(S1(rk(s))∖Ek(s)), то эта функция постоянна на Cn. Доказательство. По теореме 4' для субгармонических функций на комплексной плоскости сразу получаем, что сужение исходной плюрисубгармонической функции на каждую комплексную плоскость Cs – постоянная функция. Но все комплексные прямые Cs имеют общую точку 0, следовательно, и исходная плюрисубгармоническая функция постоянна. От исходной целой функции f переходим к плюрисубгармонической функции ln|f|, которая по доказанной части теоремы 5 постоянна, поэтому постоянна и f. Теорема доказана. Теорема 6. В условиях основной теоремы 3 ограниченность сверху на объединении ⋃k∈N(S(rk)∖Ek) выпуклой или гармонической функции на Rm конечного порядка влечет за собой ее постоянство всюду на Rm. Доказательство. Выпуклая или гармоническая функция v субгармонична, а в условиях основной теоремы 3 эта функция ограничена сверху на всем Rm. По теореме Лиувилля она постоянна. Теорема доказана. 2.2. Функции в единичном круге или шареТеорема 7. Пусть m∈N, r0∈(0,1), (rk)k∈N – возрастающая последовательность чисел (rk)k∈N на [0,1) с для которой множества Ek⊂S(rk) измеримы по поверхностной мере σrk и Тогда для любой функции v∈sbh(B(1)∖¯B(r0)) конечного порядка ord1[v]<+∞ имеет место равенство где Так, если n∈N, m:=2n и голоморфная функция конечного порядка в шаре B(1)⊂Cn ограничена на объединении всех множеств S(rk)∖Ek, где Ek⊂S(rk) удовлетворяют (2.5) при (2.4), то эта функция ограничена на B(1).Теорема 8. Пусть m∈N, E⊂B(1)⊂Rm измеримо по мере Лебега и Если v∈sbh(B(1)) – функция конечного порядка ord1[v]<+∞ на B(1), то имеет место равенство В частности, если голоморфная функция конечного порядка в единичном шаре в Cn, отождествленном с R2n, ограничена на дополнении B(1)∖E множества E⊂B(1), удовлетворяющего (2.8) с m:=2n, то она ограничена в B(1). Доказательство. Подобно замечанию 1 из теории интегрирования и меры следует, что в каждом шаровом слое B(1−2−k−1)∖B(1−2−k) при каждом k∈N найдется сфера S(rk) радиуса rk∈[1−2−k,1−2−k−1), для которой множество Ek:=E∩S(rk) измеримо по поверхностной мере σrk, и для этих сфер S(rk) выполнено соотношение (2.5).
§ 3. Неравенства со средними по сферам и шарамЧерез bm и sm−1 обозначаем соответственно объем λ(B(1)) единичного шара ¯B(1) в Rm и площадь σr(S(r)) единичной сферы S(1)⊂¯B(1)⊂Rm. Для функции v:¯Bm(x,r)→¯R ее среднее по шару ¯Bm(x,r) обозначаем как а для функции v:Sm−1(x,r)→¯R ее среднее по сфере Sm−1(x,r) обозначаем в предположении существования интегралов. Для λ-интегрируемой функции v:¯B(x,r)→¯R средние по сферам (3.1S) определены почти всюду по линейной мере Лебега на [0,r] и связаны равенствомРоль средних из (3.1B), (3.1S) для субгармонических функций v\not\equiv -\infty обусловлена полностью характеризующими их (при условии полунепрерывности сверху и локальной \lambda-интегрируемости) неравенствами для средних по шару и сфере
\begin{equation}
v(x)\leqslant \mathbf B_v(x,r)\leqslant \mathbf S_v(x,r) \quad\text{для всех }\ v\in \operatorname{sbh}({\overline B}(x,r)).
\end{equation}
\tag{3.3}
Известно, что с постоянной
\begin{equation}
a_m:=\begin{cases} \dfrac12 &\text{при $m=1$}, \\ \dfrac1{\sqrt{e}} &\text{при $m=2$}, \\ \dfrac1{\sqrt[{m-2}]{m/2}} &\text{при $m\geqslant 3$} \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.4}
имеют место точные неравенства (см. [13; теорема], [14; формулы (5), (6)])
\begin{equation}
v(0)\leqslant \mathbf S_v(a_mR)\leqslant \mathbf B_v(R)\leqslant \mathbf S_v(R)
\end{equation}
\tag{3.5}
для любой функции v\colon \overline B(R)\to \overline{\mathbb{R}} c четырьмя свойствами: (1v) функция v интегрируема на \overline B(R) по мере Лебега \lambda; (2v) сужение v|_{B(R)} функции v на B(R)\subset \mathbb{R}^m – субгармоническая функция; (3v) сужение v|_{S(R)} функции v на S(R)\subset \mathbb{R}^m интегрируемо по мере \sigma_R; (4v) \limsup_{B(R)\ni x'\to x} v(x')\leqslant v(x) для \sigma_R-почти каждой точки x\in S(R). Легко показать, используя (3.2) с x=0 и r<R, что свойства (2v)–(4v) влекут за собой свойство (1v). В случае функции v\in \operatorname{sbh}({\overline B}(R)) с v\not\equiv -\infty, который только и используется в настоящей статье при доказательстве основных результатов, все четыре свойства (1v)–(4v) выполнены. Следующие элементарные неравенства для средних по сферам и шарам – это один из ключевых моментов доказательства наших основных результатов. Лемма 1. Пусть 0<r<R\in \mathbb{R}^+, а функция v на {\overline B}(R)\subset \mathbb{R}^m обладает свойством (1v), а v^+ – ее положительная часть. Тогда
\begin{equation}
\mathbf B_{v}(x,R-r)\leqslant \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^{m} \mathbf B_{v^+}(R) \quad\textit{при всех } \ x\in {\overline B}(r).
\end{equation}
\tag{3.6}
Если та же функция v обладает и свойством (2v), то для любого измеримого по положительной борелевской мере \mu на {\overline B}(r) подмножества E\subset {\overline B}(r)
\begin{equation}
\int_{E}v\,{\mathrm d} \mu \leqslant \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^m \mu (E)\mathbf B_{v^+}(R).
\end{equation}
\tag{3.7}
Допустим, что функция v обладает тремя свойствами (2v)–(4v). Тогда
\begin{equation}
v(x)\leqslant v^+(x) \leqslant \biggl(1+\frac{2r}{R-r}\biggr) \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^{m-2} \mathbf S_{v^+}(R) \quad\textit{при всех }\ x\in {\overline B}(r),
\end{equation}
\tag{3.8}
а также для любого измеримого по некоторой конечной положительной борелевской мере \mu на S(r) подмножества E\subset S(r)\subset \mathbb{R}^m имеем Доказательство. Неравенство (3.6), приведенное в [10; предложение 1] и [11; предложение 1], сразу следует из цепочки неравенств
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mathbf B_v(x,R-r) &\stackrel{(3.1B)}{=} \frac{1}{b_m(R-r)^m}\int_{\overline B(x,R-r)} v \,{\mathrm d} \lambda \leqslant \frac{1}{b_m(R-r)^m}\int_{\overline B(R)} v^+ \,{\mathrm d} \lambda \\ &\ \ =\frac{b_mR^m}{b_m(R-r)^m}\,\frac{1}{b_mR^m}\int_{\overline B(R)} v^+ \,{\mathrm d} \stackrel{(3.1B)}{=} \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^m \mathbf B_{v^+}(R) \end{aligned} \\ \text{при всех }x\in {\overline B}(r). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Отсюда для субгармонической функции v\in \operatorname{sbh}(B(R)) по (3.3) имеем
\begin{equation*}
v(x)\stackrel{(3.3)}{\leqslant} \mathbf B_v(x,R-r)\leqslant \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^m \mathbf B_{v^+}(R) \quad\text{при всех }\ x\in {\overline B}(r),
\end{equation*}
\notag
и интегрирование этих неравенств по мере \mu и по E\subset {\overline B}(r) дает (3.7).
Для корректности построений при доказательстве (3.8) и (3.9) можем рассмотреть только функции v\in \operatorname{sbh}({\overline B}(R)), к которым можно перейти с помощью растяжения – гомотетии пространства \mathbb{R}^m, а затем вернуться к исходной функции v, устремляя коэффициент растяжения к единице. Ввиду возрастания и непрерывности среднего по сфере для субгармонических функций неравенство (3.8) при таком переходе не нарушится. Более того, достаточно рассматривать только непрерывные положительные функции v\in \operatorname{sbh} ({\overline B}(R)), а потом для произвольной функции v^+\in \operatorname{sbh} ({\overline B}(R)) воспользоваться убывающей к ней последовательностью таких функций. Для положительной непрерывной функции v^+\in \operatorname{sbh} ({\overline B}(R)) уже можно рассмотреть ее положительное гармоническое продолжение H\geqslant v^+ со сферы S(R) внутрь {\overline B}(R), т.е. в B(R), построенное с помощью интеграла Пуассона. Для такой функции H по неравенству Харнака (см. [2; теорема 1.18]) для положительных гармонических функций имеем
\begin{equation*}
H (x)\leqslant \frac{(R+|x|)R^{m-2}}{(R-|x|)^{m-1}}H(0) \quad\text{для любой точки }\ x\in B(R),
\end{equation*}
\notag
где H(0) равно среднему \mathbf S_{v^+}(R) по сфере S(R) функции v^+, а v^+(x)\leqslant H(x), поскольку H – мажоранта субгармонической функции v^+. Таким образом,
\begin{equation*}
v^+(x)\leqslant \frac{(R+|x|)R^{m-2}}{(R-|x|)^{m-1}}\mathbf S_{v^+}(R) \quad\text{для любой точки }\ x\in B(R).
\end{equation*}
\notag
Дробь в правой части здесь возрастает при росте |x|. Отсюда получаем, что
\begin{equation*}
v(x)\leqslant v^+(x)\leqslant \frac{(R+r)R^{m-2}}{(R-r)^{m-1}}\mathbf S_{v^+}(R) \quad\text{при }\ |x|\leqslant r,
\end{equation*}
\notag
где правая часть неравенства совпадает с правой счастью неравенства (3.8). Интегрирование неравенств (3.8) по мере \mu по множеству E\subset S(r) дает (3.9). Лемма 1 доказана. Замечание 2. Последнее точное неравенство в (3.5) позволяют перейти от (3.6), (3.7) к неравенствам вида (3.8), (3.9), но с множителем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^m &=\biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^2\biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^{m-2} \\ &>\biggl(1+2\frac{r}{R-r}\biggr)\biggl(1+\frac{r}{R-r}\biggr)^{m-2}, \end{aligned} \\ 0<r<R, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.10}
т.е. такой переход дает заведомо худшую оценку через среднее по сфере, нежели (3.8), (3.9). Промежуточное точное неравенство в (3.5) позволяет перейти от (3.8), (3.9) к неравенствам вида (3.6), (3.7), хотя и со строго меньшим множителем, равным правой части (3.10), но при дополнительном условии выполнения свойств (1v)–(2v) для функции v в шаре {\overline B}(R/a_m) радиуса R/a_m>R с постоянной a_m<1 из (3.4) и средним по шару \mathbf B_{v^+}(R/a_m) вместо \mathbf B_{v^+}(R)\leqslant \mathbf B_{v^+}(R/a_m) в правых частях (3.6), (3.7). Это также не может быть предпочтительнее (3.6), (3.7) во многих случаях. Таким образом, пара неравенств (3.6), (3.7) и пара неравенств (3.8), (3.9) независимы. Доказательства следующих двух элементарных лемм опускаем. Лемма 2. Пусть S – положительная возрастающая функция конечного порядка на некотором луче положительной полуоси \mathbb{R}^+. Если для некоторой возрастающей последовательности (r_k)_{k\in \mathbb{N}} на этом луче, растущей не быстрее геометрической прогрессии в смысле (2.1), выполнено соотношение то функция S нулевая, т.е. S\equiv 0 всюду на этом луче.Лемма 3. Пусть (r_k)_{k\in \mathbb{N}} – возрастающая последовательность на луче в \mathbb{R}^+, растущая не быстрее геометрической прогрессии в смысле (2.1). Тогда для любого числа q>1 можно выделить строго возрастающую подпоследовательность из (r_k)_{k\in \mathbb{N}}, растущую не быстрее геометрической прогрессии, для которой отношение каждого последующего члена подпоследовательности к предшествующему не меньше q. § 4. Доказательства основных результатов Доказательство теоремы 3. Если хотя бы одна из величин M_0 или M_E равна +\infty, то (2.3M) очевидно. В противном случае выберем произвольное число M>\max\{M_0,M_E\}. Сначала рассмотрим случай функции v, субгармонической на всем \mathbb{R}^m, для которой по принципу максимума
\begin{equation}
\sup_{{\overline B}(r_1)} v\stackrel{(2.3o)}{\leqslant} M_0\leqslant M.
\end{equation}
\tag{4.1}
По лемме 3, оставаясь в рамках условия (2.1), можно выделить такую строго возрастающую подпоследовательность из последовательности (r_k)_{k\in \mathbb{N}}, что отношение каждого последующего члена подпоследовательности к предшествующему не меньше, чем 2. Сохраним за этой подпоследовательностью то же обозначение (r_k)_{k\in \mathbb{N}}; теперь
\begin{equation}
2\leqslant \frac{r_{k+1}}{r_k} \quad\text{для каждого }\ k\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.2}
а для соответствующих множеств E_k по-прежнему выполнено (2.2). Кроме того, по определению (2.3E) числа M_E можно начать нумерацию последовательности (r_k)_{k\in \mathbb{N}} заново со столь большого r_k (отбросив конечное число предшествующих членов этой последовательности), что \sup_{S(r_k)\setminus E_k} v\leqslant M для каждого номера k\in \mathbb{N}. Вместо функции v\in \operatorname{sbh}(\mathbb{R}^m) рассмотрим функцию – положительную часть функции v-M, которая отрицательна на S(r_1) и на всех множествах S(r_k)\setminus E_k при k\in \mathbb{N} и также является субгармонической функцией конечного порядка \operatorname{ord}_{\infty}[V]<+\infty на \mathbb{R}^m. Интегрирование по поверхностной мере \sigma_{r_k} для каждого k\in \mathbb{N} дает неравенство
\begin{equation*}
\mathbf S_{V}(r_k)\stackrel{(3.1S)}{=}\frac{1}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \int_{S(r_k)}V\,{\mathrm d} \sigma_{r_k}\leqslant \frac{1}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \int_{E_k}V\,{\mathrm d} \sigma_{r_k}.
\end{equation*}
\notag
Применим теперь к интегралу в правой части неравенство (3.9) основной леммы с r_k в роли r, r_{k+1} в роли R, E_k в роли E, \sigma_k в роли \mu и V=V^+ в роли v:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{E_k}V\,{\mathrm d} \sigma_{r_k} &\leqslant \biggl(1+\frac{2r_k}{r_{k+1}-r_k}\biggl) \biggl(1+\frac{r_k}{r_{k+1}-r_k}\biggr)^{m-2}\sigma_{r_k}(E_k)\mathbf S_{V}(r_{k+1}) \\ & \stackrel{(4.2)}{\leqslant} 3\cdot 2^{m-2} \sigma_{r_k}(E_k)\mathbf S_{V}(r_{k+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Применяя эту оценку к предшествующему соотношению, получаем
\begin{equation*}
\mathbf S_V(r_k) \leqslant \frac{3\cdot 2^{m-2}}{s_{m-1}} \frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{r_k^{m-1}}\mathbf S_V(r_{k+1}) \stackrel{(2.2)}{=}o(1)\mathbf S_V(r_{k+1}) \quad\text{при }\ k\to \infty,
\end{equation*}
\notag
где \mathbf S_V – функция конечного порядка, поскольку таковой является функция V. По лемме 2, примененной к функции \mathbf S_V в роли S, \mathbf S_V – нулевая функция на \mathbb{R}^+ и, как следствие, (v-M)^+\equiv 0 и v\leqslant M. Отсюда в силу произвола в выборе числа M>\max \{M_0,M_E\} и определения чисел M_0 и M_E в (2.3E) и (2.3o) получаем требуемое (2.3M).
