А. В. Борисов, А. В. Цыганов, “О шаре Чаплыгина в соленоидальном поле”, УМН, 76:3(459) (2021), 185–186; Russian Math. Surveys, 76:3 (2021), 546

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Успехи математических наук

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Успехи математических наук, 2021, том 76, выпуск 3(459), страницы 185–186
DOI: https://doi.org/10.4213/rm9930 (Mi rm9930)

Сообщения Московского математического общества

О шаре Чаплыгина в соленоидальном поле

А. В. Борисов, А. В. Цыганов

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

PDF полного текста (315 kB) PDF английской версии (333 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/rm9930

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	19-71-30012
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-71-30012).

Поступила в редакцию: 05.12.2020

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 3, Pages 546–548
DOI: https://doi.org/10.1070/RM9930

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 37J39, 37J60

Согласно Дираку, изменения в уравнениях движения, связанные с добавлением внешних сил, которые не совершают работу, описываются с помощью деформаций скобок Пуассона. Естественным образом возникает вопрос о применимости идей Дирака в неголономной механике, который и обсуждается в данной заметке на примере шара Чаплыгина. Рассмотрим линейные скобки Ли–Пуассона на алгебре Ли $e^*(3)$ :

$\begin{equation} \{\gamma_i,\gamma_j\}=0,\quad \{M_i,\gamma_j\}=\varepsilon_{ijk}\gamma_k,\quad \{M_i,M_j\}=\varepsilon_{ijk}M_k, \end{equation} \tag{1}$

где

$\varepsilon_{ijk}$ – полностью антисимметричный тензор, и их магнитные деформации [4]. Отвечающий скобкам (1) бивектор Ли–Пуассона

$P$ совместно с механической энергией

$\begin{equation} H=2^{-1}(M,\omega)+V(\gamma) \end{equation} \tag{2}$

порождает гамильтоново векторное поле

$X=P\,\mathrm dH$ , отвечающее уравнениям Эйлера–Пуассона в задаче о вращении твёрдого тела в потенциальном поле

$\dot{\gamma}=\gamma\times\omega$ ,

$\dot{M}=M\times \omega-(\partial V/\partial\gamma)\times \omega$ , где

$\omega=AM$ – вектор угловой скорости,

$A$ – матрица, обратная тензору инерции [1].

Стандартный в механике переход к обобщённым моментам

$\begin{equation} \varphi\colon\quad M_i\to\widetilde{M}_i= M_i+c_i(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3),\quad i=1,2,3, \end{equation} \tag{3}$

переводит скобки (1) в скобки Пуассона

$\begin{equation} \{\gamma_i,\gamma_j\}=0,\quad \{M_i,\gamma_j\}=\varepsilon_{ijk}\gamma_k,\quad \{M_i,M_j\}=\varepsilon_{ijk}(M_k+b_k), \end{equation} \tag{4}$

где

$b=(b_1,b_2,b_3)$ – трёхмерный вектор, компоненты которого зависят от координат

$\gamma$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} \, b_1&=\biggl(\frac{\partial c_2}{\partial\gamma_2}+ \frac{\partial c_3}{\partial\gamma_3}\biggr)\gamma_1- \frac{\partial(\gamma_2c_2+\gamma_3c_3)}{\partial\gamma_1}-c_1,\\ b_2&=\biggl(\frac{\partial c_1}{\partial \gamma_1}+ \frac{\partial c_3}{\partial \gamma_3}\biggr)\gamma_2- \frac{\partial(\gamma_1c_1+\gamma_3c_3)}{\partial \gamma_2}-c_2, \\ b_3&=\biggl(\frac{\partial c_1}{\partial \gamma_1}+ \frac{\partial c_2}{\partial \gamma_2}\biggr)\gamma_3- \frac{\partial(\gamma_1c_1+\gamma_2c_2)}{\partial\gamma_3}-c_3,\quad (\operatorname{rot}b,\gamma)=(\nabla\times b,\gamma)=0. \end{aligned} \end{equation} \tag{5}$

Отвечающий скобкам (4) бивектор Пуассона

$P_\varphi$ обладает функциями Казимира

$\begin{equation} C_1=(\gamma,\gamma),\quad C_2=(\gamma,M-c)\colon\quad P_\varphi\,\mathrm dC_1=0,\quad P_\varphi\,\mathrm dC_2=0, \end{equation} \tag{6}$

и, вместе с исходной механической энергией

$H$ (2), порождает гамильтоново векторное поле

$X_\varphi=P_\varphi\,\mathrm dH$ , отвечающее уравнениям

$\dot{\gamma}=\gamma\times\omega$ ,

$\dot{M}=M\times \omega+b\times \omega- (\partial V/\partial\gamma)\times \omega$ , описывающим движение в соленоидальном поле

$\gamma\times b$ , так как

$\operatorname{div}\gamma\times b=0$ согласно (5).

Подставляя в определение гамильтонова векторного поля $X_\varphi$ функции Гамильтона $H$ , отвечающие механической энергии волчка Эйлера, Лагранжа, Ковалевской или системе Клебша и Стеклова–Ляпунова, мы получим интегрируемые обобщения этих систем, связанные с добавлением внешнего соленоидального поля [1]. Связь тензорных инвариантов динамических систем с их интегрируемостью обсуждается в [3].

