Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, “Экстремальные задачи Логана–Эрмита для целых функций экспоненциального типа”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 138–143; Math. Notes, 113:1 (2023), 143

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 1, страницы 138–143
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13858 (Mi mzm13858)

Краткие сообщения

Экстремальные задачи Логана–Эрмита для целых функций экспоненциального типа

Д. В. Горбачев, В. И. Иванов

Тульский государственный университет

PDF полного текста (351 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13858

Ключевые слова: целые функции экспоненциального типа, квадратурные формулы на полупрямой, преобразования по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля, экстремальные задачи типа Логана.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	18-11-00199
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00199, https://rscf.ru/project/18-11-00199/.

Поступило: 26.08.2022

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages 143–148
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010157

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

1. Введение

Пусть $\alpha\geqslant{-}1/2$ , $J_{\alpha}(t)$ – функция Бесселя, $q_{\alpha,1}<q_{\alpha,2}<\cdots$ – положительные нули $J_{\alpha}(t)$ , $j_{\alpha}(t)=\Gamma(\alpha+1)(2/t)^{\alpha}J_{\alpha}(t)$ – нормированная функция Бесселя, $\tau>0$ , $\mathcal{E}_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)$ – класс действительных четных целых функций экспоненциального типа не выше $2\tau$ , представимых в виде

$\begin{equation*} f(\lambda)=\displaystyle\int_{0}^{2\tau} j_{\alpha} (\lambda t)\,d\sigma_{f}(t), \end{equation*} \notag$

где

$\sigma_f(t)$ – функция ограниченной вариации,

$d\nu_{\alpha}(t)=t^{2\alpha+1}\,dt$ ,

$\begin{equation*} \lambda(f)=\sup\{\lambda\in\mathbb{R}_+\colon f(\lambda)>0\} \end{equation*} \notag$

(

$\lambda(f)=0$ , если

$f\leqslant 0$ ).

При изучении принципа неопределенности для целых функций экспоненциального типа, имеющего отношение к принципу неопределенности Бургейна–Клозеля–Кахана [1], в [2] для целых функций экспоненциального типа, являющихся преобразованиями Ганкеля конечных мер, решена следующая задача типа Логана (см. [3], [4]). Вычислить величину

$\begin{equation} \Lambda(\alpha,\tau,n,m)=\inf\lambda((-1)^mf),\qquad n\in \mathbb{N},\quad m\in \mathbb{Z}_{+}, \end{equation} \tag{1}$

где экстремум берется по всем нетривиальным функциям

$f\in\mathcal{E}_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)\cap L^{1}(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\nu_{\alpha})$ , удовлетворяющим условиям

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, f^{(2l)}(0)=0,\quad l=0,1,\dots,n-2,\qquad f^{(2(n-1))}(0)\leqslant 0, \\ \int_{0}^{\infty}\lambda^{2k}f(\lambda)\,d\nu_{\alpha}(\lambda) =0,\quad k=0,1,\dots,m-1,\qquad (-1)^m\int_{0}^{\infty}\lambda^{2m}f(\lambda)\, d\nu_{\alpha}(\lambda)\geqslant 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Теорема 1 [2]. Если $\alpha\geqslant-1/2$ , $\tau>0$ , $n\in\mathbb{N}$ , $m\in\mathbb{Z}_+$ , то $\Lambda(\alpha,\tau,n,m)=q_{\alpha+n,m+1}/\tau$ . Единственная с точностью до постоянного положительного множителя экстремальная функция имеет вид

$\begin{equation*} f^{*}(\lambda)=\frac{\lambda^{2n}j_{\alpha+n}^2(\tau\lambda)} {(1-(\tau\lambda)^2/q_{\alpha+n,1}^2)\cdots (1-(\tau\lambda)^2/q_{\alpha+n,m+1}^2)}\,. \end{equation*} \notag$

Близкие задачи для многочленов исследованы в [5]. Преобразование Ганкеля связано с задачей Штурма–Лиувилля со степенным весом на полупрямой. Наша цель – поставить и решить задачу, аналогичную (1), для преобразований по собственным функциям общей задачи Штурма–Лиувилля. Мы назовем ее задачей Логана–Эрмита, чтобы подчеркнуть наличие в ограничениях на допустимые функции в задаче (1) интерполяционного условия Эрмита в точке 0. Решение задачи (1) основано на применении квадратурной формулы Маркова–Эрмита для целых функций экспоненциального типа на полупрямой с кратным узлом в точке $0$ и узлами, являющимися нулями функции Бесселя (см. [2]), поэтому мы докажем ее аналог, относящийся к общей задаче Штурма–Лиувилля. Мы будем опираться на наш подход к построению квадратурных формул для целых функций экспоненциального типа на полупрямой, приведенный в [6].

Пусть $w(t)$ – непрерывная весовая функция на полупрямой $\mathbb{R}_+$ , которая положительна и непрерывно дифференцируема при $t>0$ . Рассмотрим задачу Штурма–Лиувилля

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t} \biggl(w(t)\,\frac{\partial}{\partial t}\,u(t,\lambda)\biggr)+ \lambda^2w(t)u(t,\lambda)=0, \\ u(0,\lambda)=1,\quad \frac{\partial u}{\partial t}\,(0,\lambda)=0,\quad t,\lambda\in \mathbb{R}_+. \end{gathered} \end{equation} \tag{2}$

Предположим, что задача (2) при

$\lambda\geqslant 0$ имеет решение, собственную функцию

$u=\varphi(t,\lambda)$ и для нее выполнены следующие свойства.

Условие 1. Собственная функция $\varphi(t,\lambda)$ – действительная функция, четная аналитическая в окрестности $\mathbb{R}$ по $t$ и четная целая функция экспоненциального типа $|t|$ при $t\ne 0$ по $\lambda$ ,

$\begin{equation*} \varphi(0,\lambda)=\varphi(t,0)=1,\qquad |\varphi(t,\lambda)|\leqslant 1,\quad \lambda,t\in \mathbb{R}. \end{equation*} \notag$

Условие 2. Для $t>0$ , $\lambda\in \mathbb{C}$

$\begin{equation*} \varphi(t,\lambda)=\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1-\frac{\lambda^2}{\lambda_{k}^2(t)}\biggr), \end{equation*} \notag$

где

$0<\lambda_{1}(t)<\dots<\lambda_{k}(t)<\cdots$ – положительные нули

$\varphi(t,\lambda)$ по

$\lambda$ . Нули

$\lambda_{k}(t)$ непрерывны и монотонно убывают при

$t>0$ . При этом

$\lambda_{k}(t)=t_{k}^{-1}(t)$ , где

$t_{k}(\lambda)$ – положительные нули функции

$\varphi(t,\lambda)$ по

$t>0$ . Нули

$t_{k}(\lambda)$ также непрерывны и монотонно убывают при

$\lambda>0$ .

Условие 3. Спектральная мера $d\sigma(\lambda)$ задачи (2) определяется непрерывно дифференцируемой на $\mathbb{R}_+$ функцией $\sigma(\lambda)$ , для которой $\sigma(0)=0$ и

$\begin{equation} \sigma'(\lambda)=s(\lambda)\asymp \lambda^{2\alpha+1}, \qquad \lambda \to +\infty,\quad \alpha\geqslant -\frac{1}{2}\,. \end{equation} \tag{3}$

Условие 4. Для $t>0$ равномерно на каждом компакте из $(0,\infty)$ справедлива асимптотика

$\begin{equation} \lambda^{\alpha+1/2}\varphi(t,\lambda)=C_{t}(\cos(t\lambda-c_{t})+ e^{t|\operatorname{Im}\lambda|}O(|\lambda|^{-1})),\qquad |\lambda|\to\infty,\quad \operatorname{Re}\lambda\geqslant 0, \end{equation} \tag{4}$

где

$C_t>0$ ,

$\alpha$ из (3).

В дальнейшем будем предполагать условия 1–4 всегда выполненными.

Пусть $\mathcal{E}_{w}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)$ – класс действительных четных целых функций экспоненциального типа не выше $2\tau$ , представимых в виде

$\begin{equation*} f(\lambda)= \displaystyle\int_{0}^{2\tau}\varphi(t,\lambda)\,d\sigma_{f}(t), \end{equation*} \notag$

где

$\sigma_f(t)$ – функция ограниченной вариации.

Задача Логана–Эрмита. Вычислить величину

$\begin{equation} \Lambda(w,\tau,n,m)=\inf\lambda((-1)^mf), \end{equation} \tag{5}$

где экстремум берется по всем нетривиальным функциям

$f\in\mathcal{E}_{w}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)\cap L^{1}(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}d\sigma)$ , удовлетворяющим условиям

$\begin{equation} \begin{gathered} \, f^{(2l)}(0)=0,\quad l=0,1,\dots,n-2,\qquad f^{(2(n-1))}(0)\leqslant 0, \\ \int_{0}^{\infty}\lambda^{2k}f(\lambda)\,d\sigma(\lambda)=0,\quad k=0,1,\dots,m-1,\qquad (-1)^m\int_{0}^{\infty}\lambda^{2m}f(\lambda)\,d\sigma(\lambda) \geqslant 0. \end{gathered} \end{equation} \tag{6}$

Пусть $n\in\mathbb{N}$ , $\varphi_n(t,\lambda)$ – собственная функция задачи Штурма–Лиувилля, спектральная мера которой есть $d\sigma_n(\lambda)=\lambda^{2n}\,d\sigma(\lambda)$ , $\lambda_{1,n}(t)<\lambda_{2,n}(t)<\cdots$ – положительные нули $\varphi_n(t,\lambda)$ по $\lambda$ . Построение $\varphi_n(t,\lambda)$ будет осуществлено позже.

Сформулируем основной результат работы.

Теорема 2. Если $\tau>0$ , $n\in\mathbb{N}$ , $m\in\mathbb{Z}_+$ , то $\Lambda(w,\tau,n,m)=\lambda_{m+1,n}(\tau)$ . Единственная с точностью до постоянного положительного множителя экстремальная функция имеет вид

$\begin{equation} f_{n,m}^{*}(\lambda)=\frac{\lambda^{2n}\varphi_n^2(t,\lambda)} {(1-\lambda^2/\lambda_{1,n}^2(\tau))\cdots (1-t^2/\lambda_{m+1,n}^2(\tau))}\,. \end{equation} \tag{7}$

Для нее дополнительно

$\int_{0}^{\infty} \lambda^{2m}f_{n,m}^{*}(\lambda)\,d\sigma(\lambda)=0$ ,

$(f_{n,m}^{*})^{(2(n-1))}(0)=0$ .

2. Квадратурные формулы Маркова–Эрмита

Вывод квадратурных формул Маркова–Эрмита для четных целых функций экспоненциального типа будет опираться на квадратурную формулу Гаусса, доказанную в [6] при выполнении условий 1–4.

Пусть $\alpha\geqslant-1/2$ , $E_{\alpha}^{\tau}(\mathbb{R}_{+})$ – класс четных целых функций экспоненциального типа не выше $\tau$ , принадлежащих $L^1(\mathbb{R}_+,\lambda^{2\alpha+1}\,d\lambda)$ .

Нам понадобится квадратурная формула Гаусса для интеграла с мерой $d\sigma_n(\lambda)$ по нулям функции $\varphi_n(t,\lambda)$ . Сначала построим собственную функцию $\varphi_n(t,\lambda)$ . При $n=1$ это сделано в [6]. Если

$\begin{equation*} w_0(t)=w(t),\qquad \varphi_0(t,\lambda)=\varphi(t,\lambda),\qquad d\sigma_0(\lambda)=d\sigma(\lambda),\qquad \alpha_0=\alpha, \end{equation*} \notag$

то

$\begin{equation} \begin{gathered} \, W_1(t)=\int_{0}^{t}w_0(s)\,ds,\qquad w_1(t)=\frac{W_1^2(t)}{w_0(t)}\,,\qquad d\sigma_1(\lambda)=\lambda^2\,d\sigma_0(\lambda),\qquad \alpha_1=\alpha_0+1, \\ \varphi_1(t,\lambda)=\frac{1}{W_1(t)}\int_{0}^{t} \varphi_0(s,\lambda)w_0(s)\,ds=-\frac{w_0(t)}{\lambda^2W_1(t)} \frac{\partial\varphi_0(t,\lambda)}{\partial t}\,. \end{gathered} \end{equation} \tag{8}$

Функция

$\varphi_1(t,\lambda)$ является решением задачи Штурма–Лиувилля (2) c весом

$w_1(t)$ и для нее выполнены условия 1–4. Ее спектральная мера равна

$d\sigma_1(\lambda)$ с показателем

$\alpha_1$ . Далее применяем индукцию. Если

$w_{n-1}$ ,

$\varphi_{n-1}$ ,

$d\sigma_{n-1}$ ,

$\alpha_{n-1}$ уже определены, то

$W_n$ ,

$w_n$ ,

$d\sigma_{n}$ ,

$\alpha_{n}$ ,

$\varphi_n$ находим по формулам (8). В частности, для собственной функции

$\varphi_n(t,\lambda)$ будут выполняться условия 1–4 с

$d\sigma_n(\lambda)= \lambda^{2n}\,d\sigma(\lambda)$ и

$\alpha_n=\alpha+n$ , поэтому мы можем записать нужную квадратурную формулу Гаусса.

Лемма 1. Для произвольной функции $f\in E_{\alpha+n}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+})$ справедлива квадратурная формула Гаусса с положительными весами

$\begin{equation} \int_{0}^{\infty}f(\lambda)\,\lambda^{2n}\,d\sigma(\lambda)= \sum_{i=1}^{\infty}\widetilde{\gamma}_{i,n} f(\lambda_{i,n}(\tau)),\qquad \widetilde{\gamma}_{i,n}>0. \end{equation} \tag{9}$

Теперь мы в состоянии доказать квадратурную формулу Маркова–Эрмита.

Теорема 3. Для произвольной функции $f\in E_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+})$ справедлива квадратурная формула Маркова–Эрмита

$\begin{equation} \int_{0}^{\infty}f(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= \sum_{i=0}^{n-1}\delta_{i,n}f^{(2i)}(0)+ \sum_{i=1}^{\infty}\gamma_{i,n}f(\lambda_{i,n}(\tau)), \end{equation} \tag{10}$

где

$\delta_{n-1,n}>0$ и все

$\gamma_{i,n}>0$ .

Доказательство. В силу (4) для $j=0,1,\dots$

$\begin{equation*} \lambda^{\alpha+1/2}\, \frac{\partial^{j}\varphi(t,\lambda)}{\partial t^j}= \lambda^{j}C_{t}(\cos{}(t\lambda-c_{t})+O(\lambda^{-1})),\qquad \lambda\to\infty \end{equation*} \notag$

(см. [6]), поэтому

$\varphi_n(\tau,\lambda)= O(\lambda^{-(\alpha+n+1/2)})$ . Пусть

$f\in E_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+})$ ,

$\begin{equation*} L_n(\lambda,f)=\varphi_n^2(\tau,\lambda)\sum_{j=0}^{n-1} (f\varphi_n^{-2})^{(2j)}(0)\,\frac{\lambda^{2j}}{(2j)!}\,. \end{equation*} \notag$

На

$L_n(\lambda,f)$ можно смотреть как на эрмитовскую интерполяционную целую функцию экспоненциального типа с одним кратным узлом в нуле.

Так как в окрестности нуля $f(\lambda)-L_n(\lambda,f)= \sum_{j=n}^{\infty}(f\varphi_n^{-2})^{(2j)}(0)\lambda^{2j}/(2j)!$ , то функция

$\begin{equation*} r_n(\lambda)=\frac{f(\lambda)-L_n(\lambda,f)}{\lambda^{2n}}\in E_{\alpha+n}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+}). \end{equation*} \notag$

Применяя к ней квадратурную формулу Гаусса (9), получим

$\begin{equation} {\int_{0}^{\infty}f(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= \int_{0}^{\infty}L_n(\lambda,f)\,d\sigma(\lambda)+ \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\widetilde{\gamma}_{i,n}}{ {\lambda_{i,n}^{2n}(\tau)}}\,f({\lambda_{i,n}(\tau)})- \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\widetilde{\gamma}_{i,n}} {\lambda_{i,n}^{2n}(\tau)}\,L_n({\lambda_{i,n}(\tau)},f).} \end{equation} \tag{11}$

Подставляя в (11) разложения по формуле Лейбница

$\begin{equation*} (f\varphi_n^{-2})^{(2j)}(0)=\sum_{s=0}^{j} \begin{pmatrix} 2j \\ 2s\end{pmatrix} f^{(2s)}(0)(\varphi_n^{-2})^{(2j-2s)}(0),\qquad j=0,1,\dots,n-1, \end{equation*} \notag$

придем к (10). Отметим, что все

$\gamma_{i,n}=\widetilde{\gamma}_{i,n}/\lambda_{i,n}^{2n}(\tau)>0$ . Подставляя в (10) функцию

$f_1(\lambda)= \lambda^{2(n-1)}\varphi_n^{2}(\tau,\lambda)\in E_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+})$ , получим

$\begin{equation*} 0<\int_{0}^{\infty}f_1(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= (2(n-1))!\,\delta_{n-1,n}. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\delta_{n-1,n}>0$ . Теорема 3 доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Оценка сверху. Целая функция $f_{n,m}^{*}(\lambda)$ (7) имеет тип $2\tau$ и является допустимой в задаче Логана–Эрмита. Действительно, $f_{n,m}^{*}(\lambda)=O(\lambda^{-(2\alpha+m+3)})$ при $\lambda\to\infty$ , поэтому $f_{n,m}^{*}\in L^1(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\sigma)$ . По теореме Пэли–Винера в [7] носитель ее преобразования Фурье

$\begin{equation*} \mathcal{F}(f_{n,m}^{*})(t)= \int_{0}^{\infty}f_{n,m}^{*}(\lambda) \varphi(t,\lambda)\,d\sigma(\lambda) \end{equation*} \notag$

лежит на отрезке

$[0,2\tau]$ и

$\begin{equation*} f_{n,m}^{*}(\lambda)=\int_{0}^{2\tau}\mathcal{F}(f_{n,m}^{*})(t) \varphi(t,\lambda)w(t)\,dt. \end{equation*} \notag$

Все производные

$f_{n,m}^{*}(\lambda)$ до порядка

$2n-2$ , включительно, в точке 0 равны нулю. Замечая, что

$\lambda^{2m}f_{n,m}^{*}(\lambda)\in L^1(\mathbb{R}_+,d\sigma)$ , и применяя квадратурную формулу Маркова–Эрмита (10), получим

$\begin{equation*} \int_{0}^{\infty}\lambda^{2j} f_{n,m}^{*}(\lambda)\,d\sigma(\lambda)=0,\qquad j=0,1,\dots,m. \end{equation*} \notag$

Так как

$\lambda((-1)^mf_{n,m}^{*})=\lambda_{m+1,n}(\tau)$ , то

$\Lambda(w,\tau,n,m)\leqslant\lambda_{m+1,n}(\tau)$ .

Оценку снизу будем вести от противного. Обозначим для простоты $\lambda_{j,n}(\tau)=\lambda_j$ . Предположим, что для некоторой нетривиальной функции $f\in\mathcal{E}_{w}^{2\tau}(\mathbb{R}_+)\cap L^{1}(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\sigma)$ , для которой выполнены условия (6), будет $\lambda((-1)^mf)<\lambda_{m+1}$ . Рассмотрим функцию

$\begin{equation*} g(\lambda)=(-1)^mf(\lambda)\prod_{j=1}^{m}(\lambda^2-\lambda_j^2) \in E_{\alpha}^{2\tau}(\mathbb{R}_{+}) \end{equation*} \notag$

и применим к ней квадратурную формулу Маркова–Эрмита (10)

$\begin{equation} \int_{0}^{\infty}g(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= \sum_{i=0}^{n-1}\delta_{i,n}g^{(2i)}(0)+ \sum_{i=1}^{\infty}\gamma_{i,n}g(\lambda_{i}). \end{equation} \tag{12}$

Так как в силу (6) и предположения

$\lambda((-1)^mf)<\lambda_{m+1}$ ,

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \int_{0}^{\infty}g(\lambda)\,d\sigma(\lambda)= (-1)^{m}\int_{0}^{\infty}\lambda^{2m} f(\lambda)\,d\sigma(\lambda)\geqslant 0,\qquad g(\lambda_i)\leqslant 0,\quad i\geqslant m+1, \\ g^{(2l)}(0)=0,\quad l=0,1,\dots,n-2,\quad g^{(2(n-1))}(0)=f^{(2(n-1))}(0) \prod_{j=1}^{m}\lambda_j^2\leqslant 0, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

то

$\begin{equation*} 0\leqslant\delta_{n-1,n}f^{(2(n-1))}(0)\prod_{j=1}^{m}\lambda_j^2+ \sum_{i=m+1}^{\infty}\gamma_{i,n}f(\lambda_{i}) \prod_{j=1}^m(\lambda_i^2-\lambda_j^2)\leqslant 0. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$f(\lambda)$ в точках

$\lambda_i$ ,

$i\geqslant m+1$ , имеет нули кратности 2, а в точке 0 – нуль кратности

$2n$ и

$\int_{0}^{\infty}\lambda^{2m} f(\lambda)\,d\sigma(\lambda)=0$ . Аналогично, подставляя в (12) функцию

$\begin{equation*} g(\lambda)=f(\lambda)\prod_{j=1,j\ne k}^m (\lambda^2-\lambda_j^2),\qquad k=1,\dots,m, \end{equation*} \notag$

получим

$\begin{equation*} \gamma_{k,n}f(\lambda_{k})\prod_{j=1,j\ne k}^m (\lambda_k^2-\lambda_j^2)=0. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$f(\lambda)$ в точках

$\lambda_i$ ,

$i=1,\dots,m$ , имеет, по крайней мере, простые нули.

Четная целая функция $f(\lambda)$ экспоненциального типа не выше $2\tau$ , имеющая в точках $\lambda_i$ при $i=1,\dots,m$ , простые нули, а при $i\geqslant m+1$ двойные нули и в точке 0 – нуль кратности $2n$ , допускает следующую факторизацию:

$\begin{equation*} f(\lambda)=\frac{\lambda^{2n}\varphi_n^2(\tau,\lambda) \sum_{i=0}^mc_i\lambda^{2i}}{(1-\lambda^2/\lambda_{1,n}^2(\tau)) \cdots (1-t^2/\lambda_{m,n}^2(\tau))} \end{equation*} \notag$

(см. [2]). Любая такая нетривиальная функция

$f\notin L^1(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\sigma)$ . Мы получили противоречие и

$\Lambda(w,\tau,n,m)\geqslant\lambda_{m+1,n}(\tau)$ .

Единственность экстремальной функции. Рассуждая, как и ранее, получим, что любая экстремальная функция имеет в точках $\lambda_i$ при $i=1,\dots,m+1$ , простые нули, а при $i\geqslant m+2$ двойные нули и в точке 0 – нуль кратности $2n$ . Она допускает факторизацию

$\begin{equation*} f(\lambda)=\frac{\lambda^{2n}\varphi_n^2(\tau,\lambda) \sum_{i=0}^{m+1}c_i\lambda^{2i}}{(1-\lambda^2/\lambda_{1,n}^2(\tau)) \cdots(1-t^2/\lambda_{m+1,n}^2(\tau))}\,. \end{equation*} \notag$

Такая нетривиальная функция

$f\in L^1(\mathbb{R}_+,\lambda^{2m}\,d\sigma)$ , если только многочлен

$\sum_{i=0}^{m+1}c_i\lambda^{2i}$ является положительной константой. Теорема 2 доказана.

Случай гиперболического веса. Пусть

$\begin{equation*} \alpha\geqslant\beta\geqslant-1/2,\quad \rho=\alpha+\beta+1,\quad \Delta(t)=2^{2\rho}( \operatorname{ch} t)^{2\alpha+1}( \operatorname{ch} t)^{2\beta+1}. \end{equation*} \notag$

Задача Штурма–Лиувилля для гиперболического веса имеет вид

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\biggl(w(t)\, \frac{\partial}{\partial t}\,u(t,\lambda)\biggr)+ (\lambda^2+\rho^2)w(t)u(t,\lambda)=0, \\ u(0,\lambda)=1,\quad \frac{\partial u}{\partial t}(0,\lambda)=0,\quad t,\lambda\in \mathbb{R}_+. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Она отличается от задачи (2) и в разложении собственной функции Якоби появляется дополнительный множитель

$\begin{equation*} \varphi(t,\lambda)=\varphi_0(t)\prod_{k=1}^{\infty} \biggl(1-\frac{\lambda^2}{\lambda_{k}^2(t)}\biggr), \end{equation*} \notag$

где

$\varphi_0(t)=\varphi(t,0)>0$ ,

$\varphi_0(t)\ne 1$ . Но функция

$u(t,\lambda)=\varphi(t,\lambda)/\varphi_0(t)$ уже является решением задачи (2) с весовой функцией

$\varphi_0^2(t)\Delta(t)$ и той же самой спектральной мерой

$d\sigma(\lambda)$ ,

$\sigma'(\lambda)\asymp\lambda^{2\alpha+1}$ ,

$\lambda\to\infty$ . Для функции

$u(t,\lambda)$ выполнены условия 1–4 (см. [6]). Поэтому в алгоритме построения собственной функции

$\varphi_n(t,\lambda)$ нужно изменить только нулевой шаг

$\begin{equation*} w_0(t)=\varphi_0^2(t)\Delta(t),\quad \varphi_0(t,\lambda)=\frac{\varphi(t,\lambda)}{\varphi_0(t)}\,,\quad d\sigma_0(\lambda)=d\sigma(\lambda),\quad \alpha_0=\alpha, \end{equation*} \notag$

оставляя все дальнейшими шаги неизменными. Таким образом, и в этом случае справедливы квадратурная формула Маркова–Эрмита (10) и теорема 2 для функций, являющихся преобразованиями Якоби конечных мер.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	J. Bourgain, L. Clozel, J.-P. Kahane, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 60:4 (2010), 1215–1232
2.	D. Gorbachev, V. Ivanov, S. Tikhonov, SIAM J. Math. Anal., 52:5 (2020), 4751–4782
3.	B. F. Logan, SIAM J. Math. Anal., 14:2 (1983), 249–252
4.	B. F. Logan, SIAM J. Math. Anal., 14:2 (1983), 253–257
5.	В. И. Иванов, Матем. заметки, 110:5 (2021), 789–795
6.	Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, Матем. сб., 206:8 (2015), 63–98
7.	Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, Матем. сб., 210:6 (2019), 56–81

Образец цитирования: Д. В. Горбачев, В. И. Иванов, “Экстремальные задачи Логана–Эрмита для целых функций экспоненциального типа”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 138–143; Math. Notes, 113:1 (2023), 143–148

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GorIva23}

\by Д.~В.~Горбачев, В.~И.~Иванов

\paper Экстремальные задачи Логана--Эрмита

для целых функций экспоненциального типа

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 113

\issue 1

\pages 138--143

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13858}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13858}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563355}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 113

\issue 1

\pages 143--148

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010157}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149931869}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13858

https://doi.org/10.4213/mzm13858

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i1/p138

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	273
PDF полного текста:	42
HTML русской версии:	204
Список литературы:	46
Первая страница:	20

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Квадратурные формулы Маркова–Эрмита

3. Доказательство теоремы 2

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