| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости А. Д. Барановa, И. Р. Каюмовb a Санкт-Петербургский государственный университет b Казанский (Приволжский) федеральный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9248e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеС. Н. Мергелян [1] 70 лет назад доказал, что существует ограниченная и аналитическая в круге D={|z|<1} функция f такая, что где dA(z)=(1/π)dxdy, z=x+iy. Развивая исследования в этом направлении, У. Рудин [2] построил пример бесконечного произведения Бляшке такого, что I(B)=∞ и, более того, ∫10|B′(reiθ)|dr=∞ для почти всех θ∈[0,2π]. Похожий, но конкретный пример был построен Дж. Пираняном [3].Естественно задаться следующим вопросом: что произойдет, если B – конечное произведение Бляшке порядка n? Очевидно, что для фиксированного n величина I(B) ограничена, но она не может быть равномерно ограничена по n, поскольку любая ограниченная функция может быть приближена конечными произведениями Бляшке локально равномерно в круге D. Нами получен точный порядок роста таких интегралов. А именно, имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть B – конечное произведение Бляшке порядка n. Тогда С другой стороны, существует абсолютная постоянная c>0 такая, что для любого n∈N существует конечное произведение Бляшке степени n, для которого I(B)⩾c(1+√logn).Доказательство точности этого неравенства основано на тонких результатах Н. Г. Макарова [4] и Р. Бануэлоса и Ч. Н. Мура [5] о граничном поведении функций из пространства Блоха. Отметим также, что существует обширная литература, посвященная принадлежности производных произведений Бляшке различным функциональным пространствам, например, пространствам Бергмана в круге (см. [6]–[8] и ссылки в них). Однако большинство этих результатов относятся к бесконечным произведениям, а условия сформулированы в терминах нулей. Поскольку произведение Бляшке представляет собой ограниченную рациональную функцию в единичном круге, вопрос об оценке интеграла от производной произведения Бляшке оказался связан с оценками интегралов от ограниченных рациональных функций. Такие оценки впервые были исследованы Е. П. Долженко [9] для достаточно гладких областей. Будем называть кривой типа K замкнутую жорданову кривую с непрерывной кривизной k(s), удовлетворяющей (как функция длины s дуги кривой) условию Гельдера. Пусть G – конечносвязная область, граничные кривые которой удовлетворяют условию типа K. Предположим, что 1⩽p⩽2, а R – рациональная функции степени не выше n с полюсами вне ¯G. Долженко [9; теорема 2.2] показал, что тогда найдется константа C, зависящая от области G и от p, такая, что
\begin{equation}
\int_{G}|R'(w)|\, dA(w) \leqslant C \ln (n+1) \|R\|_{H^\infty(G)}.
\end{equation}
\tag{1.3}
Здесь H^\infty(G) обозначает множество всех функций, ограниченных и аналитических в G, а \|f\|_{H^\infty(G)} = \sup_{w\in G} |f(w)|. В дальнейшем неравенства для производных рациональных функций (преимущественно в круге) исследовались в статьях В. В. Пеллера [10], С. Семмса [11], А. А. Пекарского [12], [13], В. И. Данченко [14], [15] и многих других авторов (см., например, [16]–[20]). Короткое доказательство неравенств Долженко в случае круга с заменой H^\infty-нормы на более слабую \mathrm{BMOA}-норму можно найти в [19]. В настоящей работе неравенства (1.2) и (1.3) доказаны при существенно более слабом ограничении на область, а именно, при условии отсутствия внутренних нулевых углов (точнее, для областей класса Джона – см. определение в § 3). Теорема 2. Пусть G – конечносвязная область класса Джона со спрямляемыми границами, 1\leqslant p \leqslant 2. При p=1 дополнительно предполагаем, что область G ограничена. Тогда найдется такая константа C>0, зависящая от области G и от p, что для произвольной рациональной функции R степени не выше n выполнены неравенства (1.2) и (1.3). Точность неравенства (1.2) видна уже на простейшем примере функции R(z) = z^n в круге (очевидно, мы можем рассматривать полиномы как частный случай рациональных функций с полюсом в бесконечности). Вопрос о точности оценки (1.3) в условиях теоремы 2 пока остается открытым. Однако оказывается, что при дополнительных условиях регулярности области G неравенство (1.3) может быть усилено. Теорема 3. Пусть G – односвязная область со спрямляемой границей. Предположим, что \varphi' \in H^2, где \varphi – конформное отображение круга \mathbb{D} на G. Тогда найдется такая константа C>0, зависящая от области G, что для любой рациональной функции R степени не выше n выполнено Как следует из теоремы 1, это неравенство уже является точным по порядку. Наконец, приведем утверждение, относящееся к случаю p>2 (здесь q – сопряженный с p показатель). Теорема 4. Пусть G – ограниченная односвязная область, G_\rho = \{ z\in G: \operatorname{dist}(z, \partial G) >\rho\}. Тогда для любой рациональной функции R степени не выше n и p>2 имеет место неравенство В статье [9] неравенство (1.5) было установлено для областей класса \mathrm{K}, но, как показывает наш результат, никаких ограничений на регулярность области не требуется. В [20] получено другое обобщение неравенства Долженко для случая p>2 и для рациональных функций в круге. Предположим, что R – рациональная функция степени не выше n, полюса которой лежат в дополнении круга \{|z| <1+\rho\}. Из [19; теорема 8.2] немедленно вытекает неравенство
\begin{equation*}
\|R'\|_{A^p(\mathbb{D})} \leqslant C(p) n^{1/q} \rho^{1/p-1/q} \|R\|_{\mathrm{BMOA}},
\end{equation*}
\notag
где \mathrm{BMOA} обозначает аналитическое пространство функций ограниченной средней осцилляции. Отметим, что зависимость от n в теореме 4 существенно слабее (так как в этом случае функция R предполагается ограниченной на более широком множестве). В § 5 получены более общие неравенства для весовых норм производных рациональных функций, где вес представляет собой некоторую степень расстояния до границы. Подходящим аппаратом исследования оказалась теория пространств Харди. Пусть p>0. Пространство Харди H^p – множество голоморфных функций в круге \mathbb{D}, удовлетворяющих условию \|f\|_{H^p}<\infty, где
\begin{equation*}
\|f\|^p_{H^p}:=\sup_{0<r<1}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^p\, dt.
\end{equation*}
\notag
Отметим, что при p \geqslant 1 последняя величина является нормой, относительно которой H^p – банахово пространство.
§ 2. Оценка интеграла от модуля производной произведения БляшкеДля доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая лемма. Лемма 1. Предположим, что функция g(z)\,{=}\sum_{k=0}^\infty b_k z^k аналитична в круге \mathbb{D}. Если \|g\|_\infty \leqslant 1 и p(z) = \sum_{k=0}^n b_k z^k, n\geqslant 2, то найдется абсолютная константа C_0 такая, что и Доказательство. Поскольку |b_k| \leqslant 1 и |z|^k \leqslant 1/n^2 для |z|\leqslant 1-2\log n/ n и k\geqslant n, ясно, что |g(z) - p(z)| допускает равномерную оценку при |z|\leqslant 1-2\log n/ n, откуда вытекает первая оценка леммы.
Очевидно, что что доказывает второе неравенство леммы. Доказательство теоремы 1. Воспользуемся следующими известными фактами:
\begin{equation*}
\int_0^{2\pi} |B'(re^{it})|\, dt \leqslant 2 \pi n, \qquad r \in[0,1],
\end{equation*}
\notag
для любого конечного произведения Бляшке степени n и
\begin{equation}
\int_\mathbb{D} |f'(z)|^2 (1-|z|^2)\, dA(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}|a_n|^2 \leqslant \|f\|^2_{H^2}
\end{equation}
\tag{2.1}
для любой функции f(z) = \sum_{n\geqslant 0} a_n z^n из пространства Харди H^2.
Пусть s \in [0,1]. Имеем
\begin{equation*}
\int_{\{s<|z| <1\}} |B'(z)|\, dA(z)= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \int_s^1 |B'(re^{it})| r\, dr\, dt \leqslant 2n \int_s^1 r\, dr= n (1-s^2).
\end{equation*}
\notag
В оставшейся части применим неравенство Коши–Шварца
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} |B'(z)|\, dA(z) \\ &\qquad\leqslant \biggl( \int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} |B'(z)|^2 (1-|z|^2)\, dA(z) \biggr)^{1/2} \biggl( \int_{\{0 <|z| \leqslant s\}} \frac{dA(z)}{1-|z|^2} \biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant \sqrt{2\int_0^s \frac{r\, dr}{1-r^2}} = \sqrt{\log\frac{1}{1-s^2}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, Полагая s^2=1-1/n, получаем (1.1).
Оценка снизу может быть получена методами, основанными на законе повторного логарифма Макарова [4]. Напомним, что класс Блоха \mathcal{B} состоит из аналитических в \mathbb{D} функций, для которых конечна полунорма \|f\|_{\mathcal{B}} = \sup_{z\in \mathbb{D}} (1-|z|^2) |f'(z)|. В статье [5] Р. Бануэлос и Ч. Н. Мур, отвечая на вопрос Н. Г. Макарова и Ф. Пжитыцкого, построили такую функцию f(z) = \sum_{k=1}^\infty a_k z^k из класса Блоха, что ее асимптотическая энтропия допускает оценку снизу
\begin{equation*}
\liminf_{r\to 1-} \frac{\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 r^{2k}}{\log(1/(1-r))} >0,
\end{equation*}
\notag
но для всех \zeta таких, что |\zeta| =1, выполнено
\begin{equation*}
\limsup_{r\to 1-} \frac{f(r \zeta)}{\sqrt{\log(1/(1-r)) \log\log\log(1/(1-r))}} =0.
\end{equation*}
\notag
При этом в [5; с. 852] построена последовательность многочленов
\begin{equation*}
p_n(z)=\sum_{k=4}^{4^{n+1} -1} a_k z^k=\sum_{j=1}^{n} b_j(z), \quad \text{где} \quad b_j(z)=\sum_{k=4^j}^{4^{j+1} -1} a_k z^k,
\end{equation*}
\notag
удовлетворяющих оценкам \|b_j\|_\infty \leqslant 1,
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{4^{n+1} -1} |a_k|^2 \geqslant c \log m, \qquad \|p_n\|_{H^\infty} \leqslant C\sqrt{\log m},
\end{equation*}
\notag
где m = \operatorname{deg} p_n = 4^{n+1} -1, а C,c>0 – некоторые абсолютные константы.
Из неравенства \|b_j\|_\infty \leqslant 1 нетрудно вывести, что \sup_n \|p_n\|_{\mathcal{B}} <\infty. Действительно, по лемме Шварца |b_j(rz)| \leqslant r^{4^j}, откуда по классическому неравенству Бернштейна |b_j' (rz)| \leqslant 4^j r^{4^j}. Известно (и легко показать), что \sum_{j\geqslant 1} 4^j r^{4^j} \leqslant C_1/(1-r^2) для некоторой константы C_1>0 и, таким образом, \sup_n \|p_n\|_{\mathcal{B}} <\infty. Не умаляя общности, можем считать, что \|p_n\|_{\mathcal{B}} \leqslant 1. Пусть r=1-1/m. Тогда для некоторых абсолютных констант C', c'>0
\begin{equation*}
c' \log\frac{1}{1-r} \,{\leqslant} \sum_{k=1}^m |a_k|^2 r^{2k} \,{\leqslant}\, 2 \int_{|z|<r}|p_n'(z)|^2(1-|z|^2)\,dA(z) \leqslant C'\int_{|z|<r}|p_n'(z)|\,dA(z).
\end{equation*}
\notag
Теперь положим q_n = p_n/(C\sqrt{\log m}\,). Тогда \|q_n\|_\infty \leqslant 1 и
\begin{equation*}
\int_{|z|<1-1/m}|q_n'(z)|\, dA(z) \geqslant c_1\sqrt{\log m}
\end{equation*}
\notag
для некоторой абсолютной константы c_1>0. Поскольку
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{1-2\log m/m < |z|<1-1/m}|q_n'(z)| \, dA(z) \\ &\qquad \leqslant \int_{1-2\log m /m < |z|<1-1/m} \frac{dA(z)}{1-|z|^2}=O(\log\log m), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
мы имеем для некоторого c_2>0
\begin{equation}
\int_{|z|<1-2\log m/m}|q_n'(z)|\,dA(z) \geqslant c_2 \sqrt{\log m}.
\end{equation}
\tag{2.2}
Пусть B – произведение Бляшке степени m+1 такое, что его первые m коэффициентов Тейлора совпадают с соответствующими коэффициентами многочлена q_n. В силу леммы 1
\begin{equation*}
|q_n'(z)-B'(z)| \leqslant 2C_0, \qquad |z| \leqslant 1-2\frac{\log m}{m}.
\end{equation*}
\notag
Поэтому из (2.2) следует, что
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{D}}|B'(z)|\, dA(z) \geqslant c_3\sqrt{\log m}
\end{equation*}
\notag
для некоторой абсолютной константы c_3. Теорема 1 доказана. § 3. Оценки интегралов от рациональных функцийНапомним, что конечносвязная область \Omega называется областью класса Джона, если существует константа C>0 такая, что любые две точки a,b\in \Omega могут быть соединены кривой \gamma в \Omega так, что для любого x\in\gamma имеет место неравенство
\begin{equation*}
\min \bigl( \operatorname{diam}\gamma(a,x), \operatorname{diam}\gamma(x,b) \bigr) \leqslant C \operatorname{dist} (x, \partial \Omega).
\end{equation*}
\notag
Здесь \gamma (a,x) и \gamma (x,b) – части кривой \gamma, на которые ее разбивает точка x. Данное определение имеет много различных эквивалентных формулировок (см. [21], [22]). По существу оно означает отсутствие у области внутренних нулевых углов. В частности, такому определению удовлетворяют области с условием конуса: можно коснуться границы области изнутри некоторым достаточно маленьким треугольником с фиксированными углами. В дальнейшем мы будем существенно использовать следующее свойство односвязных областей класса Джона: если \varphi – конформное отображение круга \mathbb{D} на односвязную область класса Джона, то для некоторых \alpha\in(0,1) и C>0 (см. [22; с. 96–100]).В доказательстве теоремы 2 мы будем использовать лемму 2. Доказательство. Пусть g(z) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k. Тогда
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |g'(re^{it})|^2\, dt = \sum_{k=1}^\infty k^2|a_k|^2 r^{2k} \leqslant \frac{1}{1-r} \sum_{k=1}^\infty k|a_k|^2.
\end{equation*}
\notag
Здесь мы воспользовались простым неравенством kr^{k-1}(1-r) \leqslant 1, k\geqslant 1, r \in [0,1). Поскольку функция g не более чем n-листна в круге \mathbb{D}, то в силу классической теоремы площадей имеет место неравенство Доказательство теоремы 2. Предположим сначала, что область G ограничена. Без ограничения общности можно считать, что G – односвязная область класса Джона со спрямляемой границей. Действительно, проводя гладкие разрезы (и контролируя углы), можно легко представить нашу область в виде объединения конечного числа односвязных областей класса Джона.
Пусть w=\varphi(z) – конформное отображение \mathbb{D} на G. В силу спрямляемости границы G имеем \varphi' \in H^1. Также \varphi' удовлетворяет неравенству (3.1). Перепишем наш интеграл в терминах переменной z:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G}|R'(w)|^p\, dA(w) &= \int_{\mathbb{D}}|R'(\varphi(z))|^p|\varphi'(z)|^2\, dA(z) \\ &=\int_{\mathbb{D}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Очевидно, что при p=2 последний интеграл не превосходит nM^2, поскольку функция R\circ\varphi является не более чем n-листной в круге \mathbb{D}.
Последний интеграл мы разобьем на две части – интегралы по множеству \{|z| \leqslant r_n\} и по множеству \{r_n < |z| < 1\}, где r_n = 1- 1/(n+1)^{K}, а число K>0 будет выбрано позже. Оценка интеграла по множеству \{|z| \leqslant r_n\}. Пусть M = \|R\|_{H^\infty(G)}. Положим
\begin{equation*}
J := \int_{\{|z|\leqslant r_n\}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z).
\end{equation*}
\notag
Для p=1 воспользуемся оценкой (1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M. Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &\leqslant \frac{M}{\pi} \int_0^{r_n} \frac{1}{1-r}\int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\, dr \\ &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1} M \int_0^{r_n} \frac{dr}{1-r} = 2K \|\varphi'\|_{H^1} \log(n+1) M. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В случае 1<p<2 рассмотрим отдельно интегралы по множествам \{|z| \leqslant 1-1/(n+1)\} и \{1-1/(n+1) <|z| \leqslant r_n\}. Поскольку \varphi' \in H^1, имеем \varphi'\in H^{2-p} и \|\varphi'\|_{H^{2-p}} \leqslant \|\varphi'\|_{H^1}. Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\{|z| \leqslant 1- 1/(n+1)\}} |(R\circ \varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)|^{2-p} \, dA(z) & \leqslant 2\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} \int_0^{1-1/(n+1)} \frac{M^p}{(1-r)^p}\, dr \\ &=2\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} (p-1)^{-1} (n+1)^{p-1} M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для оценки по множеству \{1-1/(n+1)<|z| \leqslant r_n\} применим неравенство Гёльдера с показателями (2-p)^{-1} и (p-1)^{-1}:
\begin{equation*}
J \,{\leqslant}\, 2 \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^{p/(p-1)}\, dt\biggr)^{p-1} \!\biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\biggr)^{2-p} dr.
\end{equation*}
\notag
Последовательно используя неравенство (1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M и лемму 2, получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^{p-2(p-1)} \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \frac{1}{(1-r)^{p-2(p-1)}} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^2 \, dt\biggr)^{p-1}\, dr \\ &\leqslant 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^p n^{p-1} \int_{1-1/(n+1)}^{r_n} \frac{dr}{(1-r)^{2-p +p-1}} \\ &=2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} M^p n^{p-1} \int_{1-1/(n+1)}^{1-1/(n+1)^K} \frac{dr}{1-r} = 2 \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p} K n^{p-1} M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Оценка интеграла по множеству \{r_n<|z| <1\}. В этом случае рассуждение применимо для всех p\in [1, 2). Выберем число \delta такое, что 0<\delta<1-p/2. Тогда 2-p-\delta \in (0,1). Пусть \beta – показатель, сопряженный c (2-p-\delta)^{-1}. Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &:= \int_{r_n<|z|<1} |(R\circ \varphi)'(z)|^p \, |\varphi'(z)|^{2-p} \, dA(z) \\ &\leqslant C^\delta \int_{r_n<|z|<1} \frac{|(R\circ \varphi)'(z)|^p \, |\varphi'(z)|^{2-p-\delta}}{(1-|z|)^{\alpha\delta}}\, dA(z) \\ &\leqslant 2C^\delta \int_{r_n}^1 \frac{1}{(1-r)^{\alpha\delta}} \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^{p\beta}\, dt\biggr)^{1/\beta} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|\, dt\biggr)^{2-p-\delta} \, dr. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отметим, что из условия \delta<1-p/2 следует, что p\beta>2. Последовательно применяя оценки (1-|z|^2) |(R\circ \varphi)'(z)| \leqslant M и лемму 2, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &\leqslant 2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^{(p\beta - 2)/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{1}{(1-r)^{\alpha\delta + (p\beta - 2)/\beta}} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |(R\circ \varphi)'(re^{it})|^2\, dt\biggr)^{1/\beta}\, dr \\ &\leqslant 2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{dr}{(1-r)^{\alpha\delta + (p\beta-2)/\beta +1/\beta}} \\ &=2 C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} \int_{r_n}^1 \frac{dr}{(1-r)^{\alpha\delta + p -1/\beta}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Остается заметить, что \alpha\delta +p- 1/\beta = \alpha\delta +p- (1- (2-p-\delta)) = 1-(1-\alpha)\delta, откуда
\begin{equation}
I \leqslant 2(1-\alpha)^{-1}\delta^{-1}C^\delta\|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p n^{1/\beta} .
\end{equation}
\tag{3.2}
Зафиксировав \delta\in (0, 1-p/2) и выбрав достаточно большое K в равенстве r_n = 1- 1/(n+1)^K, мы получаем, что I \leqslant C^\delta \|\varphi'\|_{H^1}^{2-p-\delta} M^p (и даже o(1) при n\to\infty).
Разберем теперь случай, когда \infty \in G. Ясно, что такую область можно представить как объединение (возможно с пересечением) внешности круга достаточно большого радиуса с конечносвязной ограниченной областью. Для конечносвязных ограниченных областей нами этот факт уже доказан, а для внешности круга он следует из вышеупомянутых результатов Долженко. Теорема 2 полностью доказана. § 4. Доказательства теорем 3 и 4 Доказательство теоремы 3. Как в доказательстве теоремы 2 положим r_n=1-1/(n+1)^K, где K>0. Поскольку \varphi' \in H^2 \subset H^1 и условие (3.1) выполнено для \alpha=1/2, воспользуемся оценкой (3.2) для интеграла по множеству \{r_n<|z|<1\}, найденной в доказательстве теоремы 2. При достаточно большом K этот интеграл равномерно ограничен по n (и даже стремится к нулю при n\to\infty).
Таким образом, нам достаточно оценить
\begin{equation*}
J:=\int_{0<|z| \leqslant r_n} |(R\circ \varphi)'(z)| |\varphi'(z)|\, dA(z).
\end{equation*}
\notag
По неравенству Коши–Шварца
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J & \leqslant \biggl(\int_{0<|z|\leqslant r_n} (1-|z|) |(R\circ \varphi)'(z)|^2\, dA(z) \biggr)^{1/2} \biggl(\int_{0<|z| \leqslant r_n} \frac{|\varphi'(z)|^2}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1/2} \\ & \leqslant M \biggl( \int_{0<|z| \leqslant r_n} \frac{|\varphi'(z)|^2}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1/2} \leqslant \sqrt{2} M \|\varphi'\|_{H^2} \biggl( \int_0^{r_n} \frac{dr}{1-r} \biggr)^{1/2} \\ & =\sqrt{2} M \|\varphi'\|_{H^2} \sqrt{K\ln (n+1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теорема 3 доказана. Доказательство теоремы 4. Пусть \varphi – конформное отображение \mathbb{D} на G, D_\rho = \varphi^{-1}(G_\rho). Поскольку \rho \leqslant (1-|z|^2)|\varphi'(z)|, z\in D_\rho, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{G_\rho} |R'(\zeta)|^p\, dA(\zeta) & = \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^p |\varphi'(z)|^{2-p}\, dA(z) \\ & \leqslant \rho^{2-p} \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^p (1-|z|^2)^{p-2}\, dA(z) \\ & \leqslant \rho^{2-p} M^{p-2} \int_{D_\rho} |(R\circ \varphi)'(z)|^2\, dA(z) \leqslant \rho^{2-p} n M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
На последнем шаге мы воспользовались тем, что R\circ \varphi накрывает каждую точку круга радиуса M с кратностью не выше n. Теорема 4 доказана. § 5. Весовые неравенства типа Долженко и ПеллераЕстественным обобщением неравенств Долженко будет рассмотрение весовых интегралов от производных рациональных функций. Подобные неравенства интенсивно изучались в контексте весовых пространств Бергмана (или Бесова) в круге. Например, известное неравенство В. В. Пеллера [10] утверждает, что для рациональной функции R степени n с полюсами вне \overline{\mathbb{D}} имеет место оценка
\begin{equation*}
\|R\|_{B_p^{1/p}} \leqslant C n^{1/p} \|R\|_{\mathrm{BMOA}},
\end{equation*}
\notag
где B_p^{1/p} – пространство Бесова, p>0, C=C(p). Отсюда, в частности, следует, что при 1<p<\infty
\begin{equation*}
\int_\mathbb{D} |R'(z)|^p (1-|z|)^{p-2}\, dA(z) \leqslant C n \|R\|^p_{H^\infty}.
\end{equation*}
\notag
Различные доказательства и обобщения этого неравенства можно найти в [11]–[13], [19]. Используя методы § 3, можно получить более общие весовые оценки, в которых вес равен расстоянию до границы в некоторой степени. Сформулируем соответствующий результат. Для ограниченной области G\subset \mathbb{C} и z\in G положим Для p\geqslant 1, \beta \in \mathbb{R} и аналитической в G функции f положим
\begin{equation*}
I_{p,\beta} (f) := \int_G |f'(\zeta)|^p \, d_G^\beta(\zeta)\, dA(\zeta)
\end{equation*}
\notag
(величина I_{p,\beta} (f), вообще говоря, может быть бесконечной). Нас интересуют оценки вида справедливые для всех рациональных функций R степени n с полюсами вне \overline{G} и с константой C, зависящей от G, p и \beta, но не от n и R. Здесь \Psi – некоторая зависящая только от n функция. Такие оценки возможны только при \beta \geqslant p-2; как видно уже на примере G=\mathbb{D} и рациональных дробей R(\zeta) = 1/(\zeta-\lambda), при \beta< p-2 интеграл I_{p,\beta} (f) не допускает оценку, зависящую только от n, нужно учитывать также расстояние от полюсов R до \partial G. Чтобы не загромождать запись, в дальнейшем мы пишем X(R,n) \lesssim Y(R,n), если X(R, n)\leqslant CY(R,n) c константой C, зависящей только от G, p и \beta, но не от n и R. Теорема 5. Пусть G – односвязная ограниченная область, \varphi – конформное отображение единичного круга \mathbb{D} на G, p\geqslant 1, \beta \geqslant p-2. Тогда выполняется следующее. 1) Если \beta > p-1 и \varphi'\in H^{\gamma} для некоторого \gamma>1, то I_{p,\beta}(R) \lesssim \|R\|^p_{H^\infty(G)}, т. е. зависимость от n пропадает. 2) Если \beta = p-1, 1\leqslant p <2 и \varphi'\in H^{2/(2-p)}, то
\begin{equation*}
I_{p,\beta}(R) \lesssim (\log n)^{1- p/2} \|R\|^p_{H^\infty(G)}.
\end{equation*}
\notag
Если \beta = p-1, p \geqslant 2 и \varphi'\in H^\infty, то I_{p,\beta}(R) \lesssim \|R\|^p_{H^\infty(G)}. 3) Если p-2 \leqslant \beta <p-1, p\geqslant 2, \varphi' \in H^1 и G – область Джона, то Неравенства в теореме 5 являются точными по порядку зависимости от n уже в случае единичного круга. В утверждении 3) оптимальный рост достигается на R(z) = z^n, а точность неравенства утверждения 2) легко проверить, рассматривая пример Бануэлоса–Мура (в качестве R можно взять многочлен или произведение Бляшке). Отметим, что утверждение 3) теоремы не покрывает случай p-2 \leqslant \beta <p-1 и 1<p<2. В этом случае было бы достаточно доказать следующий аналог неравенства Пеллера:
\begin{equation*}
\int_\mathbb{D} |(R\circ\varphi)'(z)|^p (1-|z|)^{p-2}\, dA(z) \lesssim n\|R\|_{H^\infty(G)}^p,
\end{equation*}
\notag
где G = \varphi(\mathbb{D}) – область класса Джона, а R – рациональная функция степени не выше n с полюсами вне \overline{G}. Однако мы не знаем, справедливо ли это неравенство. Доказательство теоремы 5. Положим M = \|R\|_{H^\infty(G)}. Сделаем замену \zeta = \varphi(z). Учитывая, что d_G(\zeta) \leqslant |\varphi'(z)|(1-|z|^2), получаем
Утверждение 3) следует из теоремы 2. В самом деле, 1<p-\beta \leqslant 2 и, используя неравенство |(R\circ\varphi)'(z)| (1-|z|) \leqslant M, получаем
\begin{equation*}
I_{p,\beta}(R) \lesssim M^\beta \int_{\mathbb{D}} |(R\circ\varphi)'(z)|^{p-\beta} |\varphi'(z)|^{2-(p-\beta)}\, dA(z) \lesssim n^{p-\beta-1}M^p.
