Аннотация:
Статья посвящена 100-летию со дня рождения выдающегося советского математика, основателя крупнейшей математической школы академика Николая Николаевича Лузина.
В ней приведено небольшое число результатов Н. Н. Лузина по метрической теории функций, но зато каждый из них явился основой и отправным пунктом дальнейших многочисленных исследований, часть из которых изложена в статье.
В § 3 доказывается теорема Лузина о примитивной функции, которая гласит, что измеримость и конечность почти всюду функции f(t)f(t) с t∈[a,b]t∈[a,b] являются необходимыми и достаточными условиями существования у f(t)f(t) примитивной функции F(t)F(t), т.е. такой непрерывной функции F(t)F(t), для которой F′(t)=f(t) при почти всех t∈[a,b].
На основе этой теоремы Н. Н. Лузин установил крайне важный результат о том, что любая 2π-периодическая, измеримая и конечная функция f(t) представима тригонометрическим рядом в том смысле, что этот ряд почти всюду на [0;2π] суммируется методами Абеля–Пуассона и Римана к f(t). Этот результат и его дальнейшее развитие (Д. Е. Меньшов, А. А. Талалян, Б. С. Кашин и их ученики) изложены в § 4.
В § 5 речь идет о знаменитом C-свойстве Лузина. Здесь приводятся также результаты Д. Е. Меньшова, А. А. Талаляна, А. М. Олевского, К. И. Осколкова и др. Наиболее подробно излагаются недавние утверждения К. И. Осколкова об исправлении функций классов Lip(α,p) на множествах малой меры.
Последний параграф (§ 6) посвящен вопросу существования
расходящихся тригонометрических рядов, обладающих
тем или иным дополнительным свойством. Это направление
исследований берет свое начало от самой первой работы
Н. Н. Лузина, опубликованной им в 1911 г. Здесь приводятся
результаты А. Н. Колмогорова, Г. Харди и Д. Литтльвуда,
Л. Недера, Р. О. Кузьмина, В. Орлича, С. Б. Стечкина,
А. М. Олевского, А. С. Белова, С. Ш. Галстяна и др. Наиболее
подробно излагаются новейшие утверждения С. Ш. Галстяна.
Библ. 96 назв.
Образец цитирования:
П. Л. Ульянов, “О работах Н. Н. Лузина по метрической теории функций”, УМН, 40:3(243) (1985), 15–70; Russian Math. Surveys, 40:3 (1985), 15–77
\RBibitem{Uly85}
\by П.~Л.~Ульянов
\paper О работах Н.\,Н.~Лузина по метрической теории функций
\jour УМН
\yr 1985
\vol 40
\issue 3(243)
\pages 15--70
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm2646}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=795185}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0577.01032|0591.01019}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?1985RuMaS..40...15U}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 1985
\vol 40
\issue 3
\pages 15--77
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM1985v040n03ABEH003588}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=A1985A935700004}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/rm2646
https://www.mathnet.ru/rus/rm/v40/i3/p15
Эта публикация цитируется в следующих 10 статьяx:
Е. И. Бережной, “Точная теорема экстраполяции для пространств Лоренца”, Сиб. матем. журн., 54:3 (2013), 520–535; E. I. Berezhnoǐ, “A sharp extrapolation theorem for Lorentz spaces”, Siberian Math. J., 54:3 (2013), 406–418
Е. И. Бережной, “Подпространство пространства Гельдера, состоящее из самых негладких функций”, Матем. заметки, 74:3 (2003), 329–339; E. I. Berezhnoi, “A Subspace of Hölder Space Consisting Only of Nonsmoothest Functions”, Math. Notes, 74:3 (2003), 316–325
М. И. Дьяченко, К. С. Казарян, “О множествах сходимости и расходимости кратных ортогональных рядов”, Матем. сб., 193:9 (2002), 41–62; M. I. Dyachenko, K. S. Kazarian, “On sets of convergence and divergence of multiple orthogonal series”, Sb. Math., 193:9 (2002), 1281–1301
Е. И. Бережной, “Теорема исправимости для анизотропных пространств”, Матем. заметки, 70:3 (2001), 323–333; E. I. Berezhnoi, “The Correction Theorem for Anisotropic Spaces”, Math. Notes, 70:3 (2001), 291–299
К. С. Казарян, Д. Ватерман, “Теоремы о представлении функций рядами”, Матем. сб., 191:12 (2000), 123–140; K. S. Kazarian, D. Waterman, “Theorems on representation of functions by series”, Sb. Math., 191:12 (2000), 1873–1889
Е. И. Бережной, “Оценки равномерного модуля непрерывности функций из симметричных пространств”, Изв. РАН. Сер. матем., 60:2 (1996), 3–20; E. I. Berezhnoi, “Estimates for a uniform modulus of continuity of functions from symmetric spaces”, Izv. Math., 60:2 (1996), 233–250
П. Л. Ульянов, “Воспоминания о Cергее Борисовиче Стечкине”, УМН, 51:6(312) (1996), 11–20; P. L. Ul'yanov, “Reminiscences of Sergei Borisovich Stechkin”, Russian Math. Surveys, 51:6 (1996), 1015–1024
Е. И. Бережной, “Точная теорема исправимости для пространств функций обобщенной ограниченной
вариации”, Матем. заметки, 56:5 (1994), 10–21; E. I. Berezhnoi, “The exact correction theorem for spaces of functions of generalized bounded variation”, Math. Notes, 56:5 (1994), 1105–1112
К. С. Казарян, “Расходящиеся ортогональные ряды Фурье”, Матем. сб., 182:7 (1991), 985–1008; K. S. Kazarian, “Divergent orthogonal Fourier series”, Math. USSR-Sb., 73:2 (1992), 355–377
В. Г. Кротов, “О гладкости примитивных Н. Н. Лузина и о теоремах Д. Е. Меньшова и Н. К. Бари”, Матем. сб., 134(176):3(11) (1987), 404–420; V. G. Krotov, “On the smoothness of Luzin primitives and on theorems of Men'shov
and Bari”, Math. USSR-Sb., 62:2 (1989), 403–419
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: