В. В. Пржиялковский, К. Ритш, “Модели Ландау–Гинзбурга полных пересечений в лагранжевых грассманианах”, УМН, 76:3(459) (2021), 187–188; Russian Math. Surveys, 76:3 (2021), 549

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	19-11-00164
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11-00164) в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Поступила в редакцию: 23.10.2020

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 3, Pages 549–551
DOI: https://doi.org/10.1070/RM9984

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 14J33, 53D37

Рассмотрим лагранжев грассманиан

$\operatorname{LG}(n)$ , параметризующий лагранжевы линейные подпространства

$2n$ -мерного комплексного симплектического пространства. Он вкладывается по Плюккеру в проективное пространство

$\mathbb{P}$ , так что для

$H=\mathscr O_{\mathbb{P}}(1)$ имеем

$\operatorname{Pic}(\operatorname{LG}(n))=\mathbb{Z} H$ . Рассмотрим гладкое полное пересечение Фано

$X\subset \operatorname{LG}(n)$ степеней

$d_1,\dots,d_k$ . Имеем

$\sum_{i=1}^k d_i<n+1$ , так что индекс Фано для

$X$ равен

$d_{k+1}=n+1-\sum_{i=1}^k d_i$ . Пусть

$p_i$ ,

$i=1,\dots,n$ , – формальные переменные; рассмотрим ряд

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, I&=\sum_{l_1,\dots,l_n\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}}\, \prod_{j=1}^{k+1}\biggl(d_j\biggl(\sum l_i\biggr)\biggr)!\, \frac{\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}\,\prod_{m=1}^{l_i+l_j}(p_i+p_j+m)} {\prod_{i=1}^n\,\prod_{m=1}^{l_i}(p_i+m)^{2n}} \\ &\qquad\times\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(p_j-p_i+l_j-l_i) \cdot t^{d_{k+1}(\sum l_i)}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теорема 1 (см. [2; теорема F.1]). Пусть $\tilde I^X_0$ – регуляризованный $I$ -ряд для $X$ . Тогда $\tilde I^X_0=(I/\Omega)_{p_1=\dots=p_n=0}$ .

Пусть

$Y_n$ – диаграмма Юнга, состоящая из строки длины

$n$ , затем строки длины

$n-1$ и т. д., вплоть до

$n$ -й строки длины

$1$ . Поставим в соответствие

$(r,n+1-s)$ -й ячейке диаграммы переменную

$b_{rs}$ ; таким образом,

$1\leqslant s\leqslant n$ и

$1\leqslant r\leqslant s$ . Положим

$S=\{\underline{i}=(i_1,\dots,i_m)\in \mathbb{Z}^m\mid 1=i_1<i_2<\cdots<i_m<n+1\}$ . Для

$\underline i=(i_1,\dots,i_m)\in S$ положим

$i_{m+1}=n+1$ . Набору

$\underline i\in S$ поставим в соответствие моном

$C(\underline i)=\prod_{\{(r,s)\mid i_r\leqslant s < i_{r+1}\}}b_{rs}$ .

Для

$s=1,\dots,n$ определим

$T_s$ как сумму всех переменных из

$s$ -го столбца (считая справа) диаграммы Юнга

$Y_n$ , так что

$T_s=\sum_{r=1}^{s}b_{rs}$ . Кроме того, положим

$T_{0}=\sum_{\underline i\in S}(C(\underline i))^{-1}$ . Рассмотрим многочлен Лорана

$\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}=\sum_{i=0}^n T_i$ от переменных

$b_{rs}$ . В [6] показано, что

$\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}$ согласован с ограничением открытого “тора Люстига” суперпотенциала в теории Ли, ассоциированного с

$G/P=\operatorname{LG}(n)$ в [9].

Теорема 2. Разбиение многочлена $\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}$ на слагаемые $\sum_{i\in E_j} T_i$ согласно разбиению $\{0,1,\dots,n\}=\bigsqcup_{j=0,\dots,k} E_j$ , где $|E_j|=d_j$ для всех $j=1,\dots,k$ , определяет неф-разбиение, соответствующее $(d_1,\dots,d_k)$ .

Доказательство. Пусть

$X_\Delta$ – торическое многообразие Фано с веерным многогранником

$\Delta$ , совпадающим с многогранником Ньютона для

$\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}$ . Согласно [10], где многогранник моментов для

$X_\Delta$ отождествляется с телом Ньютона–Окунькова для

$\operatorname{LG}(n)$ , оно является вырождением грассманиана

$\operatorname{LG}(n)$ . Для всех

$0\leqslant r<s\leqslant n$ легко найти линейную функцию на

$\Delta$ , равную

$1$ на вершинах, соответствующих

$T_r$ , и

$-1$ на вершинах, соответствующих

$T_s$ , а на остальных вершинах обращающуюся в 0, что и доказывает теорему.

Определение 3. Модель Ландау–Гинзбурга типа Гивенталя [4] для $X$ , построенная по модели Ландау–Гинзбурга $\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}$ для $\operatorname{LG}(n)$ и неф-разбиению $E_0,\dots,E_{k}$ , соответствующему $X$ , – это многообразие $G_X\subset(\mathbb{C}^*)^{n(n+1)/2}= \operatorname{Spec}\mathbb{C}[b_{rs}^{\pm 1}]$ , определенное системой уравнений $\bigl\{\sum_{s\in E_1} T_s=\cdots=\sum_{s\in E_k} T_s=1\bigr\}$ , и функция $w_X=\sum_{j\in E_{0}} T_j$ .

Положим

$\delta_{-1}=0$ и

$\delta_j=d_{k+1}-1+\sum_{i=1}^{j}d_i$ . Для набора из

${n(n+1)}/2-k$ переменных

$a_{rs}$ ,

$1\leqslant r \leqslant s\leqslant n$ ,

$(r,s)\ne(\delta_j,\delta_j)$ ,

$1\leqslant j\leqslant k$ , и чисел

$a_{\delta_j,\delta_j}=1$ ,

$1\leqslant j\leqslant k$ , положим

$A_{E_j}=\sum_{s\in E_j} A_s=\sum_{s\in E_j}\,\sum_{r=1}^s a_{rs}= \bigl(\,\sum_{s=\delta_{j-1}+1}^{\delta_j}\, \sum_{r=1}^{\min({s,\delta_j-1})}a_{rs}\bigr)+1$ .

Предложение 4. Многообразие $G_X$ с функцией $w_X$ бирационально эквивалентно над $\mathbb{C}$ тору $\check X=(\mathbb{C}^*)^{{n(n+1)}/2-k}$ с функцией, задаваемой многочленом Лорана

$\begin{equation*} f_{X}=\sum_{1\leqslant r\leqslant s\leqslant d_{k+1}-1} a_{rs}+ \sum_{\underline i\in S} \frac{\prod_{j=1}^k A_{E_j}^{d_j}} {\prod_{i_r\leqslant s < i_{r+1}} a_{rs}}\,. \end{equation*} \notag$

Для

$m\colon S\to \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ положим

$M_{r,s}=\sum_{\{\underline i\mid i_r\leqslant s<i_{r+1}\}}m(\underline i)$ . Пусть

$[f]$ – свободный член многочлена Лорана

$f$ . Положим

$I_f=\sum [f^i]t^i$ . Комбинаторно доказывается следующее.

Предложение 5. Имеем

$\begin{equation*} I_{\mathscr W_{\operatorname{LG}(n)}}=\sum_{u=0}^\infty \biggl(\,\sum_{m\colon S\to \mathbb{Z}_{\geqslant 0},\ \sum_{\underline i\in S} m(\underline i)=u} \begin{pmatrix} (n+1)u \\ m(\underline i_1),\dots,m(\underline i_p),M_{1,1},\dots,M_{n,n} \end{pmatrix}\biggr) t^{(n+1)u}. \end{equation*} \notag$

Следствие 7. Многочлен $f_X$ является слабой моделью Ландау–Гинзбурга [8] для $X$ . Он удовлетворяет торическому условию [7], т. е. его многогранник Ньютона совпадает с веерным многогранником торического вырождения для $X$ .

Доказательство следует из [1; предложение 3.5] для

$n=4$ . (Заметим, что

$\operatorname{LG}(2)$ является гиперплоским сечением грассманиана

$\operatorname{Gr}(2,4)$ , т. е. трехмерной квадрикой.)

Проблема 9. Используя теорему 2 и результаты работы [5], найти превратную фильтрацию Лере для $f_X$ .

Образец цитирования: В. В. Пржиялковский, К. Ритш, “Модели Ландау–Гинзбурга полных пересечений в лагранжевых грассманианах”, УМН, 76:3(459) (2021), 187–188; Russian Math. Surveys, 76:3 (2021), 549–551

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{PrzRie21}

\by В.~В.~Пржиялковский, К.~Ритш

\paper Модели Ландау--Гинзбурга полных пересечений в лагранжевых грассманианах

\jour УМН

\yr 2021

\vol 76

\issue 3(459)

\pages 187--188

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm9984}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm9984}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4265401}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1470.53071}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021RuMaS..76..549P}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=47067122}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2021

\vol 76

\issue 3

\pages 549--551

\crossref{https://doi.org/10.1070/RM9984}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000691285900001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85114988289}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/rm9984

https://doi.org/10.4213/rm9984

https://www.mathnet.ru/rus/rm/v76/i3/p187

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

В. В. Пржиялковский, “Об особых компактификациях лог-Калаби–Яу моделей Ландау–Гинзбурга”, Матем. сб., 213:1 (2022), 95–118 ; V. V. Przyjalkowski, “On singular log Calabi-Yau compactifications of Landau-Ginzburg models”, Sb. Math., 213:1 (2022), 88–108

Список литературы