| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Факторизация Неванлинны в весовых классах аналитических функций переменной гладкости Н. А. Широковab a Санкт-Петербургский государственный университет b Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9041 
Реферативные базы данных:
     Посвящается памяти выдающегося математика А. Г. Витушкина Данная работа посвящается еще одному классу аналитических в единичном круге D функций, в котором удается полностью описать внешне-внутреннюю факторизацию Неванлинны этих функций. Рассматриваемый класс состоит из непрерывных в замкнутом круге ¯D функций, поэтому наличие в факторизации внутреннего множителя или близость к нулю модуля функции на подмножестве единичной окружности T ведет к определенным требованиям на функцию в целом. Первые результаты в учете таких требований принадлежат У. Рудину, который рассматривал класс CA функций, аналитических в D и непрерывных в ¯D [1], и Л. Карлесону [2], который получил явную формулу для интеграла Дирихле аналитической в D функции, связывающую внешний и внутренний множители на окружности T. Наличие массивных множеств на единичной окружности, на которых модуль функции из класса CA мал, также оказывает влияние на гладкость функции в целом. Впервые это было отмечено В. П. Хавиным и Ф. А. Шамояном [3], а также Л. Карлесоном и С. Якобсом (работа не опубликована) и известно как теорема о классе Липшица α/2. А именно, пусть Λα, 0<α<1, – класс функций f из CA, для которых выполнено условие |f(z2)−f(z1)|⩽cf|z2−z1|α, z1,z2∈¯D, ΛαR – класс функций f, заданных на T, для которых приведенное условие справедливо при z1,z2∈T. Тогда теорема Хавина–Шамоняна–Карлесона–Якобса утверждает, что если F – внешняя в смысле Неванлинны функция в D, F∈CA и |F|∈ΛαR, то F∈Λα/2 и эта оценка точна. В работе [3] рассматривалось α∈(0,1), далее Дж. Бреннан [4] распространил данный результат на α∈(0,2). Полное описание внешне-внутренней факторизации Неванлинны в некоторых классах аналитических в D и непрерывных в ¯D функций имеется в монографии [5]. В работах [6], [7] изучена факторизация Неванлинны в классах Бесова аналитических в D функций. Гёльдеровские классы переменной гладкости рассматривались в статьях [8], [9]. Настоящая статья посвящена пространствам аналитических в D функций, полунорма в которых задается переменным показателем степени и весом. § 1. Определения основных объектов и формулировка результатовЧерез p(z) обозначим положительную функцию, заданную на T и удовлетворяющую условию и пусть, кроме того, p−=min, p_+=\max_{z\in \mathbb{T}}p(z), 1<p_0<p_-. Положим, что для фиксированного \alpha\in (0,1) справедливо соотношение 1>\alpha>p_0/p_-. Через \omega(z) обозначаем заданный на \mathbb T неотрицательный вес, удовлетворяющий условию Макенхаупта A_{p_0}, см. [10; гл. 5].Основной класс функций, который будет рассматриваться далее, обозначается через H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), r\,{\in}\, \mathbb{N}\,{\cup}\, \{0\}, и определяется следующим образом: f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), если f аналитична в \mathbb{D} и выполняется условие
\begin{equation}
\sup_{0<\rho<1}\sup_{0<|\theta|\leqslant \pi}\int_{\mathbb{T}}\biggl( \frac{|f^{(r)}(\rho ze^{i\theta})-f^{(r)}(\rho z)|}{|\theta|^{\alpha}}\biggr)^{p(z)}\omega(z)\, |dz|<\infty,
\end{equation}
\tag{2}
где f^{(0)}\equiv f. Для функции g, заданной на \mathbb T, полагаем при z=e^{i\theta_0}, что
\begin{equation*}
g'(z)\stackrel{\mathrm{def}}{=}-ie^{-i\theta_0}\frac{dg(e^{i\theta})}{d\theta}\bigg|_{\theta=\theta_0}, \qquad g^{(n+1)}(z)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \bigl(g^{(n)}(z)\bigr)'.
\end{equation*}
\notag
Через W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) обозначаем пространство комплекснозначных функций g, заданных на \mathbb T таких, что g^{(r)}\in C(\mathbb T) и справедливо соотношение
\begin{equation}
\sup_{0<|\theta|<\pi}\int_{\mathbb{T}} \biggl(\frac{|g^{(r)}(ze^{i\theta})-g^{(r)}(z)|}{|\theta|^{\alpha}}\biggr)^{p(z)} \omega(z)\, |dz|<\infty.
\end{equation}
\tag{3}
Для z\in \mathbb T, 0<h\leqslant\pi/2, через \gamma(z,h) обозначаем дуги \gamma(z,h)=\{\zeta\in\mathbb T: |{\arg(\zeta/z)}|\leqslant h\}, и для g\in W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), \varepsilon>0, z_0\in\mathbb T полагаем
\begin{equation}
F(g,z_0,h,\varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_{\zeta_1,\zeta_2\in \gamma(z,h)}\frac{|g^{(r)}(\zeta_2)\,{-}\,g^{(r)}(\zeta_1)|}{h^\alpha} +\sup_{h\leqslant|t|\leqslant\pi}\frac{h^\varepsilon}{|t|^{\alpha+\varepsilon}}\bigl|g^{(r)}(z_0e^{i t})-g^{(r)}(z_0)\bigr|.
\end{equation}
\tag{4}
Если I(z) – внутренняя функция в \mathbb{D}, то I=BS, где B – произведение Бляшке,
\begin{equation*}
B(z)=\lambda z^m\prod_{n\geqslant 1}\frac{\overline{a}_n}{|a_n|}\, \frac{a_n-z}{1-\overline{a}_n z},\qquad m\geqslant 0,\quad |\lambda|=1,
\end{equation*}
\notag
а S – сингулярный множитель, представимый в виде
\begin{equation*}
S(z)=\exp\biggl(-\int_{\mathbb{T}}\frac{\zeta+z}{\zeta-z}\, d\mu(\zeta)\biggr),
\end{equation*}
\notag
где \mu – сингулярная мера на \mathbb{T}. Введем обозначения Z_B=\{B^{-1}(0)\}, \operatorname{spec} I\stackrel{\mathrm{def}}{=}\overline Z_B\cup \operatorname{supp} \mu. Определим характеристики, связанные с внутренней функцией I:
\begin{equation*}
\nu_r(z)= \begin{cases} 0, &z\notin \operatorname{spec} I, \\ r+1, &z\in \operatorname{spec} I\cap \mathbb{T}, \\ \text{кратность нуля} &z\in B^{-1}(0), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
при z\in\mathbb{T} \cap \operatorname{spec} I обозначим
\begin{equation*}
d_r(z)=\sup\Biggl\{\tau\colon\sum_{\substack{\zeta\in \operatorname{spec} I\\ |\zeta-z|<\tau}}\nu_r(\zeta)\leqslant r\Biggr\}
\end{equation*}
\notag
и пусть, далее, b_r(\zeta,z)\equiv 1 для \zeta\in \mathbb{D}, если \operatorname{spec} I\cap \{\zeta\colon|\zeta-z|<d_r(z)\}=\varnothing, в ином случае
\begin{equation*}
b_r(\zeta,z)=\prod_{\substack{|a_\nu-z|<d_r(z)\\a_\nu\in B^{-1}(0)}}\frac{\zeta-a_\nu}{1-\zeta\overline{a}_\nu}, \qquad I_r(\zeta,z)=\frac{I(\zeta)}{b_r(\zeta,z)},\qquad \zeta\in \overline{\mathbb{D}}\setminus\operatorname{spec} I.
\end{equation*}
\notag
Используя введенные обозначения, полагаем
\begin{equation}
\delta_r(z)=\min\biggl(d_r(z), \frac1{|I'_r(\zeta,z)|_{\zeta=z}}\biggr)
\end{equation}
\tag{5}
при z\in\mathbb{T}\setminus \operatorname{spec} I, производная в (5) берется по \zeta. Далее, для f'\in C_A при z_1,z_2\in\overline{\mathbb{D}} определим разделенную разность f[z_1,z_2] по формуле, см. [11],
\begin{equation}
f[z_1,z_2]= \begin{cases} \dfrac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}, &z_1\neq z_2, \\ f'(z_1), &z_1=z_2. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5'}
По индукции полагаем для f^{(m+1)}\in C_A:
\begin{equation}
f[z_1,\dots,z_m,z_{m+1}]= \begin{cases} \text{если}\ z_m\neq z_{m+1}, \text{ то полагаем} \\ \qquad\dfrac{f[z_1,\dots,z_{m-1},z_m]-f[z_1,\dots,z_{m-1},z_{m+1}]}{z_m-z_{m+1}}, \\ \text{если}\ z_m = z_{m+1}, \text{ то полагаем} \\ \qquad f'_{z_m}[z_1,\dots, z_{m-1},z_m]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5''}
С разделенными разностями мы свяжем характеристики \Delta^\alpha f(\zeta,h), \Delta^{r+\alpha}f(\zeta,h) и \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,h) следующим образом:
\begin{equation}
\Delta^\alpha f(\zeta,h) =\max_{\substack{|z^{(j)}_0-\zeta|\leqslant h\\j=1,2}}\frac{1}{h^\alpha}\bigl|f(z^{(1)}_0)-f(z^{(2)}_0)\bigr|, \qquad z^{(j)}_0\in\overline{\mathbb{D}},
\end{equation}
\tag{6'}
\begin{equation}
\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,h) =\max_{\substack{|z^{(j)}_k-\zeta|\leqslant h\\0\leqslant k\leqslant r,\,j=1,2}}\frac{1}{h^\alpha}\bigl|f[z^{(1)}_0,\dots,z^{(1)}_r]-f[z^{(2)}_0,\dots,z^{(2)}_r]\bigr|,
\end{equation}
\tag{6''}
\begin{equation}
\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,h) =\max_{t\geqslant h}\frac{h^\varepsilon}{t^{\alpha+\varepsilon}}\Delta^{r+\alpha}f(\zeta,t).