В [2] построено другое семейство линейных по $M$ отображений $\psi\colon M_i\to\widetilde{M}_i=f_i(\gamma)M_i+g_i(\gamma)$ , приводящих бивектор Ли–Пуассона $P$ к бивектору Пуассона $P_\psi$ , который используется для разложения векторных полей ряда неголономных систем по гамильтоновым векторным полям. Естественным образом возникает вопрос о композиции отображений $\varphi$ и $\psi$ , которые отвечают добавлению внешних сил и наложению неголономных связей соответственно. В качестве примера рассмотрим отображение

$\begin{equation} \psi\colon\quad\begin{cases} M_1\to \widetilde{M}_1= g\bigl(M_1-\beta\gamma_1(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{-1}\bigr)+ \alpha\gamma_1(\gamma,\gamma)^{-1}(1+\gamma_3^2\nu^{-1}), \\ M_2\to \widetilde{M}_2= g\bigl(M_2-\beta\gamma_2(\gamma_1^2+\gamma_2^2)^{-1}\bigr)+ \alpha \gamma_2(\gamma,\gamma)^{-1}(1+\gamma_3^2\nu^{-1}), \\ M_3\to \widetilde{M}_3=gM_3+\alpha\gamma_3(\gamma,\gamma)^{-1} (1-(\gamma_1^2+\gamma_2^2)\nu^{-1}), \end{cases} \end{equation} \tag{7}$

где

$\alpha=(\gamma,M)$ ,

$\beta=(\gamma,\widetilde{M})$ и

$\nu=\gamma_1^2+\gamma_2^2-d(\gamma,\gamma)(a_1\gamma_1^2+a_2\gamma_2^2)$ . Соответствующая деформация скобок Пуассона зависит от параметра

$d$ и постоянной диагональной матрицы

$A=\operatorname{diag}(a_1,a_2,a_3)$ , которые определяют функцию

$g=\sqrt{1-d(\gamma,A\gamma)}\,$ (см. [2]).

Отвечающая $\psi$ (7) деформация $P_\psi$ исходного бивектора Ли–Пуассона $P$ имеет вид

$\begin{equation*} P_\psi=gP-\frac{d}{g}(M,A\gamma)\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0& \Gamma \end{pmatrix},\qquad \Gamma=\begin{pmatrix} 0 & \gamma_3 & -\gamma_2 \\ -\gamma_3 & 0 & \gamma_1 \\ \gamma_2 & -\gamma_1 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

и, совместно с механической энергией

$H$ (2), где вектор угловой скорости имеет вид

$\begin{equation} \omega=A_\gamma M,\qquad A_\gamma=A+g^{-2}(dA\gamma\otimes \gamma A), \end{equation} \tag{8}$

порождает конформно гамильтоново поле

$X_\psi=g^{-1}P_\psi\,\mathrm dH$ , отвечающее уравнениям движения

$\dot\gamma=\gamma\times \omega$ ,

$\dot M=M\times \omega-(\partial V/\partial\gamma)\times \gamma$ , описывающим движение неголономного шара Чаплыгина в потенциальном поле [2].

Добавление внешнего соленоидального поля изменяет эти уравнения:

$\begin{equation} \dot{\gamma}=\gamma\times\omega,\qquad \dot{M}=M\times \omega+b\times \omega- \frac{\partial V}{\partial \gamma}\times \omega. \end{equation} \tag{9}$

Согласно Дираку изменения в уравнениях движения связаны с деформацией скобок Пуассона, отвечающей композиции преобразований

$\varphi$ (3) и

$\psi$ (7), переводящей бивектор Ли–Пуассона

$P$ в бивектор Пуассона

$P_{\psi\varphi}=g P_\varphi-g^{-1}d(M,A\gamma)\bigl(\begin{smallmatrix} 0&0 \\ 0& \Gamma \end{smallmatrix}\bigr)$ при выполнении условия (5). Отметим, что функции Казимира для

$P_{\psi\varphi}$ имеют вид (6).

Теорема. Уравнения движения (9), в которых вектор угловой скорости $\omega$ выражается через вектор углового момента шара Чаплыгина относительно точки контакта согласно (8), становятся гамильтоновыми после замены времени $\mathrm dt\to g\,\mathrm d\tau$ и обладают инвариантной мерой $\mu=g^{-1}\,\mathrm d\gamma\,\mathrm dM$ . Таким образом, наложение соленоидального поля на неголономный шар Чаплыгина не меняет ни механическую энергию, ни инвариантную меру, ни конформную гамильтоновость соответствующего векторного поля $X_{\psi\varphi}=g^{-1}P_{\psi\varphi}\,\mathrm dH$ .



Список литературы

1.	О. И. Богоявленский, Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения, Наука, М., 1991, 320 с.
2.	А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. В. Цыганов, УМН, 69:3(417) (2014), 87–144
3.	В. В. Козлов, УМН, 74:1(445) (2019), 117–148
4.	J. E. Marsden, G. Misiołek, J.-P. Ortega, M. Perlmutter, T. S. Ratiu, Hamiltonian reduction by stages, Lecture Notes in Math., 1913, Springer, Berlin, 2007, xvi+519 pp.

Образец цитирования: А. В. Борисов, А. В. Цыганов, “О шаре Чаплыгина в соленоидальном поле”, УМН, 76:3(459) (2021), 185–186; Russian Math. Surveys, 76:3 (2021), 546–548

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BorTsi21}

\by А.~В.~Борисов, А.~В.~Цыганов

\paper О шаре Чаплыгина в соленоидальном поле

\jour УМН

\yr 2021

\vol 76

\issue 3(459)

\pages 185--186

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm9930}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm9930}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4265400}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1480.37073}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021RuMaS..76..546B}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=47040604}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2021

\vol 76

\issue 3

\pages 546--548

\crossref{https://doi.org/10.1070/RM9930}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000691279200001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85115019977}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/rm9930

https://doi.org/10.4213/rm9930

https://www.mathnet.ru/rus/rm/v76/i3/p185

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	418
PDF русской версии:	72
PDF английской версии:	33
HTML русской версии:	137
Список литературы:	56
Первая страница:	29

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы