| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Об усреднении операторов с возмущениями общего вида в младших членах Д. И. Борисовab a Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, г. Уфа b Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010145 
Реферативные базы данных:
  В последние 20 лет в теории усреднения активно развивается направление, связанное с исследованием равномерной резольвентной сходимости возмущенных операторов к усредненным; см., например, [1]–[6] и списки литературы в цитированных статьях. Случай операторов с периодически и локально-периодически быстро осциллирующими коэффициентами был очень детально исследован [1]–[5], а непериодические возмущения были рассмотрены в задачах граничного усреднения [6]. Отметим еще статьи [7], [8], где предложены подходы для изучения быстро меняющихся уже в главном члене асимптотических решений гиперболического уравнения с периодически и непериодически часто осциллирующими коэффициентами; во втором случае коэффициенты удовлетворяют заданным оценкам на производные по малому параметру. В настоящей работе мы изучаем усреднения операторов с младшими членами, произвольно зависящими от многомерного малого параметра. Основная цель – получить критерии на эту зависимость, обеспечивающие наличие равномерной резольвентной сходимости. Пусть Ω – произвольная область в пространстве Rd, ограниченная или неограниченная. Если ее граница непуста, то пусть она имеет гладкость C2 и в слое фиксированной ширины вдоль этой границы определены локальные переменные (s,τ), где s – переменные на многообразии ∂Ω, а τ – расстояние вдоль внешней нормали ν=(ν1,…,νd). Через L2(Ω;Cn) обозначаем пространство векторных функций на Ω со значениями в Cn, каждая компонента которых принадлежит L2(Ω). Пусть Mn – линейное пространство всех квадратных матриц размера n×n. Символом L∞(Ω;Mn) обозначаем пространство матричных функций на Ω со значениями в Mn, каждая компонента которых принадлежит L∞(Ω). Помимо L∞(Ω;Mn) и L2(Ω;Cn), далее используются аналогичные обозначения для различных пространств векторно- и матричнозначных функций. Пусть Aij=Aij(x), A±j=A±j(x), A0=A0(x) – матричные функции с комплексными элементами из пространства L∞(Ω;Mn), причем выполнено условие где c1>0 – некоторая фиксированная константа, не зависящая от x∈Ω и zj∈Cn. Через H обозначим оператор с дифференциальным выражением и краевым условием где Bu=u или \mathcal{B} u={\partial u}/{\partial\boldsymbol{\nu}} + Ku,
\begin{equation*}
\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{\nu}}:=\sum_{i,j=1}^{d} \nu_i A_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j} -\sum_{j=1}^{d} \nu_j A_j^- u, \qquad K\in L_\infty(\partial\Omega;\mathbb{M}_n).
\end{equation*}
\notag
Строго оператор \mathcal{H} определяем следующим образом. Через \mathring{W}_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n) обозначим подпространство пространства Соболева W_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n), состоящее из векторных функций с нулевым следом на границе. В пространстве L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) введем полуторалинейные формы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{h}_D(u,v)&:=\sum_{i,j=1}^{d} \biggl(A_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}, \frac{\partial v}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + \sum_{j=1}^{d}\biggl(A_j^+\frac{\partial u}{\partial x_j}, v \biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} \\ &\qquad - \sum_{j=1}^{d} \biggl(A_j^-u,\frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + (A_0 u, v)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
на области определения \mathring{W}_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n) и
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{h}_R(u,v)&:=\sum_{i,j=1}^{d} \biggl(A_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}, \frac{\partial v}{\partial x_i}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + \sum_{j=1}^{d} \biggl(A_j^+\frac{\partial u}{\partial x_j}, v \biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} \\ &\qquad - \sum_{j=1}^{d} \biggl(A_j^-u,\frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + (A_0 u, v)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)}+(Ku,v)_{L_2(\partial\Omega;\mathbb{C}^n)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
на области определения W_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n). Условия (1) и ограниченность A_{ij}, A_j^\pm, A_0 гарантируют замкнутость и секториальность введенных форм. В случае выбора краевого условия Дирихле для оператора \mathcal{H} положим \mathfrak{h}:=\mathfrak{h}_D, а в случае третьего краевого условия обозначим \mathfrak{h}:=\mathfrak{h}_R. Пусть \mathfrak{V} – область определения формы \mathfrak{h}, а \mathfrak{V}^* – сопряженное пространство к \mathfrak{V}, а именно, это пространство антилинейных непрерывных функционалов на \mathfrak{V}, которое реализуется в смысле спаривания в пространстве L_2(\Omega;\mathbb{C}^n). В качестве \mathcal{H} берется оператор, заданный на \mathfrak{V} и сопоставляющий каждому элементу u\in\mathfrak{V} функционал из \mathfrak{V}^*, действующий по правилу \langle\mathcal{H} u,v\rangle:=\mathfrak{h}(u,v), v\in\mathfrak{V}. Легко видеть, что такой оператор является расширением на \mathfrak{V} неограниченного m-секториального оператора в L_2(\Omega), соответствующего форме \mathfrak{h} в силу первой теоремы о представлении.
Пусть \varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m), m\geqslant 1 – малый многомерный параметр, V^\varepsilon=V^\varepsilon(x), Q_j^\varepsilon=Q_j^\varepsilon(x), P_j^\varepsilon=P_j^\varepsilon(x), j=1,\dots,d, – некоторые семейства матричных функций с комплексными элементами из пространства L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n), ограниченные равномерно по \varepsilon. В L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) определим полуторалинейную форму
\begin{equation}
\mathfrak{x}^\varepsilon(u,v):=\sum_{j=1}^{d} \biggl(Q_j^\varepsilon \frac{\partial u}{\partial x_j},v\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} - \sum_{j=1}^{d} \biggl(P_j^\varepsilon u,\frac{\partial v}{\partial x_j}\biggr)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)} + (V^\varepsilon u,v)_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)}
\end{equation}
\tag{2}
на области определения \mathfrak{D}(\mathfrak{x}^\varepsilon):=\mathfrak{V}. Через \mathcal{X}^\varepsilon обозначим оператор из \mathfrak{V} в \mathfrak{V}^*, сопоставляющий каждому элементу u\in\mathfrak{V} функционал, действующий по правилу \langle \mathcal{X}^\varepsilon u,v\rangle:=\mathfrak{x}^\varepsilon(u,v). Основным объектом нашего исследования является оператор \mathcal{H}^\varepsilon:=\mathcal{H}+\mathcal{X}^\varepsilon, имеющий формальное дифференциальное выражение и краевое условие
\begin{equation*}
\mathcal{H}^\varepsilon:=\mathcal{H} + \sum_{j=1}^{d} Q_j^\varepsilon \frac{\partial}{\partial x_j} + \sum_{j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_j} P_j^\varepsilon + V^\varepsilon,\qquad\mathcal{B}^\varepsilon u=0,
\end{equation*}
\notag
где \mathcal{B}^\varepsilon u =u, если \mathcal{B} u=u, и
\begin{equation*}
\mathcal{B}^\varepsilon u =\mathcal{B} - \sum_{j=1}^{d} P_j^\varepsilon \nu_j,\qquad \text{если}\quad \mathcal{B} u=\frac{\partial u}{\partial\boldsymbol{\nu}} + K u.
\end{equation*}
\notag
Для каждого u\in\mathfrak{V} действие функционала \mathcal{H}^\varepsilon u описывается формой
\begin{equation*}
\mathfrak{h}^\varepsilon(u,v):=\mathfrak{h}(u,v)+\mathfrak{x}^\varepsilon(u,v).
\end{equation*}
\notag
Оператор \mathcal{H}^\varepsilon является расширением на \mathfrak{V} неограниченного m-секториального оператора в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n), соответствующего замкнутой полуторалинейной форме \mathfrak{h}^\varepsilon.
Целью настоящей работы является выяснение условий на семейства Q_j^\varepsilon, P_j^\varepsilon и V^\varepsilon, при которых справедлива равномерная резольвентная сходимость оператора \mathcal{H}^\varepsilon к некоторому предельному оператору \mathcal{H}^0 с формальным дифференциальным выражением
\begin{equation*}
\mathcal{H}^0=\mathcal{H} + \sum_{j=1}^{d} Q_j^0 \frac{\partial}{\partial x_j} +\sum_{j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_j} \,P_j^0 + V^0,
\end{equation*}
\notag
и краевым условием \mathcal{B}^0 u=0, где оператор \mathcal{B}^0 задается также, как и \mathcal{B}^\varepsilon, но с заменой индекса “\varepsilon” на “0”. Этот оператор вновь понимается как действующий из \mathfrak{V} в \mathfrak{V}^* и его действие описывается формой \mathfrak{h}^0:=\mathfrak{h}+\mathfrak{x}^0, где форма \mathfrak{x}^0 дается выражением, аналогичным равенству (2), необходимо лишь всюду индекс “\varepsilon” заменить на “0”. Оператор \mathcal{H}^0 является расширением m-секториального оператора в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n), соответствующего форме \mathfrak{h}^0.
Через \mathfrak{M}_{1,-1} обозначим пространство мультипликаторов из \mathfrak{V} в \mathfrak{V}^*, состоящее из матричных функций V, определенных на \Omega и таких, что V u\in \mathfrak{V}^* для каждого u\in \mathfrak{V}. Аналогично вводятся пространства \mathfrak{M}_{1,0} и \mathfrak{M}_{2,0} мультипликаторов из \mathfrak{V} и \mathfrak{V}\cap W_2^2(\Omega;\mathbb{C}^n) в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n). Нормы в этих пространствах определяются равенствами
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|V\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}}:=\sup_{\substack{u\in \mathfrak{V}\\ u\ne0}} \frac{\|Vu\|_{\mathfrak{V}^*}}{\|u\|_\mathfrak{V}}, \qquad \|V\|_{\mathfrak{M}_{1,0}}:= \sup_{\substack{u\in \mathfrak{V}\\ u\ne0}} \frac{\|Vu\|_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)}}{\|u\|_{\mathfrak{V}}}, \\ \|V\|_{\mathfrak{M}_{2,0}}:= \sup_{\substack{u\in \mathfrak{V}\cap W_2^2(\Omega;\mathbb{C}^n) \\ u\ne0}} \frac{\|Vu\|_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)}}{\|u\|_{\mathfrak{V}}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Через \|\cdot\|_{Y_1\to Y_2} обозначим норму ограниченного оператора, действующего из банахового пространства Y_1 в банахово пространство Y_2. Верна оценка
\begin{equation}
\|\mathcal{X}^\varepsilon\|_{\mathfrak{V}\to \mathfrak{V}^*} \leqslant \sum_{j=1}^{d} ( \sqrt{n}\,\|Q_j^\varepsilon\|_{\mathfrak{M}_{1,0}}+ \|P_j^\varepsilon\|_{\mathfrak{M}_{1,0}}) + \|V^\varepsilon\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}}.
\end{equation}
\tag{3}
Сформулируем теперь основные результаты. Теорема 1. Пусть семейства Q_j^\varepsilon, P_j^\varepsilon, V^\varepsilon ограничены в L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) равномерно по \varepsilon, а соответствующие операторы \mathcal{X}^\varepsilon, определенные с помощью формы (2), сходятся к некоторому оператору \mathcal{X}^0 в норме \|\cdot\|_{\mathfrak{V}\to\mathfrak{V}^*}. Тогда существуют Q_j^0, P_j^0, V^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{C}^n), порождающие оператор \mathcal{X}^0 с помощью формы \mathfrak{x}^0, аналогичной (2). Существует вещественное число \lambda_0, не зависящее от \varepsilon, такое, что все точки \lambda\in\mathbb{C}, удовлетворяющие условию \operatorname{Re}\lambda<\lambda_0, содержатся в резольвентных множествах операторов \mathcal{H}^0 и \mathcal{H}^\varepsilon. Для каждого \lambda\in\mathbb{C} с условием \operatorname{Re}\lambda<\lambda_0 резольвента (\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1} сходится к (\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1} в норме \|\cdot\|_{\mathfrak{V}^*\to \mathfrak{V}} и представляется равномерно сходящимся рядом
\begin{equation}
(\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1}=\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1}\sum_{j=1}^{\infty} (-1)^j (\mathcal{L}_\varepsilon(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1})^j, \qquad \mathcal{L}_\varepsilon:=\mathcal{X}^\varepsilon-\mathcal{X}^0,
\end{equation}
\tag{4}
для которого верны оценки:
\begin{equation*}
\biggl\|(\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1} -(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1} \sum_{j=0}^{N} (-1)^j (\mathcal{L}_\varepsilon(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1})^j \biggr\|_{\mathfrak{V}^* \to \mathfrak{V}}\leqslant c_2^{N+2}(\lambda) \|\mathcal{L}_\varepsilon\|_{\mathfrak{V}\to \mathfrak{V}^*}^{N+1}
\end{equation*}
\notag
для всех N\in\mathbb{Z}_+, где c_2=c_2(\lambda) – некоторая константа, не зависящая от \varepsilon и N.
\begin{equation*}
\sup_{f\in \mathfrak{V}^*, \,f\ne0} \frac{\|(\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1}f -(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1}f\|_{\mathfrak{V}^*\to \mathfrak{V}}}{\|f\|_{\mathfrak{V}^*}} \to0,\qquad \varepsilon\to0.
\end{equation*}
\notag
Тогда
\begin{equation*}
\|\mathcal{L}_\varepsilon\|_{\mathfrak{V}\to \mathfrak{V}^*}\to 0,\qquad \varepsilon\to0,
\end{equation*}
\notag
где \mathcal{L}_\varepsilon – из (4). Если Q_j^\varepsilon\equiv 0, P_j^\varepsilon\equiv 0, j=1,\dots,d, то семейство V^\varepsilon сходится к V^0 в пространстве \mathfrak{M}_{1,-1} и Теорема 3. Пусть семейства V^\varepsilon, Q_j^\varepsilon сходятся к V^0, Q_j^0 в \mathfrak{M}_{1,-1}, семейство P_j^\varepsilon сходится к P_j^0 в \mathfrak{M}_{2,0}, область определения оператора \mathcal{H}^0, рассматриваемого в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n), есть подмножество пространства W_2^2(\Omega;\mathbb{C}^n) и резольвента \mathcal{H}^0 ограничена как оператор из L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) в W_2^2(\Omega;\mathbb{C}^n). Тогда оператор \mathcal{H}^\varepsilon, рассматриваемый в L_2(\Omega;\mathbb{C}^n), сходится к \mathcal{H}^0 в смысле равномерной резольвентной сходимости и для всех \lambda с условием \operatorname{Re} \lambda<\lambda_0 верна оценка:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(\mathcal{H}^\varepsilon-\lambda)^{-1}-(\mathcal{H}^0-\lambda)^{-1}\|_{L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)\to W_2^1(\Omega;\mathbb{C}^n)} \\ &\qquad \leqslant c_3(\lambda)\biggl(\|V^\varepsilon-V^0\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}} + \sum_{j=1}^{d} \|Q_j^\varepsilon-Q_j^0\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}} + \sum_{j=1}^{d} \|P_j^\varepsilon-P_j^0\|_{\mathfrak{M}_{2,0}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \lambda_0 – из теоремы 1, а c_3 – некоторая константа, не зависящая от \varepsilon. Ввиду оценки (3), сходимость оператора \mathcal{X}^\varepsilon в норме \|\cdot\|_{\mathfrak{V}\to\mathfrak{V}^*} гарантируется сходимостью семейств Q_j^\varepsilon, P_j^\varepsilon и V^\varepsilon в пространствах мультипликаторов \mathfrak{M}_{1,0} и \mathfrak{M}_{1,-1}. Вторая часть наших результатов описывает сходимость в этих пространствах. Пусть \Gamma – некоторая периодическая решетка в \mathbb{R}^d с ячейкой периодичности \square. Для \eta>0 и \gamma\in\Gamma обозначим:
\begin{equation*}
\square_\gamma^\eta:=\eta\square+\eta\gamma=\{x\in\mathbb{R}^d:\eta^{-1} x-\gamma \in\square\}, \qquad \Gamma_\eta:=\{\gamma\in\Gamma:\square_\gamma^\eta\subset\Omega\}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 4. Пусть семейство V^\varepsilon\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) ограничено равномерно по \varepsilon и существуют матричная функция V^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) и положительная скалярная функция \eta=\eta(\varepsilon), такие что
\begin{equation}
\biggl|\int_{\square_\gamma^\eta} \eta^{-d}(V^\varepsilon(x)-V^0(x))\,dx\biggr|\leqslant \rho_1(\varepsilon) \quad\textit{для всех}\quad \gamma\in\Gamma_\eta,\qquad \eta(\varepsilon)\to 0,\quad \varepsilon\to0,
\end{equation}
\tag{5}
где \rho_1=\rho_1(\varepsilon) – некоторая функция, не зависящая от \gamma и \rho_1(\varepsilon)\to0 при \varepsilon\to0. Тогда V^\varepsilon сходится к V^0 в \mathfrak{M}_{1,-1} при \varepsilon\to0 и
\begin{equation*}
\|V^\varepsilon-V^0\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}}\leqslant C(\rho_1(\varepsilon)+\eta(\varepsilon)),
\end{equation*}
\notag
где константа C не зависит от \varepsilon, \eta и \rho_1. Наоборот, если равномерно ограниченное семейство V^\varepsilon\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) сходится к V^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) в \mathfrak{M}_{1,-1}, то условие (5) выполнено с \eta(\varepsilon)=\|V^\varepsilon-V^0\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}}^{1/2}, \rho_1(\varepsilon)= C\|V^\varepsilon-V^0\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}}^{{1}/{4}}, где константа C не зависит от \varepsilon. Теорема 5. Пусть семейство V^\varepsilon\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) ограничено равномерно по \varepsilon и для каждого x\in\Omega существует конечный предел
\begin{equation*}
V^0(x):=\lim_{\varepsilon\to0} \frac{1}{\mu^d(\varepsilon)\operatorname{mes}\omega} \int_{x+\mu(\varepsilon)\omega} V^\varepsilon(y)\,dy, \qquad \mu(\varepsilon)\to0,\qquad \varepsilon\to0,
\end{equation*}
\notag
где \omega – некоторая фиксированная область, функция \mu не зависит от x, и
\begin{equation*}
\biggl|V^0(x)-\frac{1}{\mu^d(\varepsilon)\operatorname{mes}\omega} \int_{x+\mu(\varepsilon)\omega} V^\varepsilon(y)\,dy\biggr|\leqslant \rho_2(\varepsilon),\qquad \rho_2(\varepsilon)\to0,\quad \varepsilon\to0,
\end{equation*}
\notag
для всех x\in\Omega таких, что x+\mu(\varepsilon)\omega\subset\Omega, где функция \rho_2=\rho_2(\varepsilon) не зависит от x. Тогда V^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n), семейство V^\varepsilon сходится к V^0 в \mathfrak{M}_{1,-1} и верна оценка:
\begin{equation*}
\|V^\varepsilon-V^0\|_{\mathfrak{M}_{1,-1}}\leqslant C(\rho_2(\varepsilon) +\mu^{1/2}(\varepsilon)),
\end{equation*}
\notag
где константа C не зависит от \varepsilon, \mu, \rho_2. Теорема 6. Пусть семейство Q^\varepsilon\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) ограничено равномерно по \varepsilon и существуют матричная функция Q^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) и положительная скалярная функция \eta=\eta(\varepsilon) такие, что
\begin{equation}
\int_{\square_\gamma^\eta} \eta^{-d}|Q^\varepsilon(x)-Q^0(x)|^2\,dx \leqslant \rho_3(\varepsilon) \quad\textit{для всех}\quad \gamma\in\Gamma_\eta,\qquad \eta(\varepsilon)\to 0,\quad \varepsilon\to0,
\end{equation}
\tag{6}
где \rho_3=\rho_3(\varepsilon) – некоторая функция, не зависящая от \gamma, и \rho_3(\varepsilon)\to0 при \varepsilon\to0. Тогда Q^\varepsilon сходится к Q^0 в \mathfrak{M}_{1,0} при \varepsilon\to0 и
\begin{equation*}
\|Q^\varepsilon-Q^0\|_{\mathfrak{M}_{1,0}} \leqslant C(\rho_3^{1/2}(\varepsilon)+\eta^{1/2}(\varepsilon)),
\end{equation*}
\notag
где C – некоторая константа, не зависящая от \varepsilon, \eta и \rho_3. Наоборот, если равномерно ограниченное семейство Q^\varepsilon\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) сходится к Q^0\in L_\infty(\Omega;\mathbb{M}_n) в \mathfrak{M}_{1,0} при \varepsilon\to0, тогда условие (6) выполнено с \eta(\varepsilon)= \|Q^\varepsilon-Q^0\|_{\mathfrak{M}_{1,0}}^{{1}/{2}}, \rho_3(\varepsilon)= C\|Q^\varepsilon-Q^0\|_{\mathfrak{M}_{1,0}}^{{1}/{2}}, где константа C не зависит от \varepsilon. Очень кратко обсудим основные результаты. Первые две теоремы говорят, что вопрос о наличии равномерной резольвентной сходимости для оператора \mathcal{H}^\varepsilon сводится к вопросу малости нормы оператора \mathcal{X}^\varepsilon\colon\mathfrak{V}\to \mathfrak{V}^*. А именно, в рамках нашего подхода расширения операторов на \mathfrak{V} вопрос усреднения возмущения \mathcal{X}^\varepsilon эквивалентен вопросу о регулярности этого возмущения в подходящей норме. В случае положительного ответа работает регулярная теория возмущений, что и объясняет полное разложение в теореме 1. Ввиду оценки (3), а также последнего утверждения в теореме 2 о случае P_j^\varepsilon=Q_j^\varepsilon=0, малость нормы \mathcal{X}^\varepsilon (почти) эквивалентна сходимости семейств P_j^\varepsilon, Q_j^\varepsilon и V^\varepsilon в пространствах мультипликаторов \mathfrak{M}_{1,0} и \mathfrak{M}_{1,-1}. Наша вторая серия теорем устанавливает явные критерии такой сходимости и показывает возможность вычисления предела в случае пространства \mathfrak{M}_{1,-1}. Фактически наши результаты точно описывают класс возмущений, для которых возможно усреднение в смысле равномерной резольвентной сходимости. Еще отметим, что наши результаты применимы для всех известных на сегодняшний день примеров возмущений: классические регулярные возмущения, периодические, локально периодические и почти периодические быстро осциллирующие коэффициенты, случайные коэффициенты, а также для ряда новых примеров, например, возмущений вида V(x/\varepsilon) с непериодической функцией V. Автор благодарен Т. А. Суслиной за обсуждение работы и полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor23}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|