\end{equation*}
\notag
Докажем утверждение 1). Величина d_G(z) ограничена, поэтому достаточно доказать утверждение для \beta \in (p-1, p-2 +\gamma]. Для таких \beta из неравенства p-\beta <1 и включения \varphi' \in H^\gamma \subset H^{2-p+\beta} следует, что
\begin{equation*}
I_{p,\beta}(R) \lesssim M^p \int_0^1 \biggl(\int_0^{2\pi}|\varphi'(re^{it})|^{2-p+\beta} \, dt\biggr)\, \frac{r\, dr}{(1-r)^{p-\beta}} \lesssim M^p.
\end{equation*}
\notag
На первом шаге мы опять использовали неравенство |(R\circ\varphi)' (z)|(1-|z|) \leqslant M.
Рассмотрим наиболее интересный случай 2): \beta = p-1. Пусть 1\leqslant p <2. Положим s=1-1/n. Применяя неравенство Гёльдера с показателями 2/p и 2/(2-p) и неравенство (2.1), получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{|z|\leqslant s\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)| (1-|z|)^{p-1}\, dA(z) \\ &\ \leqslant \biggl( \int_{\{|z|\leqslant s\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2 (1-|z|)\, dA(z) \biggr)^{p/2} \biggl( \int_{\{|z|\leqslant s\}} \frac{|\varphi'(z)|^{2/(2-p)}}{1-|z|}\, dA(z) \biggr)^{1-p/2} \\ &\ \lesssim M^p \biggl( \int_0^s \biggl(\int_0^{2\pi} |\varphi'(re^{it})|^{2/(2-p)}\, dt \biggr) \frac{r\, dr}{1-r} \biggr)^{1-p/2} \lesssim (\log n)^{1- p/2} M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Осталось оценить интеграл по кольцу \{s<|z| <1\}:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^p\, |\varphi'(z)| (1-|z|)^{p-1}\, dA(z) \\ &\ \leqslant M^{p-1} \int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)| \, |\varphi'(z)|\, dA(z) \\ &\ \lesssim M^{p-1} \biggl(\int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2\, dA(z)\biggr)^{1/2} \biggl(\int_{\{s<|z| <1\}} |\varphi'(z)|^2\, dA(z)\biggr)^{1/2} \,{\lesssim}\, M^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В последнем неравенстве мы воспользовались тем, что
\begin{equation*}
\int_{\{s<|z| <1\}} |(R\circ\varphi)'(z)|^2\, dA(z) \lesssim n M^2,
\end{equation*}
\notag
так как R\circ\varphi покрывает круг радиуса M с кратностью не выше n, а также тем, что \varphi'\in H^2.
Случай p\geqslant 2 тривиален:
\begin{equation*}
I_{p, p-1}(R) \lesssim M^{p-2} \int_\mathbb{D} |(R\circ\varphi)'(z)|^2 (1-|z|)\, dA(z)\lesssim M^p,
\end{equation*}
\notag
т. е. величина I_{p, p-1}(R) равномерно ограничена по R и n.
Теорема 5 полностью доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarKay22}
Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|