\end{equation}
\tag{6}
Для z\neq 0, z\in\mathbb{D}, f\in C_A пусть M_f(z)=\max_{\zeta\in\gamma(z/|z|,1-|z|)}|f(\zeta)| (определение дуги \gamma(z,h) см. после формулы (3)) и при f\not\equiv 0 определим
\begin{equation}
I_f (z)=\int_\mathbb{T}\biggl|\log\biggl|\frac{f(\zeta)}{M_f(z)}\biggr|\biggr| \, \frac{1-|z|^2}{|\zeta-z|^2}\, |d\zeta|.
\end{equation}
\tag{7}
Далее, для z\in\mathbb{T} через \mathbb{T}(z,h) обозначаем круговой сектор \mathbb{T}(z,h)=\{0\}\cap\{\zeta \in \mathbb{D}\setminus{0}\colon \zeta/|\zeta|\in \gamma(z,h)\}, и для f^{(r)}\in C_A, z_0\in\mathbb{T} пусть
\begin{equation}
F^*(f,z_0,h,\varepsilon)=F(f,z_0,h,\varepsilon) +\max_{z_1,z_2\in\mathbb{T}(z_0,h)}\frac{|f^{(r)}(z_2)-f^{(r)}(z_1)|}{h^\alpha}.
\end{equation}
\tag{8}
Для заданной на \mathbb{T} функции g такой, что \int_\mathbb{T}|{\log|g(\zeta)|}|\,|d\zeta|<\infty, полагаем
\begin{equation}
{}_e{g(z)}=\exp\biggl(\frac{1}{2 \pi}\int_\mathbb{T}\log|g(\zeta)|\cdot \frac{\zeta+z}{\zeta-z}\, |d\zeta|\biggr),\qquad z\in\mathbb{D}.
\end{equation}
\tag{9}
§ 2. Формулировка основных теоремОписание факторизации Неванлинны в классе X начинается, как правило, с задачи о делении на внутренний множитель функции с сохранением частного в классе X (это свойство В. П. Хавиным [12] названо (F)-свойством класса X), а также задачи об умножении на тот же внутренний множитель с сохранением произведения в классе X. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), I – внутренняя функция, f/I\in H^1. Тогда f/I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). При умножении на внутренний множитель при гладкостях, в определенном смысле больших единицы, для сохранения произведения в том же классе требуется либо ограничение снизу на кратность внутреннего нуля [5], либо некоторое сгущение нулей в каких-то областях, как отметил К. М. Дьяконов [13], [14]. Следующее утверждение использует ограничение на кратность нулей. Теорема 2. Пусть f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), I – внутренняя функция, f/I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), и кратность любого нуля функции I в \mathbb{D} не меньше r+1. Тогда f I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Дальнейшее изучение свойств факторизации Неванлинны требует учета влияния внутреннего множителя на внешний множитель. В нижеследующем утверждении характеристика \sigma_r(z) определена в (5), а характеристика \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,h) – в соотношении (6). Теорема 3. a) Пусть f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), I – внутренняя функция, f/I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), 0\,{<}\,\varepsilon\,{<}\,1-\alpha. Тогда существуют постоянные \sigma_\nu=\sigma_\nu(f,\varepsilon), 0\leqslant \nu\leqslant r, такие, что при z\in\mathbb{T}\setminus\operatorname{spec} I справедливы оценки
\begin{equation*}
|f^{(\nu)} (z)|\leqslant\sigma_\nu \delta^{r+\alpha-\nu}_r (z)\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(z,\delta_r(z)).
\end{equation*}
\notag
b) Пусть f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), I – внутренняя функция, характеристика \delta_0(z) построена в (5) при r=0 по функции I. Предположим, что существуют постоянные \widetilde\sigma_\nu, 0\leqslant\sigma\leqslant r, такие, что при z\in\mathbb{T}\setminus\operatorname{spec} I имеются оценки
\begin{equation*}
|f^{(\nu)} (z)|\leqslant\widetilde\sigma_\nu \delta^{r+\alpha-\nu}_0 (z) \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(z,\delta_0(z)),\qquad 0\leqslant\nu\leqslant r.
\end{equation*}
\notag
Тогда f I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Внешние функции в факторизации Неванлинны описываются с помощью характеристик F(g,z_0,h,\varepsilon), F^*(g,z_0,h,\varepsilon) и I_f(z), определенных в (5), (8) и (7). Теорема 4. Пусть f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), f\not\equiv 0, 0<\varepsilon<1. Существует постоянная c_f, не зависящая от z\in\mathbb{D}, такая, что для тех z\in\mathbb{D}, z\neq 0, для которых справедливо неравенство
\begin{equation*}
M_f(z)\geqslant(1-|z|)^{r+\alpha}F^*\biggl(f,\frac{z}{|z|},1-|z|,\varepsilon\biggr),
\end{equation*}
\notag
справедливо соотношение I_f(z)\leqslant c_f. Достаточное условие принадлежности внешней функции классу W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) также включает условие на функционал I_g(z). Далее {}_e{g} построена по g в (9). Теорема 5. Пусть g – комплекснозначная функция, заданная на \mathbb{T}, g\in W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), \log|g|\in L(\mathbb{T}) и 0<\varepsilon<1-\alpha. Предположим, что существует постоянная C_g, не зависящая от z\in\mathbb{D}, такая, что при z\neq 0, для которого
\begin{equation*}
M_f(z)\geqslant(1-|z|)^{r+\alpha}F\biggl(g,\frac{z}{|z|},1-|z|,\varepsilon\biggr),
\end{equation*}
\notag
справедливо I_g(z)\leqslant C_g. Тогда {}_e{g}\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Условие ограниченности функционала I_g(z) является основным для того, чтобы функция какого-либо класса гладкости на окружности \mathbb{T} при построении по формуле (9) давала внешнюю функцию той же гладкости. Это утверждение было проверено для ряда классов [5], [6], [15], его отсутствие приводит к падению гладкости [3]–[6]. Для нового класса H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) ситуация аналогична. Для s\notin\mathbb{Z} через \{s\} обозначим дробную часть числа s. Теорема 6. Пусть 1>\alpha>p_0/p_-, \{(r+\alpha)/2\}>p_0/p_-, p_0\geqslant1, \omega – неотрицательный вес на \mathbb{T}, удовлетворяющий A_{p_0} условию Макенхаупта [10; гл. 5], p_-=\min_{z\in\mathbb{T}} p(z). Пусть g\in W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) и \log|g|\in L(\mathbb{T}). Тогда {}_e{g}\in H^{p(\,\cdot\,)}_\frac{r+\alpha}{2}(\omega). § 3. Эквивалентные полунормы и псевдоаналитическое продолжение функций из класса H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)Прежде всего отметим следующий факт, который доказывается аналогично доказательству утверждения 1 из [8]. Лемма 1. Пусть f^{(r)}\in C_A, r\geqslant 0. Тогда f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) тогда и только тогда, когда Определим еще один класс функций. Через \widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) обозначим пространство функций f таких, что f^{(r)}\in C_A и справедливо соотношение
\begin{equation}
\sup_{0<|\theta|\leqslant \pi} \int_{\mathbb{T}}\biggl|\frac{\sum^{r+1}_{k=0} (-1)^kC^k_{r+1}f(ze^{ik\theta})}{|\theta|^{\alpha+r}} \biggr|^{p(z)}\omega(z)\,|dz|\leqslant \infty,
\end{equation}
\tag{11}
где C^k_{r+1} – биномиальные коэффициенты. Лемма 2. Справедливо включение H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)\subset\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Доказательство. При r=0 выражения (10) и (11) совпадают, поэтому считаем, что r > 0. Далее, замена функций f в выражениях (10) или (11) на функцию f_1(z)=f(z)+\sum_{k=0}^r A_kz^k с любыми постоянными A_k не меняет подынтегральных выражений в (10) и (11), поэтому, не ограничивая общности, можем считать, что f(1)=f'(1)=\dots=f^{(r)}(1)=0.
Условие (10) влечет, что выполняется соотношение
\begin{equation}
\sup_{0<|\theta|\leqslant \pi} \int_{\mathbb{T}}\biggl(\frac{|f^{(r)}(ze^{i\theta})-f^{(r)}(z)|} {|\theta|^{\alpha}}\biggr)^{p_-}\omega(z)\,|dz|< \infty
\end{equation}
\tag{12}
откуда с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям в [16] (ниже подобное рассуждение будет проведено для переменного показателя p^{(\,\cdot\,)}), получим оценку
\begin{equation}
\sup_{0<r<1}\ \int_{\mathbb{T}}|(1-r_0)^{1-\alpha} f^{(r+1)}(r_0 z)|^{p_-} \omega(z)\,|dz|<\infty.
