Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 1, страницы 144–148 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13685 (Mi mzm13685)

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13685

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages 149–153
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010169

Реферативные базы данных:

В работе строится полный исключительный набор в ограниченной производной категории когерентных пучков на грассманиане Кэли $\mathbf{CG}$. Геометрические свойства грассманиана Кэли были изучены в [1]. В работе [2] были подсчитаны малые квантовые когомологии грассманиана Кэли, в частности, доказана их полупростота. Таким образом, основной результат этой работы подтверждает в случае грассманиана Кэли гипотезу Дубровина, которая говорит о том, что из полупростоты малых квантовых когомологий должно следовать существование полного исключительного набора.

Известно, что из существования полного исключительного набора не следует полупростота малых квантовых когомологий. В работе [3] было дано уточнение гипотезы Дубровина для многообразий Фано с одномерной группой Пикара, а именно была сформулирована гипотеза о том, что из полупростоты малых квантовых когомологий многообразия следует существование полного лефшецева набора, вычетная категория которого порождается полностью ортогональными исключительными объектами, определение лефшецева набора и его вычетной категории см. в определении 3. В работе мы доказываем, что эта гипотеза также выполнена для грассманиана Кэли.

Фиксируем алгебраически замкнутое поле $\Bbbk$ характеристики $0$. Определим грассманиан Кэли $\mathbf{CG}$. Для этого рассмотрим грассманиан $\mathrm{Gr}(3,V)$, параметризующий 3-мерные подпространства в $7$-мерном векторном пространстве $V$. Будем обозначать $\mathscr U\subset V\otimes\mathscr O$ и $\mathscr U^\perp\subset V^\vee\otimes\mathscr O$ тавтологические векторные расслоения на $\mathrm{Gr}(3,V)$ рангов $3$ и $4$ соответственно. Тавтологическое фактор-расслоение будем обозначать как $\mathscr Q:=(\mathscr U^\perp)^\vee$, плюккерово линейное расслоение – как $\mathscr O(1)$. По определению на $\mathrm{Gr}(3,V)$ имеем точные последовательности расслоений:

Напомним определение полного исключительного набора в $\Bbbk$-линейной триангулированной категории $\mathscr T$.

Для исключительного объекта $E\in\mathscr T$ мы будем обозначать за $\mathbb L_E$ функтор левой перестройки через $E$, который переводит объект $G\in\mathscr T$ в

Полный исключительный набор в ограниченной производной категории когерентных пучков $\mathrm D^b(\mathbf{CG})$ на грассманиане Кэли $\mathbf{CG}$, который мы собираемся описать, является лефшецевым. Дадим определение лефшецева набора и его вычетной категории в производной категории гладкого проективного многообразия $X$.

Построенный набор в $\mathrm D^b(\mathbf{CG})$ состоит из четырех блоков. Общая часть этих четырех блоков состоит из трех расслоений $(\mathscr O,\mathscr U^\vee,\Lambda^2\mathscr U^\vee)$. Будем обозначать за $\mathfrak E(i)$ набор из трех расслоений:

В частности, на $\mathbf{CG}$ мы можем определить фактор-расслоение $\Lambda^2\mathscr U^\perp/\Lambda^2\mathscr U$. В исключительном наборе мы будем использовать двойственное к нему расслоение

Используя резольвенту Кошуля для структурного пучка $\varrho_*\mathscr O_{\mathbf{CG}}$:

Опишем идею доказательства полноты набора (14).

Немного удобнее доказывать полноту набора

Можно показать, что $\mathbf{CG}$ покрывается семейством подмногообразий $\mathbf{CG}_f\overset{i_f}{\hookrightarrow}\mathbf{CG}$, которые определяются как нули достаточно общих глобальных сечений $f\in\mathrm H^0(\mathbf{CG},\mathscr U^\vee)$. Нетрудно показать, что подмногообразия $\mathbf{CG}_f$ изоморфны гладкому гиперплоскому сечению изотропного грассманиана $\mathrm{IGr}(3,6)$, так что по [5; теорема 2.3] в $\mathrm D^b(\mathbf{CG}_f)$ имеется полный исключительный набор. Используя стандарные аргументы из [6], мы сводим задачу к следующей проверке включений для пяти векторных расслоений:

Доказательство включений (15) – самая важная часть доказательства полноты набора (14). Чтобы доказать (15), нам понадобится операция склейки двух расслоений на квадрики с изоморфными коядрами. Опишем ее.