В случае субгармонической функции v, определенной лишь на \mathbb{R}^m\setminus {\overline B}(r_0), можем заменить ее на функцию
\begin{equation}
\begin{cases} M_0 &\text{на }\overline B(r_1), \\ \sup\{v,M_0\} &\text{вне }\overline B(r_1), \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
которая субгармонична уже на всем \mathbb{R}^m и обладает всеми требуемыми в основной теореме свойствами, но с числом \max\{M_0,M_E\} в роли M_E, что не меняет заключения основной теоремы. Теорема 3 доказана. Доказательство теоремы 7. Так же, как и при доказательстве основной теоремы, с помощью конструкции (4.4) можно свести доказательство к рассмотрению случая субгармонической функции v конечного порядка на всем B(1), предполагая, что неравенство v\leqslant M, где \max\{M_0,M_E\}<M<+\infty, выполнено на всех дополнениях S(r_k)\setminus E_k сфер S(r_k) до E_k. При этом замена переменной
\begin{equation}
r:=\frac{t}{t+1} \quad\text{с соотношениями }\ \frac{1+r}{2}=\frac{t+2}{2(t+1)}\leqslant \frac{2t}{2t+1}\quad \text{при }\ t\geqslant 2
\end{equation}
\tag{4.5}
и применение леммы 3 с q:=4 позволяют так разредить последовательность (r_k)_{k\in \mathbb{N}} с соответствующей перенумерацией, что
\begin{equation}
r_1\geqslant \frac12, \qquad 4\frac{r_k}{1-r_k}\stackrel{(4.5)}{=}4t_k\leqslant t_{k+1}\stackrel{(4.5)}{=}\frac{r_{k+1}}{1-r_{k+1}}, \quad \text{откуда }\ 2\leqslant \frac{1-r_{k}}{1-r_{k+1}}
\end{equation}
\tag{4.6}
при всех k, сохранив при этом ограничение (2.4) и условие (2.5). По неравенству (3.9) леммы 1, примененной с r_k в роли r, r_{k+1} в роли R, E_k в роли E, поверхностной мерой \sigma_k в роли \mu и субгармонической функцией V:=(v-M)^+, отрицательной на всех S(r_k)\setminus E_k, в роли v, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf S_V(r_k) \stackrel{(3.9)}{\leqslant} \frac{1}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \biggl(1+\frac{2r_k}{r_{k+1}-r_k}\biggl)\biggl(1+\frac{r_k}{r_{k+1}-r_k}\biggr)^{m-2} \sigma_{r_k}(E_k)\mathbf S_{V}(r_{k+1}) \\ &\ \leqslant \frac{2}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \,\frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{(r_{k+1}-r_k)^{m-1}} \mathbf S_{V}(r_{k+1})\stackrel{(4.6)}{\leqslant} \frac{2}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \, \frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{(1-r_{k+1})^{m-1}} \mathbf S_{V}(r_{k+1}) \\ &\ =\frac{2}{s_{m-1}r_k^{m-1}} \biggl(\frac{1-r_k}{1-r_{k+1}}\biggr)^{m-1} \frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{(1-r_{k})^{m-1}} \mathbf S_{V}(r_{k+1}) \\ &\stackrel{(2.4)}{\leqslant} O(1)\frac{\sigma_{r_k}(E_k)}{(1-r_{k})^{m-1}} \mathbf S_{V}(r_{k+1})\stackrel{(2.5)}{=} o(1) \mathbf S_{V}(r_{k+1}) \quad\text{при }\ k\to \infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \mathbf S_{V}\geqslant 0 – возрастающая функция конечного порядка \operatorname{ord}_1[\mathbf S_{V}]<+\infty. Замена переменной (4.5) в функции \mathbf S_{V} дает возрастающую положительную функцию S(t):=\mathbf S_{V}(t/(t+1)) конечного порядка \operatorname{ord}_{\infty}[S]<+\infty на \mathbb{R}^+, удовлетворяющую соотношению S(t_k)=o(1)S(t_{k+1}) при t\to +\infty, где по условию (2.4) последовательность чисел t_k:=r_k/(1-r_k) растет не быстрее геометрической прогрессии. По лемме 2 функция S нулевая, т.е. \mathbf S_{V}\equiv 0, и, как следствие, (v-M)^+\equiv 0 и v\leqslant M. В силу произвола в выборе числа M>\max\{M_0,M_E\} и определений (2.7) чисел M_0 и M_E получаем требуемое (2.6). Теорема доказана. БлагодарностьВыражаю глубокую признательность рецензентам за ряд полезных замечаний, исправлений, комментариев как по математическому содержанию, так и по стилистике оформления отдельных моментов статьи.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kha21}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|