\end{equation}
\tag{13}
Пусть \varphi(z)\,{=}\,f^{(r)}(z). Выберем p_0\,{<}\,p_1\,{<}\,p_- и положим t\,{=}\,(p_1\,{-}\,1)/(p_0\,{-}\,1)\,{>}\,1, t'=t/(t-1), фиксируем 0<r_0<1 и пусть 1-r_1=(1-r_0)/2, \gamma=p_-/p_1>1. Субгармоничность в \mathbb{D} функции |\varphi'(z)|^\gamma влечет неравенство
\begin{equation}
|\varphi'(z)|^\gamma\leqslant\frac 1{2\pi r_1}\int_{|\zeta|=r_1}|\varphi'(\zeta)|^\gamma \frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2}\,|d\zeta|,\qquad |z|=r_0,
\end{equation}
\tag{14}
и формула (14) вместе с неравенством Гёльдера дают оценку
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\varphi'(z)|^\gamma &\leqslant\frac 1{2\pi r_1}\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}|\varphi'(\zeta)|^{p_1\gamma} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/p_1} \nonumber \\ &\qquad\times\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{p'_1}\cdot\biggl(\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr) \biggr)^{-p'_1/p_1}\,|d\zeta|\biggr)^{1/p'_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
Затем,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{p'_1}\cdot\biggl(\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\biggr)^{-p'_1/p_1} \,|d\zeta|\biggr)^{1/p'_1} \nonumber \\ &\qquad\leqslant\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{p'_1 t'}\,|d\zeta|\biggr)^{1/(p'_1 t')}\cdot \biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)^{-(p'_1/p_1)t}\,|d\zeta| \biggr)^{1/(t p'_1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
Имеем
\begin{equation}
\begin{gathered} \, p'_1=\frac{p_1}{p_1-1},\qquad t'=\frac{p_1-1}{p_0-1}\cdot\frac{p_0-1}{p_1-p_0}=\frac{p_1-1}{p_1-p_0}, \\ -\frac{p'_1}{p_1}=-\frac 1{p_1-1},\qquad-\frac{p'_1}{p_1}\cdot t=-\frac 1{p_1-1}\cdot \frac{p_1-1}{p_0-1}=-\frac 1{p_0-1}, \\ p'_1\cdot t'=\frac{p_1}{p_1-1}\cdot \frac{p_1-1}{p_1-p_0}=\frac{p_1}{p_1-p_0},\quad t p'_1=\frac{p_1-1}{p_0-1}\cdot\frac{p_1}{p_1-1}=\frac{p_1}{p_0-1}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
Из (15)–(17) следует оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\varphi'(z)|^\gamma &\leqslant\frac 1{2\pi r_1} \biggl(\int_{|\zeta|=r_1}|\varphi'(\zeta)|^{p_-} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/p_1} \nonumber \\ &\qquad \times\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{p_1/(p_1-p_0)}\, |d\zeta|\biggr)^{(p_1-p_0)/p_1} \nonumber \\ &\qquad\times\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr) \biggr)^{-1/(p_0-1)}\, |d\zeta|\biggr)^{(p_0-1)/p_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
Далее, элементарные оценки ядра Пуассона дают неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\frac{r^2_1-r^2_0}{|\zeta-z|^2} \biggr)^{(p_1-p_0)/p_1}\, |d\zeta|\biggr)^{(p_1-p_0)/p_1} \nonumber \\ &\qquad\leqslant c\bigl((1-r_0)^{-p_1/(p_1-p_0)+1}\bigr)^{(p_1-p_0)/p_1} =c(1-r)^{-p_0/p_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
условие \omega\in A_{p_0} влечет
\begin{equation*}
\biggl(\int_{|\zeta|=r_1}\biggl(\omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\biggr)^{-1/(p_0-1)}\, |d\zeta|\biggr)^{(p_0-1)/p_1}\leqslant c,
\end{equation*}
\notag
и из (18) и (19) получаем оценку
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\varphi'(z)|^\gamma &\leqslant c(1-r_0)^{-p_0/p_1}\biggl(\int_{|\zeta|=r_0}|\varphi'(\zeta)|^{p_-} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/p_1}, \\ |\varphi'(z)| &\leqslant c(1-r_0)^{-p_0/p_1\cdot 1/\gamma}\biggl(\int_{|\zeta|=r_0}|\varphi'(\zeta)|^{p_-} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/(p_1\gamma)} \\ &=c(1-r_0)^{-p_0/p_-}\biggl(\int_{|\zeta|=r_0}|\varphi'(\zeta)|^{p_-} \omega\biggl(\frac{\zeta}{r_1}\biggr)\,|d\zeta|\biggr)^{1/p_-}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
Применяя соотношение (13), из (20) находим, что
\begin{equation}
|\varphi'(\zeta)|\leqslant c(1-r_0)^{-p_0/p_-}\cdot(1-r_0)^{\alpha-1} =c(1-r_0)^{\alpha-p_0/p_--1}.
\end{equation}
\tag{21}
Пусть \sigma=\alpha-p_0/p_->0. Из (21) следует, что \varphi\in \Lambda^\sigma, т. е. f\in \Lambda^{r+\sigma}. Это влечет, с учетом выбранных равенств f^{(k)}(1)=0, соотношения |f^{(r)}(z)|\leqslant c, |f^{(k)}(r)|\leqslant c|z-1|^{r-k}, 0\leqslant k\leqslant r-1.
Продолжим доказательство леммы 2. Пусть F(\theta)=f(e^{i\theta}), тогда с определенными коэффициентами a_{\nu\mu} имеем
\begin{equation}
F^\nu(\theta)=a_{\nu 1}e^{i\theta} f'(e^{i\theta})+\dots+a_{\nu\nu}e^{i\nu\theta} f^{(\nu)}(e^{i\theta}).
\end{equation}
\tag{22}
Пусть
\begin{equation*}
P(\lambda,\theta)=F(\lambda)+\sum^{r-1}_{k=1}\frac{F^{(k)}(\lambda)}{k!}(\theta-\lambda)^k,
\end{equation*}
\notag
тогда откуда получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum^{r+1}_{k=0}(-1)^k C^k_{r+1} F(\lambda+k\theta) \nonumber \\ &\ =\sum^{r}_{k=0}(-1)^k C^k_{r}\frac 1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \bigl(F^{(r)}(\lambda+t)-F^{(r)}(\lambda+\theta+t)\bigr)\,dt \nonumber \\ &\ =\sum^{r}_{k=1}(-1)^k C^k_{r}\frac1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \bigl(F^{(r)}(\lambda+t)-F^{(r)}(\lambda+\theta+t)\bigr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
Принимая во внимание (22) и (23), получаем соотношение
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum^{r+1}_{k=0}(-1)^k C^k_{r+1}f(e^{i(\lambda+k\theta)})=\sum^{r}_{k=0}(-1)^k C^k_{r} \frac1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \bigl(\bigl(a_{r 1}e^{i(\lambda+t)} f'(e^{i(\lambda+t)})+\dots+a_{rr}e^{i r(\lambda+t)} f^{(r)}(e^{i(\lambda+t)})\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad-\bigl(a_{r 1}e^{i(\lambda+\theta+t)} f'(e^{i(\lambda+\theta+t)})+\dots+a_{rr}e^{i r(\lambda+\theta+t)} f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr)\bigr)\,dt \nonumber \\ &\qquad=\sum^{r}_{k=1}(-1)^k C^k_{r}\frac1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \sum^{r}_{\nu=1}a_{r\nu}e^{i\nu(\lambda+t)}\bigl(f^{(\nu)}(e^{i(\lambda+t)}) \nonumber \\ &\qquad\qquad-f^{(\nu)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr)\,dt+\sum^{r}_{k=1}(-1)^k C^k_{r}\frac1{(r-1)!}\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\times\sum^{r}_{\nu=1} a_{r\nu}(e^{i\nu(\lambda+t)}-e^{i\nu(\lambda+\theta+t)})\cdot f^{(\nu)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\,dt . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
Положим
\begin{equation*}
g_\theta\biggl(e^{i\lambda}\biggr)=\sup_{0<|l|\leqslant \pi}\frac{1}{|l|} \int^l_0\bigl|f^{(r)}(e^{i(\lambda+t)})-f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr|\,|dt|,
\end{equation*}
\notag
тогда при 1\leqslant k\leqslant r имеется оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1}a_{rr}e^{ir(\lambda+t)}\bigl(f^{(r)}(e^{i(\lambda+t)}) -f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr)\,dt\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant (2k|\theta|)^r g_{\theta}(e^{i\lambda}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
Из результатов [15; теорема 4.80] и [16; лемма 3.1] следует оценка
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\biggl(\frac{g_{\theta}(z)}{|\theta|^{\alpha}}\biggr)^{p(z)} \omega(z)\, |dz|\leqslant C_2,
\end{equation}
\tag{26}
и постоянная C_2 не зависит от \theta, а из (26) и (25) получаем соотношение
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_{\mathbb{T}}\Biggl| \frac{\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1}a_{rr}e^{i(\lambda+t)}\bigl(f^{(r)}(e^{i(\lambda+t)}) -f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\bigr)\,dt}{|\theta|^{r+\alpha}}\Biggr|^{p(e^{i\lambda})} \omega(e^{i\lambda})\, dt\leqslant C_3, \\ 0<|\theta|\leqslant \pi. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{27}
Принимая во внимание ранее полученную оценку f^{(r)}(z)\leqslant C, z\in\mathbb{D}, находим, что
\begin{equation}
\biggl|\int^{k\theta}_0(k\theta-t)^{r-1}a_{rr}(e^{i r(\lambda+t)}-e^{i r(\lambda+\theta+t)}) f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta+t)})\,dt\biggr| \leqslant C_4|\theta|^{r+\alpha}.
\end{equation}
\tag{28}
Слагаемые с a_{r\nu} оцениваются аналогично (27) и (28). Соотношения (23) и (24) и неравенства (27) и (28) показывают, что для функции f выполнено условие (11), т. е. f\in\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+1}(\omega). Лемма доказана. Лемма 3. Пусть функция f\in\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Тогда для n\in\mathbb{N} найдется полином V_n(z), \deg V_n \leqslant n, такой, что
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\bigl(n^{\alpha+r}|f(z)-V_n(z)|\bigr)^{p(z)}\omega(z)\, |dz|\leqslant C_5,
\end{equation}
\tag{29}
где C_5 не зависит от n. Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 1 из [9], поэтому приведем лишь построение полинома V_n. Положим
\begin{equation*}
P_{n,r}(\theta)=c_{n,r}\biggl(\frac{\sin (n+1/2)\theta}{\sin(\theta/2)}\biggr)^{2r+2},
\end{equation*}
\notag
где c_{n,r} выбрано из условия Пусть
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi_{n,r,k}(e^{i\lambda})&=\int^{\pi}_{-\pi}P_{n,r} (\theta)f(e^{i(\lambda+k\theta)})\,d\theta, \\ V_n(e^{i\lambda})&=\sum^{r+1}_{k=1}(-1)^{k-1}C^k_{r+1}\pi_{n,r,k}(e^{i\lambda}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Далее рассуждения проводятся аналогично рассуждениям (2.11)–(2.14) из [8], что доказывает лемму 3. Лемма 4. Пусть \pi_{n}(z) – полином, \deg\pi_{n}\leqslant n. Для z\in\mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}} положим
\begin{equation*}
\pi^*_n(z)=\max_{|\zeta-z|\leqslant (|z|-1)/4}|\pi_n(\zeta)|.
\end{equation*}
\notag
Пусть M>0 удовлетворяет условию
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\biggl(\frac{|\pi_n(z)|}{M}\biggr)^{p(z)}\omega(z)\,|dz|\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{30}
Определим \widetilde{c}=c+(c-1)/4, c>1. Существуют постоянная c_6, зависящая от n, и постоянная c такие, что имеется оценка Доказательство следует рассуждениям в доказательстве леммы 3 из [8] и использует результаты об ограниченности операторов Кальдерона–Зигмунда в весовых пространствах Лебега с переменным показателем.
Пусть v_n(z)=(1/M)(\pi_n(z)/z^{n+1}), тогда при |z|>1 имеем
\begin{equation*}
v_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}} \frac{v_n(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta.
\end{equation*}
\notag
Пусть
\begin{equation*}
v^*_n(z)=\max_{|\zeta-z|\leqslant (|z|-1)/4}|v_n(\zeta)|, \qquad |z|>1.
\end{equation*}
\notag
Тогда результаты [17] с учетом теоремы 4.80 из [15] и леммы 3.1 в [16] влекут соотношение
\begin{equation}
\int_{c\mathbb{T}}\bigl(v^*_n(z)\bigr)^{p(z/c)} \omega\biggl(\frac{z}{c}\biggr)\,|dz|\leqslant c\cdot c_7 \int_{\mathbb{T}}|v_n(z)|^{p(z)}\omega(z)\,|dz|.
\end{equation}
\tag{31}
Поскольку при |z|=c>1 имеем |v_n(z)|=(1/c^{n+1})(\pi_n(z)/M), то выполнено
\begin{equation*}
\frac 1{\widetilde c^{n+1}}\,\frac{\pi^*_n(z)}{M}\leqslant v^*_n(z).
\end{equation*}
\notag
Поэтому лемма 4 следует из (31). Лемма 5. Пусть функция f\in\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Тогда существует функция f_0 со следующими свойствами:
\begin{equation}
f_0\in C(\mathbb{C}), \qquad f_0|_{\overline{\mathbb{D}}}=f, \qquad f_0\in C^1(\mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}}),
\end{equation}
\tag{32}
\begin{equation}
f_0(z)\equiv 0\quad\textit{при}\quad z\in \mathbb{C}\setminus 2\mathbb{D},
\end{equation}
\tag{32'}
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\biggl(\frac{|f'_{0\overline{z}}(z)|} {(\rho-1)^{r+\alpha-1}}\biggr)^{p(z/\rho)}\omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|dz|\leqslant c_7\rho,
\end{equation}
\tag{33}
где постоянная c_7 не зависит от \rho. Доказательство. Будем строить функцию f_0 аналогично построениям Е. М. Дынькина [18]. Пусть полиномы V_n построены в лемме 3, тогда
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}} \bigl(2^{n(\alpha+r)}|f(z)-V_{2^n}(z)|\bigr)^{p(z)}\omega(z)\,|dz|\leqslant c_5.
\end{equation}
\tag{34}
Учитывая, что V_{2^{n+1}}-V_{2^n}=(V_{2^{n+1}}-f)-(V_{2^n}-f), из (34) находим, что
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\bigl(2^{(n+1)(r+\alpha)}|V_{2^{n+1}}(z)-V_{2^n}(z)|\bigr)^{p(z)} \omega(z)\,|dz|\leqslant c_8.
\end{equation}
\tag{35}
Положим
\begin{equation*}
f_1(z)=\begin{cases} V_{2^n}(z), &2^{-n-1}<|z|-1\leqslant 2^{-n}, \\ 0, &|z|>\dfrac{3}{2}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Обозначим \overline{B}_t(z)=\{\zeta\colon|\zeta-z|\leqslant t\}, |\overline{B}_t(z)|=m_2\overline{B}_t(z) – площадь круга, и пусть \pi_{2^{n+1}}=V_{2^{n+1}}-V_{2^n} и
\begin{equation}
f_0(z)=\frac{1}{|\overline{B}_{(|z|-1)/4}(z)|} \int_{\overline{B}_{(|z|-1)/4}(z)} f_1(\zeta)\,dm_2(\zeta).
\end{equation}
\tag{36}
При 1<c\leqslant 2, \widetilde c=1+(c-1)/4 лемма 4 влечет оценку
\begin{equation*}
\int_{c\mathbb{T}}\biggl(\frac{2^{(n+1)(r+\alpha)}\pi^*_{2^{n+1}}(z)} {\widetilde c^{2^{n+1}}}\biggr)^{p(z/c)}\omega(z)\,|dz|\leqslant c_9
\end{equation*}
\notag
и, в частности, при 1<c\leqslant 1+2^{-n-1} получаем неравенство
\begin{equation}
\int_{c\mathbb{T}}\biggl|\frac{(V_{2^{n+1}}(z)-V_{2^n}(z))2^{(n+1)(r+\alpha)}}{e^{5/4}} \biggr|^{p(z/c)}\omega\biggl(\frac{z}{c}\biggr)\, |dz|\leqslant c_{10}.
\end{equation}
\tag{37}
Определение (36) дает соотношение f_0\in C^1 (\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}}), и из неравенств (37), аналогично получению оценки (21), следует, что f_0(z)\to f(z_0) при z\to z_0, z\in \mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}}. Далее, пусть 2^{-n-1}<|z|-1\leqslant 2^{-n}, n\geqslant 1, тогда
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |f'_{0\overline z}(z)|&=\bigl|\bigl(f_0(z)-V_{2^n}(z)\bigr)'_{\overline z}\bigr| \notag \\ &\leqslant \biggl|\operatorname{grad}\biggl(\frac{1}{|B_{(|z|-1)/4}(z)|} \int_{B_{(|z|-1)/4}(z)} \bigl(f_1(\zeta)-V_{2^n}(\zeta)\bigr)\, dm_2(\zeta)\biggr)\biggr| \notag \\ &\leqslant c\frac{1}{|z|-1}\max_{\zeta\in \overline{B}_{(|z|-1)/4}(z)} \bigl(|V_{2^{n+1}}(\zeta)-V_{2^n}(\zeta)|+|V_{2^n}(\zeta)-V_{2^{n-1}}(\zeta)|\bigr) \notag \\ &=c\frac{1}{|z|-1}\bigl(\bigl(V_{2^{n+1}}-V_{2^n}(\zeta)\bigr)^*+ \bigl(V_{2^n}-V_{2^{n-1}}(\zeta)\bigr)^*\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
При рассматриваемых z утверждение (33) леммы 5 следует из соотношений (38), (37) и леммы 4. В силу произвольности n лемма 5 доказана. Лемма 6. Пусть функция f\in C_A и для нее существует псевдоаналитическое продолжение со свойствами (32), (32') и (33). Тогда f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Доказательство. Свойства (32), (32') и (33) влекут возможность применения к функции f_0 формулы Грина (см. [16]):
\begin{equation}
f(z)=-\frac{1}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}} \frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{\zeta-z}\,dm_2(\zeta), \qquad z\in \mathbb{D},
\end{equation}
\tag{39}
тогда при z\in \mathbb{D} имеем равенство
\begin{equation}
f^{(r)}(z)=-\frac{r!}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}}\frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{(\zeta-z)^{r+1}}\,dm_2(\zeta).
\end{equation}
\tag{39'}
Пусть v(\zeta)=f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta). Тогда для функции v предположение (33) дает оценку
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\biggl(\frac{|v(z)|}{(\rho-1)^{r+\alpha-1}} \biggr)^{p(z/\rho)}\omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|dz|\leqslant C_8, \qquad 1<\rho\leqslant 2.
\end{equation}
\tag{40}
Выберем p_1, 1<p_1<p_-. Теорема 4.80 из [17] и лемма 3.1 из [16] позволяют применять теорему об ограниченности максимального оператора Харди–Литтлвуда в весовом пространстве с показателем p(z)/p_1 и весом из пространства Макенхаупта A_{p_0}, если p_-/p_1>p_0. Полагаем, что p_1 выбрано таким образом. Следуем далее доказательству леммы 5 из [8] с учетом наличия веса \omega(z). Пусть
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V(\lambda,x)&=\bigl|v\bigl((1+x)e^{i\lambda}\bigr)\bigr|x^{1-r-\alpha},\qquad 0<x\leqslant 1, \notag \\ V^*(\theta_0,x)&=\sup_{0<k\leqslant \pi} \biggl(\frac{1}{2k}\int^k_{-k}V^{p_1}(\theta_0+\lambda,\,x)\,d\lambda\biggr)^{1/p_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
Обозначая через M\varphi(\lambda) максимальную функцию Харди–Литтлвуда по аргументу \lambda, из (41) имеем V^{*p_1}(\theta_0,x)=M(V^{p_1}(\theta_0,x)), поэтому выбор p_1 и предшествующее замечание приводят к оценкам
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{T}}\bigl(V^*(\lambda,x)\bigr)^{p(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\, d\lambda=\int_{\mathbb{T}}\bigl(V^*(\lambda,x))^{p_0}\bigr)^{p(e^{i\lambda})/p_1} \omega(e^{i\lambda})\, d\lambda \nonumber \\ &\leqslant c\int_{\mathbb{T}}\bigl(V^{p_1}(\lambda,x)\bigr)^{p(e^{i\lambda})/p_1}\omega(e^{i\lambda}) \,d\lambda \nonumber \\ &=c\int_{(1+x)\mathbb{T}}\biggl(\frac{|v(z)|}{x^{r+\alpha-1}}\biggr)^{p(z/(1+x))} \omega\biggl(\frac{z}{1+x}\biggr)\frac{1}{1+x}\,|dz|\leqslant C. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
Для \theta>0, z_0=e^{i\lambda} пусть
\begin{equation}
H_{\theta}(z,z_0)=\frac{1}{\theta^{\alpha}} \int_{B_{2\theta}(z_0)}\frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+1}}\,dm_2(\zeta),\qquad z\in \overline{B}_{\theta}(z_0)\cap \overline{\mathbb{D}}.
\end{equation}
\tag{42'}
Тогда
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &H_{\theta}(z,z_0)\leqslant \frac{2}{\theta^{\alpha}}\int^{\lambda+\theta}_{\lambda-\theta}\int^{2\theta}_{0} \frac{|v((1+x)e^{it})|}{|(1+x)e^{it}-z|^{r+1}}\,dt\,dx \notag \\ &\leqslant\frac{2}{\theta^{\alpha}}\int^{2\theta}_0\biggl(\int^{\theta}_{-\theta} \bigl(\bigl|v\bigl((1\,{+}\,x)e^{i(\lambda+t)}\bigr)\bigr|x^{1-\alpha-r}\bigr)^{p_1} {\cdot}\,\biggl(\int^{\theta}_{-\theta} \biggl(\frac{x^{\alpha+r-1}}{(|x|\,{+}\,|t|)^{r+1}}\biggr)^{p'_1}\,dt\biggr)^{1/p'_1}\biggl)\, dx \notag \\ &\leqslant \frac{c}{\theta^{\alpha}}\int^{2\theta}_0 x^{\alpha-1-1/p_1} \biggl(\int^{\theta}_{-\theta}\bigl(\bigr|v\bigl((1+x)e^{i(\lambda+t)}\bigr)\bigr| x^{1-\alpha-r}\bigr)^{p_1}\,dt\biggr)^{1/p_1}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
Условия, уже предположенные для p_0, p_- и p_1, эквивалентны соотношениям
\begin{equation}
\frac{p_-}{p_0}>\frac 1{\alpha},\qquad \frac{p_-}{p_0}>p_1,\qquad p_0, p_1>1.
\end{equation}
\tag{44}
Пользуясь условиями (44), наложим на p_1 условие p_1>1/\alpha \leftrightarrow \alpha>1/p_1 и пусть \sigma_0=\alpha-1/p_1>0. Тогда, повторяя в новой ситуации рассуждения из [8], с применением определения (41), оценок (42) и (43) и выбора p_1 после (44), получим неравенство
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\biggl(\int^{2\theta}_0V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{\theta}\biggr)^{\sigma_0}\, \frac{dx}{x}\biggr)^{p(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\, d\lambda\leqslant c,
\end{equation}
\tag{45}
где c не зависит от x\in(0,1]. Неравенство (45) важно для дальнейшего, поскольку оценка (43) влечет соотношение
\begin{equation}
H_{\theta}(z,e^{i\lambda})\leqslant c\int^{2\theta}_0 V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{\theta}\biggr)^{\alpha-1/p_1}\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{46}
в котором z\in\overline{B}_\theta \bigl(e^{i\lambda}\bigr). Пусть z_0(\theta)=e^{i(\lambda+\theta)}, тогда равенство (39') приводит к следующему:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &f^{(r)}(z_0(\theta))-f^{(r)}(z_0)=\frac{r!}{\pi} \int_{B_{2\theta}(z_0)} \frac{f'_{0\overline\zeta}(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{r+1}}\,dm_2(\zeta) \nonumber \\ &\qquad\qquad-\frac{r!}{\pi}\int_{B_{2\theta}(z_0)} \frac{f'_{0\overline\zeta}(\zeta)}{(\zeta-z_0(\theta))^{r+1}}\,dm_2(\zeta) +\frac{r!}{\pi}\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\!\leqslant\! 4}}(z_0-z_0(\theta)) \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\times \int_{B_{2^{n+1}\theta}(z_0)\setminus B_{2^n\theta}(z_0)} f'_{0\overline\zeta}(\zeta)\biggl(\frac{(\zeta-z_0(\theta))^r+\dots +(\zeta-z_0)^r}{(\zeta\!-\!z_0)^{r+1}(\zeta-z_0(\theta))^{r+1}}\biggr)\,dm_2(\zeta) \nonumber \\ &\qquad\stackrel{\mathrm{def}}{=}T_1(\lambda,\theta)-T_2(\lambda,\theta)+T_3(\lambda,\theta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{47}
Из определения (42') и неравенства (46) имеем
\begin{equation}
\frac{1}{\theta^{\alpha}}|T_1(\lambda,\theta)| \leqslant c H_{\theta}(z_0,z_0) \leqslant c \int^{2\theta}_0 V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{\theta}\biggr)^{\alpha-1/p_1}\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{48}
\begin{equation}
\frac{1}{\theta^{\alpha}}|T_2(\lambda,\theta)| \leqslant c H_{\theta}(z_0,z_0) \leqslant c \int^{2\theta}_0 V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{\theta}\biggr)^{\alpha-1/p_1}\, \frac{dx}{x},
\end{equation}
\tag{49}
\begin{equation}
\frac{1}{\theta^{\alpha}}|T_3(\lambda,\theta)| \leqslant c\theta^{1-\alpha}\sum_{\substack{2^n\theta\leqslant 4\\n\geqslant 1}}\frac{1}{2^n\theta}\cdot \bigl(2^{n+1}\theta\bigr)^{\alpha}\cdot \biggl(\frac{1}{2^{n+1}\theta}\biggr)^{\alpha} \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\ \times\int_{B_{2^{n+1}\theta}(z_0)\setminus B_{2^n\theta}(z_0)} \frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z_0|^{r+1}}\, dm_2(\zeta) \leqslant c\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}}\frac{1}{2^{n(1-\alpha)}}H_{2^{n+1}\theta}{(z_0,z_0)}.
\end{equation}
\tag{50}
Из (50) и (45) следуют оценки
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int^{2\pi}_0\biggl|\frac{T_3(\lambda,\theta)}{\theta^{\alpha}}\biggr|^{p(e^{i\lambda})} \omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \leqslant c\int^{2\pi}_0\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}} \frac{1}{2^{n(1-\alpha)}}H^{p(e^{i\lambda})}_{2^{n+1}\theta}(e^{i\lambda},e^{i\lambda}) \notag \\ &\ \qquad\times \biggl(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{2^{n(1-\alpha)p'(e^{i\lambda})}} \biggr)^{p(e^{i\lambda})/p'(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \notag \\ &\ \leqslant c\int^{2\pi}_0\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}}\frac{1} {2^{n(1-\alpha)}}H^{p(e^{i\lambda})}_{2^{n+1}\theta}(e^{i\lambda},e^{i\lambda}) \omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \notag \\ &\ \leqslant c\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}}\frac{1}{2^{n(1-\alpha)})} \int^{2\pi}_0 H^{p(e^{i\lambda})}_{2^{n+1}\theta} (e^{i\lambda},e^{i\lambda})\omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \notag \\ &\ \leqslant c\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n\theta\leqslant 4}}\frac{1}{2^{n(1-\alpha)})} \int^{2\pi}_0 \biggl(\int^{2\cdot 2^{n+1}\theta}_0 V^*(\lambda,x)\biggl(\frac{x}{2^{n+1}\,\theta}\biggr)^{\alpha-1/p_1}\, \frac{d x}{x} \biggr)^{p(e^{i \lambda})}\omega(e^{i\lambda})\,d\lambda \notag \\ &\ \leqslant c. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{51}
В итоге, соотношения (47)–(51) дают при 0<\theta\leqslant\pi следующее неравенство:
\begin{equation*}
\int^{2\pi}_0\biggl|\frac{f^{(r)}(e^{i(\lambda+\theta)})-f^{(r)}(e^{i\lambda})}{\theta^{\alpha}} \biggr|^{p(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\, d\lambda \leqslant c.
\end{equation*}
\notag
Рассуждения при -\pi\leqslant \theta<0 аналогичны. Лемма 6 доказана. Следствие. Справедливо равенство \widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)= H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Доказательство. Лемма 2 влечет H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)\subset\widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Далее, если f\in \widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), то по лемме 5 для нее существует псевдоаналитическое продолжение f_0 со свойствами (32), (32') и (33). Тогда лемма 6 влечет, что f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), т. е. \widetilde H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)\subset H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Следствие доказано.
§ 4. Основная для доказательства теорем 1–5 эквивалентная полунорма в H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)Для проверки утверждений теорем 1–5 будем использовать еще одну эквивалентную полунорму в пространстве H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Лемма 7. Пусть f\in C_A. Тогда условие f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) эквивалентно соотношению
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\bigl((1-\rho)^{1-\alpha}\bigl|f^{(r+1)}(\rho e^{i\lambda})\bigr|\bigr)^{p(e^{i\lambda})}\omega(e^{i\lambda})\,d\lambda\leqslant c,
\end{equation}
\tag{52}
где постоянная c в (52) не зависит от \rho, 0<\rho <1. Доказательство. Пусть f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), а f_0 – продолжение функции f в \mathbb{C}, удовлетворяющее условиям (32), (32') и (33). Тогда из (39) находим, что
\begin{equation}
f^{(r+1)}(z)=-\frac{(r+1)!}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}}\frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{(\zeta-z)^{r+2}}\,dm_2(\zeta),\qquad z\in \mathbb{D}.
\end{equation}
\tag{53}
Обозначая опять v(\zeta)=f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta), учтем, что для функции v справедливо соотношение (33). Пусть z_0=e^{i\lambda}, z=\rho z_0, l=1-\rho. Тогда (53) влечет
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|f^{(r+1)}(z)| \leqslant c \int_{B_{2l}(z_0)}\frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+2}} \,dm_2(\zeta) \notag \\ &\qquad+c \sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n l\leqslant 4}} \int_{B_{2^{n+1}l} (z_0)\setminus B_{2^nl}(z_0)} \frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+2}}\,dm_2(\zeta) \stackrel{\mathrm{def}}{=}I_0(z_0,l)+\sum_{\substack{n\geqslant 1\\2^n l\leqslant 4}}I_n(z_0,l). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
Из (42') заключаем, что
\begin{equation}
I_0(z_0,l) \leqslant \frac{c}{l}\int_{B_{2l}(z_0)}\frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+1}} \,dm_2(\zeta)\leqslant c l^{\alpha-1}H_l(z_0,z_0),
\end{equation}
\tag{55}
\begin{equation}
I_n(z_0,l) \leqslant c\cdot\frac{1}{2^n l}\cdot \int_{B_{2^{n+1}l}(z_0)\setminus B_{2^nl}(z_0)}\frac{|v(\zeta)|}{|\zeta-z|^{r+1}}\, dm_2(\zeta) \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\leqslant c l^{\alpha-1}\cdot\frac{1}{2^{n(1-\alpha)}}H_{2^{n+1}l}(z_0,z_0).
\end{equation}
\tag{56}
Применяя соотношение (54), неравенства (55) и (56), а также неравенства (48)–(51), в которых \theta заменено на l, получим, что функция f удовлетворяет условию (52). Таким образом, в одну сторону утверждение леммы 7 доказано.
Предположим теперь, что f\in C_A и выполнено соотношение (52). Положим
\begin{equation}
MF(\theta+ih)=\sup_{k>0}\ \frac{1}{2k} \int^{\theta+k}_{\theta-k}|F(\lambda+ih)|\,d\lambda.
\end{equation}
\tag{58}
Учтем, что h^{1-\alpha} M F(\theta+ih)=M\bigl(h^{1-\alpha} F(\theta+ih)\bigr). Применяя формулу (23), получим оценку
\begin{equation}
\biggl|\sum^{r+1}_{\nu=0}(-1)^{\nu}C^{\nu}_{r+1}F(\theta+\nu \tau+ih)\biggr|\leqslant c|\tau|^{r+1}MF^{(r+1)}(\theta+ih),
\end{equation}
\tag{59}
которая влечет неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\tau|^{-\alpha-r}\biggl|\sum^{r+1}_{\nu=0}(-1)^{\nu}C^{\nu}_{r+1}F(\theta+\nu \tau+ih)\biggr|\leqslant c|\tau|^{1-\alpha} MF^{(r+1)}(\theta+ih) \notag \\ &\qquad=c_r\biggl(\frac{|\tau|}{h}\biggr)^{1-\alpha}M\bigl(h^{1-\alpha}F^{(r+1)}(\theta+ih)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{60}
Теперь из (57) и (60) находим, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\tau|^{-\alpha-r}\biggl|\sum^{r+1}_{\nu=0}(-1)^{\nu}C^{\nu}_{r+1} f\bigl(e^{-h}\cdot e^{i(\theta+\nu\tau)}\bigr)\biggr| \notag \\ &\qquad\leqslant c\biggl(\frac{|\tau|}{h}\biggr)^{1-\alpha}M\bigl(h^{1-\alpha}f^{(r+1)}(e^{-h}\cdot e^{i\theta})\bigr)+c\cdot\biggl(\frac{|\tau|}{h}\biggr)^{1-\alpha}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
Применяя к оценке (61) условие (52) и конструкцию полиномов V_n из леммы 3, для любого n\geqslant1/2h найдем полином \pi_n(z,h), \deg \pi_n\leqslant n, такой, что имеем оценку
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0 \biggl(\frac{n^{\alpha+r}|f(e^{-h}\cdot e^{i\theta})-\pi_n (e^{i\theta},h)|}{c_{10}}\biggr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\, d\theta\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{62}
где c_{10} не зависит от h и n. Пусть \rho_n=e^{-2^{-n}}, \Pi_n(\rho_nz)=\pi_{2^n}(z,2^{-n}). К функции
\begin{equation*}
\Psi_n (z)=\frac{n^{\alpha+r}(f(e^{-h}\cdot e^{i\theta})-\pi_n(e^{i\theta},h))}{c_{10}},
\end{equation*}
\notag
аналитической в круге \mathbb{D}, в силу условий на p(z) и p_0 применима теорема об ограниченности операторов Кальдерона–Зигмунда (в нашем случае – интеграл Коши) в пространстве L^{p(\,\cdot\,)}(\omega) из [17], поэтому с постоянной c, не зависящей от n и s, 0<s\leqslant 1, применение (62) влечет оценку
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\bigl(2^{n(\alpha+r)}|f(s\rho_ne^{i\theta})-\Pi_n(s\rho_ne^{i\theta})| \bigr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\, d\theta \leqslant c.
\end{equation}
\tag{62'}
В частности, при s=\rho_{n+1} имеем
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\bigl(2^{(n+1)(\alpha+r)}|f(\rho^2_{n+1}e^{i\theta}) -\Pi_{n+1}(\rho^2_{n+1}e^{i\theta})|\bigr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\,d\theta\leqslant c.
\end{equation}
\tag{63}
Поскольку \rho^2_{n+1}=\rho_n и
\begin{equation*}
\bigl(f(\rho_nz)-\Pi_n(\rho_nz)\bigr)+\bigl(\Pi_{n+1}(\rho^2_{n+1}z)-f(\rho^2_{n+1}z)\bigr) =\Pi_{n+1}(\rho_nz)-\Pi_n(\rho_nz),
\end{equation*}
\notag
то (62) и (63) влекут соотношение
\begin{equation}
\int^{2\pi}_{0}\bigl(2^{n(\alpha+r)}|\Pi_{n+1}(\rho_ne^{i\theta}) -\Pi_n(\rho_ne^{i\theta)}|\bigr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\,d\theta\leqslant c.
\end{equation}
\tag{64}
Применяя лемму 4, из (64) с другой постоянной c' находим, что
\begin{equation}
\int^{2\pi}_{0}\bigl(2^{n(\alpha+r)}|\Pi_{n+1}(\rho^{-1}_ne^{i\theta}) -\Pi_n(\rho^{-1}_ne^{i\theta})|\bigr)^{p(e^{i\theta})}\omega(e^{i\theta})\,d\theta\leqslant c'.
\end{equation}
\tag{65}
Положим Q_n(z)=\Pi_{n+1}(z)-\Pi_n(z), тогда (65) влечет при 0<t\leqslant \rho^{-1}_n
\begin{equation}
\int^{2\pi}_0\bigl(2^{n(\alpha+r)}|Q_n(te^{i\theta})|\bigr)^{p_-}\omega(e^{i\theta})\,d\theta\leqslant c''.
\end{equation}
\tag{66}
Фиксируя n, при 0\leqslant m\leqslant n перепишем наравенство (66) в виде
\begin{equation}
\int^{2\pi}_{0}|Q_m(\rho^{-2}_m e^{i\theta})|^{p_-}\omega(e^{i\theta})\,d\theta \leqslant c''\cdot 2^{-m(\alpha+r){p_-}}.
\end{equation}
\tag{66'}
Пусть U_m – гармоническая в \rho^{-2}_m \overline{\mathbb{D}} функция, задаваемая соотношением U_m(\zeta)=|Q_m(\zeta)|, \zeta\in\rho^{-2}_m \mathbb{T}. Тогда при z\in\rho^{-1}_m \mathbb{D} имеем
\begin{equation}
|Q'_m(z)|=\biggl|\frac 1 {2\pi}:\int_{\rho^{-2}_m \mathbb{T}}\frac{Q_m(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\,d\zeta\biggr|\leqslant\frac 1 {2\pi}\int_{\rho^{-2}_m \mathbb{T}}\frac{|Q_m(\zeta)|}{|\zeta-z|^2}\,|d\zeta| \leqslant c(\rho^{-2}_m-|z|)^{-1}U_m(z).
\end{equation}
\tag{67}
Поскольку функция U^\gamma_m(z) при \gamma>1 субгармоничная в \rho^{-2}_m \mathbb{D}, то при z\in\rho^{-1}_m \overline{\mathbb{D}} к функции U_m можно применить рассуждения (18)–(20), и тогда (66') и (67) влекут оценку
\begin{equation}
|Q'_m(z)|\leqslant c (2^{-m})^{\alpha-p_0/p_-+r-1}\leqslant c (2^{-m})^{\alpha-p_0/p_--1}.
\end{equation}
\tag{68}
Опять полагая \sigma=\alpha-p_0/p_-, \sigma>0, из (68) находим в \rho^{-1}_m \mathbb{T} неравенство
\begin{equation}
\big|\Pi'_{n+1}(z)\big|=\biggl|\sum^n_{m=0}Q'_m(z)\biggr|\leqslant c \sum^n_{m=0}2^{m(1-\sigma)}=c2^{n(1-\sigma)}.
\end{equation}
\tag{69}
При z_1,z_2\in \rho^{-1}_n\mathbb{T} формула (69) дает соотношение |\Pi_{n+1}(z_2)-\Pi_{n+1}(z_1)|\leqslant c|z_2-z_1|^\sigma, а тогда по теореме Уолша, см. [15], получаем \Pi_{n+1}\in \Lambda^\sigma(\rho^{-1}_n \overline{\mathbb{D}}) с оценкой полунормы, не зависящей от n.
Теперь построим функцию f_1 равенством
\begin{equation*}
f_1(z)=\begin{cases} f(z), &z\in \overline{\mathbb{D}}, \\ \Pi_{n+1}(z), &z\in \rho^{-1}_n\overline{\mathbb{D}}\setminus \rho^{-1}_{n+1}\overline{\mathbb{D}}, \\ 0, &z\in \mathbb{C}\setminus \rho^{-1}_0\overline{\mathbb{D}}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
а функцию f_0, следуя Е. М. Дынькину [16], построим, как в (36):
\begin{equation}
f_0(z)=\frac{1}{|B_{\frac{1}{4}(|z|-1)}(z)|} \int_{B_{\frac{1}{4}(|z|-1)}(z)} f_1(\zeta)\,dm_2(\zeta), \qquad z\in \mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}}.
\end{equation}
\tag{69'}
Предположение (52) дает соотношение
\begin{equation*}
\int^{2\pi}_0|(1-\rho)^{1-\alpha}f'(\rho e^{i\lambda})|^{p(e^{i\lambda})} \omega(e^{i\lambda})\,d\lambda\leqslant c,
\end{equation*}
\notag
откуда, используя (18)–(20), находим, что f\in \Lambda^\sigma(\overline{\mathbb{D}}). Из соотношений (62') при s=1 и s=\rho_{n+1}, аналогично рассуждениям (18)–(20), при z\in \rho^2_{n+1}\mathbb{T}, получаем оценку
Пусть z_0\in T, z\in \rho^{-1}_n\overline{\mathbb{D}}\setminus\rho^{-1}_{n+1}\overline{\mathbb{D}}, z_1=\rho^2_{n+1}z_0. Тогда, учитывая соотношения f\in \Lambda^\sigma(\overline{\mathbb{D}}), \Pi_{n+1}\in \Lambda^\sigma(\overline{\mathbb{D}}) и (70), находим оценку
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|f(z_0)-\Pi_{n+1}(z)|\leqslant |f(z_0)-f(z_1)|+|\Pi_{n+1}(z)-\Pi_{n+1}(z_1)| \notag \\ &\qquad+|\Pi_{n+1}(z_1)-f(z_1)|\leqslant c (2^{-n\sigma}+|z-z_1|^\sigma+2^{-n\sigma}) \leqslant c|z-z_1|^\sigma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{71}
Из неравенства (71) и определения (69') функции f_0 следует, что f_0\in C(\mathbb{C}), f_0\in C^1(\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}}) и при z\in \overline{\mathbb{D}} применима формула (39). Из оценок (65) следует неравенство
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\biggl(\frac{|f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)|}{(\rho-1)^{\alpha+r-1}} \biggr)^{p(\zeta/\rho)}\omega\biggl(\frac{\zeta}{\rho}\biggr)\, |d\zeta|\leqslant C,\qquad 1<\rho\leqslant 2.
\end{equation}
\tag{72}
Применяя лемму 6 и оценку (72), получаем f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Лемма 7 доказана. § 5. Вариант максимальной теоремыСправедливо следующее утверждение. Лемма 8. Пусть f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), характеристики \Delta^\alpha f(\zeta,h) и \Delta^{r+\alpha}f(\zeta,h) определены в (6') и (6''). Тогда при 0<h\leqslant 2 имеет место оценка Доказательство. Используя (39) и определения разделенных разностей в (5') и (5''), при z_1\ne z_2 получаем
\begin{equation*}
f[z_1, z_2]=-\frac{1}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \mathbb{D}} \frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{(\zeta-z_1)(\zeta-z_2)}\, dm_2(\zeta)
\end{equation*}
\notag
и далее по индукции
\begin{equation}
f[z_1,\dots, z_m]=-\frac{1}{\pi}\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}} \frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{(\zeta-z_1)\cdots (\zeta-z_m)}\, dm_2(\zeta).
\end{equation}
\tag{74}
Применяя формулу (74), получаем равенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{h^\alpha}\bigl(f[z^{(1)}_0,\dots ,z^{(1)}_r]-f[z^{(2)}_0,\dots,r^{(2)}_r]\bigr) =\sum^r_{k=0}\frac{z^{(1)}_{r-k}-z^{(2)}_{r-k}}{\pi h^{\alpha}} \notag \\ &\qquad\times\int_{2\mathbb{D}\setminus \overline{\mathbb{D}}} \frac{f'_{0\overline{\zeta}}(t)}{(t-z^{(1)}_0)\cdots(t-z^{(1)}_{r-k}) (t-z^{(2)}_{r-k})\cdots(t-z^{(2)}_r)}\, dm_2(t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{75}
Учтем, что |t|>1, z^{(k)}_j\in \overline{\mathbb{D}}\cap\overline{B}_h (\zeta) справедливо неравенство
\begin{equation}
\frac{1}{\bigl|(t-z^{(k)}_0)\cdots (t-z^{(k)}_r)\bigr|}\leqslant \frac{1}{r+1}\sum^r_{j=0}\frac{1}{\bigl|t-z^{(k)}_j\bigr|^{r+1}},
\end{equation}
\tag{76}
а при t\in (\mathbb{C}\setminus \overline{\mathbb{D}}) \cap \overline{B}_{2h}(\zeta), z^{(k)}_j\in \overline{B}_h(\zeta)\cap \overline{\mathbb{D}} имеем
Учитывая равенство (75) и оценки (76), (77), мы оказываемся в условиях проведения оценок (37)–(51) леммы 6, которые и доказывают лемму 8. Следствие. Пусть функция f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), характеристика \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,h) определена в (6), \varepsilon >0. Тогда справедлива оценка Доказательство. Рассуждая аналогично (5.53), (5.54) и (6.4) в [8], при 2^{n-1}h\leqslant x\leqslant 2^nh получаем соотношение
\begin{equation*}
\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,x)\leqslant 2^\alpha\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,2^nh),
\end{equation*}
\notag
откуда аналогично рассуждениям (6.5)–(6.7) в [8] находим, что
\begin{equation}
\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,\delta)\leqslant \sum^{\infty}_{n=0}2^{-n\varepsilon}\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,2^n\delta).
\end{equation}
\tag{79}
Тогда (73) и (79) влекут
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{T}}\bigl(\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(\zeta,\delta)\bigr)^{p(\zeta)}\omega(\zeta)\, |d\zeta| \\ &\qquad\leqslant c \int_{\mathbb{T}}\biggl(\sum_{n\geqslant 0}\frac1{2^{n\varepsilon}}\biggr)^{p(\zeta)/p'(\zeta)} \biggl(\sum_{n\geqslant 0}\frac1{2^{n\varepsilon}}\bigl(\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,2^n\delta)\bigr)^{p(\zeta)}\biggr)\omega(\zeta)\, |d\zeta| \\ &\qquad\leqslant c\sum_{n\geqslant 0}\frac 1{2^{n\varepsilon}}\int_{\mathbb{T}}\bigl(\Delta^{r+\alpha} f(\zeta,2^n\delta)\bigr)^{p(\zeta)}\omega(\zeta)\, |d\zeta|\leqslant c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следствие доказано. § 6. Доказательство теорем 1, 2 и 3Пусть функция f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), f_0 – ее продолжение на всю плоскость {\mathbb{C}}, построенное в лемме 5, I – внутренняя функция, f/I\in H^1. В процессе доказательства леммы 2 было установлено, что f\in \Lambda^{r+\sigma}\subset\Lambda^\sigma, где \sigma=\alpha-p_0/p_->0, поэтому по теореме Ф. А. Шамояна [19] имеет место соотношение f/I\in \Lambda^\sigma, тогда оценки функции f вблизи \operatorname{spec} I, см. [5], показывают, что f_0/I является продолжением функции f/I на всю комплексную плоскость {\mathbb{C}} со свойствами (32), (32') и (33). Учитывая, что при |\zeta|>1 справедливо соотношение f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)/I(\zeta)=\bigl(f_0(\zeta)/I(\zeta)\bigr)'_{\overline{\zeta}}, применим к функции f_0/I формулу Грина:
\begin{equation}
\frac{f(z)}{I(z)}=-\frac{1}{\pi}\int_{|\zeta|>1} \biggl(\frac{f_0(\zeta)}{I(\zeta)}\biggr)'_{\overline{\zeta}}\, \frac{dm_2(\zeta)}{\zeta-z} =-\frac{1}{\pi}\int_{|\zeta|>1}\frac{f'_{0\overline{\zeta}}(\zeta)}{I(\zeta)}\, \frac{dm_2(\zeta)}{\zeta-z},\ z\in \mathbb{D}.
\end{equation}
\tag{80}
Поскольку при |\zeta|>1 имеем {1}/{|I(\zeta)|}<1, то леммы 5 и 6 и равенство (80) влекут соотношение f/I\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Теорема 1 доказана. Далее вначале приведем доказательство теоремы 3. Доказательство части a) в ней для случая \omega(z)\equiv 1 проведено в рассуждениях (5.6)–(5.55) в [8] и без всяких изменений переносится на рассматриваемый случай \omega\in A_{p_0}. Доказательство части b) теоремы 3 следует из рассуждений (6.11)–(6.29) в [8], которые мы формулируем в виде леммы. Лемма 9. В предположениях b) теоремы 3 справедливы оценки
\begin{equation}
(1-|z|)^{1-\alpha}|f^{(\nu)}(z)||I^{(r+1-\nu)}(z)|\leqslant c\,\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon f(z_0, 1-|z|),
\end{equation}
\tag{81}
где z\ne 0, z_0=z/|z|, 0\leqslant\nu\leqslant r. Применяя формулу Лейбница
\begin{equation*}
(f I)^{(r+1)}=\sum_{\nu=0}^{r+1} C^\nu_{r+1} f^{(\nu)} I^{(r+1-\nu)},
\end{equation*}
\notag
учитывая соотношение |f^{(r+1)}(z)I(z)|\leqslant |f^{(r+1)}(z)| и используя оценки (81) и следствие из леммы 8, находим, что при рассматриваемых условиях выполнено соотношение
\begin{equation*}
\int_{\rho\mathbb{T}}\bigl|(1-\rho)^{1-\alpha}(f I)^{(r+1)}(z)\bigr|^{p(z/\rho)} \omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|d z|\leqslant C,
\end{equation*}
\notag
которое согласно лемме 7 дает fI\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Теорема 3 доказана. Для доказательства теоремы 2 следует заметить, что при имеющихся в ее условии предположений, имеем \delta_r(z)=\delta_0(z), поэтому часть a) теоремы 3 влечет соответствующие неравенства с \delta_r(z)=\delta_0(z), а тогда часть b) теоремы 3 влечет теорему 2. § 7. Доказательство теорем 4 и 5Теорема 4 была сформулирована с требованием f\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) описания внешних функций именно этого класса. Ранее уже было установлено, что \Lambda^{r+\sigma}\subset H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), \sigma=\alpha-p_0/p_->0. В [7] был получен более общий результат, формулировка которого содержала предположения, не использовавшиеся в доказательстве. Теорема 4' (теорема 2 в [7]). Пусть z\in\mathbb{D}, z\ne 0, z_0=z/|z|, 0<\varepsilon<1-\alpha, f^{(r)}\in C_A, характеристика F^*(f,z_0,h,\varepsilon) определена в [8], интеграл I_f(z) определен в [7]. Тогда для тех z\in\mathbb{D}, z\ne 0, для которых справедливо M_f(z)\geqslant(1-|z|)^{r+\alpha}F^*(f,z_0,1-|z|,\varepsilon), справедлива оценка I_f(z)\leqslant c с постоянной c, не зависящей от z. Поскольку условия теоремы 4 дают f^{(r)}\in C_A, то теорема 4 следует из теоремы 4'. Для доказательства теоремы 5 воспользуемся результатом из [7]. Лемма 10. Пусть g^{(r)}\in C(\mathbb{T}), \int_\mathbb{T}\log|g|\,|d\zeta|>-\infty, внешняя функция {}_e{g} построена в (9). Предположим, что существует c, не зависящее от z\in\mathbb{D}, z\ne 0, такое, что при всех z таких, что M_g(z)\geqslant(1-|z|)^{r+\alpha}F(f, z_0, 1-|z|, \varepsilon), где F определена в (4), 0<\varepsilon<1-\alpha, z_0=z/|z|, справедлива оценка I_g(z)\leqslant c. Тогда для z\in\mathbb{D} имеется оценка Для завершения доказательства теоремы 5 заметим, что следствие из леммы 8 и оценка F(g, z_0, h,\varepsilon)\leqslant C\,\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g(z_0, h) вместе с неравенством (82) дают
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\rho\mathbb{T}}\bigl((1-\rho)^{1-\alpha}\bigl|{}_e{g}^{(r+1)}(z)\bigr|\bigr)^{p(z/\rho)} \omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|d z| \notag \\ &\qquad\leqslant c\int_\mathbb{T}\bigl(\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g(z_0, 1-\rho)\bigr)^{p(z_0)}\omega(z_0)\,|d z|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{83}
При определении характеристики \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g(z_0, h) в (83) в конструкциях (5'), (5''), (6), (6'), (6'') рассматриваются только точки z_j\in\mathbb{T}. Положим
\begin{equation}
g_+(z) =\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta, \qquad z\in\mathbb{D},
\end{equation}
\tag{84}
\begin{equation}
g_-(z) =\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}\, d\zeta, \qquad z\in\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}}.
\end{equation}
\tag{85}
Поскольку
\begin{equation*}
g_\pm (z e^{i\theta})=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{g(\zeta)}{\zeta-e^{i\theta}z}\, d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{g(e^{i\theta}\zeta_1)}{\zeta_1-z}\, d\zeta_1,
\end{equation*}
\notag
то
\begin{equation}
\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu\ C^\nu_{r+1}\ g_\pm (e^{i\nu\theta} z)= \frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu\ C^\nu_{r+1} g(e^{i\nu\theta}\zeta_1)}{\zeta_1-z}\, d\zeta_1.
\end{equation}
\tag{86}
Применяя к равенству (86) теорему из [19], получаем, что при z\in\mathbb{D} и при z\in\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}} соответственно имеем при фиксированном \theta:
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\biggl|\frac{\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu C^\nu_{r+1} g_+(e^{i\nu\theta}z)}{|\theta|^\alpha}\biggr|^{p(z/\rho)} \omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\, |dz| \leqslant c^*,\qquad 0<\rho<1,
\end{equation}
\tag{87}
\begin{equation}
\int_{R\mathbb{T}}\biggl|\frac{\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu C^\nu_{r+1} g_-(e^{i\nu\theta}z)}{|\theta|^\alpha}\biggr|^{p(z/R)} \omega\biggl(\frac{z}{R}\biggr)\, |dz| \leqslant c^*,\qquad 1<R,
\end{equation}
\tag{88}
где в (87) и (88) мы полагали
\begin{equation}
c^*=c\int_{\mathbb{T}}\biggl|\frac{\sum_{\nu=0}^{r+1} (-1)^\nu C^\nu_{r+1} g(e^{i\nu\theta}z)}{|\theta|^\alpha}\biggr|^{p(z)} \omega(z)\, |dz|.
\end{equation}
\tag{89}
Леммы 2 и 3 могут быть проведены и для класса W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), и тогда для c^* из (89) имеем c^*<\infty, а тогда (87) и (88) и леммы 2 и 3 дают соотношения g_+(z)\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), g_-(1/z)\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega), что по следствию из леммы 8 влечет оценки
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\bigl(\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g_+(z)\bigr)^{p(z)}\omega(z)\, |dz| \leqslant c,
\end{equation}
\tag{90}
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}}\bigl(\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g_-(z)\bigr)^{p(z)}\omega(z)\, |dz| \leqslant c.
\end{equation}
\tag{91}
Поскольку по формуле Сохоцкого–Племеля при z\in\mathbb{T} имеем g(z)=g_+(z)-g_-(z), и аналогичные соотношения действуют для разделенных разностей g, g_+ и g_-, то справедливо неравенство \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g(z)\leqslant \Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g_+(z)+\Delta^{r+\alpha}_\varepsilon g_-(z). Тогда (83), (90) и (91) влекут
\begin{equation}
\int_{\rho\mathbb{T}}\bigl|(1-\rho)^{1-\alpha}{}_e{g}^{(r+1)}(z)\bigr|^{p(z/\rho)}\, \omega\biggl(\frac{z}{\rho}\biggr)\,|dz|\leqslant c, \qquad 0<\rho<1,
\end{equation}
\tag{92}
и лемма 7 дает {}_e{g}\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega). Теорема 5 доказана. Для доказательства теоремы 6 используем результат, полученный в [7], доказательство которого опиралось на меньшие предположения, чем в [7] было указано. В данной работе из g_\pm(z)\in H^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega) следует, что g_\pm\in\Lambda^{r+\sigma}, что дает возможность применять нижеследующую лемму к g=g_+-g_-\in\Lambda^{r+\sigma}(\mathbb{T}). Лемма 11 (лемма 10 в [7] в предположениях, соответствующих ее доказательству). Пусть g^{(r)}\in C(T) и \int_\mathbb{T} \log |g(z)|\, |dz|>-\infty. Положим I=\{z=e^{i\theta}: \theta_0-H/2\leqslant \theta\leqslant \theta_0+H/2\}, z_0=e^{i\theta_0}, M=\max_{\zeta\in I}|g(\zeta)|, 0<\varepsilon<1-\alpha. Существуют A_0 и \widehat c, не зависящие от I, такие, что если выполнено условие то справедлива оценкаДля завершения доказательства теоремы 6 применим теорему 5 и лемму 11. Поскольку имеется включение W^{p(\,\cdot\,)}_{r+\alpha}(\omega)\subset W^{p(\,\cdot\,)}_{\frac{r+\alpha}{2}}(\omega), достаточно проверить условие I_g(z)\leqslant c для тех z, для которых M_g(z)\geqslant F(g,z_0,1-|z|,\varepsilon)\cdot(1-|z|)^{r+\alpha}, где z\ne 0, z_0=z/|z|; характеристика M_g(z) определена между соотношениями (6) и (7). Действуя аналогично рассуждениям (3.8)–(3.12) в [7], приходим к выводу, что достаточно получить оценку интеграла I_g(z) для тех z, для которых с какой-либо постоянной A_0 выполнено неравенство
\begin{equation}
M_g(z)\geqslant A_0\ F(g,z_0,1-|z|,\varepsilon)\cdot (1-|z|)^{r+\alpha}.
\end{equation}
\tag{95}
Выбирая A_0 из леммы 11, завершаем доказательство теоремы 6, проверяя рассуждения (5.19)–(5.24) из [7]. Теорема 6 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shi21} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|