Напомним, что расслоение на квадрики $\mathbf Q\to S$ над схемой $S$ – это собственный морфизм, который можно представить как композицию $\mathbf Q\hookrightarrow\mathbb P_S(\mathscr F)\to S$, где $\mathscr F$ – векторное расслоение на $S$, а $\mathbf Q\hookrightarrow\mathbb P_S(\mathscr F)$ – дивизориальныое вложение относительной степени $2$ над $S$. Расслоение на квадрики определяется самодвойственным морфизмом

Теперь опишем, каким образом предложение 2 позволяет доказать включения (15).

Вначале опишем доказательство включений $\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(1),\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(2)\in\mathscr D$. Используя результаты [1], в проективизациях векторных расслоений $\mathbb P_{\mathbf{CG}}(\mathscr U^\perp\otimes\Lambda^2\mathscr U^\vee)$ и $\mathbb P_{\mathbf{CG}}(\mathscr U^\vee\oplus\mathscr O)$ можно построить расслоения на квадрики с изоморфными коядрами. Таким образом по предложению 2 мы получаем, что существует расширение

Включения $S^2\mathscr U^\vee(1),S^2\mathscr U^\vee(2)\in\mathscr D$ следуют из стандартных точных последовательностей на $\mathbf{CG}$. Более точно, из последовательности (11) получаем $\Lambda^2\mathscr Q,\Lambda^2\mathscr Q(1)\in\mathscr D$, так что, используя (двойственный) комплекс Кошуля

Для доказательства включения $S^2\mathscr U^\vee\in\mathscr D$ снова требуется предложение 2. Используя результаты [1], в проективизациях векторных расслоений $\mathbb P_{\mathbf{CG}}(S^2\mathscr U)$ и $\mathbb P_{\mathbf{CG}}(\mathscr Q)$ можно построить расслоения на квадрики с изоморфными коядрами. Таким образом по предложению 2 мы получаем, что существует расширение

Докажем теперь, что вычетная категория (12) порождается полностью ортогональными объектами. Таким образом гипотеза из работы [3] выполнена для $\mathbf{CG}$.

Опишем идею доказательства этой теоремы. По определению

Изоморфизм $\mathbb L_{\mathfrak E}\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee \simeq\Sigma^{2,1}\mathscr U^\vee(-1)[2]$ следует из точной последовательности (18). Используя те же точные последовательности, что и в доказательстве $S^2\mathscr U^\vee\in\mathscr D$, можно показать включение $\mathscr R(-1)\in\langle\mathfrak E,\mathfrak E(1),\mathscr R(1)\rangle$. Таким образом, из исключительности набора (12) мы с точностью до сдвига получаем изоморфизм $\mathbb L_{\mathfrak E,\mathfrak E(1)}(\mathscr R(1))\simeq\mathscr R(-1)$. Мы доказали (23).

Докажем полную ортогональност обектов, порождающих $\mathsf{Res}$. Напомним, см. теорему 2.8 в [3], что вычетная категория $\mathsf{Res}$ для лефшецева набора (12) обладает следующей автоэквивалентностью:

Полуортгональность трех объектов, порождающих $\mathsf{Res}$, очевидна. Полная ортогональность следует из того, что $\tau$ является автоэквивалентностью.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	L. Manivel, J. Algebra, 503 (2018), 277–298
2.	V. Benedetti, L. Manivel, Int. J. Math., 31:3 (2020), 2050019
3.	A. Kuznetsov, M. Smirnov, Proc. London Math. Soc., 120:5 (2020), 617–641
4.	А. И. Бондал, Изв. АН СССР. Сер. матем., 53:1 (1989), 25–44
5.	A. Samokhin, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 340:12 (2005), 889–893
6.	A. Kuznetsov, Proc. London Math. Soc., 97:1 (2008), 155–182

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Gus23}
\by Л.~А.~Гусева
\paper О производной категории грассманиана Кэли
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 1
\pages 144--148
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13685}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13685}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563356}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 1
\pages 149--153
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010169}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149616635}